二次函数在区间上的6种最值问题

值域为 , 4
如 : y x 2 2 x 3 ( x 1) 2 4
另外也可以从函数的图象上去理解。
2 1 0 -1
2 1 1 2 3
2
b 4ac b2 A( , ) 2a 4a
-1
b 4ac b A( , ) 2a 4a
-1
0 -1
1
2
3
二、定义域不为R的二次函数的最值
-1 o
a 2
a x
例4 求函数y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上的最大值 a 解:函数图象的对称轴方程为x= ,又x∈[-1,a]
a 1 1 故a>-1, 2 > - 2 ,∴对称轴在x= - 2 的右边. a ∴(1)当 -1< 2 ≤a时,即a≥0时 , 由二次函数图象 2 a a 可知: ymax =f ( )= 4 y 2 a a2 (2)当a< 时,即-1<a<0时, 4 2 2
2.当1<a<2时,函数在[0,1]上单 调递减,在[1,a]上单调递增, ∴当x=1时,ymin=2;当x=0时，ymax=3
3.当a≥2时 ,函数在[0,1]上单调 递减,在[1，a]上单调递增, ∴当x=1时,ymin=2, 当x=a时,ymax= a2-2a+3
y
3 2 o 1 2 x a
四、动函数定区间的二次函数的最值
例1、 当x∈(2,3] 时, 求函数 y x 2 2 x 3 的值域
从图象上观察得到当x (2, 3] 时y [0, 3
(1,4)
4
y
3
练习
在下列条件下求函数 y x 2 x 3的值域
2
2
1
(1) x [ 1, 4)
x
-1
1
2
3
4
答(1) y [2,11)
三、定函数动区间的二次函数最值域
例2 求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最 值，并求此时x的值。 解:函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上 1.当0<a≤1时，函数在[0，a]上单调递减，
y
∴当x=0时，ymax=3 当x=a时，ymin=a2-2a+3
3 2
o a 1 x
例2 求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最 值，并求此时x的值。 解:函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上 1.当a≤1时，函数在[0，a]上单调递减， ∴当x=0时，ymax=3 y 当x=a时，ymin=a2-2a+3
一、定义域为R的二次函数的最值 求二次函数y ax2 bx ca 0当x R时的值域是先把它配方
2 b 4 ac b 为y a x 2a 4a 2
4ac b 2 4ac b 2 当a 0时y , ;当a 0时, 值域为 , ; 4a 4a
由二次函数的图象可知: -1 ymax =f (a)=0 综上所述:当-1<a<0时, ymax =0 当 a≥0时,ymax =
a2 4
x
a
o
a 2
课堂小结：
对于求有限闭区间上的二次函数的最值问题， 关键抓住二次函数图象的开口方向，对称轴及
定义区间，应用数形结合法求解。
思考讨论： 1、已知函数f x x 2ax 1
(1)求g a 的函数表达式；（2）求g a 的最大值。
a0
时，
1
ymax f (1) a 4 ymin f (0) 3
图（2）
例3、求
x
f ( x) x2 ax 3 在
a 2
0 x 1
上的最值。
3、由图（3）得： 当 0
a 2 1 ，即1 a 0 时， 2
0
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1 2
1
ymax f (1) a 4 ymin
a 解:函数图象的对称轴方程为x= ,又x∈[-1,a] 2 a 1 1 故a>-1, 2 > - 2 ,∴对称轴在x= - 2 的右边. a ∴(1)当 -1< 2 ≤a时,即a≥0时,由二次函数图象
y
可知: ymax =f (2)当a<
a 2
2 a a ( )= 4 2
a2 4
时,即-1<a<0时,
2
2 2
在区间[ 1， 2上的最大值为4，求a的值。
2、不等式9 x 6ax a 2a 6 0 1 1 在 x 内恒成立，求实数 a的取值范围。 3 3
2
3、已知函数f x 2 x 2ax 3
在区间[ 1， 1上有最小值，记作 g a
2.当1<a<2时,函数在[0,1]上单 调递减,在[1,a]上单调递增, ∴当x=1时,ymin=2 当x=0时，ymax=3
3 2 o 1 a 2 x
例2 求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最 值，并求此时x的值。 解:函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上 1.当a≤1时，函数在[0，a]上单调递减， ∴当x=0时，ymax=3;当x=a时，ymin=a2-2a+3
a 2
图（3）
a a2 f ( ) 3 2 4
4、由图（4）得：
x
1 a 1 ，即 2 a 1时， 当 2 2
1 2
1
ymax f (0) 3 ymin
图（4）
a a2 f ( ) 3 2 4
五、动函数动区间的二次函数的最值 例4 求函数y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上的最大值
例3、求
f ( x) x2 ax 3 在
a 2
0 x 1
上的最值。
x
0
1、由图（1）得： a 1 当 ，即 2
1
ymax ymin
a 2 时， f (0) 3 f (1) a 4
图（1）
a x 2
0
2、由图（2）得： a 0 ，即 当 2