谈提高对数学教学的认识

谈提高对数学教学的认识

最近（时间）在南京师大附中有一个全国性高中新课程教学的观摩活动，我应邀对两节数学课的教学进行了点评。本文是根据点评整理修改而成。

我坚持认为，教学中的关键问题还是“怎么认识教学”。现在搞新课改，要求用所谓新的理念来教学，我不赞成这个说法。一是不应是根据“新理念”来教学，而是应该根据“正确的科学理念”教学，不正确不科学的理念，即使新也不能用，而老理念只要正确、科学也可以用。二是教过去的教材，就不要用或不能用正确的科学理念来教了吗？所以本质的问题不是教材问题，过去的教材依然应该而且可以用正确的科学理念去教。如果说有了新课程，而没有正确的科学理念，那有什么用，还不是用那一套不正确、不科学的模式去教吗？所以每位教师对教学如何认识是最为根本的文题。

关于正确的、科学的数学教学理念，我提出以下几个方面仅供讨论。

1. “教什么”是指“教学生学什么”和“教学生怎么学”

数学教学首要的问题是“教什么”。如果把党中央提出的科学发展观迁移到数学教学中来，那么应该把“教什么”的含义发展一下，发展为“教学生学什么”和“教学生怎么学”。

过去讲“教什么”是把教和学混在了一起，现在看来，应该是“教学生学什么”，教——学什么！如果说教师教什么，学生就得听什么，那么教师的主导与学生主体关系就不明确，很容易变成以教师为主宰。你把“学生学什么”作为教的内容，那关系就比较明确了，你要教学生的是“学什么”，就是引导学生去质疑，去发现，去探究，去归纳，去判断，去概括，……去把本来你要教的东西变为学生自己去探索他所应该学的东西。于是，原来你要他学的东西成了他自己要学的东西，学生的主体性、主动性就自然出来了，教师的主导作用也就充分发挥了。

教的另一个重要内容应该是“教学生怎么学”。既然教学中要教学生学什么，当然就要教他怎么学。这就联系到这两节课的教学了。这两节课，教师开始提出的问题都很好。“指、对函数的关系”这节课，意在指导学生初步获得反函数的概念。教师先与学生共同复习指、对数函数的概念、性质，然后以“我们要养成学习了一些知识以后就把它们进行横向联系”的方法论意义的指导，向学生提出这节课的问题：“它们之间有什么关系呢？你打算怎样去思考呢？”这就属于“教学生怎么学”了。

这个问题提得比较开放，发散范围比较大，可供学生发挥想象力的空间比较大。什么样的关系不知道，怎么去研究它们的关系也不知道，问题里面所包含的方法性的选择很多（？）。教师并不是直接问学生：“这两个函数的定义域、值域、图象之间有什么关系呀？”这是不在一个层次上的两种问题。提的问题具有开放性，那么，学生要回答这个问题，他首先就会想：我要找它们有什么关系，那我怎么去寻找呢？这不，方法论的思想出来了。接着，要寻找它们的关系，该从哪几个方面去寻找呢？噢，它们不都是函数吗，研究函数一般都是从定义域、值域、图像、单调性、奇偶性这些方面去进行的。这个是涉及方法论的问题，而不是直接问上面所说的那种后一个问题，那都是直白的问题。这就在涉及“教——学什么和怎么学”。

上面的两种问题，前者开放性大的问题，可以称为“元认知问题”[1]，后面这种知识性强的问题，就称为“认知性问题”。认知性问题与要解决的问题更接近一些，如果是“1+1等于几”那就一点启发价值都没有。还有，“你打算怎么去研究，你想从哪些方面入手？”这不也是教他学什么和怎么学了吗？学什么，学研究的方法；怎么学，寻找适当的方法去探究发现知识。假如遇到一个问题，从来没见过面，怎么去研究？用南京师范大学附中特级教师陶维林老师的话说，“老虎吃天，从何下口”？这又是方法论问题，即从哪些角度，从哪些方面去研究这个问题，那么，这就是教怎么学了。所以，每一节课知识固然重要，但最终

目标不应该是知识。尤其是这两节课，最终的目标是一般科学研究方法的渗透。但是，知识是载体，不能脱离知识这个载体。你说要教研究方法，那就只教研究方法吧。可是所谓脱离知识的单纯的研究方法那种东西并不存在，研究方法的学习不能脱离知识，必须以知识作为载体，知识是方法的载体，知识是方法的基础。所以数学教学一定是“离不开数学知识的”教学，但要实现最终目标是一般科学研究的方法——如何探索，如何发现，如何研究。

当然，关于“两个函数之间有什么关系”这个问题是他老师自己提出来的，照我的想法呢，最好还要再往前进一步——通过启发，让学生提出这个问题——“我们已经复习了这两个函数的有关知识，你们下面想研究什么，你们能提出什么问题？”从而让学生提出教师想要提出的问题。如果通过启发能把这个问题由学生自己提出，那最好。这种教学方式，我称之为“‘从无到有’的探究教学”。

什么是探究？“从无到有”才是探究，“从无到有”就是从不会到会，不懂到懂，不明白到明白的过程。一目了然的东西，不假思索就能知道的东西还需要探究吗？当然也要考虑到学生回忆这些知识后提不出问题来的可能，那就可以用稍微明确一点的问题启发：“你们看这两个函数是不是有藕断丝连的感觉？既然藕断丝连，那么你们看可以研究什么？”如果学生还不能提出问题，那再由教师直接提出问题。这叫做“分级提问”[2]。总之，老师要尽量通过启发，通过各种方式的启发，让学生来提出问题。这样，学生才能学会将来如何应对新情境、新问题。说老实话，现在的学生解决老问题，那是没话说的，但是一遇到新问题就发毛了，什么原因呢？现实的教学中缺乏对这些方面的培养。

在“求方程的近似解”的第2节课里如何体现这种思想呢？这节课需要解决两个问题。

一是，让学生去探究发现“逼近”这个重要的数学思想。要让学生自己去发现，而不是你教师把逼近的思想告诉他，然后他去逼近，逼近思想本身应该让学生去探索。这是我们平时反对的那种“教师告诉，学生接受”的灌输。事实上，能不能探索？能探索，因为前一节课已经研究了函数零点的概念，研究了函数零点附近两侧的函数值异号的特性，这两者就构成思考这节课问题的基础，就能成为这节课要学习的知识的生长点。因而，这节课的教学就应该建立在这个生长点上。

启发学生探索发现逼近的数学思想，这是一。二呢（能否去掉），就是解决“方法问题”。已经发现要用逼近的思想和缩小区间来逼近这个近似解，那么“怎么缩小区间”——寻找缩小区间的方法。缩小区间的方法多种多样，可以让学生任意地去想，不一定要二分法，0.618法也行，不过二分法更便捷一点。一些教师们认为，要培养学生解决新问题能力，教科书中缺少素材，或者只能通过解新而难的题，这是一个认识误区，其实教材上每一个新知识、新内容都是培养学生解决新问题能力的最好素材和最佳时机。

这堂课教学涉及到教材中的一些问题，这里我提一点个人看法。这段内容的第一节，题为“二次函数和一元二次方程”[3]，这个标题是要阐述初中知识还是高中知识？它的实际内容其实是讲函数的零点，那标题不就是“函数的零点”吗？标题为“二次函数和一元二次方程”讲的却是函数的零点，文不对题。这个还不算大问题。大问题是零点的定义不正确，怎么用方程的解去定义函数的零点？什么叫函数的零点，高等数学里很明确，函数值取零的自变量的取值就叫函数的零点。根本的还不是函数零点的定义问题，根本的是“为什么要讲函数零点”，这个思想没有体现出来。之所以引进函数的零点，根本原因是要用函数的观点统帅中学代数，把所有的中学代数问题纳入函数的思想下。用方程的解定义函数的零点，不是把这种思想完全搞反了吗？所以后面一节中，也就出现不用函数零点的思想去“求lnx = 3-x的解”，却去用两个函数图象的交点求解的混乱[4]。引入了函数的零点，解方程的问题就变成求函数零点的问题，于是方程就纳入到函数里来了。这样一来，初中学了那么多解方程的问题，原来到了函数里，只不过是函数的零点问题，就是这么一个小小的问题。几年里学的方程问题，到了函数里一下子就被解决掉了，这就是统一到函数思想下的好处，也是数