(全国通用版)201X版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第8节 圆锥曲线的综合问题学案 文
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§9.8 抛物线1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉______)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．自查自纠1．l 焦点 准线2．①⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 ③⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 ⑥x ＝p 2 ⑧y ＝p 2 ⑩x ≤0，y ∈R ⑪y ≥0，x ∈R ⑬x 轴 ⑯e ＝1 ⑰向右 ⑳向下(2015·陕西)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线焦点坐标为( )A ．(－1，0)B ．(1，0)C ．(0，－1)D ．(0，1)解：∵抛物线的准线方程为x ＝－p 2＝－1，∴p2＝1，焦点坐标为(1，0)．故选B .已知抛物线y 2＝2px 上一点M (1，m )到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝8B ．x ＝－8C ．x ＝4D ．x ＝－4解：由题意得1＋p2＝5，故p ＝8，准线方程为x ＝－4.故选D .已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54 D.74解：易知抛物线y 2＝x 的准线方程为x ＝－14.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点P (x 0，y 0)，则由抛物线的定义得|AF |＝x 1＋14，|BF |＝x 2＋14.∵|AF |＋|BF |＝3，∴x 1＋x 2＝52，x 0＝12(x 1＋x 2)＝54，即P 点到y 轴的距离为54.故选C .(2015·陕西)若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝____________．解：抛物线的准线方程为x ＝－p 2，∵p >0，∴x ＝－p2必经过双曲线x 2－y 2＝1的左焦点(－2，0)，∴－p2＝－2，p ＝2 2.故填22.(2014·全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝____________．解：过点Q 作QQ ′⊥l 于点Q ′，∵FP →＝4FQ →，∴|PQ ||PF |＝34.又焦点F 到准线l 的距离为4，∴|QQ ′|4＝|PQ ||PF |＝34，|QF |＝|QQ ′|＝3.故填3.类型一 抛物线的定义及标准方程(1)已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知抛物线上一点A (m ，－3)到焦点F 的距离为5，求m 的值，并写出抛物线的方程．解：∵抛物线过点A (m ，－3)，∴抛物线的开口向下、向右或向左．①当抛物线开口向下时，设抛物线的方程为x 2＝－2py (p ＞0)，准线方程为y ＝p2，由抛物线的定义得p2－(－3)＝5，解得p ＝4，抛物线的方程为x 2＝－8y .∵点A (m ，－3)在抛物线上，∴代入得m 2＝24，m ＝±2 6.②当抛物线开口向右或向左时，设抛物线的方程为y 2＝2ax (a ≠0)，准线方程可统一为x ＝－a 2.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＋m ＝5，2am ＝9， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，m ＝92， 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，m ＝－92， 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，m ＝12， 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－9，m ＝－12.∴当m ＝92时，抛物线的方程为y 2＝2x ；当m ＝－92时，抛物线的方程为y 2＝－2x ；当m＝12时，抛物线的方程为y 2＝18x ；当m ＝－12时，抛物线的方程为y 2＝－18x .(2)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3C.115D.3716解：易知直线l 2：x ＝－1为抛物线y 2＝4x 的准线，由抛物线的定义知，点P 到l 2的距离等于点P 到抛物线的焦点F (1，0)的距离，因此原问题可转化为在抛物线y 2＝4x 上找一个点P 使得P 到点F (1，0)和直线l 1的距离之和最小．因此最小值为F (1，0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，即d min ＝|4－0＋6|42＋（－3）2＝2.故选A .【点拨】(1)用数形结合的方法判断抛物线的开口方向，以便选择抛物线方程的具体形式．注意利用代数的观点，把抛物线向右或向左的情形统一起来，提高解题效率．(2)把“数”“方程”向“形”的方向转化，运用运动变化的观点和几何的方法进行研究比直接代数化更简洁．(1)F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B是抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝6，则线段AB 的中点到y 轴的距离为____________．(2)已知点P 是抛物线y 2＝4x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是(4，a )，则当|a |＞4时，|PA |＋|PM |的最小值是____________．(3)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为____________．解：(1)过A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为D ，E ，由|AF |＋|BF |＝6及抛物线的定义知|AD |＋|BE |＝6，∴线段AB 的中点到准线的距离为12(|AD |＋|BE |)＝3.又抛物线的准线为x ＝－12，∴线段AB 的中点到y 轴的距离为52.故填52.(2)将x ＝4代入抛物线方程y 2＝4x ，得y ＝±4，∵|a |＞4，∴A 在抛物线的外部，如图．由题意知F (1，0)，抛物线上点P 到准线l ：x ＝－1的距离为|PN |，由定义知，|PA |＋|PM |＝|PA |＋|PN |－1＝|PA |＋|PF |－1.当A ，P ，F三点共线时，|PA |＋|PF |取最小值，此时|PA |＋|PM |也最小，∴最小值为|AF |－1＝9＋a 2－1. 故填9＋a 2－1.(3)∵c a ＝2，∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，得ba＝ 3.易知抛物线C 2的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，双曲线C 1的渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±3x ，根据题意，有p21＋（3）2＝2，∴p ＝8，∴C 2的方程为x 2＝16y .故填x 2＝16y.类型二 抛物线焦点弦的性质如图，AB 为过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，点A ，B 在抛物线准线上的射影分别为A 1，B 1，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．求证：(1)||AB ＝x 1＋x 2＋p ； (2)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切；(4)1||AF ＋1||BF ＝2p.证明：(1)由抛物线的定义知||AB ＝||AF ＋||BF ＝||AA 1＋||BB 1＝x 1＋x 2＋p . (2)当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为x ＝p 2，x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－2px 1·2px 2＝－p 2；当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立抛物线方程，消x 得y 2－2p k y －p 2＝0， ∴y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝y 212p ·y 222p ＝p 24.(3)设AB 的中点为M ，M 到准线的距离为d ，则d ＝||AA 1＋||BB 12＝||AF ＋||BF 2＝||AB 2，∴以AB 为直径的圆与准线相切．(4)当直线AB 的斜率不存在时，1|AF |＋1|BF |＝1|AA 1|＋1|BB 1|＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝1p ＋1p ＝2p；当直线AB 的斜率存在时，∵x 1＋x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1k ＋p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2k ＋p 2＝y 1＋y 2k ＋p ＝2p k 2＋p ，x 1x 2＝p 24，∴1||AF ＋1||BF ＝1||AA 1＋1||BB 1＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2（x 1＋x 2）＋p 24＝2pk 2＋2pp 2＋p 2k 2＝2p. 【点拨】本题小结了抛物线的焦点弦的有关性质，当抛物线的坐标方程形式发生变化时，性质(3)、(4)不变，性质(1)、(2)略有变化，如对于抛物线x 2＝2py ，性质(1)应为|AB |＝y 1＋y 2＋p ，性质(2)应为x 1x 2＝－p 2，y 1y 2＝p 24，其余情况可自行推导．本题与变式2分别从数与形的角度描述了抛物线的某些性质．设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，求证：(1)若点A ，B 在准线上的射影分别为M ，N ，则∠MFN ＝90°； (2)取MN 的中点R ，则∠ARB ＝90°； (3)以MN 为直径的圆必与直线AB 相切于点F ；(4)若经过点A 和抛物线顶点O 的直线交准线于点Q ，则BQ 平行于抛物线的对称轴． 证明：(1)由抛物线的定义知|AM |＝|AF |，|BN |＝|BF |，∴∠AMF ＝∠AFM ，∠BNF ＝∠BFN .∵AM ∥x 轴，BN ∥x 轴， ∴∠AMF ＝∠KFM ，∠BNF ＝∠KFN . ∴∠MFN ＝∠KFM ＋∠KFN ＝12(∠KFA ＋∠KFB )＝90°. (2)证法一：取P 为AB 的中点，连接PR ，有|PR |＝12(|MA |＋|NB |)＝12|AB |，则∠ARB ＝90°.证法二：易知R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y 1＋y 22，则RA →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2，y 1－y 22，RB →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2，y 2－y 12，∵RA →·RB →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2－14(y 1－y 2)2＝x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24－14(y 21＋y 22)＋12y 1y 2＝0，∴∠ARB ＝90°.(3)∵∠MFN ＝90°，∴F 在以MN 为直径的圆上．∵|AF |＝|AM |，|MR |＝|FR |， ∴∠MFA ＝∠AMF ，∠MFR ＝∠FMR .∴∠AFR ＝∠MFA ＋∠MFR ＝∠AMF ＋∠FMR ＝90°，即RF ⊥AB ，F 为垂足． 因此，以MN 为直径的圆必与直线AB 相切于点F .(4)易知直线AO 的方程为y ＝y 1x 1x ，则Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－py 12x 1.∵y 1y 2＝－p 2，∴－py 12x 1＝－p 2·y 1y 212p＝－p 2y 1＝y 2，于是Q ⎝⎛⎭⎪⎫－p 2，y 2与点N 重合．因此，BQ 平行于x 轴，即BQ 平行于抛物线的对称轴．1．抛物线的定义、标准方程和性质是解决有关抛物线问题的基础，应当熟练掌握． 2．求抛物线的标准方程的常用方法是待定系数法或轨迹法．若抛物线的开口不确定，为避免多种情况分类求解的麻烦，可以设抛物线方程为y 2＝mx 或x 2＝ny (m ≠0，n ≠0)．若m ＞0，开口向右；若m ＜0，开口向左．m 有两解时，则抛物线的标准方程有两个．对n ＞0与n ＜0，有类似的讨论．3．抛物线的离心率e ＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题时，要看到焦点想准线(看到准线想焦点)，优先考虑利用抛物线的定义，将其转化为点到准线的距离，这样往往可以使问题简单化．4．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．5．抛物线的几个常用结论(1)焦半径：抛物线上的点P (x 0，y 0)与焦点F 之间的线段叫做抛物线的焦半径，记作r ＝||PF .①y 2＝2px (p ＞0)，r ＝x 0＋p2；②y 2＝－2px (p ＞0)，r ＝－x 0＋p2；③x 2＝2py (p ＞0)，r ＝y 0＋p2；④x 2＝－2py (p ＞0)，r ＝－y 0＋p2.(2)焦点弦：若AB 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点弦，A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，||AB ＝l .则：①x 1x 2＝p 24；②y 1y 2＝－p 2；③弦长l ＝x 1＋x 2＋p ，因x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ，故当x 1＝x 2时，l 取得最小值，最小值为2p ，此时弦AB 垂直于x 轴，所以抛物线的焦点弦中通径最短(垂直于抛物线对称轴的焦点弦叫做抛物线的通径)．1．准线方程为y ＝4的抛物线的标准方程是( ) A ．x 2＝16yB ．x 2＝8y C ．x 2＝－16yD ．x 2＝－8y解：由题意可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，∵抛物线的准线方程为y ＝p2＝4，∴p＝8.∴该抛物线的标准方程为x 2＝－16y .故选C .2．(2015·辽宁五校联考)已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是( )A ．2B.12 C.32 D.52解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4，又p ＝1，∴x 1＋x 2＝3，∴点C的横坐标是x 1＋x 22＝32.故选C .3．已知O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4解：设点P (x 0，y 0)，由题意知F (2，0)，抛物线C 的准线为x ＝－2，则|OF |＝2，x 0＋2＝|PF |＝42，x 0＝32，y 0＝±26，S △POF ＝12|OF ||y 0|＝12×2×26＝2 3.故选C .4．已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是( )A. 3B. 5C ．2 D.5－1解：抛物线的焦点为F (1，0)．设点P 到直线l 的距离为d ，由抛物线的定义可知，点P 到y 轴的距离为|PF |－1，∴点P 到直线l 的距离与到y 轴的距离之和为d ＋|PF |－1.易知d ＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离，∴d ＋|PF |的最小值为|2＋3|22＋（－1）2＝5，∴d＋|PF |－1的最小值为5－1.故选D .5．已知抛物线y 2＝2px 的焦点F 与双曲线x 27－y 29＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上，且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32解：由题可知抛物线焦点坐标为F (4，0)，则p ＝8.过点A 作直线AA ′垂直于抛物线的准线，垂足为A ′，根据抛物线定义知，|AA ′|＝|AF |，在△AA ′K 中，|AK |＝2|AA ′|，故∠KAA ′＝45°，∴直线AK 的倾斜角为45°，直线AK 的方程为y ＝x ＋4，代入抛物线方程y 2＝16x 得y 2＝16(y －4)，即y 2－16y ＋64＝0，解得y ＝8，∴x ＝4，∴△AFK 为直角三角形，∴△AFK 的面积为12×8×8＝32.故选D .6．(2015·浙江)如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1解：如图所示，抛物线的准线DE 的方程为x ＝－1，过A ，B 分别作AE ⊥DE 于点E ，交y 轴于点N ，BD ⊥DE 于点D ，交y 轴于点M ，由抛物线的定义知|BF |＝|BD |，|AF |＝|AE |，则|BM |＝|BD |－1＝|BF |－1，|AN |＝|AE |－1＝|AF |－1，则S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝|BM ||AN |＝|BF |－1|AF |－1.故选A .7．(2014·上海)若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为____________．解：易知椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点为(2，0)，∵抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点重合，∴p ＝4，抛物线的准线方程为x ＝－2.故填x ＝－2.8．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽__________ m.解：以抛物线的顶点为坐标原点，水平方向为x 轴建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)，把(2，－2)代入方程得p ＝1，即抛物线的标准方程为x 2＝－2y .再把y ＝－3代入得x ＝±6，因此水位下降1 m 后，水面宽为2 6 m ．故填26.9．(2014·福建)已知曲线Γ上的点到点F (0，1)的距离比它到直线y ＝－3的距离小2，求曲线Γ的方程．解法一：设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点，依题意，点S 到F (0，1)的距离与它到直线y ＝－1的距离相等，∴曲线Γ是以点F (0，1)为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线，其方程为x 2＝4y .解法二：设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点，则 |y －(－3)|－（x －0）2＋（y －1）2＝2，依题意，点S (x ，y )只能在直线y ＝－3的上方，∴y >－3.∴（x －0）2＋（y －1）2＝y ＋1，化简得曲线Γ的方程为x 2＝4y .10．(2014·全国)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |，求C 的方程．解：设Q (x 0，4)，代入y 2＝2px 得x 0＝8p，∴|PQ |＝8p ，∴|QF |＝x 0＋p 2＝8p ＋p2.又∵|QF |＝54|PQ |，∴8p ＋p 2＝54·8p ，解得p ＝2(舍去负值)． ∴C 的方程为y 2＝4x .11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA 与OB 的长分别为1和8，求抛物线的方程．解：设直线OA 的方程为y ＝kx ，k ≠0，则直线OB 的方程为y ＝－1kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2px ，得x ＝0或x ＝2pk 2.∴A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k 2，2p k ，同理得B 点坐标为 (2pk 2，－2pk )，由|OA |＝1，|OB |＝8， 可得⎩⎪⎨⎪⎧4p 2k 2＋1k 4＝1，4p 2k 2（k 2＋1）＝64，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝4，p 2＝45.又p >0，∴p ＝255，所求抛物线方程为y 2＝455x .(2015·福建)已知点F 为抛物线E ：y2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1，0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．解法一：(1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.由已知|AF |＝3，得2＋p2＝3，解得p ＝2，∴抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明：∵点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，∴m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22)．由A (2，22)，F (1，0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝22（x －1），y 2＝4x得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2.又G (－1，0)， ∴k GA ＝22－02－（－1）＝223，k GB ＝－2－012－（－1）＝－223，∴k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等， 故以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切． 解法二：(1)同解法一．(2)证明：设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r .∵点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，∴m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22)． 由A (2，22)，F (1，0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝22（x －1），y 2＝4x得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1，0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0，从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217.又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0，∴点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r .这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．。
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§9.4 直线、圆的位置关系1．直线与圆的位置关系2.圆与圆的位置关系自查自纠1．0 d>r 1 两组相同实数解d<r两组不同实数解2．d>R＋r d＝R＋r R－r<d<R＋r d＝R－rd<R－r(2015·安徽联考)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2＝－2y＋3，直线l的方程为ax＋y－1＝0，则直线l与圆C的位置关系是( )A．相离B．相交C．相切D．相切或相交解：圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝4，直线l过定点(0，1)，易知点(0，1)在圆C上，∴直线l与圆C相切或相交．故选D.圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )A．内切B．相交C．外切D．相离解：两圆圆心分别为O1(－2，0)，O2(2，1)，半径长分别为r1＝2，r2＝3.∵||O1O2＝[2－（－2）]2＋（1－0）2＝17，3－2<17<3＋2，∴两圆相交．故选B.(2015·广东)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0解：设所求直线方程为2x＋y＋c＝0(c≠1)，则|c|22＋12＝5，得c＝±5，所求直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.故选A.在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长等于__________．解：圆x2＋y2＝4的圆心O(0，0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝1，弦AB的长为||AB ＝2r2－d2＝2 3.故填23.已知点M(1，0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是____________．解：圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5，圆心(2，1)，∵过点M的最短弦与CM垂直，且k CM＝1，∴最短弦所在直线的斜率为－1k CM＝－1.∴最短弦所在直线的方程是x＋y－1＝0.故填x＋y－1＝0.类型一 直线与圆的位置关系(1)已知点M (x 0，y 0)为圆x 2＋y 2＝a 2(a＞0)内异于圆心的一点，则直线x 0x ＋y 0y ＝a 2与该圆的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．相切或相离解：∵M (x 0，y 0)为圆x 2＋y 2＝a 2(a ＞0)内异于圆心的一点，∴x 20＋y 20<a 2.又圆心到直线x 0x ＋y 0y ＝a 2的距离d ＝|a 2|x 20＋y 20＞|a 2||a |＝a ，∴直线与圆相离．故选C .(2)直线y ＝－33x ＋m 与圆x 2＋y 2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是( )A ．(3，2)B ．(3，3)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，233D.⎝⎛⎭⎪⎫1，233解：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－33x ＋m ，x 2＋y 2＝1，得43x 2－233mx ＋m 2－1＝0，设直线与圆在第一象限内交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则有⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－233m 2－4×43×（m 2－1）>0，x 1＋x 2＝－－233m 43>0，x 1x 2＝m 2－143>0，得1<m <233.故选D .【点拨】在处理直线与曲线的位置关系时，一般用二者联立所得方程组的解的情况进行判断(即代数方法)，但若曲线是圆，则属例外情形，此时我们一般用圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判断(即几何方法)，判断的具体方法详见“考点梳理”栏目．另外，近几年高考中考查直线与圆的位置关系的题目有所增多，应予以重视．(1)在同一坐标系下，直线ax ＋by ＝ab 和圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(ab ≠0，r >0)的图象可能是( )解：直线方程可化为x b ＋ya ＝1，且由A ，B ，C ，D 选项知a >0，b <0，满足圆心()a ，b (a >0，b <0)的只有选项D.故选D .(2)(2014·安徽)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎝⎛⎦⎥⎤0，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3解：由题意可知直线l 的斜率存在，设其为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)－1，要使直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，只须圆心(0，0)到直线l 的距离d ＝|3k －1|k 2＋1≤1，解得0≤k ≤3.∴直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.故选D .类型二 圆的切线已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，点P (2，－1)，过P 点作圆C 的切线PA ，PB ，A ，B 为切点．(1)求PA ，PB 所在直线的方程； (2)求切线PA 的长．解：(1)如图，易知切线PA ，PB 的斜率存在，设切线的斜率为k .由于切线过点P (2，－1)，∴可设切线的方程为y ＋1＝k (x －2)， 即kx －y －2k －1＝0.又∵圆心C (1，2)，半径r ＝2，∴由点到直线的距离公式，得2＝||k －2－2k －1k 2＋（－1）2，解得k ＝7或k ＝－1.故所求切线PA ，PB 的方程分别是x ＋y －1＝0和7x －y －15＝0.(2)连接AC ，PC ，则AC ⊥AP .在Rt △APC 中，||AC ＝2，||PC ＝（2－1）2＋（－1－2）2＝10，∴||PA ＝|PC |2－|AC |2＝10－2＝2 2.【点拨】求过定点的圆的切线方程时，首先要判断定点在圆上还是在圆外，若在圆上，则该点为切点，切线仅有一条；若在圆外，切线应该有两条；若用切线的点斜式方程，不要忽略斜率不存在的情况．求切线长要利用切线的性质：过切点的半径垂直于切线．已知点P (2＋1，2－2)，点M (3，1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4.(1)求过点P 的圆C 的切线方程； (2)求过点M 的圆C 的切线方程． 解：由题意得圆心C (1，2)，半径r ＝2.(1)∵|PC |＝（2＋1－1）2＋（2－2－2）2＝2，∴点P 在圆C 上．又k PC ＝2－2－22＋1－1＝－1，∴切线的斜率k ＝－1k PC ＝1.∴过点P 的圆C 的切线方程是y －(2－2)＝1×[x －(2＋1)]，即x －y ＋1－22＝0. (2)∵|MC |＝（3－1）2＋（1－2）2＝5＞2，∴点M 在圆C 外． 当过点M 的直线斜率不存在时，直线方程为x ＝3，即x －3＝0. 又点C (1，2)到直线x －3＝0的距离d ＝3－1＝2＝r ， 满足题意，∴直线x －3＝0是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k (x －3)， 即kx －y ＋1－3k ＝0， 则圆心C 到切线的距离d ＝|k －2＋1－3k |k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝34.∴切线方程为3x －4y －5＝0.综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0.类型三 圆的弦长(1)(2015·全国Ⅱ)过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10 解：∵k AB ＝－13，k BC ＝3，∴k AB ·k BC ＝－1，即AB ⊥BC ，∴AC 为圆的直径．∴圆心为(1，－2)，半径r ＝|AC |2＝102＝5，圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25.令x ＝0，得y ＝±26－2，∴|MN |＝4 6.故选C .(2)(2013·山东)过点(3，1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为____________．解：最短弦为过点(3，1)，且垂直于点(3，1)与圆心(2，2)的连线的弦，易知弦心距d ＝（3－2）2＋（1－2）2＝2，∴最短弦长为l ＝2r 2－d 2＝222－（2）2＝2 2.故填22.【点拨】(1)一般来说，直线与圆相交，应首先考虑圆心到直线的距离、弦长的一半、圆的半径构成的直角三角形，由此入手求解．(2)圆O 内过点A 的最长弦即为过该点的直径，最短弦为过该点且垂直于直径的弦．(3)圆锥曲线的弦长公式为1＋k 2·||x 1－x 2，运用这一公式也可解此题，但运算量较大．(1)(2014·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为____________．解：∵圆心(2，－1)到直线x ＋2y －3＝0的距离d ＝|2＋2×（－1）－3|12＋22＝35，∴直线被圆截得的弦长为l ＝222－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝2555.故填2555.(2)(2013·北京模拟)已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 6解：易知过点(3，5)的最长弦AC 为圆的直径，过点(3，5)的最短弦BD 为垂直于直径AC 的弦，∴点(3，5)为AC 与BD 的交点．将圆的一般方程化为标准方程(x －3)2＋(y －4)2＝25，得圆心(3，4)，半径r ＝5，圆心到直线BD 的距离d ＝1，||BD ＝2r 2－d 2＝252－12＝46，||AC ＝2r ＝10，∴四边形ABCD 的面积S ＝12||AC ·||BD ＝20 6.故选B .类型四圆与圆的位置关系已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，问：m为何值时，(1)圆C1和圆C2相外切？(2)圆C1和圆C2内含？解：易知圆C1，C2的标准方程分别为C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4，(1)如果圆C1与圆C2相外切，则两圆圆心距等于两圆半径之和，即有（m＋1）2＋（m＋2）2＝3＋2，解得m＝－5或2.故当m＝－5或2时，圆C1和圆C2相外切．(2)如果圆C1与圆C2内含，则只可能是较大圆C1含较小圆C2，此时两圆圆心距小于两圆半径之差，即（m＋1）2＋（m＋2）2<3－2，解得－2<m<－1.当－2<m<－1时，圆C1和圆C2内含．【点拨】与判断直线与圆的位置关系一样，利用几何方法判定两圆的位置关系比用代数方法要简捷些．其具体方法是：利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d和两圆的半径R和r，再根据d与R＋r，d与R－r的大小关系来判定(详见“考点梳理”栏目)．(2014·湖南)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－11解：圆心C 1(0，0)，半径r 1＝1，圆心C 2(3，4)，半径r 2＝25－m ，∵圆C 1与圆C 2外切，∴32＋42＝r 1＋r 2＝1＋25－m ，解得m ＝9.故选C .类型五 两圆的公共弦及圆系方程求以相交两圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋y ＋1＝0及C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的公共弦为直径的圆的方程．解：两个圆的方程相减，得2x －y ＝0，即为公共弦所在的直线方程，显然圆C 2的圆心(－1，－1)不在此直线上，故可设所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x ＋y ＋1＋λ(x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1)＝0(λ∈R ，λ≠－1)，即(1＋λ)x 2＋(1＋λ)y 2＋2(2＋λ)x ＋(1＋2λ)y ＋(1＋λ)＝0，其圆心O 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋λ1＋λ，－1＋2λ2（1＋λ）.∵点O 在直线2x －y ＝0上，∴－2（2＋λ）1＋λ＋1＋2λ2（1＋λ）＝0，解得λ＝－72.故所求方程为－52x 2－52y 2－3x －6y －52＝0，即5x 2＋5y 2＋6x ＋12y ＋5＝0.【点拨】具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫做圆系方程，常见的圆系方程有以下几种：①同心圆系方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)．其中的a ，b 是定值，r 是参数． ②半径相等的圆系方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)．其中r 是定值，a ，b 是参数． ③过直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0交点的圆系方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ(Ax ＋By ＋C )＝0(λ∈R )．④过圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0交点的圆系方程：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C 2，因此应用时注意检验C 2是否满足题意，以防丢解)．当λ＝－1时，圆系方程表示直线l ：(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋(F 1－F 2)＝0.若两圆相交，则l 为两圆相交弦所在直线；若两圆相切，则l 为公切线．在以k 为参数的圆系：x 2＋y 2＋2kx ＋(4k ＋10)y ＋10k ＋20＝0中，试证两个不同的圆相内切或相外切．证明：将原方程转化为(x ＋k )2＋(y ＋2k ＋5)2＝5(k ＋1)2. 设两个圆的圆心分别为O 1(－k 1，－2k 1－5)，O 2(－k 2，－2k 2－5)，半径分别为5|k 1＋1|，5|k 2＋1|，由于圆心距|O 1O 2|＝（k 2－k 1）2＋4（k 2－k 1）2＝5|k 2－k 1|.当k 1＞－1且k 2＞－1或k 1＜－1且k 2＜－1时，两圆半径之差的绝对值等于5|k 2－k 1|，即两圆相内切．当k 1＞－1且k 2＜－1或k 1＜－1且k 2＞－1时，两圆半径之和的绝对值等于5|k 2－k 1|，即两圆相外切．类型六 圆的实际应用据气象台预报，在S 岛正东300 km的A 处形成一个台风中心，向北偏西30°的方向移动，在距台风中心250 km 以内的地区将受其影响．问该台风是否对S 岛造成影响，并说明理由．解：我们可以建立一个坐标系来研究这一规律，视S 岛为原点，建立平面直角坐标系，则A 处的坐标为(300，0)，圆S 的方程为x 2＋y 2＝2502，易知当台风中心在圆S 上或内部时，台风将影响S 岛．设台风中心所在直线l 的方程为：y ＝－3(x －300)，由距离公式，原点S 到l 的距离为30032＝1503≈260(km)，而260 km ＞250 km ，故台风对S 岛不会造成影响．【点拨】解析几何模型可用于研究台风、寒流、沙尘暴中心的运动规律，这对于预防自然灾害具有一定的意义．已知隧道的截面是半径为4m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为a m，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少？解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，那么半圆的方程为x2＋y2＝16(y≥0)．将x＝2.7代入，得y＝16－2.72＝8.71<3，所以，在离中心线2.7m处，隧道的高度低于货车的高度．因此，货车不能驶入这个隧道．将x＝a代入x2＋y2＝16(y≥0)，得y＝16－a2，所以货车要正常驶入这个隧道，最大高度(即限高)为16－a2m.1．在解决直线和圆的位置关系问题时，一定要联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征以简化运算；讨论直线与圆的位置关系时，一般不讨论Δ>0，Δ＝0，Δ<0，而用圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的关系，即d<r，d＝r，d>r，分别确定相交、相切、相离．2．两圆相交，易只注意到d ＜R ＋r 而遗漏掉d ＞R －r .3．要特别注意利用圆的性质，如“垂直于弦的直径必平分弦”“圆的切线垂直于过切点的半径”“两圆相切时，切点与两圆圆心三点共线”等等．可以说，适时运用圆的几何性质，将明显减少代数运算量，请同学们切记．4．涉及圆的切线时，要考虑过切点与切线垂直的半径，过圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外一点M (x 0，y 0)引圆的切线，T 为切点，切线长公式为||MT ＝x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F .5．计算弦长时，要利用半径、弦心距(圆心到弦所在直线的距离)、半弦长构成的直角三角形．当然，不失一般性，圆锥曲线的弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2](A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为弦的两个端点)也应重视． 6．已知⊙O 1：x 2＋y 2＝r 2；⊙O 2：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2； ⊙O 3：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.若点M (x 0，y 0)在圆上，则过M 的切线方程分别为x 0x ＋y 0y ＝r 2；(x －a )(x 0－a )＋(y －b )(y 0－b )＝r 2；x 0x ＋y 0y ＋D ·x 0＋x 2＋E ·y 0＋y2＋F ＝0.若点M (x 0，y 0)在圆外，过点M 引圆的两条切线，切点为M 1，M 2，则切点弦(两切点的连线段)所在直线的方程分别为x 0x ＋y 0y ＝r 2；(x －a )(x 0－a )＋(y －b )(y 0－b )＝r 2； x 0x ＋y 0y ＋D ·x 0＋x 2＋E ·y 0＋y2＋F ＝0.圆x 2＋y 2＝r 2的斜率为k 的两条切线方程分别为y ＝kx ±r 1＋k 2.掌握这些结论，对解题很有帮助．7．研究两圆的位置关系时，要灵活运用平面几何法、坐标法．两圆相交时可由两圆的方程消去二次项求得两圆公共弦所在的直线方程．8．对涉及过直线与圆、圆与圆的交点的圆的问题，可考虑利用过交点的圆系方程解决问题，它在运算上往往比较简便．1．直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于( ) A ．2 5B ．2 3C. 3D ．1解：∵圆心为(0，0)，半径r ＝2， ∴弦长||AB ＝222－（||－21＋3）2＝2 3.故选B .2．直线y ＝kx ＋2与圆x 2＋y 2＝1没有公共点的充要条件是( ) A ．k ∈(－2，2)B ．k ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．k ∈(－3，3)D ．k ∈(－∞，－3)∪(3，＋∞)解：∵直线y ＝kx ＋2与圆x 2＋y 2＝1没有公共点，∴圆心(0，0)到直线y ＝kx ＋2的距离大于圆的半径，即2k 2＋1>1，解得－3<k <3，因此，直线y ＝kx ＋2与圆x 2＋y 2＝1没有公共点的充要条件是k ∈(－3，3)．故选C .3．若两圆x 2＋y 2＝m 与x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0有公共点，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，1)B ．[1，121]C ．(121，＋∞)D ．(1，121)解：易知两圆的标准方程分别为x 2＋y 2＝m (m >0)，(x ＋3)2＋(y －4)2＝36，∵两圆有公共点，∴|m －6|≤5≤m ＋6，解得1≤m ≤121.故选B .4．(2015·重庆)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210解：由题设得圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，故圆C 的圆心为(2，1)，半径为2.∵直线l 为圆C 的对称轴，∴圆心(2，1)在直线l 上，有2＋a －1＝0，解得a ＝－1，∴|AB |2＝|AC |2－|BC |2＝[(－4－2)2＋(－1－1)2]－4＝36，|AB |＝6.故选C .5．与直线x －y －4＝0和圆x 2＋y 2＋2x －2y ＝0都相切的半径最小的圆的方程是( )A ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝4解：由已知圆的圆心C (－1，1)向直线x －y －4＝0作垂线，垂足为H ，当所求圆的圆心位于CH 上时，所求圆的半径最小，此时所求圆与直线和已知圆都外切．易知垂线CH 的方程为x ＋y ＝0，分别求出垂线x ＋y ＝0与直线x －y －4＝0的交点(2，－2)及与已知圆的交点(0，0)，所以要求的圆的圆心为(1，－1)，半径r ＝ 2.所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.故选C .6．(2013·重庆)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则||PM ＋||PN 的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2D.17解：作点C 1(2，3)关于x 轴的对称点C ′1(2，－3)，连接C ′1C 2交x 轴于点P ′，则||PM ＋||PN ＝(||PC 1－1)＋(||PC 2－3)＝||PC 1＋||PC 2－4＝||PC ′1＋||PC 2－4≥||C ′1C 2－4＝52－4.故选A .7．(2014·重庆)已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为____________．解：圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝9， 圆心C (－1，2)，半径r ＝3，∵直线与圆相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，∴点C 到直线的距离d ＝|－3＋a |2＝322，解得a ＝0或6.故填0或6.8．(2015·湖北)如图，圆C 与x 轴相切于点T (1，0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.(1)圆C 的标准．．方程为____________； (2)过点A 任作一条直线与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于M ，N 两点，下列三个结论： ①|NA ||NB |＝|MA ||MB |；②|NB ||NA |－|MA ||MB |＝2；③|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝2 2. 其中正确结论的序号是____________．(写出所有正确结论的序号)解：(1)由题意，设圆心C (1，r )(r 为圆C 的半径)，则r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋12＝2，r ＝ 2.∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)由(1)知，A (0，2－1)，B (0，2＋1)． 设M (a ，b )，则|MA ||MB |＝a 2＋[b －（2－1）]2a 2＋[b －（2＋1）]2＝1－b 2＋[b －（2－1）]21－b 2＋[b －（2＋1）]2＝（2－1）（2－b ）（2＋1）（2－b ）＝2－12＋1＝2－1，同理|NA ||NB |＝2－1，∴|NA ||NB |＝|MA ||MB |，①正确；|NB ||NA |－|MA ||MB |＝12－1－(2－1)＝2，②正确；|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝12－1＋2－1＝22，③正确．综上，正确结论的序号是①②③.故填(x －1)2＋(y －2)2＝2；①②③.9．过点P (－3，－4)作直线l ，当斜率为何值时，直线l 与圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝4有公共点．解：由题意可设直线l 的方程为y ＋4＝k (x ＋3)， 即kx －y ＋3k －4＝0.要使直线l 与圆C 有公共点，只须d ≤r ，即圆心(1，－2)到直线l 的距离d ＝|k ＋2＋3k －4|1＋k2≤2，整理得3k 2－4k ≤0，解得0≤k ≤43. 10．已知圆C ：x 2＋y 2＝4.直线l 过点P (1，2)，且与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝23，求直线l 的方程．解：当直线l 垂直于x 轴时，直线方程为x ＝1，l 与圆的两个交点坐标为(1，3)和(1，－3)，其距离为23，满足题意．当直线l 不垂直于x 轴，设其方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0，设圆心到此直线的距离为d ，则23＝24－d 2，得d ＝1，又d ＝|－k ＋2|1＋k2＝1， ∴解得k ＝34.所求直线方程为3x －4y ＋5＝0.综上所述，所求直线方程为3x －4y ＋5＝0或x ＝1. 11．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0，4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2，解得a ＝－34.(2)设圆心C (0，4)到直线l 的距离为d ，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝r 2， 即(2)2＋d 2＝4，得d ＝ 2.又d ＝|2a ＋4|a 2＋1，∴|2a ＋4|a 2＋1＝2，解得a ＝－1或a ＝－7.∴直线l 的方程为x －y ＋2＝0或7x －y ＋14＝0.(2014·全国卷Ⅰ)已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，圆心C (0，4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x ，2－y )．由题设知CM →·MP →＝0，有x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0， 变形得(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，∴M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故点O 在线段PM 的垂直平分线上．又点P 在圆N 上，∴ON ⊥PM .∵ON 的斜率为3，∴直线l 的斜率为－13.∴直线l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝22，点O 到直线l 的距离d ＝83⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋12＝4105，|PM |＝2|OP |2－d 2＝4105，∴S △POM ＝12×|PM |×d ＝12×4105×4105＝165.∴△POM 的面积为165.。
高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.3圆的方程教案(含解析)
§9.3圆的方程考情考向分析以考查圆的方程为主，与圆有关的轨迹问题、最值问题也是考查的热点，属中档题．题型主要以填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，在解答题中也会出现．圆的定义与方程概念方法微思考1．如何确定圆的方程？其步骤是怎样的？提示确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程．(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组．(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程．2．点与圆的位置关系有几种？如何判断？提示点和圆的位置关系有三种．已知圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝t 2(t ∈R )表示圆心为(a ，b )，半径为t 的圆．( × ) (2)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( √ )(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( √ ) (4)方程x 2＋2ax ＋y 2＝0一定表示圆．( × )(5)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.( √ ) 题组二 教材改编2．[P111练习T4]圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是________． 答案 (2，－3)解析 由(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，知圆心坐标为(2，－3)．3．[P111习题T1(3)]已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的标准方程为________________． 答案 (x －2)2＋y 2＝10 解析 设圆心坐标为(a ,0)，易知(a －5)2＋(－1)2＝(a －1)2＋(－3)2， 解得a ＝2，∴圆心为(2,0)，半径为10， ∴圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝10. 题组三 易错自纠4．若方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆，则m 的取值范围是________________． 答案 (－∞，－22)∪(22，＋∞)解析 将x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0化为圆的标准方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m 22＋(y －1)2＝m 24－2.由其表示圆可得m 24－2>0，解得m <－22或m >2 2.5．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是________． 答案 －1<a <1解析 ∵点(1,1)在圆内， ∴(1－a )2＋(a ＋1)2<4，即－1<a <1.6．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是________________． 答案 (x －2)2＋(y －1)2＝1解析 由于圆心在第一象限且与x 轴相切，可设圆心为(a ,1)(a >0)， 又圆与直线4x －3y ＝0相切， ∴|4a －3|5＝1，解得a ＝2或a ＝－12(舍去)． ∴圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.题型一 圆的方程例1求经过点A (－2，－4)，且与直线l ：x ＋3y －26＝0相切于点B (8,6)的圆的方程． 解 方法一 设圆心为C ，所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，∴k CB ＝6＋E28＋D 2.∵圆C 与直线l 相切，∴k CB ·k l ＝－1， 即6＋E28＋D 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1.①又有(－2)2＋(－4)2－2D －4E ＋F ＝0， ② 又82＋62＋8D ＋6E ＋F ＝0.③联立①②③，可得D ＝－11，E ＝3，F ＝－30， ∴所求圆的方程为x 2＋y 2－11x ＋3y －30＝0. 方法二 设圆的圆心为C ，则CB ⊥l ， 可得CB 所在直线的方程为y －6＝3(x －8)， 即3x －y －18＝0.①由A (－2，－4)，B (8,6)，得AB 的中点坐标为(3,1)． 又k AB ＝6＋48＋2＝1，∴AB 的垂直平分线的方程为y －1＝－(x －3)，即x ＋y －4＝0.②由①②联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝112，y ＝－32.即圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫112，－32.∴所求圆的半径r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫112－82＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－62＝1252， ∴所求圆的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －1122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝1252.思维升华 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，求出a ，b ，r 的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值． 跟踪训练1(1)(2018·如皋模拟)已知圆C 过点(2，3)，且与直线x －3y ＋3＝0相切于点(0，3)，则圆C 的方程为________________． 答案 (x －1)2＋y 2＝4解析 设圆心为(a ，b )，半径为r ， 则⎩⎪⎨⎪⎧b －3a×33＝－1，(a －2)2＋(b －3)2＝a 2＋(b －3)2，解得a ＝1，b ＝0，则r ＝2， 即所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4.(2)一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，则该圆的方程为______________________．答案 x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0 解析 方法一 ∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上， ∴设所求圆的圆心为(3a ，a )，又所求圆与y 轴相切，∴半径r ＝3|a |，又所求圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27，圆心(3a ，a )到直线y ＝x 的距离d ＝|2a |2，∴d 2＋(7)2＝r 2，即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9，即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.方法二 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则圆心(a ，b )到直线y ＝x 的距离为|a －b |2，∴r 2＝(a －b )22＋7，即2r 2＝(a －b )2＋14.① 由于所求圆与y 轴相切，∴r 2＝a 2，② 又∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，∴a －3b ＝0，③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，r 2＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－1，r 2＝9.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9， 即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.方法三 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F .在圆的方程中，令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0. 由于所求圆与y 轴相切，∴Δ＝0，则E 2＝4F .①圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2到直线y ＝x 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 22，由已知得d 2＋(7)2＝r 2， 即(D －E )2＋56＝2(D 2＋E 2－4F )．②又圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2在直线x －3y ＝0上，∴D －3E ＝0.③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－6，E ＝－2，F ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝2，F ＝1.故所求圆的方程为x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0. 题型二 与圆有关的最值问题例2已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上，求x ＋y 的最大值和最小值． 解 设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线在y 轴上的截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即|2＋(－3)－t |2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1. ∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1. 引申探究1．在本例的条件下，求yx的最大值和最小值．解 y x 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，y x的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－2＋233或k ＝－2－233，∴y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.2．在本例的条件下，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值． 解x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝(x ＋1)2＋(y －2)2，求它的最值可视为求点(x ，y )到定点(－1,2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为34，∴x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1. 思维升华与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法． ①形如u ＝y －bx －a型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题． 跟踪训练2已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. 求：(1)y x的最大值和最小值； (2)y －x 的最大值和最小值； (3)x 2＋y 2的最大值和最小值． 解 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3， 表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．(1)y x 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y x＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值和最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝± 3.所以y x的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，其在y 轴上的截距b 取得最大值和最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2± 6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2， 所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.题型三 与圆有关的轨迹问题例3已知Rt△ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求： (1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．解 (1)方法一 设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ，且BC ，AC 斜率均存在， 所以k AC ·k BC ＝－1， 又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝y x －3，所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．方法二 设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知CD ＝12AB ＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)， 将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4， 即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： ①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． ②定义法：根据圆、直线等定义列方程． ③几何法：利用圆的几何性质列方程．④相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．跟踪训练3设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解 如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.因为平行四边形的对角线互相平分，所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4，又点N (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.所以点P 的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆，直线OM 与轨迹相交于两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285，不符合题意，舍去，所以点P 的轨迹为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去两点⎝⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285.1．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________． 答案 (－2，－4)解析 由题意得a 2＝a ＋2，a ＝－1或2. 当a ＝－1时方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，圆心为(－2，－4)，半径为5；当a ＝2时方程为4x 2＋4y 2＋4x ＋8y ＋10＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝－54不表示圆．2．已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为__________． 答案 (0，－1)解析 圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1，所以当k ＝0时，圆C 的面积最大，此时圆心C 的坐标为(0，－1)．3．若圆C 经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是__________________．答案 (x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m )． 又因为圆与直线y ＝1相切，所以22＋m 2＝|1－m |， 解得m ＝－32.所以圆C 的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254.4．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0，那么与圆C 有相同的圆心，且经过点(－2,2)的圆的方程是______________． 答案 (x －1)2＋(y ＋2)2＝25解析 设出要求的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝r 2，再代入点(－2,2)，可以求得圆的半径为5.5．已知圆M 与直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0都相切，圆心在直线y ＝－x －4上，则圆M 的方程为________． 答案 (x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1解析 到直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x －4y ＋5＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋5＝0，y ＝－x －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－1，又两平行线之间的距离为2，所以所求圆的半径为1，从而圆M 的方程为(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1.6．圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是________________． 答案 x 2＋y 2－10y ＝0解析 根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ， 则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0. 7．圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是________________． 答案 (x －1)2＋(y －3)2＝4解析 设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(a ，b )， 则有⎩⎪⎨⎪⎧b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，解得a ＝1，b ＝3，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.8．如果圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在到原点的距离为2的点，则实数a 的取值范围是________________． 答案 [－3，－1]∪[1,3]解析 圆(x －a )2＋(y －a )2＝8的圆心(a ，a )到原点的距离为|2a |，半径r ＝22， 由圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在点到原点的距离为2，得22－2≤|2a |≤22＋2，∴1≤|a |≤3，解得1≤a ≤3或－3≤a ≤－1. ∴实数a 的取值范围是[－3，－1]∪[1,3]．9．平面内动点P 到两点A ，B 的距离之比为常数λ(λ>0，且λ≠1)，则动点P 的轨迹叫做阿波罗尼斯圆，若已知A (－2,0)，B (2,0)，λ＝12，则此阿波罗尼斯圆的方程为____________________．答案 x 2＋y 2＋203x ＋4＝0 解析 由题意，设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2(x －2)2＋y 2＝12， 化简可得x 2＋y 2＋203x ＋4＝0. 10．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________________． 答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝1解析 设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2， 代入x 20＋y 20＝4中，得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.11．已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上，(1)求y x的最大值和最小值；(2)求x ＋y 的最大值和最小值．解 方程x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0可变形为(x －3)2＋(y －3)2＝4，则圆C 的半径为2.(1)(转化为斜率的最值问题求解) y x表示圆上的点P 与原点连线的斜率，显然当PO (O 为原点)与圆C 相切时，斜率最大或最小，如图所示．设切线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，由圆心C (3,3)到切线的距离等于圆C 的半径，可得|3k －3|k 2＋1＝2，解得k ＝9±2145. 所以y x 的最大值为9＋2145，最小值为9－2145. (2)(转化为截距的最值问题求解)设x ＋y ＝b ，则b 表示动直线y ＝－x ＋b 在y 轴上的截距，显然当动直线y ＝－x ＋b 与圆C 相切时，b 取得最大值或最小值，如图所示．由圆心C (3,3)到切线x ＋y ＝b 的距离等于圆C 的半径，可得|3＋3－b |12＋12＝2， 即|b －6|＝22，解得b ＝6±22，所以x ＋y 的最大值为6＋22，最小值为6－2 2.12．已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足PA ＝2PB .(1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求QM 的最小值．解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )， 则(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2.化简可得(x －5)2＋y 2＝16，此方程即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．由题意知直线l 2是此圆的切线，连结CQ ，则QM ＝CQ 2－CM 2＝CQ 2－16，当QM 最小时，CQ 最小，此时CQ ⊥l 1， CQ ＝|5＋3|2＝42， 则QM 的最小值为32－16＝4.13．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，设点P 是圆C 上的动点．记d ＝PB 2＋PA 2，其中A (0,1)，B (0，－1)，则d 的最大值为________．答案 74解析 设P (x 0，y 0)，d ＝PB 2＋PA 2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2.x 20＋y 20为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x 20＋y 20)max ＝(5＋1)2＝36，∴d max ＝74.14．已知圆C 截y 轴所得的弦长为2，圆心C 到直线l ：x －2y ＝0的距离为55，且圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C 的方程为__________________________． 答案 (x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2解析 设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则点C 到x 轴、y 轴的距离分别为|b |，|a |. 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ r 2＝2b 2，r 2＝a 2＋1，|a －2b |5＝55，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－1，r 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1，r 2＝2. 故所求圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2.15．若圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0关于直线ax －by ＋6＝0(a >0，b >0)对称，则2a ＋6b的最小值是________．答案 323解析 由圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0知，其标准方程为(x ＋2)2＋(y －6)2＝39，∵圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0关于直线ax －by ＋6＝0(a >0，b >0)对称，∴该直线经过圆心(－2,6)，即－2a －6b ＋6＝0，∴a ＋3b ＝3(a >0，b >0)， ∴2a ＋6b ＝23(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋3b ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥23⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋2 3a b ·3b a ＝323， 当且仅当3b a ＝3a b，即a ＝b 时取等号． 16．已知动点P (x ，y )满足x 2＋y 2－2|x |－2|y |＝0，O 为坐标原点，求x 2＋y 2的最大值． 解 x 2＋y 2表示曲线上的任意一点(x ，y )到原点的距离．当x ≥0，y ≥0时，x 2＋y 2－2x －2y ＝0化为()x －12＋()y －12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22，当x <0，y <0时，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0化为()x ＋12＋()y ＋12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22，当x ≥0，y <0时，x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0化为()x －12＋()y ＋12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22，当x <0，y ≥0时，x 2＋y 2＋2x －2y ＝0化为()x ＋12＋()y －12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝2 2. 综上可知，x 2＋y 2的最大值为2 2.。
北师版高考总复习一轮理科数精品课件 第9章 解析几何 第2节 点与直线、两条直线的位置关系
直线l1和l2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组
2 + 2 + 2 = 0
的解.
l1与l2相交⇔方程组有
唯一解
l1与l2平行⇔方程组 无解 ;
无数个解
l1与l2重合⇔方程组有
;
.
3.三种距离公式
(2)两平行线间的距离公式要求两条直线方程中x,y的系数分别相等.
对点训练2(2022上海虹口二模)设a∈R,k∈R,三条直线l1:ax-y-2a+5=0,
l2:x+ay-3a-4=0,l3:y=kx,则l1与l2的交点M到l3的距离的最大值为
答案:5+ 2
解析:∵a×1+(-1)×a=0,∴l1⊥l2.
垂直
k1k2=-1
A1A2+B1B2=0
平行
k1 = k 2
b1 ≠ b2
重合
k1 = k 2
b1 = b2
A1 B2 -A2 B1 = 0,
A1 B2 -A2 B1 = 0,
或
B1 C2 -B2 C1 ≠ 0
A1 C2 -A2 C1 ≠ 0
A1B2-A2B1=0,且 B1C2-B2C1=0
微点拨解析几何中的两条直线的位置关系含有重合,而立体几何中空间两
2
2
2
(3-0) + (4-0) + 2=5+ 2.
.
考点三
对称问题(多考向探究)
考向1 点关于点的对称
例5过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段
被点P平分,则直线l的方程为
核按钮(新课标)高考数学一轮复习第九章平面解析几何训
第九章 平面解析几何考纲链接1.平面解析几何初步 (1)直线与方程①在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素．②理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．④掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．⑤能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标．⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．(2)圆与方程①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系．③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． ④初步了解用代数方法处理几何问题的思想． 2．圆锥曲线与方程 (1)掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程和简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．(2)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．(3)了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．(4)理解数形结合的思想． (5)了解圆锥曲线的简单应用．§9.1 直线与方程1．平面直角坐标系中的基本公式(1)数轴上A ，B 两点的距离：数轴上点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则A ，B 两点间的距离|AB |＝____________．(2)平面直角坐标系中的基本公式：①两点间的距离公式：在平面直角坐标系中，两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)之间的距离公式为d (A ，B )＝|AB |＝_______________________． ②线段的中点坐标公式：若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ ，y ＝ . 2．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴____________与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴________或________时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为__________________．(2)斜率：一条直线的倾斜角α的____________叫做这条直线的斜率，常用小写字母k 表示，即k ＝______(α≠______)．当直线平行于x 轴或者与x 轴重合时，k______0；当直线的倾斜角为锐角时，k______0；当直线的倾斜角为钝角时，k______0；倾斜角为______的直线没有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度．(3)经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝．3．直线方程的几种形式(1)截距：直线l 与x 轴交点(a ，0)的____________叫做直线l 在x 轴上的截距，直线l 与y 轴交点(0，b )的____________叫做直线l 在y 轴上的截距．注：截距____________距离(填“是”或“不是”)．________的特例．(3)过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线方程 ①若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为____________；②若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为____________；③若x 1＝x 2＝0，且y 1≠y 2时，直线即为y 轴，方程为____________；④若x 1≠x 2，且y 1＝y 2＝0，直线即为x 轴，方程为____________．自查自纠： 1．(1)|x 2－x 1|(2)①()x 2－x 12＋()y 2－y 12②x 1＋x 22 y 1＋y 222．(1)正向 平行 重合 0°≤α<180° (2)正切值 tan α 90° ＝ > < 90° (3)y 2－y 1x 2－x 13．(1)横坐标a 纵坐标b 不是 (2)①y －y 0＝k (x －x 0) ②y ＝kx ＋b③y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1④x 1≠x 2且y 1≠y 2 ⑤x a ＋y b＝1 ⑥Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)点斜式 两点式(3)①x ＝x 1 ②y ＝y 1 ③x ＝0 ④y ＝0过点M (－1，m )，N (m ＋1，4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A ．1 B.12 C ．2 D.13解：由4－m m ＋2＝1，得m ＝1.故选A.直线3x －3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．135°解：直线方程可变形为y ＝3x ＋33，tan α＝3，∵倾斜角α∈[0°，180°)，∴α＝60°.故选B.过点(5，2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上截距2倍的直线方程是( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0 C ．x －2y －1＝0D ．x －2y －1＝0或2x －5y ＝0解：当直线过原点时所求方程为2x －5y ＝0；当直线不过原点时，可设其截距式为x a ＋y2a ＝1，由该直线过点(5，2)即可解得a ＝6，对应方程为x 6＋y12＝1，即2x ＋y －12＝0.故选B.已知直线l 过点(0，2)，且其倾斜角的余弦值为45，则直线l 的方程为____________．解：∵cos α＝45，α∈[0，π)，∴sin α＝35，k ＝tan α＝34.∴直线l 的方程为y －2＝34x ，即3x－4y ＋8＝0.故填3x －4y ＋8＝0.下列四个命题中真命题有______个． ①经过定点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示；②经过任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示；③不经过原点的直线都可以用方程x a ＋y b＝1表示；④经过定点(0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示．解：①当k 不存在时，直线方程为x ＝x 0，不正确；②正确；③当直线与坐标轴垂直时不能用该方程表示，不正确；④k 可能不存在，不正确．故填1.类型一 直线的倾斜角和斜率(1)经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2，1)的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为____________，____________．解：如图所示，为使l 与线段AB 总有公共点，则k PA ≤k ≤k PB ，而k PB >0，k PA <0，故k <0时，倾斜角α为钝角；k ＝0时，α＝0；k >0时，α为锐角．又k PA ＝－2－（－1）1－0＝－1，k PB ＝1－（－1）2－0＝1，∴－1≤k ≤1.又当0≤k ≤1时，0≤α≤π4；当－1≤k <0时，3π4≤α<π.故倾斜角α的取值范围为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 故填[－1，1]；⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.(2)如图所示，直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1与l 2垂直，则直线l 1的斜率k 1＝________，直线l 2的斜率k 2＝________．解：由图可知，α2＝α1＋90°＝120°，则直线l 1的斜率k 1＝tan α1＝tan30°＝33，直线l 2的斜率k 2＝tan α2＝tan120°＝－3，故填33；－3.点拨：①直线的倾斜角与斜率均是反映直线倾斜程度的量．倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，两者由公式k ＝tan α联系．②在使用过两点的直线的斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1时，注意同一直线上选取的点不同，直线的斜率不会因此而发生变化，同时还要注意两点横坐标是否相等，若相等，则直线的倾斜角为90°，斜率不存在，但并不意味着直线的方程也不存在，此时直线的方程可写为x ＝x 1.③在已知两点坐标，求倾斜角α的值或取值范围时，用tan α＝k ＝y 2－y 1x 2－x 1转化，其中倾斜角α∈[0，π)，此时依然要注意斜率不存在的情形，同时注意运用数形结合思想解题．(1)直线x sin α－y ＋1＝0的倾斜角的变化范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2 B ．(0，π)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π解：直线x sin α－y ＋1＝0的斜率是k ＝sin α， ∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k ≤1，当0≤k ≤1时，倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4；当－1≤k <0时，倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π.故选D.(2)已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1，1)和Q (2，2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是____________．解：如图所示，直线l ：x ＋my ＋m ＝0过定点A (0，－1)，当m ≠0时，k QA ＝32，k PA ＝－2，k l ＝－1m，∴－1m ≤－2或－1m ≥32，解得0＜m ≤12或－23≤m ＜0；当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，与线段PQ 有交点．∴实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，12.故填⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，12. 类型二求直线方程 根据所给条件求直线的方程．(1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距相等；(3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5. 解：(1)由题意知，直线的斜率存在，设倾斜角为α，则sin α＝1010(α∈[0，π))， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线的方程为y ＝±13(x ＋4)，即x ±3y＋4＝0.(2)若截距不为0，设直线的方程为x a ＋y a＝1， ∵直线过点(－3，4)，∴－3a ＋4a＝1，解得a ＝1.此时直线方程为x ＋y －1＝0. 若截距为0，设直线方程为y ＝kx ，代入点(－3，4)，有4＝－3k ，解得k ＝－43，此时直线方程为4x＋3y ＝0.综上，所求直线方程为x ＋y －1＝0或4x ＋3y ＝0.(3)由题意知，当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线方程为x －5＝0.当直线斜率存在时，设其方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点到直线的距离公式，得||10－5k 1＋k2＝5，解得k ＝34.此时直线方程为3x －4y ＋25＝0. 综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.点拨：本题考查应用直线方程的几种形式求直线方程，难度虽不大，但每小题都有陷阱．(1)给出了倾斜角的正弦值，求正切值时，应注意倾斜角的范围；(2)截距相等包括经过原点的直线，还要注意截距不是距离；(3)应用点斜式求直线方程时，注意点斜式的局限性，它不能表示平面内所有直线．求满足下列条件的所有直线方程：(1)经过点P (4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A (－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍．解：(1)根据题意，设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0，0)和(4，1)，∴l 的方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋y a＝1， ∵l 过点(4，1)，∴4a ＋1a＝1，得a ＝5.∴l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为x －4y ＝0或x ＋y－5＝0.(2)由已知设直线y ＝3x 的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.∵tan α＝3，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 又直线经过点(－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.类型三 直线方程的应用(1)已知点A (4，－1)，B (8，2)和直线 l ：x －y －1＝0，动点P (x ，y )在直线l 上，则||PA ＋||PB 的最小值为__________．解：设点A 1(x 1，y 1)与A (4，－1)关于直线l 对称，P 0为A 1B 与直线l 的交点，∴||P 0A 1＝||P 0A ，||PA 1＝ ||PA .∴||PA ＋||PB ＝||PA 1 ＋||PB ≥||A 1B ＝||A 1P 0＋||P 0B ＝||P 0A ＋||P 0B .当P 点运动到P 0点时，||PA ＋||PB 取到最小值||A 1B .∵点A ，A 1关于直线l 对称，∴由对称的充要条件知，⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋1x 1－4×1＝－1，x 1＋42－y 1－12－1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3， 即A 1(0，3)．∴(||PA ＋||PB )min ＝||A 1B ＝82＋（－1）2＝65.故填65.点拨：平面内，两点间连线中直线段最短，这一最基本的公理是解决此类问题的理论基础．求A 关于l 的对称点是关键一步，而点关于直线对称的充要条件又是求对称点的依据．(2)直线l 过点P (1，4)，且分别交x 轴的正半轴和y 轴的正半轴于A ，B 两点，O 为坐标原点．①当|OA |＋|OB |最小时，求l 的方程； ②若|PA |·|PB |最小，求l 的方程． 解：①依题意，l 的斜率存在，且斜率为负， 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y －4＝k (x －1)(k <0)．令y ＝0，可得A ⎝⎛⎭⎪⎫1－4k，0；令x ＝0，可得B (0，4－k )．|OA |＋|OB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4k ＋(4－k )＝5－⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋4k＝5＋⎝⎛⎭⎪⎫－k ＋4－k ≥5＋4＝9. ∴当且仅当－k ＝4－k且k <0，即k ＝－2时，|OA |＋|OB |取最小值． 这时l 的方程为2x ＋y －6＝0.②|PA |·|PB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋16·1＋k 2＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k ＋（－k ）≥8(k <0)， 当且仅当1－k＝－k 且k <0，即k ＝－1时，|PA |·|PB |取最小值． 这时l 的方程为x ＋y －5＝0.点拨：直线方程综合问题的两大类型及解法：(1)与函数相结合的问题，解决这类问题，一般是利用直线方程中的x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的函数，借助函数的性质解决；(2)与方程、不等式相结合的问题，一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．(1)证明：直线l 过定点； (2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围； (3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．解：(1)证明：将直线l 的方程变形得k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1， ∴无论k 取何值，直线l 过定点(－2，1)． (2)当直线l 的倾斜角θ∈[0°，90°]时，直线l 不经过第四象限，∴k ≥0.(3)由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0，1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0，解得k >0. ∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·（1＋2k ）2k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k 且k >0，即k ＝12时等号成立，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.1．直线的倾斜角和斜率的关系，可借助k ＝tan α的图象(如图)来解决．这里，α∈[0，π)，k 的范围是两个不连续的区间．这说明，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率，故在求直线方程时，若不能确定直线的斜率是否存在，则应对斜率存在或不存在进行分类讨论．2．直线在坐标轴上的截距是直线与坐标轴的交点的坐标，它不是距离，它可正、可负、可为0，在用截距式求直线方程时，不可忽视截距为0的情况．3．在解决直线与坐标轴围成的直角三角形的面积、周长等问题时，应用截距式方程比较简单．4．对于直线方程来说，要注意的是，除“一般式”外，每一种形式的二元一次方程表示的直线都是有限制的，具体可参看本节“考点梳理”栏目．在解决关于直线方程的问题中，要把握限制的条件，在求解时要细心处理，否则容易产生增解或漏解的情形．如利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意防止忽视斜率不存在而出现漏解；利用直线的截距式解题时，要注意防止忽视零截距而造成漏解；利用直线的一般式解题时，要注意防止忽视隐含条件A 2＋B 2≠0而出现增解．1．若A －B ＋C ＝0，则直线Ax ＋By ＋C ＝0必经过点( )A ．(0，1)B ．(1，0)C ．(1，－1)D ．(－1，－1)解：将点(1，－1)代入Ax ＋By ＋C ＝0，得A －B ＋C ＝0，∴直线Ax ＋By ＋C ＝0必过点(1，－1)．故选C.2．下列命题中，正确的是( ) A ．直线的斜率为tan α，则直线的倾斜角是α B ．直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α C ．直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大D ．直线的倾斜角α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，直线的斜率分别在这两个区间上单调递增解：因为直线的斜率k ＝tan θ，且θ∈[0，π)时，θ才是直线的倾斜角，所以A 不对；因为任一直线的倾斜角α∈[0，π)，而当α＝π2时，直线的斜率不存在，所以B 不对；当α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，斜率大于0；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，斜率小于0，C 不对．故选D.3．已知直线的倾斜角为120°，在y 轴上的截距为－2，则此直线的方程为( )A ．y ＝3x ＋2B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝－3x －2D ．y ＝3x －2解：∵k ＝tan120°＝－3，且直线在y 轴上的截距为－2，∴由斜截式得y ＝－3x －2.故选C.4．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1解：显然a ≠0，由题意得a ＋2＝a ＋2a，解得a＝－2或1.故选D.5．将直线l 沿y 轴的负方向平移a (a >0)个单位，再沿x 轴正方向平移a ＋1个单位得直线l ′，此时直线l ′与l 重合，则直线l ′的斜率为( )A.aa ＋1B ．－aa ＋1C.a ＋1aD ．－a ＋1a解：设直线l 的倾斜角为θ，则根据题意，有tan(π－θ)＝－tan θ＝a a ＋1，∴k ＝tan θ＝－aa ＋1.故选B.6．(2013·北京海淀模拟)已知点A (－1，0)，B (cos α，sin α)，且||AB ＝3，则直线AB 的方程为( )A ．y ＝3x ＋3或y ＝－3x － 3B ．y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33C ．y ＝x ＋1或y ＝－x －1D ．y ＝2x ＋2或y ＝－2x － 2解：∵||AB ＝（cos α＋1）2＋sin 2α＝2＋2cos α＝3，∴cos α＝12，sin α＝±32.当点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32时，直线AB 的方程为y ＝33x ＋33；当点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32时，直线AB 的方程为y ＝－33x －33.故选B. 7．直线l ：x sin30°＋y cos150°＋1＝0的斜率是____________．解：由题意得直线l 的斜率k ＝－sin30°cos150°＝tan30°＝33，∴直线l 的斜率为33.故填33. 8．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π，则k 的取值范围是____________．解：∵k ＝tan α，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π，∴－3≤k <0或33≤k ≤1.故填[－3，0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1. 9．已知直线l 的斜率为16，且和坐标轴围成面积为3的三角形，求直线l 的方程．解：设所求直线l 的方程为x a ＋yb＝1. ∵k ＝16，∴－b a ＝16，得a ＝－6b .又S ＝12|a |·|b |＝3，∴|ab |＝6.联立⎩⎨⎧a ＝－6b ，||ab ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝－1.∴所求直线方程为：x －6＋y 1＝1或x 6＋y－1＝1， 即x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.10．已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3，0)，B (2，1)，C (－2，3)，求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解：(1)∵直线BC 经过B (2，1)和C (－2，3)两点，∴由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)易得BC 边的中点D 的坐标为(0，2)，∵BC 边的中线AD 过点A (－3，0)，D (0，2)两点，∴由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则直线BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2. 由(2)知，点D 的坐标为(0，2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)， 即2x －y ＋2＝0.11．已知直线l 过点P (3，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．解法一：设直线l 的方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)，将点P (3，2)代入得3a ＋2b ＝1≥26ab，得ab ≥24，从而S △AOB ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b 时等号成立，这时k ＝－b a ＝－23，从而所求直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0.解法二：依题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0， 可设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)，则A ⎝⎛⎭⎪⎫3－2k，0，B (0，2－3k )，S △ABO ＝12(2－3k )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋（－9k ）＋4－k≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2（－9k ）·4－k ＝12×(12＋12)＝12，当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立．∴△ABO 的面积的最小值为12，所求直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0.已知△ABC 中，顶点A (4，5)，点B 在直线l ：2x －y ＋2＝0上，点C 在x 轴上，求△ABC 周长的最小值．解：设点A 关于直线l ：2x －y ＋2＝0的对称点为A 1(x 1，y 1)，点A 关于x 轴的对称点为A 2(x 2，y 2)，连接A 1A 2交l于点B ，交x 轴于点C ，则此时△ABC 的周长取最小值，且最小值为||A 1A 2.∵A 1与A 关于直线l ：2x －y ＋2＝0对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1－5x 1－4×2＝－1，2×x 1＋42－y 1＋52＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝7.∴A 1(0，7)．易求得A 2(4，－5)，∴△ABC 周长的最小值为||A 1A 2＝（4－0）2＋（－5－7）2＝410.§9.2 两条直线的位置关系1．两条直线的位置关系(1)平行：对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，有l 1∥l 2⇔____________，特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为____________．(2)垂直：如果两条直线l 1，l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔____________，特别地，若直线l 1：x ＝a ，直线l 2：y ＝b ，则l 1与l 2的关系为____________．2．两条直线的交点坐标一般地，将两条直线的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0. 若方程组有惟一解，则两条直线__________，此解就是__________；若方程组无解，则两条直线____________，此时两条直线____________．3．距离公式(1)点到直线的距离：点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝ ．(2)两条平行直线间的距离：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)间的距离d ＝____________________． 4．过两直线交点的直线系方程 若已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交，则方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(其中λ∈R ，这条直线可以是l 1，但不能是l 2)表示过l 1和l 2交点的直线系方程．自查自纠：1．(1)k 1＝k 2 l 1∥l 2 (2)k 1k 2＝－1 l 1⊥l 2 2．相交 交点的坐标 无公共点 平行3．(1)||Ax 0＋By 0＋C A 2＋B 2(2)||C 1－C 2A 2＋B 2直线l 过点(－1，2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0解：由题意知直线l 的斜率是－32，因此直线l的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.故选A.(2015·北京海淀区期末)已知直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：mx －y ＝0平行，则实数m 的值为( )A ．－12 B.12C ．2D ．－2解：∵直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：mx －y＝0平行，∴m1＝－12≠0，解得m ＝－12.故选A.(2015·浙江名校联考)已知直线l 1：x ＋(a －2)y －2＝0，l 2：(a －2)x ＋ay －1＝0，则“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：若a ＝－1，则l 1：x －3y －2＝0，l 2：－3x －y －1＝0，显然两条直线垂直；若l 1⊥l 2，则(a －2)＋a (a －2)＝0，解得a ＝－1或a ＝2，因此，“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件．故选A.(2015·武汉调研)直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是____________．解：设直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线为l 2，则l 2的斜率为－12，且过直线x －2y ＋1＝0与x ＝1的交点(1，1)，则l 2的方程为y －1＝－12(x －1)，即x＋2y －3＝0.故填 x ＋2y －3＝0. 已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2的距离是2，则直线l 1的方程为____________．解：设l 1的方程为x ＋y ＋c ＝0，则|c ＋1|2＝2，解得c ＝1或c ＝－3.∴直线l 1的方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.故填x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.类型一 两条直线平行、重合或相交 已知两条直线：l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m 为何值时，l 1与l 2：(1)相交； (2)平行； (3)重合．解：联立两直线方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋my ＋6＝0，（m －2）x ＋3y ＋2m ＝0.当m ＝0或m ＝2时两直线相交；当m ≠0且m ≠2时，此时A 1A 2＝1m －2，B 1B 2＝m 3，C 1C 2＝62m， 当A 1A 2＝B 1B 2时，即1m －2＝m3，解得m ＝－1或m ＝3；当A 1A 2＝C 1C 2时，即1m －2＝62m，解得m ＝3. (1)当m ≠－1且m ≠3时，A 1A 2≠B 1B 2，方程组有唯一一组解．∴l 1与l 2相交．(2)当m ＝－1时，A 1A 2＝B 1B 2且A 1A 2≠C 1C 2，方程组无解．∴l 1与l 2平行．(3)当m ＝3时，A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2，方程组有无穷多组解．∴l 1与l 2重合．点拨：由直线的一般式直接判断两条直线是否平行时，可直接应用本题的结论，即：若A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2，则直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行，这是一个很实用的结论，但要注意分母不能为零．当实数m 为何值时，三条直线l 1：3x＋my －1＝0，l 2：3x －2y －5＝0，l 3：6x ＋y －5＝0不能围成三角形．解：当m ＝0时，直线l 1，l 2，l 3可以围成三角形，要使直线l 1，l 2，l 3不能围成三角形，则m ≠0.记l 1，l 2，l 3三条直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1＝－3m ，k 2＝32，k 3＝－6.若l 1∥l 2，或l 1∥l 3，则k 1＝k 2＝32，或k 1＝k 3＝－6，解得m ＝－2或m ＝12；若三条直线交于一点，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y －5＝0，6x ＋y －5＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1， l 2与l 3交于点(1，－1)，将点(1，－1)代入3x ＋my －1＝0，得m ＝2.∴当m ＝±2或12时，l 1，l 2，l 3不能围成三角形．类型二 两条直线垂直(1)已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，若l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)，求a ，b 的值；(2)已知两直线l 1：x ＋y sin α－1＝0和l 2：2x ·sin α＋y ＋1＝0，若l 1⊥l 2，求α的值．解：(1)法一：由已知可得l 2的斜率k 2存在，且k 2＝1－a .若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.∵l 1⊥l 2，∴直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0.又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋4＝0，得a ＝43(矛盾)． ∴此种情况不存在，∴k 2≠0， ∴k 1，k 2都存在．∵k 2＝1－a ，k 1＝a b ，l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，即ab(1－a )＝－1.①又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.② 联立①②可得a ＝2，b ＝2.法二：∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)＋(－b )·1＝0，即b ＝a 2－a .①又∵l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋b ＋4＝0.②联立①②可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.经验证，符合题意．故a ＝2，b ＝2.(2)∵A 1A 2＋B 1B 2＝0是l 1⊥l 2的充要条件， ∴2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0，α＝k π，k ∈Z .∴当α＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2.点拨：判定两直线垂直的方法：(1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k 1·k 2＝－1，则两直线垂直；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则两直线也垂直．(2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论．设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.(3)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．“m ＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m－3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：由l 1⊥l 2，得2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0，解得m ＝3或m ＝－2.∴m ＝3是l 1⊥l 2的充分不必要条件．故选A.类型三 对称问题已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求：(1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标； (2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程；(3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程．解：(1)设A ′(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，∴A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.(2)在直线m 上取一点，如M (2，0)，则M (2，0)关于直线l 的对称点必在m ′上．设对称点为M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013. 设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4，3)．又∵m ′经过点N (4，3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.(3)法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如P (1，1)，N (4，3)．则P ，N 关于点A 的对称点P ′，N ′均在直线l ′上．易知P ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0.法二：设Q (x ，y )为l ′上任意一点， 则Q (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为 Q ′(－2－x ，－4－y )，∵Q ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0.点拨：(1)关于中心对称问题的处理方法：①若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1.②求直线关于点的对称直线的方程，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用两直线平行，由点斜式得到所求直线方程，当然，斜率必须存在．(2)关于轴对称问题的处理方法：①点关于直线的对称．若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，则线段P 1P 2的中点在l 上，且连接P 1P 2的直线垂直于l ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)．②直线关于直线的对称．此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．已知三角形的一个顶点A (4，－1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l 1：x －y －1＝0和l 2：x －1＝0，则BC 边所在直线的方程为____________．解：A 不在这两条角平分线上，因此l 1，l 2是另两个角的角平分线．点A 关于直线l 1的对称点A 1，点A 关于直线l 2的对称点A 2均在边BC 所在直线l 上．设A 1(x 1，y 1)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋1x 1－4×1＝－1，x 1＋42－y 1－12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3，∴A 1(0，3)．同理设A 2(x 2，y 2)，易求得A 2(－2，－1)． ∴BC 边所在直线方程为2x －y ＋3＝0. 故填2x －y ＋3＝0.类型四 距离问题(1)已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是____________．(2)若两平行直线3x －2y －1＝0，6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是____________．解：(1)由题意得，点P 到直线的距离为 |4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15， 解之得0≤a ≤10，∴a 的取值范围是[0，10]．故填[0，10]．(2)依题意知，63＝a －2≠c－1，解得a ＝－4，c ≠－2，即直线6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0，又两平行线之间的距离为21313，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋132＋（－2）2＝21313，解得c ＝2或－6. 故填2或－6.点拨：距离的求法：(1)点到直线的距离．可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．(2)两平行直线间的距离．①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.直线l 经过点P (2，－5)且与点A (3，－2)和点B (－1，6)的距离之比为1∶2，求直线l 的方程．解：当直线l 与x 轴垂直时，此时直线l 的方程为x ＝2，点A 到直线l 的距离为d 1＝1，点B 到直线l 的距离为d 2＝3，不符合题意，故直线l 的斜率必存在．设直线l 的方程为y ＋5＝k (x －2)，即kx －y －2k －5＝0，则点A (3，－2)到直线l 的距离d 1＝|3k －（－2）－2k －5|k 2＋1＝|k －3|k 2＋1，点B (－1，6)到直线l 的距离d 2＝|－k －6－2k －5|k 2＋1＝|3k ＋11|k 2＋1，∵d 1∶d 2＝1∶2，∴|k －3||3k ＋11|＝12，解得k ＝－1或k ＝－17.∴所求直线方程为x ＋y ＋3＝0和17x ＋y －29＝0.类型五 直线系及其应用求证：动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0(其中m ∈R )恒过定点，并求出定点坐标．证法一：令m ＝0，则直线方程为3x ＋y ＋1＝0，①再令m ＝1时，直线方程为6x ＋y ＋4＝0，②联立①②，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋1＝0，6x ＋y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2. 将点A (－1，2)代入动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0中，(m 2＋2m ＋3)×(－1)＋(1＋m －m 2)×2＋3m 2＋1＝(3－1－2)m 2＋(－2＋2)m ＋2＋1－3＝0， 故点A (－1，2)的坐标恒满足动直线方程，所以动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0恒过定点A .证法二：将动直线方程按m 降幂排列整理得， m 2(x －y ＋3)＋m (2x ＋y )＋3x ＋y ＋1＝0，① 不论m 为何实数，①式恒为零，∴有⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3＝0，2x ＋y ＝0，3x ＋y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.故动直线恒过点(－1，2)．点拨：此题属于数学中恒成立问题，所以证法一是先赋给m 两个特殊值得两条直线，那么这两条直线的交点就是那个定点，但m 只是取两个特殊值，是否m ∈R 时都成立，则要进行代入检验；证法二是将动直线方程按m 的降幂排列，由于∀m ∈R 恒成立，所以得关于x ，y 的方程组，解此方程组便得定点坐标．直线系也称直线束，是具有某一共同性质的直线的集合．常见直线系方程有：(1)过定点(x 1，y 1)的直线系：y －y 1＝k (x －x 1)和x ＝x 1.(2)平行于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系：Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C )．(3)垂直于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系：Bx －Ay ＋λ＝0.(4)过A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不包括直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0)．已知直线l ：(a ＋b )x ＋(a －b )y ＋2＝0，其中a ，b 满足3a －b ＋2＝0.求证：直线l 恒过一定点．证明：由已知得b ＝3a ＋2，则直线l 的方程可化为(4a ＋2)x －(2a ＋2)y ＋2＝0，整理得 a (4x －2y )＋2x －2y ＋2＝0. 令⎩⎪⎨⎪⎧4x －2y ＝0，2x －2y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. ∵点(1，2)恒满足直线l 的方程，∴直线l 恒过定点(1，2)．1．当直线的方程中含有字母参数时，不仅要考虑斜率存在与不存在的情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．2．两条直线的位置关系一般用斜率和截距来判定，但当直线方程用一般式给出且系数中有参数时，往往需要繁琐地讨论．但也可以这样避免：设两直线为A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则两直线垂直的条件为⎝ ⎛⎭⎪⎫－A 1B 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A 2B 2＝－1，由此得A 1A 2＋B 1B 2＝0，但后者适用性更强，因为当B 1＝0或B 2＝0时前者不适用但后者适用．3．运用直线系方程，有时会使解题更为简单快捷，常见的直线系方程有：(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )；(2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )；(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.4．运用公式d ＝||C 1－C 2A 2＋B 2求两平行直线间的距离时，一定要将两条直线方程中x ，y 的系数化成相等的系数，求两平行直线间的距离也可化归为点到直线的距离，即在一条直线上任取一点(如直线与坐标轴的交点)，求该点到另一条直线的距离即为两平行直线间的距离．这一方法体现了化归思想的应用．5．对称主要分为中心对称和轴对称两种，中心对称仅用中点坐标公式即可，轴对称因对称点连线的中垂线就是对称轴，所以根据线段的中点坐标公式和两条直线垂直的条件即可解决．1．过点A (2，3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( )A ．x －2y ＋4＝0B ．2x ＋y －7＝0C ．x －2y ＋3＝0D ．x －2y ＋5＝0解：由点斜式得所求直线方程为y －3＝12(x －2)，即x －2y ＋4＝0.故选A.2．过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解：设所求直线方程为x －2y ＋c ＝0，将(1，0)代入得c ＝－1.∴所求直线方程为x －2y －1＝0.故选A.3．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2恒过定点( )A ．(0，4)B ．(0，2)C ．(－2，4)D ．(4，－2)解：∵直线l 1与l 2关于点(2，1)对称，且直线l 1过点(4，0)，∴直线l 2必过点(4，0)关于点(2，1)的对称点(0，2)．故选B.4．(2013·长春调研)已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )A .1710B .175C ．8D ．2 解：由题意得36＝4m ≠－314，解得m ＝8.∴直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0.∴两平行线间的距离为d ＝||－3－732＋42＝2.故选D. 5．已知过点A (－2，m )和点B (m ，4)的直线为l 1，l 2：2x ＋y －1＝0，l 3：x ＋ny ＋1＝0.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( )A ．－10B ．－2C ．0D ．8解：∵l 1∥l 2，∴k AB ＝4－mm ＋2＝－2，解得m ＝－8.又∵l 2⊥l 3.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－1n ×(－2)＝－1，解得n ＝－2.∴m ＋n ＝－10.故选A.6．(2015·洛阳统考)已知点P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示( )A ．过点P 且与l 垂直的直线B ．过点P 且与l 平行的直线C ．不过点P 且与l 垂直的直线D ．不过点P 且与l 平行的直线解：∵点P (x 0，y 0)不在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，∴Ax 0＋By 0＋C ≠0，∴直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0不经过点P .又直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0平行．故选D.7．过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，且与直线2x ＋3y ＝0垂直的直线方程为____________．解：设与直线2x ＋3y ＝0垂直的直线方程为3x －2y ＋m ＝0，由于其过圆心(－1，2)，所以有3×(－1)－2×2＋m ＝0，得m ＝7，所求直线方程为3x －2y ＋7＝0.故填3x －2y ＋7＝0.8．直线l 过点P (－1，2)且到点A (2，3)和点B (－4，5)的距离相等，则直线l 的方程为____________．解法一：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，解得k ＝－13.∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y－5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意．故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.解法二：当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，直线l的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1，4)． ∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.故填x ＋3y －5＝0或x ＝－1.9．已知两直线l 1：x ＋y sin θ－1＝0和l 2：2x sin θ＋y ＋1＝0，试求θ的值，使得：(1)l 1∥l 2； (2)l 1⊥l 2.解：(1)由12sin θ＝sin θ≠－11，得sin θ＝±22. 由sin θ＝±22，得θ＝k π±π4(k ∈Z )． ∴当θ＝k π±π4(k ∈Z )时，l 1∥l 2. (2)由2sin θ＋sin θ＝0，得sin θ＝0，θ＝k π(k ∈Z )，∴当θ＝k π(k ∈Z )时，l 1⊥l 2.10求直线l ：x －2y ＋6＝0关于点M (－1，1)对称的直线l ′的方程． 解法一：取l 上的两点A (0，3)，B (－6，0)，求出它们关于点M 的对称点，A ′(－2，－1)， B ′(4，2)，再用两点式求出l ′的方程为x －2y ＝0.解法二：设点P ′(x ′，y ′)为所求直线l ′上的任意一点，则点P ′关于点M 在直线l 上的对称点为P (x ，y )．由⎩⎪⎨⎪⎧－1＝x ＋x ′2，1＝y ＋y ′2得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－x ′，y ＝2－y ′， 代入直线l 的方程得：(－2－x ′)－2(2－y ′)＋6＝0，得x ′－2y ′＝0，即x －2y ＝0为所求直线l ′的方程．11．设一直线l 经过点(－1，1)，此直线被两平行直线l 1：x ＋2y －1＝0和l 2：x ＋2y －3＝0所截得线段的中点在直线x －y －1＝0上，求直线l 的方程．解法一：设直线x －y －1＝0与l 1，l 2的交点分别为C (x C ，y C )，D (x D ，y D )，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，x －y －1＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x C ＝1，y C＝0， ∴C (1，0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝0，x －y －1＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x D ＝53，y D ＝23，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，23.∴CD 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13. 又l 过点(－1，1)，由两点式得l 的方程为： y －131－13＝x －43－1－43，即2x ＋7y －5＝0. 解法二：∵与l 1，l 2平行且与它们距离相等的直线方程为：x ＋2y ＋－1－32＝0，即x ＋2y －2＝0，∴由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，x －y －1＝0 得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13.(以下同解法一)解法三：过中点且与两直线平行的直线方程为x ＋2y －2＝0，设所求方程为：(x －y －1)＋λ(x ＋2y －2)＝0，① ∵(－1，1)在此直线上，∴－1－1－1＋λ(－1＋2－2)＝0，解得λ＝－3，代入①得2x ＋7y －5＝0. 解法四：设所求直线与两平行线l 1，l 2的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋2y 1－1＝0，x 2＋2y 2－3＝0得(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)－4＝0.①又AB 的中点在直线x －y －1＝0上，。
2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第8讲曲线与方程练习(含解析)(最新整理)
第8讲曲线与方程一、选择题1。
方程（2x＋3y－1)（错误!－1）＝0表示的曲线是（)A。
两条直线 B.两条射线C.两条线段D。
一条直线和一条射线解析原方程可化为错误!或错误!－1＝0,即2x＋3y－1＝0（x≥3）或x＝4,故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线.答案D2。
（2017·衡水模拟）若方程x2＋y2a＝1（a是常数)，则下列结论正确的是（)A.任意实数a方程表示椭圆B。
存在实数a方程表示椭圆C。
任意实数a方程表示双曲线 D.存在实数a方程表示抛物线解析当a>0且a≠1时,方程表示椭圆，故选B。
答案B3。
(2017·长春模拟)设圆（x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A（1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点。
线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( )A。
错误!－错误!＝1 B。
错误!＋错误!＝1C.错误!－错误!＝1 D。
错误!＋错误!＝1解析∵M为AQ的垂直平分线上一点，则｜AM｜＝｜MQ｜,∴|MC｜＋|MA|＝｜MC｜＋|MQ｜＝|CQ|＝5，故M的轨迹是以定点C,A为焦点的椭圆。
∴a＝52，∴c＝1，则b2＝a2－c2＝214，∴M的轨迹方程为错误!＋错误!＝1。
答案D4.设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则点P的轨迹方程是（）A。
y2＝2x B。
(x－1）2＋y2＝4C。
y2＝－2x D。
(x－1）2＋y2＝2解析如图,设P（x，y），圆心为M（1,0）,连接MA，则MA⊥PA，且｜MA｜＝1，又∵｜PA｜＝1，∴|PM｜＝|MA｜2＋|PA｜2＝2,即｜PM｜2＝2，∴（x－1）2＋y2＝2.答案D5.平面直角坐标系中，已知两点A（3,1），B（－1，3），若点C满足错误!＝λ1错误!＋λ2 OB→(O为原点)，其中λ，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是（)1A.直线B.椭圆C.圆D.双曲线解析设C（x,y)，因为错误!＝λ1错误!＋λ2错误!，所以（x，y)＝λ1（3，1)＋λ2（－1，3)，即错误!解得错误!又λ1＋λ2＝1，所以错误!＋错误!＝1，即x＋2y＝5 ，所以点C的轨迹为直线，故选A.答案A二、填空题6。
高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9_3圆的方程教师用书理苏教版
第九章平面解析几何 9.3 圆的方程教师用书理苏教版圆的定义与方程【知识拓展】1.确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程.2.点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种.圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“³”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( √)(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.( √)(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( √ )(4)方程x 2＋2ax ＋y 2＝0一定表示圆.( ³ )(5)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＞0.( √ )1.(教材改编)圆心是(－2,3)，且经过原点的圆的标准方程为______________. 答案 (x ＋2)2＋(y －3)2＝13 解析 易得r ＝13.2.已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m ，0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为________. 答案 6解析 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且AB ＝2m . 因为∠APB ＝90°，连结OP ， 易知OP ＝12AB ＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离. 因为OC ＝32＋42＝5， 所以(OP )max ＝OC ＋r ＝6， 即m 的最大值为6.3.(2016²扬州检测)当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以点C 为圆心，5为半径的圆的方程为______________. 答案 x 2＋y 2＋2x －4y ＝0解析 将方程分离参数a 可得a (x ＋1)－(x ＋y －1)＝0，方程表示过两直线的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝0，x ＋y －1＝0得交点为(－1，2)，故圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y＝0.4.(教材改编)圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为_______.答案 x 2＋y 2－4x －6＝0 解析 设圆心坐标为C (a,0)， ∵点A (－1,1)和B (1,3)在圆C 上， ∴CA ＝CB ，即 a ＋1 2＋1＝ a －1 2＋9， 解得a ＝2， ∴圆心为C (2,0)，半径CA ＝ 2＋1 2＋1＝10，∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10，即x 2＋y 2－4x －6＝0.5.(2016²浙江)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________. 答案 (－2，－4) 5解析 由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2， 解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去. 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆.题型一 求圆的方程例1 (1)(2016²天津)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________________.(2)(2015²课标全国Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________.答案 (1)x 2＋y 2－4x －5＝0 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254解析 (1)因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a >0， 所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝CM ＝4＋5＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9， 即x 2＋y 2－4x －5＝0.(2)由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点， (4,0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y ＋1＝－2(x －2)，令y ＝0，解得x ＝32，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，半径为52. 所以圆的标准方程为(x －32)2＋y 2＝254.思维升华 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程. (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值.(2016²苏北四市联考)已知圆C 关于y 轴对称，经过点A (1,0)，且被x 轴分成两段弧，弧长之比为1∶2，则圆C 的标准方程为________________. 答案 x 2＋(y ±33)2＝43解析 ∵圆C 关于y 轴对称，∴可设C (0，b )，设圆C 的半径为r ，则圆C 的标准方程为x 2＋(y －b )2＝r 2， 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12＋ －b 2＝r 2，|b |＝12r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝43，b ＝±33，于是圆C 的标准方程为x 2＋(y ±33)2＝43. 题型二 与圆有关的最值问题例2 (2016²盐城检测)已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上，求x ＋y 的最大值和最小值.解 设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 的纵截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的纵截距.由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2＋ －3 －t |2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1.∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1. 引申探究1.在例2的条件下，求y x的最大值和最小值.解 y x 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，y x的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率.设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－2＋233或k ＝－2－233.∴y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233. 2.在例2的条件下，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值. 解x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝ x ＋1 2＋ y －2 2，求它的最值可视为求点(x ，y )到定点(－1, 2)的距离的最值，可转化为圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差.又圆心到定点(－1,2)的距离为34，∴x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1. 思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解.(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法.①形如u ＝y －bx －a型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离平方的最值问题.(2016²扬州模拟)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求：(1)y x的最大值和最小值； (2)y －x 的最小值； (3)x 2＋y 2的最大值和最小值.解 (1)如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆.设y x＝k ，即y ＝kx ，则圆心(2,0)到直线y ＝kx 的距离为半径，即直线与圆相切时，斜率取得最大值、最小值. 由|2k －0|k 2＋1＝3，解得k 2＝3， ∴k max ＝3，k min ＝－ 3.(2)设y －x ＝b ，则y ＝x ＋b ，当且仅当直线y ＝x ＋b 与圆切于第四象限时，截距b 取最小值， 由点到直线的距离公式，得|2－0＋b |2＝3， 即b ＝－2±6， 故(y －x )min ＝－2－ 6.(3)x 2＋y 2是圆上的点与原点的距离的平方，故连结OC ， 与圆交于B 点，并延长交圆于C ′，则 (x 2＋y 2)max ＝(OC ′)2＝(2＋3)2＝7＋43， (x 2＋y 2)min ＝OB 2＝(2－3)2＝7－4 3. 题型三 与圆有关的轨迹问题例3 (2016²盐城模拟)已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点.(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程. 解 (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y ). 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －2)2＋(2y )2＝4，故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt△PBQ 中，PN ＝BN .设O 为坐标原点，连结ON ，则ON ⊥PQ ， 所以OP 2＝ON 2＋PN 2＝ON 2＋BN 2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法 (1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程. (2)定义法，根据圆、直线等定义列方程. (3)几何法，利用圆的几何性质列方程.(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.(2016²天津模拟)设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹.解 如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42.从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285(点P 在直线OM 上的情况).21.利用几何性质巧设方程求半径典例 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程.思想方法指导 本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法.(1)一般解法(代数法)：可以求出曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式.(2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算，显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题.规范解答解 一般解法 (代数法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，设圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则有⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，3＋22 2＋D 3＋22 ＋F ＝0， 3－22 2＋D 3－22 ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－2，F ＝1，故圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0.巧妙解法 (几何法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0).故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋ t －1 2＝3， 所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9， 即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0.1.(2017²南京检测)圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是______. 答案 x 2＋y 2－10y ＝0解析 根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，所以圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.2.已知圆M 的圆心M 在y 轴上，半径为1，直线l ：y ＝2x ＋2被圆M 所截得的弦长为455，且圆心M 在直线l 的下方，则圆M 的标准方程是__________. 答案 x 2＋(y －1)2＝1 解析 点M 到l 的距离d ＝1－ 255 2＝55.设M (0，a )，所以|2－a |5＝55，所以a ＝1或a ＝3.又因为a <2³0＋2＝2，所以a ＝1. 所以圆M 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.3.若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为________.答案 3＋2 2解析 由题意知圆心C (2,1)在直线ax ＋2by －2＝0上， ∴2a ＋2b －2＝0，整理得a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b )＝3＋b a ＋2a b≥3＋2b a ³2ab ＝3＋22， 当且仅当b a＝2ab，即b ＝2－2，a ＝2－1时，等号成立.∴1a ＋2b的最小值为3＋2 2.4.点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________________. 答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝1解析 设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4，得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5.圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线x 2－y 23＝1的渐近线截得的弦长为3，则圆C 的标准方程为______________. 答案 x 2＋(y －1)2＝1解析 依题意得，题中的双曲线的一条渐近线的斜率为3，倾斜角为60°，结合图形(图略)可知，所求的圆C 的圆心坐标是(0,1)，半径是1，因此其方程是x 2＋(y －1)2＝1. 6.(2016²淮安模拟)已知P 是直线l ：3x －4y ＋11＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线(A ，B 是切点)，C 是圆心，那么四边形PACB 的面积的最小值是__________. 答案3解析 圆的方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1， 则C (1,1)，当PC 最小时，四边形PACB 的面积最小， (PC )min ＝|3－4＋11|32＋42＝2，此时PA ＝PB ＝ 3. 所以四边形PACB 的面积S ＝2³12³3³1＝ 3.7.(2016²常州模拟)已知圆C 过点(－1,0)，且圆心在x 轴的负半轴上，直线l ：y ＝x ＋1被该圆所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 平行的直线方程为________________. 答案 x －y ＋3＝0解析 设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2(a <0)，因为圆C 过点(－1,0)，且直线l ：y ＝x ＋1被该圆所截得的弦长为22，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1－a 2＝r 2， |a ＋1|2 2＋ 2 2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，r 2＝4，即圆心坐标为(－3,0)，则所求直线为y ＝x ＋3，即x －y ＋3＝0.8.过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为______________. 答案 x ＋y －2＝0解析 当圆心与点P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件.圆心O 与点P 连线的斜率k ＝1，所求直线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. 9.已知D 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0， x ＋3y ≥0所确定的平面区域，则圆x 2＋y 2＝4在区域D 内的弧长为________. 答案π2解析 作出可行域D 及圆x 2＋y 2＝4，如图所示，图中阴影部分所在圆心角θ＝α－β所对的弧长即为所求.易知图中两直线的斜率分别为12，－13，即tan α＝12，tan β＝－13，tan θ＝tan(α－β)＝12＋131－12³13＝1，得θ＝π4，故弧长l ＝θ²R ＝π4³2＝π2(R 为圆的半径).10.在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________.答案 7＋1解析 设D (x ，y )，由CD →＝(x －3，y )及|CD →|＝1，知(x －3)2＋y 2＝1，即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆，又OA →＋OB →＋OD →＝(－1,0)＋(0，3)＋(x ，y )＝(x－1，y ＋3)，∴|OA →＋OB →＋OD →|＝ x －1 2＋ y ＋3 2.问题转化为圆(x －3)2＋y 2＝1上的点与点P (1，－3)间距离的最大值.∵圆心C (3,0)与点P (1，－3)之间的距离为 d ＝ 3－1 2＋ 0＋3 2＝7， 故 x －1 2＋ y ＋3 2的最大值为7＋1.11.已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段的长为43，半径小于5.(1)求直线PQ 与圆C 的方程；(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B ，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程.解 (1)由题意知直线PQ 的方程为x ＋y －2＝0.设圆心C (a ，b )，半径为r ，由于线段PQ 的垂直平分线的方程是y －12＝x －32， 即y ＝x －1，所以b ＝a －1.① 由圆C 在y 轴上截得的线段的长为43，知r 2＝(23)2＋a 2，可得(a ＋1)2＋(b －3)2＝12＋a 2，②由①②得a ＝1，b ＝0或a ＝5，b ＝4.当a ＝1，b ＝0时，r 2＝13，满足题意，当a ＝5，b ＝4时，r 2＝37，不满足题意.故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13.(2)设直线l 的方程为y ＝－x ＋m (m ≠2)， A (x 1，m －x 1)，B (x 2，m －x 2).由题意可知OA ⊥OB ，即OA →²OB →＝0，∴x 1x 2＋(m －x 1)(m －x 2)＝0，化简得2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＝0.③ 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋m ， x －1 2＋y 2＝13得 2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0，∴x 1＋x 2＝m ＋1，x 1x 2＝m 2－122， 代入③，得m 2－12－m ²(1＋m )＋m 2＝0，∴m ＝4或m ＝－3，经检验都满足题意，∴直线l 的方程为x ＋y －4＝0或x ＋y ＋3＝0.12.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程. 解 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1.∴圆心P 的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P 点的坐标为(x 0，y 0)， 则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1. ∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0－1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝－1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3.综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3.*13.已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3).(1)求MQ 的最大值和最小值；(2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值. 解 (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0，可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，所以圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又QC ＝ 2＋2 2＋ 7－3 2＝4 2. 所以(MQ )max ＝42＋22＝62，(MQ )min ＝42－22＝2 2.(2)可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率， 设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0，n －3m ＋2＝k . 由直线MQ 与圆C 有交点， 所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k2≤22， 可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.。
高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.3圆的方程教师用书理新人教版
第九章平面解析几何 9.3 圆的方程教师用书理新人教版圆的定义与方程【知识拓展】1．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．2．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √)(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.( √)(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( √)(4)方程x 2＋2ax ＋y 2＝0一定表示圆．( × )(5)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＞0.( √ )1．(教材改编)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0答案 C解析 圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入检验选项C 满足．2．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m ，0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．4 答案 B解析 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m . 因为∠APB ＝90°，连接OP ， 易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离． 因为|OC |＝32＋42＝5， 所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6， 即m 的最大值为6.3．(2015·北京)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 答案 D解析 圆的半径r ＝12＋12＝2，∴圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.4．(教材改编)圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为______________． 答案 (x －2)2＋y 2＝10 解析 设圆心坐标为C (a,0)， ∵点A (－1,1)和B (1,3)在圆C 上， ∴|CA |＝|CB |， 即a ＋2＋1＝a －2＋9，解得a ＝2， ∴圆心为C (2,0)， 半径|CA |＝＋2＋1＝10，∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.5．(2016·浙江)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________． 答案 (－2，－4) 5解析 由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2， 解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去． 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆.题型一 求圆的方程例1 (1)(2016·天津)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________________．(2)(2015·课标全国Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．答案 (1)(x －2)2＋y 2＝9 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254解析 (1)因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a >0， 所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.(2)由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点， (4,0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y ＋1＝－2(x －2)，令y ＝0，解得x ＝32，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，半径为52. 思维升华 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D 、E 、F 的方程组，进而求出D 、E 、F 的值．(2016·湖北八校联考)已知圆C 关于y 轴对称，经过点A (1,0)，且被x 轴分成两段弧，弧长之比为1∶2，则圆C 的标准方程为________________． 答案 x 2＋(y ±33)2＝43解析 ∵圆C 关于y 轴对称，∴可设C (0，b )，设圆C 的半径为r ，则圆C 的标准方程为x 2＋(y －b )2＝r 2，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12＋－b2＝r 2，|b |＝12r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝43，b ＝±33，于是圆C 的标准方程为x 2＋(y ±33)2＝43. 题型二 与圆有关的最值问题例2 已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上．求x ＋y 的最大值和最小值． 解 设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即|2＋－－t |2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1.∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1.引申探究1．在本例的条件下，求y x的最大值和最小值．解 y x 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，y x的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－2＋233或k ＝－2－233.∴y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.2．在本例的条件下，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值． 解x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝x ＋2＋y －2，求它的最值可视为求点(x ，y )到定点(－1, 2)的距离的最值，可转化为圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为34，∴x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1. 思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －bx －a型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离平方的最值问题．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求：(1)y x的最大值和最小值； (2)y －x 的最小值；(3)x 2＋y 2的最大值和最小值．解 (1)如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆．设yx＝k，即y＝kx，则圆心(2,0)到直线y＝kx的距离为半径，即直线与圆相切时，斜率取得最大值、最小值．由|2k－0|k2＋1＝3，解得k2＝3，∴k max＝3，k min＝－ 3.(2)设y－x＝b，则y＝x＋b，当且仅当直线y＝x＋b与圆切于第四象限时，在y轴上的截距b取最小值，由点到直线的距离公式，得|2－0＋b|2＝3，即b＝－2±6，故(y－x)min＝－2－ 6.(3)x2＋y2是圆上的点与原点的距离的平方，故连接OC，与圆交于B点，并延长交圆于C′，则(x2＋y2)max＝|OC′|2＝(2＋3)2＝7＋43，(x2＋y2)min＝|OB|2＝(2－3)2＝7－4 3.题型三与圆有关的轨迹问题例3 (2017·潍坊调研)已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．(2016·天津模拟)设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解 如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42.从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285(点P 在直线OM 上的情况)．21．利用几何性质巧设方程求半径典例 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程．思想方法指导 本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法．(1)一般解法(代数法)：可以求出曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式．(2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算，显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题． 规范解答解 一般解法 (代数法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，设圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则有⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，＋222＋D＋22＋F ＝0，－222＋D－22＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－2，F ＝1，故圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0.巧妙解法 (几何法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋t －2＝3，所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.1．(2016·南昌检测)圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0 D ．x 2＋y 2－10x ＝0答案 B解析 根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，则32＋(r －1)2＝r 2， 解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0. 2．(2016·昆明一模)方程|x |－1＝1－y －2所表示的曲线是( )A ．一个圆B ．两个圆C ．半个圆D ．两个半圆答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x |－2＋y －2＝1，|x |－1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋y －2＝1，x ≥1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＋y －2＝1，x ≤－1.故原方程表示两个半圆．3．若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为( )A ．1B ．5C ．4 2D ．3＋2 2 答案 D解析 由题意知圆心C (2,1)在直线ax ＋2by －2＝0上， ∴2a ＋2b －2＝0，整理得a ＋b ＝1，∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b )＝3＋b a ＋2ab≥3＋2b a ×2ab＝3＋22， 当且仅当b a＝2ab，即b ＝2－2，a ＝2－1时，等号成立．∴1a ＋2b的最小值为3＋2 2.4．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 答案 A解析 设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝x 0＋42y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5．(2016·绵阳诊断)圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线x 2－y 23＝1的渐近线截得的弦长为3，则圆C 的方程为( ) A ．x 2＋(y －1)2＝1 B ．x 2＋(y －3)2＝3 C ．x 2＋(y ＋1)2＝1 D ．x 2＋(y ＋3)2＝3答案 A解析 依题意得，题中的双曲线的一条渐近线的斜率为3，倾斜角为60°，结合图形(图略)可知，所求的圆C 的圆心坐标是(0,1)、半径是1，因此其方程是x 2＋(y －1)2＝1. 6．(2016·九江模拟)已知P 是直线l ：3x －4y ＋11＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线(A ，B 是切点)，C 是圆心，那么四边形PACB 的面积的最小值是( ) A. 2 B ．2 2 C. 3 D ．2 3 答案 C解析 圆的方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1， 则C (1,1)，当|PC |最小时，四边形PACB 的面积最小， |PC |min ＝|3－4＋11|32＋42＝2，此时|PA |＝|PB |＝ 3.所以四边形PACB 的面积S ＝2×12×3×1＝3，故选C.7．(2016·南昌模拟)若圆C 经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是__________________． 答案 (x －2)2＋(y ＋32)2＝254解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m )． 又因为圆与直线y ＝1相切，所以22＋m 2＝|1－m |， 解之得m ＝－32.所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋32)2＝254.8．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为______________． 答案 x ＋y －2＝0解析 当圆心与点P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件．圆心O 与点P 连线的斜率k ＝1，所求直线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.9．已知D 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0，x ＋3y ≥0所确定的平面区域，则圆x 2＋y 2＝4在区域D 内的弧长为________． 答案π2解析 作出可行域D 及圆x 2＋y 2＝4，如图所示，图中阴影部分所在圆心角θ＝α－β所对的弧长即为所求． 易知图中两直线的斜率分别为12、－13，得tan α＝12，tan β＝－13，tan θ＝tan(α－β)＝12＋131－12×13＝1，得θ＝π4，得弧长l ＝θ·R ＝π4×2＝π2(R 为圆的半径)． 10．(2016·岳阳模拟)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．答案 7＋1解析 设D (x ，y )，由CD →＝(x －3，y )及|CD →|＝1知(x －3)2＋y 2＝1，即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆，又OA →＋OB →＋OD →＝(－1,0)＋(0，3)＋(x ，y )＝(x－1，y ＋3)，∴|OA →＋OB →＋OD →|＝x －2＋y ＋32. 问题转化为圆(x －3)2＋y 2＝1上的点与点P (1，－3)间距离的最大值．∵圆心C (3,0)与点P (1，－3)之间的距离为－2＋＋32＝7， 故x －2＋y ＋32的最大值为7＋1.11．已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段的长为43，半径小于5.(1)求直线PQ 与圆C 的方程；(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B ，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程．解 (1)由题意知直线PQ 的方程为x ＋y －2＝0.设圆心C (a ，b )，半径为r ，由于线段PQ 的垂直平分线的方程是y －12＝x －32， 即y ＝x －1，所以b ＝a －1.①由圆C 在y 轴上截得的线段的长为43，知r 2＝12＋a 2，可得(a ＋1)2＋(b －3)2＝12＋a 2，②由①②得a ＝1，b ＝0或a ＝5，b ＝4.当a ＝1，b ＝0时，r 2＝13，满足题意，当a ＝5，b ＝4时，r 2＝37，不满足题意．故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13.(2)设直线l 的方程为y ＝－x ＋m (m ≠2)， A (x 1，m －x 1)，B (x 2，m －x 2)．由题意可知OA ⊥OB ，即OA →·OB →＝0，∴x 1x 2＋(m －x 1)(m －x 2)＝0，化简得2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＝0.③由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋m ，x －2＋y 2＝13得 2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0，∴x 1＋x 2＝m ＋1，x 1x 2＝m 2－122， 代入③，得m 2－12－m ·(1＋m )＋m 2＝0，∴m ＝4或m ＝－3，经检验都满足题意，∴直线l 的方程为x ＋y －4＝0或x ＋y ＋3＝0.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 解 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1.∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P 点的坐标为(x 0，y 0)， 则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1. ∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0－1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝－1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3.综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3.*13.已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．(1)求|MQ |的最大值和最小值；(2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值．解 (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0， 可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，所以圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又|QC |＝＋2＋－2＝4 2. 所以|MQ |max ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2.(2)可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率，设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k .由直线MQ 与圆C 有交点， 所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22，可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.。
高考数学一轮总复习第8章平面解析几何第8节直线与圆锥曲线的位置关系第2课时范围最值问题教师用书
第2课时 范围、最值问题考点1 范围问题——综合性(2021·梅州二模)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x ＋y ＋22－1＝0与以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)△BMN 是椭圆C 的内接三角形，若坐标原点O 为△BMN 的重心，求点B 到直线MN 距离的取值范围．解：(1)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F 2(c,0)，则以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆：(x －c )2＋y 2＝a 2，所以圆心到直线x ＋y ＋22－1＝0的距离d ＝|c ＋22－1|12＋12＝a ． 又椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，所以a ＝2c ，b ＝3c ， 解得a ＝2，b ＝3，c ＝1， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1．(2)设B (m ，n )，设M ，N 的中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点． 因为O 为△BMN 的重心，则BO ＝2OD ＝OA ，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，－n 2，即B 到直线MN 的距离是原点O 到直线MN 距离的3倍．当MN 的斜率不存在时，点D 在x 轴上，所以此时B 在长轴的端点处． 由|OB |＝2，得|OD |＝1，则O 到直线MN 的距离为1，B 到直线MN 的距离为3．当MN 的斜率存在时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 213＝1，x 224＋y223＝1，两式相减，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)3＝0．因为D 为M ，N 的中点，所以x 1＋x 2＝－m ，y 1＋y 2＝－n ，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3m4n， 所以直线MN 的方程为y ＋n 2＝－3m 4n ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m 2，即6mx ＋8ny ＋4n 2＋3m 2＝0，所以原点O 到直线MN 的距离d ＝4n 2＋3m264n 2＋36m2．因为m 24＋n 23＝1，所以3m 2＝12－4n 2， 所以d ＝4n 2＋3m264n 2＋36m2＝12144＋16n2＝39＋n2．因为0<n 2≤3，所以3<9＋n 2≤23， 所以123≤19＋n 2<13，所以332≤3d <3． 综上所述，332≤3d ≤3，即点B 到直线MN 距离的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤332，3．圆锥曲线中的取值范围问题的解题策略(1)利用圆锥曲线的几何性质或联立方程后的判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的点到右焦点F (c,0)的最大距离是2＋1，且1，2a,4c成等比数列．(1)求椭圆的方程；(2)过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M (m,0)，求实数m 的取值范围．解：(1)由已知可得⎩⎨⎧a ＋c ＝2＋1，1×4c ＝2a 2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，c ＝1，所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1．(2)由题意得F (1,0)，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)．与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2－2＝0，y ＝k (x －1)，消去y 可得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，Δ＝(－4k 2)2－4(2k 2－2)(1＋2k 2)＝8k 2＋8>0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k21＋2k2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－2k1＋2k2． 可得线段AB 的中点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2．当k ＝0时，直线MN 为x 轴，此时m ＝0；当k ≠0时，直线MN 的方程为y ＋k1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2， 化简得ky ＋x －k 21＋2k2＝0．令y ＝0，得x ＝k 21＋2k2，所以m ＝k 21＋2k 2＝11k2＋2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12． 综上所述，实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12．考点2 最值问题——应用性考向1 利用几何性质求最值在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为___________．22解析：双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0，直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行，故两平行线间的距离d ＝|1－0|12＋(－1)2＝22，由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c恒成立，得c ≤22，故c 的最大值为22． 考向2 利用函数、导数求最值(2022·江门市高三一模)如图，抛物线C ：y 2＝8x 与动圆M ：(x －8)2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B ，C ，D 四个不同点．(1)求r 的取值范围；(2)求四边形ABCD 面积S 的最大值及相应r 的值．解：(1)联立抛物线与圆方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，(x －8)2＋y 2＝r 2，消去y ，得x 2－8x ＋64－r 2＝0．若圆与抛物线有四个不同交点，则方程有两个不等正根．所以⎩⎪⎨⎪⎧64－r 2>0，64－4(64－r 2)>0，解得43<r <8，所以r 的取值范围为(43，8)．(2)设A (x 1,22x 1)，B (x 2,22x 2)，其中x 2>x 1>0，则x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝64－r 2，S ＝12(42x 1＋42x 2)(x 2－x 1)＝(22x 1＋22x 2)(x 2－x 1)， S 2＝8(x 1＋x 2＋2x 1x 2)[(x 2＋x 1)2－4x 1x 2]， S 2＝64(4＋64－r 2)[16－(64－r 2)]．令x ＝64－r 2(0<x <4)，令f (x )＝(4＋x )(16－x 2)(0<x <4)，f ′(x )＝16－8x －3x 2＝(4－3x )(x ＋4)．当0<x <43时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当43<x <4时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝2 04827，S ＝8f (x )≤25669．当x ＝43时，S 取得最大值，取64－r 2＝43，r ＝4353．考向3 利用基本不等式求最值(2022·唐山三模)在直角坐标系xOy 中，A (－1,0)，B (1,0)，C 为动点，设△ABC的内切圆分别与边AC ，BC ，AB 相切于P ，Q ，R ，且|CP |＝1，记点C 的轨迹为曲线E ．(1)求曲线E 的方程；(2)不过原点O 的直线l 与曲线E 交于M ，N ，且直线y ＝－12x 经过MN 的中点T ，求△OMN的面积的最大值．解：(1)依题意可知，|CA |＋|CB |＝|CP |＋|CQ |＋|AP |＋|BQ |＝2|CP |＋|AB |＝4>|AB |， 所以曲线E 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(除去与x 轴的交点)， 因此曲线E 的方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，代入x 24＋y 23＝1整理，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，(*)Δ＝64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)>0．则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋3，x 1x 2＝4m 2－124k 2＋3，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6m4k 2＋3，故MN 的中点T ⎝⎛⎭⎪⎫－4km 4k 2＋3，3m 4k 2＋3．而直线y ＝－12x 经过MN 的中点T ，得3m 4k 2＋3＝－12×－4km4k 2＋3， 又m ≠0，所以直线l 的斜率k ＝32．故(*)式可化简为3x 2＋3mx ＋m 2－3＝0，故x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－33．由Δ＝36－3m 2>0且m ≠0，得－23<m <23且m ≠0． 又|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝132×36－3m 23＝1323×12－m 2，而点O 到直线l 的距离d ＝2|m |13， 则△OMN 的面积为S ＝12×2|m |13×1323×12－m 2＝123|m |×12－m 2≤123×m 2＋12－m 22＝3， 当且仅当m ＝±6时，等号成立，此时满足－23<m <23且m ≠0，所以△OMN 的面积的最大值为3．最值问题的2种基本解法几何法根据已知的几何量之间的相互关系，利用平面几何和解析几何知识加以解决(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等在选择题、填空题中经常考查)代数法建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值解决(一般方法、基本不等式法、导数法等)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，过点T (0，p )作两条互相垂直的直线l 1和l 2，l 1交抛物线C 于A ，B 两点，l 2交抛物线C 于E ，F 两点，当点A 的横坐标为1时，抛物线C 在点A 处的切线斜率为12．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)已知O 为坐标原点，线段AB 的中点为M ，线段EF 的中点为N ，求△OMN 面积的最小值．解：(1)因为x 2＝2py 可化为y ＝x 22p ，所以y ′＝xp．因为当点A 的横坐标为1时，抛物线C 在点A 处的切线斜率为12，所以1p ＝12，所以p ＝2，所以，抛物线C 的标准方程为x 2＝4y ． (2)由(1)知点T 坐标为(0,2)，由题意可知，直线l 1和l 2斜率都存在且均不为0． 设直线l 1方程为y ＝kx ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2＝4y ，联立消去y 并整理，得x 2－4kx －8＝0，Δ＝(－4k )2＋32＝16k 2＋32>0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1·x 2＝－8， 所以，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4＝4k 2＋4． 因为M 为AB 中点，所以M (2k,2k 2＋2)．因为l 1⊥l 2，N 为EF 中点，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，2k2＋2，所以直线MN 的方程为y －(2k 2＋2)＝2k 2＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋22k ＋2k·(x －2k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k ·(x －2k )， 整理得y ＝⎝⎛⎭⎪⎫k －1k x ＋4，所以，直线MN 恒过定点(0,4)．所以△OMN 面积S ＝12×4×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2k －⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪k ＋1k ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫|k |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪1k ≥4·2|k |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1k＝8，当且仅当|k |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1k即k ＝±1时，△OMN 面积取得最小值为8．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝4，椭圆C ：x 24＋y 2＝1，A 为椭圆C 的右顶点，过原点且异于x 轴的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，M 在x 轴的上方，直线AM 与圆O 的另一交点为P ，直线AN 与圆O 的另一交点为Q ．(1)若AP →＝3AM →，求直线AM 的斜率；(2)设△AMN 与△APQ 的面积分别为S 1，S 2，求S 1S 2的最大值．[四字程序]读想算思已知圆的方程和椭圆的方程，直线与圆、椭圆都相交 1．向量AP →＝3AM →如何转化？2．如何表示三角形的面积把S 1S 2用直线AM 的斜率k 来表示 转化与化归求直线AM 的斜率，求△AMN 与△APQ 的面1．用A ，P ，M 的坐标表示．S 1S 2＝|AM |·|AN ||AP |·|AQ |，进把面积之比的最大值转化为一个变量的不积之比2．利用公式S ＝12ab ·sin C 表示并转化而用基本不等式求其最大值等式思路参考：设直线AM 的方程为y ＝k (x －2)，k <0，利用y P ＝3y M 求解．解：(1)设直线AM 的方程为y ＝k (x －2)，k <0，将y ＝k (x －2)与椭圆方程x 24＋y 2＝1联立，(1＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－4＝0，得x A ＋x M ＝16k21＋4k2，求得点M 的横坐标为x M ＝8k 2－24k 2＋1，纵坐标为y M ＝－4k4k 2＋1．将y ＝k (x －2)与圆方程x 2＋y 2＝4联立，得(1＋k 2)·x 2－4k 2x ＋4k 2－4＝0，得x A ＋x P ＝4k21＋k2， 求得点P 的横坐标为x P ＝2k 2－2k 2＋1，纵坐标为y P ＝－4kk 2＋1． 由AP →＝3AM →得y P ＝3y M ， 即－4k k 2＋1＝－12k4k 2＋1． 又k <0，解得k ＝－2．(2)由M ，N 关于原点对称，得点N 的坐标为x N ＝－8k 2＋24k 2＋1，y N ＝4k4k 2＋1，所以直线AN 的斜率为k AN ＝4k4k 2＋1－8k 2＋24k 2＋1－2＝－14k． 于是|AM ||AP |＝y M y P ＝k 2＋14k 2＋1，同理|AN ||AQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k 2＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k 2＋1＝16k 2＋116k 2＋4．所以S 1S 2＝|AM |·|AN ||AP |·|AQ |＝k 2＋14k 2＋1·16k 2＋116k 2＋4＝16k 4＋17k 2＋14(16k 4＋8k 2＋1) ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋9k 216k 4＋8k 2＋1＝14⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋916k 2＋1k2＋8 ≤14⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋9216k 2·1k 2＋8＝2564， 当且仅当16k 2＝1k 2，即k ＝－12时等号成立，所以S 1S 2的最大值为2564．思路参考：设直线AM 的方程为y ＝k (x －2)，k <0，由AP →＝3AM →转化为x P －x A ＝3(x M －x A )求解．解：(1)设直线AM 的方程为y ＝k (x －2)，k <0，代入椭圆方程，整理得(4k 2＋1)x 2－16k 2x ＋4(4k 2－1)＝0．由根与系数的关系得x A x M ＝4(4k 2－1)4k 2＋1，而x A ＝2，所以x M ＝2(4k 2－1)4k 2＋1． 将y ＝k (x －2)代入圆的方程，整理得(k 2＋1)x 2－4k 2x ＋4(k 2－1)＝0．由根与系数的关系得x A x P ＝4(k 2－1)k 2＋1，而x A ＝2，所以x P ＝2(k 2－1)k 2＋1．由AP →＝3AM →，得x P －x A ＝3(x M －x A )，即2(k 2－1)k 2＋1－2＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(4k 2－1)4k 2＋1－2，解得k 2＝2． 又k <0，所以k ＝－2．(2)因为MN 是椭圆的直径，直线AM ，AN 斜率均存在，所以k AM k AN ＝－14，即kk AN ＝－14，所以k AN ＝－14k．下同解法1(略)．思路参考：设直线AM 的方程为x ＝my ＋2，利用y P ＝3y M 求解．解：(1)设直线AM 的方程为x ＝my ＋2(m ≠0)，将其代入椭圆方程，整理得(m 2＋4)y 2＋4my ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝－4mm 2＋4． 将x ＝my ＋2代入圆的方程，整理得(m 2＋1)y 2＋4my ＝0，得点P 的纵坐标为y P ＝－4mm 2＋1． 由AP →＝3AM →，得y P ＝3y M ，即m m 2＋1＝3m m 2＋4．因为m ≠0，解得m 2＝12，即m ＝±12．又直线AM 的斜率k ＝1m<0，所以k ＝－2．(2)因为MN 是椭圆的直径，直线AM ，AN 斜率均存在，又k AM k AN ＝－14，由(1)知k AM ＝1m ，所以有1m k AN ＝－14，则k AN ＝－m4．又y M ＝－4m m 2＋4，y P ＝－4mm 2＋1， 所以|AM ||AP |＝y M y P ＝m 2＋1m 2＋4．同理|AN ||AQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 42＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 42＋1＝m 2＋164(m 2＋4)．所以S 1S 2＝|AM |·|AN ||AP |·|AQ |＝m 2＋1m 2＋4·m 2＋164(m 2＋4)．下同解法1(略)．1．本题考查三角形面积之比的最大值，解法较为灵活，其基本策略是把面积的比值表示为斜率k 的函数，从而求其最大值．2．基于新课程标准，解答本题一般需要具备良好的数学阅读技能、运算求解能力．本题的解答体现了数学运算的核心素养．已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求椭圆E 的方程；(2)设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解：(1)设F (c,0)，由题意知2c ＝233，解得c ＝3．因为e ＝ca ＝32， 所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1． 所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1．(2)(方法一)显然直线l 的斜率存在．设直线l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，且P 在线段AQ 上．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 2＋4y 2－4＝0得(4k 2＋1)x 2－16kx ＋12＝0，所以x 1＋x 2＝16k 4k 2＋1，x 1x 2＝124k 2＋1．由Δ＝(16k )2－48(4k 2＋1)>0，得k 2>34．则S △OPQ ＝S △AOQ －S △AOP＝12×2×|x 2－x 1|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝44k 2－34k 2＋1． 令4k 2－3＝t (t >0)，则4k 2＝t 2＋3，于是S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t≤1，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，所以l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2． (方法二)依题意直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将直线l 的方程代入椭圆方程，整理得(4k 2＋1)x 2－16kx ＋12＝0，则Δ＝(16k )2－48(4k 2＋1)＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34．x 1＋x 2＝16k 4k 2＋1，x 1x 2＝124k 2＋1．由弦长公式得|PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·44k 2－34k 2＋1．由点到直线的距离公式得点O 到直线l 的距离d ＝21＋k2，所以S △OPQ ＝12|PQ |×d ＝121＋k 2×44k 2－34k 2＋1×21＋k 2＝44k 2－34k 2＋1． 设4k 2－3＝t (t >0)，则4k 2＝t 2＋3，所以S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t≤1，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立．7 2x－2或y＝－72x－2．故所求直线l的方程为y＝。
2019版高考数学大一轮复习人教B版全国通用文档：第九章平面解析几何9.4
§9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系． d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离． (2)代数法：――――→判别式Δ＝b 2－4ac⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交；＝0⇔相切；<0⇔相离.2．圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)， 圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0).知识拓展1．圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.2．圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．(2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(×)(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(×)(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(×)(4)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.(√)(5)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则O ，P ，A ，B 四点共圆且直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ )(6)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( √ ) 题组二 教材改编2．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3，－1] B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 C解析 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2，∴|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.3．圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为________． 答案 2 2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得两圆公共弦所在直线为x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为22＝ 2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2， 所以所求弦长为2 2. 题组三 易错自纠4．若直线l ：x －y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0恒有公共点，则m 的取值范围是( ) A ．[－2，2] B ．[－22，22] C ．[－2－1，2－1]D ．[－22－1,22－1] 答案 D解析 圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为(2,1)，半径为2，圆心到直线的距离d ＝|2－1＋m |2，若直线与圆恒有公共点，则|2－1＋m |2≤2，解得－22－1≤m ≤22－1，故选D.5．(2018·石家庄模拟)设圆C 1，C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|等于( ) A ．4 B ．4 2 C ．8 D ．8 2答案 C解析 因为圆C 1，C 2和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，所以两圆都在第一象限内，设圆心坐标为(a ，a )，则|a |＝(a －4)2＋(a －1)2，解得a ＝5＋22或a ＝5－22，可取C 1(5＋22，5＋22)，C 2(5－22，5－22)， 故|C 1C 2|＝(42)2＋(42)2＝8，故选C.6．过点A (3,5)作圆O ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的切线，则切线的方程为______________． 答案 5x －12y ＋45＝0或x －3＝0解析 化圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0为标准方程得(x －1)2＋(y －2)2＝4，其圆心为(1,2)， ∵|OA |＝(3－1)2＋(5－2)2＝13>2，∴点A (3,5)在圆外．显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x －3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y －5＝k (x －3)，即kx －y ＋5－3k ＝0.又圆心为(1,2)，半径r ＝2，而圆心到切线的距离d ＝|3－2k |k 2＋1＝2，即|3－2k |＝2k 2＋1，∴k ＝512，故所求切线方程为5x －12y ＋45＝0或x －3＝0.题型一 直线与圆的位置关系1．已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．不确定答案 B解析 因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2>1，而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离 d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b 2＝1a 2＋b 2<1.所以直线与圆相交．2．圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切C ．相交D ．以上都有可能 答案 C解析 直线2tx －y －2－2t ＝0恒过点(1，－2)， ∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0， ∴点(1，－2)在圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0内，直线2tx －y －2－2t ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0相交， 故选C.思维升华 判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d 与r 的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 题型二 圆与圆的位置关系典例 已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1外切，则ab 的最大值为( ) A.62 B.32 C.94D ．2 3 答案 C解析 由圆C 1与圆C 2外切，可得(a ＋b )2＋(－2＋2)2＝2＋1＝3，即(a ＋b )2＝9，根据均值不等式可知ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝94，当且仅当a ＝b 时等号成立，ab 的最大值为94.引申探究1．若将本典例中的“外切”变为“内切”，求ab 的最大值． 解 由C 1与C 2内切得(a ＋b )2＋(－2＋2)2＝1. 即(a ＋b )2＝1，又ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b 时等号成立，故ab 的最大值为14.2．若将本典例条件“外切”变为“相交”，求公共弦所在的直线方程． 解 由题意把圆C 1，圆C 2的方程都化为一般方程，得 圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2＝0，① 圆C 2：x 2＋y 2＋2bx ＋4y ＋b 2＋3＝0，② 由②－①得(2a ＋2b )x ＋3＋b 2－a 2＝0，即(2a ＋2b )x ＋3＋b 2－a 2＝0为所求公共弦所在直线方程． 思维升华 判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求r 1＋r 2，|r 1－r 2|； (3)比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论．跟踪训练 已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0. (1)m 取何值时两圆外切； (2)m 取何值时两圆内切；(3)求m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．解 两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ， 圆心分别为M (1,3)，N (5,6)， 半径分别为11和61－m .(1)当两圆外切时，(5－1)2＋(6－3)2＝11＋61－m ， 解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因为定圆的半径11小于两圆圆心间距离5， 故只有61－m －11＝5，解得m ＝25－1011. (3)两圆的公共弦所在直线方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0，即4x ＋3y －23＝0，所以公共弦长为2(11)2－(|4×1＋3×3－23|42＋32)2＝27.题型三 直线与圆的综合问题命题点1 求弦长问题典例 (2016·全国Ⅲ)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若|AB |＝23，则|CD |＝________. 答案 4解析 设AB 的中点为M ，由题意知，圆的半径R ＝23，|AB |＝23，所以|OM |＝3，由|OM |＝|3m －3|m 2＋1＝3，解得m ＝－33， 所以直线l ：x －3y ＋6＝0.由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，解得A (－3，3)，B (0，23)，则AC 的直线方程为y －3＝－3(x ＋3)，BD 的直线方程为y －23＝－3x ，令y ＝0，解得C (－2,0)，D (2,0)，所以|CD |＝4. 命题点2 直线与圆相交求参数范围典例 已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1，因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1.解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝4k (1＋k )1＋k 2＋8.由题设可得4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2. 命题点3 直线与圆相切的问题典例 已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程． (1)与直线l 1：x ＋y －4＝0平行； (2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直； (3)过切点A (4，－1)．解 (1)设切线方程为x ＋y ＋b ＝0， 则|1－2＋b |2＝10，∴b ＝1±25，∴切线方程为x ＋y ＋1±25＝0.(2)设切线方程为2x ＋y ＋m ＝0， 则|2－2＋m |5＝10，∴m ＝±52，∴切线方程为2x ＋y ±52＝0. (3)∵k AC ＝－2＋11－4＝13，∴过切点A (4，－1)的切线斜率为－3，∴过切点A (4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)， 即3x ＋y －11＝0.思维升华 直线与圆综合问题的常见类型及解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形． (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题． 跟踪训练 (1)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________． 答案 2 2解析 设P (3,1)，圆心C (2,2)，则|PC |＝2，半径r ＝2，由题意知最短的弦过P (3,1)且与PC 垂直，所以最短弦长为222－(2)2＝2 2.(2)过点P (2,4)引圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为__________________． 答案 x ＝2或4x －3y ＋4＝0解析 当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d ＝|k －1＋4－2k |k 2＋(－1)2＝|3－k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，∴所求切线方程为43x －y ＋4－2×43＝0，即4x －3y ＋4＝0.综上，切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.高考中与圆交汇问题的求解考点分析 与圆有关的最值问题及直线与圆相结合的题目是近年来高考高频小考点．与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化；直线与圆的综合问题主要包括弦长问题，切线问题及组成图形面积问题，解决方法主要依据圆的几何性质． 一、与圆有关的最值问题典例1 (1)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．9(2)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( ) A.33B ．－33C ．±33D ．－ 3解析 (1)∵A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，∴AC 为圆的直径，故P A →＋PC →＝2PO →＝(－4,0)，设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1,1]，PB →＝(x －2，y )， ∴P A →＋PB →＋PC →＝(x －6，y )．故|P A →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37， ∴当x ＝－1时有最大值49＝7，故选B. (2)∵S △AOB ＝12|OA ||OB |sin ∠AOB＝12sin ∠AOB ≤12. 当∠AOB ＝π2时，△AOB 的面积最大．此时O 到AB 的距离d ＝22. 设AB 的方程为y ＝k (x －2)(k <0)，即kx －y －2k ＝0.由d ＝|2k |k 2＋1＝22，得k ＝－33.⎝⎛⎭⎫也可k ＝－tan ∠OPH ＝－33.答案 (1)B (2)B 二、直线与圆的综合问题典例2 (1)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |等于( ) A ．2 B ．4 2 C ．6 D ．210(2)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( ) A.45π B.34π C ．(6－25)πD.54π 解析 (1)由于直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴， ∴圆心C (2,1)在直线x ＋ay －1＝0上，∴2＋a －1＝0，∴a ＝－1，∴A (－4，－1)． ∴|AC |2＝36＋4＝40.又r ＝2，∴|AB |2＝40－4＝36. ∴|AB |＝6.(2)∵∠AOB ＝90°，∴点O 在圆C 上．设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，∴点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上， ∴当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD |. 又|OD |＝|2×0＋0－4|5＝45，∴圆C 的最小半径为25， ∴圆C 面积的最小值为π⎝⎛⎭⎫252＝45π. 答案 (1)C (2)A1．已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得的弦的长度为4，则实数a 的值是( ) A ．－2 B ．－4 C ．－6 D ．－8答案 B解析 将圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，所以圆心为(－1,1)，半径r ＝2－a ，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|－1＋1＋2|2＝2，故r 2－d 2＝4，即2－a －2＝4，所以a ＝－4，故选B.2．圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案 C解析 圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线的距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，半径是22，结合图形可知有3个符合条件的点．3．(2018·福州模拟)过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( )A ．y ＝－34 B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－14答案 B解析 圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以|PC |＝(1－1)2＋(－2－0)2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.4．(2017·广州调研)若点A (1,0)和点B (4,0)到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条答案 C解析 如图，分别以A ，B 为圆心，1,2为半径作圆．由题意得，直线l 是圆A 的切线，A 到l 的距离为1，直线l 也是圆B 的切线，B 到l 的距离为2，所以直线l 是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线)．5．(2017·福建漳州八校联考)已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程为ax ＋by ＝r 2，那么( ) A ．m ∥l ，且l 与圆相交 B ．m ⊥l ，且l 与圆相切 C ．m ∥l ，且l 与圆相离D ．m ⊥l ，且l 与圆相离答案 C解析 ∵点P (a ，b )(ab ≠0)在圆内，∴a 2＋b 2<r 2. ∵圆x 2＋y 2＝r 2的圆心为O (0,0)，故由题意得OP ⊥m ，又k OP ＝b a ，∴k m ＝－a b ，∵直线l 的斜率为k l ＝－a b ＝k m ，圆心O 到直线l 的距离d ＝r 2a 2＋b 2>r 2r ＝r ，∴m ∥l ，l 与圆相离．故选C.6．(2018·洛阳二模)已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝1，直线l 的方程为x ＋y ＝2，过圆C 上任意一点P 作与l 夹角为45°的直线交l 于点A ，则|P A |的最小值为( ) A.12 B ．1 C.2－1 D ．2－ 2答案 D解析 方法一 由题意可知，直线P A 与坐标轴平行或重合，不妨设直线P A 与y 轴平行或重合， 设P (cos α，sin α)，则A (cos α，2－cos α)，∴|P A |＝|2－cos α－sin α|＝⎪⎪⎪⎪2－2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4， ∴|P A |的最小值为2－2，故选D.方法二 由题意可知圆心(0,0)到直线x ＋y ＝2的距离d ＝22＝2，∴圆C 上一点到直线x ＋y ＝2的距离的最小值为2－1.由题意可得|P A |min ＝2(2－1)＝2－2，故选D.7．(2016·全国Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________. 答案 4解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，得y 2－33y ＋6＝0，解得x 1＝－3，y 1＝3；x 2＝0，y 2＝23， ∴A (－3，3)，B (0,23)． 过A ，B 作l 的垂线方程分别为y －3＝－3(x ＋3)，y －23＝－3x ，令y ＝0，则x C ＝－2，x D ＝2，∴|CD |＝2－(－2)＝4. 8．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是______． 答案 35－5解析 把圆C 1、圆C 2的方程都化成标准形式，得 (x －4)2＋(y －2)2＝9，(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4. 圆C 1的圆心坐标是(4,2)，半径是3； 圆C 2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2. 圆心距d ＝(4＋2)2＋(2＋1)2＝3 5. 所以|PQ |的最小值是35－5.9．过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A →·PB →＝________. 答案 32解析 由题意，得圆心为O (0,0)，半径为1.如图所示，∵P (1，3)，∴PB ⊥x 轴，|P A |＝|PB |＝ 3.∴△POA 为直角三角形， 其中|OA |＝1，|AP |＝3，则|OP |＝2，∴∠OP A ＝30°，∴∠APB ＝60°. ∴P A →·PB →＝|P A →||PB →|·cos ∠APB ＝3×3×cos 60°＝32.10．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________． 答案 43解析 圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0)． 由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2， 即|4k －2|k 2＋1≤2，整理得3k 2－4k ≤0，解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43.11．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，设切点为M .(1)若点P 运动到(1,3)处，求此时切线l 的方程； (2)求满足条件|PM |＝|PO |的点P 的轨迹方程．解 把圆C 的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4， ∴圆心为C (－1,2)，半径r ＝2.(1)当l 的斜率不存在时，此时l 的方程为x ＝1， C 到l 的距离d ＝2＝r ，满足条件． 当l 的斜率存在时，设斜率为k ， 得l 的方程为y －3＝k (x －1)， 即kx －y ＋3－k ＝0，则|－k －2＋3－k |1＋k 2＝2，解得k ＝－34. ∴l 的方程为y －3＝－34(x －1)，即3x ＋4y －15＝0.综上，满足条件的切线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y －15＝0. (2)设P (x ，y )，则|PM |2＝|PC |2－|MC |2 ＝(x ＋1)2＋(y －2)2－4， |PO |2＝x 2＋y 2，∵|PM |＝|PO |， ∴(x ＋1)2＋(y －2)2－4＝x 2＋y 2， 整理，得2x －4y ＋1＝0，∴点P 的轨迹方程为2x －4y ＋1＝0.12．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 解 (1)设圆心C (a,0)⎝⎛⎭⎫a >－52， 则|4a ＋10|5＝2，解得a ＝0或a ＝－5(舍)．所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k (x －1)，得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ，即y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0，则k (x 1－1)x 1－t ＋k (x 2－1)x 2－t ＝0，即2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0，亦即2(k 2－4)k 2＋1－2k 2(t ＋1)k 2＋1＋2t ＝0，解得t ＝4，所以当点N 坐标为(4,0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．13．(2017·安徽芜湖六校联考)在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在直线l 上．若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，则圆心C 的横坐标a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，125 B ．[0,1] C.⎣⎡⎦⎤1，125 D.⎝⎛⎭⎫0，125 答案 A解析 因为圆心在直线y ＝2x －4上， 所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M (x ，y )，因为|MA |＝2|MO |， 所以x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2， 化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0， 即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤|CD |≤2＋1， 即1≤a 2＋(2a －3)2≤3.由a 2＋(2a －3)2≥1，得5a 2－12a ＋8≥0， 解得a ∈R ；由a 2＋(2a －3)2≤3，得5a 2－12a ≤0， 解得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，125.故选A. 14．(2017·郑州一模)若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长是________． 答案 4解析 ⊙O 1与⊙O 在A 处的切线互相垂直，如图，可知两切线分别过另一圆的圆心，∴O 1A ⊥OA .又∵|OA |＝5，|O 1A |＝25，∴|OO 1|＝5. 又A ，B 关于OO 1所在直线对称， ∴AB 长为Rt △OAO 1斜边上的高的2倍，∴|AB |＝2×5×255＝4.15．(2017·石家庄一模)若a ，b 是正数，直线2ax ＋by －2＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为23，则t ＝a 1＋2b 2取得最大值时a 的值为( )A.12B.32C.34D.34答案 D解析 由已知可得圆心(0,0)到直线2ax ＋by －2＝0的距离d ＝24a 2＋b 2， 则直线被圆截得的弦长为24－44a 2＋b 2＝23， 化简得4a 2＋b 2＝4.∴t ＝a 1＋2b 2＝122·(22a )·1＋2b 2≤142[(22a )2＋(1＋2b 2)2] ＝142(8a 2＋2b 2＋1)＝942， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8a 2＝1＋2b 2，4a 2＋b 2＝4时等号成立，即t 取最大值，此时a ＝34(舍负值)．故选D. 16．(2017·日照一模)曲线y ＝x 2＋4x的一条切线l 与直线y ＝x ，y 轴围成的三角形记为△OAB ，则△OAB 外接圆面积的最小值为( )A ．82πB ．8(3－2)πC ．16(2－1)πD ．16(2－2)π答案 C解析 y ′＝x 2－4x2，设直线l 与曲线的切点坐标为(x 0，y 0)， 则直线l 的方程为y －x 20＋4x 0＝x 20－4x 20·(x －x 0)， 即y ＝x 20－4x 20x ＋8x 0.不妨设直线l 与直线y ＝x 的交点为A ，与y 轴的交点为B ，可求得A (2x 0,2x 0)，B ⎝⎛⎭⎫0，8x 0. ∴|AB |2＝4x 20＋⎝⎛⎭⎫2x 0－8x 02＝8x 20＋64x 20－32≥32(2－1)，当且仅当x 20＝22时取等号． 由正弦定理可得△OAB 的外接圆的半径R ＝12·|AB |sin 45°＝22|AB |，则△OAB 外接圆的面积S ＝πR 2＝12π|AB |2≥16(2－1)π.故选C.。
近年届高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.3圆的方程学案文北师大版(2021年整理)
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§9。
3 圆的方程最新考纲考情考向分析掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.以考查圆的方程，与圆有关的轨迹问题、最值问题也是考查的热点，属中档题．题型主要以选择、填空题为主,要求相对较低,但内容很重要，有时也会在解答题中出现。
圆的定义与方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫作圆方程标准式（x－a）2＋（y－b)2＝r2（r>0）圆心为（a，b)半径为r一般式x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0充要条件：D2＋E2－4F>0圆心坐标:错误!半径r＝错误!错误!知识拓展1．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤：（1)根据题意，选择标准方程或一般方程．(2)根据条件列出关于a，b,r或D，E，F的方程组．(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程．2．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．已知圆的标准方程（x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1）点在圆上：（x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2）点在圆外:(x0－a）2＋（y0－b）2〉r2；（3)点在圆内：（x0－a）2＋(y0－b）2〈r2.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）（1）确定圆的几何要素是圆心与半径．（√）(2)已知点A（x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)（x －x2）＋（y－y1)（y－y2）＝0。
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第8节 圆锥曲线的综合问题最新考纲 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想.知 识 梳 理1.直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程，即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F （x ，y ）＝0消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则：Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C 相离.(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合. 2.圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋1k2·|y 1－y 2|＝1＋1k2·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2.[常用结论及微点提醒]1.直线与椭圆位置关系的有关结论(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切； (2)过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切； (3)过椭圆内一点的直线均与椭圆相交.2.直线与抛物线位置关系的有关结论(1)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点，两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；(2)过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；(3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条与对称轴平行或重合的直线.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)直线l 与椭圆C 相切的充要条件是：直线l 与椭圆C 只有一个公共点.( ) (2)直线l 与双曲线C 相切的充要条件是：直线l 与双曲线C 只有一个公共点.( ) (3)直线l 与抛物线C 相切的充要条件是：直线l 与抛物线C 只有一个公共点.( ) (4)如果直线x ＝ty ＋a 与圆锥曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则弦长|AB |＝1＋t 2|y 1－y 2|.( )解析 (2)因为直线l 与双曲线C 的渐近线平行时，也只有一个公共点，是相交，但并不相切.(3)因为直线l 与抛物线C 的对称轴平行或重合时，也只有一个公共点，是相交，但不相切. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√2.直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A.相交B.相切C.相离D.不确定解析 直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交. 答案 A3.双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( )A.2 3B.2C. 3D.1解析 ∵双曲线x 24－y 212＝1的一个焦点为F (4，0)，其中一条渐近线方程为y ＝3x ，∴点F到3x －y ＝0的距离为432＝2 3.答案 A4.过抛物线y ＝2x 2的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则x 1x 2等于________.解析 易知抛物线y ＝2x 2的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18，设过焦点的直线的斜率为k ，则其方程为y ＝kx＋18，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 2，y ＝kx ＋18 得2x 2－kx －18＝0，故x 1x 2＝－116.答案 －1165.已知F 1，F 2是椭圆16x 2＋25y 2＝1 600的两个焦点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥PF 2，则△F 1PF 2的面积为________.解析 由题意可得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝20，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝144＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|＝202－2|PF 1|·|PF 2|，解得|PF 1|·|PF 2|＝128，所以△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×128＝64.答案 64考点一 直线与圆锥曲线的位置关系【例1】 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－1，0)，且点P (0，1)在C 1上. (1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程. 解 (1)椭圆C 1的左焦点为F 1(－1，0)，∴c ＝1， 又点P (0，1)在曲线C 1上，∴0a 2＋1b2＝1，得b ＝1，则a 2＝b 2＋c 2＝2，所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率显然存在且不等于0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 因为直线l 与椭圆C 1相切，所以Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0. 整理得2k 2－m 2＋1＝0.①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋m 消去y ，得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0. 因为直线l 与抛物线C 2相切，所以Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0，整理得km ＝1.② 综合①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝22，m ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－ 2. 所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2. 规律方法 研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，消元后，应注意讨论含x 2项的系数是否为零的情况，以及判别式的应用.但对于选择题、填空题要充分利用几何条件，用数形结合的方法求解.【训练1】 若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A.至多一个B.2C.1D.0解析 ∵直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，∴4m 2＋n 2>2，∴m 2＋n 2<4，∴m 29＋n 24<m 29＋4－m 24＝1－536m 2<1，∴点(m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，∴过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点有2个，故选B.答案 B考点二 与弦有关的问题【例2】 (2018·黄山二模)设F 1，F 2分别是椭圆D ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2作倾斜角为π3的直线交椭圆D 于A ，B 两点，F 1到直线AB 的距离为23，连接椭圆D 的四个顶点得到的菱形的面积为2 5. (1)求椭圆D 的方程；(2)设过点F 2的直线l 被椭圆D 和圆C ：(x －2)2＋(y －2)2＝4所截得的弦长分别为m ，n ，当m ·n 最大时，求直线l 的方程.解 (1)设F 1的坐标为(－c ，0)，F 2的坐标为(c ，0)(c >0)， 则直线AB 的方程为y ＝3(x －c )， 即3x －y －3c ＝0， ∴|－3c －3c |（3）2＋（－1）2＝23，解得c ＝2.∵12·2a ·2b ＝25，∴ab ＝5， 又a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝5，b 2＝1， ∴椭圆D 的方程为x 25＋y 2＝1.(2)由题意知，可设直线l 的方程为x ＝ty ＋2，则圆心C 到直线l 的距离d ＝|2t |t 2＋1， ∴n ＝222－d 2＝4t 2＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋2，x 25＋y 2＝1得(t 2＋5)y 2＋4ty －1＝0， 设直线l 与椭圆D 的交点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， ∴y 1＋y 2＝－4t t 2＋5，y 1y 2＝－1t 2＋5， ∴m ＝1＋t 2|y 1－y 2|＝25（t 2＋1）t 2＋5，∴m ·n ＝85·t 2＋1t 2＋5＝85t 2＋1＋4t 2＋1≤25⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当t 2＋1＝4t 2＋1，即t ＝±3时，等号成立，∴直线l 的方程为x －3y －2＝0或x ＋3y －2＝0. 规律方法 1.弦长的三种常用计算方法(1)定义法：过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义，可优化解题.(2)点距法：将直线的方程和圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长.(3)弦长公式法：它体现了解析几何中设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系得到的. 2.处理中点弦问题常用的求解方法点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率.【训练2】 (1)(2018·郑州一模)已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦|AB |＝________.(2)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点.若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1D.x 218＋y 29＝1 解析 (1)直线l 的方程为y ＝3x ＋1， 由⎩⎨⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，得y 2－14y ＋1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝14， ∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝14＋2＝16.(2)因为直线AB 过点F (3，0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y2b 2＝1消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，a ＝3 2. 答案 (1)16 (2)D考点三 圆锥曲线的综合问题【例3】 (2018·长春模拟)已知抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，以抛物线E 上点P (22，y 0)⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0>p 2为圆心的圆与直线y ＝p 2相交于M ,N 两点，且|MN →|＝3|PM →|＝233|PF →|.(1)求抛物线E 的方程；(2)设直线l 与抛物线E 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为D .与直线l 平行的直线与抛物线E 切于点C .若点A ，B 到直线CD 的距离之和为42，求证：△ABC 的面积为定值. (1)解 由抛物线的定义得|PF |＝y 0＋p 2，点P 到直线y ＝p 2的距离为y 0－p2，∵圆P 与直线y ＝p2相交于M ，N 两点，且|MN →|＝3|PM →|，∴12|MN →||PM →|＝32，即cos ∠PMN ＝32，∴∠PMN ＝30°，∴点P 到直线y ＝p 2的距离为12|PM →|，即|PM →|＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0－p 2， ∵3|PM →|＝233|PF →|，∴y 0－p 2＝13⎝⎛⎭⎪⎫y 0＋p 2，得y 0＝p ，将点(22，p )代入抛物线方程，得p ＝2， ∴抛物线E 的方程为x 2＝4y .(2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，代入抛物线方程，得x 2－4kx －4b ＝0，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b ， 则点D (2k ，2k 2＋b ).设与直线l 平行且与抛物线E 相切的直线方程为y ＝kx ＋m ，代入抛物线方程，得x 2－4kx －4m ＝0，由Δ＝16k 2＋16m ＝0，得m ＝－k 2，点C 的横坐标为2k ，则C (2k ，k 2)，∴直线CD 与x 轴垂直，则点A ，B 到直线CD 的距离之和为|x 1－x 2|， 即|x 1－x 2|＝42，∴（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝42， 则16k 2＋16b ＝32，即b ＝2－k 2， ∴|CD |＝|2k 2＋b －k 2|＝2，∴S △ABC ＝12|CD |·|x 1－x 2|＝12×2×42＝42，即△ABC 的面积为定值.规律方法 圆锥曲线的综合问题主要包括：定点、定值问题，最值、范围问题.(1)求解最值与范围问题的关键在于准确利用已知条件构造不等关系式或目标函数，通过解不等式或求解目标函数的值域解决相应问题.(2)关于定点的考题多以坐标轴上的点为研究对象，注意特殊位置的选取.(3)定值问题一般从特殊入手，再证明，还可以直接推理、计算，从而得到定值.【训练3】 (2018·武汉模拟)已知点F 为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M .(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线x 4＋y2＝1与y 轴交于P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，若λ|PM |2＝|PA |·|PB |，求实数λ的取值范围.解 (1)由题意，得a ＝2c ，b ＝3c ，则椭圆E 为x 24c 2＋y 23c2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝c 2，x 4＋y 2＝1，得x 2－2x ＋4－3c 2＝0.∵直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M ，∴Δ＝4－4(4－3c 2)＝0⇒c 2＝1，a ＝2，b ＝3， ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，∵直线x 4＋y 2＝1与y 轴交于P (0，2)，∴|PM |2＝54，当直线l 与x 轴垂直时，|PA |·|PB |＝(2＋3)×(2－3)＝1， ∴λ|PM |2＝|PA |·|PB |⇒λ＝45.当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，3x 2＋4y 2－12＝0⇒(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0，依题意得，x 1x 2＝43＋4k2，且Δ＝48(4k 2－1)>0，∴|PA |·|PB |＝(1＋k 2)x 1x 2＝(1＋k 2)·43＋4k 2＝1＋13＋4k 2＝54λ，∴λ＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋4k 2，∵k 2>14，∴45<λ<1.综上所述，λ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫45，1.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的交点个数是( )A.1B.2C.1或2D.0解析 由直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线y ＝bax 平行，故直线与双曲线的交点个数是1. 答案 A2.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，斜率为1的直线与C 交于两点A ，B ，若线段AB 的中点为(4，1)，则双曲线C 的渐近线方程是( ) A.2x ±y ＝0 B.x ±2y ＝0 C.2x ±y ＝0D.x ±2y ＝0解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2－y 21b 2＝1①，x 22a 2－y 22b 2＝1②，由①－②得（x 1－x 2）（x 1＋x 2）a 2＝（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b 2，结合题意化简得4b 2a 2＝1，即b a ＝12，所以双曲线C 的渐近线方程为x ±2y ＝0.答案 B3.抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为( ) A. 2B.728C.2 2D.526解析 设抛物线上一点的坐标为(x ，y )，则d ＝|x －y －2|2＝|－x 2＋x －2|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－742，∴x ＝12时， d min ＝728.答案 B4.经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点，设O 为坐标原点，则OA →·OB →等于( ) A.－3 B.－13C.－13或－3D.±13解析 依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，∴OA →·OB →＝－13，同理，直线l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB →＝－13.答案 B5.(2018·太原一模)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为6，则|AB |＝( )A.6B.8C.12D.16解析 由题意知抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0)，易知当直线AB 垂直于x 轴时，△AOB 的面积为2，不满足题意，所以可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，与y 2＝4x 联立，消去x 得ky 2－4y －4k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4，所以|y 1－y 2|＝16k 2＋16，所以△AOB 的面积为12×1×16k2＋16＝6，解得k ＝±2，所以|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|＝6，故选A.答案 A 二、填空题6.(2018·赣州调研)在直角坐标系xOy 中，有一定点M (－1，2)，若线段OM 的垂直平分线过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________.解析 易知直线OM 的方程为y ＝－2x ，则线段OM 的垂直平分线的方程为2x －4y ＋5＝0，把焦点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2代入2x －4y ＋5＝0可求得p ＝52，从而得到准线方程为y ＝－54.答案 y ＝－547.已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3，0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，则|PM →|的最小值是________. 解析 ∵PM →·AM →＝0，∴AM →⊥PM →. ∴|PM →|2＝|AP →|2－|AM →|2＝|AP →|2－1， ∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小， 故|AP →|min ＝2，∴|PM →|min ＝ 3. 答案38.(2018·平顶山模拟)若双曲线x 2－y 2b2＝1(b ＞0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是________. 解析 双曲线的渐近线方程为y ＝±bx ，则有|0－2|1＋b2≥1，解得b 2≤3，则e 2＝1＋b 2≤4，∵e ＞1，∴1＜e ≤2.答案 (1，2] 三、解答题9.设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1且斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列.(1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|PA |＝|PB |，求E 的方程. 解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43a ，l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2b2＝1，消去y ，整理得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2（c 2－b 2）a 2＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]，即43a ＝4ab 2a 2＋b2，故a 2＝2b 2， 所以E 的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22.(2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－2c 3，y 0＝x 0＋c ＝c3. 由|PA |＝|PB |，得k PN ＝－1，即y 0＋1x 0＝－1， 得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3. 故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.10.(2018·石家庄模拟)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且AF →＝λFB →(λ>0).过A ，B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M . (1)证明：FM →·AB →为定值；(2)设△ABM 的面积为S ，求S 的最小值.(1)证明 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，与抛物线x 2＝4y 联立得x 2－4kx －4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 因此x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，由直线AM ：y ＝x 12x －x 214，直线BM ：y ＝x 22x －x 224得M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1x 24，即M (2k ，－1)， 所以FM →·AB →＝(2k ，－2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x 1，x 22－x 214＝(2k ，－2)·(4k 2＋1，4k k 2＋1)＝0.(2)解 |AB |＝4(k 2＋1)，点M 到直线AB 的距离为d ＝|2k 2＋2|1＋k2＝21＋k 2， 所以S ＝12·4(k 2＋1)·2k 2＋1＝4(k 2＋1)32≥4，所以S 的最小值为4.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.(2017·石家庄模拟)已知P 为双曲线C ：x 29－y 216＝1上的点，点M 满足|OM →|＝1，且OM →·PM→＝0，则当|PM →|取得最小值时点P 到双曲线C 的渐近线的距离为( ) A.95B.125C.4D.5解析 由OM →·PM →＝0，得OM ⊥PM ，根据勾股定理，求|MP |的最小值可以转化为求|OP |的最小值，当|OP |取得最小值时，点P 的位置为双曲线的顶点(±3，0)，而双曲线的渐近线为4x ±3y ＝0，∴所求的距离d ＝125，故选B.答案 B12.(2018·大庆质检)设F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是________. 解析 如图，因为(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝0，所以平行四边形OPBF 2的对角线互相垂直，即平行四边形OPBF 2是菱形，由椭圆方程x 24＋y 2＝1，得a ＝2，b ＝1，c ＝4－1＝3，即|OP →|＝|OF 2→|＝ 3. 所以△F 1PF 2是直角三角形， 设|PF 2|＝r 1，|PF 1|＝r 2. 则|PF 2|＋|PF 1|＝r 1＋r 2＝4，① ①式两边平方得r 21＋2r 1r 2＋r 22＝16， 又r 21＋r 22＝(2c )2＝12，所以2r 1r 2＝16－12＝4，即r 1r 2＝2. 则△F 1PF 2的面积为12r 1r 2＝12×2＝1.答案 113.(2018·西安模拟)设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆上的点T (2，2)到点F 1，F 2的距离之和等于4 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆C 交于E ，F 两点，A 为椭圆C 的左顶点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N .问：以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由.解 (1)由椭圆上的点T (2，2)到点F 1，F 2的距离之和是42， 可得2a ＝42，a ＝2 2.又T (2，2)在椭圆上，因此4a 2＋2b2＝1，所以b ＝2.所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)因为椭圆C 的左顶点为A ，所以点A 的坐标为(－22，0). 因为直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆x 28＋y 24＝1交于E ，F 两点，设点E (x 0，y 0)(不妨设x 0>0)，则点F (－x 0，－y 0).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 28＋y 24＝1消去y ，得x 2＝81＋2k 2，所以x 0＝221＋2k2，则y 0＝22k 1＋2k2，所以直线AE 的方程为y ＝k1＋1＋2k 2(x ＋22). 因为直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ， 令x ＝0，得y ＝22k1＋1＋2k 2， 即点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22k 1＋1＋2k 2.同理可得点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22k 1－1＋2k 2.所以|MN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪22k1＋1＋2k 2－22k 1－1＋2k 2＝22（1＋2k 2）|k |.设MN 的中点为P ，则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－2k .则以MN 为直径的圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋2k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2（1＋2k 2）|k |2，即x 2＋y 2＋22ky ＝4，令y＝0，得x2＝4，即x＝2或x＝－2.故以MN为直径的圆经过两定点P1(2，0)，P2(－2，0).。