树与二叉树的常用算法
二叉树的遍历及常用算法
⼆叉树的遍历及常⽤算法⼆叉树的遍历及常⽤算法遍历的定义:按照某种次序访问⼆叉树上的所有结点,且每个节点仅被访问⼀次;遍历的重要性:当我们需要对⼀颗⼆叉树进⾏,插⼊,删除,查找等操作时,通常都需要先遍历⼆叉树,所有说:遍历是⼆叉树的基本操作;遍历思路:⼆叉树的数据结构是递归定义(每个节点都可能包含相同结构的⼦节点),所以遍历也可以使⽤递归,即结点不为空则继续递归调⽤每个节点都有三个域,数据与,左孩⼦指针和右孩⼦之指针,每次遍历只需要读取数据,递归左⼦树,递归右⼦树,这三个操作三种遍历次序:根据访问三个域的不同顺序,可以有多种不同的遍历次序,⽽通常对于⼦树的访问都按照从左往右的顺序;设:L为遍历左⼦树,D为访问根结点,R为遍历右⼦树,且L必须位于R的前⾯可以得出以下三种不同的遍历次序:先序遍历操作次序为DLR,⾸先访问根结点，其次遍历根的左⼦树，最后遍历根右⼦树，对每棵⼦树同样按这三步(先根、后左、再右)进⾏中序遍历操作次序为LDR,⾸先遍历根的左⼦树，其次访问根结点，最后遍历根右⼦树，对每棵⼦树同样按这三步(先左、后根、再右)进⾏后序遍历操作次序为LRD,⾸先遍历根的左⼦树，其次遍历根的右⼦树，最后访问根结点，对每棵⼦树同样按这三步(先左、后右、最后根)进⾏层次遍历层次遍历即按照从上到下从左到右的顺序依次遍历所有节点,实现层次遍历通常需要借助⼀个队列,将接下来要遍历的结点依次加⼊队列中;遍历的应⽤“遍历”是⼆叉树各种操作的基础，可以在遍历过程中对结点进⾏各种操作，如:对于⼀棵已知⼆叉树求⼆叉树中结点的个数求⼆叉树中叶⼦结点的个数;求⼆叉树中度为1的结点个数求⼆叉树中度为2的结点个数5求⼆叉树中⾮终端结点个数交换结点左右孩⼦判定结点所在层次等等...C语⾔实现:#include <stdio.h>//⼆叉链表数据结构定义typedef struct TNode {char data;struct TNode *lchild;struct TNode *rchild;} *BinTree, BinNode;//初始化//传⼊⼀个指针令指针指向NULLvoid initiate(BinTree *tree) {*tree = NULL;}//创建树void create(BinTree *BT) {printf("输⼊当前结点值: (0则创建空节点)\n");char data;scanf(" %c", &data);//连续输⼊整形和字符时.字符变量会接受到换⾏,所以加空格if (data == 48) {*BT = NULL;return;} else {//创建根结点//注意开辟的空间⼤⼩是结构体的⼤⼩⽽不是结构体指针⼤⼩,写错了不会⽴马产⽣问题,但是后续在其中存储数据时极有可能出现内存访问异常(飙泪....) *BT = malloc(sizeof(struct TNode));//数据域赋值(*BT)->data = data;printf("输⼊节点 %c 的左孩⼦ \n", data);create(&((*BT)->lchild));//递归创建左⼦树printf("输⼊节点 %c 的右孩⼦ \n", data);create(&((*BT)->rchild));//递归创建右⼦树}}//求双亲结点(⽗结点)BinNode *Parent(BinTree tree, char x) {if (tree == NULL)return NULL;else if ((tree->lchild != NULL && tree->lchild->data == x) || (tree->rchild != NULL && tree->rchild->data == x))return tree;else{BinNode *node1 = Parent(tree->lchild, x);BinNode *node2 = Parent(tree->rchild, x);return node1 != NULL ? node1 : node2;}}//先序遍历void PreOrder(BinTree tree) {if (tree) {//输出数据printf("%c ", tree->data);//不为空则按顺序继续递归判断该节点的两个⼦节点PreOrder(tree->lchild);PreOrder(tree->rchild);}}//中序void InOrder(BinTree tree) {if (tree) {InOrder(tree->lchild);printf("%c ", tree->data);InOrder(tree->rchild);}}//后序void PostOrder(BinTree tree) {if (tree) {PostOrder(tree->lchild);PostOrder(tree->rchild);printf("%c ", tree->data);}}//销毁结点递归free所有节点void DestroyTree(BinTree *tree) {if (*tree != NULL) {printf("free %c \n", (*tree)->data);if ((*tree)->lchild) {DestroyTree(&((*tree)->lchild));}if ((*tree)->rchild) {DestroyTree(&((*tree)->rchild));}free(*tree);*tree = NULL;}}// 查找元素为X的结点使⽤的是层次遍历BinNode *FindNode(BinTree tree, char x) {if (tree == NULL) {return NULL;}//队列BinNode *nodes[1000] = {};//队列头尾位置int front = 0, real = 0;//将根节点插⼊到队列尾nodes[real] = tree;real += 1;//若队列不为空则继续while (front != real) {//取出队列头结点输出数据BinNode *current = nodes[front];if (current->data == x) {return current;}front++;//若当前节点还有⼦(左/右)节点则将结点加⼊队列if (current->lchild != NULL) {nodes[real] = current->lchild;real++;}if (current->rchild != NULL) {nodes[real] = current->rchild;real++;}}return NULL;}//层次遍历// 查找元素为X的结点使⽤的是层次遍历void LevelOrder(BinTree tree) {if (tree == NULL) {return;}//队列BinNode *nodes[1000] = {};//队列头尾位置int front = 0, real = 0;//将根节点插⼊到队列尾nodes[real] = tree;real += 1;//若队列不为空则继续while (front != real) {//取出队列头结点输出数据BinNode *current = nodes[front];printf("%2c", current->data);front++;//若当前节点还有⼦(左/右)节点则将结点加⼊队列if (current->lchild != NULL) {nodes[real] = current->lchild;real++;}if (current->rchild != NULL) {nodes[real] = current->rchild;real++;}}}//查找x的左孩⼦BinNode *Lchild(BinTree tree, char x) {BinTree node = FindNode(tree, x);if (node != NULL) {return node->lchild;}return NULL;}//查找x的右孩⼦BinNode *Rchild(BinTree tree, char x) {BinTree node = FindNode(tree, x);if (node != NULL) {return node->rchild;}return NULL;}//求叶⼦结点数量int leafCount(BinTree *tree) {if (*tree == NULL)return 0;//若左右⼦树都为空则该节点为叶⼦,且后续不⽤接续递归了else if (!(*tree)->lchild && !(*tree)->rchild)return 1;else//若当前结点存在⼦树,则递归左右⼦树, 结果相加return leafCount(&((*tree)->lchild)) + leafCount(&((*tree)->rchild));}//求⾮叶⼦结点数量int NotLeafCount(BinTree *tree) {if (*tree == NULL)return 0;//若该结点左右⼦树均为空,则是叶⼦,且不⽤继续递归else if (!(*tree)->lchild && !(*tree)->rchild)return 0;else//若当前结点存在左右⼦树,则是⾮叶⼦结点(数量+1),在递归获取左右⼦树中的⾮叶⼦结点,结果相加 return NotLeafCount(&((*tree)->lchild)) + NotLeafCount(&((*tree)->rchild)) + 1;}//求树的⾼度(深度)int DepthCount(BinTree *tree) {if (*tree == NULL)return 0;else{//当前节点不为空则深度+1 在加上⼦树的⾼度,int lc = DepthCount(&((*tree)->lchild)) + 1;int rc = DepthCount(&((*tree)->rchild)) + 1;return lc > rc?lc:rc;// 取两⼦树深度的最⼤值 }}//删除左⼦树void RemoveLeft(BinNode *node){if (!node)return;if (node->lchild)DestroyTree(&(node->lchild));node->lchild = NULL;}//删除右⼦树void RemoveRight(BinNode *node){if (!node)return;if (node->rchild)DestroyTree(&(node->rchild));node->rchild = NULL;}int main() {BinTree tree;create(&tree);BinNode *node = Parent(tree, 'G');printf("G的⽗结点为%c\n",node->data);BinNode *node2 = Lchild(tree, 'D');printf("D的左孩⼦结点为%c\n",node2->data);BinNode *node3 = Rchild(tree, 'D');printf("D的右孩⼦结点为%c\n",node3->data);printf("先序遍历为:");PreOrder(tree);printf("\n");printf("中序遍历为:");InOrder(tree);printf("\n");printf("后序遍历为:");PostOrder(tree);printf("\n");printf("层次遍历为:");LevelOrder(tree);printf("\n");int a = leafCount(&tree);printf("叶⼦结点数为%d\n",a);int b = NotLeafCount(&tree);printf("⾮叶⼦结点数为%d\n",b);int c = DepthCount(&tree);printf("深度为%d\n",c);//查找F节点BinNode *node4 = FindNode(tree,'C');RemoveLeft(node4);printf("删除C的左孩⼦后遍历:");LevelOrder(tree);printf("\n");RemoveRight(node4);printf("删除C的右孩⼦后遍历:");LevelOrder(tree);printf("\n");//销毁树printf("销毁树 \n");DestroyTree(&tree);printf("销毁后后遍历:");LevelOrder(tree);printf("\n");printf("Hello, World!\n");return 0;}测试:测试数据为下列⼆叉树:运⾏程序复制粘贴下列内容:ABDGHECKFIJ特别感谢:iammomo。
树与二叉树h
SBNode nodes[MAXSIZE]; } SBTree;
举例
结点 左子
右子
1
26 34
1
2
6
2
3
4
3
0
4
4
0
0
4
4
0
0
特点:
6
0
0
找子方便,找父 结点不便.
三、二叉链表存储结构
第一层 第二层
( A ( B ( E (K,L),F),C(G),D( H (M),I,J )))
第四层 第三层
二、基本术语
结点：包括一个数据元素及若干个指向其它子树 的分支；例如，A，B，C，D等。
叶结点：无后件结点为叶结点；如K，L，M。 根结点：无前件的结点为根；例如，A结点。
子结点：某结点后件为该结点的子结点；例如，
方法描述： 从根结点a开始访问， 接着访问左子结点b， 最后访问右子结点c。
即：
根
A 访问根结点 B 先序遍历左子树 C 先序遍历右子树
a
左子 右子
bc
二、中序法（InOrder）
方法描述：
从左子结点b开始访问，
接着访问根结点a，
最后访问右子结点c。
即：
根
A 中序遍历左子树 B 访问根结点 C 中序遍历右子树
计算机学院
自动化学院
各种社会组织机构；
在计算机领域中，用树表示源
程序的语法结构；
2101 2102
2103
在OS中，文件系统、目录等组
织结构也是用树来表示的。
树-二叉树
信息学奥赛培训之『树——二叉树』树——二叉树为何要重点研究二叉树？ 引 ： 为何要重点研究二叉树 ？ （1）二叉树的结构最简单，规律性最强； （2）可以证明，所有树都能转为唯一对应的二叉树，不失一般性。
一、二叉树基础1. 二叉树的定义 二叉树是一类非常重要的树形结构，它可以递归地定义如下： 二叉树 T 是有限个结点的集合，它或者是空集，或者由一个根结点以及分别称为左 子树和右子树的两棵互不相交的二叉树。
因此，二叉树的根可以有空的左子树或空的右子树，或者左、右子树均为空。
二叉树有 5 种基本形态，如图 1 所示。
图1 二叉树的 5 种基本形态在二叉树中，每个结点至多有两个儿子，并且有左、右之分。
因此任一结点的儿子 不外 4 种情况：没有儿子；只有一个左儿子；只有一个右儿子；有一个左儿子并且有一 个右儿子。
注意：二叉树与树和有序树 的区别 二叉树与度数不超过 2 的树不同，与度数不超过 2 的有序树也不同。
在有序树中，11如果将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的，则称该树为有序树，否则称为无序树。
-1-信息学奥赛培训之『树——二叉树』虽然一个结点的儿子之间是有左右次序的，但若该结点只有一个儿子时，就无须区分其 左右次序。
而在二叉树中，即使是一个儿子也有左右之分。
例如图 2-1 中(a)和(b)是两棵 不同的二叉树。
虽然它们与图 2-2 中的普通树(作为无序树或有序树)很相似，但它们却 不能等同于这棵普通的树。
若将这 3 棵树均看作是有序树，则它们就是相同的了。
图2-1 两棵不同的二叉树图2-2 一棵普通的树由此可见，尽管二叉树与树有许多相似之处，但二叉树不是树的特殊情形。
不是 ．．2. 二叉树的性质图3 二叉树性质１： 在二叉树的第 i 层上至多有 2 i −1 结点(i>=1)。
性质２： 深度为 k 的二叉树至多有 2 k − 1 个结点(k>=1)。
性质３： 对任何一棵二叉树 T，如果其终端结点数为 n0,度为 2 的结点数为 n2,则 n0=n2+1。
二叉排序树查找的递归算法
二叉排序树查找的递归算法介绍二叉排序树（Binary Search Tree），也称二叉查找树、有序二叉树或排序二叉树，是一种常用的数据结构。
它具有以下特点：•每个节点都包含一个键值和对应的数据。
•左子树中的所有节点的键值都小于根节点的键值。
•右子树中的所有节点的键值都大于根节点的键值。
•左右子树也分别是二叉排序树。
二叉排序树支持高效的查找、插入和删除操作，其中查找操作是利用递归实现的。
本文将详细介绍二叉排序树查找的递归算法。
二叉排序树的定义二叉排序树的定义如下：class TreeNode:def __init__(self, key, data):self.key = keyself.data = dataself.left = Noneself.right = Noneclass BinarySearchTree:def __init__(self):self.root = None在二叉排序树中，每个节点都是一个TreeNode对象，包含键值key和对应的数据data。
left和right分别指向左子树和右子树的根节点。
树的根节点由BinarySearchTree对象的root属性表示。
二叉排序树查找的递归算法二叉排序树的查找操作是利用递归实现的，其具体算法如下：1.如果待查找的键值等于当前节点的键值，返回当前节点的数据。
2.如果待查找的键值小于当前节点的键值，递归在左子树中查找。
3.如果待查找的键值大于当前节点的键值，递归在右子树中查找。
4.如果在左子树或右子树中找不到对应的键值，则返回空。
下面是二叉排序树查找的递归算法的代码实现：def search_recursive(node, key):if node is None or node.key == key:return node.dataelif key < node.key:return search_recursive(node.left, key)else:return search_recursive(node.right, key)在上述代码中，node表示当前节点，key表示待查找的键值。
查找算法学习常用的查找算法及其时间复杂度
查找算法学习常用的查找算法及其时间复杂度查找算法是计算机科学中非常重要的一种算法，它用于在一组数据中查找指定的元素。
在实际应用中，我们经常需要对大量数据进行查找操作，因此了解不同的查找算法及其时间复杂度对于提高查找效率至关重要。
本文将介绍几种常用的查找算法，并分析它们的时间复杂度。
一、顺序查找算法顺序查找算法是最简单的一种查找算法，也被称为线性查找算法。
它的基本思想是从数据的起始位置开始，一个一个地比较待查找元素和数据中的元素，直到找到匹配的元素或者遍历完所有的元素。
顺序查找算法的时间复杂度为O(n)，其中n表示数据的规模。
由于它需要逐个比较元素，因此在数据规模较大时，效率较低。
二、二分查找算法二分查找算法，也被称为折半查找算法，是一种高效的查找算法。
它的前提是数据必须有序。
基本思想是将待查找的值与中间元素进行比较，如果相等则返回位置，如果不相等则根据大小关系决定继续在左半部分或右半部分进行查找，直到找到匹配的元素或者确定不存在。
二分查找算法的时间复杂度为O(log n)，其中n表示数据的规模。
由于每次查找都将数据规模减半，因此效率非常高。
但是它要求数据必须有序，如果数据无序，需要先进行排序操作。
三、哈希查找算法哈希查找算法是一种常用的查找算法，通过哈希函数将待查找的元素映射到一个桶中，然后在桶中进行查找操作。
它的特点是查找的速度非常快，不受数据规模的影响。
哈希查找算法的时间复杂度近似为O(1)，其中1表示常数时间。
但是它的缺点是需要额外的存储空间来构建哈希表，并且需要解决哈希冲突的问题。
四、二叉查找树算法二叉查找树算法是一种基于二叉树的查找算法，它的特点是左子树的所有节点值小于根节点的值，右子树的所有节点值大于根节点的值。
基于这个特点，可以通过比较待查找元素和当前节点的值来确定查找的方向。
二叉查找树算法的时间复杂度取决于树的高度，如果树的高度为h，则查找的时间复杂度为O(h)。
当二叉查找树退化成链表时，树的高度为n，其中n表示节点的个数，此时查找的时间复杂度为O(n)。
树和二叉树的实验报告
树和二叉树的实验报告树和二叉树的实验报告一、引言树和二叉树是计算机科学中常用的数据结构，它们在各种算法和应用中都有广泛的应用。
本实验旨在通过实际操作和观察，深入了解树和二叉树的特性和操作。
二、树的构建与遍历1. 树的概念和特性树是一种非线性的数据结构，由节点和边组成。
每个节点可以有零个或多个子节点，其中一个节点没有父节点的称为根节点。
树的特点包括层次结构、唯一根节点和无环等。
2. 树的构建在本实验中，我们使用Python语言构建了一棵树。
通过定义节点类和树类，我们可以方便地创建树的实例，并添加节点和连接节点之间的边。
3. 树的遍历树的遍历是指按照一定顺序访问树中的所有节点。
常见的遍历方式有前序遍历、中序遍历和后序遍历。
我们在实验中实现了这三种遍历方式，并观察了它们的输出结果。
三、二叉树的实现与应用1. 二叉树的概念和特性二叉树是一种特殊的树，每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
二叉树的特点包括唯一根节点、每个节点最多有两个子节点和子节点的顺序等。
2. 二叉树的实现我们使用Python语言实现了二叉树的数据结构。
通过定义节点类和二叉树类，我们可以创建二叉树的实例，并实现插入节点、删除节点和查找节点等操作。
3. 二叉树的应用二叉树在实际应用中有很多用途。
例如，二叉搜索树可以用于实现快速查找和排序算法。
AVL树和红黑树等平衡二叉树可以用于高效地插入和删除操作。
我们在实验中实现了这些应用，并通过实际操作验证了它们的效果。
四、实验结果与讨论通过实验，我们成功构建了树和二叉树的数据结构，并实现了它们的基本操作。
通过观察和分析实验结果，我们发现树和二叉树在各种算法和应用中的重要性和灵活性。
树和二叉树的特性使得它们适用于解决各种问题，例如搜索、排序、图算法等。
同时，我们也发现了一些问题和挑战，例如树的平衡性和节点的插入和删除操作等。
这些问题需要进一步的研究和优化。
五、总结本实验通过实际操作和观察，深入了解了树和二叉树的特性和操作。
《数据结构与算法设计》第5章 树
5.2.2 二叉树的性质
➢ 满二叉树和完全二叉树
满二叉树是指深度为h且节点数取得最大值2h-1的二叉树。 如果一棵深度为h的二叉树，除第h层外，其他每层的节点数 都达到最大，且最后一层的节点自左而右连续分布，这样的二 叉树称为完全二叉树。
5.2.2 二叉树的性质
5.2.2 二叉树的性质
性质6 对含有n个节点的完全二叉树自上而下、同一层从左往右 对节点编号0,1,2,…,n-1，则节点之间存在以下关系： （1）若i=0，则节点i是根节点，无双亲；若i>0，则其双亲节 点的编号为i/2-1； （2）若2×i +1≤n，则i的左孩子编号为2×i+1； （3）若2×i+2≤n，则i的右孩子编号为2×i+2； （4）若i>1且为偶数，则节点i是其双亲的右孩子，且有编号为 i-1的左兄弟； （5）若i<n-1且为奇数，则节点i是其双亲的左孩子，且有编号 为i+1的右兄弟。
5.3.3 二叉树的二叉链表类模板定义
//根据二叉树的先序遍历序列和中序遍历序列创建以r为根的二叉树
void CreateBinaryTree(BTNode<DataType> * &r, DataType pre[], DataType
in[], int preStart, int preEnd, int inStart, int inEnd); int Height(BTNode<DataType> *r); //求以r为根的二叉树高度 //求以r为根的二叉树中叶子节点数目
5.1.2 树的术语
（9）节点的层次：从根节点开始，根为第一层，根的孩子为 第二层，根的孩子的孩子为第三层，依次类推，树中任一节 点所在的层次是其双亲节点所在的层次数加1。 （10）堂兄弟：双亲在同一层的节点互为堂兄弟。
树与二叉树典型例题讲解
A
F
B
J
E
F H
G
I J
例6.14
Huffman编码设计实例
已知某系统在通信联络中只可能出现8种字符，其概率分别为0.05， 0.29，0.07，0.08，0.14， 0.23，0.03，0.11，试设计Huffman编码。 解一：先构造Huffman树，再进行编码。 Huffman编码实现过程：以报文所用的不同字符为叶结点，以字符 出现频率为权重构造Huffman树；然后将树中结点指向其左孩子的 分支标“0”，指向其右孩子的分支标“1”；每个字符的编码即为 从根到每个叶子（字符）的路径上得到的0、1序列。这种对字符的 编码就是Huffman编码。
100
0 1
HC
42
0 1 0
58
1
0
1 2
0 1
1 0
1
0
3
1
1 1 0 0 0
1
1 1 0 1 1
1
1 0 1 1
0
1
23
0
19
1
29
1
29
1
11
0
8 5
14
0
15
1
4 5 6 7 8
1
3 Huffman树
7
8 Huffman编码
解二：利用Huffman编码算法实现。根据题意，取8个字符的权分别为 （5，29，7，8，14，23，3，11），n=8，则m=2*8-1=15，按上述 算法可构造一棵Huffman树，如下左图和右图分别Huffman树的初始 状态和终止状态。
a
b b d g e h i c ^ d c ^
f e ^ g
^ ^ ^
数据结构实验三——二叉树基本操作及运算实验报告
《数据结构与数据库》实验报告实验题目二叉树的基本操作及运算一、需要分析问题描述：实现二叉树（包括二叉排序树）的建立，并实现先序、中序、后序和按层次遍历，计算叶子结点数、树的深度、树的宽度，求树的非空子孙结点个数、度为2的结点数目、度为2的结点数目，以及二叉树常用运算。
问题分析：二叉树树型结构是一类重要的非线性数据结构，对它的熟练掌握是学习数据结构的基本要求。
由于二叉树的定义本身就是一种递归定义，所以二叉树的一些基本操作也可采用递归调用的方法。
处理本问题，我觉得应该：1、建立二叉树；2、通过递归方法来遍历（先序、中序和后序）二叉树；3、通过队列应用来实现对二叉树的层次遍历；4、借用递归方法对二叉树进行一些基本操作，如：求叶子数、树的深度宽度等；5、运用广义表对二叉树进行广义表形式的打印。
算法规定：输入形式：为了方便操作，规定二叉树的元素类型都为字符型，允许各种字符类型的输入，没有元素的结点以空格输入表示，并且本实验是以先序顺序输入的。
输出形式：通过先序、中序和后序遍历的方法对树的各字符型元素进行遍历打印，再以广义表形式进行打印。
对二叉树的一些运算结果以整型输出。
程序功能：实现对二叉树的先序、中序和后序遍历，层次遍历。
计算叶子结点数、树的深度、树的宽度，求树的非空子孙结点个数、度为2的结点数目、度为2的结点数目。
对二叉树的某个元素进行查找，对二叉树的某个结点进行删除。
测试数据：输入一：ABC□□DE□G□□F□□□（以□表示空格）,查找5,删除E预测结果：先序遍历ABCDEGF中序遍历CBEGDFA后序遍历CGEFDBA层次遍历ABCDEFG广义表打印A（B（C,D（E（,G）,F）））叶子数3 深度5 宽度2 非空子孙数6 度为2的数目2 度为1的数目2查找5，成功，查找的元素为E删除E后，以广义表形式打印A（B（C,D（,F）））输入二：ABD□□EH□□□CF□G□□□（以□表示空格）,查找10,删除B预测结果：先序遍历ABDEHCFG中序遍历DBHEAGFC后序遍历DHEBGFCA层次遍历ABCDEFHG广义表打印A（B(D,E(H)),C(F(,G))）叶子数3 深度4 宽度3 非空子孙数7 度为2的数目2 度为1的数目3查找10，失败。
云大《数据结构》课程教学课件-第6章 树和二叉树(147P)_OK
^d ^ ^ e ^ 三叉链表
3）二叉链表是二叉树最常用的存储结构。还有其它链接方 法，采用何种方法，主要取决于所要实施的各种运算频度。
例:若经常要在二叉树中寻找某结点的双亲时，可在每个结 点上再加一个指向其双亲的指针域parent，称为三叉链表。
lchild data parent rchild
2021/8/16
2021/8/16
9
6.2 二 叉 树
6.2.1 二叉树的概念
一、二叉树的定义： 二叉树(Binary Tree)是n(n>=0)个结点的有限集，它或者是 空集(n=0)或者由一个根结点和两棵互不相交的，分别称 为根的左子树和右子树的二叉树组成。 可以看出，二叉树的定义和树的定义一样，均为递归定 义。
A
集合3
集合1
BCD
EF
G
集合2
2021/8/16
3
2、树的表示方法 1）树形图法
A
BCD
EF
G
2）嵌套集合法
3）广义表形式 ( A(B, C(E,F), D(G) )
4）凹入表示法
2021/8/16
A B
D
CG
EF
A B C E DF G
4
3、 树结构的基本术语
1）结点的度(Degree)：为该结点的子树的个数。 2）树的度：为该树中结点的最大度数。
7）路径(Path)：若树中存在一个结点序列k1,k2,…,kj,使得ki是 ki+1的双亲(1<=i<j)，则称该结点序列是从ki到kj一条路径 (Path)
路径长度：路径的长度为j-1,其为该路径所经过的边的数 目。
A
BCD
EF
G
数据结构与算法(3)：二叉树
1.3.3 性质三
包含n个结点的二二叉树的高高度至至少为log2(n + 1)；
证明：根据"性质2"可知，高高度为h的二二叉树最多有2{h}–1个结点。反之，对于包含n个节点的二二
叉树的高高度至至少为log2(n + 1)。
1.3.4 性质四
对任何一一颗二二叉树T，如果其终端结点数为n0 ，度为2的结点数为n2 ，则n0 = n2 + 1 证明：因为二二叉树中所有结点的度数均不不大大于2，所以结点总数(记为n)="0度结点数(n0)" + "1度 结点数(n1)" + "2度结点数(n2)"。由此，得到等式一一。(等式一一) n = n0 + n1 + n2
}
还有一一种方方式就是利利用用栈模拟递归过程实现循环先序遍历二二叉树。这种方方式具备扩展性，它模拟 了了递归的过程，将左子子树不不断的压入入栈，直到null，然后处理理栈顶节点的右子子树。
java
public void preOrder(Node root){ if(root==null)return;
2. 叶子子数为2h 3. 第k层的结点数是：2k−1； 4. 总结点数是2k − 1，且总节点数一一定是奇数。
1.4.2 完全二二叉树
定义：一一颗二二叉树中，只有最小小面面两层结点的度可以小小于2，并且最下一一层的叶结点集中在靠左 的若干干位置上。这样现在最下层和次下层，且最小小层的叶子子结点集中在树的左部。显然，一一颗 满二二叉树必定是一一颗完全二二叉树，而而完全二二叉树未必是满二二叉树。
} root = s.pop(); root = root.right;//如果是null，出栈并处理理右子子树 } }
数据结构中各种树
数据结构中各种树阅读⽬录 数据结构中有很多树的结构，其中包括⼆叉树、⼆叉搜索树、2-3树、红⿊树等等。
本⽂中对数据结构中常见的⼏种树的概念和⽤途进⾏了汇总，不求严格精准，但求简单易懂。
1. ⼆叉树 ⼆叉树是数据结构中⼀种重要的数据结构，也是树表家族最为基础的结构。
⼆叉树的定义：⼆叉树的每个结点⾄多只有⼆棵⼦树(不存在度⼤于2的结点)，⼆叉树的⼦树有左右之分，次序不能颠倒。
⼆叉树的第i层⾄多有2i-1个结点；深度为k的⼆叉树⾄多有2k-1个结点；对任何⼀棵⼆叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1。
⼆叉树的⽰例：满⼆叉树和完全⼆叉树： 满⼆叉树：除最后⼀层⽆任何⼦节点外，每⼀层上的所有结点都有两个⼦结点。
也可以这样理解，除叶⼦结点外的所有结点均有两个⼦结点。
节点数达到最⼤值，所有叶⼦结点必须在同⼀层上。
满⼆叉树的性质： 1) ⼀颗树深度为h，最⼤层数为k，深度与最⼤层数相同，k=h; 2) 叶⼦数为2h; 3) 第k层的结点数是：2k-1; 4) 总结点数是：2k-1，且总节点数⼀定是奇数。
完全⼆叉树：若设⼆叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～(h-1)层) 的结点数都达到最⼤个数，第h层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全⼆叉树。
注：完全⼆叉树是效率很⾼的数据结构，堆是⼀种完全⼆叉树或者近似完全⼆叉树，所以效率极⾼，像⼗分常⽤的排序算法、Dijkstra算法、Prim算法等都要⽤堆才能优化，⼆叉排序树的效率也要借助平衡性来提⾼，⽽平衡性基于完全⼆叉树。
⼆叉树的性质：1) 在⾮空⼆叉树中，第i层的结点总数不超过2i-1, i>=1; 2) 深度为h的⼆叉树最多有2h-1个结点(h>=1)，最少有h个结点; 3) 对于任意⼀棵⼆叉树，如果其叶结点数为N0，⽽度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1; 4) 具有n个结点的完全⼆叉树的深度为log2(n+1); 5)有N个结点的完全⼆叉树各结点如果⽤顺序⽅式存储，则结点之间有如下关系： 若I为结点编号则如果I>1，则其⽗结点的编号为I/2； 如果2I<=N，则其左⼉⼦（即左⼦树的根结点）的编号为2I；若2I>N，则⽆左⼉⼦； 如果2I+1<=N，则其右⼉⼦的结点编号为2I+1；若2I+1>N，则⽆右⼉⼦。
森林、树、二叉树的性质与关系
森林、树、⼆叉树的性质与关系森林、树、⼆叉树的性质与关系这篇博客写的太累了。
本⽂中对于这部分的讲解没有提到的部分：对于⼆叉树的遍历：重点讲了⾮递归遍历的实现⽅式和代码（递归⽅法使⽤的相对较多，请直接参考博客代码）对于哈夫曼编码和线索⼆叉树的代码实现没有列出。
树我们对于树和⼆叉树这⼀部分的内容主要研究树的逻辑结构和存储结构，由于计算机的特殊性存储结构及⼆叉树的简单性，我们更主要讨论⼆叉树的逻辑结构和存储结构并对其进⾏实现（其中包含⼆叉树的⼀些重要性质），另外我们在研究这⼀类问题时，⾸先要考虑到树与森林之间的转换，以及树与⼆叉树之间的转换。
从⽽简化为最简单的⼆叉树问题。
知识体系结构图：树的定义：（采⽤递归⽅法去定义树）树：n（n≥0）个结点的有限集合。
当n＝0时，称为空树；任意⼀棵⾮空树满⾜以下条件：（1）有且仅有⼀个特定的称为根的结点；（2）当n＞1时，除根结点之外的其余结点被分成m（m>0）个互不相交的有限集合T1,T2,… ,Tm，其中每个集合⼜是⼀棵树，并称为这个根结点的⼦树。
（⽤图的定义法去描述树：连通⽽不含回路的⽆向图称为⽆向树，简称树，常⽤T表⽰树）树的基本术语：结点的度：结点所拥有的⼦树的个数。
树的度：树中各结点度的最⼤值。
叶⼦结点：度为0的结点，也称为终端结点。
分⽀结点：度不为0的结点，也称为⾮终端结点。
孩⼦、双亲：树中某结点⼦树的根结点称为这个结点的孩⼦结点，这个结点称为它孩⼦结点的双亲结点；兄弟：具有同⼀个双亲的孩⼦结点互称为兄弟。
祖先、⼦孙：在树中，如果有⼀条路径从结点x到结点y，那么x就称为y的祖先，⽽y称为x的⼦孙。
路径：如果树的结点序列n1, n2, …, nk有如下关系：结点ni是ni+1的双亲（1<=i<k），则把n1, n2, …, nk称为⼀条由n1⾄nk的路径；路径上经过的边的个数称为路径长度。
结点所在层数：根结点的层数为1；对其余任何结点，若某结点在第k层，则其孩⼦结点在第k+1层。
二叉树的宽度算法
二叉树的宽度算法一、引言二叉树是一种常见的数据结构，在计算机科学和算法领域有着广泛的应用。
二叉树的宽度是指树中某一层节点的最大数量。
计算二叉树的宽度是一项重要的任务，本文将介绍一种常用的二叉树宽度算法。
二、二叉树的定义二叉树是一种特殊的树结构，其中每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
二叉树可以为空树，或者由根节点和两个分别称为左子树和右子树的二叉树组成。
三、二叉树的宽度算法二叉树的宽度算法是一种层次遍历的算法。
具体步骤如下：1. 创建一个队列，用于存储待遍历的节点。
2. 将根节点加入队列。
3. 循环执行以下步骤，直到队列为空：a. 记录当前队列的长度，即当前层节点的数量。
b. 遍历当前队列中的节点，将其左子节点和右子节点加入队列。
c. 更新最大宽度值，如果当前层节点的数量大于最大宽度值。
d. 从队列中移出当前层节点。
4. 返回最大宽度值。
四、算法实现下面通过一个示例来演示二叉树的宽度算法的实现。
考虑以下二叉树：```1/ \2 3/ \ \4 5 6```按照宽度算法，首先将根节点1加入队列，然后遍历队列，将2和3加入队列。
此时队列中的节点为[2, 3]，记录当前层节点的数量为2，更新最大宽度值为2。
接下来从队列中移出当前层节点，继续遍历队列，将4、5和6加入队列。
此时队列中的节点为[4, 5, 6]，记录当前层节点的数量为3，更新最大宽度值为3。
最后从队列中移出当前层节点，队列为空，返回最大宽度值3。
五、算法分析二叉树的宽度算法的时间复杂度为O(n)，其中n是二叉树中节点的数量。
在算法中，我们需要遍历二叉树的每个节点一次，并将其加入队列，所以时间复杂度为O(n)。
空间复杂度为O(m)，其中m是二叉树中某一层节点的最大数量。
在算法中，我们需要使用一个队列来存储待遍历的节点，所以空间复杂度为O(m)。
六、总结二叉树的宽度算法是一种常用的层次遍历算法，用于计算二叉树中某一层节点的最大数量。
数据结构 第六章 树和二叉树
F
G
H
M
I
J
结点F，G为堂兄弟 结点A是结点F，G的祖先
5
树的基本操作
树的应用很广，应用不同基本操作也不同。下面列举了树的一些基本操作： 1）InitTree(&T); 2）DestroyTree(&T); 3）CreateTree(&T, definition); 4）ClearTree(&T); 5）TreeEmpty(T); 6）TreeDepth(T); 7） Root(T); 8） Value(T, &cur_e); 9） Assign(T, cur_e, value); 10）Paret(T, cur_e); 11）LeftChild(T, cur_e); 12）RightSibling(T, cur_e); 13）InsertChild(&T, &p, i, c); 14）DeleteChild(&T,&p, i); 15）TraverseTree(T, Visit( ));
1
2 4 8 9 10 5 11 12 6 13 14 3 7 15 4 6 2
1
3
5 7
证明：设二叉树中度为1的结点个数为n1 根据二叉树的定义可知，该二叉树的结点数n=n0+n1+n2
又因为在二叉树中，度为0的结点没有孩子，度为1的结点有1 个孩子，度为2的结点有2个结孩子，故该二叉树的孩子结点 数为 n0*0+n1*1+n2*2(分支数） 而一棵二叉树中，除根结点外所有都为孩子结点，故该二叉 树的结点数应为孩子结点数加1即：n=n0*0+n1*1+n2*2+1
文件夹1
文件夹n
树形结构
树的例子
A
T1 E
B
C
D
F
G
H
I
J
K
L
T2
M
T3
树结构中的常用术语： 树结构中的常用术语：
结点（ 结点 （ Node）： 树中的元素 ， 包含数据项及若干指向其 ） 树中的元素， 子树的分支。 子树的分支。 结点的度（ 结点的度 （ Degree） ： 结点拥有的子树数 。 树中最大结 ） 结点拥有的子树数。 点的度数称为树的度数。 点的度数称为树的度数。 结点的层次：从根结点开始算起，根为第一层。 结点的层次：从根结点开始算起，根为第一层。
(4)二叉树的存储结构 (4)二叉树的存储结构 对于二叉树，我们既可采用顺序存储，又可采用 链式存储。 ①顺序存储结构
顺序存储就是将一棵二叉树的所有结点按照一定的次序 顺序存储就是将一棵二叉树的所有结点按照一定的次序 顺序存放到一组连续的存储单元中 为此， 到一组连续的存储单元 顺序存放到一组连续的存储单元中，为此，必须把二叉树中 所有结点构成一个适当的线性序列，以使各个结点在这个序 所有结点构成一个适当的线性序列， 列中的相互位置能反映出结点之间的逻辑关系 相互位置能反映出结点之间的逻辑关系。 列中的相互位置能反映出结点之间的逻辑关系。 对于完全二叉树按结点的编号顺序，就能得到一个足以 对于完全二叉树按结点的编号顺序， 完全二叉树按结点的编号顺序 反映整个二叉树结构的线性序列。因此， 反映整个二叉树结构的线性序列。因此，可将完全二叉树中 所有结点按编号顺序依次存储到一组连续的存储单元(即向量 即向量) 所有结点按编号顺序依次存储到一组连续的存储单元 即向量 这样既不浪费内存， 中，这样既不浪费内存，又可以利用地址公式确定其结点的 位置。但对于一般的二叉树，顺序分配常会造成内存的浪费， 位置。但对于一般的二叉树，顺序分配常会造成内存的浪费， 因为一般的二叉树也必须按完全二叉树的形式来存储 一般的二叉树也必须按完全二叉树的形式来存储。 因为一般的二叉树也必须按完全二叉树的形式来存储。
软件技术--树与二叉树
（3 ） 若*p结点的左子树和右子树均不为空。
五、哈夫曼树的应用
1、什么是哈夫曼树
假设有n个权值{w1，w2，…，wn}，试构造一棵有n 个叶子结点的二叉树，每个叶子结点带权wi，则其中带 权路径长度WPL最小的二叉树称作最优二叉树或哈夫 曼树。
2、 树的基本术语
结点的度：一个结点拥有的子树数称为该结点的度。 叶子结点：度为0的结点称为叶子（Leaf）或终端结点。 非终端结点：度不为0的结点称为非终端结点或分支结点。除根结 点之外，分支结点也称为内部结点。
树的度：树内各结点的度的最大值称为树的度。 树中结点之间的关系：在描述结点之间的关系时，通常用家族关 系来形象的称呼结点之间的联系。结点的子树的根称为该结点的孩 子（Child），相应的，该结点称为孩子的双亲（Parents）或父结点。 同一个双亲的孩子之间称为兄弟（Sibling）。 结点的层次（Level）：一棵树从根开始定义起，根为第一层，根的 孩子为第二层，…，依此类推。若某结点在第i层，则其子树的根就 在第i＋1层。其双亲在同一层的结点互为堂兄弟。
(4) 性质4: 具有n个结点的完全二叉树的深度为log2n＋1。
3、几种特殊的二叉树
• 满二叉树：深度为K，且存在2K-1个结点的二叉树。 • 完全二叉树：至多只有最下面两层上的结点度数可以小于
2，并且最下层结点都集中在该层最左边的位置。 • 平衡二叉树：或是一棵空树，或是具有下列性质的二叉树：
每次插入一个结点的递归算法
struct node {anytype data; struct node *lchild; struct node *rchild; } *root; void insnode(t,d) struct node *t; anytype d;
树遍历算法实现策略概述
树遍历算法实现策略概述树遍历算法是计算机科学中常用的一种算法，用于遍历树形数据结构，并按照一定的顺序访问树的节点。
树遍历算法是解决许多与树相关的问题的基础，包括二叉搜索树的查找、排序、删除等操作。
本文将概述树遍历算法的实现策略，旨在帮助读者全面理解和掌握这一常用算法。
1. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种递归的树遍历算法。
该算法从根节点开始，递归地遍历树的每个子树，直到遍历完整棵树或达到终止条件。
在深度优先搜索中，我们可以使用前序、中序或后序三种遍历顺序。
- 前序遍历：先访问根节点，然后再按照左子树、右子树的顺序遍历。
- 中序遍历：先按照左子树、根节点、右子树的顺序遍历。
- 后序遍历：先按照左子树、右子树、根节点的顺序遍历。
2. 广度优先搜索（BFS）广度优先搜索是一种迭代的树遍历算法。
该算法使用队列将树的节点按照层次顺序依次入队和出队，以此实现对整棵树的遍历。
3. 二叉树遍历算法二叉树是一种特殊的树形结构，每个节点最多有两个子节点，即左子节点和右子节点。
针对二叉树的遍历，常用的算法有：- 前序遍历：先访问根节点，再遍历左子树和右子树。
- 中序遍历：先遍历左子树，再访问根节点，最后遍历右子树。
- 后序遍历：先遍历左子树和右子树，最后访问根节点。
4. 多叉树遍历算法多叉树是一种每个节点可以有多个子节点的树形结构。
对于多叉树的遍历，可以使用深度优先搜索或广度优先搜索算法。
5. 树遍历算法的应用场景树遍历算法广泛应用于各种领域，包括图像处理、自然语言处理、编译原理等。
其中，图像处理中的图像分割、自然语言处理中的依存句法分析、编译原理中的语法分析等都依赖于树遍历算法来实现。
总结：树遍历算法是计算机科学中常用的一种算法，用于按照一定顺序访问树结构中的各个节点。
深度优先搜索和广度优先搜索是树遍历的两种基本策略，而针对二叉树和多叉树的遍历有相应的算法。
树遍历算法在各个领域都有广泛的应用场景，深入理解和掌握这些算法，对于解决与树相关的问题具有重要意义。
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Swap(hp[c],hp[v]);swap(pos[hp[c]],pos[hp[v]]);
Pop_down(c);
}
}
7. 二叉堆
查找最大值
即根结点——hp[0]
删除元素
将根结点的值改为无穷小并向下调整，总数减一 或者hp[0]=hp[--S]，并向下调整
插入元素
堆的存储方式——数组 C++的选手可以使用Algorithm内的标准的堆 相关函数 E.g. hp[]记录堆元素 pos[]记录元素在堆中位 置 val[]记录元素的权值 元素个数为S 则对于点 v
v-1>>1 其左孩子为 (v<<1)+1 // 若大于S则不存在 其右孩子为 (v<<1)+2 // 若大于S则不存在
其父亲为
7. 二叉堆
调整元素——将一个元素v 的值变大/变小 Pop_down(v) {
Int c = v, i=(v<<1)+1, j=(v<<1)+2; If(i<S&&val[hp[c]]<val[hp[i]])c=I; If( j<S&&val[hp[c]]<val[hp[ j]])c=j; If(c!=v) {
}
U=find(u); v=find(v); If(rank[u]>rank[v]) swap(u,v); Rank[v]+=rank[u]; fst[u]=v;
5. 并查集
思考题：团伙 城市里有N个人，给出M条信息，每条信息告 诉你两个是朋友还是敌人 一个人朋友的朋友是朋友 一个人敌人的敌人还是朋友 请问这个城市里有多少个团伙？ 或者输出不可能 N,M<500000
即将新元素放在序列末尾并向上调整
7. 二叉堆
实用：
Dijkstra算法的优化 很多最值问题 堆排序 ……
7. 二叉堆
思考题：灌水 有N*M个单位方格的土地，每个方格有一个 正的高度，土地周围都是平地。 一天下了大雨，请问这N*M的土地上一共装 了多少水呢？ 你能利用二叉堆和宽度优先遍历设计出时间复 杂度为O(NMlogNM)的算法吗？
6. LCA
LCA(Lowest Common Ancestor) 最近公共祖先问题：
倍增算法O(NlogN)-O(logN)——在线 区间RMQ算法O(NlogN)-O(1)——在线 区间+1RMQ算法O(N)-O(1)——在线 Tarjan算法O(N+Qα(N))-O(1)——离线
i=S;i>=0;--i)
fa[v][0];
7. 二叉堆
堆是一个特殊的二叉树 每个结点有一个权值 根结点的权值不小于其两个孩子结点的权值 支持操作：
O(logN) 删除一个元素 O(logN) 调整一个元素 O(logN) 寻找最大值 O(1)
插入一个元素
7. 二叉堆
3.如何分辨树
关键词
任意两点只有一条路径 平面每个点只向左连一条边 N个点N-1条边的连通图 ……
4.树遍历
先序遍历 中序遍历 后续遍历 层次遍历
对应了搜索问题——搜索问题即在一颗搜索 树上进行遍历
4.1深度优先遍历
分析遍历序列的性质 先序遍历：
aBC
}e[MaxE]; Int head[MaxN], tot; // head初始值为-1 Int Insert(u, v) {
} 遍历： For(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].nxt)
Int u, v, nxt; Inline edge(int u=0, int v=0, int nxt=-1):u(u),v(v),nxt(nxt){};
If(P&1<<i) v=fa[v][i];
i=0;i<S;++i)
求公共祖先
For(int
Lca(u, v) {// dep[u]<dep[v]
Go_up(v,dep[v]-dep[u]);
}// O(logN)
Return
If(fa[u][i]!=fa[v][i]) u=fa[u][i],v=fa[v][i];
E[tot]=edge(u,v,head[u]);head[u]=tot++;
5. 并查集
支持操作：
合并两个集合 查找集合的代表元素
实现方式：父亲记录法
用一棵树来表示一个集合 根作为集合的代表元素 合并即将一个集合的根指向另一个集合的根
5. 并查集
优化：
按秩合并
每次总是将点的个数小的那个集合的根指向点数较多的
中序遍历：
BaC
后序遍历： 可以发现在DFS遍历序列中一棵子树必然是连 续一段，因此子树可以和区间相对应
BCa
4.2宽度优先遍历
和图的宽度优先遍历一致 使用队列 优点：
不使用栈空间
速度快 遍历序列即为层次拓扑序列
4.3 树遍历的若干技巧
由于树的稀疏性，请使用邻接表来存储树 邻接表并不需写链表，建议使用数组模拟链表 struct edge {
6.LCA
倍增算法： Dep[v]记录v的深度 Fa[v][k]记录v向上第2k个祖先 预处理：
Fa[v][k]=fa[fa[v][k-1]][k-1]
时空复杂度 O(NlogN)
6.LCA
v向上走p层
For(int
Go_up(&v,p) {
} // O(logN)
那个集合的根
路径压缩
即在寻找根的过程中，将所有指针经过的结点都直接指
向根
5. 并查集
C++代码:fst记录父亲，rank记录点的个数 int find(v) {
} Int unite(int u, int v) {
If(fst[v]==v) return v; Else return (fst[v]=find(fst[v]))
2010山东夏令营
Author : Will
树与二叉树的常用算法
1. 定义
树：要么为空，要么由根结点(root)和n棵子 树组成。 森林：若干棵树 二叉树：递归定义
要么为空，要么由根结点左子树和右子树组成 左右子树都是一颗二叉树
2.树与二叉树的转化
左儿子右兄弟表示法 这样的好处是在很多树形动态规划问题中能大 大降低编程复杂度和算法的时间复杂度