空气动力学基础低速平面位流文稿演示

• 人们发现在无旋条件下问题可以得到大大简化 ，尤其是可以将速度和压强分开求解，这是因 为无旋条件可使关于速度位的方程化为线性方 程，从而便于单独求得速度位即求出速度，而 压强可利用伯努利方程求解
• 本章的思路是，先针对理想不可压无旋流求得 一些典型的速度位基本解，将这些基本解进行 叠加得到满足非常简单边界条件的流动。对复 杂外形的绕流，介绍用基本解进行叠加的数值 解法大意
五． 连接任意两点的速度线积分等于该两点的速度位 函数之差。速度线积分与路径无关，仅决定于两 点的位置。对封闭曲线，速度环量为零。
1. 流函数由平面不可压缩连续条件定义，流函数 值可以差任意常数而不影响流动。
2. 等流函数线是流线。即等流函数线的切线方向 与速度矢量方向重合。
3. 对于理想不可压缩无旋流动，流函数满足拉普 拉斯方程，是调和函数，解也满足叠加原理。
y x
如果源的位置不在坐标原点，而在 A（ξ,η）处，则
2 Q ln (x)2(y)2
Q arctan y
2
x
相应的速度分量为：
u
x
Q
2
(x ) (x )2 (y )2
v
y
Q
2
(y ) (x )2 (y )2
除奇点处速度无定义之外，流 场其他区域都是无旋的。
§3.2.3 偶极子
空气动力学基础低速平面位流文稿演示
（优选）空气动力学基础低速平面位 流
本章讨论怎样求解不可压理想流体无旋运动的规律。
在理想不可压条件下欧拉方程和连续方程包括四个
方程和四个未知函数（u,v,w,p），理论上是可解的
由于飞行器的外形都比较复杂，要在满足如此复杂 的边界条件下求该偏微分方程组的解析解是非常困 难的，原因在于方程包含非线性项，而且方程中速 度与压强相互耦合，需要一并求出
y
B
V
y x
ds ds
B
Q (Vn)d A
B
s d Ay
yd
x
xA BdBA
o
ds A
n
x
位函数 Φ 和流函数 Ψ 之间满足柯西-黎曼条件：
笛卡儿坐标 ：
x y
极 坐 标： r r
y x
rr
速度分量与位函数和流函数之间的关系是：
笛卡儿u 坐 标 ： , v
x y
y x
极坐标： Vr rr,
一． 速度位函数由无旋条件定义，位函数值可以差任 意常数而不影响流动。
二． 速度位函数沿着某一方向的偏导数等于该方向的 速度分量，速度位函数沿着流线方向增加。
三． 对于理想不可压缩无旋流动，速度位函数满足拉 普拉斯方程，是调和函数，满足解的线性迭加原 理。
四． 速度位函数相等的点连成的线称为等位线，速度 方向垂直于等位线。
2 Q lnr4 Q lnx2 (y2)
（注：等位线Φ＝C 是一系列同心圆）
流函数由 积分得：
r r
Vr
Q
2r
2Q 2Q arctaxyn
（注：流线ψ＝c1 即θ＝c2 是一系列射线）
此外注意上式中θ的值域为[-2π,2π],但反 正切函数的值域为[-π/2,π/2]，故两种表达 有一定区别。
位函数与流函数的关系称为柯西－黎曼条件：
,
x y y x
2. 叠加原理
➢ 拉普拉斯方程可用算子 ▽2 表为 ▽2φ＝0。它是个
线性方程，可以用叠加原理求复合的解。
➢ 叠加原理:如果有 1,2,分...,别n满足拉普拉斯方程， 则这些函数的线性组合也必满足拉普拉斯方程：
➢ 由于速度分a1量1与.位..函an数n之间的关系是线性的因此
流量是常数，故流速 Vr 与半径成反比
Vr
Q
2r
x、y 向的速度可分别写为
uVrcos
Q 2r
x r
Q x
2 x2 y2
vVrsin2Q rry2 Q x2 yy2
代入速度与位函数关系 u, v 可积分求位函数。
x
y
比较简便的是利用极座标下位函数与速度的关系：
Vr
, r
V
r
由
r
Vr
Q
2r
位函数由上式积分得：
对于二维不可压缩流动，微分形式的质量方程可以写为：
u v 0 x y
或： u v x y
数学上这是使 vdxudy成为某个函数ψ 的全微分的
充要条件 ，即
dvdxudy dx dy
x y
其中： v u
x
y
代入无旋条件：
v u y y
也满足拉普拉斯方程：
2 2 0
x2 y2
这也是只与速度有关的线性方程，给定边条容易求解。
也满足叠加原理：
➢ 压强与速u 度 间 x 关 系a 1 为 x 1 非 .线 .性a .n 故 x n 不 满a 1 u 足1 叠. 加.a .n 原u n 理
数学上满足拉氏方程的函数称为调和函数。故要找 一代表具体的定常不可压理想位流运动，就是要找 一个能符合具体流动边界条件的调和函数，求出位 函数或流函数之后，即可求出速度分布，然后用伯 努利方程求解压强分布。
1. 位函数φ 及流函数 ψ 所满足的方程
有无旋条件，就有位函数φ 存在，并且位函数与速度分量
之间满足：
u x
v y
平面流动的连续方程是：
u v 0 x y
结合两式，得平面不可压位流必须满足的方程：
2 2 0
x2 y 2
该方程称为拉普拉斯方程，是个只与速度有关的线性方程， 给定适当边界条件方程是容易求解的。
4. 等流函数线与等位线正交。
5. 平面内任两点流函数的差等于通过此两点连线 的流量。
等流函数线与等位线正交。
由C1, 可得:vdxudy0，斜率 K1＝uv 由C2, 可得: udxvdy0，斜率 K2＝uv
故： K1K2＝－ 1
平面内任两点流函数的差等于通过此两点连线的流量
V uivjij, ndyidxj
此时
Vx V y
§3.2.2 点源
点源是从流场上某一点有一定的流量向四面八方流开 去的一种流动。源可以有正负。负源（又名汇）是一 种与正源流向相反的向心流动。如果把源放在坐标原
点上，那末这流动便只有 Vr，而没有 Vθ 。
设半径为 r 处的流速是 Vr ，那末这个源的总流量是
Q 2rVr
V rr
§3.2 几种简单的二维位流
§3.2.1 直匀流 直匀流是一种速度不变的最简单的平行流动。其流速为
ua vb
流动是无旋的，由速度位全微分
dadxbdy
积分可得位函数：
a ybxc
axby
又可求出流函数：
aybx
流线与等位线是正交的如图Leabharlann Baidu
a xbyc'
常用的是这样的直匀流，它与 x 轴平行，从左 面远方流来，流速为 V