支付红利的情形美式看涨期权的价值分析

美式看涨期权的定价一．绪论1.1期权金融衍生产品是一种新型的金融工具，近年来在国际金融市场中发挥了极大的作用。

其价值依附于其它更基本的标的变量。

其中，用于作为标的资产的可以是债券、股票、货币等原生金融工具，可以是其它实物资产，也可以是金融衍生工具本身。

其中远期合约、期货合约和期权是三种最基本的衍生工具。

期权作为最重要的金融衍生工具之一，最早是在上个世纪70年代中期起源于美国。

它作为一种金融创新工具，在防范风险和投机中起着非常重要的作用，并且在近三十年得到了迅猛发展。

股票期权于1973年首次在有组织的交易所内进行交易。

现在，在世界各地的不同交易所中都有期权交易。

银行和其它金融机构同时也进行巨额的期权合约的场外交易。

期权的标的资产包括股票、股票指数、外汇、债务工具、各种商品和期货合约。

期权赋予其持有者做某件事情的权利，持有者不一定必须行使该权利。

这一特点使期权不同于远期和期货，在远期和期货合约中持有者有义务购买或出售该标的资产。

期权又称为选择权，是在期货的基础上产生的一种衍生性金融工具。

从其本质上讲，期权实质上是在金融领域中将权利和义务分开进行定价。

在期权的交易时，购买期权的一方称作买方，而出售期权的一方则叫做卖方；买方即是权利的受让人，而卖方则是必须履行买方行使权利的义务人。

由于期权交易方式、方向、标的物等方面的不同，产生了众多的期权品种。

按期权的权力划分，有看涨期权和看跌期权两种类型。

看涨期权是指期权的买方向期权的卖方支付一定数额的权利金后，即拥有在期权合约的有效期内，按事先约定的价格向期权卖方买入一定数量的期权合约规定的特定商品的权利，但不负有必须买进的义务。

而期权卖方有义务在期权规定的有效期内，应期权买方的要求，以期权合约事先规定的价格卖出期权合约规定的特定商品。

看跌期权是指期权的买方向期权的卖方支付一定数额的权利金后，即拥有在期权合约的有效期内，按事先约定的价格向期权卖方卖出一定数量的期权合约规定的特定商品的权利，但不负有必须卖出的义务。

而期权卖方有义务在期权规定的有效期内，应期权买方的要求，以期权合约事先规定的价格买入期权合约规定的特定商品。

按期权的交割时间划分，有美式期权和欧式期权两种类型。

美式期权是指在期权合约规定的有效期内任何时候都可以行使权利。

欧式期权是指在期权合约规定的到期日方可行使权利，期权的买方在合约到期日之前不能行使权利，过了期限，合约则自动作废。

目前中国新兴的外汇期权业务，类似于欧式期权，但又有所不同，我们将在中国外汇期权业务一讲中详细讲解。

按期权合约上的标的划分，有股票期权、股指期权、利率期权、商品期权以及外汇期权等种类。

1.2 期权价格的影响因素1)相关基础资产的市场价格与敲定价格。

当基础资产价格变化时，期权价格会发生变化。

对于看涨期权，资产价格增加，其它条件不变，期权价格上升；对看跌期权，情况相反；敲定价格在期权的整个寿命中是固定的，在其它条件不变的情况下，对看涨期权，敲定价格越高，买方盈利的可能就越小，因而与期权的价格呈反向变动关系。

对于看跌期权，敲定价格越高，卖方盈利可能性越大，因而与期权价格呈正向关系。

2)期权到期时间。

对美式期权，期权价格与到期日远近呈正相关，到期时间越长，相关资产价格波动的可能性越大，其风险也越大，对期权持有人来说是机会越多，而对期权出售者来说是风险越大，期权价格作为对期权出售者承担风险的补偿，就应该随时间长短而同方向调整。

由于期权也是以对冲为主，履约为辅，故欧式期权一般也服从上述变动规律。

但是由于欧式期权只能在到期履约，因而也可能在买放履约欲望较强时，出现期限越短，权利金越高，期限越长权利金越底的情况。

3)基础资产价格稳定性或者波动幅度基础资产价格是否稳定或者是否易变决定投资者对未来价格变化的把握，具体衡量指标通常是用资产价格的方差或者标准差。

如果一种资产价格非常不稳定，那么这种资产暴涨暴跌的可能性很大，对资产持有人来说，其结果可能会互相抵消，但对期权持有人来说，情况就不同。

4)无风险利率人们投资都是期望获得正的收益，购买期权的投资是期权的价格，无疑这笔权利金也是应该带来收益的。

由于权利金是在期权合约成交时以显见形式支付的，它又反映了投资于期权所丧失的盈利机会。

无风险利率上一由购买期权的机会成本。

在看涨期权中利率越高，机会成本越大，要求期权的收益率越高，所以与权利金呈正向关系；在看跌期权中，利率越高，履约时的收入相对降低，故与权利金呈反向关系。

5)现金红利它主要是对股票期权的价格有影响。

股票价格是随红利支付日期的变化而变化的。

随着支付日期的临近，股票市场价格也趋于上升，股票看涨期权的内涵价值也趋于升高，看跌期权的内涵价值趋于减少。

因此，红利越高，看涨期权的价格越高，看跌期权的价格越低。

本文主要研究离散日期支付红利的情形美式看涨期权的价值分析问题，并给出相应的定价公式。

二．离散日期支付红利时美式看涨期权的定价2.1期权定价模型期权定价模型的建立无非是将上述影响期权价格的诸多因素作为参数来建立起相应的数学模型。

长期以来，人们一直在探索着利用各种因素正确的评估资产风险和期权价格的有效方法。

期权的思想萌芽可追溯到公元前1800年的《汉谟拉比法典》，而早在公元前1200年的古希腊和古腓尼基国的贸易中就已经出现了期权交易的雏形，只不过在当时条件下不可能对其有深刻认识。

公认的期权定价理论创始人是法国数学家 Louis Bachelier 。

1900年，他在博士论文“投机理论”中第一次对股票价格的走势给予了严格的数学描述，提出了Bachelier 模型，该模型为现代期权定价理论奠定了基础，它假设股票价格变是无序的，服从几何布朗运动，假设股票回报率遵循正态分布，得出如下著名的欧式期权定价公式：)()()(),(T K S n T T K S KN T K S SN T S C σσσσ-+---=其中S 代表股票价格，K 为期权执行价格,T 为期权到期日，σ为期权回报率的方差，)(g N 为累计正态分布密度函数，)(g n 为正态分布密度函数。

虽然该模型在求解过程中出现股票价格为负值的情况，而且也没有考虑期权的时间价值，但是他首先提出了股票价格服从几何布朗运动，在理论上是一巨大突破，为以后的研究工作奠定了基础。

在其后近半个多世纪里期权定价理论进展甚微，多数集中在特定的经济计量模型，其代表是Kassouf 模型。

期权定价方面的新发现始于60年代，其中主要的有：Sprenkle 的买方期权价格模型，Boness 的最终期权定价模型，Samuelson 的欧式买方期权模型。

这三个模型虽然都没有突破Louis.Bachelier 的理论假设，但是他们分别在处理风险厌恶度，货币的时间价值，期权的风险水平和股票的风险上做出有意的探索，为现代期权理论的革命性突破打下坚实的基础。

1973 年美国两位伟大的金融理论家和实物家Black.F 与Schole 首次提出并成为Black-Scholes 模型的期权定价公式。

该模型建立在对市场的下列假设之上：（1）允许使用全部所得卖空衍生证券；（2）没有交易费用或税收；（3）在衍生证券的有效期内没有红利支付；（4）不存在无风险套利机会；（5）证券交易是连续的；（6）无风险利率r 为常数且对所有到期日均相同；（7）股票价格遵循下述几何布朗运动：)(t t t dW dt S dS σμ+=其中μ为股票的预期收益率，σ为股票价格波动率，σμ,均为常数。

t dW 为一 个维纳过程，即是：dt dW t ε=ε服从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0的正态分布）。

由此可以得到标的资产为不付红利股票的衍生证券在时刻t 的价格),(t S f 所满足的偏微分方程为：rf S f S S f rS t f =∂∂+∂∂+∂∂222221σ 这就是著名的“Black-Scholes 微分方程”。

该方程的一个重要特性是不包含股票的预期收益率μ，使其独立于投资者的风险偏好。

Black-Scholes 期权定价方法是现代期权定价理论的一大创举。

自从 Black 和 Scholes 的论文发表以后Merton 、Cox 、Ross 与 Ingersoll 又对其进行了深入的研究和扩展，将其推广到诸如股指期权、货币期权、期货期权等众多衍生品的定价之中，从而奠定了期权定价理论的基础。

2.2离散日期支付红利的情形美式看涨期权的定价我们考虑美式看涨期权，其原生资产的价格过程在相邻红利支付日之间服从几何布朗运动。

假定时刻T t t t n <<<<< 210，在每个时刻j t 支付的红利为)(-j j t S a ，其中)(-j t S 表示红利支付之前瞬时的资产价格。

支付红利后的资产价格)(j t S 表示支付前支付前资产价格减去所支付的红利：)()1()()()(--=---=j j j j j j t S a t S a t S t S （2.1） 假设每个n j a j ,,2,1, =是0和1之间的数。

令00=t ，它不是红利支付日。

假设T 也不是红利支付日，尽管修改以下给出的分析使之适用于T 是红利支付日的情形并非难事。

我们将证明：实施美式看涨期权不是最优的选择，除了红利支付前的瞬间有可能是例外。

在相邻红利支付日之间，看涨期权的价格满足布莱克—斯科尔斯——莫顿偏微分方程。

在红利支付日，看涨期权的价格是其内在价格和除息后股价所对应的期权价格这两者的较大值。

对于1+≤≤j j t t t ，我们有：))(21())()((2~~)()(j j t t r t W t W j et S t S --+-=σσ由此可得： ))(21())()((112~1~)()(j j j j t t r t W t W j j et S t S --+-+++=-σσ （2.2）以及 ))(21())()((1112~1~)()1()(j j j j t t r t W t W j j j et S a t S --+-++++-=σσ （2.3） 我们还有))(21())()((2~~)()(n n t T r t W T W n e t S T S --+-=σσ （2.4）考虑时刻T 到期敲定价格为K 的美式看涨期权，对于T t t n ≤≤，贴现资产价格过程)(t S e rT -在~P 下是鞅，且+--))((K t S e rt 是下鞅。

于是T t t K t S e t F K t S e E n rt rT ≤≤-≥-+-+-,))(()](|))(([~ （2.5）这表明：对所有],[T t t n ∈，欧式看涨期权在时刻t 的价格)](|))(([))(,()(~t F K T S e E t S t c t T r n +---= 高于美式看涨期权的内在价值+-))((K t S 。