初二几何中常用辅助线的添加

一. 教学内容：

寒假专题——初二几何中常用辅助线的添加

【典型例题】

（一）添加辅助线构造全等三角形

例1. 已知：AB∥CD，AD∥BC。

求证：AB＝CD

分析：证明线段相等的方法有：（1）中线的定义；（2）全等三角形的对应边相等；（3）等式的性质。

在本题中，我们可通过连结AC，构造全等三角形来证明线段相等。

证明：连结AC

∵AB∥CD，AD∥BC

∴∠1＝∠3，∠2＝∠4

在△ABC和△CDA中

∴△ABC≌△CDA（ASA）

∴AB＝CD

（二）截长补短法引辅助线

当已知或求证中涉及到线段a、b、c有下列情况时：，如直接证不出来，可采用截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等，这两种方法放在一起叫截长补短法。

通过线段的截长补短，构造全等把分散的条件集中起来。

例2. 如图，△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠1＝∠2。

求证：AB＝AC＋CD

证法一：（补短法）

延长AC至点F，使得AF＝AB

在△ABD和△AFD中

∴△ABD≌△AFD（SAS）

∴∠B＝∠F

∵∠ACB＝2∠B

∴∠ACB＝2∠F

而∠ACB＝∠F＋∠FDC

∴∠F＝∠FDC

∴CD＝CF

而AF＝AC＋CF

∴AF＝AC＋CD

∴AB＝AC＋CD

证法二：（截长法）

在AB上截取AE＝AC，连结DE

在△AED和△ACD中

∴△AED≌△ACD（SAS）

例3. 如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD交BD的延长线于E，证明：BD＝2CE。

分析：这是一道证明一条线段等于另一条线段的2倍的问题，可构造线段2CE，转化为证两线段相等的问题，分别

延长BA，CE交于F，证△BEF≌△BEC，得，再证△ABD≌△ACF，得BD＝CF。

证明：分别延长BA、CE交于点F

∵BE⊥CF

∴∠BEF＝∠BEC＝90°

在△BEF和△BEC中

∴△BEF≌△BEC（ASA）

∵∠BAC＝90°，BE⊥CF

∴∠BAC＝∠CAF＝90°，∠1＋∠BDA＝90°，∠1＋∠BFC＝90°

∴∠BDA＝∠BFC

在△ABD和△ACF中

∴△ABD≌△ACF（AAS）

∴BD＝CF

∴BD＝2CE

（三）加倍法和折半法

证明一条线段是另一条线段的两倍，常用如下方法：将较短线段延长一倍，然后证明它和较长线段相等，或将较长线段折半，然后证明它和较短线段相等，这种方法称为加倍法和折半法。

例4. 已知：如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，AB＝DC，∠BAD＝∠BDA。

求证：AC＝2AE

分析：欲证AC＝2AE，只要取AC的中点，证其一半与AE相等，或延长AE至等长，证其与AC相等，由于AE 是△ABD的中线，故考虑延长AE至F，使EF＝AE，证AF＝AC。（此种方法我们又称为中线倍长法）只要证△ABF≌△ADC，观察图形发现，可以证明△ADE≌△FBE，则可得出BF＝AD，尚需条件∠ADC＝∠FBA，而这可由外角的性质推出。

证明：延长AE至F，使EF＝AE，连结BF

∵AE是△ABD的中线

∴BE＝ED

在△BEF和△DEA中

∴△BEF≌△DEA

∴∠EBF＝∠BDA，BF＝DA

∵∠BAD＝∠BDA

∴∠EBF＝∠BAD

在△ADC和△FBA中

∴△ADC≌△FBA

∴AC＝AF

又∵AF＝2AE

∴AC＝2AE

（四）利用角平分线的性质来添加辅助线

有角平分线（或证明是角平分线）时，常过角平分线上的点向角两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边的距离相等证题。

例5. 已知：△ABC的∠B、∠C的外角平分线交于点P。

求证：AP平分∠BAC

证明：过P点作PD⊥AC于D点，PF⊥AB于F点，PE⊥BC于E点

∵PC，BP为△ABC的∠B、∠C的外角平分线

PD⊥AC，PE⊥BC

∴PD＝PE（角平分线性质）

同理：PF＝PE

∴PD＝PF（等量代换）

∴AP平分∠BAC（角平分线性质逆定理）

例6. 已知：如图，∠1＝∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB＋BC＝2BD。

求证：∠BAP＋∠BCP＝180°

分析：要证∠BAP＋∠BCP＝180°，而由图可知∠BAP＋∠EAP＝180°，故只要证∠EAP＝∠BCP即可。由∠1＝∠2，PD⊥BC，想到过P点向BA作垂线PE，有PE＝PD，BE＝BD，又由，得AE＝CD，故△APE≌△CPD，从而有∠EAP＝∠BCP，问题得证。

证明：过点P作PE⊥BA于E

∵PD⊥BC，∠1＝∠2

∴PE＝PD（角平分线的性质）

在Rt△BPE和Rt△BPD中

∴Rt△BPE≌Rt△BPD（HL）

∴BE＝BD

∴∠PEB＝∠PDC＝90°

在△PEA和△PDC中

∴△PEA≌△PDC

∴∠PCB＝∠EAP

∵∠BAP＋∠EAP＝180°

∴∠BAP＋∠BCP＝180°

【模拟试题】（答题时间：40分钟）

1. 已知，如图，AB＝AE，BC＝ED，，垂足为F，求证：CF＝DF

2. 在四边形ABCD中，BC>BA，AD＝DC，BD平分，求证：

3. 已知AD是△ABC的中线，E在BC的延长线上，CE＝AB，，求证：AE＝2AD

4. 已知，M是BC中点，DM平分，求证：①AM平分；②