第一章 数理统计
概率论与数理统计 第一章1.1随机事件
事件的关系与运算
注：(1) 事件的关系与运算可用维恩图形象表之
(2) 事件的和与积的运算可推广到有限个事 件或可数无限个事件的情形.
A B A B, (3) 事件的和与积的另一记法：
A B AB.
事件的关系与运算
８. 完备事件组 设 A1 , A2 ,, An , 是有限或可数个事件，若其 满足：
完
随机事件
在随机试验中，人们除了关心试验的结果本身外，
往往还关心试验的结果 是否具备某一指定的可观
察的特征，概率论中将这一可观察的特征称为一 个事件 ， 它分三类：
随机事件
1. 随机事件：在试验中可能发生也可能不发生的 事件； 2. 必然事件：在每次试验中都必然发生的事件； 3. 不可能事件：在任何一次试验中都不可能发 生的事件. 例如，在抛掷一枚骰子的试验中，我们也许会关
A : “点数为奇数”，B : “点数小于5”.
则 A B {1，2，3，4，5}； A B {1，3}；
A - B {5}.
6. 若 A B , 则称事件 A 与 B 是互不相 容的(或互斥的).
7. 若 A B S 且 A B ,
事件的关系与运算
由于随机现象的结果事先不能预知， 初看似乎 毫无规律. 然而人们发现 同一随机现象大量重 其每种可能的结果 出现的频率具有 复出现时，
稳定性， 从而表明随机现象也有其固有的规律
性. 人们把随机现象在大量重复出现时 所表现 出的量的规律性 称为随机现象的统计规律性.
随机现象的统计规律性
概率论与数理统计是研究 随机现象统计规律性 的一门学科. 为了对随机现象的统计规律性进行研究，就需 对随机现象进行重复观察，我们把对随机现象
应用数理统计吴翊李永乐第一章数理统计的基本概念课后习题答案
第一章 数理统计的基本概念课后习题参考答案1.1 设对总体X 得到一个容量为10的子样值：4.5，2.0，1.0，1.5，3.4，4.5，6.5，5.0，3.5，4.0，试分别计算子样均值X -和子样方差2S 的值。
解：12,n X X X 为总体X 的样本，根据 121()n XX X X n=+++ 求得X=3.59；根据2211()ni i S X X n ==-∑ 求得2S =2.5929。
1.2 设总体X 的分布函数为()x F ，密度函数为()x f ，n X X X ,,,21 为X 的子样，求最大顺序统计量()n X 及最小顺序统计量()1X 的分布函数及密度函数。
解：将总体X 中的样本按照从小到大的顺序排列成()()()n X X X ≤≤≤ 21 1.3 设总体X 服从正态分布N(12,4),今抽取容量为5的子样521,,,X X X ，试问：(1)子样的平均值X 大于13的概率为多少？(2)子样的极小值(最小顺序统计量)小于10的概率为多少？ (3) 子样的极大值(最大顺序统计量)大于15的概率为多少？ 解：(1)()()1314.08686.0112.1n /-X 15/41213n /-X P -113X P -113X P =-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≤=≤=>σμσμP(2) ()()()5785.08412.011-X P -121210-X P -110P -110P 551i 51i 51min =-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤=⎪⎭⎫ ⎝⎛->=>=<∏∏∏===i i i i X X σμσμ(3) ()()()2923.093315.015.1-X P -121215-X P -115P -115P 551i 51i 51max =-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤=⎪⎭⎫⎝⎛->=≤=>∏∏∏===i i i i X X σμσμ1.4 试证：（1）22211()()()n niii i x a x x n x a ==-=-+-∑∑ 对任一实数a 成立。
数理统计(第一章)
数理统计学•主讲人: 沈玉波•办公室地址: 校本部，大黑楼B1005•办公室电话: 84708351-8205•E-mail: shenyubo@•大连理工大学概率统计教研室常见的离散型随机变量1.二项分布：()p B ，”分布“11-0=()为参数为自然数，其中10<<p n ().的二项分布，服从参数为则称随机变量p n X 显然，当n=1 时()()n k p p C k X P kn kk n，，， 101)(=-==-()p n B X ，记作~如果随机变量X 的分布律为()∑=--nk kn kknp p C1()[]11=-+=np p4.帕斯卡分布(负二项分布)如果随机变量X 的分布律为()，，21,)1()(11++=-==---r r r k pp C k X P rrk r k ()为常数其中10<<p 则称随机变量X 服从参数为r , p 的帕斯卡分布．)B(r,~p N X 记为：1）独立重复试验，第r 次成功时实验次数的分布律。
则独立同分布，且已知),(~,,,)221p G X X X X i r ),(~21p r NB X X X r +++1. 概念设X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数)()(x X P x F ≤=称为X 的分布函数．2. 分布函数的性质1)(0,)1≤≤∈x F R x 1)(lim )(,0)(lim )()2==∞==-∞∞→-∞→x F F x F F x x 分布函数.)(),()0()5是右连续的即x F x F x F =+3) F (x ) 是一个不减的函数．)()(}{)41221x F x F x X x P -=≤<。
01第一章 数理统计的基础知识
为推断总体分布及其各种特征，一般方法是按一定规则从总体中抽取若干 个体进行观察，称为抽样。
2
第一章 数理统计的基础知识
第一节 总体与样本
一 . 总体与样本
定义1：研究的对象称为总体，总体往往以某一项数量指标为其特征。实 际上总体就是一个随机变量 X 。
为推断总体分布及其各种特征，一般方法是按一定规则从总体中抽取若干 个体进行观察，称为抽样。 定义2：从总体中抽取的 n 个个体 (X1,X2,…,Xn) 称为样本，实际上样本就 是一个 n 维随机变量(或向量)。
简单随机样本： (X1,X2,…,Xn) 是相互独立的随机变量(独立性)；且 Xi ~ X (同分布) 。 样本容量 n：样本中所含个体数目，为已知的一个自然数。 样本观察值： (X1,X2,…,Xn) = (x1,x2,…,xn)
上例中，若某次抽样得： (X1,X2,X3,X4,X5) = (0,0,1,0,1)
P(Y 15) f ( y)dy
15
10 0 15 20 y y 1 3 7 dy dy 10 100 100 2 8 8
例3：设总体 X ~ b(1，p)。现从中抽取容量为 2 的样本，得到样本 (X1， X2)，求样本的函数 Y = X12 + X22 的概率分布，并求出事件 P(Y < 15) 的概率。
i 1 n
如上例：总体 X ~ b(1,p)，概率分布为：P(X = x) = (1 – p)1 – x p x (x = 0,1) 则样本 (X1,X2,…,Xn) 的联合分布为：
P( X 1 x1 , X n xn ) p x1 (1 p)1 x1 p xn (1 p)1 xn p i1 (1 p)
数理统计课后答案-第一章
3
2
5
5
可以看作是有 15 个空位子， 每个班级各有 5 个 解法二 将 15 名新生平均分配到三个班级， 空位子。从这 15 个空位子中任意选 3 个位子放运动员（其余位子自然是放非运动员，可不 考虑） ，共有 C15 种不同做法。 （1） 每个班级各有一名运动员， 相当于从每个班级的 5 个空位子中任意选 1 个位子放运 动员，有 C 5 C 5 C 5 种不同做法，所以，
k =0
a
3 k −3 e ≥ 0.99 。 k =0 k !
a
直接计算或查书后附录中普阿松分布的概率表，可以求得：
8 3 k −3 3 k −3 e ≈ 0 . 988 < 0 . 99 ， e ≈ 0.996 > 0.99 。 ∑ ∑ k = 0 k! k = 0 k! 7
由此可见，月初至少要进货 8 件，才能以 99% 以上的概率满足顾客的需要。 已知随机变量 ξ 的概率密度为 ϕ ( x ) = Ae
1.5 无线通信中，由于随机干扰，当发出信号为“ • ”时，收到信号为“ • ” 、 “不清” 、 “—” 的概率分别为 0.7、0.2 和 0.1；当发出信号为“—”时，收到信号为“—” 、 “不清” 、 “• ” 的概率分别为 0.9、 0.1 和 0.如果整个发报过程中 “• ” 、 “—” 出现的概率分别为 0.6 和 0.4， 当收到信号“不清”时，原发信号是什么？试加以推测. 解 设 A = { 收到“不清”}， B = { 发出“·”}， B = { 发出“-”}，由题意可知，
1 2 C1 C k −1 C k2−1 于 k 的 k − 1 个球中取 2 个球，所以 P{ξ = k} = = （ k = 3, 4, 5 ） 。 3 10 C5
数理统计第一章
n
例1.4 总体X~B(1,p),0<p<1,写出其样本的联合概率函数
总体
样品
X ~ P ( X x ) p ( 1 p ) ( x 0 ,1 )
x 1 x
X ~ P ( X x ) p ( 1 p ) , ( x 0 ,1. i 1,2 , , n )
xi 1 x i i i i
全部信息。 一个好的统计方法，是使由局部推断出的有关整体的信 息尽可能地准确。
第一章
数理统计的基本概念
第一节 随机样本
一.总体与个体
1.总体 在一个统计问题中，把所研究对象的全体称为总体。
构成总体的每个成员称为个体。
如：例一中的一大批灯泡叫总体。而每个灯泡叫做个体。 把含有有限个个体的总体称为有限总体 把含有无限个个体的总体称为无限总体
在数理统计学中，我们总是对随机现象进行有限 次的观察或试验，以获取数据。通过对数据的分析与 推断去寻找隐藏在数据中的统计规律性。 由于是对随机现象进行观察或试验，因此，观察或 试验数据是带有随机性的。为此需要我们从中尽可能地 排除随机性的干扰，以作出合理的推断。 数理统计是研究怎样以有效的方式收集、 整理和分 析带有随机性的数据，在此基础上，对所研究的问题作 出统计推断，直至对可能作出的决策提供依据和建议。
则其简单随机样本的联合分布函数为
F ( x )F ( x )F ( x ) F ( x )
1 2 n
n
（2）若总体X为连续随机变量，概率密度函数为f(x), 样品X i 的概率密度函数为 f ( xi ), (i 1,2,, n)
i 1
i
则样本 ( X1, X 2 , X n ) 的联合概率密度函数为
概率论与数理统计1完整(完整版)ppt课件
.
19
定义 当随机试验的样本空间是某个区域,并且任 意一点落在度量 (长度, 面积, 体积) 相同的子区域 是等可能的,则事件 A 的概率可定义为
P(A) m(A)
m()
(其中 m()是样本空间,m 的 (A)度 是量 构成事 A 件 的子区域的 )这度样量借助于几量 何来 上合 的理 度 规定的概率 几称 何为 概 . 率
对偶律: A B A B;
A B AB.
证明 对偶律.
.
13
例.事件 A、B、C两两互不相 则容 有，
ABC 反之 不成 立
例. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件A1,A2,A3分别表示 甲、乙、丙射中，试说明下列事件所表示的结果：
A 2,A 2 A 3, A 1A 2, A 1 A 2, A 1A 2A 3, A 1A 2 A 2A 3 A 1A 3.
.
16
例1. 袋中装有4只白球和2只红球. 从袋中摸球两次,每次任取一球.有两种式: (a)放回抽样; (b)不放回抽样.
求: (1)两球颜色相同的概率; (2)两球中至少有一只白球的概率.
例2. 设一袋中有编号为1,2,…,9的球共9只, 现从中任取3 只, 试求: (1)取到1号球的概率,（事件A） (2)最小号码为5的概率.（事件B）
A-BAAB
显然: A-A=, A- =A, A-S=
s
A B
(4)AB
.
10
5.事件的互不相容(互斥):
若 AB,则A 称 与 B 是 互 不 ,或 相 互 容 ,即 斥
A 与 B 不能同 . 时发生
B
A B
A
.
11
6. 对立事件(逆事件)： 若ABS且A B，则A称 与B互为逆事件
概率论与数理统计 第一章
故n lg 0.01 1150 lg 0.996
1.8伯努利概型
例1
某药物对某病的治愈率为0.8，求10位服药的 病人中至少有6人治愈的概率。
10
解：设A表示至少有6人治愈
P(A) P10 (k)
k 6
＝P10(6)+P10(7)+P10(8)+P10(9)+P10(10)
故 P(A) 1
C
7 35
1 0.000000148 6724520
若B表示中一等奖(对6个号码) B的样本点数为
1 1
CC
7
6
1 28
故 P(B) C7C28 0.0000292 7
C
35
例3
生日问题：随机地选取n个人，他们的生日各不 相同的概率有多大？
解：相当于从365个数字中有放回地随机抽取n个 样本点总数为 365n
P(A)P(B | A)P(C | AB) P( A)P( B | A)P(C | AB) 4 3 2 4 6 3 6 4 3 6 4 3 6 5 4 10 9 8 10 9 8 10 9 8 10 9 8 10 9 8
288 0 .4 720
解法一： 每局双方获胜的可能性均为
1 2
应按照比赛双方最终获胜的可能性分赌注， 即在余下的四局中甲赢得2局以上即可。 甲最终获胜的概率为 P4(2)+P4(3)+P4(4)
11 1 1 1 1 1 C2 C3 4 4 2 2 2 2 2 16
A1 U A2 U A3
解： 三次全部取到合格品：1 A2 A3 A
《概率论与数理统计》第一章知识小结
附加知识：排列组合知识小结：一、计数原理1•加法原理：分类计数。
2•乘法原理：分步计数。
二、排列组合1 •排列数(与顺序有关):A"' = n(ti—1)(/1 —2)…(“—m + l),(/n M ii)A：二〃!，=女口：4^ = 7x6x5x4x3=2520, 5!= 5x 4x 3x2x 1= 1202•组合数(与顺序无关)：如：C4=< = 7x6x5x4 = 3 C S=C；.5= C；=Z X6=214! 4x3x2xl 2x13•例题：(1)从1, 2, 3, 4, 5这五个数字中，任取3个数字，组成一个没有重复的3位数，共有_^ = 5x4x3 = 60_种取法。
(2)从0, 1, 2, 3, 4这五个数字中，任取3个数字，组成一个没有重复的3位数，共有_AX = 4x4x3 = 48_种取法。
(3)有5名同学照毕业照，共有_^ = 5x4x3x2xl=120—种排法。
(4)有5名同学照毕业照，其中有两人要排在一起，那么共有—A2^ = (2xl)x(4x 3x2x1)= 48 种排法。
(5)袋子里有8个球，从中任意取出3个，共有_C；—种取法。
(6)袋子里有8个球，5个白球，3个红球。
从中任意取岀3个，取到2个白球1个红球的方法有_ __________ 种。
8x7x63x2x1第一章、基础知识小结一、随机事件的关系与运算1•事件的包含设A, B为两个事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B 包含于A,记作Bu4。
2.和事件事件=A,B中至少有一个发生“为事件A与B的和事件，记作AUB 或A+B。
性质：（1） AuAUBEuAUE；（2）若Ac B,则AUB = B3•积事件：事件A,B同时发生，为事件A与事件B的积事件，记作AQB 或AB。
性质：（1）AB CZ A9AB CZ B；（2）若AuB,则AB= A4•差事件：書件A发生而B不发生为事件A与B事件的差事件，记作A-B（AB）O性质：（1） A—BuA；（2）若AuB,则A—B = 05•互不相容事件：若事件A与事件B不能同时发生，即AB = <P,则称事件A与事件B是互不相容的两个事件，简称A与B互不相容（或互斥）。
概率论与数理统计第1章
例5：某人连续三次购买体育彩票，每次一张， 令A、B、C分别表示其第一、二、三次所买的 彩票中奖事件，试用A、B、C表示下列事件： (1) 第三次未中奖； (2) 只有第三次中了奖； (3) 恰有一次中奖； (4) 至少有一次中奖； (5) 不止一次中奖； (6) 至多中奖两次。
18
§1.3 概率的古典意义
例2： A1 ＝“2个样品中有一个次品”； A2 ＝“2个样品全是次品”； B ＝“2个样品中至少有一个次品”, 求 A2 , B。
16
例3：p.11，第3题。
例4：掷骰子，A=“掷出奇数点”；B=“点数 不
超过3”；C=“点数大于2”；A D=“A C掷出5点”。
求 A∪B；B∪C；AB；BD； ； ； A－B；B－A。
26
2、具体例子 ⑴ 设有20个某种零件，其中16个为一级品， 4个为二级品，现从中任取三个，求： ① 只有一个一级品的概率； ② 至少有一个一级品的概率。
⑵ 从0、1、2、3这4个数字中任取3个进行排 列，求“取得的3个数字排成的数是三位数且 是偶数”的概率。
27
⑶ 一口袋中有5红2白7个球，从袋中任取一
2
例1：判断下列现象为随机现象还是决定性现 象？ (1) 扔一枚分币； (2) 从93个产品（其中90正3次）中抽取一个 产品； (3) 在标准大气压下将水加热至100℃必沸腾；
(4) 火箭速度超过第一宇宙速度就会摆脱地球 引力而飞出地球。
3
二、随机试验与样本空间 定义：概率论中将对随机现象的观察或为观察 随机现象而进行的试验称为随机试验，它应具 备以下三个特征： ⑴ 每次试验的可能结果不止一个，且事先明确 知道试验的所有可能性结果。 ⑵ 进行试验之前不能确定哪一个结果会发生。 ⑶ 试验可以在相同条件下重复进行。 随机试验简称试验，用英文字母E表示。 4
应用数理统计第一章数理统计的基本概念
设 ( X1 , X 2 ,, X n )为总体 X 的一个
T 样本， ( X1, X 2 ,, X n ) 为 ( X1 , X 2, , X n )
的函数，且除依赖于样本外，不依赖于 任何其它的未知量。 则 T ( X1 , X 2 ,, X n ) 称为统计量.
23
例5 设X～N(μ,σ2),μ已知,σ>0未知, (X1，X2,…,Xn)为X的一个样本。则
总体:数量指标 X 所有可能值的全体 个体:数量指标 X 的每一个值 X 可以是一维，也可以是多维 例1 研究某厂生产的一批灯泡使用寿命 例2 研究北京理工大学学生的身高和体重
3
由于每个个体的出现是随机的， 所以相应的数量指标的出现也带有 随机性. 从而可以把这种数量指标
看作一个随机变量.
因此，随机变量的分布就是该数 量指标在总体中的分布.
13
总体(理论分布)？
样本
样本观察值
统计是从手中已有的资料—样本观察 值，去推断总体的情况---总体分布F(x) 的性质. 样本 是联系二者的桥梁
14
2 样本分布
(1)设总体X的分布函数 F ( x) P( X x)
( X1 , X 2 ,, X n ) 的联合分布函数
F x1 , x2 ,, xn P X1 x1 , X 2 x2 ,, X n xn
2
解:由于X N (, ), 其概率密度函数为
2
( x )2 1 f ( x; , 2 ) exp 2 2 2
17
因此，样本 ( X1, X 2 ,, X n ) 的联合概率密 度函数为
f ( xi ; , 2 )
i 1 n
数理统计学简史第一章部分
（2）
此处可看做n 2时的全概率公式 即e r 1, r 2 =e r 1-1, r 2 e r 1, r 2 | r 1-1, r 2 +e r 1, r 2-1 e r 1, r 2 | r1, r 2 1 = e r 1 1, r 2 e r 1, r 2 1 2
是由于那个时代对频率与概率的关系，特别是“频率逼近概率”尚 无所认识。
BEA Confidential. | 12
§1.2分赌本问题
A、B二人赌博,各出注金a元.每局各人获胜的概率均为 1 , 2 约定:谁先胜S 局，即赢得全部注金2a元.现进行到A胜 S 1局, B胜 S 2局 S 1和S 2都小于S 时赌博因故停止，问此时注金2a 应该如何分配给A和B, 才算公平？
§1.3巴斯噶与费尔马的通信
费尔马(费马)
•费尔马（P.de
Fermat,1601-1665）是一个17世纪的法国律师，被称为 “业余数学家之王”。之所以称业余，是由于费马具有律师的全职工作。
•解析几何：用代数方法对阿波罗尼奥斯关于轨迹的一些失传的证明作了
补充，对古希腊几何学，尤其是阿波罗尼奥斯圆锥曲线论进行了总结和 整理，并于1630年用拉丁文撰写了仅有八页的论文《平面与立体轨迹引 论》。
•微积分：费马建立了求切线、求极大值和极小值以及定积分方法，对微
积分做出了重大贡献。
•概率论：与巴斯噶在1654年7-10月间来往的7封信件中讨论了赌博问题 •数论：费马大定理
不存在整数x, y, z, xyz 0和整数n 3, 使xn y n 0成立
BEA Confidential. | 17
e r1, r 2
2014年 同济大学 应用统计 第一章 数理统计的基本概念
2
n
n 1 2 ， （ 2） E ( S ) n
2
（ 3） E ( S )
*2
2
B (1, p )
期望 E(X)
P ( )
R ( a, b)
E ( )
N ( , 2 )
p p(1 p)
ab 2
(b a ) 2 12
ab 2
1
1
2
方差 D(X) 样本均值的 期望 E ( X ) 样本均值的 方差 D ( X )
所以我们希望从客观存在的总体中按 一定原则选取一些个体（即抽样），通过 对这些个体作观察或测试来推断关于总体 分布中的某些量（例如总体的参数、均值、 方差、中位数等）. 这些抽取的个体便称为取自总体 的一个样本，这些个体的观测值称为样本 观测值.
在试验前，样本的取值是不确定的，为了 体现随机性，在数理统计中样本记作 （ X 1 , X 2 ,, X n ） ，事实上是 n 维随机变量.样本 可能取值的全体称为样本空间；n 为样本大小，称为样 本容量. 抽样以后通过试验或观测得到的数值称为样本观 测值，记作 ( x1 , , x n ) ，事实上是样本空间的一个点
1 n 2 ( X X ) 修正的样本方差 S i n 1 i 1
*2
常用的统计量
（3）样本的 K 阶原点矩
1 n k Ak ＝ X i n i 1
（4）样本的 K 阶中心矩
(A1 X )
1 n k 2 M k ＝ ( X i X ) (M 2 S ) n i 1
总体指标 X ： X ~ f ( x, ) 或 f ( x)
X :离散型随机变量,
f ( x, ) ˆ P ( X x) 即为总体 X 的概率函数
课件-数理统计与多元统计 第一章 数理统计的基本概念 1.4统计量的分布
1 1
一、样本均值的分布
1、单个正态总体下的样本均值的分布
定理1.4.1 设总体X 服从正态总体N (, 2 ), X1, X2 ,
L
, Xn ,为来自X的一个样本，则样本均值X
1 n
n i 1
t0.99 (48),
t0.05 (15),
2
t0.05 (15) 1.753, t0.95 (15) t0.05 (15) 1.753,
t0.01(48) 2.33, t0.99 (48) t0.01(48) 2.33,
t 0.05 (15) 2.131
2
27
四、F-分布
1、F分布的定义 定义1.4.5 若随机变量X的密度函数为
F
X Y
n1 n2
~
F (n1 , n2 )
即F服从自由度为n1, n2的F分布F (n1, n2 )。
31
4、 F分布的上分位点 定义1.4.6 对于给定的正数，0 1, 称满足条件
P{F (n1, n2 ) F (n1, n2 )}
的F (n1, n2 )为F分布的上 分位点。
注：由F分布性质可知
表以供查阅。
例如
2 0.05
(26)
38.885
2 0.95
(26)
15.379
19
注2： 2分 布 表 一 般 只 列 到n 45， 对 于n 45时 ， 由 中 心 极 限 定 理 ， 可 得 2分 布 的 上分 位 点2 (n)
的近似值为
2 (n) 12（z 2n 1)2
其中z为N (0,1)的上分位点。
概率论与数理统计第一章课件
所有样本点的平均值
样本方差
描述样本点离散程度的量
无偏估计
样本统计量的值等于总体参数的真实值
t分布与F分布
t分布
用于描述小样本数据的分布情况，也 称学生t分布
F分布
用于描述两个比例的方差之间的比例 关系
04
参数估计
点估计与估计量
点估计
用样本统计量来估计未知参数的 过程。
估计量
用于估计未知参数的样本统计量。
假设检验的分类单侧检验、双侧检验。来自 单侧与双侧检验单侧检验
01
只关注参数的一个方向是否满足假设，如检验平均值是否大于
某个值。
双侧检验
02
关注参数的两个方向是否满足假设，如检验平均值是否在两个
值之间。
单侧与双侧检验的选择
03
根据实际问题需求和数据特征选择合适的检验方式。
显著性检验与P值
显著性检验
通过比较样本数据与理论分布，判断样本数据是否显著地偏离理 论分布。
P值
观察到的数据或更极端数据出现的概率，用于判断是否拒绝或接 受假设。
P值的解读
P值越小，表明数据越显著地偏离理论分布，假设越可能不成立。
第一类错误与第二类错误
1 2
第一类错误
拒绝实际上成立的假设，也称为假阳性错误。
第二类错误
接受实际上不成立的假设，也称为假阴性错误。
3
错误率控制
通过调整临界值的大小，可以控制第一类错误和 第二类错误的概率，从而实现错误率控制。
通过参数估计，还可以对生产过 程进行实时监控和预警，及时发 现并解决生产中的问题，保证生
产的稳定性和可靠性。
假设检验在医学研究中的应用
假设检验是数理统计中的一种 重要方法，在医学研究中有着
《概率论与数理统计》第一章知识点
第一章随机事件及概率1.1随机事件1.1.1随机试验一、人在实际生活中会遇到两类现象：1.确定性现象：在一定条件下实现与之其结果。
2.随机现象（偶然现象）：在一定条件下事先无法预知其结果的现象。
二、随机试验满足条件：1.实验可以在相同条件写可以重复进行；（可重复性）2.事先的所有可能结果是事先明确可知的；（可观察性）3.每次实验之前不能确定哪一个结果一定会出现。
（不确定性）1.1.2样本空间1.样本点：每次随机试验E 的每一个可能的结果，称为随机试验的一个样本点，用w 表示。
2.样本空间：随机试验E 的所有样本点组成的集合成为试验E 的样本空间。
1.1.3随机事件1.随机事件：一随机事件中可能发生也可能不发生的事件称为试验的随机事件。
2.基本事件：试验的每一可能的结果称为基本事件。
一个样本点w 组成的单点集{w}就是随机试验的基本事件。
3.必然事件：每次实验中必然发生的事件称为必然事件。
用Ω表示。
样本空间是必然事件。
4.不可能事件：每次试验中不可能发生的事件称为不可能事件，用空集符号表示。
1.1.4事件之间的关系和运算1.事件的包含及相等“如果事件A 发生必然导致事件B 发生”，则称事件B 包含事件A ，也称事件A 是B 的子事件，记作A B B A ⊃⊂或。
2.事件的和（并⋃）“事件A 与B 中至少有一个事件发生”，这样的事件称为事件A 与B 的和事件，记作B A 。
3.事件的积（交⋂）“事件A 与B 同时发生”，这样的事件称作事件A 与B 的积（或交）事件，记作AB B A 或 。
4.事件的差“事件A 发生而事件B 不发生”，这样的事件称为事件A 与B 的差事件，记作A-B 。
5.事件互不相容（互斥事件）“事件A 与事件B 不能同时发生”，也就是说，AB 是一个不可能事件，即=AB 空集，即此时称事件A 与事件B 是互不相容的（或互斥的）6.对立事件“若A 是一个事件，令A A -Ω=,称A 是A 的对立事件，或称为事件A 的逆事件”事件A 与事件A 满足关系：=A A 空集，Ω=A A 对立事件一定是互斥事件；互斥事件不一定是对立事件。
概率论与数理统计第一章——随机事件及概率
ex2: 从0,1,2,3,4,5, 这六个数字中任取四 个，问能组成多少个四位偶数?
解：组成的四位数是偶数,要求末位为0,2或
4,可先选末位数,共P31 种,前三位数的选取方法有
P53 种,而0不能作首位,所以所组成的偶数个数为
P1 P3 − P1 P1 P2 = 156 (个)
◼ 为方便起见，记Φ为不可能事件，Φ不 包含任何样本点。
(三) 事件的关系及运算 ❖事件的关系（包含、相等）
1A B：事件A发生一定导致B发生
2A＝B
A B
B A
B A
例：
✓ 记A={明天天晴}，B={明天无雨} B A ✓ 记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车}
B A
✓ 抛两颗均匀的骰子，两颗骰子出现的点数分别 记为x,y.记A={x+y为奇数}，B={两次的骰子点
A
B
n Ai：A1, A2,An至少有一发生
i=1
n Ai：A1, A 2 ,An同时发生
i =1
✓当AB= Φ时，称事件A与B是互不相
容的，或互斥的。
A
B
A A= A B =
A的逆事件记为A, A A =
, 若 A B =
,
称A, B互逆(互为对立事件)
AA
A
B
事件A对事件B的差事件：
◼可以在相同条件下重复进行(重复性)； ◼事先知道所有可能出现的结果（明确性）； ◼每次试验前并不知道哪个试验结果会发生 （随机性）。
例： ❖抛一枚硬币，观察试验结果； ❖对某路公交车某停靠站登记下车人数； ❖对某批同型号灯泡，抽取其中一只测 验其使用寿命（按小时计）。
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Remark 可以把复杂的变量简化为简单变量，反之不行 数值变量 → 顺序变量 → 分类变量
变量组合与相应的统计分析方法 自变量 x 分类变量 顺序变量 数值变量 因 分类变量 卡方分析 变 顺序变量 ↑ 量 y 数值变量 方差分析 ← 秩方法 ↑ 回归与相关 ← 回归与相关
三. 常用统计软件简介
简单的说，从概率论的角度出发， 可以把上述数理统计学的过程理解成： 有一个含有未知信息的概率分布 F
针对 F 做了 n 次独立重复的试验与观察， 得到 n 个独立同分布于 F 的随机变量的取值
根据样本的具体观察值，去推断出总体 F 所包含的未知信息，或作出进一步的决策等
问题二：如何分析与处理变量之间的关系？ 简 单 复 杂 分类变量：如性别、信仰、职业等等， 顺序变量：如名次(第一、第二，…)， 数值变量：如收入、比例、产量等等
1. 抽样理论：介绍如何收集数据。主要
抽样方法，样本容量的确定，抽样误差， 敏感问题等
2. 参数估计：如何根据数据得到总体参数
信息。点估计、区间估计，Bayes 估计等
3. 假设检验： 如何对关于总体的一些假设
做出决策。正态总体参数的检验，分布拟合 检验，秩检验，列联表，统计决策等理论
4. 方差分析与回归分析：变量间效应关系。
1. 随机变量 X ：离散型、连续型
样本空间到实数轴的函数 分布律与概率密度函数
2. 随机变量与随机事件的关系
( a ≤ X ＜ b ) 是一个随机事件； A 是否发生可以通过两点分布表示
3. 分布函数 F(x)
也就是概率：P(X＜x ) 离散随机变量的分布函数是阶梯型跳跃函数， 对满足(xk＜ x )的所有 pk 求和得到。 连续随机变量的分布函数是(0,1) 之间的非 降单调函数， 对满足( t ＜ x )的密度函数 f(t) 积分得到。
两个离散随机变量的独立性
4. 二维正态与多元正态分布
5. 条件分布：条件概率的推广
从 f (x|θ ) 到 h(θ | x )
θ 是一个具有分布h(θ) 的随机变量，如果 X 关于θ 具有条件分布 f (x|θ ) ，则X 与θ 的 联合分布是 h(θ)× f (x|θ ) 。
2. SAS
Statistical Analysis System (统计分析系统软件包) 广泛应用于经济管理、社会科学、生物医学、 质量控制、以及政府和教育科研等领域， 在数据处理和统计分析领域，SAS 被誉为 国际上的标准软件系统。
3. EXCEL 统计函数
计算统计量： AVERAGE，MEDIAN，VAR，CORREL ,… 计算区间点：TINV，CHIINV，… 计算概率( p-值)： NORMSDIST，CHIDIST， TDIST，FDIST，… 回归分析：LINEST，……
1. 概率 P(A)
随机事件在一次试验中发生的可能性 频率定义、主观概率 概率的数学定义： 样本空间中的一些子集到实数轴的一个集合 函数，满足：非负性、规范性、可列可加性
2. 条件概率 P(B|A) 3. 概率计算的一些公式
加法公式 减法公式 乘法公式 全概率公式 Bayes 公式
三. 随机变量及分布
3. 如何从样本得出总体的信息 ？
样本是一组与总体独立、同分布的随机变量， 我们得到的数据是样本观察值，而不是样本。 调查一个家庭得到了一个数据，相当于 对总体分布做了一次随机试验而观察到了这 个随机变量的具体取值。 一共有 n 个数据，相当于对总体分布做了 n 次独立重复试验，而得到了这个总体随机变 量在这些试验中的具体取值。
0， x ≤ x(1) k — ， x(k) ＜ x ≤ x(k+1) n 1， x ＞ x(n)
这个函数实际上是观察值 x1，…，xn中 小于 x 的频率，即 Fn (x) = { x1，…，xn中小于 x 的个数} / n
y
…
2/n 1/n O ○ x(1) x(2) x(3) x ○
可以证明，经验分布函数 Fn (x) 将依概率、 甚至是几乎处处收敛到 F (x) 。
参数估计
数理统计学最重要的内容之一
利用样本观察值去估计出总体的未知参数 直观上可以利用调查到的 n 个家庭的月支出 x1 ,x2 ,…,xn 的算术平均 ：
1 n x = ∑ xk n k =1
去估计这个城市家庭的平均月支出费用 µ 。 它的合理性在哪？ 还有没有其它的办法？ 这些不同的方法各有什么样的优缺点？
把 (a，b) 等分成 若干小区间，计算 每个小区间中包含 的数据的频率。
x(1) x(n)
根据这些频率做出相应的小区间上的矩形， 则当 n 充分大时，这些小区间上矩形的面积将近 似于总体的概率密度函数下曲边梯形的面积。
(2). 经验分布函数的方法 构造一个分布函数，得到的是总体 分布函数 F (x) 的近似。 Fn (x) =
1. SPSS
Statistical Package for the Social Science (社会科学统计软件包) Statistical Product and Service Solutions (统计产品与服务解决方案) 用户遍布于通讯、医疗、银行、证券、 保险、制造、商业、市场研究、科研教育 等多个领域和行业，是世界上应用最广泛 的专业统计软件。
(数理) 统计学中的数据都是随机数据。 统计学的任务就是在随机性中去寻找规律。
一. 统计学的基本概念
1. 总体与个体 (population)
统计学中把所研究的对象全体称为总体， 总体中的每一个元素称为一个个体。 总体与个体都用数量指标来表示 即使面临的是一个定性的实际问题， 也必须把有关的资料定量化。 例如总体分成：抽烟与不抽烟两类。 0 表示 抽烟者； 1 表示 不抽烟者。
假设检验
数理统计学最重要的内容之一
事先提出一个假设，利用样本观察值去 检验这个假设是否可以被接受 政府和企业共同关心的一个问题：
µ ＞ µ0 ？
这里 µ0 是一个已知的常数。
应该如何去做这个检验？ 一种想法是：既然已经通过参数估计得到了这 个城市家庭月平均支出 ( 即总体的参数 µ ) 的估计 值，自然就可以用它代替假设里的 µ 去做检验： 当估计值比 µ0 大就本总是随机得到的， 因此估计值与真实值之间不可避免地存在着随 机误差。 传统的方法是：给出一个区域 (拒绝域)， 如果估计值落在这个区域内，就拒绝原来的 假设，否则就接受。
总体 样本
……..
具有代表性的 部分个体 被研究的对象全体
定义1.1.1 X 是具有分布函数 F 的一个随机变量， 如果 X1，X2 ，…，Xn 是有同一分布函数 F 的 相互独立的随机变量，则称： X1，X2 ，…，Xn 是从总体 F ( 总体 X ) 中得到 的容量为 n 的简单随机样本，简称为 样本。 这些样本随机变量各自具体的取值： x1，x2 ，…，xn 称为是总体随机变量 X 的样本观察值。 样本的函数称为是统计量。
2. 样本 (sample)
从总体中取出一个个体，称为从 总体中得到一个样本。 由于各种原因与实际条件的限制，不 可能得到一个总体中所有个体的数据。即 样本总是总体的一小部分。 但同时在直观上又认为、或者希望做到： 抽取出的每个个体 (样本) 都充分蕴涵总体信息。 统计学的目的就是从样本去得出总体的信息。
《应用数理统计》
孙 平 东北大学数学系
plsun@
1. 预 备 知 识
2.参数 估计
4.方差 分析
3.假设 检验
5.回归 分析
第1章 预备知识
第1.1节 基本概念与主要内容 第1.2节 概率论基础 第1.3节 统计量与抽样分布
统计学 ( Statistics ) 是一门收集与分析数据， 并且根据数据进行推断的艺术与科学。 ———— 《大英百科全书》 统计学理论主要包含三个部分： 1.数据收集，2.数据分析，3.由数据做出决策。
Remark 当不知道或者难以确定总体的分布类型时，在 统计学中常常采用下面两种办法来近似得到总体 分布的有关信息。 (1). 直方图的方法 只适用连续总体，得到的是总体密度函数近似。 把收集到的 n 个数据 x1，x2 ，…，xn 从小 到大排列： x(1) ≤ x(2) ≤ … ≤ x(n) ；其次取 区间 (a，b)，包含全部数据 a ＜ x(1) ，x(n) ＜ b ；
回归与相关分析
数理统计学重要应用之一
讨论数值变量之间的效应关系问题 一元线性回归 比如说，想了解儿子身高与父亲身高之间的关系。 在每个被调查的家庭中同时获得这两个变量的 观察值，分析它们是否有某种(函数)关系，… 多元线性回归 例如，钢的去碳量与不同矿石、融化时间、 炼钢炉体积等等是否有关？关系如何？…
1. 如何得到样本 ？
抽样调查
不同阶层背景的家庭比例应该各占多少？ 样本容量应该取多少才合适？被调查者拒绝调 查怎么办？
2. 如何确定总体的分布 ？
根据经验或者是所讨论的问题的实际背 景，总体的分布类型一般可以事先确定下来。 这里的总体是这个城市的家庭月支出费 用，我们有充分理由认为家庭月支出费用是 一个服从正态分布的随机变量。 即，总体随机变量 X ~ N (µ,σ2 ) ，而这 个城市相应的两个参数 µ 与 σ 2 是未知的。 ( 不同城市对应的这两个参数也就不相同 )
利用统计方法去处理数据时，有两个必须 要解决的问题： (1) 数据量太大，因此计算复杂、繁琐； (2) 能够应用的方法很多，因此需要反复比较 不同的统计方法，找出综合的解决方案。 统计软件包(Statistical Package) 涵盖了应用 广泛、使用频率很高的各种统计方法，是针对 统计数据的特点而专门设计的软件包。
除了对总体参数的检验外，还有一些 重要的假设检验问题，例如： 关于总体分布的检验 分布拟合检验
检验得到的样本数据是不是来自于 某个事先给出的总体 独立性的检验 检验一些分类变量之间是否是独立的， 例如： 抽烟与肺癌，睡觉打鼾与心脏病…