人教A版高中数学必修二第1章 1.3 1.3.2 柱体、锥体、台体的体积
人教版高中数学必修2第一章第3节《柱体、椎体、台体的体积》ppt参考课件
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等 等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/11
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14
谢谢欣赏！
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棱锥体积
探究:棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系．
三棱锥与同底等高的三棱柱的关系
锥体体积
经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积
的 1．即棱锥的体积： 3
V 1 Sh（其中S为底面面积，h为高） 3
由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面 面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于
底面面积乘高的 1． 3
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、 语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面 的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
棱台（圆台）的体积公式
V 1 (S SS S)h 3
其中 S ， S 分别为上、下底面面积，h为圆台
1.3.1祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积(人教A版必修2) 2020-2021学年高一下学期第一章
柱体的体积公式Ｖ柱体＝Ｓｈ
柱体的代表 Ｖ长方体＝Ｓｈ
+
等底面积等高 的任意两个柱 体的体积相等
探究点二 锥体的体积计算公式
问题5：两个底面积相等、高也相等的棱锥
（圆锥）的体积之间有怎样的关系呢？为什么？
探究点二 锥体的体积计算公式
锥体体积公式及其探索思路？
锥体的体积公式Ｖ锥体＝?
锥体的代表 ?
等底面积等高的
+ 任意两个锥体的 体积相等
问题6：三棱柱分割
成三个三棱锥,他们三个 的体积相等吗？为什么？
A’
A’
A C’
B’
C’ B’
C B
A
C
B
总结 锥体体积公式
锥体的体积公式Ｖ锥体＝?
பைடு நூலகம்锥体的代表 三棱锥
等底面积等高的
+ 任意两个锥体的 体积相等
总结提升：
(1)棱锥：V椎体
1 3
Sh(S为底面积，h为棱锥的高）；
祖暅(gèng)原理：幂势既同，则积不容异。
问题1长方体的长、宽、高分别是a、b、c，那么它的 体积是什么？
能否用另外一种形式来表示长方体的体积呢？
V 长方体 abc
V 长方体 sh
问题2改变一下形状，底面积和高有没有改变？
如果用一个平行于水平面的平面去截这堆书，这些 水平截面的面积有什么关系？ 体积有没有改变？ 从这个事实中你得到什么启发？
知道它们前后的体积相等的条件为:
1 .高度相同 2.同一层上每页纸大小(面积)一样 3.每层与放作业本的桌面平行
祖暅(gèng)原理：幂势既同，则积不容异。
祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体, 被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面 (阴影部分)的面积都相等,那么这两个几何体的 体积一定相等。
2020版人教A数学必修2：1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
的底面积 S= 1 ×4×2=4,棱锥的高 h=4,所以棱锥的体积 V= 1 ×4×4= 16 .
2
3
3
故选 B.
[备用例2] 1.如图,一个底面半径为2的圆柱被一平面所截,截得的几何体的最短和 最长母线长分别为2和3,求该几何体的体积.
解:用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱,如图,则圆柱 的体积为π×22×5=20π,故所求几何体的体积为10π.
2.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图, 则此几何体的体积为( B )
(A)6 (B)9 (C)12 (D)18 解析:由三视图可知该几何体为底面是斜边为 6 的等腰直角三角形,高为 3 的 三棱锥,其体积为 1 × 1 ×6×3×3=9.
32
3.(2018·天津河西区高一期中)一个几何体的三视图如图所示,则该几何
体的体积为
.
解析:几何体上部是圆锥,下部是圆柱,所以几何体的体积为π·12×4+ 1 × 3
22π×2= 20π . 3
答案: 20π 3
4.(2018·杭州高一期中)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积
是
;表面积是
.
解析:由题意几何体是棱长为 2 的正方体,挖去一底面半径为 1,高为 1 的圆锥,
π rl+π
r2
. .
圆台
上底面面积:S上底= 下底面面积:S下底=
π r′2 . π r2 .
侧面积:S侧= π l(r+r′) .
表面积:S= π (r′2+r2+r′l+rl) .
2.柱体、锥体、台体的体积公式 柱体的体积公式 V=Sh(S 为底面面积,h 为高);
新课标人教A版高中数学必修二课程目标细化
高中数学必修二课程纲要（细化）一、课程目标（一）空间几何体1、认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2、能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图.3、会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.4、会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）.5、了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）.（二）点、直线、平面之间的位置关系1、理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.◆公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内.◆公理 2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.◆公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.◆公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.2、以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定. 理解以下判定定理.◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直. 理解以下性质定理，并能够证明.◆如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行.◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.◆垂直于同一个平面的两条直线平行.◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.3、能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.（三）直线与方程1、在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。
柱体、椎体、台体的表面积和体积教程
解析：所得旋转体是底面半径为2，高为2的圆锥，体
积V＝ 1 π×22×2＝
3
83π.
答案： 83π
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跟踪训练 1．如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是
边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几 何体的表面积为( C )
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2．体积公式
(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝____.
(2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝______.
(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为 h，则V＝____________.
练习4.正方体的表面积为100，对角线长度为
________．
2．(1)Sh
1 (2)3Sh
(3)13(S′＋ S′S＋S)h
练习 4.5 2
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◆数学•必修2•(配人教A版)◆ 2．根据柱体、锥体、台体之间的关系，你能发现三
者的体积公式之间的关系吗？ 解析：(1)柱体、锥体、台体之间的关系：
(2)体积公式之间的关系：
思考应用 1．三棱锥、四棱锥、三棱台、四棱台的展开图是什么
平面图形？如何计算其表面积？
解析：三棱锥、四棱锥、三棱台、四棱台的侧面展开 图如下：
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据此可以看出，棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼 接成的，其表面积是围成棱锥的各个面的面积之和；棱台 的侧面展开图是由多个梯形拼凑成的，其表面积是围成棱 台的各个面的面积之和．
旋 转 体
福建省安溪蓝溪中学人教A高中数学必修二课件 1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积1
一为：
柱
V = Sh（S为底面面积，h为高）
体 一般棱柱的体积公式也是V = Sh，其中S为
底面面积，h为高（即上下底面的距离）
h s
锥 圆锥的体积公式是 体 (其中S为底面面积，h为高)
它是同底同高的圆柱的体积的
棱锥的体积公式也是
S h
O S
h C
A
B
探究
探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系？ 它也是同底同高的棱柱的体积的
__1_8_0__度
台
圆台(棱台)的体积可以利用两个锥体
体 的体积差，得到台体体积公式：
其是S‘，S分别为上底面面积，h为圆台（棱台）高。
h 12
练习 1 . 若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形， 则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ A ）
A.
B.
C.
D.
2 . 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么这个 圆锥的侧面积展开图----扇形的圆心角为____
S
O
圆台的展开图是一个扇环，它的表面积等于上、 下两个底面和加上侧面的面积，即
O` O
思考：圆柱、圆锥、圆台的侧面积公 式间的联系与区别
S圆锥侧= πrl
r1=0 S圆台侧=π（r1+r2)l
r1=r2 S圆柱侧= 2πrl
15cm
10cm 7.5cm
2、柱体、锥体、台体的体积
正方体、长方体，以及圆柱的体积公式可以统
这样，求它们的表面积的问题就可转化为求平行四边形、 三角形、梯形的面积问题。
S
A
B
D
C
圆柱的展开图是一个矩形：
如果圆柱的底面半径为 ，母线为 ，那么圆柱 的底面积为 ，侧面积为 。因此圆柱的 表面积为
高一数学人教A版必修2：1-3-1-2 柱体、锥体、台体的体积
第十一页，编辑于读教材P25－26，回答下列问题： 1．柱体的体积 (1)棱柱(圆柱)的高是指 两底面 之间的距离，即从一底面 上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的 交点)之间的距离． (2)柱体的底面积为S，高为h，其体积V＝ Sh .特别地，圆 柱的底面半径为r，高为h，其体积V＝ πr2h .
第一章 1.3 1.3.1 第2课时
第二十六页，编辑于星期日：二十二点 二分。
[分析]明确几何体的形状及相应的体积公式是解决这类问 题的关键．因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面 下降部分实际是一个小圆柱，这个小圆柱的底面与玻璃杯的 底面一样，是一直径为20cm的圆，它的体积正好等于圆锥形 铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度．
第一章
空间几何体
第一章 空间几何体
第一页，编辑于星期日：二十二点 二分。
第一章
1．3 空间几何体的表面积与体积
第一章 空间几何体
第二页，编辑于星期日：二十二点 二分。
第一章
1．3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
第一章 空间几何体
第三页，编辑于星期日：二十二点 二分。
第一章
第2课时 柱体、锥体、台体的体积
[答案] (6＋π)
第一章 1.3 1.3.1 第2课时
第三十三页，编辑于星期日：二十二点 二分。
[解析] 此几何体是由一个长为3，宽为2，高为1的长方 体与底面直径为2，高为3的圆锥组合而成的，故V＝V长方体＋V圆 锥＝3×2×1＋π3×12×3＝(6＋π)m3.
第一章 1.3 1.3.1 第2课时
第一章 1.3 1.3.1 第2课时
第二十八页，编辑于星期日：二十二点 二分。
人教版高中数学必修2知识点汇总(一册全)
人教版高中数学必修二知识点汇总第一章 空间几何体1.1柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱'''''E D C B A ABCDE -或用对角线的端点字母，如五棱柱'AD几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
（2）棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥'''''E D C B A P -几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台'''''E D C B A P -几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ①侧面是梯形 ①侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是全等的圆；①母线与轴平行；①轴与底面圆的半径垂直；①侧面展开图是一个矩形。
（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；①母线交于圆锥的顶点；①侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；①侧面母线交于原圆锥的顶点；①侧面展开图是一个弓形。
【高中数学】祖暅原理与柱体、锥体、球的体积课件 高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
化归思想
①借助“祖暅原理”,所有柱体的体积转化为长方体的体积； ②柱体都可以分为三个等体积的锥体； ③球的体积转化为圆柱体积和圆锥体积的差.
5.探究作业
请各小组利用祖暅原理探究球的体积公式的思想探究椭球的
体积公式，椭球的体积公式如下:
V椭球
4 abc
3
椭球的球心在坐标原点,与x,y,z轴正向的交点 分别为
分析：当锥体被平行于底面的平面所截时，得到的截面与底面相似.
图4
S截面 S底面
=
SO
'
2
SO
由祖暅原理可知 等底面积S、等高h的两 个锥体，体积相等.
问题4：三棱柱分割成三个三棱锥, 它们三个的体积相等吗？为什么？
1.观察图5(a)与图5(c):
2.观察图5(b)与图5(c):
(1) SABC SA1B1C1
祖暅原理 与柱体、锥体、球的体积
祖暅简介
祖暅(5世纪-6世纪)，字景烁， 我国南北朝时期伟大科学家，祖冲之之子.
成就: 祖暅修补编辑了祖冲之的《缀术》,
十分巧妙的推导了球的体积公式.
“祖暅原理”被西方称为“卡瓦列里”原理，要比其他国家早一千多年. 在欧洲直到17世纪，意大利数学家卡瓦列里才发现“祖暅原理”的结论.
O1O2 h O1B h
分析: S r2 R2 h2
h Rr
1 2 V球 V圆柱 V圆锥
其中V圆柱 1
SR,V圆锥
1 3
SR
2 V球 V圆柱 V圆锥
1 2 V球
2 3
SR
2
3
R3
O
O3
A
O1
B
O2
V球
4
1.3.1__柱体、锥体、台体的表面积与体积说课稿
《柱体、锥体、台体的表面积与体积》说课稿各位老师：大家上午好!我说课的题目是《柱体、锥体、台体的表面积与体积》，下面我将从教材的地位和作用，内容分析，教学目标及重难点，教法和学法以及教学过程等几个方面进行阐述。
一．教材的地位和作用《柱体、锥体、台体的表面积与体积》是新人教版高中数学必修2第一章第3节的第一小节。
本节内容是在学生已从结构特征和视图两个方面感性认识空间几何体的基础上，进一步从度量的角度来认识空间几何体，它属于立体几何入门的内容，所以教学的目的在于使学生了解空间几何体的表面积和体积的计算方法，但不要求记忆公式，并能进一步计算简单组合体的表面积和体积。
二．内容分析本节一开始的“思考”从学生熟悉的正方体和长方体的展开图入手，分析展开图与其表面积的关系，其作用有二：一，复习表面积的概念，即表面积是各个面的面积的和；二，介绍求表面积的方法，即把它们展成平面图形，通过求平面图形的面积的方法，求立体图形的表面积，然后通过“探究”和“思考”引导学生探究柱体，锥体，台体的展开图，并在讨论过程中归纳圆柱，圆锥和圆台的表面积公式，在整个表面积研究过程中，教材都传达了将立体问题平面化的思想，因此在表面积教学过程中应注意引导学生体会这一点。
关于体积的教学，课本是由初中学过的正方体，长方体及圆柱的体积公式推广到一般柱体的体积公式，然后由三棱柱和三棱锥的关系，得到并推广到一般锥体的体积公式，最后由台体的概念，得出台体的体积公式。
从整体上看，教材体现了探究问题的一般思路，即由特殊到一般，再由一般到具体的应用，因此在教学过程中，我们要注重培养学生的转化和类比的思想，并让学生体会探究问题的乐趣，另外还应通过对圆柱，圆锥和圆台的表面积公式，柱体，锥体和台体的体积公式的统一过程培养学生归纳总结的能力。
三．教学目标和重难点根据以上分析，结合高一学生的特点，我制订了如下教学目标及重、难点：1.知识与技能目标：通过对柱体、锥体、台体的研究，了解柱体、锥体、台体的表面积和体积的求法。
人教版高中数学必修二精品课件：1.3.1柱体、椎体、台体的表面积与体积
圆锥的体积公式：
V 1 Sh （其中S为底面面积，h为高）
3
圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的
1
3
棱锥的体积公式：
V 1 Sh（其中S为底面面积，h为高）
3
棱锥体积等于同底等高的棱柱的体积的
1
3
由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底
面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等 于底面面积乘高的 。1
上底扩大(S
3
SS S)h S S
V 1 Sh 3
例三
有一堆规格相同的铁制（铁的密是 7.8g/cm3）六 角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为 12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽 大约有多少个（π取3.14）？
解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体 积之差，即:
2
3 3
2.（ 辽宁）设某几何体的三视图（单位:cm）如图 所示，（尺寸的长度单位为m）.则该几何体的体 积为_______4_m__3。
正视图
3
俯视图
侧视图
【解析】由三视图知其为三棱锥，由“主左 一样高，主俯一样长，俯左一样宽”可知高 为2，地面三角形的底面边长为4，高为3，则 所求棱锥体积为：
l 2r l 2r
a r(r l ) 3 r 2
r a
3
3. 若圆台的上、下底面半径分别是1和3，它的 侧面积是两底面积和的2倍，则圆台的母线长为
____5_______.
r' O l
rO
S侧 r'l rl 4l
S底 r2 r2 10
4 l 20 l 5
4. 若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，
1.柱体、锥体、台体的表面积 探究 棱柱、棱锥、棱台的展开图是什么？
2014年人教A版必修二课件 1.3 空间几何体的表面积与体积
6 25 5 12
= 2[6 3 (24 + 12)]+ 612 5 + 6p 25 ≈1579.485 (mm2), 10000个零件的表面积约为15794850 mm2, 约合15.795平方米.
2. 如图是一种机器零件, 零件 下面是六棱柱 (底面是正六边形, 侧 面是全等的矩形) 形, 上面是圆柱 (尺寸如图, 单位: mm) 形, 电镀这 种零件需要用锌, 已知每平方米用 锌 0.11 kg, 问电镀 10000个零件需 要锌多少千克? (结果精确到 0.01 kg) 解: 这个零件的表面积为 S = S棱柱表+S圆柱侧
2. 柱体、锥体与台体的体积 问题 1. 还记得正方体、长方体、圆柱和圆锥的 体积公式吗? 由此类推柱体和锥体的体积公式如何? 你想想台体的体积怎样求? 柱体体积: V柱 = Sh (S 为底面面积, h为柱体高). 锥体体积: V锥 = 1 Sh (S 为底面面积, h为柱体高). 3 台体体积: V台 = V大锥体-V小锥体 (S为下底面积, S为上底面积, = 1 ( Sh大 - Sh小 ), 3 h 为台高). h S = ( 小 )2 , h大 - h小 = h, S h大 1 V台 = h( S + SS + S). 3
例 1. 已知棱长为 a, 各面均为等边三角形的四面 体 S-ABC, 求它的表面积. 解: 这四面体的表面是由 4 个全等 的等边三角形组成, A 所以它的表面积 S = 4S△SBC B D 在△SBC中, 边长为 a, SD为BC边上的高. a 2 2 = 3 a, 2 2 则 SD = SB - BD = a - ( ) 2 2 3 a2, 1 3 于是得 S△SBC= 1 BC SD = a a = 4 2 2 2 所以, 这个四面体的表面积为 3 S = 4 a 2= 3a 2 . 4
2019-2020学年数学高中人教A版必修2学案：第一章 空间几何体 本章小结 含解析
课本P36A组第7,9题,B组第1,4题.
课堂小结
参考答案
要点分析
一、三视图与直观图
1.B解析:根据选项A,B,C,D中的直观图,画出其三视图,只有B项符合.
2.B解析:根据水平放置平面图形的直观图的画法,可得原图形是一个平行四边形,如图,对角线OB=2 ,OA=1,则AB=3,所以周长为8.
A. B. C. D.
三、截面问题与剪开问题
一个平面与几何体相交所得的几何图形(包括边界及其内部)叫做几何体的截面,截面的边界叫做截线(或交线).
8.轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球,若圆锥的底面半径为1cm,求球的体积.
9.圆柱的轴截面是边长为5cm的正方形ABCD,圆柱侧面上从A到C的最短距离是多少?
要点分析
一、三视图与直观图
三视图是从三个不同的方向看同一个物体而得到的三个视图.从三视图可以看出,俯视图反映物体的长和宽,正视图反映它的长和高,侧示,则这个几何体的直观图可以是( )
2.如图所示,正方形O'A'B'C'的边长为1,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是( )
四、与球有关的问题
球内有一个几何体,若该几何体是多面体,则多面体的各个顶点都在球面上;若是旋转体,圆在球面上,这个球称为这个几何体的外接球.若在几何体内的球切于该几何体的各个表面,则称之为内切球.
10.已知一个半径为 的球有一个内接正方体(即正方体的顶点都在球面上),求这个球的表面积与其内接正方体的表面积之比.
11.设正方体的表面积为24cm2,一个球内切于该正方体,求这个球的体积.
12.四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为 ,点S,A,B,C,D都在同一个球面上,则该球的体积为.
2022版人教A版高中数学必修第二册--圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
提示:易知长方体的体对角线是外接球的直径,若长方体中过同一顶点的三条棱
长分别为a,b,c,则外接球的半径r2=
1 2
×
a2 b2 c2 ,如图所示.
第1讲 描述运动第的八基章本概念立体几何初步
球与其他几何体的组合问题的解决方法 1.解决与球有关的组合体问题,其关键是作出适当的球的截面: (1)有关球的截面问题,常画出过球心的截面圆,将问题转化为平面中圆的问题. (2)解题时要注意利用以球的半径R,截面圆的半径r,球心到截面的距离d为三边长 的直角三角形,即R2=d2+r2. 2.球与其他几何体经常通过内切、外接等方式构成组合体,主要有球与柱、锥、 台体的组合,即球内切于柱、锥、台体或球外接于柱、锥、台体.作出适当的轴 截面,利用轴截面探究基本量的关系是解题的要点. 3.几个与球有关的切、接问题的常用结论 (1)正方体的棱长为a,球的半径为R,若球为正方体的外接球,则2R= 3a;若球为正 方体的内切球,则2R=a;若球与正方体的各棱相切,则2R= 2a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R= a2 b2 c2. (3)正多面体的内切球和外接球的球心重合,正棱锥的内切球和外接球球心都在 高线上,但不重合.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
提示:旋转得到的几何体为圆柱,该圆柱的底面半径r=1,高h=1,所以其侧面积为 2πrh=2π.
第1讲 描述运动第的八基章本概念立体几何初步
探究与球有关的切、接问题 如图,一个水平放置的无盖正方体容器高为8 cm,将一个球放在容器口,再向容器 内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,若不计容器的厚度,如何求出球 的体积?
第1讲 描述运动第的八基章本概念立体几何初步
高中数学必修2第一章第三节《空间几何体的表面积与体积》全套教案
空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积【教学目标】（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。
（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
（3）培养学生空间想象能力和思维能力。
【教学重点难点】【教学重点】：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算【教学难点】：台体体积公式的推导【学前准备】：多媒体，预习例题（3）初中时，我们已经学习了计算特殊的柱体——正方体、长方体以及圆柱的体积公式：如图，把正方体截去四个角，得到一个体比2a和积此圆柱的底面在圆锥的底面上，圆柱的高等于圆锥底面半径，且圆柱的全面积：圆锥的底面积3:2=．）求圆锥母线与底面多成的角的正切值；（2）圆锥的侧面积参考答案：1. B 2. C 3. 1 , 3 4. A 5. B 6. B 7. 1:3 3a π或32aπ9．已知圆锥有一个内接圆柱此圆柱的底面在圆锥的底面上，圆柱. 三棱锥的外接球问题【教学目标】⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。
⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。
⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。
【教学重难点】【教学重点】：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。
【教学难点】：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。
【学前准备】：多媒体，预习例题4：如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为.类型四：一条测棱垂直底面，底面为非直角三角形的四面体的外接球问题5已知点A,B,C,D,四点在同一个球面上，DA⊥平面ABC,DA=AB=AC=3,∠ABC=60，则球半径是类型五：正三棱锥的外接球问题6：已知正三棱锥底面边长为1，侧棱长为2，求外接球半径。
新课标人教A版高中数学必修2教学案(完整版)
第一章：空间几何体1.1.1柱、锥、台、球的结构特征一、教学目标1．知识与技能（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。
（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
（3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。
（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。
2．过程与方法（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。
（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3．情感态度与价值观（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。
（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。
二、教学重点、难点重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。
难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。
三、教学用具（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。
（2）实物模型、投影仪四、教学思路（一）创设情景，揭示课题1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。
教师对学生的活动及时给予评价。
2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。
根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。
（二）、研探新知1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。
2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。
在此基础上得出棱柱的主要结构特征。
（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。
概括出棱柱的概念。
4．教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。
5．提出问题：各种这样的棱柱，主要有什么不同？可不可以根据不同对棱柱分类？请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？6．以类似的方法，让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念，分类以及表示。
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第一章：空间几何体1.1.1柱、锥、台、球的结构特征一、教学目标1．知识与技能（1）通过实物操作,增强学生的直观感知.（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类.（3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征.（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类.2．过程与方法（1）让学生通过直观感受空间物体,从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征. （2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识.3．情感态度与价值观（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围,增强学生学习的积极性,同时提高学生的观察能力.（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力.二、教学重点、难点重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征.难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括.三、教学用具（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括.（2）实物模型、投影仪四、教学思路（一）创设情景,揭示课题1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物,你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆,举例和相互交流.教师对学生的活动及时给予评价.2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的,（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体）,你能通过观察.根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容.（二）、研探新知1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论,对物体进行分类,分辩棱柱、圆柱、棱锥.2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片,它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？3．组织学生分组讨论,每小组选出一名同学发表本组讨论结果.在此基础上得出棱柱的主要结构特征.（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行.概括出棱柱的概念.4．教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示.5．提出问题：各种这样的棱柱,主要有什么不同？可不可以根据不同对棱柱分类？请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体,并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？6．以类似的方法,让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征,并得出相关的概念,分类以及表示.7．让学生观察圆柱,并实物模型演示,如何得到圆柱,从而概括出圆标的概念以及相关的概念及圆柱的表示.8．引导学生以类似的方法思考圆锥、圆台、球的结构特征,以及相关概念和表示,借助实物模型演示引导学生思考、讨论、概括.9．教师指出圆柱和棱柱统称为柱体,棱台与圆台统称为台体,圆锥与棱锥统称为锥体.10．现实世界中,我们看到的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成.请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体,并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？（三）质疑答辩,排难解惑,发展思维,教师提出问题,让学生思考.1．有两个面互相平行,其余后面都是平行四边形的几何体是不是棱柱（举反例说明,如图）2．棱柱的何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？3．课本P8,习题1.1 A组第1题.4．圆柱可以由矩形旋转得到,圆锥可以由直角三角形旋转得到,圆台可以由什么图形旋转得到？如何旋转？5．棱台与棱柱、棱锥有什么关系？圆台与圆柱、圆锥呢？四、巩固深化练习：课本P7 练习1、2（1）（2）课本P8 习题1.1 第2、3、4题五、归纳整理由学生整理学习了哪些内容六、布置作业课本P8 练习题1.1 B组第1题课外练习课本P8 习题1.1 B组第2题1.2.1 空间几何体的三视图（1课时）一、教学目标1．知识与技能（1）掌握画三视图的基本技能（2）丰富学生的空间想象力2．过程与方法主要通过学生自己的亲身实践,动手作图,体会三视图的作用.3．情感态度与价值观（1）提高学生空间想象力（2）体会三视图的作用二、教学重点、难点重点：画出简单组合体的三视图难点：识别三视图所表示的空间几何体三、学法与教学用具1．学法：观察、动手实践、讨论、类比2．教学用具：实物模型、三角板四、教学思路（一）创设情景,揭开课题“横看成岭侧看成峰”,这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同,要比较真实反映出物体,我们可从多角度观看物体,这堂课我们主要学习空间几何体的三视图.在初中,我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图（正视图、侧视图、俯视图）,你能画出空间几何体的三视图吗？（二）实践动手作图1．讲台上放球、长方体实物,要求学生画出它们的三视图,教师巡视,学生画完后可交流结果并讨论;2．教师引导学生用类比方法画出简单组合体的三视图（1）画出球放在长方体上的三视图（2）画出矿泉水瓶（实物放在桌面上）的三视图学生画完后,可把自己的作品展示并与同学交流,总结自己的作图心得.作三视图之前应当细心观察,认识了它的基本结构特征后,再动手作图.3．三视图与几何体之间的相互转化.（1）投影出示图片（课本P10,图1.2-3）请同学们思考图中的三视图表示的几何体是什么？（2）你能画出圆台的三视图吗？（3）三视图对于认识空间几何体有何作用？你有何体会？教师巡视指导,解答学生在学习中遇到的困难,然后让学生发表对上述问题的看法.4．请同学们画出1.2-4中其他物体表示的空间几何体的三视图,并与其他同学交流.（三）巩固练习课本P12 练习1、2 P18习题1.2 A组1（四）归纳整理请学生回顾发表如何作好空间几何体的三视图（五）课外练习1．自己动手制作一个底面是正方形,侧面是全等的三角形的棱锥模型,并画出它的三视图.2．自己制作一个上、下底面都是相似的正三角形,侧面是全等的等腰梯形的棱台模型,并画出它的三视图.1.2.2 空间几何体的直观图（1课时）一、教学目标1．知识与技能（1）掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图.（2）采用对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点.2．过程与方法学生通过观察和类比,利用斜二测画法画出空间几何体的直观图.3．情感态度与价值观（1）提高空间想象力与直观感受.（2）体会对比在学习中的作用.（3）感受几何作图在生产活动中的应用.二、教学重点、难点重点、难点：用斜二测画法画空间几何值的直观图.三、学法与教学用具1．学法：学生通过作图感受图形直观感,并自然采用斜二测画法画空间几何体的过程.2．教学用具：三角板、圆规四、教学思路（一）创设情景,揭示课题1．我们都学过画画,这节课我们画一物体：圆柱把实物圆柱放在讲台上让学生画.2．学生画完后展示自己的结果并与同学交流,比较谁画的效果更好,思考怎样才能画好物体的直观图呢？这是我们这节主要学习的内容.（二）研探新知1．例1,用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图,由学生阅读理解,并思考斜二测画法的关键步骤,学生发表自己的见解,教师及时给予点评.画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置,因为多边形顶点的位置一旦确定,依次连结这些顶点就可画出多边形来,因此平面多边形水平放置时,直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法.强调斜二测画法的步骤.练习反馈根据斜二测画法,画出水平放置的正五边形的直观图,让学生独立完成后,教师检查.2．例2,用斜二测画法画水平放置的圆的直观图教师引导学生与例1进行比较,与画水平放置的多边形的直观图一样,画水平放置的圆的直观图,也是要先画出一些有代表性的点,由于不能像多边那样直接以顶点为代表点,因此需要自己构造出一些点.教师组织学生思考、讨论和交流,如何构造出需要的一些点,与学生共同完成例2并详细板书画法.3．探求空间几何体的直观图的画法（1）例3,用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体ABCD-A’B’C’D’的直观图.教师引导学生完成,要注意对每一步骤提出严格要求,让学生按部就班地画好每一步,不能敷衍了事.（2）投影出示几何体的三视图、课本P15图1.2-9,请说出三视图表示的几何体？并用斜二测画法画出它的直观图.教师组织学生思考,讨论和交流完成,教师巡视帮不懂的同学解疑,引导学生正确把握图形尺寸大小之间的关系.4．平行投影与中心投影投影出示课本P17图1.2-12,让学生观察比较概括在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形的各自特点.5．巩固练习,课本P16练习1（1）,2,3,4三、归纳整理学生回顾斜二测画法的关键与步骤四、作业1．书画作业,课本P17 练习第5题2．课外思考课本P16,探究（1）（2）1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积一、教学目标1、知识与技能（1）通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法.（2）能运用公式求解,柱体、锥体和台全的全积,并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系.（3）培养学生空间想象能力和思维能力. 2、过程与方法（1）让学生经历几何全的侧面展一过程,感知几何体的形状.（2）让学生通对照比较,理顺柱体、锥体、台体三间的面积和体积的关系. 3、情感与价值通过学习,使学生感受到几何体面积和体积的求解过程,对自己空间思维能力影响.从而增强学习的积极性. 二、教学重点、难点重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算 难点：台体体积公式的推导 三、学法与教学用具1、学法：学生通过阅读教材,自主学习、思考、交流、讨论和概括,通过剖析实物几何体感受几何体的特征,从而更好地完成本节课的教学目标.2、教学用具：实物几何体,投影仪 四、教学设想1、创设情境（1）教师提出问题：在过去的学习中,我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式,哪些几何体可以求出表面积和体积？引导学生回忆,互相交流,教师归类.（2）教师设疑：几何体的表面积等于它的展开圈的面积,那么,柱体,锥体,台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？引入本节内容.2、探究新知（1）利用多媒体设备向学生投放正棱柱、正三棱锥和正三棱台的侧面展开图（2）组织学生分组讨论：这三个图形的表面由哪些平面图形构成？表面积如何求？ （3）教师对学生讨论归纳的结果进行点评. 3、质疑答辩、排难解惑、发展思维（1）教师引导学生探究圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的结构,并归纳出其表面积的计算公式:)''22rl l r r r S +++=（圆台表面积πr 1为上底半径 r 为下底半径 l 为母线长（2）组织学生思考圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系.（3）教师引导学生探究：如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥？由此加深学生对等底、等高的锥体与柱体体积之间的关系的了解.如图：（4）教师指导学生思考,比较柱体、锥体,台体的体积公式之间存在的关系.(s ’,s 分别我上下底面面积,h 为台柱高) 4、例题分析讲解（课本）例1、 例2、 例3 5、巩固深化、反馈矫正 教师投影练习1、已知圆锥的表面积为 a ㎡,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面直径为 . （答案：m a ππ332） 2、棱台的两个底面面积分别是245c ㎡和80ｃ㎡,截得这个棱台的棱锥的高为35cm,求这个棱台的体积. （答案：2325cm 3）6、课堂小结本节课学习了柱体、锥体与台体的表面积和体积的结构和求解方法及公式.用联系的关点看待三者之间的关系,更加方便于我们对空间几何体的了解和掌握. 7、评价设计习题1.3 A 组1.3§1.3.2 球的体积和表面积一. 教学目标１． 知识与技能错误!未找到引用源。
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A.134
图8
B.73
C．14
D．7
►一个没有几分诗人气的数学家永远成不了一个完全的数学家。—— 维尔斯特拉斯 ►历史使人贤明,诗造成气质高雅的人,数学使人高尚,自然哲学使人 深沉,道德使人稳重,而伦理学和修辞学则使人善于争论。——培根 ►在现实中,不存在像数学那样有如此多的东西,持续了几千年依然是 确实的如此美好。——苏利文确。 ►宇宙的伟大建筑是现在开始以纯数学家的面目出现了。J·H·京斯 ►新的数学方法和概念,常常比解决数学问题本身更重要。——华罗 庚 ►数学是无穷的科学。――赫尔曼外尔 ►上帝是一位算术家。——雅克比
重点 柱、锥、台体的体积公式 1．柱体的体积公式是 V＝Sh.
2．锥体的体积公式是 V＝13Sh. 3．台体的体积公式是 V＝13(S′＋ S′S＋S)·h.
解决用料问题 例 1：牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合 体，尺寸如图 1，请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需 要多少平方米的篷布(精确到 0.01 m2)?
1．3.2 柱体、锥体、台体的体积
1．长方体相交于一点的三个面面积分别为 6 cm2，8 cm2，
12 cm2，则长方体体积为( A )
A．24 cm3
B．6 cm3
C．40 cm3
D．48 cm3
解析：设各边边长分别为 a、b、c，由已知有：ab＝6，ac ＝8，bc＝12，故 a＝2，b＝3，c＝4.故 V＝24.也可以三式相乘
图3
思维突破：依题意，如图 4，则长方体体积为：4×4×3＝ 48.
图4 答案：48
2－1.(2010 年陕西)若某空间几何体的三视图如图 5，则该 几何体的体积是( B )
图5
A．2
B．1
C.23
D.13
对长方体对角线的理解 例 3：一个长方体全面积是 20 cm2，所有棱长的和是 24 cm， 求长方体的对角线的长． 解：设长方体同一个公共顶点的三条棱分别为 a、b、c， 有a2a＋c＋b＋2bcc＝＋62ab＝20 ， 所以对角线长为 a2＋b2＋c2＝ 16＝4.
3－1.已知长方体中，有一个公共顶点的三个面面积分别为 2，3，6，求长方体的体积及对角线的长．
解：设长方体同一个公共顶点的三条棱分别为 a、b、c，
ab＝2 有ac＝3
bc＝6
，有(abc)2＝36，所以 V＝abc＝6；
cb＝＝32 a＝1
，所以对角线长为 12＋22＋32＝ 14.
例 4：已知某几何体的俯视图是如图 6 中的矩形，正视图是 一个底边长为 8、高为 4 的等腰三角形，侧视图是一个底边长为 6、高为1.22＋2.52， 其侧面积为 S1＝π×52× 1.22＋2.52. 下部分圆柱体的侧面积为 S1＝π×5×1.8. 所以，搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为
S＝S1＋S1＝π×52× 1.22＋2.52＋π×5×1.8 ≈50.06(m2)．
正确运用锥体和柱体的侧面积计算公式， 解决制作壳形几何体时的用料问题. 注意区分是面积计算，还是 体积计算．
图7
(1)几何体的体积为 V＝13·S 矩形·h＝13×6×8×4＝64. (2)正侧面和相对侧面底边上的高为 h1＝ 42＋32＝5，左、 右侧面的底边上的高为 h2＝ 42＋42＝4 2. 故几何体的侧面积为
S 侧＝2·12×8×5＋12×6×4
2＝40＋24
2.
4－1.(2010 年广东中山调研)已知一个空间几何体的三视图 及其尺寸如图 8，则该空间几何体的体积是( A )
图6 (1)求该几何体的体积 V； (2)求该几何体的侧面积 S.
错因剖析：对几何体的形状想象不准确，导致解答错误． 正解：由题设可知，几何体是一个高为4 的四棱锥，其底 面是长、宽分别为8 和6 的矩形，正侧面及其相对侧面均为底 边长为8，高为 h1 的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6， 高为 h2 的等腰三角形如图7.
1－1.如图 2，正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 4，点 P、 Q 在棱 CC1 上，PQ＝1，则三棱锥 P－QBD 的体积是( A )
A.
8 3
C．8
图2
B.
4 3
D．与 P 点位置有关
由三视图求几何体体积 例 2：长方体被一平行于棱的平面截成体积相等的两个几何 体，其中一个几何体俯视图(正上方观察)，正视图(正前方观察)， 侧视图(左侧正前方观察)如图 3，则长方体的体积为________．
得(abc)2＝242.故 V＝24.
2．轴截面(过圆锥顶点和底面中心的截面)是直角三角形的 64
圆锥的底面半径为 4，则该圆锥的体积为___3__π_.
3．已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为 1 cm，2 cm， 3 cm，则此棱锥的体积为___1_.
4．将圆锥的侧面展开恰为一个半径为 2 的半圆，则圆锥的 体积是__3_3_π_.