计算方法第五章 解线性方程组的直接方法

组精确解的方法（若计算过程中没有舍入误差） ，如克莱姆法则就是一种直接法，直接法中具有 代表性的算法是高斯(Gauss)消去法。 2. 迭代法: 就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程 组的精确解的方法。也就是从解的某个近似值出 发，通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方法 。(一般有限步内得不到精确解)
x2
3 2
x3
13 2
⑤
7
消元过程
第2步：将方程 ④乘上
5 8
加到方程
⑤上去，这
样就消去了第3个方程的 x2 项，于是就得到等价方
程组
2
x1
x2
3x3
1
4x2 x3 2
7 8
x3
21 4
⑥
这样，消元过程就是把原方程组化为上三角形方程
组，其系数矩阵是上三角矩阵。
8
回代过程
（2）回代过程 回代过程是将上述三角形方程组自下而上求解， 从而求得原方程组的解：
a11 a12 a1n
x1 b1
a21
a22
a2
n
x2
b2
(3)
an1Βιβλιοθήκη Baidu
an2
a
nn
xn bn
解线性方程组(1)的高斯（Gauss）消去法的消元
过程就是对(3)的增广矩阵进行行初等变换。将例1
中解三阶线性方程组的消去法推广到一般的 n n
阶
13
高斯消去法算法构造
线性方程组并记
简记为 Ax=b，其中
a11a12...a1n
x1
b1
A
a21a22...a2n
,
x
x2
,
b
b2
(2)
......
... ...
an1an2...ann
xn
bn
一般b≠0, 当系数矩阵A非奇异(即detA≠0) 时，方程组（1）有惟一解。
4
线性方程组的数值解法
线性方程组的数值解法一般有两类： 1. 直接法：就是经过有限步算术运算，可求得方程
消元过程
每个方程只含有一个未知数,从而得出所求的解。 整个过程分为消元和回代两个部分。
（1）消元过程
第1步:将方程①乘上(-2)加到方程 ②上去,将方程 ①
乘上
1 2
加到方程
③上去,这样就消去了第2、3个方
程的 x1 项,于是就得到等价方程组
2
x1
x2
3x3
1
4x2 x3 2
④
5 2
x1 9, x2 1, x3 6
9
增广矩阵
前述的消元过程相当于对原方程组
2 1 3 4 2 5
x1 1
x
2
4
1 2 0 x3 7
的增广矩阵进行下列变换( ri 表示增广矩阵的第 i 行）
2 1 3
A~
A
b
4
2
5
1 2 0
1 4 7
r2 (2)r1
r3 (12)r1
,
(i 2,3,, n)
用 mi1 乘以第1个方程后加到第 i 个方程上去,消
去第2～n个方程的未知数 x1 ,得到 A(2) x b(2)
14
高斯消去法算法构造
即
a1(11)
a (1) 12
a (2) 22
a (1) 1n
a (2) 2n
x1
x
2
bb12((12))
a (2) n2
a (2) nn
xn
bn(2
)
其中
abii((j22))
a (1) ij
bi(1)
mi1
a (1) 1j
mi1b1(1)
i, j 2,3, n
第k步 (k=2,3,…,n-1)继续上述消元过程，设第k-1
次消元已经完成，得到与原方程组等价的方程组
2
线性方程组分量形式
常见的线性方程组是方程个数和未知量个数相 同的n阶线性方程组，一般形式为
a11x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a21x1 a22 x2 ... a2n xn b2
(1)
......
an1 x1 an2 x2 ... ann xn bn
3
线性方程组矩阵形式
第5章 解线性方程组的直接方法
§5.1 引言与预备知识 §5.2 高斯消去法 §5.3 矩阵三角分解法 §5.4 向量和矩阵的范数 §5.5 误差分析
1
§5.1 引言与预备知识
在工程技术、自然科学和社会科学中，经常遇到 的许多问题最终都可归结为解线性方程组，如电 学中网络问题、用最小二乘法求实验数据的曲线 拟合问题，工程中的三次样条函数的插值问题， 经济运行中的投入产出问题以及大地测量、机械 与建筑结构的设计计算问题等等，都归结为求解 线性方程组或非线性方程组的数学问题。因此线 性方程组的求解对于实际问题是极其重要的。
a (1) ij
aij , bi(1)
bi (i,
j
1,2,, n)
则高斯消去法的算法构造归纳为：
⑴ 消元过程,高斯消去法的消元过程由n-1步组成：
第1步
设
a (1) 11
0
,把(3.3)中的第一列中元素
消为零，令 a(1) 21
,
a (1) 31
,,
a (1) n1
mi1
a (1) i1
a (1) 11
5
§ 5.2 高斯消去法
1 高斯消去法的基本思想
先用一个简单实例来说明Gauss法的基本思想
例1 解线性方程组
2x1 x2 3x3 1
①
4x1 2x2 5x3 4 ②
x1
2x2
7
③
解: 该方程组的求解过程实际上是将中学学过的消
元法标准化,将一个方程乘或除以某个常数,然后将
两个方程相加减,逐步减少方程中的未知数,最终使 6
2 0 0
1 3
1
4 1 2
5 2
3 2
13 2
同样可得到与原方程
5 2 r3 (8 )r2
1
3
1
组等价的方程组 ⑥
0
4 1 2 7 21
0
0
8
4
10
高斯消去法的基本思想
由此看出,高斯消去法解方程组基本思想是设法 消去方程组的系数矩阵A的主对角线下的元素,而将 Ax=b化为等价的上三角形方程组,然后再通过回代过 程便可获得方程组的解。换一种说法就是用矩阵行 的初等变换将原方程组系数矩阵化为上三角形矩阵, 而以上三角形矩阵为系数的方程组的求解比较简单, 可以从最后一个方程开始,依次向前代入求出未知变 量 xn , xn1,, x1这种求解上三角方程组的方法称为回 代, 通过一个方程乘或除以某个常数，以及将两个方
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高斯消去法的基本思想
程相加减,逐步减少方程中的变元数,最终将方程组 化成上三角方程组,一般将这一过程称为消元,然后 再回代求解。 通常把按照先消元,后回代两个步骤求解线性方程组 的方法称为高斯（Gauss）消去法。
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高斯消去法算法构造
2 高斯消去法算法构造
我们知道,线性方程组(1)用矩阵形式表示为