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三角形中位线培优复习 (优选.)

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三角形中位线培优复习上课讲义

三角形中位线培优复习上课讲义

三角形中位线培优复习课题三角形中位线培优F M E C B A P F E D C B A F N M E C B A例题2：BE 、CF 是△ABC 的角平分线，AN ⊥BE 于N ，AM ⊥CF 于M 。

求证：MN ∥BC练习：如图，在∆ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，F 为BC 上一点，M 为AF 的中点，BE 平分∠ABC ，且EF ⊥BE ，求证：CF=2ME 。

方法二、【取中点构造中位线】例题1：如图，在四边形ABCD 中，AD=BC ，∠CBD=20°，∠BDA=110°，E 、F 、P 分别为AB 、CD 、BD 的中点，探索PF 与EF 的数量关系.练习：如图，在∆ABC 中，∠C=90°，CA=CB ，E ，F 分别为CA ，CB 上一点，CE=CF ，M ，N 分别为AF ，BE 的中点，求证：AE=2MNNM D C B A 例题2：如图，四边形ABCD 中，M ，N 分别为AD ，BC 的中点，边BD ，若AB=10，CD=8，求MN 的取值范围。

练习：已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，E 、F 分别是DC 、AB 边的中点，FE的延长线分别与AD 、BC 的延长线交于H 、G 点．求证：∠AHF ＝∠BGF ．方法三、【借助平行四边形的性质】例题：如图，（1）E 、F 为△ABC 的中点，G 、H 为AC 的两个三等分点，连接EG 、FH 并延长交于D ， 连接AD 、CD. 求证：四边形ABCD 是平行四边形.练习：已知：如图，在□ABCD 中，E 是CD 的中点，F 是AE 的中点，FC 与BE 交于G ．求证：GF ＝GC ．课后作业1.如图，在△ABC 中，AB=10，BC=7，BE 平分∠ABC ，AE ⊥BE ，点F 为AC 的中点，连接EF ，求EF 的长度.3.如图，AD 是△ABC 的中线，E 是AD 的中点，F 是BE 延长线与AC 的交点。

《三角形的中位线》 知识清单

《三角形的中位线》 知识清单

《三角形的中位线》知识清单一、三角形中位线的定义连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

需要注意的是，一个三角形共有三条中位线。

二、三角形中位线定理三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。

这个定理是解决与三角形中位线相关问题的重要依据。

为了更好地理解这个定理，我们可以通过以下方式来证明：如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，连接 DE。

延长 DE 到点 F，使得 EF ＝ DE，连接 CF。

因为 AE ＝ EC，∠AED ＝∠CEF，DE ＝ EF，所以△ADE ≌△CFE（SAS）所以 AD ＝ CF，∠ADE ＝∠F所以 AB ／／ CF又因为 AD ＝ BD所以 BD ＝ CF所以四边形 BCFD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）所以 DF ／／ BC，DF ＝ BC因为 DE ＝ 1/2 DF所以 DE ／／ BC，DE ＝ 1/2 BC通过以上证明，我们得出了三角形中位线定理。

三、三角形中位线定理的应用1、证明线段平行如果已知一条线段是三角形的中位线，那么可以直接得出这条线段与三角形的第三边平行。

例如，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，连接 DE，则DE ／／ BC。

2、证明线段的数量关系可以利用中位线等于第三边的一半来证明线段之间的倍数关系。

比如，已知△ABC 中，DE 是中位线，那么 DE ＝ 1/2 BC。

3、计算线段的长度在一些几何计算题中，如果能找到三角形的中位线，就可以利用中位线定理求出相关线段的长度。

例如，在△ABC 中，AB ＝ 10，D、E 分别是 AB、AC 的中点，那么 DE ＝ 5。

4、求图形的面积通过中位线与底边的关系，可以求出相关三角形的面积比。

假设△ABC 中，DE 是中位线，△ADE 的面积为 S1，△ABC 的面积为 S2。

因为 DE ／／ BC，所以△ADE ∽△ABC，相似比为 1 ： 2。

2022-2023学年第二学期初二数学名校优选培优训练专题09 三角形中位线定理

2022-2023学年第二学期初二数学名校优选培优训练专题09 三角形中位线定理

2022-2023学年第二学期初二数学名校优选培优训练专题测试专题09 三角形中位线定理姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2022春•雨花区校级月考）如图，四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CB上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不变D．线段EF的长与点P的位置有关2．（2022秋•二道区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝BC＝13，BD平分∠ABC交AC于点D，点F在BC上，且BF＝5，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．63．（2022春•横县期中）如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AC＝9，DM＝2，则AB等于（）A．4 B．5 C．6 D．84．（2022春•新城区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，若DE是△ABC的中位线，延长DE，交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（）A．4 B．C．D．55．（2022春•乐陵市期末）数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明，小丽和小亮在学习思考后各自尝试作了一种辅助线，如图1，2．其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（）图1为小丽的辅助线作法：延长DE到F，使EF＝DE，连接DC、AF、FC．图2为小亮的辅助线作法：过点E作GE∥AB，过点A作AF∥BC，GE与AF交于点F．A．小丽和小亮的辅助线作法都可以B．小丽和小亮的辅助线作法都不可以C．小丽的辅助线作法可以，小亮的不可以D．小亮的辅助线作法可以，小丽的不可以6．（2022春•通川区期末）如图，在△ABC中，M是BC边的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AB＝8，MN＝2，则AC的长为（）A．8 B．10 C．12 D．147．（2022春•禅城区期末）已知：△ABC中，D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，则四边形AFDE的周长等于（）A．AB+AC B．BA+BC C．CA+CB D．△ABC的周长8．（2022春•青山区期中）如图，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF＝BC，若EF＝4，则DE的长为（）A．4 B．C．2 D．9．（2021春•金坛区期中）如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝6，BD＝8，点E、F分别是边AD、BC的中点，连接EF，则EF的长是（）A．B．5 C．D．1010．（2022春•高唐县期末）如图，△ABC中，∠BAD＝∠CAD，BE＝CE，AD⊥BD，DE＝，AB＝4，则AC的值为（）A．6 B．C．7 D．8评卷人得分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2020春•凯里市期末）如图，CD是△ABC的中线，点E、F分别是AC、DC的中点，若，则AB＝．12．（2022春•南岗区校级期中）如图，△ABE中，∠B＝60°，D为AB上一点，C为BE延长线上一点，连接CD、AE，取AE中点F，取CD中点G，连接FG，若AD＝8，CE＝10，则FG＝．13．（2022春•兴城市期末）如图，△ABC中，D、F分别是AC、BC的中点，E在DF上，且BE⊥CE，若AB＝8，BC＝6，则DE＝．14．（2022•华蓥市模拟）如图，在边长为a的等边△ABC中，分别取△ABC三边的中点A1，B1，C1，得△A1B1C1；再分别取△A1B1C1三边的中点A2，B2，C2，得△A2B2C2；这样依次下去…，经过第2022次操作后得△A2022B2022C2022，则△A2022B2022C2022的面积为．15．（2022春•府谷县期末）如图，在▱ABCD中，点E、F分别为AD、DC的中点，过点C作CM⊥AB交AB延长线于M，连接EF，若CD＝4，BM＝2，CM＝6，则EF的长为．16．（2022春•宝应县期末）如图，四边形ABCD中，AB＝CD＝6，且AB与CD不平行，P、M、N分别是AD、BD、AC的中点，设△PMN的面积为S，则S的范围是．17．（2022春•黄陵县期末）如图，点D，E，F分别是△ABC各边的中点，AH是△ABC的高，如果HF＝5，则ED的长为．18．（2022春•涟水县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN、MN的中点，则DE的最小值是．19．（2021秋•北碚区校级期末）已知在△ABC中，AC＝6cm，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，在DE上有一点F，EF＝1cm，连接AF，CF，若AF⊥CF，则AB＝．20．（2022•上蔡县模拟）若将三个如图1所示的直角三角形拼成如图2所示的图形，在图2中标记字母，并连接AE，CD，G，H分别为AE，CD的中点，连接GH，如图3所示．若AC＝2，则GH的长为．评卷人得分三．解答题（共8小题，满分60分）21．（2022春•宁都县期末）如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，E、F分别为AD、BC的中点，G、H分别为BD、AC的中点．请你判断EF与GH的关系，并证明你的结论．22．（2022春•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，在边AC上截取AD＝AB，连接BD，过点A作AE⊥BD于点E，F是边BC的中点，连接EF．若AB＝5，BC＝12，求EF的长度．23．（2021秋•桓台县期末）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．（1）若AB＝6，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长；（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．24．（2022春•西城区校级期中）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF＝（AC﹣AB）；（2）如图2，写出线段AB、AC、EF的数量关系，并证明你的结论．25．（2022春•抚远市期末）如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E为BC中点．求DE的长．26．（2022春•西峰区校级月考）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AF＝DC；（2）若AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．27．（2022•开福区校级一模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E、F分别是BC、AC的中点，延长BA到点D，使AB＝2AD，连接DE、DF、AE、EF，AF与DE交于点O．（1）试说明AF与DE互相平分；（2）若AB＝8，BC＝12，求DO的长．28．（2017春•西城区期中）如图，在四边形ABCD中，M、N分别是对角线AC、BD的中点，又AD、BC 的延长线交于P，求证：S△PMN＝S四边形ABCD．答案与解析一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2022春•雨花区校级月考）如图，四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CB上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不变D．线段EF的长与点P的位置有关解：如图，连接AR，∵E、F分别是AP、RP的中点，∴EF是△APR的中位线，∴EF＝AR，∵点R不动，∴AR大小不变，∴线段EF的长不变，故选：C．2．（2022秋•二道区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝BC＝13，BD平分∠ABC交AC于点D，点F在BC上，且BF＝5，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6解：∵BC＝13，BF＝5，∴FC＝BC﹣BF＝13﹣5＝8，∵AB＝BC，BD平分∠ABC，∴AD＝DC，∵AE＝EF，∴DE是△AFC的中位线，∴DE＝FC＝×8＝4．故选：B．3．（2022春•横县期中）如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AC＝9，DM＝2，则AB等于（）A．4 B．5 C．6 D．8解：如图，延长BD与AC相交于点F，∵M为BC中点，∴DM是△BCF的中位线，∴DM＝CF＝2．∴CF＝4．∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，∴AF＝AB，BD＝DF，∵AC＝9，∴CF＝AC﹣AF＝AC﹣AB＝9﹣AB＝4，∴AB＝5．故选：B．4．（2022春•新城区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，若DE是△ABC的中位线，延长DE，交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（）A．4 B．C．D．5解：在Rt△ABC中，AC＝＝＝5，∵DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝1.5，DE∥BC，EC＝AC＝2.5，∴∠EFC＝∠FCM，∵CF是∠ACM的平分线，∴∠ECF＝∠FCM，∴∠EFC＝∠ECF，∴EF＝EC＝2.5，∴DF＝DE+EF＝1.5+2.5＝4，故选：A．5．（2022春•乐陵市期末）数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明，小丽和小亮在学习思考后各自尝试作了一种辅助线，如图1，2．其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（）图1为小丽的辅助线作法：延长DE到F，使EF＝DE，连接DC、AF、FC．图2为小亮的辅助线作法：过点E作GE∥AB，过点A作AF∥BC，GE与AF交于点F．A．小丽和小亮的辅助线作法都可以B．小丽和小亮的辅助线作法都不可以C．小丽的辅助线作法可以，小亮的不可以D．小亮的辅助线作法可以，小丽的不可以解：小丽的作法：∵AE＝EC，DE＝EF，∴四边形ADCF为平行四边形，∴CF＝AD，CF∥AD，∵AD＝DB，∴DB＝CF，∴四边形DBCF为平行四边形，∴DE＝BC，DE∥BC，能够用来证明三角形中位线定理；小亮的作法：∵GE∥AB，AF∥BC，∴四边形ABGF为平行四边形，∴AB＝FG，AF＝BG，∵DB＝AB，EG＝FG，∴BD＝EG，∴四边形DBGE为平行四边形，∴DE＝BG，DE∥BG，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠CGE，在△AEF和△CEG中，，∴△AEF≌△CEG（AAS），∴AF＝GC，∴BG＝GC，∴DE＝BC，能够用来证明三角形中位线定理，故选：A．6．（2022春•通川区期末）如图，在△ABC中，M是BC边的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AB＝8，MN＝2，则AC的长为（）A．8 B．10 C．12 D．14 解：如图，延长BN交AC于点D，∵AN平分∠BAC，∴∠BAN＝∠DAN，∵BN⊥AN，∴∠ANB＝∠AND＝90°，在△ANB与△AND中，，∴△ANB≌△AND（ASA），∴AB＝AD＝8，BN＝DN，又∵M是BC边的中点，∴MN是△BCD的中位线，∴MN＝CD，∵MN＝2，∴CD＝4，∴AC＝AD+CD＝8+4＝12，故选：C．7．（2022春•禅城区期末）已知：△ABC中，D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，则四边形AFDE的周长等于（）A．AB+AC B．BA+BC C．CA+CB D．△ABC的周长解：如图1，∵D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，∴DF＝AC，DE＝AB，AF＝AB，AE＝AC，∴四边形AFDE的周长为AF+DF+CE+AE＝AB+AC+AB+AC＝AB+AC，故选：A．8．（2022春•青山区期中）如图，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF＝BC，若EF＝4，则DE的长为（）A．4 B．C．2 D．解：如图，连接DC，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是边AB的中点，∴DC＝AB，BC＝AB，∴BC＝DC，∵点D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE∥CF，DE＝BC，∵CF＝BC，∴DE＝CF，∴四边形DEFC是平行四边形，∴DC＝EF＝4，∴BC＝4，∴DE＝×4＝2．故选：C．9．（2021春•金坛区期中）如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝6，BD＝8，点E、F分别是边AD、BC的中点，连接EF，则EF的长是（）A．B．5 C．D．10解：如图，取AB的中点G，连接EG、FG，∵E、F分别是边AD、CB的中点，∴EG∥BD且EG＝BD＝×8＝4，FG∥AC且FG＝AC＝×6＝3，∵AC⊥BD，∴EG⊥FG，∴EF＝＝＝5．故选：B．10．（2022春•高唐县期末）如图，△ABC中，∠BAD＝∠CAD，BE＝CE，AD⊥BD，DE＝，AB＝4，则AC的值为（）A．6 B．C．7 D．8解：如图，延长BD，交AC于F，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝∠ADF＝90°，在△ABD和△AFD中，，∴△ABD≌△AFD（ASA），∴BD＝DF，AF＝AB＝4，∵BE＝CE，∴CF＝2DE＝3，∴AC＝AF+CF＝4+3＝7，故答案为：C．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2020春•凯里市期末）如图，CD是△ABC的中线，点E、F分别是AC、DC的中点，若，则AB＝6．解：∵点E、F分别是AC、DC的中点，∴EF是△ACD的中位线，∴AD＝2EF＝3，∵CD是△ABC的中线，∴AB＝2AD＝6，故答案为：6．12．（2022春•南岗区校级期中）如图，△ABE中，∠B＝60°，D为AB上一点，C为BE延长线上一点，连接CD、AE，取AE中点F，取CD中点G，连接FG，若AD＝8，CE＝10，则FG＝．解：连接AC，取AC中点M，连接MF、MG，作GN⊥MF于N．∵G为CD的中点，∴MG∥AD，MF∥BC，MF＝，MG＝＝＝4，∵∠B＝60°，∴∠FMG＝60°，∴∠MGN＝30°，∴MN＝＝＝2，NG＝＝2，∴NF＝MF﹣MN＝5﹣2＝3，∴FG＝＝＝．13．（2022春•兴城市期末）如图，△ABC中，D、F分别是AC、BC的中点，E在DF上，且BE⊥CE，若AB＝8，BC＝6，则DE＝1．解：∵D、F分别是AC、BC的中点，∴DF是△ABC的中位线，∴DF＝AB＝×8＝4，∵BE⊥CE，∴∠BEC＝90°，在Rt△BEC中，∠BEC＝90°，F是BC的中点，∴EF＝BC＝3，∴DE＝DF﹣EF＝4﹣3＝1，故答案为：1．14．（2022•华蓥市模拟）如图，在边长为a的等边△ABC中，分别取△ABC三边的中点A1，B1，C1，得△A1B1C1；再分别取△A1B1C1三边的中点A2，B2，C2，得△A2B2C2；这样依次下去…，经过第2022次操作后得△A2022B2022C2022，则△A2022B2022C2022的面积为a2．解：∵点A1、B1分别是CA、CB的中点，∴点A1B1是△ABC的中位线，∴A1B1＝AB＝a，同理可得：A2B2＝A1B1＝a，……则A2022B2022＝a，∴S＝（a）2＝a2，故答案为：a2．15．（2022春•府谷县期末）如图，在▱ABCD中，点E、F分别为AD、DC的中点，过点C作CM⊥AB交AB延长线于M，连接EF，若CD＝4，BM＝2，CM＝6，则EF的长为3．解：连接AC，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD＝4，∴AM＝AB+BM＝4+2＝6，∴AC＝＝＝6，∵点E、F分别为AD、DC的中点，∴EF是△ADC的中位线，∴EF＝AC＝3，故答案为：3．16．（2022春•宝应县期末）如图，四边形ABCD中，AB＝CD＝6，且AB与CD不平行，P、M、N分别是AD、BD、AC的中点，设△PMN的面积为S，则S的范围是0＜S≤4.5．解：作ME⊥PN，如图所示，∵P，M，N分别是AD，BD，AC中点，∴PM＝AB＝3，PN＝CD＝3，∴S△PMN＝PN•ME＝1.5ME，∵AB与CD不平行，∴M，N不能重合，∴ME＞0．∵ME≤MP＝3．∴0＜S△≤4.5．故答案是：0＜S≤4.5．17．（2022春•黄陵县期末）如图，点D，E，F分别是△ABC各边的中点，AH是△ABC的高，如果HF＝5，则ED的长为5．解：∵AH是△ABC的高，∴∠AHC＝90°，∵∠AHC＝90°，F是边AC的中点，∴AC＝2HF＝10，∵D、E分别是△ABC各边的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AC＝5．故答案为：5．18．（2022春•涟水县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN、MN的中点，则DE的最小值是．解：如图，连接CM，∵点D、E分别为CN，MN的中点，∴DE＝CM．当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小．由勾股定理得：AB＝＝＝13．∵S△ABC＝•AB•CM＝•AC•BC，∴CM＝．∴DE＝CM＝．故答案是：．19．（2021秋•北碚区校级期末）已知在△ABC中，AC＝6cm，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，在DE上有一点F，EF＝1cm，连接AF，CF，若AF⊥CF，则AB＝8cm．解：在Rt△AFC中，点D是AC的中点，AC＝6cm，∴DF＝AC＝×6＝3（cm），∵EF＝1cm，∴DE＝DF+EF＝3+1＝4（cm），∵点D，E分别是AC，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AB＝2DE＝2×4＝8（cm），故答案为：8cm．20．（2022•上蔡县模拟）若将三个如图1所示的直角三角形拼成如图2所示的图形，在图2中标记字母，并连接AE，CD，G，H分别为AE，CD的中点，连接GH，如图3所示．若AC＝2，则GH的长为．解：根据题意可知：Rt△ABC≌Rt△DEB≌Rt△FCE，∴BC＝BC＝CE，∴△BCE是等边三角形，∴∠BCE＝60°，如图，取CE的中点Q，连接GQ，HQ，过点G作GN⊥HQ于点N，∵G，H分别为AE，CD的中点，∴GQ∥AC，GQ＝AC＝2＝1，∴∠GQC+∠ACQ＝180°，∴∠GQC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∵△ADF是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴AB＝DE＝2AC＝4，∵H是CD中点，Q是CE中点，∴HQ∥DE，HQ＝DE＝4＝2，∴∠HQC＝∠CEF＝90°，∴∠GQH＝90°﹣30°＝60°，∵GN⊥HQ，GQ＝1，∴NQ＝GQ＝，∴GN＝，∴NH＝HQ﹣NQ＝2﹣＝，∴GH＝＝＝．故答案为：．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（2022春•宁都县期末）如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，E、F分别为AD、BC的中点，G、H分别为BD、AC的中点．请你判断EF与GH的关系，并证明你的结论．解：EF与GH互相平分，理由如下：连接EG、GF、FH、EH，∵E、F分别为AD、BC的中点，G、H分别为BD、AC的中点，∴EG是△ADB的中位线，FH是△ACB的中位线，∴EG＝AB，EG∥AB，FH＝AB，FH∥AB，∴EG＝FH，EG∥FH，∴四边形EGFH为平行四边形，∴EF与GH互相平分．22．（2022春•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，在边AC上截取AD＝AB，连接BD，过点A作AE⊥BD于点E，F是边BC的中点，连接EF．若AB＝5，BC＝12，求EF的长度．解：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝12，则AC＝＝＝13，∵AD＝AB＝5，∴DC＝AC﹣AD＝13﹣5＝8，∵AD＝AB，AE⊥BD，∴BE＝ED，∵BF＝FC，∴EF＝DC＝4．23．（2021秋•桓台县期末）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．（1）若AB＝6，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长；（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．（1）解：如图，取BD的中点P，连接EP、FP．∵E，F分别是AD、BC的中点，AB＝6，CD＝8，∴PE∥AB，且PE＝AB＝3，PF∥CD且PF＝CD＝4．又∵∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，∴∠EPD＝∠ABD＝30°，∠DPF＝180°﹣∠BDC＝60°，∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝90°，在直角△EPF中，由勾股定理得到：EF＝＝＝5，即EF＝5；（2）证明：如图，取BD的中点P，连接EP、FP．∵E，F分别是AD、BC的中点，∴PE∥AB，且PE＝AB，PF∥CD且PF＝CD．∴∠EPD＝∠ABD，∠BPF＝∠BDC，∴∠DPF＝180°﹣∠BPF＝180°﹣∠BDC，∵∠BDC﹣∠ABD＝90°，∴∠BDC＝90°+∠ABD，∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝∠ABD+180°﹣∠BDC＝∠ABD+180°﹣（90°+∠ABD）＝90°，∴PE2+PF2＝（AB）2+（CD）2＝EF2，∴AB2+CD2＝4EF2．24．（2022春•西城区校级期中）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF＝（AC﹣AB）；（2）如图2，写出线段AB、AC、EF的数量关系，并证明你的结论．（1）证明：如图1中，∵AE⊥BE，∴∠AED＝∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠DAE+∠ADE＝90°，∵∠BAE＝∠DAE，∴∠ABE＝∠ADE，∴AB＝AD，∵AE⊥BE，∴BE＝DE，∵BF＝FC，∴EF＝DC＝＝（AC﹣AB）．（2）结论：EF＝（AB﹣AC），理由：如图2中，延长AC交BE的延长线于点P．∵AE⊥BP，∴∠AEP＝∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠P AE+∠APE＝90°，∵∠BAE＝∠P AE，∴∠ABE＝∠APE，∴AB＝AP，∵AE⊥BD，∴BE＝PE，∵BF＝FC，∴EF＝PC＝（AP﹣AC）＝（AB﹣AC）．25．（2022春•抚远市期末）如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E为BC中点．求DE的长．解：如图，延长BD与AC相交于点F，∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，∴∠DAB＝∠DAF，AD＝AD，∠ADB＝∠ADF，∴△ADB≌△ADF，∴AF＝AB，BD＝DF，∵AB＝6，AC＝10，∴CF＝AC﹣AF＝AC﹣AB＝10﹣6＝4，∵E为BC中点，∴DE是△BCF的中位线，∴DE＝CF＝×4＝2．26．（2022春•西峰区校级月考）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AF＝DC；（2）若AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE．在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS），∴AF＝DB．∵AD是BC边上的中线，∴DC＝DB，∴AF＝DC；（2）解：四边形ADCF是矩形．证明：连接DF，由（1）得AF＝DB，AF∥DB，∴四边形ABDF是平行四边形，∴AB＝DF，∵AB＝AC，∴AC＝DF，由（1）得AF＝DC，AF∥DC，∴四边形ADCF是平行四边形，∴四边形ADCF是矩形．27．（2022•开福区校级一模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E、F分别是BC、AC的中点，延长BA到点D，使AB＝2AD，连接DE、DF、AE、EF，AF与DE交于点O．（1）试说明AF与DE互相平分；（2）若AB＝8，BC＝12，求DO的长．解：（1）∵E、F分别是BC、AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB且EF＝AB．又AB＝2AD，即AD＝AB，∴AD∥EF，AD＝EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∴AF与DE互相平分；（2）∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，BC＝12，∴由勾股定理得AC＝＝＝4又由（1）知，OA＝OF，且AF＝CF，∴OA＝AC＝．∴在△AOD中，∠DAO＝90°，AD＝AB＝4，OA＝，∴由勾股定理得DO＝＝＝．28．（2017春•西城区期中）如图，在四边形ABCD中，M、N分别是对角线AC、BD的中点，又AD、BC 的延长线交于P，求证：S△PMN＝S四边形ABCD．解：如图所示，连接DM，BM，∵M是AC的中点，∴△ADM的面积＝×△ACD的面积，△ABM的面积＝×△ACB的面积，∴△ADM的面积+△ABM的面积＝（△ACD的面积+△ACB的面积）＝×四边形ABCD的面积，∵M是AC的中点，∴△BPM的面积＝△MPC的面积+△MBC的面积＝×△ACP的面积+×△ABC的面积＝×△ABP的面积，∵N是BD的中点，∴△BPN的面积＝×△BDP的面积，△BMN的面积＝×△BDM的面积，∴S△PMN＝△BPM的面积﹣△BPN的面积﹣△BMN的面积＝×△ABP的面积﹣×△BDP的面积﹣×△BDM的面积＝（△ABP的面积﹣△BDP的面积﹣△BDM的面积）＝（△ADM的面积+△ABM的面积）＝××S四边形ABCD＝S四边形ABCD。

2022-2023学年初二数学第二学期培优专题14 三角形斜边中线与中位线

2022-2023学年初二数学第二学期培优专题14 三角形斜边中线与中位线

2022-2023学年初二数学第二学期培优专题14 三角形斜边中线与中位线结合【例题讲解】（1）如图1，已知△ABC中，F是BC上一点，AB＝BF，BE⊥AF，垂足是E，D是AC的中点，请说明FC和DE有怎样的关系？（请写出详细的推理过程）（2）如图2，在△ABC中，M、D分别是边AB、AC的中点，E是线段MD上的一点．连接AE、BE，∠AEB ＝90°，且AB＝8，BC＝14，则DE的长是______．解：（1）12DE FC DE FC=∥，，理由如下：∵AB=BF，BE⊥AF，∴AE=EF，即点E是AF的中点，又∵D是AC的中点，∴DE是△ACF的中位线，∴12DE FC DE FC=∥，；（2）∵M、D分别是AB、AC的中点，∴MD是△ABC的中位线，∴172MD BC==，∵∠AEB=90°，AB=8，M是AB的中点，∴142ME AB==，∴DE=MD-ME=3．【综合演练】1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BF是AC边上的中线，DE是△ABC的中位线，若DE＝10，则BF的长为（）A ．10B ．5C ．8D ．62．如图，在ABC 中，BF 平分ABC ∠，AF BF ⊥于点F ，D 为AB 的中点，连接DF 延长交AC 于点.E 若10AB =，=16BC ，则线段EF 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．如图，在RtΔABC 中，∠ACB =90，AC =6、BC =4，点F 为射线CB 上一动点，过点C 作CM ⊥AF 于M 交AB 于E ， D 是AB 的中点，则DM 长度的最小值是( )A ．3B ．2C ．1D ．6-24．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为BC 上一点，CE ＝5，F 为DE 的中点．若△CEF 的周长为18，则OF 的长为( )A ．3B ．4C ．52D ．72第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题(共0分)5．已知，如图，在△ABC 中，D 、E 、F 分别是各边的中点，AH 是高，已知AB ＝6cm ，AC ＝8cm ，7cm 3CH BH -=，则△DHE 的周长为________cm ．6．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，若6BC =，则EF 的长度为 _____．7．如图，菱形ABCD 中，DE AB ⊥，垂足为E ，点F 、G 分别为边AD 、DC 的中点，5,8EF FG ==，则ABCD S =菱形___________．8．如图，在ABC 和ABD △中，90ACB ADB ∠=∠=︒，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，若1DE =，则FG =_________．9．如图，在正方形ABCD 中，F 在AB 上，E 在BC 的延长线上，AF ＝CE ，连接DF 、DE 、EF ，EF 交对角线BD 于点N ，M 为EF 的中点，连接MC ，下列结论：①△DEF 为等腰直角三角形；②∠FDB ＝∠FEC ；③直线MC 是BD 的垂直平分线；④若BF ＝2，则MC ＝2；其中正确结论的有_______．10．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=，D 为AC 边上的中点，E 为AB 边上一点，4AB BE =，连接CE DE 、，延长DE 交CB 延长线于F ，若3BF =，10AB =，则CE =________．11．如图，在Rt ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，点P 是平面内一个动点，且4AP =，Q 为BP 的中点，在P 点运动过程中，设线段CQ 的长度为m ，则m 的取值范围是_______．三、解答题(共0分)12．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =90°，AC=AD ，M ，N 分别是AC ，CD 的中点，连接BM ，MN ，BN ．(1)求证：BM=MN；(2)若∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2．①求∠BMN的度数；②求BN的长．13．如图，D、E、F分别是△ABC三边中点，AH⊥BC于H．求证：（1）∠BDF＝∠BAC；（2）DF＝EH．14．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AB，点E、F分别是OA、BC的中点，连接BE、EF．BC；(1)求证：EF=12(2)在上述条件下，若AC=BD，G是BD上一点，且BG:GD=3:1，连接EG、FG，试判断四边形EBFG的形状，并证明你的结论．15．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（4，0），C（6，2），连接AB，BC，平移BC至AD（点B 与点A对应，点C与点D对应），连接CD．(1)①直接写出点D的坐标为．②判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论；(2)如图1，点E为AB边上一点，连接DE，DF平分∠EDC交BC于F，连接EF，若∠DFE＝45°，求BE 的长；(3)如图2，N为BC边的中点，若∠AMC＝90°，连接MN，请直接写出MN的取值范围．16．已知，在△ABC中，以△ABC的两边BC，AC为斜边向外测作Rt△BCD和Rt△ACE，使∠CAE=∠CBD，取△ABC边AB的中点M，连接ME，MD．特例感知：（1）如图1，若AC=BC，∠ACB=60°，∠CAE=∠CBD=45°，取AC，BC的中点F，G，连接MF，MG，EF，DG，则ME与MD的数量关系为______，∠EMD=______；（2）如图2，若∠ACB=90°，∠CAE=∠CBD=60°，取AC，BC的中点F，G，连接MF，MG，EF，DG，请猜想ME与MD的数量关系以及∠EMD的度数，并给出证明；类比探究：（3）如图3，当△ABC是任意三角形，∠CAE=∠CBD=α时，连接DE，请猜想△DEM的形状以及∠EMD 与α的数量关系，并说明理由．中，D为BC中点，BE、CF与射线AE分别相交于点E、F（射线AE不经过点D）．17．在ABC(2)如图②，当BE⊥AE于点E，CF⊥AE于点F时，分别取AB、AC的中点M、N，连接ME、MD、NF、ND．求证：AM=AN(3)如图②，当BE⊥AE于点E，CF⊥AE于点F时，分别取AB、AC的中点M、N，连接ME、MD、NF、ND．求证：∠EMD=∠FND．18．（1）如图1，已知△ABC中，F是BC上一点，AB＝BF，BE⊥AF，垂足是E，D是AC的中点，请说明FC和DE有怎样的关系？（请写出详细的推理过程）（2）如图2，在△ABC中，M、D分别是边AB、AC的中点，E是线段MD上的一点．连接AE、BE，∠AEB ＝90°，且AB＝8，BC＝14，则DE的长是______．答案与解析【例题讲解】（1）如图1，已知△ABC中，F是BC上一点，AB＝BF，BE⊥AF，垂足是E，D是AC的中点，请说明FC和DE有怎样的关系？（请写出详细的推理过程）（2）如图2，在△ABC中，M、D分别是边AB、AC的中点，E是线段MD上的一点．连接AE、BE，∠AEB ＝90°，且AB＝8，BC＝14，则DE的长是______．解：（1）12DE FC DE FC=∥，，理由如下：∵AB=BF，BE⊥AF，∴AE=EF，即点E是AF的中点，又∵D是AC的中点，∴DE是△ACF的中位线，∴12DE FC DE FC=∥，；（2）∵M、D分别是AB、AC的中点，∴MD是△ABC的中位线，∴172MD BC==，∵∠AEB=90°，AB=8，M是AB的中点，∴142ME AB==，∴DE=MD-ME=3．【综合演练】1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BF是AC边上的中线，DE是△ABC的中位线，若DE＝10，则BF的长为（）A．10 B．5 C．8 D．6【分析】根据三角形中位线定理求出AC ，根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半计算，得到答案．【解答】解：∵DE 是△ABC 的中位线，若DE =10，∴AC =2DE =20，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，BF 是AC 边上的中线，∴BF =12AC =10，故选：A ． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．2．如图，在ABC 中，BF 平分ABC ∠，AF BF ⊥于点F ，D 为AB 的中点，连接DF 延长交AC 于点.E 若10AB =，=16BC ，则线段EF 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B【分析】先求出152DF AB AD BD ====，然后证明DE BC ∥，根据平行线分线段成比例可得=AE EC ，再根据三角形中位线定理求出DE 即可．【解答】解：AF BF ⊥，90AFB ∴∠=︒，10AB =，D 为AB 中点，152DF AB AD BD ∴====， ABF BFD ∠∠∴=，又BF 平分ABC ∠，ABF CBF ∠∠∴=，CBF DFB ∠∠∴=，∴DE BC ∥，∴=AD AE DB EC，182DE BC ∴==， 853EF DE DF ∴=-=-=，故选：B ．【点评】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，平行线分线段成比例定理以及三角形中位线定理等知识，证明DE BC ∥是解答本题的关键．3．如图，在RtΔABC 中，∠ACB =90，AC =6、BC =4，点F 为射线CB 上一动点，过点C 作CM ⊥AF 于M 交AB 于E ， D 是AB 的中点，则DM 长度的最小值是( )A ．3B ．2C ．1D ．6-2【答案】C【分析】取AC 的中点T ，连接DT ，MT ．利用三角形的中位线定理求出DT ，利用直角三角形的中线的性质求出MT ，再根据DM MT DT ≥-，可得结论．【解答】解：如图，取AC 的中点T ，连接DT ，MT ．∵AD DB =，AT TC =，∴122DT BC ==． ∵CE AF ⊥，∴90AMC ∠=︒，∴132TM AC ==， ∴点M 的运动轨迹是以T 为圆心，TM 为半径的圆，∴321DM TM DT ≥-=-=，∴DM 的最小值为1，故选：C ．【点评】本题考查点与圆的位置关系，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线，直角三角形斜边中线解决问题．4．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为BC 上一点，CE ＝5，F 为DE 的中点．若△CEF 的周长为18，则OF 的长为( )A ．3B ．4C ．52D ．72 【答案】D【分析】先根据直角三角形的性质求出DE 的长，再由勾股定理得出CD 的长，进而可得出BE 的长，由三角形中位线定理即可得出结论．【解答】∵CE=5，△CEF 的周长为18，∴CF+EF=18-5=13．∵F 为DE 的中点，∴DF=EF ．∵∠BCD=90°，∴CF=12DE ，∴EF=CF=12DE=6.5，∴DE=2EF=13，∴CD=2212DE CE -=，∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD=12，O为BD的中点，∴OF是△BDE的中位线，∴OF=12(BC－CE)=12(12－5)=3.5，故选D．【点评】本题考查的是正方形的性质，涉及到直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识，难度适中．使用勾股定理是解决这个问题的关键．5．已知，如图，在△ABC中，D、E、F分别是各边的中点，AH是高，已知AB＝6cm，AC＝8cm，7 cm 3CH BH-=，则△DHE的周长为________cm．【答案】496##186【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质求出DH，根据三角形中位线定理求出DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：∵AH是△ABC的高，∴∠AHB=90°，∵点D是AB的中点，∴DH=12AB=12×6=3cm，∵D、E分别是BA、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12AC=12×8=4cm，∵BE=EC，CH-BH=73 cm，∴HE=76 cm，∴△DHE的周长=DH+DE+HE=496cm，故答案为：496．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．6．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，若6BC =，则EF 的长度为 _____．【答案】3【分析】根据含30°的直角三角形的性质求出CD ，根据直角三角形的性质求出CD ，根据三角形中位线定理计算，得到答案．【解答】解：∵∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，∴AB ＝2BC ＝12．∵∠ACB ＝90°，D 为AB 的中点，∴CD ＝12AB ＝6，∵E ，F 分别为AC ，AD 的中点，∴EF 为△ACD 的中位线，∴EF ＝12CD ＝3．故答案为：3．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．7．如图，菱形ABCD 中，DE AB ⊥，垂足为E ，点F 、G 分别为边AD 、DC 的中点，5,8EF FG ==，则ABCD S =菱形___________．【答案】96【分析】连接,AC BD ，交于点O ，先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得10AD =，再根据三角形的中位线定理可得16AC =，然后根据菱形的性质和勾股定理可得12BD =，最后利用菱形的面积公式即可得．【解答】解：如图，连接,AC BD ，交于点O ，,5DE AB EF ⊥=，且点F 为边AD 的中点，210AD EF ∴==，点,F G 分别为边,AD DC 的中点，8FG =，216AC FG ∴==，四边形ABCD 是菱形，1,8,22AC BD OA AC BD OD ∴⊥===， 226OD AD OA ∴=-=，12BD ∴=，1116129622ABCD S AC BD ∴=⋅=⨯⨯=菱形， 故答案为：96．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形的中位线定理、勾股定理、菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键．8．如图，在ABC 和ABD △中，90ACB ADB ∠=∠=︒，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，若1DE =，则FG =_________． 【答案】1【分析】由直角三角形斜边中线的性质得出AB =2DE ，再由三角形中位线的性质可得FG 的长；【解答】解：∵Rt △ABC 中，点E 是AB 的中点，DE =1，∴AB =2DE =2，∵点F 、G 分别是AC 、BC 中点，∴112FG AB ==，故答案为：1【点评】本题考查了直角三角形的性质及三角形中位线的性质等知识；熟练掌握中位线定理是解题的关键． 9．如图，在正方形ABCD 中，F 在AB 上，E 在BC 的延长线上，AF ＝CE ，连接DF 、DE 、EF ，EF 交对角线BD 于点N ，M 为EF 的中点，连接MC ，下列结论：①△DEF 为等腰直角三角形；②∠FDB ＝∠FEC ；③直线MC 是BD 的垂直平分线；④若BF ＝2，则MC ＝2；其中正确结论的有_______．【答案】①②③④【分析】先根据SAS 定理证出ADF CDE ≅，再根据全等三角形的性质可得,DF DE ADF CDE =∠=∠，然后根据等腰直角三角形的判定即可判断①；先根据等腰直角三角形的性质可得45DEF DFE ∠=∠=︒，再根据对顶角相等可得DNF BNE ∠=∠，然后根据三角形的内角和定理即可得判断②；连接BM DM ,，先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得12BM DM EF ==，再根据线段垂直平分线的判定即可判断③；取BE 的中点O ，连接MO ，先根据三角形中位线定理可得11,2MO BF MO BF ==∥，再根据等腰三角形的三线合一可得1452BCM BCD ∠=∠=︒，然后在Rt MOC 中，利用勾股定理即可得．【解答】解：四边形ABCD 是正方形，,90,45AB AD CD BC A ABC BCD ADC CBD ∴===∠=∠=∠=∠=︒∠=︒，在ADF △和CDE 中，90AD CD A DCE AF CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()SAS ADF CDE ∴≅，,DF DE ADF CDE ∴=∠=∠，90EDF CDE CDF ADF CDF ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，DEF ∴为等腰直角三角形，结论①正确；45DEF DFE ∴∠=∠=︒，又45,CBD DNF BNE ∠=︒∠=∠，180180DNF CBD BN E E DF ∴︒-∠=︒-∠-∠∠-，即FDB FEC ∠=∠，结论②正确；如图，连接BM DM ,，M 为Rt DEF △和Rt BEF △斜边EF 上的中点，12BM DM EF ∴==， 又BC CD =，∴直线MC 是BD 的垂直平分线，结论③正确；如图，取BE 的中点O ，连接MO ，1121,22MO BF MO BF ∴==⨯=∥，90MOC ABC ∴∠=∠=︒，直线MC 是BD 的垂直平分线，BC CD =，1452BCM BCD ∴∠=∠=︒（等腰三角形的三线合一）， Rt COM ∴是等腰直角三角形，且1OC MO ==，222MC MO OC ∴=+=，结论④正确；综上，正确结论的有①②③④，故答案为：①②③④．【点评】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握各判定与性质是解题关键．10．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=，D 为AC 边上的中点，E 为AB 边上一点，4AB BE =，连接CE DE 、，延长DE 交CB 延长线于F ，若3BF =，10AB =，则CE =________．【答案】972【分析】取AB 的中点G ，连接DG ，则AB ＝2BG ，可得BE ＝EG ，再利用三角形中位线定理得BC ＝2DG ，DG BF ∥，利用ASA 证明△GDE ≌△BFE ，得DG ＝BF ＝3，DE ＝EF ，从而解决问题．【解答】解：取AB 的中点G ，连接DG ，则AB ＝2BG ，∵AB ＝4BE ，∴BE ＝EG ，∵D 为AC 边上的中点，G 为AB 的中点，∴DG 为△ABC 的中位线，∴BC ＝2DG ，DG BF ∥， ∴∠GDE ＝∠F ，在△GDE 和△BFE 中，GDE F DEG FEB GE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△GDE ≌△BFE （ASA ），∴DG ＝BF ＝3，DE ＝EF ，∴BC ＝6，∴CF ＝9，由勾股定理得，AC ＝8，∴CD ＝4，在Rt △CDF 中，由勾股定理得，DF ＝22224997CD CF +=+=，∵∠ACB ＝90°，EF ＝DE ，∴CE ＝12DF ＝972， 故答案为：972． 【点评】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质等知识，证明点E 是DF 的中点是解题的关键．11．如图，在Rt ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，点P 是平面内一个动点，且4AP =，Q 为BP 的中点，在P 点运动过程中，设线段CQ 的长度为m ，则m 的取值范围是_______．【答案】3m 7≤≤【分析】取AB 的中点M ，连接QM 、CM ，得到QM 是△APB 的中位线，CM 是Rt ABC 斜边上的中线，求得QM 、CM 的长，在△QMC 中利用三角形三边关系得到CQ 的范围即可．【解答】取AB 的中点M ，连接QM 、CM ，∴QM 是△APB 的中位线，CM 是Rt ABC 斜边上的中线，∴122QM AP ==，12CM AB =， 在Rt ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，∴226810AB =+=，∴CM =5，∵点P 是平面内一个动点，∴点Q 是动点，且点Q 以点M 为圆心，QM 长为半径的圆上运动，∴C 、Q 、M 可以三点共线，∴CM -MQ ≤CQ ≤CM +MQ ，∴3m 7≤≤，故答案为：3m 7≤≤．【点评】本题考查勾股定理、直角三角形斜边中线的性质，中位线定理、三角形三边关系等知识，分析点Q 的运动是解题的关键．12．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =90°，AC=AD ，M ，N 分别是AC ，CD 的中点，连接BM ，MN ，BN ．(1)求证：BM=MN ；(2)若∠BAD =60°，AC 平分∠BAD ，AC =2．①求∠BMN 的度数；②求BN 的长．题的关键是灵活应用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．13．如图，D、E、F分别是△ABC三边中点，AH⊥BC于H．求证：（1）∠BDF＝∠BAC；（2）DF＝EH．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）根据三角形中位线定理得到DF//AC，根据平行线的性质证明结论；AC，等量代换证明结论．（2）根据直角三角形的性质得到EH＝12【解答】（1）∵D、F分别是△ABC两边中点，∴DF是△ABC的中位线，AC，∴DF//AC，DF＝12∴∠BDF＝∠BAC；（2）∵AH⊥BC于H，E是AC的中点，AC，∴EH＝12由（1）得，DF＝12 AC，∴DF＝EH．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．14．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AB，点E、F分别是OA、BC的中点，连接BE、EF．BC；(1)求证：EF=12(2)在上述条件下，若AC=BD，G是BD上一点，且BG:GD=3:1，连接EG、FG，试判断四边形EBFG的形状，并证明你的结论．∴EBFG是平行四边形，连接CG，∵G是OD的中点，而CO=12AC=12BD=AB=CD，∴CG⊥OD，而F是BC的中点，∴GF=12BC=BF，∴平行四边形EBFG是菱形．【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形性质，菱形性质，三角形的中位线，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的性质等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，注意：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半．15．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（4，0），C（6，2），连接AB，BC，平移BC至AD（点B 与点A对应，点C与点D对应），连接CD．(1)①直接写出点D的坐标为．②判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论；(2)如图1，点E为AB边上一点，连接DE，DF平分∠EDC交BC于F，连接EF，若∠DFE＝45°，求BE 的长；(3)如图2，N为BC边的中点，若∠AMC＝90°，连接MN，请直接写出MN的取值范围．段CD上取一点G，使DG=DE，∵∠FDE=∠FDG，DF=DF，∴△DFE≌△DFG（SAS），∴∠DFE=∠DFG=45°，EF=GF，∴∠EFG=90°，∵∠EFB+∠GFC=90°，∠GFC+∠FGC=90°，∴∠EFB=∠FGC，∵∠EBF=∠FCG=90°，EF=GF，∴△EBF≌△FCG（AAS），∴EB=FC，BF=CG，设EB=FC=x，则22BF CG BC x x==-=-，∴222222(42)(22)DE AE AD x DG=+=-+=，∵222()(4222)DG CD GC x=-=-+，∴222 (4222)(42)(22)x x-+=-+，解得：423x，即423BE=；（3）解：如图，连接AC，取AC的中点H，连接MH，NH，∵点A（0，4），B（4，0），D（2，6），∴42,210AB AC==，∵H为AC的中点，N为BC边的中点，∴1122,1022NH AB HM AC====，∵HM-NH≤MN≤HM+NH，∴MN的取值范围为10222210MN-≤≤+．【点评】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形和矩形的性质、三角形全等、勾股定理的运用，直角三角形的性质，三角形中位线定理等，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识点是解题的关键．16．已知，在△ABC中，以△ABC的两边BC，AC为斜边向外测作Rt△BCD和Rt△ACE，使∠CAE=∠CBD，取△ABC 边AB 的中点M ，连接ME ，MD ．特例感知：（1）如图1，若AC =BC ，∠ACB =60°，∠CAE =∠CBD =45°，取AC ，BC 的中点F ，G ，连接MF ，MG ，EF ，DG ，则ME 与MD 的数量关系为______，∠EMD =______；（2）如图2，若∠ACB =90°，∠CAE =∠CBD =60°，取AC ，BC 的中点F ，G ，连接MF ，MG ，EF ，DG ，请猜想ME 与MD 的数量关系以及∠EMD 的度数，并给出证明；类比探究：（3）如图3，当△ABC 是任意三角形，∠CAE =∠CBD =α时，连接DE ，请猜想△DEM 的形状以及∠EMD 与α的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）ME=MD ，∠EMD=90°；（2）ME=MD ，∠EMD=120°；（3）△DEM 是等腰三角形，∠EMD=2α．【分析】（1）如图1，证明△EAM ≌△DBM ，可得EM=DM ，先根据三角形的中位线得：11FM AC MG BC 22===，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得12EF AC =，得EF=FM ，且顶角∠EFM=150°，得∠FEM=∠FME=15°，同理∠DMG=15°，相加可得结论；（2）如图2，证明△MEF ≌△DMG ，可得EM=DM ，∠EMF=∠MDG=15°，相加可得∠EMD=120°；（3）如图，作辅助线，取AC ，BC 的中点F ，G ，连接MF ，MG ，EF ，DG ，同理可证出EF=MG ，DG=FM ，∠3=2∠2，∠4=2∠1，证明△MEF ≌△DMG ．则EM=DM ，∠EMF=∠MDG ．表示∠EMD=∠MDG+∠DMG+∠ACB ，代入可得结论．【解答】解：（1）ME=MD ，∠EMD=90°；理由是：如图1，∵AC=BC ，∠ACB=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴∠CAB=∠CBA=60°，在 Rt △BCD 和Rt △ACE 中，∠CAE=∠CBD=45°，∴AC=2AE，BC=2BD，∴AE=BD，∵M是AB的中点，∴AM=BM，∵∠EAM=45°+60°=105°，∠DBM=45°+60°=105°，∴∠EAM=∠DBM，∴△EAM≌△DBM，∴EM=DM，∵F、G分别是AC、BC的中点，∴FM=MG=12AC=CF=CG，∴四边形CFMG是菱形，∴∠FMG=∠BCA=60°，Rt△ACE中，∵F是斜边AC的中点，∴EF=12AC=FM，∵∠EFM=90°+60°=150°，∴∠FEM=∠FME=15°，同理∠DMG=15°，∴∠EMD=60°+15°+15°=90°，故答案为EM=DM，90°；（2）ME=MD，∠EMD=120°；证明：∵F，G，M是△ABC的三边AC，BC，AB的中点，∴FM=12BC=CG，FM∥BC，MG=12AC=CF，MG∥AC．∴四边形CFMG是平行四边形，∴∠AFM=∠FMG=∠ACB=∠MGD=90°．∵∠AEC=∠BDC=90°，F，G是AC，BC的中点，∴EF=AF=FC=12AC，CG=BG=DG=12BC．∴∠2=∠CEF，∠1=∠CDG，EF=MG，DG=FM．∴∠3=∠2+∠CEF=2∠2，∠4=∠1+∠CDG=2∠1.∵∠2+∠EAC=90°，∠1+∠CBD=90°，∠CAE=∠CBD=60°，∴∠1=∠2=30°．∴∠3=∠4=60°．∴∠EFM=∠3+∠AFM=150°，∠DGM=∠4+∠CGM=150°∴∠EFM=∠DGM．又∵EF=MG，FM=DG，∴△MEF≌△DMG．∴EM=DM，∠EMF=∠MDG=15°．∴∠EMD=90°+2×15°=90°30°=120°；（3）△DEM是等腰三角形，∠EMD=2α．证明：取AC，BC的中点F，G，连接MF，MG，EF，DG，同（2）证法相同，可证出EF=MG，DG=FM，∠3=2∠2，∠4=2∠1．∵∠2+∠EAC=90°，∠1+∠CBD=90°，∠CAE=∠CBD=α，∴∠1=∠2=90°-α．∴∠3=∠4=2（90°-α）．∴∠EFM=∠3+∠AFM=∠3+∠ACB，∠DGM=∠4+∠BGM=∠4+∠ACB．∴∠EFM=∠DGM．又∵EF=MG，FM=DG，∴△MEF≌△DMG．∴EM=DM，∠EMF=∠MDG．∴△DEM是等腰三角形；∵∠EMD=∠FME+∠FMG+∠DMG，由（2）知∠FMG=∠ACB，∴∠EMD=∠MDG+∠DMG+∠ACB．∵∠MDG+∠DMG=180°-∠DGM=180°-（∠4+∠ACB ）=180°-2（90°-α）-∠ACB=2α-∠ACB．∴∠EMD=2α-∠ACB+∠ACB=2α．【点评】本题是三角形的综合题，考查了三角形全等的性质和判定、三角形中位线定理、直角三角形斜边中线的性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质等知识，并运用了类比的思想依次解决问题．∆中，D为BC中点，BE、CF与射线AE分别相交于点E、F（射线AE不经过点D）．17．在ABC(1)如图①，当BE∥CF时，连接ED并延长交CF于点H. 求证：四边形BECH是平行四形；(2)如图②，当BE⊥AE于点E，CF⊥AE于点F时，分别取AB、AC的中点M、N，连接ME、MD、NF、ND．求证：AM=AN(3)如图②，当BE⊥AE于点E，CF⊥AE于点F时，分别取AB、AC的中点M、N，连接ME、MD、NF、ND．求证：∠EMD=∠FND．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据两直线平行内错角相等求得∠DBE=∠DCH，然后依据ASA求得BDE≅CDH得出ED=HD，最后根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求得．（2）连接FD、ED，延长ED交CF于点H，根据直角三角形斜边的中线定理和三角形的中位线定理求得ME=DN，MD=NF，从而证得AM=AN；（3）在（2）的条件下根据SSS 即可证明MED ≅NDF ，最后根据全等三角形的对应角相等求得∠EMD =∠FND ． （1）如图①，∵D 为BC 的中点，∴BD =CD ，∵BE ∥CF ，∴∠DBE =∠DCH ，在BDE 与CDH 中，DBE DCH BD CD BDE CDH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴BDE ≅CDH (AAS )，∴ED =HD ，∴四边形BECH 是平行四边形；（2）如图②连接FD 、ED ，延长ED 交CF 于点H ，∵BE ⊥AE ，CF ⊥AE ，）可知BDE≅CDHRt EHFRt AEBRt ACF在MED与NDF∴MED≅NDF。

2024八年级数学下册专项讲与练专题18.7 三角形的中位线(知识梳理与考点分类讲解)

2024八年级数学下册专项讲与练专题18.7 三角形的中位线(知识梳理与考点分类讲解)

专题18.7 三角形的中位线（知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】三角形的中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.特别提醒：1.三角形有三条中位线.2.不要把三角形的中位线与三角形的中线混淆，应从它们的定义加以区别.【知识点二】三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.特别提醒：三角形的三条中位线把原三角形分成四个全等的小三角形，每个小三角形的周长为原三角形周长的一半，每个小三角形的面积为原三角形面积的四分之一.【考点目录】【考点1】利用三角形中位线求值；【考点2】利用三角形中位线证明；【考点3】利用三角形的中位线求值与证明；【考点4】三角形的中位线综合应用；（2）:PE PB 的值？【答案】（1）:AP PD 的值为1；；（2）1:3PE PB =:．【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理．（1）如图所示，取BE 中点G ，连接DG ，则DG 是BCE V 的中位线，即可证明12DG CE =，DG CE ∥，进而推出32DG AE =，再证明DGP AEP △≌△，即可求解；（2）由DGP AEP △≌△，推出EP PG =，再根据点G 是BE 中点，据此求解即可．（1）解：如图所示，取BE 中点G ，连接DG ，∵AD 是BC 边上的中线，即D 是BC 的中点，∴DG 是BCE V 的中位线，∴12DG CE =，DG CE ∥，∵:1:2AE EC =，∴DG AE =，∵DG AE ∥，∴DGP AEP Ð=Ð，GDP EAP Ð=Ð，∴DGP AEP △≌△，∴AP PD =，∴:AP PD 的值为1；（2）解：∵DGP AEP △≌△，∴EP PG =，∵点G 是BE 中点，∴1:3PE PB =:．【变式1】（2023·广东肇庆·统考三模）如图，ABCD Y 中，3AB =，BE 平分ABC Ð，交AD 于点E ，2DE =，点F ，G 分别是BE 和CE 的中点，则FG 的长为（ ）A ．3B ．2.5C ．2D ．5【答案】B【分析】首先根据平行四边形的性质可得AD BC ∥，AD BC =，再结合角平分线的定义和平行线的性质证明ABE V 为等腰三角形，易得3AB AE ==，进而可得5AD BC ==，然后结合点F ，G 分别是BE 和CE 的中点，易得FG 是BEC V 的中位线，结合三角形中位线的性质即可获得答案．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，AD BC =，∴AEB EBC Ð=Ð，∵BE 平分ABC Ð，∴ABE EBC Ð=Ð，∴AEB ABE Ð=Ð，∴3AB AE ==，∴325AD BC AE ED ==+=+=，∵点F ，G 分别是BE 和CE 的中点，∴FG 是BEC V 的中位线，∴12.52FG BC ==．故选：B ．【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线的性质是解题关键．【变式2】（2023上·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，在平行四边形ABCD 中，AD =E 、F 分别为边BC 、CD 的中点，连接EF 、AE 、BD ，当AE 平分BEF Ð时，BD 的长为 ．【答案】【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角形中位线定理．由三角形的中位线定理可得EF BD ∥，12BE BC ==AD DO ==BE BO ==，即可求解．解：如图，设AE 与BD 的交点为O ，AE Q 平分BEF Ð，AEF AEB \Ð=Ð，∵AD BC ∥，AEB DAE \Ð=Ð，E Q 、F 分别为边BC 、CD 的中点，∴EF BD ∥，12BE BC ==，BOE AEF \Ð=Ð，AOD AEF Ð=Ð，DAE AOD BEO BOE \Ð=Ð=Ð=Ð，AD DO \==，BE BO ==，DB \=故答案为：．【考点2】利用三角形的中位线证明；【例2】（2024下·江西宜春·九年级江西省丰城中学校考开学考试）如图，DE 是ABC V 的中位线，延长CB 至点F ，使12BF BC =，连接BE ，DF ．（1）求证：四边形BEDF 是平行四边形．（2）若12DF AC =，试判断ABC V 的形状，并说明理由．【答案】（1）见分析；（2）ABC V 为直角三角形，理由见分析【分析】（1）根据三角形中位线定理可得DE BC ∥，12DE BC =，求出DE BF =，根据平行四边形的判定可得结论；（2）根据平行四边形的性质和三角形中位线定理求出AE EC BE ==，可得EAB EBA Ð=Ð，ECB EBC Ð=Ð，然后利用三角形内角和定理求出90EBA EBC Ð+Ð=°即可．解：（1）证明：DE Q 是ABC V 的中位线，\DE BC ∥，12DE BC =，12BF BC =Q ，DE BF \=，\四边形BEDF 是平行四边形；（2）解：ABC V 为直角三角形；理由：Q 四边形BEDF 是平行四边形，DF BE \=，12DF AC =Q ，12BE AC \=，DE Q 是ABC V 的中位线，12AE EC AC \==．AE EC BE \==，∴EAB EBA Ð=Ð，ECB EBC Ð=Ð，∵180EAB EBA ECB EBC Ð+Ð+Ð+Ð=°，∴90EBA EBC Ð+Ð=°，即90ABC Ð=°，ABC \V 为直角三角形．【点拨】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．【变式1】（2023·云南德宏·统考一模）如图，在钝角ABC V 中，点D ，E 分别是边AC BC ，的中点，且DA DE =，那么下列结论错误的是（ ）A ．12Ð=ÐB ．13Ð=ÐC ．B C Ð=ÐD ．3BÐ=Ð【答案】D【分析】先证明DE 是ABC V 的中位线，DA DC =，则DE AB ∥，31Ð=Ð，B CED Ð=Ð，由DA DE =得到23ÐÐ=，DE DC =，则12Ð=Ð，C CED Ð=Ð，得到B C Ð=Ð，即可作出判断．解：∵点D ，E 分别是边AC BC ，的中点，∴DE 是ABC V 的中位线，DA DC =，∴DE AB ∥，∴31Ð=Ð，B CED Ð=Ð，故B 选项正确；∵DA DE =，∴23ÐÐ=，DE DC =，∴12Ð=Ð，C CED Ð=Ð，∴B C Ð=Ð，故选项A 和C 都正确；无法证明3B Ð=Ð，故D 选项符合题意，故选：D【点拨】此题考查了三角形中位线定理、等边对等角等知识，熟练掌握三角形中位线定理、等边对等角是解题的关键．【变式2】（2023下·重庆南岸·八年级重庆市南坪中学校校联考期中）如图，在ABD △中，C 是BD 上一点，若E 、F 分别是AC 、AB 的中点，DEF V 的面积为6，则ABC V 的面积为．【答案】24【分析】连接CF ，先证明6EFC EFD S S ==V V ，再证明2ACF EFC S S =V V ，2ABC ACF S S =V V 即可解决问题．解：连接CF ．E Q 、F 分别是AC 、AB 的中点，EF BC \∥，6EFC EFD S S \==V V ，AE EC =Q ，212ACF EFC S S \==V V ，AF FB =Q ，224ABC ACF S S \==V V ，故答案为：24．【点拨】本题考查三角形中位线定理，三角形中线的性质，解题的关键是灵活应用三角形中线的性质，三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，属于中考常考题型．【考点3】利用三角形的中位线求值或证明【例3】（2024上·上海静安·八年级上海田家炳中学校考期末）如图，直角ABC V 中，90A Ð=°，2AB AC ==，点D 是BC 边的中点，点E 是AB 边上的一个动点（不与A ，B 重合），DF DE ^交AC 于点F ，设BE x =，FC y =．（1）求证：DE DF =；（2）写出y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）写出x 为何值时，EF BC ∥？【答案】（1）见详解；（2）2y x =-，02x <<；（3）1x =【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，正确证明EDH FDN V V ≌是关键．（1）取AB 的中点记为H ，取AC 的中点记为N ．根据三角形中位线的性质可得DH DN =，根据余角的性质可得EDH FDN Ð=Ð，根据ASA 可证EDH FDN V V ≌，根据全等三角形的性质即可证明DE DF =；（2）根据全等三角形的性质可得HE NF =，从而得到y 关于x 的函数关系式，以及x 的定义域；（3）连接HN ，根据三角形中位线的性质可得x 为1时，EF BC ∥．（1）解：取AB 的中点记为H ，取AC 的中点记为N ．连接DH DN，∵90A Ð=°，点D 是BC 边的中点，∴DH DN ，都是三角形中位线∴DN AB ∥，1122DN AB DH AC DH AC ==P ，，∵2AB AC ==，∴1DH DN ==，∴90NDH Ð=°，∵9090NDF NDE NDE EDH Ð+Ð=°Ð+=°，，∴EDH FDN Ð=Ð，在EDH V 与FDN V 中，EDH FDN DH DNEHD FND Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴EDH FDN V V ≌，∴DE DF =；（2）解：∵EDH FDN V V ≌，∴HE NF =，∴1122x AB AC y -=-即2y x=-∵E 是AB 边上的一个动点（不与A 、B 重合），∴02x <<；（3）解：连接HN ，当E 与H 重合时，EF BC ∥，∵此时1x BH ==，∴当1x =时，EF BC ∥．【变式1】（2019·安徽阜阳·校联考一模）如图，AB ＝12，C 是线段AB 上一点，分别以AC 、CB 为边在A 的同侧作等边△ACP 和等边△CBQ ，连接PQ ，则PQ 的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】D【分析】分别延长AP 、BQ 交于点D ，易证四边形CPDQ 为平行四边形，得出PD +DQ ＝PC +CQ ＝AC +BC ＝12，作△ABD 的中位线MN ，则MD ＝DN ＝MN ＝12AB ，运用中位线的性质和等边三角形的性质求出MD ＝DN ＝MN ＝12AB ，进而求得MD +DN ＝PD +DQ ，得出PM ＝QN ，作PE ⊥MN ，QF ⊥MN ，则PE ∥QF ，然后证得△PME ≌△QNF ，从而证得MN ＝EF ，根据平行线间的距离得出PQ ≥EF ，从而求得PQ 的最小值．解：如图，分别延长AP 、BQ 交于点D ，∵∠A ＝∠QCB＝60°，∴AD ∥CQ ，∵∠B ＝CPCA ＝60°，∴BD ∥PC ，∴四边形CPDQ 为平行四边形，∴PD ＝CQ ，PC ＝DQ ，∴PD +DQ ＝PC +CQ ＝AC +BC ＝12，作△ABD 的中位线MN ，则MD ＝DN ＝MN ＝12AB ，∴MD +DN ＝AB ＝12，∴MD +DN ＝PD +DQ ，∴PM ＝QN ，作PE ⊥MN ，QF ⊥MN ，∴PE ∥QF ，∴∠PEM ＝∠QFN ＝90°，且∠PME ＝∠QNF ＝60°，PM ＝QN ∴△PME ≌△QNF （AAS ），∴EM ＝FN ，∴MN ＝EF ，∴PQ ≥EF ，∴C 是线段AB 的中点时，PQ 的值最小，最小值为12AB ＝6．故选D ．【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质、三角形全等的判定和性质、三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，得到PQ ≥EF ，综合性较强．【变式2】（2022上·山东临沂·八年级校考阶段练习）如图，ABC V 为等边三角形，边长为4，点O 为BC 的中点，120EOF Ð=°，其两边分别交AB 和CA 的延长线于E F 、，则AE AF -= ．【答案】6【分析】过点O 作OD AB ∥，设OF 与AB 交于点H ，证明ODF OBE V V ≌，由全等三角形的性质可得DF BE =，结合,AD AF DF AB BE AE +=+=，可知AE AF AB AD -=+，即可获得答案．解：∵ABC V 是等边三角形，边长为4，∴60CAB CBA Ð=Ð=°，4AC AB BC ===，如图，过点O 作OD AB ∥，设OF 与AB 交于点H ，∴60CDO CAB Ð=Ð=°，∴120ODF OBF BAF Ð=Ð=Ð=°，又∵120EOF Ð=°，OHE AHF Ð=Ð，∴E F Ð=Ð，又∵点O 为BC 的中点，且OD AB ∥，∴OD 是ABC V 的中位线，∴1112,2,2222OD AB OB BC AD AC ======，在ODF △和OBE △中，1202F E ODF OBE OD OB Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï==î，∴(AAS)ODF OBE V V ≌，∴DF BE =，又∵,AD AF DF AB BE AE +=+=，∴()()AE AF AB BE DF AD -=+--()()AB BE BE AD =+--AB AD=+42=+6=．故答案为：6．【点拨】本题主要考查了平行线的性质、等边三角形的性质、三角形中位线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用、正确作出辅助线构建全等三角形是解题关键．【考点4】三角形的中位线的综合应用【例4】（2023下·河南三门峡·八年级统考期末）（1）回归课本请用文字语言表述三角形的中位线定理：________________．（2）回顾证法证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．下面是其中一种辅助线的添加方法．请结合图2，补全求证及证明过程．已知：在ABC V 中，点,D E 分别是,AB AC 的中点．求证：________________．证明：过点C 作CF AB ∥，与DE 的延长线交于点F ．（3）实践应用如图3，点B 和点C 被池塘隔开，在BC 外选一点A ，连接,AB AC ，分别取,AB AC 的中点,D E ，测得DE 的长度为9米，则,B C 两点间的距离为________________．【答案】（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；（2）DE BC ∥，12DE BC =；详见分析；（3）18米【分析】（1）根据三角形的中位线定理直接阐述即可；（2）过点C 作CF AB ∥，与DE 的延长线交于点F ，证明ADE CFE △△≌，再证四边形DBCF 是平行四边形，即可证明结论；（3）直接利用三角形中位线定理求解即可．解：（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．故答案为：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；（2）求证：DE BC ∥，12DE BC =．证明：∵点,D E 分别是,AB AC 的中点，∴BD AD =，=AE CE ，过点C 作CF AB ∥，与DE 的延长线交于点F ．∴ADE F Ð=Ð，在ADE V 和CFE V 中，ADE F AED CEFAE CE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=îADE CFE \≌△△．AD CF \=，12DE EF DF ==．CF BD \∥，CF BD =．\四边形DBCF 是平行四边形，∥DF BC \，DF BC =，又12DE DF =Q ，\DE BC ∥，12DE BC =．故答案为：DE BC ∥，12DE BC =；（3）∵点,D E 分别是,AB AC 的中点，9DE =米，∴12DE BC =，即：218BC DE ==米故答案为：18米．【点拨】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．【变式1】（2023下·广东珠海·八年级珠海市前山中学校考期中）如图，ABC V 的周长是2，以它的三边中点为顶点组成第1个三角形111A B C △，再以111A B C △的三边中点为顶点，组成第2个三角形222A B C △，…，则第n 个三角形的周长为（ ）A ．112n -B ．12n C ．222n -D ．112n +【答案】A【分析】根据三角形的中位线定理建立周长之间的关系，即可得到答案．解：Q ABC V 的周长是2，以它的三边中点为顶点组成第1个三角形111A B C △，\1112A B BC =，1112A C AC =，1112BC AB =，\111A B C △的周长为()1111111112122A B A C B C BC AC AB ++=++=´=，\222A B C △的周长为211222´=，…以此类推，第n 个三角形的周长为111222n n -´=，故选：A ．【点拨】本题考查了找规律-图形的变化类，三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．【变式2】（2022下·河北唐山·八年级统考期中）如图，为测量位于一水塘旁的两点A ，B 间的距离，在地面上确定点O ，分别取OA ，OB 的中点C ，D ，量得CD ＝10m ，则A ，B 之间的距离是 ．【答案】20m【分析】根据三角形的中位线定理即可进行解答．解：∵C 、D 分别为AO 、BO 中点，∴CD=12∵CD＝10m，∴AB=20m，故答案为：20m．【点拨】本题主要考查了三角形的中位线定理，熟练掌握“三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半” 是解题的关键．。

专题05 三角形中位线(知识点串讲)(解析版)

专题05 三角形中位线(知识点串讲)(解析版)

专题05 三角形中位线重难突破三角形中位线1．三角形中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.3．相关结论：顺次连接任意四边形中点所得到的四边形是平行四边形.（连接原四边形一条对角线，由中位线定理可证）4．拓展：①梯形的中位线等于上底加下底和的一半. （连接梯形一条对角线，由中位线定理可证）②过三角形一边的中点作另一边的平行线，与第三边交于一点，则这两点之间的线段为三角形的中位线. 如图，过△ABC的边AB的中点作平行于边BC的直线，交边AC于点E，则DE为△ABC的中位线.典例1．（2018春•定兴县期末）如图所示，已知P、R分别是四边形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么EF的长（）A．逐渐增大B．逐渐变小C．不变D．先增大，后变小【答案】C【解析】解：∵E、F分别是PA、PR的中点，∴EF AR，∴EF的长不变，故选：C．【点睛】根据三角形中位线定理得到EF AR，判断即可．本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．典例2．（2018春•柳州期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE，BD是角平分线，CM⊥BD于M，CN ⊥AE于N，若AC＝6，BC＝8，则MN＝___．【答案】2【解析】解：延长CM交AB于G，延长CN交AB于H，∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，在△BMC和△BMG中，，∴△BMC≌△BMG，∴BG＝BC＝8，CM＝MG，∴AG＝2，同理，AH＝AC＝6，CN＝NH，∴GH＝4，∴MN GH＝2，故答案为：2．【点睛】延长CM交AB于G，延长CN交AB于H，证明△BMC≌△BMG，得到BG＝BC＝8，CM＝MG，同理得到AH＝AC＝6，CN＝NH，根据三角形中位线定理计算即可．典例3．（2018春•成都期末）已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE ＝2，则AC的长等于______．【答案】见解析【解析】解：过D点作DF∥BE，∵AD是△ABC的中线，AD⊥BE，∴F为EC中点，AD⊥DF，∵AD＝BE＝2，则DF＝1，AF，∵BE是△ABC的角平分线，AD⊥BE，∴△ABG≌△DBG，∴G为AD中点，∴E为AF中点，∴AE＝EF＝CF，∴AC AF．故答案为：．【点睛】过D点作DF∥BE，则DF BE＝1，F为EC中点，在Rt△ADF中求出AF的长度，根据已知条件易知G为AD中点，因此E为AF中点，则AC AF．典例4．（2018春•吉州区期末）如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E为BC中点．求DE的长．【答案】见解析【解析】解：如图，延长BD与AC相交于点F，∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，∴∠DAB＝∠DAF，AD＝AD，∠ADB＝∠ADF，∴△ADB≌△ADF，∴AF＝AB，BD＝DF，∵AB＝6，AC＝10，∴CF＝AC﹣AF＝AC﹣AB＝10﹣6＝4，∵E为BC中点，∴DE是△BCF的中位线，∴DE CF4＝2．【点睛】延长BD与AC相交于点F，根据等腰三角形的性质可得BD＝DF，再利用三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE CF，然后求解即可．典例5．（2018春•濮阳期末）已知等边三角形ABC的边长为a分别以这个三角形的三边中点为顶点作一个三角形，记为△A1B1C1，再以△A1B1C1各边中点为顶点做三角形记为△A2B2C2，…依次做下去，求△A5B5C5的周长．【答案】见解析【解析】解：等边△ABC的边长为a，∴等边△ABC的周长为3a．∵A2、B2分别是边A1B1、B1C1的中点，∴A2B2是△A1B1C1的中位线，∴A2B2A1B1．同理，A2C2A1C1，C2B2C1B1．∴△A2B2C2的周长等边△A1B1C1的周长．同理，△A3B3C3的周长△A2B2C2的周长等边△A1B1C1的周长．…，∴△A n B n∁n的周长△A1B1C1的周长．∴△A5B5C5的周长．【点睛】据三角形中位线定理知，△A2B2C2的各边的边长是△A1B1C1的各边边长的，△A3B3C3是△A2B2C2的各边的边长的，找出规律即可得出结论．本题考查了等边三角形的性质、三角形中位线定理．三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．典例6．（2018春•南山区期末）如图，△ABC中，AB＞AC，AD，AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF，则①EF∥AB；②∠BCG（∠ACB﹣∠ABC）；③EF （AB﹣AC）；④（AB﹣AC）＜AE（AB+AC）．其中正确的是（）A．①②③④B．①②C．②③④D．①③④【答案】A【解析】解：∵AD平分∠BAC，∴∠GAF＝∠CAF，∵CG⊥AD，∴∠AFG＝∠AFC＝90°，在△AFG和△AFC中∴△AFG≌△AFC（ASA），∴GF＝CF，∵AE为△ABC的中线，∴BE＝CE，∴EF∥AB，故①正确；∵△AFG≌△AFC，∴∠AGC＝∠ACB，∵∠AGC＝∠B+∠BCG，∴∠ACG＝∠B+∠BCG，∴∠BCG＝∠ACB﹣∠ACG＝∠ACB﹣（∠B+∠BCG），∴2∠BCG＝∠ACB﹣∠B，∴∠BCG（∠ACB﹣∠B），故②正确；∵△AFG≌△AFC，∴AC＝AG，∴BG＝AB﹣AG＝AB﹣AC，∵F、E分别是CG、BC的中点，∴EF BG，∴EF（AB﹣AC），故③正确；∵∠AFG＝90°，∴∠EAF＜90°，∵∠AFE＝∠AFG+∠EFG＞90°，∴∠AFE＞∠EAF，∴AE＞EF，∵EF（AB﹣AC），∴（AB﹣AC）＜AE，延长AE到M，使AE＝EM，连接BM，∵在△ACE和△MBE中∴△ACE≌△MBE（SAS），∴AC＝BM，在△ABM中，AM＜AB+AC，∵AE＝EM，∴2AE＜AB+AC，∴AE（AB+AC），即（AB﹣AC）＜AE（AB+AC），故④正确；故选：A．【点睛】求出F为CG中点，根据三角形的中位线性质即可判断①，求出∠ACG＝∠AGC＝∠B+∠BCG，即可判断②；根据三角形中位线性质即可判断③，求出2AE＜AB+BC和AE＞EF，即可判断④．巩固练习1．（2018春•坪山区期末）如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝7，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为（）A．12 B．11 C．10 D．9【答案】D【解析】解：∵点D，E分别AB、BC的中点，∴DE AC＝3.5，同理，DF BC＝3，EF AB＝2.5，∴△DEF的周长＝DE+EF+DF＝9，故选：D．2．（2018春•抚顺期末）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝25°，则∠EPF的度数是（）A．100°B．120°C．130°D．150°【答案】C【解析】解：∵P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，∴PE AD，PF BC，∵AD＝BC，∴PE＝PF，∴∠PFE＝∠PEF＝25°，∴∠EPF＝130°，故选：C．3．（2018春•颍东区期末）如图在△ABC中，M是BC中点，AP是∠A平分线，BP⊥AP于P，AB＝12，AC＝22，则MP长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】解：延长BP交AC于N.∵AP是∠BAC的角平分线，BP⊥AP于P，∴∠BAP＝∠NAP，∠APB＝∠APN＝90°，∴△ABP≌△ANP（ASA），∴AN＝AB＝12，BP＝PN，∴CN＝AC﹣AN＝22﹣12＝10，∵BP＝PN，BM＝CM，∴PM是△BNC的中位线，∴PM CN＝5．故选：C．4．（2018春•开江县期末）如图，将腰长为4的等腰直角三角形放在直角坐标系中，顺次连接各边中点得到第1个三角形，再顺次连接各边中点得到第2个三角形，……如此操作下去，那么第5个三角形直角顶点的坐标为（）A．（，）B．（）C．（）D．（）【答案】B【解析】解：由题意：第1个三角形的直角顶点坐标：（﹣2，2）；第2个三角形的直角顶点坐标：（﹣1，1）；第3个三角形的第1个三角形的直角顶点坐标：（，）；第4个三角形的直角顶点坐标：（，）；第5个三角形的直角顶点坐标：（，）；故选：B．5．（2017秋•洪雅县期末）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是角平分线，AE是中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF，则线段EF的长为___．【答案】1【解析】解：∵AD是其角平分线，CG⊥AD于F，∴△AGC是等腰三角形，∴AG＝AC＝3，GF＝CF，∵AB＝5，AC＝3，∴BG＝2，∵AE是中线，∴BE＝CE，∴EF为△CBG的中位线，∴EF BG＝1 故答案为：1.。

三角形中位线专项训练(30道)(解析版)

三角形中位线专项训练(30道)(解析版)

专题9.7 三角形中位线专项训练（30道）【苏科版】1．（2021秋•淅川县期末）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（）A．2B．5C．7D．9【分析】根据三角形的中位线定理得出EF=12DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，N与A重合时，DN最小，从而求得EF的最大值为6.5，最小值是2.5，可解答．【解答】解：连接DN，∵ED＝EM，MF＝FN，∴EF=12DN，∴DN最大时，EF最大，DN最小时，EF最小，∵N与B重合时DN最大，此时DN＝DB=√AD2+BD2=√52+122=13，∴EF的最大值为6.5．∵∠A＝90°，AD＝5，∴DN≥5，∴EF≥2.5，∴EF长度的可能为5；故选：B．2．（2021秋•渝中区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝CB＝6，BD⊥AC于点D，F在BC上且BF＝2，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据等腰三角形的性质得到AD＝DC，根据三角形中位线定理解答即可．【解答】解：∵CB＝6，BF＝2，∴FC＝6﹣2＝4，∵BA＝BC，BD⊥AC，∴AD＝DC，∵AE＝EF，∴DE是△AFC的中位线，∴DE=12FC=12×4＝2，故选：B．3．（2021秋•龙岗区校级期末）如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是（）A．AD+BC＞2EF B．AD+BC≥2EF C．AD+BC＜2EF D．AD+BC≤2EF【分析】取AC的中点G，连接EF，EG，GF，根据三角形中位线定理求出EG=12BC，GF=12AD，再利用三角形三边关系：两边之和大于第三边，即可得出AD，BC和EF的关系．【解答】解：如图，取AC的中点G，连接EF，EG，GF，∵E，F分别是边AB，CD的中点，∴EG，GF分别是△ABC和△ACD的中位线，∴EG=12BC，GF=12AD，在△EGF中，由三角形三边关系得EG+GF＞EF，即12BC+12AD＞EF，∴AD +BC ＞2EF ，当AD ∥BC 时，点E 、F 、G 在同一条直线上，∴AD +BC ＝2EF ，所以四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，则AD ，BC 和EF 的关系是AD +BC ≥2EF ．故选：B ．4．（2021秋•荆门期末）如图，△ABC 的周长为20，点D ，E 在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为N ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为M ，若BC ＝8，则MN 的长度为（ ）A ．32B ．2C ．52 D ．3【分析】证明△BNA ≌△BNE ，得到BE ＝BA ，AN ＝NE ，同理得到CD ＝CA ，AM ＝MD ，求出DE ，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：在△BNA 和△BNE 中，{∠NBA =∠NBE BN =BN ∠BNA =∠BNE，∴△BNA ≌△BNE （ASA ）∴BE ＝BA ，AN ＝NE ，同理，CD ＝CA ，AM ＝MD ，∴DE ＝BE +CD ﹣BC ＝BA +CA ﹣BC ＝20﹣8﹣8＝4，∵AN ＝NE ，AM ＝MD ，∴MN =12DE ＝2，故选：B ．5．（2021秋•宛城区期中）如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，AC ＞AB ＞4，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，BD ＝4，CE ＝3，取DE 、BC 的中点M 、N ，线段MN 的长为（ ）A ．2.5B ．3C ．4D ．5【分析】如图，作CH ∥AB ，连接DN ，延长DN 交CH 于H ，连接EH ，首先证明CH ＝BD ，∠ECH ＝90°，解直角三角形求出EH ，利用三角形中位线定理即可解决问题．【解答】解：作CH ∥AB ，连接DN 并延长交CH 于H ，连接EH ，∵BD ∥CH ，∴∠B ＝∠NCH ，∠ECH +∠A ＝180°，∵∠A ＝90°，∴∠ECH ＝∠A ＝90°，在△DNB 和△HNC 中，{∠B =∠NCH BN =CN ∠DNB =∠HNC，∴△DNB ≌△HNC （ASA ），∴CH ＝BD ＝4，DN ＝NH ，在Rt △CEH 中，CH ＝4，CE ＝3，∴EH =√CH 2+CE 2=√42+32=5，∵DM ＝ME ，DN ＝NH ，∴MN =12EH ＝2.5，故选：A ．6．（2021•丹东模拟）如图，在△ABC 中，CE 是中线，CD 是角平分线，AF ⊥CD 交CD延长线于点F ，AC ＝7，BC ＝4，则EF 的长为（ ）A ．1.5B ．2C ．2.5D ．3【分析】延长AF 、BC 交于点G ，证明△ACF ≌△GCF ，根据全等三角形的性质得到CG ＝AC ＝7，AF ＝FG ，求出BG ，根据三角形中位线定理解答即可．【解答】解：延长AF 、BC 交于点G ，∵CD 是△ABC 的角平分线，∴∠ACF ＝∠BCF ，在△ACF 和△GCF 中，{∠ACF =∠GCF CF =CF ∠AFC =∠GFC =90°，∴△ACF ≌△GCF （ASA ），∴CG ＝AC ＝7，AF ＝FG ，∴BG ＝CG ﹣CB ＝3，∵AE ＝EB ，AF ＝FG ，∴EF =12BG ＝1.5，故选：A ．7．（2021•碑林区校级模拟）如图，AD 为△ABC 的角平分线，BE ⊥AD 于E ，F 为BC 中点，连接EF ，若∠BAC ＝80°，∠EBD ＝20°，则∠EFD ＝（ ）A ．26°B ．28°C ．30°D ．32°【分析】延长BE 交AC 于G ，证△ABE ≌△AGE （ASA ），得BE ＝GE ，再由三角形中位线定理得EF ∥GC ，则∠EFD ＝∠C ，然后求出∠ABC ＝∠ABE +∠EBD ＝70°，即可解决问题．【解答】解：延长BE 交AC 于G ，如图所示：∵AD 平分∠BAC ，∠BAC ＝80°，∴∠BAE ＝∠GAE =12∠BAC ＝40°，∵BE ⊥AD ，∴∠BEA ＝∠GEA ＝90°，∵AE ＝AE ，∴△ABE ≌△AGE （ASA ），∴BE ＝GE ，∵F 为BC 的中点，∴EF 是△BCG 的中位线，∴EF ∥GC ，∴∠EFD ＝∠C ，∵∠BEA ＝90°，∴∠ABE ＝90°﹣∠BAE ＝90°﹣40°＝50°，∴∠ABC ＝∠ABE +∠EBD ＝50°+20°＝70°，∴∠EFD ＝∠C ＝180°﹣∠BAC ﹣∠ABC ＝180°﹣80°﹣70°＝30°，故选：C ．8．（2021秋•广饶县期末）如图，AD 是△ABC 的中线，E 是AD 的中点，F 是BE 延长线与AC 的交点，若AC ＝4，则AF ＝（ ）A ．85 B ．43 C ．1 D ．23 【分析】取EF 的中点H ，连接DH ，根据三角形中位线定理得到DH =12FC ，DH ∥AC ，证明△AEF ≌△DEH ，根据全等三角形的性质得到AF ＝DH ，计算即可．【解答】解：取EF 的中点H ，连接DH ， ∵BD ＝DC ，BH ＝HF ，∴DH =12FC ，DH ∥AC ，∴∠HDE ＝∠F AE ，在△AEF 和△DEH 中，{∠AEF =∠DEH AE =DE ∠EAF =∠EDH，∴△AEF ≌△DEH （ASA ）， ∴AF ＝DH ，∴AF =12FC ， ∵AC ＝4，∴AF =43，故选：B ．9．（2021春•平邑县期末）如图，在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，AD 、AE 分别是其角平分线和中线，过点C 作CG ⊥AD 于F ，交AB 于G ，连接EF ，则线段EF 的长为（ ）A ．1B ．2C ．32D ．12【分析】证明△AFG ≌△AFC ，得到GF ＝FC ，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵AD 是∠BAC 的角平分线，∴∠GAF ＝∠CAF ，∵CG ⊥AD ，∴∠AFG ＝∠AFC ＝90°，在△AFG 和△AFC 中，{∠AFG =∠AFC AF =AF ∠FAG =∠FAC，∴△AFG≌△AFC（ASA），∴GF＝FC，AG＝AC＝6，∴GB＝AB﹣AG＝2，∵GF＝FC，BE＝EC，∴EF=12GB＝1，故选：A．10．（2021春•宽城县期末）如图，E，F是四边形ABCD两边AB，CD的中点，G，H是对角线AC，BD的中点，若EH＝6，则以下结论不正确的是（）A．BC＝12B．GF＝6C．AD＝12D．EH∥GF【分析】先判定EH为△ABD的中位线，GF为△ADC的中位线，然后根据三角形中位线性质对各选项进行判断．【解答】解：∵点E为AB的中点，点H为BD的中点，∴EH为△ABD的中位线，∴EH=12AD，EH∥AD，∵点F为CD的中点，点G为AC的中点，∴GF为△ADC的中位线，∴GF=12AD，GF∥AD，∴GF＝EH＝6，AD＝2EH＝12，EH∥GF，所以A选项符合题意，B选项、C选项和D 选项不符合题意．故选：A．二．填空题（共10小题）11．（2021秋•莱阳市期末）如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点．连接DE，过点B作BF平分∠ABC，交DE于点F．若EF＝4，AD＝7，则BC的长为22．【分析】根据三角形中位线定理得到DE ∥BC ，DE =12BC ，BD ＝AD ＝7，根据平行线的性质、角平分线的定义得到∠DBF ＝∠FBC ，根据等腰三角形的判定定理得到DF ＝BD ＝7，计算即可．【解答】解：∵D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 的中点，∴DE ∥BC ，DE =12BC ，BD ＝AD ＝7，∴∠DFB ＝∠FBC ，∵BF 平分∠ABC ，∴∠DFB ＝∠DBF ，∴∠DBF ＝∠FBC ，∴DF ＝BD ＝7，∴DE ＝DF +EF ＝11，∴BC ＝2DE ＝22，故答案为：22．12．（2021秋•让胡路区校级期末）如图，△ABC 的周长为64，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，A ′、B ′、C ′分别为EF 、EG 、GF 的中点，△A ′B ′C ′的周长为 16 ．如果△ABC 、△EFG 、△A ′B ′C ′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n 个三角形的周长是 27﹣n ．【分析】根据E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，可以判断EF 、FG 、EG 为三角形中位线，利用中位线定理求出EF 、FG 、EG 与BC 、AB 、CA 的长度关系即可求得△EFG 的周长是△ABC 周长的一半，△A ′B ′C ′的周长是△EFG 的周长的一半，以此类推，可以求得第n 个三角形的周长．【解答】解：∵如图，△ABC 的周长为64，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点， ∴EF 、FG 、EG 为三角形中位线，∴EF =12BC ，EG =12AC ，FG =12AB ，∴EF +FG +EG =12（BC +AC +AB ），即△EFG 的周长是△ABC 周长的一半．同理，△A ′B ′C ′的周长是△EFG 的周长的一半，即△A ′B ′C ′的周长为14×64＝16．以此类推，第n 个小三角形的周长是第一个三角形周长的64×（12）n ﹣1＝27﹣n故答案是：27﹣n ．13．（2021春•安徽月考）如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，∠DAB ＝50°，∠CBA ＝70°，P 、M 、N 分别是AB 、AC 、BD 的中点，若BC ＝6，则△PMN 的周长是 9 ．【分析】根据三角形中位线定理得到PM ∥BC ，PM =12BC ＝3，PN ∥AD ，PN =12AD ＝3，根据等边三角形的判定和性质定理解答即可．【解答】解：∵P 、M 分别是AB 、AC 的中点，∴PM ∥BC ，PM =12BC ＝3，∴∠APM ＝∠CBA ＝70°，同理可得：PN ∥AD ，PN =12AD ＝3，∴∠BPN ＝∠DAB ＝50°，∴PM ＝PN ＝3，∠MPN ＝180°﹣50°﹣70°＝60°，∴△PMN 为等边三角形，∴△PMN 的周长为9，故答案为：9．14．（2021秋•长春期中）如图所示，在△ABC 中，BC ＞AC ，点D 在BC 上，DC ＝AC ＝10，且AD BD =32，作∠ACB 的平分线CF 交AD 于点F ，CF ＝8，E 是AB 的中点，连接EF ，则EF 的长为 4 ．【分析】根据等腰三角形的性质得到F 为AD 的中点，CF ⊥AD ，根据勾股定理得到DF =√CD 2−CF 2=6，根据三角形的中位线定理即可得到结论．【解答】解：∵DC ＝AC ＝10，∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ，∴F 为AD 的中点，CF ⊥AD ，∴∠CFD ＝90°，∵DC ＝10，CF ＝8，∴DF =√CD 2−CF 2=6，∴AD ＝2DF ＝12，∵AD BD =32，∴BD ＝8，∵点E 是AB 的中点， ∴EF 为△ABD 的中位线，∴EF =12BD ＝4，故答案为：4．15．（2021•商丘四模）如图，四边形ABCD 中，点E 、F 分别为AD 、BC 的中点，延长FE交CD 延长线于点G ，交BA 延长线于点H ，若∠BHF 与∠CGF 互余，AB ＝4，CD ＝6，则EF 的长为 √13 ．【分析】根据三角形的中位线定理和勾股定理解答即可．【解答】解：连接BD ，取BD 的中点M ，连接EM ，FM ，∵E 、F 分别为AD 、BC 的中点，M 为BD 的中点，∴EM ，MF 分别为△ADB 、△BCD 的中位线，∴EM ∥AB ，MF ∥DC ，EM =12AB ＝2，MF =12DC ＝3，∵MF ∥DC ，∴∠FGC ＝∠EFM ，∵EM ∥AB ，∴∠FEM ＝∠FHB ，∵∠BHF 与∠CGF 互余，∴∠CGF +∠BHF ＝∠EFM +∠FEM ＝90°，∴∠EMF ＝180°﹣∠EFM ﹣∠FEM ＝90°，∴△EMF 是直角三角形，∴EF=√EM2+FM2=√22+32=√13，故答案为：√13．16．（2021•香坊区校级开学）如图，在△ABC中，E是AB的中点，D是AC上一点，连接DE，BH⊥AC于H，若2∠ADE＝90°﹣∠HBC，AD：BC＝4：3，CD＝2，则BC的长为6．【分析】如图，延长AC至N，使CN＝BC，连接BN，由等腰三角形的性质可得∠ADE ＝∠N，可证DE∥BN，由三角形中位线定理可得AD＝DN，即可求解．【解答】解：如图，延长AC至N，使CN＝BC，连接BN，∵2∠ADE＝90°﹣∠HBC，∠BCA＝90°﹣∠HBC，∴∠BCA＝2∠ADE，∵CN＝BC，∴∠N＝∠CBN，∴∠BCA＝∠N+∠CBN＝2∠N，∴∠ADE＝∠N，∴DE∥BN，又∵E是AB的中点，∴DE是△ABN的中位线，∴AD＝DN，∵AD：BC＝4：3，∴设AD＝DN＝4x，BC＝CN＝3x，∴CD＝DN﹣CN＝x＝2，∴BC＝6，故答案为6．17．（2021春•牡丹区期末）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB＝13，AC＝8，则DF的长为 2.5．【分析】延长CF交AB于点G，判断出AF垂直平分CG，得到AC＝AG，根据三角形中位线定理解答．【解答】解：延长CF交AB于点G，∵AE平分∠BAC，∴∠GAF＝∠CAF，∴AF垂直平分CG，∴AC＝AG，GF＝CF，又∵点D是BC中点，∴DF是△CBG的中位线，∴DF=12BG=12（AB﹣AG）=12（AB﹣AC）＝2.5，故答案为：2.5．18．（2021春•洛阳期末）如图，D是△ABC的边BC的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，且AB＝10cm，DE＝2cm，则AC的长为6cm．【分析】延长AC 、BE 交于点F ，证明△AEB ≌△AEF ，根据全等三角形的性质得到AF ＝AB ＝10cm ，BE ＝EF ，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：延长AC 、BE 交于点F ，∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝∠CAE ，在△AEB 和△AEF 中，{∠BAE =∠FAE AE =AE ∠AEB =∠AEF =90°，∴△AEB ≌△AEF （ASA ），∴AF ＝AB ＝10（cm ），BE ＝EF ，∵BD ＝DC ，DE ＝2cm ，∴CF ＝2DE ＝4（cm ），∴AC ＝AF ﹣CF ＝6（cm ），故答案为：6．19．（2021春•盐湖区校级期末）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，M 、N 、P 分别是AD 、BC 、BD 的中点，若∠MPN ＝130°，则∠NMP 的度数为 25° ．【分析】根据中位线定理和已知，易证明△PMN 是等腰三角形，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠PMN 的度数．【解答】解：在四边形ABCD 中，M 、N 、P 分别是AD 、BC 、BD 的中点，∴PN ，PM 分别是△CDB 与△DAB 的中位线，∴PM =12AB ，PN =12DC ，PM ∥AB ，PN ∥DC ，∵AB ＝CD ， ∴PM ＝PN ，∴△PMN 是等腰三角形，∵∠MPN＝130°，∴∠PMN=180°−130°2=25°．故答案为：25°．20．（2021春•虹口区校级期末）如图，在△ABC中，BM、CN平分∠ABC和∠ACB的外角，AM⊥BM于M，AN⊥CN于N，AB＝10，BC＝13，AC＝6，则MN＝ 4.5．【分析】延长AM交BC于点G，根据BM为∠ABC的平分线，AM⊥BM得出∠BAM＝∠G，故△ABG为等腰三角形，所以AM＝GM．同理AN＝DN，根据三角形中位线定理即可求得MN．【解答】解：延长AM交BC于点G，延长AN交BC延长线于点D，∵BM为∠ABC的平分线，∴∠CBM＝∠ABM，∵BM⊥AG，∴∠ABM+∠BAM＝90°，∠MGB+∠CBM＝90°，∴∠BAM＝∠MGB，∴△ABG为等腰三角形，∴AM＝GM．BG＝AB＝10，同理AN＝DN，CD＝AC＝6，∴MN为△ADG的中位线，∴MN=12DG=12（BC﹣BG+CD）=12（BC﹣AB+AC）=12（13﹣10+6）＝4.5．故答案为：4.5．三．解答题（共10小题）21．（2019春•岐山县期末）△ABC的中线BD，CE相交于O，F，G分别是BO，CO的中点，求证：EF∥DG，且EF＝DG．【分析】连接DE，FG，由BD与CE为中位线，利用中位线定理得到ED与BC平行，FG与BC平行，且都等于BC的一半，等量代换得到ED与FG平行且相等，进而得到四边形EFGD为平行四边形，利用平行四边形的性质即可得证．【解答】证明：连接DE，FG，∵BD，CE是△ABC的中线，∴D，E是AB，AC的中点，∴DE∥BC，DE=12BC，同理：FG∥BC，FG=12BC，∴DE∥FG，DE＝FG，∴四边形DEFG是平行四边形，∴EF∥DG，EF＝DG．22．（2021秋•桓台县期末）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．（1）若AB＝6，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长；（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．【分析】（1）取BD的中点P，利用三角形中位线定理可以求得EP、FP的长度，然后利用勾股定理来求EF的长度；（2）如图，取BD的中点P，连接EP、FP．用三角形中位线定理可以求得EP、FP的长度，然后利用勾股定理即可得到结论．【解答】（1）解：如图，取BD的中点P，连接EP、FP．∵E，F分别是AD、BC的中点，AB＝6，CD＝8，∴PE ∥AB ，且PE =12AB ＝3，PF ∥CD 且PF =12CD ＝4．又∵∠ABD ＝30°，∠BDC ＝120°，∴∠EPD ＝∠ABD ＝30°，∠DPF ＝180°﹣∠BDC ＝60°，∴∠EPF ＝∠EPD +∠DPF ＝90°，在直角△EPF 中，由勾股定理得到：EF =√EP 2+PF 2=√32+42=5，即EF ＝5；（2）证明：如图，取BD 的中点P ，连接EP 、FP ．∵E ，F 分别是AD 、BC 的中点，∴PE ∥AB ，且PE =12AB ，PF ∥CD 且PF =12CD ．∴∠EPD ＝∠ABD ，∠BPF ＝∠BDC ，∴∠DPF ＝180°﹣∠BPF ＝180°﹣∠BDC ，∵∠BDC ﹣∠ABD ＝90°，∴∠BDC ＝90°+∠ABD ，∴∠EPF ＝∠EPD +∠DPF ＝∠ABD +180°﹣∠BDC ＝∠ABD +180°﹣（90°+∠ABD ）＝90°，∴PE 2+PF 2＝（12AB ）2+（12CD ）2＝EF 2，∴AB 2+CD 2＝4EF 2．23．（2021秋•莱州市期末）已知：如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＝BD ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，EF 分别交BD 、AC 于点G 、H ．求证：OG ＝OH ．【分析】取BC 边的中点M ，连接EM ，FM ，则根据三角形的中位线定理，即可证得△EMF 是等腰三角形，根据等边对等角，即可证得∠MEF ＝∠MFE ，然后根据平行线的性质证得∠OGH ＝∠OHG ，根据等角对等边即可证得．【解答】解：取BC边的中点M，连接EM，FM，∵M、F分别是BC、CD的中点，∴MF∥BD，MF=12BD，同理：ME∥AC，ME=12AC，∵AC＝BD∴ME＝MF∴∠MEF＝∠MFE，∵MF∥BD，∴∠MFE＝∠OGH，同理，∠MEF＝∠OHG，∴∠OGH＝∠OHG∴OG＝OH．24．（2021春•抚州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AE平分∠CAB，CE⊥AE于点E，延长CE交AB于点D．（1）求证：CE＝DE；（2）若点F为BC的中点，求EF的长．【分析】（1）根据ASA证明△AEC和△AED全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；（2）根据勾股定理得出AB，进而利用三角形中位线定理解答即可．【解答】（1）证明：∵AE平分∠CAB，∴∠CAE＝∠BAE，∵CE⊥AE，∴∠AEC ＝∠AED ＝90°，在△AEC 和△AED 中，{∠CAE =∠DAE AE =AE ∠AEC =∠AED，∴△AEC ≌△AED （ASA ），∴CE ＝DE ；（2）在Rt △ABC 中，∵AC ＝6，BC ＝8，∴AB =√AC 2+BC 2=√62+82=10，∵△AEC ≌△AED ，∴AD ＝AC ＝6，∴BD ＝AB ﹣AD ＝4，∵点E 为CD 中点，点F 为BC 中点，∴EF =12BD =2．25．（2021春•秦都区期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，连接BE 、DE ，∠ADE ＝∠AED ，点F 、G 、H 分别为BE 、DE 、BC 的中点．求证：FG ＝FH ．【分析】根据等腰三角形的判定定理得到AD ＝AE ，根据线段的和差得到BD ＝CE ，根据三角形的中位线定理即可得到结论．【解答】证明：∵∠ADE ＝∠AED ，∴AD ＝AE ，∵AB ＝AC ，∴AB ﹣AD ＝AC ﹣AE ，即BD ＝CE ，∵点F 、G 、H 分别为BE 、DE 、BC 的中点，∴FG 是△EDB 的中位线，FH 是△BCE 的中位线，∴FG =12BD ，FH =12CE ，∴FG ＝FH ．26．（2021春•泰兴市月考）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别是BC 、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M、N，证明：∠BME＝∠CNE．【分析】连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF，根据三角形的中位线的性质得到FH∥BM，FH=12AB，EH∥CN，EH=12CD，根据平行线的性质得到∠BME＝∠HFE，∠CNE＝∠HEF，根据等腰三角形的性质得到∠HFE＝∠HEF，等量代换即可得到结论．【解答】证明：连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF，∵E、F分别是BC、AD的中点，∴FH∥BM，FH=12AB，EH∥CN，EH=12CD，∴∠BME＝∠HFE，∠CNE＝∠HEF，∵AB＝CD，∴FH＝EH，∴∠HFE＝∠HEF，∴∠BME＝∠CNE．27．（2021春•沈北新区期末）如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，求证：AF=12CF．【分析】过D 作DG ∥AC ，可证明△AEF ≌△DEG ，可得AF ＝DG ，由三角形中位线定理可得DG =12CF ，可证得结论．【解答】证明：如图，过D 作DG ∥AC ，则∠EAF ＝∠EDG ，∵AD 是△ABC 的中线，∴D 为BC 中点， ∴G 为BF 中点，∴DG =12CF ，∵E 为AD 中点，∴AE ＝DE ，在△AEF 和△DEG 中，{∠EAF =∠EDG AE =DE ∠AEF =∠DEG，∴△AEF ≌△DEG （ASA ）， ∴DG ＝AF ，∴AF =12CF ．28．（2021春•莆田期末）如图，已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC＝BD ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，MN 分别交BD 、AC 于点E 、F ．你能说出OE 与OF 的大小关系并加以证明吗？【分析】此题要构造三角形的中位线，根据三角形的中位线定理进行证明．【解答】解：相等．理由如下：取AD 的中点G ，连接MG ，NG ，∵G 、N 分别为AD 、CD 的中点， ∴GN 是△ACD 的中位线，∴GN =12AC ，同理可得，GM=12BD，∵AC＝BD，∴GN＝GM=12AC=12BD．∴∠GMN＝∠GNM，又∵MG∥OE，NG∥OF，∴∠OEF＝∠GMN＝∠GNM＝∠OFE，∴OE＝OF．29．（2021春•城固县期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC＝BD，E，F为AB、CD 的中点，连接EF交BD、AC于P、Q，取BC中点G，连EG、FG，求证：OP＝OQ．【分析】根据三角形中位线定理得到EG=12AC，EG∥AC，FG=12BD，FG∥BD，根据平行线的性质、等腰三角形的性质和判定定理证明结论．【解答】证明：∵E，G为AB、BC中点，∴EG=12AC，EG∥AC，∴∠FEG＝∠OQP，同理，FG=12BD，FG∥BD，∴∠EFG＝∠OPQ，∵AC＝BD，∴EG＝FG，∴∠FEG＝∠EFG，∴∠OPQ＝∠OQP，∴OP＝OQ．30．（2021春•三水区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE、BE，点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点．（1）求证：FG＝FH；（2）若∠A＝90°，求证：FG⊥FH；（3）若∠A＝80°，求∠GFH的度数．【分析】（1）由中点性质及AB＝AC，得到BD＝EC，再由中位线性质证明FG∥BD，GF=12BD，FH∥EC，FH=12EC，从而得到FG＝FH；（2）由（1）FG∥BD，FH∥EC，再由∠A＝90°，可证FG⊥FH；（3）由（1）FG∥BD，∠A＝80°，可求得∠FKC，再由FH∥EC，可求得∠GFH的度数．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点∴BD＝EC∵点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点∴FG∥BD，GF=12 BDFH∥EC，FH=12 EC∴FG＝FH；（2）证明：由（1）FG∥BD又∵∠A＝90°∴FG⊥AC∵FH∥EC∴FG⊥FH；（3）解：延长FG交AC于点K，∵FG∥BD，∠A＝80°∴∠FKC＝∠A＝80°∵FH∥EC∴∠GFH＝180°﹣∠FKC＝100°。

八年级数学三角形中位线培优专题训练

八年级数学三角形中位线培优专题训练

八年级数学三角形中位线培优专题训练一、内容提要1. 三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

2. 中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。

3. 运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。

4. 中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。

它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等 ②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边 ③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰 5. 有关线段中点的其他定理还有： ①直角三角形斜边中线等于斜边的一半②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合 ③对角线互相平分的四边形是平行四边形 ④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等 因此如何发挥中点作用必须全面考虑。

二、例题例1. 已知：△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM 和CAN ，P 是BC 的中点。

求证：PM ＝PN证明：作ME ⊥AB ，NF ⊥AC ，垂足E ，F ∵△ABM 、△CAN 是等腰直角三角形∴AE ＝EB＝ME ，AF ＝FC ＝NF ，根据三角形中位线性质 PE ＝21AC ＝NF ，PF ＝21AB ＝MEPE ∥AC ，PF ∥AB∴∠PEB ＝∠BAC ＝∠PFC 即∠PEM ＝∠PFN∴△PEM ≌△PFN ∴PM ＝PN例2.已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝7，AD 是角平分线，CM ⊥AD 于M ，且N 是BC 的中点。

求MN 的长。

分析：N 是BC 的中点，若M 是另一边中点， 则可运用中位线的性质求MN 的长， 根据轴称性质作出△AMC 的全等三角形即可。

辅助线是：延长CM 交AB 于E （证明略 例3.如图已知：△ABC 中，AD 是角平分线，BE ＝CF ，M 、N 分别是BC 和EF 的中点 求证：MN ∥AD 证明一：连结EC ，取EC 的中点P ，连结PM 、PNP NMP ∥AB ，MP ＝21AB ，NP ∥AC ，NP ＝21AC ∵BE ＝CF ，∴MP ＝NP∴∠3=∠4=2MPN-180∠∠MPN ＋∠BAC ＝180（两边分平行的两个角相等或互补）∴∠1=∠2=2MPN-180∠ ， ∠2=∠3∴NP ∥AC ∴MN ∥AD证明二：连结并延长EM 到G ，使MG ＝ME 连结CG ，FG则MN ∥FG ，△MCG ≌△MBE ∴CG ＝BE ＝CF ∠B ＝∠BCG∴AB ∥CG ，∠BAC ＋∠FCG ＝180 ∠CAD ＝21（180－∠FCG ） ∠CFG ＝21（180－∠FCG ）=∠CAD ∴ MN ∥AD 例4. 已知：△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是高，CE 是角平分线，EF ⊥BC 于F ，GE ⊥CE交CB 的延长线于G 求证：FD ＝41CG 证明要点是：延长GE 交AC 于H ， 可证E 是GH 的中点过点E 作EM ∥GC 交HC 于M ，则M 是HC 的中点，EM ∥GC ，EM ＝21GC由矩形EFDO 可得FD ＝EO ＝21EM ＝41GC三、练习1. 如图11，M 、P 分别为△ABC 的AB 、AC 上 的点，且AM=BM ，AP=2CP ，BP 与CM 相交于N ，已知PN=1，则PB 的长为 ( ) A. 2 B. 3 C .4 D. 52. 如图12，△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 的中点，AB=10，则MD 的长为 ( )A. 10B. 8 C .6 D. 53. 如图13，△ABC 是等边三角形，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点，P 为不同于B 、E 、C 的BC 上的任意一点，△DPH 为等边三角形.连接FH ，则EP 与FH 的大小关系是 ( ) A. E P>FH B. EP=FH C. EP<FH D.不确定4. 如图14，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD ，DE ∥AC ，交AB 于E ,若AB=5，则DE 的长为 .C5. 如图15，△ABC中，AB=4，AC=7，M为BC的中点，AD平分∠BAC，过M作MF∥AD，交AC于F，则FC的长等于.6. 如图25，P为△ABC内一点，∠P AC=∠PBC，PM⊥AC于M，PN⊥BC于N.D是AB的中点.求证：DM=DN7. 如图16，在△ABC中，D、E是AB、AC上的点，且BD=CE，M、N分别是BE、CD的中点，直线MN分别交AB、AC于P、Q.求证：AP=AQ8. 如图17，BE、CF是△ABC的角平分线，AN⊥BE于N，AM⊥CF于M.求证：MN∥BC.9. 如图18，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD于M.求证：AB+AC=2AM10.如图19，四边形ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，AB=CD.BA、CD的延长线交HG的延长线于E、F.求证：∠BEH=∠CFH.1. 如图20，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD平分∠BAC，过BC的中点M作ME⊥AD，交BA的延长线于E，交AD的延长线于F.求证：12BE BD.2. 如图21，在△ABC中，AB<AC，P为AC上的点，CP=AB，K为AP的中点，M为BC的中点，MK的延长线交BA的长线于N.求证：AN=AK.3. 如图22，分别以△ABC的边AC、BC为腰，A、B为直角顶点，作等腰直角△ACE和等腰直角△BCD，M为ED的中点.求证：AM⊥BM.4. 如图23，点O是四边形ABCD内一点，∠AOB=∠COD=1200，AO=BO，CO=DO，E、F、G分别为AB、CD、BC的中点.求证：△EFG为等边三角形.5. 如图24，△ABC中，M是AB的中点，P是AC的中点，D是MB的中点，N是CD的中点，Q是MN的中点，直线PQ交MB于K.求证：K是DB的中点.6. 如图25，P为△ABC内一点，∠P AC=∠PBC，PM⊥AC于M，PN⊥BC于N.D是AB的中点.求证：DM=DN图21 图22 图23 图24 图257. 如图26，AP是△ABC的角平分线，D、E分别是AB、AC上的点，且BD=CE.又G、H分别为BC、DE的中点.求证：HG∥AP.8. 如图27，已知△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=900，如图(a)，连接DE，设M为DE的中点.(1)求证：MB=MC;(2)设∠BAD=∠CAE，固定△ABD，让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图(b)的位置，试问MB=MC是否成立?并证明其结论.9. 已知△ABC面积为S，作直线l∥BC，交AB于D，交AC于E，若△BED的积为K.求证：S≥4K.10.如图28，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的一点，E是线段AD上的一点．且∠BED=2∠CED=∠BAC.求证：BD=2CD.图26 图27。

三角形中位线定理知识点-例题-习题

三角形中位线定理知识点-例题-习题

第二十三讲三角形中位线定理【要点梳理】要点一、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.【典型例题】类型一、三角形的中位线例1、如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P 在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐变小C．线段EF的长不变D．无法确定【答案】C；【解析】连AR，由E、F分别为PA，PR的中点知EF为△PAR的中位线, 则12EF AR，而AR长不变，故EF大小不变.【总结升华】当条件中含有中点的时候，要将它与中位线联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线图形．举一反三：【变式】在△ABC中，中线BE、CF交于点O，M、N分别是BO、CO中点，则四边形MNEF是什么特殊四边形？并说明理由．【答案】5；解：四边形MNEF是平行四边形．理由如下：∵BE、CF是中线，∴E、F分别是AC、AB的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC且EF=BC，∵M、N分别是BO、CO中点，∴MN是△OBC的中位线，∴MN∥BC且MN=BC，∴EF∥MN且EF=MN，∴四边形MNEF是平行四边形．例2、如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是（）A．2 B．3 C.52D．4【思路点拨】利用中位线定理，得到DE∥AB，根据平行线的性质，可得∠EDC＝∠ABC，再利用角平分线的性质和三角形内角外角的关系，得到DF＝DB，进而求出DF的长．【答案解析】解：在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点∴DE∥AB∴∠EDC＝∠ABC∵BF平分∠ABC∴∠EDC＝2∠FBD在△BDF中，∠EDC＝∠FBD＋∠BFD∴∠DBF＝∠DFB∴FD＝BD＝12BC＝12×6＝3．【总结升华】三角形的中位线平行于第三边，当出现角平分线，平行线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．例3、如图所示，在△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D，AB＝12，AC ＝18，求MD的长．【思路点拨】本题中所求线段MD 与已知线段AB 、AC 之间没有什么联系，但由M 为BC 的中点联想到中位线，另有AD 为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形ABN ，D 为BN 的中点，DM 即为中位线，不难求出MD 的长度．【答案与解析】解：延长BD 交AC 于点N ．∵ AD 为∠BAC 的角平分线，且AD ⊥BN ，∴ ∠BAD ＝∠NAD ，∠ADB ＝∠ADN ＝90°，在△ABD 和△AND 中，BAD NAD AD =ADADB ADN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝ ∴ △ABD ≌△AND(ASA)∴ AN ＝AB ＝12，BD ＝DN ．∵ AC ＝18，∴ NC ＝AC －AN ＝18－12＝6，∵ D 、M 分别为BN 、BC 的中点，∴ DM ＝12CN ＝162⨯＝3． 【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形的中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形．举一反三：【变式】（2015春•泗洪县校级期中）如图，BE ，CF 是△ABC 的角平分线，AN ⊥BE 于N ，AM ⊥CF 于M ，求证：MN ∥BC ．【答案】证明：延长AN 、AM 分别交BC 于点D 、G ．∵BE 为∠ABC 的角平分线，BE ⊥AG ，∴∠BAG=∠BGA ，∴△ABG 为等腰三角形，∴BN也为等腰三角形的中线，即AN=GN．同理AM=DM，∴MN为△ADG的中位线，∴MN∥BC．例4、（1）如图1，在四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE，求证：AB=CD．（提示取BD的中点H，连接FH，HE 作辅助线）（2）如图2，在△ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA 的延长线于点G，若AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE的长度．【思路点拨】（1）连结BD，取DB的中点H，连结EH、FH，证明出EH∥AB，EH=AB，FH∥CD，FH=CD，证出HE=HF，进而证出AB=CD；（2）连结BD，取DB的中点H，连结EH、OH，证明出EH=OH，可证明证出△OEH是等边三角形，进而求出OE=．【答案与解析】（1）证明：连结BD，取DB的中点H，连结EH、FH．∵E、F分别是BC、AD的中点，∴EH∥AB，EH=AB，FH∥CD，FH=CD，∵∠BME=∠CNE，∴HE=HF，∴AB=CD；（2）解：连结BD，取DB的中点H，连结EH、OH，∵AB=CD，∴HO=HE，∴∠HOE=∠HEO，∵∠OEC=60°，∴∠HEO=∠AGO=60°，∴△OEH是等边三角形，∵AB=DC=5，∴OE=．【总结升华】本题考查了三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是参考题目给出的思路，作出辅助线，有一定难度．举一反三：【变式】如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D；解：连接DE并延长交AB于H，∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE，∵E是AC中点，∴AE=CE，∴△DCE≌△HAE，∴DE=HE，DC=AH，∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线，∴EF=12 BH，∴BH=AB-AH=AB-DC=2，∴EF=1．类型二、中点四边形例5、如图，点O是△ABC外一点，连接OB、OC，线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G，连接DE、EF、FG、GD．（1）判断四边形DEFG的形状，并说明理由；（2）若M为EF的中点，OM=2，∠OBC和∠OCB互余，求线段DG的长．【答案与解析】解：（1）四边形DEFG是平行四边形，理由是：∵线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G，∴EF∥BC，EF=BC，DG=BC，DG∥BC，∴EF∥DG，EF=DG，∴四边形DEFG是平行四边形；（2）∵∠OBC和∠OCB互余，∴∠OBC+∠OCB=90°，∴∠BOC=180°﹣90°=90°，∵M为EF的中点，OM=2，∴EF=2OA=4，∵EF=DG，∴DG=4．【总结升华】本题考查了中点四边形形状的判定，主要是利用中位线定理得出一组对边平行且相等，从而判定是平行四边形.【巩固练习】一.选择题1.已知△ABC 的各边长度分别为3cm ，4cm ，5cm ，则连结各边中点的三角形的周长为（ ）A ．2cmB ．7cmC ．5cmD ．6cm2. 如图，点D 、E 、F 分别为△ABC 三边的中点，若△DEF 的周长为10，则△ABC 的周长为（ ）A ．5B ．10C ．20D ．403. 在△ABC 中，AB=3，BC=4，AC=2，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 中点，连接DF 、FE ，则四边形DBEF 的周长是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．114．如图，△ABC 的中线BD 、CE 交于点O ，连接OA ，点G 、F 分别为OC 、OB 的中点，BC=8，AO=6，则四边形DEFG 的周长为（ ）A ．12B ．14C ．16D ．185. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，M ，N 分别是AB ，AC 的中点，D ，E 为BC 上的点，连接DN 、EM ，若AB ＝5cm ，BC ＝8cm ，DE ＝4cm ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．12cmB ．1.52cmC ．22cmD ．32cm（第5题） （第6题）6. 如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，点E 、F 、G 分别是BD 、AC 、DC 的中点.已知两底的差是6，两腰的和是12，则△EFG 的周长是（ ）A.8B.9C.10D.12二.填空题7. 顺次连接一个四边形各边中点得到的四边形是_________________.8. 如图, E 、F 分别是口ABCD 的两边AB 、CD 的中点, AF 交DE 于P, BF 交CE 于Q,则PQ 与AB 的关系是 .9. 如图，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 各边的中点，对角线AC 、BD 的长分别为7和9，则四边形EFGH 的周长是______.第8题第9题 第10题 10.如图，四边形ABCD 中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M ，N 分别为线段BC ，AB 上的动点（含端点，但点M 不与点B 重合），点E ，F 分别为DM ，MN 的中点，则EF 长度的最大值为 ．11.如图，△ABC 的周长为26，点D ，E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，∠ACB的平分线垂直于AD ，垂足为P ，若BC=10，则PQ 的长 ．第11题 第12题12.如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD ⊥AC 于D ．下列三个结论：①∠BOC ＝90°＋12∠A ；②设OD ＝m ，AE ＋AF ＝n ，则AEF S mn △；③EF 不能成为△ABC 的中位线．其中正确的结论是_______.三.解答题13.如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 、P 、Q 分别为AD 、BC 、BD 、AC 的中点．求证：MN 和PQ 互相平分．14.已知：在△ABC 中，BC ＞AC ，动点D 绕△ABC 的顶点A 逆时针旋转，且AD ＝BC ，连接DC ．过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ．（1）如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连接HE 、HF ，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论∠AMF ＝∠BNE （不需证明）；（2）当点D 旋转到图2或图3中的位置时，∠AMF 与∠BNE 有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．15.已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB中点，连接CD．点E为边AC上一点，过点E作EF∥AB，交CD于点F，连接EB，取EB的中点G，连接DG、FG．（1）求证：EF=CF；（2）求证：FG⊥DG．【答案与解析】一.选择题1.【答案】D ；【解析】由中点和中位线定义可得新三角形的各边长为原三角形各边长的一半，即可求其周长．2.【答案】C ；【解析】根据中位线定理可得BC ＝2DF ，AC ＝2DE ，AB ＝2EF ，继而结合△DEF 的周长为10，可得出△ABC 的周长．3.【答案】B ；【解析】∵D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 中点，∴DF=12BC=2，DF ∥BC ，EF=12AB=32，EF ∥AB ， ∴四边形DBEF 为平行四边形， ∴四边形DBEF 的周长=2（DF+EF ）=2×（2+32）=7． 故选B ．4.【答案】B ；【解析】解：∵BD ，CE 是△ABC 的中线，∴ED ∥BC 且ED=BC ，∵F 是BO 的中点，G 是CO 的中点，∴FG ∥BC 且FG=BC ，∴ED=FG=BC=4，同理GD=EF=AO=3，∴四边形DEFG 的周长为3+4+3+4=14．故选B ．5.【答案】B ；【解析】连接MN ，作AF ⊥BC 于F ．∵AB ＝AC ，∴BF ＝CF ＝12BC ＝12×8＝4，在Rt △ABF 中，AF ＝22AB BF -＝2254-＝3，∵M 、N 分别是AB ，AC 的中点，∴MN 是中位线，即平分三角形的高且MN ＝8÷2＝4，∴NM ＝12BC ＝DE ，∴△MNO ≌△EDO ，O 也是ME ，ND 的中点，∴阴影三角形的高是12AF÷2＝1.5÷2＝0.75，∴S 阴影＝4×0.75÷2＝1.5．6.【答案】B；【解析】连接AE，延长交CD于H，可证AB＝DH，CH＝两底的差，EF是△AHC的中位线，EF＝1 2两底的差，EG＋FG＝12两腰的和，故△EFG的周长是9.二.填空题7.【答案】平行四边形；8.【答案】PQ∥AB，PQ＝12 AB；【解析】P，Q分别是AF，BF的中点.9.【答案】16；【解析】根据三角形中位线的性质得出HG 12AC，EF12AC，HE12DB，GF12BD，进而得出HE＝GF＝12BD，HG＝FE＝12AC，即可得出答案．10.【答案】3；【解析】解：∵ED=EM，MF=FN，∴EF=DN，∴DN最大时，EF最大，∵N与B重合时DN最大，此时DN=DB==6，∴EF的最大值为3．故答案为3．11.【答案】3；【解析】∵△ABC的周长是26，BC=10，∴AB+AC=26﹣10=16，∵∠ABC的平分线垂直于AE，∴在△ABQ和△EBQ中，，∴△ABQ≌△EBQ，∴AQ=EQ，AB=BE，同理，AP=DP，AC=CD，∴DE=BE+CD﹣BC=AB+AC﹣BC=16﹣10=6，∵AQ=DP，AP=DP，∴PQ是△ADE的中位线，∴PQ=12DE=3．故答案是：3．12.【答案】①，③；【解析】①根据三角形内角和定理求解；②根据△AEF的面积＝△AOE的面积＋△AOF的面积求解；③若此三角形为等边三角形，则EF即为中位线．三.解答题13.【解析】证明：连接MP，PN，NQ，QM，∵AM＝MD，BP＝PD，∴PM是△ABD的中位线，∴PM∥AB，PM＝12 AB；同理NQ＝12AB，NQ∥AB，∴PM＝NQ，且PM∥NQ．∴四边形MPNQ是平行四边形．∴MN与PQ互相平分．14.【解析】解：图1：∠AMF＝∠ENB；图2：∠AMF＝∠ENB；图3：∠AMF＋∠ENB＝180°．证明：如图2，取AC的中点H，连接HE、HF．∵F是DC的中点，H是AC的中点，∴HF∥AD，HF＝12 AD，∴∠AMF＝∠HFE，同理，HE∥CB，HE＝12 CB，∴∠ENB＝∠HEF．∵AD＝BC，∴HF＝HE，∴∠HEF＝∠HFE，∴∠ENB＝∠AMF．如图3：取AC的中点H，连接HE、HF．∵F是DC的中点，H是AC的中点，∴HF∥AD，HF＝12 AD，∴∠AMF＋∠HFE＝180°，同理，HE∥CB，HE＝12 CB，∴∠ENB＝∠HEF．∵AD＝BC，∴HF＝HE，∴∠HEF＝∠HFE，∴∠AMF＋∠ENB＝180°．15.【解析】证明：（1）如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB中点，∴CD是斜边AB上的中线，∴CD=AD=BD=AB．又EF∥AB，∴=，∴==1，∴EF=CF；（2）如图，延长EF交BC于点M，连接GM．∵EF∥AB，∴∠CMF=∠CBD．又∵AD=BD=AB，∴∠DCM=∠CBD，即∠FCM=∠CBD，∴∠CMF=∠FCM，∴CF=MF．又由（1）知，EF=CF，∴EF=FM，即点F是EM的中点，又∵EF∥AB，则FM∥AB∴EM是△ABC的中位线，则点M是BC的中点，∵点G是BE的中点，∴DG是△AEB的中位线，GM是△BEC的中位线，∴GD∥AE，GM∥EC，∴点D、G、M三点共线，∴FG是△CDM的中位线，∴FG∥CM．又∵MC⊥EC，∴FG⊥DG．。

三角形中位线定理典型练习

三角形中位线定理典型练习

培优练习七三角形中位线定理1、已知：如图，在△ABC中，CF平分∠ACB，CA=CD，AE=EB。

求证：EF=12BD。

2、已知E为平行四边形ABCD边的延长线上的一点，且CE=DC,连结AE，分别交BC、BD于F、G，连结AC交BD于O点,连AF。

求证：AB=2OF。

FOAB C3、已知如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。

求证：四边形EFGH是平行四边形。

ADCBHG E4、如图，在△ABC中，已知AB=6，AC=10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E•为BC中点。

求DE的长。

B CD5、在四边形ABCD 中，ACBD 相交于O 点，AC=BD, E 、F 分别是AB 、CD 的中点,连接EF 分别交AC 、BD 于M 、N ，判断三角形MON 的形状，并说明理由。

6、如图，已知AB=12；AB ⊥BC 于B ，AB ⊥AD 于A ，AD=5，BC=10。

点E 是CD 的中点，求AE 的长。

7、如图，在△ABC 中，AC ＞AB ，D 点在AC 上，AB=CD ，E.F 分别是BC.AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，若∠EFC=60°，连接GD ，判断△AGD 形状并证明。

8、如图，D ，E 分别在AB ，AC 上，BD=CE ，BE ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MN 分别交AB ，AC 于P ，Q 。

求证：AP=AQ 。

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中线与中位线(培优)复习过程

中线与中位线(培优)复习过程

中线与中位线(培优)收集于网络，如有侵权请联系管理员删除直角三角形斜边上的中线的应用知识储备：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.根据这个性质可知，直角三角形被分割成两个顶角互补、底角互余的等腰三角形.灵活运用此性质在解答一些与中点或中线有关的问题时，常能收到事半功倍之效. 例1 如图1，已知△ABC 中，∠ACB =90°，OA =OC ,求证：OB =OC基本结论：①若OA =OB ，则OA =OB =OC , ②若OA =OC ，则OB =OC ，③若OB =OC ，则OA =OC .例2（1）如图1，已知△ABC 和△ABD 中，∠ACB =∠ADB =90°，点O 是AB 的中点，求证：OC =OD（2）在上述条件下，如图2，（1）中结论还成立吗？为什么？基本结论：若OA =OB ，则OA =OB =OC =OD例3 如图，∠DBC =∠BCE =90°，M 为DE 的中点，求证：MB =MCDE例4 如图,在△ABC 中，AB =AC ，∠ABC =90°，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且AE =EF ，点M 分别为AF ，CE 的中点，求证：（1）OM =12CE ；（2）OBOM例5 如图，△ABC 中，AB =AC ，∠ABD =∠CBD . DE ⊥BD ,DE 交BC 于E .求证：CD =12BE.例6 如图，在△ABC 中，BD ⊥AC 于D ,CE ⊥AB 于E ,点M ,N 分别是BC ，DE 的中点，（1）求证：MN ⊥DE ；（2）连ME ，MD ，若∠A =60°，求MNDE的值.图1图2例7 △BCD和△BCE中，∠BD C=∠BEC=90°，O为BC的中点，BD，CE交于A，（1）如图1，若∠BAC=120°，求证：DE=OE.（2）如图2，若∠BAC=135°，求证：DEOE.（3）若∠BAC=α，则∠EOD的度数为 .（用α表示）构造三角形中位线知识储备：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.这个定理的特点是：同一题设下，有两个结论，一个结论表明位置关系，另一个结论表明数量关系.应用这一定理时，不一定同时用到两个结论，有时用到平行关系，有时用到倍分关系.常用构造三角形中位线的方法处理中点问题. 题型一利用角平分线和垂直构造中位线例1 如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为BC上一点，M为AF的中点，BE平分∠ABC，且EF⊥BE，求证：CF=2ME.题型二倍长构造三角形中位线例2如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF=90°，M 为AF的中点，求证：ME=12CF题型三取中点构造三角形中位线例3 如图，在△ABC中，∠C=90°，CA=CB，E，F分别为CA，CB上的一点，CE=CF，M，N分别为AF，BE的中点，求证：AE=MN.EF图1 图2收集于网络，如有侵权请联系管理员删除题型四连接两点构造三角形中位线例4 如图，在△ABC中，∠B=2∠A，CD⊥AB于D,点E，F分别为AB，BC的中点.求证：DE=DFA例5 已知∠ACB=∠BCD=90°，AC=BC，CD=CE.（1）如图1，AE与BD的大小关系为，位置关系为 .（2）如图2，点P，M,N分别为AB，AD，BE的中点，试探究：PM与PN之间的数量关系和位置关系；（3）将图2中的△CDE绕点C旋转至如图3所示的位置，其余条件不变，则MN与PN的数量关系为 .图1 图3图2收集于网络，如有侵权请联系管理员删除例7 如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M是BC的中点.求证：AB=2DM.例5 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.AD∥BC，∠ABE=2∠CBE.求证：DE=2AB.（提示：取DE的中点F，连接AF）DB收集于网络，如有侵权请联系管理员删除。

三角形的中位线专题复习 八年级下学期重难点及章节分类精品讲义

三角形的中位线专题复习 八年级下学期重难点及章节分类精品讲义

第7讲三角形的中位线专题探究类型一三角形中位线定理知识点睛：三角形中位线定理的应用（1）证明平行问题;（2）证明一边是另一边的2倍或（3）解决"中点问题".注意∶在处理这些问题时，要求出现三角形及其中位线：①有中点连线而无三角形，要作辅助线产生三角形;②有三角形而无中位线，要作中点的连线或过中点作平行线.类题训练1．（2021春•罗湖区校级期末）如图，△ABC的面积是16，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则△AFG的面积是（）A．6B．7C．8D．9【分析】根据中线的性质，可得：△AEF的面积＝×△ABE的面积＝×△ABD的面积＝×△ABC的面积＝2，△AEG的面积＝2，根据三角形中位线的性质可得△EFG的面积＝×△BCE的面积＝2，进而得到△AFG的面积．【解答】解：∵点D是BC的中点，∴AD是△ABC的中线，∴△ABD的面积＝△ADC的面积＝×△ABC的面积，同理得：△AEF的面积＝×△ABE的面积＝×△ABD的面积＝×△ABC的面积＝×16＝2，△AEG的面积＝2，△BCE的面积＝×△ABC的面积＝8，又∵FG是△BCE的中位线，∴△EFG的面积＝×△BCE的面积＝×8＝2，∴△AFG的面积是2×3＝6，故选：A．2．（2021秋•寿光市期末）如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点F，AB＝8，BC＝12，则EF的长为（）A．1B．1.5C．2D．2.5【分析】延长AF交BC于H，由三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝BC＝6，AF ＝FH，再证△BF A≌△BFH（AAS），得BH＝AB＝8，然后由三角形中位线定理得DF＝4，求解即可．【解答】解：连接AF并延长交BC于H，如图所示：∵点D、E分别为边AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC＝6，AF＝FH，在△BF A和△BFH中，，∴△BF A≌△BFH（AAS），∴BH＝AB＝8，∵AD＝DB，AF＝FH，∴DF是△ABH的中位线，∴DF＝BH＝4，∴EF＝DE﹣DF＝2，故选：C．3．（2021秋•海阳市期末）如图，△ABC中，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直AD，垂足为点M，连接MN．若BC＝7，MN＝，则△ABC的周长为（）A．17B．18C．19D．20【分析】利用ASA定理证明△BNA≌△BNE，根据全等三角形的性质得到BE＝BA，AN ＝NE，同理得到CD＝CA，AM＝MD，根据三角形中位线定理求出DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：在△BNA和△BNE中，，∴△BNA≌△BNE（ASA），∴BE＝BA，AN＝NE，同理，CD＝CA，AM＝MD，∵AM＝MD，AN＝NE，MN＝，∴DE＝2MN＝3，∵BE+CD﹣BC＝DE，∴AB+AC＝BC+DE＝10，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+7＝17，故选：A．4．（2018春•江干区期末）如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE 于E，已知AB＝10，AC＝18，则DE的长为（）A．4B．5C．6D．7【分析】延长BE交AC于F，证明△AEF≌△AEB，根据全等三角形的性质得到AF＝AB ＝10，BE＝EF，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：延长BE交AC于F，∵BE⊥AE，∴∠AEB＝∠AEF＝90°，在△AEF和△AEB中，，∴△AEF≌△AEB（ASA）∴AF＝AB＝10，BE＝EF，∴CF＝AC﹣AF＝8，∵BE＝EF，BD＝DC，∴DE＝CF＝4，故选：A．5．（2021•吴兴区二模）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是各边的中点，若△ABC的面积为4cm2，则△DEF的面积是（）cm2．A．0.5B．1C．2D．4【分析】根据三角形中位线定理得到EF＝AB，ED＝AC，DF＝BC，进而证明△EFD∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：∵点D、E、F分别是各边的中点，∴EF＝AB，ED＝AC，DF＝BC，∴＝＝＝，∴△EFD∽△ABC，且相似比为，∴＝（）2＝，∵△ABC的面积为4cm2，∴△DEF的面积是1cm2，故选：B．6．（2021秋•广饶县期末）如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，若AC＝4，则AF＝（）A．B．C．1D．【分析】取BF的中点H，连接DH，根据三角形中位线定理得到DH＝FC，DH∥AC，证明△AEF≌△DEH，根据全等三角形的性质得到AF＝DH，计算即可．【解答】解：取BF的中点H，连接DH，∵BD＝DC，BH＝HF，∴DH＝FC，DH∥AC，∴∠HDE＝∠F AE，在△AEF和△DEH中，，∴△AEF≌△DEH（ASA），∴AF＝DH，∴AF＝FC，∵AC＝4，∴AF＝，故选：B．7．（2021秋•龙口市期末）如图，△ABC的周长为a，以它的各边的中点为顶点作△A1B1C1，再以△AB1C1各边的中点为顶点作△A2B2C2，…如此下去，则△A n B n∁n的周长为（）A．a B．a C．a D．a【分析】根据三角形中位线定理得到△A1B1C1的周长＝a，△A2B2C2的周长＝a＝a，总结规律，根据规律解答即可．【解答】解：∵点A1、B1、C1分别为BC、AC、AB的中点，∴B1C1＝BC，A1C1＝AC，A1B1＝AB，∴△A1B1C1的周长＝a，同理，△A2B2C2的周长＝a＝a，……则△A n B n∁n的周长＝a，故选：A．8．（2021秋•东莞市校级期末）如图，已知△ABC中AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AE 是∠BAC的外角平分线，ED∥AB交AC于点G，下列结论：①AD⊥BC；②AE∥BC；③AE＝AG；④∠DAE＝90°．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】连接EC，根据等腰三角形的性质得出AD⊥BC，即可判断①；求出∠F AE＝∠B，再根据平行线的性质得出AE∥BC，即可判断②；求出四边形ABDE是平行四边形，根据平行四边形的性质得出AE＝BD，求出AE＝CD，根据矩形的判定推出四边形ADCE 是矩形，根据矩形的性质得出AC＝DE，AG＝CG，DG＝EG，求出DG＝AG＝CG＝EG，根据勾股定理判断④即可；根据AE＝BD＝BC和AG＝AC判断③即可．【解答】解：连接EC，∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，故①正确；∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AE平分∠F AC，∴∠F AC＝2∠F AE，∵∠F AC＝∠B+∠ACB，∴∠F AE＝∠B，∴AE∥BC，故②正确；∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD，∴AE＝CD，∵AE∥BC，∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形，∴∠DAE＝90°，故④正确；∵AE＝BD＝BC，AG＝AC，∴AG＝AE错误（已知没有条件AC＝BC），故③错误；即正确的个数是3个，故选：C．类型二三角形中位线在四边形中的应用知识点睛：四边形中中位线的构造（1）四边形边上有中点时，取其对角线中点构造三角形中位线;（2）四边形对角线上有中点时，取边的中点构造三角形中位线.此类中位线的构造常出现在等对边四边形或等对角线四边形题目中，用于判断线段关系或由线段引发的角度关系。

中考数学复习----《三角形的中位线》知识点总结与专项练习题(含答案解)

中考数学复习----《三角形的中位线》知识点总结与专项练习题(含答案解)

中考数学复习----《三角形的中位线》知识点总结与专项练习题（含答案解）知识点总结1.中位线的定义：三角形任意两边中点的连线段叫做这个三角形的中位线。

2.中位线的性质：三角形的中位线平行且等于第三边的一半。

练习题1．（2022•南充）数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A，B两点的距离，同学们在AB外选择一点C，测得AC，BC两边中点的距离DE为10m（如图），则A，B两点的距离是m．【分析】利用三角形中位线定理解决问题即可．【解答】解：∵CD＝AD，CE＝EB，∴DE是△ABC的中位线，∴AB＝2DE，∵DE＝10m，∴AB＝20m，故答案为：20．2．（2022•福建）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．若BC＝12，则DE 的长为．【分析】直接利用三角形中位线定理求解．【解答】解：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE＝BC＝×12＝6．故答案为：6．3．（2022•西藏）如图，如果要测量池塘两端A，B的距离，可以在池塘外取一点C，连接AC，BC，点D，E分别是AC，BC的中点，测得DE的长为25米，则AB的长为米．【分析】应用三角形的中位线定理，计算得结论．【解答】解：∵D，E分别是AC，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线．∴AB＝2DE＝2×25＝50（米）．故答案为：50．4．（2022•丽水）如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．若AB＝6，BC＝8，则四边形BDEF的周长是（）A．28 B．14 C．10 D．7【分析】根据三角形中位线定理解答即可．【解答】解：∵D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，∴DE＝BF＝AB＝3，∵E、F分别为AC、AB中点，∴EF＝BD＝BC＝4，∴四边形BDEF的周长为：2×（3+4）＝14，故选：B．5．（2022•眉山）在△ABC中，AB＝4，BC＝6，AC＝8，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，则△DEF的周长为（）A．9 B．12 C．14 D．16【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可得出△ABC的周长＝2△DEF的周长．【解答】解：如图，点D，E，F分别为各边的中点，∴DE、EF、DF是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝3，EF＝AB＝2，DF＝AC＝4，∴△DEF 的周长＝3+2+4＝9．故选：A ．6．（2022•广东）如图，在△ABC 中，BC ＝4，点D ，E 分别为AB ，AC 的中点，则DE ＝（ ）A ．41B ．21C ．1D ．2【分析】由题意可得DE 是△ABC 的中位线，再根据三角形中位线的性质即可求出DE 的长度．【解答】解：∵点D ，E 分别为AB ，AC 的中点，BC ＝4，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝BC ＝×4＝2，故选：D ．7．（2022•沈阳）如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，点D 、E 分别是直角边AC 、BC 的中点，连接DE ，则∠CED 的度数是（ ）A ．70°B ．60°C ．30°D ．20°【分析】根据直角三角形的性质求出∠B ，根据三角形中位线定理得到DE ∥AB ，根据平行线的性质解答即可．【解答】解：在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，则∠B＝90°﹣∠A＝60°，∵D、E分别是边AC、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠CED＝∠B＝60°，故选：B．8．（2022•常州）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．若DE＝2，则BC的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据三角形中位线定理解答即可．【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC＝2DE，∵DE＝2，∴BC＝4，故选：B．。

三角形中位线培优复习

三角形中位线培优复习

课题三角形中位线培优FMEC B APF E DCB AFN MECBA例题2：BE 、CF 是△ABC 的角平分线，AN ⊥BE 于N ，AM ⊥CF 于M 。

求证：MN ∥BC练习：如图，在∆ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，F 为BC 上一点，M 为AF 的中点，BE 平分∠ABC ，且EF ⊥BE ，求证：CF=2ME 。

方法二、【取中点构造中位线】例题1：如图，在四边形ABCD 中，AD=BC ，∠CBD=20°，∠BDA=110°，E 、F 、P 分别为AB 、CD 、BD 的中点，探索PF 与EF 的数量关系.练习：如图，在∆ABC 中，∠C=90°，CA=CB ，E ，F 分别为CA ，CB 上一点，CE=CF ，M ，N 分别为AF ，BE 的中点，求证：AE=2MNNMD C B A例题2：如图，四边形ABCD 中，M ，N 分别为AD ，BC 的中点，边BD ，若AB=10，CD=8，求MN 的取值范围。

练习：已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，E 、F 分别是DC 、AB 边的中点，FE 的延长线分别与AD 、BC 的延长线交于H 、G 点．求证：∠AHF ＝∠BGF ．方法三、【借助平行四边形的性质】 例题：如图，（1）E 、F 为△ABC 的中点，G 、H 为AC 的两个三等分点，连接EG 、FH 并延长交于D ， 连接AD 、CD. 求证：四边形ABCD 是平行四边形.练习：已知：如图，在□ABCD 中，E 是CD 的中点，F 是AE 的中点，FC 与BE 交 于G ．求证：GF ＝GC ．课后作业1.如图，在△ABC 中，AB=10，BC=7，BE 平分∠ABC ，AE ⊥BE ，点F 为AC 的中点，连接EF ，求EF 的长度.3.如图，AD 是△ABC 的中线，E 是AD 的中点，F 是BE 延长线与AC 的交点。

中考数学复习三角形的中位线【培优讲练】

中考数学复习三角形的中位线【培优讲练】

9.5 三角形的中位线同步培优讲练综合三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.一、三角形中位线有关的求解问题【例1】如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得10=，则A，B之间的距离是()CD mA.5m B．10mC．20m D．40m【例2】如图，在ABC∆中，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，ABC∠的平分线BF交DE于点F，若4AB=，6BC=，则EF的长为．【例3】如图，在四边形ABCD 中，点P 是对角线BD 的中点，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD BC =，30PEF ∠=︒，则EPF ∠的度数是 ．【例4】在ABC 中，120AB AC BAC =∠=︒，，D 为ABC 形内一点，以AD 为腰作等腰DAE ，使DAE BAC ∠=∠，连接BE CD 、，若M N 、分别是DE BC 、的中点，1MN =，则CD 的长为_______．【例5】有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形面积两等分），试设计两种方案，并说明理由．（平分图案画在备用图上，保留作图痕迹）【例6】如图，在ABC ∆中，点D ，E ，F 分别是边AB ，BC ，CA 上的中点，且10AB cm =，16AC cm =，则四边形ADEF 的周长等于 cm ．【例7】如图，四边形ABCD 中，1AB =，4CD =，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，则线段MN 的取值范围是( )A ．35MN <<B ．35MN <C ．3522MN <<D ．3522MN <【例8】如图，Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，6AB =，10BC =，AD 、AE 分别是其角平分线和中线，过点B 作BG AD ⊥于G ，交AC 于F ，连接EG ，则线段EG 的长为（ ）A ．12 B ．1 C ．32 D ．2二、三角形中位线相关的面积问题【例1】如图，在ABC ∆中，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AD 的中点，若ABC ∆的面积是40，则四边形BDEF 的面积是( )A ．10B ．12.5C ．15D ．20【例2】E 、F 是线段AB 上的两点，且16AB =，2AE =，4BF =，点G 是线段EF 上的一动点，分别以AG 、BG 为斜边在AB 同侧作两个等腰直角三角形，直角顶点分别为D 、C ，如图所示，连接CD 并取中点P ，连接PG ，点G 从E 点出发运动到F 点，则线段PG 扫过的图形面积为______．【例3】如图，在ABC 中，D ，E ，F 分别是BC AD CE ，，的中点，22cm BCF S =，则ABC S =_____2cm【例4】如图，ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点为G ，且:2:1AG GD =，若12ABC S =△，则图中阴影部分的面积是_____．【例5】如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，,E F 分别是,BC AB 的中点，延长CA 到点D ，使得2AC AD =，连接,,,,DE DF AE EF AF 与DE 交于点O ．5,13AB BC ==，求四边形AEFD 的面积．三、与三角形中位线有关的应用和证明【例1】在ABC ∆中，点M 是边BC 的中点，AD 平分BAC ∠，BD AD ⊥，BD 的延长线交AC 于点E ，12AB =，20AC =．（1）求证：BD DE =；（2）求DM 的长．【例2】如图，ABC ∆中，AH BC ⊥于点H ，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接DH ，EH ，DE ．（1）求证：AD DH =；（2）若四边形ADHE 的周长是30，ADE ∆的周长是21，求BC 的长．【例3】如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD BC =，20PEF ∠=︒，求PFE ∠的度数．【例4】在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，E 、F 分别是BC 、AC 的中点，延长BA 到点D ，使2AB AD =，连接DE 、DF 、AE 、EF ，AF 与DE 交于点O ．(1)试说明AF 与DE 互相平分；(2)若8AB =，12BC =，求DO 的长．四、梯形中位线【例1】已知一个梯形的中位线长为5cm ，其中一条底边的长为6cm ，那么该梯形的另一条底边的长是 cm ．【例2】如图，已知直角梯形ABCD 的一条对角线把梯形分为一个直角三角形和一个边长为8cm 的等边三角形，则梯形ABCD 的中位线长为( )A. 4cm B ．6cmC ．8cmD ．10cm【例3】如图，梯形ABCD 的两底长为6AD =，10BC =，中位线为EF ，且90B ∠=︒，若P 为AB 上的一点，且PE 将梯形ABCD 分成面积相同的两区域，则EFP ∆与梯形ABCD 的面积比为 ．五、中点四边形【例1】顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是( )A ．平行四边形B ．对角线相等的四边形C ．矩形D ．对角线互相垂直的四边【例2】若顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得到的四边形是矩形，则原四边形必定是（ ）A ．正方形B ．对角线相等的四边形C ．菱形D ．对角线互相垂直的四边形【例3】依次连接下列四边形四条边的中点得到四边形不是菱形的是（ ）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．等腰梯形【例4】如图，四边形ABCD 中，AC a =，BD b =．且AC BD ⊥，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形1111D C B A ，再顺次连接四边形1111D C B A 各边中点，得到四边形2222,A B C D ⋅⋅⋅，如此进行下去，得到四边形n n n n A B C D ．下列结论正确的是（ ）①四边形2222A B C D 是矩形；②四边形4444A B C D 是菱形；③四边形5555A B C D 的周长是4a b+，④四边形n n n n A B C D 的面积是12n ab+．A ．①②③B ．②③④C ．①②D ．②③1、如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5AC =，12BC =．若D ，E 分别为边AC ，BC 的中点，则DE 的长为( )A ．5B ．5.5C ．6D ．6.52、如图是屋架设计图的一部分，其中30A ∠=︒，点D 是斜梁AB 的中点，BC 、DE 垂直于横梁AC ，16AB m =，则DE 的长为( )A. 8mB ．4mC ．2mD ．6m3、如图，点D 、E 、F 分别是AC 、BC 、AB 中点，且BD 是ABC ∆的角平分线．求证：BE AF =．4．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O ，2BD AD =，E ， F ， G 分别是OC ， OD ，AB 的中点，下列结论中：①BE AC ⊥；②四边形BEFG 是平行四边形；③EG GF =；④EA 平分GEF ∠，正确的是（ ）A ．①②B ．①②④C ．①②③D ．②③④5．如图，四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，且8AC =，4BD =，各边中点分别为1A ，1B ，1C ，1D ，顺次连接得到四边形1111D C B A ；再取各边中点2A ，2B ，2C ，2D ，顺次连接得到四边形2222A B C D ；依此类推，这样得到四边形n n n n A B C D ，则四边形n n n n A B C D 的面积为____．6．已知一个对角线长分别为12cm 和16cm 的菱形，顺次连接它的四边中点得到的四边形的面积是______．7．如图，在ABC 和ABD △中，90ACB ADB ∠=∠=︒，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，若1DE =，则FG =________．8、如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，延长BC 至点D ，使13CD BD =．连接DM 、DN 、MN ．若6AB =，求DN 的长．9．如图，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD BC ，的中点．(1)若102430120AB CD ABD BDC ==∠=︒∠=︒，，，，求EF 的长．(2)若90BDC ABD ∠-∠=︒，求证：2224AB CD EF +=．10．已知：如图，四边形ABCD 四条边上的中点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连接EF 、FG 、GH 、HE ，得到四边形(EFGH 即四边形ABCD 的中点四边形)．(1)四边形EFGH 的形状是______，请证明你的结论；(2)当四边形ABCD 的对角线满足______条件时，四边形EFGH 是菱形；(3)你学过的哪种特殊的平行四边形的中点四边形是菱形？请写出一种．11．定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD AE =，连接DE 、DC ，点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点，且连接PM 、PN ．(1)观察猜想线段PM 与PN ______填（“是”或“不是”）“等垂线段”．(2)ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接BD ，CE ，试判断PM 与PN 是否为“等垂线段”，并说明理由．(3)拓展延伸把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若2DE =，4BC =，请直接写出PM 与PN 的积的最大值．9.5 三角形的中位线同步培优讲练综合三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.一、三角形中位线有关的求解问题【例1】如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点CD m，则A，B之间的距离是()C，D，量得10B.5m B．10mC．20m D．40m【答案】C【解析】解：点C，D分别是OA，OB的中点，220()AB CD m ∴==，故选：C ．【例2】如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，连接DE ，ABC ∠的平分线BF 交DE 于点F ，若4AB =，6BC =，则EF 的长为 ．【答案】1【解析】解：连接AF 并延长交BC 于H ，点D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，//DE BC ∴，132DE BC ==，FH =， 在BFA ∆和BFH ∆中，ABF HBF AFB HFB FA FH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BFA BFH AAS ∴∆≅∆，4BH AB ∴==，AD DB =，AF FH =，122DF BH ∴==， 1EF DE DF ∴=-=，故答案为：1．【例3】如图，在四边形ABCD 中，点P 是对角线BD 的中点，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD BC =，30PEF ∠=︒，则EPF ∠的度数是 ．【答案】120【解析】 解：点P 是对角线BD 的中点，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，12PF BC ∴=，12PE AD =，又AD BC =， PE PF ∴=，30PFE PEF ∴∠=∠=︒，120EPF ∴∠=︒，故答案为：120︒．【例4】在ABC 中，120AB AC BAC =∠=︒，，D 为ABC 形内一点，以AD 为腰作等腰DAE ，使DAE BAC ∠=∠，连接BE CD 、，若M N 、分别是DE BC 、的中点，1MN =，则CD 的长为_______．【答案】2【解析】解：如图，连接BD ，取BD 的中点F ，连接FM FN ，，∵BAC EAD ∠=∠，BAC EAD ∠=∠， ∴BAC BAD EAD BAD ∠-∠=∠-∠，即BAE CAD ∠=∠，在AEB △和ADC △中，AE AD BAE CADAB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AEB ADC SAS ≌（），∴BE CD =，∵M 是ED 的中点，F 是BD 的中点，∴FM 是BED 的中位线， ∴12FM BE =，FM BE ∥，∴DFM EBD ∠=∠， 同理得，1 2FN CD =，FN CD ，FM FN FNB DCB ∴=∠=∠，，∵DFN DBC FNB DBC DCB ∠=∠+∠=∠+∠，∴18012060MFN DFM DFN EBD DBC DCB ∠=∠+∠=∠+∠+∠=︒-︒=︒，∴FMN 是等边三角形，∴1MN FN ==，∴2CD =．故答案为：2．【例5】有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形面积两等分），试设计两种方案，并说明理由．（平分图案画在备用图上，保留作图痕迹）【答案】见解析【解析】解：设梯形上、下底分别为a 、b ，高为h ．方案一：如图1，连接梯形上、下底的中点E 、F ，则()4ABFE EFCD a b h S S +==四边形四边形；方案二：如图2，连接AC ，取AC 的中点E ，连接BE ED 、，则图中的四边形ABED 的面积=梯形ABCD 的面积的一半，∵AE EC =，∴ABE BEC S S =，AED ECD S S =， ∴ABE AED BEC ECD S S S S +=+，∴四边形ABED 的面积=梯形ABCD 的面积的一半．方案三：如图3，分别量出梯形上、下底a 、b 的长，在下底BC 上截取2a b BE +=，连接AE ， ∴()1•24ABE a b h S BE h +==，()()()244ABE AECD ABCD a b h a b h a b h S S S +++=-=-=四边形梯形，则()4ABE AECD a b h S S +==四边形．【例6】如图，在ABC ∆中，点D ，E ，F 分别是边AB ，BC ，CA 上的中点，且10AB cm =，16AC cm =，则四边形ADEF 的周长等于 cm ．【答案】26【解析】解：点D ，E ，F 分别是边AB ，BC ，CA 上的中点，DE ∴，EF 都是ABC ∆的中位线，182DE AC cm ∴==，//DE AC ，152EF AB cm ==，//EF AB ， ∴四边形ADEF 是平行四边形，∴四边形ADEF 的周长2()21326()DE EF cm =+=⨯=．故答案为：26．【例7】如图，四边形ABCD 中，1AB =，4CD =，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，则线段MN 的取值范围是( )A ．35MN <<B ．35MN <C ．3522MN <<D ．3522MN < 【答案】D【解析】解：连接AC ，取AC 的中点H ，连接MH 、NH ，M 、H 分别是AD 、AC 的中点，122MH CD ∴==， 同理可得，1122NH AB ==， 在MHN ∆中，MH NH MN MH NH -<<+，即3522MN <<， 当H 在MN 上时，52MN MH NH =+=，∴3522MN <， 故选：D ．【例8】如图，Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，6AB =，10BC =，AD 、AE 分别是其角平分线和中线，过点B 作BG AD ⊥于G ，交AC 于F ，连接EG ，则线段EG 的长为（ ）A ．12 B ．1 C ．32 D ．2【答案】B【解析】解：Rt ABC △中，6AB =，10BC =，∴8AC ==，∵BG AD ⊥，∴AGB AGF ∠=∠．∵AD 平分BAC ∠，∴BAG FAG ∠=∠， 在AGB 和AGF 中BAG FAG AG AGAGB AGF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴AGB AGF ≌∴6,AB AF BG FG ===，∴2CF =，∵AE 是ABC 的中线，∴BE CE =，∴EG 是BCF △的中位线，∴112EG CF ==，故选：B ．二、三角形中位线相关的面积问题【例1】如图，在ABC ∆中，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AD 的中点，若ABC ∆的面积是40，则四边形BDEF 的面积是( )A ．10B ．12.5C ．15D ．20 【答案】C【解析】解：D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AD 的中点，12ADE ADC S S ∆∆∴=，12ADC ABC S S ∆∆=，12DEF ADE S S ∆∆=， 1140588DEF ABC S S ∆∆∴==⨯=， D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AD 的中点，11402022ABD ABC S S ∆∆∴==⨯=， 11201022BDF ADB S S ∆∆∴==⨯=， ∴四边形BDEF 的面积15BDF DEF S S ∆∆=+=，故选：C ．【例2】E 、F 是线段AB 上的两点，且16AB =，2AE =，4BF =，点G 是线段EF 上的一动点，分别以AG 、BG 为斜边在AB 同侧作两个等腰直角三角形，直角顶点分别为D 、C ，如图所示，连接CD 并取中点P ，连接PG ，点G 从E 点出发运动到F 点，则线段PG 扫过的图形面积为______．【答案】30【解析】解：分别延长AD 、BC 相交于点H ，连接PH ，EH ，FH ，∵ADG △、GCB △为等腰直角三角形，∴45DGA CGB A B ∠=∠=∠=∠=︒，∴90DGC ∠=︒，∴AH GC ∥，又∵90HCG ∠=︒，∴90HCG DGC ∠=∠=︒，∴DG HB ∥，∴四边形DGCH 为矩形，∵点P 为DC 中点，∴点G 、P 、H 三点共线，且P 为HG 的中点，过P 作MN AB ∥分别交EH 、FH 与M 、N ，∴MN 为HEF 的中位线，且MN 即为点P 的运动轨迹， ∴GP 扫过的图形即为梯形MEFN ，∵16AB =，2AE =，4BF =，∴162410EF =--=， ∴152MN EF ==，过点H 作HO 垂直AB 于O ，∵45A B ∠=∠=︒，∴AH BH =，180454590AHB ∠=︒-︒-︒=︒， ∴182HO AO BO AB ====，∵MN 为HEF 的中位线， ∴118422PO HO ==⨯=，即梯形的高为4， ∴()14105302MEFN S =⨯⨯+=梯形，即线段PG 扫过的图形面积为30．故答案为：30．【例3】如图，在ABC 中，D ，E ，F 分别是BC AD CE ，，的中点，22cm BCF S =，则ABC S =_____2cm【答案】8【解析】解：如图，连接BE ，∵E 是AD 的中点， ∴12ABE ABD S S =△△，12ACE ACD S S =， ∴()11112222ABE ACE ABD ACD ABD ACD ABC S S S S S S S +++===， ∴12CBE ABC S S =，∵F 是CE 的中点， ∴1124FBC EBC ABC S S S ==， 而22cm BCF S =， ∴28cm ABC S =． 故答案为：8．【例4】如图，ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点为G ，且:2:1AG GD =，若12ABC S =△，则图中阴影部分的面积是_____．【答案】4【解析】解：∵ABC 的三条中线AD ，BE ，CF 交于点G ，:2:1AG GD =，∴AE CE =， ∴13CGE AGE ACF S S S ==△△△，13BGF BGD BCF S S S ==，∵1112622ACF BCF ABC S S S ===⨯=△△△，∴231316CGE ACF S S ==⨯=，231316BGF BCF S S ==⨯=， ∴4CGE BGF S S S +==阴影．故答案为：4．【例5】如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，,E F 分别是,BC AB 的中点，延长CA 到点D ，使得2AC AD =，连接,,,,DE DF AE EF AF 与DE 交于点O ．5,13AB BC ==，求四边形AEFD 的面积．【答案】15【解析】解：∵,E F 分别是,BC AB 的中点，∴EF 是ABC 的中位线，∴EF AC ∥，2AC EF =，∵2AC AD =，∴AD EF =，又∵AD EF ∥，∴四边形ADFE 是平行四边形，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，5,13AB BC ==，∴12AC =，162EF AC AD ===， ∴1522AF AB ==， ∴56152ADFE S AD AF ==⨯=⨯平行四边形．与三角形中位线有关的应用和证明【例1】在ABC ∆中，点M 是边BC 的中点，AD 平分BAC ∠，BD AD ⊥，BD 的延长线交AC 于点E ，12AB =，20AC =．（1）求证：BD DE =；（2）求DM 的长．【答案】见解析【解析】（1）证明：AD 平分BAC ∠，BAD DAE ∴∠=∠．AD BD ⊥，90ADB ADE ∴∠=∠=︒．在ADB ∆与ADE ∆中，BAD EAD AD ADADB ADE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ADB ADE ∴∆≅∆，BD DE ∴=．（2）ADB ADE ∆≅∆，12AE AB ∴==，8EC AC AE ∴=-=． M 是BC 的中点，BD DE =，142DM EC ∴==． 【例2】如图，ABC ∆中，AH BC ⊥于点H ，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接DH ，EH ，DE ．（1）求证：AD DH =；（2）若四边形ADHE 的周长是30，ADE ∆的周长是21，求BC 的长．【答案】见解析【解析】解：（1）AH BC ⊥，90AHB ∴∠=︒，点D 是AB 的中点，12AD DH AB ∴==； （2）AH BC ⊥，90AHB AHC ∴∠=∠=︒，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，12AD DH AB ∴==，12AE HE AC ==， 四边形ADHE 的周长是30，130152AD AE ∴+=⨯=， ADE ∆的周长是21，21156DE ∴=-=，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，DE ∴是ABC ∆的中位线，212BC DE ∴==．【例3】如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD BC =，20PEF ∠=︒，求PFE ∠的度数．【答案】20【解析】解：P 是BD 的中点，E 是AB 的中点，PE ∴是ABD ∆的中位线，12PE AD ∴=， 同理，12PF BC =， AD BC =，PE PF ∴=，20PFE PEF ∴∠=∠=︒．【例4】在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，E 、F 分别是BC 、AC 的中点，延长BA 到点D ，使2AB AD =，连接DE 、DF 、AE 、EF ，AF 与DE 交于点O ．(1)试说明AF 与DE 互相平分；(2)若8AB =，12BC =，求DO 的长．【答案】(1)见解析 【解析】（1）∵E 、F 分别是BC 、AC 的中点，∴EF 是ABC 的中位线，∴EF AB ∥且12EF AB =．又2AB AD =，即12AD AB =， ∴AD EF ，AD EF =，∴四边形AEFD 是平行四边形，∴AF 与DE 互相平分；（2）∵在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，8AB =，12BC =，∴由勾股定理得AC又由（1）知，OA OF =，且AF CF =，∴14OA AC =∴在AOD △中，90DAO ∠=︒，142AD AB ==，OA∴由勾股定理得 DO ==三、梯形中位线【例1】已知一个梯形的中位线长为5cm ，其中一条底边的长为6cm ，那么该梯形的另一条底边的长是 cm ．【答案】4【解析】解：设梯形的另一条底边为xcm ，由题意得：625x +=⨯，解得4x =．即梯形的另一条底边的长为4cm ．故答案为：4．【例2】如图，已知直角梯形ABCD 的一条对角线把梯形分为一个直角三角形和一个边长为8cm 的等边三角形，则梯形ABCD 的中位线长为( )B. 4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm【答案】B【解析】解：DBC ∆是等边三角形，8DB DC BC cm ∴===，60DBC ∠=︒，90ABC ∠=︒，30ABD ∴∠=︒，90A ∠=︒，142AD BD cm ∴==，∴梯形ABCD 的中位线是11()(48)622AD BC cm cm cm +=⨯+=， 故选：B ．【例3】如图，梯形ABCD 的两底长为6AD =，10BC =，中位线为EF ，且90B ∠=︒，若P 为AB 上的一点，且PE 将梯形ABCD 分成面积相同的两区域，则EFP ∆与梯形ABCD 的面积比为 ．【答案】1：16【解析】 解：梯形ABCD 的两底长为6AD =，10BC =，11()(610)822EF AD BC ∴=+=⨯+=，()()11610822ABCD S AD BC AB AB AB ∴=+⨯=⨯+⨯=梯形．()()1117682242AFED S AD EF AB AB AB =+⨯=+⨯=梯形，1714222EFP ABCD AFED S S S AB AB AB ∆∴=-=-=梯形梯形，1::81:162EFP ABCD S S ∆∴==梯形．故答案为：1:16．四、中点四边形【例1】顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是() A ．平行四边形 B ．对角线相等的四边形C ．矩形D ．对角线互相垂直的四边【答案】B【解析】 解：四边形EFGH 是菱形，1122EH FG EF HG BD AC ∴=====，故AC BD =．故选：B ．【例2】若顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得到的四边形是矩形，则原四边形必定是（）A ．正方形B ．对角线相等的四边形C ．菱形D ．对角线互相垂直的四边形【答案】D【解析】 解：如图， 四边形EFGH 是矩形90FEH ∴∠=︒点E 、F 的分别是AD 、AB 的中点EF ∴是ABD ∆的中位线EF BD ∴∥90FEH OMH ∴∠=∠=︒点E 、H 的分别是AD 、CD 的中点EH ∴是ACD ∆的中位线EH AC ∴90OMH COB ∴∠=∠=︒AC BD ∴⊥．故选：D【例3】依次连接下列四边形四条边的中点得到四边形不是菱形的是（ ）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．等腰梯形【答案】B【解析】解：如图所示，依次连接四边形四条边的中点，∵矩形ABCD ，∴AB CD ，AD BC ∥，AB CD =，AD BC =，且点E ，F ，G ，H 分别为四边的中点，∴AEF BGF CGH DEH △≌△≌△≌△， ∴EF GF GH EH ===，∴EFGH 是菱形；∴A 选项不符合题意；如上图所示，由A 选项结论得菱形EFGH ，点O ，P ，Q ，R 分别为四边的中点，∴EO OF FP PG QG QH HR ER =======，且菱形的对角相等，∴(SAS)EOR GPQ △≌△，(SAS)OFP HQR △≌△，∴OR PQ =，OP QR =，∴四边形OPRQ 是平行四边形，不一定是菱形；∴B 选项符合题意；如下图所示，正方形ABCD ，点E ，F ，G ，H 分别为四边的中点，∴AE AF FB BG GC CH HD DE =======，且90A B C D ∠=∠=∠=∠=︒，∴AEF BGF CGH DEH △≌△≌△≌△， ∴EF GF GH EH ===，∴EFGH 是菱形；∴C 选项不符合题意；如下图所示，等腰梯形ABCD ，点E ，F ，G ，H 分别为四边的中点，∴AE DE =，AF DH =，A D ∠=∠，∴(SAS)AEF DEH △≌△，∴EF EH =，同理可得，FG GH =，连接AC ，在ACD ，ACB △中，点E ，F ，G ，H 分别为四边的中点，根据三角形的中位线的性质可知，FG AC ，12FG AC =，EH AC ，12EH AC =，∴FG EH =，FG EH ∥，∴四边形EFGH 是平行四边形，又∵EF EH =，FG GH =，∴EFGH 是菱形；∴D 选项不符合题意．故选：B ．【例4】如图，四边形ABCD 中，AC a =，BD b =．且AC BD ⊥，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形1111D C B A ，再顺次连接四边形1111D C B A 各边中点，得到四边形2222,A B C D ⋅⋅⋅，如此进行下去，得到四边形n n n n A B C D ．下列结论正确的是（ ）①四边形2222A B C D 是矩形；②四边形4444A B C D 是菱形；③四边形5555A B C D 的周长是4a b+，④四边形n n n n A B C D 的面积是12n ab+．A ．①②③B ．②③④C ．①②D ．②③【答案】B【解析】解：①连接A 1C 1，B 1D 1．∵在四边形ABCD 中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1，∴A 1D 1∥BD ，B 1C 1∥BD ，C 1D 1∥AC ，A 1B 1∥AC ；∴A 1D 1∥B 1C 1，A 1B 1∥C 1D 1，∴四边形A 1B 1C 1D 1是平行四边形；∵AC ⊥BD ，∴四边形A 1B 1C 1D 1是矩形，∴B 1D 1=A 1C 1（矩形的两条对角线相等）；∴A 2D 2=C 2D 2=C 2B 2=B 2A 2（中位线定理），∴四边形A 2B 2C 2D 2是菱形；故①错误；②由①知，四边形A2B2C2D2是菱形；∴根据中位线定理知，四边形A4B4C4D4是菱形；故②正确；③根据中位线的性质易知，A 5B 5=12A 3B 3=1122⨯A 1B 1=111222⨯⨯AC ， B 5C 5=12B 3C 3=1122⨯B 1C 1=111222⨯⨯BD ， ∴四边形A 5B 5C 5D 5的周长是()1284a b a b +⨯+=故③正确；④∵四边形ABCD 中，AC=a ，BD=b ，且AC ⊥BD ，∴S 四边形ABCD=12ab ； 由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，四边形AnBnCnDn 的面积是12n ab+故④正确；综上所述，②③④正确．故选：B ．1、如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5AC =，12BC =．若D ，E 分别为边AC ，BC 的中点，则DE 的长为( )A ．5B ．5.5C ．6D ．6.5【答案】D【解析】解：90C ∠=︒，5AC =，12BC =，13AB ∴=，AD DC =，CE EB =，1 6.52DE AB ∴==， 故选：D ．2、如图是屋架设计图的一部分，其中30A ∠=︒，点D 是斜梁AB 的中点，BC 、DE 垂直于横梁AC ，16AB m =，则DE 的长为( )B. 8mB ．4mC ．2mD ．6m 【答案】B【解答】解：30A ∠=︒，16AB m =，1116822BC AB m ∴==⨯=， BC 、DE 垂直于横梁AC ，//BC DE ∴，点D 是斜梁AB 的中点，118422DE BC m ∴==⨯=． 故选：B ．3、如图，点D 、E 、F 分别是AC 、BC 、AB 中点，且BD 是ABC ∆的角平分线．求证：BE AF =．【答案】见解析【解析】【解答】证明：连接DE ，点D 、E 、F 分别是AC 、BC 、AB 中点．//DE AB ∴，//EF AC ，∴四边形ADEF 是平行四边形，AF DE ∴=， BD 是ABC ∆的角平分线，ABD DBE ∴∠=∠，DBE BDE ∴∠=∠，BE DE ∴=，BE AF ∴=．4．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O ，2BD AD =，E ， F ， G 分别是OC ，OD ，AB 的中点，下列结论中：①BE AC ⊥；②四边形BEFG 是平行四边形；③EG GF =；④EA 平分GEF ∠，正确的是（ ）A ．①②B ．①②④C ．①②③D ．②③④【答案】B【解析】解：如图，四边形ABCD 是平行四边形BO DO ∴==12BD ，AD BC =，AB CD =，又2BD AD =，OB BC OD DA ∴===，且点E 是OC 中点，BE AC ∴⊥，故①正确，E 、F 分别是OC 、OD 的中点，∴EF CD ∥，EF =12CD ，点G 是Rt ABE △斜边AB 上的中点，GE ∴=12AB AG BG ==EG EF AG BG ∴===，无法证明GE GF =，故③错误，BG EF =，BG EF CD ∥∥∴四边形BEFG 是平行四边形故②正确，EF CD AB ∥∥，BAC ACD AEF ∠∠∠∴==，AG GE =，GAE AEG ∠∠∴=，EF CD ∥AEF ACD ∴∠=∠,AB CD ∥，GAE ACD ∴∠=∠，AEG AEF ∠∠∴=，AE ∴平分GEF ∠，故④正确；故选：B ．5．如图，四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，且8AC =，4BD =，各边中点分别为1A ，1B ，1C ，1D ，顺次连接得到四边形1111D C B A ；再取各边中点2A ，2B ，2C ，2D ，顺次连接得到四边形2222A B C D ；依此类推，这样得到四边形n n n n A B C D ，则四边形n n n n A B C D 的面积为____．【答案】162n【解析】∵四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，且8AC =，4BD = ∴11841622=⨯⨯=⨯⨯=ABCD S AC BD∵中点四边形的面积是原四边形面积的一半 ∴11111162==⨯A B C D ABCD S S222221162==⨯A B C D ABCD S S 以此类推，1161622==⨯=n n n n A B C D ABCD n n S S6．已知一个对角线长分别为12cm 和16cm 的菱形，顺次连接它的四边中点得到的四边形的面积是______．【答案】48【解析】解：E 、F 、G 、H 分别为各边中点，EF GH AC ∴∥∥，2EF GH AC ==，12EH FG BD ==，EH FG BD ∥∥，DB AC ⊥， EF EH ∴⊥，∴四边形EFGH 是矩形， 16cm 2EH BD ==，18cm 2EF AC ==，∴矩形EFGH 的面积26848cm EH EF =⨯=⨯=，故答案为：248cm ．7．如图，在ABC 和ABD △中，90ACB ADB ∠=∠=︒，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，若1DE =，则FG =________．【答案】1【解析】解：Rt ABC 中，点E 是AB 的中点，1DE =，22AB DE ∴==，点F 、G 分别是AC 、BC 中点， ∴112FG AB ==，故答案为：18、如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，延长BC 至点D ，使13CD BD =．连接DM 、DN 、MN ．若6AB =，求DN 的长．【答案】3【解析】解：连接CM ，90ACB ∠=︒，M 是AB 的中点，132CM AB ∴==， M 、N 分别是AB 、AC 的中点，12MN BC ∴=，//MN BC ， 13CD BD =，MN CD ∴=，又//MN BC ，∴四边形NDCM 是平行四边形，3DN CM ∴==．9．如图，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD BC ，的中点．(1)若102430120AB CD ABD BDC ==∠=︒∠=︒，，，，求EF 的长．(2)若90BDC ABD ∠-∠=︒，求证：2224AB CD EF +=．【答案】（1）13 （2）见解析【解析】（1）如图，取BD 的中点P ，连接EP FP 、，∵E ，F 分别是AD BC 、的中点，1024AB CD ==，，∴PE AB ∥，且152PE AB ==，PF CD ∥，且1122PF CD ==．又∵30120ABD BDC ∠=︒∠=︒，，∴3018060EPD ABD DPF BDC ∠=∠=︒∠=︒-∠=︒，，∴90EPF EPD DPF ∠=∠+∠=︒．在Rt EPF中，13EF ===．（2）证明：如图，取BD 的中点P ，连接EP FP 、．∵E ，F 分别是AD BC 、的中点，∴PE AB ，且12PE AB =，PF CD ∥，且12PF CD =．∴180EPD ABD DPF BDC ∠=∠∠=︒-∠，．∵90BDC ABD ∠-∠=︒，∴90∠=︒+∠BDC ABD ，∴180EPF EPD DPF ABD BDC ∠=∠+∠=∠+︒-∠180(90)90ABD ABD =∠+︒-︒+∠=︒， ∴222221122PE PF AB CD EF ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴2224AB CD EF +=．10．已知：如图，四边形ABCD 四条边上的中点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连接EF 、FG 、GH 、HE ，得到四边形(EFGH 即四边形ABCD 的中点四边形)．(1)四边形EFGH 的形状是______，请证明你的结论；(2)当四边形ABCD 的对角线满足______条件时，四边形EFGH 是菱形；(3)你学过的哪种特殊的平行四边形的中点四边形是菱形？请写出一种．【答案】(1)平行四边形．证明见解析(2)AC BD =；(3)矩形的中点四边形是菱形．【解析】（1）四边形EFGH 的形状是平行四边形．理由如下：如图1，连接BD ．E 、H 分别是AB 、AD 中点，EH BD ∴∥，12EH BD =，同理FG BD ∥，12FG BD =，EH FG ∴∥，EH FG =，∴四边形EFGH 是平行四边形；故答案为：平行四边形；（2）当四边形ABCD 的对角线满足AC BD =的条件时，四边形EFGH 是菱形．理由如下： 如图2，连接AC 、BD ．E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 四条边上的中点，EH BD ∴∥，HG AC ∥，1=2EH BD ，12HG AC =，AC BD =，EH HG ∴=， 又四边形EFGH 是平行四边形∴平行四边形EFGH 是菱形；故答案为：AC BD =；（3）矩形的中点四边形是菱形．理由如下：连接AC 、BD ．E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 四条边上的中点，EH BD ∴∥，HG AC ∥，FG BD ∥，EF AC ∥，12FG EH BD ==，12EF HG AC ==，四边形ABCD 是矩形，AC BD ∴=，EH BD HG AC ===，∴四边形EFGH 是菱形．11．定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD AE =，连接DE 、DC ，点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点，且连接PM 、PN ．(1)观察猜想线段PM 与PN ______填（“是”或“不是”）“等垂线段”．(2)ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接BD ，CE ，试判断PM 与PN 是否为“等垂线段”，并说明理由．(3)拓展延伸把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若2DE =，4BC =，请直接写出PM 与PN 的积的最大值．【答案】】(1)是(2)是，答案见解析(3)92【解析】（1）解：线段PM 与PN 是“等垂线段”．理由如下：∴12MP EC =，12PN BD =，∵AB AC =，AD AE =，∴AB AD AC AE -=-，即BD CE =，∴MP PN =．∵点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点，∴MP EC ∥，PN BD ∥，∵在Rt ABC △中，90A ∠=，AB AC =，∴45B ACB ∠=∠=︒，∴45ACD DCB ∠=︒-∠，180135BDC B DCB DCB ∠=︒-∠-∠=︒-∠，∵MP EC ∥，PN BD ∥，∴45MPD ACD DCB ∠=∠=︒-∠，()180********DPN BDC DCB DCB ∠=︒-∠=︒-︒-∠=︒+∠， ∴454590MPD DPN DCB DCB ∠+∠=︒-∠+︒+∠=︒，∴MP PN ⊥，即线段PM 与PN 是“等垂线段”，故答案为：是．（2）解：线段PM 与PN 是“等垂线段”，理由如下：∵ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到图2所示的位置，∴AD AE =，=90DAE ∠︒，∵90BAC ∠=︒，∴BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠，即BAD CAE ∠=∠，在ABD △与ACE △中，∵AB AC BAD CAE DA EA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()SAS ABD ACE △≌△， ∴BD CE =，∴12MP EC =，12PN BD =，∵BD CE =，∴MP PN =．∵点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点，∴MP EC ∥，PN BD ∥，∵在Rt ABC △中，90BAC ∠=，AB AC =，∴45ABC ACB ∠=∠=︒，∴45ACD DCB ∠=︒-∠，45DBC ABD ∠=︒-∠，()180********BDC DBC DCB ABD DCB ABD DCB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-∠-∠=︒+∠-∠ ∵MP EC ∥，PN BD ∥，∴MPD ECD ECA ACD ∠=∠=∠+∠，∵()SAS ABD ACE △≌△，∴ABD ACE ∠=∠，即MPD ECD ABD ACD ∠=∠=∠+∠()18018045DPN BDC ABD DCB ABD DCB ∠=︒-∠=︒-︒+∠-∠=︒-∠+∠， ∴45454590MPD DPN ABD ACD ABD DCB ∠+∠=∠+∠+︒-∠+∠=︒+︒=︒， ∴MP PN ⊥．∵MP PN =，MP PN ⊥．故线段PM 与PN 是“等垂线段”．（3）解：由（2）可知，MP PN =，MP PN ⊥， 故222MN PM PN PM ⨯==， 当MN 取最大值时，PM 与PN 的积有最大值．∵把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，∴当N 、A 、M 三点共线，且点A 在NM 之间时，MN 取最大值．∴此时MN NA AM =+．∵在Rt ABC △中，90BAC ∠=，AB AC =，4BC =，N 为BC 的中点， ∴122NA BC ==， 同理可得，112MA DE ==， ∴MN 的最大值为3，PM 与PN 的积有最大值92．。

专题15 三角形的中位线（含答案）

专题15 三角形的中位线（含答案）

专题15 三角形的中位线知识解读三角形的中位线定理，反映了三角形的中位线与第三边的双重关系：（1）位置关系，三角形的中位线平行于第三边；（2）数量关系，三角形的中位线等于第三边长的一半。

位置关系可证明两直线平行；数量关系可证明线段的倍分关系。

培优学案典例示范一、中位线反映了线段间的平行和数量关系1．如图4-15-1，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是（）图4-15-1A．2B．3C．52D．4【提示】由于D，E分别是BC，AC的中点，所以DE是△ABC的中位线，根据中位线定6理可知DE∥AB，所以∠BFD=∠ABF；又由于BF平分∠ABC，所以∠ABF=∠CBF，就可证得△BDF为等腰三角形，要求DF 的长，只需求BD的长即可．【技巧点评】当题中有中点时，特别是一个三角形中出现两边中点时，我们常常考虑运用三角形的中位线来解决问题.本题是采用中位线来证明两直线平行．跟踪训练1．如图4-15-2，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）A．7B．9C．10D．11图4-15-2 2．如图4-15-3，已知E为平行四边形ABCD中DC边的延长线的一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF．求证：AB＝2OF．图4-15-3【提示】点O是平行四边形两条对角线的交点，所以点O是线段AC的中点，要证明AB=2OF，我们只需证明点F是BC的中点，即证明OF是△ABC的中位线，证明F是BC的中点有两种方法，方法一是证明四边形ABEC是平行四边形，利用平行四边形的对角线互相平分来证明；方法二是证明△ABFQ△ECF，利用全等三角形对应边相等来证明.【解答】【技巧点评】由于中位线等于三角形第三边长的一半，因此当需要证明某一线段是另一线段的一半或两倍，且题中出现中点的时候，常常考虑使用中位线定理．跟踪训练2．如图4-15-4，平行四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，AN与DM相交于点P，BN与CM 相交于点Q．试说明PQ与MN互相平分．图4-15-4二、补全三角形，使得中点连线段成为中位线例3如图4-15-5，已知M、N、P、Q分别是线段AB、BD、CD、AC的中点，四边形MNPQ是平行四边形吗？为什么？【提示】点P、点N分别是CD，BD的中点，很显然PN是△BCD的中位线，所以考虑连接BC，将△BCD补全，然后运用中位线定理解决问题．【解答】图4-15-5 【技巧点评】当一个图形中出现具有公共端点的两条线段的中点时，可考虑连接另外两个端点，构造三角形，使得中点连线段成为中位线．跟踪训练3．如图4-15-6，在△ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，G、H是AC的三等分点，EG、FH的延长线相交于点D．求证：四边形ABCD是平行四边形．【解答】图4-15-6三、由一个中点构造中位线解决问题例4如图4-15-7，已知四边形ABCD中，AB＝2，CD＝3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（）图4-15-7A．1＜MN＜5B．1＜MN≤5C．12＜MN52＜D．12＜MN52【提示】M，N虽然是AD，BC的中点，但MN却不是三角形的中位线，可考虑连接BD，取BD的中点G，线段GM和GN可以看成△ABD和△BCD的中位线，利用中位线可求得GM、GN的长分别为1和1.5.在△GMN中利用三角形两边之和大于第三边以及两边之差小于第三边可求得MN的范围．【技巧点评】当图形中出现中点的时候，就可能应用中位线知识解决问题，如果没有中位线，应考虑构造中位线解决问题．跟踪训练4．如图4-15-8所示．D，E分别在AB，AC上，BD＝CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于P，Q．求证：AP＝AQ．【解答】图4-15-8拓展延伸例5 在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为AC的中点．（1）如图4-15-9①，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明；（2）如图4-15-9②，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．图4-15-9【提示】（1）延长DF交AB于点G，根据三角形中位线的判定得出点G为AB的中点，根据中位线的性质及已知条件AC=BC，得出DC=DG，从而EC=FG，易证∠ECF=∠GFH=90°-∠DFC，∠CEF=∠FGH=135°，由AAS证出△CEF≌△FGH.∴CF=FH.（2）通过证明△CEF≌△FGH得出．【解答】跟踪训练5.如图4-15-10，D 是△ABC 中AB 边上的中点，△ACE 和△BCF 分别是以AC ，BC 为斜边的等腰直角三角形，连接DE ，DF.求证：DE=DF.【解答】EABFCD图4-15-10竞赛链接例6（武汉竞赛试题）如图4-15-11，在△ABC 中，∠ABC，∠ACB 的平分线 BE ，CF 相交于O ，AGLBE 于G ，AHLCF 于H. （1）求证：GH/∥BC；（2）若AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米，求GH 的长度。

三角形中位线培优复习

三角形中位线培优复习
于G．求证：GF＝GC．
课后作业
课后作业
1.如图，在△ABC中，AB=10，BC=7，BE平分∠ABC，AE⊥BE，点F为AC的中点，连接EF，求EF的长度.
3.如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点。
求证：2AF=FC
课题三角形中位线培优
教学目标
1、掌握三角形中位线的性质定理，用该定理解决简单的实际问题。
2、三角形中位线的性质定理。
教学重点
三角形中位线的性质定理
教学难点
三角形中位线的构造、辅助线的添加是难点
教学方法
启发式、归纳总结、讲练结合
教学步骤
教学内容
知识与方法
知识点梳理
一、知识点梳理：
1、三角形的中位线定义：连结三角形两边中点的线段.
练习： 如图，在∆ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为BC上一点，M为AF的中点，BE平分∠ABC，且EF⊥BE，求证：CF=2ME。
方法二、【取中点构造中位线】
例题1：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，∠CBD=20°，∠BDA=110°，E、F、P分别为AB、CD、BD的中点，探索PF与EF的数量关系.
练习：如图，在∆ABC中，∠C=90°，CA=CB，E，F分别为CA，CB上一点，CE=CF，M，N分别为AF，BE的中点，求证：AE= MN
例题2：如图，四边形ABCD中，M，N分别为AD，BC的中点，边BD，若AB=10，CD=8，求MN的取值范围。
练习：已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是DC、AB边的中点，FE
（1）求证：DE∥BC；（2）求证：DM=（BC-AC）/2
练习：如图，△ABC中，点M为△ABC的边BC的中点，AD为∠BAC的外角平分线，连接DM.（1）求证：MD∥AC；

三角形的中位线中考复习

三角形的中位线中考复习
• 练一练：1。如图（1）Δ ABC中， AB=6㎝， AC=8㎝，BC=10㎝， D﹑E﹑F分别是ABACBC的中点 12cm 则Δ DEF的周长是＿＿＿＿ ， 6cm2 面积是＿＿＿＿。 2．如图（2）Δ ABC中，DE是 中位线，AF是中线，则DE与 互相平分 AF的关系是＿＿＿＿
3．若顺次连接四边形四边中
二 梯形中位线定理的猜想及证明
A
在梯形ABCD中，AD//BC,M、N 分别为AB，CD的中点。
D
M
N
B
C
猜想：中位线MN与上、下底 AD、BC之间怎样的位置关系 和数量关系？
猜想结论：梯形的中位线平行于底，并且等于两底和的一半
已知：梯形ABCD中，AD//BC，M、N 分别为AB、CD中点。 证明猜想： 求证：MN//BC，MN=½(AD+BC)
议一议：
Δ ABC的中位线DE与BC有怎样的位置和数量关系？ 为什么？ 答：DE∥BC，DE=½BC 通过探索得知：四边形BCFD是平行四边形 则DF∥BC DF=BC 即DE∥BC DE=½DF=½BC
B
A
E
F
三角形中位线的性质: 三角形的中位线平行与第三边，并且等于它的一半。
说明 此性质的特点：同一条件下有2个结论
组钢索a,b ,c,d,e共五 条，它们互相平行， 钢索与桥面的固定点 P1，P2，P3，P4，P5 中每相邻两点等距离.
e dc b a
p5 p4 p3 p2 p1
问至少需要知道几根钢索的长，才能计 算出其余钢索的长？
一、梯形的中位线：
判断：下列梯形中的线段EF是否是梯 形中位线？
A B F E D C B A E D F C
A
分析：填表
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课题三角形中位线培优
课时单编号：
F M
E C B A
例题2：BE 、CF 是△ABC 的角平分线，AN ⊥BE 于N ，AM ⊥CF 于M 。

求证：MN ∥BC
练习：如图，在∆ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，F 为BC 上一点，M 为AF 的中点，BE 平分∠
ABC ，且EF ⊥BE ，求证：CF=2ME 。

M A
B C
D
N
M
D
C
B
A
例题2：如图，四边形ABCD中，M，N分别为AD，BC的中点，边BD，若AB=10，CD=8，求MN的取值范围。

练习：已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是DC、AB边的中点，FE 的延长线分别与AD、BC的延长线交于H、G点．求证：∠AHF＝∠BGF．
方法三、【借助平行四边形的性质】
例题：如图，（1）E、F为△ABC的中点，G、H为AC的两个三等分点，连接EG、FH 并延长交于D，连接AD、CD. 求证：四边形ABCD是平行四边形.
练习：已知：如图，在□ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE交于G．求证：GF＝GC．
课后作业课后作业
1.如图，在△ABC中，AB=10，BC=7，BE平分∠ABC，AE⊥BE，点F为AC的中点，连接EF，求EF的长度.
3.如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点。

求证：2AF= FC
E
F
B
A
C
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赠人玫瑰，手留余香。

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