地震动反应谱学习报告

对谱进行平滑化，首先要搞清两件事。一是原来ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ谱值和平滑后值之间的差。二 是边叶的影响。考虑到这两个影响因素，引入了关窗法。下面两图便是运用关窗 法对埃尔森特罗地震波傅里叶谱处理后的结果。
六、 反应谱
1. 什么是反应谱 反应谱是单自由度弹性系统在给定地震动作用下的最大反应随结构自振周 期或频率的变化曲线。 2. 反应谱的计算理论 单自由度弹性系统在地震作用下的运动方程为
其中第一项A0 2为全体采样值的平均，也可以说成是整个波形对零线的偏离， 没有振动的偏移。令������������ = ������∆������ ，则上式可以写成 ������0 x ������ = + 2
������ 2−1 ������
������������ ������������������2������������������ t + ������������ ������������������2������������������ ������ +
四、 功率谱
平均功率用有限傅里叶稀疏表示可以写成 1 ������
������−1 2 ������������ m=0 ������ 2−1
= ������0
2
+2
k=0
������k
2
+ ������������
2 2
在式子两边乘以波的持续时间������ = ������∆t，得到
������−1 2 ������������ m=0 ������ 2−1
做出的图形，叫做功率谱。 式子∆f = ������∆t ,表示频率间隔。 把埃尔森特罗地震波的功率谱画成图，如下所示：
1
功率谱与傅里叶谱在本质上并无区别，与傅里叶谱相比，在纵坐标上近似存 在平方的关系， 因此我们可以理解为功率谱相对傅里叶谱更加强调了各成份波对 结构物的影响。 但是功率谱仅仅与振幅有关， 对时间轴的移动来说是一个不变量， 所以相对于傅里叶振幅谱和傅里叶相位谱，仅凭靠功率谱无法得到特定的波。
上图傅里叶谱使是对频率坐标画出来的，下图是对周期的对数坐标画出的。 这样表示的意义， 一是从时间过程中检出频率分量，二是进行了由时域到频域的 变换。 对于频率分量的检出， 可以得到波中含有什么样的频率分量以及哪些分量 的振幅大以便推测出这个地震波对结构物的影响。 用频域表示时域是还需要结合 傅里叶相位谱。 利用傅里叶谱在频域上分析地震波或者分析结构物在地震波下的 反应，较在时域上分析速度非常快，但也存在一定的问题。当数据的个数不是 2 的乘幂时就失去了快速分析的优势。
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一、 周期-频度谱
相对频度按周期用折线画出，这就是周期-相对频度曲线，也叫做周期-频度 谱。周期-频度谱可由零交法和峰点法得到。 测出曲线和零线相交点的时间间隔， 乘以 2 倍求得周期的方法， 叫做零交法。 零交法是从波形与零线的相交点着眼以取得波形所含的周期信息的， 但是波中会 叠加一些非常短、 周期非常小的涟波， 由此得到的周期-频度与实际周期有差别。 单连波的存在也可以认为是一种优点，在分析过程中去掉一些次要的东西，抓住 波的整体的主要特征，更直观、清晰的得到频谱曲线。 以峰与峰之间的时间作为周期，并计算各级间内的峰出现次数，连涟波的波 形也统计在内，由此得出波形的周期特性，这种方法称为峰点法。对于同一条地 震波，按照峰点法和零交法分析，得到的结果有相当大的差别。峰点法存在高频 容易被检测出来的倾向，因此整个曲线向短周期一侧靠拢。 零交法和峰点法在进行周期-频度分析时，都只注意到波的周期性质，没有 考虑波的振幅。
有限傅里叶近似式为 ������0 x ������ = + 2
������ 2−1
������������ ������������������
������ =1
������������ 2 2������������������ 2������������������ 2������(������ 2)������ + ������������ ������������������ + ������������������ ������∆������ ������∆������ 2 ������∆������
七、 利用 matlab 绘制埃尔森特罗地震波的反应谱
Matlab 源代码： clc clear close all load elcen.dat; t=elcen(:,1); xg=elcen(:,2); xg=xg/100; %单位转换 m/s^2 TA=0.001:0.05:6; kesi=0.05; j=1 for T=0.001:0.05:6 omiga=2*pi/T; % 结构圆频率 %结构自振周期 % 结构阻尼比
∆t = ������ ������0
2
+2
k=0
������ ������k
2
+ ������ ������������
2 2
把这个式子的右边各项，对照 k = 0,1,2, … ������ 2 ������������ = ������∆������ ������������ = 2������������������ = 2������������∆������
max
则可以得出相对位移反应谱S������ T，ς 和绝对加速度反应谱S������ T，ς 将分别为 S������ T, ς = 1 PSV(T, ς) ������
S������ T, ς = ωPSV(T, ς) 运算过程在结构动力学中学习过，在此仅仅列出地震反应谱的表达式。
3. 反应的数值计算方法 当地震动加速度u t 的时间过程给出时， 计算单质点系的反应过程可以用褶积计 算法、傅里叶变换法、直接积分法三种计算方法。相比较此三种方法，线型加速 度法的直接积分法比其他两种方法计算时间少很多。 4. 反应谱的意义 1) 傅里叶谱只表示地震波本身的频率特性，与结构物的概念没有任何的联系。 反应谱可以表现出地震波对单质点系所代表的结构物的最大影响。 2) 加速度反应谱给出了作用于结构物的力，在谱上可以直接得到最大绝对加速 度，从而能够求得最大剪力。 3) 速度反应谱代表了地震动给予结构物的最大能量。所以可以得到谱烈度。 4) 位移反应谱表示位移，与结构物中引起的应力有关，将它乘以弹簧常数 k 便 可以得到最大剪力。 5) 复杂的多质点系结构物的振动也可以分解成简单的单质点系，求出每个振型 的分量反应合成便得到复杂振型的反应。
������ =1
������������ 2 ������������������2������������������ 2 ������ 2
此处������������ 表示一秒时间内的往复次数，即频率又叫做周波数。
由于采样点数有限， ������������ 2 是能够检出的频率分量的界限， 表示一种分辨能力。 钙频率称为奈奎斯特频率。 但是波中含有比奈奎斯特频率更高的频率分量，不能 简单的检出，而且还会给有限傅里叶系数带进计算麻烦，而引起误差。 通过三角函数的数学计算，可以得到 ������k = ������������ ������������������������������ ������k = ������������ ������������������������������ ������������ 是代表 k 次分量的振动大小，即为振幅，k 表示振型。 对于由有限傅里叶系数������k 、������k 、求得的振幅������������ ，通常情况下乘上 0.5T 后的 结果表示，该图称为傅里叶振幅谱。 傅里叶谱的意义 埃尔森特罗地震波的傅里叶谱图形如下图所示：
������ 0
������������ (������)������ −������������
������−������
������������������������������ (������ − ������)������������
������������ (������)������ −������������
max
这是绝对加速度反应谱。利用相同的方法可得到相对加速度反应谱S������ ，相对位移 反应谱S������ 。令准速度反应谱为 PSV(T, ς) = ������������ (������)������−������������ ������−������ ������������������������������ (������ − ������)������������ t
二、 概率密度谱
在一个地震波中，包含着各种大小振幅成份的波。有的地震波中大振幅的波 反复的多次出现，而有的波中，大的振幅只出现一两次，之后持续的都是一些振 幅很小的波。 在各式各样波中的大小振幅的混杂情况下，我们研究地震波关心的 不是幅值本身，而是分布问题。波的概率密度分布曲线就是概率密度谱。
三、 傅里叶谱
������−������
������������������ ������������ ������ − ������ + 2������ ������������
假设有一组 N 个自振周期T������ （i=1,2,3……）各不相同而阻尼比ξ相同的单自 由度体系，在某一给定的地震动过程u������ t 的作用下，各个体系的最大绝对值加 速度反应为S������ （T������ ，ς），（i=1,2,3……）为 S������ T������ ，ς = u������ t + u t
������ 0
������−������
������������������ ������������ ������ − ������ + ������ ������������
������2 u������ t + u t = + ������������