二次函数的区间最值及应用教师版

二次函数的区间最值及应用模块一：二次函数的区间最值1．定轴定区间对于二次函数2(0)y ax bx c a =++>在m x n ≤≤上的最值问题（其中a 、b 、c 、m 和n 均为定值，max y 表示y 的最大值，min y 表示y 的最小值）（1）若自变量x 为全体实数，如图①，函数在2bx a=-时，取到最小值，无最大值．（2）若2bn a <-，如图②，当x m =，max y y =；当x n =，min y y =．（3）若2bm a >-，如图③，当x m =，min y y =；当x n =，max y y =．（4）若2b m n a -≤≤，22b b n m a a +>--，如图④，当2bx a=-，min y y =；当x n =，max y y =．2．动轴或动区间对于二次函数2(0)y ax bx ca =++>，在m x n ≤≤（m ，n 为参数）条件下，函数的最值需要分别讨论m ，n 与2ba-的大小．模块二：二次函数的应用 1．常见应用题类型按照考频从高到低可以分为： （1）经济利润类问题； （2）方案选择类问题； （3）行程问题；（4）数学建模类问题； （5）工程问题。

2．解应用题的关键在于审题，理解题意，尤其是一些条件范围的限制。

然后再列出相应的方程、不等式、一次函数、二次函数关系式求解。

其中二次函数求最值是最常见的考点，在求最值的过程中一定要注意自变量的取值范围。

b分别求出在下列条件下，函数2231y x x =-++的最值：（1）x 取任意实数；（2）当20x -≤≤时；（3）当13x ≤≤时；（4）当12x -≤≤时．【解析】（1），∴当时，函数的最大值为，无最小值；（2）∵在右侧，∴当时，函数取得最大值1；当时，函数取得最小值；（3）∵在左侧，∴当时，函数取得最大值2；当时，函数取得最小值；（4）∵，且，∴当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值．【教师备课提示】这道题主要讲解最值的求法（1）配方，求对称轴，（2）画草图．试求(1)(2)(3)(4)5y x x x x =+++++在33x -≤≤的最值．【解析】令，则有222(54)(56)5(4)(6)51029y x x x x t t t t =+++++=+++=++∵当时，的取值范围是， ∴原题转化为当时，求的最大值和最小值． ∵，故当时，．而当解得：，又∵，∴当时，． 当时，；当时，，而， ∴当时，即时，．【教师备课提示】这道题主要是高次函数利用换元转化为二次函数区间最值.2317248y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭34x =17834x =20x -≤≤0x =2x =-13-34x =13x ≤≤1x =3x =8-3124-≤≤331244-->-34x =1781x =-4-25t x x =+33x -≤≤t 25244t -≤≤25244t -≤≤21029y t t =++()254y t =++5t =-min 4y =255x x -=+1,2552x -±=33x -≤≤552x -+=min 4y =254t =-9516y =24t =845y =9845516>24t =3x =max 845y =已知函数222y x x =-+在1t x t +≤≤范围内的最小值为s ，写出函数s 关于t 的函数解析式．【解析】二次函数的对称轴是，①当时，对称轴在左边，∴；②当，即时，最小值s 在顶点处取得，∴； ③当，即时，对称轴在右边，∴．综上所述：．【教师备课提示】这道题讲解动区间最值的求法（1）配方，求对称轴，（2）画草图，（3）分类讨论．已知函数22962y x ax a a =---+在区间1133x -≤≤有最大值3-，求实数a 的值．【解析】因为2923a y x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，，它的对称轴是直线，（1）当133a -<-时，即时，y 在区间随着x 的增加而减少，这时，当13x =-时，函数的最大值是，∴．得．因，故．（2）当11333a -≤-≤时，即时，这时，当3ax =-时，函数的最大值是，∴得，这与矛盾．（3）当，即时，y 在区间随着增加而增加，这时，当13x =时，函数的最大值是，∴，得．因为，故． 综上所述，满足题意的为或．【教师备课提示】这道题主要讲解动轴最值的求法，和动区间最值求法一样．222y x x =-+1x =1t >x t =222s t t =-+11t t +≤≤01t ≤≤1s =11t +<0t <1x t =+21s t =+221(0)1(01)22(1)t t s t t t t ⎧+<⎪=⎨⎪-+>⎩≤≤1133x -≤≤3a x =-1a >1133x -≤≤241a a -+-2413a a -+-=-26a =±1a >26a =+11a -≤≤2a 23a =-32a =-11a -≤≤133a ->1a <-1133x -≤≤x 21a --213a --=-2a =±1a <-2a =-a 26+2-若函数211322y x =-+在区间()a x b b a ≤≤>上的最小值为2a ，最大值为2b ．求a 、b的值．【解析】函数的对称轴为，下面分三种情况加以讨论：（1）若时，即函数在区间上单调递减，有 ，解得． （2）若时，则由函数图象知，函数在a x ≤≤0上单调递增，在x b 0≤≤上单调递减，因此在处有最大值2b ，即，得．而函数的最小值在或处取得，又由于，并且当时，21131339024232y ⎛⎫=-+=> ⎪⎝⎭， 故函数的最小值在处取得，则有，解得或（舍去）．从而．（3）当时，即函数在区间上单调递增，有 ． 由于a 、b 是方程的两个根，又因为两根之积为负数，即两根异号，这与矛盾，故不存在．综上所述，得或．【教师备课提示】例题5和例题6是在动轴或动区间的基础上添加计算量，锻炼孩子们分类讨论的能力和综合计算的能力．0x =0a b <≤a x b ≤≤22113222113222a b b a⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩13a b =⎧⎨=⎩0a b <<0x =1322b =134b =x a =x b =0a <x b =x a =2113222a a =-+217a =--217a =-+217134a b ⎧=--⎪⎨=⎪⎩0a b <≤a x b ≤≤22113222113222a ab b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩2113222x x -+=0a b <≤13a b =⎧⎨=⎩217134a b ⎧=--⎪⎨=⎪⎩设23y x ax a =++-，当22x -≤≤时，y 的最小值不小于0，求实数a 的取值范围．【解析】，对称轴是2a x =-．①当，即时，二次函数在时取得最小值．由，得，这与矛盾，此时a 不存在．②当，即时，二次函数在时取得最小值．由，此时．③当，即时，二次函数在时取得最小值．由，得，此时． 综上所述，a 的取值范围是．某超市销售某种玩具，进货价为20元．根据市场调查：在一段时间内，销售单价是30元时，销售量是400件，而销售单价每上涨1元，就会少售出10件玩具，超市要完成不少于300件的销售任务，当销售单价定为多少元时，可以获得最大利润，最大利润是多少元？【解析】设销售单价应定为x 元，销售利润为y 元，根据题意可得：(20)[40010(30)]y x x =--- (20)(70010)x x =--21090014000x x =-+- 210(45)6250x =--+，∵超市要完成不少于300件的销售任务， ∴40010(30)300x --≥，解得：40x ≤，即40x =时，销量为300件，此时利润最大为：210(4045)62506000--+=（元），故销售单价应定为40元时，销售利润最大，最大为6000元．【教师备课提示】这道题主要锻炼孩子们提取信息的能力，每每问题也是各学校的高频考点．22324a a y x a ⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭22a-<-4a >2x =-73a -730a -≥73a ≤4a >222a --≤≤44a -≤≤2a x =-234a a --22304120624a a a a a --⇔+-⇔-≥≤≤≤42a -≤≤22a->4a <-2x =7a +70a +≥7a -≥74a -<-≤72a -≤≤0九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第(190)x x ≤≤天的售价与销量的相关信息如下表：时间x （天） 150x ≤< 5090x ≤≤售价（元/件） 40x +90每天销量（件）2002x -已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y 元． （1）求出y 与x 的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．【解析】（1）当150x ≤<时，2(2002)(4030)21802000y x x x x =-+-=-++，当5090x ≤≤时，(2002)(9030)12012000y x x =--=-+，综上所述：221802000(150)12012000(5090)x x x y x x ⎧-++≤<=⎨-+≤≤⎩；（2）当150x ≤<时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为45x =，当45x =时，22451804520006050y =-⨯+⨯+=最大， 当5090x ≤≤时，y 随x 的增大而减小， 当50x =时，6000y =最大，综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元； （3）当150x ≤<时，2218020004800y x x =-++≥，解得2070x ≤≤， 因此利润不低于4800元的天数是2050x ≤<，共30天； 当5090x ≤≤时，120120004800y x =-+≥，解得60x ≤，因此利润不低于4800元的天数是5060x ≤≤，共11天，所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元． 【教师备课提示】这道题主要锻炼孩子们分类讨论及综合计算能力．【解析】（1）当时，的最小值是； （2）由图像可知：当时，函数单调递增，当时，y最小，且，当时，y 最大，且． （3）由图像可知：当时，函数是先减后增，∴当，y 最小，且．∵当时，当时，，∴当时，y 最大，且．（4）由函数图像开口向上，且，故当时，y 取最大值为11，当时，y 取最小值为1．已知函数242y x x =-+在1t x t +≤≤范围内的最小值为s ，写出函数s 关于t 的函数解析式．【解析】二次函数242y x x =-+的对称轴是2x =，①当2t >时，对称轴在x t =左边，∴242s t t =-+；②当21t t ≤≤+，即12t ≤≤时，最小值s 在顶点处取得，∴2s =-；③当12t +<，即1t <时，对称轴在1x t =+右边，∴221s t t =--． 综上所述：2242(2)2(12)21(1)t t t s t t t t ⎧-+>⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪--<⎪⎩．112224b x a -=-=-=⨯y 4748ac b a -=12x ≤≤221y x x =-+1x =21112y =⨯-+=2x =222217y =⨯-+=01x ≤≤221y x x =-+14x =78y =0x =20011y =⨯-+=1x =211121y =⨯-+=>1x =2y =120<4x -≤≤2x =-0x =0已知函数221y x ax a =-++-在01x ≤≤上有最大值2，求a 的值．【解析】按对称轴进行讨论：当对称轴时，如左图所示． 当时，y 有最大值，max 1y a =-，∴，即，且满足，∴． 当对称轴时，如中图所示，当时，y 有最大值，222max 21y a a a a =-++-=． ∴．解得（∵，舍去）． 当对称轴时，如右图所示．当时，y 有最大值，max 22y a a =-=，且满足，∴．综上可知：或．（16年成都中考）某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x 棵橙子树．（1）直接写出平均每棵树结的橙子个数y （个）与x 之间的关系；（2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？【解析】（1）平均每棵树结的橙子个数y （个）与x 之间的关系为：6005(0120)y x x =-≤<； （2）设果园多种x 棵橙子树时，可使橙子的总产量为w ，xyOa1xyOa 1xyOa10x a =<0x =12a -=1a =-0a <1a =-01x a =≤≤x a =1a -+212a a -+=152a ±=01a ≤≤1x a =>1x =1a >2a =1a =-2a =0则(6005)(100)w x x =-+2510060000x x =-++25(10)60500x =--+， 则果园多种10棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为60500个．某集团公司试销一种成本为每件60元的节能产品，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数图象如图．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围． （2）设该集团公司销售这种节能产品获得利润为W （万元），试求出利润W （万元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；并求出当销售单价定为多少元时，公司可获得最大利润，最大利润是多少万元？ （3）该公司决定每销售一件产品，就抽出5元钱捐给希望工程．若除去捐款后，所获利润不低于450万元，请你确定此时销售单价的范围．【解析】（1）由题意得：63577050k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：1120k b =-⎧⎨=⎩．故y 与x 之间的函数关系式为：120y x =-+，∵成本为每件60元的产品，销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%，∴6084x ≤≤；（2）22(60)(120)1807200(90)900w x x x x x =--+=-+-=--+，∵抛物线开口向下，∴当90x ＜时，w 随x 的增大而增大，而6084x ≤≤，故当84x =时，(8460)(12084)864w =-⨯-=．答：当销售价定为84元/件时，商家可以获得最大利润，最大利润是864元． （3）∵该公司决定每销售一件产品，就抽出5元钱捐给希望工程，∴2(605)(120)1857800w x x x x =---+=-+-，当450w =，则24501857800x x =-+-，解得：175x =，2110x =，而6084x ≤≤，故7584x ≤≤，即所获利润不低于450万元，此时销售单价的范围是：7584x ≤≤．。