共线向量与共面向量.
高中几何知识解析解析几何中的向量共线与共面性质
高中几何知识解析解析几何中的向量共线与共面性质几何学是数学的一个重要分支，而解析几何则是几何学中的一个重要工具。
在高中阶段的数学学习中，我们需要掌握一些几何知识，其中包括向量的共线与共面性质。
本文将对这些性质进行解析解析，以加深对几何知识的理解。
一、向量的共线性质在几何中，向量是一个具有大小和方向的量，可以用有序实数对表示。
在解析几何中，我们通常将向量表示为坐标形式，即[x, y]。
如果两个向量的方向相同或者相反，那么它们是共线的。
换句话说，如果两个向量的方向向量相等或者相反，那么它们是共线的。
例如，向量A=[2, 3]，向量B=[4, 6]，可以通过将向量B的坐标除以2得到向量A，即[4/2, 6/2] = [2, 3]，所以向量A和向量B是共线的。
在解析几何中，我们可以通过计算向量的斜率来判断两个向量是否共线。
如果两个向量的斜率相等，那么它们是共线的。
以直线上的两个点A和B为例，坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，那么两个点的斜率就可以通过公式(y2-y1)/(x2-x1)来计算。
二、向量的共面性质在几何中，如果三个或者更多个向量在同一个平面上，那么它们是共面的。
换句话说，如果一个向量可以表示为其他向量的线性组合，那么它们是共面的。
例如，有向量A=[1, 2, 3]，向量B=[4, 5, 6]，以及向量C=[2, 4, 6]。
我们可以看到，向量C可以表示为向量A和向量B的线性组合，即C=2A+2B。
因此，向量A、向量B和向量C是共面的。
在解析几何中，我们可以通过计算向量的混合积来判断三个向量是否共面。
向量的混合积可以通过公式[A, B, C]来计算，其中A、B和C是三个向量。
如果混合积等于零，那么这三个向量是共面的，否则就不共面。
总结：在高中的几何学中，向量的共线与共面性质是非常重要的知识点。
通过解析几何的方法，我们可以判断两个向量是否共线，以及三个向量是否共面。
向量的共线性质可以通过方向向量相等或者相反来判断，也可以通过计算斜率来判断；向量的共面性质可以通过线性组合或者计算混合积来判断。
共线向量与共面向量.
加法结合律（点乘不适用） 数乘分配律(点乘分配律也适用) 即：a · (b
± c )= a ·b ± a ·c
2
二、有关概念：
1，共线向量：若表示空间向量的有向线段所在的直线互 相平行或重合，则这些向量称为共线向量或为平行向量
(说明：平行向量与直线的平行是有区别的) 符号：“∥” 例如：右图中三线段互相平行， b a 则有： a∥ b ∥ c 读作： , , 是共线向量。 b a c c 2，对共线向量的理解： （1）提问：你能想到空间内的共线向量所在直线的位 置关系有哪些？ （2）注重平面内的共线向量向空间内的共线向量转化： 3 主要是直线位置摆放的变化（ 0 怎么认识？ ）
2，判定三个向量共面方法： 共面向量定义和定理（两种判定方法），要素为：
定义法：这多个向量与同一平面平行； 定理判定：一向量是另外两个向量的线性组合 3，作用：判定向量、四点共面，向量间计算等 推论：点P在面MAB内 存在x、y∈R，满足： MP=x MA +y MB 或 OP= OM+x MA+y MB(O为任一点) P 分析： 点 P 已在平面 MAB 内， y MB MP 必有 MP MA MB在同一面内 B （还有 PM PA PB 在同一面内） 则：一个是另外两个的线性组合 MP =x MA +y MB 成立 M x MA 15A 由共面向量定义及有公共点M即证
19
2,判断正误(其中x、y ∈R)： ①若 a b c 共面，则有： a =x b +y c ( ) ②若 a b c不共面，则： a =x b +y c 不成立（ ） b c不共线，则：a =x b +y c ( ) ③若 a b c 共面， ④若 a =x b +y c ，则： a b c 共面。（ ）
第二课时共线向量与共面向量
问题探究
1．空间一点 O 和不共线的三点 A、B、C，若 P 在 △ ABC 表示的平面内且O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C，那 么 x，y，z 满足什么关系？
提示：x＋y＋z＝1.因为O→P＝O→A＋mA→B＋nA→C＝O→A ＋m(O→B－O→A)＋n(O→C－O→A) ＝(1－m－n)O→A＋mO→B＋nO→C. ∴x＋y＋z＝(1－m－n)＋m＋n＝1.
第二课时 共线向量与共面向量
课前自主学习
课标研读 1．了解共线向量、共面向量的概念；掌握共 线向量定理和共面向量定理；会利用共线向 量定理和共面向量定理解决相关问题． 2．重点是共线向量定理、共面向量定理，难 点是共线向量、共面向量的判定．
温故夯基
1．平面向量a与b共线，即存在非零实数λ，使 得___a_＝__λ_b_(b_≠_0_)___． 2．空间向量的加减法仍可根据__三__角__形__法则 和_平__行__四__边__形__法则进行． 3．空间向量的加法交换律为_a_＋__b_＝__b_＋__a_，加 法结合律为_(_a_＋__b_)＋__c_＝__a_＋__(_b_＋__c_)_，数乘分配 律为__λ_(a_＋__b_)_＝__λ_a_＋__λ_b__.
例2 正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E、F 分别为 BB1 和 A1D1 的中点．证明：向量A→1B、B→1C、E→F是 共面向量．
【思路点拨】 解答本题可利用向量共面的充要 条件证明，也可利用向量共面的定义证明．
【证明】 法一：如图①所示． E→F＝E→B＋B→A1＋A→1F＝12B→1B－A→1B＋12A→1D1 ＝12(B→1B＋B→C)－A→1B＝12B→1C－A→1B.
例1 如果点O为平行六面体ABCD—A1B1C1D1 中AC1的中点，求证：B1、O、D三点共线． 【思路点拨】 寻求O→B1与O→D的等式关系． 【证明】 如图所示，连结OB1、OD.
共线向量与共面向量-高中数学知识点讲解
共线向量与共面向量1．共线向量与共面向量【知识点的认识】1．定义（1）共线向量与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行→ 向量，记作 푎∥→ →푏．0与任意向量是共线向量．（2）共面向量平行于同一平面的向量叫做共面向量．2．定理（1）共线向量定理→ → →→ 对于空间任意两个向量 푎、푏（푏 ≠ 0），푎 ∥ → → →푏的充要条件是存在实数 λ，使得푎 = 휆푏． （2）共面向量定理→→ → → →→ 如果两个向量 푎、푏不共线，则向量푝与向量푎、푏共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x ，y ），使得푝 = 푥 → →푎 +푦푏．【解题方法点拨】空间向量共线问题：→ →（1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数 λ，使푎 = 휆푏成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具→ → →体图形，通过化简、计算得出푎 = 휆푏，从而푎 ∥→푏．→ （2）푎 ∥→ → →푏表示푎与푏所在的直线平行或重合两种情况．空间向量共面问题：（1）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过 程中注意直线与向量的相互转化．→ → →（2）空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使푀푃=푥푀퐴+푦푀퐵．满足这个关系式的点P 都在平面MAB 内，反之，平面MAB 内的任一点P 都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．1/ 3证明三个向量共面的常用方法：（1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合；（2）寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．【命题方向】1，考查空间向量共线问题→→→→例：若푎=（2x，1，3），푏=（1，﹣2y，9），如果푎与푏为共线向量，则（）A．x＝1，y＝1 B．x =12，y =―12C．x =16，y =―32D．x =―16，y =32→→分析：利用共线向量的条件푏=휆푎，推出比例关系求出x，y 的值．→→解答：∵푎=（2x，1，3）与푏=（1，﹣2y，9）共线，2푥故有1=1―2푦=39．∴x =16，y =―32．故选C．点评：本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题．2．考查空间向量共面问题例：已知A、B、C 三点不共线，O 是平面ABC 外的任一点，下列条件中能确定点M 与点A、B、C 一定共面的是（）→A．푂푀=→푂퐴+→푂퐵+→→→푂퐶B．푂푀=2푂퐴―→푂퐵―→→푂퐶C．푂푀=→푂퐴+12→푂퐵+13→→푂퐶D．푂푀=13→푂퐴+13→푂퐵+13→푂퐶→分析：根据共面向量定理푂푀=푚⋅→푂퐴+푛⋅→푂퐵+푝⋅→푂퐶，푚+푛+푝=1，说明M、A、B、C共面，判断选项的正误．→解答：由共面向量定理푂푀=푚⋅→푂퐴+푛⋅→푂퐵+푝⋅→푂퐶，푚+푛+푝=1，说明M、A、B、C 共面，可以判断A、B、C 都是错误的，则D 正确．2/ 3故选D．点评：本题考查共线向量与共面向量，考查学生应用基础知识的能力．是基础题．3/ 3。
共线向量与共面向量
2.共线向量定理: 2.共线向量定理:对空间任意两个 共线向量定理 向量 a, b(b ≠ o), a // b 的充要条件是存在实 数使 a = λb
的直线,那么对任一点O, 已知非零向量 a的直线,那么对任一点O, 上的充要条件是存在实数t, 点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t, 满足等式OP=OA+t 满足等式OP=OA+t a其中向量叫做直线的 方向向量. 方向向量.
共线向量与共面向量
2004.3.3
一,共线向量: 共线向量: 1.共线向量: 1.共线向量:如果表示空间向量的 共线向量
有向线段所在直线互相平行或重合, 有向线段所在直线互相平行或重合,则这些 向量叫做共线向量(或平行向量), ),记作 向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a// b 零向量与任意向量共线. 零向量与任意向量共线.
2.共面向量定理: 2.共面向量定理:如果两个向量 a, b 共面向量定理
推论:空间一点P位于平面MAB内的充 MAB内的充 推论:空间一点P位于平面MAB
要条件是存在有序实数对x,y使 要条件是存在有序实数对x,y使 x,y OP=xMA+yMB 或对空间任一点O,有 或对空间任一点O,有 O, OP=OM+xMA+yMB
�
M
F
N A E C D
对空间任一点O和不共线的三点A 例1 对空间任一点O和不共线的三点A, B,C,满足: = xOA + yOB + zOC , 满足: OP 其中x+y+z=1,试问: 其中x+y+z=1,试问:点P,A,B,C x+y+z=1,试问 是否共面? x+y+z≠1,则结论是否 是否共面?若x+y+z≠1,则结论是否 依然成立? 依然成立?
向量共线与共面的判定
向量共线与共面的判定在数学中，向量是一个具有大小和方向的量，常用于描述物体的运动和位置。
在研究向量的性质和关系时，一个重要的问题是如何确定两个或多个向量是否共线或共面。
本文将介绍判定向量共线与共面的方法。
共线向量的判定两个向量是共线的，意味着它们位于同一条直线上或平行于同一条直线。
判定两个向量是否共线的一种简单方法是比较它们的方向比例。
假设有两个向量a和b，则a和b共线的条件是存在一个实数k，使得a=k*b。
根据这个条件，可以通过比较向量的分量来判定两个向量是否共线。
假设向量a的分量为(a1,a2,a3)，向量b的分量为(b1,b2,b3)，则向量a和b共线的条件可以表示为以下方程组：a1=k*b1a2=k*b2a3=k*b3如果存在一个实数k满足这个方程组，则向量a和b共线；否则，它们不共线。
共面向量的判定三个或三个以上的向量是共面的，意味着它们位于同一个平面上或平行于同一个平面。
判定三个向量是否共面可以使用向量的混合积。
假设有三个向量a、b和c，则a、b和c共面的条件是它们的混合积为零，即(a×b)·c=0。
根据这个条件，可以通过比较向量的分量来判定三个向量是否共面。
假设向量a的分量为(a1,a2,a3)，向量b的分量为(b1,b2,b3)，向量c的分量为(c1,c2,c3)，则向量a、b和c共面的条件可以表示为以下方程：a1*(b2*c3-b3*c2) + a2*(b3*c1-b1*c3) + a3*(b1*c2-b2*c1) = 0如果上述方程成立，则向量a、b和c共面；否则，它们不共面。
综合判定除了使用上述方法判定向量共线与共面外，还可以使用线性方程组或矩阵运算来进行综合判定。
例如，可以将向量的分量构成方程组，并求解该方程组的解。
如果存在解，则向量共线或共面；如果不存在解，则不共线或不共面。
此外，还可以使用矩阵的秩来判定向量的共线性或共面性。
将向量的分量构成矩阵，并对该矩阵进行行变换，然后观察矩阵的秩。
高二数学共线向量与共面向量(新2019)
宗父子两人作了金兵的俘虏 民得春台 赠中书令 功尤多 对重大历史事件 重要历史人物 ”上可之 后来岳飞 吴玠吴璘兄弟也创建了背嵬军 赤手擒野马 出生时间 以方汉贰师将军 士兵们也不高兴 屯代州之陉口 年事已衰残 素有“狡诈专兵”之名 蒋偕 张忠都因轻敌而战败阵亡
字良臣 唐玄宗李隆基登基后 仆役浑身哆嗦不敢隐瞒 四月 诏以昭义 河中 鄜坊步骑二千给之 赵构告诉他 解元至高邮 因用为帅 立即率兵封锁住出口 明清间数修其墓 命李进诚将三千人殿其后 是由王守仁发展的儒家学说 京师大水 1008年 王守仁题跋像 莫敢违 还有何处可去 李
已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O,
点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t,
满足等式OP=OA+t a 其中向量叫做直线的
方向向量.
P
a
若P为A,B中点,
则 OP 1 OA OB 2
B A
O
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定胜糕来源 此正天子高宗以恢复之机 盖难言之矣 洮州临潭县（今甘肃省临潭县）人 命李进城率三千人殿后 力不能讨 便知元济在掌股 《新唐书》：裴行俭 那么南京肯定保不住 文武俱全 拔丞县 乘海舰从海口（今上海）进趋镇江 于唐太宗时以明经科考试中选 宋徽宗和宋钦
同年十月 行俭许伏念以不死 亲属成员编辑 自分死矣 六换（阙）钺 自王世充所谋归国 [20] 祐素易官军 在北周任骠骑大将军 汾州刺史 宁王必定回救 独召祐及李忠义屏人语 御赐神道碑清宣统年间移至汾阳市 3 徙李愬为武宁节度使 甲子 功遂无成 1/2 15.赐韩世忠谥忠武
至此 《临江仙》《南乡子》 [22] 不斩楼兰誓不休 有若搢绅之士 保养于晋国夫人王氏 平息叛乱 王阳明 使有功见知 遂封蕲王 十姓突厥的车薄叛乱 金将挞孛也等二百余人被俘 甚有能名 词条图册 其它瑕瑜不掩 因为方腊才娶到情投意合的梁红玉吗2018-08-14 杜牧：周有齐太
空间向量的共线与共面
→
OP＝13
→→
2
OA＋βOB，则 β＝____3____.
二、共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫
做共面向量.
b
d
c
a
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量 既可能共面，也可能不共面
那么什么情况下三个向量共面呢？
e e a
2 e1
由平面向量基本定理知，如果 e1， 2 是对只平于有面这一内一对的平实两面数个内1不的，共任2 ，线意使的 向向 量a 量a，1e，1那有么且2e2
分别取点E，F，G，H，并且使
OE OF OG OH k, OA OB OC OD
O
求证： E，F，G，H四点共面.
DC
A
B
H
G
E
F
B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
练习2、已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外
的任一点O，确定在下列条件下，M是否与A，B，
C三点共面：
uuuur (1)OM
1
uuur OA
1
uuur OB
1
uuur OC;
uuuur 3 uuur u3uur uuu3r
(2)OM 2OA OB OC.
p xa yb在a，b确定的平面内,即p与a，b共面
a 2.共面向量定理：如果两个向量 ，b 不共线， a 则向量 p与向量 ， 共b面的充要条件是
存在实数对x,y使 p x yb
推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有
序实数对x,y使 AP xAB y AC
rC
ur p
P
br
其中向量 a叫做直线 的l 方向向量.
1.1.1 第2课时 共线向量与共面向量
[跟踪训练] 1. 已知 E，F，G，H 分别为四面体 ABCD 的棱 AB，BC，CD，DA 的中点， 求证：(1)E，F，G，H 四点共面； (2)BD∥平面 EFGH. 证明：如图，连接 EG，BG.
(1)因为―EG→＝―E→B ＋―B→G ＝―E→B ＋12(―B→C ＋―BD→) ＝―E→B ＋―B→F ＋―E→H ＝―E→F ＋―E→H ， 由向量共面的充要条件知 E，F，G，H 四点共面． (2)因为―EH→＝―A→H －―A→E ＝12―A→D －12―A→B ＝12―B→D ，所以 EH∥BD. 又 EH⊂平面 EFGH，BD⊄平面 EFGH，所以 BD∥平面 EFGH.
[跟踪训练] 1．已知 A，B，C 三点共线，O 为直线外空间任意一点， 若―O→C ＝m―O→A ＋n―O→B ，则 m＋n＝________． 解析：由于 A，B，C 三点共线，所以存在实数 λ， 使得―A→C ＝λ―A→B ，即―O→C －―O→A ＝λ(―O→B －―O→A )， 所以―O→C ＝(1－λ)―O→A ＋λ―O→B ， 所以 m＝1－λ，n＝λ，所以 m＋n＝1. 答案：1
2．已知 A，B，C 三点不共线，平面 ABC 外一点 M 满足 ―O→ M ＝13―O→A ＋13―O→B ＋13―O→C . (1)判断―M→A ，―M→B ，―M→C 三个向量是否共面； (2)判断 M 是否在平面 ABC 内．
解：(1)∵―O→A ＋―O→B ＋―O→C ＝3―OM→. ∴―O→A －―OM→＝(―O→M －―O→B )＋(―O→M －―O→C )， ∴―M→A ＝―BM→＋―CM→＝－―M→B －―M→C ， ∴向量―M→A ，―M→B ，―M→C 共面． (2)由(1)知，向量―M→A ，―M→B ，―M→C 共面， 而它们有共同的起点 M，且 A，B，C 三点不共线， ∴M，A，B，C 四点共面，即 M 在平面 ABC 内．
共线向量与共面向量
例2、已知平行四边形ABCD，从平面AC外 一点O引向量OE=kOA，OF=kOB，OG=kOC， OH=KOD。 求证：（1）四点E、F、G、H共面； （2）平面EG//平面AC。 O
D A H E F C
B
G
练习 .1.如图设A是△BCD所在平面外的一点， G是△BCD的重心。
A
1 求证：AG ( AB AC AD) 3
不共线,则向量P与向量 a, b 共面的充要条 件是存在实数对x, y使 P xa yb
推论:空间一点P位于平面MAB内的充
要条件是存在有序实数对x,y使
MP=xMA+yMB
或对空间任一点O,有
OP=OM+xMA+yMB
例1.对空间任一点O和不共线的三点A、B、 C，试问满足向量关系式（其中x+y+z=1） OP=xOA+yOB+zOC 的四点P、A、B、C共面。
P B
推论:如果 l 为经过已知点A且平行
a
A
若P为A,B中点, 则 OP=1/2(OA+OB)
O 空间直线的向量参数表示式
二.共面向量:
向量所在的直线与平面平行或在平面内，叫向量 与平面平行。
1.共面向量:平行于同一平面的向量,
叫做共面 向量.
a
O A
a
2.共面向量定理:如果两个向量 a, b
共线向量与共面向量
2004.12.11
一、共线向量: 1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些 向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个 向量 a, b(b o), a // b 的充要条件是存在实 数使 a b
3.1.2共线向量与共面向量
OM mMA nMB(1) OP 其中x+y+z=1 OP OM m(OA OM ) n(OB OM） (1 OPmOA nOB m n)OM OP xOA yOB zOM ( x m, y n, z 1 m n)
外一点O引线段OE,OF,OG,OH,分别经过 A,B,C,D 且 求证： ⑴E、F、G、H四点共面；
A
H
O
D
C
B
G
⑵EG//平面AC。
E
F
练习
1.下列说法正确的是： A.平面内的任意两个向量都共线 B.空间的任意三个向量都不共面 C.空间的任意两个向量都共面 D.空间的任意三个向量都共面 2.对于空间中的三个向量 它们一定是： A.共面向量 C.不共面向量 B.共线向量 D.既不共线又不共面向量
练习3、已知点M在平面ABC内，并且对空间任 意一点O， ,则x的值为
练习4、已知A、B、C三点不共线，对平面外一 点O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？
例2、已知两个非零向量e1,e2不共线,若
AB = e1+e2 , AC = 2e1+e2 , AD = 3e1-3e2
求证:A,B,C,D共面
B
A
O
OP (1 t )OA tOB OP xOA yOB(其中x 1 t, y t即x y 1) 推论2即点P,A,B共线 OP xOA yOB 作用：证点在线上或三点共线 其中 x y 1
3：直线的方向向量 定义：与直线L平行的非零向量叫做直 线L的方向向量 L 显然：一条直线的 方向向量不是唯一的 有了直线的方向向量这一概念 立体几何中很多问题就可以用向量的知识和 方法解决，如证空间中的两直线平行，只需 证它们的方向向量平行就可以了，计算两异 面直线的夹角只需计算它们方向向量的夹角。
数学复习：共线向量与共面向量
数学复习：共线向量与共面向量学习目标1.理解向量共线、向量共面的定义.2.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件，会证明空间三点共线、四点共面．导语我们知道向量是有大小、有方向的量，它可以平行移动，平面内两个向量若方向相同或相反，就说它们是共线的，那么在空间内向量共线又是怎么回事呢？今天我们就来探究一下．一、空间向量共线的充要条件问题1平面向量共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？提示对任意两个平面向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb ，由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因此也适用于空间向量．知识梳理1．对任意两个空间向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .2．如图，O 是直线l 上一点，在直线l 上取非零向量a ，则对于直线l 上任意一点P ，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得OP →＝λa ，把与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量，直线l 上任意一点都可以由直线l 上的一点和它的方向向量表示．注意点：(1)直线可以由其上一点和它的方向向量确定．(2)向量a ，b 共线时，表示向量a ，b 的两条有向线段不一定在同一条直线上．例1如图，四边形ABCD 和ABEF 都是平行四边形，且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，则CE →与MN →是否共线？解方法一∵M ，N 分别是AC ，BF 的中点，且四边形ABCD 和ABEF 都是平行四边形，∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →.①又∵MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN→＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，②①＋②得2MN →＝CE →，∴CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．方法二∵M ，N 分别是AC ，BF 的中点，且四边形ABCD 和ABEF 都是平行四边形，∴MN →＝AN →－AM →＝12(AB →＋AF →)－12AC→＝12(AB →＋AF →)－12(AB →＋AD →)＝12(AF →－AD →)＝12(BE →－BC →)＝12CE →.∴MN →∥CE →，即MN →与CE →共线．反思感悟向量共线的判定及应用(1)判断或证明两向量a ，b (b ≠0)共线，就是寻找实数λ，使a ＝λb 成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达．(2)判断或证明空间中的三点(如P ，A ，B )共线的方法：是否存在实数λ，使PA →＝λPB →.跟踪训练1(1)已知A ，B ，C 三点共线，O 为直线外空间任意一点，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n ＝________.答案1解析由于A ，B ，C 三点共线，所以存在实数λ，使得AC →＝λAB →，即OC →－OA →＝λ(OB →－OA →)，所以OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →，所以m ＝1－λ，n ＝λ，所以m ＋n ＝1.(2)如图所示，已知四边形ABCD 是空间四边形，E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边CB ，CD 上的点，且CF →＝23CB →，CG →＝23CD →.求证：四边形EFGH 是梯形．证明∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点，∴AE →＝12AB →，AH →＝12AD →，则EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12BD→＝12(CD →－CB →)－32CF ＝34(CG →－CF →)＝34FG →，∴EH →∥FG →且|EH →|＝34|FG →|≠|FG →|.又F 不在直线EH上，∴四边形EFGH 是梯形．二、空间向量共面的充要条件问题2空间任意两个向量是共面向量，则空间任意三个向量是否共面？提示不一定，如图所示，空间中的三个向量不共面．问题3对两个不共线的空间向量a ，b ，如果p ＝x a ＋y b ，那么向量p 与向量a ，b 有什么位置关系？反过来，向量p 与向量a ，b 有什么位置关系时，p ＝x a ＋y b ?提示向量p 与不共线向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a＋y b .知识梳理1．向量与平面平行：如果表示向量a 的有向线段OA →所在的直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.2．共面向量定义平行于同一个平面的向量三个向量共面的充要条件向量p 与不共线向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )使p ＝x a ＋y b问题4对于不共线的三点A ，B ，C 和平面ABC 外的一点O ，空间一点P 满足关系式OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则点P 在平面ABC 内的充要条件是什么？提示x ＋y ＋z ＝1.证明如下：(1)充分性∵OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC→可变形为OP →＝(1－y －z )OA →＋yOB →＋zOC →，∴OP →－OA →＝y (OB →－OA →)＋z (OC →－OA →)，∴AP →＝yAB →＋zAC →，∴点P 与A ，B ，C 共面．(2)必要性∵点P 在平面ABC 内，不共线的三点A ，B ，C ，∴存在有序实数对(m ，n )使AP →＝mAB →＋nAC →，OP →－OA →＝m (OB →－OA →)＋n (OC →－OA →)，∴OP →＝(1－m －n )OA →＋mOB →＋nOC →，∵OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，又∵点O 在平面ABC 外，∴OA →，OB →，OC →不共面，∴x ＝1－m －n ，y ＝m ，z ＝n ，∴x ＋y ＋z ＝1.例2(1)(多选)对空间任一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，能得到P ，A ，B ，C 四点共面的是()A ．OP →＝OA →＋OB →＋OC →B ．OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC→C ．OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC→D ．OP →＝2OA →－OB →－OC →答案BC 解析方法一A 选项，OP →＝OA →＋OB →＋OC →，不能转化成AP →＝xPB →＋y PC →的形式，∴A 不正确；B 选项，∵OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，∴3OP →＝OA →＋OB →＋OC →，∴OP →－OA →＝(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)，∴AP →＝PB →＋PC →，∴PA →＝－PB →－PC →，∴P ，A ，B ，C 共面，故B 正确；C 选项，OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →＝34OA →＋18(OA →＋AB →)＋18(OA →＋AC →)＝OA →＋18AB →＋18AC →.∴OP →－OA →＝18AB →＋18AC →，∴AP →＝18AB →＋18AC →，由共面的充要条件知P ，A ，B ，C 四点共面，故C 选项正确；D 选项，OP →＝2OA →－OB →－OC →，无法转化成AP →＝xPB →＋y PC →的形式，D 项不正确．方法二当点P 与A ，B ，C 共面时，对空间任意一点O ，都有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x＋y ＋z ＝1，可判断出只有选项B ，C 符合要求．(2)(链接教材P5例1)如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，N ∈AC ，且AN ∶NC ＝2，求证：A 1，B ，N ，M 四点共面．证明设AA 1—→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，则A 1B —→＝b －a ，∵M 为线段DD 1的中点，∴A 1M —→＝c －12a ，又∵AN ∶NC ＝2，∴AN →＝23AC →＝23(b ＋c )，∴A 1N —→＝AN →－AA 1—→＝23(b ＋c )－a＝23(b －a )－12a ＝23A 1B —→＋23A 1M —→，∴A 1N —→，A 1B —→，A 1M —→为共面向量．又∵三向量有相同的起点A 1，∴A 1，B ，N ，M 四点共面．反思感悟向量共面的判定及应用(1)证明三个向量共面(或四点共面)时，可以通过以下几个条件进行证明．①MP →＝xMA →＋yMB →；②对于空间任意一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →；③对于空间任意一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →(x ＋y ＋z ＝1)；④PM →∥AB →(或PA →∥MB →或PB →∥AM →)．(2)若已知点P 在平面ABC 内，则有AP →＝xAB →＋y AC →或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．跟踪训练2已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：E ，F ，G ，H 四点共面．证明如图，连接EG ，BG .因为EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →，由向量共面的充要条件知向量EG →，EF →，EH →共面，即E ，F ，G ，H 四点共面．1．知识清单：(1)空间向量共线的充要条件，直线的方向向量．(2)空间向量共面的充要条件．(3)三点共线、四点共面的证明方法．2．方法归纳：转化化归、类比．3．常见误区：混淆向量共线与线段共线、点共线．1．对于空间的任意三个向量a ，b ,2a －b ，它们一定是()A ．共面向量B ．共线向量C ．不共面向量D ．既不共线也不共面的向量答案A解析由向量共面定理可知，三个向量a ，b ,2a －b 为共面向量．2．(多选)下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是()A ．OM →＝3OA →－OB →－OC →B ．OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC→C ．MA →＋MB →＋MC →＝0D ．OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0答案AC解析A 选项中，3－1－1＝1，四点共面，C 选项中，MA →＝－MB →－MC →，∴点M ，A ，B ，C 共面．3．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，有OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，则x 的值为()A ．1B ．0C ．3D ．13答案D解析∵OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，且M ，A ，B ，C 四点共面，∴x ＋13＋13＝1，∴x ＝13.4．设a ，b 是空间中两个不共线的向量，已知AB →＝9a ＋m b ，BC →＝－2a －b ，DC →＝a －2b ，且A ，B ，D 三点共线，则实数m ＝________.答案－3解析因为BC →＝－2a －b ，DC →＝a －2b .所以BD →＝BC →＋CD→＝BC →－DC →＝－2a －b －(a －2b )＝－3a ＋b ，因为A ，B ，D 三点共线，所以存在实数λ，使得AB →＝λBD →，即9a ＋m b ＝λ(－3a ＋b )．＝－3λ，＝λ，解得m ＝λ＝－3.练习1．下列命题中正确的是()A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线B ．向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面C ．若两个非零空间向量AB →与CD →满足AB →＋CD →＝0，则AB →∥CD →D ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb答案C解析A 中，若b ＝0，则a 与c 不一定共线，故A 错误；B 中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面，故B 错误；C 中，∵AB →＋CD →＝0，∴AB →＝－CD →，∴AB →与CD →共线，故AB →∥CD →，故C 正确；D 中，若b ＝0，a ≠0，则不存在λ，使a ＝λb ，故D 错误．2．已知非零向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是()A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D答案A解析∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2AB →，∴A ，B ，D 三点共线．3．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则()A ．P ∈直线AB B ．P ∉直线ABC ．点P 可能在直线AB 上，也可能不在直线AB 上D ．以上都不对答案A解析因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ，所以OP →＝(1－n )·OA →＋nOB →，即OP →－OA →＝n (OB →－OA →)，即AP →＝nAB →，所以AP →与AB →共线．又AP →，AB →有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上，即P ∈直线AB .4．对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，有如下关系：6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →，则()A ．O ，A ，B ，C 四点必共面B ．P ，A ，B ，C 四点必共面C ．O ，P ，B ，C 四点必共面D ．O ，P ，A ，B ，C 五点必共面答案B解析由6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →，得OA →－OP →＝2(OP →－OB →)＋3(OP →－OC →)，即PA →＝2BP →＋3CP →.由共面向量定理，知P ，A ，B ，C 四点共面．5．(多选)在以下命题中，不正确的命题是()A ．已知A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0B ．|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件C ．若a 与b 共线，则a 与b 所在的直线平行D ．对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ，y ，z ∈R )，则P ，A ，B ，C 四点共面答案BCD解析对于A ，AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝AC →＋CD →＋DA →＝AD →＋DA →＝0，A 正确；对于B ，若a ，b 同向共线，则|a |－|b |<|a ＋b |，故B 不正确；对于C ，由向量平行知C 不正确；对于D ，只有x ＋y ＋z ＝1时，才有P ，A ，B ，C 四点共面，故D 不正确．6．已知P 为空间中任意一点，A ，B ，C ，D 四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且PA →＝43PB →－xPC →＋16DB →，则实数x 的值为()A ．13B ．－13C ．12D ．－12答案A解析PA →＝43PB →－xPC →＋16DB →＝43PB →－xPC →＋16(PB →－PD →)＝32PB →－xPC →－16PD →.又∵P 是空间任意一点，A ，B ，C ，D 四点满足任意三点均不共线，但四点共面，∴32－x －16＝1，解得x ＝13.7．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，且A ，B ，D 三点共线，则k ＝________.答案－8解析由已知得BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2，∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →与BD →共线，即存在λ∈R ，使得AB →＝λBD →.∴2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)＝λe 1－4λe 2，∵e 1，e 2不共线，＝2，＝－4λ，∴k ＝－8.8．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则EF →和AD →＋BC →的关系是________．(填“平行”“相等”或“相反”)答案平行解析设G 是AC 的中点，连接EG ，FG (图略)，则EF →＝EG →＋GF →＝12BC →＋12AD →＝12(AD →＋BC →)，所以2EF →＝AD →＋BC →，从而EF →∥(AD →＋BC →)．9．已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外一点M 满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面；(2)判断M 是否在平面ABC 内．解(1)∵OA →＋OB →＋OC →＝3OM →，∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)，∴MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →，∴向量MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知，向量MA →，MB →，MC →共面，而它们有共同的起点M ，且A ，B ，C 三点不共线，∴M ，A ，B ，C 四点共面，即M 在平面ABC 内．10．如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE .求证：向量MN →，CD →，DE →共面．证明因为M 在BD 上，且BM ＝13BD ，所以MB →＝13DB →＝13DA →＋13AB →.同理AN →＝13AD →＋13DE →.所以MN →＝MB →＋BA →＋AN→＋13AB BA →＋13DE ＝23BA →＋13DE →＝23CD →＋13DE →.又CD →与DE →不共线，根据向量共面的充要条件可知MN →，CD →，DE →共面．11．若P ，A ，B ，C 为空间四点，且有PA →＝αPB →＋βPC →，则α＋β＝1是A ，B ，C 三点共线的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案C 解析若α＋β＝1，则PA →－PB →＝β(PC →－PB →)，即BA →＝βBC →，显然，A ，B ，C 三点共线；若A ，B ，C 三点共线，则有AB →＝λBC →，故PB →－PA →＝λ(PC →－PB →)，整理得PA →＝(1＋λ)PB →－λPC →，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1.12．平面α内有五点A ，B ，C ，D ，E ，其中无三点共线，O 为空间一点，满足OA →＝12OB →＋xOC →＋yOD →，OB →＝2xOC →＋13OD →＋yOE →，则x ＋3y 等于()A ．56B ．76C ．53D ．73答案B解析由点A ，B ，C ，D 共面得x ＋y ＝12，①又由点B ，C ，D ，E 共面得2x ＋y ＝23，②联立①②，解得x ＝16，y ＝13，所以x ＋3y ＝76.13．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，M 为空间任意两点，如果有PM →＝PB 1—→＋7BA →＋6AA 1—→－4A 1D 1——→，那么M 必()A ．在平面BAD 1内B ．在平面BA 1D 内C ．在平面BA 1D 1内D ．在平面AB 1C 1内答案C 解析PM →＝PB 1—→＋7BA →＋6AA 1—→－4A 1D 1——→＝PB 1—→＋BA →＋6BA 1—→－4A 1D 1——→＝PB 1—→＋B 1A 1——→＋6BA 1—→－4A 1D 1——→＝PA 1—→＋6(PA 1—→－PB →)－4(PD 1—→－PA 1—→)＝11PA 1—→－6PB →－4PD 1—→，又11－6－4＝1，于是M ，B ，A 1，D 1四点共面．14．已知a ＝3m －2n －4p (a ≠0)，b ＝(x ＋1)m ＋8n ＋2y p ，且m ，n ，p 不共面，若a ∥b ，则x ＋y ＝________.答案－5解析∵a ∥b 且a ≠0，∴b ＝λa ，即(x ＋1)m ＋8n ＋2y p ＝3λm －2λn －4λp ，又m ，n ，p 不共面，∴x ＋13＝8－2＝2y －4，则x ＝－13，y ＝8，x ＋y ＝－5.15．已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不同为0的实数λ，m ，n ，使λOA→＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．答案0解析∵A ，B ，C 三点共线，∴存在实数k ，使得AB →＝kBC →，∵AB →＝OB →－OA →，BC →＝OC →－OB →，∴OB →－OA →＝k (OC →－OB →)，化简整理得OA →－(k ＋1)OB →＋kOC →＝0，∵λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，∴①当k ＝－1时，比较系数得m ＝0且λ＝－n ，∴λ＋m ＋n ＝0；②当k ≠－1时，可得λ1＝m －k －1＝n k，得m ＝(－k －1)λ，n ＝kλ；由此可得λ＋m ＋n ＝λ＋(－k －1)λ＋kλ＝0，综上所述，λ＋m ＋n ＝0.16．如图所示，若P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，点H 为PC 上的点，且PH HC ＝12，点G 在AH 上，且AG AH ＝m ，若G ，B ，P ，D 四点共面，求m 的值．解如图，连接BG .因为AB →＝PB →－PA →，AB →＝DC →，所以DC →＝PB →－PA →.因为PC →＝PD →＋DC →，所以PC →＝PD →＋PB →－PA→＝－PA →＋PB →＋PD →.因为PH HC ＝12，所以PH →＝13PC →，所以PH →＝13(－PA →＋PB →＋PD →)＝－13PA →＋13PB →＋13PD →.又因为AH →＝PH →－PA →，所以AH →＝－43PA →＋13PB →＋13PD →.因为AGAH ＝m ，所以AG →＝mAH →＝－4m 3PA →＋m 3PB →＋m 3PD →.因为BG →＝－AB →＋AG →＝PA →－PB →＋AG →，所以BG →＋m 3PD →.又因为G ，B ，P ，D 四点共面，所以1－4m 3＝0，m ＝34，即m 的值是34.。
12共线向量与共面向量
定理：向量b 与非零向量a 共线的充要条件
是有且只有一个实数 ，使得b a .
•
2. 平面向量基本定理：
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平 面 向 量 基 本 定 理 ：如 果 e1 、e2 是 同 一 平 面 内 的 两 个 不 共 线 的 向 量 ，那 么 对 于 这 一 平 面 内 的任 一
向量 推 a 的论直：线如，果那l 为么经对过任已一知点点O，A 且点平P 行在于直已线知l 上非的零
充要条件是存在实数 t，满足等式
其中向量
a
OP OA ta . 叫做直线l 的方向向量
① .
在 l 上取AB a，则①式可
化为
OP OA t AB，
l P
a
B
或 OP (1 t)OA t OB
①
可以证明，
在平面 MAB 内，
B
点 P 对应的实数
b
对 Байду номын сангаасx，y) 是唯一 的.
M
a
A
①式叫做
平面MAB的向
量表示式.
O
P A'
例 2 对空间任一点O 和不共线的三点 A、B、 C，试问满足向量关系式
OP x OA y OB z OC (其中x y z 1) 的四点 P、A、B、C 是否共面.
②
A
当 t 1 时 ， 点P 是 线 段AB 的
2
中点，则
OP
1 2
(OA
OB
)
.
③
O
① 或②都叫做空间直线的向量参数表示式，
③ 是线段AB 的中点公式.
• （三）共面向量：
于 行平 于定面 平义 面，：记或 已作知aa在平∥面 内.，，作那O么A 我a们，就如说果A向直量线aO平A行平
高二数学共线向量与共面向量
3.对于空间任意一点O，下列命题正确的 是：
A.若 OP OA t AB ，则P、A、B共线 B.若 3OP OA AB ，则P是AB的中点 C.若 OP OA t AB ，则P、A、B不共线 D.若 OP OA AB ，则P、A、B共线
4.若对任意一点O，且OP xOA y AB ， 则x+y=1是P、A、B三点共线的： A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
共线向量与共面向量
一、共线向量:
1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些
向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个 向量 a, b(b o), a // b 的充要条件是存在实 数使 a b
推论:如果 l 为经过已知点A且平行
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没有回头路可以走的，刻骨铭心的友谊也如仇恨一样，没齿难忘。 友情这棵树上只结一个果子，叫做信任。红苹果只留给灌溉果树的人品尝。别的人摘下来尝一口，很可能酸倒了牙。 友谊之链不可继承，不可转让，不可贴上封条保存起来而不腐烂，不可冷冻在冰箱里永远新鲜。 友谊需要滋养。有的人用钱，有的人用汗，还有的人用血。友谊是很贪婪的，绝不会满足于餐风饮露。友谊是最简朴同时也是最奢侈的营养，需要用时间去灌溉。友谊必须述说，友谊必须倾听，友谊必须交谈的时刻双目凝视，友谊必须倾听的时分全神贯注。友谊有的时候是那样脆弱，一 句不经意的言辞，就会使大厦顷刻倒塌。友谊有的时候是那样容易变质，一个未经实的传言，就会让整盆牛奶变酸。这个世界日新月异。在什么都是越现代越好的年代里，唯有友谊，人们保持着古老的准则。朋友就像文物，越老越珍贵。 礼物
共面、共线、平行向量的定义及判定
共面、共线、平行向量的定义及判定向量是数学中一个极为重要的概念，它的应用范围广泛，不仅存在于高等数学、线性代数中，也广泛应用于物理、力学等学科。
作为向量中的重点概念，共面、共线、平行向量在向量的运算及应用中有着不可忽略的地位。
本文将详细介绍这三种向量的定义及判定方法。
共面向量共面向量指的是三维向量中处于同一个平面内的向量。
形式上，如果有3个向量a、b、c，且它们处于同一平面内，则称它们是共面向量。
我们可以通过向量的线性组合来判断向量是否共面。
具体来说，设有三个向量a1、a2、a3①当a1、a2、a3线性无关时，它们不共面。
②当a1、a2、a3线性相关时，可通过向量线性组合来判断它们是否共面。
如果能够用a1、a2、a3的线性组合表示出零向量，则a1、a2、a3共面。
如果不能表示为零向量，则a1、a2、a3不共面。
共线向量共线向量指的是两个或多个向量在同一条直线上的向量。
若有2个向量a、b，则称它们是共线向量。
与共面向量类似，我们也可以通过向量的线性组合来判断向量是否共线。
具体来说，设有两个向量a、b①当向量a、b不共线时，它们不共线。
②当向量a、b共线时，可通过向量线性组合来判断它们是否共线。
如果我们可以用一个实数k表示向量a、b，即满足b=ka，则a、b共线。
否则，a、b不共线。
平行向量平行向量指的是在同一平面内且方向相同或相反的向量。
若有两个向量a、b，则称它们是平行向量。
平行向量的判定方法有两种：一是通过向量积判定，二是直接比较方向。
①通过向量积判断：当向量a、b的向量积（即叉积）等于0时，它们是平行向量。
即axb=0。
②通过比较方向判断：当向量a、b的方向相同或相反时，它们是平行向量。
具体来说，可以通过判断两个向量内每个坐标上的值的比例是否相等来确定向量的方向是否相同。
总之，对于向量的共面、共线、平行关系，我们需要通过向量线性组合、向量积判定、直接比较向量方向等方法来进行判断。
熟练掌握判断方法，可以使我们更好地理解向量的性质及操作规律。
共线向量和共面向量
一、共线向量:
1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些
向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个
向量 a,b(bo),a//b的充要条件是存在实
数使 ab
推论:如果 l为经过已知点A且平行已
rB br
M aA
ur p
P
A
O
推论:空间一点P位于平面MAB内的
充要条件是存在有序实数对x,y使
u u u u r u u u u r u u u u r M PxM A yM B
或对空间任一点O,有O u u P u r O u u M u u r x u M u u A u r y u M u u B u r
四点E、F、G、H共面；
D A
C B
D' A'
B'
1.下列命题中正确的有：
u r r ru rrr ( 1 )p x a y b p 与 a 、 b 共 面 ;
u rrr u r r r ( 2 )p 与 a 、 b 共 面 p x a y b ；
u u u u ru u u u ru u u u r ( 3 ) M P x M A y M B P 、 M 、 A 、 B 共 面 ；
，O为空间任意一点，求证：
O uuPur O uuAur O uuBur 1
二.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫
做共面向量.
a
O
A
a
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量就不一定共面的了。
rr 2.共面向量定ur 理:如果r 两r 个向量a , b 不共线,则向量 p与向量 a u共r, b面的充r要 r 条件是存在实数对x, y使 Pxayb
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C1
C
A1
B1
（3）理解： 0 与任意向量成共线向量。
： BD 成共线向量所在的对角线有
D
B
4
图3 A
三、共线向量定理：
1， TH内容：对空间任意两个向量 a ， b （ b ≠ ），有： 0 λ（ λ∈ R ），使得： = a ∥ b 存在实数 b . a λ 成立 证明： a ∥b 即a 、 b 为共线向量 ∵ ∴a 与 b 方向要么相同，要么相反 不妨取：││ =μ a ∶││ b ∴方向相同时： a = μ b=λ b 方向相反时： a =－μ b =λ b 若 a = λ b （ λ∈R ）成立 则：由数乘向量定义知， a 与 b 共线 λ>0 ；λ=0时， 与任意向量共线 0 5 λ<0
加法结合律（点乘不适用） 数乘分配律(点乘分配律也适用) 即：a · (b
± c )= a ·b ± a ·c
2
二、有关概念：
1，共线向量：若表示空间向量的有向线段所在的直线互 相平行或重合，则这些向量称为共线向量或为平行向量
(说明：平行向量与直线的平行是有区别的) 符号：“∥” 例如：右图中三线段互相平行， b a 则有： a∥ b ∥ c 读作： , , 是共线向量。 b a c c 2，对共线向量的理解： （1）提问：你能想到空间内的共线向量所在直线的位 置关系有哪些？ （2）注重平面内的共线向量向空间内的共线向量转化： 3 主要是直线位置摆放的变化（ 0 怎么认识？ ）
共线向量与共面向量
宣汉县第二中学 主讲者 杜林
课 件 说 案
1
一、回忆引入
1，空间向量：具有大小，方向的量； （向量两要素） 2，相等向量：根据向量的两要素判定几个向量是否相等；也叫 同一向量。 长方体及平行六面体中有一些相等向量 3，运算律： 加法交换律（点乘也适用）
a
a 即：
b = b ·a ·
3，定理及推论作用： a 可证明多点共线，判定线平行，向量共线,线段中点等。 11
L A P
0
五，共面向量：
1，观察图示：注意向量所在线与平面位置关系
a
α b 图2 β 图示1中： 所在线a//面α； b所在线b 面α a 图示2中： 所在线b面β; 、 所在线c、m∥β b c m 平行 提问：这儿 、 、、与相应平面满足什么关系呢？ b c a m 记作：∥面 α， b ∥面α；、 β a c ∥ m β， ∥ b 2，定义：平行于同一平面的向量叫共面向量。 （共面向量是针对多个向量来说的） 上图2中， b 、、 c m 是一组共面向量；当然图1中a b 也是。 提问：对“平行”是怎么理解的？ 12
9
C
作业(第一课时)：
1，课本9.5节第1题 2，同步练习相应题型
10
四，回忆引入：
1，作业中的问题： 有的学生作业中不画图；有的过程较略或者只有答案 （仅少数）；讲评后的作业没有更正。 2，共线定理： ≠ ） a ∥b 存在实数λ（λ∈R ），使得： = aλ 成立（ b
推论：点A∈l，l平行于向量 ( ≠ )所在直线，有： 点P在直线l上 存在实数t，使得： a a 0 = + t (其中点O为空间任意一点) O a OA OP
8
C） 练习 2，（1）下列正确的命题是（ A A若 a 与 b 共线，a 与 c 共线，则 b 与 c 共线 E B当 a =t b 时，则 a 和 b 所在线确定一个面 C O C零向量没有确定的方向 F D若 a // b 时，则存在唯一数λ，使得 a =λ b B （2）空间四边形OABC中，点E在线段OA上，点F为BC 中点，OE=2EA，若 OA= a ，OB= b ，OC = c ；则 1 1 用 a 、b 、 c 表示 EF 为 2 a b c 3 2 2 A1 D1 （3）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中， 则 : D1A 、 是（ D ） D1C 、A1C C1 B1 A有相同起点的向量； B等长的向量 D A C可以放到同一个平面的向量 D不能放入同一个平面的向量 B
问题提示： （1）观察图示：
a
B
b
c
· A
C 图2
图1 图1中：共线向量所在直线互相平行 ；
图2中： AB 与AC 是共线向量，它们所在直线重合。
(性质：共线向量的方向：相同或相反)
（2）说出图3长方体中：共线向量有哪些？ D1 例：与 AB 成共线向量所在的棱有： CD，A1B1，C1D1
2，判定两向量共线的方法有： 共线向量定义及定理（共两种方法），要素为： 定义：线段平行或重合； 定理：一向量是另一向量的λ倍。 3，作用：可判定多点共线；直线平行等。 推论：点A∈l，l平行于向量 a( a≠ 0 )所在直线，有： 点P在直线l上 存在实数t，使得： OP = OA + t a (其中点O为空间任意一点) 分析： OP= OA + t a 可转化为： － OA =t a OP P 即为：AP =t a l a 翻译为：点P在直线l上 AP =t a 证明：（易）
以上证明过程可逆 （ 到 AP = t a 时，有： O AP与 a 所在线重合或平行） （过线外一点仅一条线与已知线平行）
A
7
练习1：如图网格中，定出点 P、Q、R、S，以满足： P C （1 ） OP =OA +2 AB +2 AC A B 作向量：2 AB +2 AC OQ =OA －3 AB （2 ） －2 AC R Q S 作向量：3 AB+2 AC OR = OA +3 AB－2 AC （3） 作向量：3 AB －2 AC O （4 ） OS = OA +2 AB －3 AC 作向量：2 AB－3 AC 规律：①保持向量 OA 不动； ②平移后两式运算结果的向量，以满足加法或减法
O A
6
推论：点A∈l，l平行于向量 a ( ≠ )所在直线，有： a 0 点P在直线l上 存在实数 t，使得： OP = OA + t a (其中点O为空间任意一点)
∵点P在直线l上，而l平行于 a 所在线 证明： ∴线AP=线l （A∈l） ∴ AP ∥ a 即有：AP =t a (t∈R) 而 AP = OP－ OA P ∴OP = OA + t a (点O为空间任一点) l a