初中数学几何最值问题

关于线段最短问题在几何中的运用之课前预习指导探索

三界中学 杨良举

在初中平面几何的动态问题中，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为几何最值问题.近年来，成都中考题常通过几何最值问题考查学生的实践操作能力、空间想象能力、分析问题和解决问题的能力.本文针对不同类型的几何最值问题作一总结与分析.最值问题也学生在解决时比较困难，失分比较严重的题型，因此结合我们校实际，把《几何最值问题》作为我校的微课题研究，下面就最值问题的解决方法研究如下：

案例分析

一、应用几何性质

1.三角形的三边关系

例1 如图1，90MON ∠=︒，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边,OM ON 上.当分在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中2,1AB BC ==，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为( )

(A) 1 (B) (c) 5

(D)52

分析 如图1，取AB 的中点E ，连结,,OE DE OD .

OD OE DE ≤+Q ,

∴当,,O D E 三点共线时，点D 到点O 的距离最大，此时，2,1AB BC ==, 1

12

OE AE AB ∴===.DE ==

OD ∴1. 故选A.

2.两点间线段最短

例2 如图2，圆柱底面半径为2cm,高为9πcm ，点,A B 分别是回柱两底面圆周

上的点，且,A B 在同一母线上，用一棉线从A 顺着圆柱侧面绕3圈到B ，求棉线长度最短为 .

分析 如图3，将圆柱展开后可见，棉线最短是三条斜线的长度，第一条斜线与

底面圆周长、圆柱的三分之一高组成直角三角形.

由周长公式知底面圆一周长为4πcm ，圆柱的三分之一高为3πcm ，根据勾股定理，得一条斜线长为5πcm ，根据平行四边形的性质，棉线长度最短为15πcm.

3.垂线段最短

例3 如图4，点A 的坐标为(1,0)-，点B 在直线y x =运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为（ ）

(A)(0,0) (B)11(,)22-- (C) (D)(

分析 如图4，过点A 作'AB OB ⊥，垂足为点'B ，过'B 作'B C x ⊥轴，垂足为C .由垂线段最短可知，当'B 与点B 重合时，AB 最短.

∵点B 在直线y x =上运动，

∴'AOB V 是等腰直角三角形

∴'B CO V 为等腰直角三角形

∵点A 的坐标为(1,0)-，

111'1222

OC CB OA ∴===⨯=， B ∴的坐标为11(,)22

-- ∴当线段AB 最短时，点B 的坐标为11(,)22

-- 故选B.

4.利用轴对称(放牛问题)

例4 如图5，正方形ABCD ，4AB =，E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上一动点，则PE PB +的最小值为 .

分析 连结DE ，交BD 于点P ，连结BD .

∵点B 与点D 关于AC 对称，

∴DE 的长即为PE PB +的小值

4AB =Q ，E 是BC 的中点，

2CE ∴=

在Rt CDE V 中

DE ==

二、代数证法

1.利用配方法

例5 如图6是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8米，怎样才能得出最大面积，使得窗户透光最好?

分析 设x 表示半圆半径，y 表示矩形边长AD ，则有228x y x π++=, 于是，822

x y π--= ①

若窗户的最大面积为S ，则

2122

S xy x π=+ ② 把①代入②，有

2821222

x S x x ππ--=+g 2221822

x x x x ππ=--+ 28(2)2

x x π=-+ 24832()244x πππ

+=--+++ 324π

≤+. 上式中，只有84x π

=+时，等号成立. 这时，由①有

8818(82)4424y x ππππ

=--⨯==+++g g ， 即当窗户周长一定时，窗户下部矩形宽恰为半径时，窗户面积最大.

通过以上的研究，我们可以总结出在几何最值方面归纳为以下几点：两点之间线段最短，三角形三边的关系，垂线段最短，轴对称问题（放牛问题），二次函数框架法，但近几年来在几何最值方面几乎都是以放牛问题为解决问题的载体，因此在教学过程中我们应加强学生的引导，让学生去感知问题的转化，从而提高学生的解决问题的能力.