初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)
初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)
初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)全等变换平移:平行等线段(平行四边形)对称:角平分线或垂直或半角旋转:相邻等线段绕公共顶点旋转说明:以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线,形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换,产生了解。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
说明:上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称(翻折),翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
半角:有一个角含1/2角及相邻线段自旋转:有一对相邻等线段,需要构造旋转全等共旋转:有两对相邻等线段,直接寻找旋转全等中点旋转:倍长中点相关线段转换成旋转全等问题说明:旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角,通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起,成对称全等。
构造方法:遇60度旋60度,造等边三角形遇90度旋90度,造等腰直角遇等腰旋顶点,造旋转全等遇中点旋180度,造中心对称说明:旋转中所成的全等三角形,第三边所成的角是一个经常考察的内容。
通过“8”字模型可以证明。
说明:模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化,另外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时,先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点,围绕公共顶点找到两组相邻等线段,分组组成三角形证全等。
说明:两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点,证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。
证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边,转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形(或者正方形)公旋转顶点,通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
对称最值(两点间线段最短)说明:通过对称进行等量代换,转换成两点间距离及点到直线距离。
说明:找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段,定长线段的和为最大值,定长线段的差为最小值。
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初中数学几何模型大全+经典题型(含答案) 初中数学几何模型大全及经典题型(含答案)全等变换平移:平行线段平移形成平行四边形。
对称:以角平分线、垂线或半角作轴进行对称,形成对称全等。
旋转:相邻等线段绕公共顶点旋转形成旋转全等。
对称半角模型通过翻折将直角三角形对称成正方形、等腰直角三角形或等边三角形。
旋转全等模型半角:相邻等线段所成角含1/2角及相邻线段。
自旋转:通过旋转构造相邻等线段的旋转全等。
共旋转:通过寻找两对相邻等线段构造旋转全等。
中点旋转:将倍长中点相关线段转换成旋转全等问题。
模型变形当遇到复杂图形找不到旋转全等时,先找两个正多边形或等腰三角形的公共顶点,围绕公共顶点找到两组相邻等线段,分组组成三角形证全等。
几何最值模型对称最值:通过对称进行等量代换,转换成两点间距离及点到直线距离。
旋转最值:找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段,定长线段的和为最大值,定长线段的差为最小值。
剪拼模型通过中点的180度旋转及平移改变图形的形状,例如将三角形剪拼成四边形或将矩形剪拼成正方形。
正方形的边长可以通过射影定理来求解。
假设正方形的边长为x,那么正方形的对角线长为x√2.将正方形分成两个等腰直角三角形,可以得到等腰直角三角形的斜边长为x√2/2.因此,根据射影定理,可以得到等腰直角三角形的高为x/2,进而得到正方形的边长为x=x√2/2.通过平移和旋转,可以将一个正方形变成另一个正方形。
这可以通过旋转相似模型来实现。
例如,两个等腰直角三角形可以通过旋转全等来实现形状的改变,而两个有一个角为300度的直角三角形可以通过旋转相似来实现形状的改变。
更一般地,两个任意相似的三角形可以通过旋转成一定角度来实现旋转相似,其中第三边所成夹角符合旋转“8”字的规律。
在相似证明中,需要注意边和角的对应关系。
相等的线段或比值在证明相似时可以通过等量代换来构造相似三角形。
另外,从三垂线到射影定理的演变,再到内外角平分线定理,需要注意它们之间的相同和不同之处。
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完整版)初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)通过将倍长中点相关线段进行旋转变换,可以构造出旋转全等模型。
这种模型的特点是,将相邻等线段所成角的一半旋转后拼接在一起,形成对称全等。
同时,也可以通过将两个等腰三角形或正多边形的夹角进行变化,来构造出模型变形。
如果遇到复杂图形找不到旋转全等,可以先找到两个正多边形或等腰三角形的公共极点,然后围绕公共极点找到两组相邻等线段,分组组成三角形证全等。
幂定理可以用等线段、等比值、等乘积进行代换,从而将两个数之间的比值转换成乘积。
在相似证明中,常用的辅助线是平行线,根据题目条件来确定比值并做出相应的平行线。
题目一:在半圆中,圆心为O,圆上有点C、E,CD垂直于AB,EF垂直于AB,EG垂直于CO。
证明CD等于GF。
题目二:在正方形ABCD内部,点P满足∠PAD=∠PDA=15度。
证明△PBC是正三角形。
题目三:在图中,ABCD、A1B1C1D1都是正方形,A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点。
证明A2B2C2D2是正方形。
题目四:在四边形ABCD中,AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC的延长线交MN于E、F。
证明∠DEN=∠F。
题目五:在△ABC中,H为垂心,O为外心,且OM垂直于BC于M。
1)证明AH等于2OM;2)如果∠BAC等于60度,证明AH等于AO。
1.设P为正三角形ABC内任意一点,连接PA,PB,PC,由三角形不等式可得PA+PB>AB。
PB+PC>BC。
PC+PA>CA。
将三式相加得到2PA+2PB+2PC>AB+BC+CA=3,即PA+PB+PC>3/2.又由于P到三角形三边的距离不超过1,所以PA+PB+PC<3,综上可得1.5≤PA+PB+PC<3,即所求不等式成立。
2.设P为正方形ABCD内任意一点,连接PA,PB,PC,PD。
由于正方形四边相等,所以PA+PC=2,PB+PD=2.又由于P到四边的距离不超过1,所以PA+PB+PC+PD<4.将前两式相加得到PA+PB+PC+PD=2(PA+PB)/2+2(PC+PD)/2≥2√(PA·PB)+2√(PC·P D)。
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初中数学几何模型大全+ 经典题型(含答案)全等变换平移:平行等线段(平行四边形)对称:角平分线或垂直或半角旋转:相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型说明:以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线,形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换,产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型说明:上图依次是 45 °、30 °、22.5 °、15 °及有一个角是 30 °直角三角形的对称(翻折),翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
旋转全等模型半角:有一个角含1/2 角及相邻线段自旋转:有一对相邻等线段,需要构造旋转全等共旋转:有两对相邻等线段,直接寻找旋转全等中点旋转:倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明:旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角,通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起,成对称全等。
自旋转模型构造方法:遇60 度旋 60 度,造等边三角形遇90 度旋 90 度,造等腰直角遇等腰旋顶点,造旋转全等遇中点旋 180 度,造中心对称共旋转模型说明:旋转中所成的全等三角形,第三边所成的角是一个经常考察的内容。
通过“ 8”字模型可以证明。
模型变形说明:模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化,另外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时,先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点,围绕公共顶点找到两组相邻等线段,分组组成三角形证全等。
中点旋转:说明:两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点,证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。
证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边,转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形(或者正方形)公旋转顶点,通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
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初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)之吉白夕凡创作全等变换平移:平行等线段(平行四边形)对称:角平分线或垂直或半角旋转:相邻等线段绕公共顶点旋转说明:以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线,形成对称全等.两边进行边或者角的等量代换,产生联系.垂直也可以做为轴进行对称全等.说明:上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称(翻折),翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等.半角:有一个角含1/2角及相邻线段自旋转:有一对相邻等线段,需要机关旋转全等共旋转:有两对相邻等线段,直接寻找旋转全等中点旋转:倍长中点相关线段转换成旋转全等问题说明:旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角,通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起,成对称全等.机关办法:遇60度旋60度,造等边三角形遇90度旋90度,造等腰直角遇等腰旋顶点,造旋转全等遇中点旋180度,造中心对称说明:旋转中所成的全等三角形,第三边所成的角是一个经常考察的内容.通过“8”字模型可以证明.说明:模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变更,另外是等腰直角三角形与正方形的混用.当遇到庞杂图形找不到旋转全等时,先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点,围绕公共顶点找到两组相邻等线段,分组组成三角形证全等.说明:两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点,证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形.证明办法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边,转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形(或者正方形)公旋转顶点,通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证.对称最值(两点间线段最短)说明:通过对称进行等量代换,转换成两点间距离及点到直线距离.说明:找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段,定长线段的和为最大值,定长线段的差为最小值.三角形→四边形四边形→四边形说明:剪拼主要是通过中点的180度旋转及平移改动图形的形状.说明:通过射影定理找到正方形的边长,通过平移与旋转完成形状改动说明:两个等腰直角三角形成旋转全等,两个有一个角是300角的直角三角形成旋转相似.推广:两个任意相似三角形旋转成一定角度,成旋转相似.第三边所成夹角合适旋转“8”字的规律.说明:注意边和角的对应,相等线段或者相等比值在证明相似中起到通过等量代换来机关相似三角形的作用.说明:(1)三垂直到一线三等角的演变,三等角以30度、45度、60度形式出现的居多.(2)内外角平分线定理到射影定理的演变,注意之间的相同与不合之处.另外,相似、射影定理、相交弦定理(可以推广到圆幂定理)之间的比值可以转换成乘积,通过等线段、等比值、等乘积进行代换,进行证明得到需要的结论.说明:相似证明中最经常使用的帮助线是做平行,按照题目的条件或者结论的比值来做相应的平行线.初中数学经典几何题(附答案)经典难题(一)1、已知:如图,O 是半圆的圆心,C 、E 是圆上的两点,CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥CO.求证:CD =GF .(初二)2、已知:如图,P 是正方形ABCD 内点,∠PAD=∠PDA=150. 求证:△PBC 是正三角形.(初二)3、如图,已知四边形ABCD 、A1B1C1D1都是正方形,A2、B2、C2、D2辨别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点.求证:四边形A2B2C2D2是正方形.(初二) A P CDB4、已知:如图,在四边形ABCD 中,AD =BC,M 中点,AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F .求证:∠DEN=∠F.经典难题(二) 1、已知:△ABC 中,H 为垂心(各边高线的交点)于M .(1)求证:AH =2OM ;(2)若∠BAC=600,求证:AH =AO .(初二) 2、设MN 是圆O 外一直线,过O 作OA⊥MN 于线,交圆于B 、C 及D 、E,直线EB 及CD 求证:AP =AQ .(初二) 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内, 设MN 是圆O 的弦,过MN 的中点A EB 辨别交MN 于P 、Q .求证:AP =AQ .(初二) 4、如图,辨别以△ABC 的AC 和BC 为一边,ACDE 和正方形CBFG,点P 是EF 的中点.求证:点P 到边AB 的距离等于AB 的一半.(初二)1、如图,四边形ABCD 求证:CE =CF .(初二)2、如图,四边形ABCD 延长线于F .求证:AE =AF .(初二)3、设P 是正方形求证:PA =PF .4、如图,PC 切圆O 于直线PO 相交于B 、D 1、已知:△ABC =5.求:∠APB 的度数.2、设P 是平行四边形求证:∠PAB=∠PCB.(初二)3、设ABCD 为圆内接凸四边形,求证:AB·C D +AD·BC=AC·BD.(初三)4、平行四边形ABCD 中,设E 、F 辨别是BC 、AB 上的一点,AE 与CF相交于P,且AE =CF .求证:∠DPA=∠DPC.(初二)经典难题(五)1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点,L =PA +PB +PC,求证:≤L<2.2、已知:P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点,求PA +PB +PC 的最小值.3、P 为正方形ABCD 内的一点,并且PA =a,PB =2a,PC =3a,求正方形的边长. P A DCB CB DAF P DE CB A A PC B A PDA CB P D4、如图,△ABC 中,∠ABC=∠ACB=800,D 、E 辨别是AB 、AC 上的点,∠DCA=300,∠EBA=200,求∠BED 的度数.经典难题(一)1.如下图做GH⊥AB,连接EO.由于GOFE∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得EO GF =GO GH =CO CD ,又CO=EO,. 2. 如下图做△DGC 使与△ADP 全等,可得△PDG 为等边△,从而可得△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG=150 所以∠DCP=300 ,从而得出△PBC 是正三角形3.如下图连接BC1和AB1辨别找其中点F,E.连接C2F 与A2E 并延长相交于Q 点,连接EB2并延长交C2Q 于H 点,连接FB2并延长交A2Q 于G 点, 由A2E=12A1B1=12B1C1= FB2 ,EB2=12AB=12BC=FC1 ,又∠GFQ+∠Q=900和∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ 又∠B2FC2=∠A2EB2 , 可得△B2FC2≌△A2EB2 ,所以A2B2=B2C2 ,又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2 ,从而可得∠A2B2 C2=900 ,同理可得其他边垂直且相等,从而得出四边形A2B2C2D2是正方形.4.如下图连接AC 并取其中点Q,连接QN 和QM,所以可得∠QMF=∠F,∠QNM=∠DEN 和∠QMN=∠QNM,从而得出∠DEN=∠F.经典难题(二)1.(1)延长AD 到F 连BF,做OG⊥AF,又∠F=∠ACB=∠BHD,可得BH=BF,从而可得HD=DF,又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)连接OB,OC,既得∠BOC=1200,从而可得∠BOM=600,所以可得OB=2OM=AH=AO,得证.3.作OF⊥CD,OG⊥BE,连接OP,OA,OF,AF,OG,AG,OQ.由于22ADAC CD FD FD AB AE BE BG BG ,由此可得△ADF≌△ABG,从而可得∠AFC=∠AGE.又因为PFOA 与QGOA 四点共圆,可得∠AFC=∠AOP 和∠AGE=∠AOQ,∠AOP=∠AOQ,从而可得AP=AQ.4.过E,C,F 点辨别作AB 所在直线的高EG,CI,FH.可得PQ=2EGFH .由△EGA≌△AIC,可得EG=AI,由△BFH≌△CBI,可得FH=BI. 从而可得PQ=2AI BI =2AB,从而得证.经典难题(三)1.顺时针旋转△ADE,到△ABG,连接CG.由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350从而可得B,G,D 在一条直线上,可得△AGB≌△CGB. 推出AE=AG=AC=GC,可得△AGC 为等边三角形.∠AGB=300,既得∠EAC=300,从而可得∠A EC=750. 又∠EFC=∠DFA=450+300=750.可证:CE=CF.2.连接BD 作CH⊥DE,可得四边形CGDH 是正方形.由AC=CE=2GC=2CH,可得∠CEH=300,所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150,又∠FAE=900+450+150=1500,从而可知道∠F=150,从而得出AE=AF.3.作FG⊥CD,FE⊥BE,可以得出GFEC为正方形.令AB=Y ,BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X .tan∠BAP=tan∠EPF=XY =ZY X Z,可得YZ=XY-X2+XZ,即Z(Y-X)=X(Y-X) ,既得X=Z ,得出△ABP≌△PEF ,得到PA=PF ,得证 .经典难题(四)1.顺时针旋转△ABP 600 ,连接PQ ,则△PBQ是正三角形.可得△PQC是直角三角形.所以∠APB=1500 .2.作过P点平行于AD的直线,并选一点E,使AE∥DC,BE∥PC.可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP,可得:AEBP共圆(一边所对两角相等).可得∠BAP=∠BEP=∠BCP,得证.3.在BD取一点E,使∠BCE=∠ACD,既得△BEC∽△ADC,可得:BE BC =ADAC,即AD•BC=BE•AC, ①又∠ACB=∠DCE,可得△ABC∽△DEC,既得AB AC =DE DC ,即AB•CD=DE•AC, ②由①+②可得: AB•CD+AD•BC=AC(BE+DE)= AC·BD ,得证.4.过D 作AQ⊥AE ,AG⊥CF ,由ADE S=2ABCD S =DFC S ,可得: 2AE PQ=2AE PQ,由AE=FC.可得DQ=DG,可得∠DPA=∠DPC(角平分线逆定理).经典难题(五)1.(1)顺时针旋转△BPC 600 ,可得△PBE 为等边三角形.既得PA+PB+PC=AP++PE+EF 要使最小只要AP,PE,EF 在一条直线上,即如下图:可得最小L= ;(2)过P 点作BC 的平行线交AB,AC 与点D,F.由于∠APD>∠ATP=∠ADP,推出AD>AP ①又BP+DP>BP ②和PF+FC>PC ③又DF=AF ④由①②③④可得:最大L< 2 ;由(1)和(2)既得:≤L<2 .2.顺时针旋转△BPC 600 ,可得△PBE 为等边三角形.既得PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要AP,PE,EF 在一条直线上, 即如下图:可得最小PA+PB+PC=AF.既得213(1)42 = 23= 4232 2(31)2 = 2(31)2 622 .3.顺时针旋转△ABP 900 ,可得如下图:既得正方形边长2222(2)()22a 522a.4.在AB 上找一点F,使∠BCF=600 ,连接EF,DG,既得△BGC 为等边三角形,可得∠DCF=100 , ∠FCE=200 ,推出△ABE≌△ACF , 得到BE=CF , FG=GE .推出 : △FGE 为等边三角形 ,可得∠AFE=800 ,既得:∠DFG=400①又BD=BC=BG ,既得∠BGD=800 ,既得∠DGF=400②推得:DF=DG ,得到:△DFE≌△DGE ,从而推得:∠FED=∠BED=300 .时间:二O二一年七月二十九日。
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初中数学几何模型大全+ 经典题型(含答案)全等变换平移:平行等线段(平行四边形)对称:角平分线或垂直或半角旋转:相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型说明:以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线,形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换,产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型说明:上图依次是 45°、 30°、°、 15°及有一个角是 30°直角三角形的对称(翻折),翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
旋转全等模型半角:有一个角含1/2 角及相邻线段自旋转:有一对相邻等线段,需要构造旋转全等共旋转:有两对相邻等线段,直接寻找旋转全等中点旋转:倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明:旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角,通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起,成对称全等。
自旋转模型构造方法:遇60 度旋 60 度,造等边三角形遇90 度旋 90 度,造等腰直角遇等腰旋顶点,造旋转全等遇中点旋 180 度,造中心对称共旋转模型说明:旋转中所成的全等三角形,第三边所成的角是一个经常考察的内容。
通过“ 8”字模型可以证明。
模型变形说明:模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化,另外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时,先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点,围绕公共顶点找到两组相邻等线段,分组组成三角形证全等。
中点旋转:说明:两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点,证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。
证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边,转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形(或者正方形)公旋转顶点,通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
2024年中考复习-专题14 几何综合六种模型(解析版)
专题14几何综合六种模型通用的解题思路:题型一:两垂一圆构造直角三角形模型平面内有两点A,B,再找一点C,使得ABC为直角三角形分类讨论:若∠A=90°,则点C在过点A且垂直于AB的直线上(除点A外);若∠B=90°,则点C在过点B且垂直于AB的直线上(除点B外);若∠C=90°,则点C在以AB为直径的圆上(除点A,B外).以上简称“两垂一圆”.“两垂一圆”上的点能构成直角三角形,但要除去A,B两点.题型二:两圆一中垂构造等腰三角形模型分类讨论:若AB=AC,则点C在以点A为圆心,线段AB的长为半径的圆上;若BA=BC,则点C在以点B为圆心,线段AB的长为半径的圆上;若CA=CB,则点C在线段AB的垂直平分线PQ上以上简称“两圆一中垂”“两圆一中垂”上的点能构成等腰三角形,但是要除去原有的点A,B,还要除去因共线无法构成三角形的点MN 以及线段AB中点E(共除去5个点)需要注意细节题型三:胡不归模型【模型解读】一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1,在直线MN 上运动的速度为V 2,且V 1<V 2,A 、B 为定点,点C 在直线MN 上,确定点C 的位置使21AC BC V V +的值最小.(注意与阿氏圆模型的区分)1)121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭,记12V k V =,即求BC +kAC 的最小值.2)构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ,CH k AC =,CH =kAC ,将问题转化为求BC +CH 最小值.3)过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ,交AD 于H 点,此时BC +CH 取到最小值,即BC +kAC 最小.【解题关键】在求形如“PA +kPB ”的式子的最值问题中,关键是构造与kPB 相等的线段,将“PA +kPB ”型问题转化为“PA +PC ”型.(若k >1,则提取系数,转化为小于1的形式解决即可)。
中考数学:初中数学几何模型大全+经典题型含答案
初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)全等变换平移:平行等线段(平行四边形)对称:角平分线或垂直或半角旋转:相邻等线段绕公共顶点旋转说明:以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线,形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换,产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型说明:上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称(翻折),翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
旋转全等模型半角:有一个角含1/2角及相邻线段自旋转:有一对相邻等线段,需要构造旋转全等共旋转:有两对相邻等线段,直接寻找旋转全等中点旋转:倍长中点相关线段转换成旋转全等问题说明:旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角,通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起,成对称全等。
自旋转模型构造方法:遇60度旋60度,造等边三角形遇90度旋90度,造等腰直角遇等腰旋顶点,造旋转全等遇中点旋180度,造中心对称共旋转模型说明:旋转中所成的全等三角形,第三边所成的角是一个经常考察的内容。
通过“8”字模型可以证明。
模型变形说明:模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化,另外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时,先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点,围绕公共顶点找到两组相邻等线段,分组组成三角形证全等。
说明:两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点,证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。
证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边,转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形(或者正方形)公旋转顶点,通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
几何最值模型对称最值(两点间线段最短)对称最值(点到直线垂线段最短)说明:通过对称进行等量代换,转换成两点间距离及点到直线距离。
(完整版)初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)
初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)全等变换平移:平行等线段(平行四边形)对称:角平分线或垂直或半角旋转:相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型说明:以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线,形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换,产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型说明:上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称(翻折),翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
旋转全等模型半角:有一个角含1/2角及相邻线段自旋转:有一对相邻等线段,需要构造旋转全等共旋转:有两对相邻等线段,直接寻找旋转全等中点旋转:倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明:旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角,通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起,成对称全等。
自旋转模型构造方法:遇60度旋60度,造等边三角形遇90度旋90度,造等腰直角遇等腰旋顶点,造旋转全等遇中点旋180度,造中心对称共旋转模型说明:旋转中所成的全等三角形,第三边所成的角是一个经常考察的内容。
通过“8”字模型可以证明。
模型变形说明:模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化,另外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时,先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点,围绕公共顶点找到两组相邻等线段,分组组成三角形证全等。
中点旋转:说明:两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点,证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。
证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边,转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形(或者正方形)公旋转顶点,通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
几何最值模型对称最值(两点间线段最短)对称最值(点到直线垂线段最短)说明:通过对称进行等量代换,转换成两点间距离及点到直线距离。
初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)
初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)之老阳三干创作全等变换平移:平行等线段(平行四边形)对称:角平分线或垂直或半角旋转:相邻等线段绕公共顶点旋转说明:以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线,形成对称全等.两边进行边或者角的等量代换,产生联系.垂直也可以做为轴进行对称全等.说明:上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称(翻折),翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等.半角:有一个角含1/2角及相邻线段自旋转:有一对相邻等线段,需要机关旋转全等共旋转:有两对相邻等线段,直接寻找旋转全等中点旋转:倍长中点相关线段转换成旋转全等问题说明:旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角,通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起,成对称全等.机关办法:遇60度旋60度,造等边三角形遇90度旋90度,造等腰直角遇等腰旋顶点,造旋转全等遇中点旋180度,造中心对称说明:旋转中所成的全等三角形,第三边所成的角是一个经常考察的内容.通过“8”字模型可以证明.说明:模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变更,另外是等腰直角三角形与正方形的混用.当遇到庞杂图形找不到旋转全等时,先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点,围绕公共顶点找到两组相邻等线段,分组组成三角形证全等.说明:两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点,证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形.证明办法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边,转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形(或者正方形)公旋转顶点,通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证.对称最值(两点间线段最短)说明:通过对称进行等量代换,转换成两点间距离及点到直线距离.说明:找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段,定长线段的和为最大值,定长线段的差为最小值.三角形→四边形四边形→四边形说明:剪拼主要是通过中点的180度旋转及平移改动图形的形状.说明:通过射影定理找到正方形的边长,通过平移与旋转完成形状改动说明:两个等腰直角三角形成旋转全等,两个有一个角是300角的直角三角形成旋转相似.推广:两个任意相似三角形旋转成一定角度,成旋转相似.第三边所成夹角合适旋转“8”字的规律.说明:注意边和角的对应,相等线段或者相等比值在证明相似中起到通过等量代换来机关相似三角形的作用.说明:(1)三垂直到一线三等角的演变,三等角以30度、45度、60度形式出现的居多.(2)内外角平分线定理到射影定理的演变,注意之间的相同与不合之处.另外,相似、射影定理、相交弦定理(可以推广到圆幂定理)之间的比值可以转换成乘积,通过等线段、等比值、等乘积进行代换,进行证明得到需要的结论.说明:相似证明中最经常使用的帮助线是做平行,按照题目的条件或者结论的比值来做相应的平行线.初中数学经典几何题(附答案)经典难题(一)1、已知:如图,O 是半圆的圆心,C 、E 是圆上的两点,CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥CO.求证:CD =GF .(初二)2、已知:如图,P 是正方形ABCD 内点,∠PAD=∠PDA=150. 求证:△PBC 是正三角形.(初二)3、如图,已知四边形ABCD 、A1B1C1D1都是正方形,A2、B2、C2、D2辨别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点.求证:四边形A2B2C2D2是正方形.(初二) A P CDB4、已知:如图,在四边形ABCD 中,AD =BC,M 中点,AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F .求证:∠DEN=∠F.经典难题(二) 1、已知:△ABC 中,H 为垂心(各边高线的交点)于M .(1)求证:AH =2OM ;(2)若∠BAC=600,求证:AH =AO .(初二) 2、设MN 是圆O 外一直线,过O 作OA⊥MN 于线,交圆于B 、C 及D 、E,直线EB 及CD 求证:AP =AQ .(初二) 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内, 设MN 是圆O 的弦,过MN 的中点A EB 辨别交MN 于P 、Q .求证:AP =AQ .(初二) 4、如图,辨别以△ABC 的AC 和BC 为一边,ACDE 和正方形CBFG,点P 是EF 的中点.求证:点P 到边AB 的距离等于AB 的一半.(初二)1、如图,四边形ABCD 求证:CE =CF .(初二)2、如图,四边形ABCD 延长线于F .求证:AE =AF .(初二)3、设P 是正方形求证:PA =PF .4、如图,PC 切圆O 于直线PO 相交于B 、D 1、已知:△ABC =5.求:∠APB 的度数.2、设P 是平行四边形求证:∠PAB=∠PCB.(初二)3、设ABCD 为圆内接凸四边形,求证:AB·C D +AD·BC=AC·BD.(初三)4、平行四边形ABCD 中,设E 、F 辨别是BC 、AB 上的一点,AE 与CF相交于P,且AE =CF .求证:∠DPA=∠DPC.(初二)经典难题(五)1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点,L =PA +PB +PC,求证:≤L<2.2、已知:P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点,求PA +PB +PC 的最小值.3、P 为正方形ABCD 内的一点,并且PA =a,PB =2a,PC =3a,求正方形的边长. P A DCB CB DAF P DE CB A A PC B A PDA CB P D4、如图,△ABC 中,∠ABC=∠ACB=800,D 、E 辨别是AB 、AC 上的点,∠DCA=300,∠EBA=200,求∠BED 的度数.经典难题(一)1.如下图做GH⊥AB,连接EO.由于GOFE∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得EO GF =GO GH =CO CD ,又CO=EO,. 2. 如下图做△DGC 使与△ADP 全等,可得△PDG 为等边△,从而可得△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG=150 所以∠DCP=300 ,从而得出△PBC 是正三角形3.如下图连接BC1和AB1辨别找其中点F,E.连接C2F 与A2E 并延长相交于Q 点,连接EB2并延长交C2Q 于H 点,连接FB2并延长交A2Q 于G 点, 由A2E=12A1B1=12B1C1= FB2 ,EB2=12AB=12BC=FC1 ,又∠GFQ+∠Q=900和∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ 又∠B2FC2=∠A2EB2 , 可得△B2FC2≌△A2EB2 ,所以A2B2=B2C2 ,又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2 ,从而可得∠A2B2 C2=900 ,同理可得其他边垂直且相等,从而得出四边形A2B2C2D2是正方形.4.如下图连接AC 并取其中点Q,连接QN 和QM,所以可得∠QMF=∠F,∠QNM=∠DEN 和∠QMN=∠QNM,从而得出∠DEN=∠F.经典难题(二)1.(1)延长AD 到F 连BF,做OG⊥AF,又∠F=∠ACB=∠BHD,可得BH=BF,从而可得HD=DF,又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)连接OB,OC,既得∠BOC=1200,从而可得∠BOM=600,所以可得OB=2OM=AH=AO,得证.3.作OF⊥CD,OG⊥BE,连接OP,OA,OF,AF,OG,AG,OQ.由于22ADAC CD FD FD AB AE BE BG BG ,由此可得△ADF≌△ABG,从而可得∠AFC=∠AGE.又因为PFOA 与QGOA 四点共圆,可得∠AFC=∠AOP 和∠AGE=∠AOQ,∠AOP=∠AOQ,从而可得AP=AQ.4.过E,C,F 点辨别作AB 所在直线的高EG,CI,FH.可得PQ=2EGFH .由△EGA≌△AIC,可得EG=AI,由△BFH≌△CBI,可得FH=BI. 从而可得PQ=2AI BI =2AB,从而得证.经典难题(三)1.顺时针旋转△ADE,到△ABG,连接CG.由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350从而可得B,G,D 在一条直线上,可得△AGB≌△CGB. 推出AE=AG=AC=GC,可得△AGC 为等边三角形.∠AGB=300,既得∠EAC=300,从而可得∠A EC=750. 又∠EFC=∠DFA=450+300=750.可证:CE=CF.2.连接BD 作CH⊥DE,可得四边形CGDH 是正方形.由AC=CE=2GC=2CH,可得∠CEH=300,所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150,又∠FAE=900+450+150=1500,从而可知道∠F=150,从而得出AE=AF.3.作FG⊥CD,FE⊥BE,可以得出GFEC为正方形.令AB=Y ,BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X .tan∠BAP=tan∠EPF=XY =ZY X Z,可得YZ=XY-X2+XZ,即Z(Y-X)=X(Y-X) ,既得X=Z ,得出△ABP≌△PEF ,得到PA=PF ,得证 .经典难题(四)1.顺时针旋转△ABP 600 ,连接PQ ,则△PBQ是正三角形.可得△PQC是直角三角形.所以∠APB=1500 .2.作过P点平行于AD的直线,并选一点E,使AE∥DC,BE∥PC.可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP,可得:AEBP共圆(一边所对两角相等).可得∠BAP=∠BEP=∠BCP,得证.3.在BD取一点E,使∠BCE=∠ACD,既得△BEC∽△ADC,可得:BE BC =ADAC,即AD•BC=BE•AC, ①又∠ACB=∠DCE,可得△ABC∽△DEC,既得AB AC =DE DC ,即AB•CD=DE•AC, ②由①+②可得: AB•CD+AD•BC=AC(BE+DE)= AC·BD ,得证.4.过D 作AQ⊥AE ,AG⊥CF ,由ADE S=2ABCD S =DFC S ,可得: 2AE PQ=2AE PQ,由AE=FC.可得DQ=DG,可得∠DPA=∠DPC(角平分线逆定理).经典难题(五)1.(1)顺时针旋转△BPC 600 ,可得△PBE 为等边三角形.既得PA+PB+PC=AP++PE+EF 要使最小只要AP,PE,EF 在一条直线上,即如下图:可得最小L= ;(2)过P 点作BC 的平行线交AB,AC 与点D,F.由于∠APD>∠ATP=∠ADP,推出AD>AP ①又BP+DP>BP ②和PF+FC>PC ③又DF=AF ④由①②③④可得:最大L< 2 ;由(1)和(2)既得:≤L<2 .2.顺时针旋转△BPC 600 ,可得△PBE 为等边三角形.既得PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要AP,PE,EF 在一条直线上, 即如下图:可得最小PA+PB+PC=AF.既得213(1)42 = 23= 4232 2(31)2 = 2(31)2 622 .3.顺时针旋转△ABP 900 ,可得如下图:既得正方形边长2222(2)()22a 522a.4.在AB 上找一点F,使∠BCF=600 ,连接EF,DG,既得△BGC 为等边三角形,可得∠DCF=100 , ∠FCE=200 ,推出△ABE≌△ACF , 得到BE=CF , FG=GE .推出 : △FGE 为等边三角形 ,可得∠AFE=800 ,既得:∠DFG=400①又BD=BC=BG ,既得∠BGD=800 ,既得∠DGF=400②推得:DF=DG ,得到:△DFE≌△DGE ,从而推得:∠FED=∠BED=300 .时间:二O二一年七月二十九日。
初中数学几何模型大全+经典题型
初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)全等变换平移:平行等线段(平行四边形)对称:角平分线或垂直或半角旋转:相邻等线段绕公共顶点旋转说明:以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线,形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换,产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
说明:上图依次是45°、30°、°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称(翻折),翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
半角:有一个角含1/2角及相邻线段自旋转:有一对相邻等线段,需要构造旋转全等共旋转:有两对相邻等线段,直接寻找旋转全等中点旋转:倍长中点相关线段转换成旋转全等问题说明:旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角,通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起,成对称全等。
构造方法:遇60度旋60度,造等边三角形遇90度旋90度,造等腰直角遇等腰旋顶点,造旋转全等遇中点旋180度,造中心对称说明:旋转中所成的全等三角形,第三边所成的角是一个经常考察的内容。
通过“8”字模型可以证明。
说明:模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化,另外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时,先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点,围绕公共顶点找到两组相邻等线段,分组组成三角形证全等。
说明:两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点,证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。
证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边,转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形(或者正方形)公旋转顶点,通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
对称最值(两点间线段最短)说明:通过对称进行等量代换,转换成两点间距离及点到直线距离。
说明:找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段,定长线段的和为最大值,定长线段的差为最小值。
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两边进行边或者角的等量代换,产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型说明:上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称(翻折),翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
旋转全等模型半角:有一个角含1/2角及相邻线段自旋转:有一对相邻等线段,需要构造旋转全等共旋转:有两对相邻等线段,直接寻找旋转全等中点旋转:倍长中点相关线段转换成旋转全等问题说明:旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角,通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起,成对称全等。
自旋转模型构造方法:遇60度旋60度,造等边三角形遇90度旋90度,造等腰直角遇等腰旋顶点,造旋转全等遇中点旋180度,造中心对称共旋转模型说明:旋转中所成的全等三角形,第三边所成的角是一个经常考察的内容。
通过“8”字模型可以证明。
模型变形说明:模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化,另外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时,先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点,围绕公共顶点找到两组相邻等线段,分组组成三角形证全等。
说明:两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点,证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。
证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边,转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形(或者正方形)公旋转顶点,通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
几何最值模型对称最值(两点间线段最短)对称最值(点到直线垂线段最短)说明:通过对称进行等量代换,转换成两点间距离及点到直线距离。
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两边进行边或者角的等量代换,产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型说明:上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称(翻折),翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
旋转全等模型半角:有一个角含1/2角及相邻线段自旋转:有一对相邻等线段,需要构造旋转全等共旋转:有两对相邻等线段,直接寻找旋转全等中点旋转:倍长中点相关线段转换成旋转全等问题说明:旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角,通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起,成对称全等。
自旋转模型构造方法:遇60度旋60度,造等边三角形遇90度旋90度,造等腰直角遇等腰旋顶点,造旋转全等遇中点旋180度,造中心对称共旋转模型说明:旋转中所成的全等三角形,第三边所成的角是一个经常考察的内容。
通过“8”字模型可以证明。
模型变形说明:模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化,另外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时,先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点,围绕公共顶点找到两组相邻等线段,分组组成三角形证全等。
说明:两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点,证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。
证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边,转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形(或者正方形)公旋转顶点,通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
几何最值模型对称最值(两点间线段最短)对称最值(点到直线垂线段最短)说明:通过对称进行等量代换,转换成两点间距离及点到直线距离。
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两边进行边或者角的等量代换,产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型说明:上图依次是45°、30°、°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称(翻折),翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
旋转全等模型半角:有一个角含1/2角及相邻线段自旋转:有一对相邻等线段,需要构造旋转全等共旋转:有两对相邻等线段,直接寻找旋转全等中点旋转:倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明:旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角,通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起,成对称全等。
自旋转模型构造方法:遇60度旋60度,造等边三角形遇90度旋90度,造等腰直角遇等腰旋顶点,造旋转全等遇中点旋180度,造中心对称共旋转模型说明:旋转中所成的全等三角形,第三边所成的角是一个经常考察的内容。
通过“8”字模型可以证明。
模型变形说明:模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化,另外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时,先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点,围绕公共顶点找到两组相邻等线段,分组组成三角形证全等。
中点旋转:说明:两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点,证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。
证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边,转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形(或者正方形)公旋转顶点,通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
几何最值模型对称最值(两点间线段最短)对称最值(点到直线垂线段最短)说明:通过对称进行等量代换,转换成两点间距离及点到直线距离。
初中数学几何模型大全+经典题型
初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)全等变换平移:平行等线段(平行四边形)对称:角平分线或垂直或半角旋转:相邻等线段绕公共顶点旋转说明:以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线,形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换,产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
说明:上图依次是45°、30°、°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称(翻折),翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
半角:有一个角含1/2角及相邻线段自旋转:有一对相邻等线段,需要构造旋转全等共旋转:有两对相邻等线段,直接寻找旋转全等中点旋转:倍长中点相关线段转换成旋转全等问题说明:旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角,通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起,成对称全等。
构造方法:遇60度旋60度,造等边三角形遇90度旋90度,造等腰直角遇等腰旋顶点,造旋转全等遇中点旋180度,造中心对称说明:旋转中所成的全等三角形,第三边所成的角是一个经常考察的内容。
通过“8”字模型可以证明。
说明:模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化,另外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时,先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点,围绕公共顶点找到两组相邻等线段,分组组成三角形证全等。
说明:两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点,证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。
证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边,转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形(或者正方形)公旋转顶点,通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
对称最值(两点间线段最短)说明:通过对称进行等量代换,转换成两点间距离及点到直线距离。
说明:找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段,定长线段的和为最大值,定长线段的差为最小值。
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两边进行边或者角的等量代换,产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型说明:上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称(翻折),翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
旋转全等模型半角:有一个角含1/2角及相邻线段自旋转:有一对相邻等线段,需要构造旋转全等共旋转:有两对相邻等线段,直接寻找旋转全等中点旋转:倍长中点相关线段转换成旋转全等问题说明:旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角,通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起,成对称全等。
自旋转模型构造方法:遇60度旋60度,造等边三角形遇90度旋90度,造等腰直角遇等腰旋顶点,造旋转全等遇中点旋180度,造中心对称共旋转模型说明:旋转中所成的全等三角形,第三边所成的角是一个经常考察的内容。
通过“8”字模型可以证明。
模型变形说明:模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化,另外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时,先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点,围绕公共顶点找到两组相邻等线段,分组组成三角形证全等。
说明:两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点,证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。
证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边,转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形(或者正方形)公旋转顶点,通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
几何最值模型对称最值(两点间线段最短)对称最值(点到直线垂线段最短)说明:通过对称进行等量代换,转换成两点间距离及点到直线距离。
初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)
初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)全等变换平移:平行等线段(平行四边形)对称:角平分线或垂直或半角旋转:相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型说明:以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线,形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换,产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型说明:上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称(翻折),翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
旋转全等模型半角:有一个角含1/2角及相邻线段自旋转:有一对相邻等线段,需要构造旋转全等共旋转:有两对相邻等线段,直接寻找旋转全等中点旋转:倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明:旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角,通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起,成对称全等。
自旋转模型构造方法:遇60度旋60度,造等边三角形遇90度旋90度,造等腰直角遇等腰旋顶点,造旋转全等遇中点旋180度,造中心对称共旋转模型说明:旋转中所成的全等三角形,第三边所成的角是一个经常考察的内容。
通过“8”字模型可以证明。
模型变形说明:模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化,另外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时,先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点,围绕公共顶点找到两组相邻等线段,分组组成三角形证全等。
中点旋转:说明:两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点,证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。
证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边,转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形(或者正方形)公旋转顶点,通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
几何最值模型对称最值(两点间线段最短)对称最值(点到直线垂线段最短)说明:通过对称进行等量代换,转换成两点间距离及点到直线距离。
初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)
初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)全等变换平移:平行等线段(平行四边形)对称:角平分线或垂直或半角旋转:相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型说明:以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线,形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换,产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型说明:上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称(翻折),翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
旋转全等模型半角:有一个角含1/2角及相邻线段自旋转:有一对相邻等线段,需要构造旋转全等共旋转:有两对相邻等线段,直接寻找旋转全等中点旋转:倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明:旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角,通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起,成对称全等。
自旋转模型构造方法:遇60度旋60度,造等边三角形遇90度旋90度,造等腰直角遇等腰旋顶点,造旋转全等遇中点旋180度,造中心对称共旋转模型说明:旋转中所成的全等三角形,第三边所成的角是一个经常考察的内容。
通过“8”字模型可以证明。
模型变形说明:模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化,另外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时,先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点,围绕公共顶点找到两组相邻等线段,分组组成三角形证全等。
中点旋转:说明:两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点,证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。
证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边,转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形(或者正方形)公旋转顶点,通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
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初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)全等变换平移:平行等线段(平行四边形)对称:角平分线或垂直或半角旋转:相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型说明:以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线,形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换,产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型说明:上图依次是45°、30°、°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称(翻折),翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
旋转全等模型半角:有一个角含1/2角及相邻线段自旋转:有一对相邻等线段,需要构造旋转全等共旋转:有两对相邻等线段,直接寻找旋转全等中点旋转:倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明:旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角,通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起,成对称全等。
自旋转模型构造方法:遇60度旋60度,造等边三角形遇90度旋90度,造等腰直角遇等腰旋顶点,造旋转全等遇中点旋180度,造中心对称共旋转模型说明:旋转中所成的全等三角形,第三边所成的角是一个经常考察的内容。
通过“8”字模型可以证明。
模型变形说明:模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化,另外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时,先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点,围绕公共顶点找到两组相邻等线段,分组组成三角形证全等。
中点旋转:说明:两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点,证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。
证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边,转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形(或者正方形)公旋转顶点,通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
几何最值模型对称最值(两点间线段最短)对称最值(点到直线垂线段最短)说明:通过对称进行等量代换,转换成两点间距离及点到直线距离。
旋转最值(共线有最值)说明:找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段,定长线段的和为最大值,定长线段的差为最小值。
剪拼模型三角形→四边形四边形→四边形说明:剪拼主要是通过中点的180度旋转及平移改变图形的形状。
矩形→正方形说明:通过射影定理找到正方形的边长,通过平移与旋转完成形状改变正方形+等腰直角三角形→正方形面积等分旋转相似模型说明:两个等腰直角三角形成旋转全等,两个有一个角是300角的直角三角形成旋转相似。
推广:两个任意相似三角形旋转成一定角度,成旋转相似。
第三边所成夹角符合旋转“8”字的规律。
相似模型说明:注意边和角的对应,相等线段或者相等比值在证明相似中起到通过等量代换来构造相似三角形的作用。
说明:(1)三垂直到一线三等角的演变,三等角以30度、45度、60度形式出现的居多。
(2)内外角平分线定理到射影定理的演变,注意之间的相同与不同之处。
另外,相似、射影定理、相交弦定理(可以推广到圆幂定理)之间的比值可以转换成乘积,通过等线段、等比值、等乘积进行代换,进行证明得到需要的结论。
说明:相似证明中最常用的辅助线是做平行,根据题目的条件或者结论的比值来做相应的平行线。
初中数学经典几何题(附答案)经典难题(一)1、已知:如图,O是半圆的圆心,C、E是圆上的两点,CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥CO.求证:CD =GF .(初二)2、已知:如图,P 是正方形ABCD 内点,∠PAD =∠PDA =150. 求证:△PBC 是正三角形.(初二)A P CD B AF G C E B O D3、如图,已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形,A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点.求证:四边形A 2B 2C 2D 2是正方形.(初二)4、已知:如图,在四边形ABCD 中,AD =BC ,M 、N 分别是AB 、CD 的中点,AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F .求证:∠DEN =∠F .D 2 C 2 B 2A 2 D 1C 1B 1C BD AA 1 B经典难题(二)1、已知:△ABC 中,H 为垂心(各边高线的交点),O 为外心,且OM ⊥BC 于M .(1)求证:AH =2OM ;(2)若∠BAC =600,求证:AH =AO .(初二)2、设MN 是圆O 外一直线,过O 作OA ⊥MN 于A ,自A 引圆的两条直线,交圆于B 、C 及D 、E ,直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q .求证:AP =AQ .(初二)3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题:设MN是圆O的弦,过MN的中点A任作两弦BC、DE,设CD、EB分别交MN于P、Q.求证:AP=AQ.(初二)Array 4、如图,分别以△ABC的AC和BC为一边,在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG,点P是EF的中点.F 求证:点P到边AB的距离等于AB的一半.(初二)经典难题(三)1、如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,AE=AC,AE与CD相交于F.求证:CE=CF.(初二)2、如图,四边形ABCD 为正方形,DE ∥AC ,且CE =CA ,直线EC 交DA 延长线于F .求证:AE =AF .(初二)3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点,PF ⊥AP ,CF 平分∠DCE .求证:PA =PF .(初二)E4、如图,PC 切圆O 于C ,AC 为圆的直径,PEF 为圆的割线,AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D .求证:AB =DC ,BC =AD .(初三)经典难题(四)1、已知:△ABC 是正三角形,P 是三角形内一点,PA =3,PB =4,PC =5.求:∠APB 的度数.(初二)2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点,且∠求证:∠PAB=∠PCB.(初二)3、设ABCD为圆内接凸四边形,求证:AB·CD+AD·BC=AC·BD.(初三)4、平行四边形ABCD 中,设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点,AE与CF 相交于P ,且AE =CF .求证:∠DPA =∠DPC .(初二)经典难题(五)1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点,L =PA +PB +PC ,求证:≤L <2.2、已知:P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点,求PA +PB +PC 的最小值.3、P 为正方形ABCD 内的一点,并且PA =a ,PB =2a ,PC =3a ,求正方形的边长.F P DE CBAAPCB ACBPDACBPD4、如图,△ABC中,∠ABC=∠ACB=800,D、E分别是AB、AC 上的点,∠DCA=300,∠EBA=200,求∠BED的度数.经典难题(一)1.如下图做GH⊥AB,连接EO。
由于GOFE四点共圆,所以∠GFH =∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得EOGF =GOGH=COCD,又CO=EO,所以CD=GF得证。
2. 如下图做△DGC使与△ADP全等,可得△PDG为等边△,从而可得△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG=150所以∠DCP=300 ,从而得出△PBC是正三角形3.如下图连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F与A2E并延长相交于Q点,连接EB2并延长交C2Q于H点,连接FB2并延长交A2Q于G点,由A2E=12A1B1=12B1C1= FB2 ,EB2=12AB=12BC=FC1 ,又∠GFQ+∠Q=900和∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2,可得△B2FC2≌△A2EB2,所以A2B2=B2C2,又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2 ,从而可得∠A2B2 C2=900 ,同理可得其他边垂直且相等,从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。
4.如下图连接AC并取其中点Q,连接QN和QM,所以可得∠QMF=∠F,∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM,从而得出∠DEN=∠F。
经典难题(二)1.(1)延长AD到F连BF,做OG⊥AF,又∠F=∠ACB=∠BHD,可得BH=BF,从而可得HD=DF,又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)连接OB,OC,既得∠BOC=1200,从而可得∠BOM=600,所以可得OB=2OM=AH=AO,得证。
3.作OF ⊥CD ,OG ⊥BE ,连接OP ,OA ,OF ,AF ,OG ,AG ,OQ 。
由于22AD AC CD FD FDABAEBEBGBG, 由此可得△ADF ≌△ABG ,从而可得∠AFC=∠AGE 。
又因为PFOA 与QGOA 四点共圆,可得∠AFC=∠AOP 和∠AGE=∠AOQ ,∠AOP=∠AOQ ,从而可得AP=AQ 。
4.过E,C,F 点分别作AB 所在直线的高EG ,CI ,FH 。
可得PQ=2EGFH。
由△EGA ≌△AIC ,可得EG=AI ,由△BFH ≌△CBI ,可得FH=BI 。
从而可得PQ=2AI BI=2AB,从而得证。
经典难题(三)1.顺时针旋转△ADE,到△ABG,连接CG.由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350从而可得B,G,D在一条直线上,可得△AGB≌△CGB。
推出AE=AG=AC=GC,可得△AGC为等边三角形。
∠AGB=300,既得∠EAC=300,从而可得∠A EC=750。
又∠EFC=∠DFA=450+300=750.可证:CE=CF。
2.连接BD作CH⊥DE,可得四边形CGDH是正方形。
由AC=CE=2GC=2CH,可得∠CEH=300,所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150,又∠FAE=900+450+150=1500,从而可知道∠F=150,从而得出AE=AF。
3.作FG⊥CD,FE⊥BE,可以得出GFEC为正方形。
令AB=Y ,BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X 。
tan∠BAP=tan∠EPF=XY =ZY X Z,可得YZ=XY-X2+XZ,即Z(Y-X)=X(Y-X) ,既得X=Z ,得出△ABP≌△PEF ,得到PA=PF ,得证。
经典难题(四)1.顺时针旋转△ABP 600,连接PQ ,则△PBQ是正三角形。
可得△PQC是直角三角形。
所以∠APB=1500。
2.作过P点平行于AD的直线,并选一点E,使AE∥DC,BE∥PC.可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP,可得:AEBP共圆(一边所对两角相等)。
可得∠BAP=∠BEP=∠BCP,得证。