18届高三理科数学选择填空专练(四)
【数学】2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷 理科数学(四) 含解析
绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（四）本试题卷共2页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．[2018·丹东期末]设集合{}2|M x x x=∈=R ，{}1,0,1N =-，则MN =（ ）A ．{}0B ．{}1C ．{}0,1D ．{}1,0,1-【答案】C 【解析】由题意{}0,1M =，∴{}0,1MN =．故选C ．2．[2018·南阳一中]设i 1i 1z +=-，()21f x x x =-+，则()f z =（ ）A ．iB ．i -C ．1i -+D ．1i --【答案】A班级 姓名 准考证号 考场号 座位号此卷只装订不密封【解析】()21f x x x =-+，()()()()i 11i i 12i i i 1i 11i 2z +--+-====-----，()()()()2i i i 1if z f ∴=-=---+=，故选A ．3．[2018·郴州一中]已知()()22log 111sin13x x f x xx ⎧--<<⎪=⎨π⎪⎩≥，则3122f f ⎛⎛⎫+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭（ ）A ．52B ．52-C ．32-D ．12-【答案】B【解析】()()22log 111sin13x x f x xx ⎧--<<⎪=⎨π⎪⎩≥，223131sin log 122322f f ⎡⎤⎛⎛π⎛⎫⎛⎫⎢⎥∴+=⨯+- ⎪ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2115sin 5log 26422π⎛⎫⎛⎫=π++=--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选B ． 4．[2018·衡水金卷]已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且96=πS ，则5tan a =（ ）A．BC．D．【答案】C【解析】由等差数列的性质可得：()19959692+=π==a a S a ，∴523π=a，则52tan tan3π==a ，故选C ．5．[2018·承德期末]执行如图所示的程序框图，如果输入的100t =，则输出的n =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】A【解析】2+5+14+41+122100S =>，故输出5n =．6．[2018·漳州调研]已知函数()()sin ωϕ=+f x A x (0,0,)2ωϕπ>><A 在一个周期内的图象如图所示，则4π⎛⎫=⎪⎝⎭f （ ）A ．2-B ．2C D ．【答案】C【解析】由图象可知，2A =，5ππππ2882T ω=-==，所以2ω=，由π28f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得ππ22π82k ϕ⨯+=+，k ∈Z ，解得π2π4k ϕ=+，k ∈Z ，因为π2ϕ<，所以π4ϕ=，所以πππ2sin 2444f ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．7．[2018·云南联考]图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一开始输入t输出n 结束k ≤t否是0,2,0S a n ===S S a=+31,1a a n n =-=+边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n 代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（ ）A ．21;n n -B ．21;1nn -+C ．121;n n +- D ．121;1n n +-+ 【答案】D【解析】当1n =时，正方形的个数有0122+个；当2n =时，正方形的个数有12222++个；，则0121222221nn n S +=++++=-个，最大的正方形面积为1，当1n =时，由勾股定理知正方形面积的和为2，以此类推，所有正方形面积的和为1n +，故选D ．8．[2018·六安一中]若P 是圆()()22:331C x y ++-=上任一点，则点P 到直线1y kx =-距离的最大值（ ）A ．4B ．6C．D．【答案】B【解析】由题意得直线1l y kx =-：过定点()0,1A -．圆()()22:331C x y ++-=的圆心为()3,3C -，半径1r =．由几何知识可得当直线l 与直线CA 垂直时，圆心C 到直线l 的距离最大，此时()31433CA k --==--，故34k =，直线l 方程为314y x =-，即3440x y --=．所以圆心C 到直线l 的最大距离为5d ==．故点P 到直线1y kx =-距离的最大值为516dr +=+=．选B ．9．[2018·唐山期末]已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，若()20f -=，则满足()10xf x ->的x 的取值范围是（ ）A ．()(),10,3-∞-B ．()()1,03,-+∞C ．()(),11,3-∞-D ．()()1,01,3-【答案】A 【解析】∵偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，且()20f -=，∴函数()f x 在(),0-∞单调递增，且()20f =．结合图象可得不等式()10xf x ->等价于()010>->⎧⎨⎩x f x 或()010<-<⎧⎨⎩x f x ， 即013>-<⎨<⎧⎩x x 或01<<-⎧⎨⎩x x ，解得03x <<或1x <-． 故x 的取值范围为()(),10,3-∞-．选A ．10．[2018·西北师大附中]已知,x y ∈R ，在平面直角坐标系xOy 中，点,)x y （为平面区域2040y x y x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥≥内任一点，则坐标原点与点,)x y （连线倾斜角小于3π的概率为（ ）A ．116B．16 C．16 D．32【答案】D【解析】不等式组区域2040y x y x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥≥表示的平面区域为M ，即为图中的抛物线2=y x 、y 轴、直线4y =在第一象限内围成的区域，)A，倾斜角小于3π的区域为图中红色阴影部分，()220164d 3S x x '=-=⎰，)20d S x x =-=，由几何概率的计算公式可得S P S =='，故选D ．11．[2018·海南期末]某几何体的直观图如图所示，AB 是O 的直径，BC 垂直O 所在的平面，且10AB BC ==，Q 为O 上从A 出发绕圆心逆时针方向运动的一动点．若设弧AQ 的长为x ，CQ 的长度为关于x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】如图所示，设AOQ θ∠=，则弧长AQ x =，线段()CQ f x =，5xθ=，作OH BQ ⊥于H 当Q 在半圆弧AQB 上运动时，1()2QOH θ∠=π-，2sin2cos 22BQ OQ OQ θθπ-=⨯=⨯，CQ ====，即()f x =5=πx 时，即运动到B 点时y 有最小值10，只有A 选项适合，又由对称性知选A ，故选A ．12．[2018·商丘期末]设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，122F F c =，过2F 作x 轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A ，已知3,2a Q c ⎛⎫⎪⎝⎭，22F Q F A>，点P 是双曲线C 右支上的动点，且11232+>PF PQ F F 恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A．⎫+∞⎪⎪⎝⎭ B ．71,6⎛⎫⎪⎝⎭C．76⎛ ⎝⎭ D．⎛ ⎝⎭ 【答案】B【解析】令x =c代入双曲线的方程可得2b y a =±±，由|F 2Q |>|F 2A |，可得232a b a >，即为32a >22b =2(2c −2a )，即有c e a =<①， 又11232PF PQ F F +>恒成立，由双曲线的定义，可得223++>a PF PQ c c恒成立，由2F ，P ，Q 共线时，2PF PQ +取得最小值232a F Q =，可得3322ac a <+，即有76c e a =<②，由e >1，结合①②可得，e 的范围是71,6⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选：B ． 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2018届高三数学模拟试题选择填空精选四含答案
2018届高三数学模拟试题选择填空精选四1. 已知曲线f (x )=23x 3在点(1,f (1))处的切线的倾斜角为α，则sin 2α−cos 2α2sin αcos α+cos α=( )A. 12B. 2C. 35D. −38 【答案】C【解析】由f ′x =2x 2，得tan α=f ′1 =2，故sin 2α−cos 2α2sin αcos α+cos 2α=tan 2α−12tanα+1=35.故选C.2. 已知数列{a n }为等比数列，且a 2a 3a 4=−a 72=−64，则tan(a 4a 63⋅π)=( )A. − 3B. 3C. ± 3D. − 33【答案】A3.已知函数()ln 38f x x x =+-的零点[]0,x a b ∈，且()1,b a a b N +-=∈，则a b +=（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】A【解析】分析：(2)(3)0()f f f x <⇒在存[]2,3在零点，又()21,53a b a a b N a b b +=⎧-=∈⇒⇒+=⎨=⎩，故选A.考点：函数的零点.4. 右图是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩y 关于测试序号x 的函数图像，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图像，给出下列结论： ①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好； ②二班成绩不够稳定，波动程度较大；③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升． 其中正确结论的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】D【解析】通过函数图象，可以看出①②③均正确.故选D.5.奇函数()f x 满足()10f =，且()f x 在()0,+∞上是单调递减，则()()210x f x f x -<--的解集为（ ）A ．()1,1-B ．()(),11,-∞-+∞C ．(),1-∞-D ．()1,+∞ 【答案】B6. 已知x >0，y >0，且4x +y =xy ，则x +y 的最小值为( ) A. 8 B. 9 C. 12 D. 16 【答案】B【解析】由题意可得：4y +1x =1，则：x +y = x +y 4y +1x=5+4x y+y x≥5+24x y×y x=9，当且仅当x =3,y =6时等号成立，综上可得：则x +y 的最小值为9.本题选择B 选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．7.若A 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤200x y y x 表示的平面区域，则当a 从-2连续变化到1时，动直线a y x =+扫过A 中的那部分区域的面积为（ ）A.1B.1.5C.0.75D.1.75 【答案】D.8. 《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（ ）A. 4立方丈B. 5立方丈C. 6立方丈D. 12立方丈 【答案】B【解析】由已知可将刍甍切割成一个三棱柱和一个四棱锥，三棱柱的体积为3，四棱锥的体积为2，则刍甍的体积为5.故选B.9.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b a B c +=2co s 2，若A B C ∆的面积c S 123=，则ab 的最小值为（ ） A ．21 B ．31 C ．61D ．3【答案】B.【解析】由题意得，2sin cos 2sin 2sin C B A B =+2sin cos 2sin cos C B B C ⇒=12cos sin sin cos 2B C B C ++⇒=-，∴133sin 32412S ab C ab c c ab ===⇒=，∴22222222219291cos (31)022223a b c a b a b ab a b C ab ab ab ab ab ab +-+--=⇒-=≥⇒-≥⇒≥，当且仅当3a b ==时，等号成立，即ab 的最小值是13，故选B.【思路点睛】在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角关系(注意应用A B C π++=这个结论)或边边关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解.10. 已知O 为坐标原点，设F 1,F 2分别是双曲线x 2−y 2=1的左、右焦点，点P 为双曲线左支上任一点，自点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH |=（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 12 【答案】A点睛：对于圆锥曲线问题，善用利用定义求解，注意数形结合，画出合理草图，巧妙转化. 11. 已知数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且a n >0，6S n =a n2+3a ,n ∈N ∗，b n =2a n(2a n −1)(2a n +1−1)，若∀n ∈N ∗,k >T n 恒成立，则k 的最小值是( ) A. 71 B. 149 C. 49 D. 8441 【答案】B【解析】当n =1时，6a 1=a 12+3a 1，解得a 1=3或a 1=0.由a n >0得a 1=3.由6S n =a n 2+3a n ，得6S n +1=a n +12+3a n +1.两式相减得6a n +1=a n +12−a n 2+3a n +1−3a n .所以(a n +1+a n )(a n +1−a n −3)=0. 因为a n >0，所以a n +1+a n >0,a n +1−a n =3.即数列{a n }是以3为首项，3为公差的等差数列，所以a n =3+3 n −1 =3n .所以b n =2a n(2a n −1)(2a n +1−1)=8n(8n −1)(8n +1−1)=17(18n −1−18n +1−1).所以T n =17 18−1−18−1+18−1−18−1+⋯+18−1−18−1 =17 17−18−1 <149.要使∀n ∈N ∗,k >T n 恒成立，只需k ≥149.故选B.点睛：由a n 和S n 求通项公式的一般方法为a n =S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2. 数列求和的常用方法有：公式法；分组求和；错位相减法；倒序相加法；裂项相消法；并项求和. 12．已知定义在R 上的函数)(x f y =满足：函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称，且当(,0),()'()0x f x xf x ∈-∞+<成立('()f x 是函数()f x 的导函数), 若11(sin )(sin )22a f =，(2)(2)b ln f ln =，1212()4c f log =,则,,a b c 的大小关系是（ ）（A ）a b c >>（B ）b a c >>（C ）c a b >>（D ）a c b >> 【答案】A【名师点睛】本题是比较实数的大小，解题的关键是构造新函数()()g x xf x =，它的导数'()g x 可利用已知不等式确定正负，从而确定出单调性，利用对数函数的性质可比较出1sin,ln 2,22的大小，从而得出1(sin ),(ln 2),(2)2g g g 的大小，即,,a b c 的大小，此类问题我们要根据已知及要求的结论构造出恰当的新函数，如()()g x xf x =，()()f x h x x =，()()x p x e f x =，()()xf x q x e =等等．13. 把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面CBD ，形成三棱锥C ABD -的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为（ ）A.12B.C. D. 14 【答案】D14.若函数()()()()()1cos sin cos sin 3sin cos 412f x x x x x a x x a x =-++-+-在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．11,7⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．[)1,1,7⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦D ．[)1,+∞【答案】D 【解析】x a x x a x x f )14()cos (sin 32cos 21)(-+-+=,故/()sin 23(cos sin )f x x a x x =-+- 410a +-≥在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立,令t x x =-cos sin ,则]1,2[),4sin(2--∈-=t x t π,故不等式可化为02432≥-+-a at t 在区间]1,2[--上恒成立,即2)43(2-≤-t a t 在区间]1,2[--上恒成立,因043<-t ,故4322--≥t t a ,令432)(2--=t t t u ,则0)43(23)43(6386)(22222/>--=-+--=t t t t t t u ,故函数432)(2--=t t t u 在区间]1,2[--上单调递增,故14321)1()(2max =--==u t u ,所以1≥a ,应选D. 【易错点晴】三角函数的图象和性质是研究函数的最值问题的重要工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时充分利用题设中提供的有关信息,先运用倍角公式将问题进行化归和转化,再运用导数和换元法将问题化为02432≥-+-a at t 在区间]1,2[--上恒成立.最后通过分离参数化为4322--≥t t a ,再构造函数432)(2--=t t t u 运用求导法则求导,判断函数432)(2--=t t t u 的单调性求出最大值求出a 的范围是)1[∞+.15. 已知平面上的单位向量1e 与2e 的起点均为坐标原点O ，它们的夹角为3π，平面区域D 由所有满足12OP e e λμ=+的点P 组成，其中1{0 0λμλμ+≤≤≤，那么平面区域D 的面积为（ ）A.12B.C.D. 【答案】D16. 已知()92901292x a a x a x a x +=++++ ，则()()2213579246835792468a a a a a a a a a ++++-+++的值为（ ）A. 93B. 103C. 113D. 123 【答案】D【解析】试题分析：由题意得，因为92901292)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+（，两边同时取导数，可得()828123992239x a a x a x a x +=++⋅⋅⋅+，令1x =，得1012392393a a a a ++⋅⋅⋅+=，令1x =-，得1234923499a a a a a -+-+⋅⋅⋅+=，又()221357924683579)2468a a a a a a a a a ++++-+++（ ()12345678912345678923456789)23456789a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++++++++-+-+-+-+（1012393=⨯=，故选D ．【方法点晴】本题主要考查了二项式定理的系数问题及导数的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过二项式的x 赋值，可以简便运算求出答案，属于中档试题，着重考查了二项式系数问题中的赋值法的应用，本题的解答中，先对二项展开式两边同时取导数，分类令1x =和1x =-，即可求得1012392393a a a a ++⋅⋅⋅+=和1234923499a a a a a -+-+⋅⋅⋅+=，从而求解原式子的值．17. 已知定义在R 上的奇函数f x 满足f x +π =f −x ，当x ∈[0,π2]时，f x = x ，则函数g x = x −π f x −1在区间[−3π2,3π]上所有零点之和为（ ）A. πB. 2πC. 3πD. 4π 【答案】D点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．18. 对于使()f x M ≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值叫做()f x 的上确界，若正数,a b R ∈且1a b +=，则122a b--的上确界为（ ） A. 92- B. 92 C. 14D. -4【答案】A【解析】()12122559222222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-++=-++≤-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,当且仅当2b a =时取等号,因此122a b --的上确界为92-,选A. 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.19.已知数列{}n a ，{}n b ，其中{}n a 是首项为3，公差为整数的等差数列，且313a a >+，425a a <+，2log n n a b =，则{}n b 的前n 项和n S 为（ ）A ．8(21)n -B ．4(31)n- C.8(41)3n - D ．4(31)3n- 【答案】C20.函数()sin(2)(,0)2f x A x A πϕϕ=+≤＞的部分图象如图所示，且0)()(==b f a f ，对不同的1x ，[]2,x a b ∈，若)()(21x f x f =，有3)(21=+x x f ，则（ ）A.)(x f 在)12,125(ππ-上是减函数B.)(x f 在)12,125(ππ-上是增函数C.)(x f 在)65,3(ππ上是减函数D.)(x f 在)65,3(ππ上是增函数 【答案】B.【解析】由题意得，2A =，12222x x k ϕϕππ+++=+，k Z ∈，∴122()22x x k πϕπ+=-+，∴1212()2sin(2())2sin(2)=2sin()2sin f x x x x k ϕπϕππϕϕ+=++=-+-=∴sin 2ϕ==3πϕ，∴()2sin(2)3f x x π=+，从而可知B 正确，故选B.【名师点睛】根据sin()y A x ωϕ=+，x R ∈的图象求解析式的步骤：1.首先确定振幅和周期，从而得到A 与ω；2.求ϕ的值时最好选用最值点求：峰点：22x k πωϕπ+=+，谷点：22x k πωϕπ+=-+，也可用零点求，但要区分该零点是升零点，还是降零点，升零点(图象上升时与x 轴的交点)：2x k ωϕπ+=；降零点(图象下降时与x 轴的交点)：2x k ωϕππ+=+(以上k Z ∈)． 21. 对于函数()f x 和()g x ，设(){|0}x f xα∈=，(){|0}x g x β∈=，若存在,αβ，使得1αβ-≤，则称()f x 和()g x 互为“零点相邻函数”，若函数()12x f x e x -=+-与()23g x x ax a =--+互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是（ ） A. []2,4 B. 72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. []2,3【答案】D的一个零点在区间上，则，即，解得；故选D．【难点点睛】本题以新定义函数为载体考查函数的零点的分布范围，属于中档题；解决此类问题的关键在于：正确理解新定义“零点关联函数”，抓住实质，合理与所学知识点建立联系，如本题中新定义的实质是两个函数的零点的差不超过1，进而利用零点存在定理进行求解，这也是学生解决此类问题的难点所在. 22.已知四棱锥S−ABCD的底面是中心为O的正方形，且SO⊥底面ABCD，SA=23，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A. 1B. 2C. 3D. 3【答案】B【解析】设底面边长为a，则高 =12−a22，所以体积V=13a2 =1312a4−12a6，设y=12a4−12a6，则y′=48a3−3a5，令y′=0，解得a=0或a=4，且当0<a<4时，y′>0，当a>4时，y′<0，故y=12a4−12a6在(0,4)上是增函数，在(4,+∞)上是减函数，∴当a=4时，y最大，即体积最大，此时h=2，本题选择B选项.23. 在ΔABC中，三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若(12b−sin C)cos A=sin A cos C，且a=23，ΔABC面积的最大值为__________．【答案】33【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现ab 及b 2、a 2时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 24.定义在R 上的函数()f x 满足()()()(),2f x f x f x f x -=-=-+，且()1,0x ∈-时，()125x f x =+，则()2log 20f =_____________． 【答案】1-【解析】()()42()4f x f x f x T +=-+=⇒=,()2log 20f =()225log 204(log )4f f -= 24log 522541(log )(log )(2)1455f f =--=-=-+=-．【方法点晴】本题考查函数的周期性和函数的奇偶性，涉及转化化归思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型.首先利用()()()(),2f x f x f x f x -=-=-+推出周期为4，将()2log 20f 化为()225log 204(log )4f f -=然后利用奇函数将它转化为25(log )4f =--，从而求得24log 5241(log )(2)155f -=-+=-.在解决此类问题时，应注意利用化归思想，将难化易，将未知化已知.25. 椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，若F 0y +=的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为__________．126.定义：数列{}n a 对一切正整数n 均满足212n n n a a a +++>，称数列{}n a 为“凸数列”，以下关于“凸数列”的说法：①等差数列{}n a 一定是凸数列；②首项10a >，公比0q >且1q ≠的等比数列{}n a 一定是凸数列； ③若数列{}n a 为凸数列，则数列1{}n n a a +-是单调递增数列；④若数列{}n a 为凸数列，则下标成等差数列的项构成的子数列也为凸数列. 其中正确说法的序号是_____________. 【答案】②③④【解析】①中，由等差数列{}n a 的性质可得212n n n a a a +++=，不满足212n n n a a a +++>，所以数列不是“凸数列”；②中，因为数列{}n a 的首项10a >，公比0q >且1q ≠，所以110n n a a q -=>，所以22n n a a ++＝221122n n n n n a a q q a a q a +++=⋅>=，所以数列{}n a 一定是凸数列；③因为数列{}n a 为凸数列，所以数列{}n a 对一切正整数n 均满足212n n n a a a +++>，所以211n n n n a a a a +++->-，所以数列{}1n n a a +-是单调递增数列是正确的；④中，数列{}n a 为凸数列，则下标成等差数列的项构成的子数列也为凸数列是正确的.综上所述，②③④正确．【方法点晴】本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质的应用、熟练新定义“凸数列”的含义，试题有一定的难度，属于难题，此类问题的解答需要紧扣新定义，利用数列的新定义是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，此类问题需要注意解题方法的积累与总结．27. 已知函数f (x )=a ln x +12x 2(a >0)若对任意两个不相等的正实数x 1,x 2都有f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2>2恒成立，则a的取值范围是__________． 【答案】[1,+∞)28. 已知,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，2a =，且s i n s i n s i n 2A B c b C b--=+，则ABC ∆面积的最大值为___．【解析】由正弦定理得2222221πcos 223a b c b b c a b c a bc A A c a b bc --+-=⇒+-=⇒==⇒=+ 2222224b c a bc bc bc +-=≥-⇒≤，当且仅当b c =时取等号，所以1sin 2S bc A ==≤，即ABC ∆29.设n S 为等比数列的前n 项和，则． 【答案】－11【解析】通过，设公比为，将该式转化为，解得2-=q ，代入所求式可知答案11-．【名师点睛】等比数列问题，关键是首项1a 和公比q ，因此在涉及互等比数列问题中，经常把项和和用1,a q 表示出来并解出，然后就可得出通项公式n a 和前n 项和n S ，这称之为基本量法，是我们在解题时要重视的方法．等差数列也有类似的要求．如果涉及到等比数列的和n S ，还有可能要对公比q 进行分类，即分为1q =和1q ≠两类．30.设数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，若117a b +=，3321a b +=，则55a b +=___________. 【答案】35【解析】因为数列{},{}n n a b 都是等差数列，所以数列{}n n a b +也是等差数列，故由等差中项的性质，得()()()5511332a b a b a b +++=+，即()557221a b ++=⨯，解得5535a b +=．【一题多解】设数列{},{}n n a b 的公差分别为12,d d ，因为331112(2)(2)a b a d b d +=+++＝111212()2()72()21a b d d d d +++=++=，所以127d d +=，所以553312()2()35a b a b d d +=+++=.{}n a 2580a a +=52S S =2580a a +=q 08322=+q a a。
2018届全国高三原创试卷(四)数学(理)试题
2018届全国高三原创试卷（四）数学（理科）试卷本试题卷共6页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(6)(4)0}A x x x =-+<，{B x y ==，则A B =（ ）A ．[1,6)-B ．(1,6)-C ．(4,1]--D ．(4,1)--2.已知复数201712i z i=-，则复数z 的虚部为（ ）A ．25-B ．15-C ．15iD ．153.已知点111(,)P x y ，222(,)P x y ，333(,)P x y ，444(,)P x y ，555(,)P x y ，666(,)P x y 是抛物线2:2C y px =（0p >）上的点，F 是抛物线C 的焦点，若12345636PF P F PF P F P F P F +++++=，且12345624x x x x x x +++++=，则抛物线C 的方程为（ ）A ．24y x = B ．28y x = C ．212y x = D ．216y x =4.公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若643a a =，且104S a λ=，则λ的值为（ ）A ．15B ．21 C.23 D ．255.已知5(2)(12)ax x +-的展开式中，含2x 项的系数为70，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．-1 C.2 D ．-26.放烟花是逢年过节一种传统庆祝节日的方式，已知一种烟花模型的三视图如图中的粗实线所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该烟花模型的表面积为（ ）A ．(18πB ．(21π C. (18π D ．(21π 7.已知等边ABC ∆与等边DEF ∆同时内接于圆O 中，且//BC EF ，若往圆O 内投掷一点，则该点落在图中阴影部分内的概率为（ ）A ．3πB ．πC.2πD ．4π8.中国古代算书《孙子算经》中有一著名的问题：今有物，不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二，问物几何？后来，南宋数学家秦九韶在其《数书九章》中对此问题的解法做了系统的论述，并称之为“大衍求一术”，下面程序框图的算法思路源于“大衍求一术”，执行该程序框图，若输入的,a b 的值分别为40，34，则输出的c 的值为（ ）A ．7B ．9 C.20 D ．22 9.已知函数()2sin(2)4f x x π=-，则函数()f x 的单调递减区间为（ ）A ．37[2,2]88k k ππππ++（k Z ∈） B ．3[2,2]88k k ππππ-++（k Z ∈） C. 37[,]88k k ππππ++（k Z ∈） D ．3[,]88k k ππππ-++（k Z ∈） 10.已知双曲线2222:1x y C a b -=（0,0a b >>）的焦距为2c ，直线l 过点2(,0)3a 且与双曲线C 的一条渐近线垂直；以双曲线C 的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆Ω与直线l 交于,M N两点，若3MN c =，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．y =B ．y = C. 2y x =± D ．4y x =± 11.如图（1），五边形PABCD 是由一个正方形与一个等腰三角形拼接而成，其中0120APD ∠=，2AB =，现将PAD ∆进行翻折，使得平面PAD ⊥平面ABCD ，连接,PB PC ，所得四棱锥P ABCD -如图（2）所示，则四棱锥P ABCD -的外接球的表面积为（ ）A ．143π B ．73π C. 283π D ．14π 12.已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，且'2()2()3f x f x +>，(1)1f =，则不等式112()30x f x e --+>的解集为（ ）A ．(1,)+∞B ．(2,)+∞ C. (,1)-∞ D ．(,2)-∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量(1,2)a =-，(3,)b x =，若2a b a ∙=，则x = ．14.已知实数,x y 满足22452x yx y y x+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤-⎩，则1y z x =+的取值范围为 ．15.已知公比为q 的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若312668()S S q S -=，则q 的值为 ．16.已知函数()xf x e =，将函数()f x 的图象向右平移3个单位后，再向上平移2个单位，得到函数()g x 的图象，函数6(1)2,5()42,5x e x x h x e x --+≤⎧=⎨+>⎩，若对任意的[3,]x λ∈（3λ>），都有()()h x g x ≥，则实数λ的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,ab c ，其中a =(cos cos cos )2sin cos b B A C a B C +=（1）若4c =，求sin A 的值；（2）若AB 边上的中线长为2，求ABC ∆的面积. 18. 某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，已知甲、乙两人参加初试，在这8个试题中甲能答对6个，乙能答对每个试题的概率为34，且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响. （1）求甲通过自主招生初试的概率；（2）试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大； （3）记甲答对试题的个数为X ，求X 的分布列及数学期望.19. 已知多面体S ABCD -如图所示，底面ABCD 为矩形，其中DC ⊥平面SAD ，090SAD ∠=，若,,P Q R 分别是,,BC SA AD 的中心，其中2AD CD ==.（1）证明：AD PQ ⊥；（2）若二面角S BR D --SD 的长.20.已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>，且过点(4,1)M .（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线:l y x m =+（3m ≠-）与椭圆C 交于,P Q 两点，记直线,MP MQ 的斜率分别为12,k k ，试探究12k k +是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. 21. 已知函数2()axf x x e =（0a <）.（1）若1a =-，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程； （2）若对任意12,[0,2]x x ∈，2122()11x f x x -≤+恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C 的参数方程为3cos 33sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）已知倾斜角为0135且过点(1,2)P 的直线l 与曲线C 交于,M N 两点，求11PM PN+的值.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()12f x x x =--+.（1）求不等式2()0f x -<<的解集A ； （2）若,m n A ∈，证明：142mn m n ->-.数学（理科）•答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.） 1.【答案】A 【解析】依题意，()(){}{}64046A x x x x x =-+<=-<<，{{}1B x y x x ===≥-，故[)1,6A B =-I ，故选A.2.【答案】D【解析】依题意，()()()2017122121212125i i i i i z i i i i +-+====---+，故复数z 的虚部为15，故选D. 3.【答案】B 【解析】依题意，由抛物线定义可知，1234563x x x x x x p=++++++，故4p =，故抛物线C 的方程为28y x =，故选B. 4.【答案】D【解析】依题意，6411135392a a a d a d a d =⇒+=+⇒=-，其中0d ≠；()10411104532525S a a d a d d d =⇒+=+⇒=⇒=λλλλ，故选D.5.【答案】A【解析】依题意，()()2215522270C aC ⨯-+-=，解得1a =，故选A.6.【答案】D 【解析】依题意，所求表面积为()(22212223212112212πππππππ⨯+⨯⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯⨯+=+，故选D.7.【答案】C【解析】如图，连接OA 交EF 于G ；设OG =则阴影部分面积11622S =⨯⨯=圆O的面积(2212S ππ=⨯=，故所求概率12S P S ===C.8.【答案】C 【解析】运行该程序6,1,0,1r c m n ====；第一次，34,6,4,5,1,1,6a b r q m n c =======；第二次，6,4,2,1,1,6,7a b r q m n c =======；第三次，4,2,0a b r q m n c =======，此时停止运行，故输出的c 的值为20，故选C. 9.【答案】D 【解析】依题意，()2sin 22sin 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()222242++Z k x k k πππππ-≤-≤∈，故()322244++Z k x k k ππππ-≤≤∈，解得()388++Z k x k k ππππ-≤≤∈，故选D. 10.【答案】B【解析】不妨设直线l 的方程为23a y x a b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即2203a x b y a --=；圆心Ω到直线l 的距离为3c=，即2233ac ac c -=，化简可得22320c ac a -+=，解得2c a =，故b =，故双曲线C的渐近线方程为y =，故选B.11.【答案】C【解析】对四棱锥P ABCD -进行补型，得到三棱柱'PAD P BC -如下所示，故四棱锥P ABCD -的外接球球心即为三棱柱'PAD P BC -的外接球球心；故其外接球半径27284433S R πππ==⨯=，故选C.12.【答案】A【解析】因为()()22'3f x f x +>，故()()232'0x xe f x e f x -+>⎡⎤⎣⎦，故(){}23'0xef x ->⎡⎤⎣⎦，令()()23xg x e f x =-⎡⎤⎣⎦，故()g x 在R 上单调递增，因为()()()()11230231x x f x e f x e g x g e --+>⇔->-⇔>⎡⎤⎣⎦，解得1x >，故选A.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13.【答案】1-【解析】依题意，2325a b a x ⋅=⇒-=r r r ，解得1x =-.14.【答案】1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，观察可知，1BD CD y k k x ≤≤+，故1231y x ≤≤+.15.【答案】12【解析】显然1q ≠，否则()126368S Sq S -=不成立，故()126363681802S S q q q q S -=⇒-=⇒=，故q 的值为12.16.【答案】9ln 22+【解析】依题意，()()3322x g x f x e-=-+=+；在同一直角坐标系中分别作出函数()g x 、()h x 的图像如下所示，观察可知，要使得()()h x g x ≥，则有()36422x xe e --+≥+，故294x e -≥，解得29ln 4x -≤，故9ln 22x ≤+，即λ的最大值为9ln 22+.三、解答题（共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.解：（1）依题意，()cos cos cos 2sin cos b B A C a B C +=，故()cos cos cos 2sin cos b B A C b A C +=，所以cos cos cos 2sin cos B A C A C +=， 所以()cos cos cos 2sin cos A C A C A C -++=，即cos cos sin sin cos cos 2sin cos A C A C A C A C -++=，即sin sin 2sin cos A C A C =，因为sin 0A ≠，所以tan 2C =，故sin 5C =可得sin 5sin 42a CA c===；（6分） （2）记AB 边上的中线为CD ，故2CA CB CD +=uu r uu r uu u r，所以()222242=++CD CA CB CA CB CA CB =+⋅uu u r uu r uu r uu r uu r uu r uu r ，结合（1）可知55cos =C，解得CA =uu r ，所以ABC ∆的面积142S ==.（12分） 18.解：（1）依题意，所求概率31462644881114C C C P C C =+=；（3分） （2）乙通过自主招生初试的概率3434313189'444256P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（5分）因为1118914256>，故甲通过自主招生初试的可能性更大.（6分） （3）依题意，X 的可能取值为2,3,4；（7分）()2262483214C C P X C ===；()316248843=147C C P X C ===；()46483414C P X C ===；故X 的分布列为：所以()343234314714E X =⨯+⨯+⨯=. 19.解：（1）取SD 的中点H ，连接QH ，HC ， 因为ABCD 是正方形，所以AD ‖BC ，AD BC =；因为Q,H 分别是SA ,SD 的中点，所以QH ‖AD ,12QH AD =； 又因为PC ‖AD 且12PC AD =，所以QH ‖PC ，QH PC =， 所以四边形QHCP 是平行四边形, 所以PQ ‖HC . 因为所以,,90D DC SD SDA =⋂︒=∠AD ⊥平面SDC ， 又，平面SDC HC ⊂故AD HC ⊥，故AD PQ ⊥；（2）如图，以D 为原点，射线DA ，DC ，DS 分别为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系；设0SD a(a )=>，则()()()0000220S ,,a R ,,B ,,，，1．因为SD ⊥底面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)=m . 设平面SRB 的一个法向量为(,,)x y z =n ，()10 S R ,,a =-u u r ，()120 RB ,,=u u r ，则0,=0.SR RB ⎧⋅=⎪⎨⋅⎪⎩uu ruur n n 即0+2=0x az x y -=⎧⎨⎩，，令x =1，得11,2z y a ==-，所以11(1,,)2a =-n ，由已知，二面角S BR D --所以得cos <,>||||⋅===m nm n m n a =2，所以SD =2．（12分）20.解：（1解得22220,5,15a b c ===，故椭圆C 的方程为221205x y +=； （2）120k k +=，下面给出证明：设()11,P x y ，()22,Q x y ，将y x m =+代入221205x y +=并整理得22584200x mx m ++-=， ()()228204200m m ∆=-->，解得55m -<<，且.3-≠m故1285mx x +=-，2124205m x x -=，则()()()()()()1221121212121414114444y x y x y y k k x x x x --+----+=+=----， 分子=()()()()()()()1221121214142581x m x x m x x x m x x m +--++--=+-+--()()()224208581055m m m m --=---=，故12k k +为定值，该定值为0.21.解：（1）依题意，()2xf x x e -=，()2'2xx f x xex e --=-，故()1'1f e=，又()11f e =，故所求切线方程为()111y x e e -=-，即1y x e=； （2）令()21xg x x =+，故函数()g x 的定义域为R ，()()())'(()x x x x g x x --+==++2222211111． 当x 变化时，()'g x ，()g x 的变化情况如下表：因为(0)0g =，的最小值为(0)0g =； 因为2'()(+2)e axf x ax x =． 因为0a <，令'()0f x =得，10x =，22x a=-．（ⅰ）当22a-≥，即10a -≤<时，在[0,2]上'()0f x ≥，所以函数()f x 在[0,2]上单调递增，所以函数2max [()](2)4e a f x f ==．由24e 1a≤得，ln 2a ≤-，所以1ln 2a -≤≤-．（ⅱ）当202a <-<，即1a <-时, 在2[0,)a-上'()0f x ≥，在2(,2]a -上'()0f x <， 所以函数()f x 在2[0,)a-上单调递增，在2(,2]a -上单调递减，所以max 2224[()]()e f x f a a =-=，由2241e a ≤得，2ea ≤-，所以1a <-．综上所述，a 的取值范围是(,ln 2]-∞-.请考生从第22、23题中任选一题做答. 如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时请写清题号.22.解：（1）依题意，曲线C 的普通方程为()2239x y +-=，即2260x y y +-=，故226x y y +=，故26sin ρρθ=，故所求极坐标方程为6sin ρθ=；（2）设直线1,2:2,x l y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将此参数方程代入2260x y y +-=中，化简可得270t --=，显然0∆>；设,M N 所对应的参数分别为12,t t，故12127,t t t t ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩12121167PM PN t t PM PN PM PN t t +-+====⋅. 23.解：（1）依题意，()3,2,1221,21,3,1,x f x x x x x x ≤-⎧⎪=--+=---<<⎨⎪-≥⎩由2210x -<--<，解得1122x -<<，故11,22A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭； （2）由（1）可知，2211,44m n <<；因为22144mn m n --- ()()()()22222218164241410mn m n m mn n m n =-+--+=-->，故22144mn m n ->-，故142mn m n ->-.智慧上进·名校学术联盟·高三调研考试（五）数学（理科）•答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.） 1.【答案】A 【解析】依题意，()(){}{}64046A x x x x x =-+<=-<<，{{}1B x y x x ===≥-，故[)1,6A B =-I ，故选A.2.【答案】D【解析】依题意，()()()2017122121212125i i i i i z i i i i +-+====---+，故复数z 的虚部为15，故选D. 3.【答案】B 【解析】依题意，由抛物线定义可知，1234563x x x x x x p=++++++，故4p =，故抛物线C 的方程为28y x =，故选B. 4.【答案】D【解析】依题意，6411135392a a a d a d a d =⇒+=+⇒=-，其中0d ≠；()10411104532525S a a d a d d d =⇒+=+⇒=⇒=λλλλ，故选D.5.【答案】A【解析】依题意，()()2215522270C aC ⨯-+-=，解得1a =，故选A.6.【答案】D 【解析】依题意，所求表面积为()(22212223212112212πππππππ⨯+⨯⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯⨯+=+，故选D.7.【答案】C【解析】如图，连接OA 交EF 于G ；设OG =则阴影部分面积11622S =⨯⨯=圆O的面积(2212Sππ=⨯=，故所求概率12122SPSππ===，故选C.8.【答案】C【解析】运行该程序6,1,0,1r c m n====；第一次，34,6,4,5,1,1,6a b r q m n c=======；第二次，6,4,2,1,1,6,7a b r q m n c=======；第三次，4,2,0a b r q m n c=======，此时停止运行，故输出的c的值为20，故选C.9.【答案】D【解析】依题意，()2sin22sin244f x x xππ⎛⎫⎛⎫=-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()222242++Zk x k kπππππ-≤-≤∈，故()322244++Zk x k kππππ-≤≤∈，解得()388++Zk x k kππππ-≤≤∈，故选D.10.【答案】B【解析】不妨设直线l的方程为23ay x ab⎛⎫=-⎪⎝⎭，即223a xb y a--=；圆心Ω到直线l的距离为3c=，即2233ac acc-=，化简可得22320c ac a-+=，解得2c a=，故b=，故双曲线C的渐近线方程为y=，故选B.11.【答案】C【解析】对四棱锥P ABCD-进行补型，得到三棱柱'PAD P BC-如下所示，故四棱锥P ABCD -的外接球球心即为三棱柱'PAD P BC -的外接球球心；故其外接球半径27284433S R πππ==⨯=，故选C.12.【答案】A【解析】因为()()22'3f x f x +>，故()()232'0x xe f x e f x -+>⎡⎤⎣⎦，故(){}23'0xef x ->⎡⎤⎣⎦，令()()23xg x e f x =-⎡⎤⎣⎦，故()g x 在R 上单调递增，因为()()()()11230231x x f x e f x e g x g e--+>⇔->-⇔>⎡⎤⎣⎦，解得1x >，故选A.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13.【答案】1-【解析】依题意，2325a b a x ⋅=⇒-=r r r ，解得1x =-.14.【答案】1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，观察可知，1BD CD y k k x ≤≤+，故1231y x ≤≤+.15.【答案】12【解析】显然1q ≠，否则()126368S Sq S -=不成立，故()126363681802S S q q q q S -=⇒-=⇒=，故q 的值为12.16.【答案】9ln 22+【解析】依题意，()()3322x g x f x e-=-+=+；在同一直角坐标系中分别作出函数()g x 、()h x 的图像如下所示，观察可知，要使得()()h x g x ≥，则有()36422x xe e --+≥+，故294x e -≥，解得29ln 4x -≤，故9ln 22x ≤+，即λ的最大值为9ln 22+.三、解答题（共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.解：（1）依题意，()cos cos cos 2sin cos b B A C a B C +=，故()cos cos cos 2sin cos b B A C b A C +=，所以cos cos cos 2sin cos B A C A C +=， 所以()cos cos cos 2sin cos A C A C A C -++=，即cos cos sin sin cos cos 2sin cos A C A C A C A C -++=，即sin sin 2sin cos A C A C =，因为sin 0A ≠，所以tan 2C =，故sin C =可得sin 5sin 4a CA c===；（6分）（2）记AB 边上的中线为CD ，故2CA CB CD +=uu r uu r uu u r，所以()222242=++CD CA CB CA CB CA CB =+⋅uu u r uu r uu r uu r uu r uu r uu r ，结合（1）可知55cos =C，解得CA =uu r ， 所以ABC ∆的面积142S ==.（12分） 18.解：（1）依题意，所求概率31462644881114C C C P C C =+=；（3分） （2）乙通过自主招生初试的概率3434313189'444256P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（5分）因为1118914256>，故甲通过自主招生初试的可能性更大.（6分） （3）依题意，X 的可能取值为2,3,4；（7分）()2262483214C C P X C ===；()316248843=147C C P X C ===；()46483414C P X C ===；故X 的分布列为：（10分）所以()343234314714E X =⨯+⨯+⨯=.（12分） 19.解：（1）取SD 的中点H ，连接QH ，HC ，因为ABCD 是正方形，所以AD ‖BC ，AD BC =；（2分） 因为Q,H 分别是SA ,SD 的中点，所以QH ‖AD ,12QH AD =；（3分） 又因为PC ‖AD 且12PC AD =，所以QH ‖PC ，QH PC =， 所以四边形QHCP 是平行四边形, 所以PQ ‖HC . 因为所以,,90D DC SD SDA =⋂︒=∠AD ⊥平面SDC ， 又，平面SDC HC ⊂故AD HC ⊥，故AD PQ ⊥；（6分）（2）如图，以D 为原点，射线DA ，DC ，DS 分别为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系；设0SD a(a )=>，则()()()0000220S ,,a R ,,B ,,，，1．因为SD ⊥底面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)=m .（7分） 设平面SRB 的一个法向量为(,,)x y z =n ，()10 S R ,,a =-u u r ，()120 RB ,,=u u r ，则0,=0.SR RB ⎧⋅=⎪⎨⋅⎪⎩uu ruur n n 即0+2=0x az x y -=⎧⎨⎩，，令x =1，得11,2z y a ==-，所以11(1,,)2a =-n ，（9分）由已知，二面角S BR D --所以得cos <,>||||⋅==m nm n m n a =2，所以SD =2．（12分）20.解：（12分）解得22220,5,15a b c ===，故椭圆C 的方程为221205x y +=；（4分） （2）120k k +=，下面给出证明：设()11,P x y ，()22,Q x y ，将y x m =+代入221205x y +=并整理得22584200x mx m ++-=，（6分） ()()228204200m m ∆=-->，解得55m -<<，且.3-≠m故1285mx x +=-，2124205m x x -=，（7分）则()()()()()()1221121212121414114444y x y x y y k k x x x x --+----+=+=----， 分子=()()()()()()()1221121214142581x m x x m x x x m x x m +--++--=+-+--()()()224208581055m m m m --=---=，故12k k +为定值，该定值为0. （12分） 21.解：（1）依题意，()2xf x x e -=，()2'2xx f x xex e --=-，故()1'1f e=，（2分） 又()11f e =，故所求切线方程为()111y x e e -=-，即1y x e=；（3分） （2）令()21xg x x =+，故函数()g x 的定义域为R ，()()())'(()x x x x g x x --+==++2222211111． 当x 变化时，()'g x ，()g x 的变化情况如下表：因为(0)0g =的最小值为(0)0g =；（6分）因为2'()(+2)e axf x ax x =． 因为0a <，令'()0f x =得，10x =，22x a=-． （ⅰ）当22a-≥，即10a -≤<时，在[0,2]上'()0f x ≥，所以函数()f x 在[0,2]上单调递增，所以函数2max [()](2)4e a f x f ==．由24e 1a ≤得，l n 2a ≤-，所以1ln 2a -≤≤-．（9分）（ⅱ）当202a <-<，即1a <-时, 在2[0,)a-上'()0f x ≥，在2(,2]a -上'()0f x <， 所以函数()f x 在2[0,)a-上单调递增，在2(,2]a -上单调递减，所以max 2224[()]()e f x f a a =-=，由2241e a ≤得，2ea ≤-，所以1a <-．（11分）综上所述，a 的取值范围是(,ln 2]-∞-.（12分）请考生从第22、23题中任选一题做答. 如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时请写清题号.22.解：（1）依题意，曲线C 的普通方程为()2239x y +-=，即2260x y y +-=，故226x y y +=，故26sin ρρθ=，故所求极坐标方程为6sin ρθ=；（3分）（2）设直线1,:2,2x l y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），将此参数方程代入2260x y y +-=中，化简可得270t --=，显然0∆>；设,M N 所对应的参数分别为12,t t，故12127,t t t t ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩12121167PM PNt t PM PN PM PN t t +-+====⋅.（10分） 23.解：（1）依题意，()3,2,1221,21,3,1,x f x x x x x x ≤-⎧⎪=--+=---<<⎨⎪-≥⎩由2210x -<--<，解得1122x -<<，故11,22A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（5分） （2）由（1）可知，2211,44m n <<；因为22144mn m n --- ()()()()22222218164241410mn m n m mn n m n =-+--+=-->，故22144mn m n ->-，故142mn m n ->-.（10分）。
【2018新课标-全国通用】最新高考总复习数学(理)下学期第四次高考模拟试题及答案解析
2018届高三四模考试数学（理科）试卷一、选择题（每小题只有一个答案符合题意，每小题5分，共60分）1、设集合A={}2|4,x x > B={}2|230x x x +-< ，则A ∩B=（）A.RB.(2,3)C.(-3,-2)D.(-3,-2)∪(2,+∞) 2、已知i 为虚数单位，（2+i ）z =1+2i ，则z 的共轭复数z =( )A.4355i + B. 4355i - C. 43i + D. 43i - 3、已知1cos()33πα+= ，则cos(2)3πα-=（ ）A. 79B.79- C.19 D.19-4、下列说法正确的是（ ）A ． 在ABC ∆中，AB <是sin sin A B <的充要条件B ． 0a b ⋅< 是 a 与b夹角为钝角的充要条件 C ． 若直线,a b ，平面,αβ满足,a ααβ⊥⊥，,b b αβ⊄⊄则a b ⊥能推出b β⊥ D. 在相关性检验中，当相关性系数r 满足||0.632r >时，才能求回归直线方程5、设,x y 满足约束条件202400x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则3x+2y 的最大值为（ ）A.-1B.4C.223D.86、若输出的i=5,则k 的最小正整数值为（ ） A.88 B.89 C.8095 D.80967、已知1，2，3，4，5，6， 六个数字，排成2行3列，且要求第一行的最大数比第二行的最大数要大，第一行的最小数要比第二行的最小数也要大，则所有的排列方法种数有（ ）A. 144B.480C.216D.432 8、一个三棱锥的三视图如图所示，主视图和俯视图为全等的等腰直角三角形，则该三棱锥的体积为（ ） A.112B.16C.14D.139、已知抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一点，过P 作y 轴的垂线，垂足为M ，若||4,PF = 则PFM ∆的面积为（ ） A.33 B. 43 C. 6 D. 810、已知函数(1)f x +为定义在R 上的偶函数，且当()f x 在[)1,+∞上为增函数，若0.10.1,21,12a b -=-=-，则()f a 与()f b 的大小关系为（）A. ()f a >()f bB. ()f a <()f bC. ()f a =()f bD. ()f a 与()f b 的大小不确定11、三棱锥S-ABC 中，平面SBC ⊥平面ABC ，若SB=SC ，AB=AC=1且∠BAC=120︒,SA 与底面ABC 所成角为60︒,则三棱锥S-ABC 的外接球的表面积为（） A. 2π B.3π C. 4π D.5π12、已知函数()ln 1xf x e mx ex x =--+，且定义域为(]0,e ，若函数()f x 在定义域内有两个极值点，则m 的取值范围为（）A.0,2e e e ⎡⎤-⎣⎦B. (0,2e e e ⎤-⎦C.()0,2e e e - D. ()2,ee e -+∞ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、已知等边ABC ∆的边长为2，M 为AC 中点，N 为BC 中点，AN BM ⋅=___________14、已知函数()sin cos f x a x b x =+ ，若()()4f x f π≤对x R ∈恒成立，则()f x 的单调递增区间为_________________ ()k Z ∈15、已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的左右焦点分别记为12,F F ,若P 为双曲线的渐近线上一点，若1212||||PF PF PF PF +=-,且2||PF a =（a 为实半轴长），求双曲线的离心率____________ 16、在曲线xy=1上，横坐标为1n n +的点为n A ，纵坐标为1nn +的点为n B ，记坐标为 （1，1）的点为M ，n P (,)n n x y 是n n A B M ∆的外心，n T 是{}n x 的前n 项和，则n T =_______________三、解答题（本大题共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 17、已知{}n a 的前n 项和为n S ,且1321n n S S n +=++ ，11a =， （1）求n a （2）若(1)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T18、在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等边三角形，且12AA AB =，D 、M 分别为AB ，1CC 的中点，求证：（1）CD 平面1A BM（2）求二面角1A BM D --的大小的余弦值B 1DMC 1BACA 1第18题图19、2015年2月27日，中央全面深化改革小组审议通过了《中国足球改革总体方案》，中国足球的崛起指日可待！已知有甲、乙、丙三支足球队，每两支球队要进行一场比赛，比赛之间相互独立.（1）若甲、乙、丙三支足球队实力相当，每两支球队比赛时，胜、平、负的概率均为13， 求甲队能保持不败的概率（2）若甲、乙两队实力相当，且优于丙，具体数据如下表若获胜一场积3分，平一场积1分，输一场积0分，记X 表示甲队的积分，求X 的分布列和数学期望20、已知椭圆C:22221(0,0)x y a b a b +=>>的离心率为22，左、右焦点分别为12,F F过1F 作不与x 轴重合的直线1l ，与椭圆C 交于,P Q 两点，若2PQF ∆的周长为42. （1） 求椭圆C 的标准方程（2） 过1F 作与直线1l 垂直的直线2l ，且2l 与椭圆C 交于点,N M 两点，求四边形PMQN 面积的取值范围甲胜乙 甲平乙 甲输乙 概率 1313 13甲胜丙 甲平丙 甲输丙 概率23 16 16乙胜丙 乙平丙 乙输丙概率23 16 16事件 概率事件 概率事件概率21、已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+-- ，a R ∈ （1）若0a =时，求()f x 在1x =处的切线（2）若函数()0f x > 对(1,)x ∀∈+∞恒成立. 求a 的取值范围（3）从编号为1到2015的2015个小球中，有放回地连续取16次小球 （每次取一球），记所取得的小球的号码互不相同的概率为p ，求证：12020111e p>请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 ( 22 ) 选修 4- l ：几何证明选讲己知△ABC 中，AB=AC , D 是△ABC 外接圆劣弧 AC 上的点（不与点A , C 重合），延长BD 至E 。
专题4.1 12道选择 4个填空 备战高三数学考试【2018版】Word版 含解析
第四篇 考前必做小题，提前进入考试状态专题01 12道选择+4个填空一、选择题1．已知集合{}21M x x =<, {}21xN x =>，则M N ⋂=（ ）A. ∅B. {}01x x << C. {}1x x < D. {}1x x < 2．已知z ＝1－3i3＋i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数的虚部为( )A ．－iB ．iC ．－1D ．13．“0m <”是“方程22x my m +=表示双曲线”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件4．如图，圆C 内切于扇形AOB ，∠AOB ＝π3，若向扇形AOB 内随机投掷600个点，则落入圆内的点的个数估计值为( )A ．100B ．200C ．400D ．4505．已知双曲线的中心为原点， ()3,0F 是双曲线的一个焦点，20y -=是双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为（ ）A.2214536x y -= B. 2213645x y -= C. 22154x y -= D. 22145x y -= 6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出S 的值是( )A ．－3B ．－12C ．13D ．27．在△ABC 中，|AB ―→＋AC ―→|＝3|AB ―→－AC ―→|，|AB ―→|＝|AC ―→|＝3，则CB ―→·CA ―→的值为( )A ．3B ．－3C ．－92D ．928．设{a n }是公差不为0的等差数列，满足a 24＋a 25＝a 26＋a 27，则{a n }的前10项和S 10＝( )A ．－10B ．－5C ．0D ．59．【2018江西省K12联盟联考】已知正三棱锥P ABC -内接于球O ，三棱锥P ABC -，且30APO ︒∠=，则球O 的体积为（ ）A.43πB. C. 323π D. 16π 10．【2018湖南省长沙市第一中学模拟】已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线C上，且AK =，则AFK 的面积为 （ ）A. 4B. 6C. 8D. 1211．已知双曲线C ： 22221x y a b -=（0a >， 0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作圆Ω： 2224a x y +=的切线l ，切点为M ，且直线l 与双曲线C 的一个交点N 满足122NF NF a -=，设O 为坐标原点，若12QN OF OM +=，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A. y x =B. y =C. y x =D. y = 12．【2018山西省太原市实验中学模拟】已知数列{}n a 满足()2*1232n n a a a a n N =∈ ，且对任意*n N∈都有12111nt a a a +++< ，则实数t 的取值范围为（ ） A. 1+3⎛⎫∞ ⎪⎝⎭， B. 1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C. 2+3⎛⎫∞ ⎪⎝⎭， D. 2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题13．将4个男生和3个女生排成一列，若男生甲与其他男生不能相邻，则不同的排法数有__________种（用数字作答）14．若())cos ,sin ,1a x x b ==-，且a b ⊥，则tan2x =__________．15．设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为10，则a 2＋b 2的最小值为________．16．已知直线:10l x y +-=截圆()222:0x y rr Ω+=>，点,M N 在圆Ω上，且直线()():12130l m x m y m -'++-=过定点P ，若PM PN ⊥，则MN 的取值范围为__________．【答案】一、选择题 1． 【答案】B【解析】因为{}21M x x =< {}|11x x =-<<, {}21xN x => {}0x x =,所以{}|01M N x x ⋂=<<，故选B.2． 【答案】D【解析】∵z ＝1－3i 3＋i ＝ 1－3i 3－i 3＋i 3－i ＝－10i 10＝－i ，∴z 的共轭复数z －＝i ，其虚部为1.3．4．【答案】C【解析】 如图所示，作CD ⊥OA 于点D ，连接OC 并延长交扇形于点E ，设扇形半径为R ，圆C 半径为r ，∴R ＝r ＋2r ＝3r ，∴落入圆内的点的个数估计值为600·πr216π 3r 2＝400.5． 【答案】D【解析】∵双曲线的中心为原点，F (3,0)是双曲线的−个焦点，∴设双曲线方程为222219x y a a -=-，a >0，20y -=是双曲线的一条渐近线，=a 2=4， ∴双曲线方程为22145x y -=. 6．7．【答案】D【解析】 由|AB ―→＋AC ―→|＝3|AB ―→－AC ―→|，两边平方可得|AB ―→|2＋|AC ―→|2＋2AB ―→·AC ―→＝3|AB ―→|2＋3|AC ―→|2－6AB ―→·AC ―→，又|AB ―→|＝|AC ―→|＝3，∴AB ―→·AC ―→＝92，∴CB ―→·CA ―→＝(CA ―→＋AB ―→)·CA ―→＝CA ―→2＋AB ―→·CA ―→＝CA ―→2－AB ―→·AC ―→＝9－92＝92.8．【答案】C【解析】 由a 24＋a 25＝a 26＋a 27，可得(a 26－a 24)＋(a 27－a 25)＝0，即2d (a 6＋a 4)＋2d (a 7＋a 5)＝0，∵d ≠0， ∴a 6＋a 4＋a 7＋a 5＝0，∵a 5＋a 6＝a 4＋a 7，∴a 5＋a 6＝0， ∴S 10＝10 a 1＋a 102＝5(a 5＋a 6)＝0.9． 【答案】C【解析】10． 【答案】C【解析】过A 作准线2x =-的垂线，垂足为E ，则A E A F==，则在Rt AEK ∆，有45AKE ∠=︒，从45AKF ∠=︒.在AKF ∆中，sin sin sin AF AK AKF AFK AFK==∠∠∠，从而s i n 1AFK ∠=，又()0,AFK π∠∈，从而2AFK π∠=，故4AF p ==， 14482AFK S ∆=⨯⨯=，选C.11． 【答案】C【解析】12ON PF OM += ，故1ON OM OM PF -=- ，即1MN FM =，故点M 为线段1F N 的中点，连接OM ，则OM 为12NF F ∆的中位线，且1,2aO M O M F N =⊥，故22N F OMa ==，且2112,2F N F N NF NF a ⊥-= ，故点N 在双曲线C 的右支上， 13NF a ∴=，则在12Rt NF F ∆中，由勾股定理可得， 2221212NF NF F F +=，即()()22232a a c +=，解得2c a ==故2b a =，故双曲线C 的渐近线方程为y x =，故选C. 12． 【答案】D二、填空题 13．【答案】1440【解析】2515353521440A A A A +⨯=。
2018届全国高三考前密卷(四)数学理科试卷
2018届全国高三考前密卷（四）数学理科试卷（考试用时：120分 全卷满分：150分 ）注意事项：1.答题时，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.选做题的作答：先把所做题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后，请将答题卡上交；第Ι卷（选择题部分，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}{}22|log (2),|540==-=-+<A x y x B x x x ，则AB =A ∅B ()2,4C ()2,1-D ()4,+∞2.在复平面内，复数31ii-对应的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限3.在矩形ABCD 中，2AB AD =，在CD 边上任取一点P ，ABP ∆的最大边是AB 的概率是A B ． C 1 D 1 4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的各个顶点在某一个球面上，则该球的表面积为A．B ．12πC ．48πD．5.设实数,x y 满足22202y x x y x ≤-⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则13y x -+的取值范围是A. 1,5⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ B. 11,53⎛⎤- ⎥⎝⎦ C. 1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. 1,13⎛⎤⎥⎝⎦6.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S 的值等于 A.1B.14C.12D.187．已知数列{n a }满足*331log 1log ()n n a a n ++=∈N ，且2469a a a ++=，则15793log ()a a a ++的值是A 15-B 5-C 5D 158.下列命题中，真命题是A ．x R ∀∈，有ln(1)0x +>B ．22sin 3sin x x+≥(,)x k k Z π≠∈ C ．函数2()2x f x x =-有两个零点 D ．1a >，1b >是1ab >的充分不必要条件9.已知ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为2，且0O A A B A C ++=，则向量CA 在向量CB 方向上的投影为A. 33- D.10.对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为优函数，① 对任意[0,1]x ∈，恒有()0f x ≥；② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则下列函数不是优函数的是A ．2()f x x =B ． ()21x f x =-C ．2()ln(1)f x x =+ D ．2()1f x x =+11．将函数2()2sin cos f x x x x =-(0)t t >个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为 A ．6π B ．3π C ． 2πD ．23π 12．已知12,F F 是双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 的直线l 与E 的左支交于,P Q 两点，若11||2||PF FQ =，且2F Q PQ ⊥，则E 的离心率是A B ． C ． 第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
2018届高三第四次练考数学试题500份
秦岭中学2018届高三年级第四次练考数学试题命题人：王卫审题人：黄志东校对：王卫（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知全集为R，集合A={x|12x⎛⎫⎪⎝⎭≤1}，B={x|x≥2}，A∩(RC B)=( )A．[0，2) B．[0，2] C．(1，2) D．(1，2]2．若复数z满足（1+i）z=2﹣i，则|z|=( )A ．B ．C．2 D ．3．已知函数f（x）=sin2x（x∈R），为了得到函数g（x）=sin（2x+）的图象，只要将y=f（x）的图象( )A ．向左平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度D ．向右平移个单位长度4．平面向量，的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=( ) A ．B ．C ．D．25．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是()A ．B ．C ．D ．6．已知命题p：x2+2x﹣3≤0；命题q：x≤a，且q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是( )A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣3]7．设S n为公差不为零的等差数列{a n}的前n项和，若S9=3a8，则=( )A．3 B．5 C．7 D．218．一只蜜蜂在一个棱长为5的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于2，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A ．B ．C ．D ．9．过双曲线C ：（a＞0，b＞0）的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A．若以C的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A、O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为( )A ．B ．C ．D ．10．函数f（x）=ln（x ﹣）的图象是( )A ．B ．C ．D ．11.阅读右面的程序框图，则输出的 S=( )A.14B.30C.20D.5512．已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ：HB=1：2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为( ) A ．B ．4πC ．D ．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 已知向量a ＝(1,3)，b ＝(－3，4)，则a 在b方向上的投影为 .14.已知,22,,xy y x y x R =+∈+且满足那么的最小值为y x 4+ .15．已知圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=2经过椭圆Γ：（a ＞b ＞0）的右焦点F 和上顶点B ，则椭圆Γ的离心率为__________．16．在我市“创建文明城市”知识竞赛中，考评组从中抽取200份试卷进行分析，其分数的频率分布直方图如图所示，则分数在区间[60，70）上的人数大约有__________人．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（本小题满分12x ∈R ．（I ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间;（II ）将函数()y f x =的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的单位，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =在区间.18．（本小题满分12分）（文科做）某班级有数学、自然科学、人文科学三个兴趣小组，各有三名成员，现从三个小组中各选出一人参加一个座谈会．（I ）求数学小组的甲同学没有被选中、自然小组的乙同学被选中的概率； （II ）求数学组的甲同学、自然小组的乙同学至少有一人不被选中的概率．（理科做）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球. （Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率； （Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（Ⅲ）设ξ 为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望.19．（本小题满分12分）（文科做）如图，正方形ACDE 所在的平面与平面ABC 垂直，M是CE 和AD 的交点，AC ⊥BC ，且AC=BC ．（1）求证：AM ⊥平面EBC ；（2）当AC=2时，求三棱锥V E ﹣ABM 的值．（理科做）如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直， M是CE和AD的交点，AC⊥BC，且AC=BC；（1）求证：AM⊥平面EBC；（2）求二面角A-EB-C的大小.20．本小题满分12分）（文科做）已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴上，抛物线上的点A到F的距离为2，且A的横坐标为1．（1）求抛物线C的方程；（2）若点M（a，0），P是抛物线C上一动点，求|MP|的最小值．（理科做）如图，已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴上，抛物线上的点A到F的距离为2，且A的横坐标为1. 过A点作抛物线C的两条动弦AD、AE，且AD、AE的斜率满足.2AD AEk k=(1)求抛物线C的方程；(2)直线DE是否过某定点？若过某定点，请求出该点坐标；若不过某定点，请说明理由. 21．（本小题满分12分）（文科做）函数f（x）=﹣x3+ax2（a∈R）．（1）当a＞0时，求函数y=f（x）的极值；（2）若x∈[0，1]时，函数y=f（x）图象上任意一点处的切线倾斜角为θ，求当0≤θ≤时a的取值范围．（理科做）已知函数()f x mx= .（I）若()f x为定义域上的单调函数，求实数m的取值范围；（II）当1m=，且01b a≤<≤时，证明：4()()23f a f ba b-<<-.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．在平面直角坐标系x Oy中，直线l 的参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C 的方程为．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P 坐标为，圆C与直线l交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．【选修4-5：不等式选讲】23.已知f（x）=|x+l|+|x﹣2|，g（x）=|x+1|﹣|x﹣a|+a（a∈R）．（Ⅰ）解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．。
2018高三数学模拟试题理科(四)含答案
黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.已知集合{}2,101，，-=A ，{}2≥=x x B ，则A B =IA ．{}2,1,1- B.{}2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是A ．2xy =B ．y x =C ．y x =D ．21y x =-+4.函数y=cos 2(x + π4)－sin 2(x + π4)的最小正周期为A. 2πB. πC. π2D. π45. 以下说法错误的是（ ）A ．命题“若x 2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2-3x+2≠0”B ．“x=2”是“x 2-3x+2=0”的充分不必要条件C ．若命题p:存在x 0∈R,使得20x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2-x+1≥0D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S =A ．80B ．40C ．31D ．-317.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．π16+B ．π416+C ．π8+D ．π48+8.二项式621()x x+的展开式中，常数项为A ．64B ．30C ． 15D ．19.函数3()ln f x x x=-的零点所在的区间是A ．(1,2)B ．(2,)eC ． (,3)eD ．(3,)+∞10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C.4 D. 3开始 10n S ==，S p <?是输入p结束输出n 12nS S =+否1n n =+121221主视图 左视图俯视图11.若抛物线y 2 = 2px （p >0）上一点到焦点和抛物线的对称轴的距离分别是10和6， 则p 的值为A ．2B ．18C ．2或18D ．4或16 12.已知函数()()R f x x ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点 为()11x y ，，()22x y ，，⋯，()m m x y ，，则()1mi i i x y =+=∑（ ）A. 0 B . m C. 2m D. 4m第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n ＝________．14. 已知向量21a =r （，），(,1)b x =-r，且a b -r r 与b r 共线，则x 的值为 . 15.已知随机变量X 服从正态分布2(4,)N σ，且(26)0.98P X <≤=, 则(2)P X <= .16. 设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤≥+-2,4,022y x y x 表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到直线x －5=0的距离大于7的概率是 .三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．(本题满分12分)在△ABC 中，已知A=π4 ,cosB=235.（I ）求sinC 的值；（II ）若BC=2 5 ，D 为AB 的中点，求CD 的长.18．(本题满分12分)在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA //BE ，6, 3.AB PA BE ===（Ⅰ）求证：CE //平面PAD ；（Ⅱ）求PD 与平面PCE 所成角的正弦值.19.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为22，其中左焦点F (－2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y x m =+与椭圆C 交于不同的两点,A B ，且线段AB 的中点M 在曲线222x y +=上，求m 的值．20. （本小题满分12分）如图所示的茎叶图记录了华润万家在渭南城区甲、乙连锁店四天内销售情况的某项指标统计：（I ）求甲、乙连锁店这项指标的方差，并比较甲、乙该项指标的稳定性；（Ⅱ）每次都从甲、乙两店统计数据中随机各选一个进行比对分析，共选了3次（有放回选取）．设选取的两个数据中甲的数据大于乙的数据的次数为X ，求X 的分布列及数学期望．21.(本题满分12分) 已知函数e =1axf x x -（）错误!未找到引用源。
2018届全国高三原创试卷(四)数学卷(理科)
2018届全国高三原创试卷（四）数学试卷（理科）本试题卷共6页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合1}{0，=A ，A}x 2x,y |{y ∈==B ，则=B A C R )(（ ） A ．}0{ B ． }2{ C ．}4,2{ D ．}2,1,0{ 2.已知i b iia +=+2（Rb a ∈,），其中i 为虚数单位，则=-b a （ ） A ． -1 B ． 1 C ． 2 D ．-33.如图，正方形ABCD 内得图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．41 B ． 4π C ． 8π D ． 214.已知)77sin 2,13sin 2(00=，1||=-，与-的夹角为3π，则=∙（ ） A ． 2 B ． 3 C. 4 D ．55.已知双曲线1922=-my x 的一个焦点在直线5=+y x 上，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ． x y 43±= B ．x y 34±= C. x y 322±= D ．x y 423±= 6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ． 7B ．215 C. 323 D ．6477.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（ ）（参考数据：2588.015sin 0=，1305.05.7sin 0=）A ． 12B ． 18 C. 24 D ．328.在平面直角坐标系xoy 中，已知点)3,2(A ，)2,3(B ，)1,1(C ，点),(y x P 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）内，设n m -=，（R n m ∈,），则n m +2的最大值为（ ） A ． -1 B ． 1 C. 2 D ．39.已知函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图像如图所示，且1)(=αf ，)3,0(πα∈，则=+)652cos(πα（ ）A ． 322±B ． 322 C. 322- D ．3110.已知有穷数列}{n a 中，729,,3,2,1 =n ，且1)1)(12(+--=n n n a ，从数列}{n a 中依次取出 ,,,1452a a a 构成新数列}{n b ，容易发现数列}{n b 是以-3为首项，-3为公比的等比数列，记数列}{n a 的所有项的和为S ，数列}{n b 的所有项的和为T ，则（ ）A ． T S >B ． T S = C. T S < D ．S 与T 的大小关系不确定 11.如图，正方体1111DC B A ABCD -的棱长为1，中心为O ，BC BF 21=，A AE A 1141=，则四面体OEBF 的体积为（ ）A ．121 B ． 241 C. 481 D ．96112.已知)(x f 是定义域为),0(+∞的单调函数，若对任意的),0(+∞∈x ，都有4]log )([31=+x x f f ，且方程a x f =-|3)(|在区间]3,0(上有两解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10≤<aB ．1<a C. 10<<a D ．1≥a第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知n S 为数列}{n a 的前n 项和，且1)1(log 2+=+n S n ，则数列}{n a 的通项公式为 ．14.在7)21(x +的展开式中，27C 是第 项的二项式系数，第3项的系数是 ．15.已知函数1)(+-=mx e x f x 的图像为曲线C ，若曲线C 存在与直线ex y =垂直的切线，则实数m 的取值范围是 ．16.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 与直线x y l 21:1=，x y l 21:2-=，过椭圆上一点P 作21,l l 的平行线，分别交21,l l 于N M ,两点，若||MN 为定值，则=ba． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设ABC ∆三个内角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，ABC ∆的面积S 满足22234c b a S -+=.（1）求角C 的值；（2）求A B cos sin -的取值范围.18. 如图，在矩形ABCD 中，2=CD ，1=BC ，F E ,是平面ABCD 同一侧面点，FC EA //，AB AE ⊥，2=EA ，5=DE ，1=FC .（1）证明：平面⊥CDF 平面ADE ； （2）求二面角F BD E --的正弦值.19. 某石化集团获得了某地深海油田区块的开发权，集团在该地区随机初步勘探了部分几口井，取得了地质资料，进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探，由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见如表：（参考公式和计算结果：2121i ^xn xxyn yx bni inii --=∑∑==，x by a ^^-=，9441212=∑=-i i x，945124112=-=-∑i i i y x ）（1）1～6号井位置线性分布，借助前5组数据（坐标),(y x ）求得回归直线方程为a x y +=5.6，求a 的值，并估计y 的预报值；（2）现准备勘探新井)25,1(7，若通过1，3，5，7号并计算出的（b ^，a ^精确到0.01），设bb b k -=^1，aa a k -=^2，当21,k k 均不超过10%时，使用位置最接近的已有旧井),1(6y ，否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？（3）设出油量与勘探深度的比值k 不低于20的勘探井称为优质井，那么在原有6口井中任意勘探4口井，求勘探优质井数X 的分布列与数学期望.20. 已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的焦距为62，设右焦点为F ，过原点O 的直线l与椭圆C 交于B A ,两点，线段AF 的中点为M ，线段BF 的中点为N ，且41=∙OM . （1）求弦AB 的长； （2）当直线l 的斜率21=k ，且直线l l //'时，'l 交椭圆于Q P ,，若点A 在第一象限，求证：直线AQ AP ,与x 轴围成一个等腰三角形.21. 已知βα,是方程01442=--tx x )(R t ∈的两个不等实根，函数12)(2+-=x tx x f 的定义域为],[βα.（1）当0=t 时，求函数)(x f 的最值； （2）试判断函数)(x f 在区间],[βα的单调性；（3）设m i n m a x )()()(x f x f t g -=，试证明：对于)2,0(,,πγβα∈，若1sin sin sin =++γβα，则463)(tan 1)(tan 1)(tan 1<++λβαg g g . （参考公式：)0,,(33222>++≥++c b a c b a c b a ，当且仅当c b a ==时等号成立）22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 54253（t 为参数，R t ∈），以原点O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为)0(sin ≠=a a θρ. （1）求圆C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；（2）设直线l 截圆C 的弦长等于半径长的3倍，求a 的值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数|1|)(+=x x f ，a x x g +=||2)(. （1）当0=a 时，求不等式)()(x g x f ≥的解集；（2）若存在实数x ，使得)()(x f x g ≤成立，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: BDCBB 6-10: DCBCA 11、12：DA 二、填空题13. 31{ 22n n n a n ==≥ 14. 3，84 15. 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭16.4 三、解答题17. 解: （1）由余弦定理得2221sin2S ab C ===tan C =，6C π=（2因为50,6A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以7,336A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 1cos ,132A π⎛⎫⎛⎤+∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以1sin cos ,12B A ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦. 18. （Ⅰ）∵四边形是矩形， ∴.∵，，故. 又，∴平面. ∵平面，∴平面平面. （Ⅱ）∵，，，∴，∴，又，，∴平面.以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.∴ ，，设平面的一个法向量，由，得，令，得. 同理可求得平面的一个法向量，∴，∴。
〖全国卷-2018名师推荐〗高考总复习数学(理)第四次高考模拟试题及答案解析一
2018年高考数学四模试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在答题卷中的横线上.1．已知集合A={x|x2≤2x}，B={y|y＞1}，则A∩B等于．2．若双曲线x2﹣ay2=1的离心率为，则正数a的值为．3．将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是．4．在下列四个图所表示的正方体中，能够得到AB⊥CD的是．5．若过点P（2，﹣1）的圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的长为10，则直线AB的方程是．6．已知α是第二象限角，且sinα=，则tan（α+）= ．7．已知椭圆+=1（m＞n＞0）的离心率为，且有一个焦点与抛物线y2=16x的焦点重合，则椭圆的短轴长为．8．设m，n∈R，若直线l：mx+ny﹣1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且坐标原点O到直线l的距离为，则△AOB的面积S的最小值为．9．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a2﹣b2=c，且sin Acos B=2cosAsinB，则c= ．10．已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B，F为C的焦点．若|FA|=2|FB|，则k= ．11．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=cos（x）+x，则函数f（x）的零点有个．12．半径为1的球内最大圆柱的体积为．13．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A、B，渐近线分别为l1、l2，点P在第一象限内且在l1上，若PA⊥l2，PB∥l2，则该双曲线的离心率为．14．正四面体ABCD的棱长为1，其中线段AB∥平面α，E，F分别是线段AD和BC的中点，当正四面体绕以AB为轴旋转时，线段EF在平面α上的射影E1F1长的范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．如图，这是一个半圆柱与多面体ABB1A1C构成的几何体，平面ABC与半圆柱的下底面共面，且AC⊥BC，P为上的动点．（1）证明：PA1⊥平面PBB1；（2）设半圆柱和多面体ABB1A1C的体积分别为V1，V2，且AC=BC，求V1：V2．16．已知点C的坐标为（0，1），A，B是抛物线y=x2上不同于原点O的相异的两个动点，且•=0．（1）求证：∥；（2）若=λ（λ∈R），且•=0，试求点M的轨迹方程．17．如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，DD1⊥平面ABCD，AB=AD，AD=A1B1，∠BAD=45°．（1）证明：BD⊥AA1；（2）证明：AA1∥平面BC1D．18．已知数列{a n}中，a1=5，a2=2，且2（a n+a n+2）=5a n+1．求证：（1）数列{a n+1﹣2a n}和{a n+1﹣a n}都是等比数列；（2）求数列{2n﹣3a n}的前n项和S n．19．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F（﹣2，0），且长轴长与短轴长的比是．（1）求椭圆C的方程；（2）设点M（m，0）在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．20．已知函数f（x）=（a∈R）．（1）求f（x）的极值；（2）若函数f（x）的图象与函数g（x）=﹣1的图象在区间（0，e]上有公共点，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在答题卷中的横线上.1．已知集合A={x|x2≤2x}，B={y|y＞1}，则A∩B等于{x|1＜x≤2} ．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：∵A={x|x2≤2x}={x|0≤x≤2}，B={y|y＞1}，∴A∩B={x|0≤x≤2}∩{y|y＞1}={x|1＜x≤2}．故答案为：{x|1＜x≤2}．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．若双曲线x2﹣ay2=1的离心率为，则正数a的值为 2 ．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】双曲线x2﹣ay2=1的方程化为标准方程，利用双曲线x2﹣ay2=1的离心率为，建立方程，即可求出正数a的值．【解答】解：双曲线x2﹣ay2=1的方程可化为x2﹣=1，得c2=1+，因为双曲线x2﹣ay2=1的离心率为，所以e2=1+=（）2，解得a=2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，确定双曲线的几何量是关键．3．将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱锥的结构特征．【专题】计算题．【分析】通过圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面周长，然后求出底面半径，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．【解答】解：圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，所以圆锥的底面周长为：2π，底面半径为：1，圆锥的高为：；圆锥的体积为：=【点评】本题是基础题，考查圆锥的侧面展开图，利用扇形求出底面周长，然后求出体积，考查计算能力，常规题型．4．在下列四个图所表示的正方体中，能够得到AB⊥CD的是①②．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用正方体的性质以及三垂线定理对四个正方体中的AB，CD分别分析解答．【解答】解：对于①，通过平移AB到右边的平面，可知AB⊥CD，所以①中AB⊥CD；对于②，通过作右边平面的另一条对角线，可得CD垂直AB所在的平面，由三垂线定理得到②中AB⊥CD；对于③，可知AB与CD所成的角60°；对于④，通过平移CD到下底面，可知AB与CD不垂直．所以能够得到AB⊥CD的是①和②．故答案为：①②【点评】本题考查了空间几何体中，线线关系的判断；考查学生的空间想象能力．5．若过点P（2，﹣1）的圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的长为10，则直线AB的方程是x+y ﹣1=0 ．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；直线与圆．【分析】确定弦AB为圆的直径，利用圆心为C（1，0），且直线AB过点P（2，﹣1），即可求出直线AB的方程．【解答】解：因为圆的直径为10，所以弦AB为圆的直径，因为圆心为C（1，0），且直线AB过点P（2，﹣1），属于由直线方程的两点式得=，即x+y﹣1=0．故答案为：x+y﹣1=0．【点评】本题考查直线AB的方程，考查直线与圆的位置关系，确定弦AB为圆的直径是关键．6．已知α是第二象限角，且sinα=，则tan（α+）= ．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】三角函数的求值．【分析】由同角三角函数基本关系可得tanα，代入两角和的正切公式可得．【解答】解：∵α是第二象限角sinα=，∴cosα=﹣=﹣，∴tanα==﹣，∴tan（α+）==．故答案为：【点评】本题考查两角和的正切公式，涉及同角三角函数基本关系，属基础题．7．已知椭圆+=1（m＞n＞0）的离心率为，且有一个焦点与抛物线y2=16x的焦点重合，则椭圆的短轴长为8．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用椭圆+=1（m＞n＞0）的离心率为，可得==，所以4n=3m，利用焦点与抛物线y2=16x的焦点重合，求出m，n，即可求出椭圆的短轴长．【解答】解：由已知得==，所以4n=3m，因为抛物线y2=16x的焦点为（4，0），而椭圆的右焦点为（c，0），所以c=4，得m﹣n=42=16，解得m=64，n=48，所以椭圆的短轴长为2=2=8．故答案为：8．【点评】本题考查椭圆、抛物线的性质，考查学生的计算能力，确定几何量是关键．8．设m，n∈R，若直线l：mx+ny﹣1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且坐标原点O到直线l的距离为，则△AOB的面积S的最小值为 3 ．【考点】点到直线的距离公式．【专题】直线与圆．【分析】由距离公式可得m2+n2=，面积为S=•||=，由基本不等式可得答案．【解答】解：由坐标原点O到直线l的距离为，可得==，化简可得m2+n2=，令x=0，可得y=，令y=0，可得x=，故△AOB的面积S=•||=≥=3，当且仅当|m|=|n|=时，取等号，故答案为：3【点评】本题考查点到直线的距离公式，涉及基本不等式的应用和三角形的面积，属基础题．9．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a2﹣b2=c，且sin Acos B=2cosAsinB，则c= 3 ．【考点】余弦定理；正弦定理． 【专题】计算题；解三角形．【分析】利用正弦定理、余弦定理，化简sinAcosB=2cosAsinB ，结合a 2﹣b 2=c ，即可求c ．【解答】解：由sinAcosB=2cosAsinB 得•=2••，所以a 2+c 2﹣b 2=2（b 2+c 2﹣a 2），即a 2﹣b 2=，又a 2﹣b 2=c ，解得c=3． 故答案为：3．【点评】本题考查正弦定理、余弦定理，考查学生的计算能力，正确运用正弦定理、余弦定理是关键．10．已知直线y=k （x+2）（k ＞0）与抛物线C ：y 2=8x 相交于A 、B ，F 为C 的焦点．若|FA|=2|FB|，则k=．【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A 、B 分别作AM ⊥l 于M ，BN ⊥l 于N ，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B 为AP 的中点，求得点B 的横坐标，则点B 的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率． 【解答】解：设抛物线C ：y 2=8x 的准线为l ：x=﹣2 直线y=k （x+2）（k ＞0）恒过定点P （﹣2，0） 如图过A 、B 分别作AM ⊥l 于M ，BN ⊥l 于N ， 由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|， 点B 为AP 的中点、连接OB ，则|OB|=|AF|，∴|OB|=|BF|，点B 的横坐标为1，故点B 的坐标为（1，2）∴k==，故答案为：【点评】本题考查了抛物线的简单性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．11．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）=cos （x ）+x ，则函数f （x ）的零点有 7 个． 【考点】函数的零点．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】作f （x ）=cos （x ）+x （x ＞0）的图象，由图象解交点的个数，从而求零点的个数．【解答】解：作f （x ）=cos （x ）+x （x ＞0）的图象如下图，其在（0，+∞）上有三个零点，又∵函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，∴函数f（x）的零点共有3×2+1=7个，故答案为：7．【点评】本题考查了函数的零点个数的判断，同时考查了数形结合的数学思想，属于基础题．12．半径为1的球内最大圆柱的体积为．【考点】球内接多面体．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由题意设圆柱的底面半径为x，高为y，则（2x）2+y2=4，（0＜y＜2）；V=πx2y=πy=（4﹣y2）y，利用导数求最值．【解答】解：设圆柱的底面半径为x，高为y，则（2x）2+y2=4，（0＜y＜2）；V=πx2y=π•y=（4﹣y2）y=（4y﹣y3），则V′=（4﹣3y2），故4﹣3y2=0，即y=时，有最大值，V max=（4﹣）=．故答案为：．【点评】本题考查了学生的空间想象力与导数的综合运用，属于中档题．13．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A、B，渐近线分别为l1、l2，点P在第一象限内且在l1上，若PA⊥l2，PB∥l2，则该双曲线的离心率为 2 ．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出双曲线的顶点和渐近线方程，设P（x，y），再由两直线垂直和平行的条件，得到a，b的关系式，再由离心率公式计算即可得到．【解答】解：依题意有A（﹣a，0），B（a，0），渐近线方程分别为l1：y=x，l2：y=﹣x，设P（x，y），则由PB∥l2得=﹣，因为点P在直线y=x上，于是解得P点坐标为P（，），因为PA⊥l2，所以•（﹣）=﹣1，即•（﹣）=﹣1，所以b2=3a2，因为a2+b2=c2，所以有c2=4a2，即c=2a，得e=2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程和离心率的求法，运用两直线垂直的条件和平行的条件是解题的关键．14．正四面体ABCD的棱长为1，其中线段AB∥平面α，E，F分别是线段AD和BC的中点，当正四面体绕以AB为轴旋转时，线段EF在平面α上的射影E1F1长的范围是[，] ．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】取AC中点为G，连接EG、FG，根据四面体绕AB旋转时，GF∥平面α，GE与GF的垂直性保持不变，当CD与平面α垂直时射影E1F1的长取得最小，当CD与平面α平行时，E1F1取得最大，分别求出最大、最小值，可得答案．【解答】解：如图，取AC中点为G，连接EG、FG，∵E，F分别是线段AD和BC的中点，∴GF∥AB，GE∥CD，在正四面体中，AB⊥CD，∴GE⊥GF，∴EF2=GE2+GF2=，当四面体绕AB旋转时，∵GF∥平面α，GE与GF的垂直性保持不变，当CD与平面α垂直时，GE在平面上的射影长最短为0，此时EF在平面α上的射影E1F1的长取得最小值；当CD与平面α平行时，GE在平面上的射影长最长为，E1F1取得最大值，∴射影E1F1长的取值范围是[，]，故答案为：[，]．【点评】本题借助考查线段在平面内的射影问题，考查空间直线与直线位置关系的判定，考查了学生的空间想象能力，二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．如图，这是一个半圆柱与多面体ABB1A1C构成的几何体，平面ABC与半圆柱的下底面共面，且AC⊥BC，P为上的动点．（1）证明：PA1⊥平面PBB1；（2）设半圆柱和多面体ABB1A1C的体积分别为V1，V2，且AC=BC，求V1：V2．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即可证明结论；（2）利用体积公式，求出半圆柱和多面体ABB1A1C的体积，即可求V1：V2．【解答】（1）证明：在半圆柱中，BB1⊥平面PA1B1，所以BB1⊥PA1．因为A1B1是底面圆的直径，所以PA1⊥PB1，因为PB1∩BB1=B1，PB1⊂平面PBB1，BB1⊂平面PBB1，所以PA1⊥平面PBB1．（2）解：因为AC⊥BC，AC=BC，所以△ABC是等腰直角三角形，且AB2=BC2+AC2=2AC2．所以半圆柱的体积V1=（AB）2π•AA1=AC2•AA1．多面体ABB1A1C是以矩形ABB1A1为底面，以C为顶点的四棱锥，其高为点C到底面ABB1A1的距离，设这个高为h，在Rt△ABC中，AB•h=AC•BC，所以h=，所以V2=•AA1•AB•=•AA1•AC•BC=AA1•AC2．所以=．【点评】本题考查线面垂直的判定，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．已知点C的坐标为（0，1），A，B是抛物线y=x2上不同于原点O的相异的两个动点，且•=0．（1）求证：∥；（2）若=λ（λ∈R），且•=0，试求点M的轨迹方程．【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用•=0，可得x1x2=﹣1，根据=（﹣x1，1﹣），=（﹣x2，1﹣），即可证明∥；（2）由题意知，点M是直角三角形AOB斜边上的垂足，又定点C在直线AB上，∠OMB=90°，即可求点M的轨迹方程．【解答】解：（1）设A（x1，），B（x2，），x1≠0，x2≠0，x1≠x2，因为•=0，所以x1x2+=0，又x1≠0，x2≠0，所以x1x2=﹣1．因为=（﹣x1，1﹣），=（﹣x2，1﹣），且（﹣x1）（1﹣）﹣（﹣x2）（1﹣）=（x2﹣x1）+x1x2（x2﹣x1）=（x2﹣x1）﹣（x2﹣x1）=0，所以∥．（2）由题意知，点M是直角三角形AOB斜边上的垂足，又定点C在直线AB上，∠OMB=90°，所以点M在以OC为直径的圆上运动，其运动轨迹方程为x2+（y﹣）2=（y≠0）．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查向量知识的运用，考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题．17．如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，DD1⊥平面ABCD，AB=AD，AD=A1B1，∠BAD=45°．（1）证明：BD⊥AA1；（2）证明：AA1∥平面BC1D．【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）由已知条件利用余弦定理得BD2=AD2，从而利用勾股定理得AD⊥BD，进而得到BD⊥平面ADD1A1，由此能证明BD⊥AA1．（2）连结AC、A1C1，设AC∩BD=E，连结EC1，由棱台的定义结合已知条件推导出四边形A1C1EA 是平行四边形，由此能证明AA1∥平面BC1D．【解答】证明：（1）∵AB=AD，∠BAD=45°，在△ABD中，由余弦定理得BD2=AD2+AB2﹣2AD•ABcos 45°=AD2，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD，∵DD1⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，∴DD1⊥BD，又AD∩DD1=D，∴BD⊥平面ADD1A1．又AA1⊂平面ADD1A1，∴BD⊥AA1．（2）连结AC、A1C1，设AC∩BD=E，连结EC1，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE=AC，由棱台的定义及AB=AD=2A1B1知，A1C1∥AE，且A1C1=AE，∴四边形A1C1EA是平行四边形，∴AA1∥EC1，又∵EC1⊂平面BC1D，AA1⊄平面BC1D，∴AA1∥平面BC1D．【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查线面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．已知数列{a n}中，a1=5，a2=2，且2（a n+a n+2）=5a n+1．求证：（1）数列{a n+1﹣2a n}和{a n+1﹣a n}都是等比数列；（2）求数列{2n﹣3a n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等比关系的确定．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）2（a n+a n+2）=5a n+1．求可得2（a n+2﹣2a n+1）=a n+1﹣2a n，a n+2﹣a n+1=2（a n+1﹣a n），根据等比数列的定义判定出数列都是等比数列；（2）由（1）解的a n，再求出2n﹣3a n=（2﹣22n﹣5），再求出前n项和．【解答】解：（1）∵2（a n+a n+2）=5a n+1，∴2a n+2a n+2=5a n+1，∴2（a n+2﹣2a n+1）=a n+1﹣2a n，∴=，∴a2﹣2a1=2﹣2×5=﹣8，∴{a n+1﹣2a n}是以﹣8为首项，为公比的等比数列；∴a n+1﹣2a n=﹣8×①∵2（a n+a n+2）=5a n+1，∴a n+2﹣a n+1=2（a n+1﹣a n）∴=2，∴a2﹣a1=2﹣×5=﹣，∴{a n+1﹣a n}是以﹣为首项，2为公比的等比数列；∴a n+1﹣a n=②，（2）由（1）知a n+1﹣2a n=﹣8×①a n+1﹣a n=②，由①②解得a n=（24﹣n﹣2n﹣2），验证a1=5，a2=2适合上式，∴2n ﹣3a n ═（24﹣n ﹣2n ﹣2）•2n ﹣3=（2﹣22n ﹣5）∴S n =（2﹣2﹣3）+（2﹣2﹣1）+（2﹣2）+…+（（2﹣22n ﹣5）= [2n ﹣（2﹣3+2﹣1+2+…+22n ﹣5）]= [2n ﹣]=【点评】本题主要考查了等比关系的确定，等比数列的求和问题．解题的关键是对等比数列基础知识点的熟练掌握，属于中档题19．已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F （﹣2，0），且长轴长与短轴长的比是．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点M （m ，0）在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．【考点】椭圆的标准方程；椭圆的应用．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）设椭圆C 的标准方程，根据焦点坐标和长轴长与短轴长的比联立方程求得a 和b ，进而可得椭圆的方程．（Ⅱ）设P （x ，y ）为椭圆上的动点，根据椭圆的性质可判断x 的范围．代入判断因为当最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，进而求得m 的范围．点M 在椭圆的长轴上进而推脱m 的最大和最小值．综合可得m 的范围．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为．由题意解得a 2=16，b 2=12．所以椭圆C 的方程为（Ⅱ）设P （x ，y ）为椭圆上的动点，由于椭圆方程为，故﹣4≤x ≤4．因为，所以=．因为当最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，即当x=4m时，取得最小值．而x∈[﹣4，4]，故有4m≥4，解得m≥1．又点M在椭圆的长轴上，即﹣4≤m≤4．故实数m的取值范围是m∈[1，4]．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程．求标准方程时常需先设椭圆的标准方程，根据题设中关于长短轴、焦点、准线方程等求得a和b，进而得到答案．20．已知函数f（x）=（a∈R）．（1）求f（x）的极值；（2）若函数f（x）的图象与函数g（x）=﹣1的图象在区间（0，e]上有公共点，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；函数图象的作法．【专题】导数的综合应用．【分析】本题（1）先求出导函数，利用导函数值的正负研究函数的单调区间，得到本题结论；（2）利用（1）的结论，进行分类讨论，由根据存在性定理，得到相应关系式，解不等式，得到本题结论．【解答】解：（1）∵函数f（x）=（a∈R），∴=．∴当0＜x＜e a+1时，f′（x）＜0，函数f（x）在区间（0，e a+1）上单调递减；当x＞e a+1时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（e a+1，+∞）上单调递增；∴当x=e a+1时，f′（x）=0，函数f（x）有极值，f（e a+1）==﹣e﹣a﹣1．（2）由（1）知：当x=e a+1时，函数f（x）有极小值，f（e a+1）=﹣e﹣a﹣1＜0．记h（x）=f（x）﹣g（x）=f（x）+1，当e a+1＜e，即a+1＜1，a＜0时，﹣e﹣a﹣1+1≤0，∴a≤﹣1．当e a+1≥e，即a+1≥1，a≥0时，h（e）≤0，∴，∴0≤a≤e，综上，a≤﹣1或0≤a≤e．【点评】本题考查了导函数与函数的单调性和最值，还考查了分类讨论的数学思想，本题有一定的计算量，难度适中，属于中档题．。
普通高校2018届高三全国统一考试仿真卷(四)数学(理)试卷(含答案)
2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（四）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}2|M x x x =∈=R ，{}1,0,1N =-，则M N =（ ）A ．{}0B ．{}1C ．{}0,1D ．{}1,0,1-2．设i 1i 1z +=-，()21f x x x =-+，则()f z =（ ） A ．B ．i -C ．1i -+D ．1i --3．已知()()22log 111sin13x x f x xx ⎧--<<⎪=⎨π⎪⎩≥，则312f f ⎛⎫+=⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．52B ．52-C ．32-D ．12-4．已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，且96=πS ，则5tan a =（ ） AB．C．D．5．执行如图所示的程序框图，如果输入的100t =，则输出的n =（ ）开始输入t输出n 结束k ≤t否是0,2,0S a n ===S S a=+31,1a a n n =-=+A ．5B ．6C ．7D ．86．已知函数()()sin ωϕ=+f x A x (0,0,)2ωϕπ>><A 在一个周期内的图象如图所示，则4π⎛⎫= ⎪⎝⎭f （ ）A ．2-B ．2CD ．7．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（ ）A ．21;n n -B ．21;1n n -+C ．121;n n +-D ．121;1n n +-+8．若P 是圆()()22:331C x y ++-=上任一点，则点P 到直线1y kx =-距离的最大值（ ） A ．4B ．6C．D．9．已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，若()20f -=，则满足()10xf x ->的的取值范围是（ ） A ．()(),10,3-∞- B ．()()1,03,-+∞ C ．()(),11,3-∞-D ．()()1,01,3-10．已知,x y ∈R ，在平面直角坐标系xOy 中，点,)x y （为平面区域2040⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥≥y x y x 内任一点，则坐标原点与点,)x y （连线倾斜角小于3π的概率为（ ）A ．116B．CD11．某几何体的直观图如图所示，AB 是O 的直径，BC 垂直O 所在的平面，且10AB BC ==，Q 为O 上从A 出发绕圆心逆时针方向运动的一动点．若设弧AQ 的长为，CQ 的长度为关于的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）A ． B．C ．D ．12．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，122F F c =，过2F 作轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A ，已知3,2a Q c ⎛⎫⎪⎝⎭，22F Q F A >，点P 是双曲线C 右支上的动点，且11232+>PF PQ F F 恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A．⎫+∞⎪⎪⎝⎭B ．71,6⎛⎫⎪⎝⎭C．7,62⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D．1,2⎛ ⎝⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2018年高三理科数学模拟试卷04
1 /192018年高三理科数学模拟试卷04(word 版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年高三理科数学模拟试卷04(word 版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为2018年高三理科数学模拟试卷04(word 版可编辑修改)的全部内容。
2 / 19绝密★启用前 试卷类型：A2016年高考模拟试卷04理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.第I 卷1至2页。
第II 卷3至4页。
考试结束后，将本草纲目试卷和答题卡一并交回.注意事项:1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2。
每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无交通工效。
3。
第I 卷共12小题,第小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
第Ⅰ卷 （选择题，共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 复数（为虚数单位）的虚部是（ ）i215-i A. B 。
C. D 。
2i 2i -2-22。
下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是( )A ．B ．C ．D ．()||f x x x =-()2x f x =()sin f x x x =1()f x x =3。
已知, ，则（ )()=-παcos 120πα-<<tan α= A 。
2018年高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学试卷(四)含精品解析
（1）求角 B 的值； （2）若△ABC 的面积为 3 3 ， b 13 ，求 a c 的值．
18．某市小型机动车驾照“科二”考试中共有 5 项考查项目，分别记作 ①，②，③，④，⑤． （1）某教练将所带 10 名学员“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示），并计算从恰有 2 项成绩不合格的学员中任意抽出 2 人进行补测（只测不合格的项目），求补测项目种类 不超过 3（ 3 ）项的概率．
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写
在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
A．
B． i
C． 1 i
D．1, 0,1
D． 1 i
3．已知
f
x
log
2
1 x
x2
sin
2018版高考数学二轮复习 小题提速练412选择+4填空80分练 理
小题提速练(四) “12选择＋4填空”80分练(时间：45分钟 分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |3≤3x ≤27，x ∈N *}，B ＝{x |log 2x ＞1}，则A ∩B ＝( )A ．{1,2,3}B ．(2,3]C ．{3}D ．[2,3]C [∵3≤3x≤27，即31≤3x≤33，∴1≤x ≤3，又x ∈N *，∴A ＝{1,2,3}，∵log 2x ＞1，即log 2x ＞log 22，∴x ＞2，∴B ＝{x |x ＞2}，∴A ∩B ＝{3}，选C.] 2．已知复数z ＝15i3＋4i，则z 的虚部为( )【导学号：07804211】A ．－95iB ．95iC ．－95D ．95D [z ＝15i3＋4i＝－＋－＝1525(4＋3i)＝125＋95i ，故选D.] 3．设D 是△ABC 所在平面内一点，AB →＝2DC →，则( )A.BD →＝AC →－32AB →B ．BD →＝32AC →－AB →C.BD →＝12AC →－AB →D ．BD →＝AC →－12AB →A [BD →＝BC →＋CD →＝BC →－DC →＝AC →－AB →－12AB →＝AC →－32AB →，选A.]4．(2017·湖南三模)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )＞1.75，则p 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，712B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫712，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C [根据题意，学生发球次数为1即一次发球成功的概率为p ，即P (X ＝1)＝p ，发球次数为2即二次发球成功的概率P (X ＝2)＝p (1－p )， 发球次数为3的概率P (X ＝3)＝(1－p )2， 则E (X )＝p ＋2p (1－p )＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3，依题意有E (X )＞1.75，则p 2－3p ＋3＞1.75， 解得，p ＞52或p ＜12，结合p 的实际意义，可得0＜p ＜12，即p ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，故选C.]5．已知点F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与双曲线交于M ，N 两点，若MF 1→·NF 1→＞0，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A ．(2，2＋1) B ．(1，2＋1) C ．(1，3)D ．(3，＋∞)B [设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，依题意可得c 2a 2－y 2b 2＝1，得到y ＝±b 2a ，不妨设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，则MF 1→·NF 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫－2c ，－b 2a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c ，b 2a ＝4c 2－b 4a 2＞0，得到4a 2c 2－(c 2－a 2)2＞0，即a 4＋c 4－6a 2c 2＜0，故e 4－6e 2＋1＜0，解得3－22＜e 2＜3＋22，又e ＞1，故1＜e 2＜3＋22，得1＜e ＜1＋2，故选B.]6．函数y ＝f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图9所示，关于函数y ＝f (x )(x ∈R )，有下列命题：图9①y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π6对称；②y ＝f (x )的图象可由y ＝2sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到；③y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称； ④y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12上单调递增．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4C [依题意可得T ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，故T ＝2πω＝π，解得ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)，由f (x )＝2sin(2x ＋φ)的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，2可得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×512π＋φ＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋φ＝1，又－π2＜φ＜π2，故φ＝－π3，即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－π3＝0，所以①不对；y ＝2sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到y ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，②正确；因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－π3＝0，所以③正确；由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，取k ＝0，得－π12≤x ≤5π12，即y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12上单调递增，④正确，故选C.]7．某几何体的三视图如图10所示，则该几何体的体积为( )【导学号：07804212】图10A.17π6B ．17π3C ．5πD ．13π6A [由三视图可知，该几何体是半个圆锥，一个圆柱，一个半球的组合体， 其体积为16π＋2π＋23π＝176π.选A.]8．执行如图11所示的程序框图，输出的结果为( )图11A ．－1B ．1 C.12D ．2C [n ＝12，i ＝1进入循环，n ＝1－2＝－1，i ＝2；n ＝1－(－1)＝2，i ＝3；n ＝1－12＝12，i ＝4，…，所以n 对应的数字呈现周期性的特点，周期为3，因为2 017＝3×672＋1，所以当i ＝2 017时，n ＝12，故选C.]9．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0ax －y ＋3≥0y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－6，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．－12D ．12C [作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，当a ＞0时，易知z ＝y －x 无最小值，故a ＜0，目标函数所在直线过可行域内点A 时，z 有最小值，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0ax －y ＋3＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a ，0，z min ＝0＋3a＝－6，解得a ＝－12，故选C.]10．(数学文化题)今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，问：几何日相逢？( ) A ．12日 B ．16日 C ．8日D ．9日D [由题易知良马每日所行里数构成一等差数列，其通项公式为a n ＝103＋13(n －1)＝13n ＋90，驽马每日所行里数也构成一等差数列，其通项公式为b n ＝97－12(n －1)＝－12n＋1952，二马相逢时所走路程之和为2×1 125＝2 250，所以na 1＋a n2＋n b 1＋b n2＝2 250，即n＋13n ＋2＋n ⎝⎛⎭⎪⎫97－12n ＋19522＝2 250，化简得n 2＋31n －360＝0，解得n ＝9或n ＝－40(舍去)，故选D.]11．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2与直线y ＝3的交点的横坐标构成以π为公差的等差数列，且x ＝π6是f (x )图象的一条对称轴，则下列区间中是函数f (x )的单调递减区间的是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4π3，－5π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π3D [由题意得A ＝3，T ＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝3sin(2x ＋φ)，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝3或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－3，∴2×π6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，φ＝π6＋k π，k ∈Z ，又|φ|＜π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，故当k ＝－1时，f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π3，故选D.]12．已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝1，∠BAC ＝60°，AA 1＝2，则该三棱柱的外接球的体积为( )A.40π3 B ．4030π27C.32030π27D ．20πB [设△A 1B 1C 1的外心为O 1，△ABC 的外心为O 2，连接O 1O 2，O 2B ，OB ，如图所示．由题意可得外接球的球心O 为O 1O 2的中点．在△ABC 中，由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC cos∠BAC ＝32＋12－2×3×1×cos 60°＝7， 所以BC ＝7.由正弦定理可得△ABC 外接圆的直径2r ＝2O 2B ＝BC sin 60°＝273，所以r ＝73＝213. 而球心O 到截面ABC 的距离d ＝OO 2＝12AA 1＝1，设直三棱柱ABC A 1B 1C 1的外接球半径为R ，由球的截面性质可得R 2＝d 2＋r 2＝12＋⎝⎛⎭⎪⎫2132＝103，故R ＝303，所以该三棱柱的外接球的体积为V ＝4π3R 3＝4030π27.故选B.] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x 2＋mx (m ∈R )，若函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线与函数g (x )的图象相切，则m 的值为________．[解析] 易知f (1)＝0，f ′(x )＝1x，从而得到f ′(1)＝1，函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝x －1.法一：(应用导数的几何意义求解)设直线y ＝x －1与g (x )＝x 2＋mx (m ∈R )的图象相切于点P (x 0，y 0)，从而可得g ′(x 0)＝1，g (x 0)＝x 0－1.又g ′(x )＝2x ＋m ，因此有⎩⎪⎨⎪⎧g x 0＝2x 0＋m ＝1x 20＋mx 0＝x 0－1，得x 20＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1m ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1m ＝3.法二：(应用直线与二次函数的相切求解)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1y ＝x 2＋mx，得x 2＋(m －1)x ＋1＝0，所以Δ＝(m －1)2－4＝0，解得m ＝－1或m ＝3. [答案] －1或314．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每所学校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有________种.【导学号：07804213】[解析] 3所学校依次选医生、护士，不同的分配方法共有C 13C 26C 12C 24＝540种． [答案] 54015．已知直线MN 过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F ，与椭圆交于M ，N 两点．直线PQ 过原点O 且与直线MN 平行，直线PQ 与椭圆交于P ，Q 两点，则|PQ |2|MN |＝________.[解析] 法一：由题意知，直线MN 的斜率不为0，设直线MN ：x ＝my －1，则直线PQ ：x ＝my .设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)． ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1x 22＋y 2＝1⇒(m 2＋2)y 2－2my －1＝0⇒y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2. ∴|MN |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝22·m 2＋1m 2＋2.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my x 22＋y 2＝1⇒(m 2＋2)y 2－2＝0⇒y 3＋y 4＝0，y 3y 4＝－2m 2＋2.∴|PQ |＝1＋m 2|y 3－y 4|＝22m 2＋1m 2＋2.故|PQ |2|MN |＝2 2. 法二：取特殊位置，当直线MN 垂直于x 轴时，易得|MN |＝2b 2a ＝2，|PQ |＝2b ＝2，则|PQ |2|MN |＝2 2. [答案] 2 216．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有f (x )＝f (x ＋4)，且当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，若在区间(－2,6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a ＞1)恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是________． [解析] 设x ∈[0,2]，则－x ∈[－2,0]，∴f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x－1＝2x－1，∵f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝2x－1.∵对任意x ∈R ，都有f (x )＝f (x ＋4)， ∴当x ∈[2,4]时，(x －4)∈[－2,0]，∴f (x )＝f (x －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －4－1；当x ∈[4,6]时，(x －4)∈[0,2]，∴f (x )＝f (x －4)＝2x －4－1.∵在区间(－2,6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a ＞1)恰有3个不同的实数根， ∴函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log a (x ＋2)的图象在区间(－2,6]内恰有3个不同的交点，作出两个函数的图象如图所示，易知⎩⎪⎨⎪⎧log a＋＞3log a ＋＜3，解得223＜a ＜2，即34＜a ＜2，因此所求a 的取值范围是(34，2)．[答案] (34，2)。
2018高考理科数学选填压轴题专练32题(含详细标准答案)
一．选择题（共２6小题)1.设实数x，y 满足,则z=+的取值范围是（）A．[４,］ﻩB.[，］C．[4，] D.[，］２．已知三棱锥Ｐ﹣AＢC中，PＡ⊥平面ABC,且，AＣ=２ＡB,PA=1,ＢＣ=3，则该三棱锥的外接球的体积等于( )Ａ.ﻩB.ﻩC.ﻩＤ.3.三棱锥Ｐ﹣ABC中，PＡ⊥平面ABＣ且PA＝2,△ABC 是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为( )A.B．4πC．8πﻩＤ.20π4.已知函数f(x+1）是偶函数，且ｘ＞１时，ｆ′（x)＜0恒成立，又ｆ(４)=０，则(x+3）f（x+4）<0的解集为( )A．(﹣∞，﹣２)∪(4,+∞) B.(﹣6，﹣３）∪(0，４) C.(﹣∞,﹣６）∪(4,+∞)ﻩD.（﹣6，﹣3)∪（0,+∞)5．当ａ＞0时,函数f（x）＝(ｘ2﹣2ax)e x的图象大致是（)A.ﻩB ．CﻩD ．6．抛物线ｙ2=4ｘ的焦点为F,M为抛物线上的动点,又已知点Ｎ（﹣1,0）,则的取值范围是( ）A.[１,2］B．[，]ﻩC．[，2]D.[1,]7．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织,日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子,从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布,第1天织了5尺布,现在一月(按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n天所织布的尺数为a n,则a１4＋a15+a１6+a17的值为（）A.5５ﻩB．５2 C．39ﻩD．２6８．已知定义在R上的奇函数f（x）满足：当ｘ≥0时，f（x）=ｘ3＋x2，若不等式ｆ（﹣4ｔ）>f(2m+ｍt2）对任意实数t恒成立,则实数m的取值范围是( ）A ．ﻩ B.C.ﻩD.9．将函数的图象向左平移个单位得到y=g（x）的图象,若对满足|f（x1）﹣g(x2)|＝2的x1、ｘ2，｜x１﹣ｘ2|min =，则φ的值是()A ．ﻩ B.ﻩＣ．ﻩD.10.在平面直角坐标系ｘOy中,点P为椭圆C ：＋＝1（a＞b>0）的下顶点，M，N在椭圆上，若四边形OPMN为平行四边形,α为直线ON的倾斜角，若α∈(，］，则椭圆Ｃ的离心率的取值范围为( ）A．（0，]ﻩB.(0，] C.［,]ﻩD.[，]11．如图为中国传统智力玩具鲁班锁,起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构）啮合，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称,六根完全相同的正四棱柱分成三组,经９0°榫卯起来．现有一鲁班锁的正四棱柱的底面正方形边长为１，欲将其放入球形容器内(容器壁的厚度忽略不计），若球形容器表面积的最小值为30π,则正四棱柱体的高为（）Ａ.ﻩＢ．Ｃ. D.51２.若函数ｆ(ｘ）＝2sin （）（﹣2<ｘ<10）的图象与x轴交于点A，过点A 的直线l与函数的图象交于Ｂ、C 两点，则（+）•=( )A．﹣32ﻩB.﹣1６C．1６ D.3213.已知抛物线方程为ｙ2=4x,直线l的方程为x﹣ｙ+2=0，在抛物线上有一动点Ｐ到y轴的距离为ｄ1,P到l的距离为d2，则d1+ｄ2的最小值为( )Ａ.Ｂ.﹣１Ｃ．２D．2＋２1４.已知抛物线方程为ｙ２=8ｘ,直线l的方程为ｘ﹣y+2=0,在抛物线上有一动点P到y轴距离为d1，P到l的距离为ｄ2，则d1+ｄ2的最小值为（)A ．２﹣2 B．2ﻩC.２﹣2 D．2+2１5.如图，扇形ＡOB中,OA=１,∠ＡOＢ=90°，M是OB中点,P是弧ＡB上的动点,Ｎ是线段OA 上的动点，则的最小值为（)A．0ﻩB．1 Ｃ.Ｄ.１﹣16.若函数ｆ（x)=ｌoｇ0.２（5+4ｘ﹣x2）在区间（a﹣１，ａ+1)上递减,且b=lｇ0.２,c=20.2,则（)A．c<ｂ<aﻩＢ．ｂ<c＜a C.a＜b＜cﻩD．b<a＜ｃ1７.双曲线﹣=1(ａ＞０，ｂ＞0)的左右焦点分别为Ｆ1，F２渐近线分别为l1,l2，位于第一象限的点P在l1上,若l2⊥ＰF1，l２∥PF2，则双曲线的离心率是（)Ａ.ﻩB ． C.２ D.18．已知定义在R上的可导函数y=ｆ(x)的导函数为f′(x）,满足f′(x）＜f（x），且ｙ=ｆ（x+1）为偶函数，f(2)=1，则不等式f(x）<e x的解集为( ）A．（﹣∞，e４)ﻩB.（e４,＋∞) C.（﹣∞，0)ﻩD.(０,+∞）１9．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′(x），满足ｆ′（x）＜x，且f （2）=1,则不等式ｆ(ｘ）＜x２﹣1的解集为( ）A.(﹣２，+∞) B．（0，＋∞） C．（1,+∞) D．(２,＋∞)２０.对任意实数a,b,定义运算“⊕”:,设ｆ(ｘ）=(x2﹣1)⊕(4＋x)，若函数y=ｆ(x）﹣k有三个不同零点，则实数k的取值范围是（)。
2018高考理科数学选填压轴题专练32题(含详细答案)
装 订 线一．选择题（共26小题）1．设实数x ，y满足，则z=+的取值范围是（ ） A ．[4，] B ．[，] C ．[4，]D ．[，]2．已知三棱锥P ﹣ABC 中，PA ⊥平面ABC，且，AC=2AB ，PA=1，BC=3，则该三棱锥的外接球的体积等于（ ） A． B ．C．D ．3．三棱锥P ﹣ABC 中，PA ⊥平面ABC 且PA=2，△ABC 是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A．B ．4πC ．8πD ．20π4．已知函数f （x +1）是偶函数，且x ＞1时，f ′（x ）＜0恒成立，又f （4）=0，则（x +3）f （x +4）＜0的解集为（ ）A ．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）B ．（﹣6，﹣3）∪（0，4）C ．（﹣∞，﹣6）∪（4，+∞）D ．（﹣6，﹣3）∪（0，+∞）5．当a ＞0时，函数f （x ）=（x 2﹣2ax ）e x 的图象大致是（ ）A．B ．CD ．6．抛物线y 2=4x 的焦点为F ，M 为抛物线上的动点，又已知点N （﹣1，0），则的取值范围是（ ） A ．[1，2] B ．[，] C ．[，2]D ．[1，]7．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n 天所织布的尺数为a n ，则a 14+a 15+a 16+a 17的值为（ ） A ．55 B ．52 C ．39 D ．268．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足：当x ≥0时，f （x ）=x 3+x 2，若不等式f （﹣4t ）＞f （2m +mt 2）对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．B．C．D ．9．将函数的图象向左平移个单位得到y=g （x ）的图象，若对满足|f （x 1）﹣g （x 2）|=2的x 1、x 2，|x 1装 订 线﹣x 2|min=，则φ的值是（ ） A．B ．C ．D ．10．在平面直角坐标系xOy 中，点P 为椭圆C：+=1（a ＞b ＞0）的下顶点，M ，N 在椭圆上，若四边形OPMN 为平行四边形，α为直线ON 的倾斜角，若α∈（，]，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ）A ．（0，]B ．（0，]C ．[，]D ．[，]11．如图为中国传统智力玩具鲁班锁，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全相同的正四棱柱分成三组，经90°榫卯起来．现有一鲁班锁的正四棱柱的底面正方形边长为1，欲将其放入球形容器内（容器壁的厚度忽略不计），若球形容器表面积的最小值为30π，则正四棱柱体的高为（ ） A．B ．C ．D ．512．若函数f （x ）=2sin （）（﹣2＜x＜10）的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B 、C 两点，则（+）•=（ ） A ．﹣32B ．﹣16C ．16D ．3213．已知抛物线方程为y 2=4x ，直线l 的方程为x ﹣y +2=0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，P 到l 的距离为d 2，则d 1+d 2的最小值为（ ）A ．B ．﹣1C ．2D ．2+214．已知抛物线方程为y 2=8x ，直线l 的方程为x ﹣y +2=0，在抛物线上有一动点P 到y 轴距离为d 1，P 到l 的距离为d 2，则d 1+d 2的最小值为（ ）A ．2﹣2 B ．2 C ．2﹣2 D ．2+215．如图，扇形AOB 中，OA=1，∠AOB=90°，M 是OB 中点，P 是弧AB 上的动点，N 是线段OA上的动点，则的最小值为（ ） A ．0B ．1C ．D ．1﹣16．若函数f （x ）=log 0.2（5+4x ﹣x 2）在区间（a ﹣1，a +1）上递减，且b=lg0.2，c=20.2，则（ ） A ．c ＜b ＜a B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜c D ．b ＜a ＜c 17．双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2渐近线分别为l 1，l 2，位于第一象限的点P 在l 1上，若l 2⊥PF 1，l 2∥PF 2，则双曲线的离心率是（ ） A ．B ．C ．2D ．18．已知定义在R 上的可导函数y=f （x ）的导函数为f′（x ），满足f′（x ）＜f （x ），且y=f （x +1）为偶函数，f （2）=1，则不等式f （x ）＜e x 的解集为（ ）A ．（﹣∞，e 4）B ．（e 4，+∞）C ．（﹣∞，0）D ．（0，+∞）19．已知定义在R 上的可导函数f （x ）的导函装 订 线数为f′（x ），满足f′（x ）＜x ，且f （2）=1，则不等式f （x ）＜x 2﹣1的解集为（ ） A ．（﹣2，+∞） B ．（0，+∞） C ．（1，+∞）D ．（2，+∞）20．对任意实数a ，b，定义运算“⊕”：，设f （x ）=（x 2﹣1）⊕（4+x ），若函数y=f （x ）﹣k 有三个不同零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．（﹣1，2]B ．[0，1]C ．[﹣1，3）D ．[﹣1，1）21．定义在R 上的函数f （x ）满足：f （x ）+f′（x ）＞1，f （0）=4，则不等式e xf （x ）＞e x+3（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A ．（0，+∞） B ．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C ．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D ．（3，+∞）22．定义在区间[a ，b ]上的连续函数y=f （x ），如果∃ξ∈[a ，b ]，使得f （b ）﹣f （a ）=f′（ξ）（b ﹣a ），则称ξ为区间[a ，b ]上的“中值点”．下列函数：①f （x ）=3x +2；②f （x ）=x 2；③f （x ）=ln （x +1）；④中，在区间[0，1]上“中值点”多于1个的函数是（ ） A ．①④B ．①③C ．②④D ．②③23．已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （1）=1，且f （x ）的导数f′（x ）＞，则不等式f （x 2）＜的解集为（ ）A ．（﹣∞，﹣1）B ．（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）D ．（﹣1，1）24．已知函数f （x ）=2sin （ωx +φ）+1（ω＞0，|φ|≤），其图象与直线y=﹣1相邻两个交点的距离为π，若f （x ）＞1对∀x ∈（﹣，）恒成立，则φ的取值范围是（ ） A ． B ．C ．D ．25．在R 上定义运算⊕：x ⊗y=x （1﹣y ）若对任意x ＞2，不等式（x ﹣a ）⊗x ≤a +2都成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[﹣1，7] B ．（﹣∞，3] C ．（﹣∞，7]D ．（﹣∞，﹣1]∪[7，+∞）26．设f （x ）是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有f （x +4）=f （x ），且当x ∈[﹣2，0]时，，若在区间（﹣2，6]内关于x 的方程f （x ）﹣log a （x +2）=0（0＜a ＜1）恰有三个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ． B ．C．D ．27．已知函数f （x ）=xe x ﹣ae 2x （a ∈R ）恰有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2），则实数a 的取值范围为 ．28．函数y=f （x ）图象上不同两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）处的切线的斜率分别是k A ，k B ，规定φ（A ，B ）=叫曲线y=f （x ）在点A装 订 线与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题： （1）函数y=x 3﹣x 2+1图象上两点A 、B 的横坐标分别为1，2，则φ（A ，B ）＞；（2）存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；（3）设点A 、B 是抛物线，y=x 2+1上不同的两点，则φ（A ，B ）≤2；（4）设曲线y=e x上不同两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且x 1﹣x 2=1，若t•φ（A ，B ）＜1恒成立，则实数t 的取值范围是（﹣∞，1）；以上正确命题的序号为 （写出所有正确的）29．已知数列{a n }是各项均不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，且．若不等式对任意n ∈N *恒成立，则实数λ的最大值为 ．30．已知点A （0，1），直线l ：y=kx ﹣m 与圆O ：x 2+y 2=1交于B ，C 两点，△ABC 和△OBC 的面积分别为S 1，S 2，若∠BAC=60°，且S 1=2S 2，则实数k 的值为 ．31．定义在区间[a ，b ]上的连续函数y=f （x ），如果∃ξ∈[a ，b ]，使得f （b ）﹣f （a ）=f′（ξ）（b ﹣a ），则称ξ为区间[a ，b ]上的“中值点”．下列函数： ①f （x ）=3x +2； ②f （x ）=x 2﹣x +1； ③f （x ）=ln （x +1）； ④f （x ）=（x ﹣）3，在区间[0，1]上“中值点”多于一个的函数序号为 ．（写出所有满足条件的函数的序号）32．已知函数f （x ）=x 3﹣3x ，x ∈[﹣2，2]和函数g （x ）=ax ﹣1，x ∈[﹣2，2]，若对于∀x 1∈[﹣2，2]，总∃x 0∈[﹣2，2]，使得g （x 0）=f （x 1）成立，则实数a 的取值范围 ．1．解：由已知得到可行域如图：由图象得到的范围为[kOB ，kOC]，即[，2]， 所以z=+的最小值为4；（当且仅当y=2x=2时取得）；当=，z 最大值为；所以z=+的取值范围是[4，]； 故选：C ．2．解：∵三棱锥P ﹣ABC 中，PA ⊥平面ABC，且，AC=2AB ，PA=1，BC=3，设AC=2AB=2x ，∴由余弦定理得32=x2+4x2﹣2×，解得AC=2，AB=，∴AB2+BC2=AC2，∴AB ⊥BC ，构造长方体ABCD ﹣PEFG ，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球就是长方体ABCD ﹣PEFG 的外接球，∴该三棱锥的外接球的半径R===，∴该三棱锥的外接球的体积： V==．故选：A ．3．解：根据已知中底面△ABC 是边长为的正三角形，PA ⊥底面ABC ，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC 为底面以PA 为高装 订 线的正三棱柱的外接球 ∵△ABC 是边长为的正三角形，∴△ABC 的外接圆半径r==1， 球心到△ABC 的外接圆圆心的距离d=1， 故球的半径R==，故三棱锥P ﹣ABC 外接球的表面积S=4πR2=8π， 故选：C ．4．解：∵函数f （x+1）是偶函数，∴其图象关于y 轴对称，∵f （x ）的图象是由f （x+1）的图象向右平移1个单位得到的，∴f （x ）的图象关于x=1对称，又∵x ＞1时，f′（x ）＜0恒成立，所以f （x ）在（1，+∞）上递减，在（﹣∞，1）上递增， 又f （4）=0，∴f （﹣2）=0，∴当x ∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）时，f （x ）＜0；当x ∈（﹣2，1）∪（1，4）时，f （x ）＞0；∴对于（x ﹣1）f （x ）＜0，当x ∈（﹣2，1）∪（4，+∞）时成立，∵（x+3）f （x+4）＜0可化为（x+4﹣1）f （x+4）＜0， ∴由﹣2＜x+4＜1或x+4＞4得所求的解为﹣6＜x ＜﹣3或x ＞0． 故选D5．解：解：由f （x ）=0，解得x2﹣2ax=0，即x=0或x=2a ，∵a ＞0，∴函数f （x ）有两个零点，∴A ，C 不正确． 设a=1，则f （x ）=（x2﹣2x ）ex ， ∴f'（x ）=（x2﹣2）ex ，由f'（x ）=（x2﹣2）ex ＞0，解得x ＞或x ＜﹣． 由f'（x ）=（x2﹣2）ex ＜0，解得，﹣＜x ＜即x=﹣是函数的一个极大值点，∴D 不成立，排除D ．故选B ．6．解：设过点N 的直线方程为y=k （x+1），代入y2=4x 可得k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，∴由△=（2k2﹣4）2﹣4k4=0，可得k=±1，此时直线的倾斜角为45°．过M 作准线的垂线，垂足为A ，则|MF|=|MA|，∴=∴直线的倾斜角为45°或135°时，取得最大值，倾斜角为0°时，取得最小值1，∴的取值范围是[1，]．故选：D ．7．解：设从第2天开始，每天比前一天多织d 尺布， 则=390，解得d=，∴a14+a15+a16+a17=a1+13d+a1+14d+a1+15d+a1+16d =4a1+58d=4×5+58× =52． 故选：B ．8．解：∵定义在R 上的奇函数f （x ）满足：当x ≥0时，f （x ）=x3+x2，∴f （0）=0，且f′（x ）=3x2+2x ≥0，即函数f （x ）在[0，+∞）上为增函数，∵f （x ）是奇函数，∴函数f （x ）在（﹣∞，0]上也是增函数，即函数f （x ）在（﹣∞，+∞）上为增函数， 则不等式f （﹣4t ）＞f （2m+mt2）等价为﹣4t ＞2m+mt2对任意实数t 恒成立即mt2+4t+2m ＜0对任意实数t 恒成立， 若m=0，则不等式等价为4t ＜0，即t ＜0，不满足条件．， 若m ≠0，则要使mt2+4t+2m ＜0对任意实数t 恒成立，则，解得m ＜﹣，故选：A 9．解：将函数的图象向左平移个单位得到y=g （x ）=sin[2（x+φ）+]=sin （2x+2φ+）的图象，装 订 线对满足|f （x1）﹣g （x2）|=2的x1、x2，|x1﹣x2|min=， 即两个函数的最大值与最小值的差为2时，|x1﹣x2|min=．不妨设 x1=，此时 x2 =±．若x1=，x2 =+=，则g （x2）=﹣1，sin2φ=1，φ=． 若 x1=，x2 =﹣=﹣，则g （x2）=﹣1，sin2φ=﹣1，φ=，不合题意， 故选：B ．10．解：∵OP 在y 轴上，且平行四边形中，MN ∥OP ， ∴M 、N 两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，即M ，N 两点关于x 轴对称，MN=OP=a ，可设M （x ，﹣），N （x ，）， 代入椭圆方程得：|x|=b ，得N （b ，），α为直线ON 的倾斜角，tanα==，cotα=， α∈（，]，∴1≤cotα=≤，，∴，∴0＜e=≤．∴椭圆C 的离心率的取值范围为（0，]．故选：A ．11．解：∵球形容器表面积的最小值为30π， ∴球形容器的半径的最小值为r==，∴正四棱柱体的对角线长为，设正四棱柱体的高为h ， ∴12+12+h2=30， 解得h=2．故选：B ．12．解：由f （x ）=2sin（）=0可得∴x=6k ﹣2，k ∈Z ∵﹣2＜x ＜10∴x=4即A （4，0） 设B （x1，y1），C （x2，y2）∵过点A 的直线l 与函数的图象交于B 、C 两点 ∴B ，C 两点关于A 对称即x1+x2=8，y1+y2=0 则（+）•=（x1+x2，y1+y2）•（4，0）=4（x1+x2）=32 故选D13．解：如图，过点P 作PA ⊥l 于点A ，作PB ⊥y 轴于点B ，PB 的延长线交准线x=﹣1于点C ，连接PF ，根据抛物线的定义得PA+PC=PA+PF ， ∵P 到y 轴的距离为d1，P 到直线l 的距离为d2， ∴d1+d2=PA+PB=（PA+PC ）﹣1=（PA+PF ）﹣1， 根据平面几何知识，可得当P 、A 、F 三点共线时，PA+PF 有最小值，∵F （1，0）到直线l ：x ﹣y+2=0的距离为=∴PA+PF 的最小值是，由此可得d1+d2的最小值为﹣1 故选：B ．14．解：点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离， 过焦点F 作直线x ﹣y+2=0的垂线，此时d1+d2最小， ∵F （2，0），则d1+d2=﹣2=2﹣2， 故选：C ．15．解；分别以OA ，OB 为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，设P （cosα，sinα），N （t ，0），则0≤t ≤1，0≤α≤，M （0，），∴=（﹣cosα，﹣sinα），=（t ﹣cosα，﹣sinα）．装 订 线∴=﹣（t ﹣cosα）cosα﹣sinα（﹣sinα）=cos2α+sin2α﹣tcosα﹣sinα=1﹣sin（α+φ）． 其中tanφ=2t，∵0≤α≤，0≤t ≤1， ∴当α+φ=，t=1时，取得最小值1﹣=1﹣． 故选：D ．16．解：由5+4x ﹣x2＞0，得﹣1＜x ＜5， 又函数t=5+4x ﹣x2的对称轴方程为x=2， ∴复合函数f （x ）=log0.2（5+4x ﹣x2）的减区间为（﹣1，2）， ∵函数f （x ）=log0.2（5+4x ﹣x2）在区间（a ﹣1，a+1）上递减，∴，则0≤a ≤1．而b=lg0.2＜0，c=20.2＞1， ∴b ＜a ＜c ． 故选：D ．17．解：∵双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F1，F2， 渐近线分别为l1，l2，点P 在第一 象限内且在l1上， ∴F1（﹣c ，0）F2（c ，0）P （x ，y ）， 渐近线l1的直线方程为y=x ，渐近线l2的直线方程为y=﹣x ，∵l2∥PF2，∴，即ay=bc ﹣bx ， ∵点P 在l1上即ay=bx ， ∴bx=bc ﹣bx 即x=，∴P （，），∵l2⊥PF1，∴，即3a2=b2，∵a2+b2=c2，∴4a2=c2，即c=2a ，∴离心率e==2． 故选C ．18．解：∵y=f （x+1）为偶函数， ∴y=f （x+1）的图象关于x=0对称， ∴y=f （x ）的图象关于x=1对称， ∴f （2）=f （0）， 又∵f （2）=1， ∴f （0）=1；设（x ∈R ），则，又∵f′（x ）＜f （x ），∴f′（x ）﹣f （x ）＜0， ∴g′（x ）＜0，∴y=g （x ）单调递减， ∵f （x ）＜ex ，∴，即g （x ）＜1，又∵，∴g （x ）＜g （0）， ∴x ＞0， 故答案为：（0，+∞）．19．解：设g （x ）=f （x ）﹣（x2﹣1）， 则函数的导数g′（x ）=f′（x ）﹣x ， ∵f′（x ）＜x ，∴g′（x ）=f′（x ）﹣x ＜0， 即函数g （x ）为减函数，且g （2）=f （2）﹣（×4﹣1）=1﹣1=0， 即不等式f （x ）＜x2﹣1等价为g （x ）＜0， 即等价为g （x ）＜g （2）， 解得x ＞2，故不等式的解集为{x|x ＞2}． 故选：D ．装 订 线20．解：由x2﹣1﹣（4+x ）=x2﹣x ﹣5≥1得x2﹣x ﹣6≥0，得x ≥3或x ≤﹣2，此时f （x ）=4+x ，由x2﹣1﹣（4+x ）=x2﹣x ﹣5＜1得x2﹣x ﹣6＜0，得﹣2＜x ＜3，此时f （x ）=x2﹣1，即f （x ）=，若函数y=f （x ）﹣k 有三个不同零点，即y=f （x ）﹣k=0，即k=f （x ）有三个不同的根， 作出函数f （x ）与y=k 的图象如图： 当k=2时，两个函数有三个交点， 当k=﹣1时，两个函数有两个交点，故若函数f （x ）与y=k 有三个不同的交点， 则﹣1＜k ≤2，即实数k 的取值范围是（﹣1，2]， 故选：A21．解：设g （x ）=exf （x ）﹣ex ，（x ∈R ），则g′（x ）=exf （x ）+exf′（x ）﹣ex=ex[f （x ）+f′（x ）﹣1]，∵f （x ）+f′（x ）＞1， ∴f （x ）+f′（x ）﹣1＞0， ∴g′（x ）＞0，∴y=g （x ）在定义域上单调递增， ∵exf （x ）＞ex+3， ∴g （x ）＞3，又∵g （0）═e0f （0）﹣e0=4﹣1=3， ∴g （x ）＞g （0）， ∴x ＞0 故选：A ．22．解：根据题意，“中值点”的几何意义是在区间[a ，b]上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间[a ，b]的两个端点连线的斜率值． 对于①，根据题意，在区间[a ，b]上的任一点都是“中值点”，f′（x ）=3，满足f （b ）﹣f （a ）=f′（x ）（b ﹣a ），∴①正确； 对于②，根据“中值点”函数的定义，抛物线在区间[a ，b]只存在一个“中值点”，∴②不正确；对于③，f （x ）=ln （x+1）在区间[a ，b]只存在一个“中值点”，∴③不正确；对于④，∵f′（x ）=3（x ﹣）2，且f （1）﹣f （0）=，1﹣0=1；∴3（x ﹣）2×1=，解得x=±∈[0，1]， ∴存在两个“中值点”，④正确．故选：A23．解：根据题意，设g （x ）=f （x ）﹣，其导数g′（x ）=f′（x ）﹣＞0，则函数g （x ）在R 上为增函数，又由f （1）=1，则g （1）=f （1）﹣=，不等式f （x2）＜⇒f （x2）﹣＜⇒g （x2）＜g （1），又由g （x ）在R 上为增函数，则x2＜1， 解可得：﹣1＜x ＜1，即不等式的解集为（﹣1，1）； 故选：D ．24．解：函数f （x ）=2sin （ωx +φ）+1（ω＞0，|φ|≤），其图象与直线y=﹣1相邻两个交点的距离为π，故函数的周期为=π，∴ω=2，f （x ）=2sin （2x+φ）+1．若f （x ）＞1对∀x ∈（﹣，）恒成立，即当x∈（﹣，）时，sin （2x+φ）＞0恒成立，故有2kπ＜2•（﹣）+φ＜2•+φ＜2kπ+π，求得2kπ+φ＜2kπ+，k ∈Z ，结合所给的选项， 故选：D ．25．解：∵x ⊗y=x （1﹣y ），∴（x ﹣a ）⊗x ≤a+2转化为（x ﹣a ）（1﹣x ）≤a+2， ∴﹣x2+x+ax ﹣a ≤a+2， a （x ﹣2）≤x2﹣x+2，∵任意x ＞2，不等式（x ﹣a ）⊗x ≤a+2都成立，∴a ≤．装 订 线令f （x ）=，x ＞2，则a ≤[f （x ）]min ，x ＞2而f （x ）===（x ﹣2）++3≥2+3=7，当且仅当x=4时，取最小值． ∴a ≤7． 故选：C ．26．解：由f （x+4）=f （x ），即函数f （x ）的周期为4，∵当x ∈[﹣2，0]时，=2﹣2﹣x ， ∴若x ∈[0，2]，则﹣x ∈[﹣2，0]， ∵f （x ）是偶函数，∴f （﹣x ）=2﹣2x=f （x ）， 即f （x ）=2﹣2x ，x ∈[0，2]，由f （x ）﹣loga （x+2）=0得f （x ）=loga （x+2）， 作出函数f （x ）的图象如图：当a ＞1时，要使方程f （x ）﹣loga （x+2）=0恰有3个不同的实数根，则等价为函数f （x ）与g （x ）=loga （x+2）有3个不同的交点，则满足，即，解得：＜a ＜故a 的取值范围是（，），故选：C ．二．填空题（共6小题）27．解：函数f （x ）=xex ﹣ae2x 可得f′（x ）=ex （x+1﹣2aex ），要使f （x ）恰有2个极值点，则方程x+1﹣2aex=0有2个不相等的实数根， 令g （x ）=x+1﹣2aex ，g′（x ）=1﹣2aex ；（i ）a ≤0时，g′（x ）＞0，g （x ）在R 递增，不合题意，舍，（ii ）a ＞0时，令g′（x ）=0，解得：x=ln，当x ＜ln 时，g′（x ）＞0，g （x ）在（﹣∞，ln ）递增，且x→﹣∞时，g （x ）＜0，x ＞ln 时，g′（x ）＜0，g （x ）在（ln ，+∞）递减，且x→+∞时，g （x ）＜0， ∴g （x ）max=g （ln ）=ln+1﹣2a•=ln＞0， ∴＞1，即0＜a ＜；故答案为：（0，）． 28．解：对于（1），由y=x3﹣x2+1，得y′=3x2﹣2x ， 则，，y1=1，y2=5，则，φ（A ，B ）=，（1）错误； 对于（2），常数函数y=1满足图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数，（2）正确； 对于（3），设A （x1，y1），B （x2，y2），y′=2x， 则kA ﹣kB=2x1﹣2x2，==．∴φ（A，B）==，（3）正确；对于（4），由y=ex ，得y′=ex ，φ（A ，B ）装 订 线==．t•φ（A ，B ）＜1恒成立，即恒成立，t=1时该式成立，∴（4）错误．故答案为：（2）（3）．29．解：∵数列{an}是各项均不为零的等差数列，Sn 为其前n 项和，且．∴，∴，由a1＞0，解得a1=1，=3a2，由a2＞0，解得a2=3，∴公差d=a2﹣a1=2，an=1+（n ﹣1）×2=2n ﹣1．∵不等式对任意n ∈N*恒成立，∴对任意n ∈N*恒成立，∴==≥2+17=25．当且仅当2n=，即n=2时，取等号， ∴实数λ的最大值为25． 故答案为：25．30．解：设圆心O 、点A 到直线的距离分别为d ，d′，则d=，d′=，根据∠BAC=60°，可得BC 对的圆心角∠BOC=120°，且BC=．∴S △OBC=•OB•OC•sin ∠BOC=×1×1×sin120°=，∴S1=②．∴=，=∴k=±，m=1故答案为：±．31．解：根据题意，“中值点”的几何意义是在区间[0，1]上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间[0，1]的两个端点连线的斜率值．如图．对于①，根据题意，在区间[0，1]上的任何一点都是“中值点”，故①正确；对于②，根据“中值点”函数的定义，抛物线在区间[0，1]只存在一个“中值点”，故②不正确；对于③，f （x ）=ln （x+1）在区间[0，1]只存在一个“中值点”，故③不正确；对于④，根据对称性，函数在区间[0，1]存在两个“中值点”，故④正确． 故答案为：①④．32．解：∵f （x ）=x3﹣3x ， ∴f′（x ）=3（x ﹣1）（x+1），当x ∈[﹣2，﹣1]，f′（x ）≥0，x ∈（﹣1，1），f′（x ）＜0；x ∈（1，2]，f′（x ）＞0． ∴f （x ）在[﹣2，﹣1]上是增函数，（﹣1，1）上递减，（1，2）递增；且f （﹣2）=﹣2，f （﹣1）=2，f （1）=﹣2，f （2）=2．∴f （x ）的值域A=[﹣2，2]；又∵g （x ）=ax ﹣1（a ＞0）在[﹣2，2]上是增函数， ∴g （x ）的值域B=[﹣2a ﹣1，2a ﹣1]； 根据题意，有A ⊆B。
福建中学2018-2019年秋届高考数学选择填空题基础训练(4)理(无答案)
高三理科基础训练（4）1.设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x x x 2=2-，则()f 1=（ ） A -3 B -1 Ｃ１ Ｄ32.设0a >且1a ≠,则“()xf x a =在R 上是减函数 ”是“3()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的（ ）条件A 充分不必要B 必要不充分条件C 充分必要D 既不充分也不必要3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞) 4.f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),4(log 2x x f x f x x ，则f （3）的值为( )A.-1B. -2C.1D. 25.下列函数中，有 “对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）”的是（ ）A 幂函数B 对数函数C 指数函数D 余弦函数 6.下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）A.()12f x x = B.()3f x x = C.()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.()3x f x =7.设232555322555a b c ===（）,（），（），则a ，b ，c 的大小关系是（ ）． A a ＞c ＞b B a ＞b ＞c C c ＞a ＞b D b ＞c ＞a 8.设5log 4a =，()25log 3b =，4log 5c =，则（ ）．Ａa c b << Ｂb c a << Ｃa b c << Ｄb a c << 9.已知x=ln π，y=log 52，21-=e z ，则（ ）A x ＜y ＜zB z ＜x ＜yC z ＜y ＜xD y ＜z ＜x 10.设25abm ==，且112a b+=，则m =（ ）11.设函数()xf x xe =，则（ ）A. 1x =为()f x 的极大值点B.1x =为()f x 的极小值点C. 1x =-为()f x 的极大值点D. 1x =-为()f x 的极小值点 12.若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则（ ） A 1,1a b == B 1,1a b =-= C 1,1a b ==- D 1,1a b =-=- 13.函数在处取最小值,则（ ）A B C 3 D414.若a ＞0，b ＞0，且函数f(x)＝4x 3－a x 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于 A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 15.在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）2 C. 12 D. 12- 16.设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两个根，则tan()αβ+的值为（ ）A-3 B-1 C1 D3 17.函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是( )A 2,3π-B 2,6π-C 4,6π-D 4,3π18.若函数()y f x =是函数(0,1)xy a a a =>≠且的反函数，其图像经过点)a ，则()f x =（ ）A. 2log xB. 12log x C.12xD. 2x 19.函数x xx xe e y e e --+=-的图像大致为( ).20有四个关于三角函数的命题：1p ：∃x ∈R, 2sin 2x +2cos 2x =12 2p ： ∃x 、y ∈R, sin(x-y)=sinx-siny 3p ：∀x ∈[]0,π4p ： sinx=cosy ⇒x+y=2π其中假命题的是( ).（A ）1p ，4p （B ）2p ，4p （3）1p ，3p （4）2p ，4p 21函数y =的定义域为D22已知实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为________23.已知,lg ,24a x a==则x =_ _ ____方程52=x的解是______________24.121(lg lg 25)100=4--÷_____ __ 2log 510＋log 50.25＝______________25设sin 2sin αα=-,(,)2παπ∈,则tan 2α的值是________26.定积分=+⎰-dx x x 112)sin (__________27曲线y=x 3－x +3在点（1，3）处的切线方程为 28.函数32()31f x x x =-+在x = 处取得极小值.29.在ABC ∆中,角 A B C 、、所对边长分别为 a b c 、、,若5 8 60a b B ===，，,则b=_______认真对待学习的每一个环节， 就是认真对待自己的命运！不会学会，会的做对. 没有不会做，只有没努力！。
最新-2018级高考数学选择填空专项训练四新人教版 精品
选择填空专项训练四一、选择题：1、已知集合M ＝{0，1，2}，N ＝{x |x ＝2a ，a ∈M}，则集合M ∩N 等于 ( )A 、{0，1}B 、{0，2}C 、{1，2}D 、{0}2、在△ABC 中，“A>B ”是“cosA<cosB ”的 ( )A 、充分非必要条件B 、必要非充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件3、tan15º＋cot15º的值为 ( )A 、33B 、 3C 、1D 、44、圆x 2+y 2=2截直线x －y －1=0所得弦长为 ( ) A 、 6 B 、62C 、2 2D 、 2 5、在(x +y )n 展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是 ( )A 、第5、6项B 、第6、7项C 、第6项D 、第5项6、己知菱形ABCD 的边长为10，∠ABC=60°，将这个菱形沿对角线BD 折成120°的二面角，这时A 、C 两点问的距离是 ( )A 、5B 、5 3C 、152D 、5 2 7、设f -–1(x )是函数f (x )=2x +1的反函数，若f -–1(a )+f -–1(b )＝0，则ab 等于 ( )A 、4B 、2C 、1D 、不确定8、己知P 是△ABC 所在平面内一点，若CB ＝λPA +PB (λ∈R)，则点P 一定在 ( )A 、△ABC 内部B 、AC 边所在直线上C 、AB 边所在直线上D 、BC 边所在直线上9、以正方形ABCD 的相对顶点A 、C 为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为( )A 、10－23B 、5－13C 、5－12D 、10－22 10、己知不等式(x +y)(1x +a y )≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为 ( )A 、1B 、2C 、4D 、611、若数列{x n }满足lg x n +l =1+lg x n (n ∈N*)，且x l +x 2+…+x 100=100，则lg(x l01+x 118+…+x 200)的值等于( ) A 、200 B 、120 C 、110 D 、11812、四面体的顶点和各棱的中点共10个点，以这10个点为顶点，共能确定四棱锥的个数是 ( )A 、114个B 、118个C 、96个D 、72个二、填空题：13．某中学高一年级有280人，高二年级有320人，高三年级有400人，从该中学抽取一个容量为n 的样本，若每人被抽取的概率为0.2，则n=____________。
四川达州高2018届数学(理)四模试题(解析版)
四川省达州市高2018届高考模拟四2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据题意先求B集合，再结合交集运算即可.详解：由题可得B=，故，选B点睛：考查集合基本运算，属于基础题.2. 已知（是虚数单位），的共轭复数为，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先求出z，再写出共轭复数，然后根据模长公式即可得出.详解：，故，选C点睛：考查复数的四则运算、共轭复数、复数的模长求法，属于基础以.3. 如图是我国2008年—2017年年增量统计图．下列说法正确的是（）A. 2009年比2008年少B. 与上一年比，年增量的增量最大的是2017年C. 从2011年到2015年，年增量逐年减少D. 2016年年增长率比2012年年增长率小【答案】D【解析】分析：根据图形即可判断每一项答案.详解：A无法确定，因为此图是增量图，具体2009年和2008的GDP是多少未知；与上一年相比增量最大的应该是2010年，故B错，C明显错误，2013年的增量在增加，故选D.点睛：考查对图形的理解，属于基础题.4. 已知数列为等比数列，若，下列结论成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析:根据等比数列的通项性质即可得出结论.详解：因为，故，故选A.点睛：考查等比数列的通项性质，属于基础题.5. 在梯形中，，，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据向量加法、减法法则将转化为即可求解.详解：由题可得：=,故选A.点睛：考查向量的线性运算，将问题转化为已知的信息是解题关键.6. 将函数的图象向左平移，然后再向下平移一个单位，所得图象的一个对称中心为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先将函数平移后的表达式得出：-1，令即可.详解：由题得：平移后的表达式得出：-1，令令k=0可得对称中心为故选C.点睛：考查三角函数的平移、对称中心的求法，正确平移的得到表达式是解题关键.7. 运行如图所示的程序框图，若输入的与输出的相等，则为正数的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据流程图可得函数y是一个分段函数，然后画出图像与y=x的交点即可.详解：根据流程图可得分段函数表达式，然后得y=x的图像与分段函数图像：f（x）与y=x有四个交点，其中x为正数的有两个点，故满足题意的概率为：，故选B点睛：考查对流程图的理解、函数图像，正确画出函数的的图像是解题关键，属于中档题.8. 二项式展开式中，有理项项数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据二项式定理展开的：，要为有理项，则为整数即可.详解：由题可得：通项为，要为有理项，则为整数，故r可取0,2,4,6,8故有五项有理数，故选B点睛：考查二项式定理的展开，正确写出通项，然后理解题意x的次数为整数即可为解题关键，属于基础题.9. 如图，一几何体的正视图是高为的等腰三角形，它的俯视图是由三个等腰三角形组合成的边长为的正三角形，几何体的顶点均在球上，球的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题可得该几何体为正三棱锥，正视图是高为即为三棱锥的高，俯视图的的中心即为底面外接圆的圆心，故球心在三棱锥的高上.详解：由题可得该几何体为正三棱锥，正视图是高为即为三棱锥的高，故可设球的半径为R，底面外接圆的半径为底面三角形高的即为，然后由勾股定理：，故球的体积为：故选C点睛：考查三视图、外接球，正确理解直观图，然后确定球心的位置是解题关键.10. 二次函数的导数为，对一切，，又，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先根据题目的条件建立关于a、b、c的关系式，再结合基本不等式求出最小即可，注意等号成立的条件．详解：∵f（x）=ax2+bx+c，∴f′（x）=2ax+b，f′（0）=b＞0，∵对任意实数x都有f（x）≥0，∴a＞0，c＞0，b2-4ac≤0即而，故答案为：A点睛：本题主要考查了导数的运算，以及函数的最值及其几何意义和不等式的应用，属于中档题．11. 抛物线（）的焦点是，直线与抛物线在第一象限的交点为，过作抛物线准线的垂线，垂足为，内切圆的半径是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据题意可作出草图，直线过抛物线焦点，然后连立方程可得A（），根据抛物线性质可得AB=4，BF=4，∠BFA=60°，再根据等面积法即可得半径.详解：如图所示：因为直线的斜率为故倾斜角为60°，联立，BF=4,由图可知∠BFA=60°，故三角形BFA为等边三角形，设内切圆半径为r，故由三角形BFA等面积法，故选D点睛：考查抛物线的定义和基本性质，三角形内切圆半径求法通常选择等面积法来解是解题关键，属于中档题. 12. 已知，，且对恒成立，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先求出函数的导数，再分别讨论a=0，a＜0，a＞0的情况，从而得出ab的最大值．详解：令f（x）=e x-a（x-1）-b，则f′（x）=e x-a，若a=0，则f（x）=e x-b≥-b≥0，得b≤0，此时ab=0；若a＜0，则f′（x）＞0，函数单调增，x→-∞，此时f（x）→-∞，不可能恒有f（x）≥0．若a＞0，由f′（x）=e x-a=0，得极小值点x=lna，由f（lna）=a-alna+a-b≥0，得b≤a（2-lna），ab≤a2（2-lna）．令g（a）=a2（2-lna）．则g′（a）=2a（2-lna）-a=a（3-2lna）=0，得极大值点a=．而g（）=∴ab的最大值是故选C点睛：本题考查函数恒成立问题，考查了函数的单调性，训练了导数在求最值中的应用，渗透了分类讨论思想，是中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 命题“若，则”的逆否命题是__________．【答案】若，则【解析】分析：直接根据逆否命题的定义修改即可，即将条件和结论反过来并且否定.详解：“若，则”的逆否命题是：若，则点睛：考查逆否命题的定义，属于基础题.14. 直线是双曲线的一条渐近线，双曲线的离心率是__________．【答案】2【解析】分析：利用双曲线的渐近线方程，推出a，b的关系，然后求解双曲线的离心率即可．详解：双曲线的一条渐近线方程为，可得，即解得e=2．故答案为：2．点睛：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．15. 在锐角中，，，的面积为，__________．【答案】2【解析】分析：先可得出，再由面积公式：得出AB，再由∠A的余弦定理即可求出BC.详解：由题得，，,故答案为2.点睛：考查余弦定理、三角形的面积公式的应用，对公式的灵活运用和审题仔细是解题关键.16. 已知函数，关于的方程有以下结论：①当时，方程恒有根；②当时，方程在内有两个不等实根；③当时，方程在内最多有9个不等实根；④若方程在内根的个数为偶数，则所有根之和为．其中正确的结论是__________（填写所有正确结论的番号）．【答案】③④【解析】分析：作出函数图像根据情况逐一讨论即可.详解：如图所示：令f（x）=t，故可将题理解为先求出的解，然后再令f（x）=t即可得出方程的根的情况，而假设有两解故一正一负，显然负根与函数f（x）的图像不会产生交点，故只需讨论正根与图像的交点，不妨假设为正根，故可得对于（1）显然错误，只要将取得足够大很显然与函数图像不会有交点，故错误.对于（2）当时，],故的最大值只能取3，故方程在内有两个或三个或四个不等实根；故错误.对于（3）当时，故，所以的最小值取当=时，此时在内有9个不等实根；当a>0时，此时在内则无根或者6个根；故最多9个根，正确；对于（4）当在为偶数根时即为6个根，此时6个解关于对称，故6个根的和为：正确，故正确的（3）（4）点睛：考查函数的图像和复合方程的解法，复合方程的解法先由换元求t的解的情况，再解f（x）与t的交点情况即可得到解的个数问题，属于难题.请在此填写本题解析!三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在已知数列中，，．（1）若数列是等比数列，求常数和数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）若数列是等比数列，故构造，可得数列是以为首项，以2为公比的等比数列；（2）由（1）可得，，分离参数，求的最大值即可.（1）∵，∴，∵，∴数列是以为首项，以2为公比的等比数列，由题意得，，∴，即数列的通项公式为．（2）由（1）可得，，∵，∴，由不等式组得，∴数列的最大项是第2项和第3项，值为．∴，所以实数的取值范围是．点睛：考查数列的通项求法，此题用的是数列通项的构造法，构造为等比数列求解是解通项的关键，对于第二问则转化为函数的最值问题分析是关键.属于中档题.18. 某体育公司对最近6个月内的市场占有率进行了统计，结果如表：（1）可用线性回归模型拟合与之间的关系吗？如果能，请求出关于的线性回归方程，如果不能，请说明理由；（2）公司决定再采购，两款车扩大市场，，两款车各100辆的资料如表：平均每辆车每年可为公司带来收入500元，不考虑采购成本之外的其他成本，假设每辆车的使用寿命都是整数年，用每辆车使用寿命的频率作为概率，以每辆车产生利润的期望值作为决策依据，应选择采购哪款车型？参考数据：，，，．参考公式：相关系数；回归直线方程，其中，．【答案】（1）；（2）见解析【解析】分析：（1）先计算相关系数越接近于1则代表线性关系越强即可判断；（2）用频率估计概率，分别求出、B款车的利润的分布列求出期望即可作出选择.（1）∵，，，，∴，所以两变量之间具有较强的线性相关关系，故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系．，又，，∴，∴回归直线方程为．（2）用频率估计概率，款车的利润的分布列为：∴（元）．款车的利润的分布列为：∴（元）．以每辆车产生利润俄期望值为决策依据，故应选择款车型．点睛：考查线性回归方程的判定和计算，相关系数的绝对越接近于1则线性关系越强，对于第二问则直接计算出分布列求期望即可，属于基础题.19. 如图，在梯形中，，，，平面平面，四边形是菱形，．（1）求证：；（2）求二面角的平面角的正切值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）线线垂直的证明通常证明线面垂直即可，证平面即可得出结论；（2）求二面角的正切值则直接建立空间坐标系求出两面的法向量然后借助向量交角公式求出余弦值再反求正切值即可.（1）依题意，在等腰梯形中，，，∵，∴，即，∵平面平面，∴平面，而平面，∴，连接，∵四边形是菱形，∴，∴平面，∵平面，∴．（2）取的中点，连接，因为四边形是菱形，且，所以由平面几何易知，∵平面平面，∴平面．故可以、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，各点的坐标依次为，，，，，，设平面和平面的一个法向量分别为，，∵，，∴由即即不妨令，则，同理可求得，∴，故二面角的平面角的正切值为．点睛：考查立体几何中的线线垂直、二面角问题，这都是比较常见的题型和方法，熟悉判定定理和常规解题思路即可，属于一般题.20. 已知椭圆：的左焦点是，椭圆的离心率为，过点（）作斜率不为0的直线，交椭圆于，两点，点，且为定值．（1）求椭圆的方程；（2）求面积的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）根据题意可得，又椭圆的离心率为，得，故椭圆的标准方程为．（2）先写出的表达式然后借助韦达定理要使为定值，则，解得或（舍），再利用弦长公式和点到直线的距离表示面积.详解：（1）设，∴，又椭圆的离心率为，得，于是有，故椭圆的标准方程为．（2）设，，直线的方程为，由整理得，，，，，．要使为定值，则，解得或（舍），当时，，点到直线的距离，面积，∴当时，面积的最大值为．点睛：考查椭圆的标准方程和基本性质、直线与椭圆的综合问题，认真分析几何关系是解题关键，属于难题. 21. 已知定义在区间上的函数（）．（1）求函数的单调区间；（2）若不等式（…是自然对数的底数）恒成立，求的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）求函数的的单调区间则求导，然后根据参数t的取值范围确定导函数得符号即可得出单调区间；（2）由不等式，恒成立，得不等式，恒成立，只需研究即可得出t范围.（1），①当时，，即是上的增函数；②当时，，令，得，则的增区间为，减区间为．（2）由不等式，恒成立，得不等式，恒成立．①当时，由（1）知是上的增函数，∴，即当时，不等式，恒成立；②当时，，；，，令，则，．∴．要使不等式，恒成立，只要，令，．，∴是上的减函数，又，∴，则，即，解得，故．综合①②得，即的取值范围是．点睛：考查导数在函数中应用，对于单调区间尤其要注意对参数的讨论，从而确定导函数符号，确定单调区间，对于恒成立问题关键是要先将问题转化为最值问题，然后求出最值解出对应的不等式即可得出参数的取值范围，属于难题.22. 在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为．（1）求的直角坐标方程，并指出其图形的形状；（2）与相交于不同两点，，线段中点为，点，若，求参数方程中的值．【答案】（1）的直角坐标方程为，表示以为圆心，为半径的圆；（2）或【解析】试题分析：（Ⅰ）由可将的极坐标方程化为直角坐标方程，由方程可知为圆；（Ⅱ）将代入整理得，由，得，利用韦达定理求解即可.试题解析：（Ⅰ）由得，所以将代入得，即，所以的直角坐标方程为，表示以为圆心、为半径的圆.（Ⅱ）将代入整理得设对应的参数分别为，则是方程的两根，所以，因为，所以，所以所以，所以，所以或23. 已知函数．（1）若恒成立，求实数的最大值；（2）记（1）中的最大值为，正实数，满足，证明：．【答案】（1）2；（2）见解析【解析】试题分析：⑴求出函数的解析式及的值，通过，解得的取值范围，然后求得实数的最大值；⑵利用分析法，证明不等式成立的条件。