电势及其计算

b •
Aab q0
n
b
a
E dl Aab1 Aab2
a
L •
qi q0 1 1 4 r r i 1 0 ia ib
可见静电力做功只与检验电荷起点，终点的位置有 关，与所通过的路径无关.静电场的这一特性称静电场
的保守性。静电场是保守场。
例 已知
求 （2，3，0）点的电场强度。 解
小 结
r r 一.静电场环路定理： LE dl 0
静电场强沿任意闭合路径的线积分为零.反映了 静电场是保守力场，是有势场. 二.电势、电势能、电势差
零势点
电势能： Wa q0
r r E dl
a
r r 电 势： U a E dl
r P
解题步骤：
①、分析电场分布，选择 适当模型
R
x
②、建立坐标系确定零势点
③、写出积分元，积分求解
以无穷远处作为电势零点，取电荷元 dq dU 4 0r
dq如图
U P dU P
2 R
0
dl 4 0 r

4 0
1

q R2 x 2
方法2、定义法
解题步骤： R ①、分析电场分布, 确定零电势点 ②、 建立坐标系， 求出电场中的电场分布 ③、确定积分路径，积分求解
a a
电势叠加法：
U dU
dq 4 0 r
U
i 1
n
qi 4 0 ri
一、电势定义法（线积分法）
场源分布
E分布
令Ub 0
选择积分路径
Ua
例一
求点电荷 q 电场中电势分布。
由电势定义式，取 dl 沿r 方向径向积分，
解：取无限远处作为电势零点。点电荷电场为 dl q ˆ E r 2 4 0 r
零势点 a
r r 电势差： U ab U a U b E dl
b a
三. 电势的计算（两种基本方法） 1.场强积分法（由定义求）
r 〈1〉确定 E 分布
〈2〉选零势点和便于计算的积分路径 选取零势点的原则：使场中电势分布有确定值 〈3〉由电势定义
零势点
Ua

a
r r 零势点 E dl E cos dl 计算 U a
五.典型带电体的电势分布
1. 点电荷 q 场中的电势分布： U 2. 均匀带电球面场中电势分布：
q 40 r
U内
q 40 R
恒量
1 U外 40 r r
q
3.均匀带电圆环轴线上的电势分布：
q U 2 2 12 4 0 ( R x )
1、在边长为 a 的等边三角形三个顶点上，放置三个正的点电 荷，电量分别为q
U
P
4 0 ri
qi
点电荷系场中任一点的电势等于各个点电荷电场在同一场 点的电势的代数和。—电势叠加原理 dq U dU 2. 对电荷连续分布的带电体,有 4 0 r
（1）积分对场源电荷所在空间进行；
（2）电势零点在无限远处； （3）电势叠加为标量叠加。
[例2] 求一均匀带电圆环轴线上一点的电势。 已知：q、R、X dq 方法1：叠加法
2q 3q ，
若将另一个正的点电荷Q 从
无穷远处移至三角形的中心 O 处，外力所做的功为：
2 3 qQ ( A) 4 0 a
4 3 qQ ( B) 4 0 a
8 3 qQ 6 3qQ ( D) (C ) 4 0 a 4 0 a
q
a
2q
rO a r r
a
3q
2、如图：CDEF 为一矩形，边长分别为 L 和 2L ，在 DC 的 延长线上CA = L 处的 A 点有点电荷 +q ，在 CF 的中点 B 有点电荷 - q ，若使单位点电荷从C 点沿 CDEF 路径移 动到 F 点，则电场力所做的功等于： q 5 1 q 1 5 E D ( A) ( B) 4 0 L 5 L 4 0 L 5 L L -q L F q 3 1 q 5 1 C B L (C ) ( D) 4 0 L 4 0 L 5 5 A +q
Wa Wb Wb Wa Aab
b a
q0 E dl
Wa、Wb为q0在a、b两点的电势能。
当场源电荷为有限带电体时，通常选取无限远处为电势能 零点。取 b 点为无限远处，则 W W 0
b
试验电荷q0在a点处的电势能为W A q E a a 0 dl
§8.5 静电场的保守性
描述电场状态
U 等势面
E 电力线
b
一、静电场的保守性（保守力场） （1）点电荷电场
设点电荷q 固定于某处，另一点 电荷 q0 在 q产生的电场中从点 a 经任 意路径 L 移动到点 b ,在 L 上任取微 小位移 dl ，该处场强为 E ，则电场 力对 q0 所作的元功为 q
二、场强环流定理
单位正试验电荷沿闭合路径a cbf a 移动回到出 发点时，电场力所作的功为 b E dl E dl E dl 0 acbfa acb bfa L1 静止电荷的电场： LE dl 0 L2
静电场是保守场，为有源无旋场。
电势的 性质：
10.Ua客观反映了静电场力作功的性质，与q0无关。 20.Ua是标量，但有“+”，“一” Ｕa的“+”、“一”，决定于场电荷q的“+”、“一” ， 而与q0的正、负无关。
30.Ua具有相对性：电势零点的选取。
§8.6
电势的计算
已知场源分布，求空间的电势分布。方法有二： b 电势定义法（线积分法）： U a E dl , U a E dl
+
+ ++ ++++++
1．等势面画法规定 使电场中任何两个相邻 等势面的电势差都相等。
2.等势面的性质: (1) 等势面 (2)电力线指向电势降的方向 (3) 等势面的疏密反映了电 场强度的大小
二. 电势与电场强度的关系 取两个相邻的等势面，把点电荷从P移到Q，电场力做功为：
dn
du El dl
a
路径上各点的总场强，若路径上各 段的表达式不同，应分段积分
2. 叠加法 〈1〉将带电体划分为电荷元 dq 〈2〉选零势点，写出 dq 在场点的电势 d U
〈3〉由叠加原理：U dU
四.电场强度与电势的关系
或
U dU
r E grad U
r 给出又一种求 E 的方法：
r U r U r U r E ( i j k) x y z
E

q 4 0 r
0
2
rR
r R
U
选无限远为电势零点 U 0
O
R
r
沿径向积分，得
r R时，U

r
E dl
r
q 4 0 r
2
dr
q 4 0 r
与点电荷电势相同。
r R时，Uwk.baidu.com
R
r
E内 dl E外 dl
dr r dr
rb
L
r
dl
E
ra
a
dA F dl q0 E dl q0 Edl cos
移动有限路程L 时，总功为
dl

E
Aab q0 Edl cos q0
L
q 4 0 r
2
L
dl cos
qq0 4 0

rb
qx 4 0 ( x R )
2 2 3 2
P x x
轴线上的场强为 以无穷远处作为电势零点，
E
U P P

r r E dl p
qx (x R )
2 2 3 2
dx
q 2 2 12 40 (x R )
§8.7 场强与电势的关系
一. 等势面 电场中电势相等的点连成的面称为等势面。
运动电荷的电场： E dl 0
L
a
运动电荷的电场不是保守场，为有源有旋场。
§8.5 电势能、电势和电势差
一、电势能
静电场是保守场，可引进静电势能的概念。用试验电荷 q0 在静电场中从 a 点移止 b 点电场力作功 Aab ，作为试验电荷 q0 在 a 、b 两点处电势能改变的量度。即
lE
二、电势叠加法
n 1. 对点电荷系，场强满足场强叠加原理，即 E Ei
所以点电荷系电场中任一点的电势为
i 1
n n n n E dl Ei dl Ei dl U i P i 1 i 1 P i 1 i 1
Wa Wb Wb Wa Aab
b
a
q0 E dl
二、电势
比值Wa q0与q0 无关，可以描述 a点处场的性质， 称为a点电势，以U a 表示。
Wa Ua E dl a q0
即电场中 a 点的电势，在量值上等于单位正电荷在该点 具有的电势能；或等于单位正电荷从 a 点沿任意路径移到电 势零点处电场力所作的功。
R
0
q 4 0 r
2
R
dr
q 4 0 R
球面内各点电势相等，均等于球面上各点电势。
由图，在r R的球壳处，电势是连续 变化的， 而场强却存在跃变。且 在E 0处，U 0常数。
[例3]（8-23）无限长均匀带电圆柱面，半径为R，单位长度上的 电量为。计算此圆柱面内、外任一点的电势。 解： 设柱面上电势为零 r<R：E内=0 r>R : E外 2 0r
（2）电势值与该点距场源的距离有关。在正电荷场中，
离点电荷越远电势越低；在负电荷场中，离点电荷越 远电势越高。
例二 求均匀带电球面电场中任一点 P 处的电 势。设球面半径为 R ，总带电量为 q 。
解：由高斯定理求得均匀 带电球面的场强分布为
R O
q 4 0 R
ra
dr qq0 1 1 2 r 4 0 ra rb
q0 式中 dr = dl cosθ。在点电荷电场中，电场力对试验 电荷所作的功，只取决与试验电荷及其始末位置， 与路径无关。
（2）静止的点电荷系、电荷连续分布带电体
点电荷系q1、q2、…的电场中，移动q0，有

λ
为等势区！
R R E dr ln 2 0 r 外
U内 E内 dr 0
r
R
U外

R
r l
若选无限远处为零势点
U外
r
r
E外 dr ln 20 r

无限大带 电平面的零 势点如何选
？
r
此时无法描述空间各点电势的差异！！ 对无限长均匀带电直线，通常取何处为电势零点？
a
即试验电荷 q0在电场中某处的电势能 值，等于将 q0由该处移止 无限远处(势能零点 )电场力所作的功。
说明：
• 电势能是属于系统的，为场源电荷与试验电荷所共有。是试 验电荷与电场之间的相互作用能。 • 电势能的量值与电势能零点的选择有关是相对量。 对有限的带电体，通常选无穷远处为静电势能的零点，在实 际问题中有时选择地球表面为零势能。 Wa Wb ，电势能减少； 当 A 0 • 当 Aab 0 时，电场力作正功， ab 时，电场力作负功， ，电势能增加。 Wa Wb
E
r
P
q 与点电荷相距为 r的P点的电势为 q q q ˆ U P E dl r dl dr rP rP 4 r 2 r 4 r 2 4 0 r 0 0
（1）电势值与电荷正负有关。
r 0
q 0,U 0; q0,U 0.
电场强度的沿任意方向的投影大小等于沿 过该点任意方向等势面上电势的变化率

u u u j k ) grad( u ) 在直角坐标系中： E ( i x y z
电场中某点的场强等于沿该点法线方向电势空间变 化率（电势函数方向导数）的负值。
例P94页12.18