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“问题解决”中的“问题提出”

“问题解决”(Problem Solving)是近年来国际教育界发展起来的一种教学方法和教育思想。这个口号的提出，始于1980年的美国，至今一直被人们广泛接受，成为数学教育的中心课题。

“问题解决”要求教师为学生创造具体环境，启发和激发学生独立提出探索性及求证性问题，形成多向思维的意识，寻找在不同的条件下的多种解决问题的途径，探索可能出现的多种答案。因此，“问题解决”是培养和发展学生创造性思维能力的重要教学方法和教育思想。随着对“问题解决”，研究的深入，人们也越来越重视“问题提出”(Problem Posing)的研究，并将其和“问题解决”教学一样视为数学教育活动的重要组成部分。

一、“问题提出”与“问题解决”

在分析数学、组合数学等领域曾作出过重要贡献的美籍匈牙利数学家G?波利亚，以数十年的时间潜心研究数学启发法和数学教学，在其具有代表性的“怎样解题”表中，用启发读者找到解题途径的一连串问句与建议来表示思维过程的正确搜索程序，其解题核心在于不断地变换问题，连续简化问题，把数学解题过程看成是数学问题的转化过程，将数学问题转化为最熟悉的基本问题加以解决。这一过程具体分为四个阶段，即弄清问题，拟定计划，实现计划和回顾。由此可以看出，数学问题的解决总是从弄清问题并提出问题开始。爱因斯坦也认为：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要，因为解决问题也许仅仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，新的可能性，从新的角度去看待旧的问题，却需要有创

造性的想象力，而且标志着科学的真正进步。”可见，“问题提出”与“问题解决”之间存在着相互制约、相互依赖的辩证关系，有时甚至“问题提出”更为重要、更具创新成分。它不但包含在问题解决过程中，还强调在问题解决后。这正是基于对‘问题解决的目的是探索、发现、创造”的认识。

认知心理学从信息加工观点出发，将问题解决过程看作是对问题空间(Problem Space)的搜索过程。所谓问题空间是问题解决者对一个问题所达到的全部认识状态，“问题提出”即是对问题空间搜索的具体表现形式。

二、影响“问题提出”的因素

影响“问题提出”的因素很多，其中最为突出的、也是常被忽视的因素是“元认知”(Meta Cognition)和“观念”(Belief)。

所谓元认知即认知的认知。“问题解”活动中的元认知是指问题解决者对于自身所从事的数学活动的自我意识、自我分析和自我调整。由于“问题解决”所涉及的数学问题主要是其答案并非直截了当的“非常规

问题”，因而“问题解决”的过程是一个逐步探索、不断进行“问题提出”的过程。对于元认知水平较低的问题解决者，往往不能恰当地进行“问题提出”，只是“一股劲地往前走”，直至最终陷入僵局而一无所措。相反，元认知水平较高的问题解决者，能恰当地进行“问题提出”，并在解决了问题之后，能自觉地对所进行的工作继续进行“问题提出”，使已有的认识得到升华。

所谓“观念”，是指问题解决者的数学观、数学教育观及其对于自我

解题能力的认识和信念等。而教师的职责是“给予”，学生的职责是“接受”；教师给出的每个问题都是可解的，我解不出是因为不够聪明等不正确的观念，将严重影响问题解决者自觉地进行“问题提出”，出现类似“船长年龄”问题的错误也就不足为奇了。

三、“问题提出”的环节控制

1、弄清问题

“问题提出”的起始阶段是问题解决者要将任务领域转化为问题空间，实现对问题的表征和理解，问题空间不是作为现成的东西随着问题而直接提供给问题解决者的，而是通过问题解决者的“问题提出”主动地建构，诸如：问题的数学模型怎样构造?未知数是什么?已知数据是什么?条件是什么?满足条件是否可能?条件与结论之间关系怎样?原问题是否有其它表述?原问题的更一般的问题或更特殊的问题怎样?等等，以达到对问题的适宜的表征。

下面让我们来看一个具体的例子：饮食和体重的问题。

饮食对体重有怎样的影响呢?某人某天从食物中获取10500J热量，其中5040J用于基础代谢。他每天的活动强度，相当于每千克体重消耗67．2J。此外，余下的热量均以脂肪的形式储存起来，每42000J可转化为1公斤脂肪。问：这个人的体重是怎样随时间变化的，会达到平衡吗?

该问题源于实际，贴近生活，引发了学生的极大兴趣。教师启迪学生在问题中找条件、已知数据，该怎样设立变量?怎样探讨变量之间依赖关系从而找到问题中所隐含的数学科学知识，为学生如何建立一个数学模型提供了一个具体情境。

2、拟定计划

问题解决的过程并非是一个按照事先确定的顺序机械地予以实行的过程。随着问题解决活动的深入，新的关系的暴露，已有的想法很可能会发生改变，并产生一些新的想法，原先被认为很有希望的途径可能被揭示为没有前途的“死胡同”，此时必须作出评估、调整，重新进行“问题提出”，如：目前所面临的困境是什么?是否真正弄清了题意?在已进行的工作中是否存在隐蔽的错误?等等，切莫“心中有数”，只是“一股劲地往前走”，要经常自问“what?why?How7”

如在上例中，我们收集信息，让学生回想旧知识，一步步深入问题核心，首要的是确定解题的步骤。解决本问题的关键，是要建立起合适的微分方程，而建立实际问题的微分方程学生普遍感到困难。面对实际问题，不知如何下手。既不明白什么是变量，更不清楚变量之间的依赖关系。

如上例中，学生应该首先要抓住体重W是时间t的连续函数，题中没有直接提到它的变化率，所涉及的时间也仅仅是“每天”。因此，只能先从△t=1天的意义上着手分析体重的变化量。要使学生分析出这些，必须要先理解函数的导数和平均变化率的实际意义和关系。

在上面的解题中，学生的解题思路不会一步到位，他们会经过多次反复的思考，才会寻找出最好的途径。在这一过程中，教师要经常鼓励学生提问题，提问题，再提问题，创造一个解题的、轻松的、无压力的气氛。

3、实现计划再回顾

问题解决后应对所完成的工作自觉地进行反省回顾，做到“求取解答并继续前进”。而不只是满足于用某种方法求得了问题的解答，不再进行