谈提高对数学教学的认识

谈提高对数学教学的认识最近（时间）在南京师大附中有一个全国性高中新课程教学的观摩活动，我应邀对两节数学课的教学进行了点评。

本文是根据点评整理修改而成。

我坚持认为，教学中的关键问题还是“怎么认识教学”。

现在搞新课改，要求用所谓新的理念来教学，我不赞成这个说法。

一是不应是根据“新理念”来教学，而是应该根据“正确的科学理念”教学，不正确不科学的理念，即使新也不能用，而老理念只要正确、科学也可以用。

二是教过去的教材，就不要用或不能用正确的科学理念来教了吗？所以本质的问题不是教材问题，过去的教材依然应该而且可以用正确的科学理念去教。

如果说有了新课程，而没有正确的科学理念，那有什么用，还不是用那一套不正确、不科学的模式去教吗？所以每位教师对教学如何认识是最为根本的文题。

关于正确的、科学的数学教学理念，我提出以下几个方面仅供讨论。

1. “教什么”是指“教学生学什么”和“教学生怎么学”数学教学首要的问题是“教什么”。

如果把党中央提出的科学发展观迁移到数学教学中来，那么应该把“教什么”的含义发展一下，发展为“教学生学什么”和“教学生怎么学”。

过去讲“教什么”是把教和学混在了一起，现在看来，应该是“教学生学什么”，教——学什么！如果说教师教什么，学生就得听什么，那么教师的主导与学生主体关系就不明确，很容易变成以教师为主宰。

你把“学生学什么”作为教的内容，那关系就比较明确了，你要教学生的是“学什么”，就是引导学生去质疑，去发现，去探究，去归纳，去判断，去概括，……去把本来你要教的东西变为学生自己去探索他所应该学的东西。

于是，原来你要他学的东西成了他自己要学的东西，学生的主体性、主动性就自然出来了，教师的主导作用也就充分发挥了。

教的另一个重要内容应该是“教学生怎么学”。

既然教学中要教学生学什么，当然就要教他怎么学。

这就联系到这两节课的教学了。

这两节课，教师开始提出的问题都很好。

“指、对函数的关系”这节课，意在指导学生初步获得反函数的概念。

教师先与学生共同复习指、对数函数的概念、性质，然后以“我们要养成学习了一些知识以后就把它们进行横向联系”的方法论意义的指导，向学生提出这节课的问题：“它们之间有什么关系呢？你打算怎样去思考呢？”这就属于“教学生怎么学”了。

这个问题提得比较开放，发散范围比较大，可供学生发挥想象力的空间比较大。

什么样的关系不知道，怎么去研究它们的关系也不知道，问题里面所包含的方法性的选择很多（？）。

教师并不是直接问学生：“这两个函数的定义域、值域、图象之间有什么关系呀？”这是不在一个层次上的两种问题。

提的问题具有开放性，那么，学生要回答这个问题，他首先就会想：我要找它们有什么关系，那我怎么去寻找呢？这不，方法论的思想出来了。

接着，要寻找它们的关系，该从哪几个方面去寻找呢？噢，它们不都是函数吗，研究函数一般都是从定义域、值域、图像、单调性、奇偶性这些方面去进行的。

这个是涉及方法论的问题，而不是直接问上面所说的那种后一个问题，那都是直白的问题。

这就在涉及“教——学什么和怎么学”。

上面的两种问题，前者开放性大的问题，可以称为“元认知问题”[1]，后面这种知识性强的问题，就称为“认知性问题”。

认知性问题与要解决的问题更接近一些，如果是“1+1等于几”那就一点启发价值都没有。

还有，“你打算怎么去研究，你想从哪些方面入手？”这不也是教他学什么和怎么学了吗？学什么，学研究的方法；怎么学，寻找适当的方法去探究发现知识。

假如遇到一个问题，从来没见过面，怎么去研究？用南京师范大学附中特级教师陶维林老师的话说，“老虎吃天，从何下口”？这又是方法论问题，即从哪些角度，从哪些方面去研究这个问题，那么，这就是教怎么学了。

所以，每一节课知识固然重要，但最终目标不应该是知识。

尤其是这两节课，最终的目标是一般科学研究方法的渗透。

但是，知识是载体，不能脱离知识这个载体。

你说要教研究方法，那就只教研究方法吧。

可是所谓脱离知识的单纯的研究方法那种东西并不存在，研究方法的学习不能脱离知识，必须以知识作为载体，知识是方法的载体，知识是方法的基础。

所以数学教学一定是“离不开数学知识的”教学，但要实现最终目标是一般科学研究的方法——如何探索，如何发现，如何研究。

当然，关于“两个函数之间有什么关系”这个问题是他老师自己提出来的，照我的想法呢，最好还要再往前进一步——通过启发，让学生提出这个问题——“我们已经复习了这两个函数的有关知识，你们下面想研究什么，你们能提出什么问题？”从而让学生提出教师想要提出的问题。

如果通过启发能把这个问题由学生自己提出，那最好。

这种教学方式，我称之为“‘从无到有’的探究教学”。

什么是探究？“从无到有”才是探究，“从无到有”就是从不会到会，不懂到懂，不明白到明白的过程。

一目了然的东西，不假思索就能知道的东西还需要探究吗？当然也要考虑到学生回忆这些知识后提不出问题来的可能，那就可以用稍微明确一点的问题启发：“你们看这两个函数是不是有藕断丝连的感觉？既然藕断丝连，那么你们看可以研究什么？”如果学生还不能提出问题，那再由教师直接提出问题。

这叫做“分级提问”[2]。

总之，老师要尽量通过启发，通过各种方式的启发，让学生来提出问题。

这样，学生才能学会将来如何应对新情境、新问题。

说老实话，现在的学生解决老问题，那是没话说的，但是一遇到新问题就发毛了，什么原因呢？现实的教学中缺乏对这些方面的培养。

在“求方程的近似解”的第2节课里如何体现这种思想呢？这节课需要解决两个问题。

一是，让学生去探究发现“逼近”这个重要的数学思想。

要让学生自己去发现，而不是你教师把逼近的思想告诉他，然后他去逼近，逼近思想本身应该让学生去探索。

这是我们平时反对的那种“教师告诉，学生接受”的灌输。

事实上，能不能探索？能探索，因为前一节课已经研究了函数零点的概念，研究了函数零点附近两侧的函数值异号的特性，这两者就构成思考这节课问题的基础，就能成为这节课要学习的知识的生长点。

因而，这节课的教学就应该建立在这个生长点上。

启发学生探索发现逼近的数学思想，这是一。

二呢（能否去掉），就是解决“方法问题”。

已经发现要用逼近的思想和缩小区间来逼近这个近似解，那么“怎么缩小区间”——寻找缩小区间的方法。

缩小区间的方法多种多样，可以让学生任意地去想，不一定要二分法，0.618法也行，不过二分法更便捷一点。

一些教师们认为，要培养学生解决新问题能力，教科书中缺少素材，或者只能通过解新而难的题，这是一个认识误区，其实教材上每一个新知识、新内容都是培养学生解决新问题能力的最好素材和最佳时机。

这堂课教学涉及到教材中的一些问题，这里我提一点个人看法。

这段内容的第一节，题为“二次函数和一元二次方程”[3]，这个标题是要阐述初中知识还是高中知识？它的实际内容其实是讲函数的零点，那标题不就是“函数的零点”吗？标题为“二次函数和一元二次方程”讲的却是函数的零点，文不对题。

这个还不算大问题。

大问题是零点的定义不正确，怎么用方程的解去定义函数的零点？什么叫函数的零点，高等数学里很明确，函数值取零的自变量的取值就叫函数的零点。

根本的还不是函数零点的定义问题，根本的是“为什么要讲函数零点”，这个思想没有体现出来。

之所以引进函数的零点，根本原因是要用函数的观点统帅中学代数，把所有的中学代数问题纳入函数的思想下。

用方程的解定义函数的零点，不是把这种思想完全搞反了吗？所以后面一节中，也就出现不用函数零点的思想去“求lnx = 3-x的解”，却去用两个函数图象的交点求解的混乱[4]。

引入了函数的零点，解方程的问题就变成求函数零点的问题，于是方程就纳入到函数里来了。

这样一来，初中学了那么多解方程的问题，原来到了函数里，只不过是函数的零点问题，就是这么一个小小的问题。

几年里学的方程问题，到了函数里一下子就被解决掉了，这就是统一到函数思想下的好处，也是数学统一性的表现。

为什么要用函数的思想统帅中学数学，教师自己要明白、要清楚，这样才可以“驾驭”教材。

明白了这个道理，这节课的处理就好办了，求方程解的问题就转化为求函数的零点问题。

求函数的零点，怎么求？函数零点不是有个重要的特征吗——零点附近两侧的函数值异号。

那么自然地，零点一定在函数值异号的两个自变量的值之间，它也就是方程的解。

再根据精确度的要求，逐步缩小区间就行了。

所以，方程解的问题转化为函数零点问题，函数零点问题就转化为逼近问题，逼近问题又转化为缩小区间的问题，缩小区间的问题转化为怎么样缩小的问题，怎样缩小区间转化为用二分法来缩小就行了。

这样一步步转化很自然，充分体现了数学的思想方法，体现了数学的精神。

这就是，教学生“学什么”——学习科学研究的一般方法，教学生“怎么学”——用“从无到有”的探究方法去学。

这里顺便提一下，现在教学这段内容的时候，一窝蜂地使用“幸运52”猜商品价格的游戏，实际上它只与上述的最后一个转化有关，并没有对前面的那些主要的转化作出必要、合理的启发暗示，尤其对引导学生探索发现本课中最重要的数学逼近思想没有什么作用，只不过表面热闹而已。

是不是堂堂课都要搞探究，现有的条件下基本不可能。

一个真正意义上的探究教学，搞好了，很花时间，再说教学时间、教学进度、教学内容、教师精力、班级人数等等，那么多制约条件，谈何容易，何况还有一个升学的压力在那里呢！我的看法，3、4个星期能有1节课是真正的探究就了不起了，一个学期就有5、6节课，不容易啦。

应该提倡教学中局部的探究式教学，经常性的有那么一小段进行探究，根本是要把“教学生学什么”和“教学生怎样学”体现出来。

我提倡这样来把握探究式教学：贯穿教学始终的探究多尝试，每节课中一两小段的探究需坚持。

2．“怎样教”是指“怎样教学生学什么”和“怎样教学生怎么学”“怎样教”指什么？是指“怎样教学生学什么与怎样教学生怎么学”。

这好象有点绕口。

简单的说就是，教师要作为一个课堂的“教学向导”[5]，来教学生“学什么”和“怎么学”。

这就一定要把学生放在探究的位置上，让他自己去探究，自己去发现，他必须成为主动的学习者，教师的作用就是“教学向导”——引导。

怎么引导？通过启发来进行引导？与其它学科有所不同，数学教学中的启发主要是暗示，教师通过启发给学生以必要的暗示，学生通过自己的思维活动获得暗示。

数学中启发教学的一个方法是设计问题情境。

今天，反函数这节课的老师提出了一系列问题，上课刚开始提的问题，前面已经说了。

后来又提了一个问题：“反函数‘反’在何处？”这两个是大一点的问题，其间还穿插了一系列的小问题。

他不断创设问题情境启发学生；并且问题不是生硬地提出来的，而是在学生讨论的过程中自然而然的产生。

数学教学启发的另一个方法是设计动态的直观图形启发学生。

图形的直观再加上动态更有利于引起学生的注意、质疑、尝试、探求以及理解。