八年级数学上册几何添辅助线专题

DCB AFor personal use only in study and research; notfor commercial use全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．6) 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答 一、倍长中线（线段）造全等EDFCBACCBA例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________. 解：延长AD 至E 使AE ＝2AD ，连BE ，由三角形性质知 AB-BE <2AD<AB+BE 故AD 的取值范围是1<AD<4例2、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.解：(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长FD 至G 使FG ＝2EF ，连BG ，EG, 显然BG ＝FC ，在△EFG 中，注意到DE ⊥DF ，由等腰三角形的三线合一知 EG ＝EF在△BEG 中，由三角形性质知 EG<BG+BE 故：EF<BE+FC例3、如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC的中点，求证：AD 平分∠BAE.E D CB A解：延长AE 至G 使AG ＝2AE ，连BG ，DG, 显然DG ＝AC ， ∠GDC=∠ACD 由于DC=AC ，故 ∠ADC=∠DAC 在△ADB 与△ADG 中， BD ＝AC=DG ，AD ＝AD ，∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC ＝∠ADG故△ADB ≌△ADG ，故有∠BAD=∠DAG ，即AD 平分∠BAE 二、截长补短1、如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC解：（截长法）在AB 上取中点F ，连FD△ADB 是等腰三角形，F 是底AB 中点，由三线合一知 DF ⊥AB ，故∠AFD ＝90°△ADF ≌△ADC （SAS ）∠ACD ＝∠AFD ＝90°即：CD ⊥AC2、如图，AD ∥BC ，EA,EB 分别平分∠DAB,∠CBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AD+BC 解：（截长法）在AB 上取点F ，使AF ＝AD ，连FE △ADE ≌△AFE （SAS ） ∠ADE ＝∠AFE ， ∠ADE+∠BCE ＝180°∠AFE+∠BFE ＝180°故∠ECB ＝∠EFB △FBE ≌△CBE （AAS ） 故有BF ＝BC 从而;AB ＝AD+BC3、如图，已知在△ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BABQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。

求证：BQ+AQ=AB+BP 解：（补短法, 计算数值法）延长AB 至D ，使BD ＝BP ，连DP 在等腰△BPD 中，可得∠BDP ＝40° 从而∠BDP ＝40°＝∠ACP △ADP ≌△ACP （ASA ） 故AD ＝AC又∠QBC ＝40°＝∠QCB 故 BQ ＝QC BD ＝BP从而BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠， 求证： 0180=∠+∠C A解：（补短法）延长BA 至F ，使BF ＝BC ，连FD △BDF ≌△BDC （SAS ）故∠DFB ＝∠DCB ，FD ＝DC 又AD ＝CD故在等腰△BFD 中 ∠DFB ＝∠DAF故有∠BAD+∠BCD ＝180°5、如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任意一点，求证;AB-AC ＞PB-PC解：（补短法）延长AC 至F ，使AF ＝AB ，连PD△ABP ≌△AFP （SAS ） 故BP ＝PF 由三角形性质知PB －PC ＝PF －PC < CF ＝AF －AC ＝AB －AC 应用：分析：此题连接AC ，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题。

三、平移变换例1 AD 为△ABC 的角平分线，直线MN ⊥AD 于A.E 为MN 上一点，△ABC 周长记为A P ，△CBEBC 周长记为B P .求证B P ＞A P .解：（镜面反射法）延长BA 至F ，使AF ＝AC ，连FE AD 为△ABC 的角平分线, MN ⊥AD 知∠FAE ＝∠CAE 故有△FAE ≌△CAE （SAS ） 故EF ＝CE在△BEF 中有： BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC 从而P B =BE+CE+BC>BF+BC=BA+AC+BC=P A例2 如图，在△ABC 的边上取两点D 、E ，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.证明：取BC 中点M,连AM 并延长至N,使MN=AM,连BN,DN.∵BD=CE,∴DM=EM,∴△DMN ≌△EMA(SAS), ∴DN=AE, 同理BN=CA.延长ND 交AB 于P,则BN+BP>PN,DP+PA>AD, 相加得BN+BP+DP+PA>PN+AD, 各减去DP,得BN+AB>DN+AD, ∴AB+AC>AD+AE 。

四、借助角平分线造全等1、如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线AD,CE 相交于点O ，求证：OE=OD ，DC+AE =AC证明 (角平分线在三种添辅助线,计算数值法)∠B=60度, 则∠BAC+∠BCA=120度; AD,CE 均为角平分线,则∠OAC+∠OCA=60度=∠AOE=∠COD; ∠AOC=120度.在AC 上截取线段AF=AE,连接OF. 又AO=AO;∠OAE=∠OAF .则⊿OAE ≌ΔOAF(SAS),OE=OF;AE=AF;∠AOF=∠AOE=60度.则∠COF=∠AOC-∠AOF=60度=∠COD; 又CO=CO;∠OCD=∠OCF. 故⊿OCD ≌ΔOCF(SAS), OD=OF;CD=CF. OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F. （1）说明BE=CF 的理由；（2）如果AB=a ，AC=b ，求AE 、BE 的长. 解：(垂直平分线联结线段两端)连接BD ，DC DG 垂直平分BC ，故BD ＝DC由于AD 平分∠BAC ， DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，故有 ED ＝DF故RT △DBE ≌RT △DFC （HL ） 故有BE ＝CF 。

AB+AC ＝2AE AE ＝（a+b ）/2 BE=(a-b)/2 应用：1、如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B =60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA的平分线，AD 、CE 相交于点F 。

请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系； （2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

解：（1）FE 与FD 之间的数量关系为FD FE = （2）答：（1）中的结论FD FE =仍然成立。

证法一：如图1，在AC 上截取AE AG =，连结FG ∵21∠=∠，AF 为公共边， ∴AGF AEF ∆≅∆∴AFG AFE ∠=∠，FG FE =∵︒=∠60B ，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠∴︒=∠+∠6032∴︒=∠=∠=∠60AFG CFD AFE ∴︒=∠60CFG∵43∠=∠及FC 为公共边 ∴CFD CFG ∆≅∆ ∴FD FG = ∴FD FE =证法二：如图2，过点F 分别作AB FG ⊥于点G ，BC FH ⊥于点H ∵︒=∠60B ，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线 ∴可得︒=∠+∠6032，F 是ABC ∆的内心∴160∠+︒=∠GEF ，FG FH = 又∵1∠+∠=∠B HDF ∴HDF GEF ∠=∠ ∴可证DHF EGF ∆≅∆∴FD FE =有等腰三角形时常用的辅助线⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线例：已知，如图，AB = AC ，BD ⊥AC 于D ，求证：∠BAC = 2∠DBC 证明：（方法一）作∠BAC 的平分线AE ，交BC 于E ，则∠1 = ∠2 =12∠BAC 又∵AB = AC∴AE ⊥BC∴∠2＋∠ACB = 90o ∵BD ⊥AC∴∠DBC ＋∠ACB = 90o ∴∠2 = ∠DBC ∴∠BAC = 2∠DBC（方法二）过A 作AE ⊥BC 于E （过程略） （方法三）取BC 中点E ，连结AE （过程略）⑵有底边中点时，常作底边中线例：已知，如图，△ABC 中，AB = AC ，D 为BC 中点，DE⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，求证：DE = DF证明：连结AD. ∵D 为BC 中点， ∴BD = CD 又∵AB =AC ∴AD 平分∠BAC ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ∴DE = DF ⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题 例：已知，如图，△ABC 中，AB = AC ，在BA 延长线和AC 上各取一点E 、F ，使AE = AF ， 求证：EF ⊥BC 证明：延长BE 到N ，使AN = AB,连结CN,则AB = AN = AC∴∠B = ∠ACB, ∠ACN = ∠ANC21E DB AF E DC B ANF ECB A(第23题图)OP AM N E B C D F A CE F B D图①图②图③图 1图 2∵∠B ＋∠ACB ＋∠ACN ＋∠ANC = 180o ∴2∠BCA ＋2∠ACN = 180o ∴∠BCA ＋∠ACN = 90o 即∠BCN = 90o ∴NC ⊥BC ∵AE = AF∴∠AEF = ∠AFE又∵∠BAC = ∠AEF ＋∠AFE ∠BAC = ∠ACN ＋∠ANC ∴∠BAC =2∠AEF = 2∠ANC ∴∠AEF = ∠ANC ∴EF ∥NC ∴EF ⊥BC⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线 例：已知，如图，在△ABC 中，AB = AC ，D 在AB 上，E 在AC 延长线上，且BD = CE ，连结DE 交BC 于F 求证：DF = EF 证明：（证法一）过D 作DN ∥AE ，交BC 于N ，则∠DNB = ∠ACB ，∠NDE = ∠E ， ∵AB = AC ，∴∠B = ∠ACB∴∠B =∠DNB ∴BD = DN又∵BD = CE ∴DN = EC在△DNF 和△ECF 中 ∠1 = ∠2 ∠NDF =∠E DN = EC∴△DNF ≌△ECF ∴DF = EF（证法二）过E 作EM ∥AB 交BC 延长线于M,则∠EMB =∠B （过程略）⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线 例：已知，如图，△ABC 中，AB =AC ，E 在AC 上，D 在BA 延长线上，且AD = AE ，连结DE求证：DE ⊥BC 证明：（证法一）过点E 作EF ∥BC 交AB 于F ，则∠AFE =∠B ∠AEF =∠C ∵AB = AC ∴∠B =∠C ∴∠AFE =∠AEF ∵AD = AE∴∠AED =∠ADE又∵∠AFE ＋∠AEF ＋∠AED ＋∠ADE = 180o ∴2∠AEF ＋2∠AED = 90o 即∠FED = 90o ∴DE ⊥FE 又∵EF ∥BC ∴DE ⊥BC（证法二）过点D 作DN ∥BC 交CA 的延长线于N ，（过程略） （证法三）过点A 作AM ∥BC 交DE 于M ，（过程略）⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形------等边三角形例：已知，如图，△ABC 中，AB = AC ，∠BAC = 80o ,P 为形内一点，若∠PBC = 10o ∠PCB = 30o 求∠PAB 的度数.解法一：以AB 为一边作等边三角形，连结CE则∠BAE =∠ABE = 60o AE = AB = BE ∵AB = AC∴AE = AC ∠ABC =∠ACB ∴∠AEC =∠ACE∵∠EAC =∠BAC －∠BAE = 80o －60o = 20o∴∠ACE =12(180o －∠EAC)= 80∵∠ACB= 12(180o －∠BAC)= 50o ∴∠BCE =∠ACE －∠ACB= 80o －50o = 30o ∵∠PCB = 30o ∴∠PCB = ∠BCE∵∠ABC =∠ACB = 50o , ∠ABE = 60o21NF E D C B A21M FED C B A PE CB A∴∠EBC =∠ABE－∠ABC = 60o－50o =10o∵∠PBC = 10o∴∠PBC = ∠EBC在△PBC和△EBC中∠PBC = ∠EBCBC = BC∠PCB = ∠BCE∴△PBC≌△EBC∴BP = BE∵AB = BE∴AB = BP∴∠BAP =∠BPA∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50o－10o = 40o∴∠PAB = 12(180o－∠ABP)= 70o解法二：以AC为一边作等边三角形，证法同一。