配电网无功功率优化研究

配电网无功功率优化研究
摘要
配电网的无功功率的有效优化与合理控制既能提高电力系统运行时的电压质量，也能有效减少网损，节约能源，是保证电力系统安全经济运行的重要措施,对电网调度和规划具有重要的指导意义。

无功优化的核心问题主要集中在数学模型和优化算法两方面，其中数学模型问题是根据解决问题的重点不同来选取不同的目标函数；而优化算法的研究则大量集中在提高计算速度、改善收敛性能上。

本文选取有功网损最小作为数学模型的目标函数，数学模型的约束条件有各节点的注入有功、无功功率的等式约束和各节点电压、发电机输出无功功率、可调变压器变比、并联补偿电容量、发电机机端电压均在各自的上下限之内的不等式约束，优化方法采用遗传算法。

设计和编制了牛顿拉夫逊直角坐标matlab 潮流计算程序以及遗传算法无功优化的matlab潮流计算程序。

通过IEEE30节点系统的算例分析，得出基于遗传算法的无功优化能有效降低系统网损、提高电压水平，验证了该算法在解决多变量、非线性、不连续、多约束问题时的独特优势，并指出了该算法的不足之处以及如何改善。

关键词：牛顿拉夫逊法，无功优化，遗传算法
Research of Reactive Power Optimization Distribution Network
ABSTRACT
Reactive power with reasonable optimization and control of Power system can not only improve the stability of power system, but also effectively reduce network losses and save energy. It ensures the safety and economic operation of power systems and improve the voltage quality. It is important for planning departments on grid reactive power scheduling. Reactive power optimization focuses on mathematical models and optimization algorithms. The mathematical model is selected depending on the focus of problem-solving. Optimization algorithm is concentrated in improving the calculation speed and improve the convergence performance. This paper selects the active power loss minimum objective function as a mathematical model, the constraints of mathematical model are each node of the injected active and reactive power equality constraint and the node voltage and reactive power of generator output, adjustable transformer ratio, parallel capacitance compensation, the generator terminal voltage within the respective upper and lower limits of the inequality constraints, optimization method using genetic algorithms. Design Cartesian coordinate Newton Raphson power flow calculation method and genetic algorithm matlab calculate the reactive power optimization procedures. Through a numerical example of the IEEE 30 node system, we can draw reactive power optimization based on genetic algorithm can effectively reduce system loss and improve voltage level and verify the algorithm have unique advantages to solve multivariable, nonlinear, discontinuous, multi-constraint problem.
Key words: Newton Raphson method; reactive power optimization; genetic algorithm
目录
第一章绪论 (3)
1.1 引言 (1)
1.2 配电网的特点 (2)
1.3 无功优化的基本概念 (3)
1.4 无功优化的数学模型 (3)
1.5 现状和发展趋势 (3)
第二章基于牛顿-拉夫逊法的潮流计算 (4)
2.1 电力系统潮流计算方法概述 (4)
2.2 节点导纳矩阵 (4)
2.3 牛顿-拉夫逊法的计算 (5)
2.4 牛顿-拉夫逊发的基本流程......................................................... 错误!未定义书签。

第三章电力系统无功优化问题及其遗传算法优化求解 . (13)
3.1 无功优化问题描述及其模型 (13)
3.2 遗传算法的理论基础 (14)
3.3 遗传算法基本原理及操作过程 (15)
3.3.1 适应度函数定标 (15)
3.3.2 初始解的形成 (15)
3.3.3 遗传操作 (16)
3.4 基于遗传算法的无功优化与电压控制实现的步骤 (17)
3.2 遗传算法的流程图 (20)
第四章算例分析 (20)
4.1 IEEE14节点系统 (21)
4.2 IEEE14节点系统算例分析 ......................................................... 错误!未定义书签。

4.3 IEEE30节点系统 (21)
4.4 IEEE30节点系统算例分析 ......................................................... 错误!未定义书签。

第五章结论与展望 . (27)
参考文献 (33)
附录A 遗传算法无功优化matlab程序 (34)
第一章绪论
1.1 引言
电能是现今社会最主要的能源，人们工作生活中都离不开电能。

随着社会的不断发展，电能的重要性显著增加。

提供安全、可靠、稳定、环保的电能是现今电力系统发展的首要目标。

最优潮流被提出以后就一直用于电力系统的经济和安全运行及规划。

最优潮流是指当系统的结构参数和负荷情况都已给定时，调节可利用的控制变量(如发电机输出功率、可调变压器抽头等)来找到能满足所有运行约束的，并使系统的某一性能指标(如发电成本或网络损耗)达到最优值下的潮流分布。

这一大系统非线性规划问题，通常分为两个子问题：调节发电机的有功出力以减少发电费用；调节P-V节点和平衡节点的电压及可调变压器的分接头位置以改善电压分布及减少系统的有功网损,后者即为无功优化问题。

电力系统无功优化控制是指在满足各种电力系统运行条件的约束下，对系统进行尽量少的无功补偿，使电力系统中的各个节点电压得到最大限度的改善，系统的有功网损降低，达到提高电力系统运行稳定性与经济性的目的。

它涉及选择无功补偿装置地点、确定无功补偿容量、调节变压器分接头和发电机机端电压的配合等, 是一个动态、多目标、多约束的非线性规划问题，也是电力系统分析中的一个难题。

无功功率的最优分布包括无功功率电源的最优分布和无功功率负荷的最优补偿两
个方面。

电力系统的无功优化和电压控制是相互作用的，合理的无功潮流分布是维持电压稳定的前提。

无功功率的流动将在电网中产生压降，造成电力系统节点电压偏移。

当节点处的无功功率过剩时，往往意味着电压的升高，相反，当节点处的无功功率不足时，常常会使电压水平降低。

电力系统无功优化与控制是保证电力系统安全经济运行、提高电压质量的重要措施，对指导调度人员安全运行和计划部门进行电网规划具有重要意义。

电力系统无功优化与控制不仅能改善电压质量，提高电力系统运行的稳定性，更能有效的减少网损，节约能源。

因此研究无功优化与控制问题具有重要意义。

1.2 配电网特点
配电网具有以下显著特点:
(l)闭环设计,开环运行,一般呈辐射状分布;适合于独立进化优化计算。

(2)节点和线路都较多,接线复杂;有的变电站出线可达到二十多条。

要求算法计算速度快,能应用于大规模系统。

因此,配电网无功优化从数学模型的建立到优化算法和优化方式的选择都应适应配电网特点。

1.3无功优化的基本概念
电力系统无功优化是指在电力系统有功负荷、有功电源及有功潮流分布已经给定的情况下,以发电机端电压幅值、无功补偿电源容量和可调变压器分接头位置作为控制变量,而以发电机无功出力、负荷节点电压幅值和支路输送功率作为状态变量,应用优化技术和人工智能技术,在满足电力系统无功负荷的需求下,谋求合理的无功补偿点和最佳补偿容量,使电力系统安全、经济地向用户供电。

配电网自动化水平的不断提高,为实现无功优化控制提供了条件,也使其成为当前迫切需要研究解决的问题。

因此,本文将主要研究配电网的无功运行优化问题。

1.4无功优化的数学模型
电力系统无功优化问题的数学模型包括目标函数、功率方程约束、变量约束。

无功优化的目标函数根据具体需要有很多种,从技术指标方面或经济指标方面看各有侧重。

常见的有
(l)电压质量最好;
(2)全网有功网损最小;
(3)电网新增加无功补偿容量最小;
(4)系统总的费用最少;
(5)控制变量变化次数最小等。

本文主要研究运行时的无功优化问题,宜有功网损最小作为数学模型的目标函数。

1.5 现状和发展趋势
在无功优化问题这一研究领域内,已有多种解决方法, 例如：线性规划、非线性规
划、混合整数规划、灵敏度分析、遗传算法等。

这些方法都有各自的优越性，也有一定程度的局限性。

线性规划是比较成熟的，它速度快、收敛性好、算法稳定，但在处理无功规划优化时需要将目标函数和约束函数线性化，要求优化问题可微，对离散性问题缺乏指导性；若迭代步长选取不合适，可能会引发振荡或收敛缓慢。

非线性规划能直接处理非线性的目标函数和约束函数，但非线性规划还没有一个成熟的算法，现有算法存在计算量大、收敛性差、稳定性不好等问题。

尽管基于灵敏度和梯度法的数学优化方法能用来解决电力系统的无功优化问题，但与线性规划法同样要求假设控制量是连续的，而且通常只能求得局部最优解。

混合整数规划可以较好地处理离散性整数问题，但在实际中由于操作复杂而得不到推广应用。

1967年J. D. Bagley首次提出了遗传算法(Genetic Algorithm，简称GA)的概念。

1975年左右美国密执安大学教授John H. Holland等研究出了具有开创意义的遗传算法理论和方法。

在研究遗传算法的专家学者中，D. E. Goldberg的贡献最为突出。

他不但建立并完善了整个GA体系，而且将其应用到优化、搜索及机器学习等领域，为GA的发展拓展了天地。

遗传算法把自然界中基于自然遗传和自然选择的机制引入到数学理论中来，提出了一种全新的寻优算法。

它是利用目标函数本身的信息建立寻优方向，因此不要求函数的连续性和可导性，有能力在一个复杂的、多极值点、具有不确定性的空间中寻找全局最优解[。

遗传算法随着计算机技术的高速发展已经引起越来越多的注意，并已经应用于求解许多领域中的难题。

在许多情况下，遗传算法表现得优于传统的优化算法。

近年来,遗传算法在搜索与最优化问题方面已取得较大的进展。

在电力系统技术中,这一应用已经覆盖了负荷预测,电力系统设计与规划,电力系统的进度安排与调度,单位投入和其它电力系统控制问题。

遗传算法在寻求电力系统问题全局最优解方面是强有力的工具，并被广泛应用于最优化及数学问题上。

在电力系统研究中，遗传算法具有随机搜索、灵活高效、稳定、多目标处理和对复杂因素进行处理等优点。

第二章 基于牛顿－拉夫逊法的电力系统潮流计算
2.1 电力系统潮流计算方法概述
电力系统潮流计算是电力系统分析中的一种最基本的计算，是对复杂电力系统正常和故障条件下稳态运行状态的计算。

潮流计算的目标是求取电力系统在给定运行状态的计算。

即节点电压和功率分布，用以检查系统各元件是否过负荷、各点电压是否满足要求，功率的分布和分配是否合理以及功率损耗等。

对现有电力系统的运行和扩建，对新的电力系统进行规划设计以及对电力系统进行静态和暂态稳定分析都是以潮流计算为基础。

随着用数字计算机解电力系统潮流问题的开始，许多计算方法被应用如：阻抗法，P-Q 节点法，牛顿－拉夫逊法等。

因为牛顿－拉夫逊法是数学中解决非线性方程式的典型方法，有较好的收敛性，用Matlab 仿真时在内存要求、速度方面都较好。

所以，本文采用牛顿－拉夫逊法计算电力系统的初始网损。

2.2节点导纳矩阵
节点导纳矩阵对角线元素ii Y (i =1,2，…n )为自导纳。

节点i 的自导纳ii Y 在数值上就
等于与该节点直接连接的所有支路导纳的总和。

节点导纳矩阵非对角线元素ij Y (i =1,2，…n ；j =1,2，…n ；i ≠j )为互导纳。

节点i 、j 之间的互导纳ij Y 数值上就等于连接节点i 、j 的支路导纳的负值。

显然，ij Y =ji Y 。

假如两节点不直接相连，也不计两支路之间，比如两相邻电力线路之间的互感时，ij Y =ji Y =0
节点电压方程B B B I Y U 。

（2-4）
注：
B I 节点注入电流列向量；
B U 节点电压的列向量；
B Y n ×n 阶节点导纳矩阵。

它可展开为
123n I I I I ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n n n Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y
32133332312232221
1131211123n U U U U ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
(2-5) 根据定义求取节点导纳矩阵时，仅需注意以下几点：
(1)节点导纳矩阵是方阵，一般也是对称矩阵。

这是由网络的互易特性所决定的。

通常情况下取大地编号为零，作为参考节点。

(2)节点导纳矩阵是稀疏矩阵，每行非零非对角元素数就等于该行所对应节点所连接的不接地支路数。

(3)节点导纳矩阵的对角线元素等于各该节点所连接导纳的总和。

因此，与没有接地支路的节点对应的行中，对角元为非对角元之和的负值。

(4)网络中的变压器，设变压器两侧线路的阻抗都未经归算，即分别为Ⅰ（高压测）、Ⅱ（低压侧）线路的实际阻抗，变压器本身的阻抗归在低压侧，设变压器变比为k (高、低压绕组电压之比)。

2.3牛顿--拉夫逊法潮流计算方法
牛顿--拉夫逊法法是常用的解非线性方程组的方法，也是当前广泛采用的计算潮流的方法，其原理如下。

设有非线性方程组
1121212212(,,...,)(,,...,)(26)(,,...,)n n n n n f x x x y f x x x y f x x x y =⎧⎪=⎪-⎨⋯⋯⎪⎪=⎩
其近似解为(0)1x ，(0)2x …，(0)n x ，与精确解分别相差1x ∆，2x ∆，…，n x ∆，则下式成
立
121212(0)(0)(0)1121(0)(0)(0)2122(0)(0)(0)12(,,...,)(,,...,)(27)(,,...,)n n n n n n n n f x x x x x x y f x x x x x x y f x x x x x x y ⎧+∆+∆+∆=⎪+∆+∆+∆=⎪-⎨⎪⎪+∆+∆+∆=
⎩
上式中的任何一式都可按泰勒级数展开。

以下则以第一式为例子加以说明，
1212(0)(0)(0)(0)(0)(0)
1111121121112000
(,,...,)(,,...,)...n n
n n n f f f
f x x x x x x f x x x x x x y x x x φ∂∂∂+∆+∆+∆=+∆+∆++∆+=∂∂∂式中：
110f x ∂∂，120f x ∂∂，…，10
n f x ∂∂分别表示以(0)1x ，(0)2x ，…，(0)
n x 代入这些偏导数表示式的计算所得，1φ则是一包含(0)1x ，(0)2x ，…，(0)
n x 的高次方与1f 的高阶偏导数乘积的函数。

如近似解(0)i x ∆与精确解相差不大，则i x ∆的高次方可略略去，从而1φ也可略去。

由此可得
121212(0)(0)(0)
111112112000
(0)(0)(0)222212212000
(0)(0)(0)1212000(,,...,)...(,,...,)...(,,...,)...n n
n
n n n n n n n n n n n f f f f x x x x x x y x x x f f f f x x x x x x y x x x f f f f x x x x x x y x x x ⎧∂∂∂+
∆+∆++∆=⎪∂∂∂∂∂∂+∆+∆++∆=∂∂∂⎨⋯⋯∂∂∂+∆+∆++∆=∂∂∂(28)
⎪⎪
⎪⎪-⎪
⎪
⎪⎪⎪⎩
这是一组线性方程或线性化了的方程组，成称为修正方程组。

它可改写为如下的矩阵方程：
11111112(0)(0)(0)
00
0112(0)(0)(0)
2
2222212000(0)(0)(0)212000...(,,...,)...(,,...,)......
(,,...,)...n
n n n
n n n n n n
n
f f f
x x x y f x x x f f f y f x x x x x x y f x x x f f f x x x ⎡⎤
∂∂∂⎢
⎥∂∂∂⎢⎥
⎡⎤-⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∂∂∂⎢⎥⎢∂∂∂⎣⎦
12(29)
...n x x x ∆⎡⎤⎢⎥∆⎢⎥-⎢⎥⎢⎥∆⎣⎦⎥
或简写为：f J x ∆=∆
其中：J 称为函数i f 的雅克比矩阵；x ∆为由i x ∆组成的列向量；f ∆则称不平衡量的列向量。

将(0)i x 代入，可得f ∆、J 中的各元素。

然后运用一种解线性代数方程的方法，可求的(0)i x ∆从而求得经第一次迭代后的i x 的新值(1)(0)(0)i i i x x x =+∆。

再将求得的(1)i x 代入，又可得f ∆、J 中的各元素的新值，从而解得(1)i x ∆以及(2)(1)(1)i i i x x x =+∆。

如此循环不已，最后可获得此非线性方程式组足够精确的解。

运用这种方法计算时，i x 的初值要选择地比较接近它们的精确解，否则迭代过程可能不收敛。

在这系统中，给定一对状态变量s U 、s δ，只要求确定(n -1)对状态变量i U 、i δ。

给
定的s δ通常就赋以零值。

这实际上就相当于取节点s 的电压向量为参考轴。

给定的s U 一般可取标幺值1.0左右，以使系统中各节点的电压水平在额定值附近。

这样，原则上可从2n 个方程式中解出2n 个未知量。

但是，这个解还应满足一些约束条件，这些约束条件是保证系统正常运行必不可少的。

对控制变量的约束条件是：
min max Gi Gi Gi P P P <<；min max Gi Gi Gi Q Q Q <<
对无电源的节点，约束条件则为：
Gi P =0；Gi Q =0
这些min Gi P 、max Gi P 、min Gi Q 、max Gi Q 的确定一方面要参照发电机的运行极限，另一方面还要计及动力机械所受到的约束。

对状态变量i U 的约束条件则是：
min max i Gi i U U U <<
对有些状态变量i δ还有如下的约束条件：
max
i j i j
δδδδ-<-
这条件主要是保证系统运行的稳态性所要求的。

由于扰动变量Li P 、Li Q 不可控，对它们没有约束。

计算电力系统潮流时，若运用牛顿--拉夫逊法可直接用以求解功率方程。

i
i n
j j ij i jQ P U Y U +=∑=*
*
*
1 （2-10）
将ij ij ij Y G jB =+，i i i U e jf =+待入式(2-10),并将实数部分和虚数部分分别列出：
1()()(211)j n
i i ij j ij j i ij j ij j j P e G e B f f G f B e a ==⎡⎤=-++-⎣⎦
∑
1
()()(211)j n
i i ij j ij j i ij j ij j j Q f G e B f e G f B e b ==⎡⎤=--+-⎣⎦
∑
此外，由于电力系统中还有电压幅值给定的PV 节点，还应补充一组方程
222
(211)i i i e f U c +=-
注：
i e 和i f 分别为迭代过程中求得的节点电压实部和虚部；
i P 为PQ 节点和PV 节点的注入有功功率；
i Q 为PQ 节点的注入无功功率； i U 为PV 节点的电压幅值。

牛顿型潮流计算的核心问题是修正方程式的建立和求解。

为说明这一修正方程式的建立过程，先对网络中各类节点的编号作如下约定：
(1)网络中共有n 个节点，编号为1，2，…，n ，其中包含一个平衡节点，编号为s ； (2)网络中有m -1个PQ 节点，编号为1，2，…，m ，包含编号为s 的平衡节点； (3)网络中有n -m 个PV 节点，编号为m +1, m +2,…，n 。

由式(2-11a)、(2-11b)、(2-11c)所组成的方程式组中共有2(n -1)个独立方程式。

其中，式(2-11a)类型的有(n -1)个，包括除平衡节点外所有节点有功功率i P 的表达式，即i =1，2，…，n ，i ≠s ；式(2-11b)类型的有(m -1)个，包括所有PQ 节点无功功率i Q 的表达式，即i =1，2，…,m ，i ≠s ；式(2-11c)类型的有(n -1)-(m -1)=n -m 个，包括所有节点PV 节点电压2i U 的表达式，即i =m +1， m +2，
，n 。

平衡节点s 的功率和电压
之所以不包括在这方程组内，是由于平衡节点的注入功率不可能事先给定。

综上所述：就可以建立类似式(2-9)的修正方程式如式(2-12)。

1
1111121211111111112121111221212222222222121222222221
122211222n p p n n p p n n p p n n p p n n p p p p pp pp pn pn p p p p p p n P H N H N H N H N Q J L J L J L J L P H N H N H N H N Q J L J L J L J L H N H N H N H N P R S R S U P U ⎡⎤∆⎢⎥∆⎢⎥⎢⎥∆⎢⎥⎢⎥∆⎢⎥⎢⎥=⎢⎥∆⎢⎥⎢⎥∆⎢⎥⎢⎥∆⎢⎥⎢⎥∆⎣⎦
112211221
1
2
2
(212)p pp pp pn pn p n n n n np np nn nn n n n n n np
np
nn
nn n f e f e f R S R S e H N H N H N H N f R
S R S R S R S e ∆⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥∆⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
∆⎢⎥⎢⎥∆⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥∆⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆⎢
⎥⎢⎥∆⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥∆⎣⎦⎣⎦
式中的i P ∆、i Q ∆、2i U ∆分别为注入功率和节点电压平方的不平衡量。

由式(2-11)可见，它们分别为
1()()(213)j n
i i i ij j ij j i ij j ij j j P P e G e B f f G f B e a ==⎡⎤∆=--++-⎣⎦
∑
1
()()(213)j n
i i i ij j ij j i ij j ij j j Q Q f G e B f e G f B e b ==⎡⎤∆=---+-⎣⎦
∑
2222()
(213)i i i i U U e f c ∆=-+-
式中雅克比矩阵的各个元素则分别为
22
;;(214)
;i i
ij ij j j i i ij ij
j j i i ij ij j j P P H N f e Q Q J L f e U U R S f e ⎧∂∂==⎪∂∂⎪⎪∂∂⎪==-⎨∂∂⎪⎪∂∂⎪==∂∂⎪⎩
为求取这些偏导数，可将i P 、i Q 、2i U 分别展开如下：
1,()()()()(215)j n
i i ii j ii i i ii i ii i i ij j ij j i ij j ij j j j i
P e G e B f f G f B e e G e B f f G f B e a ==≠⎡⎤=-+++-++-⎣⎦∑
1,()()()()(215)j n
i i ii i ii i i ii i ii i i ij j ij j i ij j ij j j j i
Q f G e B f e G f B e f G e B f e G f B e b ==≠⎡⎤=--++
--+-⎣⎦∑
222
(215)i i i e f U c +=-
j ≠i 时，由于对特定的j ，只有该特定节点的j f 和j e 是变量，由式(2-14)、(2-15)
22
==-+; ==+==--=-; ==-=(216)
==0; ==0i i ij ij i ij i ij ij i ij i
j j i i ij ij i ij i ij ij ij i ij i ij j j
i i ij ij j j P P
H B e G f N G e B f f e Q Q J B f G e N L G f B e H a f e U U R S f e ⎧∂∂⎪∂∂⎪⎪∂∂⎪
-⎨∂∂⎪⎪∂∂⎪∂∂⎪⎩
j =i 时，为使这些偏导数的表示式更简洁，先引入节点注入电流的表示式如下
()()==1
===1=1=+ =[-+(-)]+[++(+)] =+j n
i ii i ij j
j j i
j n j n
ii i ii i ij j ij j ii i ii i ij j ij j j j j i
j i
ii ii
I Y U Y U G e B f G e B f j G f B e G f B e a jb ≠≠≠∑∑∑
然后由式(2-14)、式(2-15)和上式可得
==1==1==1==-+2+++=-++==2-++(-)=++==-2+-+(-)=-j n
i
ii ii i ii i ii i ij j ij j ii i ii i ii j i j i
j n
i ii ii i ii i ii i ij j ij j ii i ii i ii
j i
j i j n
i ii ii i ii i ii i ij j ij j ii j i j i
P H B e G f B e G f B e B e G f b f P N G e B f B f G e B f G e B f a e Q J B f G e G e G e B f G e f ≠≠≠∂∂∂∂∂∂∑∑∑（）==122
-+(216)
==--2-+=-+-==2; ==2i ii i ii j n
i ii ii i ii i ii i ij j ij j ii i ii i ii
j i j i i i ii i ii i i i B f a b Q L G f G f B e G f B e B e G f b e U U R f S e
f e ≠⎧⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
-⎨⎪⎪
∂⎪
⎪∂⎪⎪∂∂⎪⎪∂∂⎩
∑（）
由式(2-16a)可见，如ij ij ij Y G jB =+0=，即节点i ，j 之间无直接关系，这些元素都
等于零。

从而，如将雅克比矩阵分块，而将每个2×2阶子阵ij
ij ij
ij H N J L ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦、ij
ij ij
ij H N R S ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
作分块矩阵的元素时，分块雅克比矩阵和节点导纳矩阵B Y 将有相同的结构。

但前与后者不同，前者因ij ji H H ≠、ij ji N N ≠、ij ji J J ≠、ij ji L L ≠不是对称矩阵。

2.4
潮流计算的基本流程
形成了雅克比矩阵并建立了修正方程式，运用牛顿-拉夫逊法计算潮流的核心问题已解决，下面列出基本计算步骤并编制流程图。

(1)形成节点导纳矩阵B Y 。

(2)设置各节点电压初始值(0)i e 、(0)i f 。

(3)把各节点电压初始值代到式(2-13a)-式(2-13c)求修正方程式中的不平衡量(0)i P ∆、
(0)i Q ∆以及(0)2i U ∆。

(4)把各节点电压初始值代到式(2-16a)-式(2-16b)，求修正方程式的雅克比矩阵中的
(0)ij H 、(0)ij N 、(0)ij J 、(0)ij L 、(0)
ij R 、(0)ij S 。

(5)把不平衡量(0)i P ∆、(0)i Q ∆以及(0)2i U ∆，雅克比矩阵中的(0)ij H 、(0)ij N 、(0)
ij J 、(0)ij L 、
(0)
ij
R 、(0)ij S 代到式(2-12)，求各节点电压的变化量，即修正量(0)i e ∆、(0)i f ∆。

(6)得出各节点电压的新值，(1)(0)(0)i i i e e e =+∆，(1)(0)(0)i i i f f f =+∆。

(7)检查修正量中的最大值，与给定的允许误差作比较，判断是否收敛，如果不收敛，
则以各节点电压新值作为初值自第3步重新进行下一次迭代，否则进行下一步。

(8)计算平衡节点功率和线路功率。

其中，平衡节点功率为
1(217)i n
s S si i s s
i S U Y U P Q =•
*
*
===+-∑
线路功率为
0[()](218)ij i ij i i i i j ij ij ij S U I U U y U U y P jQ a •*•*****
==+-=+- 0[()](218)ji j ji j j j j i ji ji ji
S U I U U y U U y P jQ b •
*
•
*
*
*
*
*
==+-=+-
线路上的损耗功率为
(219)
ij ij ji ij ij
S S S P j Q ∆=+=∆+∆-
(9)输出结果，完毕。

2.5牛顿拉夫逊法潮流计算流程图
第三章 电力系统无功优化问题及其遗传算法优化求解
3.1无功优化问题描述及其模型
在给定负荷和无功补偿装置地点的基础上，以有功网损最小为目标函数，主要考虑了变压器分接头位置、并联电容补偿容量和发电机机端电压的控制作用。

这一类无功优化问题的数学模型如下： ① 目标函数
22
12max min max min
min (
)()(31)i i
L i i i i V Q F P V V Q Q λλ∆∆=++---∑∑
注：
L P 为有功网损；
21max min
(
)i
i i V V V λ∆-∑为对各节点电压越限的惩罚函数项；
22max min
(
)i
i i Q Q Q λ∆-∑为对发电机无功功率越限的惩罚函数项；
max max
min max min min
i i i i i i i i i i
i i V V V V V V V V V V V V ->⎧⎪∆=≤≤⎨⎪-<⎩ max max
min max min
min
i i i i i i i i i i i i Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q
Q Q ->⎧⎪∆=≤≤⎨⎪-<⎩ ②约束条件 等式约束条件：
(cos sin )
(32)(cos sin )
i i j ij ij ij ij j h i i j ij ij ij ij j h P V V G B Q V V G B δδδδ∈∈⎧=+⎪-⎨
=-⎪⎩
∑∑
注：
i P 、i Q 、i V 表示节点i 处注入的有功功率、无功功率和节点电压；
ij G 、ij B 、ij δ表示节点i 、j 之间的电导、电纳和电压之间的相差角；
不等式约束条件：
min max min max min max min max
min max
(33)i i i Gi Gi Gi i i i i i i Gi Gi Gi V V V Q
Q Q T T T C C C
V V V <<⎧⎪<<⎪⎪
<<-⎨⎪<<⎪⎪<<⎩
注：
min i V 、max i V 表示节点i 电压的下、上限；
min G Q 、max G Q 表示发电机输出无功功率的下、上限； min i T 、max i T 表示变压器变比的下、上限； min i C 、max i C 表示并联补偿电容量的下、上限； min Gi V 、max Gi V 表示发电机机端电压的下、上限；
3.2 遗传算法的理论基础
遗传算法是建立在达尔文的生物进化论和孟德尔的遗传学说基础上的算法。

生物体可以通过遗传和变异来适应于外界环境。

遗传算法借鉴了进化原理、遗传原理、随机统计理论。

在求解过程中，先形成一个初始群体，然后一代一代地寻找问题的最优个体,直至满足收敛判据或达到预先设定的迭代次数才停止。

在进化论中认为，每一物种在不断的进化过程中都是越来越适应环境，物种的每个个体的基本特征被后代所继承，但后代又不完全同于父代这些新变化，如果适应环境， 则被保留下来，否则，将被淘汰。

在遗传学说中认为，每个基因有特殊的位置并控制某个特殊的性质。

杂交和突变可能产生对环境适应性强的后代，进而保存适应值高的基因结构。

遗传算法是一种基于自然选择和群体遗传机理的搜索算法，它模拟了自然选择和自然遗传过程中发生的繁殖、杂交和突变现象。

求解问题时，问题的一个可能解被编码成一个个体，若干个个体构成了群体。

在遗传算法开始时，随机地产生一些个体，在一定约束条件下，根据目标函数转化为适应度函数，对每个个体计算出一个适应度值。

根据适应度值，选择个体用来复制下一代。

适应度函数值高的较适应度函数值低的有较大的繁殖能力和机会，选择操作体现了“适者生存”原理。

选择其中相对优秀的个体进行交叉、变异等遗传操作，产生下一代，重复上述过程，逐步朝着更优解的方向进化。

因此，
遗传算法可以看作是一个由可行解组成的群体逐代进化的过程。

3.3 遗传算法基本原理及操作过程
3.3.1 适应度函数定标
遗传算法在进化搜索中基本上不利用外部信息, 仅以适应度函数为依据, 利用群体中每个个体的适应度值来进行搜索，所以选取适应度函数非常关键。

适应度函数是由目标函数转化而成的。

对目标函数值域的某种映射变换称为适应度函数定标。

用遗传算法求解优化问题时，要求适应度函数是无约束的单目标函数。

因此将目标模型中的约束条件以惩罚项的形式加入目标函数，其它的约束条件则在形成染色体时加以考虑，这样原单目标多约束的优化模型就转化为无约束条件的优化模型。

由于遗传算法利用仿真的轮盘赌来寻优，因此只可以求极大值。

若优化问题是求极小值的问题，需对目标函数进行改造变求极小值为求极大值。

3.3.2 初始解的形成
采用遗传算法求解问题时，首先确定问题的变量和目标函数，然后对变量编码。

在遗传算法中，问题的解是用数字串来表示的，而且遗传操作算子也是直接对数字串进行操作的。

编码方式可分为二进制和十进制。

具体使用哪种编码方式，要根据实际的优化问题来确定。

二进制编码方式有如下优点：与计算机码制一致，码串的每一位,只有1和0两个码值,操作简单；表示的范围广, 如L 位码串最多可表示2L 个不同的变量；适合于表示离散变量。

但也存在如下缺点：对于大规模的优化问题，如果用二进制表示其变量，同时又要确保解具有一定的精度，数字串位数就会很多，这会使计算量很大，计算用时增多，同时占用了很大的计算机内存；用二进制来表示变量时，需要对参数进行编码和译码,用以转换为十进制，造成了转换误差。

采用十进制编码的优点：数字串会比采用二进制表示的数字串短得多，计算量也会减少，计算用时也会降低；在优化过程中不需对参数进行编码和译码，也就不存在解的精度问题。

遗传算法的计算:
min max
max ()..
f x s t X X X ⎧
⎨<<⎩。