河海大学数学分析2009真题
河海大学2009年攻读硕士学位研究生入学考试试题
机密★启用前 秘密★启用后 请务必将所有答案写在专用答题纸上河海大学2009年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目名称： 信号与系统（863）一、（本题满分10分） 计算积分dt t t t )6()sin ⎰+∞∞--+πδ（的值。
二、（本题满分15分） 已知)1()()(1--=t t t f εε，)2()()(2--=t t t f εε， 求卷积)()()(21t f t f t f *=。
三、（本题满分15分） 一线性非时变系统具有非零初始状态，已知当激励为)(t f 时，系 统全响应为)()cos 2()(1t t e t y t επ+=-；当激励为2)(t f 时，系统的全响应为)()cos 3()(2t t t y επ=；求在同样的条件下，当激励为)3(3-t f 时，系统的全响应)(3t y 。
四、（本题满分25分） RC 电路如图所示，R=1Ω，C=1F,V t e t f t)()1()(ε-+=，电容上初始电压为V U C 1)0(=-，求响应电流)(t i 。
（用时域法求解）五、（本题满分20分） 如图所示信号，已知七傅里叶变换，极为)(ωj F ， 试求：（1）)0(F ; （2）⎰+∞∞-ωωd j F )(。
六、（本题满分25分） RLC 电路系统如图所示，R=3Ω，C=21F ，L=1H ，电感中初始电流为零，电容上初始电压为零。
已知激励信号V t e t e t )()(3ε-=。
试求：1.系统函数)()()(S E S U S H C =； 2.系统完全响应)(t u c 。
七、（本题满分15分） 线性时不变系统的单位样值响应为)(k h ，输入为)(k f ，)3()()()(--==k k k f k h εε，求系统的零状态响应)(k y ，并绘图示出)(k y 。
八、（本题满分25分） 一离散时间系统的差分方程和初始条件如下： )1()()2(6)1(5)(--=-+-+k f k f k y k y k y 1)1(=-y ，0)2(=-y ，)()(k k f δ= 1、画出离散系统的结构图；2、求系统函数)(z H ；3、求单位样值响应)(k h ；4、试求系统响应)(k y 。
河海大学2009年617公共管理学真题
河海大学2009年硕士学位研究生入学考试初试试卷科目代码：617 科目名称：公共管理学满分：150 分一、解释下列各题（每题3分，共18分）1、公共物品2、公共选择理论3、政府失灵4、公共政策5、绩效管理6、政府预算二、简述题（每题10分，共80分）1、简述公共管理与私人管理的关系2、评述胡德关于新公共管理的构成要素3、世界银行关于政府基本职能的论述4、分析公共企业民营化及其根据5、分析我国公共政策执行中“上有政策，下有对策”现象存在的原因及解决对策6、简述法拉姆关于公共人力资源管理和雇佣关系7、分析非营利组织在公共服务中的作用及其局限性8、简述电子化政府和公共管理改革的关系三、案例分析题（每题15分，共计30分）2008年9月8日，山西省裏汾县新塔矿业公司发生特大尾矿库溃坝事故。
1992年，这个尾矿库被封闭后，曾采取碎石填平、黄土覆盖坝顶、植树绿化、库区上方建设排洪明渠等闭库处理措施。
新塔矿业公司通过拍卖购买了铁矿产权，本应该履行了合法的手续后重新修建新的尾矿库，但矿方却擅自在旧库上挖库排尾，从而造成尾矿库大面积液化，坝体失稳，并引发了这起重特大溃坝事故。
“老坝有安全隐患，但老板为了省钱，就是舍不得建新坝。
”在塔山矿区打工的一名不愿透露姓名的重庆籍打工人员说。
他的妻子8日早上在集贸市场被泥石流冲走，至今仍没有音讯。
云合村一位村民告诉新华社记者，这个坝早就不用了，但新塔矿业公司实际控制人张培亮今年以来却一直在用。
记者问这位村民：张培亮用废弃的坝怎么没人管？这位村民毫不隐讳地说，张培亮有钱，谁敢管？在这次事故中，新塔矿业公司三层办公楼被泥石流冲走了十几米，它离出事的尾矿库坝只有500多米，公司员工每天在楼内居住、工作，他们不知道，自己正处在自己公司放置的“定时炸弹”之下，云合村一位村民在事故发生后告诉记者，发生事故的尾矿坝一直在生产，他和村里的不少人向矿上提出这个地方有安全隐患，为此，他自己还和矿上一个姓侯的矿长吵过架，但矿里就是置之不理。
2009年高考试题——数学理(天津卷)解析版-推荐下载
xB
xA
3 2
xM xA xM xB
1 1Leabharlann 2， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
4 5
gy =
2 -1
2
1 hx = -2x+3
1 2
1 2
（D）
yB
，故选择
SACF
2
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2xB 1 ，
2xA 1
-10
A。
（10） 0 b 1 a ,若关于 x 的不等式 (x b)2 ＞ (ax)2 的解集中的整数恰有 3 个，则
式的解集为 b x b ，又由 0 b 1 a 得 0 b 1 ，故 3 b 2 ，即 2 b 3
a1
a1
二．填空题：（6 小题，每题 4 分，共 24 分） （11）某学院的 A，B，C 三个专业共有 1200 名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的 方法抽取一个容量为 120 的样本。已知该学院的 A 专业有 380 名学生，B 专业有 420 名学生，则在该学院的 C 专业应抽取____名学生。 【考点定位】本小题考查分层抽样，基础题。
1
ln
3
0
；又
f
(1)
（5）阅读右图的程序框图，则输出的 S=
A 26
B 35
1
3
【考点定位】本小考查框架图运算，基础题。
,
f
e
C 40
e
3
1
解：当 i 1 时，T 2, S 2 ；当 i 2 时，T 5, S 7 ；当 i 3 时，
河海大学理学院《616数学分析》历年考研真题专业课考试试题
2011年河海大学616数学分析考研真题 2010年河海大学616数学分析考研真题 （样卷） 2008年河海大学数学分析考研真题 2007年河海大学616数学分析考研真题 2006年河海大学数学分析考研真题 2005年河海大学316数学分析考研真题 2004年河海大学数学分析考研真题 2003年河海大学数学分析考研真题
2002年河海大学数学分析考研真题 2001年河海大学数学分析考研真题 2000年河海大学数Байду номын сангаас分析考研真题
2011年河海大学616数学分析考研真题
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2000年河海大学数学分析考研真题
09下数值分析答案(A)
《数值分析》I课程试题参考答案及评分标准（中文试卷）( A卷)适用专业年级：信息与计算科学07级 考试时间: 100分钟命题人：吕勇一、解------------------------------------------------------5分则插值多项式。
---------------------------------------- -------10分二、 证明设，以为节点的Lagrange插值多项式为 --3分余项为-----------------------------------------------------6分由于为线性函数，当时，。
--------------------------------9分则：，所以结论得证-------------------------------------------------10分三、证明 ----------------------------------------------------5分-------------------------8分 ---------------------------------------------------10分四、证明设则根据插值多项式原理-------------------------------------------------------------------------------------6分两端在上积分-------------------------------------------------------------10分五、解设，。
--------------------------------------------------------------------3分，---------------------------------------------------------------6分，。
2009—数一真题、标准答案及解析
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.（1）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小，则(A)11,6a b ==-. (B)11,6a b ==. (C)11,6a b =-=-. (D)11,6a b =-=.（2）如图，正方形(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4k D k =，cos kk D I y xdxdy =⎰⎰，则{}14max kk I ≤≤=(A)1I .(B)2I . (C)3I .(D)4I .（3）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为(A)(B)x(C)(D)（4）设有两个数列{}{},n n a b ，若lim 0n n a →∞=，则 （A ）当1nn b∞=∑收敛时，1n nn a b∞=∑收敛. （B ）当1nn b∞=∑发散时，1n nn a b∞=∑发散.(C)当1nn b∞=∑收敛时，221n nn a b∞=∑收敛. (D)当1nn b∞=∑发散时，221n nn a b∞=∑发散.（5）设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基，则由基12311,,23ααα到基 122331,,αααααα+++的过渡矩阵为(A)101220033⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(B)120023103⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.(C)111246111246111246⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.(D)111222111444111666⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. （6）设,A B 均为2阶矩阵，**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若2,3A B ==，则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为()A **32O B A O ⎛⎫ ⎪⎝⎭.()B **23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭. ()C **32O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭.()D **23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭.（7）设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ⎪⎝⎭，其中()x Φ为标准正态分布函数，则EX =(A)0.(B)0.3. (C)0.7.(D)1.（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布()0,1N ，Y 的概率分布为{}{}1012P Y P Y ====，记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()Z F z 的间断点个数为 (A)0.(B)1.(C)2.(D)3.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.（9）设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数，(),z f x xy =，则2zx y∂=∂∂ . （10）若二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为()12xy C C x e =+，则非齐次方程y ay by x '''++=满足条件()()02,00y y '==的解为y = .（11）已知曲线(2:0L y x x =≤≤，则Lxds =⎰ .（12）设(){}222,,1x y z xy z Ω=++≤，则2z dxdydz Ω=⎰⎰⎰ .（13）若3维列向量,αβ满足2Tαβ=，其中Tα为α的转置，则矩阵Tβα的非零特征值为 .(14)设12,,,m X X X 为来自二项分布总体(),B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差.若2X kS +为2np 的无偏估计量，则k = . 三、解答题：15~23小题，共94分. （15）（本题满分9分） 求二元函数()22(,)2ln f x y xy y y =++的极值.（16）（本题满分9分）设n a 为曲线ny x =与()11,2,.....n y x n +==所围成区域的面积，记122111,n n n n S a S a ∞∞-====∑∑，求1S 与2S 的值.（17）（本题满分11分）椭球面1S 是椭圆22143x y +=绕x 轴旋转而成，圆锥面2S 是过点()4,0且与椭圆22143x y +=相切的直线绕x 轴旋转而成. （Ⅰ）求1S 及2S 的方程（Ⅱ）求1S 与2S 之间的立体体积. （18）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 可导，则存在(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0δδ>内可导，且()0lim x f x A +→'=，则()0f +'存在，且()0f A +'=.（19）（本题满分10分）计算曲面积分()32222xdydz ydzdx zdxdyI xy z++=∑++⎰⎰，其中∑是曲面222224x y z ++=的外侧.（20）（本题满分11分）设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，1112ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. （Ⅰ）求满足21A ξξ=的2ξ. 231A ξξ=的所有向量2ξ,3ξ.（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量2ξ,3ξ证明1ξ,2ξ,3ξ无关.（21）（本题满分11分）设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-（Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值.（22）（本题满分11分）袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以,,X Y Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.（Ⅰ）求{}10p X Z ==；（Ⅱ）求二维随机变量(),X Y 概率分布.（23）（本题满分11 分） 设总体X 的概率密度为2,0()0,x xe x f x λλ-⎧>=⎨⎩其他，其中参数(0)λλ>未知，1X ，2X ,…n X 是来自总体X 的简单随机样本.(Ⅰ)求参数λ的矩估计量； （Ⅱ）求参数λ的最大似然估计量.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.（1）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小，则(A)11,6a b ==-. (B)11,6a b ==. (C)11,6a b =-=-. (D)11,6a b =-=.【答案】 A.【解析】2()sin ,()ln(1)f x x ax g x x bx =-=-为等价无穷小，则222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a axg x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b axa→==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除(B)、(C). 另外201cos lim3x a axbx→--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排除(D). 所以本题选（A ）. （2）如图，正方形(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4k D k =，cos kk D I y xdxdy =⎰⎰，则{}14max kk I ≤≤=(A)1I .(B)2I . (C)3I .(D)4I .【答案】 A.【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性.24,D D 两区域关于x 轴对称，而(,)cos (,)f x y y x f x y -=-=-，即被积函数是关于y 的奇函数，所以240I I ==;13,D D 两区域关于y 轴对称，而(,)cos()cos (,)f x y y x y x f x y -=-==，即被积函数是关于x 的偶函数，所以{}1(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy ≥≤≤=>⎰⎰；x{}3(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy ≤-≤≤=<⎰⎰.所以正确答案为(A).（3）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为(A)(B)(C)(D)【答案】D.【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征： ①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减. ②[]1,2x ∈时，()F x 单调递增.③[]2,3x ∈时，()F x 为常函数.④[]1,0x ∈-时，()0F x ≤为线性函数，单调递增. ⑤由于F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为（D ）.（4）设有两个数列{}{},n n a b ，若lim 0n n a →∞=，则（A ）当1nn b∞=∑收敛时，1n nn a b∞=∑收敛. （B ）当1nn b∞=∑发散时，1n nn a b∞=∑发散.(C)当1nn b∞=∑收敛时，221n nn a b∞=∑收敛. (D)当1nn b∞=∑发散时，221n nn a b∞=∑发散.【答案】C. 【解析】方法一：举反例：（A）取(1)nn n a b ==- （B ）取1n n a b n ==（D ）取1n n a b n==故答案为（C ）.方法二：因为lim 0,n n a →∞=则由定义可知1,N ∃使得1n N >时，有1n a <又因为1nn b∞=∑收敛，可得lim 0,n n b →∞=则由定义可知2,N ∃使得2n N >时，有1n b <从而，当12n N N >+时，有22n nn a b b <，则由正项级数的比较判别法可知221n nn a b∞=∑收敛.（5）设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基，则由基12311,,23ααα到基 122331,,αααααα+++的过渡矩阵为(A)101220033⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(B)120023103⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.(C)111246111246111246⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.(D)111222111444111666⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 【答案】A.【解析】因为()()1212,,,,,,n n A ηηηααα=，则A 称为基12,,,n ααα到12,,,n ηηη的过渡矩阵.则由基12311,,23ααα到122331,,αααααα+++的过渡矩阵M 满足 ()12233112311,,,,23M ααααααααα⎛⎫+++= ⎪⎝⎭12310111,,22023033ααα⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭所以此题选(A).（6）设,A B 均为2阶矩阵，**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若2,3A B ==，则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为()A **32O B A O ⎛⎫ ⎪⎝⎭.()B **23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭. ()C **32O A BO ⎛⎫ ⎪⎝⎭.()D **23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭. 【答案】B.【解析】根据CC C E *=，若111,C C C CC C*--*==分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的行列式221236O A A B B O ⨯=-=⨯=（），即分块矩阵可逆 11116601O B BO A OA O A OB B O B B O AO A O A **---*⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭1236132O B O B AO A O ****⎛⎫ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭故答案为（B ）.（7）设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ⎪⎝⎭，其中()x Φ为标准正态分布函数，则EX =(A)0.(B)0.3. (C)0.7.(D)1.【答案】C.【解析】因为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ⎪⎝⎭， 所以()()0.710.322x F x x -⎛⎫'''=Φ+Φ ⎪⎝⎭， 所以()()10.30.352x EX xF x dx x x dx +∞+∞-∞-∞⎡-⎤⎛⎫'''==Φ+Φ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰()10.30.352x x x dx x dx +∞+∞-∞-∞-⎛⎫''=Φ+Φ ⎪⎝⎭⎰⎰而()0x x dx +∞-∞'Φ=⎰，()()11221222x x x dx u u u du +∞+∞-∞-∞--⎛⎫''Φ=+Φ= ⎪⎝⎭⎰⎰ 所以00.3520.7EX =+⨯=.（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布()0,1N ，Y 的概率分布为{}{}1012P Y P Y ====，记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()Z F z 的间断点个数为 (A)0.(B)1.(C)2.(D)3.【答案】 B. 【解析】()()(0)(0)(1)(1)1[(0)(1)]21[(00)(1)]2Z F z P XY z P XY z Y P Y P XY z Y P Y P XY z Y P XY z Y P X z Y P X z Y =≤=≤==+≤===≤=+≤==⋅≤=+≤=,X Y 独立1()[(0)()]2Z F z P X z P X z ∴=⋅≤+≤（1）若0z <，则1()()2Z F z z =Φ（2）当0z ≥，则1()(1())2Z F z z =+Φ0z ∴=为间断点，故选（B ）.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数，(),z f x xy =，则2zx y∂=∂∂ . 【答案】"'"12222xf f xyf ++.【解析】''12z f f y x∂=+⋅∂，2"'""'"1222212222z xf f yx f xf f xyf x y ∂=++⋅=++∂∂. （10）若二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为()12xy C C x e =+，则非齐次方程y ay by x '''++=满足条件()()02,00y y '==的解为y = .【答案】2xy xe x =-++.【解析】由12()xy c c x e =+，得121λλ==，故2,1a b =-=微分方程为''2'y y y x -+=设特解*y Ax B =+代入，',1y A A ==220,2A AxB x B B -++=-+==∴ 特解 *2y x =+∴ 12()2xy c c x e x =+++把 (0)2y = ， '(0)0y =代入，得120,1c c ==- ∴ 所求2xy xe x =-++ （11）已知曲线(2:0L y x x =≤≤，则Lxds =⎰ .【答案】136【解析】由题意可知，2,,0x x y x x ==≤≤，则ds ==，所以()201148Lxds x ==+⎰11386==（12）设(){}222,,1x y z xy z Ω=++≤，则2z dxdydz Ω=⎰⎰⎰ .【答案】415π. 【解析】 方法一：2122220sin cos z dxdydz d d d ππθϕρϕρϕρ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰()21240cos cos d d d ππθϕϕρρ=-⎰⎰⎰30cos 1423515d πϕπϕπ=⋅-⋅=⎰方法二：由轮换对称性可知2z dxdydz Ω=⎰⎰⎰2x dxdydz Ω=⎰⎰⎰2y dxdydz Ω⎰⎰⎰ 所以，()212222400011sin 33z dxdydz x y z dxdydz d d r dr ππϕθϕΩΩ=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 14002214sin sin 33515d r dr d πππππϕϕϕϕ=⋅⋅=⎰⎰⎰（13）若3维列向量,αβ满足2Tαβ=，其中Tα为α的转置，则矩阵Tβα的非零特征值为 .【答案】2.【解析】2Tαβ=()2T T βαββαββ∴==⋅, T βα∴的非零特征值为2.(14)设12,,,m X X X 为来自二项分布总体(),B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差.若2X kS +为2np 的无偏估计量，则k = . 【答案】1-. 【解析】2X kS -+为2np 的无偏估计22()E X kX np -∴+=2(1)1(1)(1)11np knp p np k p pk p p k ∴+-=∴+-=∴-=-∴=-三、解答题：15~23小题，共94分. （15）（本题满分9分）求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值. 【解析】2(,)2(2)0x f x y x y '=+= 2(,)2ln 10y f x y x y y '=++=故10,x y e= =2212(2),2,4xxyy xyf y f x f xy y''''''=+ =+ = 则12(0,)12(2)xxef e ''=+，1(0,)0xyef ''=，1(0,)yy ef e ''=.0xxf ''>而2()0xy xx yy f f f ''''''-< ∴二元函数存在极小值11(0,)f e e=-.（16）（本题满分9分）设n a 为曲线ny x =与()11,2,.....n y x n +==所围成区域的面积，记122111,n n n n S a S a ∞∞-====∑∑，求1S 与2S 的值.【解析】由题意，n y x =与n+1y=x 在点0x =和1x =处相交，所以112111111a ()()001212nn n n n xxdx x x n n n n +++=-=-=-++++⎰， 从而1111111111S lim lim(-)lim()23122+22Nn nN N N n n a a N N N ∞→∞→∞→∞=====-++=-=++∑∑2211111111111111=)22+1232N 2N+123456n n n S a n n ∞∞-====--++-=-+-+∑∑（）（ 由2(1)1(1)2nn x x n-++-+ln(1+x)=x- 取1x =得22111ln(2)1()11ln 2234S S =--+=-⇒=-.（17）（本题满分11分）椭球面1S 是椭圆22143x y +=绕x 轴旋转而成，圆锥面2S 是过点()4,0且与椭圆22143x y +=相切的直线绕x 轴旋转而成. （Ⅰ）求1S 及2S 的方程（Ⅱ）求1S 与2S 之间的立体体积.【解析】（I ）1S 的方程为222143x y z ++=， 过点()4,0与22143x y +=的切线为122y x ⎛⎫=±- ⎪⎝⎭， 所以2S 的方程为222122y z x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.（II ）1S 与2S 之间的体积等于一个底面半径为32、高为3的锥体体积94π与部分椭球体体积V 之差，其中22135(4)44V x dx ππ=-=⎰.故所求体积为9544πππ-=. （18）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 可导，则存在(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0δδ>内可导，且()0lim x f x A +→'=，则()0f +'存在，且()0f A +'=.【解析】（Ⅰ）作辅助函数()()()()()()f b f a x f x f a x a b aϕ-=----，易验证()x ϕ满足：()()a b ϕϕ=；()x ϕ在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，且''()()()()f b f a x f x b aϕ-=--. 根据罗尔定理，可得在(),a b 内至少有一点ξ，使'()0ϕξ=，即'()f ξ'()()0,()()()()f b f a f b f a f b a b aξ--=∴-=--（Ⅱ）任取0(0,)x δ∈，则函数()f x 满足：在闭区间[]00,x 上连续，开区间()00,x 内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在()()000,0,x x ξδ∈⊂，使得()0'00()(0)x f x f f x ξ-=-……()*又由于()'lim x f x A +→=，对上式（*式）两边取00x +→时的极限可得：()()000000'''0000()00lim lim ()lim ()0x x x x x f x f f f f A x ξξξ++++→→→-====-故'(0)f +存在，且'(0)f A +=.（19）（本题满分10分）计算曲面积分()32222xdydz ydzdx zdxdyI xy z++=∑++⎰⎰，其中∑是曲面222224x y z ++=的外侧.【解析】2223/2()xdydz ydxdz zdxdy I x y z ∑++=++⎰⎰，其中222224x y z ++= 2222223/22225/22(),()()x y z x x x y z x y z ∂+-=∂++++① 2222223/22225/22(),()()y x z y y x y z x y z ∂+-=∂++++②2222223/22225/22(),()()z x y z z x y z x y z ∂+-=∂++++③ ∴①+②+③=2223/22223/22223/2()()()0()()()x y zx x y z y x y z z x y z ∂∂∂++=∂++∂++∂++ 由于被积函数及其偏导数在点（0，0，0）处不连续，作封闭曲面（外侧）222211:.016x y z R R ∑++=<<有 1132223/233313434()3xdydz ydxdz zdxdyxdydz ydxdz zdxdy R dV x y z R R R ππ∑∑∑Ω++++====⋅=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（20）（本题满分11分）设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭ 1112ξ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭（Ⅰ）求满足21A ξξ=的2ξ. 231A ξξ=的所有向量2ξ,3ξ.（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量2ξ,3ξ证明1ξ,2ξ,3ξ无关. 【解析】（Ⅰ）解方程21A ξξ=()1111111111111,111100000211042202110000A ξ---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2r A =故有一个自由变量，令32x =，由0Ax =解得，211,1x x =-= 求特解，令120x x ==，得31x =故21101021k ξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中1k 为任意常数.解方程231A ξξ=2220220440A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭()21111022012,2201000044020000A ξ-⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪=--→⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭故有两个自由变量，令21x =-，由20A x =得131,0x x ==求特解21200η⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭故 321121000k ξ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭ ，其中2k 为任意常数.（Ⅱ）证明：由于12121212122111121112(21)()2()(21)22221k k k k k k k k k k k k k -+--=+++-+-+-+102=≠ 故123,,ξξξ 线性无关. （21）（本题满分11分）设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+- （Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值.【解析】（Ⅰ） 0101111a A aa ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭0110||01()1111111aaaE A aa a a λλλλλλλλ-----=-=---+---+222()[()(1)1][0()]()[()(1)2]()[22]19(){[(12)]}24()(2)(1)a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλ=---+--+-=---+-=--++--=-+--=--+--123,2,1a a a λλλ∴==-=+（Ⅱ） 若规范形为2212y y +，说明有两个特征值为正，一个为0.则1) 若10a λ==，则 220λ=-< ，31λ= ，不符题意 2) 若20λ= ，即2a =，则120λ=>，330λ=>，符合3) 若30λ= ，即1a =-，则110λ=-< ，230λ=-<，不符题意 综上所述，故2a =.（22）（本题满分11分）袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以,,X Y Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数. （Ⅰ）求{}10p X Z ==；（Ⅱ）求二维随机变量(),X Y 概率分布.【解析】（Ⅰ）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有1个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球12113324(10)9C P X Z C C ⨯∴====⋅.（Ⅱ）X ，Y 取值范围为0，1，2，故()()()()()()()()()1111332311116666111223111166661122116611221166110,0,1,0461112,0,0,136311,1,2,10910,291,20,2,20C C C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C C C P X Y P X Y C C C C P X Y C C P X Y P X Y ⋅⋅========⋅⋅⋅⋅========⋅⋅⋅=======⋅⋅====⋅======（23）（本题满分11 分） 设总体X 的概率密度为2,0()0,x xe x f x λλ-⎧>=⎨⎩其他，其中参数(0)λλ>未知，1X ,2X ,…,n X 是来自总体X 的简单随机样本.(Ⅰ)求参数λ的矩估计量； （Ⅱ）求参数λ的最大似然估计量【解析】 （1）由EX X =而22022ˆx EX x e dx X Xλλλλ+∞-===⇒=⎰为总体的矩估计量 （2）构造似然函数()()12111L ,.....,;;nii nnx nn i i i i x x f x x eλλλλ=-==∑==⋅⋅∏∏取对数11ln 2ln ln n ni i i i L n x x λλ===+-∑∑令111ln 222001n i n ni i i i i d L n n x d x x n λλλ====⇒-=⇒==∑∑∑ 故其最大似然估计量为2Xλ''=.。
河海大学2009年(二期)博士研究生入学考试真题《概率论与数理统计》
一只盒子装一只球，求至少有一只球装入与球同号的盒子中的概率。
六、(14分)设
X 1,X2,...Xn是来自总体X的样本，ai>0,i=1,2,...n,且
n
S
ai =1 , 试证，
i=1
n
1. S
aiXi 是EX的无偏估计； 2.在所有形如
n
S
aiXi 的估计量中，以X最有效。
i=1
i=1
七、(11分)根据某市公路交通部门某年的前6个月交通事故记录(合计238次),统计
四、(14分)设(X,Y)为从D={(x,y):(x-1 )2+(y+2)2<1}中随机取出的一点的坐标。 1.求(X,Y)的联合密度函数； 2.对任意给定的X=x下，求Y的条件密度； 3.求条件期望E(Y|X)。
五、(14分)将编号1,2,...n的n只球随机地放进编号也是1,2,...n的n只盒子中去，
的星期一至星期日发生的交通事故次数如下：
1 23456 7 次数 36 23 29 31 34 60 25
(部分 c
2分布上a
分位点 c
2 0.05
(5)=11.071
,
c
2 0.05
(6)=12.592
,
c
2 0.05
(7)=14.067)
问交通事故的发生是否与星期几无关(a =0.05)？
八、(10分)设X1,X2,...X6是来自N(0,1)的样本，求常数a,b使统计量Y服从c 2分布， t分布，F分布之一，并确定所服从分布的自由度。 Y= _a_(X__1+__X_2+__X_3_)_ (X4+X5)2+bX62
i=1,2,设X=max ( x+h,h ),Y=min(x,x-h ),分别求X,Y的分布律。
(完整word版)2009河海大学水力学试题及答案(1),推荐文档
1．选择题部分（一）在平衡液体中，质量力与等压面（）a、重合；b、平行c、相交；d、正交。
答案：d（二）在水力学中，单位质量力是指（）a、单位面积液体受到的质量力；b、单位体积液体受到的质量力；c、单位质量液体受到的质量力；d、单位重量液体受到的质量力。
答案：c（3）液体中某点的绝对压强为100kN/m2，则该点的相对压强为a、1 kN/m2b、2 kN/m2c、5 kN/m2d、10 kN/m2答案：b（4）水力学中的一维流动是指（）a、恒定流动；b、均匀流动；c、层流运动；d、运动要素只与一个坐标有关的流动。
答案：d（5）有压管道的管径d与管流水力半径的比值d /R=（）a、8；b、4；c、2；d、1。
答案：b（6）已知液体流动的沿程水力摩擦系数 与边壁相对粗糙度和雷诺数Re都有关，即可以判断该液体流动属于a、层流区；b、紊流光滑区；c、紊流过渡粗糙区；d、紊流粗糙区答案：c（7）突然完全关闭管道末端的阀门，产生直接水击。
已知水击波速c=1000m/s，水击压强水头H = 250m，则管道中原来的流速v0为a、1.54m b 、2.0m c 、2.45m d、3.22m答案：c（8）在明渠中不可以发生的流动是（）a、恒定均匀流；b、恒定非均匀流；c、非恒定均匀流；d、非恒定非均匀流。
答案：c（9）在缓坡明渠中不可以发生的流动是（）。
a、均匀缓流；b、均匀急流；c、非均匀缓流；d、非均匀急流。
答案：b（10）底宽b=1.5m的矩形明渠，通过的流量Q =1.5m3/s，已知渠中某处水深h = 0.4m，则该处水流的流态为a、缓流；b、急流；c、临界流；答案：b（11）闸孔出流的流量Q与闸前水头的H（）成正比。
a、1次方b、2次方c、3/2次方d、1/2次方答案：d（12）渗流研究的对象是（）的运动规律。
a、重力水；b、毛细水；c、气态水；d、薄膜水。
答案：a（13）测量水槽中某点水流流速的仪器有a、文丘里计b、毕托管c、测压管d、薄壁堰答案：b（14）按重力相似准则设计的水力学模型，长度比尺λL=100，模型中水深为0.1米，则原型中对应点水深为和流量比尺为a、1米，λQ =1000；b、10米，λQ =100；c、1米，λQ =100000；d、10米，λQ=100000。
2009年数学试题及解答
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1~8小题，每小题8分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。
（1）当0x →时，()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-等价无穷小，则（） （A ）11,6a b ==-（B ）11,6a b ==（C ）11,6a b =-=- （D ）11,6a b =-=【解析与点评】考点：无穷小量比阶的概念与极限运算法则。
【答案】A2222sin sin 1cos sin limlimlimlimln(1)()36x x x x x ax x ax a x a ax x bx x bx bxbx→→→→---===----23sin lim166.x a ax ab baxa →==-=-36a b =-意味选项B ，C 错误。
再由21cos lim 3x a ax bx→-=-存在，故有1cos 0(0)a ax x -→→，故a=1，D 错误，所以选A 。
（2）如图，正方形{(,)|||1,||1}x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域，(1,2,3,4),cos KK K D D k I y xdxdy ==⎰⎰，则14max{}KK I≤≤=（）【解析与点评】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。
24,D D 关于x 轴对称，而cos y x -即被积函数是关于y 的奇函数，所以2413;,I I D D =两区域关于y 轴对称，cos()cos y x y x -=即被积函数是关于x 的偶函数，由积分的保号性，13{(,)|,01}{(,)|,01}2cos 0,2cos 0x y y x x x y y x x I y xdxdy I y xdxdy ≥≤≤≤-≤≤=>=<⎰⎰⎰⎰，所以正确答案为A 。
（3）设函数()y f x =在区间[-1,3]上的图形为则函数0()()x F x f t dt =⎰为（）【解析与点评】考点：函数与其变限积分函数的关系、函数与其导函数之间的关系，变限积 分函数的性质（两个基本定理），定积分的几何意义。
河海大学水力学真题答案(03~09)
2.【参考答案】
四、计算题（共 6 题，共 100 分） 1.【参考答案】运用牛顿内摩擦定律：
M M1 M 2 M1 A M2 A
r2 2 r12 H r2 du r1 2 r1 H r1 dy r2 r1 r2 r1
6．
√
【参考答案】动力相似 牛顿相似定律。两个液流在重力作用下的动力相似条件是它们 的弗劳德数 Fr 相等。 7． ×
【参考答案】几条管道在同一点分叉，然后又在另一点汇合的管道称为并联管道，其特 点为： 1 各条管道在分叉点和汇合点之间的水头损失相等； ○
2 管道系统中的总流量等于各并联管道中的流量之和。 ○
3．
（3）
【参考答案】渗流模型中的流速 u 和实际速度 u0 不等，其间的关系为： u nu0 ，式中 n， 为土壤的空隙率。因为空隙率 n<1，即模型渗流流速小于真实渗流流速。 4． (4)
【参考答案】明渠的临界水深决定于流量和断面形状、尺寸，而与底坡和糙率无关 【点评】正常水深 h0 决定于流量、过水断面形状尺寸有关，跟底坡 i 和糙率 n 也有关。 5． （1）
有旋无势函数
1 y y 2 '( x) y 2 1 '( x) x ( x) x 2 c x 2 1 1 x2 y 2 c 2 2
【点评】具体步骤如下：利用
1 ux ax 2 by 积分，求出 ax 2 y by 2 f ( x) ，再对 2 y u y 2axy 对照，求出 f '( x) 进一步就可求 x
由① v2
2 gh 2 9.8 2.5 6.67m / s 代入②： 11 11
2009年普通高等学校招生全国统一考试数学(江苏卷)全解全析
绝密★启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回．2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符．4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差()2211ni i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上.1． 若复数z 1=4+29i ，z 2=6+9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1−z 2)i 的实部为 ▲ ． 2． 已知向量a 和向量b 的夹角为30︒，|a |=2，|b |=3，则向量a和向量b 的数量积a ·b = ▲ ．3． 函数f (x )=x 3−15x 2−33x +6的单调减区间为 ▲ ． 4． 函数y =A sin(ωx +φ)（A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0）2π3-在闭区间[−π,0]上的图象如图所示，则ω= ▲ ．5． 现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 ▲ ．6． 某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：则以上两组数据的方差中较小的一个2s 为 ▲ ． 7． 右图是一个算法的流程图，最后输出的W = ▲ ．8．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4．类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ▲ ．9． 在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y =x 3−10x +3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 ▲ ． 10． 已知a =f (x )=a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为 ▲． 11． 已知集合A ={x |log 2x ≤2}，B =(−∞,a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ,+∞)，其中c =▲ ． 12． 设α 和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α 内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α 平行于β； （2）若α 外一条直线l 与α 内的一条直线平行，则l 和α 平行；（3）设α 和β相交于直线l ，若α 内有一条直线垂直于l ，则α 和β垂直； （4）直线l 与α 垂直的充分必要条件是l 与α 内的两条直线垂直． 上面命题中，真命题的序号 ▲ ．（写出所有真命题的序号）． 13． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 1,A 2,B 1,B 2为椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段O T 的中点，则该椭圆的离心率为 ▲ ．14． 设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n =a n +1（n =1，2，…）若数列{b n }有连续四项在集合{−53,−23,19,37,82}中，则6q = ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15． （本小题满分14分）设向量a =(4cos α ,sin α )，b =(sin β,4cos β)，c =(cos β,−sin β)， （1）若a 与b −2c 垂直，求tan(α +β)的值； （2）求+b c 的最大值；（3）若tan α tan β=16，求证：a ∥b ．16． （本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C ． 求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C ．ABC A1B 1C 1 EF D第16题图17． （本小题满分14分）设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足22225234a a a a +=+，S 7=7． （1）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ； （2）试求所有的正整数m ，使得12m m m a a a ++为数列{S n }中的项．18． （本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1∶(x +3)2+(y −1)2=4和圆C 2∶(x −4)2+(y −5)2=4．（1）若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为l 的方程；（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．19． （本小题满分16分）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为m m a +；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为n n a+．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h 1和h 2，现假设甲生产A ，B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A ，B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A ，B 的单价分别为m A 元和m B 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙．（1）求h 甲和h 乙关于m A ，m B 的表达式；当35A B m m =时，求证：h 甲=h 乙；（2）设35A B m m =，当m A ，m B 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？（3）记（2）中最大的综合满意度为h 0，试问能否适当选取m A ，m B 的值，使得0h h 甲≥和0h h 乙≥同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．20． （本小题满分16分）设a 为实数，函数f (x )=2x 2+(x −a )|x −a |． （1）若f (0)≥1，求a 的取值范围； （2）求f (x )的最小值；（3）设函数h (x )=f (x )，x ∈(a ,+∞)，直接写出（不需给出演算步骤）不等式h (x )≥1的解集．2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）全解全析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上.1．若复数z1=4+29i，z2=6+9i，其中i是虚数单位，则复数(z1−z2)i的实部为▲．【答案】−20．【解析】z1−z2=−2+20i，故(z1−z2)i=−20−2i．【说明】考查复数的四则运算．2．已知向量a和向量b的夹角为30︒，|a|=2，|b|=3，则向量a和向量b的数量积a·b= ▲．【答案】3．【解析】cos 23θ===a b a b．【说明】考查向量的数量积（代数）运算．3．函数f (x)=x3−15x2−33x+6的单调减区间为▲．【答案】(1,11)-．【解析】2()330333(11)(1)f x x x x x=--=-+'，由(11)(1)0x x-+<得单调减区间为(1,11)-．【说明】考查函数的单调性，考查导数在研究函数性质中的应用．4．函数y=A sin(ωx+φ)（A，ω，φ为常数，A>0，ω>0）2π3-在闭区间[−π,0]上的图象如图所示，则ω= ▲．【答案】3．【解析】如图，2π3T=，所以3ω=．【说明】考查三角函数的图象和性质，考查周期性的概念．5．现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为▲．【答案】0.2【解析】随机抽取2根竹竿的取法有10种，而长度恰好相差0.3m的取法有2种，所以概率为0.2．【说明】考查古典概型．6．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：则以上两组数据的方差中较小的一个2s为▲．【答案】25．【解析】第一组数据7x =甲，212(10010)55S =++++=甲；第二组数据7x =乙，245S =乙．【说明】考查总体特征数的估计．实际上，根据数据的分布，知甲班的数据较为集中（甲班极差为2，众数为7，乙班极差为3，众数为6，7）． 7． 右图是一个算法的流程图，最后输出的W = ▲ ． 【答案】22．W =22．【说明】本题考查算法初步，考查流程图（循环结构）．值得注意的是，本题的循环结构并非是教材中所熟悉的当型或直到型，因此该流程图是一个非结构化的流程图，对学生的识图能力要求较高．8． 在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4．类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ▲ ． 【答案】1：8 【解析】由题意知，面积比是边长比的平方，由类比推理知：体积比是棱长比的立方．【说明】本题考查合情推理之类比推理．9． 在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y =x 3−10x +3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 ▲ ． 【答案】(2,15)-．【解析】设点P 的横坐标为x 0，由2310y x '=-知203102x -=，又点P 在第二象限，02x =-，所以(2,15)P -．【说明】本题考查导数的几何意义——曲线切线的斜率．10． 已知a =f (x )=a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为 ▲．【答案】m n <【解析】由01<<知01a <<，函数()x f x a =是减函数，由()()f m f n >知m n <．【说明】本题考查函数的单调性，指数函数的性质等概念．11． 已知集合A ={x |log 2x ≤2}，B =(−∞,a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ,+∞)，其中c =▲ ． 【答案】4【解析】由log 2x ≤2得0<x ≤4，(0,4]A =；由A B ⊆知4a >，所以c =4． 【说明】本题考查对数函数的性质，集合间的基本关系（子集）等概念． 12． 设α 和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α 内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α 平行于β； （2）若α 外一条直线l 与α 内的一条直线平行，则l 和α 平行；（3）设α 和β相交于直线l ，若α 内有一条直线垂直于l ，则α 和β垂直； （4）直线l 与α 垂直的充分必要条件是l 与α 内的两条直线垂直． 上面命题中，真命题的序号 ▲ ．（写出所有真命题的序号）． 【答案】（1）（2）【解析】由线面平行的判定定理知，（2）正确；相应地（1）可转化为一个平面内有两相交直线分别平行于另一个平面，所以这两个平面平行．【说明】本题考查空间点、线、面的位置关系．具体考查线面、面面平行、垂直间的关系与转化． 13． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 1,A 2,B 1,B 2为椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段O T 的中点，则该椭圆的离心率为 ▲ ．【答案】5【解析】直线12A B 的方程为1yx a b+=-，直线1B F 的方程为1y x c b +=-，两方程联立方程组得T 2(,)ac ab bc a c a c+--，则点M (,)2()ac ab bc a c a c +--，由点M 在椭圆上，代入整理得：223100a ac c --=，23100e e --=，又 0e >，所以离心率为5． 【说明】本题考查椭圆的概念、标准方程与几何性质．14． 设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n =a n +1（n =1，2，…）若数列{b n }有连续四项在集合{−53,−23,19,37,82}中，则6q = ▲ ． 【答案】9-【解析】由条件知数列{a n }中连续四项在集合{}54,24,18,36,81--中，由||1q >，所以{a n }中连续四项可能为（1）24-，36，54-，81，32q =-，69q =-；（2）18，24-，36，54-，不合；其它情形都不符合．【说明】本题考查等比数列的概念与通项公式．在本题中，如果将集合中的各数均除以3，得到集合{}232323,2,23,32,3-⨯-⨯⨯，再从其中选出四个数进行适当地排列，这样的解法更利于看清问题本质．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15． （本小题满分14分）设向量a =(4cos α ,sin α )，b =(sin β,4cos β)，c =(cos β,−sin β)， （1）若a 与b −2c 垂直，求tan(α +β)的值； （2）求+b c 的最大值；（3）若tan α tan β=16，求证：a ∥b ． 【解析】（1）∵a ⊥b −2c ，∴(2)20⋅-=⋅-⋅=a b c a b a c ．即4sin()8cos()0αβαβ+-+=，∴tan()2αβ+=． （2）(sin cos ,4cos 4sin )ββββ+=+-b c ，()()222sin cos 16cos sin ββββ+=++-b c 1730sin cos ββ=-1715sin 2β=-，∴当sin2β=−1时，2+b c 最大值为32，所以+b c的最大值为（3）∵tan tan 16αβ=，∴sin sin 16cos cos αβαβ=，即4cos 4cos sin sin 0αβαβ⋅-=， 所以a ∥b ．16． （本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C ． 求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C ．【解析】（1）因为E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，所以EF ∥BC ，又EF ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴EF ∥平面ABC ； （2）在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，1111BB A BC ⊥面，∵A 1D ⊂平面A 1B 1C 1，∴11BB AD ⊥． 又11AD BC ⊥，BB 1 B 1C =B 1，∴111AD BC C ⊥面B ． 又11AD AFD ⊂面，所以平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C ．17． （本小题满分14分）设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足22225234a a a a +=+，S 7=7． （1）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ； （2）试求所有的正整数m ，使得12m m m a a a ++为数列{S n }中的项． 【解析】（1）设公差为d ，则22225243a a a a -=-，由性质得43433()()d a a d a a -+=+，因为0d ≠，所以430a a +=，即1250a d +=，又由77S =得176772a d ⨯+=，解得15a =-，2d =所以{}n a 的通项公式为27n a n =-，前n 项和26n S n n =-． （2）12(27)(25)(23)m m m m m a a a m ++--=-，令23m t -=，12(4)(2)m m m t t a aa t++--=86t t =+-， 因为t 是奇数，所以t 可取的值为1±，当1t =，2m =时，863t t +-=，2573⨯-=，是数列{}n a 中的项；1t =-，1m =时，8615t t +-=-，数列{}n a 中的最小项是5-，不符合．所以满足条件的正整数2m =． 18． （本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1∶AB CA1B 1C1 EF D第16题图(x +3)2+(y −1)2=4和圆C 2∶(x −4)2+(y −5)2=4．（1）若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为l 的方程；（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．【解析】(1) 0y =或7(4)24y x =--，（2）法一）设点P (,)a b ，1l ：()y b k x a -=-，则2l ：1()y b x a k-=--由截得的弦长相等可得1C 到1l 与2C 到2l 的距离相等，即11|4()5()|a b k k ----+=，即 |31||45|k ka b k a kb ---+=--++，整理得：222222(3)2(3)(1)(1)(5)2(4)(5)(4)a k ab k bb k a b k a +++-+-=-+--+- 因为有无数组解，所以对应项系数相等，解得：32a =-，132b =；或52a =，12b =-．所以满足条件的点P 坐标为313(,)22-或51(,)22-．法二）依题意点P 在线段1C 2C 的中垂线上，且与1C 、2C 构成等腰直角三角形，设点P (,)a b ， 则713()42b a -=--，又120PC PC ⋅=，即22670a b a b +---=，解得：32a =-，132b =；或52a =，12b =-． 满足条件的点P 坐标为313(,)22-或51(,)22-．19． （本小题满分16分）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为m m a +；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为n n a+．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h 1和h 2，现假设甲生产A ，B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A ，B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A ，B 的单价分别为m A 元和m B 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙．（1）求h 甲和h 乙关于m A ，m B 的表达式；当35A B m m =时，求证：h 甲=h 乙；（2）设35A B m m =，当m A ，m B 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？（3）记（2）中最大的综合满意度为h 0，试问能否适当选取m A ，m B 的值，使得0h h 甲≥和0h h 乙≥同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．【解析】h =甲h =乙当35A B m m =时，h =甲，h =乙h 甲=h 乙．当35A B m m =时，h =甲，而520B m ≤≤， 所以当20B m =时，甲、乙两人的综合满意度均最大，此时12A m =．（3≥即31024120A B A B m m m m ≥++ ①且3406120A B A B m m m m ≥++ ②， 由①及520B m ≤≤得：24120310B A B m m m +≥-，又241202008[12,48]310310B B B m m m +=+∈--， 只有当12A m =，20B m =时，不等式①成立． 由②及312A m ≤≤得：4012036A B A m m m +≥-，又4012040200[20,80]36336A A A m m m +=+∈--， 只有当20B m =，12A m =时，不等式②成立．综上，不存在满足条件的A m 、B m 的值．20． （本小题满分16分）设a 为实数，函数f (x )=2x 2+(x −a )|x −a |． （1）若f (0)≥1，求a 的取值范围； （2）求f (x )的最小值；（3）设函数h (x )=f (x )，x ∈(a ,+∞)，直接写出（不需给出演算步骤）不等式h (x )≥1的解集． 【解析】（1）若(0)1f ≥，即||1a a -≥，则{21a a <≥，所以1a ≤-． （2）当x a ≥时，22()32,f x x ax a =-+22min(),02,0()2(),0,033f a a a a f x a a f a a ≥≥⎧⎧⎪⎪==⎨⎨<<⎪⎪⎩⎩ 当x a ≤时，22()2,f x x ax a =+-{{2min 2(),02,0()(),02,0f a a a a f x f a a a a -≥-≥==<<综上22min2,0()2,03a a f x a a -≥⎧⎪=⎨<⎪⎩． （3）x a ≥时，()1h x ≥得223210x ax a -+-≥，222412(1)128a a a ∆=--=-，①当a a ≤≥时，0∆≤，不等式的解集为(,)a +∞；②当a <<0,∆>得(0x x x a ⎧⎪≥⎨>⎪⎩，i a <<时，不等式的解集为(,)a +∞；ii ）a ≤≤)+∞；iii ）a <<时，不等式的解集为3([)3a a +-+∞.。
河海大学硕士数值分析试卷08~09
1. 填空(10分,每空2分)1) 为了减少运算次数,应将表达式113141817162345---++x x x x x 改写为 .为了减少舍入误差的影响,应将表达式20002001-改写为 .2) 用二分法求方程0152)(3=--=x x x f 在区间[1,3]内的根,进行一步后根所在区间为,进行二步后根所在区间为 .3) 在高斯顺序消去法中,)1(-k kk a 称为第k 步主元.为使消去法得以顺利进行,必须 .2. 选择题(10分,每题2分)(1)设有求方程1=xxe 根的迭代公式kx k ex -+=1，取初值5.00=x ，则迭代公式A. 发散B. 敛散不定C. 收敛D. 不确定 (2)辛普森(Simpson)公式)]()2(4)([6)(b f ba f a f ab dx x f ba+++-≈⎰可由 A. 分段线性插值导出 B. 抛物插值导出 C. 线性插值导出 D. 分段抛物型插值导出(3)矩阵A 满足什么条件时，LR A =且分解唯一（L 是单位下三角阵，R 是上三角阵）A. 无限制B. 对称C. 可逆D. 严格对角占优 (4)为什么要把解常微分方程的欧拉(Euler)方法发展为改进的欧拉方法？A. 提高精度B. 便于计算C. 提高精度和便于计算D. 稳定性需要 (5) 当0)(=x f 有m 重根时，牛顿(Newton)迭代公式中的迭代函数应为 A. )()()(x f x f x x '-=ϕ B. )()()(x f x f m x x '-=ϕ C. )()()(x f m x f x x '-=ϕ D. )()()(x f x f mx x '-=ϕ4. (10分)选取求积公式中的常数a ，使)]()0([)]()0([2)(0h f f a h f f hdx x f h'-'++≈⎰的代数精度尽量高。
试指出最高代数精度，并估计误差。
09级数学分析(1)试题(A卷)参考答案
09级数学分析(1)试题（A卷）参考答案参考答案一、叙述题(每题5分共20分)（略）二、计算题（每题5分，共20分）1．设liman?a（an?0,a?0），求liman。
Nnn？？解决方案0遇见0？？0 a.利曼的？A你知道吗，？NN什么时候？当n，n??a??0?an?a??0因此nnna??0?an?a??0nnn？？N取上述公式两边的极限，并使用结论limc？1（C？0是常数）和强迫收敛，利曼？1。
2. 找到曲线X？1.t2，y？Tt的T2？1对应点的切线方程。
解因为x2t,y??1?2t，那什么时候呢？1点，x？0，y？0 x2，y 1.那么切线方程是x?0y?0?即x?2y?0?2?1或dyy?(t)1?2t??dxt?1x?(t)t?1?2t当t?1时，x?0,y?0，故切线方程是1.2t？1岁？0 3. 问limx？01（x？0）2tanx？sinx.3sinx12x？xtanx？sinxtanx （1？cosx）12？Lim溶液。
？林？十、0x？0x？0sin3xsin3x32第1页，共6页或tanx?sinxtanx?sinx01?cos3x0lim?limlim2332x?0x?0x?0sinxx3xcosx1?cos3x03cos2xsin x10?limlim?2x?0x?03x6x2或11 十、x3？o（x3）十、x3？o（x3）？？坦克斯？sinx33lim?limx?0x?0sin3xx313x?o(x3)1?lim2?x?0x324.找到f（x）？2x3？X4的极值。
解f?(x)?6x?4x?2x(3?2x)?0，得稳定点x?0,232323(,??)2－kxf?(x)f(x)或(??,0)+j00无极值3(0,)2+j320极大值27/163f?(x)?6x2?4x3?2x2(3?2x)?0，得稳定点x?0,22和f？？（x） ?？12倍？12倍？12倍（1？x），f（x） ?？12（1？2倍）f??(0)?0,f(0)?0，所以f在x?0不取极值。
2009年全国高考数学试题—— 江苏卷(理科)含答案解析
的综合满意度为多少？ (3) 记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和
同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。 (4) 求和关于、的表达式；当时，求证：=； (5) 设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大
答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15．（本小题满分14分） 设向量 （1）若与垂直，求的值； （2）求的最大值; （3）若，求证：∥.
【解析】由与垂直，， 即，； ，最大值为32，所以的最大值为。 由得，即， 所以∥. 16．（本小题满分14分） 如图，在直三棱柱中，分别是的中点，点在上， 求证：（1）∥ （2）
6
7
6
7
9
则以上两组数据的方差中较小的一个为 . 开始
输出
结束
Y N 7.右图是一个算法的流程图，最后输出的 .
8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为
1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的
体积比为 .
9.在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在
19.(本小题满分16分)
按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他 卖出该产品的单价为元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为 元，则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别 为和，则他对这两种交易的综合满意度为. 现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、 B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为元 和元，甲买进A与卖出B的综合满意度为，乙卖出A与买进B的综合满意 度为
河海大学概率论与数理统计试卷2009
河海大学2009~2010学年第一学期《概率论与数理统计》试卷(A)（供全校2008级工科学生用）（2009年12月）专业、班级姓名学号成绩一、（每空2分，本题满分18分）填空题1．一批电子元件共有100个，次品率为0.05，连续两次不放回地从中任取一个，则第二次才取到正品的概率为。
2．设随机变量X ~)1.0,20(B ，则==)}({X E X P 。
3．假设随机事件A 与B 相互独立，5.0)(=A P ，α-=2)(B P ，96)(=⋃B A P ，则=α。
4．设随机变量),10(~2σN X ，且3.0}2010{=<<X P ，则=<<}200{X P 。
5．设二维随机变量),(Y X 的联合分布律为则==}0{XY P 。
6．已知随机变量)1,3(~-N X ，)3,1(~U Y ，且X 与Y 相互独立，设随机变量232+-=Y X Z ，则=)(Z E ，=)(Z D 。
7．设随机变量)1)((~>n n t X ，21XY =，则~Y 。
8．设总体),(~2σμN X ，μ和2σ均未知，n X X X ,,,21 为来自该总体的一个简单随机样本，则2σ的置信度为α-1的置信区间为。
二、（本题满分12分）某厂卡车运送防“非典”用品下乡，顶层装10个纸箱，其中5箱民用口罩、2箱医用口罩、3箱消毒棉花。
到目的地时发现丢失了1箱，但不知丢失了哪一箱，现从剩下的9箱中任意打开2箱检查。
（1）求任意打开的2箱都是民用口罩的概率；（2）在任意打开的2箱都是民用口罩的情况下，求丢失的一箱也是民用口罩的概率。
三、（本题满分12分）已知随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤=其他,021,210,)(x x x x A x f求（1）常数A ；（2）X 的分布函数)(x F ；（3）)23(2+-X X E ；（4）}5.15.0{≤<X P 。
历年江苏卷数学 2009年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学试题及详细解答
绝密★启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ试题参考公式：样本数据12,,,n x x x L 的方差221111(),n n i i i i s x x x x n n ===-=∑∑其中一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．. 1.若复数12429,69,z i z i =+=+其中i 是虚数单位，则复数12()z z i -的实部为 ▲ 。
【解析】考查复数的减法、乘法运算，以及实部的概念。
-202.已知向量a r 和向量b r 的夹角为30o，||2,||3a b ==r r ，则向量a r 和向量b r 的数量积a b ⋅r r = ▲。
【解析】 考查数量积的运算。
3233a b ⋅=⋅⋅=r r3.函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 ▲ . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】 考查利用导数判断函数的单调性。
2()330333(11)(1)f x x x x x '=--=-+，由(11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-。
亦可填写闭区间或半开半闭区间。
注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）。
本卷满分160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。
作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。
请注意字体工整，笔迹清楚。
5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。