计算方法第五章 解线性方程组的直接方法
解线性方程组的直接方法
解线性方程组的直接方法一、高斯消元法高斯消元法是解线性方程组最常用的方法之一、它通过一系列的消元操作，将线性方程组转化为阶梯型方程组，从而求解未知数的值。
1.确定线性方程组的阶数和未知数的个数。
设线性方程组中有n个未知数。
2.将线性方程组写成增广矩阵的形式。
增广矩阵是一个n行n+1列的矩阵，其中前n列是线性方程组的系数矩阵，第n+1列是等号右边的常数。
3.通过初等行变换（交换行、数乘行、行加行）将增广矩阵化为阶梯型矩阵。
具体步骤如下：a.首先，找到第一个非零元素所在的列，将它所在的行视为第一行。
b.将第一行的第一个非零元素（主元）变成1，称为主元素。
c.将主元所在列的其他元素（次元素）变为0，使得主元所在列的其他元素只有主元素是非零的。
d.再找到第一个非零元素所在的列，将它所在的行视为第二行，并重复上述步骤，直到将增广矩阵化为阶梯型矩阵。
4.根据阶梯型矩阵求解未知数的值。
具体步骤如下：a.从最后一行开始，依次求解每个未知数。
首先，将最后一行中非零元素所在的列作为含有该未知数的方程，将该未知数的系数设为1b.将含有该未知数的方程中其他未知数的系数设为0，并对其他方程进行相应的变换，使得该未知数所在列的其他元素都为0。
c.重复上述步骤，直到求解出所有未知数的值。
高斯消元法的优点是简单易懂、容易实现，但当线性方程组的系数矩阵接近奇异矩阵时，计算精度可能会降低。
二、矩阵求逆法矩阵求逆法是解线性方程组的另一种直接方法。
它通过对系数矩阵求逆，然后与常数矩阵相乘，得到未知数的值。
1.确定线性方程组的阶数和未知数的个数。
设线性方程组中有n个未知数。
2.将线性方程组写成矩阵方程的形式，即Ax=b，其中A是一个n阶方阵，x和b分别是n维列向量。
3.求系数矩阵A的逆矩阵A^-1a. 首先，计算系数矩阵A的行列式det(A)。
b. 判断det(A)是否为0，如果det(A)=0，则该线性方程组无解或有无穷多解；如果det(A)≠0，则系数矩阵A可逆。
数值分析--解线性方程组的直接方法
值 为A的特征值，x为A对应的特征向量，A的全体特征值
分 析
称为A的谱，计作 ( A),即 ( A) {i ,i 1,2,, n}, 则称
》
( A)
max
1in
|
i
|
为矩阵A的谱 半 径.
三、特殊矩阵
第5章 解线性方程组的直接方法
1) 对角矩阵
2) 三对角矩阵
3) 上三角矩阵
4) 上海森伯(Hessenberg)阵
分 析
1.00x 1.00y 2.00
》 解法1： 1.00105 x 1.00 y 1.00
(1.00 1.00105) y (2.00 1.00105)
1.00105 x 1.00 y 1.00
1.00
105
y
1.00
105
x 0.00,
y 1.00
第5章 解线性方程组的直接方法
1
Ly b y 3,Ux y x 1.
2
1
第5章 解线性方程组的直接方法
§3 高斯主元素消去法
若ak(kk) 0,或ak(kk)很接近于0，会导致其他元素数量级严重 增长和舍入误差的扩散，使得计算结果不可靠.
《例3’采用3位十进制，用消元法求解
数 值
1.00105 x 1.00y 1.00
L21L1 U2U11
L21L1
U
U 1
21
I
(因为上式右边为上三角矩阵，左边为单位下三角矩阵
从而上式两边都必须等于单位矩阵)
《 数
L1 L2 , U1 U2
1 1 1
值分例2
析
.例1中，A
0
4
-1，将A作LU分解。
(数值分析)第五章 解线性方程组的直接法
2
11 .
10 5 10
0
1 9
7 9
2 3
华长生制作
8
第二步消元，令 l32 10 / 63, 得增广矩阵
1 0
2
3 7
1
3 2
2
11
.
10 5 10
0
0
53 53 63 63
利用回代公式依次得到
x3 1, x2 1, x1 1.
在这个例子中我们写出的是分数运算的结果。如果在计算机上
a(1) 13
x3
0.49105820
事实上,方程组的准确解为
x* (0.491058227,0.050886075,0.367257384)T
华长生制作
15
例2所用的方法是在Gauss消去法的基础上,利用换行 避免小主元作除数,该方法称为Gauss列主元消去法
列主元素消去法也称按列部分主元的消去法。一般地，在完成 了第k-1步消元运算后，在 ( A(k) , b(k) ) 的第k 列元素 akk(k)之下的所有 元素中选一个绝对值最大的元素作为主元素，即若
的列元素为a13 2, 因此1,3行交换
华长生制作
13
r1 r3
2 1
108
1.072 3.712
2
5.643 3 4.623 2
3 1
( A(1) , b(1) )
绝对值最大 不需换行
m21 0.5
m31 0.5108
2 0
0
m32 0.629 72292
1.072 0.3176 10
2 3.712 1.072
3 4.623 5.643
x1 x2 x3
专业计算方法第五章-解线性方程组的直接法-2012.2
第五章解线性方程组的直接法§1 Gauss消去法§2 矩阵分解及其在解方程组中的应用§3 矩阵的条件数和方程组的性态西北工业大学理学院欧阳洁1求解线性方程组的Gram法则理论上非常完美，但其计算工作量大的惊人，失去实用价值。
二直接法与迭代法1 直接法：只包含有限次四则运算，若在计算过程中不发生舍入误差的假定下，计算结果就是原方程组的精确解。
2迭代法：将方程组的解看作是某极限过程的极限值，且计算这一极限值的每一步是利用前一步所得结果施行相同的演算步骤而进行。
西北工业大学理学院欧阳洁3西北工业大学理学院欧阳洁4设线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=++++++1,22111,222221211,11212111n n n nn n n n n n n n n a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a L L L L L L ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x M 21x 或写为矩阵形式，其中A 为非奇异矩阵，且b Ax =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a L M M M L L 212222111211A ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+++1,1,21,1n n n n a a a M b §1 Gauss 消去法西北工业大学理学院欧阳洁14例（第一章）：在四位计算机上求解⎩⎨⎧=+=+2321200001.02121x x x x 精确解LL 499998749.025*******.021==x x 05.0*1*2==x x ；直接消元近似解为⎪⎩⎪⎨⎧×−=×−×=×+×−2000.0104000.0101000.0102000.0101000.01062612114x x x 若变形⎪⎩⎪⎨⎧×=×+××=×+×−1000.0102000.0101000.0102000.0103000.0102000.0101211412111x x x x 并消元，有近似解为25.05.0*1*2==x x ；⎪⎩⎪⎨⎧×=××=×+×1000.0102000.0102000.0103000.0102000.01012112111x x x西北工业大学理学院欧阳洁18以后每一步都类似地在右下角方阵中的第一列中选主元。
数值分析-第五章 解线性方程组的直接法
依次将上述矩阵的 第 i 行 + mi2 × 第 2 行，得
( ( a 111 ) a 121 ) ... a 1( 1 ) n (2) (2) a 22 ... a 2 n
b 1( 1 ) b 2( 2 )
=
10/120 郑州大学研究生2009-2010学年课程 数值分析 Numerical Analysis
§5.2 高斯消去法
⎛ a11 a12 ⎜a a ⎜ 21 22 ⎜ ⎜a a ⎝ n1 n 2
记为 Ax = b, 其中A = (aij ) n×n , x = ( x1 , x 2 , x n ) T , b = (b1 , b2 , bn ) T .
郑州大学研究生2009-2010学年课程 数值分析 Numerical Analysis
§5.1 引言 从微观的薛定谔方程、分子动力学方程到宏观 的结构计算、工程力学中弹塑性方程、热弹性 方程组，数值求解方法包括差分法及有限元方 法等。这些离散方法最终的结果是常化为线性 方程组的求解。
4/120
郑州大学研究生2009-2010学年课程 数值分析 Numerical Analysis
9/120
2 −2 ⎤ ⎡ 1 −2 ⎢0 1 −7 8⎥ ⎢ 0 9 −2 11⎥ ⎣ ⎦
x3 = −1 x2 = 8 + 7 x3 = 1 x1 = −2 + 2 x2 − 2 x3 = 2
郑州大学研究生2009-2010学年课程 数值分析 Numerical Analysis
§5.2 高斯消去法 考虑 n 阶线性方程组：
郑州大学研究生课程 （2009-2010学年第一学期）
第5章 解线性方程组的直接方法
a1,k 1
( ak kk)1 , ( ) ak k 1,k 1
( ankk) ,
( ankk)1 ,
在第k步消去前， 在系数矩阵右下角的n-k+1阶 主子阵中，选绝对值最大的元素作为主元素。
| a pq | max | aij | 0
k i , j n
k
k
需 n k 次乘法、1 次除法， n k 次加减法。
9
数值分析
第5章 解线性方程组的直接方法
总的运算次数为：
乘 除 法
n k n k 2 n k n k 1 1 k 1 j 2 3 j 1 1
证明： 归纳法证明(对k归纳)
11
0, i 1, 2, , k ( n)
数值分析
第5章 解线性方程组的直接方法
设直到k-1成立,只要证明
D1 , D2 , , Dk 1非零时，
Dk非零的充要条件是 a
(k ) kk
0 即可。
在归纳假设下，Gauss消去法可进行到第k-1步
D1 a
数值分析
Numerical Analysis
李小林
重庆师范大学数学学院
数值分析
第5章 解线性方程组的直接方法
第五章 线性方程组的直接解法
/*Direct Method for Solving Linear Systems*/
求解 A x b, A R
Cramer法则:
n n
det( A) 0
在第k 步消元前，在系数矩阵第k 列的对角线以下的元素 中找出绝对值最大的元。
| a | max | aik | 0 pk
第5章（改）解线性方程组的直接法（演示）数值分析
第5章（改）解线性方程组的直接法（演示）数值分析第五章线性代数方程组的数值解法线性方程求解问题是科学研究和工程计算中最常见的问题。
如电学中的网络问题、工程力学中求解连续力学体（微分方程）问题的差分方法、有限元法、边界元法及函数的样条插值、最小二乘拟合等，都包含了解线性方程组问题。
因此，线性方程组的解法在数值计算中占有极其重要的地位。
对于n 阶线性方程组=A x b ，若det()0≠A ，则方程组有惟一解。
由克莱姆（Cramer ）法则，其解为d e t ()(1,2,,)d e t ()i i A x i n A == ,其中i A 为用向量b 代替A 中第i 列向量所得矩阵。
每个n 阶行列式共有!n 项，每项都有n 个因子，所以计算一个n 阶行列式需做(1)!n n -?次乘法，我们共需要计算1n +个行列式，要计算出i x ，还要做n 次除法，因此用Cramer 法则求解要做2(1)!n n n -?+次乘除法（不计加减法），计算量十分惊人。
如30n =时，就需作约352.3810?次乘法。
可见Cramer 法则在理论上是绝对正确的，但当n 较大时，在实际计算中却是不可行的。
因此寻求有效的数值计算方法就成为非常必要的课题。
线性方程组的类型很多，若按其系数矩阵阶数的高低和含零元素多少，大致可分为两类：一类是低阶稠密线性方程组，即系数矩阵阶数不高，含零元素很少。
另一类是高阶稀疏线性方程组，即系数矩阵阶数高，零元素占绝对优势（比如占70%以上）。
线性方程组的数值解法也可分为两大类：直接法和迭代法。
直接法是在没有舍入误差的情况下，通过有限步运算可以得到方程组精确解的方法。
但是，在实际计算时，由于初始数据变为机器数而产生的误差以及计算过程中所产生的舍入误差等都要对解的精确度产生影响，因此直接法实际上也只能算出方程真解的近似值。
常用的有效算法是Gauss 消去法和矩阵的三角分解法。
迭代法是用某种极限过程去逼近准确解的方法。
第5章_解线性方程组的直接方法
但可在见 n较其大xi时在，d理de在ett论 ((实AAi)际 上) 计是算(绝i中对确 1, 2实正, 不确,可n)行的
需要计算
n 1个n阶行列式 并作 n次除法
而每个n阶行列式计算需作(n 1)n!次乘法
如n 30,需2.381035次乘法 计算量十分惊人
解线性方程组的两类方法：
a1n xn b1 a2n xn b2
ann xn bn
简记作 AX B (| A | 0)
a11 a12
其中
A
a21
a22
an1
an2
a1n
x1 b1
a2n
,
X
x2
,B
b2
.
ann
xn
bn
如果线性方程组的系数行列式不为零
即det(A) 0, 则该方程组有唯一解
，
(n)
a(n)
nn
b (1)
1
(2)
b
2
(3)
b
3
b (n)
n
计算出 A( n )，b( n ) 的过程称消去过程。
a (1) 11
a (1) 1n
b (1) 1
a(k) kk
a(k) kk 1
a b (k)
(k)
kn
k
0
a (k 1) ij
b(k 1) j
0
k 1 i,j n
二 n 2 (n-1)*( n2 )
总计 ∑n ( k 2 k) n ( n2 1)
k 1
3
除法
∑n1 k n(n 1 )
k 1
2
回代总计算量 n(n 1) 2
计算方法第五章 解线性方程组的直接方法
简记为 Ax=b，其中
a11a12...a1n
x1
b1
A
a21a22...a2n
,
x
x2
,
b
b2
(2)
......
... ...
an1an2...ann
xn
bn
一般b≠0, 当系数矩阵A非奇异(即detA≠0) 时，方程组（1）有惟一解。
4
线性方程组的数值解法
线性方程组的数值解法一般有两类： 1. 直接法：就是经过有限步算术运算，可求得方程
a1m 0 （m =1,2,…，n）
amm
经变换得到的上三角形方程组的顺序主子式
a (1) 11
a (1) 12
a (1) 1m
Am
a (2) 22
a (2) 2m
a a (1) (2) 11 22
a (m) mm
0
a (m) mm
（m =1,2,…，n）所以能实现高斯消去法求解 24
a (1) ij
aij , bi(1)
bi (i,
j
1,2,, n)
则高斯消去法的算法构造归纳为：
⑴ 消元过程,高斯消去法的消元过程由n-1步组成：
第1步
设
a (1) 11
0
,把(3.3)中的第一列中元素
消为零，令 a(1) 21
,
a (1) 31
,,
a (1) n1
mi1
a (1) i1
a (1) 11
消元过程
每个方程只含有一个未知数,从而得出所求的解。 整个过程分为消元和回代两个部分。
（1）消元过程
第1步:将方程①乘上(-2)加到方程 ②上去,将方程 ①
解线性方程组的直接方法
或写为矩阵形式
a11 a21
a12
a22
a1n x1 b1
a2n
x2
b2
,
am1 am2 amn xn bm
（2.1）
17
简记为 Ax b. 例1 用消去法解方程组
x1 x2 x3 6,
4x2 x3 5,
2x1 2x2 x3 1.
(2.2) (2.3) (2.4)
其中用 r表i 示矩阵的第 行i . 由此看出，用消去法解方程组的基本思想是用逐次消
去未知数的方法把原方程组 Ax 化b为与其等价的三角 形方程组，而求解三角形方程组可用回代的方法.
上述过程就是用行的初等变换将原方程组系数矩阵化
为简单形式(上三角矩阵)，从而将求解原方程组(2.1)的
问题转化为求解简单方程组的问题.
x
j
)/ ai(ii)
(i n1,n2,,1).
(2) 如果 为A非奇异矩阵，则可通过高斯消去法(及交
换两行的初等变换)将方程组 Ax约b化为(2.10).
29
算法1(高斯算法)
设 AR mn (m 1), s min( m1,n), 如果
a(k) kk
0(k
1,2,,s),
本算法用高斯方法将
非奇异矩阵 P使得
设 A为 n阶矩阵，则存在一个
J1(1)
P1 AP
J 2 (2 )
,
J r (r )
13
其中
i
1
i
J
i
(i
)
i 1
i ni ni
r
ni 1(i 1,2,,r),且 ni n. i1
为若当（Jordan）块.
线性方程组的直接解法
| aii | | aij | 0 j 1 ji
(i 1,2,, n)
即对角线上每一元素的绝对值均大于同行其他各元素绝对 值之和,这样的矩阵称为按行严格对角占优矩阵,简称严格对角 占优矩阵.
例：
4 2 1
A3 8 2
1 1 5
性质：严格对角占优矩阵必定非奇异.
若A对 称 且 严 格 对 角 占 优, 则 消 元 过 程 中 第k步 主 元
9 上一页 下一页 返回
回代
求 解 三 角 形 方 程 组(2), 得 求 解 公 式
x
n
b( n1) n
a ( n1) nn
n
(bk(k 1)
a(k kj
1)
x
j
)
x
k
j k 1
a(k 1) kk
(k n 1, n 2,,1)
定理 若A的所有顺序主子式 /* determinant of leading principal
输入方程阶数n, 增广矩阵a(n, n 1), k 1, D 1
akk 0 F
i k 1,, n, aik aik / akk 输 出 失 败 信 息, 停 消
k=k+1
元
过
j k 1,, n, aij aij aik akj
程
D D •akk
ann 0 F
D D •a nn
思 首先将A化为上三角阵 /* upper-triangular matrix */， 路 再回代求解 /* backward substitution */。
=
一、 高斯顺序消去法 是一种古老的求解线性方程组的方法, 按自然顺序进
行消元的方法.
3 上一页 下一页 返回
第5章 解线性方程组的直接方法
(1 方程中的 x1 项,得到 A(2)x=b(2),这个过程须假定 a11)≠0.
(1)
(1) a11 (1) (1) (1) a21 A :b (1) an1 (1) a11 0 0 (1) a12 (2) a22
( a11) k ( a22 ) k (k akk ) (k ank )
( a11) b1(1) n ( 2) ( 2) a2 n b2 (k ) (k ) akn bk (k ) (k ) ann bn
本次消元的目的是对框内部分作类似第一次消元的处理,
(k )
b1(1) (2) b2 (n) bn
它的方阵部分A(n) 是一个上三角形矩阵,它对应的方程
组是一个上三角形方程组,只要 a (n) ≠0,就可以回代求解, nn 公式为
(k ) 消掉第k+1个方程到第n个方程中的xk项,即把 ak 1,k
( ankk) 化为 到 ,
零.计算公式如下:
( aikk ) mik ( k ) akk a ( k 1) a ( k ) m a ( k ) ij ik kj ij ( k 1) 0 aik b ( k 1) b ( k ) m b ( k ) i ik k i
由此看出上述过程是逐次消去未知数的系数,将Ax=b化为等 价的三角形方程组,然后回代解之,这就是高斯消元法.
高斯消元法基本思想:通过初等变换将方程组 (5.1) 转化 为一个同解的上三角形方程组
数值计算方法-第5章_解线性方程组的直接法
本章讲解直接法
5.1 消元法
我们知道，下面有3种方程的解我们可以直接求出：
①
n次运算
A
diag(a11, a22 ,
, ann )
xi
bi aii
,i
1,
,n
②
（n＋1）n/2次运算
l11
A
l21 ln1
l22 ln2
(aik
k 1
liklkr ) r 1 lkk
,i k 1, , n
因此不常用
又 l11
1
l11
l21 l22
ln1
ln2
lnn
l '21 l 'n1
1 l'n2
1
l22
lnn
则有
A L~D~D~T L~T LDLT
L~
D~
1
L
l21 ln1
lnn
xi
bi
i 1
lij x j
j 1
lii
,i
1,
,n
③
（n＋1）n/2次运算
u11
A
u12 u22
u1n
u2n unn
xi
bi
n
uij x j
j i 1
uii
,i
n,
,1
对方程组，作如下的变换，解不变 ①交换两个方程的次序 ②一个方程的两边同时乘以一个非0的数 ③一个方程的两边同时乘以一个非0数，加到另一个方程
1 ln2
1
d1
D
d2
dn
a11 a12
a21 a22
数值分析第五章解线性方程组的直接法
数值分析第五章解线性方程组的直接法解线性方程组是数值分析中的一个重要问题，对于大规模的线性方程组来说，直接法是一种常用的求解方法。
本文将介绍解线性方程组的直接法，包括高斯消元法和LU分解法，并对其稳定性和计算复杂度进行讨论。
高斯消元法是一种常用的直接法，用于求解非奇异线性方程组。
其基本思想是通过初等行变换将线性方程组转化为上三角方程组，然后通过回代求解得到方程的解。
高斯消元法的步骤如下：1.将线性方程组表示为增广矩阵[A，b]，其中A是系数矩阵，b是常数向量。
2.从第一行开始，选择一个非零元素作为主元，通过行变换将主元下方的元素全部消为零。
3.重复第2步，直到矩阵变为上三角矩阵。
4.通过回代求解上三角矩阵，得到方程组的解。
高斯消元法的主要优点是简单直接，容易实现，但存在一些问题。
首先，如果系数矩阵A是奇异矩阵，即行列式为零，那么高斯消元法无法得到方程组的解。
其次，如果系数矩阵A的其中一行或几行接近于线性相关，那么在消元过程中会引入大量的舍入误差，导致计算结果不准确。
这也说明了高斯消元法的稳定性较差。
为了提高稳定性，可以使用LU分解法来解线性方程组。
LU分解法将系数矩阵A分解为两个矩阵L和U的乘积，其中L是下三角矩阵，U是上三角矩阵。
这样，原始的线性方程组可以表示为LUx=b，进而可以通过两个步骤来求解方程组：1.进行LU分解，将系数矩阵A分解为L和U。
2.分别用前代和回代的方法求解方程组Ly=b和Ux=y。
LU分解法相对于高斯消元法的优点是，可以在求解多个右端向量时，避免重复计算LU分解，从而提高计算效率。
同时，LU分解法的稳定性也较高，对于多个右端向量求解时，舍入误差的累积相对较小。
然而，LU分解法也存在一些问题。
首先，LU分解法的计算复杂度较高，需要进行两次矩阵乘法和一次矩阵向量乘法，而且LU分解过程中需要对系数矩阵A进行大量的行变换，增加了计算量。
其次，当系数矩阵A的一些元素非常小或非常大时，LU分解法容易出现数值不稳定的情况，即舍入误差的累积较大，导致计算结果不准确。
第五章解线性方程组的直接法
求解线性方程组可采用： 直接法——假定计算过程没有舍入误差的情况下，经过 有限步算术运算后能求得线性方程组精确解的方法。经过有
限步运算就能求得精确解的方法，但实际计算中由于舍入误 差的影响，这类方法也只能求得近似解；例如：高斯消去法、
三角分解法等。
迭代法——构造适当的向量序列，用某种极限过程去逐 步逼近精确解。例如:雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。
From ith equation, lii xi bi (li1 x1 li 2 x 2
i 1
(5.4)
l i ,i 1 xi 1 ) bi lij x j
j 1
i 1 xi bi lij x j / lii , i 1, 2, j 1
(5.5)
返回LU (5.20)
From ith equation u ii xi bi (u i ,i 1 xi 1 u in x n ) bi
j i 1
u
n
ij
xj
xn bn /u nn , n x b u x / u , i n 1, n 2, i i ij j ii j i 1
i 1 r
i 1 i 1
i 1 i n n
i
i
若当(Jordan)块
(1)当A的若当标准型中所有若当块Ji均为一阶时，此标准型 变成对角阵。 (2)若A的特征值各不相同，则其若当标准型必为对角阵 diag(1, 2,…, n).
设线性方程组为
第5章 解线性方程组的直接法
5.1 引言与预备知识 5.2 高斯消元法
5.3 矩阵三角分解法
解线性方程组的直接方法
解线性方程组的直接方法一、高斯消元法高斯消元法是解线性方程组的一种常用且直接的方法。
它的基本思想是通过一系列的代数运算，将方程组化为一个三角方程组，然后从最后一行开始，逐步回代求解未知数。
下面以一个二元一次方程组为例，说明高斯消元法的具体步骤：例如，给定方程组：a₁₁x₁+a₁₂x₂=b₁a₂₁x₁+a₂₂x₂=b₂其中，a₁₁,a₁₂,a₂₁,a₂₂,b₁,b₂为已知系数。
1.检查a₁₁的值是否为0，若为0则交换第一行与非零行。
2.将第一行的每个元素除以a₁₁，使a₁₁成为13.将第一行乘以(-a₂₁)并加到第二行上，使第二行的第一个元素变为0。
4.引入一个新的未知数y₂=a₂₁x₁+a₂₂x₂，并代入第二行，化简方程组。
5.使用回代法求解方程组。
高斯消元法的优势在于其直接的解题思路和较高的计算精度，但是其缺点是计算复杂度较高，对于大规模的方程组不太适用。
二、逆矩阵法逆矩阵法是解线性方程组的另一种直接方法，它通过求解方程组的系数矩阵的逆矩阵，并将其与方程组的常数向量相乘，得到方程组的解向量。
下面以一个三元一次方程组为例，说明逆矩阵法的具体步骤：例如，给定方程组：a₁₁x₁+a₁₂x₂+a₁₃x₃=b₁a₂₁x₁+a₂₂x₂+a₂₃x₃=b₂a₃₁x₁+a₃₂x₂+a₃₃x₃=b₃其中，a₁₁,a₁₂,a₁₃,a₂₁,a₂₂,a₂₃,a₃₁,a₃₂,a₃₃,b₁,b₂,b₃为已知系数。
1.计算系数矩阵A的行列式D=，A。
2. 求解系数矩阵A的伴随矩阵Adj(A)。
3. 计算逆矩阵A⁻¹=Adj(A)/D。
4.将常数向量b用列向量表示。
5.计算解向量x=A⁻¹b。
逆矩阵法的优势在于其求解过程相对简单，计算量较小，并且不需要对系数矩阵进行消元操作。
但是逆矩阵法的限制在于当系数矩阵不可逆时无法使用。
三、克莱姆法则克莱姆法则是解线性方程组的另一种直接方法，它通过定义克莱姆行列式和克莱姆向量，利用行列式的性质求解方程组的解向量。
第5章 解线性方程组的直接方法
第5章
解线性方程组的直接方法
定理3 若A∈Rnⅹn 为对称矩阵.如果det(Ak) ＞0(k=1,2,…,n),
或A得特征值λi＞0（i=1,2, …,n ）.则A为对称正定矩阵。
《 数 值 分 析 》
有重特征值的矩阵不一定相似于对角矩阵，那么一般n阶 矩阵A在相似变换下能简化到什么形状？
定理4(若尔当（Jordan）标准型） 设A为n阶矩阵，则 存在一个非奇异矩阵P使得
a1(1) x1 b1(1) n ( 2) ( 2) a2 n x2 b2 ( k ) . (2.8) (k ) akn xk bk (k ) (k ) ann xn bn
（2.12 ）
(2.7)
简记为
A（2）X=b（2） ，
( ( ( aij2) aij1) mi1 a11) , j
其中A（2），b（2）的元素计算公式为
(i, j 2,3,, n),
bi( 2) bi(1) mi1 b1(1) , (i 2,3,, n).
第k步：若
(k akk ) 0,
a11 ... ... Ak ak1 ... ... , akk
《 数 值 分 析 》
a
1k
k 1,2, n.
（3）A的特征值λi＞0（i=1,2, …,n ）. （4）A的顺序主子式都大于零，即det(Ak) ＞0(k=1,2,…,n)
(1)）=(a
), b(1)=b. ij
第5章 解线性方程组的直接方法 （1）消元过程 1 (1 第1步：设 a (1) 0,首先计算乘数 mi1 ai(1 ) / a11) , i 2,3n, 11 用－mi1乘（2.1）的第1个方程组，加到第i个中，消去方程组（2.1）的从 第2个方程到第n个方程中的未知数X1，得到与方程组（2.1）等价的线性方 程组 《 数 值 分 析 》
数值分析第五章线性方程组直接解法
x3 1 x2 8 7x3 1
x1 2 2x2 2x3 2
3
Gauss 消去法
考虑 n 阶线性方程组：
a11x1 a12x2 ... a1nxn b1
a21
x1
a22 x2
...
a2n xn
b2
an1x1 an2x2 ... annxn bn矩阵形式Biblioteka Ax b109 1
1
0 109 109
列主元Gauss消去法：
109 1 1
1
1 2
1 1 2 109 1 1
x2 1, x1 0
x1 x2
1 1
数值分析
第五章 解线性方程组的直接方法
—— 矩阵三角分解法
18
LU 分解
1、LU分解 将 Gauss 消去过程中第 k-1 步消元后的系数 矩阵记为：
10
LU 分解存在唯一性
LU 分解存在
高斯消去法不被中断
所有顺序主子式不为零
a(k) kk
0
定理：若 A 的所有顺序主子式不为零，则 A 存在 唯一的 LU分解
11
列主元 Gauss 消去法
Gauss 消去法有效的条件是： 主元全不为零
例：解线性方程组
0 1
1 0
x1 x2
1 1
列主元 Gauss 消去法
( k = 1, …, n-1)
a(k) nk
a(k) nn
A L A 则 A(k) 与 A(k+1) 之间的关系式可以表示为： (k1)
(k) k
其中： 1
Lk
1 mk1,k 1
mik
a(k) ik
a(k) kk
( i = k + 1, …, n )
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x2
3 2
x3
13 2
⑤
7
消元过程
第2步：将方程 ④乘上
5 8
加到方程
⑤上去，这
样就消去了第3个方程的 x2 项，于是就得到等价方
程组
2
x1
x2
3x3
1
4x2 x3 2
7 8
x3
21 4
⑥
这样，消元过程就是把原方程组化为上三角形方程
组，其系数矩阵是上三角矩阵。
8
回代过程
（2）回代过程 回代过程是将上述三角形方程组自下而上求解， 从而求得原方程组的解：
a (1) ij
aij , bi(1)
bi (i,
j
1,2,, n)
则高斯消去法的算法构造归纳为：
⑴ 消元过程,高斯消去法的消元过程由n-1步组成：
第1步
设
a (1) 11
0
,把(3.3)中的第一列中元素
消为零，令 a(1) 21
,
a (1) 31
,,
a (1) n1
mi1
a (1) i1
a (1) 11
,
(i 2,3,, n)
用 mi1 乘以第1个方程后加到第 i 个方程上去,消
去第2～n个方程的未知数 x1 ,得到 A(2) x b(2)
14
高斯消去法算法构造
即
a1(11)
a (1) 12
a (2) 22
a (1) 1n
a (2) 2n
x1
x
2
bb12((12))
5
§ 5.2 高斯消去法
1 高斯消去法的基本思想
先用一个简单实例来说明Gauss法的基本思想
例1 解线性方程组
2x1 x2 3x3 1
①
4x1 2x2 5x3 4 ②
x1
2x2
7
③
解: 该方程组的求解过程实际上是将中学学过的消
元法标准化,将一个方程乘或除以某个常数,然后将
两个方程相加减,逐步减少方程中的未知数,最终使 6
第5章 解线性方程组的直接方法
§5.1 引言与预备知识 §5.2 高斯消去法 §5.3 矩阵三角分解法 §5.4 向量和矩阵的范数 §5.5 误差分析
1
§5.1 引言与预备知识
在工程技术、自然科学和社会科学中，经常遇到 的许多问题最终都可归结为解线性方程组，如电 学中网络问题、用最小二乘法求实验数据的曲线 拟合问题，工程中的三次样条函数的插值问题， 经济运行中的投入产出问题以及大地测量、机械 与建筑结构的设计计算问题等等，都归结为求解 线性方程组或非线性方程组的数学问题。因此线 性方程组的求解对于实际问题是极其重要的。
2 0 0
1 3
1
4 1 2
5 2
3 2
13 2
同样可得到与原方程
5 2 r3 (8 )r2
1
3
1
组等价的方程组 ⑥
0
4 1 2 7 21
0
0
8
4
10
高斯消去法的基本思想
由此看出,高斯消去法解方程组基本思想是设法 消去方程组的系数矩阵A的主对角线下的元素,而将 Ax=b化为等价的上三角形方程组,然后再通过回代过 程便可获得方程组的解。换一种说法就是用矩阵行 的初等变换将原方程组系数矩阵化为上三角形矩阵, 而以上三角形矩阵为系数的方程组的求解比较简单, 可以从最后一个方程开始,依次向前代入求出未知变 量 xn , xn1,, x1这种求解上三角方程组的方法称为回 代, 通过一个方程乘或除以某个常数，以及将两个方
简记为 Ax=b，其中
a11a12...a1n
x1
b1
A
a21a22...a2n
,
x
x2
,
b
b2
(2)
......
... ...
an1an2...ann
xn
bn
一般b≠0, 当系数矩阵A非奇异(即detA≠0) 时，方程组（1）有惟一解。
4
线性方程组的数值解法
线性方程组的数值解法一般有两类： 1. 直接法：就是经过有限步算术运算，可求得方程
x1 9, x2 1, x3 6
9
增广矩阵
前述的消元过程相当于对原方程组
2 1 3 4 2 5
x1 1
x
2
4
1 2 0 x3 7
的增广矩阵进行下列变换( ri 表示增广矩阵的第 i 行）
2 1 3
A~
A
b
4
2
5
1 2 0
1 4 7
r2 (2)r1
r3 (12)r1
消元过程
每个方程只含有一个未知数,从而得出所求的解。 整个过程分为消元和回代两个部分。
（1）消元过程
第1步:将方程①乘上(-2)加到方程 ②上去,将方程 ①
乘上
1 2
加到方程
③上去,这样就消去了第2、3个方
程的 x1 项,于是就得到等价方程组
2
x1
x2
3x3
1
4x2 x3 2
④
5 2
2
线性方程组分量形式
常见的线性方程组是方程个数和未知量个数相 同的n阶线性方程组，一般形式为
a11x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a21x1 a22 x2 ... a2n xn b2
(1)
......
an1 x1 an2 x2 ... ann xn bn
3
线性方程组矩阵形式
a (2) n2
a (2) nn
xn
bn(2
)
其中
abii((j22))
a (1) ij
bi(1)
mi1
a (1) 1j
mi1b1(1)
i, j 2,3, n
第k步 (k=2,3,…,n-1)继续上述消元过程，设第k-1
次消元已经完成，得到与原方程组等价的方程组
a11 a12 a1n
x1 b1
a21
a22
a2
n
x2
b2
(3)
an1
an2
a
nn
xn bn
解线性方程组(1)的高斯（Gauss）消去法的消元
过程就是对(3)的增广矩阵进行行初等变换。将例1
中解三阶线性方程组的消去法推广到一般的 n n
阶
13
高斯消去法算法构造
线性方程组并记
11
高斯消去法的基本思想
程相加减,逐步减少方程中的变元数,最终将方程组 化成上三角方程组,一般将这一过程称为消元,然后 再回代求解。 通常把按照先消元,后回代两个步骤求解线性方程组 的方法称为高斯（Gauss）消去法。
12
高斯消去法算法构造
2 高斯消去法算法构造
我们知道,线性方程组(1)用矩阵形式表示为
组精确解的方法（若计算过程中没有舍入误差） ，如克莱姆法则就是一种直接法，直接法中具有 代表性的算法是高斯(Gauss)消去法。 2. 迭代法: 就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程 组的精确解的方法。也就是从解的某个近似值出 发，通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方法 。(一般有限步内得不到精确解)