2018-2019学年人教A版高中数学必修一模块质量评估练习含解析

模块质量评估本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，M＝{1,3,5,6}，N＝{1,2,4,7,9}，则M∪(∁U N)等于() A．{3,5,8}B．{1,3,5,6,8}C．{1,3,5,8} D．{1,5,6,8}解析：∵∁U N＝{3,5,6,8}，∴M∪(∁U N)＝{1,3,5,6,8}．故选B.答案：B2．如图，I是全集，A，B，C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是()A．(∁I A∩B)∩C B．(∁I B∪A)∩CC．(A∩B)∩∁I C D．(A∩∁I B)∩C解析：阴影部分位于集合A与集合C的内部，且位于集合B的外部，因此可表示为(A∩∁I B)∩C.答案：D3．已知函数f(x)＝7＋a x－1的图象恒过点P，则P点的坐标是()A．(1,8) B．(1,7)C．(0,8) D．(8,0)解析：过定点则与a的取值没有关系，所以令x＝1，此时f(1)＝8.所以P点的坐标是(1,8)．故选A.答案：A4．下列各组函数中，表示同一函数的是()A．y＝x2和y＝(x)2B．y＝lg(x2－1)和y＝lg(x＋1)＋lg(x－1)C．y＝log a x2和y＝2log a xD．y＝x和y＝log a a x解析：要表示同一函数必须定义域、对应法则一致，A、B、C中的定义域不同，故选D.答案：D5．若x ＝1是函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)的一个零点，则函数h (x )＝ax 2＋bx 的零点是( )A ．0或－1B ．0或－2C ．0或1D ．0或2解析：因为1是函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)的零点，所以a ＋b ＝0，即a ＝－b ≠0.所以h (x )＝－bx (x －1)．令h (x )＝0，解得x ＝0或x ＝1.故选C.答案：C6．若lg x －lg y ＝a ，则lg ⎝⎛⎭⎫x 23－lg ⎝⎛⎭⎫y 23＝( ) A ．3a B.32a C ．aD ．a 2解析：lg ⎝⎛⎭⎫x 23－lg ⎝⎛⎭⎫y 23＝3⎝⎛⎭⎫lg x 2－lg y 2＝3(lg x －lg y )＝3a . 答案：A7．设a ＝22.5，b ＝log 122.5，c ＝⎝⎛⎭⎫12 2.5，则a ，b ，c 之间的大小关系是( )A ．c >b >aB ．c >a >bC ．a >c >bD ．b >a >c解析：a ＝22.5>22＝4，b ＝log 122.5<log 121＝0，c ＝⎝⎛⎭⎫12 2.5<⎝⎛⎭⎫120＝1，又c ＝⎝⎛⎭⎫12 2.5＞0，所以a >c >b .故选C.答案：C8．函数f (x )＝3x 21－x ＋lg(3x ＋1)的定义域是( )A.⎝⎛⎭⎫－13，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－13，1 C.⎝⎛⎭⎫－13，13 D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－13 解析：要使函数有意义，须使⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，3x ＋1＞0，解得－13＜x ＜1.故选B.答案：B9．若实数x ，y 满足|x |－ln 1y＝0，则y 关于x 的函数的图象形状大致是( )解析：只要把原函数化为y ＝⎝⎛⎭⎫1e |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x (x ≥0)，e x (x ＜0)，则正确答案不难得出． 答案：B10．设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x－1(x ≤0)，x 12 (x ＞0)，若f (x 0)＞1，则x 0的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析：当x 0≤0时，2－x 0－1＞1， 即2－x 0＞2， ∴x 0＜－1. 当x 0＞0时，x 012＞1，即x 0＞1.综上可知，x 0＜－1或x 0＞1，故选D. 答案：D11．已知f (x )为奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝x 2＋3x ＋2.则当x ∈[1,3]时，f (x )的最小值是( )A ．2 B.14 C ．－2D ．－14解析：当x ＜0时， f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋322－14， 在[－3，－1]内，当x ＝－3时，f (x )有最大值2，∵f (x )为奇函数， ∴其图象关于原点对称． ∴f (x )在[1,3]内存在最小值－2. 答案：C12．对于定义域为R 的函数f (x )，若存在非零实数x 0，使函数f (x )在(－∞，x 0)和(x 0，＋∞)上与x 轴均有交点，则称x 0为函数f (x )的一个“界点”．则下列四个函数中，不存在“界点”的是( )A ．f (x )＝x 2＋bx －1(b ∈R )B ．f (x )＝|x 2－1|C ．f (x )＝2－|x －1|D ．f (x )＝x 3＋2x解析：本题以新定义的形式考查了函数的单调性的知识．由于f (x )＝x 3＋2x 在(－∞，＋∞)上单调递增，又f (0)＝0，∴函数f (x )的图象与x 轴只有一个交点．∴函数f (x )＝x 3＋2x 不存在“界点”．故选D.答案：D第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上) 13．已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝－x ＋1}，N ＝{(x ，y )|y ＝x －1}，那么M ∩N 为__________．解析：本题主要考查集合中点集的交集运算．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋1，y ＝x －1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，∴M ∩N ＝{(1,0)}．答案：{(1,0)}14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈Q ，0，x ∈∁RQ ，则f (f (2π))＝____________.解析：本题主要考查分段函数函数值的求解．因为2π∈∁R Q ，所以f (2π)＝0.所以f (f (2π))＝f (0)＝1.答案：115．对于函数f (x )＝ln x 的定义域中任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有如下结论： ①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)； ②f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)； ③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0.上述结论中正确结论的序号是__________．解析：本题考查对数函数的性质．函数f (x )＝ln x 满足ln(x 1·x 2)＝ln(x 1)＋ln(x 2)；由函数f (x )＝ln x 是增函数，知ln x 1－ln x 2x 1－x 2>0，即f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立．故②③正确．答案：②③16．已知直线y ＝mx 与函数f (x )＝⎩⎨⎧2－⎝⎛⎭⎫13x ，x ≤0，12x 2＋1，x >0的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是__________．解析：本题主要考查指数函数及二次函数的图象和性质，也考查了一元二次方程根的个数问题等知识的应用．作出函数f (x )＝⎩⎨⎧2－⎝⎛⎭⎫13x ，x ≤0，12x 2＋1，x >0的图象，如图所示，直线y ＝mx 的图象是绕坐标原点旋转的动直线．当m ≤0时，直线y ＝mx 与函数f (x )的图象只有一个公共点；当m >0时，直线y ＝mx 始终与函数y ＝2－⎝⎛⎭⎫13x(x ≤0)的图象有一个公共点，故要使直线y ＝mx 与函数f (x )的图象有三个公共点，直线y ＝mx 与函数y ＝12x 2＋1(x >0)的图象必有两个公共点，即方程mx ＝12x 2＋1在x >0上有两个不相等的实数根，即方程x 2－2mx ＋2＝0在x >0上有两个不等实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4m 2－8>0，2m >0，2>0，解得m > 2.故实数m 的取值范围是(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知全集U ＝R ，A ＝{x |2x －4>0}，B ＝{x |2≤2x <16}，C ＝{0,1,2}． (1)求∁U (A ∩B )；(2)如果集合M ＝(A ∪B )∩C ，写出M 的所有真子集． 解：(1)∵A ＝{x |x >2}，B ＝{x |1≤x <4}， A ∩B ＝{x |2<x <4}，∴∁U (A ∩B )＝(－∞，2]∪[4，＋∞)． (2)∵(A ∪B )∩C ＝{x |x ≥1}∩{0,1,2}＝{1,2}， ∴集合M 的真子集有∅，{1}，{2}． 18．(本小题满分12分)已知f (x )＝log 2x ＋1x －1.(1)求f (x )的定义域和值域； (2)判断f (x )的奇偶性并证明．解：(1)由题可得x ＋1x －1>0，解得x <－1，或x >1，所以定义域为()－∞，－1∪(1，＋∞)． 设u ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时， u ∈(0,1)∪(1，＋∞)，∴y ＝log 2u ，u ∈(0,1)∪(1，＋∞)． ∴f (x )的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)f (x )的定义域关于原点对称， 且f (x )＋f (－x )＝log 2x ＋1x －1＋log 2－x ＋1－x －1＝log 2x ＋1x －1＋log 2x －1x ＋1＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1·x －1x ＋1＝log 2 1＝0，∴f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝log 2x . (1)求f (x )的解析式； (2)解关于x 的不等式f (x )≤12.解：(1)∵f (x )是奇函数，∴f (0)＝0. 当x <0时，－x >0， ∴f (－x )＝log 2(－x )． 又f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－log 2(－x )．综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2 x ，x >0，0，x ＝0，－log 2(－x )，x <0.(2)由(1)得f (x )≤12等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，log 2 x ≤12或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，0≤12或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－log 2(－x )≤12， 解得0<x ≤2或x ＝0或x ≤－22， 即所求x 的集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫0≤x ≤2或x ≤－22. 20．(本小题满分12分)某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购1件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．(1)设销售商一次订购x 件，服装的实际出厂单价为p 元，写出函数p ＝f (x )的表达式． (2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)当0<x ≤100且x ∈N *时，p ＝60； 当100<x ≤600且x ∈N *时， p ＝60－(x －100)×0.02＝62－0.02x .∴p ＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0<x ≤100且x ∈N *，62－0.02x ，100<x ≤600且x ∈N *. (2)设该厂获得的利润为y 元，则当0<x ≤100时且x ∈N *，y ＝60x －40x ＝20x ； 当100<x ≤600时且x ∈N *， y ＝(62－0.02x )x －40x ＝22x －0.02x 2.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x ，0<x ≤100且x ∈N *，22x －0.02x 2，100<x ≤600且x ∈N *. 当0<x ≤100时且x ∈N *，y ＝20x 是单调增函数， ∴当x ＝100时，y 最大，y max ＝20×100＝2 000； 当100<x ≤600时且x ∈N *，y ＝22x －0.02x 2＝－0.02(x －550)2＋6 050， ∴当x ＝550时，y 最大，y max ＝ 6 050. 显然6 050>2 000，∴当销售商一次订购550件时，该厂获得的利润最大，最大利润为6 050元．21．(本小题满分12分)定义在[－1,1]上的偶函数f (x )，已知当x ∈[0,1]时的解析式为f (x )＝－22x ＋a 2x (a ∈R )．(1)求f (x )在[－1,0]上的解析式． (2)求f (x )在[0,1]上的最大值h (a )． 解：(1)设x ∈[－1,0]， 则－x ∈[0,1]，f (－x )＝－2－2x＋a 2－x .又∵函数f (x )为偶函数， ∴f (x )＝f (－x )． ∴f (x )＝－2－2x＋a 2－x ，x ∈[－1,0]．(2)∵f (x )＝－22x ＋a 2x ，x ∈[0,1]， 令t ＝2x ，t ∈[1,2]，∴g (t )＝at －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －a 22＋a24. 当a2≤1，即a ≤2时，h (a )＝g (1)＝a －1； 当1<a2<2，即2<a <4时，h (a )＝g ⎝⎛⎭⎫a 2＝a24；当a2≥2，即a ≥4时，h (a )＝g (2)＝2a －4. 综上所述，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1，a ≤2，a24，2<a <4，2a －4，a ≥4.22．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－⎝⎛⎭⎫13x ，x ≤0，12x 2－x ＋1，x >0.(1)写出该函数的单调区间；(2)若函数g (x )＝f (x )－m 恰有3个不同零点，求实数m 的取值范围；(3)若f (x )≤n 2－2bn ＋1对所有x ∈[－1,1]，b ∈[－1,1]恒成立，求实数n 的取值范围．解：(1)函数的图象如图所示，则函数f (x )的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(－∞，0)及(1，＋∞)．(2)作出直线y ＝m ，函数g (x )＝f (x )－m 恰有3个不同零点等价于直线y ＝m 与函数f (x )的图象恰有三个不同交点．根据函数f (x )＝⎩⎨⎧2－⎝⎛⎭⎫13x ，x ≤0，12x 2－x ＋1，x >0的图象，又f (0)＝1，f (1)＝12，∴m ∈⎝⎛⎭⎫12，1.∴实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1.(3)∵f (x )≤n 2－2bn ＋1对所有x ∈[－1,1]恒成立， ∴[f (x )]max ≤n 2－2bn ＋1.又[f (x )]max ＝f (0)＝1，∴n 2－2bn ＋1≥1，即n 2－2bn ≥0在b ∈[－1,1]上恒成立． ∴h (b )＝－2nb ＋n 2在b ∈[－1,1]上恒大于等于0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2n ×(－1)＋n 2≥0，－2n ×1＋n 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋2)≥0， ①n (n －2)≥0. ②由①得⎩⎪⎨⎪⎧ n ≥0，n ＋2≥0或⎩⎪⎨⎪⎧n ≤0，n ＋2≤0，解得n ≥0或n ≤－2； 同理由②得n ≤0或n ≥2.∴n ∈(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．∴n 的取值范围是(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．。