数学：(鲁教版五四学制七年级上册)2.1探索勾股定理课件
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探索勾股定理ppt课件
A的面积 B的面积 C的面积
左图 4
9
A a cC b
B
C
A ac b
B
右图 16
9
25
（1）正方形A、B、C的面积间 有什么关系？
SA+SB=SC. a2+b2=c2
（2）正方形A、B、C与中间的 直角三角形有什么关系？
结论2 以直角三角形两直角 边为边长的小正方形的面积 的和，等于以斜边为边长的 正方形的面积.
自主探究 任务一：探索勾股定理的内容
(指向目标一)
1.观察右图：(时间2分钟)
填表（每个小正方形的面积为单位1）
A的面积 B的面积 C的面积
左图 9
9
18
右图 4
4
8
（1）正方形A、B、C的面积间 有什么关系？
SA+SB=SC.
（2）正方形A、B、C与中间的 等腰直角三角形有什么关系？
SA+SB=SC.
当高AD在△ABC外部时，如图②. 同理可得 BD＝16，CD＝9. ∴BC＝BD－CD＝7， ∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42. 综上所述，△ABC的周长为42或60.
方法总结 题中未给出图形，作高构造直角三角形时， 易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑 高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形．
弦 勾
股
我国古代把直角三角形中 的直角边称为 ， 的直角 边称为 ， 称为 ，“勾股 定理”因此而得名.
巩固训练（2分钟）
1.钢索的长度？
？
10m
8m
6m
评价标准：独立完成为优秀，同桌互助为及格。
评价标准：2题全对为优秀,1题全对为及格
合作促学 任务二：熟练运用勾股定理进
左图 4
9
A a cC b
B
C
A ac b
B
右图 16
9
25
（1）正方形A、B、C的面积间 有什么关系？
SA+SB=SC. a2+b2=c2
（2）正方形A、B、C与中间的 直角三角形有什么关系？
结论2 以直角三角形两直角 边为边长的小正方形的面积 的和，等于以斜边为边长的 正方形的面积.
自主探究 任务一：探索勾股定理的内容
(指向目标一)
1.观察右图：(时间2分钟)
填表（每个小正方形的面积为单位1）
A的面积 B的面积 C的面积
左图 9
9
18
右图 4
4
8
（1）正方形A、B、C的面积间 有什么关系？
SA+SB=SC.
（2）正方形A、B、C与中间的 等腰直角三角形有什么关系？
SA+SB=SC.
当高AD在△ABC外部时，如图②. 同理可得 BD＝16，CD＝9. ∴BC＝BD－CD＝7， ∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42. 综上所述，△ABC的周长为42或60.
方法总结 题中未给出图形，作高构造直角三角形时， 易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑 高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形．
弦 勾
股
我国古代把直角三角形中 的直角边称为 ， 的直角 边称为 ， 称为 ，“勾股 定理”因此而得名.
巩固训练（2分钟）
1.钢索的长度？
？
10m
8m
6m
评价标准：独立完成为优秀，同桌互助为及格。
评价标准：2题全对为优秀,1题全对为及格
合作促学 任务二：熟练运用勾股定理进
鲁教版(五四制)七年级上3.1探索勾股定理(2)课件(共17张PPT)
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
2. 你能用这四个直角三角形拼成一个以斜 边c正方形吗？拼一拼试试看?
c a
b
3. 你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？
c a
b
大正方形的面积可以表示为 c2 ； 也可以表示为 4•ab/2-(b- a)2
c a
b
c a
b
c a
b
因为c2= 4•ab/2 +(b-a)2 =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2
4000
C
B
4000
A
练习
1. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿着东南 方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是
40米/分，小红用15分钟到家，小颖用20分钟到家，小
红和小颖家的距离为
（ C）
A. 600米 B. 800米 C. 1000米 D 不能确定
2. 直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，那么
2002年国际数学家大会会标
勾股定理（gou-gutheorem)
直角三角形两直角边的平方和等于斜边 的平方.
如果直角三角形两直角边分别为 a、b,斜边为c，那么
a2 b2 c2 a c
b
利用拼图来验证勾股定理：
1. 准备四个全等的直角三角形(设直角三角 形的两条直角边分别为a，b，斜边为c)；
斜边上的高是
（ D）
A. 6厘米
B. 8厘米
C. 80/13厘米
D. 60/13厘米
练习
3. 等腰三角形底边上的高为8，周长为32，求这个三 角形的面积
解：设这个三角形为ABC，
You made my day!
我们，还在路上……
2. 你能用这四个直角三角形拼成一个以斜 边c正方形吗？拼一拼试试看?
c a
b
3. 你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？
c a
b
大正方形的面积可以表示为 c2 ； 也可以表示为 4•ab/2-(b- a)2
c a
b
c a
b
c a
b
因为c2= 4•ab/2 +(b-a)2 =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2
4000
C
B
4000
A
练习
1. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿着东南 方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是
40米/分，小红用15分钟到家，小颖用20分钟到家，小
红和小颖家的距离为
（ C）
A. 600米 B. 800米 C. 1000米 D 不能确定
2. 直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，那么
2002年国际数学家大会会标
勾股定理（gou-gutheorem)
直角三角形两直角边的平方和等于斜边 的平方.
如果直角三角形两直角边分别为 a、b,斜边为c，那么
a2 b2 c2 a c
b
利用拼图来验证勾股定理：
1. 准备四个全等的直角三角形(设直角三角 形的两条直角边分别为a，b，斜边为c)；
斜边上的高是
（ D）
A. 6厘米
B. 8厘米
C. 80/13厘米
D. 60/13厘米
练习
3. 等腰三角形底边上的高为8，周长为32，求这个三 角形的面积
解：设这个三角形为ABC，
探索勾股定理--说课课件
6.5
【设计意图】以济宁市消 防安全教育活动为情境， 不仅反映了数学来源于生 活，服务于生活的理念， 也对学生的消防安全起到 警示作用。问题设计具有 一定的挑战性,教师引导学 生将实际问题转化成数学 问题,也就是“已知直角三 角形的两边长，如何求第 三边”，即研究直角三角 形的三边关系。
2.5
【设计意图】通过视频介绍古代中国数学家对勾股定理 的研究，增强了学生的民族自豪感，实现了情感态度与 价值观的培养目标，顺利导入新课。
般直角三角形的 研究奠定基础。
Ⅲ面积
81 18
1、
实
Ⅲ
验 操
Ⅱ
作
观 察
Ⅰ
Ⅲ
Ⅱ
猜
Ⅰ
想
类型
Ⅰ面积 Ⅱ面积
一般直角三角形 实验结论
9
4
9
16
SⅠ+SⅡ=SⅢ
探究2（一般的直角
三角形）：正方形Ⅰ、
Ⅱ、Ⅲ的面积也有这
个关系吗？
【设计意图】运用类比 思想，研究一般直角三 角形三边上的正方形面 积关系，得出相同的结 论。实验表格的设计直 观反映了正方形之间的 面积关系，有效突破了
鲁教版数学七年级上册
3.1探索勾股定理
探索勾股定理
1、教材分析
4、教学流程
2、学情分析
说课 内容
5、教学评价
3、教学法分析
6、设计理念
探索勾股定理
教材的地位和作用
教
这节课是鲁教版数学七年级上册第
材 三章第1节第一课时内容，是在学生学
分
习了三角形的有关概念后，来研究直角 三角形的三边关系，是数形结合的代表，
为c，那么 a2 + b2 = c2
即直角三角形两直角边的平 方和等于斜边的平方
【设计意图】以济宁市消 防安全教育活动为情境， 不仅反映了数学来源于生 活，服务于生活的理念， 也对学生的消防安全起到 警示作用。问题设计具有 一定的挑战性,教师引导学 生将实际问题转化成数学 问题,也就是“已知直角三 角形的两边长，如何求第 三边”，即研究直角三角 形的三边关系。
2.5
【设计意图】通过视频介绍古代中国数学家对勾股定理 的研究，增强了学生的民族自豪感，实现了情感态度与 价值观的培养目标，顺利导入新课。
般直角三角形的 研究奠定基础。
Ⅲ面积
81 18
1、
实
Ⅲ
验 操
Ⅱ
作
观 察
Ⅰ
Ⅲ
Ⅱ
猜
Ⅰ
想
类型
Ⅰ面积 Ⅱ面积
一般直角三角形 实验结论
9
4
9
16
SⅠ+SⅡ=SⅢ
探究2（一般的直角
三角形）：正方形Ⅰ、
Ⅱ、Ⅲ的面积也有这
个关系吗？
【设计意图】运用类比 思想，研究一般直角三 角形三边上的正方形面 积关系，得出相同的结 论。实验表格的设计直 观反映了正方形之间的 面积关系，有效突破了
鲁教版数学七年级上册
3.1探索勾股定理
探索勾股定理
1、教材分析
4、教学流程
2、学情分析
说课 内容
5、教学评价
3、教学法分析
6、设计理念
探索勾股定理
教材的地位和作用
教
这节课是鲁教版数学七年级上册第
材 三章第1节第一课时内容，是在学生学
分
习了三角形的有关概念后，来研究直角 三角形的三边关系，是数形结合的代表，
为c，那么 a2 + b2 = c2
即直角三角形两直角边的平 方和等于斜边的平方
七年级上3.1探索勾股定理(1)(鲁教版五四制)精选教学PPT课件
15 56、90、106
这些数，即使在今天也远不是人人
都很熟悉，天晓得古巴比伦人当时是怎 样弄到这些数的！如果考古学家坚信自 己没有弄错历史年代的话，那么上面的 史实表明：在世界的其他地方还不知道 3、4、5的关系的时期，古巴比伦人就 已经有了一个相当灿烂的文化.这无疑给 人类早期的文明史，又增添了一个千古 之迷！
到！” 猎狗听了很不服气地辩解道：“我已经尽力而为了呀！” 再说兔子带着枪伤成功地逃生回家了，兄弟们都围过来惊讶地问它：“那只猎狗很凶呀，你又带了伤，是怎么甩掉它的呢？” 兔子说：“它是尽力而为，我是竭尽全力呀！它没追上我，最多挨一顿骂，而我若不竭尽全力地跑，可就没命了呀！” 泰勒牧师讲完故事之后，又向全班郑重其事地承诺：谁要是能背出《圣经·马太福音》中第五章到第七章的全部内容，他就邀请谁去西雅图的“太空针”高塔餐厅参加免费聚餐会。 《圣经·马太福音》中第五章到第七章的全部内容有几万字，而且不押韵，要背诵其全文无疑有相当大的难度。尽管参加免费聚餐会是许多学生梦寐以求的事情，但是几乎所有的人都浅尝则止，望而却步了。 几天后，班中一个11岁的男孩，胸有成竹地站在泰勒牧师的面前，从头到尾地按要求背诵下来，竟然一字不漏，没出一点差错，而且到了最后，简直成了声情并茂的朗诵。 泰勒牧师比别人更清楚，就是在成年的信徒中，能背诵这些篇幅的人也是罕见的，何况是一个孩子。泰勒牧师在赞叹男孩那惊人记忆力的同时，不禁好奇地问：“你为什么能背下这么长的文字呢？”
A
B C
图1-1
A
1 62 2
18 (单位面积)
B 图1-2
把C看成边长为6的 正方形面积的一半
（图中每个小方格代表一个单位面积）
C A
(2)在图1-2中，正方 形A，B，C中各含有 多少个小方格？它们 的面积各是多少？
七年级数学上册 探索勾股定理课件2 鲁教版五四制
∴BC=___1_20_0_____。
节约的路程为:AC+BC-AB=_1_20_0_+_90_0_-1_5_0_0=。600
农用车的速度为:18千米/时=__3_0_0__米/分。 所以节约的时间为_6_00_÷_3_0_0=_2_（_分__）。
A
B 图2-3
猜想开拓
观察图2-4，用数格子的方法判断图中的三边 长a、b、c。是否满足s2s3BCS1图2-6图2-5 a2+b2=c2 图2-4 ①在钝角⊿ABC中，a2=___8_____， b2=____9____，c2=___2_9___，则 a2+b2____< ___c2（填>,<,=） ②在锐角⊿ABC中，a2=___5____， b2=____8____，c2=____9____。 则a2+b2___>__c2（填>,<,=）。 ③在Rt⊿ABC，若a、b为直角边，c为斜边， 则a2+b2__=__c2（填“>,<,=”）。 ④由上述①②③,对不同类型的三角形的三边 平方关系，你有何猜想开拓？
因为（a+b）2=
1 ab 4 c2 2
所以 a2+b2=c2
实践出真知
有人利用这四个直角三角形，拼 出了图2-1，你能用两种方法表 示大正方形的面积吗？
大正方形的面积可以表示为：____c_2 ___。
大正方形的面积又可以表示为：_(b__a)_2 _12_a_b_4。
你能用大正方形的这 两种面积表示法来说 明勾股定理吗？
理的证明后，欣喜若狂，杀了一百头牛 祭神，由此，又有“百牛定理”之称。
因为c2=
(b a)2 1 ab 4 2
鲁教版五四制初中七年级数学上册探索勾股定理-第一课时_课件1
1.勾股定理： (1)文字语言：直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方。 (2)符号语言：
C 90 (已知)
B
a b c (勾股定理)
2 2 2
a
C
c
b
A
2.验证“勾股定理”的方法： (1)测量法 (2)数格子法
3.“勾股定理”的应用： 已知直角三角形两边，求第三边。
谢
谢
1.6
2.4
(4)如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度 和2.4个单位长度，上面所猜想的数量关系还成立吗？ 说明你的理由。
仍然成立
勾 1.6
弦
较短的直角边称为“勾”
2.4 股
较长的直角边称为“股”
斜边边称为“弦”ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
新知归纳
勾股定理： (1)文字语言：直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方。
数格子法
ⅰ.三边的平方分别是 各正方形的面积； ⅱ.满足“两直角边的平 方和等于斜边的平方”。
(2)对于下图中的直角三角形，是否还满足这样的关 系？你又是如何计算的呢？
数格子法
ⅰ.三边的平方分别是 各正方形的面积； ⅱ.满足“两直角边的平 方和等于斜边的平方”。
(3)如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度 和2.4个单位长度，上面所猜想的数量关系还成立吗？ 说明你的理由。
如图，从电线杆离地面8m处向地面拉一条钢 索，若这条钢索在地面的固定点距离电线杠底部 6m，那么需要多长的钢索？
(1)在纸上作出若干个直角三角形，分别测量它们的三 条边长，看看三边长的平方之间有什么样的关系？与 同伴进行交流。
测量法 三边长的平方之间的关系： 两直角边的平方和等于斜边的平方
勾股定理的应用PPT课件
C 5B
A
x
O
13
巩固应用
1、如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=4cm，
AD=2cm，BC=CD，E是AB上的一点，若沿CE折叠，
则B、D两点重合，求线段AE的长度。
AD
AD
E
E
B
CB
C
.
14
探究交流
AD E
要把读出的信息及时标注在图上哦！
思考：
B
C
1、图中有没有直角三角形？
2、直角三角形中，哪条边长是能确定的？
2.注意：运用勾股定理解决实际问题,关键在
于“找”到合适的直角三角形.
.
20
重要的思想方法
1、方程模型解决几何问题 2、数形结合思想，转化思想 3、几何问题，要养成标注信息的习惯
.
21
检测反馈
《九章算术》中记载了一道“折竹 抵地”的数学问题，意思是：有一根竹 子原来高10尺，竹梢部分折断，尖端落 在地上时，竹尖与竹根距离3尺，问折 断处离地多高？
27
教师寄语
要养成用数学的思维去解读世界 的习惯。
只有不断的思考，才会有新的发 现；只有量数学七年级上册
南 京 长 江 大 桥
.
3
数学来源于生活……
.
4
温故知新
勾股定理（gou-gu theorem)
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
B
ac
C
A
b
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c
几何语言：
∵ 在Rt∆ABC 中，∠C=90°,
∴ a2 + b2 = c2.
温故知新 求下列直角三角形中未知边的长:
鲁教版(五四制)七年级数学上册 《探索勾股定理(1)》参考课件1教学课件
探索勾股定理（1）
话说 勾股定理
公元前1100年《周髀算经》中记载了西周初期，数学 家商高曾与辅佐周成王的周公谈到：如果直角三角形的两 个直角边分别为3和4，则这个直角三角形的斜边为5。这就 是勾股定理或商高定理。
希腊数学家毕达哥拉斯
在国外，相传勾股定理是公元 前500多年时古希腊数学家毕达
哥拉斯首先发现的。
图3-1
利用上面所了解的知识，你能解决出来吗？
（1）观察图3-1
C A
正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积是
9 个单位面积。
B 图3-1
C A
B
正方形B的面积是 9 个单位面积。 正方形C的面积是
图3-2
18 个单位面积。
（图中每个小方格代表一个单位面积）
C A
（2）在图3-2中，正 方形A，B，C中各含 有多少个小方格？它 们的面积各是多少？
角形的边长表示 A
C
正方形的面积吗？
（2）你能发现 直角三角形三边 长度之间存在什 么关系吗？与同 伴进行交流。
B
图3-3
C A
B
图3-4
（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一 个直角三角形，并测量斜边的长度。（2）中 的规律对这个三角形仍然成立吗？
勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b,
∵ 5824625480 742 5476
荧屏对角线大约为74厘米 ∴售货员没搞错
小结
勾股定理的含义
你还有什么疑问？开始所提 出的钢索长度问题，你现在理 解了吗？
作业
一、习题3.1 第1、2、3、4题
二、准备4张全等的直角三角形纸片
a
c
话说 勾股定理
公元前1100年《周髀算经》中记载了西周初期，数学 家商高曾与辅佐周成王的周公谈到：如果直角三角形的两 个直角边分别为3和4，则这个直角三角形的斜边为5。这就 是勾股定理或商高定理。
希腊数学家毕达哥拉斯
在国外，相传勾股定理是公元 前500多年时古希腊数学家毕达
哥拉斯首先发现的。
图3-1
利用上面所了解的知识，你能解决出来吗？
（1）观察图3-1
C A
正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积是
9 个单位面积。
B 图3-1
C A
B
正方形B的面积是 9 个单位面积。 正方形C的面积是
图3-2
18 个单位面积。
（图中每个小方格代表一个单位面积）
C A
（2）在图3-2中，正 方形A，B，C中各含 有多少个小方格？它 们的面积各是多少？
角形的边长表示 A
C
正方形的面积吗？
（2）你能发现 直角三角形三边 长度之间存在什 么关系吗？与同 伴进行交流。
B
图3-3
C A
B
图3-4
（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一 个直角三角形，并测量斜边的长度。（2）中 的规律对这个三角形仍然成立吗？
勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b,
∵ 5824625480 742 5476
荧屏对角线大约为74厘米 ∴售货员没搞错
小结
勾股定理的含义
你还有什么疑问？开始所提 出的钢索长度问题，你现在理 解了吗？
作业
一、习题3.1 第1、2、3、4题
二、准备4张全等的直角三角形纸片
a
c
鲁教版(五四制)七年级上册数学课件3.1探索勾股定理1课件
谢谢大家！
74 5476 ∵ 58 46 5480 荧屏对角线大约为74厘米 ∴售货员没搞错
2 2
2
通过本课时的学习，需要我们掌握： 勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即 a2+b2=c2(a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和 斜边)
作业 P68
习题3.1的1-2题
选做第3-4题
弦
5
时期（约公元前1千多年）有个叫商高
的人对周公说，把一根直尺折成直角，
3
两端连接得一个直角三角形，如果勾
是3，股是4，那么弦等于5.
人们还发现， 在直角三角形中， 勾是6， 62=36, 52=25, 股是8， 弦一定是10； 82=64, 102=100 62+82=102 122=144, 132=169 52+122=132 等.
（图中每个小方格代表1个单位面积）
C A B
Байду номын сангаас
S正方形C 4 1 3 3 18
（单位面积）
2
把正方形C分割成若干 个直角边为整数的三角 形来求
（图中每个小方格代表1个单位面积）
C
S正方形C 1 6 18 2
2
A
B
（单位面积） 把正方形C可以看成边 长为6的正方形面积的 一半
股定理得
9 12 x
2 2
2
x=15, 15+9=24(m).
答：旗杆原来高24 m.
1.（义乌·中考）在直角三角形中，满足条件的三边
长可以是
．(写出一组即可)
【解析】答案不唯一，只要满足式子a2+b2=c2，且是
正整数即可.
鲁教版(五四制)七年级上数学 第三章 勾 股 定 理3.1 探索勾股定理(22张PPT)
所以BC=2.8.
(2)S△ABC=
1 AC×BC=
2
1 ×2.1×2.8=2.94.
2
(3)由三角形的面积公式得 1 AC×BC= 1 AB×CD,
2
2
所以 1 ×2.1×2.8= 1 ×3.5×CD,解得CD=1.68.
2
2
(4)在Rt△ACD中,由勾股定理得:AD2+CD2=AC2, 所以AD2=AC2-CD2=2.12-1.682 =(2.1+1.68)×(2.1-1.68) =3.78×0.42=2×1.89×2×0.21 =22×9×0.21×0.21,所以AD=2×3×0.21=1.26. 所以BD=AB-AD=3.5-1.26=2.24.
AB2=52+122,
则AB=13,
直角三角形的面积S=
斜边的高CD= 60 .
13
1 ×5×12=
2
1 ×13×CD,可得:
2
勾股定理与图形面积 例1.2018·济南历下期中)如图,所有的 四边形都是正方形,所有的三角形都是 直角三角形,其中最大的正方形的边长 为10 cm,正方形A的边长为6 cm、B的边长为5 cm、 C的边长为5 cm,则正方形D的面积为 ( A ) A.14 cm2 B.16 cm2 C.15 cm2 D.9 cm2
知识点一 勾股定理的简单应用 例1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,D为垂 足,AC=2.1,AB=3.5.
求:(1)BC的长. (2)△ABC的面积. (3)斜边AB上的高CD的长. (4)斜边被分成的两部分AD和BD的长.
【自主解答】(1)BC2=AB2-AC2=3.52-2.12=2.82,
例2.如图,在长方形ABCD中,AB=2,AD=4,点E是BC边上的 一点,连接AE,若CE=1,求AE2.
鲁教版七年级上册数学《勾股定理》说课课件(共20张PPT)
a2 b2 c2
（六）盘点收获——谈一谈
学生谈体会. 补充：勾股定理又叫“毕达哥拉 斯”“百牛”“驴桥”定理，数学家华罗 庚建议发射勾股定理的图形与“外星人” 交流等.
【作业布置】
推荐1、收集勾股定理的其它证明方法.
推荐2、利用几何画板探究锐角和钝角三角形 是否也满足勾股定理所说的特点.
板书设计
本节课意在使学生经历勾股定理的发现过程，所以课堂上 尽可能的展示学生的发现，教师要做得仅仅是问题的激发者、 有序探究的组织者、学生错误的澄清者和多角度思考的促进者， 最终使师生成为“数学学习的共同体”.
谢谢聆听
Swire Beverages
20
①通过探究学习体 验解决问题方法的 多样性，培养学生 合作交流的意识和 探索精神; ②通过 了解勾股定理的历 史背景，感受数学 文化，激发学习热 情.
重点难点
教学重点：探索和证明勾股定理 教学难点：勾股定理的发现过程
学情分析
知识学习的必要性
几何定理的学习，学生往 往只重视应用，忽视探索、研 究、发现定理的过程，这样必 然会导致对知识一知半解，知 其然，却不知所以然.通过本 节课的学习，纠正学生的学习 误区，使学生在探索活动中真 正收获到知识、技能和方法.
欣赏图片说一说 探索发现猜一猜 归纳总结写一写 大胆质疑画一画 动手动脑拼一拼 盘点收获谈一谈
SⅠ+ SⅡ= S
学
a2 b2 c2
生 活
勾股定理… 动
区
设计反思
这节课是一节几何定理探索课，在设计时，我依据课程 标准、教材特点、遵循学生的认知规律，由浅入深、由特殊到 一般的提出问题，把学生置于问题的提出过程；通过合作探究， 把学生置于结论的发现过程；最后，通过猜想证明，把学生置 于知识体系的构建过程.
探索勾股定理课件
1
2
D
你是否还有其他的方法
探索勾股定理
18
小结
谈谈你这节课的收获！
探索勾股定理
19
作业
必做：如图所示，Rt△ABC中的AB边有多长？
6 8
选做：
如图，BC长为3cm，AB长为4cm，AF长 为12cm，求正方形CDEF的面积。
探索勾股定理
20
探索勾股定理
21
鲁教版数学七年级上册
第三章 勾股定理
假如我们一旦和外星人见面，该使用
什么语言呢？使用“符号语言”与外星人
联系是最经济和最有效的，外星人也最可
能使用这种语言,并且最可能是数学语言。
中国数学家华罗庚认为，我们可以用两个
图形作为与外星人交谈的媒介，一个是
“数”，另一个是“数形关系”（勾股定
理）。因为这种自然图形所具备的“数形
“拼”
将几个小块拼成 一个正方形，如 图中两块红色 （或绿色）可拼 成一个小正方形
探索勾股定理
上一页
下一页
9
C A
B
对于图1-2中的 直角三角形， 是否还满足这 样的关系？你 又是如何计算 C 的呢？
A B
图1-2
如果直角三角形的两直 角边分别是1.6个单位长 度和2.4个单位长度，上 面所猜想的数量关系还 成立吗？说明你的理由。
关系”在探整索勾个股定宇理 宙中是普遍的。
1
第一节探索勾股定理 第一课时
探索勾股定理
2
同学们，在我们美丽的地球王国 上，原始森林，参天古树带给我们神 秘的遐想；绿树成荫，微风习习，给 我们以美的享受。你知道吗？在古老 的数学王国，有一种树木它很奇妙， 生长速度大的惊人，它是什么呢？下 面让我们带着这个疑问一同到数学王 国去欣赏吧！
探索勾股定理ppt课件
星人联系的信号.
欣赏下面一幅美丽的图案，仔细观察，你能发现这 幅图中的奥秘吗？带着疑问我们来一步认识
做一做 观察正方形瓷砖铺成的地面. （1）正方形P的面积是 1 平方厘米； （2）正方形Q的面积是 1 平方厘米；
AR P
CQ B
（3）正方形R的面积是 2 平方厘米.
左图 4
9
13
右图 16
9
25
分析表中数据，你发现了什么？
A的面积
左图
4
右图 16
B的面积 9 9
C的面积 13 25
结论 以直角三角形两直角边为边长的小 正方形的面积的和，等于以斜边为边长 的正方形的面积.
总结归纳
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方．
几何语言 ∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°， ∴.AC2+BC2=AB2 （勾股定理）
五、分层作业 课后思考
基础训练：1、小明的妈妈买了一部29in的电 视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只 有58cm长和46cm宽，他觉得一定是销售员搞错 了。你同意他的想法吗？你能解释这是为什么 吗？
2、求下列图中未知数x,y的值
提高训练：1.今有池方一丈，葭生其中央，出水一 尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？译： 有一个一丈大小的池子，中央长有芦苇，高出水面 一尺长.把芦苇拽向岸边，刚好与到岸.请问水有多 深，芦苇有多高？
小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角 三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“ 那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道 ：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无 法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回 家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演 算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了 他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十 任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、 明了的证明，就把这一证法称为“总统。”证法。
欣赏下面一幅美丽的图案，仔细观察，你能发现这 幅图中的奥秘吗？带着疑问我们来一步认识
做一做 观察正方形瓷砖铺成的地面. （1）正方形P的面积是 1 平方厘米； （2）正方形Q的面积是 1 平方厘米；
AR P
CQ B
（3）正方形R的面积是 2 平方厘米.
左图 4
9
13
右图 16
9
25
分析表中数据，你发现了什么？
A的面积
左图
4
右图 16
B的面积 9 9
C的面积 13 25
结论 以直角三角形两直角边为边长的小 正方形的面积的和，等于以斜边为边长 的正方形的面积.
总结归纳
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方．
几何语言 ∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°， ∴.AC2+BC2=AB2 （勾股定理）
五、分层作业 课后思考
基础训练：1、小明的妈妈买了一部29in的电 视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只 有58cm长和46cm宽，他觉得一定是销售员搞错 了。你同意他的想法吗？你能解释这是为什么 吗？
2、求下列图中未知数x,y的值
提高训练：1.今有池方一丈，葭生其中央，出水一 尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？译： 有一个一丈大小的池子，中央长有芦苇，高出水面 一尺长.把芦苇拽向岸边，刚好与到岸.请问水有多 深，芦苇有多高？
小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角 三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“ 那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道 ：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无 法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回 家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演 算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了 他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十 任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、 明了的证明，就把这一证法称为“总统。”证法。
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Copyright 2004-2009 版 米的墙上 一高为2.5米的木梯 架在高为2.4米的墙上 米的木梯,架在高为 (如图 这时梯脚与墙的距离是多少 如图),这时梯脚与墙的距离是多少 如图 这时梯脚与墙的距离是多少? A
C
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B
图2—1
A的面积 B的面积 C的面积 的面积+ 的面积 的面积 的面积= 的面积
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（2）观察图 ）观察图2—2： ：
C A B 图2—2
正方形A中含有 正方形 中含有 4 个小 方格， 方格，即A的面积是 4 的面积是 个单位面积； 个单位面积； 正方形B中含有 正方形 中含有 4 个小 方格， 方格，即B的面积是 4 的面积是 个单位面积； 个单位面积； 正方形C中含有 8 个小 正方形 中含有 方格， 方格，即C的面积是 8 的面积是 个单位面积； 个单位面积；
2.1探索勾股定理
a c b
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a2+b2=c2
（1）观察图 ）观察图2—1： ：
C A
正方形A中含有 正方形 中含有 9 个小 方格， 方格，即A的面积是 9 的面积是 个单位面积； 个单位面积； 正方形B中含有 正方形 中含有 9 个小 方格， 方格，即B的面积是 9 的面积是 个单位面积； 个单位面积； 正方形C中含有 18 个小 正方形 中含有 方格， 方格，即C的面积是 18 的面积是 个单位面积； 个单位面积；
c b
想一想： 想一想：
小明妈妈买了一部29 小明妈妈买了一部 英寸（ 厘米 厘米） 英寸（74厘米）的电视 机，小明量了电视机的 屏幕后， 屏幕后，发现屏幕只有 58厘米长和 厘米宽， 厘米长和46厘米宽 厘米长和 厘米宽， 他觉得一定是售货员搞 错了。 错了。你同意他的想法 吗？你能解释这是为什 么吗？ 么吗？
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作业： 作业： 1. 2.1的3题及没做完的补充练习题 的 题及没做完的补充练习题 2. 上网查有关勾股定理的历史资料
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B
小结： 小结： 1、利用数格子的方法，探索了以直角三角形三边 、利用数格子的方法， 为边长的正方形面积的关系（ 为边长的正方形面积的关系（即两个小正方形的 面积之和等于大正方形的面积） 面积之和等于大正方形的面积） 2、探索了直角三角形的三边关系，得到勾股定理： 、探索了直角三角形的三边关系，得到勾股定理： 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 平方
解：由勾股定理得： 由勾股定理得： x2=62+82 x2 =36+64 x2 =100 ∵x>0 ∴ x=10
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∵ x2+52=132 ∴ x2=132-52 x2 =169-25 x2 =144 ∵x>0 ∴ x=12
3、在直角三角形ABC中, ∠C=900, 、在直角三角形 中 (1)已知 a=5, b=12, 求c; 已知: 已知 (2)已知 b=6,c=10 , 求a; 已知: 已知 (3)已知 a=7, c=25, 求b. 已知: 已知 4 、一直角三角形的一直角边长为 另两条边 一直角三角形的一直角边长为7, 长为两个连续整数,求这个直角三角形的周长 求这个直角三角形的周长. 长为两个连续整数 求这个直角三角形的周长 5 、如果一个直角三角形的三条边长是三个连续 整数,求这个直角三角形各边的长 求这个直角三角形各边的长. 整数 求这个直角三角形各边的长
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勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为 ，那么 斜边为c， 如果直角三角形两直角边分别为 斜边为 a2+b2=c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
弦 勾 a 股
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A的面积（单 B的面积（单 C的面积（单 位面积） 位面积） 位面积） 图1—3 图1—3
16 4
9 9
25 13
你是怎样得到上面的结果的？ 你是怎样得到上面的结果的？与同伴交流 （2）三个正方形 、B、C的面积之间有什么 ）三个正方形A、 、 的面积之间有什么 关系？ 关系？ A的面积 的面积 的面积 的面积+B的面积 的面积 的面积=C的面积
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议一议： 议一议： （1）你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？ ）你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？ （2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关 ） 系吗？ 系吗？
两直角边的平方和等于斜边的平方
厘米、 厘米为直角边作出一个直角三 （3）分别以 厘米、12厘米为直角边作出一个直角三 ）分别以5厘米 角形，并测量斜边的长度；（ ；（2） 角形，并测量斜边的长度；（ ）中的规律对这个三角 形仍然成立吗？ 形仍然成立吗？
A的面积 B的面积 C的面积 的面积+ 的面积 的面积 的面积= 的面积
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做一做： 做一做：
C B A B
图2—3
（1）观察图 ）观察图2—3、 、 图2—4，并填写下 ， 一页的表格； 一页的表格；
C A
图2—4
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C c b a A
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A的面积 的面积 的面积 的面积+B的面积 的面积 的面积=C的面积
B
a2+b2=c2
读一读
勾股世界
我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三多年前， 我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三多年前， 周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角三角形， 周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角三角形， 如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五。 勾三、 如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五。即“勾三、 股四、弦五” 它被记载于我国古代著名的数学著作《 股四、弦五”。它被记载于我国古代著名的数学著作《周 髀算经》 在这本书中的另一处， 髀算经》中。在这本书中的另一处，还记载了勾股定理的 一般形式。 一般形式。 1945年，人们在研究古巴比伦人遗留下的一块数学泥 年 板时，惊讶地发现上面竟然刻有15组能构成直角三角形三 板时，惊讶地发现上面竟然刻有 组能构成直角三角形三 边的数，其年代远在商高之前。 边的数，其年代远在商高之前。 相传二千多年前， 相传二千多年前，希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了 勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 定理。为了纪念毕达哥拉斯学派， 定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了 年希腊曾经发行了 一枚纪念邮票，你能看出邮票上的图案所反映的内容吗？ 一枚纪念邮票，你能看出邮票上的图案所反映的内容吗？
46厘米 58厘米
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练习： 练习： 1、求下列图中字母所表示的正方形的面积 、
A =625 225
81 B =144
400
225
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2、求出下列直角三角形中未知边的长度 、
x 6 8 5 13 x
C
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B
图2—1
A的面积 B的面积 C的面积 的面积+ 的面积 的面积 的面积= 的面积
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（2）观察图 ）观察图2—2： ：
C A B 图2—2
正方形A中含有 正方形 中含有 4 个小 方格， 方格，即A的面积是 4 的面积是 个单位面积； 个单位面积； 正方形B中含有 正方形 中含有 4 个小 方格， 方格，即B的面积是 4 的面积是 个单位面积； 个单位面积； 正方形C中含有 8 个小 正方形 中含有 方格， 方格，即C的面积是 8 的面积是 个单位面积； 个单位面积；
2.1探索勾股定理
a c b
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a2+b2=c2
（1）观察图 ）观察图2—1： ：
C A
正方形A中含有 正方形 中含有 9 个小 方格， 方格，即A的面积是 9 的面积是 个单位面积； 个单位面积； 正方形B中含有 正方形 中含有 9 个小 方格， 方格，即B的面积是 9 的面积是 个单位面积； 个单位面积； 正方形C中含有 18 个小 正方形 中含有 方格， 方格，即C的面积是 18 的面积是 个单位面积； 个单位面积；
c b
想一想： 想一想：
小明妈妈买了一部29 小明妈妈买了一部 英寸（ 厘米 厘米） 英寸（74厘米）的电视 机，小明量了电视机的 屏幕后， 屏幕后，发现屏幕只有 58厘米长和 厘米宽， 厘米长和46厘米宽 厘米长和 厘米宽， 他觉得一定是售货员搞 错了。 错了。你同意他的想法 吗？你能解释这是为什 么吗？ 么吗？
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作业： 作业： 1. 2.1的3题及没做完的补充练习题 的 题及没做完的补充练习题 2. 上网查有关勾股定理的历史资料
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B
小结： 小结： 1、利用数格子的方法，探索了以直角三角形三边 、利用数格子的方法， 为边长的正方形面积的关系（ 为边长的正方形面积的关系（即两个小正方形的 面积之和等于大正方形的面积） 面积之和等于大正方形的面积） 2、探索了直角三角形的三边关系，得到勾股定理： 、探索了直角三角形的三边关系，得到勾股定理： 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 平方
解：由勾股定理得： 由勾股定理得： x2=62+82 x2 =36+64 x2 =100 ∵x>0 ∴ x=10
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∵ x2+52=132 ∴ x2=132-52 x2 =169-25 x2 =144 ∵x>0 ∴ x=12
3、在直角三角形ABC中, ∠C=900, 、在直角三角形 中 (1)已知 a=5, b=12, 求c; 已知: 已知 (2)已知 b=6,c=10 , 求a; 已知: 已知 (3)已知 a=7, c=25, 求b. 已知: 已知 4 、一直角三角形的一直角边长为 另两条边 一直角三角形的一直角边长为7, 长为两个连续整数,求这个直角三角形的周长 求这个直角三角形的周长. 长为两个连续整数 求这个直角三角形的周长 5 、如果一个直角三角形的三条边长是三个连续 整数,求这个直角三角形各边的长 求这个直角三角形各边的长. 整数 求这个直角三角形各边的长
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勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为 ，那么 斜边为c， 如果直角三角形两直角边分别为 斜边为 a2+b2=c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
弦 勾 a 股
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A的面积（单 B的面积（单 C的面积（单 位面积） 位面积） 位面积） 图1—3 图1—3
16 4
9 9
25 13
你是怎样得到上面的结果的？ 你是怎样得到上面的结果的？与同伴交流 （2）三个正方形 、B、C的面积之间有什么 ）三个正方形A、 、 的面积之间有什么 关系？ 关系？ A的面积 的面积 的面积 的面积+B的面积 的面积 的面积=C的面积
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议一议： 议一议： （1）你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？ ）你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？ （2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关 ） 系吗？ 系吗？
两直角边的平方和等于斜边的平方
厘米、 厘米为直角边作出一个直角三 （3）分别以 厘米、12厘米为直角边作出一个直角三 ）分别以5厘米 角形，并测量斜边的长度；（ ；（2） 角形，并测量斜边的长度；（ ）中的规律对这个三角 形仍然成立吗？ 形仍然成立吗？
A的面积 B的面积 C的面积 的面积+ 的面积 的面积 的面积= 的面积
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做一做： 做一做：
C B A B
图2—3
（1）观察图 ）观察图2—3、 、 图2—4，并填写下 ， 一页的表格； 一页的表格；
C A
图2—4
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C c b a A
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A的面积 的面积 的面积 的面积+B的面积 的面积 的面积=C的面积
B
a2+b2=c2
读一读
勾股世界
我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三多年前， 我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三多年前， 周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角三角形， 周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角三角形， 如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五。 勾三、 如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五。即“勾三、 股四、弦五” 它被记载于我国古代著名的数学著作《 股四、弦五”。它被记载于我国古代著名的数学著作《周 髀算经》 在这本书中的另一处， 髀算经》中。在这本书中的另一处，还记载了勾股定理的 一般形式。 一般形式。 1945年，人们在研究古巴比伦人遗留下的一块数学泥 年 板时，惊讶地发现上面竟然刻有15组能构成直角三角形三 板时，惊讶地发现上面竟然刻有 组能构成直角三角形三 边的数，其年代远在商高之前。 边的数，其年代远在商高之前。 相传二千多年前， 相传二千多年前，希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了 勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 定理。为了纪念毕达哥拉斯学派， 定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了 年希腊曾经发行了 一枚纪念邮票，你能看出邮票上的图案所反映的内容吗？ 一枚纪念邮票，你能看出邮票上的图案所反映的内容吗？
46厘米 58厘米
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练习： 练习： 1、求下列图中字母所表示的正方形的面积 、
A =625 225
81 B =144
400
225
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2、求出下列直角三角形中未知边的长度 、
x 6 8 5 13 x