2021高考数学最新模拟预测试题含答案
2021年高考数学全真模拟预测试卷附答案
那么 面 ， 面 ………………………..…3分
那么 .又 ， ………………………..…4分
所以 面 ………………………..…5分
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕 面 ，
得 ………………………..…6分
所以
所以 ………………………..…7分
所以 ………………………..…8分
设所求多面体的体积为
那么 ………………………..…12分
21．〔本小题总分值1 2分〕
函数f(x)=mx- -lnx，m∈R．函数g(x)= +lnx在[1，+∞〕上为增函数，
且0∈[0， 〕．
(I)当m=3时，求f(x)在点P〔1，f(1))处的切线方程；
(Ⅱ)求 的取值；
(Ⅲ)假设h(x)=f(x)-g(x)在其定义域上为单调函数，求m的取值范围．
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，那么按所做的第一题记分．
22．【选修4-1：几何证明选讲】〔本小题总分值10分〕
如图，线段AC为⊙O 的直径，P为⊙O的切线，切点为
A，B为⊙O上一点，且BC∥PO．
(I)求证：PB为⊙O的切线；
(Ⅱ)假设⊙O的半径为1，PA =3，求BC的长．
23．【选修4-4:坐标系与参数方程】〔本小题总分值10分〕
在直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为 〔 是参数〕，圆C2的参数
第I卷〔选择题共60分〕
【一】选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一个
选项是符合题目要求的．
1．全集U=R，集合A={x|x<一1或x>4〕，B={x|-2≤x≤3〕，那么阴影部分表示的集合为
A、{x|-2≤x<4}B、{x|x≤3或x≥4}
最新2021年高考数学全真模拟预测试题含答案
第I卷选择题（共60分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1.已知集合，，则A. B. C. D.2.欧拉公式为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”。
根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.一次考试中，某班学生的数学成绩近似服从正态分布，则该班数学成绩的及格率可估计为（成绩达到分为及格）（参考数据：）A. B. C. D.4.已知圈经过原点且圆心在轴正半轴上，经过点且倾斜角为的直线与圆相切于点，点在轴上的射影为点，设点为圆上的任意一点，则A. B. C. D.5.若，其中，则A. B. C. D.6.《算法统宗》中有一图形称为“方五斜七图”，注曰：方五斜七者此乃言其大略矣，内方五尺外方七尺有奇．实际上，这是一种开平方的近似计算，即用 7 近似表示，当内方的边长为5 时，外方的边长为，略大于7．如图所示，在外方内随机取一点，则此点取自内方的概率为A. B. C. D.7.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的表面中，三个梯形的面积之和为A. 40B. 43C. 46D. 478.若()12nx x-的展开式中3x 的系数为80，其中n 为正整数，则()12nx x-的展开式中各项系数的绝对值之和为A. 32B. 81C. 243D. 2569.已知实数x，y满足，如果目标函数的最小值为，则实数A. 7B. 5C. 4D. 110.关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，最著名的属普丰实验和查理实验受其启发，我们可以设计一个算法框图来估计的值如图若电脑输出的的值为29，那么可以估计的值约为A. B. C. D.11.函数的图象大致为A. B. C. D.12.已知双曲线的左、右两个焦点分别为，以线段为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，若，该双曲线的离心率为，则A. 2B. 3C.D.第II 卷 非选择题（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
最新2021年高考数学全真模拟预测试卷含答案 (1)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将你认为是正确的选项前面的代号填入答题卷相应的空格中。
1.设2:x x f →是集合A 到B 的映射，如果B={1，2}，则A ∩B 只可能是( )A.φ或{1}B.{1}C.φ或{2}D.φ或{1}或{2}2.如果复数mii m ++12是纯虚数，那么实数m 等于( )A.-1B.0C.0或1D.0或-13.已知α、β是不同的两个平面，直线α⊂a ，直线β⊂b ，命题p ：a 与b 没有公共点；命题q ：βα//，则p 是q 的( )A.充分不必要的条件B.必要不充分的条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件4.已知直线02 :=+-m y x l 按向量)3 2(-=，a 平移后得到的直线1l 与圆5)1()2(22=++-y x 相切，那么m 的值为( )A.9或－1B.5或－5C.－7或7D.3或13 5.在R 上定义运算⊗：)1(y x y x -=⊗，若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围是( )A.()1 1，-B.()2 0，C.)23 21(，- D.)2123(，- 6.已知双曲线的中心在原点，离心率为3，若它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，则此双曲线与抛物线x y 42=的交点到抛物线焦点的距离为( )A.21B.21C.6 D.47.若()m x x f ++=)cos(2ϕω，对任意实数t 都有)()4(t f t f -=+π，且1)8(-=πf ，则实数m 的值等于( )A.±1B.±3C.－3或1D.－1或38.设)(x f '是函数)(x f 的导函数，)(x f y '=的图象如图所示，则)(x f y =的图象最有可能的是( )9.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同的坐法种数是（ ）A.234B.346C.350D.363 10.若1)11(21lim =---→x b x a x ,则常数b a ,、的值为（） A.4,2=-=b a ，B.4,2-==b a ，C.4,2-=-=b a ，D.4,2==b a11.当x 、y 满足条件1<+y x 时，变量3-=y xu 的取值范围是( ) A.)3 3(，- B.)31 31(，- C.]3131[，- D.)31 0(0) 31(，， - 12.如果数列{}n a 满足21=a ，12=a ，且1111++---=-n n n n n n a a a a a a (n ≥2)，则这个数列的第10项等于( )A.1021B.921C.101D.51二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。
2021年高考数学全真模拟预测试卷(解析版)
一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝R，A＝{x|（x+1）（x﹣2）＞0}，B＝{x|2x≤2}，则（∁UA）∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣1≤x≤1}D．{x|x≤﹣1} 2．已知i为虚数单位，复数的共轭复数为（）A．1+iB．1﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i3．已知向量（﹣2，m），（1，2），•（2）．则实数m的值为（）A．﹣1B．C．D．14．2020年1月，某公同通过问卷的形式调查影响员工积极性的六项关健指标：绩效奖励、排班制度、激励措施、工作环境、人际关系、晋升渠道．在确定各项指标权重结果后，进得而得到指标重要性分所象限图（如图）．若客户服务中心从中任意抽取不同的两项进行分析，则这两项来自影响稍弱区的概率为（）A．B．C．D．5．2020年前为了支授期北省对新冠病毒肺炎的治疗，某市卫健要考在要本市委派医疗队的人员时，有六个人员尚未确定，这大个人分别是呼吸科主治医师甲，呼吸科主治医师乙，护士丙、护士丁，影像民师小李和传料医小周．综合考虑各种因素：（1）甲和乙至少要参加一个；（2）如果丙不能参加或丁不能参加，则甲也不能参加；（3）如果丙不能参加，那么小周也不能参加；（4）只有小李参加，乙之才能参加．卫健委最终定不让小李参加医疗队，由此可以推出（）A．无法确定小周是否参加医庁队B．甲没参加医疗队C．无法确定两名护护士是否参医疗队D．乙参加了医疗队6．已知函数图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的倍后，得到的函数在[0，2π]上恰有5个不同的x值，使其取到最值，则正实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．7．已知定义在R上的奇函数f（x）＝ex﹣ke﹣x+2sinx，则的大小关系为（）A．c＜b＜aB．a＜b＜cC．c＜a＜bD．a＜c＜b8．已知O为等腰直角三角形POD的直角顶点，以OP为旋转轴旋转一周得到几何体，CD是底面圆O上的弦，△COD为等边三角形，则异面直线OC与PD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．已知椭圆C1：的左，右焦点分别为F1，F2，抛物线的准线l过点F1，设P是直线l与椭圆C1的交点，Q是线段PF2与抛物线C2的一个交点，则|QF2|＝（）A．B．C．D．10．函数f（x）＝2+ksinx在（0，2）处的切线l也是函数y＝x3﹣x2﹣3x﹣1图象的一条切线，则k＝（）A．1B．﹣1C．2D．﹣211．若，sinα+cosα＝a，sinβ+cosβ＝b，则以下结论正确的个数是（）①ab≥1；②ab≤2；③2a﹣b的最大值为；④2a﹣b的最大值为．A．0B．1C．2D．312．设双曲线的左，右焦点分别为F1、F2，过F1的直线l分别与双曲线左右两支交于M，N两点，以MN为直径的圆过F2，且•2，则直线l的斜率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．2020年2月17开始，为实现“停课不停学”，张老师每天晚上20：05～20：50时间通过班群直播的形式为学生们在线答疑，某天一位高三学生在19：00至20：30之间的某个时刻加入群聊，则他等待直播的时间不超过30分钟的概率是．14．已知函数关于x＝1对称，则f（2x﹣2）≥f（0）的解集为．15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c周长为5，bcosC＝（2a﹣c）cosB，则∠B＝，若b＝2，则△ABC的面积为．16．在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六，八是中国人的吉利数字，所以好多器都做成六棱形和八棱形，数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒，底面边长为6cm，高为18cm（底部及筒壁厚度忽略不计），一长度为cm的圆铁棒l（粗细忽略不计）斜放在笔筒内部，l的一端置于正六柱某一侧棱的展端，另一端置于和该侧棱正对的侧棱上．一位小朋友玩要时，向笔筒内注水，恰好将圆铁棒淹没，又将一个圆球放在笔筒口，球面又恰好接触水面，则球的表面积为cm2．三．解答：解答写出文说明、证明过程或演算步骤．17．已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和Sn，S3＝15，a1，a4，a13成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列的前n项和Tn大于2020的最小自然数n．18．如图已知Rt△PCD、PD⊥CD，A，B分別为PD，PC的中点PD ＝2DC＝2，将△PAB沿AB折起，得到四棱锥P'﹣ABCD，E为P'D的中点．（1）证明：P'D⊥平面ABE；（2）当正视图方向与向量的方向相同时，P'﹣ABCD的正视图的面积为，求四棱锥P'﹣ABCD的体积．19．2020年春季，某出租汽车公同决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现有A，B两款车型，根据以这往这两种租车车型的数据，得到两款出租车型使用寿命频数表如表：使用寿命年数5年 6 7年8年总计A型出租车（辆）10 20 45 25 100B型出租车（辆）15 35 40 10 100（1）填写下表，并判断是否有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关？使用寿不低于7年总计使用秀命不高于6年A型B型总计（2）司机师傅小李准备在一辆开了4年的A型车和一辆开了4年的B型车中选择、为了尽最大可能实现3年内（含3年）不换车，试通过计算说明，他应如何选择．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．参考数据：p（K2≥0.05 0.010 0.001k0）k0 3.841 6.635 10.82820．已知椭圆与过其右焦点F（1，0）的直线交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，且直线l与直线OD的斜率之积为．（1）求C的方程；（2）设椭圆的左顶点为M，kMA，kMB如分别表示直线MA，MB的斜率，求证．21．已知函数f（x）＝xlnx，函数g（x）＝kx﹣cosx在点处的切线平行于x轴．（1）求函数f（x）的极值；（2）讨论函数F（x）＝g（x）﹣f（x）的零点的个数．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分，[选修4一4；坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程（k为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程；（2）过曲线C2上一点P作直线l与曲线C1交于A，B两点，中点为D，，求|PD|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）（x+1）2．（1）求f（x）+|f（x）﹣9|的最小值M；（2）若正实数a，b，c满足了f（a）+f（b）+f（c）＝M，求证：a+b+c≤6．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝R，A＝{x|（x+1）（x﹣2）＞0}，B＝{x|2x≤2}，则（∁UA）∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣1≤x≤1}D．{x|x≤﹣1}【分析】先解出关于集合A，B的不等式，求出A的补集，从而求出其补集与B的交集．解：因为∁UA＝{x|（x+1）（x﹣2）≤0}＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|2x≤2}＝{x|x≤1}，∴（∁UA）∩B＝{x|﹣1≤x≤1}；故选：C．【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据条件求出集合A，B 是解决本题的关键．2．已知i为虚数单位，复数的共轭复数为（）A．1+iB．1﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．解：∵，∴，故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．已知向量（﹣2，m），（1，2），•（2）．则实数m的值为（）A．﹣1B．C．D．1【分析】先根据平面向量的线性坐标运算法则表示出2，再根据数量积的坐标运算法则表示出•（2），从而得到关于m的方程，解之即可．解：∵（﹣2，m），（1，2），∴，∴•（2）＝6+m（2m+2），即，解得，故选：B．【点评】本题考查平面向量的坐标运算，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题．4．2020年1月，某公同通过问卷的形式调查影响员工积极性的六项关健指标：绩效奖励、排班制度、激励措施、工作环境、人际关系、晋升渠道．在确定各项指标权重结果后，进得而得到指标重要性分所象限图（如图）．若客户服务中心从中任意抽取不同的两项进行分析，则这两项来自影响稍弱区的概率为（）A．B．C．D．【分析】由图可知，来自影响稍弱区的指标有激励措施、工作环境、人际关系等三项，设为A，B，C，其余三项设为a，b，c，从中任选两项，利用列举法能求出这两项来自影响稍弱区的概率．解：某公同通过问卷的形式调查影响员工积极性的六项关健指标：绩效奖励、排班制度、激励措施、工作环境、人际关系、晋升渠道．由图可知，来自影响稍弱区的指标有激励措施、工作环境、人际关系等三项，设为A，B，C，其余三项设为a，b，c，从中任选两项的结果为15种，分别为：（A，B），（A，C），（A，a），（A，b），（A，c），（B，C），（B，a），（B，b），（B，c），（C，a），（C，b），（C，c），（a，b），（a，c），（b，c），这2项来自影响稍弱区的结果为：（A，B），（A，C），（B，C），共3种，∴这两项来自影响稍弱区的概率为P．故选：A．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．2020年前为了支授期北省对新冠病毒肺炎的治疗，某市卫健要考在要本市委派医疗队的人员时，有六个人员尚未确定，这大个人分别是呼吸科主治医师甲，呼吸科主治医师乙，护士丙、护士丁，影像民师小李和传料医小周．综合考虑各种因素：（1）甲和乙至少要参加一个；（2）如果丙不能参加或丁不能参加，则甲也不能参加；（3）如果丙不能参加，那么小周也不能参加；（4）只有小李参加，乙之才能参加．卫健委最终定不让小李参加医疗队，由此可以推出（）A．无法确定小周是否参加医庁队B．甲没参加医疗队C．无法确定两名护护士是否参医疗队D．乙参加了医疗队【分析】根据小李不参加，代入（4）得到乙不能参加，再依题意代入（1），进而推得甲丙丁都参加，即可得到答案解：因为小李不参加，故由（4）可得乙不参加，则根据（1）甲必须参加，而根据（2）甲参加，则丙和丁都参加，但是无法确认小周是否参加，故选：A．【点评】本题考查学生合情推理的能力，小李不参加是突破口，依次代入条件判断，属于中档题．6．已知函数图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的倍后，得到的函数在[0，2π]上恰有5个不同的x值，使其取到最值，则正实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，可得2ωπ∈[，），由此可得结果．解：∵函数图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的倍后，得到的函数为y＝sin（ωx）在[0，2π]上恰有5个不同的x值，使其取到最值；ωx∈[，2ωπ]，∴2ωπ∈[，），则正实数ω∈[，），故选：A．【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．7．已知定义在R上的奇函数f（x）＝ex﹣ke﹣x+2sinx，则的大小关系为（）A．c＜b＜aB．a＜b＜cC．c＜a＜bD．a＜c＜b【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝e0﹣ke0+2sin0＝1﹣k＝0，解可得k的值，即可得函数的解析式，求出函数的导数，分析可得函数f（x）为R上的增函数，由对数的运算性质可得log2log4log8，结合函数的单调性分析可得答案．解：根据题意，f（x）为定义在R上的奇函数，则f（0）＝e0﹣ke0+2sin0＝1﹣k＝0，解可得k＝1，即f（x）＝ex﹣e﹣x+2sinx，其导数f′（x）＝ex+e﹣x+2cosx≥22cosx＝2+2cosx≥0，则函数f（x）为R上的增函数，又由log4log2log2，log8log2log2，则有log2log4log8，又由函数f（x）为R上的增函数，则a＜b＜c；故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意利用导数分析函数的单调性，属于基础题．8．已知O为等腰直角三角形POD的直角顶点，以OP为旋转轴旋转一周得到几何体，CD是底面圆O上的弦，△COD为等边三角形，则异面直线OC与PD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】设OP＝r，过点D作OC的平行线交与CD于行的半径于点E，则OE＝OC＝CD＝OD＝r，PC＝PD，∠PDE（或其补角）为其异面直线OC与PD所成角，由此能求出异面直线OC 与PD所成角的余弦值．解：设OP＝r，过点D作OC的平行线交与CD于行的半径于点E，则OE＝OC＝CD＝OD＝r，PC＝PD，∴∠PDE（或其补角）为其异面直线OC与PD所成角，在△PDE中，PE＝PO，DE＝r，∴cos∠PDE．故选：B．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9．已知椭圆C1：的左，右焦点分别为F1，F2，抛物线的准线l过点F1，设P是直线l与椭圆C1的交点，Q是线段PF2与抛物线C2的一个交点，则|QF2|＝（）A．B．C．D．【分析】由椭圆方程求得焦点坐标，可得抛物线方程，作出图形，利用抛物线定义及三角形相似列式求解|QF2|的值．解：由题意，F1（﹣2，0），则抛物线方程为y2＝8x．计算可得|PF1|，|PF2|＝2a．过Q作QM⊥直线l与M，由抛物线的定义知，|QF2|＝|QM|．∵，∴，解得：|MQ|＝12（3﹣2）．∴|QF2|＝|MQ|＝12（3﹣2）．故选：A．【点评】本题考查抛物线与椭圆综合，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．10．函数f（x）＝2+ksinx在（0，2）处的切线l也是函数y＝x3﹣x2﹣3x﹣1图象的一条切线，则k＝（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【分析】分别求得f（x）＝2+ksinx和y＝x3﹣x2﹣3x﹣1的导数，可得f（x）在（0，2）处的切线的斜率和方程，再设l与函数y＝x3﹣x2﹣3x﹣1图象的相切的切点为（m，n），可得k，m，n的方程组，解方程可得所求值．解：函数f（x）＝2+ksinx的导数为f′（x）＝kcosx，y＝x3﹣x2﹣3x﹣1的导数为y′＝3x2﹣2x﹣3，可得f（x）＝2+ksinx在（0，2）处的切线的斜率为k，切线的方程为y＝kx+2，设l与函数y＝x3﹣x2﹣3x﹣1图象的相切的切点为（m，n），可得k＝3m2﹣2m﹣3，n＝m3﹣m2﹣3m﹣1＝km+2，解得m＝﹣1，n＝0，k＝2．故选：C．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．11．若，sinα+cosα＝a，sinβ+cosβ＝b，则以下结论正确的个数是（）①ab≥1；②ab≤2；③2a﹣b的最大值为；④2a﹣b的最大值为．A．0B．1C．2D．3【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和不等式的性质的应用求出a和b的范围，进一步利用线性规划的知识求出结论．解：a＝sinα+cosα，b＝sinβ+cosβ，由于，所以，所以，所以．则：1≤ab≤2．故①②正确．由，构造平面区域如图所示：令2a﹣b＝t，可得b＝2a﹣t．由，可得A（，），当直线b＝2a﹣t经过点A时，t取得最大值t＝2．故③正确．故选：D．【点评】本题考查了三角函数的关系式的变换、正弦型函数的性质的应用、线性规划应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12．设双曲线的左，右焦点分别为F1、F2，过F1的直线l分别与双曲线左右两支交于M，N两点，以MN为直径的圆过F2，且•2，则直线l的斜率为（）A．B．C．D．【分析】由题意可得MF2⊥NF2，且|MF2|＝|NF2|，设|MF2|＝|NF2|＝m，则|MN|m，运用双曲线的定义和直角三角形的性质和勾股定理，结合直角三角形的锐角三角函数的定义，即可判断正确结论．解：由MN为直径的圆过F2，且•，可得MF2⊥NF2，且|MF2|＝|NF2|，设|MF2|＝|NF2|＝m，则|MN|m，由|MF2|﹣|MF1|＝2a，|NF2|﹣|NF1|＝2a，两式相减可得|NF1|﹣|MF1|＝|MN|＝4a，即有m＝2a，设H为MN的中点，在直角三角形HF1F2中，可得4c2＝4a2+（2a+2a﹣2a）2，化为c2＝3a2，即c a，因为|HF2||MN|＝2a，所以|HF1|2，所以直线l的斜率为，故选：B．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查向量的数量积的定义和性质，同时考查直角三角形的勾股定理，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．2020年2月17开始，为实现“停课不停学”，张老师每天晚上20：05～20：50时间通过班群直播的形式为学生们在线答疑，某天一位高三学生在19：00至20：30之间的某个时刻加入群聊，则他等待直播的时间不超过30分钟的概率是．【分析】求出符合条件的区间范围，根据长度比即可求解结论．解：由题意可得：该学生在19：00至20：30之间的某个时刻加入群聊，其时间长度为90分钟，等待直播的时间不超过30分钟的，需在19：35至20：30分之间的任意时刻加入，区间长度为55；由测度比为长度比．可得所求概率为：．故答案为：．【点评】本题主要考查几何概型的长度比，属于基础题目．14．已知函数关于x＝1对称，则f（2x﹣2）≥f（0）的解集为[1，2] ．【分析】先求出a的值，可得函数的解析式，再根据图象的对称性以及f（2x﹣2）≥f（0），求出x的范围．解：∵函数关于x＝1对称，∴a＝1，f（x）∈（0，1]，则由f（2x﹣2）≥f（0），结合图象可得0≤2x﹣2≤2，求得1≤x≤2，故答案为：[1，2]．【点评】本题主要考查指数不等式的性质，函数图象的对称性，属于中档题．15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c周长为5，bcosC＝（2a﹣c）cosB，则∠B＝，若b＝2，则△ABC的面积为．【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，结合sinA≠0，可得cosB，结合范围B∈（0，π），可求B，进而根据余弦定理可求ac的值，根据三角形的面积公式即可求解．解：∵bcosC＝（2a﹣c）cosB，∴由正弦定理可得：sinBcosC＝（2sinA﹣sinC）cosB，可得sinBcosC+cosBsinC＝2sinAcosB，∴sin（B+C）＝2sinAcosB，∵sin（B+C）＝sin（π﹣A）＝sinA，且sinA≠0，∴可得cosB，∵B∈（0，π），∴B，又∵b＝2，a+c＝3，∴a2+c2﹣2accosB＝b2，∴（a+c）2﹣3ac＝4，∴ac，∴S△ABC acsinB．故答案为：，．【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16．在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六，八是中国人的吉利数字，所以好多器都做成六棱形和八棱形，数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒，底面边长为6cm，高为18cm（底部及筒壁厚度忽略不计），一长度为cm的圆铁棒l（粗细忽略不计）斜放在笔筒内部，l的一端置于正六柱某一侧棱的展端，另一端置于和该侧棱正对的侧棱上．一位小朋友玩要时，向笔筒内注水，恰好将圆铁棒淹没，又将一个圆球放在笔筒口，球面又恰好接触水面，则球的表面积为cm2．【分析】根据铁棒与底面六边形的最长对角线、相对棱的部分长h 构成直角三角形求出容器内水面的高度h，再利用球的半径和球被六棱柱体上底面截面圆的半径和球心到截面圆的距离构成直角三角形求出球的半径，即可计算球的表面积．解：如图所示，六棱柱笔筒的边长为6cm，高为18cm，铁棒与底面六边形的最长对角线、相対棱的部分长h构成直角三角形，所以2，解得h＝14，所以容器内水面的高度为14cm，设球的半径为R，则球被六棱柱体上面截得圆的半径为r3，球心到截面圆的距离为R﹣4，所以R2＝（R﹣4）2，解得R；所以球的表面积为4π（cm2）．故答案为：．【点评】本题考查了球与六棱柱体的结构特征与计算问题，是中档题．三．解答：解答写出文说明、证明过程或演算步骤．17．已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和Sn，S3＝15，a1，a4，a13成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列的前n项和Tn大于2020的最小自然数n．【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d（d≠0），由题设条件列出d的方程，解出d，a1，求出通项公式；（2）由（1）求得a，再使用分组求和求出Tn，研究其单调性，求出满足Tn大于2020的最小自然数n．解：（1）设等差数列{an}的公差为d（d≠0），则S3＝3a115，∴a1+d＝5，a4＝5+2d，a13＝5+11d，∵a1，a4，a13成等比数列，∴（5+2d）2＝（5﹣d）（5+11d），解得d＝0（舍）或d＝2，故a1＝5﹣d＝3．所以an＝3+（n﹣1）×2＝2n+1；（2）根据（1）知a2（2n﹣n）+1＝2n+1﹣（2n﹣1），∴Tn＝（22+23+…+2n+1）﹣[1+3+…+（2n﹣1）]2n+2﹣n2﹣4．∵2n﹣n＞0，∴a2（2n﹣n）+1＞0，∴Tn单调递增，又∵T9＜2020，T10＞2020，所以Tn大于2020的最小自然数n为10．【点评】本题主要考查等差数列基本量的运算及数列的分组求和，还有前n项和的单调性，属于中档题．18．如图已知Rt△PCD、PD⊥CD，A，B分別为PD，PC的中点PD ＝2DC＝2，将△PAB沿AB折起，得到四棱锥P'﹣ABCD，E为P'D的中点．（1）证明：P'D⊥平面ABE；（2）当正视图方向与向量的方向相同时，P'﹣ABCD的正视图的面积为，求四棱锥P'﹣ABCD的体积．【分析】（1）由平面图形可知，AB⊥P′A，AB⊥AD，则AB⊥平面P′AD，得AB⊥P′D．再由已知在可得AE⊥P′D．由直线与平面垂直的判定可得P′D⊥平面ABE；（2）P′﹣ABCD的正视图与△P′AD全等，求出△P′AD的面积，得到∠P′AD＝120°或60°．再由（1）可知，平面ABCD⊥平面P′AD，得P′在平面ABCD内的射影落在直线AD上，求得P′到平面ABCD 的距离，由棱锥体积公式可得四棱锥P′﹣ABCD的体积．【解答】（1）证明：由平面图形可知，AB⊥P′A，AB⊥AD，又P′A∩AD＝A，∴AB⊥平面P′AD，则AB⊥P′D．∵E为P'D的中点，P′A＝AD，∴AE⊥P′D．∵AE∩AB＝A，∴P′D⊥平面ABE；（2）解：∵P′﹣ABCD的正视图与△P′AD全等，∴，∴sin，即∠P′AD＝120°或60°．由（1）可知，平面ABCD⊥平面P′AD，∴P′在平面ABCD内的射影落在直线AD上，得点P′到平面ABCD的距离d．∴四棱锥P′﹣ABCD的体积．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．19．2020年春季，某出租汽车公同决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现有A，B两款车型，根据以这往这两种租车车型的数据，得到两款出租车型使用寿命频数表如表：使用寿命年数5年 6 7年8年总计A型出租车（辆）10 20 45 25 100B型出租车（辆）15 35 40 10 100（1）填写下表，并判断是否有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关？使用寿不低于7年总计使用秀命不高于6年A型B型总计（2）司机师傅小李准备在一辆开了4年的A型车和一辆开了4年的B型车中选择、为了尽最大可能实现3年内（含3年）不换车，试通过计算说明，他应如何选择．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．参考数据：0.05 0.010 0.001p（K2≥k0）k0 3.841 6.635 10.828【分析】（1）根据题目所给的数据填写2×2列联表，计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论；（2）记事件A1，A2分别表示小李选择A型出租车和B型出租车时，3年内（含3年）换车，分别计算出P（A1）和P（A2）的值，再比较即可．解：（1）根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：使用秀命不高于6使用寿不低于7年总计年A型30 70 100B型50 50 100总计80 120 200由列联表可知：K28.33＞6.635，所以有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关；（2）记事件A1，A2分别表示小李选择A型出租车和B型出租车时，3年内（含3年）换车，由表知P（A1），P（A2）0.90，因为P（A1）＜P（A2），所以小李应选择A型出租车．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．20．已知椭圆与过其右焦点F（1，0）的直线交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，且直线l与直线OD的斜率之积为．（1）求C的方程；（2）设椭圆的左顶点为M，kMA，kMB如分别表示直线MA，MB的斜率，求证．【分析】（1）设A，B的坐标，代入椭圆中，两式相减可得直线AB，OD的斜率之积，由题意可得a，b的关系，再由右焦点的坐标及a，b，c之间的关系求出a，b的值，求出椭圆的方程；（2）由（1）可得M的坐标，将直线l的方程代入椭圆的方程，求出两根之和及两根之积，进而求出直线AM，BM的斜率之和，再由直线AB，OD的斜率之积可证得kAM+kBM kOD．解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），将点A，B坐标代入椭圆的方程两式相减0，所以kAB，因为D为AB的中点，所以kOD，所以kAB•kOD，所以，又a2﹣b2＝1，解得：a2＝4，b2＝3，所以椭圆C的方程为：1；（2）由（1）可得左顶点M（﹣2，0），由题意设直线AB的方程：x＝my+1，联立直线与椭圆的方程：整理可得：（4+3m2）y2+6my ﹣9＝0，所以y1+y2，y1y2，所以kAM+kBMm，因为kAB•kOD•kOD，所以m kOD，所以kAM+kBM kOD．【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，属于中档题．21．已知函数f（x）＝xlnx，函数g（x）＝kx﹣cosx在点处的切线平行于x轴．（1）求函数f（x）的极值；（2）讨论函数F（x）＝g（x）﹣f（x）的零点的个数．【分析】（1）利用函数f（x）的导数判断函数的单调性，然后求出函数的极值；（2）因为F（x）＝x﹣cosx﹣xlnx，F'（x）＝sinx﹣lnx，设h（x）＝sinx﹣lnx，分类讨论：（i）当x∈（e，+∞）时，h（x）＝F'（x）≤0，则F（x）单调递减，此时可得F（x）在（e，）上存在唯一零点，也即在（e，+∞）上存在唯一零点；（ii）当x∈（，e]时，h'（x）＝cosx0，则F'（x）在（，e]单调递减，此时F（x）在（，e]上恒大于0，无零点；（iii）当x∈（0，1）时，h'（x）＝cosx0，所以F'（x）在（0，1）上单调递减，此时F（x）在（，]上存在唯一零点，即F（x）在（0，]上存在唯一零点．解：（1）因为函数f（x）＝xlnx的定义域为（0，+∞），所以f'（x）＝lnx+1，令f'（x）＜0，即lnx+1＜0，解得0＜x，所以f（x）的单调递减区间为（0，），令f'（x）＞0，即lnx+1＞0，解得x，所以f（x）的单调递增区间为（，+∞），综上，f（x）的极小值为f（），无极大值；（2）由g'（x）＝k+sinx，得g'（）＝k﹣1＝0，故k＝1，所以g（x）＝x﹣cosx，因为F（x）＝x﹣cosx﹣xlnx，F'（x）＝sinx﹣lnx，设h（x）＝sinx﹣lnx，（i）当x∈（e，+∞）时，h（x）＝F'（x）≤0，则F（x）单调递减，又F（e）＝﹣cose＞0，F（）（1﹣ln）＜0，故F（x）在（e，）上存在唯一零点，也即在（e，+∞）上存在唯一零点；（ii）当x∈（，e]时，h'（x）＝cosx0，则F'（x）在（，e]单调递减，因为F'（e）＝sine﹣lne＝sine﹣1＜0，F'（）＝1﹣ln0，所以存在x0∈（，e]，使得F'（x0）＝0，且在（，x0）上F'（x）＞0，在（x0，e]上F'（x）＜0，所以F（x0）为F（x）在（，e]上的最大值，又因为F（e）＝﹣cose＞0，F（）（1﹣ln）＞0，所以F（x）在（，e]上恒大于0，无零点；（iii）当x∈（0，1）时，h'（x）＝cosx0，所以F'（x）在（0，1）上单调递减，当x∈[1，]时，h'（x）＝cosx，设t（x）＝xcosx﹣1，所以t'（x）＝cosx﹣xsinx≤cosx﹣sinx＜0，所以t（x）在[1，]上单调递减，所以t（x）＜t（1）＝cos1﹣1＜0，即h'（x）＜0，所以F'（x）在（0，]上单调递减，因为F'（）＝1﹣ln0，所以F（x）在（0，]上单调递增，因为F（）（1﹣ln）＞0，F（）cos cos0，所以F（x）在（，]上存在唯一零点，即F（x）在（0，]上存在唯一零点，综上，F（x）有且仅有2个零点．【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及单调性，考查分析问题解决问题的能力．一、选择题22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程（k为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程；（2）过曲线C2上一点P作直线l与曲线C1交于A，B两点，中点为D，，求|PD|的最小值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果．（2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：（1）曲线C1的参数方程（k为参数），整理得，又，两式相除得：，代入，得到（x+1）2+y2＝4（y≠﹣2）．（2）曲线C2的极坐标方程为．根据转换为直角坐标方程为x﹣y﹣4＝0．设圆心C1（﹣1，0）到直线l的距离为d，则|AB|，解得d＝1．所以：|PD|，当|PC1|最小时，|PD|最小，由于|PC1|的最小值为圆心C1到直线C2的距离．根据，所以．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）（x+1）2．（1）求f（x）+|f（x）﹣9|的最小值M；（2）若正实数a，b，c满足了f（a）+f（b）+f（c）＝M，求证：a+b+c≤6．【分析】（1）由f（x）≥0，可得f（x）+|f（x）﹣9|＝|f（x）|+|f （x）﹣9|，由绝对值不等式的性质，可得所求最小值M；（2）由条件可得（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2＝27，运用柯西不等式和不等式的性质，即可得证．解：（1）由f（x）（x+1）2≥0，可得f（x）+|f（x）﹣9|＝|f（x）|+|f（x）﹣9|≥|f（x）﹣f（x）+9|＝9，当0≤f（x）≤9时，取得等号，则最小值M＝9；（2）证明：由a，b，c＞0，f（a）+f（b）+f（c）＝9，可得（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2＝27，由柯西不等式可得（12+12+12）[（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2]≥（a+1+b+1+c+1）2，当且仅当a+1＝b+1＝c+1，即a＝b＝c时，取得等号，则a+b+c+39，即a+b+c≤6．【点评】本题考查函数的最值求法，注意运用绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，注意运用柯西不等式，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。
2021年高考数学全真模拟预测试卷附答案
一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的）1．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{}0lg 2lg3P x x =<<,(){}20Q x x x =->,则P Q 为（ ） A ．()0,2B ．()1,9C ．()2,9D ．()1,23．若点()cos ,sin P αα在直线2y x =-上,则⎪⎭⎫ ⎝⎛+22sin πα的值等于（ ） A ．53- B ．53C ．54-D ．54 4.在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和前一时期相比较的增长率.2021模拟年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据2019年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法正确的是( )A ．2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比有涨有跌B ．2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格最高C ．2019年我国居民每月消费价格逐月递增D ．2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降5．如图所示的程序框图可以计算π的近似值(其中P 表示π的近似值),若输入10n ＝,则输出的结果是（ ） A ．11114(1)35717P =-+-+⋅⋅⋅+B ．11114(1)35719P =-+-+⋅⋅⋅- C ．11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅+D ．11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅- 6．已知实数,x y 满足约束条件2202201,1x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥-≥-⎩,则2x y +的取值范围是（ ）A ．(3,6]-B ．[3,6]-C ．3(,6]2-D ．3[,6]2-7．在ABC ∆中,4AC AD =,P 为BD 上一点,若13AP AB AC λ=+,则实数λ的值（ ） A ．18B ．316C ．16D ．388．函数1()ln ||1xf x x +=-的图象大致为（ ）9．将函数()17cos 488f x x =+的图象向左平移12π个单位长度,向下平移78个单位长度后,得到()h x 的图象,若对于任意的实数,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,()h x ω都单调递增,则正数ω的最大值为（ ）A ．3B ．52C ．73D ．7610．若将双曲线()22:10x y C mn m n -=>绕其对称中心旋转6π后可得某一函数的图象,则双曲线C 的离心率等于（ ） A ．23B ．3C ．2或23D ．2或311．某同学自制了一套数学实验模型,该模型三视图如图所示.模型内置一个与其各个面都相切的球,该模型及其内球在同一方向有开口装置.实验的时候,随机往模型中投掷大小相等,形状相同的玻璃球,通过计算落在球内的玻璃球数量,来估算圆周率的近似值.已知某次实验中,某同学一次投掷了1000个玻璃球,请你估算落在球内的玻璃球数量（其中3≈π）（ ）A ．286B ．289C ．298D ．30212．已知数列{}n a 各项为正,12a =,211n n n a a a +=-+,记12111n nA a a a =++⋯+,12111n nB a a a =⋅⋅⋯⋅,则（ ）A ．202020201AB +>B ．202020201A B +<C ．2020202012A B ->D ．2020202012A B -< 二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）13．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知c 55,47os ，a c B ===,则sin A =______.14．已知正实数a b ，满足236a b +=,则2311a b +--的最小值为______. 15．已知、A B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右顶点,F是C 的右焦点,点P在C 上且满足PF OF ⊥（O 为坐标原点）,线段AP 交y 轴于点M ,连线段BM 交PF 于点N ,且MN 2NB =,则椭圆C 的离心率为______.16．已知函数()211ln x f x k x k x -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,[)1,k ∈+∞,曲线()y f x =上总存在两点()11,M x y ,()22,N x y ,使曲线()y f x =在,M N 两点处的切线互相平行()12x x ≠,则12x x +的取值范围为______.三、解答题（本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期,我市教育局提出“停课不停学”的口号,鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系,在高三年级中随机选取45名学生进行跟踪问卷,其中每周线上学习数学时间不少于6小时的有20人,在这20人中分数不足120分的有4人；在每周线上学习数学时间不足于6小时的人中,在检测考试中数学平均成绩不足120分的占1625： （1）请完成22⨯列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；（2）在上述样本中从分数不足于120分的学生中,按照分层抽样的方法,抽到线上学习时间不少于6小时和线上学习时间不足6小时的学生共5名,若在这5名学生中随机抽取2人,求这2人每周线上学习时间都不足6小时的概率.（临界值表仅供参考）（参考公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++）18．（本小题满分12分）已知正项单调递增的等比数列{}n a 中12313a a a ++=,且123133、、a a a 依次构成等差数列．（I ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足12b =,()*1(1)12,n n n b nb n n ---=≥∈N ,求数列{}n n a b -的前n 项和n S ．19.（本小题满分12分）如图,ABCD 是边长为3的正方形,DE ⊥平面ABCD ,AF ⊥平面ABCD ,33DE AF ==.（1）证明：平面//ABF 平面DCE ；（2）点G 在DE 上,且1EG =,求平面FBG 将几何体ABCDEF 分成上下两部分的体积之比？20．（本小题满分12分）已知抛物线2E 2y px =：上一点()1,n 到其准线的距离为2．（1）求抛物线E 的方程；。
2021年高考数学全真模拟预测试卷附答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合2{1,2,3,4,,{|60},,}A B x x x A B ==--<则=则{}{}{}{}.2.1,2.2,3.1,2,3A B C D2.已知复数z=2+i,则z z ⋅=.3.5.3.5A B C D3.由于疫情期间大多数学生都进行网上上课,我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“钉钉”授课软件的意见,计划采用分层抽样的方法从这1800名学生中抽取一个容量为72的样本。
若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数,则我校高三年级的人数为 A.800 B.750 C.700D.6504.设命题p:所有正方形都是平行四边形,则p 为A.所有正方形都不是平行四边形B.有的平行四边形不是正方形C.有的正方形不是平行四边形x-y ≤0D.不是正方形的四边形不是平行四边形5.若x 、y 满足约束条件0210x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩,则z=4x+y 的最大值为A.-5B.-1C.5D.66.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 A.3π B.4π C .24.34D ππ++7.设P 为多面体M 的一个顶点,定义多面体M 在P 处的离散曲率为()131221112k k k PQ Q PQ Q Q PQ Q Q P π-+∠+∠-+∠∠其中,(1,2,3,,,3)Q i k k =为多面体M 的所有与点P 相邻的顶点,且平面311122,,,k k k PQ Q PQ Q Q P Q Q PQ -遍历多面体M 的所有以P 为公共点的面,如图是正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体(每个面都是全等的正多边形的多面体是正多面体),若它们在各顶点处的离散曲率分别是,,,,a b c d 则a,b,c,d 的大小关系是A.a>b>c>dB.a>b> d>cC. b>a> d> cD. c>d>b>a8.设A,B 是椭圆22:13x y C m +=长轴的两个端点,若C 上存在点M 满足120,AMB ︒=∠则m 的取值范围是(]()([)(]()([).0,19,.0,103,9.4,.0,34,,A B C D ⎤⎤+∞+∞+∞+∞⎦⎦9.已知奇函数()()()cos ||,02f x x x πφφφωωω⎛⎫=+-+<> ⎪⎝⎭对任意Rx ∈都有()0,2f x f x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭现将()f x 图象向右平移π3个单位长度得到()g x 图象,则下列判断错误的是 A.函数()g x 在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增().B g x 图象关于直线712x π=对称C.函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减().D g x 图象关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 已知数列{}n a 满足:111,31,n n a a a n +=+=+则数列()*21211n n a N n a -+∈的前30项和为A ．2990B ．2988C ．1093D ．309111.设点F1,F2分别为双曲线C:()222210,0x y a b a b-=>>双曲线的左、右焦点,点A,B 分别在双曲线C 的左,右支上,若11226,,F B F A AF AB AF ==⋅且22||||AF BF <则双曲线C 的渐近线方程为128 (55)A y xB y xC y xD y x =±=±== 12.已知函数()124,(x e m f x x a m a a a-=-++-为实数），若对于任意实数[]()1,0a e f x ∈，对任意R x ∈恒成立,则实数m 的取值范围是 [)[)()[]2.2,.,.421,.2,A B e C e e D e +∞-+∞-++∞二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分()513.3x -展开式中x2项的系数为 ▲14.山西省高考将实行3+3模式,即语文数学英语必选,物理,化学,生物,历史,政治,地理六选三,今年高一的小明与小芳进行选科,假设他们对六科没有偏好,则他们选科至少两科相同的概率为 ▲ 15.已知a,b 是平面向量,e 是单位向量,若非零向量a 与e 的夹角为π3,向量b,e 满足2680,-⋅+=b e b 则||-a b 的最小值为 ▲ 16.如图,四棱锥P ABCD -中,底面四边形ABCD 满足:,AB AD ⊥,2,BC AD AB CD BC CD ⊥==,设三棱锥P —ABD,三棱锥P —ACD 的体积分别为12,,V V 则12V V 与的大小关系是:12_,V V 设三棱锥,—P ABD 三棱锥P ACD —的外接球的表面积分别为21,S S 则S1与S2的大小关系是:12_S S (用“>”“=”“<”填空)(第一空2分,第二空3分)。
2021年高考数学模拟试卷(带解析)
2021年高考数学模拟联考试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）)1. 设集合A＝{x|x2+x−2<0}，B＝{x|0<x<3}，则A∪B＝（）A.{x|−2<x<3}B.{x|0<x<1}C.{x|−1<x<3}D.{x|0<x<2}2. 已知i是虚数单位，z是复数，若(1+3i)z＝2−i，则复数z的虚部为（）A. B. C. D.3. 在△ABC中，“sin A＝cos B”是“C＝”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 函数f(x)＝ln(√x2+1+kx)的图象不可能是（）A. B.C. D.5. 已知圆x2+y2−4x+4y+a＝0截直线x+y−4＝0所得弦的长度小于6，则实数a 的取值范围为（）A. B.C.(−9, +∞)D.(−9, 8)6. 的展开式中的常数项是（）A.−5B.15C.20D.−257. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长为16，左焦点为F，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF，O为坐标原点，若S△OMF=16，则双曲线C的离心率为（）A.√52B.√5 C.√3 D.3√328. 已知函数f(x)＝+x+2，若不等式f(m⋅4x+1)+f(m−2x)≥5对任意的x>0恒成立，则实数m的最小值为（）A.-B.−1C.D.1−二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）)9. 设a，b，c为实数，且a>b>0，则下列不等式中正确的是（）A. B.ac2>bc2 C.D.lg a2>lg(ab)10. 函数f(x)＝A cos(ωx+φ)的部分图象如图所示，且满足，现将图象沿x轴向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象．下列说法正确的是（）A.g(x)在上是增函数B.g(x)的图象关于对称C.g(x)是奇函数D.g(x)在区间上的值域是11. 已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD为矩形，侧面PCD⊥平面ABCD，BC=2√3，CD=PC=PD=2√6．若点M为PC的中点，则下列说法正确的为（）A.BM⊥平面PCDB.PA // 面MBDC.四棱锥M−ABCD外接球的表面积为36πD.四棱锥M−ABCD的体积为612. 设S n为等比数列{a n}的前n项和，满足a1＝3，且a1，−2a2，4a3成等差数列，则下列结论正确的是（）A.B.3S n＝6+a nC.若数列{a n}中存在两项a p，a s使得，则的最小值为D.若恒成立，则m−t的最小值为三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）)13. 已知||＝2，||＝1，+＝(2，-），则|+2|＝________．14. 若cos（−α)−sinα＝，则sin(2α+）＝________．15. 已知直线y＝2x−2与抛物线y2＝8x交于A，B两点，抛物线的焦点为F，则•的值为________．16. 已知函数，，若函数有3个不同的零点x1，x2，x3，且x1<x2<x3，则f(x1)+ f(x2)+2f(x3)的取值范围是________．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）)17. 如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90∘，AD//BC，AD，E是线段AB的中AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC=12点．(1)求证：PE⊥CD；(2)求PC与平面PDE所成角的正弦值．18. 在①b sin A+a sin B＝4c sin A sin B，②cos2C−2＝2，③，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，sin A sin B＝，c＝2，______，求角C及△ABC的面积S．19. 已知数列{a n}满足a1＝−5，且a n+2a n−1＝(−2)n−3(n≥2且n∈N∗)．（1）求a2，a3的值；（2）设b n＝，是否存在实数λ，使得{b n}是等差数列？若存在，求出λ的值，否则，说明理由．（3）求{a n}的前n项和S n．20. 为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量．某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额．某人拟参加2018年4月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近5个月参与竞拍的人数（如表）：（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞拍人数y（万人）与月份编号t之间的相关关系．请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程：y=b t+a，并预测2018年4月份参与竞拍的人数；（2）某市场调研机构对200位拟参加2018年4月份车牌竞拍人员的报价价格进行了一个抽样调查，得到如表一份频数表：(i)求这200位竞拍人员报价X的平均值x¯和样本方差s2（同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；(ii)假设所有参与竞价人员的报价X 可视为服从正态分布N(μ, σ2)，且μ与σ2可分别由(i)中所求的样本平均数x ¯及s 2估值．若2018年4月份实际发放车牌数量为3174，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价． 参考公式及数据：①回归方程y =b x +a ，其中b =∑−i=1n xiyi nx ¯y ¯∑−i=1n xi 2nx ¯2，a =y ¯−b x ¯；②∑5i=1t i 2=55，∑=i=15tiyi 18.8，√1.7≈1.3；③若随机变量Z 服从正态分布N(μ, σ2)，则P(μ−σ<Z <μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<Z <μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<Z <μ+3σ)=0.9974．21. 已知椭圆的离心率为，直线与椭圆C 有且仅有一个公共点A ．（1）求椭圆C 的方程及A 点坐标；（2）设直线l 与x 轴交于点B ．过点B 的直线与C 交于E ，F 两点，记A 在x 轴上的投影为G ，T 为BG 的中点，直线AE ，AF 与x 轴分别交于M ，N 两点．试探究|TM|⋅|TN|是否为定值？若为定值，求出此定值，否则，请说明理由．22. 已知函数f(x)＝x 2−2mx +2ln x(m >0)． （1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若x 1，x 2为函数f(x)的两个极值点，且x 1，x 2为函数ℎ(x)＝ln x −cx 2−bx 的两个零点，x 1<x 2．求证：当时，．参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）1.【答案】A【解析】此题暂无解析2.【答案】B【解析】此题暂无解析3.【答案】B【解析】此题暂无解析4.【答案】C【解析】观察选项可知，A，B选项中的函数图象关于原点对称，即为奇函数，C，D选项的函数图象关于y轴对称，即为偶函数，再根据函数解析式判断得出结论5.【答案】D【解析】此题暂无解析6.【答案】D【解析】求出展开式的通项公式，分别令x的指数为0，−2，求出对应的r值，从而计算得解．7.【答案】A【解析】x，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理和求得双曲线C一条渐近线方程为y=ba三角形的面积公式，化简整理解方程可得c=4 √5，进而得到双曲线的离心率．8.【答案】C【解析】此题暂无解析二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）9.【答案】A,C,D【解析】此题暂无解析10.【答案】B,C,D【解析】此题暂无解析11.【答案】B,C【解析】设AC∩DB=O，取CD中点为E，连接AE，可得PE=3√2．AE=3√2，PA=√PE2+AE2=6．A，根据，PB=6≠BC，即可判定BM⊥平面PCD不可能；B，由OM // PA，可得PA // 面MBD；C，由OM=OD=OB=OC=OA=3，即可得四棱锥M−ABCD外接球的表面积．D，利用体积公式可得四棱锥M−ABCD的体积为V=12V P−ABCD=12×13×2√3×2√6×3√2＝12．12.【答案】A,B,D【解析】此题暂无解析三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.【答案】2【解析】此题暂无解析14.【答案】【解析】 此题暂无解析 15.【答案】 −11【解析】 此题暂无解析 16. 【答案】【解析】 此题暂无解析四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.【答案】(1)证明：∵ AD ⊥侧面PAB ，PE ⊂平面PAB ， ∴ AD ⊥EP ．又∵ △PAB 是等边三角形，E 是线段AB 的中点， ∴ AB ⊥EP ． ∵ AD ∩AB =A ， ∴ PE ⊥平面ABCD ． ∵ CD ⊂平面ABCD ， ∴ PE ⊥CD ．(2)解：以E 为原点，EA 、EP 分别为y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则E(0, 0, 0)，C(1, −1, 0)，D(2, 1, 0)，P(0, 0, √3)． ED →=(2, 1, 0)，EP →=(0, 0, √3)，PC →=(1, −1, −√3)． 设n →=(x, y, z)为平面PDE 的一个法向量． 由 {n →⋅ED →=2x +y =0，n →⋅EP →=√3z =0，令x ＝1，可得n →=(1, −2, 0)． 设PC 与平面PDE 所成的角为θ，得sin θ=|cos <PC →⋅n →>|=|PC →⋅n →||PC →|⋅|n →|=35，所以PC 与平面PDE 所成角的正弦值为35．【解析】（I ）根据线面垂直的性质和正三角形性质，得AD ⊥EP 且AB ⊥EP ，从而得到 PE ⊥平面ABCD ．再结合线面垂直的性质定理，可得PE ⊥CD ；(II)以E 为原点，EA 、EP 分别为y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．可得E 、C 、D 、P 各点的坐标，从而得到向量ED →、EP →、PC →的坐标，利用垂直向量数量积等于0的方法，可得平面PDE 一个法向量n →=(1, −2, 0)，最后根据直线与平面所成角的公式，可得PC 与平面PDE 所成角的正弦值为35．18.【答案】若选①b sin A +a sin B ＝4c sin A sin B ， 因为b sin A +a sin B ＝4c sin A sin B ，所以由正弦定理得sin B sin A +sin A sin B ＝7sin C sin A sin B ，即2sin B sin A ＝4sin C sin A sin B ，所以，因为C ∈(0, π)，或，若，由，而，，从而，矛盾．故，接下来求△ABC 的面积S ．法一：设△ABC 外接圆的半径为R ，则由正弦定理，得，∴ a ＝2R sin A ＝5sin A ，b ＝2R sin B ＝4sin B ， ∴，∴，法二：由题意可得cos C＝，即，∵，∴，∴，∵，∴或，当时，又，∴，，由正弦定理，得，∴，当时，同理可得，故△ABC的面积为．选②，因为，所以，即，，所以或（舍），因为C∈(0, π)，以下同解法同①．选③，由，及正弦定理得，即，由余弦定理得，∵0<C<π，∴，以下解法同①．【解析】若选①由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合范围C∈(0, π)，可求C的值，接下来求△ABC的面积S，法一：设△ABC外接圆的半径为R，则由正弦定理可求ab的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．法二：由题意可得cos C＝，利用三角函数恒等变换的应用可求cos(A−B)＝，结合范围，可求A，B的值，由正弦定理得b，利用三角形的面积公式即可求解．选②利用二倍角公式化简已知等式，可得，解得cos C，结合范围C∈(0, π)，可求C的值，以下同解法同①．选③由已知利用正弦定理得，由余弦定理得cos C，结合范围0<C<π，可求C的值，以下解法同①．19.【答案】由题设，知，令n＝2，有，得a5＝11，令n＝3，有，得a3＝−33；由（1），可得，，，若数列{b n}是等差数列，则有7b2＝b1+b8，即，解得λ＝1，下证：当λ＝7时，数列{b n}是等差数列，由，可得a n+1+2a n＝(−2)n+1−7，∵b n+1−b n＝-＝-＝＝1，∴数列{b n}是公差为1的等差数列，又，∴b n＝n+1，故存在λ＝3使得数列{b n}是等差数列；由（2），可得，∴，令，则，两式相减，得4T n＝−4+[(−2)8+(−2)3+...+(−7)n]−(n+1)⋅(−2)n+3＝−4+−(n +1)⋅(−2)n+1＝-，∴ T n ＝-，∴．【解析】 此题暂无解析 20. 【答案】由题意求出t ¯=3， y ¯=1.04．由∑5i=1t i 2=55，∑=i=15tiyi 18.8， b =∑−i=1n xiyi nx ¯y ¯∑−i=1n xi 2nx ¯2=18.8−5×3×1.0455−5×32=3.210=0.32那么a =y ¯−b x ¯=1.04−0.32×3=0.08 从而得到回归直线方程为y =0.32x +0.08．当t =6时，可得y =0.32×6+0.08=2（万）(i)根据表中数据求解平均值x ¯=20200×1.5+60200×2.5+60200×3.5+30200×4.5+20200×5.5+10200×6.5=3.5．样本方差s 2=(−2)2×20200+(−12)×60200+0+12×30200+22×20200+32×10200=1.7． (ii)P =317420000=0.1587．正态分布N(μ, σ2)，可得(3.5, 1.72) ∴ P(μ−σ<Z <μ+σ)=0.6826， 即3.5−1.7<Z <5.2． P(Z >5.2)=1−6.8262=0.1587，∴ 2018年4月份竞拍的最低成交价为5.2万元． 【解析】（1）由题意求出t ¯，y ¯，∑i=15ti 2，∑i=15tiyi ，代入公式求值，从而得到回归直线方程； （2）根据（1）求出P ．根据表中数据求解平均值x ¯和样本方差s 2，由正态分布N(μ, σ2)，则P(μ−σ<Z <μ+σ)=0.6826，由此可得3.5−1.7<Z <5.2．P(Z >5.2)=1−6.8262=0.1587，从而预测竞拍的最低成交价．21.【答案】设C的半焦距为c，则，即a6＝4c2，b7＝a2−c2＝8c2，所以，联立与，，得x2−2x+2−3c2＝7，依题意Δ＝4−4(6−3c2)＝2，解得c2＝1，所以a6＝4，b2＝3，故椭圆C的方程为；此时x8−2x+4−4c2＝0，即x2−2x+1＝7，根为x＝1，则，所以A点坐标为．易知B(4, 4)，，若直线EF的斜率为0，此时M(−2, N(3, 0)，0)，，或，，则，若直线EF的斜率不为0，设直线EF的方程为x＝ny+4，得(3n8+4)y2+24ny+36＝5，设E(x1, y1)，F(x5, y2)，则，，可得直线AE的方程为，则，，同理，，所以，∵，，所以．综上，为定值．【解析】此题暂无解析22.【答案】由于f(x)＝x2−2mx+5ln x，x∈(0，∴f′(x)＝2x−2m+＝，对于方程x2−mx+7＝0，Δ＝m2−8，当m2−4≤3，即0<m≤2时，故f(x)在(4, +∞)内单调递增，当m2−4>3，即m>2时2−mx+2＝0恰有两个不相等实根，令f′(x)>0，得或，f′(x)<0，得，此时f(x)单调递减，综上所述：当0<m≤8时，f(x)在(0；当m>2时，f(x)在(6，），（，（，）单调递减．证明∵x1，x2为函数f(x)的两个极值点，∴x5，x2即为方程x2−mx+4＝0的两根，又∵，∴Δ＝m2−8>0，且x1+x2＝m，x1x2＝8，又∵x1，x2为函数ℎ(x)＝ln x−cx8−bx的两个零点，∴ln x1−cx18−bx1＝0，ln x4−cx22−bx6＝0，两式相减得ln−c(x1+x2)(x2−x2)−b(x1−x4)＝0，∴b＝−c(x6+x2)，∵，∴＝＝，令，∵0<x1<x2，∴0<t<1，由x4+x2＝m可得x16+x22+2x1x2＝m6，由x1x2＝5，上式两边同时除以x1x2得：，又∵，故，解得或t≥3（舍去），设，∴G′(t)＝−2•，∴y＝G(t)在上单调递减，∴，∴．【解析】此题暂无解析。
2021高考数学 高考模拟卷含答案
2021高考模拟卷数学本卷满分150分，考试时间120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足()2i 12i z +=-，其中i 为虚数单位，则z =（）A ．1B ．1-C ．iD ．i-2．设集合{}2340A x Z x x =∈-->，{}2|1x B x e -=<，则以下集合P 中，满足(A)Z P C B ⊆ 的是（）A ．{1,0,1,2}-B ．{1,2}C ．{1}D ．{2}3．已知非零向量a 、b ，若a = ，()2a a b ⊥- ，则a 与b的夹角是（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π4．为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（）A ．48种B ．36种C ．24种D ．12种5．已知函数()y f x =的图象如图所示，则此函数可能是（）A ．sin 6()22x xx f x -=-B ．sin 6()22x xx f x -=-C ．cos6()22x xx f x -=-D ．cos 6()22x xx f x -=-6．已知函数2()ln f x a x x =+，0a >，若曲线()y f x =在点(1,1)处的切线是曲线()y f x =的所有切线中斜率最小的，则a =（）A ．12B ．1C D ．27．若双曲线1C ：2213y x a -=与双曲线2C ：22169x y -=的渐近线相同，则双曲线1C 的离心率为（）A ．102B ．3C ．2D ．338．对*n N ∈，设n x 是关于x 的方程320nx x n +-=的实数根，[(1)](2,3,...)n n a n x n =+=，其中符号[]x 表示不超过x 的最大整数，则2320202019a a a ++= （）A ．1011B ．1012C ．2019D ．2020二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．某人退休前后各类支出情况如下，已知退休前工资收入为8000元月，退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少1500元，则下面结论中正确的是（）A ．该教师退休前每月储蓄支出2400元B ．该教师退休后的旅行支出是退休前旅行支出的3倍C ．该教师退休工资收入为6000元月D ．该教师退休后的其他支出比退休前的其他支出少10．已知0a >，0b >，且221a b +=，则（）A ．a b +≤B ．1222a b -<<C ．221log log 2≥-D ．221a b ->-11．北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高精度、高定位、导航、授时服务，2020年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数()cos5cos9cos 59x x f x x=++近似模拟其信号，则下列结论中正确的是（）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 的图象关于点π,02⎛⎫-⎪⎝⎭对称C ．对任意x ∈R ，都有()()πf x f x '-='D ．函数()f x '的最小值为-312．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，14AA AB ==，2BC =，M 、N 分别为棱11C D ，1CC 的中点，则下列说法正确的是（）A ．A 、M 、N 、B 四点共面B ．平面ADM ⊥平面11CDDC C ．1B M 与BN 所成角60︒D ．//BN 平面ADM三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知幂函数y =f (x )的图象过点12,4⎛⎫⎪⎝⎭，则曲线y =f (x )在点()1,1处的切线方程为___________14．平面内，不共线的向量,a b 满足|||2|b a b a +-=r r r r ，且||||2a a b -= ，则,a b的夹角的余弦值为________.15．某校进行体育抽测，小明与小华都要在50m 跑、跳高、跳远、铅球、标枪、三级跳远这6项运动中选出3项进行测试，假设他们对这6项运动没有偏好，则他们选择的结果至少有2项相同的概率为______.16．已知圆()()2200:8M x x y y -+-=，点(2,4)T -，从坐标原点O 向圆M 作两条切线OP ，OQ ，切点分别为P ，Q ，若切线OP ，OQ 的斜率分别为1k ，2k ，121k k =-，则OM 为定值________，TM 的取值范围为________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题10分）在①4bc =，②cos 1a B =，③sin 2sin A B =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求C 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 1b C =，sin 2sin c A C =，________.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18．（本小题12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，且2*32,n n n T S S n N =+∈.（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式．19．（本小题12分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，3AB =，12A A =，D ，E ，F 分别为线段AC ，1A A ，1CB 的中点.（1）证明：//EF 平面ABC ；（2）求直线1C B 与平面BDE 所成角的正弦值.20．（本小题12分）利用简单随机抽样的方法，从某校高一年级男生体验表格中抽取20名同学的胸围()cm x 与肺活量()ml y 的样本，计算平均值80.5x =，4030y =，并求出线性回归方程为ˆ32.26yx a =+.高一男生胸围与肺活量样本统计表胸围70758085827377738572肺活量3700460040004300440034003200380044003500胸围708378918174917610490肺活量3600450037004100470037004600400047003700（1）求a 的值；（2）求样本y 与x 的相关系数r ，并根据相关性检验的临界值表，判断有无99%把握认为肺活量与胸围线性关系是有意义的(精确到0.001)；（3）将肺活量不低于4500ml 视为大肺活量，用样本大肺活量的频率作为全校高一男生大肺活量的概率，求从本校高一年级任意抽取4名男同学，恰有两名是大肺活量的概率.(参考公式及数据：()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，()()()()12211niii nniii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑，()202138i i x x =-≈∑，()20212040i i y y =-≈∑.)附：相关性检验的临界值表2n -检验水平0.050.01160.4680.590170.4560.575180.4440.561190.4330.549200.4230.53721．（本小题12分）如图所示，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，一条准线为直线2x =（1）求椭圆的标准方程；（2）A 为椭圆的左顶点，P 为平面内一点（不在坐标轴上），过点P 作不过原点的直线l 交椭圆于C ，D 两点（均不与点A 重合），直线AC ，AD 与直线OP 分别交于E ，F 两点，若OE OF =，证明：点P 在一条确定的直线上运动.22．（本小题12分）设函数()22()x x f x a a R -=⋅-∈（1）若函数()y f x =的图象关于原点对称，函数3()()2g x f x =+，求满足0()0g x =的0x 的值；（2）若函数()()42x x h x f x -=++在[0,1]x ∈的最大值为2-，求实数a 的值.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足()2i 12i z +=-，其中i 为虚数单位，则z =（）A ．1B ．1-C ．iD ．i-【答案】D 【详解】解：由()2i 12i z +=-，得12i (12i)(2i)5i=i 2i (2i)(2i)5z ----===-++-，故选：D2．设集合{}2340A x Z x x =∈-->，{}2|1x B x e -=<，则以下集合P 中，满足(A)Z P C B ⊆ 的是（）A ．{1,0,1,2}-B ．{1,2}C ．{1}D ．{2}【答案】C 【详解】集合{}2340A x Z x x =∈-->，解得{4A x Z x =∈>或}1x <-，{}2|1x B x e -=<，解得{}|2B x x =<，则{}1,0,1,2,3,4Z A =-ð，所以(){}{}{}1,0,1,2,3,4|21,0,1Z A B x x ⋂=-⋂<=-ð，对比四个选项可知，只有C 符合()Z P A B ⊆⋂ð.3．已知非零向量a 、b ，若a = ，()2a a b ⊥- ，则a 与b 的夹角是（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【答案】A 【详解】设a 与b的夹角为θ，a = ，()2a a b ⊥- ，则()2222222cos 3cos 0a a b a a b a a b b θθ⋅-=-⋅=-⋅=-= ，可得cos 2θ=，0θπ≤≤Q ，6πθ∴=.4．为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（）A ．48种B ．36种C ．24种D ．12种【答案】B 【详解】解：由题意可知，分三步完成：第一步，从2种主食中任选一种有2种选法；第二步，从3种素菜中任选一种有3种选法；第三步，从6种荤菜中任选一种有6种选法，根据分步计数原理，共有23636⨯⨯=不同的选取方法，故选：B5．已知函数()y f x =的图象如图所示，则此函数可能是（）A ．sin 6()22x xx f x -=-B ．sin 6()22x xx f x -=-C ．cos6()22x xx f x -=-D ．cos 6()22x xx f x -=-【答案】D 【详解】由函数图象可得()y f x =是奇函数，且当x 从右趋近于0时，()0f x >，对于A ，当x 从右趋近于0时，sin 60x >，22x x -<，故()0f x <，不符合题意，故A 错误；对于B ，()()sin 6sin 6()2222x x x xx xf x f x ----===-- ，()f x ∴是偶函数，不符合题意，故B 错误；对于C ，()()cos 6cos 6()2222x xx xx xf x f x ----===-- ，()f x ∴是偶函数，不符合题意，故C 错误；对于D ，()()cos 6cos 6()2222x xx xx x f x f x ----===--- ，()f x ∴是奇函数，当x 从右趋近于0时，cos60x >，22x x ->，()0f x ∴>，符合题意，故D 正确.6．已知函数2()ln f x a x x =+，0a >，若曲线()y f x =在点(1,1)处的切线是曲线()y f x =的所有切线中斜率最小的，则a =（）A ．12B ．1C D ．2【答案】D 【详解】因为2()ln f x a x x =+，定义域为()0,∞+，所以()2a f x x x'=+，由导数的几何意义可知：当1x =时()f x '取得最小值，因为0a >，0x >，所以()2a x f x x '=+≥=，当且仅当2ax x=即22a x =时()f x '取得最小值，又因为1x =时()f x '取得最小值，所以2212a =⨯=，7．若双曲线1C ：2213y x a -=与双曲线2C ：22169x y -=的渐近线相同，则双曲线1C 的离心率为（）A ．102B ．3C ．2D ．33【答案】B 【详解】因为双曲线1C ：2213y x a-=的渐近线方程为y =，双曲线2C ：22169x y -=的渐近线方程为y =，又这两双曲线的渐近线相同，所以332a =，解得2a =，所以双曲线1C 的离心率153e ==.8．对*n N ∈，设n x 是关于x 的方程320nx x n +-=的实数根，[(1)](2,3,...)n n a n x n =+=，其中符号[]x 表示不超过x 的最大整数，则2320202019a a a ++= （）A ．1011B ．1012C ．2019D ．2020【答案】A 【详解】设函数()32f x nx x n =+-，则()232f x nx '=+，当n 时正整数时，可得()0f x '>，则()f x 为增函数，因为当2n ≥时，()323()(2((1)01111n n n n f n n n n n n n n =⨯+⨯-=⋅-++<++++，且()120f =>，所以当2n ≥时，方程320nx x n +-=有唯一的实数根n x 且(,1)1n nx n ∈+，所以(1)1,[(1)]n n n n n x n a n x n <+<+=+=，因此2320201(2342020)101120192019a a a ++=++++= .二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．某人退休前后各类支出情况如下，已知退休前工资收入为8000元月，退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少1500元，则下面结论中正确的是（）A ．该教师退休前每月储蓄支出2400元B ．该教师退休后的旅行支出是退休前旅行支出的3倍C ．该教师退休工资收入为6000元月D ．该教师退休后的其他支出比退休前的其他支出少【答案】ACD 【详解】解： 退休前工资收入为8000元/月，每月储蓄的金额占30%，则该教师退休前每月储蓄支出800030%2400⨯=元，故A 正确；该教师退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少1500元，则该教师退休后每月储蓄的金额为900元，设该教师退休工资收入为x 元/月，则15%900x = ，即6000x =元/月，故C 正确；该教师退休前的旅行支出为80005%400⨯=元，退休后的旅行支出为600015%900⨯=元，∴该教师退休后的旅行支出是退休前旅行支出的2.25倍，故B 错误；该教师退休前的其他支出为800020%1600⨯=元，退休后的其他支出为600025%1500⨯=元，∴该教师退休后的其他支出比退休前的其他支出少，故D 正确．故选：ACD ．10．已知0a >，0b >，且221a b +=，则（）A ．2a b +≤B ．1222a b -<<C ．221log log 2a b ≥-D ．221a b ->-【答案】ABD 【详解】()()()2222222,2,2a b ab a b a b a b +≥∴+≥+∴+≤ ，又0,0,2,a b a b >>∴+≤故A 正确；0a >，0b >，且221a b +=，01,01,11,a b a b ∴<<<<∴-<-<∴1222a b -<<，故B 正确；2221a b b ->->-,故D 正确；C等价于21log 2≥-，即2211log ,log 122a b b a ≥-≥-，等价于12ab ≥,但当34,55a b ==时，满足条件0a >，0b >，且221a b +=，121252ab =<,故C 错误；11．北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高精度、高定位、导航、授时服务，2020年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数()cos5cos9cos 59x x f x x=++近似模拟其信号，则下列结论中正确的是（）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 的图象关于点π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．对任意x ∈R ，都有()()πf x f x '-='D ．函数()f x '的最小值为-3【答案】BCD 【详解】A.因为cos5cos9cos ,,59x x y x y y ===的周期分别是222,,59πππ，其最小公倍数为2π，所以函数函数()f x 的最小正周期为2π，故错误；B.因为()()()()592222cos cos cos 059f ππππ--++-==-，故正确；C.()()sin sin 5sin 9f x x x f x x π=--'-='-，故正确；D.()59sin sin 2sin 3222f ππππ=---=-',故正确；12．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，14AA AB ==，2BC =，M 、N 分别为棱11C D ，1CC 的中点，则下列说法正确的是（）A ．A 、M 、N 、B 四点共面B ．平面ADM ⊥平面11CDDC C ．1B M 与BN 所成角60︒D ．//BN 平面ADM【答案】BC 【详解】对于A ，由图显然AM 、BN 是异面直线，故A M N B 、、、四点不共面，故A 错误；对于B ，由题意AD ⊥平面11CDD C ，AD ⊂平面ADM ，故平面ADM ⊥平面11CDD C ，故B 正确；对于C ，取CD 的中点O ，连接BO 、ON ，可知BON △为等边三角形，且四边形1BB MO 为矩形，1//BO B M所以1B M 与BN 所成角60︒，故C 正确；对于D ，//BN 平面11AA D D ，显然BN 与平面ADM 不平行，故D 错误；三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知幂函数y =f (x )的图象过点12,4⎛⎫⎪⎝⎭，则曲线y =f (x )在点()1,1处的切线方程为___________【答案】230x y +-=【详解】设()f x x α=，将12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭代入，124α=，解得2α=-，()2f x x -∴=，则()32f x x -'=-，()12f ∴'=-，则切线方程为()121y x -=--，即230x y +-=.14．平面内，不共线的向量,a b 满足|||2|b a b a +-=r r r r ，且||||2a a b -= ，则,a b的夹角的余弦值为________.【答案】22【详解】解：由|||2|b a b a +-=r r r r 得222|||2|2a b a b a b a +-=⇒⋅=r r r r r r r ，由||||2a a b -= ，故2222||||a a b a b b =⇒-⋅= ，所以2222a b a b =⇒= ，所以2222cos ,22b a b b a b a b a b b⋅<>==== ，15．某校进行体育抽测，小明与小华都要在50m 跑、跳高、跳远、铅球、标枪、三级跳远这6项运动中选出3项进行测试，假设他们对这6项运动没有偏好，则他们选择的结果至少有2项相同的概率为______.【答案】12【详解】由题意，两人在6项运动任选3项的选法：3366400C C =种，小明与小华选出3项中有2项相同的选法：211643180C C C =种，小明与小华选出3项中有3项相同的选法：3620C =种，∴他们选择的结果至少有2项相同的概率为21136436336612C C C C P C C +==，16．已知圆()()2200:8M x x y y -+-=，点(2,4)T -，从坐标原点O 向圆M 作两条切线OP ，OQ ，切点分别为P ，Q ，若切线OP ，OQ 的斜率分别为1k ，2k ，121k k =-，则OM 为定值________，TM 的取值范围为________.【答案】4254,54⎡⎤⎣⎦【详解】由题意可知，直线1:OP y x k =，2:OQ y k x =，因为直线OP ，OQ 与圆M 相切，1002121k x y k-=+2002221k x y k-=+，两边同时平方整理可得()2221010008280k x k x y y -++-=，()2222020008280k x k x y y -++-=，所以1k ，2k 是方程()22208280(0)kx kx yy k -++-=≠的两个不相等的实数根，所以2122088y k k x -=-．又121k k =-，所以202818y x -=--，即220016x y +=，则4OM ==；又TO ==，根据圆的性质可得，所以44TO TM TO -≤≤+，即44TM -≤≤．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①4bc =，②cos 1a B =，③sin 2sin A B =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求C 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 1b C =，sin 2sin c A C =，________.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【详解】若选①，bc ＝4，由于c sin A ＝2sin C ，利用正弦定理可得ac ＝2c ，可得a ＝2，因为b cos C ＝1，可得cos C ＝1b ＝2222a b c ab+-，整理可得2a ＝a 2+b 2﹣c 2，解得b ＝c ＝2，所以C ＝3π．若选②，a cos B ＝1，因为c sin A ＝2sin C ，由正弦定理可得ca ＝2c ，解得a ＝2，所以cos B ＝12，由B ∈（0，π），可得B ＝3π，又b cos C ＝1，可得a cos B ＝b cos C ，由余弦定理可得a •2222a c b ac +-＝b •2222a b c ab+-，整理可得b ＝c ，所以C ＝B ＝3π．若选③，sin A ＝2sin B ，由正弦定理可得a ＝2b ，又c sin A ＝2sin C ，由正弦定理可得ca ＝2c ，可得a ＝2，所以b ＝1，又因为b cos C ＝1，可得cos C ＝1，又C ∈（0，π），所以这样的C 不存在，即问题中的三角形不存在．18．已知数列{}n a 的各项均为正数，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，且2*32,n n n T S S n N =+∈.（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式．【详解】（1）由3T 1＝21S ＋2S 1，得321a ＝21a ＋2a 1，即21a －a 1＝0.因为10a >，所以11a =；（2）因为3T n ＝2n S ＋2S n ，①所以3T n ＋1＝21n S +＋2S n ＋1,②②－①，得321n a +＝21n S +－2n S ＋2a n ＋1，即321n a +＝(S n ＋a n ＋1)2－2n S ＋2a n ＋1.因为10n a +>，所以a n ＋1＝S n ＋1,③所以a n ＋2＝S n ＋1＋1,④④－③，得a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1，即a n ＋2＝2a n ＋1，所以当n ≥2时，1n na a +＝2，又由222232T S S =+，得3(1＋22a )＝(1＋a 2)2＋2(1＋a 2)，即22220-=a a ，因为20a >，所以22a =，所以21a a ＝2，所以对任意的n ∈N *，都有12n n a a +=成立，所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=.19．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，3AB =，12A A =，D ，E ，F 分别为线段AC ，1A A ，1CB 的中点.（1）证明：//EF 平面ABC ；（2）求直线1C B 与平面BDE 所成角的正弦值.【详解】（1）如图，取BC 的中点G ，连结AG ，FG .在1BCC 中，因为F 为1C B 的中点，所以1//FG C C ，112FG C C =.在三棱柱111ABC A B C -中，11//A A C C ，11A A C C =，且E 为1A A 的中点，所以//FG EA ，FG EA =.所以四边形AEFG 是平行四边形.所以//EF AG .因为EF ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ，所以//EF 平面ABC .（2）以D为坐标原点，如图所示建立空间直角坐标系，因为233AB =，所以1BD =,所以()0,0,0D ，()0,1,0B ，1323C ⎫⎪⎝⎭，33E ⎛⎫⎪⎝⎭,所以131,23BC ⎫=-⎪⎝⎭ ，()0,1,0DB = ，33DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，设平面BDE 的一个法向量为(),,n a b c =，则00DB n DE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即003b a c =⎧⎪⎨-+=⎪⎩,取a =1c =，所以n =，所以111cos ,||||n BC n BC n BC ⋅<>===直线1C B 与平面BDE 所成角为θ，则θ与1,n BC <>或它的补角互余，所以111sin cos ,n BC n BC n BC θ⋅=<>==⋅.20．利用简单随机抽样的方法，从某校高一年级男生体验表格中抽取20名同学的胸围()cm x 与肺活量()ml y 的样本，计算平均值80.5x =，4030y =，并求出线性回归方程为ˆ32.26yx a =+.高一男生胸围与肺活量样本统计表胸围70758085827377738572肺活量3700460040004300440034003200380044003500胸围708378918174917610490肺活量3600450037004100470037004600400047003700（1）求a 的值；（2）求样本y 与x 的相关系数r ，并根据相关性检验的临界值表，判断有无99%把握认为肺活量与胸围线性关系是有意义的(精确到0.001)；（3）将肺活量不低于4500ml 视为大肺活量，用样本大肺活量的频率作为全校高一男生大肺活量的概率，求从本校高一年级任意抽取4名男同学，恰有两名是大肺活量的概率.(参考公式及数据：()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，()()niix x y y r --=∑38≈，2040≈.)附：相关性检验的临界值表2n -检验水平0.050.01160.4680.590170.4560.575180.4440.561190.4330.549200.4230.537【详解】（1）由于回归直线：ˆy=32.26x +a 过点(80.5，4030)，所以a =4030-32.26x 80.5=1433.07.（2）假设H 0：变量x ，y 不具有线性相关关系，所以r =382040⨯32.26≈0.601，由相关性检验临界值表知：r 001=0.561，r =0.601>0.561，所以有99%的把握认为肺活量的大小与胸围具有线性相关关系.（3）从统计表中可知，20个样本中不低于4500m /有5个，所以全校高一男生大肺活量的概率为520=14设从高一年级任取4名男同学，恰有两名男生是大肺活量的概率为ρ，则p =24C 214⎛⎫ ⎪⎝⎭22471283⎛⎫ ⎪=⎝⎭.所以从高一年级任取4名男同学，恰有两名男生是大肺活量的概率为27128.21．如图所示，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，一条准线为直线x =（1）求椭圆的标准方程；（2）A 为椭圆的左顶点，P 为平面内一点（不在坐标轴上），过点P 作不过原点的直线l 交椭圆于C ，D 两点（均不与点A 重合），直线AC ，AD 与直线OP 分别交于E ，F 两点，若OE OF =，证明：点P 在一条确定的直线上运动.【详解】（1）设圆的焦距为2c .因为椭圆的离心率为22，一条准线为直线2x =所以22c e a ==，22a c =，从而21a =，212c =，从而22212b ac =-=.所以椭圆的标准方程为2221x y +=.（2）因为点P 不在坐标轴上，所以直线OP 的斜率存在且不为0.设直线CD 的方程为y mx n =+，直线EF 的方程为y kx =，设点()11,C x mx n +，点()22,D x mx n +，点()00,P x y ，由题设知()1,0A -.因为点A 、C 不重合，所以直线AC 的方程为11(1)1mx ny x x +=++.联立11(1)1mx n y x x y kx+⎧=+⎪+⎨⎪=⎩，可得点E 的横坐标11()E mx n x k m x k n +=-+-.同理可得点F 的横坐标22()F mx nx k m x k n+=-+-.因为OE OF =，所以0E F x x +=，整理得()12122()(2)2()0m k m x x mk nk mn x x n k n -++-++-=（*）联立2221y mx n x y =+⎧⎨+=⎩，可得()222214210m x mnx n +++-=.所以()2242210m n ∆=-+>，122421mn x x m -+=+，21222121n x x m -=-+，代入（*）式，有()()222()21(2)4221()0m k m n mk nk mn mn n m k n ---+-⋅++-=，整理得()()0n m n m k -+-=.因为直线CD 不过点A ，所以0n m -≠，因而0n m k +-=.联立y mx ny kx=+⎧⎨=⎩，可得0()k m x n -=.因为直线CD 不过原点，所以0n ≠，因而0k m -≠.所以01nx k m==-，因而点P 在直线1x =上运动22．设函数()22()x x f x a a R -=⋅-∈（1）若函数()y f x =的图象关于原点对称，函数3()()2g x f x =+，求满足0()0g x =的0x 的值；（2）若函数()()42x x h x f x -=++在[0,1]x ∈的最大值为2-，求实数a 的值.【详解】（1）∵()f x 的图象关于原点对称，∴()()0f x f x -+=，∴22220x x x x a a --⋅-+⋅-=，即()(1)220xx a --⋅+=，所以1a =；令3()2202xxg x -=-+=，则()()2223220xx ⋅+⋅-=，∴()()222210xx+⋅⋅-=，又20x >，∴1x =-，所以满足()00g x =的0x 的值为01x =-.（2）()2242x x x x h x a --=⋅-++，[0,1]x ∈，令2[1,2]x t =∈，2()(),[1,2]h x H t t at t ==+∈，对称轴02a t =-，①当3122a -≤，即3a ≥-时，max ()(2)422H t H a ==+=-，∴3a =-；②当322a ->，即3a <-时，max ()(1)12H t H a ==+=-，∴3a =-（舍）；综上：实数a 的值为3-.高考试题年年在变，但考查的内容和知识点是相对稳定的，解答题的考查内容基本是固定的，取得高分一定有规律可找，基础知识+二级结论+技巧模板是实现高分的必经途径，这是众多优秀学生检验了无数遍的真理，抓住核心题型集中归类突破，就能举一反三，不必题海战术.学会对题型的总结反思与解题方法的优化，就会突破瓶颈。
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一.选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B =,则a 的值为 ( )A ． 0 B.1 C.2 D ．42.函数f (x )=(0)x x -≤的反函数是（ ）A ．()02≥=x x yB ．()02≥-=x x yC ．()02≤=x x yD ．()02≤-=x x y 3.已知集合{}{}1,0,1,,,P -==Q c b a ,映射Q P f →:中满足0)(=b f 的映射个数是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．94.已知一个物体的运动方程为,,,12s t m S t t S 的单位是的单位是其中+-=那么物体在s 3末的瞬时速度是（ ）A ．5m/sB ．6m/sC ．7m/sD ．8m/s5.已知函数()x f 为实数集R 上的减函数，则满足()11f x f <⎪⎪⎭⎫⎝⎛的实数x的取值范围是（ ）A.()1,1-B.()1,0C.()()+∞-∞-,11,D.()()1,00,1 -6.已知函数12)(2++=x ax x f 的图像与x 轴的负半轴至少有一个交点的充要条件是（）A.1≤aB.10≤<aC.1<aD.010<≤<a a 或7.图中的图象所表示的函数的解析式为( )A ．|1|23-=x y(0≤x ≤2)B ．|1|2323--=x y (0≤x ≤2)C ．|1|23--=x y (0≤x ≤2) D ．|1|1--=x y (0≤x ≤2)8.若函数)(x f 的定义域为]2,0[，则)22(-x f 的定义域为 （ ）A ．[0，1]B ．]2,3[log 2C ．]3log ,1[2D ．[1，2] 9.求函数)6lg(2-+=x x y 的单调增区间是（ ）A ．)21,(--∞B ．),21(+∞- C ．），（∞+2 D ．），（3-∞- 10.设函数)(x f 是实数集R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f(x)在x ＝2010处的切线的斜率为（ ） A ．－51B ．0 C ．51D ．511.已知函数3443x y a x y =+=与，若它们的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则切斜线率为（ ）A ．0B ．12C ．0或12D ．4或112.设()⎩⎨⎧<≥=1,1,2x x x x x f ，()x g 是二次函数，若()[]x g f 的值域是[)+∞,0，则()x g 的 值域是( )A.(][)+∞-∞-,11,B.(][)+∞-∞-,01,C.[)+∞,0D.[)+∞,1 二.填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.)13.已知集合{}1≤-=a x x A ，{}0452≥+-=x x x B ，若φ=B A ，则实数a 的取值范围是.14.函数x x f 3log )(=在区间[]()b a b a <,上的值域为[]1,0，则a b -的最小值是.15.已知函数1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则a 的取值范围是.16．已知偶函数)(x f 在区间[],01-是增函数，且满足)1()1(--=+x f x f ，给出下列判断：①0)5(=f ；②)(x f 在[]2,1上是减函数；③)(x f 的图像关于直线1=x 对称；④)(x f 在0=x 处取得最大值；⑤)(x f 没有最小值. 其中正确的判断序号有___________.三.解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤.)17.(满分12分)设命题P :关于x 的不等式()1,01222≠>>--a a a a ax x 且的解集为{|-2}x a x a <<;命题Q ：2lg()y ax x a =-+的定义域为R .如果P 或Q 为真,P 且Q 为假,求a 的取值范围.18.某高级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：高一年级高二年级高三年级女生 373 xy 男生377 370z已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19.(Ⅰ)求x 的值；(Ⅱ)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少名？19.(满分12分)设函数a ax x a x x f 244)1(31)(23+++-=，其中常数a>1. (Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若当x ≥0时，f(x)>0恒成立，求a 的取值范围.20.(满分12分)已知函数)1,0)(1121(2)(≠>+-=a a a x f x 且. (Ⅰ)求函数)(x f 的反函数解析式; (Ⅱ)判断函数)(1x f -的奇偶性; （III ）当10<<a 时,解不定式1)(1>-x f .21.(满分12分)函数()f x 的定义域为{}0D x x R x =∈≠且，且满足对于任意的实数12x xD ∈、，有1212()()()f x x f x f x ⋅=+.(Ⅰ)求(1)f 的值； (Ⅱ)判断()f x 的奇偶性并证明； （III ）若(4)1f =，且()f x 在0+∞（，）上是增函数，解关于x 的不等式(31)(26)3f x f x ++-≤.22.(满分12分)已知c+=2f+xbxx(为偶函数，曲线)(x)y=过点(),52，f且)()xg+=.x)(xa(f(Ⅰ)若曲线)(x gy=有斜率为0的切线，求实数a的取值范围(Ⅱ)若当1-=x时函数=y)(x g取得极大值，且方程0g有三个不)(=x+b同的实数解，求实数b的取值范围.试题答案一.选择题：DBDA DABD CBCC二.填空题13.(),32； 14.32; 15. ()()∞+⋃-∞-，，63; 16.①②④三.解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤.)17.解：解:P 为真时,01a <<;Q 为真时,12a >,因为P 或Q 为真，P 且Q 为假， 所以:1012a a <≤≥,或18. 解：（1）19.02000=x∴380x =人； （2）高三年级人数为y ＋z ＝2000－（373＋377＋380＋370）＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在高三年级抽取的人数为：48500122000⨯= 名19.解：（I ）)2)(2(4)1(2)(2a x x a x a x x f --=++-='（II ）由（I ）知，当0≥x 时，)(x f 在a x 2=或0=x 处取得最小值。
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第I卷(选择题，共60分）注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上.2. 考试结束，将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .设集合A ={x丨x−1x+2>0,集合B = {x丨−5 ≤2x+1≤3},则集合A∩B=≤A. [- 3, - 2)B. (- 2,1)C.RD. ∅2．已知直线l1:x sinα+2y−1=0 ，直线l2::x−y cosα+3=0,若 l1 ⊥l2:，则tan2α=A.−23B.− 43C.25D.453. 已知复数z满足|z| =1，则|z-1+√3i|的最小值为A.2B. 1C.√3D.√24. 已知m,n为两条不同直线，α β为两个不同平面，则下列结论正确的为A. α//β，m// α，则m//βB.m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α// βC. m丄n，m丄α，n//β则α丄βD. m丄α，m// n，α// β，则n丄β5．已知f(x)是偶函数,且在(0, + ∞)上单调递增，则函数f(x)可以是A.f(x)= x 4−2x2B. f(x)= e x+e−x2C.f(x)= xsinxD. f(x) =13x2 +cos x6.已知圆C:(x−a)2+y2= 4(a≥2)与直线x —y+ 2√2—2 = 0相切，则圆C与直线x−y − 4 = 0相交所得弦长为A. 1B.√2C. 2D. 2√27.已知函数f(x)= sinx+ cos x的导函数为g(x),则下列结论中错误的是A.函数f(x)与g(x)有相同的值域和周期B. 函数g(x)的零点都是函数f(x)的极值点C. 把函数f(x)的图象向左平移π2个单位，就可以得到函数g(x)的图象D. 函数f(x)和g(x)在区间(-π4，π4)上都是增函数8. 若某单位员工每月网购消费金额（单位：元）近似地服从正态分布N(1000,5002)，现从该单位任选10名员工，记其中每月网购消费金额恰在500元至2000元之间的人数为ξ，则ξ的数学期望为参考数据:若随机变量X服从正态分布则N（μ，ℴ2），则P（μ−ℴ< X≤μ+ℴ）= 0.6827,P(μ-2ℴ< X< μ+ 2ℴ) = 0. 9545, P（μ-3ℴ< X ≤μ+3ℴ) = 0. 9973.A. 2.718B. 6. 827C. 8. 186D. 9. 5459. (2x + 1)(1 +√x)5的展开式中x3系数为A. 180B. 90C. 20D. 1010. 已知锐角三角形△ABC的内角A，B, C的对边分别为a，b，c.且b = 2asinB，则cosB + sinC的取值范围为A. (0, √3]B. (1，√3]C. ( √32，32)D.( 12，√32)11.设双曲线E:x 2a 2-y 2b 2= 1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1, ,F2，离心率为e,P 在双曲线E 的右支上.且PF1丄PF2，Q 为线段PF1,与双曲线E 左支的交点，若∠PQF2 = 300，则e 2= A. 7 - 2√3 B. 1+√3 C.2√3−1 D. 72√312.已知函数f (x )={3x −x 3,x ≤0xe x+lnx+1x,x >0,若关于X 的方程发f 2(x )-mf(x)-1=0恰好有6个不相等的实根，则实数m 的取值范围是 A. ( -2,1e+1 ) B. ( -2,0 )∪ ( 0, 1e+1 )C. (−32,2e+1e 2+e) D. ( −32,0 )∪( 0,2e+1e 2+e)第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量a→ b→ ，满足：a→=(1, √3），|b→|=√2，（a→− b→）丄b→，则向量a→ b→的夹角为____________。
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即 在 恒成立；………………………………………………5分
设 ，∴只需证对任意 有 .……6分
， …………………………………………7分
设 ，……………………………………………… ………………………8分
①当 ，即 时， ，∴ ， 在 上单调递增，∴ ；………………………… ……………………………………………9分
【一】选择题：本大题共l2小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．
1．假设集合A={x∈R|lgx2＞0}，集合B={x∈R|1≤2x+3＜7}，那么〔 〕
A、CUB⊆AB、B⊆AC、A⊆CUBD、A⊆B
2、复数 〔 为虚数单位〕的虚部是〔 〕
A. B. C. D.
A、2 B、4 C．6 D、8
12.设 是 的导数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数 都有对称中心 ，其中 满足 . ，那么 〔〕
A、2019 B、2014 C．2019 D、2016
【二】填空题：本大题共4小题．每题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．函数 ，那么 的值为．
14．设f(x)＝x3＋ax2＋ bx＋a2，假设f(x)在x＝1处取得极值10，那么a＋b的值为_____.
22、(本小题总分值10 分)选修4-5：不等式选讲
设a R，f〔x〕＝｜x－a｜＋〔1－a〕x，
〔1〕解关于a的不等式f〔2〕＜0；〔4分〕
〔2〕如果f〔x〕≥0恒成立，求实数a的取值范围．〔6分〕
参考答案
一.选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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一、选择题（每题后只有一个答案是正确的，将正确答案的代号填上答题卡中。
每题5分，共60分）1．若集合M=}0|{,},1|||{2<-=<=x x x N x x M ，则=N M ( ) A.}11|{<<-x x B.}10|{<<x x C.}01|{<<-x x D.}1,0,1{- 2． 条件p ：2≥a ；条件q:09322≥--a a ,则p ⌝是q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分不必要条件 3．若向量a 与a b 24-垂直，其中向量)2,(),1,1(x b a =-=，则实数x 的值是( ) A.2- B.1- C.1 D.24．若抛物线px y 22=的焦点与双曲线1322=-y x的右焦点重合，则p 的值为（ ）A.22B.4C.4-D.25．设n m ,表示不同的直线，βα、表示不同的平面，下列命题中有正确的是（ ） A.m n m //,//α 则α//n B.ββα//,//,,n m n m ⊂，则αβ// C. n m m ⊥⊥⊥,,ααβ，则β//n D.βααβ⊄⊥⊥n n m m ,//,,，则β//n6．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤22y x x y x ，则目标函数y x z +=2的最小值为（ ）A.3B.4C.6D.27．某位高三学生要参加高校自主招生考试，现从6所高校中选择3所报考，由于其中两所学校的考试时间相同，因此该同学不能同时报考这两所学校，则该同学不同报名方法种数是（ ）A.12B.15C.16D.208． 等差数列}{n a 的数列前n 项和为n S ,若17017=S ，则1197a a a ++的值为（ ）A.10B.20C.25D.309．如果直线l 将圆04222=--+y x y x 平分，且不通过第四象限，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）A.]1,0[B.]2,0[C.]21,0[ D.]1,21[10．已知函数)0,( )4sin()(>∈+=ωπωR x x x f 的最小正周期为π，将)(x f y =的图像向左平移||ϕ个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的一个值是（ ）A.2π B. 8π C. 4πD. 83π11． 函数d cx bx x x f +++=23)(的图像如图，则函数)332(log 22c bx x y ++=的单调递减区间为（ ）A.)2,(--∞B.),3[+∞C. ]3,2[-D.),21[+∞12．定义在R 上的函数)(x f 的图像关于点)0,43(-成中心对称，且对任意实数都有0)23()(=++x f x f ，已知2)0(,1)1(-==-f f ，则)2010()2()1()0(f f f f ++++ =（ ）A.-2B.1C.0D.670二、填空题（每题5分，共20分）13.二项式62)1(xx -的展开式中的常数项为 。
2021年高考数学全真模拟预测试卷附答案
参考公式: 棱锥的体积公式13V Sh=,其中S 是底面面积,h 是高. 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设全集{|15}U x Z x =∈-≤≤,{1,2,5}A =,}41|{<<-∈=x N x B ,则U B C A = A ．{}3B ．{}0,3C ．{}0,4D ．{}0,3,42．已知i 为虚数单位,则复数2(1)(1)i i -+等于 A ．22i -+ B ．22i -- C ．22i + D ．22i - 3．若||1,||2,a b c a b ===+且c a ⊥,则向量a 与b 的夹角为A.030B. 060C.0120 D.01504．到定点(0,)(p 其中0)p >的距离等于到定直线y p =-的距离的轨迹方程为A. px y 22=B. py x 22=C.px y 42= D.py x 42=5．已知下列四个命题：① 若一条直线垂直于一个平面内无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；② 若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；③ 若一条直线平行一个平面，另一条直线垂直这个平面，则这两条直线垂直；④ 若两条直线垂直，则过其中一条直线有唯一一个平面与另外一条直线垂直； 其中真命题的序号是A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④6．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数()f x 的导函数()f x '的图象不经过A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限21世纪教育网7的尺寸（单位:cm A. 13cm3 B. 23cm3 C.43cm3 D. 83cm38. 在直线1,1,1,1x x y y =-==-=所围成的区域中做投针试验,则针落在区域24x y <内的概率是A. 116B. 1124 C. 16 D. 2321世纪教育网二、填空题:本大共6小题,每小题5分，满分30分）9. 一个算法的程序框图如右图所示,则该程序输_________.俯视图 正视左视第7题图10.设等比数列{}n a 的公比21=q ,前n 项和为n S ,则44a S =__. 21世纪教育网11.若点Q P ,分别是圆22221,(3)(2)1x y x y +=-++= 上的动点，则PQ 的最大值为 .12.()()611x x +-展开式中3x 的系数是 .13. 不等式组260302x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩所表示的平面区域的面积为 .14．已知()f x 是R 上的奇函数,当0x <时,2()log ()f x x =-,则()f x 的解析式为 .三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本题满分12分）已知函数()22()sin cos 2cos 2f x x x x =++-,x R∈. 21世纪教育网(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期以及()f x 的值域;(Ⅱ)如何由函数y x =的图象通过适当的变换得到函数()f x 的图象, 写出变换过程.16．（本题满分12分）从某学校高三年级共800抽取50名测量身高,部介于155cm 和195cm 之间,按如下方式分成八组:第一组[)155,160二组[)160,165、…第八组[]190,195,是按上述分组方法得到的频率分布直方图的 一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六 组、第七组、第八组人数依次构成等差数列.(Ⅰ) 估计这所学校高三年级全体男生身高180cm 以上(含180cm)的人数；(Ⅱ) 求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图； (Ⅲ) 若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,记他们的身高分别为x y 、，求满足5x y -≤的事件概率.1C1B1A1OC BAOEF第17题图17．（本题满分14分）如图,在棱长为a 的正方体1111OABC O A B C -中,F E ,分别是棱BC AB ,上的动点,且BF AE =.(Ⅰ) 求证:11A F C E⊥;(Ⅱ) 当三棱锥1B BEF-的体积取得最大值时,① 求二面角1B EF B --的正切值; ② 证明:1A 、F 、1C 、E 四点共面.18．（本题满分14分）已知{}n a 是等比数列,12a =,318a =;{}n b 是等差数列,12b =,1234b b b b +++=12320a a a ++>.(Ⅰ) 求数列{}n a 的前n 项和n S 的公式； (Ⅱ) 求数列{}n b 的通项公式；21世纪教育网(Ⅲ) 设14732n n P b b b b -=++++,10121428n n Q b b b b +=++++,其中1,2,3,n =,试比较n P 与n Q 的大小,并证明你的结论.19．（本题满分14分）已知函数2()ln f x a x x =+(a 为实常数). 21世纪教育网(Ⅰ) 若2a =-,求证:函数()f x 在(1,)+∞上是增函数; (Ⅱ) 求函数()f x 在[1,e]上的最小值及相应的x 值；(Ⅲ) 若存在x ∈[1,e]，使得()f x ≤(2)a x +成立,求实数a 的取值范围.20．（本题满分14分）如图(0)AO OC a a ==>,6OE =.若将线段OE 进行n 等分,…,i A …;线段FE 也进行n 等分,分别记为321,,B B B …,i B …,连结,,,321CA CA CA iCA …;321,,AB AB AB …,iAB …,其中iCA 与iAB 的交点是i P .(Ⅰ) 求点i P 的坐标; 21世纪教育网(Ⅱ) 问是否存在两个定点，使点i P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.参考答案和评分标准一、选择题：（每题5分，共40分）题号 12 3 4 5 6 7 8答案 B D C D D B CB二、填空题（每题5分，共30分）9．4510．151112．5-13．114．22log ,0()0,0log (),0x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪-<⎩三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本题满分12分）解:2()sin 22cos 1sin 2cos 2)4f x x x x x x π=+-=+=+……………………4分（Ⅰ）函数()fx 的最小正周期22T ππ==,值域为[; ……………………6分（Ⅱ）变换过程如下:y x =y )4yx π=+另解:y x =)4y x π=+（以上每一个变换分.）……………………………12分 16．（本题满分12分）π所有点的横坐标缩短为原来的12纵坐标不变图象向左平移8π个单位解:（Ⅰ）由直方图得前五组频率为(0.0080.0160.040.040.06)50.82++++⨯=…………2分后三组频率为10.820.18-=,这所学校高三男生身高在180cm 以上(含180cm 的人数) 为8000.18144⨯=（人） …………………………………4分 （Ⅱ）由直方图得第八组频率为0.00850.04⨯=， 人数为0.04502⨯=（人）, 后三组人数为0.18509⨯=(人) 设第六组人数为m ，则第七组人数为927m m --=-,又22(7)m m +=-，∴4m =，所以第六组人数为4人，第七组人数为3人，……………………6分频率分别等于0.08，0.06．组距频率分别等于0.016，0.012，（画图如上） …………8分(Ⅲ) 由（Ⅱ）知身高在[)185,180内的人数为4人，设为a 、b 、c 、d ， 身高在[190,195]内的人数为2人，设为A 、B ，若[)185,180,∈y x 时，有ab 、ac 、ad 、bc 、ba 、cd 共6种情况； 若]195,190[,∈y x 时，有AB 共1种情况；若[)185,180,∈y x 和[190,195]内时，有aA 、bA 、cA 、dA 、aB 、bB 、cB 、dB 共8种情况．所以基本事件总数为61815++=种， ………………………………………………10分事件“||5x y -≤”所包含的基本事件个数有617+=种，∴7(||5).15P x y -≤=……………12分另解:2242267(||5)15C C P x y C +-≤==…………………………12分 17．（本题满分14分）解:如图建立坐标系 ……………………………………………1分 （Ⅰ）证明:设x BF AE ==,则()()1,0,,,,0,A a a F a x a -()()10,,,,,0C a a E a x -,……………………………………3分所以()()11,,,,,A F x a a C E a x a a =--=-- 因为()2110A F C E xa a x a a ⋅=-+-+=,所以11A F C E ⊥ (5)分(Ⅱ) ①三棱锥1B BEF -的体积()224161a x a x V ≤-=,当且仅当2ax =时取得最大值………8分过B 作EF BD ⊥于D ,连1B D ,可知1B D EF ⊥,所以DB B '∠是二面角1B EF B--的平面角.在直角三角形BEF 中,a BD a BF BE 42,2===,所以11tan B BB DB BD ∠==……11分②当2ax =时取得最大值,此时,F E ,都是BC AB ,的中点,知EF ∥AC ∥11A C .根据公理知:EF ,11A C 确定一个平面,所以1A 、F 、1C 、E 四点共面.……………14分18．（本题满分14分） 解：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由231a a q =得2319a q a ==，3q =±……………………2分当3q =-时，12326181420a a a ++=-+=<,这与12320a a a ++>矛盾，故舍去；当3q =时，12326182620a a a ++=++=>,故符合题意. ………………………3分 从而数列{}n a 的前n项和()2133113n n n S -==--………………………………………5分(Ⅱ)设数列{}n b 的公差为d ，由123426b b b b +++=,得14626b d +=, 又12b =解得3d =,所以31n b n =-;…………………………………………………8分(Ⅲ)14732,,,,n b b b b -组成以3d 为公差的等差数列，所以()211953222n n n P nb d n n-=+⋅=-……………………………………………9分 10121428,,,,n b b b b +组成以2d 为公差的等差数列,1029b =,所以()210123262n n n Q nb d n n -=+⋅=+, (10)分22953()(326)(19)222n n P Q n n n n n n -=--+=-……………………………12分所以对于任意正整数n ，当20n ≥时，n n P Q >； 当19n =时，n n P Q =； 当18n ≤时，n n P Q <.…………14分19．（本题满分14分）解:（Ⅰ）当2-=a 时，x x x f ln 2)(2-=，当),1(+∞∈x ，0)1(2)(2>-='x x x f ，故函数)(x f 在),1(+∞上是增函数．…………………………………………………3分 (Ⅱ))0(2)(2>+='x x ax x f ，当],1[e x ∈，]2,2[222e a a a x ++∈+.………………4分若2-≥a ，)(x f '在],1[e 上非负（仅当2-=a ，1x =时，0)(='x f ），故函数)(x f 在],1[e 上是增函数，此时=min )]([x f 1)1(=f ． (5)分若222-<<-a e，当2ax -=时，0)(='x f ；当21a x -<≤时，0)(<'x f ，此时)(x f 是减函数； 当e x a≤<-2时，0)(>'x f ，此时)(x f 是增函数．故=min )]([x f )2(a f -2)2ln(2aa a --= (7)分若22e a -≤，)(x f '在],1[e 上非正（仅当2e 2-=a ，x e =时，0)(='xf ），故函数)(x f 在],1[e 上是减函数，此时==)()]([min e f x f 2e a +． (8)分综上可知，当2-≥a 时，)(x f 的最小值为1，相应的x 值为1； 当222-<<-a e时,)(x f 的最小值为2)2ln(2aa a --,相应的x 值为2a-；当22e a -≤时，)(x f 的最小值为2e a +，相应的x 值为e (9)分(Ⅲ)不等式x a x f )2()(+≤，可化为x x x x a 2)ln (2-≥-．∵],1[e x ∈,∴x x ≤≤1ln 且等号不能同时取，所以x x <ln ，即0ln >-x x ，因而x x x x a ln 22--≥(],1[e x ∈)…10分令x x x x x g ln 2)(2--=（],1[e x ∈），又2)ln ()ln 22)(1()(x x x x x x g --+-=' (11)分当],1[e x ∈时，1ln ,01≤≥-x x ，0ln 22>-+x x ，……………………………12分 从而0)(≥'x g （仅当x=1时取等号），所以)(x g 在],1[e 上为增函数 …………13分 故)(x g 的最小值为1)1(-=g ，所以实数a 的取值范围是),1[+∞-…………………14分20．（本题满分14分）解：（Ⅰ）由条件知()⎪⎭⎫⎝⎛-0,6,,0n i A a C i ,……………………………………………1分直线i CA 的方程为xi na a y 6+-=………………………………………………2分由条件知()⎪⎭⎫ ⎝⎛-a n i a B a A i ,6,,0, 直线i AB 的方程为x n ia a y 6-=……4分解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=x n ia a y x i na a y 66, 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+⨯=22222226i n i n a y i n in x , 所以点P 的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⨯222222,26i n i n a i n in ………7分(Ⅱ)由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+⨯=22222226i n i n a y i n in x 得136222=+a y x ……………………………………………10分当6=a 时,不存在两个定点，使点P 到这两点的距离的和为定值; ………………11分当6≠a 时, 存在两个定点，使点P 到这两点的距离的和为定值.此时点P 在椭圆上,方程为136222=+a y x ; (12)分当6<a 时,焦点在x 轴上,焦点坐标为()()0,36,0,3622a a ---,定值为12;…13分当6>a 时,焦点在y 轴上,焦点坐标为()()36,0,36,022---a a ,定值为a 2.……14分。
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一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.
1．全集U={-3-2-10123456}，，，，，，，，，,集合{10123}A =-，，，，，{-23456}B =，，，，,则
()U C A B =
A ．{3}-
B ．{32}--，
C ．{-3-2-1012456}，，，
，，，，，D ．{3} 2．函数1
()log (2)(0,1)2
x a f x a a =->≠的定义域是
A ．(1)+∞，
B ．(1)-∞-，
C ．(1)-∞，
D ．(1)-+∞，
3．函数()1x x f x a a -=++，()x x g x a a -=-，其中01a a >≠，，则
A ．()()f x g x 、均为偶函数
B ．()()f x g x 、均为奇函数
C ．()f x 为偶函数 ，()g x 为奇函数
D ． ()f x 为奇函数 ，()g x 为偶函数
4．如右图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，
俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是
A ．3
B ．1
2
πC ．3D ．
6
正视图 俯视图
侧视图
5．“2=a ”是“函数1)(2++=ax x x f 在区间)1[∞+-，上为增函数”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件
6．已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若6318a a -=，则8S = A ． 68 B ．72 C ．54 D ． 90
7．已知点(1,2),(5,6)A B -到直线:10l ax y ++=的距离相等，则实数a 的值等于
A ．-2或1
B ．1或2
C ．-2或-1
D ．-1或28．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥B ．若l α⊥，l m //，则m α⊥ C ．若l α//，m α⊂，则l m //D ．若l α//，m α//，则l m // 9．抛物线24x y =的焦点到准线的距离为
A ．
161B ．81 C ．4
1
D ．4 10．已知4||,2||==b a ，且)(b a +与a
垂直，则a b 与的夹角是
A ．︒60
B ．︒90
C ．︒120
D ．︒150
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～
15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.
11．下图是一个算法的流程图，则输出S的值是.
12.在区间[]3,0上任取一个数x，使得不等式0
2
3
2>
+
-x
x成立的概率为．
13．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c且a=1，B∠=045，ABC
S
∆
=2，则b=.
14．（坐标系与参数方程选做题）圆的半径为1，圆心的极坐标为(10)，，则圆的极坐标
方程是．
15．（几何证明选讲选做题）如图P是O的直径AB延长线上一点，PC 与
O相切于点C，APC
∠的角分线交AC于
点Q，则
AQP
∠的大小为．Q
B
A
O
P
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）
2
111
()sin cos 222
f x x x x =+， （Ⅰ）将)(x f 化为k x A ++)sin(ϕω(00)2
π
ωϕ><<，的形式；
（Ⅱ）写出()f x 的最值及相应的x 值； （Ⅲ）若3
6
ππ
α-<<
，且3
()5f α=+
，求cos2α．
17．（本小题满分12分）
某学校共有高一、高二、高三学生2000名，各年级男、女生人数如下图：
E
D 1
C
B 1D
A
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19. （Ⅰ）求x 的值；
（Ⅱ）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少名？
（Ⅲ）已知245,245≥≥z y ，求高三年级中女生比男生多的概率．.
18.（本小题满分14分）
如图，在长方体1111D C B A ABCD -,2==AD AB E AA ,11=为1BB 的中点. （Ⅰ）//1D B 平面AEC ； （Ⅱ）求证：⊥AC D B 1； （Ⅲ）求三棱锥ACD E -的体积.
19.（本小题满分14分）
已知椭圆C 以12(10)(10)F F -
，
，， 为焦点，且离心率e =
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过(0M 点斜率为k 的直线1l 与椭圆C 有两个不同交点P Q 、，求k 的范围；
（Ⅲ）设椭圆C 与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B 、，是否
存在直线1l ，满足（Ⅱ）中的条件且使得向量OP OQ +与AB 垂直？如果存在，写出1l 的方程；如果不存在，请说明理由．
20.（本小题满分14分） 已知函数321()22
f x x x x =--． （Ⅰ）求()f x 的极值；
（Ⅱ）当[12]x ∈-，时，()f x m <恒成立，求实数m 的取值范围．
21.（本小题满分14分）
已知函数)),1[(1ln )(+∞∈+-=x x x x f ，数列{}n a 满足)(,*1
1N n e a a e a n
n ∈==+． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）求)()()(21n a f a f a f +++ ； （Ⅲ）求证：).(321*2
)
1(N n e
n n n ∈≤⋅⋅⋅⋅-
试题与参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.。