沪教版高中三年级数学：球面距离

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球面两点距离公式

球面两点距离公式在我们学习数学的奇妙世界里，有一个挺有意思的家伙，那就是球面两点距离公式。

咱先来说说啥是球面。

想象一下，一个超级大的皮球，那个皮球的表面就是球面啦。

而在这个球面上面，随便选两个点，要算出这两个点之间的距离，就得靠我们今天要说的球面两点距离公式。

我记得有一次，我和朋友去游乐场玩。

游乐场里有一个巨大的地球仪模型，我们就在那研究起来。

朋友好奇地指着上面两个不同的地方问我：“这两个地方的距离咋算呀？”我当时就跟他说：“这就得用到球面两点距离公式啦。

”那这个公式到底是啥呢？简单来说，就是通过一些角度和半径的计算来得出距离。

但是别被这几个词吓到，咱们慢慢捋一捋。

假设球的半径是 R ，球面上两个点 A 和 B 对应的经度分别是α1 和α2 ，纬度分别是β1 和β2 。

那这两点的距离 d 就可以通过下面这个公式来算：d = R×arccos[sinβ1×sinβ2 + cosβ1×cosβ2×cos(α1 - α2)] 。

是不是看起来有点复杂？其实啊，咱们把它拆分开来理解就没那么难了。

比如说，sinβ1×sinβ2 这部分，就是考虑了两个点在纬度上的差异对距离的影响。

而cosβ1×cosβ2×cos(α1 - α2) 这部分呢，则是综合了经度和纬度的共同作用。

再举个例子，咱们把地球当成这个球。

北京和纽约就是球面上的两个点。

通过测量它们的经纬度，再代入这个公式，就能算出它们之间的球面距离。

回到那个游乐场的地球仪模型，我和朋友就试着用这个公式，大致估算了一下我们所在城市和另一个城市在这个“大皮球”上的距离，虽然不太精确，但那种探索的乐趣可真是让人难忘。

在实际生活中，这个球面两点距离公式用处可多啦。

比如飞机的航线规划，航海中的路径计算，都离不开它。

学习这个公式，就像是打开了一扇通往未知世界的小窗户。

让我们能从一个新的角度去理解我们生活的这个大大的地球，还有那些看似遥不可及的地方。

沪教版——15.6球面距离PPT

A
在A、B之间的劣弧的长越小！
在过A、B点的球的截面中半径最大的是
过球心的大圆
球面距离
A、B两点的球面距离：
过A、B两点的大圆
在A、B间的劣弧长
O
度。
注意：球面距离是球面上两点间的最短距离
过球面上两点的大圆是唯一的吗？
当A,B,O三点共线时，不唯一；当A,B,O三点不共线时，唯一。
A B
小试牛刀
球的概念
复习1．球的概念
半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面．
球面所围成的几何体叫做球体．简称球．
球的概念
球的直径
球心
球的半径
球的性质
复习2．球的性质
性质1：球心和截面圆心的连线垂直于截面．
性质2：球心到截面的距离 d与
球的半径 R及截面的半径 r 有下面的
关系：r R 2 d 2
O
A 赤道
南极
经线
例1、已知地球的半径为 6371km,上海的位置约为东经 1210,北纬310，台北的位置约为东经1210,北纬250, 求两个城市间的距离。（精确到1km）
城市D位于东经121°，南纬29°
A
B
P
O
赤道
C
D
(2)P地的经度的规定：经过P点的经线与地轴确定的半
平面和本初子午线与地轴确定
性质3：球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过的截面截得的圆叫做小圆。
• 从北京飞往纽约沿哪个方向能最快到达呢？
平面上两点连线线段的长度 ---平面上两点间的距离球面上联结两点的最短路径的长度--- 球面上两点间的距离
球面上两点间的距离该如何去寻求呢？
B

《球面距离》教案与说课稿

于感兴趣或者学有余力的学 2. 强化定义，落实关键词：练习：判断图中联结 A、B 两点的红色曲线的长度是否 A、B 间的球面距离？加深对定义中的关键词： “大圆” 、 “劣弧”的理解。生，可在课后进一步探讨。
3. 球面上两点的球面距离具有唯一性在定义中指出球面距离是大圆上一段劣弧的长度，所以该定义有没有涉及 A、B、O 三点共线的情况？在、B 间的劣弧是否唯一？所以两点的球面距离具有唯一性。 4. 球面距离的计算：复习扇形的弧长公式，得到两点间球面距离的计算方法： s R （其中为∠AOB 的弧度，R 为球半径）练习： 1．已知球 O 的半径为 R，A、B 是球面上两点。 ∠AOB= B 两点的球分析教材边栏中提出的问题。
，求 A、B 两点的球面距离。 4
2．
2. 已知球 O 的半径为 R，A、B 是球面上两点。 AB=R, 求 A、B 两点的球面距离。
通过一组练习使学生初步掌握球面距离的计算方法，并为之后的例题解答进行铺垫。
3．已知球 O 的半径为 R=4 2 ，A、B 是球面上两点。 A、 B 所在的小圆 O’的半径 r=4， ∠AO’B= 求 A、B 两点的球面距离。
二．新知构建 1. 球面距离定义的给出：可以证明，通过球面上两点的大圆劣弧是这两点在球面上的最短路径，我们把它的长度定义为两点间的球面距离。由于证明“通过球面上两点的大圆劣弧是这两点在球面上的最短路径”需要更多数学知识，学生的基础不够，所以课本表述为“可以证明”但没有给出证明。
由于对此定义合理性的证明教材中没有提及，课程标准中没有要求，也不是学生在高中时必须掌握的能力，故没有纳入这节课的教学目标。这里采取和教材中相同的描述即 “可以证明”的处理方式，对

球面距离的几种证明方法

球面距离的几种证明方法
球面距离是指在椭球面上，任意两点之间的最短路径，它是椭球面上任意两点的距离。

在地球表面的航行中，球面距离是最常见的几何距离，它以地球表面的维度和经度表示。

需要定义两点的维度经度，使用数学计算就能求出两点之间的球面距离，求出的球面距离与实际距离无论大小都有较大的差异，所以球面距离的应用非常广泛。

在此，本文将介绍几种球面距离的证明方法。

第一种证明方法：三角形证明法。

通过建立两点之间的三角形，定义出三条边长，利用三角形和地球球面之间的特殊关系，可以计算出三角形的面积，进而确定两点之间的球面距离。

第二种证明方法：空间分析法。

通过对两点之间连接的弧的长度和圆心角的空间分析，可以求出两点之间的球面距离。

第三种证明方法：旋转投影法。

这种证明方法基于地球球面的旋转特性，将空间点图投影到局部圆锥曲面上，求出局部圆锥曲面上的距离，最终得出两点之间的球面距离。

第四种证明方法：GPS定位法。

GPS定位法是利用GPS定位技术，根据卫星定位两点坐标，通过计算得出两点的经纬度和高度，最后求出两点之间的球面距离。

第五种证明方法：椭球体参数法。

球面距离

球面距离球面距离是空间几何中一个重要的概念，用来衡量球面上两点之间的距离。

在地理学、天文学等领域，球面距离具有广泛的应用。

本文将介绍球面距离的定义、计算以及一些相关的应用场景。

首先，我们需要明确球面距离的定义。

在几何学中，球面距离是指球面上两点之间最短弧的长度。

它与我们常见的直线距离不同，直线距离是指直线上两点之间的距离。

球面距离的计算需要考虑球面的曲面特性，因此与直线距离的计算方式不同。

计算球面距离可以利用球面三角形的概念。

球面三角形是指球面上由三个弧段组成的三角形。

在球面上，我们可以使用经度和纬度来确定点的位置。

通过将两点之间的经度和纬度转换成弧度，我们可以计算出球面上两点之间的球面距离。

具体的计算方法可以使用球面三角形的公式，如余弦定理或半正矢公式。

在地理学中，球面距离被广泛应用于计算地球上两个地点之间的距离。

通过获取两个地点的经纬度信息，并利用球面距离的计算公式，我们可以得到这两个地点之间的最短路径距离。

这对于导航系统、航空航天等领域非常重要。

在天文学中，球面距离用于计算天体之间的距离。

天体往往呈现出球状的形态，因此球面距离可以帮助我们确定天体之间的相对位置。

通过测量天体的坐标，并利用球面距离的计算方法，天文学家可以研究恒星、行星等天体之间的相互作用及运动规律。

除了地理学和天文学，球面距离还在其他领域有着广泛的应用。

在计算机图形学中，球面距离可以用来判断两个球面模型之间的相似程度。

在物理学中，球面距离可以衡量相对于球心的力场强度。

总结一下，球面距离是空间几何中一个重要的概念，用于衡量球面上两点之间的最短弧的长度。

它在地理学、天文学等领域具有广泛的应用。

通过计算经度和纬度的差值，并利用球面三角形的计算方法，我们可以计算出球面上两点之间的距离。

对于导航系统、航空航天、天文观测等领域来说，球面距离是非常重要的工具。

无论是在研究地球上的距离，还是研究宇宙中的天体距离，球面距离都发挥了重要的作用。

球面距离1

AOB 60
B
C
A
O
D
在COD中，CD AB R，
, 西经 70 B的位置可能是：东经110
球面距离
球面上两点间的距离
1、平面上两点间的最短距离是连结这两点的线段的长度。
2、球的表面是曲面，球面上P、Q两点间的最短距离显然不是线段PQ的长度，那是什么呢？
B
问题1:直观的观察,发现：
过A,B的圆中，半径越大，在A,B之间的劣弧的长越小！
A
在过A,B两点的球的截面中半径最大的是球的大圆
63 AB的弧长 2 6371 360
例3、已知地球的半径为 6371km,北京的位置约为东经1160,北纬400，纽约的位置约为西经740,北纬400, 求两个城市间的距离。
AOC BOD 40 , COD 360 (116 74 ) 170 由余弦定理，得：
练习、把地球当作半径为R的球，地球上A,B两点都在北纬450的纬线上,A,B两点的球面距离是 R，A在东 3 0，求B点的位置。经20 R
R
OC OD Rcos45
OC 2 OD2 CD 2 cos COD 0 2OC OD COD 90
球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆的劣弧的长度.我们把这个弧长叫做这两点的球面距离.
球面距离
A、B两点的球面距离为：
A
O
过A、B两点的大圆在 A、B间的劣弧长度。
注意：球面距离是球面上两点间的最短距离。
B
若设球心角 AOB (弧度制)
AB的弧长 R
地球仪中的经纬度
A
C O
O1

高中高三数学《球面距离》优秀教学案例

4.引导学生掌握球面距离的计算步骤，并强调注意事项，如角度与弧度的转换等。
（三）学生小组讨论
1.教师将学生分成若干小组，每组针对以下问题进行讨论：
a.球面距离的计算方法有哪些？
b.如何将球面距离应用于实际问题？
c.在计算球面距离时，可能会遇到哪些困难？如何解决？
2.各小组讨论并在黑板上展示讨论成果，教师巡回指导，解答学生疑问。
5.运用信息技术手段，如几何画板、数学软件等，辅助教学，提高学生的学习效果。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣和热情，使学生体会到数学在现实生活中的重要性。
2.培养学生勇于探索、敢于创新的精神，提高学生面对困难和挑战时的自信心。
3.培养学生的空间观念，使学生认识到数学知识在人类文明进步中的价值。
（二）问题导向
本节课将采用问题导向的教学策略，引导学生主动探究球面距离的计算方法。在教学过程中，设计一系列由浅入深的问题，如：“球面距离与空间直线距离有何区别？”“如何利用球面三角学知识计算球面距离？”等。通过这些问题，激发学生的思维，引导学生逐步掌握球面距离的计算方法。
（三）小组合作
小组合作是本节课的重要教学策略。在问题导向的基础上，将学生分成若干小组，每组针对某一问题进行讨论、交流和合作。小组成员之间相互支持、相互学习，共同解决问题。在这个过程中，教师要注意观察各小组的讨论情况，适时给予指导，确保每个学生都能参与到小组合作中。
4.培养学生的合作意识，让学生在团队协作中体验到共享成果的喜悦。
5.培养学生的环保意识，通过球面距离的学习，引导学生关注地球家园，培养学生的社会责任感。
三、教学策略
（一）情景创设
为了让学生更好地理解球面距离的概念，本节课将采用情景创设的教学策略。首先，通过展示地球仪上不同城市的位置，提出问题：“如何计算地球表面上两点之间的最短距离？”引发学生对球面距离的好奇心和探究欲望。接着，利用多媒体课件呈现地球的立体图像，让学生在视觉上直观地感受球面的弯曲，从而引出球面距离的学习。

高中数学沪教版高三上册《球面距离》课件

请同学们回忆平面内关于“角”的定义？
过平面上一点A的两条射线AB,AC所形成的图形叫作角，记成∠BAC.
过平面上一点A的两条直线，可以形成4个角。一般规定，两条直线的夹角为不大于90°的角。
在平面几何中，一般不区分角和角的大小，都用同一个记号，比如在三角形ABC中，∠BAC既表示角，也表示角的大小。
从球面S上的一点出发的两条大圆半弧所构成的图形叫做球面角。这个点叫作球面角的顶点，两条大圆半弧叫作球面角的边。
如图所示，球面角的顶点为P，P的极线与球面角的两边交于A,B两点。设P的对径点是P′,则这个球面角的两边
是 PAP和 PBP 。
球面角可以表示成∠APB，在不产生混淆时，也可以简单表示成∠P。与平面几何相同， ∠APB既表示角，也表示角的大小。
设射线PD是 PA 的切线，射线PE是 PB 的切线，则球面
角∠APB的大小＝∠DPE的大小。简写为∠P＝∠DPE。我
们规定 0 P 。当两个大圆所交成的球面角等于时，就说象概括
定理1.1 球面角的大小等于它的两边所在平面组成的二面角的大小；
2
(2)如图所示，设B为北京所在位置，S 为上海所在位置，那么过点B的经线所在平面与过点S的经线所在平面的夹角为： 121°29′－ 116°20′＝5°9′ 因此，过北京和上海两点的经线的夹角为5°9′.
课后作业
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球面角的大小等于顶点的极线夹在两边之间的弧长。
例1 (1)地球上，经线与赤道的夹角是多少？ (2)已知北京位于北纬39°56′、东经116°20′；上海位于北纬31°14′，东经121°29′，求过这两点的经线的夹角。

沪教版高三上册第15章简单几何体15.6球面距离课件共14张PPT

A（上海）
O A’
四、巩固练习
已知上海的位置约为东经121°，北纬30°，中国
台北的位置约为东经121°，北纬25°，美国亚特兰大
的位置约为西经84°，北纬30°.设地球的半径为6371
千米.
（1）求中国台北到上海的
O’
距离.答（）．（结果
A上海
C亚特兰大
精确到1千米）
B中国台北
A. 3336km O
课题球面距离(1)
一、形成概念已知上海的位置约为东经121o,
北纬 30o，开罗的位置约为东经 31o, 北纬 30o，你能求出开罗到上海的距离吗？
（结果精确到1千米）
经度 ——本地经线平面与本初子午线平面的夹角（二面角）。
北极
地东
0
度
轴地心
经
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
经
121
线 121度度
纬度 ——本地点到球心连线与赤道平面的夹角
AB
=
R 2
, 求A, B两点的球面距离.
3．求解巩固练习（2）.
4．课本书后练习题1.
5．课本书后练习题2.
（二）选做题
1.长方体ABCD - A1B1C1D1的顶点均在同一个球面上， AB = AA1 = 1，BC = 2 ，求A, B两点的球面距离.
2．习题册15.6 A组1. 3．习题册15.6 A组3. 4．习题册15.6 B组1. 5．习题册15.6 B组2.
B. 2780km
C. 319km
D. 556km
巩固练习：
已知上海的位置约为东经121°，北纬30°，中国台北的位置约为东经121°，北纬25°，美国亚特兰大的位置约为西经84°，北纬30°.设地球的半径为6371 千米.

高中数学知识点精讲精析球面距离

第六节球面距离
要点精讲
球面上两点之间的最短连线的长度,就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度.（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆）
我们把这个弧长叫做两点的球面距离
求法如下：
如下图，设若角AOB（球心角)为θ，大球的半径为R，则球面距离为Rθ
球面距离计算公式：d(x1,y1,x2,y2)=r*arccos(sin(x1)*sin(x2)+cos(x1)*cos(x2)*cos(y1-y2))
典型例题
【例1】球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为，那么这个球的半径为（）
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】设球心为O，由题设知三棱锥O—ABC是正四面体，且的外接圆半径是2，设球半径为R，则，∴
【例2】如图，A、B、C是表面积为的球面上三点，AB=2，BC=4，，O为球心，则直线OA与截面ABC所成的角是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】易得该球的半径是，在截面圆上AB=2，BC=4，，得
，则截面圆的圆心是BC的中点O1，截面圆半径是2，由球的知识知OO1⊥截面ABC
所以是直线OA与截面ABC所成的角
在中，
所以
故直线OA与截面ABC所成的角是。

球面距离计算公式的推导及举例

球面距离的计算及其计算公式在球面上，不在同一直径上的两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣派的长度，我们把这段抓长叫做球面上这两点间的球面距离．（也叫球面上的短程线或测地线）如图1，A 、B 为球面上不在同一直径上的两点,O 为圆心，⊙O 为过A 、B 的大圆，⊙O '为过A 、B 的任一个小圆，我们把这两个圆画在同一个平面内．（见图1）设α2=∠AOB ，α'='∠2B O A ，球半径为R ，半径为r ．则有AB 大圆弧长R L α2=，AB 小圆弧长r l α'=2 r a R r R l L '='=ααα22 （1) 但αα'==sin 2sin 2r R AB ,即ααsin sin '=r R （2）将(2）代入（1）得αααααααsin sin sin sin ''='⋅'=a l L (3) ∵ r R >，由（2）式知αα>'。

由于20παα<'<<，故只需证明函数()x x x f sin =在⎪⎭⎫ ⎝⎛2.0π内为单调递减即可. ∴ ()()0tan cos sin cos 22<-=-='x x x x x x x x x f ， ∵当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πx 时，有x x >tan ）∴ ()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π单调递减, 由(3）式不难得到1<lL ，即l L <。

故大圆劣弧最短。

球面距离公式：设一个球面的半径为R ，球面上有两点()11,βαA 、()22,βαB . 其中1α，2α为点的经度数，1β、2β为点的纬度数，过A 、B 两点的大圆劣弧所对的圆心角为θ，则有()]sin sin cos cos arccos[cos 212121ββββααθ⋅+-=（弧度)A 、B 间的球面距离为：()]sin sin cos cos arccos[cos 212121ββββααθ⋅+-==R R L 证明：如图1，⊙1O 与⊙2O 分别为过A 、B 的纬度圈,过A 、C 的大圆，过B 、D 的大圆分别为A 、B 的经度圈，而经度圈与纬度圈所在的平面互相垂直,作⊥AE 面BC O 2,垂足E 位于C O 2上,连结EB 、AB 。

球面距离的计算范文

球面距离的计算范文球面距离是地理学中一种常用的测量方式，用于计算地球上两个点之间的实际距离。

它是通过考虑地球是一个球体来计算的，与简单的平面距离计算方法不同。

本文将详细介绍球面距离的计算方法，包括理论背景、计算公式以及实际应用。

一、理论背景二、计算公式计算球面距离的公式可以由大圆弧长度公式推导而来。

假设两个点的经纬度分别为（θ1,φ1）和（θ2,φ2），其中θ表示经度，φ表示纬度。

那么球面距离D可以通过以下公式计算：D = R * arccos(sinφ1*sinφ2 + cosφ1*cosφ2*cos(θ2-θ1))其中R为地球半径。

上式中，我们使用了反余弦函数（arccos）以及正弦函数（sin）和余弦函数（cos）来计算距离。

三、实际应用另一个实际应用是计算地球上的区域面积。

通过将地球表面划分成许多小区域，每个区域的面积可以通过球面距离公式计算得到。

这对研究土地利用、气候变化等问题非常有帮助。

在计算球面距离时，还需要考虑地球椭球体的形状。

由于地球并非完全是一个规则的球体，而是稍微扁平的椭球体，因此实际的球面距离计算需要考虑椭球体的参数，如长半轴和短半轴。

这些参数可以根据地理数据和卫星观测得到。

总结：球面距离是地理学中常用的测量方法，用于计算地球上两个点之间的实际距离。

通过考虑地球是一个球体，我们可以使用大圆弧的长度来计算球面距离。

计算公式基于大圆弧长度公式，其中包括经纬度和地球半径。

球面距离的计算在地理学研究中有广泛的应用，包括城市间距离、飞行时间和路径、航线距离以及区域面积计算等。

地球的椭球体形状需考虑在内，以获得更准确的球面距离计算结果。

球面距离(沪教版)

A OD cos COD,
cos AOB OA2 OB2 AB2 , 2 OA OB
其中OA OB 6371,
OC OD 6371cos 40
cos AOB 0.1647 AOB 99.48
AB的弧长 2 6371 99.48
360
三、小结
1.两种形式的球面距离的求解
(1)解：在BOO1中，
OO1B 90°,OB R,
2
OBO1 45 , BO1
∴纬线圈中AB 的长度为
2
R.
m
O1
A
B
O
. 2 R 2 R
22
4
(2) 求经过A、B两地球面距离？
(2)在ABO1中， AO1B 90,
AB R, 在AOB中， m
AO OB AB R
O1
A
B
AOB
N
解 EOB EOA
AOB, 又 EOB 68
B
A
EOA 38 , AOB
E
O 赤道
30 ，根据 l R
l R R
S
6
6
A ，B的球面距离为
R
6
练习：已知地球的半径为 6371km,上海的位置约为东经1210,北纬310，台北的位置约为东经1210,北纬250, 求两个城市间的距离。
定义：球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点
的大圆在这两点之间 B 的劣弧的长度，我们
把这个弧长叫做两点的球面距离.
A
α
O
一般地：球面距离L=αR （α称为球心角）
1.已知A，B是半径为3的球面上
两点，且AB= 3 3 ，求A，B两
点的球面距离.

高中高三数学《球面距离》教案、教学设计

5.鉴于高三学生面临高考压力，教师在教学过程中要关注学生的心理状态，营造轻松愉快的学习氛围，减轻学生的负担。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重点
1.球面距离的定义及其与欧几里得距离的区别。
2.球面三角学基本公式的掌握和应用。
3.球面距离在实际问题中的计算和运用。
（二）教学难点
1.球面距离概念的理解，尤其是球面余弦定理和球面正弦定理的应用。
2.空间想象能力的培养，尤其是在解决球面角、球冠、球扇形等问题时的运用。
3.学生对球面距离计算的熟练程度和准确性。
教学设想：
1.创设情境导入：通过引入地球表面两点之间的最短距离问题，激发学生对球面距离的兴趣，引导学生思考球面距离与平面距离的区别。
2.理论知识讲解：采用形象直观的多媒体教学手段，如球面模型、动画等，帮助学生理解球面距离的概念。结合实际例题，详细讲解球面三角学的基本公式，强调公式的适用条件和注意事项。
3.案例分析与讨论：选取具有代表性的例题，组织学生进行小组讨论，培养学生的合作交流能力和解决问题的能力。在讨论过程中，教师应及时解答学生的疑问，引导学生正确运用球面三角学公式。
4.练习巩固：设计不同难度的练习题，让学生在课堂上及时巩固所学知识。针对学生的错误，教师应进行分析和指导，帮助学生找到问题所在，提高计算准确率。
在教学过程中，教师应注重引导学生主动探究、合作交流，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。具体包括以下方面：
1.创设问题情境，引导学生通过观察、思考、讨论，发现球面距离的计算规律。
2.利用多媒体教学手段，如球面模型、动画等，帮助学生建立空间概念，理解球面距离的计算方法。
3.组织学生进行小组讨论，培养学生合作交流的能力，提高学生的数学表达水平。

数学15.6球面距离教案沪教版高中三级第一学期

球面距离的发现教学目标：1. 认知目标：理解球面距离的合理性，掌握几种简单球面距离的求法,改进有关“距离”的认知结构．2. 能力目标：渗透类比、猜想及“数学化”的思想，提高动手实验、合情推理的能力，培养数学交流能力，体验基本的“科研”方法．3. 情感目标：通过“做数学”，亲历“球面距离”的形成过程，并体验研究与成功的快乐，感悟“数学美”，激发学习热情，并潜移默化地得到热爱地球、热爱科学的德育熏陶；树立正确的“数学观”并初步形成创新意识和科学精神．教学重点：球面距离发现过程及激励学生主动参与、相互协作、探索研究的精神．教学难点:实际问题数学化（建模），球面距离定义的合理性．教具学具：TI-92Plus图形计算器、计算机、实物投影仪、橡皮筋、地球仪等．教学过程1．创设问题情境引发研究课题教师：同学们，今天是6月6日，请问昨天（6月5日）是一个什么日子？学生众：世界环境日！教师：对！是第30个世界环境日．联合国环境规划署将今年的环境日主题确定为：“让地球充满生机”，如果说上个世纪是人类环境意识觉醒的世纪，那么，新世纪将是人类保护环境、拯救地球开始采取切实可行的实际行动的世纪.为纪念并庆祝这一节日，我们今天研究一个关于地球的问题．引例（计算机演示）：1993年4月7日,中国东方航空公司的MU583航班喷气客机，从上海（A）飞往美国洛杉矶（B），因受强气流影响，被迫在美国阿拉斯加州阿留申群岛（C）的某空军基地紧急降落．经过紧急处置，除60名伤员仍留在阿拉斯加的安克雷奇医院中之外，其余173名旅客已于4月9日到达洛杉矶．（用FLASH软件制作演示文稿：世界政区图及客机动画模型,略）.学生观察后提出问题：从世界地图（平面）上看似乎沿北纬300的圆“直行”最近，可为什么从上海飞往洛杉矶的飞机会迫降在东北方向的阿拉斯加呢？这岂不是在绕远道吗？老师：同学们，生活中处处有数学，就看我们是否有发现的眼睛了．对于这一现象我们该做何解释呢？我们能用数学的观点给出一个合理、科学的解释吗？进而，我们能把这个问题一般化吗？（回答多种多样，但最终统一到选择航线的主要标准是什么？——行程尽可能短．问题的一般化——球面上两地间的最短路线是什么？）师：那么，怎样的航线可能最短呢？生1：沿纬线圈走可能短些．生2：不对，从上海飞往洛杉矶的飞机绕道东北方向的阿拉斯加这一现象，可以说明沿纬线圈走不是最短．生3：对地球上任意两点来说，并不是都有同一纬线经过它们，所以沿纬线圈走不可能总是最短．师：非常好！同学们的讨论说明这是一个值得研究的问题．即，到底什么是球面上两点间的最短路线?目前还不知道，那么,能否想起与这个问题类似而已经研究过的问题吗？生4：蚂蚁在正方体的表面上从一个顶点爬行到相对顶点的最短路线问题．生5：在圆锥、圆台侧面上爬行也可提出类似的问题．生6：上述问题的解决方法是相同的，都是将空间图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短，使问题获解．师：非常好！对我们的问题有帮助吗？生7：把球面展成平面图形……生8：球面不能展成平面图形！师：有这方面的经验吗？生9：吃剩下的西瓜皮无论怎样切，它总是展不平．师：对，球面是不可展的，这一点与多面体、圆柱、圆锥、圆台有本质的不同．那么，这些问题的解决方法对我们现在的问题有帮助吗？学生10：有！前面那几个“最短路线”都是“平面曲线”它类似于直线，因此，可猜想球面上两点间最短的路线也是一条类似于“直线段”的曲线的长，它可能是某个平面与球面的交线，也就是一条特殊圆弧的长．师：好极了，经验和直觉都告诉我们，球面上两点间最短的路线应是一条特殊圆弧．而在球面上经过两点的圆弧有无数多条，哪一条最短？同学们，数学是一种活动，不仅应该动脑，也应该动手，请同学们以小组为单位，动手探索球面上两点间的最短路线，并给出你的猜想．2．动手实验探索新知学生以小组为单位，利用地球仪、橡皮筋,协作实验探索，2～3分钟后，学生11、12到前面提供了实验1: 一位同学将橡皮筋的两头分别置于地球仪的上海和洛杉矶处(此时橡皮筋已被伸长),另一同学将橡皮筋在球面上来回移动，由于“摩擦力”的作用，橡皮筋并不是总回到“理想”位置，两同学面露难色．此时，一位女生跑上前去，提起橡皮筋的中部再突然放开,由于弹性的作用, 橡皮筋停止于最短的状态（同学们报以热烈掌声，团结协作精神也体现的淋漓尽致）．由经验猜想:沿橡皮筋这条弧线航行行程最短．师：wonderful！同学们，科学需要观察，但观察并不总是可靠的，眼睛有时也会欺骗我们．谁能进一步说明或者推翻他们的这一结论？生13：（实验2）借助TI-92Plus图形计算器中“几何画板”功能，做出以线段AB为公共弦的若干圆，并用画板中的度量功能，分别测算出这几个圆中AB弦所对的劣弧的长，不难发现，较大的圆中AB弦所对的劣弧的长较小．（用实物投影仪演示,如图1）猜想1：以线段AB为公共弦的若干个圆，以半径较大的圆中AB弦所对的劣弧长较小.生14：由于地球上大圆的半径最大，根据上述猜想1，学生11、12的结论是正确的，即地球上两地间的最短路线就是经过这两点的大圆在这两点间的劣弧．3．思辩论证，得出结论师：经过上面的实验和探索，我们已基本上“认同”了上述猜想，但“认同”毕竟不是“论证”．数学的一大特征是它的逻辑严谨性．我们能证明这一猜想吗？首先，我们要先弄清问题（将实际问题数学化—建模）．生15：（实物投影）如图，AB 是圆O 1和圆O 2的公共弦，O 2A ＞O 1A ，求证：AmB AnB >．分析：分析：设∠A O 1B=2α，∠A O 2B=2β，O 2A=R,O 1A=r, 则0＜β＜α＜2π，0＜ r ＜R ．欲证，AmB AnB >，即：2αr ＞2βR （公式化），也就是，α·αsin AB ＞β·βsin AB ， ααsin ＞ββsin ，或证，ααsin ＜ββsin ．又因为y=x x sin （0＜x ＜2π)是单调减函数，所以，问题得证．在球面上，由于，大圆的半径最大，所以，大圆中所对的劣弧最短．师：同学15用他浓郁的家乡话再一次向我们展示了他的聪明才智．但，我们也注意到在他的证明中用到了“sin x x y =（0＜x ＜2π)是单调减函数”这一结论，而它的证明有一定的困难，我们能检验这一结论吗？生16：能！用TI 图形计算器，从下图示中，我们不难发现函数sin x x y =（0＜x ＜2π)是单调减函数．师：漂亮！这从“形”的方面支持了同学15的证明是正确的，若那位同学能从“数”的一面给出证明，将显得严谨有力．由于时间的关系，这个问题留给感兴趣的同学课下研究．师：我们已证明了上述猜想是正确的，那么，我们给球面上任两点这一条最短的路线的长度取个什么名字呢？生众：两点间的球面距离．（多媒体演示课题：球面距离）师：好，请同学们用数学语言陈述球面距离的定义．生17： …（投影球面距离的定义，略）师：由上不难知道，为什么飞机、轮船都是尽可能以大圆劣弧为航线了． O 2O 1A B R m nr4．看图辨析强化概念师：请同学们观察下列球面模型（多媒体演示，略）中，标出的弧AnB的长是不是A、B两点的球面距离？同学通过观察、比较总结出球面距离概念的内涵：（1）A、B两点必须在大圆上;（2）是大圆在这两点间的劣弧（或不超过半圆弧）的长度 .5．距离扩张的历程回顾师：好，经过同学们的探索、研究发现了球面距离的概念，扩大了知识、提高了能力．请回忆,以前我们还学习了哪几种几何基本对象间的距离？它们有什么共同的特征？经过学生的讨论可以回忆出下面各种距离：（演示文稿）两点间的距离点到直线的距离异面直线间的距离点到平面的距离平行直线间的距离平行平面间的离平行于平面的直线与平面间的距离共同的特征：存在性、最小性、唯一性，是一条特殊线段的长．师：正如同学们总结的那样，以前各种“距离”都是一条特殊线段的长，而“球面距离”却是一条特殊的圆弧长．但是，它们都是平面“曲线”,具有“最小性”和“唯一性”，体现了数学概念“和谐发展”．6．例题分类寻求解法师：数学来源于生产与科研实践，又服务于生产与科研实践．例1．东方明珠香港于97年7月1日回归祖国，之前京九铁路也已全面贯通．请计算北京（约北纬400、东经1160）与香港（约北纬220、东经1160）的距离大约是多少千米？例2．求上海到洛杉矶的距离．（上海和洛杉矶的纬度差不多都在北纬300稍北的位置，而上海的经度为东经1200稍偏东，洛杉矶的经度为西经1200稍偏西）．例3．2004年的奥运会在雅典举行，2008年的奥运会在北京举行．请计算北京与雅典之间的距离．（供学有余力的同学课后研究）同学们借TI图形计算器分组得出了例1、例2的答案，为规范书写格式提供“标准”答案仍是必要的（用文稿演示，略）．师：例3的解决有一定的困难，请有兴趣的同学课下研究，我期待着你们的成功．从经纬度来看，球面距离问题可分为几种类型？如何解决？生18：1.同经度不同纬度的两地间的距离—经度差的绝对值乘以地球半径；2.同纬度不同经度的两地间的距离—先在纬度圈（小圆）中求出弦长，再在大圆中求出这两点的球心角，进而求出劣弧的长，即：线段AB的长——→∠AOB的弧度数——→大圆劣弧AB的长；3.经、纬度都不同度的两地间的距离．生19：计算球面距离的关键是先求出此两点所对应的球心角，再根据弧长公式即可求出劣弧长，即这两点的球面距离．师：非常好！同学们先做后说，提炼出了程序性、操作性的方法，这就是算法．7.课题小结交流体验师：同学们，一节课在不知不觉中就要过去了，愉快的时光总是显得那么短暂．下面就请同学们小结一下，你有何收获和体验？生：……师：随便说，一句不少，十句不多．生20：数学无处不在、无处没有．现实生活中存在着大量的数学问题，我们要养成用数学的眼光观察、发现、分析、解决实际问题的习惯，做有数学头脑的人．师：实际问题数学化是重要的数学能力，也是数学素养的体现．生21：这节课跟以前的数学课不大一样，更像物理课．通过观察、转化、猜想、实验、证明，不仅知道了什么是球面距离，还了解了研究问题的一些方法．师：方法往往比知识重要，而探索方法的过程更重要．生22：TI图形计算器是我们探索数学奥秘的好帮手，能使我们更好地发现、探究和理解数学．生23：这样上课很好玩、很有趣．好像是在“做数学”．师：朴素的语言，真实的感受．以上同学都谈的非常好，对体验、方法和球面距离的具体求法进行了总结．我相信其他同学也定会有不少感受，这样吧，请同学们课下将学习体会写出来，下周一交给课代表．.结束语：同学们，6月5日是世界环境日，无独有偶，每年的4月22日为世界地球日．人类只有一个地球，为了明天更美好，为了我们的子孙后代，人类必须“善待地球”，为此，首先要更多地了解地球，那么,我们还应研究球体的那些问题呢？生众：面积和体积！师：对，下一节我们将研究这些问题．这一节课，同学们表现的都非常出色，祝同学们学习成功，下课！案例分析“距离”是数学中重要的“源”概念，作为中学八种距离中的最后一个的“球面距离”，因为不能像其它距离那样可以转化成一条特殊线段的长而成为学生的认和难点，所以，“球面距离”对于学生来说是一个极富有挑战性的问题．如何让学生在愉悦的环境中主动地对“球面距离”进行有意义的建构，并且在思维能力、人文素养等方面得到提升是本教案设计的初衷．本课例，以现代建构主义理论为指导，辅以TI技术教育手段，既重视了学生“知识”和“技能”的学习，又注意思想方法的渗透和使用，并且，创设了一个很好的情景，使得既能向学生渗透“环保”的有关思想，又能自然地感受到拓展“距离”概念的必要性，同时，把探索发现“球面距离定义”的过程，作为教学重点，“既教猜想、又教证明”，准确地抓住了实际问题数学化和定义的合理性．对球面距离定义的合理性，学生在原有的知识和经验的基础上，不难理解它的存在性和唯一性，但，对球面距离为什么是大圆劣弧的长颇感困惑．美国数学家哈尔莫斯说：“学习数学的唯一方法是做数学”．由于TI技术能以更多的方式向学生提供刺激(多元联系表示)，产生直观丰富的形象，从不同侧面认识数学的中的同一个对象(球面距离)，因而可以突破传统技术在时空上的限制，表现传统技术所不能表现的内容．学生通过亲自动手实验，辅以TI图形计算器的支持，可以地看到球面距离概念的形成和发展过程，深刻理解了概念的本质．教材上对球面距离的处理是重计算、轻发现，枯燥、乏味，给人一种冰冷的感觉．而人类(学生)对数学的思考、发现却是火热的、生动活泼的．因此，本节课又遵循了“返璞归真”原则，把“球面距离”的学术形态转化为教育形态，“把冰冷的美丽变为火热的思考”．整个教学过程，沿着发现问题——提出问题——分析问题——探索和解决问题的途径展开，在师生共同参与下，亲历了知识生长(即“球面距离”概念的形成)过程，学生不仅认识到当前这个概念是应运而生，又是合理的(承袭了“距离”概念的极小性、存在性、唯一性，又有所不同——由直线段变成了圆弧的长)，而且，通过对拓广与承袭关系的分析，把新旧知识联结起来，形成更为完善的有关“距离”的认知结构(包括计算方法)．在亲历“球面距离”概念的形成和发展过程中，学生的创新精神得到了高扬、创新能力得到了培养，特别是为每一个学生个性的充分展开创造了空间，课堂上洋溢着浓郁的人文精神，体现着鲜明的时代特色．。

球面距离公式

球面距离公式近千年来，人们对球面距离公式有着浓厚的兴趣，其重要性不容忽视。

在今天，这一公式被广泛应用于几何、测绘、航海、航空、极点测量、地球物理学、大气层、天文、空间技术等广泛的学科和技术领域中。

因此，了解其相关概念和计算式将有助于对技术领域中球面距离的测量应用。

一、球面距离是什么球面距离是指两个球面上的两个点之间的距离，它也常被称作大地距离或地球距离。

简而言之，球面距离就是两个点之间的最短距离，而这个距离是以地球表面上的经纬度座标系统为基础计算出来的。

二、球面距离公式一般而言，计算球面距离时，通常使用以下公式：d = arccos( sin(φ1) * sin(φ2) + cos(φ1) * cos(φ2) * cos(λ1 -2)) * R其中：d表示球面距离；φ1表示第一个点的纬度；φ2表示第二个点的纬度；λ1表示第一个点的经度；λ2表示第二个点的经度；R表示地球的半径，大约为6371000米。

三、球面距离公式的应用1.几何学中，球面距离公式可以用来计算两点之间的距离，这有助于绘制地图、测量面积等。

2.航海学中，球面距离公式可以用来计算一艘船从一个港口到另一个港口的距离，从而更好地计划航行路线。

3.航空学中，球面距离公式可以用来计算一架飞机从一片空域到另一片空域的距离，从而更好地计划航班行程。

4.极点测量学中，球面距离公式可以用来计算地球极点之间的距离，从而更好地了解地球的形状和大小。

5.地球物理学中，球面距离公式可以用来计算地球震源之间的距离，从而更好地了解地壳的物理特性和地震活动。

6.大气层学中，球面距离公式可以用来计算大气层中两个点之间的距离，从而更好地了解大气层的分布特征。

7.天文学中，球面距离公式可以用来计算天体之间的距离，从而更好地了解天体的位置分布和运动轨迹。

8.空间技术中，球面距离公式可以用来计算太空飞行器之间的距离，从而更好地了解太空器的运行轨迹和分布规律。

四、结论球面距离公式是一种重要的公式，它被广泛应用于几何、测绘、航海、航空、极点测量、地球物理、大气层、天文、空间技术等诸多学科和技术领域中。

高中数学新沪教版精品学案《球面距离》

球面距离【学习目标】1．知道经度、纬度的概念，及其与地球上的点之间的对应关系。

2．理解球面距离的概念。

3．会求地球上两点间的球面距离，感受数学知识在实际问题中的应用价值。

4．通过球面距离的计算，体验将空间问题平面化的化归思想。

【学习重难点】重点：会计算球面上两点间的球面距离。

难点：地球上不同经度、不同纬度的两点间的球面距离的求法。

【学习过程】一、知识的准备1．弧长公式：2．余弦定理：3．两圆中弦长相等，半径越大，劣弧越短。

二、自主学习1．地球的形状和大小地球形状是一个两极部位略扁的不规则的球体。

地球的平均半径为千米，赤道半径千米，极半径千米。

赤道周长约为万千米。

我们将地球看成一个半径为千米的球。

已知点F E B A S N 、、、、、在球面上，且S O N 、、三点共线，⊥NS 平面，如图（1）中，地球上的各字母表示的含义：——北极，——南极，平面——赤道平面，EOF ∠——球心角。

阅读课本并填空：2．球面上两点间的球面距离是指。

3．设是地球面上异于S N 、的任意一点。

地球的经线——过S P N 、、的半圆叫做过点的经线；经度——过点和极线的经线所在的半平面与本初子午线所在的半平面构成的二面角的度数。

地球的纬线——过点且垂直于的圆叫做过点的纬线；纬度——地球半径与赤道平面所成角的度数。

三、自主自测1．将地球当作一个球体，那么东经这个经度圈是球的（）（A ）一个大圆（B ）一个小圆（C ）半个大圆（D ）半个小圆2．如图（2），点在本初子午线上，大圆是赤道平面，点在东经的经线上，点在东经的经线上，点在西经的经线上，则=∠KOA ____，=∠AOB ____，=∠COA ____；3．如图（3），设地球的半径为，点在半圆上，且在北纬的纬线上，则=∠EOA _________；点是北纬纬线小圆圆心，则=1EO _______。

4．若的圆心角所对的弦长为，则此圆心角所夹扇形的弧长为_________。

地球上两点之间的球面距离(卫福山)

地球上两点之间的球面距离的教学设计与思考卫福山（上海市松江二中）一、教学内容分析球面距离是上海教育出版社数学（高三）第15章简单几何体第6节内容，《上海市中小学课程标准》对球的要求是：类比关于圆的研究，对球及有关截面的性质深入探讨；知道球的表面积和体积的计算公式，并会用于进行有关的度量计算；知道球面距离和经度、纬度等概念，进一步认识数学和实际的联系.在本节中，引导学生理解球面距离的概念（这不同于一般的直线距离），原因在于球面不能展开成平面.然后具体探究了如何求同纬度不同经度、同经度不同纬度、不同经度不同纬度的地球上两点之间的距离的求法，特别强调将其中的线面关系转化为多面体（主要是特殊的棱锥）来分析，并综合使用扇形、弧长、解三角形等数学知识.在探究球面距离的计算中培养了学生空间想象能力和探究性学习的能力.二、教学目标设计1、知道球面距离的定义，知道地球的经度与纬度的概念，会求地球上同经度或同纬度的两点间的球面距离.2、在解决问题的过程中，领会计算地球上两点间的球面距离的方法.3、在实际问题中，探索新知识，成功解决问题，完成愉悦体验.三、教学重难点教学重点：掌握计算地球上两点间的球面距离的方法.教学难点：如何求地球上同纬度的两点间的球面距离.四、教学内容安排（一）、知识准备1、联系右图及中学地理中的有关知识认识地球——半径为6371千米的球.（理想模型）2、经度、纬度等相关知识地轴:连结北南极的球的直径,称为地轴.经线:经过北南极的半大圆,称为经线.本初子午线:它是地球上的零度经线,分别向东和向西计量经度，称为东经和西经,从0度到180度.经度:经线所在半平面与零度经线所在半平面所成的二面角的度数.参见右图.赤道:过球心且垂直于地轴的大圆,称为赤道.赤道的圆心就是球心.纬线:平行于赤道的小圆,称为纬线.位于赤道以北的称为北纬,位于赤道之南的称为南纬.纬度:球面上某点所在球半径与赤道平面所成的角.从0度到90度.参见上图.3、球面距离在球面上两点之间的最短距离就是经过这两点的大圆在这两点间的劣弧的长度——这个弧长叫两点的球面距离.问题：为何最短距离是经过两点的大圆的劣弧解释如下：如图所示，A 、B 是球面上两点，圆O '是经过A 、B 的任一小圆（纬线圆），O 是球心，设,,AOB AO B θα'∠=∠=,(0,),αθπ∈地球半径为,OA OB R ==小圆半径为,O A O B r ''==则A 、B 两地所在的大圆劣弧长为1,s R θ=小圆的劣弧长为2,s r α=下面只要说明12s s <即可。

球面距离的计算及其计算公式

球面距离的计算及其计算公式
一、概述
球面距离是指在地球表面上的空间距离，是地球的球面延伸绘制出来的一种距离。

球面距离是指两个地点之间的空间距离，即在球面上两点之间经过的最短路径的长度，用数学的话来说就是空间点之间两点距离的圆周长。

球面距离是地理学中常用的概念，它可以提供更有说服力的分析结果。

它可以用来测量两个地点之间的距离，并可以用来标识地球上的一些特殊空间关系，如两城市相距多远等。

二、球面距离的计算
1、球面距离计算的基本原理：球面距离是建立在地球的球体表面上进行测量距离的，它是两点之间最短连线上的距离。

根据它最短的特性，我们可以用数学公式来计算球面距离，具体的计算公式如下：
d = r·arccos(sin(φ1)·sin(φ2) +
cos(φ1)·cos(φ2)·cos(Δλ))
其中，d表示球面距离，r为地球半径，arccos为反余弦函数，φ1和φ2分别表示两点的纬度，Δλ表示两点的经度之差。

2、GIS软件中球面距离的计算：现在，在GIS软件中，可以使用比较简单的方法，来计算球面距离。

只需要把需要计算的两个点的经纬度数据输入到GIS软件中，就可以计算出这两个点之间的球面距离。

两点球面距离计算公式

两点球面距离计算公式嘿，咱今天来聊聊两点球面距离计算公式。

先说说啥是球面距离哈。

想象一下，咱把地球看作一个大球，你从北京坐飞机到纽约，这飞行的最短路线在球面上的长度，就是两点之间的球面距离。

那这两点球面距离的计算公式是咋来的呢？这可得从球面几何的知识说起。

咱们得先搞清楚球面上的弧长和角度的关系。

比如说，在一个半径为 R 的球面上，有两点 A 和 B。

假设这两点对应的圆心角是θ（弧度制哦），那这两点之间的球面距离 d 就可以用公式d = Rθ 来计算。

听起来好像挺简单，是不？但实际运用的时候，可没那么容易哦！咱得先求出这个圆心角θ 。

这就有点头疼啦，得通过各种几何关系和三角函数来搞定。

给您举个例子吧。

有一次我给学生们讲这个知识点，有个小家伙怎么都搞不明白为啥要求圆心角。

我就拿出一个地球仪，指着上面的两个城市，跟他说：“你想想，要是飞机不按照最短的路线飞，绕来绕去得多费油啊！所以咱们得找到最短的那个路线，也就是球面距离，而要找到这个距离，就得先知道圆心角。

” 这小家伙眨巴眨巴眼睛，好像有点开窍了。

在实际解题的时候，经常会碰到各种各样的条件。

有时候给的是两点的经纬度，有时候给的是其他的一些几何关系。

这就需要咱们灵活运用所学的知识，把这些条件转化成能用来计算圆心角的形式。

比如说，如果知道了两点的经纬度，那咱们可以通过经度差和纬度差来求出两点之间的大圆弧所对应的圆心角。

这过程中就得用到一些三角函数的知识啦，像正弦、余弦啥的。

再比如说，给了两个点在球面上的坐标，那咱们就得通过向量的方法来求解圆心角。

这可就有点复杂了，得先求出两个向量，然后通过向量的点积来求出夹角。

总之啊，两点球面距离计算公式虽然看起来简单，但是要真正掌握并且能熟练运用，可得下一番功夫呢！这就像是爬山，每一步都得踩稳了，才能爬到山顶，看到美丽的风景。

希望大家在学习这个知识点的时候，都能多思考，多练习，把这个难题给攻克下来！这样以后不管遇到啥样的球面距离问题，都能轻松应对啦！。