高考数学各省市选择填空压轴题

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2024年新高考新结构数学选填压轴好题汇编(解析版)

2024年新高考新结构数学选填压轴好题汇编01一、单选题1.(2024·广东·高三统考阶段练习)在各棱长都为2的正四棱锥V -ABCD 中，侧棱VA 在平面VBC 上的射影长度为()A.263B.233C.3D.2【答案】B【解析】把正四棱锥V -ABCD 放入正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，则V 是上底面的中心，取A 1B 1的中点E ，C 1D 1的中点F ，连接EF ，BE ，CF ，过A 作AG ⊥BE ，垂足为G ，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BC ⊥平面ABB 1A 1，AG ⊂平面ABB 1A 1，所以BC ⊥AG ，又BC ∩BE =B ，BC ,BE ⊂平面EFCB ，所以AG ⊥平面EFCB ，所以侧棱VA 在平面VBC 上的射影为VG ，由已知得，AA 1=2，EB =AA 21+AB 22=3，所以S △ABE =12×2×2=12×3⋅AG ，所以AG =223，所以VG =VA 2-AG 2=22-2232=233．故选：B ．2.(2024·广东·高三校联考开学考试)已知a =14，b =3e -1，c =2ln2-ln3，则()A.a 0，故f x 在0,1 上为增函数，故f x >f 0 =1，e x >x +1，其中0<x <1，故e 13>13+1，即3e -1>13，故b >13；而13-2ln2+ln3=13-ln 43=133-ln 6427 =13ln 27×e 364>13ln 27×364>0，故13>2ln2-ln3=c ，故b >c ；又g x =1-xx>0，故g x 在0,1 上为增函数，故g x <g 1 =0，ln x +1-x <0，其中0<x <1，故ln 34+1-34<0，即则14<-ln 34=ln 43，故a <c ；故b >c >a .故选：B .3.(2024·广东·高三校联考开学考试)已知函数f x =2sin 2ωx +3sin2ωx ω>0 在0,π 上恰有两个零点，则ω的取值范围是()A.23,1B.1,53C.23,1D.1,53【答案】B【解析】由题意可得f (x )=2sin 2ωx +3sin2ωx =3sin2ωx -cos2ωx +1=2sin 2ωx -π6 +1.令2sin 2ωx -π6 +1=0，解得sin 2ωx -π6 =-12，因为0<x <π，所以-π6<2ωx -π6<2ωπ-π6.因为f (x )在(0,π)上恰有两个零点，所以11π6<2ωπ-π6≤19π6，解得1<ω≤53.故选：B .4.(2024·广东湛江·统考一模)已知ab >0，a 2+ab +2b 2=1，则a 2+2b 2的最小值为()A.8-227B.223C.34D.7-228【答案】A【解析】因为ab >0，得：a 2+2b 2≥22a 2b 2=22ab (当且仅当a =2b 时成立)，即得：ab ≤a 2+2b 222=24(a 2+2b 2)，则1=a 2+ab +2b 2≤a 2+2b 2+24(a 2+2b 2)=4+24(a 2+2b 2)，得：a 2+2b 2≥14+24=8-227，所以a 2+2b 2的最小值为8-227，故选：A .5.(2024·广东湛江·统考一模)在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中B 和C 是正确选项，A 和D 是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设事件M =“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件N =“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件X =“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件Y =“甲、乙两人均未选择B 选项”，则()A.事件M 与事件N 相互独立B.事件X 与事件Y 相互独立C.事件M 与事件Y 相互独立D.事件N 与事件Y 相互独立【答案】C【解析】依题意甲、乙两人所选选项有如下情形：①有一个选项相同，②两个选项相同，③两个选项不相同，所以P M =C 14⋅C 13⋅C 12C 24⋅C 24=23，P N =C 24C 22C 24⋅C 24=16，P X =C 24C 24⋅C 24=16，P Y =C 23⋅C 23C 24⋅C 24=14，因为事件M 与事件N 互斥，所以P MN =0，又P M ⋅P N =19，所以事件M 与事件N 不相互独立，故A 错误；P XY =C 23C 24⋅C 24=112≠P X P Y =124，故B 错误；由P MY =C 13⋅C 12C 24⋅C 24=16=P M P Y ，则事件M 与事件Y 相互独立，故C 正确；因为事件N 与事件Y 互斥，所以P NY =0，又P Y ⋅P N =124，所以事件N 与事件Y 不相互独立，故D 错误.故选：C ．6.(2024·广东梅州·统考一模)如图，正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB =2，点P 是面ABB 1A 1上的动点，若点P 到点D 1的距离是点P 到直线AB 的距离的2倍，则动点P 的轨迹是( )的一部分A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【答案】C【解析】由题意知，以D 为原点，DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x ,y ,z 轴建立如图空间直角坐标系，则A (1,0,0),B (1,1,0),D 1(0,0,2)，设P 1,m ,n (m ,n >0)，所以PD 1=(-1,-m ,2-n )，因为P 到D 1的距离是P 到AB 的距离的2倍，所以PD 1=2n ，即-1 2+-m 2+2-n 2=4n 2，整理，得9n +23219-3m 219=1，所以点P 的轨迹为双曲线.故选：C7.(2024·广东深圳·统考一模)已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，过点F 2的直线与双曲线E 的右支交于A ,B 两点，若AB =AF 1 ，且双曲线E 的离心率为2，则cos ∠BAF 1=()A.-378B.-34C.18D.-18【答案】D【解析】因为双曲线E 的离心率为2，所以c =2a ，因为AB =AF 1 ，所以BF 2 =AB -AF 2 =AF 1 -AF 2 =2a ，由双曲线的定义可得BF 1 -BF 2 =BF 1 -2a =2a ，所以BF 1 =4a =2BF 2 ，在△BF 1F 2中，由余弦定理得cos ∠BF 2F 1=BF 22+F 1F 2 2-BF 1 22BF 2 ⋅F 1F 2 =4a 2+8a 2-16a 22×2a ×22a=-24，在△AF 1F 2中，cos ∠F 1F 2A =-cos ∠F 1F 2B =24，设AF 2 =m ，则AF 1 =m +2a ，由AF 1 2=F 1F 2 2+AF 2 2-2F 1F 2 AF 2 cos ∠F 1F 2A 得(2a +m )2=(22a )2+m 2-2⋅22a ⋅m ⋅24，解得m =23a ，所以AF 1 =8a3，所以cos ∠BAF 1=AF 12+AB 2-BF 122AF 1 ⋅AB=64a 29+64a 29-16a 22×8a 3×8a 3=-18.故选：D8.(2024·广东深圳·统考一模)已知数列a n 满足a 1=a 2=1，a n +2=a n +2,n =2k -1-a n,n =2k(k ∈N ∗)，若S n 为数列a n 的前n 项和，则S 50=()A.624B.625C.626D.650【答案】C【解析】数列a n 中，a 1=a 2=1，a n +2=a n +2,n =2k -1-a n ,n =2k(k ∈N ∗)，当n =2k -1,k ∈N ∗时，a n +2-a n =2，即数列a n 的奇数项构成等差数列，其首项为1，公差为2，则a 1+a 3+a 5+⋯+a 49=25×1+25×242×2=625，当n =2k ,k ∈N ∗时，an +2a n=-1，即数列a n 的偶数项构成等比数列，其首项为1，公比为-1，则a 2+a 4+a 6+⋯+a 50=1×[1-(-1)25]1-(-1)=1，所以S 50=(a 1+a 3+a 5+⋯+a 49)+(a 2+a 4+a 6+⋯+a 50)=626.故选：C9.(2024·湖南长沙·长郡中学校考一模)已知实数a ,b 分别满足e a =1.02，ln b +1 =0.02，且c =151，则()A.a 1，则fx =1x -2x +1 -2x -1 x +1 2=x -1 2x x +12，则当x >1时，f x >0，故f x 在0,+∞ 上单调递增，故f 1.02 =ln1.02-21.02-1 1.02+1=ln1.02-2101>f 1 =0，即a =ln1.02>2101>2102=151=c ，即a >c ，由ln b +1 =0.02，则b =e 0.02-1，令g x=e x -ln 1+x -1，x >0，则g x =e x -1x +1，令h x =e x -1x +1，则当x >0时，h x =e x +1x +12>0恒成立，故g x 在0,+∞ 上单调递增，又g 0 =e 0-11=0，故g x >0恒成立，故g x 在0,+∞ 上单调递增，故g 0.02 =e 0.02-ln 1+0.02 -1>g 0 =0，即e 0.02-1>ln1.02，即b >a ，故c <a b >0 的焦距为2c ，直线y =b a x+b2与椭圆C 交于点P ,Q，若PQ ≤7c ，则椭圆C 的离心率的取值范围为()A.32,1 B.0,22C.105,1 D.0,13【答案】C【解析】联立方程y =b a x +b 2x 2a2+y 2b2=1，消去y ，整理得8x 2+4ax -3a 2=0，则Δ=4a 2-4×8×-3a 2 =112a 2>0，设P ,Q 的横坐标分别为x 1,x 2，则x 1+x 2=-a 2，x 1⋅x 2=-3a 28，所以PQ =1+b a 2⋅x 1-x 2 =1+b a2⋅x 1+x 2 2-4x 1x 2=a 2+b 2a2⋅a 24+3a 22=72a 2+b 2，由PQ ≤7c ，得72a 2+b 2≤7c ，整理得a 2+b 2≤4c 2，即a 2+a 2-c 2≤4c 2，即c 2a2≥25，又0<e <1，则e =c a ≥105，故105≤e <1，所以椭圆C 的离心率的取值范围为105,1 .故选：C ．11.(2024·湖北武汉·统考模拟预测)如图，在函数f x =sin ωx +φ 的部分图象中，若TA =AB ，则点A 的纵坐标为()A.2-22B.3-12C.3-2D.2-3【答案】B【解析】由题意ωx +φ=3π2，则x =3π2ω-φω，所以T 3π2ω-φω,0 ，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，因为TA =AB，所以x2+3π2ω-φω2=x1y22=y1，解得x2=2x1-3π2ω+φωy2=2y1，所以2y1=y2=f x2=f2x1-3π2ω+φω=sin2ωx1-3π2+2φ=cos2ωx1+2φ=1-2sin2ωx1+φ=1-2y21，所以2y21+2y1-1=0，又由图可知y1>0，所以y1=3-1 2.故选：B.12.(2024·湖北武汉·统考模拟预测)在三棱锥P-ABC中，AB=22，PC=1，PA+PB=4，CA-CB=2，且PC⊥AB，则二面角P-AB-C的余弦值的最小值为()A.23B.34C.12D.105【答案】A【解析】因为PA+PB=4=2a，所以a=2，点P的轨迹方程为x24+y22=1(椭球)，又因为CA-CB=2，所以点C的轨迹方程为x2-y2=1，(双曲线的一支)过点P作PH⊥AB,AB⊥PC，而PH∩PC=P,PF,PC⊂面PHC，所以AB⊥面PHC，设O为AB中点，则二面角P-AB-C为∠PHC，所以不妨设OH=2cosθ,θ∈0,π2,PH=2sinθ,CH=4cos2θ-1，所以cos∠PHC=2sin2θ+4cos2θ-1-122sinθ4cos2θ-1=2cos2θ22sinθ4cos2θ-1=22⋅1-sin2θsinθ3-4sin2θ，所以cos 2∠PHC =12⋅1-sin 2θ 2sin 2θ3-4sin 2θ，令1-sin 2θ=t ,0<t <1，所以cos 2∠PHC =12⋅1-sin 2θ 2sin 2θ3-4sin 2θ =12⋅t 21-t 4t -1 ≥12⋅t 21-t +4t -122=29，等号成立当且仅当t =25=1-sin 2θ，所以当且仅当sin θ=155,cos θ=105时，cos ∠PHC min =23.故选：A .13.(2024·山东日照·统考一模)已知函数f x =2sin x -2cos x ，则()A.f π4+x=f π4-x B.f x 不是周期函数C.f x 在区间0,π2上存在极值D.f x 在区间0,π 内有且只有一个零点【答案】D【解析】对于A ，sin π4+x =sin π2-π4+x =cos π4-x ,cos π4+x =cos π2-π4+x =sin π4-x，所以f π4+x =2sin π4+x -2cos π4+x =-2sin π4-x -2cos π4-x =-f π4-x ，故A 错误；对于B ，f 2π+x =2sin 2π+x-2cos 2π+x=2sin x -2cos x =f x ，所以f x 是以2π为周期的函数，故B 错误；对于C ，由复合函数单调性可知y =2sin x ,y =2cos x 在区间0,π2上分别单调递增、单调递减，所以f x 在区间0,π2上单调递增，所以不存在极值，故C 错误；对于D ，令f x =2sin x -2cos x =0,x ∈0,π ，得2sin x =2cos x ，所以sin x =cos x ，即该方程有唯一解(函数f x在0,π 内有唯一零点)x =π4，故D 正确.故选：D .14.(2024·山东日照·统考一模)过双曲线x 24-y 212=1的右支上一点P ，分别向⊙C 1:(x +4)2+y 2=3和⊙C 2:(x-4)2+y 2=1作切线，切点分别为M ，N ，则PM +PN ⋅NM的最小值为()A.28B.29C.30D.32【答案】C【解析】由双曲线方程x 24-y 212=1可知：a =2,b =23,c =a 2+b 2=4，可知双曲线方程的左、右焦点分别为F 1-4,0 ，F 24,0 ，圆C 1:x +4 2+y 2=3的圆心为C 1-4,0 (即F 1)，半径为r 1=3；圆C 2:x -4 2+y 2=1的圆心为C 24,0 (即F 2)，半径为r 2=1．连接PF 1，PF 2，F 1M ，F 2N ，则MF 1⊥PM ,NF 2⊥PN ，可得PM +PN ⋅NM =PM +PN ⋅PM -PN =PM 2-PN 2=PF 1 2-r 21 -PF 2 2-r 22 =PF 1 2-3 -PF 2 2-1 =PF 1 2-PF 2 2-2=PF 1 -PF 2 ⋅PF 1 +PF 2 -2=2a PF 1 +PF 2 -2≥2a ⋅2c -2=2×2×2×4-2=30，当且仅当P 为双曲线的右顶点时，取得等号，即PM +PN ⋅NM的最小值为30.故选：C .15.(2024·福建福州·统考模拟预测)已知函数f x 及其导函数f x 的定义域均为R ，记g x =f x ．若g x -2 的图象关于点2,0 对称，且g 2x -g (-2x -1)=g (1-2x )，则下列结论一定成立的是()A.f x =f 2-xB.g x =g x +2C.2024n =1g (n )=0D.2024n =1f (n )=0【答案】C【解析】因为g x -2 的图象关于点2,0 对称，所以g x 的图象关于原点对称，即函数g x 为奇函数，则g 0 =0，又g 2x -g (-2x -1)=g (1-2x )，所以g 2x +g (2x +1)=-g (2x -1)，所以g t -1 +g (t )+g (t +1)=0，所以g t +g t +1 +g t +2 =0，所以g t -1 =g t +2 ，所以g t =g t +3 ，即g x =g x +3 ，所以3是g x 的一个周期.因为2024n =1g (n )=2024n =0g (n )=20253×[g (0)+g (1)+g (2)]=0，故C 正确；取符合题意的函数f x =cos 2π3x ，则g (x )=f x =-2π3sin 2π3x所以g 0 =0，又g (0+2)=-2π3sin 4π3=3π3=g (0)，故2不是g x 的一个周期，所以g x ≠g x +2 ，故B 不正确；因为f 1 =cos 2π3=-12不是函数f x 的最值，所以函数f x 的图象不关于直线x =1对称，所以f x ≠f 2-x ，故A 不正确；因为2024n =1f (n )=2024n =1cos2π3n =-1≠0，故D 不正确；故选：C .16.(2024·浙江湖州·湖州市第二中学校考模拟预测)已知直线BC 垂直单位圆O 所在的平面，且直线BC 交单位圆于点A ，AB =BC =1，P 为单位圆上除A 外的任意一点，l 为过点P 的单位圆O 的切线，则()A.有且仅有一点P 使二面角B -l -C 取得最小值B.有且仅有两点P 使二面角B -l -C 取得最小值C.有且仅有一点P 使二面角B -l -C 取得最大值D.有且仅有两点P 使二面角B -l -C 取得最大值【答案】D【解析】过A 作AM ⊥l 于M ，连接MB 、MC ，如图所示，因为直线BC 垂直单位圆O 所在的平面，直线l 在平面内，且直线BC 交单位圆于点A ，所以AC ⊥l ，AM ,AC ⊂平面AMC ，AM ∩AC =A ，所以l ⊥平面AMC ，MC ,MB ⊂平面AMC ，所以l ⊥MC ，l ⊥MB ，所以∠BMC 是二面角B -l -C 的平面角，设∠BMC =θ，∠AMC =α，∠AMB =β，AM =t ，则θ=α-β，由已知得t ∈0,2 ，AB =BC =1，tan α=2t ，tan β=1t ，tan θ=tan α-β =tan α-tan β1+tan α⋅tan β=2t -1t 1+2t ⋅1t =t t 2+2，令f t =t t 2+2，则ft =1⋅t 2+2 -t 2t t 2+2 2=2+t 2-t t 2+22，当t ∈0,2 时，f t >0，f t 单调递增，当t ∈2,2 时，f t <0，f t 单调递减，f 2 =13>f 0 =0所以t ∈0,2 ，当t =2时，f t 取最大值，没有最小值，即当t =2时tan θ取最大值，从而θ取最大值，由对称性知当t =2时，对应P 点有且仅有两个点，所以有且仅有两点P 使二面角B -l -C 取得最大值．故选：D ．17.(2024·浙江湖州·湖州市第二中学校考模拟预测)设F 1,F 2分别为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左，右焦点，以F 1为圆心且过F 2的圆与x 轴交于另一点P ，与y 轴交于点Q ，线段QF 2与C 交于点A ．已知△APF 2与△QF 1F 2的面积之比为3:2，则该椭圆的离心率为()A.23B.13-3C.3-1D.3+14【答案】B【解析】由题意可得F 1-c ,0 、F 2c ,0 ，F 1F 2=2c ，则以F 1为圆心且过F 2的圆的方程为x +c 2+y 2=4c 2，令x =0，则y P =±3c ，由对称性，不妨取点Q 在x 轴上方，即P 0,3c ，则l QF 2:y -3c =3c -00-cx ，即y =-3x +3c ，有S △QF 1F 2=12×2c ×3c =3c 2，则S △APF 2=32×3c 2=332c 2，又S △APF 2=12y A ×4c =2cy A ，即有332c 2=2cy A ，即y A =334c ，代入l QF 2:y =-3x +3c ，有334c =-3x A +3c ，即x A =14c ，即A 14c ,334c在椭圆上，故14c2a 2+334c2b 2=1，化简得b 2c 2+27a 2c 2=16a 2b 2，由b 2=a 2-c 2，即有a 2-c 2 c 2+27a 2c 2=16a 2a 2-c 2 ，整理得c 4-44a 2c 2+16a 4=0，即e 4-44e 2+16=0，有e 2=44-442-4×162=22-613或e 2=44+442-4×162=22+613，由22+613>1，故舍去，即e 2=22-613，则e =22-613=13-3 2=13-3.故选：B .18.(2024·浙江湖州·湖州市第二中学校考模拟预测)设a =sin0.2,b =0.16,c =12ln 32，则()A.a >c >bB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b【答案】D【解析】设f x =sin x -x -x 2 ,x ∈0,0.2 ,f x =cos x -1+2x ，设g x =f x ,g x =-sin x +2>0，所以g x ≥g 0 =0，所以函数f x 在0,0.2 上单调递增，所以f 0.2 =sin0.2-0.2-0.22 =sin0.2-0.16>f 0 =0，即a >b .根据已知得c =12ln 32=12ln 1.20.8=12ln 1+0.21-0.2，可设h x =12ln 1+x -ln 1-x -sin x ,x ∈ 0,0.2 ，则h x =1211+x +11-x -cos x =11-x 2-cos x >0，所以函数h x 在0,0.2 上单调递增，所以h 0.2 >h 0 =0，即c >a .综上，c >a >b .故选：D .19.(2024·浙江湖州·湖州市第二中学校考模拟预测)对于无穷数列{a n }，给出如下三个性质：①a 1<0；②对于任意正整数n ,s ，都有a n +a s <a n +s ；③对于任意正整数n ，存在正整数t ，使得a n +t >a n 定义：同时满足性质①和②的数列为“s 数列”，同时满足性质①和③的数列为“t 数列”，则下列说法正确的是()A.若{a n }为“s 数列”，则{a n }为“t 数列”B.若a n =-12n，则{a n }为“t 数列”C.若a n =2n -3，则{a n }为“s 数列” D.若等比数列{a n }为“t 数列”则{a n }为“s 数列”【答案】C【解析】设a n =-2n -3，此时满足a 1=-2-3=-5<0，也满足∀n ,s ∈N ∗，a n +s =-2(n +s )-3,a n +a s =-2n -3-2s -3=-2(n +s )-6，即∀n ,s ∈N ∗，a n +s >a n +a s ，{a n }为“s 数列”，因为a n +t =-2(n +t )-3=-2n -2t -3=a n -2t <a n ，所以A 错误；若a n =-12 n ，则a n =-12 -1=-12<0，满足①，a n +1=-12 n +1，令-12 n +1>-12n，若n 为奇数，此时-12 n <0，存在t ∈N ∗，且为奇数时，此时满足-12 n +t >0>-12 n，若n 为偶数，此时-12 n >0，则此时不存在t ∈N ∗，使得-12 n +t >-12n，所以B 错误；若a n =2n -3，则a n =2-3=-1<0，满足①，∀n ,s ∈N ∗，a n +s =2(n +s )-3,a n +a s =2n -3+2s -3=2(n +s )-6，因为2(n +s )-3>2(n +s )-6，所以∀n ,s ∈N ∗，a n +s >a n +a s ，满足②，所以C 正确；不妨设a n =(-2)n ，满足a 1=-2<0，且∀n ∈N ∗，a n =(-2)n ，当n 为奇数，取t =1，使得a n +1=(-2)n +1>a n ；当n 为偶数，取t =2，使得a n +2=(-2)n +2>a n ，所以a n 为“t 数列”，但此时不满足∀n ,s ∈N ∗，a n +s >a n +a s ，不妨取n =1,s =2，则a 1=-2,a 2=4,a 3=-8，而a 1+2=-8<-2+4=a 1+a 2，则a n 为“s 数列”，所以D 错误.故选：C .20.(2024·江苏·统考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R ，对任意x ∈R ，有f x -f x >0，则“x <2”是“e x f x +1 >e 4f 2x -3 ”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分又不必要条件D.充要条件【答案】A【解析】因为fx -f x >0，则f x -f x e x>0，令g x =f xex ，则g x >0，所以g x 在R 上单调递增.e xf x +1 >e 4f 2x -3 ⇔f x +1 e x +1>f 2x -3e 2x -3⇔g x +1 >g 2x -3⇔x +1>2x -3⇔x <4，所以“x <2”是“e x f x +1 >e x f 2x -3 ”的充分不必要条件，故选：A .21.(2024·江苏·统考模拟预测)离心率为2的双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)与抛物线E :y 2=2px (p >0)有相同的焦点F ，过F 的直线与C 的右支相交于A ,B 两点.过E 上的一点M 作其准线l 的垂线，垂足为N ，若MN =3OF (O 为坐标原点)，且△MNF 的面积为122，则△ABF 1(F 1为C 的左焦点)内切圆圆心的横坐标为()A.14B.24C.22D.12【答案】D【解析】MN =3OF =3⋅p 2,x M +p 2=3p 2,∴x M =p .y 2M =2p 2,y M =2p ,S △MNF =12⋅3p 2⋅2p =122,p =4,F 2,0 ，双曲线中c =2,e =ca =2,∴a =1,b 2=3，双曲线：x 2-y 23=1.设直线AB :x =ty +2,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,AF =m ,BF =n ，△ABF 1内切圆圆心为I ，所以m =x 1-22+y 21=x 21-4x 1+4+3x 2-3=2x 1-12=2x 1-1 =2x 1-1，同理n =2x 2-1，从而AB =m +n =2x 1+x 2 -2，由双曲线定义知AF 1 =m +2a =2x 1-1+2=2x 1+1，同理BF 1 =2x 2+1；接下来我们证明如下引理：三个不共线的点C x 3,y 3 ,D x 4,y 4 ,E x 5,y 5 构成的三角形的内心坐标为GDE x 3+CE x 4+CD x 5DE +CE +CD,DE y 3+CE y 4+CD y 5DE +CE +CD，先来证明G 是三角形CDE 的内心当且仅当DE GC +CE GD +CD GE =0，若DE GC +CE GD +CD GE =0，则DE GC +CE GC +CD +CD GC +CE =0，则CG =CE CD DE +CE +CD CD CD +CECE，而由平行四边形法则可知CD CD +CECE与∠DCE 的角平分线共线，所以CG 经过三角形CDE 的内心，同理DG 经过三角形CDE 的内心，EG 经过三角形CDE 的内心，所以点G 是三角形CDE 的内心，由于上述每一步都是等价变形，反正亦然，所以G 是三角形CDE 的内心当且仅当DE GC +CE GD +CD GE =0，不妨设三角形CDE 的内心G x ,y ，则由DE GC +CE GD +CD GE =0得DE x 3-x +CE x 4-x +CD x 5-x =0，所以解得x =DE x 3+CE x 4+CD x 5DE +CE +CD ，同理y =DE y 3+CE y 4+CD y 5DE +CE +CD，从而GDE x 3+CE x 4+CD x 5DE +CE +CD,DE y 3+CE y 4+CD y 5DE +CE +CD，引理得证；由上述引理，即由内心坐标公式有x I =2x 2+1 x 1+2x 1+1 x 2-22x 1+x 2 -22x 2+1+2x 2+1+2x 1+x 2 -2=4x 1x 2-3x 1+x 2 +44x 1+x 2，联立x 2-y 23=1与AB :x =ty +2，整理并化简得3t 2-1 y 2+12ty +9=0，Δ=144t 2+363t 2-1 =36t 2+1 >0,y 1+y 2=-12t 3t 2-1,y 1y 2=93t 2-1，所以x 1+x 2=t y 1+y 2 +4=t ⋅-12t 3t 2-1+4=-43t 2-1，x 1x 2=ty 1+2 ty 2+2 =t 2y 1y 2+2t y 1+y 2 +4=t 2⋅93t 2-1+2t ⋅-12t 3t 2-1+4=-3t 2-43t 2-1，所以x I =4x 1x 2-3x 1+x 2 +44x 1+x 2=-12t 2-163t 2-1+123t 2-1+4-163t 2-1=12，△ABF 1内切圆圆心在直线x =12上.故选：D .22.(2024·云南昆明·统考模拟预测)已知函数f x =x -1 e x +a 在区间-1,1 上单调递增，则a 的最小值为()A.e -1B.e -2C.eD.e 2【答案】A【解析】由题意得f x ≥0在-1,1 上恒成立，f x =e x +a +x -1 e x =xe x +a ，故xe x +a ≥0，即a ≥-xe x ，令g x =-xe x ，x ∈-1,1 ，则g x =-e x -xe x =-x +1 e x <0在x ∈-1,1 上恒成立，故g x =-xe x 在x ∈-1,1 上单调递减，故g x >g -1 =e -1，故a ≥e -1，故a 的最小值为e -1.故选：A23.(2024·湖南·高三校联考开学考试)已知函数f x =x -a exx +1的定义域为0,4 ，若f x 是单调函数，且f x 有零点，则a 的取值范围是()A.0,4B.0,3C.0,2D.0,e【答案】B【解析】因为f x 有零点，所以方程f x =0有解，即x -a =0在0,4 上有解，所以a ∈0,4 ．又由f x =x -a exx +1可得：fx =x 2+1-a x +1x +12e x．因为f x 是单调函数，所以函数g x =x 2+1-a x +1≥0在0,4 上恒成立或g x =x 2+1-a x +1≤0在0,4 上恒成立．因为g 0 =1>0，所以g x =x 2+1-a x +1≤0在0,4 上不可能恒成立．即函数g x =x 2+1-a x +1≥0在0,4 上恒成立，即x +1x+1-a ≥0在0,4 上恒成立．因为x +1x+1-a ≥3-a (当且仅当x =1时，等号成立)，故须使3-a ≥0，解得a ≤3．综上，a 的取值范围是0,3 ．故选：B .24.(2024·山东·高三山东省实验中学校考开学考试)双曲线M :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左､右顶点分别为A ,B ，曲线M 上的一点C 关于x 轴的对称点为D ，若直线AC 的斜率为m ，直线BD 的斜率为n ，则当mn +9mn 取到最小值时，双曲线离心率为()A.3 B.4 C.3 D.2【答案】D【解析】设A (-a ,0),B (a ,0),C (x ,y ),D (x ,-y )，则m =k AC =y x +a ，n =k BD =-y x -a ，所以mn =-y 2x 2-a2，将曲线方程x 2-a 2a 2=y 2b 2代入得mn =-b 2a2，又由均值定理得mn +9mn =mn +9mn ≥2mn ×9mn =6，当且仅当mn =9mn ，即mn =b 2a 2=3时等号成立，所以离心率e =1+b 2a2=2，故选：D .二、多选题25.(2024·广东·高三统考阶段练习)若过点(a ,b )可作曲线f (x )=x 2ln x 的n 条切线(n ∈N )，则()A.若a ≤0，则n ≤2B.若0<a <e -32，且b =a 2ln a ，则n =2C.若n =3，则a 2ln a <b <2ae -32+12e -3D.过e -32,-6 ，仅可作y =f (x )的一条切线【答案】ABD【解析】设切点x 0,x 20ln x 0 ，则f x 0 =2x 0ln x 0+x 0，切线为y -x 20ln x 0=2x 0ln x 0+x 0 x -x 0 ，代入(a ,b )整理得2x 0ln x 0+x 0 a -x 20ln x 0-x 20-b =0，令g (x )=(2x ln x +x )a -x 2ln x -x 2-b ，g (x )=(2ln x +3)a -2x ln x -3x =(2ln x +3)⋅(a -x )，令g(x )=0得x 1=a ,x 2=e -32．当a ≤0时，x ∈0,e-32，g (x )>0，所以g (x )在0,e -32上单调递增，x ∈e -32,+∞ ，g(x )<0，所以在e -32,+∞ 上单调递减，g e-32=-2a ⋅e-32+12⋅e -3-b ，在0,+∞ 两侧均有可能为负，同时极大值可能为正，所以g (x )至多有2个零点，故A 正确；当a ∈0,e -32时，x ∈(0,a )和x ∈e -32,+∞ 时，g(x )<0，所以g (x )在(0,a ),e -32,+∞ 上单调递减，x ∈a ,e-32，g(x )>0，所以g (x )在a ,e -32上单调递增，g (a )=a 2ln a -b ，g e-32=-2ae-32+12⋅e -3-b ，当b =a 2ln a 时，g (a )=0，所以g e -32>0，结合图象，值域为-∞,-2ae -32+12⋅e -3-b，所以n =2，B 正确；若n =3，则g (a )<0<g e -32，即a 2ln a e -32时，g e -32 <0<g (a )，即-2ae -32+12e -30时，g (x )有1个零点，即b <0，D 正确．故选：ABD .26.(2024·广东·高三校联考开学考试)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=4，E 是棱BB 1上的一点，点F 在棱DD 1上，则下列结论正确的是()A.若A 1，C ，E ，F 四点共面，则BE =DFB.存在点E ，使得BD ⎳平面A 1CEC.若A 1，C ，E ，F 四点共面，则四棱锥C 1-A 1ECF 的体积为定值D.若E 为BB 1的中点，则三棱锥E -A 1CC 1的外接球的表面积是32π【答案】BCD【解析】对A ，由A 1,C ,E ,F 四点共面，得CF ⎳A 1E ，则DF =B 1E ，若E 不是棱BB 1的中点，则BE ≠DF ，故A 错误.对B ，当E 是棱BB 1的中点时，取A 1C 的中点G ，连接GE ,B 1D ，则G 为B 1D 的中点.因为E 为BB 1的中点，则GE ⎳BD .因为GE ⊂平面A 1CE ,BD ⊄平面A 1CE ，所以BD ⎳平面A 1CE ，则B 正确.根据长方体性质知BB 1⎳CC 1，且CC 1⊂平面A 1CC 1，BB 1⊄平面A 1CC 1，所以BB 1⎳平面A 1CC 1，同理可得DD 1⎳平面A 1CC 1，则点E ，F 到平面A 1CC 1的距离为定值，又因为△A 1CC 1的面积为定值，所以三棱锥E -A 1CC 1和三棱锥F -A 1CC 1的体积都为定值，则四棱锥C 1-A 1ECF 的体积为定值，故C 正确.取棱CC 1的中点O 1，由题中数据可得CE =C 1E =22,CC 1=4，则CE 2+C 1E 2=CC 12，所以△CC 1E 为等腰直角三角形，所以O 1是△CC 1E 外接圆的圆心，△CC 1E 外接圆的半径r =2.设三棱锥E -A 1CC 1的外按球的球心为O ，半径为R ，设OO 1=d ，则R 2=d 2+r 2=O 1B 21+A 1B 1-d 2=8+(2-d )2，即d 2+4=8+(2-d )2，解得d =2，则R 2=8，此时O 点位于DD 1中点，从而三棱锥E -A 1CC 1的外接球的表面积是4πR 2=32π，故D 正确.故选：BCD .27.(2024·广东·高三校联考开学考试)已知函数f x 的定义域为R ，且f x -1 +f x +1 =0，f 1-x =f x +5 ，若f 52=1，则()A.f x 是周期为4的周期函数B.f x 的图像关于直线x =1对称C.f x 是偶函数D.f 12 +2f 32 +3f 52 +⋯+30f 592=-31【答案】ABD【解析】对A ，因为f (x -1)+f (x +1)=0，所以f (x +1)+f (x +3)=0，所以f (x -1)=f (x +3)，即f (x )=f (x +4)，所以f (x )是周期为4的周期函数，则A 正确.对B ，因为f (1-x )=f (x +5)，所以f (1-x )=f (x +1)，所以f (x )的图象关于直线x =1对称，则B 正确.对C ，因为f 52 =1，所以f -32 =1.令x =32，得f 12 +f 52 =0，则f 12=-1.因为f (x )的图象关于直线x =1对称，所以f 32 =f 12 =-1，则f 32 ≠f -32，从而f (x )不是偶函数，则C 错误.对D ，由f (x )的对称性与周期性可得f 12 =f 32 =-1,f 52 =f 72=1，则f 12 +2f 32 +3f 52 +⋯+30f 592 =7(-1-2+3+4)-29-30=-31，故D 正确.故选：ABD .28.(2024·广东湛江·统考一模)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB =2BB 1=4，BC =3，M ,N 分别为BB 1和CC 1的中点，P 为棱B 1C 1上的一点，且PC ⊥PM ，则下列选项中正确的有()A.三棱柱ABC -A 1B 1C 1存在内切球B.直线MN 被三棱柱ABC -A 1B 1C 1的外接球截得的线段长为13C.点P 在棱B 1C 1上的位置唯一确定D.四面体ACMP 的外接球的表面积为26π【答案】ABD【解析】对于A ，取棱AA 1中点Q ，连接MQ ,NQ ，若三棱柱ABC -A 1B 1C 1存在内切球，则三棱柱ABC -A 1B 1C 1内切球球心即为△MNQ 的内切圆圆心，∵△MNQ 的内切圆半径即为△ABC 的内切圆半径，又AB ⊥BC ，AB =4，BC =3，∴AC =5，∴△ABC 的内切圆半径r =2S △ABCAB +BC +AC=2×12×4×34+3+5=1，即△MNQ 的内切圆半径为1，又平面ABC 、平面A 1B 1C 1到平面MNQ 的距离均为1，∴三棱柱ABC -A 1B 1C 1存在内切球，内切球半径为1，A 正确；对于B ，取AC 中点G ，NQ 中点O ，MN 中点H ，连接BG ,OG ,OH ,B 1C ,OB 1，∵AB ⊥BC ，∴G 为△ABC 的外接圆圆心，又OG ⎳AA 1⎳BB 1，BB 1⊥平面ABC ，∴O 为三棱柱ABC -A 1B 1C 1的外接球的球心；∵BB 1⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴BB 1⊥AB ，又AB ⊥BC ，BB 1∩BC =B ，BB 1,BC ⊂平面BCC 1B 1，∴AB ⊥平面BCC 1B 1，∵OH ⎳MQ ⎳AB ，∴OH ⊥平面BCC 1B 1，∴H 为四边形BCC 1B 1的外接圆圆心，∵四边形BCC 1B 1为矩形，∴直线MN 被三棱柱ABC -A 1B 1C 1截得的线段长即为矩形BCC 1B 1的外接圆直径，∵B 1C =BC 2+BB 21=9+4=13，∴直线MN 被三棱柱ABC -A 1B 1C 1截得的线段长为13，B 正确；对于C ，在平面中作出矩形BCC 1B 1，设C 1P =m 0≤m ≤3 ，则B 1P =3-m ，∴PC 2=4+m 2，MP 2=1+3-m 2，MC 2=32+12=10，又PC ⊥PM ，∴PC 2+PM 2=MC 2，即4+m 2+1+3-m 2=10，解得：m =1或m =2，∴P 为棱B1C 1的三等分点，不是唯一确定的，C 错误；对于D ，取MC 中点S ，∵PC ⊥PM ，∴S 为△PCM 的外接圆圆心，且BS =12MC =1232+12=102，则四面体ACMP 的外接球球心O 在过S 且垂直于平面PCM 的直线上，∵AB ⊥平面PCM ，∴O S ⊥平面PCM ，设O S =a ，四面体ACMP 的外接球半径为R ，∴R 2=102 2+a 2=102 2+4-a 2，解得：a =2，R 2=132，∴四面体ACMP 的外接球表面积为4πR 2=26π，D 正确.故选：ABD .29.(2024·广东梅州·统考一模)如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，1→2→3→5→7→8→9就是一条移动路线.从1移动到数字n n =2,3,⋅⋅⋅,9 的不同路线条数记为r n ，从1移动到9的事件中，跳过数字n n =2,3,⋅⋅⋅,8 的概率记为p n ，则下列结论正确的是()A.r 6=8B.r n +1>r nC.p 5=934D.p 7>p 8【答案】ABD【解析】画出树状图，结合图形结合树状图可知：r 2=1,r 3=2,r 4=3,r 5=5,r 6=8,r 7=13,r 8=21,r 9=34，对于选项A ：可知r 6=8，故A 正确；对于选项B ：均有r n +1>r n ，故B 正确；对于选项C ：因为r 9=34，过数字5的路线有5条，所以p 5=1-r 5r 9=2934，故C 错误；对于选项D ：因为p 7=1-r 7r 9=2134,p 8=1-r 8r 9=1334，所以p 7>p 8，故D 正确；故选：ABD .30.(2024·广东梅州·统考一模)已知函数f x =e sin x -e cos x ，则下列说法正确的是()A.f x 的图象关于直线x =π4对称 B.f x 的图象关于点π4,0中心对称C.f x 是一个周期函数 D.f x 在区间0,π 内有且只有一个零点【答案】BCD【解析】AB 选项，f x 的定义域为R ，f π2-x =e sin π2-x -e cos π2-x =e cos x -e sin x =-f x ，所以f x 关于点π4,0 中心对称，A 选项错误，B 选项正确.C 选项，f x +2π =esin x +2π-ecos x +2π=e sin x -e cos x =f x ，所以f x 是周期函数，C 选项正确.D 选项，令f x =e sin x -e cos x =0得e sin x =e cos x ，所以sin x =cos x ，在区间0,π 上，解得x =π4，所以f x 在区间0,π 内有且只有一个零点，所以D 选项正确.故选：BCD31.(2024·广东深圳·统考一模)如图，八面体Ω的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点B ,C ,D ,E 在同一个平面内．若点M 在四边形BCDE 内(包含边界)运动，N 为AE 的中点，则()A.当M 为DE 的中点时，异面直线MN 与CF 所成角为π3B.当MN ∥平面ACD 时，点M 的轨迹长度为22C.当MA ⊥ME 时，点M 到BC 的距离可能为3D.存在一个体积为103的圆柱体可整体放入Ω内【答案】ACD 【解析】因为BCDE 为正方形，连接BD 与CE ，相交于点O ，连接OA ，则OD ，OE ，OA 两两垂直，故以OD ,OE ,OA 为正交基地，建立如图所示的空间直角坐标系，D (22,0,0)，B (-22,0,0)，E (0,22,0)，C (0,-22,0)，A (0,0,22)，F (0,0,-22)，N 为AE 的中点，则N (0,2,2).当M 为DE 的中点时，M (2,2,0)，MN =-2,0,2 ，CF =0,22,-22 ，设异面直线MN 与CF 所成角为θ，cos θ=cos MN ,CF =MN ⋅CFMN CF=0+0-4 2×4=12，θ∈0,π2 ，故θ=π3，A 正确；设P 为DE 的中点，N 为AE 的中点，则PN ∥AD ，AD ⊂平面ACD ，PN ⊄平面ACD ，则PN ∥平面ACD ，又MN ∥平面ACD ，又MN ∩PN =N ，设Q ∈BC ，故平面MNP ∥平面ACD ，平面ACD ∩平面BCDE =CD ，平面MNP ∩平面BCDE =PQ ，则PQ ∥CD ，则Q 为BC 的中点，点M 在四边形BCDE 内(包含边界)运动，则M ∈PQ ，点M 的轨迹是过点O 与CD 平行的线段PQ ，长度为4，B 不正确；当MA ⊥ME 时，设M (x ,y ,0)，MA =(-x ,-y ,22)，ME =(-x ,22-y ,0)，MA ⋅ME=x 2+y (y -22)=0，得x 2+y 2-22y =0，即x 2+(y -2)2=2，即点M 的轨迹以OE 中点K 为圆心，半径为2的圆在四边BCDE 内(包含边界)的一段弧(如下图)，K 到BC 的距离为3，弧上的点到BC 的距离最小值为3-2，因为3-2<3，所以存在点M 到BC 的距离为3，C 正确；由于图形的对称性，我们可以先分析正四棱锥A -BCDE 内接最大圆柱的体积，设圆柱底面半径为r ，高为h ，P 为DE 的中点，Q 为BC 的中点, PQ =4，AO =22，根据△AGH 相似△AOP ，得GH OP =AG AO ，即r 2=22-h22，h =2(2-r )，则圆柱体积V =πr 2h =2πr 2(2-r )，设V (r )=2π(2r 2-r 3)(0<r <2)，求导得V (r )=2π(4r -3r 2)，令V (r )=0得，r =43或r =0，因为0<r <2，所以r =0舍去，即r =43，当0<r <43时，V (r )>0，当43<r <2时，V (r )<0，即r =43时V 有极大值也是最大值，V 有最大值32227，32227-53=962-13527=962×2-135227=18432-1822527>0，故32227>53所以存在一个体积为10π3的圆柱体可整体放入Ω内，D 正确.故选：ACD .32.(2024·湖南长沙·长郡中学校考一模)已知函数f x =A tan ωx +φ (ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则()A.ω⋅φ⋅A =π6B.f x 的图象过点11π6,233C.函数y =f x 的图象关于直线x =5π3对称D.若函数y =f x +λf x 在区间-5π6,π6 上不单调，则实数λ的取值范围是-1,1【答案】BCD【解析】A ：设该函数的最小正周期为T ，则有T =πω=π6--5π6 ⇒ω=1，即f x =A tan x +φ ，由函数的图象可知：π6+φ=π2⇒φ=π3，即f x =A tan x +π3，由图象可知：f 0 =A tan π3=23⇒A =2，所以ω⋅φ⋅A =2π3，因此本选项不正确；B ：f 11π6 =2tan 11π6+π3 =2tan 13π6=2tan π6=2×33=233，所以本选项正确；C ：因为f 5π3-x =2tan 5π3-x +π3=2tan x ，f 5π3+x =2tan 5π3+x +π3=2tan x ，所以f 5π3-x =f 5π3+x ，所以函数y =f x 的图象关于直线x =5π3对称，因此本选项正确；D ：y =f x +λf x =2tan x +π3 +2λtan x +π3当x ∈-π3,π6 时，y =f x +λf x =2tan x +π3 +2λtan x +π3 =2tan x +π3 +2λtan x +π3 =2+2λ tan x +π3 ，当x ∈-5π6,-π3，y =f x +λf x =2tan x +π3 +2λtan x +π3 =-2tan x +π3 +2λtan x +π3=-2+2λ tan x +π3，当函数y =f x +λf x 在区间-5π6,π6上不单调时，则有2+2λ -2+2λ ≤0⇒-1≤λ≤1，故选：BCD33.(2024·湖南长沙·长郡中学校考一模)小郡玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有1∼10的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次抽取号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次抽取号码大于5的小球，则前进2步.每次抽取小球互不影响，记小郡一共前进n 步的概率为p n ，则下列说法正确的是()A.p 2=14B.p n =12p n -1+12p n -2n ≥3 C.p n =1-12p n -1n ≥2 D.小华一共前进3步的概率最大【答案】BC【解析】根据题意，小郡前进1步的概率和前进2步的概率都是12，所以P 1=12，P 2=12×12+12=34，故选项A错误；当n≥3时，其前进几步是由两部分组成：先前进n-1步，再前进1步，其概率为12p n-1，或者先前进n-2步，再前进2步，其概率为12p n-2，所以p n=12p n-1+12p n-2n≥3，故选项B正确；因为p n=12p n-1+12p n-2n≥3，所以2p n+p n-1=2p n-1+p n-2n≥3，而2p2+p1=2×34+12=2，所以2p n+p n-1=2n≥2，即p n=1-12p n-1n≥2，故选项C正确；因为当n≥2时，p n=1-12p n-1，所以p n-23=-12p n-1-23，又p1-23=12-23=-16，所以数列p n-23是首项为-16，公比为-12的等比数列.所以P n-23=-16×-12n-1，所以P n=23-16×-12n-1.当n为奇数时，n-1为偶数，则P n=23-16×12n-1，此时数列p n 单调递增，所以P n<23；当n为偶数时，n-1为奇数，则P n=23+16×12n-1，此时数列p n 单调递减，所以P n≤P2=3 4；综上，当n=2时，概率最大，即小华一共前进2步的概率最大，故选项D错误.故选：BC34.(2024·湖北黄冈·浠水县第一中学校考一模)在三棱锥A-BCD中，AD=BC=4，AB=BD=DC=CA=6，M为BC的中点，N为BD上一点，球O为三棱锥A-BCD的外接球，则下列说法正确的是()A.球O的表面积为11πB.点A到平面BCD的距离为14C.若MN⊥AB，则DN=6NBD.过点M作球O的截面，则所得的截面中面积最小的圆的半径为2【答案】BCD【解析】由AD=BC=4，AB=BD=DC=CA=6，可将三棱锥A-BCD补形成如图所示的长方体，设BF=x,BE=y,AE=z，则x2+y2=16z2+y2=36x2+z2=36，解得x=22y=22z=27，即AE=27，EB=BF=22，所以球O的半径为272+222+2222=11，所以球O的表面积为44π，故A错误.由题得长方体为正四棱柱，AB=AC=BD=CD，M为BC的中点，故AM⊥BC,DM⊥BC,又AM∩DM=M,AM,DM⊂平面AMD，则BC⊥平面AMD，又BC⊂平面BCD，故平面BCD⊥平面AMD，平面BCD∩平面AMD=MD，过点A作MD的垂线，交MD于H，则AH⊥平面BCD,故AH为点A到平面BCD的距离.在△AMD中，AM=MD=42，AD=4，故cos ∠ADH =16+32-322×4×42=122,sin ∠ADH =722，则AH =4×722=14，故B 正确.以E 为原点，EB ，EC ，EA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A 0,0,27 ,D 22,22,27 ，B 22,0,0 ，M 2,2,0 ，AB =22,0,-27 ，BD =0,22,27 .设BN =λBD=0,22λ,27λ ，所以MN =MB +BN=2,-2,0 +0,22λ,27λ =2,22λ-2,27λ ，因为MN ⊥AB ，所以MN ⋅AB=22×2-27×27λ=0，解得λ=17，所以DN =6NB ，故C 正确.当且仅当OM 与截面垂直时，截面面积最小，由A 解析知：最小的半径为11-7=2，故D 正确.故选：BCD35.(2024·湖北武汉·统考模拟预测)已知函数f x =a e x +1 ln 1+x 1-x-e x+1恰有三个零点，设其由小到大分别为x 1,x 2,x 3，则()A.实数a 的取值范围是0,1eB.x 1+x 2+x 3=0C.函数g x =f x +kf -x 可能有四个零点D.f ′x 3 f ′x 1=e x3【答案】BCD【解析】对于B ，f x =0⇔a ln 1+x 1-x +1-e x e x +1=0，设h x =a ln 1+x 1-x +1-e xe x +1，则它的定义域为-1,1 ，它关于原点对称，且h -x =a ln 1-x 1+x +1-e -x e -x +1=-a ln 1+x 1-x +1-e xe x +1=-h x ，所以h x 是奇函数，由题意h x =0有三个根x 1,x 2,x 3，则x 1+x 2+x 3=0，故B 正确；对于C ，由f x +kf -x =0⇒a e x +1 ln 1+x 1-x -e x +1+a e -x +1 ln 1-x 1+x -e -x +1 =0，所以a ln 1+x 1-x +1-e x e x +1+k a ln 1+x 1-x e x -1-e x e x1+e x=0，所以a ln 1+x 1-x +1-e x e x +1=k e x a ln 1+x 1-x +1-e x e x +1，即a ln 1+x 1-x +1-e x e x +1 1-k e x=0已经有3个实根x 1,x 2,x 3，当k >0时，令1-kex =0，则x =ln k ，只需保证ln k ≠x 1,x 2,x 3可使得方程有4个实根，故C 正确；由B 可知，x 1=-x 3，而f x 3 f x 1=e x 3⇔f x 3 =e x3f -x 3 ，又f x =ae x ln 1+x 1-x +a e x +1 21-x 2-e x ,e x 3f-x 3 =a ln 1-x 31+x 3+a e x 3+1 21-x 23-1，所以f x 3 =ae x 3ln 1+x 31-x 3+a e x 3+1 21-x 23-ex3。

2023年新高考地区数学名校地市选填压轴题汇编(一)

2023年新高考数学选填压轴题好题汇编(一)一、单选题1.(2022·广东·广州市真光中学高三开学考试)端午佳节，人们有包粽子和吃粽子的习俗，粽子主要分为南北两大派系，地方细分特色鲜明，且形状各异，裹蒸粽是广东肇庆地区最为出名的粽子，是用当地特有的冬叶､水草包裹糯米､绿豆､猪肉､咸蛋黄等蒸制而成的金字塔形的粽子，现将裹蒸粽看作一个正四面体，其内部的咸蛋黄看作一个球体，那么，当咸蛋黄的体积为4π3时，该裹蒸粽的高的最小值为()A.4B.6C.8D.102.(2022·广东惠州·高三阶段练习)甲罐中有5个红球，3个白球，乙罐中有4个红球，2个白球.整个取球过程分两步，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用A1､A2表示由甲罐取出的球是红球､白球的事件；再从乙罐中随机取出两球，分别用B､C表示第二步由乙罐取出的球是“两球都为红球”､“两球为一红一白”的事件，则下列结论中不正确的是( )A.P B A1=1021 B.P C A2=47 C.P B =1942 D.P C =43843.(2022·广东·鹤山市鹤华中学高三开学考试)已知直线ax-2by+14=0平分圆C：x2+y2-4x-2y-11= 0的面积，过圆外一点P a，b向圆做切线，切点为Q，则PQ的最小值为( )A.4B.5C.6D.74.(2022·广东广州·高三开学考试)设a=ln1.1，b=e0.1-1，c=tan0.1，d=0.4π，则()A.a<b<c<dB.a<c<b<dC.a<b<d<cD.a<c<d<b5.(2022·广东广州·高三开学考试)若空间中经过定点O的三个平面α，β，γ两两垂直，过另一定点A作直线l与这三个平面的夹角都相等，过定点A作平面δ和这三个平面所夹的锐二面角都相等.记所作直线l的条数为m，所作平面δ的个数为n，则m+n=( )A.4B.8C.12D.166.(2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习)已知a =e 0.05，b =ln1.12+1，c = 1.1，则( )A.a >b >cB.c >b >aC.b >a >cD.a >c >b7.(2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，点P 为双曲线C 中第一象限上的一点，∠F 1PF 2的平分线与x 轴交于Q ，若OQ=14OF 2 ，则双曲线的离心率范围为( )A.1,2B.1,4C.2,2D.2,48.(2022·广东·高三阶段练习)设a =4-ln4e2，b =ln22，c =1e ，则( )A.a <c <bB.a <b <cC.b <a <cD.b <c <a9.(2022·广东·高三阶段练习)定义在R 上的函数f x 满足f (-x )+f (x )=0,f (x )=f (2-x )；且当x ∈[0,1]时，f (x )=x 3-x 2+x ．则方程7f (x )-x +2=0所有的根之和为( )A.14B.12C.10D.810.(2022·广东·高三开学考试)设a =12e，b =ln 2，c =4-ln4e 2，则( )A.a <b <cB.c <b <aC.a <c <bD.b <c <a11.(2022·广东·高三开学考试)已知f (x )=2x 2，数列a n 满足a 1=2，且对一切n ∈N *，有a n +1=f a n ，则( )A.a n 是等差数列 B.a n 是等比数列C.log 2a n 是等比数列D.log 2a n +1 是等比数列12.(2022·广东·中山一中高三阶段练习)已知a =log 1.10.9，b =0.91.1，c =1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a <b <cB.a <c <bC.b <a <cD.b <c <a13.(2022·广东·中山一中高三阶段练习)已知函数f (x )=x 2-2x +a (e x -1+e -x +1)有唯一零点，则a =()A.-12B.13C.12D.114.(2022·广东·高三阶段练习)已知平面向量a ，b ，c 满足a=b =a ⋅b =2，且b -c ⋅3b -c =0，则c -a最小值为( )A.22+1B.33-3C.7-1D.23-215.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)已知f (x )是定义在R 上的函数，且对任意x ∈R 都有f (x +2)=f (2-x )+4f (2)，若函数y =f (x +1)的图象关于点(-1,0)对称，且f (1)=3，则f (2021)=( )A.6B.3C.0D.-316.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)对于定义在R 上的函数f x ，若存在正常数a 、b ，使得f x +a≤f x +b 对一切x ∈R 均成立，则称f x 是“控制增长函数”.在以下四个函数中：①f x =e x ；②f x试卷第1页，共50页=x ；③f x =sin x 2；④f x =x ⋅sin x .是“控制增长函数”的有( )个A.1 B.2 C.3 D.417.(2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试)《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”．现有一个刍甍如图所示，底面ABCD 为正方形，EF ⎳底面ABCD ，四边形ABFE ，CDEF 为两个全等的等腰梯形，EF =12AB =2,AE =23，则该刍甍的外接球的体积为( )A.642π3 B.32πC.643π3 D.642π18.(2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试)若3x -3y >5-x -5-y ，则( )A.1x>1y B.x 3>y 3C.x >yD.ln x 2+1 >ln y 2+1二、多选题19.(2022·广东·广州市真光中学高三开学考试)已知抛物线C :y 2=2px p >0 的焦点为F ，抛物线C 上的点M 1,m 到点F 的距离是2，P 是抛物线C 的准线与x 轴的交点，A ，B 是抛物线C 上两个不同的动点，O 为坐标原点，则( )A.m =±2B.若直线AB 过点F ，则OA ⋅OB=-3C.若直线AB 过点F ，则PA PB =FAFB D.若直线AB 过点P ，则AF +BF >2PF20.(2022·广东·广州市真光中学高三开学考试)若函数f 2x +2 为偶函数，f x +1 为奇函数，且当x ∈(0,1]时，f x =ln x ，则( )A.f x 为偶函数B.f e =1C.f 4-1e=-1D.当x ∈[1,2)时，f (x )=-ln (2-x )21.(2022·广东惠州·高三阶段练习)如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是C 1D 1，C 1C ，A 1A 的中点，则( )A.M ，N ，B ，D 1四点共面B.异面直线PD 1与MN 所成角的余弦值为1010C.平面BMN 截正方体所得截面为等腰梯形D.三棱锥P -MNB 的体积为1322.(2022·广东·鹤山市鹤华中学高三开学考试)已知椭圆C ：x 216+y 29=1的左，右焦点为F 1，F 2，点P 为椭圆C上的动点(P 不在x 轴上)，则( )A.椭圆C 的焦点在x 轴上B.△PF 1F 2的周长为8+27C.|PF 1|的取值范围为94，4 D.tan ∠F 1PF 2的最大值为3723.(2022·广东广州·高三开学考试)若f x =sin x +cos x ，则下列说法正确的有( )A.f x 的最小正周期是πB.方程x =-π2是f x 的一条对称轴C.f x 的值域为1,2D.∃a ，b >0，对∀x ∈R 都满足f x +a +f a -x =2b ，(a ，b 是实常数)24.(2022·广东广州·高三开学考试)已知抛物线y 2=2px 上的四点A 2,2 ，B ，C ，P ，直线AB ，AC 是圆M :x -22+y 2=1的两条切线，直线PQ 、PR 与圆M 分别切于点Q 、R ，则下列说法正确的有( )A.当劣弧QR 的弧长最短时，cos ∠QPR =-13B.当劣弧QR 的弧长最短时，cos ∠QPR =13C.直线BC 的方程为x +2y +1=0D.直线BC 的方程为3x +6y +4=025.(2022·广东广州·高三开学考试)已知函数f x 及其导函数f x 的定义域均为R ，对任意的x ，y ∈R ，恒有f x +y +f x -y =2f x ⋅f y ，则下列说法正确的有( )A.f 0 =1 B.f x 必为奇函数C.f x +f 0 ≥0D.若f 1 =12，则2023n =1f n =12 26.(2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习)已知函数f (x )=cos2πxx 2-2x +3，则下列说法正确的是( )A.f (x )是周期函数B.f (x )满足f (2-x )=f (x )C.f (x )>-12D.f (x )≥k 在R 上有解，则k 的最大值是1227.(2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习)如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB =2DC =23，BC =2，AB ⊥BC ，M ，P ，N ，Q 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，将△ACD 以AC 为轴旋转一周，则在此旋转过程中，下列说法正确的是( )A.MN 和BC 不可能平行B.AB 和CD 有可能垂直C.若AB 和CD 所成角是60∘，则PQ =32D.若面ACD ⊥面ABC ，则三棱锥D -ABC 的外接球的表面积是28π试卷第1页，共50页28.(2022·广东·高三阶段练习)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >b >0 的左，右顶点分别为A 1，A 2，点P ，Q 是双曲线C 上关于原点对称的两点(异于顶点)，直线PA 1，PA 2，QA 1的斜率分别为k PA 1，k PA 2，k QA 1，若k PA 1⋅k PA 2=34，则下列说法正确的是( )A.双曲线C 的渐近线方程为y =±34xB.双曲线C 的离心率为72C.k PA 1⋅k QA 1为定值D.tan ∠A 1PA 2的取值范围为0,+∞29.(2022·广东·高三阶段练习)如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点M 为CC 1的中点，点P 为正方形A1B 1C 1D 1上的动点，则( )A.满足MP ⎳平面BDA 1的点P 的轨迹长度为2B.满足MP ⊥AM 的点P 的轨迹长度为223C.不存在点P ，使得平面AMP 经过点BD.存在点P 满足PA +PM =530.(2022·广东·高三开学考试)直六棱柱ABCDEF -A 1B 1C 1D 1E 1F 1中，底面是边长为2的正六边形，侧棱AA 1=2，点O 是底面ABCDEF 的中心，则( )A.OF 1⎳平面A 1CD 1B.OF 1与BC 所成角的余弦值为24C.BO ⊥平面AA 1D 1DD.B 1F 与平面CC 1F 1F 所成角的正弦值为3431.(2022·广东·高三开学考试)已知直线l :y =ax -1，曲线C 1:f (x )=e x +1+1，曲线C 1关于直线y =x +1对称的曲线C 2所对应的函数为y =g (x )，则以下说法正确的是( )A.不论a 为何值，直线l 恒过定点(0,-1)；B.g (x )=ln x -1；C.若直线l 与曲线C 2相切，则a =1；D.若直线l 上有两个关于直线y =x +1对称的点在曲线C 1上，则0<a <1.32.(2022·广东·中山一中高三阶段练习)下列命题中正确的是( )A.双曲线x 2-y 2=1与直线x +y -2=0有且只有一个公共点B.平面内满足PA -PB =2a a >0 的动点P 的轨迹为双曲线C.若方程x 24-t +y 2t -1=1表示焦点在y 轴上的双曲线，则t >4D.过给定圆上一定点A 作圆的动弦AB ，则弦AB 的中点P 的轨迹为椭圆33.(2022·广东·中山一中高三阶段练习)达·芬奇的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠链与主人相互映衬，显现出不一样的美与光泽，达·芬奇提出固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂项链所形成的曲线称为悬链线.建立适当的平面直角坐标系后，得到悬链线的函数解析式为f (x )=a cosh xa(a >0)，双曲余弦函数cosh (x )=e x +e-x 2则以下正确的是( )A.f x 是奇函数B.f x 在-∞,0 上单调递减C.∀x ∈R ，f x ≥aD.∃a ∈0,+∞ ，f x ≥x 234.(2022·广东·高三阶段练习)设a 与b 是两个不共线向量，关于向量a +λb ，λ-1 a +2λb ，-b -2a ，则下列结论中正确的是( )A.当λ>1时，向量a +λb ，λ-1 a+2λb 不可能共线B.当λ>-3时，向量a +λb ，-b -2a可能出现共线情况C.若a ⋅b =0，且a ,b为单位向量，则当λ>-3时，向量λ-1 a +2λb ，-b -2a 可能出现垂直情况D.当λ=2时，向量a-λb 与-22b -a 平行35.(2022·广东·高三阶段练习)已知函数f x =x -2 +1，g x =kx ，若方程f x =g x 有两个不相等的实根，则实数k 的取值可以是( )A.43B.34C.45D.136.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)已知函数f x =sin cos x +cos sin x ，下列关于该函数结论正确的是( )A.f x 的图象关于直线x =π2对称B.f x 的一个周期是2πC.f x 的最大值为2D.f x 是区间0,π2上的减函数37.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到．而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数．函数f (x )=4i =1sin [(2i -1)x ]2i -1的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则( )A.函数f (x )为周期函数，且最小正周期为πB.函数f (x )的图象关于点(2π,0)对称C.函数f (x )的图象关于直线x =π2对称D.函数f (x )的导函数f (x )的最大值为438.(2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f(x )=e -x (x -1)．则下列结论正确的是( )A.当x <0时，f (x )=e x (x +1)试卷第1页，共50页B.函数f(x)有两个零点C.若方程f(x)=m有三个解，则实数m的取值范围是f(-2)<m<f(2)D.∀x1,x2∈R,f x1-f x2max=239.(2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试)2022年北京冬奥会开幕式精彩纷呈，其中雪花造型惊艳全球．有一个同学为了画出漂亮的雪花，将一个边长为1的正六边形进行线性分形．如图，图(n)中每个正六边形的边长是图n-1中每个正六边形的边长的12．记图(n)中所有正六边形的边长之和为a n，则下列说法正确的是( )A.图(4)中共有294个正六边形B.a4=10294C.a n是一个递增的等比数列D.记S n为数列a n的前n项和，则对任意的n∈N*且n≥2，都有a n>S n-1三、填空题40.(2022·广东·广州市真光中学高三开学考试)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在一点P使得∠F1PF2=23π，则该椭圆离心率的取值范围是________．41.(2022·广东广州·高三开学考试)折纸是我国民间的一种传统手工艺术，明德小学在课后延时服务中聘请了民间艺术传人给同学们教授折纸.课堂上，老师给每位同学发了一张长为10cm，宽为8cm的矩形纸片，要求大家将纸片沿一条直线折叠.若折痕(线段)将纸片分为面积比为1:3的两部分，则折痕长度的取值范围是___________cm.42.(2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习)已知函数f(x)的导函数f (x)满足：f (x)-f(x)=e2x，且f(0)=1，当x∈0,+∞时，x(f(x)-a)≥1+ln x恒成立，则实数a的取值范围是______________．43.(2022·广东·高三阶段练习)若不等式a x+1e x-x<0有且仅有一个正整数解，则实数a的取值范围是______．44.(2022·广东·高三阶段练习)已知⊙C：x2+y2-2x-2y-2=0，直线l：x+2y+2=0，M为直线l上的动点，过点M作⊙C的切线MA，MB，切点为A，B，当四边形MACB的面积取最小值时，直线AB的方程为____．45.(2022·广东·高三开学考试)已知双曲线C:x24-y23=1，F1、F2是双曲线C的左、右焦点，M是双曲线C右支上一点，l是∠F1MF2的平分线，过F2作l的垂线，垂足为P，则点P的轨迹方程为_______．46.(2022·广东·中山一中高三阶段练习)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，B，C，已知sin2A+sin2C=sin2B+sin A sin C，若△ABC的面积为334，则a+c的最小值为__________．47.(2022·广东·高三阶段练习)已知矩形ABCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为_____．48.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)设f x =ln x,0<x≤2f4-x,2<x<4，若方程f x =m有四个不相等的实根x i i =1,2,3,4 ，则x 1+x 2 2+x 23+x 24的取值范围为___________.49.(2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试)已知F 是双曲线C :x 2a2-y 2b 2=1a >0,b >0 的右焦点，过点F 的直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为A ，且直线l 与双曲线C 的左支交于点B ，若3FA =AB ，则双曲线C 的渐近线的方程为______．四、双空题50.(2022·广东惠州·高三阶段练习)已知抛物线方程y 2=8x ，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF与抛物线的交点，定义：d P =PFFQ.已知点P -2,82 ，则d P =___________；设点P -2,t t >0 ，若4d P -PF-k >0恒成立，则k 的取值范围为___________.51.(2022·广东·鹤山市鹤华中学高三开学考试)甲射击一次,中靶概率是P 1,乙射击一次,中靶概率是P 2,已知1P 1,1P 2是方程x 2-5x +6=0的根,且P 1满足方程x 2-x +14=0.则甲射击一次,不中靶概率为_____;乙射击一次,不中靶概率为_____.52.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)若f x =ln a +11-x+b 是奇函数，则a =_____，b =______．试卷第1页，共50页2023年新高考数学选填压轴题好题汇编(一)一、单选题1.(2022·广东·广州市真光中学高三开学考试)端午佳节，人们有包粽子和吃粽子的习俗，粽子主要分为南北两大派系，地方细分特色鲜明，且形状各异，裹蒸粽是广东肇庆地区最为出名的粽子，是用当地特有的冬叶､水草包裹糯米､绿豆､猪肉､咸蛋黄等蒸制而成的金字塔形的粽子，现将裹蒸粽看作一个正四面体，其内部的咸蛋黄看作一个球体，那么，当咸蛋黄的体积为4π3时，该裹蒸粽的高的最小值为( )A.4B.6C.8D.10【答案】A 【解析】要使正四面体的高最小，当且仅当球与正四面体相内切，设正四面体的棱长为a ，高为h ，内切球的半径为r ，则4π3r 3=4π3，解得r =1，如图正四面体S -ABC 中，令D 为BC 的中点，O 1为底面三角形的中心，则SO 1⊥底面ABC所以V S -ABC =13S △ABC h =13⋅4S △ABC ⋅r ，即h =4r =4.故选：A2.(2022·广东惠州·高三阶段练习)甲罐中有5个红球，3个白球，乙罐中有4个红球，2个白球.整个取球过程分两步，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用A 1､A 2表示由甲罐取出的球是红球､白球的事件；再从乙罐中随机取出两球，分别用B ､C 表示第二步由乙罐取出的球是“两球都为红球”､“两球为一红一白”的事件，则下列结论中不正确的是( )A.P B A 1 =1021B.P C A 2 =47C.P B =1942D.P C =4384【答案】C【解析】在事件A 1发生的条件下，乙罐中有5红2白7个球，则P B ∣A 1 =C 25C 27=1021，A 正确；在事件A 2发生的条件下，乙罐中有4红3白7个球，则P C ∣A 2 =C 14C 13C 27=1221=47，B 正确；因P A 1 =58，P A 2 =38，P B ∣A 1 =1021，P B ∣A 2 =C 24C 27=621，则P B =P A 1 P B ∣A 1 +P A 2 P B ∣A 2 =58×1021+38×621=1742，C 不正确；因P C ∣A 2 =1221，P C ∣A 1 =C 15C 12C 27=1021，则P C =P A 1 P C ∣A 1 +P A 2 P C ∣A 2 =58×1021+38×1221=4384，D 正确.故选：C .3.(2022·广东·鹤山市鹤华中学高三开学考试)已知直线ax -2by +14=0平分圆C ：x 2+y 2-4x -2y -11=0的面积，过圆外一点P a ，b 向圆做切线，切点为Q ，则PQ 的最小值为( )A.4 B.5C.6D.7【答案】A【解析】圆C ：x 2+y 2-4x -2y -11=0化为标准方程为x -2 2+y -1 2=16，所以圆心C 2，1 ，半径r =4，因为直线ax -2by +14=0平分圆C ：x 2+y 2-4x -2y -11=0的面积，所以圆心C 2，1 在直线ax -2by +14=0上，故2a -2b +14=0，即b =a +7，在Rt △PQC 中，PQ2=PC 2-r 2=a -2 2+b -1 2-16=a -2 2+a +6 2-16=2a 2+8a +24=2a +2 2+16，当a =-2时，PQ 2最小为16，PQ 最小为4．故选：A ．4.(2022·广东广州·高三开学考试)设a =ln1.1，b =e 0.1-1，c =tan0.1，d =0.4π，则( )A.a <b <c <d B.a <c 43.2 10=54 10=2516 5>2416 5=32 5>e ，即4π 10>e ，故10ln 4π>1，即ln 4π>0.1，故d 0.1 -b 0.1 >d 0 -b 0 =0，即d >b .②设y =b x -c x =e x -1-tan x ，则y =e x-1cos 2x =e x cos 2x -1cos 2x，设f x =e x cos 2x -1，则f x =e x cos 2x -2sin x =e x -sin 2x -2sin x +1 .设g x =x -sin x ，则g x =1-cos x ≥0，故g x =x -sin x 为增函数，故g x ≥g 0 =0，即x ≥sin x .故f x ≥e x -x 2-2x +1 =e x -x +1 2+2 ，当x ∈0,0.1 时f x >0， f x =e x cos 2x -1为增函数，故f x ≥e 0cos 20-1=0，故当x ∈0,0.1 时y =b x -c x 为增函数，故b 0.1 -c 0.1 >b 0 -c 0 =0，故b >c .③设y =c x -a x =tan x -ln x +1 ，y =1cos 2x -1x +1=x +sin 2xx +1 cos 2x，易得当x ∈0,0.1 时y >0，故c 0.1 -a 0.1 >c 0 -a 0 =0，即c >a .综上d >b >c >a故选：B5.(2022·广东广州·高三开学考试)若空间中经过定点O 的三个平面α，β，γ两两垂直，过另一定点A 作直线l 与这三个平面的夹角都相等，过定点A 作平面δ和这三个平面所夹的锐二面角都相等.记所作直线l 的条数为m ，所作平面δ的个数为n ，则m +n =( )A.4 B.8C.12D.16【答案】B【解析】将α，β，γ放入正方体OBCD -A 1B 1C 1D 1，根据对称性可知，对角线OC 1分别与三个平面α，β，γ所成角都相等，对角线BD 1分别与三个平面α，β，γ所成角都相等，因为平面BC 1⎳平面α，所以对角线BD 1分别与三个平面α，β，γ所成角都相等，同理对角线B 1D ,A 1C 分别与三个平面α，β，γ所成角都相等，过点A 分别作BD 1,B 1D ,A 1C ,OC 1的平行线，则所作四条平行线分别与三个平面α，β，γ所成角都相等，所以m =4.试卷第1页，共50页如下图，正方体的内接正四面体O -B 1CD 1的四个平面与α，β，γ所夹的锐二面角都相等，所以过A 分别作与正四面体O -B 1CD 1四个面平行的平面即可，所以n =4.故选：B .6.(2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习)已知a =e 0.05，b =ln1.12+1，c = 1.1，则( )A.a >b >c B.c >b >a C.b >a >cD.a >c >b【答案】D【解析】令f x =e x -x -1x >0 ，则f x =e x -1>0，∴f x 在0,+∞ 上单调递增，∴f x >f 0 =0，即e x >x +1，∴e 0.1>1.1，∴e 0.05> 1.1，即a >c ；令g x =ln x -x +1，则g x =1x -1=1-xx，∴当x ∈0,1 时，g x >0；当x ∈1,+∞ 时，g x <0；∴g x 在0,1 上单调递增，在1,+∞ 上单调递减，∴g x ≤g 1 =0，∴ln x ≤x -1(当且仅当x =1时取等号)，∴ln x ≤x -1，即ln x2+1≤x (当且仅当x =1时取等号)，∴ln1.12+1< 1.1，即b <c ；综上所述：a >c >b .故选：D .7.(2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，点P 为双曲线C 中第一象限上的一点，∠F 1PF 2的平分线与x 轴交于Q ，若OQ=14OF 2 ，则双曲线的离心率范围为( )A.1,2 B.1,4 C.2,2 D.2,4【答案】B【解析】设双曲线的半焦距为c c >0 ，离心率为e ，由OQ =14OF 2 ，则QF 1 =54c ，QF 2 =34c ，因为PQ 是∠F 1PF 2的平分线，所以PF 1 :PF 2 =5:3,又因为PF 1 -PF 2 =2a ，所以PF 1 =5a ,PF 2 =3a ，所以5a +3a >2c 2a <2c，解得1<ca<4，即1<e <4，所以双曲线的离心率取值范围为(1,4).故选：B8.(2022·广东·高三阶段练习)设a =4-ln4e2，b =ln22，c =1e ，则( )A.a <c e 时,f x <0,函数单调递减,当0<x <e 时,f x >0,函数单调递增,故当x =e 时,函数取得最大值f e =1e,因为a =22-ln2 e 2=ln e 22e 22=f e 22 ,b =ln22=ln44=f 4 ,c =1e =f e ,∵e <e 22<4,当x >e 时,fx <0,函数单调递减,可得f 4 <f e 22<f e ,即b <a <c .故选:C9.(2022·广东·高三阶段练习)定义在R 上的函数f x 满足f (-x )+f (x )=0,f (x )=f (2-x )；且当x ∈[0,1]时，f (x )=x 3-x 2+x ．则方程7f (x )-x +2=0所有的根之和为( )A.14 B.12C.10D.8【答案】A【解析】由f (-x )+f (x )=0,f (x )=f (2-x )可得f x 为奇函数，且关于x =1对称.又由题意f (-x )=-f (x )，故f x =f 2-x =-f 2+x ，所以f x 关于2,0 对称，且f x =-f 2+x =f 4+x ，故f x 的周期为4.又当x ∈[0,1]时，f (x )=x 3-x 2+x ，此时f x =3x 2-2x +1=3x -13 2+23>0，故f (x )=x 3-x 2+x 在x ∈[0,1]为增函数.综上可画出y =f (x )的函数部分图象.又方程7f (x )-x +2=0的根即y =f (x )与y =17x -2 的交点，易得在区间-5,2 ,2,9 上均有3个交点，且关于2,0 对称，加上2,0 共7个交点，其根之和为3×2×2+2=14故选：A 10.(2022·广东·高三开学考试)设a =12e，b =ln 2，c =4-ln4e 2，则( )A.a 0，得0<x <e ；令f (x )<0，得x >e ．所以f (x )在(0,e )上单调递增，在(e ,+∞)上单调递减，而a =12e =f (e )，b =ln212=ln22=f (2)=ln44=f (4)，试卷第1页，共50页c =4-ln4e 2=2-ln2e 22=ln e22e 22=f e 22 ，因为0<e <2<e <e 22<4，所以a <b <c ．故选：A ．11.(2022·广东·高三开学考试)已知f (x )=2x 2，数列a n 满足a 1=2，且对一切n ∈N *，有a n +1=f a n ，则( )A.a n 是等差数列 B.a n 是等比数列C.log 2a n 是等比数列 D.log 2a n +1 是等比数列【答案】D【解析】由题意知a n +1=2a 2n ，所以log 2a n +1=1+2log 2a n ，所以log 2a n +1+1=2log 2a n +1 ，n ∈N *，所以log 2a n +1 是等比数列，且log 2a n +1=2n ,所以log 2a n =2n -1，选项A ，B ，C 错误，选项D 正确.故选：D ．12.(2022·广东·中山一中高三阶段练习)已知a =log 1.10.9，b =0.91.1，c =1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a 1.10=1，故a <b <c .故选：A .13.(2022·广东·中山一中高三阶段练习)已知函数f (x )=x 2-2x +a (e x -1+e -x +1)有唯一零点，则a =()A.-12B.13C.12D.1【答案】C【解析】因为f (x )=x 2-2x +a (e x -1+e -x +1)=x -1 2+a (e x -1+e -x +1)-1，设t =x -1，则f x =g t =t 2+a e t +e -t -1，因为g t =g -t ，所以函数g t 为偶函数，若函数f (x )有唯一零点，则函数g t 有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当t =0时，g t =0才满足题意，即x =1是函数f (x )的唯一零点，所以2a -1=0，解得a =12.故选：C .14.(2022·广东·高三阶段练习)已知平面向量a ，b ，c 满足a=b =a ⋅b =2，且b -c ⋅3b -c =0，则c -a最小值为( )A.22+1B.33-3C.7-1D.23-2【答案】D【解析】因为a=b =a ⋅b =2，所以cos a ,b =a ⋅ba ⋅b=12，又a ,b ∈0,π ，所以a ,b =π3，如图所示：不妨设A 1,3 ,B 2,0 ,C x ,y ，则a =OA=1,3 ,b =OB =2,0 ,c =OC =x ,y ，所以b -c =2-x ,-y ,3b -c=6-x ,-y ，因为b -c ⋅3b -c=0，所以2-x 6-x +y 2=0，即x -4 2+y 2=4，表示点C 在以M 4,0 为圆心，以2为半径的圆上，所以c -a最小值为AM -r =1-4 2+3 2-2=23-2，故选：D15.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)已知f (x )是定义在R 上的函数，且对任意x ∈R 都有f (x +2)=f (2-x )+4f (2)，若函数y =f (x +1)的图象关于点(-1,0)对称，且f (1)=3，则f (2021)=( )A.6 B.3 C.0 D.-3【答案】D【解析】令x =0，得f (2)=f (2)+4f (2)，即f (2)=0，所以f (x +2)=f (2-x )，因为函数y =f (x +1)的图象关于点(-1,0)对称，所以函数y =f (x )的图象关于点(0,0)对称，即f (-x )=-f (x )，所以f (x +2)=f (2-x )=-f (x -2)，即f (x +4)=-f (x )，可得f (x +8)=f (x )，则f (2021)=f (253×8-3)=f (-3)=-f (1)=-3，故选：D .16.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)对于定义在R 上的函数f x ，若存在正常数a 、b ，使得f x +a≤f x +b 对一切x ∈R 均成立，则称f x 是“控制增长函数”.在以下四个函数中：①f x =e x ；②f x =x ；③f x =sin x 2；④f x =x ⋅sin x .是“控制增长函数”的有( )个A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】对于①，f x +a ≤f x +b 可化为e x +a ≤e x +b ，即e x ≤be a-1对一切x ∈R 恒成立，由函数y =f x 的定义域为R 可知，不存在满足条件的正常数a 、b ，所以，函数f x =e x 不是“控制增长函数”；对于②，若函数f x =x为“控制增长函数”，则f x +a ≤f x +b 可化为x +a≤x +b ，∴x +a ≤x +b 2+2bx对一切x ∈R 恒成立，又x +a ≤x +a ，若x +a ≤x +b 2+2bx 成立，则x ≥a -b 22a，显然，当a <b 2时，不等式恒成立，试卷第1页，共50页所以，函数f x =x 为“控制增长函数”；对于③，∵-1≤sin x 2 ≤1，∴f x +a -f x ≤2，当b ≥2且a 为任意正实数时，f x +a ≤f x +b 恒成立，所以，函数f x =sin x 2 是“控制增长函数”；对于④，若函数f x =x ⋅sin x 是“控制增长函数”，则x +a ⋅sin x +a ≤x sin x +b 恒成立，∵x +a ⋅sin x +a ≤x +a ，若x +a ≤x sin x +b ≤x +b ，即a ≤b ，所以，函数f x =x ⋅sin x 是“控制增长函数”.因此，是“控制增长函数”的序号是②③④.故选：C17.(2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试)《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”．现有一个刍甍如图所示，底面ABCD 为正方形，EF ⎳底面ABCD ，四边形ABFE ，CDEF为两个全等的等腰梯形，EF =12AB =2,AE =23，则该刍甍的外接球的体积为( )A.642π3B.32πC.643π3D.642π【答案】A【解析】取AD ，BC 中点N ，M ，正方形ABCD 中心O ，EF 中点O 2，连接EN ,MN ,FM ,OO 2，如图，依题意，OO 2⊥平面ABCD ，EF ⎳AB ⎳MN ，点O 是MN 的中点，MN =AB =4，等腰△AED 中，AD ⊥EN ，EN =AE 2-AN 2=22，同理FM =22，因此，等腰梯形EFMN 的高OO 2=EN 2-MN -EF 22=7，由几何体的结构特征知，刍甍的外接球球心O 1在直线OO 2上，连O 1E ,O 1A ,OA ，正方形ABCD 外接圆半径OA =22，则有O 1A 2=OA 2+OO 21O 1E 2=O 2E 2+O 2O 21 ，而O 1A =O 1E ,O 2E =12EF =1，当点O 1在线段O 2O 的延长线(含点O )时，视OO 1为非负数，若点O 1在线段O 2O (不含点O )上，视OO 1为负数，即有O 2O 1=O 2O +OO 1=7+OO 1，即(22)2+OO 21=1+(7+OO 1)2，解得OO 1=0，因此刍甍的外接球球心为O ，半径为OA =22，所以刍甍的外接球的体积为4π3×(22)3=642π3.故选：A18.(2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试)若3x -3y >5-x -5-y ，则( )A.1x >1yB.x 3>y 3C.x >yD.ln x 2+1 >ln y 2+1【答案】B【解析】由3x -3y >5-x -5-y 得3x -5-x >3y -5-y ，设f (x )=3x -5-x ，易知f (x )是增函数，所以由3x -5-x >3y -5-y 得x >y ，当x <0时，C 不存在，错误，A 错误，0>x >y ，则0<x 2<y 2，0<x 2+1<y 2+1，从而ln (x 2+1)<ln (y 2+1)，D 错误．由不等式性质，B 正确．故选：B ．二、多选题19.(2022·广东·广州市真光中学高三开学考试)已知抛物线C :y 2=2px p >0 的焦点为F ，抛物线C 上的点M 1,m 到点F 的距离是2，P 是抛物线C 的准线与x 轴的交点，A ，B 是抛物线C 上两个不同的动点，O 为坐标原点，则( )A.m =±2B.若直线AB 过点F ，则OA ⋅OB=-3C.若直线AB 过点F ，则PA PB =FAFB D.若直线AB 过点P ，则AF +BF >2PF 【答案】BCD 【解析】由题意得1+p2=2，则p =2，故抛物线C 的方程为y 2=4x ，将M 1,m 代入抛物线的方程，得m 2=4，解得m =±2，所以A 不正确；设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，易知直线AB 的斜率不为零，当直线AB 过点F 1,0 时，可设直线AB 的方程为x =ty +1，与抛物线方程联立，得y 2=4xx =ty +1 ，化简得：y 2-4ty -4=0，则y 1y 2=-4，y 1+y 2=4t ，所以x 1x 2=y 21y 2216=1，所以OA ⋅OB =x 1x 2+y 1y 2=1-4=-3，所以B 正确；易知P -1,0 ，则由选项B 得k PA +k PB =y 1x 1+1+y 2x 2+1=y 1ty 2+2 +y 2ty 1+2 x 1+1 x 2+1 =2ty 1y 2+2y 2+y 1 x 1+1 x 2+1 =-8t +8t x 1+1 x 2+1=0，所以直线PF 平分∠APB ，所以PA PB =FAFB，选项C 正确；因为直线AB 过点P -1,0 ，且斜率不为零，所以设直线AB 的方程为x =ty -1，与抛物线方程联立，易得y 1y 2=4，所以x 1x 2=1．因为x 1>0，x 2>0，且x 1≠x 2，所以AF +BF =x 1+1+x 2+1>2x 1x 2+2=4，又PF =2，所以AF +BF >2PF ，所以D 正确．故选：BCD ．20.(2022·广东·广州市真光中学高三开学考试)若函数f 2x +2 为偶函数，f x +1 为奇函数，且当x ∈(0,1]时，f x =ln x ，则( )A.f x 为偶函数B.f e =1C.f 4-1e =-1D.当x ∈[1,2)时，f (x )=-ln (2-x )【答案】ACD试卷第1页，共50页【解析】对A ，因为函数f 2x +2 为偶函数，故f 2x +2 =f -2x +2 ，故f x 关于x =2对称.又f x +1 为奇函数，关于原点对称，故f x 关于1,0 对称.综上，f x 关于x =2与1,0 对称. 关于x =2对称有f x =f 4-x ，关于1,0 对称有f 4-x =-f x -2 ，f x =-f 2-x ，故-f x -2 =-f 2-x ，即f x =f -x ，所以f x 为偶函数，故A 正确；对B ，由A ，因为e ∈2,3 ，f e =-f 2-e =-f e -2 =-ln e -2 ，故B 错误；对C ，由A ，f 4-1e =f 1e =ln 1e=-1，故C 正确；对D ，当x ∈[1,2)时，2-x ∈0,1 ，故f x =-f 2-x =-ln 2-x ，故D 正确；故选：ACD21.(2022·广东惠州·高三阶段练习)如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是C 1D 1，C 1C ，A 1A 的中点，则( )A.M ，N ，B ，D 1四点共面B.异面直线PD 1与MN 所成角的余弦值为1010C.平面BMN 截正方体所得截面为等腰梯形D.三棱锥P -MNB 的体积为13【答案】BCD【解析】对于A ，易知MN 与BD 1为异面直线，所以M ，N ，B ，D 1不可能四点共面，故A 错误；对于B ，连接CD 1，CP ，易得MN ⎳CD 1，所以∠PD 1C 为异面直线PD 1与MN 所成角，设AB =2，则CD 1=22，D 1P =5，PC =3，所以cos ∠PD 1C =(22)2+(5)2-322×22×5=1010，所以异面直线PD 1与MN 所成角的余弦值为1010，故B 正确；对于C ，连接A 1B ，A 1M ，易得A 1B ⎳MN ，所以平面BMN 截正方体所得截面为梯形MNBA 1，故C 正确；对于D ，易得D 1P ⎳BN ，因为D 1P ⊄平面MNB ，MN ⊂平面MNB ，所以D 1P ⎳平面MNB ，所以V P -MNB =V D 1-MNB =V B -MND 1=13×12×1×1×2=13，故D 正确.故选：BCD22.(2022·广东·鹤山市鹤华中学高三开学考试)已知椭圆C ：x 216+y 29=1的左，右焦点为F 1，F 2，点P 为椭圆C 上的动点(P 不在x 轴上)，则( )A.椭圆C 的焦点在x 轴上B.△PF 1F 2的周长为8+27C.|PF 1|的取值范围为94，4 D.tan ∠F 1PF 2的最大值为37【答案】ABD【解析】对于A ，由椭圆的方程可知，椭圆焦点在x 轴上，故A 正确；对于B ，因为c =16-9=7，而△PF 1F 2的周长为2a +2c =8+27，故B 正确；对于C ，因为P 不在x 轴上，所以a -c <PF 1 <a +c ，所以PF 1 的取值范围为4-7,4+7 ，故C 不正确；对于D ，设椭圆的上顶点为B ，则0≤∠F 1PF 2≤∠F 1BF 2<π2，所以tan ∠F 1PF 2的最大值为tan ∠F 1BF 2.设∠OBF 2=α，则tan α=73，且∠F 1BF 2=2α，而tan2α=2tan α1-tan 2α=37，所以tan ∠F 1PF 2的最大值为37，故D 正确.故选：ABD .23.(2022·广东广州·高三开学考试)若f x =sin x +cos x ，则下列说法正确的有( )A.f x 的最小正周期是πB.方程x =-π2是f x 的一条对称轴C.f x 的值域为1,2D.∃a ，b >0，对∀x ∈R 都满足f x +a +f a -x =2b ，(a ，b 是实常数)【答案】BC【解析】对A ,因为f x =sin x +cos x ，所以f x +π2 =sin x +π2 +cos x +π2=cos x +sin x =f x ，故π2是f x 的一个周期，故最小正周期是π是错误的，对B ，因为f x -π =sin x -π +cos x -π =sin x +cos x =f x ，故x =-π2是f x 的一条对称轴是正确的，对C ,当x ∈0,π2 时，f x =sin x +cos x =sin x +cos x =2sin x +π4 ，由x ∈0,π2 ，则x +π4∈π4,3π4 ，故sin x +π4 ∈22,1 ,因此f (x )∈1,2 ，由A 知π2是f x 的周期，故f x 的值域为1,2 ，C 正确，对D ,因为当x ∈0,π2时，f x =sin x +cos x =sin x +cos x =2sin x +π4 ，且π2是f x 的周期，故画出f (x )的图象如图：由图可知，f (x )没有对称中心，故不存在a ,b ，使得f x +a +f a -x =2b ，故D 错误.故选：BC24.(2022·广东广州·高三开学考试)已知抛物线y 2=2px 上的四点A 2,2 ，B ，C ，P ，直线AB ，AC 是圆M :x -22+y 2=1的两条切线，直线PQ 、PR 与圆M 分别切于点Q 、R ，则下列说法正确的有( )A.当劣弧QR 的弧长最短时，cos ∠QPR =-13B.当劣弧QR 的弧长最短时，cos ∠QPR =13C.直线BC 的方程为x +2y +1=0D.直线BC 的方程为3x +6y +4=0试卷第1页，共50页【答案】BD【解析】由已知得抛物线y 2=2px 过点A 2,2 ，即22=2p ×2，所以p =1，即抛物线为y 2=2x ，对于AB 选项，如图所示，设点P y 202,y 0当劣弧QR 的弧长最短时，∠QMR 最小，又∠QMR +∠QOR =π，所以∠QPR 最大，即cos ∠QPR 最小，又cos ∠QPR =cos2∠QPM =1-2sin 2∠QPM =1-2⋅MQ 2PM 2，又圆M :x -2 2+y 2=1，所以圆心M 2,0 ，半径r =QM =1，cos ∠QPR =1-2PM2，又PM 2=y 202-22+y 20=14y 20-2 2+3，所以当y 20=2时，PM 2取最小值为3，此时cos ∠QPR 最小为1-23=13，所以A 选项错误，B 选项正确；对于CD 选项，设过点A 作圆M 切线的方程为y -2=k x -2 ，即kx -y -2k +2=0，所以d =2k -0-2k +21+k2=r =1，解得k =±3，则直线AB 的方程为：y -2=3x -2 ，即y =3x -23+2，直线AC 的方程为：y -2=-3x -2 ，即y =-3x +23+2，联立直线AB 与抛物线y =3x -23+2y 2=2x ，得y 2-233y +433-4=0，故2y B =433-4，y B =233-2，B 83-433,233-2 ，同理可得C 83+433,-233-2 ，所以k BC =233-2 --233-2 83-433 -83+433=-12，直线BC 的方程为y -233-2 =-12x -83-433，即3x +6y +4=0，所以C 选项错误，D 选项正确；故选：BD .25.(2022·广东广州·高三开学考试)已知函数f x 及其导函数f x 的定义域均为R ，对任意的x ，y ∈R ，恒有f x +y +f x -y =2f x ⋅f y ，则下列说法正确的有( )A.f 0 =1 B.f x 必为奇函数C.f x +f 0 ≥0D.若f 1 =12，则2023n =1f n =12 【答案】BCD【解析】对于A ，令x =y =0，则由f x +y +f x -y =2f x ⋅f y 可得2f 0 =2f 20 ，故f (0)=0或f 0 =1，故A 错误；对于B ,当f (0)=0时，令y =0，则f x +f x =2f x ⋅f 0 =0，则f (x )=0 ，故f (x )=0，函数f x 既是奇函数又是偶函数；。

高考数学各省市选择填空压轴题

（2013•江苏）在正项等比数列{a n }中，，a 6+a 7=3，则满足a 1+a 2+…+a n ＞a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为．（2012年江苏省5分）已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则ba的取值范围是．（2010年江苏) 将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=(梯形的周长)2梯形的面积,则S 的最小值是________（2009年江苏）设{}n a 是公比为q 的等比数列，||1q >，令1(1,2,)n n b a n =+=L 若数列{}n b 有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--中，则6q = .（2013新课标1卷）设n n n A B C ∆的三边长分别为,,n n n a b c ，n n n A B C ∆的面积为n S ，1,2,3,n =L ，若11111,2b c b c a >+=，111,,22n n nnn n n n c a b a a a b c +++++===，则( )A .{S n }为递减数列B .{S n }为递增数列 C.{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列 D.{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列（2013新课标1卷）若函数()f x =22(1)()x x ax b -++的图像关于直线2x =-对称，则()f x 的最大值是______（2012新课标1卷）设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 最小值为（） ()A 1ln2- ()B 2(1ln 2)- ()C 1ln2+ ()D 2(1ln 2)+（2012新课标1卷）数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为（2011新课标1卷）函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有焦点的横坐标之和等于（A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8（2011新课标1卷）在V-ABC中，60,B AC ==o2AB BC +的最大值为（2010新课标1卷）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值()3A()3B(C()3D（2010新课标1卷）已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且2BF FD =u u u r u u u v，则C 的离心率为。

高考数学选择填空压轴题45道(附答案)

,
D．
1,
27 e4
21．已知方程
e x 1
x
e2 x1 x aex1
有三个不同的根，则实数
a
的
取值范围为（）
A． 1,e
B．
e,
1 2
C． 1,1
D．
1,
1 2
22．函数 f (x) ex1 ex1 a sin （x x R ，e 是自然对数的底数，
a 0 ）存在唯一的零点，则实数 a 的取值范围为( )
38．若不等式 x e2x a x ln x 1恒成立，则实数 a 的取值范
围是__________.
39．已知函数 f x ln x e a x b ，其中 e 为自然对数的底
数.若不等式
f
x
0
恒成立，则
b a
的最小值为_______.
40．已知函数
f
(x)
x
2 cos
x
，在区间上
0,
4
A．
0,
2
B．
0,
2
C． (0,2]
D． (0,2)
23．已知 a 0 ，b R ，且 ex a(x 1) b 对 x R 恒成立，则 a2b 的最大值为（）
A． 1 e5
2
B． 1 e5
3
C． 1 e3
2
D． 1 e3
3
k
24．若关于
x
的不等式
1 x
x
1 27
有正整数解，则实数
16 12
7
4
x
x
3y 6 y
的最小值为________.
8
参考答案，仅供参考

2024年新高考数学选填压轴题汇编(一)(解析版)

2024年新高考数学选填压轴题汇编(一)一、多选题1(2023·广东深圳·高三红岭中学校考阶段练习)已知长方体的表面积为10，十二条棱长度之和为16，则该长方体()A.一定不是正方体B.外接球的表面积为6πC.长、宽、高的值均属于区间1,2D.体积的取值范围为5027,2【答案】ABD【解析】设长方体的长宽高分别为a ,b ,c ，则可得2ab +ac +bc =104a +b +c =16，即ab +ac +bc =5a +b +c =4 ，又因为a +b +c 2=a 2+b 2+c 2 +2ab +ac +bc =16，所以a 2+b 2+c 2=6，由不等式可得，a 2+b 2+c 2≥ab +ac +bc ，当且仅当a =b =c 时，等号成立，而a 2+b 2+c 2>ab +ac +bc ，取不到等号，所以得不到a =b =c ，即该长方体一定不是正方体，故A 正确；设长方体外接球的半径为R ，则2R =a 2+b 2+c 2=6，即R =62，则外接球的表面积为4π622=6π，故B 正确；由a +b +c =4可得，c =4-a +b ，代入ab +ac +bc =5可得，ab +4-a +b a +b =5，即ab =5-4-a +b a +b ，因为a ,b >0，由基本不等式可得ab ≤a +b24，即5-4-a +b a +b ≤a +b24，设a +b =t ，则t >0，则5-4-t t ≤t 24，化简可得3t 2-16t +20≤0，即3t -10 t -2 ≤0，所以2≤t ≤103，即2≤a +b ≤103，又因为a +b =4-c ，则23≤c ≤2，同理可得a ,b ∈23,2 ，故C 错误；设长方体的体积为V ，则V =abc =5-4-a +b a +b 4-a +b ，且a +b =t ，2≤t ≤103，即V =5-4-t t 4-t ，其中t ∈2,103，化简可得，V =4-t 5-4t +t 2 ，t ∈2,103，且V =-5-4t +t 2 +4-t -4+2t =-3t -7 t -3 ，t ∈2,103，令V =0，则t =73或3，当t ∈2,73时，V <0，即V 单调递减，当t ∈73,3时，V >0，即V 单调递增，当t ∈3,103时，V <0，即V 单调递减，所以，当t =73时，V 有极小值，且V 73 =4-73 5-4×73+499 =5027，当t =3时，V 有极大值，且V 3 =4-3 5-4×3+9 =2，又因为V 2 =4-2 5-4×2+4 =2,V 103 =4-103 5-4×103+1009 =5027，所以V ∈5027,2 ，故D 正确；故选：ABD2(2023·广东·高三校联考阶段练习)对于数列a n ，若存在正数M ，使得对一切正整数n ，都有a n ≤M ，则称数列a n 是有界的.若这样的正数M 不存在，则称数列a n 是无界的.记数列a n 的前n 项和为S n ，下列结论正确的是()A.若a n =1n，则数列a n 是无界的 B.若a n =12nsin n ，则数列S n 是有界的C.若a n =-1 n ，则数列S n 是有界的 D.若a n =2+1n2，则数列S n 是有界的【答案】BC【解析】对于A ，∵a n =1n=1n≤1恒成立，∴存在正数M =1，使得a n ≤M 恒成立，∴数列a n 是有界的，A 错误；对于B ，∵-1≤sin n ≤1，∴-12n≤a n =12n⋅sin n ≤12n，∴S n =a 1+a 2+⋯+a n <12+122+⋯+12n=121-12 n1-12=1-12n<1，S n =a 1+a 2+⋯+a n >-12+12 2+⋯+12 n=-1+12 n>-1，所以存在正数M =1，使得S n ≤M 恒成立，∴则数列S n 是有界的，B 正确；对于C ，因为a n =-1 n ，所以当n 为偶数时，S n =0；当n 为奇数时，S n =-1；∴S n ≤1，∴存在正数M =1，使得S n ≤M 恒成立，∴数列S n 是有界的，C 正确；对于D ，1n 2=44n 2<42n -1 2n +1=412n -1-12n +1 ，∴S n =2n +1+122+132+⋅⋅⋅1n2≤2n +41-13+13-15+⋅⋅⋅+12n -1-12n +1 =2n +41-12n +1 =2n +8n 2n +1=2n -22n +1+2 ；∵y =x -22x +1在0,+∞ 上单调递增，∴n -22n +1∈13,+∞，∴不存在正数M ，使得S n ≤M 恒成立，∴数列S n 是无界的，D 错误.故选：BC .3(2023·广东·高三校联考阶段练习)如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1B 1的中点，P 为棱BC 上的动点，则下列结论正确的是()A.存在点P ，使AC 1⊥平面D 1EPB.存在点P ，使PE =PD 1C.四面体EPC 1D 1的体积为定值D.二面角P -D 1E -C 1的余弦值取值范围是55,23【答案】BC【解析】(向量法)为简化运算，建立空间直角坐标系如图，设正方体棱长为2，CP =20≤a ≤2 ，则P a ,2,2 ，E 2,1,0 ，A 2,0,0 ,C 10,2,2 ，AC 1 =-2,2,-2 ，D 1E ⋅AC 1 =-2≠0，故AC 1与D 1E 不垂直，故A 错误.由PE =PD 1知a 2+22+22=a -2 2+12+22,a =14∈0,2 ，故B 正确.V E -PC 1D 1=V P -C 1D 1E =13⋅2⋅S △C 1D 1E =13⋅2⋅12⋅2⋅2=43，为定值.故C 正确.又D 1E =2,1,0 ，D 1P =a ,2,2 ，设平面D 1EP 的法向量n 1 =x ,y ,z ，由D 1E ⋅n 1=0D 1P ⋅n 1 =0,2x +y =0ax +2y +2z =0 ，令x =2则y =-4，z =4-a ，∴n 1=2,-4,4-a ，又平面D 1EC 1的法向量n 2=0,0,1 ，∴cos n 1 ,n 2 =4-a 22+-4 2+4-a 2=11+204-a2，又0≤a ≤2，∴4≤4-a 2≤16，∴cos n 1 ,n 2 ∈66,23.故D 错误.(几何法)记棱A 1D 1,D 1D ,DC ,CB ,BB 1中点分别为F ,G ,J ,I ,H ，易知AC 1⊥平面EFGJIH ，而EF ⊂平面EFGJIH则AC 1⊥EF ，若AC 1⊥平面D 1EP ，D 1E ⊂平面D 1EP ，则AC 1⊥D 1E ，由EF ∩D 1E =E ,EF ,D 1E ⊂平面D 1EF ，所以AC 1⊥平面D 1EF ，与已知矛盾，故AC 1不垂直于平面D 1EP .故A 错误.连接EB ,D 1C ，易知BC ⊥EB ，BC ⊥D 1C ，设正方体棱长为2，知EB =5，D 1C =22，记BP =m 0≤m ≤2 ，则EP =m 2+5，D 1P =2-m2+8，由m 2+5=2-m 2+8，得m =74∈0,2 .故B 正确.V E -PC 1D 1=V P -C 1D 1E =13⋅2⋅S △C 1D 1E =13⋅2⋅12⋅2⋅2=43，为定值.故C 正确.过点P 作PM ⊥B 1C 1于点M ，易知PM ⊥D 1E ，过点M 作MN ⊥D 1E 于点N ，知D 1E ⊥平面PMN ，所以PN ⊥D 1E ，则二面角P -D 1E -C 1的平面角为∠PNM ，现在△PNM 中求解cos ∠PNM .设正方体棱长为2，NM =x ，则NP =x 2+4，∴cos ∠PNM =NMNP=xx 2+4，只需求x 取值范围即可：记BP =m 0≤m ≤2 ，则B 1M =BP =m ，分析易知M 在C 1时x 取到最大值，此时x =C 1N 1，M 在B 1时x 取到最小值，此时x =B 1N 2，又C 1N 1C 1D 1=D 1A 1D 1E 即C 1N 1=2⋅25=455，B 1N 2D 1A 1=B 1E D 1E 即B 1N 2=2⋅15=255，所以255≤x ≤455即45≤x 2≤165，∴cos ∠PNM =x x 2+4=1-4x 2+4∈66，23 .故D 错误.故选：BC4(2023·广东·高三校联考阶段练习)已知f x =xe x ，g x =x ln x .若存在x 1∈R ，x 2∈0,+∞ ，使得f x 1 =g x 2 =t 成立，则下列结论中正确的是()A.当t >0时，x 1x 2=tB.当t >0时，e ln t ≤x 1x 2C.不存在t ，使得f x 1 =g x 2 成立D.f x >g x +mx 恒成立，则m ≤2【答案】AB【解析】选项A ，∵f x 1 =g x 2 =t ∴t =x 1e x 1=x 2ln x 2=ln x 2e ln x 2>0，则x 1>0,x 2>0,ln x 2>0，且t =f (x 1)=f (ln x 2)>0，由f x =xe x ，得f x =e x x +1 ，当x >0时，f x >0，则f x 在0,+∞ 上递增，所以当t >0时，f x =t 有唯一解，故x 1=ln x 2，∴x 1x 2=x 2ln x 2=t ，故A 正确；选项B ，由A 正确，得ln t x 1x 2=ln tt(t >0)，设φt =ln t t ，则φ t =1-ln tt 2，令φ t =0，解得t =e易知φt 在0,e 上单调递增，在e ,+∞ 上单调递减，∴φt ≤φe =1e ，∴ln t x 1x 2≤1e ，∴e ln t ≤x 1x 2，故B 正确；选项C ，由f x =e x x +1 ，g x =ln x +1=0，得f -1 =g 1e=0，又验证知f -1 =g 1e =-1e ，故存在t =-1e ，使得f -1 =g 1e=0，C 错误；选项D ，由x >0，f x >g x +mx 恒成立，即e x -ln x >m 恒成立，令r x =e x -ln x ，则r x =e x -1x ，由r x 在0,+∞ 上递增，又r 12=e -2<0，r 1 =e -1>0，∴存在x 0∈12,1 ，使r x 0 =0，∴r x 在0,x 0 上递减，在x 0,+∞ 上递增(其中x 0满足e x 0=1x 0，即x 0=-ln x 0).∴r x ≥r x 0 =e x 0-ln x 0=1x 0+x 0>2，要使m <e x -ln x 恒成立，∴m <r (x 0)，存在2<m <r (x 0)满足题意，故D 错误.故选：AB .5(2023·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考开学考试)已知f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R ，有f 1+x =-f 1-x ，当x ∈0,1 时，f x =x 2+x -2，则()A.f x 是以4为周期的周期函数B.f 2021 +f 2022 =-2C.函数y =f x -log 2x +1 有3个零点D.当x ∈3,4 时，f x =x 2-9x +18【答案】ACD【解析】依题意，f x 为偶函数，且f 1+x =-f 1-x ⇒f x 关于1,0 对称，则f x +4 =f 1+x +3 =-f 1-x +3 =-f -2-x=-f -2+x =-f 2+x =-f 1+1+x =f 1-1+x =f -x =f x ，所以f x 是周期为4的周期函数，A 正确.因为f x 的周期为4，则f 2021 =f 1 =0，f 2022 =f 2 =-f 0 =2，所以f 2021 +f 2022 =2，B 错误；作函数y =log 2x +1 和y =f x 的图象如下图所示，由图可知，两个函数图象有3个交点，C 正确；当x ∈3,4 时，4-x ∈0,1 ，则f x =f -x =f 4-x =4-x 2+4-x -2=x 2-9x +18，D 正确.故选：ACD6(2023·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考开学考试)如图,正方形ABCD 中,E 、F 分别是AB 、BC的中点将△ADE,ΔCDF,△BEF分别沿DE、DF、EF折起,使A、B、C重合于点P.则下列结论正确的是A.PD⊥EFB.平面PDE⊥平面PDFC.二面角P-EF-D的余弦值为13D.点P在平面DEF上的投影是ΔDEF的外心【答案】ABC【解析】对于A选项，作出图形，取EF中点H，连接PH，DH，又原图知ΔBEF和ΔDEF为等腰三角形，故PH⊥EF,DH⊥EF，所以EF⊥平面PDH，所以PD⊥EF，故A正确；根据折起前后，可知PE,PF,PD 三线两两垂直，于是可证平面PDE⊥平面PDF，故B正确；根据A选项可知∠PHD为二面角P-EF-D的平面角，设正方形边长为2，因此PE=PF=1，PH=22，DH=22-22=322，PD=DF2-PF2=2，由余弦定理得：cos∠PHD=PH2+HD2-PD22PH⋅HD =13，故C正确；由于PE=PF≠PD，故点P在平面DEF上的投影不是ΔDEF的外心，即D错误；故答案为ABC.7(2023·广东·高三校联考阶段练习)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则()A.直线D1D与EF所成的角为30°B.直线A1G与平面AEF平行C.若正方体棱长为1，三棱锥A1-AEF的体积是112D.点B 1和B 到平面AEF 的距离之比是3:1【答案】BCD【解析】对于选项A ，由图可知CC 1与DD 1显然平行，所以∠EFC =45°即为所求，故选项A 不正确；对于选项B ，取B 1C 1的中点M ，连接A 1M 、GM ，如图所示，易知A 1M ⎳AE ，且A 1M ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，所以A 1M ⎳平面AEF ．又易知GM ⎳EF ，GM ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以GM ⎳平面AEF ．又A 1M ∩GM =M ，A 1M 、GM ⊂面A 1MG ，所以平面A 1MG ⎳平面AEF ．又A 1G ⊂平面A 1MG ，所以A 1G ⎳平面AEF ，故选项B 正确；对于选项C ，由选项B 知，A 1G ⎳平面AEF ，所以A 1和G 到平面AEF 的距离相等，所以V A 1-AEF =V G -AEF =V A -FEG =13×12×12×1×1=112．故选项C 正确；对于选项D ，平面AEF 过BC 的中点E ，即平面AEF 将线段BC 平分，所以C 与B 到平面AEF 的距离相等，连接B 1C 交EF 于点H ，如图所示，显然B 1H :HC =3:1，所以B 1与B 到平面AEF 的距离之比为3:1，故选项D 正确.故选：BCD ．8(2023·广东·高三校联考阶段练习)已知数列a n 满足a 1=1,a 2=3，S n 是前n 项和，若n S n +1-S n -1=n +1 S n -S n -1 ，(n ∈N *且n ≥2)，若不等式a n <n -2t 2-a +1 t +a 2-a +2 对于任意的n ∈N *,t ∈1,2 恒成立，则实数a 的值可能为()A.-4 B.0C.2D.5【答案】AD【解析】由n S n +1-S n -1=n +1 S n -S n -1 ,n ≥2，则na n +1-1=n +1 a n ,n ≥2,得a n +1-1n =n +1n a n ,n ≥2;a 2-11=2=21a 1，所以a n +1n +1-a n n =1n n +1=1n -1n +1,n ≥1，则a n n -a n -1n -1=1n -1-1n ，a n -1n -1-a n -2n -2=1n -2-1n -1，⋯，a 22-a 11=1-12，上述式子累加可得a n n -a 1=1-1n ，所以a n n =2-1n<2．所以-2t 2-a +1 t +a 2-a +2≥2对于任意的t ∈1,2 恒成立，整理得2t -a -1 t +a ≤0对于任意的t ∈1,2 恒成立．方法一：对选项A ，当a =-4时，不等式为2t +5 t -4 ≤0，其解集-52,4包含1,2 ，故选项A 正确；对选项B ，当a =0时，不等式为2t +1 t ≤0，其解集-12,0不包含1,2 ，故选项B 错误；对选项C ，当a =2时，不等式为2t -1 t +2 ≤0，其解集-2,12不包含1,2 ，故选项C 错误；对选项D ，当a =5时，不等式为2t -4 t +5 ≤0，其解集-5,2 包含1,2 ，故选项D 正确．方法二：令f t =2t -a -1 t +a ，若2t -a -1 t +a ≤0对于任意的t ∈1,2 恒成立，只需f 1 ≤0f 2 ≤0，即3-a 1+a ≤05-a 2+a ≤0 ，解得a ≥5或a ≤-2．故选：AD ．9(2023·广东·高三统考阶段练习)已知函数f x =sin n x +cos n x x ∈N * ，则()A.对任意正奇数n ，f x 为奇函数B.对任意正整数n ，f x 的图像都关于直线x =π4对称C.当n =3时，f x 在0,π2上的最小值22D.当n =4时，f x 的单调递增区间是-π4+k π,k π k ∈Z 【答案】BC【解析】取n =1，则f x =sin x +cos x ，从而f 0 =1≠0，此时f x 不是奇函数，则A 错误；因为f π2-x =sin n π2-x +cos n π2-x =cos n x +sin n x =f x ，所以f x 的图象关于直线x =π4对称，则B 正确；当n =3时，f x =3sin 2x cos x -3cos 2x sin x =3sin x cos x sin x -cos x ，当x ∈0,π4时，fx <0；当x ∈π4,π2 时，f x >0.所以f x 在0,π4 上单调递减，在π4,π2 上单调递增，所以f x 的最小值为f π4 =22 3+22 3=22，故C 正确；当n =4时，f x =sin 4x +cos 4x =sin 2x +cos 2x 2-2sin 2x cos 2x =1-12sin 22x=1-1-cos4x 4=14cos4x +34，则f x 的递增区间为-π4+k π2,k π2k ∈Z ，则D 错误.故选：BC .10(2023·广东·高三统考阶段练习)若实数a ，b 满足2a +3a =3b +2b ，则下列关系式中可能成立的是()A.0<a<b<1B.b<a<0C.1<a<bD.a=b【答案】ABD【解析】设f(x)=2x+3x,g(x)=3x+2x，则f(x)=2x+3x,g(x)=3x+2x都为增函数，作出两函数的图象，两个函数图象有2个交点，分别为(0,1),(1,5)，对于A，作直线y=m(1<m<5)分别与f(x),g(x)图象相交，交点横坐标为a,b，且0<a<b<1，此时f(a)=g(b)=m，即2a+3a=3b+2b能成立，故A正确；对于B，作直线y=n(n<0)分别与f(x),g(x)图象相交，交点横坐标为b,a，且b<a<0，此时f(a)=g(b) =n，即2a+3a=3b+2b能成立，故B正确；对于C，a=2,f(a)=f(2)=10，因为2=a<b，所以f(b)=3b+2b>32+4=13，所以此时2a+3a=3b+2b 不可能成立，故C不正确；对于D，a=b=0或a=b=1，2a+3a=3b+2b成立，所以D正确．故选：ABD．11(2023·广东·高三统考阶段练习)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为4，M 为DD 1的中点，N 为ABCD 所在平面上一动点，N 1为A 1B 1C 1D 1所在平面上一动点，且NN 1⊥平面ABCD ，则下列命题正确的是()A.若MN 与平面ABCD 所成的角为π4，则点N 的轨迹为圆B.若三棱柱NAD -N 1A 1D 1的表面积为定值，则点N 的轨迹为椭圆C.若点N 到直线BB 1与直线DC 的距离相等，则点N 的轨迹为抛物线D.若D 1N 与AB 所成的角为π3，则点N 的轨迹为双曲线【答案】ACD【解析】A ：连接DN ，因为MD ⊥平面ABCD ，所以∠MND 是MN 与平面ABCD 所成的角，即∠MND =π4，因为M 为DD 1的中点，所以MD =12DD 1=2，在直角三角形MND 中，tan ∠MND =MD DN ⇒1=2DN⇒DN =2，因此点N 的轨迹为以D 为圆心半径为2的圆，所以本选项命题是真命题；B ：过N 做EN ⊥AD ，设三棱柱NAD -N 1A 1D 1的表面积为S ，所以S =2×12×4⋅NE +(AD +DN +AN )⋅4=4(4+DN +AN +NE )=定值，显然有N 到A 、D 、直线AD 的距离之和为定值，这与椭圆的定义不符合，故本选项命题是假命题；C ：连接BN ，因为BB 1⊥平面ABCD ，BN ⊂平面ABCD ，所以BB 1⊥BN ，即点N 到直线BB 1与NB 相等，所以点N 的轨迹为点N 到点B 与直线DC 的距离相等的轨迹，即抛物线，所以本选项命题是真命题；D ：以D 为空间坐标系的原点，DA 、DC 、DD 1所在的直线分别为x 、y 、z ，D (0,0,0)、A (4,0,0)、B (4,4,0)、N (x ,y ,0)、D 1(0,0,4)，则有AB =(0,4,0)、D 1N =(x ,y ,-4)，因为D 1N 与AB 所成的角为π3，所以cos π3=AB ⋅D 1N AB ⋅D 1N ⇒12=4y 4⋅x 2+y 2+16⇒3y 2-x 2=16，所以点N 的轨迹为双曲线，故本选项命题是真命题,故选：ACD12(2023·广东江门·高三台山市第一中学校考阶段练习)已知函数f (x )=e x -1+e 1-x +x 2-2x ，若不等式f (2-ax )<f x 2+3 对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值可能是()A.-4B.-12C.2D.32【答案】BC【解析】由函数f (x )=e x -1+e 1-x +x 2-2x ，令t =x -1，则x =t +1，可得g (t )=e t +e -t +t 2-1，可得g (-t )=e -t +e t +(-t )2-1=e t +e -t +t 2-1=g (t )，所以g t 为偶函数，即函数f x 的图象关于x =1对称，又由g (t )=e t -e -t +2t ，令φ(t )=g (t )=e t -e -t +2t ，可得φ (t )=e t +e -t +2>0，所以φ(t )为单调递增函数，且φ(0)=0，当t >0时，g (t )>0，g t 单调递增，即x >1时，f x 单调递增；当t <0时，g (t )<0，g t 单调递减，即x <1时，f x 单调递减，由不等式f (2-ax )<f x 2+3 ，可得2-ax -1 <x 2+3-1 ，即1-ax <x 2+2所以不等式1-ax <x 2+2恒成立，即-x 2-2<ax -1<x 2+2恒成立，所以x 2+ax +1>0x 2-ax +3>0 的解集为R ，所以a 2-4<0且(-a )2-12<0，解得-2<a <2，结合选项，可得BC 适合.故选：BC .13(2023·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习)已知三次函数f x =x 3+bx 2+cx +d 有三个不同的零点x 1,x 2,x 3x 1<x 2<x 3 ，若函数g x =f x -1也有三个不同的零点t 1,t 2,t 3t 1<t 2<t 3 ，则下列等式或不等式一定成立的有()A.b 2<3cB.t 3>x 3C.x 1+x 2+x 3=t 1+t 2+t 3D.x 1x 2x 3-t 1t 2t 3=1【答案】BC【解析】f x =3x 2+2bx +c ，因为原函数有三个不同的零点，则f x =0有两个不同的实根，即3x 2+2bx +c =0，则Δ=4b 2-12c >0，即b 2>3c ，所以A 错误；因为三次函数f x =x 3+bx 2+cx +d 有三个不同的零点x 1,x 2,x 3x 1<x 2<x 3 ，所以x 3+bx 2+cx +d =x -x 1 x -x 2 x -x 3 =x 3-x 1+x 2+x 3 x 2+x 1x 2+x 2x 3+x 1x 3 x -x 1x 2x 3=0，所以x 1+x 2+x 3=-b ,x 1x 2x 3=-d ，同理t 1+t 2+t 3=-b ,t 1t 2t 3=1-d ，所以x 1+x 2+x 3=t 1+t 2+t 3,x 1x 2x 3-t 1t 2t 3=-1，故C 正确，D 错误；由f x 的图象与直线y =1的交点可知t 3>x 3，B 正确．故选：BC ．14(2023·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习)已知直线l 过抛物线E :y 2=4x 的焦点F ，与抛物线相交于A x 1,y 1 、B x 2,y 2 两点，分别过A ,B 作抛物线的准线l 1的垂线，垂足分别为A 1,B 1，以线段A 1B 1为直径作圆M ,O 为坐标原点，下列正确的判断有()A.x 1+x 2≥2B.△AOB 为钝角三角形C.点F 在圆M 外部D.直线A 1F 平分∠OFA【答案】ABD 【解析】如图所示：对选项A ，由抛物线的焦半径公式可知AB =x 1+x 2+2≥2p =4，所以x 1+x 2≥2，故A 正确；对于选项B ，OA ⋅OB =x 1x 2+y 1y 2=y 1y 2216+y 1y 2，令直线l 的方程为x =my +1，代入y 2=4x 得y 2-4my -4=0，所以y 1y 2=-4，所以OA ⋅OB=-3<0，所以△AOB 是钝角三角形，故B 正确；对选项C ，D ，由AA 1 =AF 可知∠AA 1F =∠AFA 1，又AA 1∥OF ，所以∠AA 1F =∠OFA 1=∠AFA 1，所以直线FA 1平分角∠AFO ，同理可得FB 平分角∠BFO ，所以A 1F ⊥B 1F ，即∠A 1FB 1=90°，所以圆M 经过点F ，故C 错误，D 正确．故选：ABD15(2023·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习)已知圆O :x 2+y 2=4和圆C :(x -3)2+(y -3)2=4,P ,Q 分别是圆O ，圆C 上的动点，则下列说法错误的是()A.圆O 与圆C 相交B.PQ 的取值范围是32-4,32+4C.x -y =2是圆O 与圆C 的一条公切线D.过点Q 作圆O 的两条切线，切点分别为M ,N ，则存在点Q ，使得∠MQN =90°【答案】AC【解析】对于A 选项，由题意可得，圆O 的圆心为O 0,0 ，半径r 1=2，圆C 的圆心C 3,3 ，半径r 2=2，因为两圆圆心距OC =32>2+2=r 1+r 2，所以两圆外离，故A 错误；对于B 选项，PQ 的最大值等于OC +r 1+r 2=32+4，最小值为OC -r 1-r 2=32-4，故B 正确；对于C 选项，显然直线x -y =2与直线OC 平行，因为两圆的半径相等，则外公切线与圆心连线平行，由直线OC :y =x ，设外公切线为y =x +t ，则两平行线间的距离为2，即t2=2，故y =x ±22，故C 错误；对于D 选项，易知当∠MQN =90°时，四边形OMQN 为正方形，故当QO =22时，∠MQN =90°，故D 正确.故选：AC ．16(2023·广东佛山·高三校考阶段练习)已知函数f x =3sin ωx +cos ωx (0<ω<3)满足f x +π2 =-f x ，其图象向右平移s s ∈N * 个单位后得到函数y =g x 的图象，且y =g x 在-π6,π6上单调递减，则()A.ω=1 B.函数f x 的图象关于5π12,0 对称C.s 可以等于5D.s 的最小值为2【答案】BCD【解析】对于A ，因为f x +π2 =-f x ，f x =3sin ωx +cos ωx =2sin ωx +π6，所以2sin ωx +π2ω+π6 =-2sin ωx +π6 ,π2ω=2k +1 π,k ∈Z ，则ω=4k +2,k ∈Z ，又0<ω<3，故ω=2，故A 错误；对于B ，由选项A 得f x =2sin 2x +π6，所以f 5π12=2sin 5π6+π6 =2sinπ=0，故5π12,0 是f x 的一个对称中心，故B 正确；对于C ，f x 的图象向右平移s s ∈N * 个单位后得到函数g x =2sin 2x -s +π6的图象，则g x =2sin 2x +π6-2s ，因为g x 在-π6,π6上单调递减，所以2×-π6 +π6-2s ≥2k π+π22×π6+π6-2s ≤2k π+3π2k ∈Z ，解得-k π-π2≤s ≤-k π-π3k ∈Z ，当k =-2时，3π2≤s ≤5π3，因为s ∈N *，所以s =5，故C 正确；对于D ，因为s ∈N *，所以-k π-π3>0，则k <-13，又k ∈Z ，故k ≤-1，当k =-1时，π2≤s ≤2π3，可知s min =2，故D 正确.故选：BCD .17(2023·广东佛山·高三校考阶段练习)已知函数f x 的定义域为0,+∞ ，其导函数为f x ，且f x +f x =x ln x ，f 1e =-1e，则()A.f 1e⋅e 1e-1>f 1B.f e ⋅e e -1>f 1C.f x 在0,+∞ 上是增函数D.f x 存在最小值【答案】ABC【解析】设F x =e x -1f x ，则F x =e x -1f x +f x =e x -1x ln x ，当x >1时，F x >0，当0<x <1时，F x <0，F x =e x -1f x 在1,+∞ 上单调递增，在0,1 上单调递减，A 选项，因为1e <1，所以F 1e >F 1 ，即e 1e-1f 1e>f 1 ，A 正确；B 选项，因为e >1，所以F e >F 1 ，即e e -1f e >f 1 ，B 正确；C 选项，f x =F x e x -1，则fx =F x -F x e x -1，令g x =F x -F x ，则g x =e x -1x ln x -e x -1x ln x =e x -11+ln x ，当x >1e 时，g x >0，当0<x <1e时，g x <0，故g x =F x -F x 在0,1e 上单调递减，在1e ,+∞ 单调递增，又g 1e =F 1e -F 1e =e 1e -1⋅1e ln 1e -e 1e -1f 1e =-e 1e -1⋅1e +e 1e-1⋅1e =0，故g x =F x -F x ≥0恒成立，所以fx =F x -F x ex -1≥0在0,+∞ 上恒成立，故f x 在0,+∞ 上是增函数，C 正确；D 选项，由C 选项可知，函数f x 在0,+∞ 上单调递增，故无最小值.故选：ABC18(2023·广东惠州·高三统考阶段练习)已知定义域为R 的函数f x 满足f -x -2 =-f x +2 ，f x 在0,+∞ 解析式为f x =3x 2-2x +1,0<x ≤1log 13x 2-718 ,x >1 ，则下列说法正确的是()A.函数f x 在-13,13上单调递减B.若函数f x 在0,p 内f x <1恒成立，则p ∈0,23C.对任意实数k ，y =f x 的图象与直线y =kx 最多有6个交点D.方程f x =m m >0 有4个解，分别为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1+x 2+x 3+x 4>-143【答案】BD【解析】因为定义域为R 的函数f x 满足f -x -2 =-f x +2 ，即f -x -2 +f x +2 =0，所以函数为奇函数，因为f x 在0,+∞ 解析式为f x =3x 2-2x +1,0<x ≤1log 13x 2-718,x >1 ，故作出函数的图象，如图所示.选项A ：由图可知，当x ∈-13,0 时，函数单调递减，当x ∈0,13时，函数单调递减，但当x ∈-13,13，并不是随着x 增加而减少，故选项A 错误；选项B ：因为函数f x 在0,p 内f x <1恒成立，所以由图象可知，00h (0)=1>0h (1)=14>0且对称轴为x =58∈0,1 ，所以方程3x 2-154x +1=0在0,1 上有两个不相等的实数根，2°设m (x )=74x -log 13x 2-718 ，x ∈1,+∞ ，因为函数m (x )=74x -log 13x 2-718 在x ∈1,+∞ 上单调递增，且m (1)=74-2<0，m (2)=72-log 131118 >0，所以m (x )=74x -log 13x 2-718 在x ∈1,+∞ 在只有一个零点，所以直线y =74x 与函数y =f (x )图象在x ∈1,+∞ 有1个交点，所以当x ∈0,+∞ 时，直线y =74x 与函数y =f (x )图象有3个交点，因为函数y =74x 与函数y =f (x )均为奇函数，所以当x ∈-∞,0 时，直线y =74x 与函数y =f (x )图象有3个交点，又当x =0时，直线y =74x 与函数y =f (x )图象有1个交点，所以此时直线y =74x 与函数y =f (x )图象有7个交点，故选项C 错误；选项D ：当m >0时，则根据图象可得f (x )=m 的4个解所在大致范围为x 1<0，0<x 2<13，13<x 3<1，x 4>1，因为f (x )=m 有4个解，所以23<m <1，所以23<log 13x 42-718 <1，解得139<x 4<21323+79，所以6<9x 4-7<181323，由二次函数的对称性可知，3x 2-2x +1=m 的解x 2、x 3满足x 2+x 3=23，因为函数y =f (x )为奇函数，且当x >1时解析式为y =log 13x 2-718，所以当x <-1时解析式为y =-log 13-x 2-718，所以log 13x 42-718=-log 13-x 12-718 ，所以有-x 12-718 x 42-718 =1，即x 1=-369x 4-7-79，所以x 1+x 4=x 4+-369x 4-7-79=9x 4-79-369x 4-7，设9x 4-7=t ，6<t <181323，又因为函数y =t 9-36t 在6,1813 23单调递增，所以x 1+x 4=t 9-36t >69-366=23-6=-163，所以x 1+x 2+x 3+x 4>-163+23=-143，所以选项D 正确，故选：BD .19(2023·广东揭阳·高三校考阶段练习)若定义在-1,1 上的函数f x 满足f x +f y =f x +y 1+xy，且当x >0时，f x <0，则下列结论正确的是( )．A.若x 1，x 2∈-1,1 ，x 2>x 1 ，则f x 1 +f x 2 >0B.若f 12 =-12，则f 4041 =-2C.若f 2-x +g x =4，则g x 的图像关于点2,4 对称D.若α∈0,π4，则f sin2α >2f sin α 【答案】BC【解析】令y =-x ，则f x +f -x =f 0 =0，∴f x 为奇函数，把y 用-y 代替，得到f x -f y =f x -y1-xy，设-1<y <x <1，1-x 1+y >0，∴0<x -y1-xy<1．又∵当x >0时，f x <0，∴f x <f y ，∴f x 在-1,1 上单调递减．∵x 1,x 2∈-1,1 ，x 2>x 1 ，当x >0时，f x <0，则当x 1>0时，则x 2>x 1>0，f x 1 +f x 2 <0，当x 1<0时，则x 2>-x 1>0，f x 1 +f x 2 =f x 2 -f -x 1 <0．综上，f x 1 +f x 2 <0，∴A 错误．令x =y =12，得2f 12 =f 45 ，∴f 45 =-1，令x =y =45，得2f 45 =f 4041 ，∴f 4041 =-2，∴B 正确．由f 2-x +g x =4，得f 2-x =4-g x ，得f x =4-g 2-x ，又∵f -x =4-g 2+x ，f x 为奇函数，∴f x +f -x =0，则g 2-x +g 2+x =8，则g x 的图像关于点2,4 对称，∴C 正确．f sin2α =f 2sin α⋅cos α =f2tan α1+tan 2α=2f tan α ，假设f sin2α >2f sin α ，可得f tan α >f sin α ，即tan α<sin α，当α∈0,π4时，不成立得出矛盾假设不成立，∴D 错误．故选：BC .20(2023·广东东莞·高三校联考阶段练习)已知函数f x =3sin2ωx +cos2ωx ω>0 的零点构成一个公差为π2的等差数列，把f x 的图象沿x 轴向右平移π3个单位得到函数g x 的图象，则()A.g x 在π4,π2上单调递增 B.π4,0 是g x 的一个对称中心C.g x 是奇函数 D.g x 在区间π6,2π3上的值域为0,2 【答案】AB【解析】因为f x =3sin2ωx +cos2ωx ω>0 ，所以f x =232sin2ωx +12cos2ωx =2sin 2ωx +π6 ，因为函数f x =3sin2ωx +cos2ωx ω>0 的零点依次构成一个公差为π2的等差数列，∴12⋅2π2ω=π2，∴ω=1，所以f (x )=2sin 2x +π6 ，把函数f (x )的图象沿x 轴向右平移π3个单位，得到g (x )=2sin 2x -π3 +π6 =2sin 2x -π2 =-2cos2x ，即g (x )=-2cos2x ，所以g (x )为偶函数，故C 错误；对于A ：当x ∈π4,π2 时2x ∈π2,π ，因为y =cos x 在π2,π 上单调递减，所以g x 在π4,π2上单调递增，故A正确；对于B：gπ4=-2cos2×π4=-2cosπ2=0，故π4,0是g x 的一个对称中心，故B正确；对于D：因为x∈π6,2π3，所以2x∈π3,4π3，所以cos2x∈-1,12，所以g x ∈-1,2，故D错误；故选：AB21(2023·广东东莞·高三校联考阶段练习)对于函数f(x)=xln x，下列说法正确的是()A.f(x)在(1,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减B.若方程f(|x|)=k有4个不等的实根，则k>eC.当0<x1<x2<1时，x1ln x2<x2ln x1D.设g(x)=x2+a，若对∀x1∈R，∃x2∈(1,+∞)，使得g(x1)=f(x2)成立，则a≥e 【答案】BD【解析】函数f(x)=xln x的定义域为(0,1)∪(1,+∞)，f(x)=ln x-1(ln x)2，当0<x<1或1<x<e时，f (x)<0，当x>e时，f (x)>0，f(x)在(0,1)，(1,e)上都单调递减，在(e,+∞)上单调递增，A不正确；当x∈(1,+∞)时，f(x)的图象在x轴上方，且在x=e时，f(x)min=e，f(x)在(0,1)上的图象在x轴下方，显然f(|x|)是偶函数，在方程f(|x|)=k中，k<0或k=e时，方程有两个不等实根，0≤k<e时，方程无实根，k>e时，方程有4个不等的实根，B正确；因0<x1<x2<1，则有f(x2)<f(x1)<0，即x2ln x2<x1ln x1<0，于是得x2ln x1<x1ln x2，C不正确；当x∈R时，g(x)的值域为[a,+∞)，当x∈(1,+∞)时，f(x)的值域为[e,+∞)，因对∀x1∈R，∃x2∈(1,+∞)，使得g(x1)=f(x2)成立，从而得[a,+∞)⊆[e,+∞)，即得a≥e，D正确.故选：BD二、单选题22(2023·广东深圳·高三红岭中学校考阶段练习)过直线y=x上的一点作圆(x-5)2+(y-1)2=2的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于y=x对称时，它们之间的夹角为()A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】圆(x-5)2+(y-1)2=2的圆心(5，1)，过(5，1)与y=x垂直的直线方程为x+y-6=0，它与y=x的交点N(3，3)，N到(5，1)距离是22，圆的半径为2，两条切线l1，l2，它们之间的夹角为2×30°=60°．故选C．23(2023·广东·高三校联考阶段练习)如图，在边长为2的正方形ABCD中，E,F分别是AB,BC的中点，将△AED，△BEF，△DCF分别沿DE，EF，DF折起，使得A,B,C三点重合于点A ，若三棱锥A -EFD的所有顶点均在球O的球面上，则球O的表面积为()A.2πB.3πC.6πD.8π【答案】C【解析】根据题意可得A D ⊥A E ,A D ⊥A F ,A E ⊥A F ，且A E =1,A F =1,A D =2，所以三棱锥D -A EF 可补成一个长方体，则三棱锥D -A EF 的外接球即为长方体的外接球，如图所示，设长方体的外接球的半径为R ，可得2R =12+12+22=6，所以R =62，所以外接球的表面积为S =4πR 2=4π⋅622=6π，故选：C24(2023·广东·高三校联考阶段练习)已知f x =2sin ωx +π3+a -1 sin ωx (a >0，ω>0)在0,π 上存在唯一实数x 0使f x 0 =-3，又φx =f x -23，且有φx max =0，则实数ω的取值范围是()A.1<ω≤53B.1≤ω<53C.56<ω<32D.56<ω≤32【答案】A【解析】由题意可得f x =sin ωx +3cos ωx +a -1 sin ωx ，=a sin ωx +3cos ωx =a 2+3sin ωx +φ ，其中φ满足tan φ=3a，又φx max =0，即f x max =23，所以a 2+3=23，又a >0，解得a =3，所以f x =23sin ωx +π6，又0<x <π，所以π6<ωx +π6<ωπ+π6，因为f x 在上存在唯一实数x 0使f x 0 =-3，即sin ωx 0+π6 =-12，所以7π6<ωx +π6≤11π6，解得1<ω≤53，故选：A 25(2023·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考开学考试)在△ABC 中，角B ,C 的边长分别为b ,c ，点O 为△ABC 的外心，若b 2+c 2=2b ，则BC ⋅AO的取值范围是()A.-14,0 B.0,2C.-14,+∞ D.-14,2【答案】D【解析】取BC 的中点D ，则OD ⊥BC ，所以BC ·AO =BC ·AD +DO =BC ·AD +BC ·DO =BC ·AD=AC -AB ⋅12AC +AB =12AC 2-AB 2=12b 2-c 2 =12b 2-2b -b 2 =b 2-b =b -122-14.因为c 2=2b -b 2>0，则b b -2 <0，即0<b <2.所以-14≤BC ⋅AO <2，故选：D .26(2023·广东·高三校联考阶段练习)已知等腰直角△ABC 中，∠C 为直角，边AC =6，P ，Q 分别为AC ，AB 上的动点(P 与C 不重合)，将△APQ 沿PQ 折起，使点A 到达点A 的位置，且平面A PQ ⊥平面BCPQ ．若点A ，B ，C ，P ，Q 均在球O 的球面上，则球O 体积的最小值为()A.8π3B.4π3C.82π3D.42π3【答案】C【解析】显然P 不与A 重合，由点A ，B ，C ，P ，Q 均在球D 的球面上，得B ，C ，P ，Q 共圆，则∠C +∠PQB =π，又△ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，即有PQ ⊥AB ，将△APQ 翻折后，PQ ⊥A Q ，PQ ⊥BQ ，又平面A PQ ⊥平面BCPQ ，平面A PQ ∩平面BCPQ =PQ ，A Q ⊂平面A PQ ，BQ ⊂平面BCPQ ，于是A Q ⊥平面BCPQ ，BQ ⊥平面A PQ ，显然A P ，BP 的中点D ，E 分别为△A PQ ，四边形BCPQ 外接圆圆心，则DO ⊥平面A PQ ，EO ⊥平面BCPQ ，因此DO ⎳BQ ，EO ⎳A Q ，取PQ 的中点F ，连接DF ，EF ，则有EF ⎳BQ ⎳DO ，DF ⎳A Q ⎳EO ，四边形EFDO 为矩形，设A Q =x 且0<x <23，DO =EF =12BQ =23-x 2，A P =2x ，设球O 的半径R ，有R 2=DO 2+A P 2 2=34x 2-3x +3=34x -2332+2，当x =233时，R 3min=22，所以球O 体积的最小值为4πR 33=82π3．故选：C ．27(2023·广东·高三校联考阶段练习)已知正项等比数列a n 的前n 项和为S n ，且满足a n S n =22n -1-2n -1，设b n =log 2S n +1 ，将数列b n 中的整数项组成新的数列c n ，则c 2023=()A.4048B.2023C.2022D.4046【答案】B【解析】令数列a n 的公比为q ，∵a n >0，∴a 1>0，q >0，因为a n S n =22n -1-2n -1，所以当n =1时，a 21=21-20=1，即a 1=1或a 1=-1(舍去)，当n =2时，a 2S 2=23-21=6，即q 1+q =6，解得q =2或q =-3(舍去)，所以a n =2n -1，S n =1×1-2n 1-2=2n -1，即b n =log 2S n +1 =n ，因为数列b n 中的整数项组成新的数列c n ，所以n =k 2，k ∈N *，此时b k 2=k 2=k ，即c n =n ，∴c 2023=2023．故选：B28(2023·广东·高三统考阶段练习)已知AB ⊥AC ，|AB |=t ，|AC |=1t．若点P 是△ABC 所在平面内一点，且AP =AB |AB |+2AC|AC |，则PB ⋅PC 的最大值为()A.13 B.5-22C.5-26D.10+22【答案】B【解析】以A 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设P (x ，y )则B (t ,0),C 0,1t (t >0)，可得AB AB=(1,0)，2AC |AC |=(0,2)，所以AP =(1,2)，即P (1,2)，故PB =(t -1,-2)，PC =-1,1t-2 ，所以PB ⋅PC =1-t +4-2t =5-t +2t ≤5-22，当且仅当t =2t即t =2时等号成立．故选：B ．29(2023·广东·高三统考阶段练习)已知-π2<α-β<π2，sin α+2cos β=1，cos α-2sin β=2，则sin β+π3=A.33B.63C.36D.66【答案】A【解析】由sin α+2cos β=1，cos α-2sin β=2，将两个等式两边平方相加，得5+4sin α-β =3，sin α-β =-12，∵-π2<α-β<π2，∴α-β=-π6，即α=β-π6，代入sin α+2cos β=1，得3sin β+π3 =1，即sin β+π3 =33.故选A30(2023·广东江门·高三台山市第一中学校考阶段练习)设函数f (x )=log 2(1-x ),-1≤x <k ,x 3-3x +1,k ≤x ≤3 的值域为A ，若A ⊆[-1,1]，则f (x )的零点个数最多是()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】令g (x )=log 2(1-x )，则g (x )=log 2(1-x )在(-∞,1)上单调递减；令h (x )=x 3-3x +1，则h (x )=3x 2-3．由h (x )>0，得x >1或x <-1；由h (x )<0，得-1<x <1，所以h (x )在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增，在(-1,1)上单调递减，于是，h (x )的极大值为h (-1)=3，极小值为h (1)=-1．在同一坐标系中作出函数g (x )和h (x )的图象，如下图：显然f (-1)=g (-1)=1；由g (x )=-1，得x =12；由f (x )的解析式，得-1<k ≤1．(1)若-1<k <0，当k ≤x <0时，f (x )>f (0)=1，不符合题意；(2)若12<k ≤1，当12<x <k 时，f (x )<f 12=-1，不符合题意；(3)若0≤k ≤12，①当-1≤x <k 时，-1<f (x )≤1；②当k ≤x ≤3时，f (1)≤f (x )≤max {f (k ),f (3)}≤1，即-1≤f (x )≤1．由①②，0≤k ≤12时符合题意．此时，结合图象可知，当k =0时，f (x )在[-1,k )上没有零点，在[k ,3]上有2个零点；当0<k ≤12时，f (x )在[-1,k )上有1个零点，在[k ,3]上有1个或2个零点，综上，f (x )最多有3个零点．故选：C ．31(2023·广东江门·高三台山市第一中学校考阶段练习)设a =511,b =ln 2111,c =sin 511，则()A.c <a <bB.c f 0 =0，因此得当x ∈0,π2 时，x >sin x ，故511>sin 511，即a >c ；b -a =ln 2111-511=ln 1+2×511 -511，设g (x )=ln (1+2x )-x 0<x <12 ，则b -a =g 511，因为g (x )=21+2x -1=1-2x1+2x，当0<x <12时，g (x )>0．所以g (x )在0,12 上单调递增，所以g 511>g (0)=0，即b >a ，所以b >a>c ．故选：A32(2023·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习)设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是椭圆上一点，PF 1 =λPF 2 ，12≤λ≤2 ，∠F 1PF 2=π2，则椭圆离心率的取值范围为()A.0,22B.22,53C.23,53D.53,1 【答案】B【解析】设F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，运用椭圆的定义和勾股定理，求得e 2=λ2+1(λ+1)2，令m =λ+1，可得λ=m -1，即有λ2+1(λ+1)2=21m -12 2+12，运用二次函数的最值的求法，解不等式可得所求范围．设F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，由椭圆的定义可得，|PF 1|+|PF 2|=2a ，可设|PF 2|=t ，可得|PF 1|=λt ，即有(λ+1)t =2a ，①由∠F 1PF 2=π2，可得|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2，即为(λ2+1)t 2=4c 2，②由②÷①2，可得e 2=λ2+1(λ+1)2，令m =λ+1，可得λ=m -1，即有λ2+1(λ+1)2=m 2-2m +2m 2=21m -12 2+12，由12≤λ≤2，可得32≤m ≤3，即13≤1m ≤23，则当m =2时，取得最小值12；当m =32或3时，取得最大值59，即有12≤e 2≤59，解得：22≤e ≤53，所以椭圆离心率的取值范围为22,53.故选：B .33(2023·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习)设a =ln1.1,b =e 0.1-1,c =tan0.1，则()A.a 0时f x >0，当x <0时f x <0，即函数f x 在-∞,0 上单调递减，在0,+∞ 上单调递增，所以f x min =f 0 =0，即e x ≥x +1，当且仅当x =0时取等号，令x =0.1，可得b =e 0.1-1>0.1，令h (x )=tan x -x ，x ∈0,π2 ，则在x ∈0,π2 时，h (x )=1cos 2x -1>0，∴h (x )=tan x -x 在x ∈0,π2 上单调递增，∴h (x )>h (0)=0，∴x ∈0,π2时，tan x >x ．∴c =tan0.1>0.1，令g x =ln x -x +1，则g x =1x -1=1-xx，所以当0<x <1时g x >0，当x >1时g x <0，即函数g x 在0,1 上单调递增，在1,+∞ 上单调递减，所以g x max =g 1 =0，即ln x ≤x -1，当且仅当x =1时取等号，所以当x =1.1，可得a =ln1.1<1.1-1=0.1，所以a 最小，设t x =e x -1-tan x x ∈0,0.1 ，则t (x )=e x -1cos 2x>0，∴t (x )在0,0.1 上单调递增，∴t (0)<t (0.1)，∴t (0.1)=e 0.1-1-tan0.1>e 0-1-tan0=0，∴b =e 0.1-1>tan0.1=c ，综上可得b >c >a ；故选：C34(2023·广东佛山·高三校考阶段练习)符号x 表示不超过实数x 的最大整数，如 2.3 =2，-1.9 =-2.已知数列a n 满足a 1=1，a 2=5，a n +2+4a n =5a n +1.若b n =log 2a n +1 ，S n 为数列8100b n b n +1的前n 项和，则S 2025 =()A.2023B.2024C.2025D.2026【答案】B【解析】因为a n +2+4a n =5a n +1，则a n +2-a n +1=4a n +1-a n ，且a 2-a 1=4，所以，数列a n +1-a n 是首项为4，公比也为4的等比数列，所以，a n +1-a n =4×4n -1=4n ，①由a n +2+4a n =5a n +1可得a n +2-4a n +1=a n +1-4a n ，且a 2-4a 1=1，所以，数列a n +1-4a n 为常数列，且a n +1-4a n =1，②由①②可得a n =4n -13，因为4n +1-13-4n=4⋅4n -1-3⋅4n 3=4n -13>0，4n +1-13-2⋅4n =4⋅4n -1-6⋅4n 3=-2⋅4n +13<0，则4n <a n +1=4n +1-13<2⋅4n ，。

2024年最新全国名校新高考数学名校选填压轴好题汇编05(学生版)

2025年新高考数学名校选填压轴好题汇编051.(山东省实验中学2025届高三第一次诊断考试数学试题)已知函数f x =5e x+1,x<0x2-6x+8,x≥0，g(x)=x2-ax+4，若y=g f x有6个零点，则a的取值范围为()A.4,+∞B.4,17 2C.4,5D.203,172∪4,52.(山东省齐鲁名校联盟�天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考(10月)数学试题)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=1-f(1-x)，若函数y=4x4x+2与函数y=f(x)的图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),⋯,(x2025,y2025)，则2025i=1(x i+y i)=()A.0B.20252C.2025 D.607523.(山东省齐鲁名校联盟天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考(10月)数学试题)已知数列a n满足：a1=1，点n,a n+a n+1在函数y=kx+1的图象上，其中k为常数k≠0，且a1,a2,a4成等比数列，则k的值为()A.2B.3C.4D.54.(山东省济宁市实验中学2025届高三上学期10月月考数学试题)已知函数f x =e x-a-a+1xx≥1，则使f x 有零点的一个充分条件是()A.a<-1B.-1<a<0C.0<a<1D.a>15.(山东省济宁市实验中学2025届高三上学期10月月考数学试题)已知函数f(x)=x2-2-x ln x，a= f(ln2)，b=f ln33，c=f1e ，则()A.a<c<bB.b<c<aC.c<a<bD.a<b<c6.(山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题)若x=2是函数f x = ax2+2x-2e x的极小值点，则实数a的取值范围是()A.-∞,-1B.-∞,1C.-1,+∞D.1,+∞7.(山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题)已知函数f x =sin6ωx+cos6ωx-1ω>0在0,π3上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是()A.32,3B.32,3C.3,92D.3,928.(江西省上进联考2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题)已知a，b为正数，若∀x>-b，有函数f x =x +b x -a ≥1，则1a +8b的最小值为()A.9+22B.9+42C.9D.639.(江西省部分学校2025届高三上学期9月月考考试数学试题)已知四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，且P A =AB =2，侧棱P A ⊥底面ABCD ，若四棱锥P -ABCD 外接球的表面积为12π，则该四棱锥的表面积为()A.8+43B.8+63C.6+43D.8+4210.(江西省部分学校2025届高三上学期9月月考考试数学试题)已知函数f x =e x -xa-b ，当实数a >0时，对于x ∈R 都有f (x )≥0恒成立，则a 2b 的最大值为()A.-1e 2B.1e 2C.-2e 2D.2e 211.(福建省百校联考2024-2025学年高三上学期10月联合测评数学试题)已知函数f (x )=e 2x -2ae x -4a 2x (a >0)，若函数f (x )的值域与f (f (x ))的值域相同，则a 的取值范围是()A.0,12B.(0,1]C.12,+∞ D.(1,+∞)12.(福建省百校联考2024-2025学年高三上学期10月联合测评数学试题)已知ω>0，函数f x =sin ωx 与g x =cos ωx 的图象在π,2π 上最多有两个公共点，则ω的取值范围为()A.0,14∪54,178 B.0,54∪94,178C.0,178 ∪94,218D.0,178∪94,5213.(安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题)已知函数f (x )=e x -3-e 3-x +x ，则满足f (2m -2)+f (m +1)>6的m 的取值范围是()A.(3,+∞)B.32,+∞C.13,+∞D.73,+∞14.(安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题)已知函数f (x )=x 2-ax +2a ,x <-11-ln (x +2),x ≥-1在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是()A.(-∞,0]B.[0,+∞)C.[-2,+∞)D.[-2,0]15.(安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题)定义x 为不超过x 的最大整数，区间a ,b (或(a ,b ),[a ,b ),(a ,b ])的长度记为b -a ．若关于x 的不等式k [x ]>2[x ]-6 的解集对应区间的长度为2，则实数k 的取值范围为()A.0,45B.12,45C.12,1D.45,116.(安徽省江南十校2024-2025学年高三上学期第一次综合素质检测数学试题)某次跳水比赛甲、乙、丙、丁、戊5名跳水运动员进入跳水比赛决赛，现采用抽签法决定决赛跳水顺序，在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场”的概率为()A.313B.15C.14D.41317.(安徽省江南十校2024-2025学年高三上学期第一次综合素质检测数学试题)对于x>0，e2λx-1λln x≥0恒成立，则正数λ的范围是()A.λ≥1e B.λ≥12eC.λ≥2eD.λ≥e18.(安徽省六校2025届高三上学期第一次阶段联合教学质量测评数学试卷)已知函数f x =xe3x-ln x-x-a x，若对任意的x>0，f x ≥1恒成立，则实数a的取值范围为()A.-3,3B.-2,2C.-4,4D.-1,119.(浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷)函数f x =sin x-cos x cos5x2+π4在区间-π,2π上的所有零点之和为()A.πB.2πC.3πD.420.(浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷)已知函数f x 的定义域为0,1，当x=0或x=1或x是无理数时，f x =0；当x=nm (n<m，m，n是互质的正整数)时，f x =1m．那么当a，b，a+b，ab都属于0,1时，下列选项恒成立的是()A.f a+b≤f a +f b B.f a+b≥f a ⋅f bC.f ab≥f a +f b D.f ab≥f a ⋅f b21.(浙江省浙南名校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考(10月)数学试题)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F1，O为坐标原点，若在C的右支上存在关于x轴对称的两点P,Q，使得△PF1Q为正三角形，且OQ⊥F1P，则C的离心率为()A.2B.1+2C.3D.1+322.(浙江省浙南名校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考(10月)数学试题)已知x0为函数f(x)=x2e x+e2ln x-2e2的零点，则x0+ln x0=()A.1B.2C.3D.423.(浙江省新阵地教育联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题)北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有ab ,a =b +1 个小球，第二层有a +1 b +1 个小球，第三层有a +2 b +2 个小球.....依此类推，最底层有cd 个小球，共有n 层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共7层，小球总个数为168，则该垛积的第一层的小球个数为()A.1B.2C.3D.424.(浙江省新阵地教育联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PD ⊥底面ABCD ，O 为对角线AC 与BD 的交点，若PD =2,∠APD =π4,∠BAD =π3，则三棱锥P -OCD 的外接球的体积为()A.423π B.823π C.1623π D.6423π25.(多选题)(山东省实验中学2025届高三第一次诊断考试数学试题)已知函数f (x )=(x -1)ln x -ax -a (a ≠0)在区间(0,+∞)上有两个不同的零点x 1，x 2，且x 1<x 2，则下列选项正确的是()A.a 的取值范围是(0,1)B.x 1x 2=1C.x 1+1 x 2+1 >4D.ln x 1+2a <ln x 2<ln x 1+2a +4326.(多选题)(山东省齐鲁名校联盟�天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考(10月)数学试题)如图，有一列曲线P 0,P 1,P 2,⋯，已知P 0所围成的图形是面积为1的等边三角形，P k +1(k =0,1,2,3,⋯)是对P k 进行如下操作得到的：将P k 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉，记S k 为曲线P k 所围成图形的面积，则()A.P 3的边数为128B.S 2=4027C.P n 的边数为3×4nD.S n =85-35⋅49n27.(多选题)(山东省齐鲁名校联盟�天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考(10月)数学试题)已知函数f x =x3-ax+2,a∈R，则()A.f x 的图象关于点0,2对称B.∃a∈R,f x 仅有一个极值点C.当a=1时，f x 图象的一条切线方程为2x-y+4=0D.当a<3时，f x 有唯一的零点28.(多选题)(山东省济宁市实验中学2025届高三上学期10月月考数学试题)若正实数a，b满足a+b=1，则下列说法错误的是()A.ab有最小值14B.8a+8b有最大值82C.1a +1b有最小值4 D.a2+b2有最小值2229.(多选题)(山东省济宁市实验中学2025届高三上学期10月月考数学试题)函数f x =x+1x,x<03xe x,x≥0 ，关于x的方程f2x -m f x=0m∈R，则下列正确的是()A.函数f x 的值域为RB.函数f x 的单调减区间为-∞,0,1,+∞C.当m=12时，则方程有4个不相等的实数根D.若方程有3个不相等的实数根，则m的取值范围是3e ,+∞30.(多选题)(山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题)已知幂函数f x =9m2-3x m的图象过点n,-1 m，则()A.m=-23B.f x 为偶函数C.n=364D.不等式f a+1>f3-a的解集为-∞,131.(多选题)(山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题)已知函数f x及其导函数f x 的定义域均为R，记g x =f x ，若g x+2的图象关于直线x=-2对称，且f x-1+f x+1=1+f-x，则()A.g x 是偶函数B.f x 是奇函数C.3为y=f x 的一个周期D.2025i=1g(i)=032.(多选题)(江西省上进联考2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题)若存在实数b使得方程x4+mx 3+nx +b =0有四个不等的实根，则mn 的值可能为()A.-2024B.2025C.0D.-633.(多选题)(江西省部分学校2025届高三上学期9月月考考试数学试题)已知函数f (x )=ln (cos x )+sin 2x ，则()A.f (x )=f (-x )B.f (x )在-π2,-π4单调递增C.f (x )有最小值D.f (x )的最大值为1-ln2234.(多选题)(江西省部分学校2025届高三上学期9月月考考试数学试题)过抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点F 的直线l :y =x -1与C 相交于A ，B 两点，则()A.p =2B.p =4C.AB =8D.FA ⋅FB=-435.(多选题)(福建省百校联考2024-2025学年高三上学期10月联合测评数学试题)已知函数φ(x )的定义域为R ，对于∀x ，y ∈R ，恒有φ(x +y )=φ(x )+φ(y )-t ，且当x >0时，φ(x )<t ，则下列命题正确的有()A.φ(0)=tB.φ(x )=φ(2t -x )C.φ(-2024)=2t -φ(2024)D.∀x ≠y ∈R ，(x -y )[φ(x )-φ(y )]<036.(多选题)(福建省百校联考2024-2025学年高三上学期10月联合测评数学试题)已知数列a n 的前n 项和为S n ，(3n +2)S n +1+(3n -1)S n -1=(6n +1)S n (n ∈N ，且n ≥2)，若a 1=12，a 2=15，则下列说法正确的是()A.a 5=114B.数列1a n为等差数列C.数列an a 2n +1中的最小项为12D.数列(-1)na n a n +1的前2n 项和T 2n 为18n 2+12n37.(多选题)(安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题)已知a >0,b >0，且2a +b =4，则()A.ab ≤1B.1a +2b≥2C.2a +b ≤22D.b 2a+4a ≥1238.(多选题)(安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题)已知函数f (x )与g (x )的导函数分别为f (x )与g (x )，且f (x ),g (x ),f (x ),g (x )的定义域均为R ，g (x )-f (6-x )=3，f (x )=g (x -2)，g (x +4)为奇函数，则()A.g (2)+g (6)=0B.f(x +4)为偶函数C.f (x )=f (x +8)D.2024k =1g (k )=0同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片．A表示事件“第一次取出的卡片数字是奇数”，B表示事件“第二次取出的卡片数字是偶数”，C表示事件“两次取出的卡片数字之和是6”，则()A.P A∪B=1 B.P B∪C=1325C.A与B相互独立D.B与C相互独立40.(多选题)(安徽省江南十校2024-2025学年高三上学期第一次综合素质检测数学试题)定义：设f x是函数f x 的导数，f x 是函数f x 的导数，若方程f x =0有实数解x0，则称点x0,f x0为函数y=f x 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数f x =ax3+bx2+53ab≠0的对称中心为1,1，则下列说法中正确的有()A.a=13，b=-1B.f110+f210 +⋅⋅⋅+f1810 +f1910 的值是19C.函数f x 有三个零点D.过-1,13只可以作两条直线与y=f x 图象相切41.(多选题)(安徽省六校2025届高三上学期第一次阶段联合教学质量测评数学试卷)已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，侧面PCD⊥平面ABCD，BC=23，CD=PC=PD=26．若点M为PC的中点，则下列说法正确的为()A.BM⊥平面PCDB.P A⎳平面MBDC.四棱锥M-ABCD外接球的表面积为18πD.四棱锥M-ABCD的体积为1242.(多选题)(安徽省六校2025届高三上学期第一次阶段联合教学质量测评数学试卷)某学习小组用函数图象：C1:y=4+-x2+4x，C2:y=4+-x2-4x和抛物线C3:x2=2py部分图象围成了一个封闭的“心形线”，过C3焦点F的直线l交C3(包含边界点)于A，B两点，P是C1或C2上的动点，下列说法正确的是()A.抛物线C3的方程为C3:x2=4yB.|PB|+|FB|的最小值为4C.S△P AB的最大值为h34=352 D.若P在C1上，则P A ⋅PB 的最小值为-443.(多选题)(浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷)在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =2AA 1，点M 是棱DD 1上的动点(不含端点)，则()A.过点M 有且仅有一条直线与直线AC ，B 1D 1都垂直B.过点M 有且仅有一条直线与直线AC ，B 1D 1都相交C.有且仅有一个点M 满足△MAC 和△MB 1D 1的面积相等D.有且仅有一个点M 满足平面MAC ⊥平面MB 1D 144.(多选题)(浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷)已知P x 0,y 0 是曲线C :x 3+y 3=y -x 上的一点，则下列选项中正确的是()A.曲线C 的图象关于原点对称B.对任意x 0∈R ，直线x =x 0与曲线C 有唯一交点PC.对任意y 0∈-1,1 ，恒有x 0 <12D.曲线C 在-1≤y ≤1的部分与y 轴围成图形的面积小于π445.(多选题)(浙江省浙南名校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考(10月)数学试题)如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中AB =4，M ，N ，D ，Q 分别为棱AB ,AC ,B 1C 1,AA 1的中点，DQ ⊥QM ，则以下结论正确的是()A.B 1C 1⎳平面QMNB.AA 1=6C.点Q 到平面DMN 的距离为6D.三棱锥D -QMN 的外接球表面积为131π1846.(多选题)(浙江省浙南名校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考(10月)数学试题)已知抛物线C :x 2=4y 的焦点为F ，A ，B ，P 为抛物线C 上的点，cos ‹FA ,FB›=-1，若抛物线C 在点A ，B 处的切线的斜率分别为k 1,k 2，且两切线交于点M ．N 为抛物线C 的准线与y 轴的交点．则以下结论正确的是()A.若AF +BF =4，则AF ⋅BF =-1B.直线PN 的倾斜角α≥π4C.若k 1+k 2=2，则直线AB 的方程为x -y +1=047.(多选题)(浙江省新阵地教育联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题)已知F1、F2分别是双曲线C:x2-y2=2的左右焦点，点Q是圆A:(x-2)2+(y-3)2=12上的动点，下列说法正确的是()A.三角形AF1F2的周长是12B.若双曲线E与双曲线C有相同的渐近线，且双曲线E的焦距为8，则双曲线E为x2-y2=8C.若QF1+QF2=8，则Q的位置不唯一D.若P是双曲线左支上一动点，则PF2+PQ的最小值是5+32248.(多选题)(浙江省新阵地教育联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题)已知增函数f x的定义域为正整数集，f x 的取值也为正整数，且满足f f n=2n+1,n∈N*.下列说法正确的是()A.f1 =2B.f4 =6C.f2025=2536 D.对任意正整数n，都有f2n=3⋅2n-149.(山东省实验中学2025届高三第一次诊断考试数学试题)一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6.现随机地将骰子抛掷三次(各次抛掷结果相互独立)，其向上的点数依次为a1,a2, a3，则事件“a1-a2+a2-a3+a3-a1=6”发生的概率为.50.(山东省齐鲁名校联盟�天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考(10月)数学试题)蜜蜂被举为“天才的建筑师”，蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材最少的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF是正六边形，棱AG,BH,CI,DJ,EK,FL均垂直于底面ABCDEF，上顶由三个全等的菱形PGHI,PIJK,PKLG构成，∠GPI=∠IPK=∠KPG=θ≈109°28 ，设BC=1，则上顶的面积为.(参考数据：cosθ=-13,tanθ2=2)51.(山东省齐鲁名校联盟�天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考(10月)数学试题)已知函数f x =x ln x，则f x 的最小值为；设函数g x =x2-af x ，若g x 在0,+∞上单调递增，则实数a的取值范围是.52.(山东省济宁市实验中学2025届高三上学期10月月考数学试题)已知函数f x =3x ,0≤x ≤1,ln x ,x >1, 若存在实数x 1,x 2满足0≤x 1<x 2，且f x 1 =f x 2 ，则x 2-6x 1的取值范围为.53.(山东省济宁市实验中学2025届高三上学期10月月考数学试题)已知函数f x 的定义域为R ，且f x +2 -2为奇函数，f 3x +1 为偶函数，f 1 =0，则2024k =1f (k )=.54.(山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题)已知a >0且a ≠1，函数f x =2x ,x ≥1a x,x <1 ，若关于x 的方程f 2x -5f x +6=0恰有3个不相等的实数解，则实数a 的取值范围是．55.(山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题)已知三棱锥A -BCD 的四个顶点都在球O 的球面上，若AB =26,CD =23，球O 的半径为7，则三棱锥A -BCD 体积的最大值为．56.(江西省上进联考2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题)已知函数f x =log 3(3sin x +9sin 2x +1)+1，则f (m -2)+f 2-m =．57.(江西省上进联考2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题)函数f x =8ln sin x +sin 22x 在区间0,π2上的零点个数为个．58.(江西省部分学校2025届高三上学期9月月考考试数学试题)已知平面向量a=(2,1)，b 为单位向量，且(a +2b )⊥(a -b )，则向量b 在向量a 上的投影向量的坐标为．59.(福建省百校联考2024-2025学年高三上学期10月联合测评数学试题)已知数列a n 满足a 1=1,a 2=2，且a n +1=a n +a n +2，则a 2029=60.(福建省百校联考2024-2025学年高三上学期10月联合测评数学试题)已知不等式a +2ln x -2x2≤e x-1x恒成立，则实数a 的取值范围为．61.(安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题)若函数f (x )=e xx 2+bx +1在x =2时取得极小值，则f (x )的极大值为．62.(安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题)已知函数f (x )=m x ,g (x )=3+ln x ，若存在两条不同的直线与曲线y =f (x )和y =g (x )均相切，则实数m 的取值范围为.63.(安徽省江南十校2024-2025学年高三上学期第一次综合素质检测数学试题)已知样本x 1,x 2,⋅⋅⋅,x 6的平均数为3，方差为4，样本y 1,y 2,⋅⋅⋅,y 9的平均数为8，方差为2，则新样本x 1,x 2,⋅⋅⋅,x 6,y 1,y 2,⋅⋅⋅,y 9的方差为.1164.(安徽省江南十校2024-2025学年高三上学期第一次综合素质检测数学试题)在△ABC 中，AB ⋅CB -AC ⋅BC =-12BC 2，则tan B -C 的最大值为.65.(安徽省六校2025届高三上学期第一次阶段联合教学质量测评数学试卷)已知数列a n 的通项公式是a n =2n -1，记b m 为a n 在区间m ,2m m ∈N ,m >0 内项的个数，则使得不等式b m +1-b m >2062成立的m 的最小值为.66.(安徽省六校2025届高三上学期第一次阶段联合教学质量测评数学试卷)已知函数f x =-x 2-2x +1,x <0log 2x ,x >0 ，若方程f x =a 有四个不同的解x 1,x 2,x 3,x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，x 4⋅x 1+x 2 +16x 3⋅x 24的取值范围是..67.(浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷)已知曲线y =e x 在x =1处的切线l 恰好与曲线y =a +ln x 相切，则实数a 的值为．68.(浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷)数学老师在黑板上写上一个实数x 0，然后老师抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面向上，就将黑板上的数x 0乘以-2再加上3得到x 1，并将x 0擦掉后将x 1写在黑板上；如果反面向上，就将黑板上的数x 0除以-2再减去3得到x 1，也将x 0擦掉后将x 1写在黑板上．然后老师再抛掷一次硬币重复刚才的操作得到黑板上的数为x 2．现已知x 2>x 0的概率为0.5，则实数x 0的取值范围是．69.(浙江省浙南名校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考(10月)数学试题)“四进制”是一种以4为基数的计数系统，使用数字0，1，2，3来表示数值．四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性，对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响．四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以4的相应次方(从0开始)，然后将所有乘积相加．例如：四进制数013转换为十进制数为0×42+1×41+3×40=7；四进制数0033转换为十进制数为0×43+0×42+3×41+3×40=15；四进制数1230转换为十进制数为1×43+2×42+3×41+0×40=108；现将所有由1，2，3组成的4位(如：1231，3211)四进制数转化为十进制数，在这些十进制数中任取一个，则这个数能被3整除的概率为．70.(浙江省新阵地教育联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题)甲乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号1,2,3,4,5,6,7的卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于12或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，求甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束的概率是.。

2023年高考数学名校选填压轴题好题汇编(八)(解析版)

2023年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（八）一、单选题1．（2022·湖南·永兴县童星学校高三阶段练习）已知6ln1.25a =，0.20.2e b =，13c =，则（）A ．a b c <时，()0f x '>，所以函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，令()e 1xg x x =--，则()e 1x g x '=-，当0x <时，()0g x '<，当0x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在(),0∞-上递减，在()0,∞+上递增，所以()()0.200g g >=，即0.21e10.2 1.2e>+=>，所以()()0.2e 1.2f f >，即0.20.2e e 1.22ln ln1.>，所以b a >，由0.20.2e b =，得()0.211ln ln 0.2e ln 55b ==+，由13c =，得1ln ln 3c =，11151ln ln ln ln ln 35535c b -=--=-，因为55625510e 3243⨯⎛⎫=>> ⎪⎝⎭，所以155e 3>，所以51ln 35>，所以ln ln 0c b ->，即ln ln c b >，所以c b >，综上所述a b c <<. 故选：A.2．（2022·湖南·永兴县童星学校高三阶段练习）已知函数()()32,0,111,0,32x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩若方程()148f x ax =-恰有3个不同的实根，则实数a 的取值范围为（）A ．(),2-∞B ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题，当0x <时，令()()()111g 1484848x f x ax x ax a x =-+=-+=-+，根据一次函数性质可得101a a ->⇒<，此时有一个根，101a a -<⇒>，此时无根；当0x ≥时，令()()()323211g 48481111113232x a x ax x a a x x x =+-+=-+++-，求导()()()211x a g x x x x a =-+=-+'⎡⎤⎣⎦，令()12001g x x x a '=⇒==+或，当10a +≤时，()g x 在()0+∞，上单调递增，故无零点，不满足题意；当10a +>时，()g x 在()0,1a +单调递减，在()1,a ∞++单调递增，由题，函数()f x 恰有3个零点，则说明在当0x <时，有1个零点，在0x ≥时有两个零点，故可知1a <且()g 10a +<，所以()()()()()332111110111g 114864832a a a a a ++=+=--++++<，解得12a >-；综上可得112a -<<故选：B3．（2022·湖北·荆州中学高三阶段练习）已知tan ,tan αβ是方程()200++=≠ax bx c a 的两根，有以下四个命题：甲：()1tan 2αβ+=-；乙：tan tan 7:3αβ=；丙：()()sin 5cos 4αβαβ+=-；丁：()()tan tan tan tan 5:3αβαβαβ+-+=.如果其中只有一个假命题，则该命题是（） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B【解析】因为tan ,tan αβ是方程()200++=≠ax bx c a 的两根，所以tan tan ,tan tan b c a a αβαβ+=-⋅=，则甲：()tan tan 1tan 1tan tan 21bb ac c a aαβαβαβ-++====--⋅--；丙：()()sin sin cos cos sin tan tan 5cos cos cos sin sin 1tan tan 41bb ac c a aαβαβαβαβαβαβαβαβ-+++====-=-++++. 若乙､丁都是真命题，则57tan tan ,tan tan 33αβαβ+=-⋅=，所以()5tan tan 53tan 71tan tan 4113b ac a αβαβαβ--++====-⋅--，()()5sin sin cos cos sin tan tan 137cos cos cos sin sin 1tan tan 2113b ac a αβαβαβαβαβαβαβαβ--+++=====--++++，两个假命题，与题意不符，所以乙､丁一真一假，假设丁是假命题，由丙和甲得()()2,54a c b a c b -=-+=，所以()()25a c a c -=-+，即730a c +=，所以:7:3c a =-，与乙不符，假设不成立；假设乙是假命题，由丙和甲得730a c +=，又()2a c b -=，所以35b a =，即:5:3b a =与丙相符，假设成立；故假命题是乙，故选：B ．4．（2022·湖北·荆州中学高三阶段练习）已知函数()()()2ln 31f x ax x x a x a R =-+-+∈，若()f x 存在两个极值点1x ，()212x x x <，当21x x 取得最小值时，实数a 的值为（） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】由题意可知，'()ln 23f x a x x =-+有两个变号零点，即'()0f x =有两个不同的正根1x ，()212x x x <，不妨令'()()g x f x =，则'()2ag x x=-，当0a ≤时，'()20ag x x=-<，故'()ln 23f x a x x =-+在(0,)+∞上单调递减，此时'()f x 最多只有一个零点，不合题意；当0a >时，'()002a g x x >⇒<<；'()02a g x x <⇒>，故'()f x 在(0,)2a上单调递增，在(,)2a +∞单调递减，因为3333'(e )ln e 2e 32e 0a a a a f a ----=-+=--<，'(1)10f =>，且由对数函数性质可知，当x 足够大时，'()ln 230f x a x x =-+<，所以由零点存在基本定理可知，1201x x <<<，因为11ln 230a x x -+=，22ln 230a x x -+=，所以21121211212212(1)23232()ln ln ln ln x x x x x x x a x x x x x x ----====，不妨令21x t x =，由2101x x t >>⇒>，从而21121111231()2ln ln ln x x x t h t x x x tx ---===，因为'21ln 1()ln t t h t t+-=，令1ln 1y t t =+-，则'221110t y t t t -=-=>，从而1ln 1y t t=+-在(1,)+∞单调递增，且|10t y ==，故对于1t ∀>，'()0h t >，即()h t 在(1,)+∞单调递增，从而当21x t x =取得最小值是，()h t 也取得最小值，即111232ln x x x -取得最小值，不妨令23()2ln x F x x x -=，(0,1)x ∈，则'223ln 23()2ln x x F x x x-+=，令()3ln 23x x x ϕ=-+，则'32()0xx xϕ-=>对于(0,1)x ∈恒成立，故()3ln 23x x x ϕ=-+在(0,1)上单调递增，因为(1)10ϕ=>，12()0e eϕ=-<，所以存在唯一的01(1)e,x ∈，使得0000023()3ln 2303ln x x x x x ϕ-=-+=⇔=，故'0()00F x x x <⇒<<；'0()0F x x x >⇒>，从而23()2ln x F x x x-=在0(0,)x 上单调递减，在0(,)x +∞单调递增，故1min 0min 1123()()()2ln x F x F x x x -==，此时()h t 也取得最小值，即01x x =，故010123233ln ln x x a x x --===. 故选：D.5．（2022·山东·乳山市银滩高级中学高三阶段练习）已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(],2-∞上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是( )A ．()2,2,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭B ．2,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．22,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．22,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】根据题意，(2)f x +是偶函数，则函数()f x 的图象关于直线2x =对称，又由()f x 在(],2-∞上单调递减，则()f x 在[)2,+∞上递增，又由(0)0f =，则(23)0(23)(0)|3|2f x f x f x ->⇒->⇒>，解可得：23x <-或23x >，即不等式的解集为22,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故选：D ．6．（2022·山东·乳山市银滩高级中学高三阶段练习）已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是（） A ．c b a << B ．b a c << C ．a cb << D．a b c <<【答案】C【解析】55881log 2log log log 32a b =<===，即a c b <<. 故选：C.7．（2022·山东·栖霞市第一中学高三阶段练习）已知0.0232log 8,π==a b ，c ＝sin1，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．c ＜b ＜a B ．c ＜a ＜b C ．a ＜b ＜c D ．a ＜c ＜b【答案】D【解析】由题意，533223log 8log 20.65a ====，0.020ππ1b =>=，ππsin sin1sin 43c <<⇒<<a c b <<.故选：D.8．（2022·山东·济南市天桥区黄河双语实验学校高三阶段练习）已知()22,011,0xx x f x x x⎧≥⎪⎪+=⎨⎪-⎪⎩＜，若函数()()g x f x t =-有三个不同的零点1x ，2x ，3x ()123x x x <<，则123111x x x -++的取值范围是（） A ．()3,+∞ B ．2,C ．5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,【答案】A【解析】函数()22,011,0xx x f x x x⎧≥⎪⎪+=⎨⎪-⎪⎩＜的图象如图所示，函数()()g x f x t =-有三个不同的零点1x ，2x ，3x ()123x x x <<，即方程()f x t =有三个不同的实数根1x ，2x ，3x ，由图知0t >，当0x >时，()22211x f x x x x==++，∵()120x x x+≥>，∵()1f x ≤，当且仅当1x =时取得最大值，当1y =时，11x =-，231x x ==，此时1231113x x x -++=，由()2011t t x x=<<+，可得2210xx t-+=， ∵232x x t+=，231x x =， ∵231122x x t+=>， ∵1231112t x x x t-++=+， ∵01t <<，∵123111x x x -++的取值范围是()3,+∞. 故选：A.9．（2022·山东·高密三中高三阶段练习）设函数()f x 的定义域为R ，(1)f x +为奇函数，(2)f x +为偶函数，当[1,2]x ∈时，()2x f x a b =⋅+．若(0)(3)6f f +=，则()2log 96f 的值是（） A ．12- B ．2-C ．2D ．12【答案】B【解析】(1)f x +为奇函数，即其图象关于(0,0)点对称，所以()f x 的图象关于(1,0)点对称，(2)f x +为偶函数，即其图象关于y 轴对称，因此()f x 的图象关于直线2x =对称，所以(1)0f =，(0)(2)f f =-，(3)(1)f f =，所以(1)20f a b =+=，(0)(3)(2)(4)6f f f a b +=-=-+=，由此解得3a =-，6b =，所以[1,2]x ∈时，()326x f x =-⋅+，由对称性得(2)(2)(1(1))()f x f x f x f x +=-=---=-，所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，()f x 是周期函数，周期为4， 26log 967<<，2222225688(log 96)(log 964)(4log 964)(log )(log )3629633f f f f f =-=-+===-⨯+=-，故选：B ．10．（2022·福建师大附中高三阶段练习）张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾在数学著作《算罔论》中得出结论：圆周率的平方除以十六约等于八分之五．已知在菱形ABCD中，AB BD == 将ABD △沿BD 进行翻折，使得AC = 按张衡的结论，三棱锥A BCD -外接球的表面积约为（） A ．72B．C．D．【答案】B 【解析】如图1，取BD 的中点M ，连接AM CM ，．由AB AD BD ===可得ABD △为正三角形，且3AM CM ===，所以1cos 3AMC ∠-，则sin AMC ∠=，以M 为原点，MC 为x 轴，MD 为y 轴，过点M 且与平面BCD 垂直的直线为z 轴建立空间直角坐标系如图2，则(3,0,0)C ， (10A -，．设O 为三棱锥A BCD -的外接球球心，则O 在平面BCD 的投影必为BCD △的外心，则设(10)O h ，，．由222||||R OA OC ==可得22222220)20h h ++=++，解得h =所以22||6R OC ==．由张衡的结论，2π5168≈，所以π≈则三棱锥A BCD -的外接球表面积为24πR ≈ 故选：B ．11．（2022·福建省福州教育学院附属中学高三开学考试）若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞上单调递增，则实数k 的取值范围是 A ．(],2-∞- B ．(],1-∞-C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞【答案】D 【解析】，∵函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞单调递增，∵在区间()1,+∞上恒成立．∵，而在区间()1,+∞上单调递减，∵．∵的取值范围是[)1,+∞．故选D ．考点：利用导数研究函数的单调性.12．（2022·江苏·沭阳如东中学高三阶段练习）已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，P 为上底面圆的圆心，AB 为下底面圆的直径，E 为下底面圆周上一点，则三棱锥P -ABE 外接球的表面积为（） A ．25π16B ．25π4 C ．5π2D ．5π【答案】B【解析】由题，由圆的性质，ABE △为直角三角形，90E ∠=︒，如图所示，设外接球半径为R ，底面圆心为Q ，外接球球心为O ，由外接球的定义，OP OA OB OE R ====，易得O 在线段PQ 上，又圆柱的轴截面是边长为2的正方形，所以底面圆半径1AQ BQ ==， ∵PQ AQ ⊥，则()22222221OA OQ AQ R R ==-++⇒，解得54R =， ∵外接球表面积为225π4π4R =. 故选：B ．13．（2022·江苏·沭阳如东中学高三阶段练习）若sin1tan1a =+，2b =，1ln 42c =+，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c b a <，令()sin tan 2g x x x x =+-，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()32221cos 2cos 1cos 2cos cos x x g x x x x-+'=+-=，因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()cos 0,1x ∈，令()3221h x x x =-+，()0,1x ∈，则()()234340h x x x x x '=-=-<，即()h x 在()0,1上单调递减，所以()()10h x h >=，所以()0g x '>，即()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()()100g g >=，即sin1tan120+->，即sin1tan12+>，即a b >，综上可得a b c >>；故选：A14．（2022·江苏·常州市第一中学高三开学考试）已知0a >，且1a ≠，函数53()2)(11)1+=+-+x xa f x x x a ，设函数()f x 的最大值为M ，最小值为N ，则（） A ．8M N += B ．10M N += C ．8M N -= D ．10M N -=【答案】A【解析】53()2)(11)1+=+-+x xa f x x x a ，令()2)g x x =，[1x ∈-，1]，由()2)g x x -==2)()x g x =-=-，可知()()g x g x -=-，故()g x 函数的图象关于原点对称，设()g x 的最大值是a ，则()g x 的最小值是a -，由532511x x x a a a +=-++，令2()1xh x a =-+，当01a <<时，()h x 在[1-，1]递减，所以()h x 的最小值是2(1)1ah a -=-+，()h x 的最大值是()211h a =-+，故()()112h h -+=-，()f x ∴的最大值与最小值的和是1028-=，当1a >时，()h x 在[1-，1]单调递增，所以()h x 的最大值是2(1)1ah a -=-+，()h x 的最小值是()211h a =-+，故()()112h h -+=-，故函数()f x 的最大值与最小值之和为8，综上：函数()f x 的最大值与最小值之和为8，故选：A ．15．（2022·江苏·泗洪县洪翔中学高三阶段练习）不等式e ln ax a x >在(0,)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．1,2e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．1(,)e+∞C ．1,)∞+（D ．(e,)+∞【答案】B【解析】当0a ≤时，不等式e ln ax a x >在(0,)+∞上恒成立不会成立，故0a > ，当(0,1]x ∈ 时，ln 0x ≤ ，此时不等式e ln ax a x >恒成立；不等式e ln ax a x >在(1,)+∞上恒成立, 即e ln ax ax x x >在(1,)+∞上恒成立, 而e ln ax ax x x >即ln e ln e ax x ax x >⋅，设()e ,()(1)e x x g x x g x x '==+ ，当1x >- 时，()(1)e 0x g x x '=+>，故()e ,(1)x g x x x =>-是增函数，则ln e ln e ax x ax x >⋅即()(ln )g ax g x >，故ln ln ,xax x a x>>，设2ln 1ln (),(1),()x xh x x h x x x -'=>=，当1e x << 时，21ln ()0xh x x -'=>， ()h x 递增，当e x > 时，21ln ()0xh x x -'=<， ()h x 递减，故1()(e)e h x h ≤= ，则1e>a ，综合以上，实数a 的取值范围是1e>a ，故选：B16．（2022·江苏·泗洪县洪翔中学高三阶段练习）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，平面PAB ⊥平面ABCD ，且PAB △为等边三角形，则该四棱锥的外接球的表面积为（） A ．283π B ．1123π C ．32π D ．2563π 【答案】B【解析】如图所示，在四棱锥P ABCD -中，取侧面PAB △和底面正方形ABCD 的外接圆的圆心分别为12,O O ，分别过1O ，2O 作两个平面的垂线交于点O ，则由外接球的性质知，点O 即为该球的球心，取线段AB 的中点E ，连1O E ，2O E ，2O D ，OD ，则四边形12O EO O 为矩形，在等边PAB △中，可得PE =1O E =2OO =在正方形ABCD 中，因为4AB =，可得2O D =在直角2OO D 中，可得22222OD OO O D =+，即22222283R OO O D =+=，所以四棱锥P ABCD -外接球的表面积为211243S R ππ==. 故选：B.17．（2022·江苏·淮安市钦工中学高三阶段练习）已知定义在R 上的函数()f x 的导函数()f x '，且()()0f x f x <'<，则（）A ．()()e 21f f >，()()2e 1f f >B ．()()e 21f f >，()()2e 1f f <C ．()()e 21f f <，()()2e 1f f <D ．()()e 21f f <，()()2e 1f f >【答案】D【解析】构造函数()()()()()e e x xf x f x f xg x g x '-'=⇒=，因为()()f x f x '<，所以()0g x '>，因此函数()g x 是增函数，于是有2(2)(1)(2)(1)(2)e (1)e ef fg g f f >⇒>⇒>，构造函数()()e ()e [()()]x x h x f x h x f x f x ''=⋅⇒=+，因为()()0f x f x <'<，所以()0h x '<，因此()h x 是单调递减函数，于是有2(2)(1)e (2)e (1)e (2)(1)h h f f f f <⇒<⇒<，故选：D18．（2022·江苏·沭阳县潼阳中学高三阶段练习）已知函数e 1,0,()(),0,x x x f x f x x ⎧--≤=⎨-->⎩则使不等式1(ln )e f x >-成立的实数x 的取值范围为（） A ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(0,e)D ．(e,)+∞【答案】C【解析】因为(0)0f =，0x >时，()()f x f x =--，因此0x <时也有()()f x f x =--，即函数()f x 是奇函数，0x ≤时，()e 1x f x x =--，()e 1x f x '=-0≤，所以()f x 是减函数，所以奇函数()f x 在R 上是减函数，又1(1)ef -=，所以1(1)(1)e f f =--=-，不等式1(ln )ef x >-为(ln )(1)f x f >，所以ln 1x <，0e x <<，故选：C ．19．（2022·江苏·沭阳县潼阳中学高三阶段练习）已知实数a 、b 、c 满足2221a b c ++=，则23ab c +的最大值为（） A ．3 B ．134C ．2D ．5【答案】A【解析】因为22212c a b ab -=+≥，所以，22313233124ab c c c c ⎛⎫+≤-++=--+ ⎪⎝⎭，因为210c -≥，可得11c -≤≤，故当01a b c ==⎧⎨=⎩时，23ab c +取最大值3.故选：A. 二、多选题20．（2022·湖南·永兴县童星学校高三阶段练习）已知函数()()ln f x x x ax =-，则（）A ．当0a ≤或1ea =时，()f x 有且仅有一个零点B ．当0a ≤或12a =时，()f x 有且仅有一个极值点 C ．若()f x 为单调递减函数，则12a >D ．若()f x 与x 轴相切，则1ea =【答案】AD【解析】令()0f x =可得()ln 0x x ax -=，化简可得ln xa x=，设ln ()xh x x =，则21ln ()x h x x -'=，当e x >，()0h x '<，函数()h x 在()e,+∞单调递减，当0e x <<，()0h x '>，函数()h x 在()0e ，单调递增，又(1)0h =，1(e)eh =，由此可得函数ln ()xh x x =图像如下：所以当0a ≤或1e a =时，ln xa x =有且仅有一个零点所以当0a ≤或1ea =时，()f x 有且仅有一个零点，A 对，函数()()ln f x x x ax =-的定义域为()0+∞，， ()ln 21f x x ax '=-+，若()f x 与x 轴相切，设()f x 与x 轴相切相切与点0(,0)x ，则()00f x '=，()00f x =，所以00ln 0x ax -=，00ln 210x ax -+= 所以0e x =，1e=a ，故D 正确；若()f x 为单调递减函数，则()0f x '≤在()0+∞，上恒成立，所以ln 12x a x+≤在()0+∞，上恒成立，设ln 1()2x g x x +=，则2ln ()2x g x x -'=，当1x >时，()0g x '<，函数ln 1()2x g x x+=单调递减，当01x <<时，()0g x '>，函数ln 1()2x g x x+=单调递增，且1(1)2g =，10e g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当1e x >时，()0>g x ，由此可得函数ln 1()2x g x x+=的图像如下：所以若()f x 为单调递减函数，则12a ≥，C 错，所以当12a =时，函数()f x 在()0+∞，上没有极值点，B 错，故选：AD.21．（2022·湖南·永兴县童星学校高三阶段练习）已知函数221,0()ln 2,0x x x f x x x ⎧++<⎪=⎨->⎪⎩，若方程()(R)f x k k =∈有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为1234,,,x x x x ，则（） A ．01k << B ．121x x +=-C ．23e e x <<D ．412340e x x x x <<【答案】ACD【解析】画出函数()f x 与函数y k =的图像如下：()f x 在(],1-∞-单调递减，值域[)0,∞+；在[)1,0-单调递增，值域[)0,1；在(20,e ⎤⎦单调递减，值域[)0,∞+；在)2e ,⎡+∞⎣单调递增，值域[)0,∞+.则有122x x +=-，34ln 2ln 20x x -+-=，即434e x x =.选项B 判断错误；方程()(R)f x k k =∈有四个不同的实数解，则有01k <<.选项A 判断正确；由()f x 在(20,e ⎤⎦单调递减，值域[)0,∞+，(e)ln e 21f =-=，22(e )ln e 20f =-=，可知23e e x <<.选项C 判断正确；由12340x x x x <<<<，可知12340x x x x >又()()()()1244441234121222e e e e x x x x x x x x x x -+-⎡⎤==--=⎢⎥⎣⎦<.则有412340e x x x x <<.故选项D 判断正确. 故选：ACD22．（2022·湖北·荆州中学高三阶段练习）已知函数()2sin 26x x f π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若将函数()f x 的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的14，再向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则（）A ．函数()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．函数()f x 的周期为4πC ．函数()g x 在区间4,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．函数()f x 的图象的一条对称轴是直线3x π=-【答案】ABC【解析】由题意可知，函数()f x 的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的14后，其解析式为2sin(2)6y x π=+， 2sin(2)6y x π=+向右平移6π个单位长度后，得到()2sin[2()]2sin(2)666g x x x πππ=-+=-，故A 正确；由周期公式可知，函数()f x 的周期为2412T ππ==，故B 正确；由22226263k x k k x k πππππππππ-+≤-≤+⇒-+≤≤+，k Z ∈，故()g x 的单调递增区间为[,]63k k ππππ-++，k Z ∈，从而函数()g x 在区间4,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故C 正确；因为()2sin 0023f π-==≠±，故D 错误.故选：ABC.23．（2022·湖北·荆州中学高三阶段练习）已知奇函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且()()1120f x f x x --++=恒成立，若()f x 在[]0,1单调递增，则（）A ．()f x 在[]1,2上单调递减B ．()00f =C ．()20222022f =D ．()20231f '=【答案】BCD【解析】方法一：对于A ，若()f x x =，符合题意，故错误，对于B ，因已知奇函数()f x 在R 上可导，所以()00f =，故正确，对于C 和D ，设()()g x f x x =-，则()g x 为R 上可导的奇函数，()00g =，由题意()()1111f x x f x x -+-=+--，得()()11g x g x -=+，()g x 关于直线1x =对称，易得奇函数()g x 的一个周期为4，()()()2022200g g g ===，故C 正确，由对称性可知，()g x 关于直线1x =-对称，进而可得()10g '-=，（其证明过程见备注）且()g x '的一个周期为4，所以()()202310g g '='-=，故D 正确．备注：()()11g x g x -=+，即()()11g x g x --=-+，所以()()11g x g x -+=--，等式两边对x 求导得，()()11g x g x '-+=-'--，令0x =，得()()11g g '-=-'-，所以()10g '-=．方法二：对于A ，若()f x x =，符合题意，故错误，对于B ，因已知奇函数()f x 在R 上可导，所以()00f =，故正确，对于C ，将()()1120f x f x x --++=中的x 代换为1x +，得()()2220f x f x x --+++=，所以()()222f x f x x ++=+，可得()()4226f x f x x +++=+，两式相减得，()()44f x f x +-=，则()()624f f -=，()()1064f f -=，…，()()202220184f f -=，叠加得()()202222020f f -=，又由()()222f x f x x ++=+，得()()2022f f =-+=，所以()()2022220202022f f =+=，故正确，对于D ，将()()1120f x f x x --++=的两边对x 求导，得()()1120f x f x ''---++=，令0x =得，()11f '=，将()()f x f x --=的两边对x 求导，得()()f x f x '-='，所以()11f '-=，将()()44f x f x +-=的两边对x 求导，得()()4f x f x ''+=，所以()()()2023201911f f f '''==⋅⋅⋅=-=，故正确．故选：BCD24．（2022·山东·乳山市银滩高级中学高三阶段练习）已知函数())5ln 3f x x x =++，函数()g x 满足()()6g x g x -+=.则（） A ．()1lg 7lg 67f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭B ．函数()g x 的图象关于点()3,0对称C ．若实数a 、b 满足()()6f a f b +>，则0a b +>D ．若函数()f x 与()g x 图象的交点为()11,x y 、()22,x y 、()33,x y ，则1122336x y x y x y +++++= 【答案】AC【解析】对于A 选项，对任意的R x ∈0x x x >+≥，所以，函数())5ln3f x x x =++的定义域为R ，()())())55ln3ln3f x f x x x x x ⎡⎤-+=+-++++⎢⎥⎣⎦()22ln 166x x =+-+=，所以，()()()1lg 7lg lg 7lg 767f f f f ⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭，A 对；对于B 选项，因为函数()g x 满足()()6g x g x -+=，故函数()g x 的图象关于点()0,3对称，B 错；对于C 选项，对于函数())lnh x x =，该函数的定义域为R ，()()))()22ln ln ln 10h x h x x x x x -+=+=+-=，即()()h x h x -=-，所以，函数()h x 为奇函数，当0x ≥时，内层函数u x 为增函数，外层函数ln y u =为增函数，所以，函数()h x 在[)0,∞+上为增函数，故函数()h x 在(],0-∞上也为增函数，因为函数()h x 在R 上连续，故函数()h x 在R 上为增函数，又因为函数53y x =+在R 上为增函数，故函数()f x 在R 上为增函数，因为实数a 、b 满足()()6f a f b +>，则()()()6f a f b f b >-=-，可得a b >-，即0a b +>，C 对；对于D 选项，由上可知，函数()f x 与()g x 图象都关于点()0,3对称，由于函数()f x 与()g x 图象的交点为()11,x y 、()22,x y 、()33,x y ，不妨设123x x x <<，若20x ≠，则函数()f x 与()g x 图象的交点个数必为偶数，不合乎题意，所以，20x =，则23y =，由函数的对称性可知，点()11,x y 、()33,x y 关于点()0,3对称，则130x x +=，136y y +=，故1122339x y x y x y +++++=，D 错. 故选：AC.25．（2022·山东·栖霞市第一中学高三阶段练习）已知函数()2sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．若函数()f x 的最小正周期为π，则其图象关于直线8x π=对称B ．若函数()f x 的最小正周期为π，则其图象关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．若函数()f x 在区间0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的最大值为2D ．若函数()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，则ω的取值范围是192388ω≤< 【答案】ACD 【解析】A 选项：()f x 的最小正周期为π2ω∴=28842f ππππ⎛⎫⎛⎫∴=⋅+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A 正确；B 选项：()f x 的最小正周期为π2ω∴=208842f ππππ⎛⎫⎛⎫∴=⋅+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；C 选项：084484x x πππππωω<<∴<+<+又函数()f x 在0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增842πππω∴+≤ 2ω∴≤，故C 正确； D 选项：[]0,2,2444x x ππππωπω⎡⎤∈∴+∈+⎢⎥⎣⎦又()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，则1923526,488πππωπω≤+<∴≤<，故D 正确. 故选：ACD26．（2022·山东·济南市天桥区黄河双语实验学校高三阶段练习）已知函数()11ln x f x x x -=-+，下列结论成立的是（）A ．函数()f x 在定义域内无极值B ．函数()f x 在点()()2,2A f 处的切线方程为5ln 282y x =+- C ．函数()f x 在定义域内有且仅有一个零点D ．函数()f x 在定义域内有两个零点1x ，2x ，且121x x ⋅= 【答案】ABD【解析】A ，函数()11ln x f x x x -=-+定义域为()()0,11,+∞，()()()()2211112011x x f x x x x x --+'=-=+>--， ()f x ∴在()0,1和()1,+∞上单调递增，则函数()f x 在定义域内无极值，故A 正确；B ，由()()2121f x x x '=+-，则()()212522221f '=+=-，又()212ln 23ln 221f +=-=-+-， ∴函数()f x 在点()()2,2A f 处的切线方程为()53ln 222y x +-=- 即5ln 282y x =+-，故B 正确； C ，()f x 在()1,+∞上单调递增，又()112ln 10111e ef e e e e e ++-=-=-=<---， ()22222222113ln 20111e e ef e e e e e ++-=-=-=>---，所以函数()f x 在()2,e e 存在0x ，使()00001ln 01x f x x x +=-=-，又20111e x e<<，即0101x <<，且()0000000011111ln ln 0111x x f x f x x x x x +⎛⎫⎛⎫+=-=--=-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭-，即01x 为函数()f x 的一个零点，所以函数()f x 在定义域内有两个零点,故C 错误. D ，由选项C 可得10201,x x x x ==，所以121x x ⋅=，故D 正确. 故选：ABD27．（2022·山东·济南市天桥区黄河双语实验学校高三阶段练习）已知定义在R 上的函数()f x 对任意实数x 满足()()2f x f x +=，()()2f x f x -=，且[]0,1x ∈时，()21f x x =+，则下列说法中，正确的是（）A ．2是()f x 的周期B ．1x =-不是()f x 图象的对称轴C ．()20212f = D ．方程1()2f x x =只有4个实根【答案】AC【解析】A 选项：因为定义在R 上的函数()f x 对任意实数x 满足()()2f x f x +=，所以函数()f x 是以2为周期的周期函数，故A 选项正确；B 选项：因为()()2f x f x -=，所以函数()f x 关于直线1x =对称，又()f x 是周期为2周期函数，所以函数()f x 关于直线1x =-对称，故B 选项错误；C 选项：()()220211112f f ==+=，C 选项正确； D 选项：在同一直角坐标系中分别作出函数()y f x =与12y x =的图象，如图所示：由图象可知两函数共有6个不同的交点，则方程1()2f x x =有6个实根，故D 选项错误；故选：AC.28．（2022·山东·高密三中高三阶段练习）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A ､B 存在如下关系：()()()()P A P B A P A B P B =.某高校有甲､乙两家餐厅，王同学第一天去甲､乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学（） A ．第二天去甲餐厅的概率为0.54 B ．第二天去乙餐厅的概率为0.44C ．第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为59D ．第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为49【答案】AC【解析】设1A :第一天去甲餐厅，2A :第二天去甲餐厅，1B :第一天去乙餐厅，2B :第二天去乙餐厅，所以()10.4P A =，()10.6P B =，2121()0.6,()0.5P A A P A B ==，因为212212212111()()()()()0.6,()0.5()()P A P A A P A P B A P A A P A B P A P B ====，所以212212()()0.24,()()0.3P A P A A P A P B A ==，所以有()()()()()21211210.40.60.60.50.54P A P A P A A P B P A B =+=⨯+⨯=, 因此选项A 正确, ()()2210.46P B P A =-=，因此选项B 不正确；因为()1220.35()9P B A P A ==，所以选项C 正确； 1211211222()()()[1()]0.4(10.6)8()()()0.4623P A P B A P A P A A P A B P B P B -⨯-====，所以选项D 不正确，故选：AC29．（2022·福建师大附中高三阶段练习）已知222212:220,:2410O x y mx y O x y x my +-+=+--+=．则下列说法中，正确的有（）A ．若(1,1)-在1O 内，则0mB ．当1m =时，1O 与2O 共有两条公切线C ．若1O 与2O 存在公共弦，则公共弦所在直线过定点11,36⎛⎫⎪⎝⎭D ．m ∃∈R ，使得1O 与2O 公共弦的斜率为12【答案】BC【解析】因为222212:220,:2410O x y mx y O x y x my +-+=+--+=，所以1O ：222()(1)1x m y m -++=+，2O ：222(1)(2)4x y m m -+-=，则1(1)O m -，，1r 2(12)O m ，，22||r m =，则0m ≠，由(11)-，在1O 内，可得221(1)220m +---<，即0m >，A 错误；当1m =时，1(11)O -，，1r =2(12)O ，，22r =，所以12||3O O =∈(22，所以两圆相交，共两条公切线，B 正确；12O O -，得(22)(24)10m x m y -+++-=，即(24)(221)0m x y x y -+++-=，令2402210x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，，解得1316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，所以定点为1136⎛⎫⎪⎝⎭，，C 正确；公共弦所在直线的斜率为2224m m -+，令221242m m -=+，无解，所以D 错误，故选：BC ．30．（2022·福建师大附中高三阶段练习）函数())0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则下列说法中，正确的有（）A ．()f x 的最小正周期T 为πB ．()f x 向左平移38π个单位后得到的新函数是偶函数C ．若方程()1f x =在(0,)m 上共有 6 个根，则这 6 个根的和为338πD ．5()0,4f x x π⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭图像上的动点M 到直线240x y -+=的距离最小时， M 的横坐标为4π【答案】ABD【解析】因为()f x 经过点5π08⎛⎫⎪⎝⎭，，所以5π5π088f ωϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又5π8在()f x 的单调递减区间内，所以5ππ2π()8k k ωϕ+=+∈Z ∵；又因为()f x 经过点5π14⎛⎫⎪⎝⎭，，所以5π5π144f ωϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，5πsin 4ωϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又5π4x =是()1f x =在5π8x >时最小的解，所以5π9π2π()44k k ωϕ+=+∈Z ∵．联立∵、∵，可得5π5π84ω=，即2ω=，代入∵，可得π2π()4k k ϕ=-+∈Z ，又π||2ϕ<，所以π4ϕ=-，则π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．()f x 的最小正周期为2ππ2=，A 正确．()f x 向左平移3π8个单位后得到的新函数是3πππ()222842f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，为偶函数，B 正确．设()1f x =在(0)m ，上的6个根从小到大依次为126x x x ，，，．令ππ242x -=，则3π8x =，根据()f x 的对称性，可得123π28x x +=，则由()f x 的周期性可得342x x +=3π8T +11π8=，563π19π2288x x T +=+=，所以613π11π19π33π28884ii x=⎛⎫=++=⎪⎝⎭∑，C 错误．作与240l x y -+=：平行的直线，使其与5π()04f x x ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，有公共点，则在运动的过程中，只有当直线与5π()04f x x ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，相切时，直线与l 存在最小距离，也是点M 到直线240x y -+=的最小距离，令π()224f x x ⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭，则ππ22π44x k -=±+()k ∈Z ，解得πx k =()k ∈Z 或ππ()4x k k =+∈Z ，又5π04x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以π5π044x =，，（舍去），又(0)1f =-，令1(01)M -，，π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2π14M ⎛⎫⎪⎝⎭，1M 到直线l 的距离大于2M 到直线l 的距离，所以M 到直线240x y -+=的距离最小时，M 的横坐标为π4，D 正确故选：ABD ．31．（2022·福建师大附中高三阶段练习）公元前 300 年前后，欧几里得撰写的《几何原本》是最早有关黄金分割的论著，书中描述：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为“黄金分割比”，把离心率为 “黄金分割比” 倒数的双曲线叫做 “黄金双曲线”．黄金双曲线 2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的一个顶点为A ，与A 不在y 轴同侧的焦点为F ，E 的一个虚轴端点为B ，PQ 为双曲线任意一条不过原点且斜率存在的弦， M 为PQ 中点．设双曲线E 的离心率为e ，则下列说法中，正确的有（）A ．e =B ．2||||||OA OF OB =C ．OM PQ k k e ⋅=D ．若OP OQ ⊥，则2211||||e OP OQ +=恒成立【答案】ABC【解析】由E 为黄金分割双曲线可得a c c a c=+，即22a ac c +=(*)，对(*)两边同除以2a 可得210e e --=，则e =A 正确；对(*)继续变形得222ac c a b =-=，222222222222||||2()3AB BF a b c b a c c a c a +=+++=++-=-∴，22||()AF a c =+=222223a ac c c a ++=-，AB BF ∴⊥，所以90ABF ∠=，又AOB 90∠=，所以BAO FBO ∠=∠，ABO BFO ∠=∠，所以AOB BOF ，所以OA OB OBOF=，所以2||||||OA OF OB =， B 正确；设11()P x y ，，22()Q x y ，，00()M x y ，，将P Q ，坐标代入双曲线方程可得，22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，作差后整理可得2212122121y y y y b x x x x a -+=-+ ，即20212210yy y b x x x a -=- 所以22221PQ OMc a k k e a -==- C 正确；设直线OP y kx =：，则直线1OQ y x k =-：，将y kx =代入双曲线方程222222b x a y a b -=，可得222222a b x b a k=-，则2222222a b k y b a k =-，222222222(1)||a b k OP x y b a k +=+=-∴，将k 换成1k-即得2||OQ =222222(1)a b k b k a +-，则2222222222222211()(1)11||||(1)b a k b a OP OQ a b k a b a b-+-+===-+与a ，b 的值有关，故D 错误，故选：ABC ．32．（2022·福建省福州教育学院附属中学高三开学考试）知函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．函数()f x 增区间是5,()26212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C ．函数()f x 是奇函数D ．函数图象关于直线23x π=对称【答案】ABD【解析】函数sin y x =的图象如下图：由图可知，函数sin y x =的最小正周期为π，单调递增区间是(),Z 2k k k πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦+∈，对称轴是()Z 2k x k π=∈. ()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 的最小正周期是2π，故A 正确；令232k x k ππππ≤-≤+得526212k k x ππππ+≤≤+，所以()f x 的增区间是5,(Z)26212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故B 正确；因为(0)0f ≠，所以()f x 不是奇函数，故C 错误；令232k x ππ-=得(Z)46k x k ππ=+∈，取2k =得对称轴方程为23x π=，故D 正确. 故选：ABD.33．（2022·江苏·沭阳如东中学高三阶段练习）在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 、N 分别是棱11A D 、AB 的中点，则下列选项中正确的是（）.A ．MC DN ⊥B ．11//AC 平面MNCC ．异面直线MD 与NC 所成的角的余弦值为15D ．平面MNC 截正方体所得的截面是五边形【答案】AD 【解析】以点D 为原点如图建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则()()()()()1,0,2,0,2,0,2,1,0,0,0,0,2,0,0M C N D A因为()1,2,2MC =--，()2,1,0DN =，220MC DN ⋅=-+=，所以MC DN ⊥，故A 正确；因为()1,2,2MC =--，()1,1,2MN =-，设平面MNC 的法向量为(),,n x y z =所以由0MC n ⋅=，0MN n ⋅=可得22020x y z x y z -+-=⎧⎨+-=⎩，所以可取()2,4,3n =，因为()2,2,0AC =-，4880AC n ⋅=-+=≠，所以11A C 不与平面MNC 平行，故B 错误；因为()1,0,2DM =，()2,1,0NC =- 所以2cos ,5DM NC =-所以异面直线MD 与NC 所成的角的余弦值为25，故C 错误；连接CN ，在11D C 上取靠近1D 的四等分点为Q ，则//MQ CN 连接CQ ，在1AA 上取靠近1A 的三等分点为P ，则//NP CQ 所以平面MNC 截正方体所得的截面是五边形CQMPN ，故D 正确故选：AD34．（2022·江苏·沭阳如东中学高三阶段练习）已知函数()32x xf x x R =-∈，，则（）A ．()f x 在()0+∞，上单调递增 B ．存在a R ∈，使得函数()xf x y a =为奇函数C ．函数()()g x f x x =+有且仅有2个零点D ．任意x ∈R ，()1f x >-【答案】ABD【解析】A ：()33222ln 3ln ln 3ln 22x xxxf x ⎡⎤⎛⎫'=-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦因为()0x ∈+∞，，所以21x>，312x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，因此3ln 3ln 3ln 22x⎛⎫>> ⎪⎝⎭，故()0f x '>，所以()f x 在()0+∞，上单调递增，故A 正确；B：令a =xxy =-⎝⎭，令()xxg x =-⎝⎭，定义域为R ，关于原点对称，且()()xxxxg g x x ---=-=⎝⎭⎝⎭-=-，故()g x 为奇函数，B 正确 C ： 0x =时，()0g x =，0x >时，()32102x xg x ⎡⎤⎛⎫=->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，0x <时，()30212xx g x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎢⎣=⎝⎥⎦<⎭，所以()g x 只有1个零点，C 错误；D ：0x >时，()0f x >；0x =时，()0f x =；0x <时，()21xf x >->-；D 正确；故选：ABD35．（2022·江苏·常州市第一中学高三开学考试）已知数列{}n a 满足1111,n n n na a a a a +==+，则（） A ．1n a +≥2n aB ．1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列C ．{1n a +-4n a }是递增数列D ．222n a n n ≥-+。

2023年新高考数学选填压轴题汇编(三)(解析版)

2023年新高考地区数学选填压轴题汇编(三)一、单选题1.(2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测)已知双曲线C 1：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 与抛物线C 2：y 2=2px p >0 有公共焦点F ，过F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ，延长FA 与抛物线C 2相交于点B ，若点A 为线段FB 的中点，双曲线C 1的离心率为e ，则e 2=( )A.3+12B.5+12C.5+13D.5+23【答案】B 【解析】根据题意，作图如下：因为双曲线C 1和抛物线C 2共焦点，故可得a 2+b 2=p 24，又F c ,0 到y =b a x 的距离d =bca 2+b 2=b ，即AF =b ，又A 为BF 中点，则BF =2b ，设点B x ,y ，则2b =x +p 2，解得x =2b -p 2；由a 2+b 2=p 24可得OA =a ，则由等面积可知：12×BF ×OA =12×OF ×y ，解得y =4abp，则B 2b -p 2,4abp ，则x A =b ,y A =2ab p ，又点A 在渐近线y =b a x 上，即b 2a =2abp，即2a 2=pb ，又p 2=4a 2+4b 2，联立得a 4-a 2b 2-b 4=0，即b 2a 2-a 2b 2+1=0，解得b 2a2=5-12，故e 2=1+b 2a2=5+12.故选：B .2.(2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若对任意的x 1，x 2∈0，+∞) ，且x 1≠x 2，都有x 1f x 1 -x 2f x 2x 1-x 2<0成立，则不等式mf m -2m -1 f 2m -1 >0的解集为( )A.13，1 B.(-∞，1)C.1,∞D.-∞,13∪1,+∞ 【答案】D【解析】∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数∴g x =xf x 为定义在R 上的偶函数又∵x 1f x 1 -x 2f x 2 x 1-x 2<0∴g x =xf x 在0，+∞) 上递减，则g x 在-∞,0 上递增mf m -2m -1 f 2m -1 >0即mf m >2m -1 f 2m -1则m <2m -1 解得：m ∈-∞,13∪1,+∞ ．故选：D ．3.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了公式sin x =x -x 33!+x 55!-x 77!+⋯+-1 n -1x 2n -12n -1 !+⋯，(其中x ∈R ，n ∈N *，n !=1×2×3×⋯×n ⋅0!=1)，现用上述公式求1-12!+14!-16!+⋯+-1 n -112n -2 !+⋯的值，下列选项中与该值最接近的是( )A.sin30∘ B.sin33∘ C.sin36∘ D.sin39∘【答案】B【解析】(sin x )=cos x =1-x 22!+x 44!-x 66!+⋯+-1 n -1x 2n -22n -2 !+⋯所以cos1=1-12!+14!-16!+⋯+(-1)n -11(2n -2)!+⋯=sin π2-1=sin 90∘-180∘π ，由于90∘-180∘π 与33∘最接近，故选：B 4.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)某旅游景区有如图所示A 至H 共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为( )A.288B.336C.576D.1680【答案】B【解析】解:第一步:排白车,第一行选一个位置,则第二行有三个位置可选,由于车是不相同的,故白车的停法有4×3×2=24种,第二步,排黑车,若白车选AF ,则黑车有BE ,BG ,BH ,CE ,CH ,DE ,DG 共7种选择,黑车是不相同的,故黑车的停法有2×7=14种，根据分步计数原理,共有24×14=336种,故选：B5.(2022·山东·模拟预测)已知函数f (x )=xe x -2a (ln x +x )有两个零点，则a 的最小整数值为( )A.0 B.1C.2D.3【答案】C【解析】f (x )=xe x -2a (ln x +x )=e x +ln x -2a (ln x +x )，设t =x +ln x (x >0)，t =1+1x>0，即函数在0,+∞ 上单调递增，易得t ∈R ，于是问题等价于函数g t =e t -2at 在R 上有两个零点，g t =e t -2a ，若a ≤0，则g t >0，函数g t 在R 上单调递增，至多有1个零点，不合题意，舍去；若a >0，则x ∈-∞,ln2a 时，g t <0，g t 单调递减，x ∈ln2a ,+∞ 时，g t >0，g t 单调递增.因为函数g t 在R 上有两个零点，所以g t min =g ln2a =2a 1-ln2a <0⇒a >e2，而g 0 =1>0，限定t >1 ，记φt =e t -t ，φ t =e t -1>0，即φt 在1,+∞ 上单调递增，于是φt =e t -t >φ1 =试卷第1页，共3页e -1>0⇒e t>t ，则t >2时，e t2>t 2⇒e t>t 24，此时g t >t 24-2at =t 4t -8a ，因为a >e 2，所以8a>4e >1，于是t >8a 时，g t >0.综上：当a >e2时，有两个交点，a 的最小整数值为2.故选：C .6.(2022·山东·模拟预测)已知函数f (x )=A sin (ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)为偶函数，在0,π3单调递减，且在该区间上没有零点，则ω的取值范围为( )A.32,2 B.1,32C.32,52D.0,32【答案】D【解析】因为函数为偶函数，且在0,π3 单调递减，所以φ=π2+k πk ∈Z ，而0<φ<π，则φ=π2，于是f (x )=A cos ωx (ω>0)，函数在0,π3 单调递减，且在该区间上没有零点，所以0<π3ω≤π2⇒ω∈0,32 .故选：D .7.(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)直线x -y +1=0经过椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左焦点F ，交椭圆于A 、B 两点，交y 轴于C 点，若FC=2AC ，则该椭圆的离心率是( )A.10-22B.3-12C.22-2D.2-1【答案】A【解析】由题意可知，点F -c ,0 在直线x -y +1=0上，即1-c =0，可得c =1，直线x -y +1=0交y 轴于点C 0,1 ，设点A m ,n ，FC=1,1 ，AC =-m ,1-n ，由FC =2AC 可得-2m =121-n =1 ，解得m =-12n =12，椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点为E 1,0 ，则AE =1+12 2+0-12 2=102，又AF =-1+12 2+0-12 2=22，∴2a =AE +AF =10+22，因此，该椭圆的离心率为e =2c 2a =210+22=410+2=410-2 8=10-22.故选：A .8.(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)已知△OAB ，OA =1，OB =2，OA ⋅OB=-1，过点O 作OD 垂直AB 于点D ，点E 满足OE =12ED ，则EO ⋅EA的值为( )A.-328B.-121C.-29D.-221【答案】D【解析】由题意，作出图形，如图，∵OA =1，OB =2，OA ⋅OB=-1∴OA ⋅OB =1×2cos ∠AOB =2cos ∠AOB =-1，∴cos ∠AOB =-12，由∠AOB ∈0,π 可得∠AOB =2π3，∴AB =OA 2+OB 2-2⋅OA ⋅OB ⋅cos ∠AOB =7，又S △AOB =12⋅OA ⋅OB ⋅sin ∠AOB =12⋅OD ⋅AB =32，则OD =37，∴EO ⋅EA =-OE ⋅ED +DA =-2OE 2=-29⋅OD 2=-29×37=-221.故选：D ．9.(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)若函数f x =e x -2x 图象在点x 0,f x 0 处的切线方程为y =kx +b ，则k -b 的最小值为( )A.-2 B.-2+1eC.-1eD.-2-1e【答案】D【解析】由f x =e x -2x 求导得：f (x )=e x -2，于是得f (x 0)=e x 0-2，函数f (x )=e x -2x 图象在点(x 0,f (x 0))处的切线方程为y -(e x 0-2x 0)=(e x 0-2)(x -x 0)，整理得：y =(e x 0-2)x +(1-x 0)e x 0，从而得k =e x 0-2,b =(1-x 0)e x 0，k -b =x 0e x 0-2，令g (x )=xe x -2，则g (x )=(x +1)e x ，当x <-1时，g (x )<0，当x >-1时，g (x )>0，于是得g (x )在(-∞,-1)上单调递减，在(-1,+∞)上单调递增，则g (x )min =g (-1)=-2-1e，所以k -b 的最小值为-2-1e.故选：D10.(2023·江苏·南京市第一中学模拟预测)已知定义域是R 的函数f x 满足：∀x ∈R ，f 4+x +f -x =0，f 1+x 为偶函数，f 1 =1，则f 2023 =( )A.1 B.-1C.2D.-3【答案】B【解析】因为f 1+x 为偶函数，所以f x 的图象关于直线x =1对称，所以f 2-x =f x ，又由f 4+x +f -x =0，得f 4+x =-f -x ，所以f 8+x =-f -4-x =-f 6+x ，所以f x +2 =-f x ，所以f x +4 =f x ，故f x 的周期为4，所以f 2023 =f 3 =-f 1 =-1．故选:B ．11.(2022·湖南·长沙一中高三阶段练习)蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的，从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是109∘28 ，这样的设计含有深刻的数学原理.我著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构，著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》一书.用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在六棱柱ABCDEF -A B C D E F 的三个顶点试卷第1页，共3页A ,C ,E 处分别用平面BFM ，平面BDO ，平面DFN 截掉三个相等的三棱锥M -ABF ,O -BCD ,N -DEF ，平面BFM ，平面BDO ，平面DFN 交于点P ，就形成了蜂巢的结构.如图，设平面PBOD 与正六边形底面所成的二面角的大小为θ，则( )A.tan θ=33tan54∘44 B.sin θ=33tan54∘44 C.cos θ=33tan54∘44D.tan θ=3tan54∘44 【答案】C【解析】先证明一个结论：如图，△ABC 在平面α内的射影为△ABC ，C -AB -C 的平面角为θ,θ∈0,π2 ，则cos θ=S △ABCS △ABC.证明：如图，在平面β内作CE ⊥AB ，垂足为E ，连接EC ，因为△ABC 在平面α内的射影为△ABC ，故CC ⊥α，因为AB ⊂α，故CC ⊥AB ，因为CE ∩AB =E ，故AB ⊥平面ECC .因为EC ⊂平面ECC ，故C E ⊥AB ，所以∠CEC 为二面角的平面角，所以∠CEC =θ.在直角三角形CEC 中，cos ∠CEC =cos θ=ECEC=S △ABCS △ABC .由题设中的第二图可得：cos θ=S △DBCS △DBO.设正六边形的边长为a ，则S △DBC =12a 2×32=34a 2，如图，在△DBO 中，取BD 的中点为W ，连接OW ，则OW ⊥BD ，且BD =3a ，∠BOD =109°28 ，故OW =32a ×1tan54°44，故S △DBO =12×3a ×32a ×1tan54°44 =34a 2×1tan54°44 ，故cos θ=33tan54°44 .故选：C .12.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)已知2021ln a =a +m ，2021ln b =b +m ，其中a ≠b ，若ab <λ恒成立，则实数λ的取值范围为( )A.2021e 2,+∞ B.20212,+∞C.20212,+∞D.2021e 2,+∞【答案】C【解析】令f (x )=ln x -12021x ，则f (x )=1x -12021=2021-x2021x，∴当x ∈(0,2021)时，f (x )>0，当x ∈(2021,+∞)时，f (x )<0，∵f (2021)>0，∴设0<a <20211)，两式相减，得2021ln b a =b -a ，则2021ln t =a (t -1)，∴a =2021ln t t -1，b =at =2021t ln tt -1，∴ab =20212⋅t (ln t )2(t -1)2，令g (t )=t (ln t )2-(t -1)2，∴g (t )=(ln t )2+2ln t -2t +2，令h (t )=(ln t )2+2ln t -2t +2，则h (t )=2t(ln t +1-t )，令m (t )=ln t +1-t ，则m (t )=1t-1<0，∴函数m (t )在(1,+∞)上单调递减，∴m (t )<m (1)=0,即h (t )<0,∴h (t )<h 1 =0，∴g (t )<0，∴函数g (t )在(1,+∞)上单调递减，∴g (t )<g 1 =0，∴t (ln t )2-(t -1)2<0，∴t (ln t )2(t -1)2<1，∴ab <20212，∴实数λ的取值范围为20212,+∞ ，故选：C ．13.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)己知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A =AB ，F 1B ⋅F 2B=0，则C 的离心率为( )A.2B.5C.3+1D.5+1【答案】A 【解析】如下图示，因为F 1A =AB ，F 1B⋅F 2B =0，O 是F 1F 2中点，所以A 是F 1B 中点且F 1B ⊥F 2B ，则OA ⊥F 1B ，OF 1=OB =c ，因为直线OA 是双曲线x 2a 2-y 2b2=1的渐近线，所以k OA =-b a ，k F 1B =a b ，直线F 1B 的方程为y =ab (x +c )，联立y =a b (x +c )y =b ax，解得B a 2c b 2-a 2,abc b 2-a 2 ，则|OB |2=a 4c 2b 2-a 2 2+试卷第1页，共3页a 2b 2c 2b 2-a 22=c 2，整理得b 2=3a 2，因为c 2-a 2=b 2，所以4a 2=c 2，e =ca=2.故选：A14.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)已知函数f x =cos 2ωx 2+32sin ωx -12ω>0,x ∈R .若函数f x 在区间π,2π 内没有零点，则ω的取值范围是A.0,512 B.0,512 ∪56,1112 C.0,56D.0,512 ∪56,1112【答案】D【解析】 (1)ωπ+π6,2ωπ+π6 ⊆(2k π,2k π+π),k ∈Z ，则{ωx +π6≥2k π2ωπ+π6≤2k π+π ，则{ω≥2k -16ω≤k +512，取k =0 ，∵ω>0, ∴0<k ≤512；(2)ωπ+π6,2ωπ+π6 ⊆(2k π+π,2k π+2π),k ∈Z ，则{ωπ+π6≥2k π+π2ωπ+π6≤2k π+2π ，解得：{ω≥2k +56ω≤k +1112，取k=0 ，∴56≤k ≤1112；综上可知：k 的取值范围是0,512 ∪56,1112，选D .15.(2022·湖南·高三开学考试)已知a =2,b =513,c =(2+e )1e ，则a ,b ,c 的大小关系为( )A.b <c <aB.c 0)，则fx =x x +2-ln 2+xx 2，令g x =x x +2-ln 2+x ,(x >0)，则g x =-x(x +2)2<0，所以g x 在0,+∞ 上单调递减，g x <g 0 =0，所以f x <0恒成立，所以f x 在0,+∞ 上单调递减，因为2<e <3，所以f 2 >f e >f 3 ，即12ln 2+2 >1e ln 2+e >13ln 2+3 ，所以ln (2+2)12>ln (2+e )1e>ln (2+3)13，所以412>(2+e )1e>513，即b <c <a .故选：A .16.(2022·湖北·高三开学考试)已知a ,b ,c 均为不等于1的正实数，且ln c =a ln b ,ln a =b ln c ，则a ,b ,c 的大小关系是( )A.c >a >b B.b >c >aC.a >b >cD.a >c >b【答案】D【解析】∵ln c =a ln b ,ln a =b ln c 且a 、b 、c 均为不等于1的正实数，则ln c与ln b同号，ln c与ln a同号，从而ln a、ln b、ln c同号.①若a、b、c∈0,1，则ln a、ln b、ln c均为负数，ln a=b ln c>ln c，可得a>c，ln c=a ln b>ln b，可得c>b，此时a>c>b；②若a、b、c∈1,+∞，则ln a、ln b、ln c均为正数，ln a=b ln c>ln c，可得a>c，ln c=a ln b>ln b，可得c>b，此时a>c>b.综上所述，a>c>b.故选：D.17.(2022·湖北·襄阳五中高三开学考试)设f x 是定义在R上的连续的函数f x 的导函数，f x -f x +2e x<0(e为自然对数的底数)，且f2 =4e2，则不等式f x >2xe x的解集为( )A.-2,0∪2,+∞B.e,+∞C.2,+∞D.-∞,-2∪2,+∞【答案】C【解析】设g x =f xe x-2x，则g x =f x -f xe x-2=f x -f x -2e xe x，∵f x -f x +2e x<0，∴g x >0，函数g x 在R上单调递增，又f2 =4e2，∴g2 =f2e2-4=0,由f x >2xe x，可得f xe x-2x>0，即g x >0=g2 ，又函数g x 在R上单调递增，所以x>2，即不等式f x >2xe x的解集为2,+∞.故选：C．18.(2022·湖北·襄阳五中高三开学考试)已知实数α，β满足αeα-3=1，βlnβ-1=e4，其中e是自然对数的底数，则αβ的值为( )A.e3B.2e3C.2e4D.e4【答案】D【解析】因为αeα-3=1，所以αeα=e3，所以α+lnα=3．因为βlnβ-1=e4，所以lnβ+ln lnβ-1=4．联立α+lnα-3=0lnβ-1+ln lnβ-1-3=0 ，所以α与lnβ-1是关于x的方程x+ln x-3=0的两根．构造函数f x =x+ln x-3，该函数的定义域为0,+∞，且该函数为增函数，由于fα =f lnβ-1=0，所以α=lnβ-1，又α+lnα-3=0，所以lnβ-1+lnα-3=0，即lnαβ=4，解得αβ=e4．故选：D．19.(2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试)已知F c,0(其中c>0)是双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的焦点.圆x2+y2-2cx+b2=0与双曲线的一条渐近线l交于A、B两点.已知l的倾斜角为30°.则tan∠AFB=( )A.-2B.-3C.-22D.-23试卷第1页，共3页【答案】C 【解析】如图所示：x 2+y 2-2cx +b 2=0，化为x -c 2+y 2=c 2-b 2=a 2，因为渐近线l 的倾斜角为30°，所以tan30∘=b a =33，圆心F c ,0 到直线y =bax 的距离为：d =bca1+b a2=b ，又AF =BF =a ，所以cos 12∠AFB =b a =33,sin 12∠AFB =63，则tan 12∠AFB =2，所以tan ∠AFB =2tan 12∠AFB1-tan 212∠AFB=2×21-2 2=-22，故选：C20.(2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试)设函数f x =sin x -1 +e x -1-e 1-x -x +3，则满足f x +f 3-2x <6的x 的取值范围是( )A.3,+∞ B.1,+∞ C.-∞,3 D.-∞,1【答案】B【解析】假设g x =sin x +e x -e -x -x ,x ∈R ，所以g -x =sin -x +e -x -e x +x ，所以g x +g -x =0，所以g x 为奇函数，而f x =sin x -1 +e x -1-e 1-x -x -1 +3是g x 向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，所以f x 的对称中心为1,3 ，所以6=f x +f 2-x ，由f x =sin x -1 +e x -1-e 1-x -x +4求导得f x =cos x -1 +e x -1+e 1-x -1=e x -1+1ex -1+cos x -1 -1因为e x -1+1e x -1≥2e x -1⋅1e x -1=2，当且仅当e x -1=1e x -1即x =1，取等号，所以f x ≥0,所以f x 在R 上单调递增，因为f x +f 3-2x <6=f x +f 2-x 得f 3-2x <f 2-x 所以3-2x <2-x ，解得x >1，故选：B 二、多选题21.(2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测)已知函数f x =log 2x ,(0<x <2)x 2-8x +13,x ≥2，若f x =a 有四个不同的实数解x 1，x 2，x 3，x 4，且满足x 1<x 2<x 3<x 4，则下列命题正确的是( )A.0<a <1B.x 1+2x 2∈22,92C.x 1+x 2+x 3+x 4∈10,212D.2x 1+x 2∈22,3【答案】ACD【解析】在同一坐标系中作出函数y =f x ,y =a 的图象，如图所示：由图象知：若f x =a 有四个不同的实数解，则0<a <1，故A 正确；因为log 2x 1 =log 2x 2 ，即-log 2x 1=log 2x 2，则1x 1=x 2，所以x 1+2x 2=1x 2+2x 2,1<x 2<2，因为y =1x 2+2x 2在1,2 上递增，所以1x 2+2x 2∈3,92，故B 错误；因为x 1+x 2=1x 2+x 2,1<x 2<2，y =1x 2+x 2在1,2 上递增，所以1x 2+x 2∈2,52，而x 3+x 4=8，所以x 1+x 2+x 3+x 4∈10,212 ，故C 正确；因为2x 1+x 2=2x 2+x 2,1<x 2<2，y =1x 2+2x 2在1,2 上递减，在2,2 上递增，则2x 2+x 2∈[22,3)，故D 正确；故选：ACD22.(2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测)如图，点P 是棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的表面上一个动点，则( )A.当P 在平面BCC 1B 1上运动时，四棱锥P -AA 1D 1D 的体积不变B.当P 在线段AC 上运动时，D 1P 与A 1C 1所成角的取值范围是π3，π2C.使直线AP 与平面ABCD 所成的角为45°的点P 的轨迹长度为π+42D.若F 是A 1B 1的中点，当P 在底面ABCD 上运动，且满足PF ⎳平面B 1CD 1时，PF 长度的最小值是5【答案】ABC【解析】A 选项，底面正方形AA 1D 1D 的面积不变，P 到平面AA 1D 1D 的距离为正方体棱长，故四棱锥P -AA 1D 1D 的体积不变，A 选项正确；B 选项，D 1P 与A 1C 1所成角即D 1P 与A C 所成角，当P 在端点A ，C 时，所成角最小，为π3，当P 在AC 中点时，所成角最大，为π2，故B 选项正确；C 选项，由于P 在正方体表面，P 的轨迹为对角线AB 1，AD 1，以及以A 1为圆心2为半径的14圆弧如图，试卷第1页，共3页故P 的轨迹长度为π+42，C 正确；D 选项，FP 所在的平面为如图所示正六边形，故FP 的最小值为6，D 选项错误.故选：ABC .23.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)已知正数x ，y ，z 满足3x =4y =12z ，则( )A.1x +1y =1zB.6z <3x <4yC.xy <4z 2D.x +y >4z【答案】ABD【解析】设3x =4y =12z =t ，t >1，则x =log 3t ，y =log 4t ，z =log 12t ，所以1x +1y =1log 3t +1log 4t =log t 3+log t 4=log t 12=1z，A 正确；因为6z3x =2log 12t log 3t =2log t 3log t 12=log 129<1，则6z <3x ，因为3x4y =3log 3t 4log 4t =3log t 44log t 3=log t 64log t 81=log 8164<1，则3x <4y ，所以6z <3x <4y ，B 正确；因为x +y -4z =log 3t +log 4t -4log 12t =1log t 3+1log t 4-4log t 12=log t 3+log t 4log t 3log t 4-4log t 3+log t 4=log t 3-log t 42log t 3log t 4log t 3+log t 4 >0，则x +y >4z ，D 正确.因为1z =1x +1y =x +y xy ，则xy z =x +y >4z ，所以xy >4z 2，C 错误.故选：ABD .24.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y =[x ]称为高斯函数，例如[-2.1]=-3，[2.1]=2.则下列说法正确的是( )A.函数y =x -[x ]在区间[k ,k +1)(k ∈Z )上单调递增B.若函数f (x )=sin xe x -e -x，则y =[f (x )]的值域为{0}C.若函数f (x )=|1+sin2x -1-sin2x |，则y =[f (x )]的值域为{0,1}D.x ∈R ，x ≥[x ]+1【答案】AC【解析】对于A ，x ∈[k ,k +1)，k ∈Z ，有[x ]=k ，则函数y =x -[x ]=x -k 在[k ,k +1)上单调递增，A 正确；对于B ，f 3π2=sin 3π2e 3π2-e -3π2=-1e 3π2-e-3π2∈(-1,0)，则f 3π2=-1，B 不正确；对于C ，f (x )=(1+sin2x -1-sin2x )2=2-21-sin 22x =2-2|cos2x |，当0≤|cos2x |≤12时，1≤2-2|cos2x |≤2，1≤f (x )≤2，有[f (x )]=1，当12<|cos2x |≤1时，0≤2-2|cos2x |<1，0≤f (x )<1，有[f (x )]=0，y =[f (x )]的值域为{0,1}，C 正确；对于D ，当x =2时，[x ]+1=3，有2<[2]+1，D 不正确.故选：AC25.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设f (x )是定义在R 上的函数，对于x ∈R ，令x n =f (x n -1)(n =1，2，3，⋯)，若存在正整数k 使得x k =x 0，且当0<j <k 时，x j ≠x 0，则称x 0是f (x )的一个周期为k 的周期点.若f (x )=2x ，x <122(1-x )，x ≥12，下列各值是f (x )周期为1的周期点的有( )A.0 B.13 C.23D.1【答案】AC【解析】A ：x 0=0时，x 1=f 0 =0，周期为1，故A 正确；B ：x 0=13时，x 1=f 13 =23，x 2=f 23 =23，x 3=⋯=x n =23，所以13不是f x 的周期点.故B 错误；C ：x 0=23时，x 1=x 2=⋯=x n =23，周期为1，故C 正确；D ：x 0=1时，x 1=f 1 =0，∴1不是f x 周期为1的周期点，故D 错误.故选：AC .26.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)在数列a n 中，对于任意的n ∈N *都有a n >0，且a 2n +1-a n +1=a n ，则下列结论正确的是( )A.对于任意的n ≥2，都有a n >1B.对于任意的a 1>0，数列a n 不可能为常数列C.若0<a 1<2，则数列a n 为递增数列D.若a 1>2，则当n ≥2时，2<a n <a 1【答案】ACD 【解析】A ：由a n +1=a n a n +1+1，对∀n ∈N *有a n >0，则a n +1=an a n +1+1>1，即任意n ≥2都有a n >1，正确；B ：由a n +1(a n +1-1)=a n ，若a n 为常数列且a n >0，则a n =2满足a 1>0，错误；C ：由an a n +1=a n +1-1且n ∈N *，当1<a n +1<2时0<an a n +1<1，此时a 1=a 2(a 2-1)∈(0,2)且a 1<a 2，数列a n 递增；当a n +1>2时an a n +1>1，此时a 1=a 2(a 2-1)>a 2>2，数列a n 递减；所以0<a 1<2时数列a n 为递增数列，正确；试卷第1页，共3页D：由C分析知：a1>2时a n+1>2且数列a n递减，即n≥2时2<a n<a1，正确.故选：ACD27.(2022·山东·模拟预测)已知点P在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的表面上运动，点Q是CD的中点，点P满足PQ⊥AC1，下列结论正确的是( )A.点P的轨迹的周长为32B.点P的轨迹的周长为62C.三棱锥P-BCQ的体积的最大值为43D.三棱锥P-BCQ的体积的最大值为23【答案】BD【解析】取BC的中点为E，取BB1的中点为F，取A1B1的中点为G，取A1D1的中点为H，取DD1的中点为M，分别连接QE,EF,FG,GH,HM,MQ，由AC1⊥QE,AC1⊥EF，且QE∩EF=E，所以AC1⊥平面EFGHMQ，由题意可得P的轨迹为正六边形EFGHMQ，其中|QE|=|EF|=2，所以点P的轨迹的周长为62，所以A不正确，B正确；当点P在线段HG上运动时，此时点P到平面BCQ的距离取得最大值，此时V P-BCQ有最大值，最大值为V max=13×12×2×1×2=23，所以C不正确，D正确．故选：BD28.(2022·山东·模拟预测)正弦信号是频率成分最为单一的一种信号，因这种信号的波形是数学上的正弦曲线而得名，很多复杂的信号都可以通过多个正弦信号叠加得到，因而正弦信号在实际中作为典型信号或测试信号而获得广泛应用已知某个声音信号的波形可表示为f(x)=2sin x+sin2x，则下列叙述不正确的是( )A.f(x)在[0,2π)内有5个零点B.f(x)的最大值为3C.(2π,0)是f(x)的一个对称中心D.当x∈0,π2时，f(x)单调递增【答案】ABD【解析】对于A，由f(x)=2sin x+sin2x=2sin x(1+cos x)，令f(x)=0，则sin x=0或cos x=-1，易知f(x)在[0,2π)上有2个零点，A错误．对于B，因为2sin x≤2,sin2x≤1，由于等号不能同时成立，所以f(x)<3，B错误．对于C，易知f(x)为奇函数，函数关于原点对称，又周期为2π，故(2π,0)是f(x)的一个对称中心．对于D，f (x)=2cos x+2cos2x=2(2cos x-1)(cos x+1)，因为cos x+1≥0，所以2cos x-1>0时，即：x∈2kπ-π3,2kπ+π3(k∈Z)时，f(x)单调递增，x∈2kπ+π3,2kπ+5π3(k∈Z)时，f(x)单调递减，故D错误．故选：ABD29.(2022·山东·模拟预测)已知函数f(x)=e x,x≥0-x2-4x,x<0，方程f2(x)-t⋅f(x)=0有四个实数根x1,x2,x3,x4，且满足x1<x2<x3<x4，下列说法正确的是( )A.x1x4∈(-6ln2,0]B.x1+x2+x3+x4的取值范围为[-8,-8+2ln2)C.t的取值范围为[1,4)D.x2x3的最大值为4【答案】BC【解析】f2(x)-t⋅f(x)=0⇒f(x)[f(x)-t]=0⇒f(x)=0或f(x)=t，作出y=f(x)的图象，当f(x)=0时，x1=-4，有一个实根；当t=1时，有三个实数根，∴共四个实根，满足题意；当t=4时，f(x)=t只有两个实数根，所以共三个实根，不满足题意，此时与y=e x的交点坐标为(2ln2,4).要使原方程有四个实根，等价于f(x)=t有三个实根，等价于y=f(x)与y=t图像有三个交点，故t∈[1,4)，x4∈[0,2ln2)，所以x1x4∈(-8ln2,0]，故A错误，C正确；又因为x2+x3=-4，所以x1+x2+x3+x4=-8+x4的取值范围为[-8,-8+2ln2))，B正确；因为x2+x3=-4,x2<x3<0，所以x2x3=-x2⋅-x3<-x2+x322=4，故D错误．故选：BC.30.(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线C：y=x2上两个不同点A,B横坐标分别为x1，x2，以A,B为切点的切线交于P点.则关于阿基米德三角形PAB的说法正确的有( )A.若AB过抛物线的焦点，则P点一定在抛物线的准线上B.若阿基米德三角形PAB为正三角形，则其面积为334C.若阿基米德三角形PAB为直角三角形，则其面积有最小值14D.一般情况下，阿基米德三角形PAB的面积S=|x1-x2|24【答案】ABC【解析】由题意可知：直线AB一定存在斜率，所以设直线AB的方程为：y=kx+m，由题意可知：点A(x1,x21),B(x2,x22)，不妨设x1<0<x2，由y=x2⇒y =2x，所以直线切线PA,PB的方程分别为：y-x21=2x1(x-x1),y-x22=2x2(x-x2)，两方程联立得：y-x21=2x1(x-x1) y-x22=2x2(x-x2)，解得：x=x1+x22 y=x1x2，所以P点坐标为：x1+x22,x1x2，试卷第1页，共3页直线AB 的方程与抛物线方程联立得：y =kx +m y =x 2⇒x 2-kx -m =0⇒x 1+x 2=k ,x 1x 2=-m .A ：抛物线C ：y =x 2的焦点坐标为0,14 ，准线方程为 y =-14，因为AB 过抛物线的焦点，所以m =14，而x 1x 2=-m =-14，显然P 点一定在抛物线的准线上，故本选项说法正确；B ：因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有|PA |=|PB |，即x 1+x 22-x 1 2+(x 1x 2-x 21)2=x 1+x 22-x 2 2+(x 1x 2-x 22)2，因为 x 1≠x 2，所以化简得：x 1=-x 2，此时A (x 1,x 21),B (-x 1,x 21)， P 点坐标为：(0,-x 21)，因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有|PA |=|AB |，所以(0-x 1)2+(-x 21-x 21)2=-2x 1⇒x 1=-32，因此正三角形PAB 的边长为3，所以正三角形PAB 的面积为12×3×3⋅sin60°=12×3×3×32=334，故本选项说法正确；C ：阿基米德三角形PAB 为直角三角形，当PA ⊥PB 时，所以k PA ⋅k PB =-1⇒x 1+x 22-x 1x 1x 2-x 21⋅x 1+x 22-x 2x 1x 2-x 22=-1⇒x 1x 2=-14，直线AB 的方程为：y =kx +14所以P 点坐标为：k 2,-14 ，点 P 到直线AB 的距离为：k 2⋅k +-14 ×(-1)+14 k 2+(-1)2=12k 2+1，|AB |=(x 1-x 2)2+(x 21-x 22)2=(x 1-x 2)2[1+(x 1+x 2)2]=[(x 1+x 2)2-4x 1x 2][1+(x 1+x 2)2]，因为x 1+x 2=k ,x 1x 2=-14，所以 AB =(k 2+1)(1+k 2)=1+k 2，因此直角PAB 的面积为：12×12⋅k 2+1⋅(k 2+1)=14(k 2+1)3≥14，当且仅当k =0时，取等号，显然其面积有最小值14，故本说法正确；D ：因为x 1+x 2=k ,x 1x 2=-m ，所以|AB |=(x 1-x 2)2+(x 21-x 22)2=(x 1-x 2)2[1+(x 1+x 2)2]=x 1-x 2 k 2+1，点P 到直线AB 的距离为：x 1+x 22⋅k +(-1)⋅x 1⋅x 2+m k 2+(-1)2=x 1+x 22⋅(x 1+x 2)+(-1)⋅x 1⋅x 2-(x 1x 2)k 2+(-1)2=12⋅(x 1-x 2)2k 2+1,所以阿基米德三角形PAB 的面积S =12⋅x 1-x 2 ⋅k 2+1⋅12⋅(x 1-x 2)2k 2+1=x 1-x 2 34，故本选项说法不正确.故选：ABC31.(2023·江苏·南京市第一中学模拟预测)已知函数f (x )=x ln x ，若0<x 1<x 2，则下列结论正确的是( )A.x 2f x 1 <x 1f x 2B.x 1+f x 1 <x 2+f x 2C.f x 1 -f x 2 x 1-x 2<0D.当ln x >-1时，x 1f x 1 +x 2f x 2 >2x 2f x 1 【答案】AD【解析】对于A 选项，因为令g x =f (x )x=ln x ，在0,+∞ 上是增函数，所以当0<x 1<x 2时，g x 1 <g x 2 ，所以f (x 1)x 1<f (x 2)x 2，即x 2f x 1 <x 1f x 2 ．故A 选项正确；对于B 选项，因为令g x =f x +x =x ln x +x ，所以g ′x =ln x +2，所以x ∈e -2,+∞ 时，g ′x >0,g x 单调递增，x ∈0,e -2 时，g ′x <0,g x 单调递减．所以x 1+f x 1 与x 2+f x 2 无法比较大小．故B 选项错误；对于C 选项，令f ′x =ln x +1，所以x ∈0,1e时，f ′x <0,f x 在0,1e 单调递减，x ∈1e ,+∞ 时，f ′x >0,f x 在1e ,+∞ 单调递增，所以当0<x 1<x 2<1e 时，f x 1 >f x 2 ，故f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0成立，当1e <x 1<x 2时，f x 1 <f x 2 ，f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0．故C 选项错误；对于D 选项，由C 选项知，当ln x >-1时，f x 单调递增，又因为A 正确，x 2f x 1 <x 1f x 2 成立，所以x 1⋅f x 1 +x 2⋅f x 2 -2x 2f x 1 >x 1⋅f x 1 +x 2⋅f x 2 -x 2f x 1 -x 1f x 2 =x 1f x 1 -f x 2 +x 2f x 2 -f x 1 =x 1-x 2 f x 1 -f x 2 >0,故D 选项正确.故选：AD ．32.(2023·江苏·南京市第一中学模拟预测)已知a ，b 为正实数，且ab =32a +b -42，则2a +b 的取值可以为( )A.1 B.4C.9D.32【答案】BD【解析】因为a ，b 为正实数，ab =32a +b -42，所以32a +b -42=ab =2ab 2≤2a +b22，当且仅当2a =b 时等号成立，即32a +b -42≤2a +b22，所以2a +b -622a +b +16≥0，所以2a +b ≥42或2a +b ≤22，因为a ，b 为正实数，ab =32a +b -42，所以32a +b -42>0，所以2a +b ≥42或423<2a +b ≤22．所以2a +b ≥32或329<2a +b ≤8．故选：BD ．33.(2023·江苏·南京市第一中学模拟预测)下列不等式正确的是( )A.log 23<log 49B.log 23<lg15C.log 812>log 1215D.log 812>log 636【答案】CD【解析】选项A ：log 23=log 2232=log 49，故不正确；设f x =log 2x 3x (x ≥1)，因为x ≥1，所以f x =ln 3x ln 2x=3ln 2x 3x -2ln 3x2x ln 22x=试卷第1页，共3页ln 2x -ln 3xx ln 22x <0，所以f x 在[1,+∞)上单调递减，所以选项B ：f 1 =log 23>log 1015=lg15=f 5 ，故不正确；选项C ：f 4 =log 812>f 5 =log 1015>log 1215，故正确；选项D ：f 4 =log 812>f 18 =log 3654=log 636，故正确，故选:CD ．34.(2022·湖南·长沙一中高三阶段练习)已知函数f (x )=x ln (1+x )，则( )A.f (x )在(0,+∞)单调递增B.f (x )有两个零点C.曲线y =f (x )在点-12,f -12处切线的斜率为-1-ln2D.f (x )是偶函数【答案】AC【解析】由f (x )=x ln (1+x )知函数的定义域为(-1,+∞)，f (x )=ln (1+x )+x1+x，当x ∈(0,+∞)时，ln (1+x )>0,x1+x>0，∴f (x )>0，故f (x )在(0,+∞)单调递增，A 正确；由f (0)=0，当-1<x <0时，ln (1+x )<0,f (x )=x ln (1+x )>0，当ln (1+x )>0,f (x )>0，所以f (x )只有0一个零点，B 错误；令x =-12，f -12 =ln 12-1=-ln2-1，故曲线y =f (x )在点-12,f -12 处切线的斜率为-1-ln2，C 正确；由函数的定义域为(-1,+∞)，不关于原点对称知，f (x )不是偶函数，D 错误.故选：AC35.(2022·湖南·长沙一中高三阶段练习)已知函数f x =x ln x ,x >00,x =012f x +1 ,x <0，则下列说法正确的有( )A.当x ∈-3,-2 时，f x =18x +3 ln x +3B.若不等式f x -mx -m <0至少有3个正整数解，则m >ln3C.过点A -e -2,0 作函数y =f x x >0 图象的切线有且只有一条D.设实数a >0，若对任意的x ≥e ，不等式f x ≥a x e ax 恒成立，则a 的最大值是e【答案】ACD【解析】对于A ：当x ∈-3,-2 ，∴x +3∈0,1 ，f x +3 =x +3 ln x +3 ，∵f x =18f x +3 ，∴f x =18x +3 ln x +3 ，A 正确；对于B ：f x <mx +m ，画出y 1=f x 与y 2=mx +m 的图象，根据函数的图象，要想至少有3个正整数解，要满足f 3 <3m +m ，∴m >34ln3，故B 错；对于C ：设切点T x 0,y 0 则k AT =f x 0 ，∴x 0ln x 0x 0+1e2=ln x 0+1，即e 2x 0+ln x 0+1=0，设h x =e 2x +ln x +1，当x >0时，h x >0，∴h x 是单调递增函数，∴h x =0最多只有一个根，又h 1e 2 =e 2⋅1e 2+ln 1e2+1=0，∴x 0=1e 2，由f x 0 =-1得切线方程是x +y +1e2=0，故C 正确；对于D .：由题意e ln x ⋅ln x ≥a xe ax .设g x =x ⋅e x x >0 ，则g x =x +1 e x >0，于是g x 在0,+∞ 上是增函数.因为a x >0，ln x >0，所以ax≤ln x ，即a ≤x ln x 对任意的x ≥e 恒成立，因此只需a ≤x ln x min .设f x =x ln x x ≥e ，f x =ln x +1>0x ≥e ，所以f x 在e ,+∞ 上为增函数，所以f x min =f (e )=e ，所以a ≤e ，即a 的最大值是e ，选项D 正确；故选：ACD .36.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线C :y 2=2px (p >0)，O 为坐标原点，一条平行于x 轴的光线l 1从点M (5,2)射入，经过C 上的点A 反射后，再经C 上另一点B 反射后，沿直线l 2射出，经过点N ．下列说法正确的是( )A.若p =2，则|AB |=4 B.若p =2，则MB 平分∠ABN C.若p =4，则|AB |=8D.若p =4，延长AO 交直线x =-2于点D ，则D ，B ，N 三点共线【答案】ABD【解析】若p =2，则抛物线C :y 2=4x ，A (1,2)，C 的焦点为F (1,0)，直线AF 的方程为：x =1，可得B (1,-2)，|AB |=4，选项A 正确；p =2时，因为|AM |=5-1=4=|AB |，所以∠A MB =∠ABM ，又AM ∥BN ，所以∠A MB =∠MB N ，所以MB 平分∠ABN ，选项B 正确；若p =4，则抛物线C :y 2=8x ，A 12，2 ，C 的焦点为F (2,0)，直线AF 的方程为y =-43(x -2)，联立抛物线方程求解可得B (8,-8)，所以|AB |=252，选项C 不正确；若p =4，则抛物线C :y 2=8x ，A 12，2，延长AO 交直线x =-2于点D ，则D (-2,-8)，由C 选项可知B试卷第1页，共3页(8,-8)，所以D，B，N三点共线，故D正确.故选：ABD．37.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)已知a>1，x1，x2，x3为函数f(x)=a x-x2的零点，x1<x2<x3，下列结论中正确的是( )A.x1>-1B.x1+x2<0C.若2x2=x1+x3，则x3x2=2+1 D.a的取值范围是1,e2e【答案】ACD【解析】∵a>1,f-1=a-1-1=1a-1<0,f0 =a0-0=1>0 ，∴-1<x1<0 ，故A正确；当0≤x≤1 时，1≤a x≤a,0≤x2≤1 ，f x 必无零点，故x2>1 ，∴x1+x2>0 ，故B错误；当2x2=x1+x3 时，即a x1=x21a x2=x22a x3=x23，两边取对数得x1=2log a-x1x2=2log a x2x3=2log a x3，4log a x2=2log a-x1+2log a x3 ，x22=-x1x3 ，联立方程x22=-x1x32x2=x1+x3解得x23-2x2x3-x22=0 ，由于x2>0,x3>0 ，x3x2=2+1 ，故C正确；考虑f x 在第一象限有两个零点：即方程a x=x2 有两个不同的解，两边取自然对数得x ln a=2ln x 有两个不同的解，设函数g x =x ln a-2ln x ，g x =ln a-2x=ln a x-2ln ax ，则x=x0=2ln a 时，g x =0 ，当x>x0 时，g x >0 ，当x<x0 时，g x <0 ，所以g min x =g x0=2-2ln2ln a，要使得g x 有两个零点，则必须g x0<0，即ln2ln a>1 ，解得a<e2e ，故D正确；故选：ACD.38.(2022·湖北·高三开学考试)关于函数f x =ae x+sin x,x∈-π,π，下列结论中正确的有( )A.当a=-1时，f x 的图象与x轴相切B.若f x 在-π,π上有且只有一个零点，则满足条件的a的值有3个C.存在a ，使得f x 存在三个极值点D.当a =1时，f x 存在唯一极小值点x 0，且-1<f x 0 <0【答案】BCD【解析】对于A ，f (x )=-e x +sin x ，f (x )=-e x +cos x =0，即e x =cos x ，由函数y =e x 、y =cos x 的图像可知方程有两个根：x 1∈-π2,0 ，x 2=0，f (x 2)=-1,f (x 1)=sin x 1-e x 1<0，即斜率为0的切线其切点不在x 轴上，故A 错误；对于B ，f (x )=0⇔a =-sin x e x ，令g (x )=-sin xex ，g (x )=sin x -cos x ex ，x ∈-π,-3π4 、x ∈π4,π ,g (x )>0,g (x )单调递增，x ∈-3π4,π4 ,g (x )单调递减，g (-π)=0,g -3π4 =22e 3π4,g π4 =-22e π4,g (π)=0，结合图像可知满足f (x )=0⇔a =-sin xex 在-π,π 上有且只有一个零点的a 的值有3个：0，22e3π4，-22e π4，故B 正确；对于C ，f (x )=ae x +cos x =0⇔a =-cos xex =h (x )，h (x )=2sin x +π4ex ，可知x ∈-π,-π4 ,h (x )<0,h (x )单调递减，x ∈-π4,3π4 ,h (x )>0,h (x )单调递增， x ∈3π4,π ,h (x )<0,h (x )单调递减，h (-π)=e π,h -π4 =-2e π42,h 3π4 =22e 3π4,h (π)=1e π，故a ∈1e π,22e 3π4时，a =-cos xe x =h (x )有三个实数根，f x 存在三个极值点，故C 正确；对于D ,f (x )=e x +cos x =0⇔e x =-cos x ,由图像可知此方程有唯一实根x 0，因为e 3π2>2，所以1e 3π2<12,1e 3π4<22，f -3π4 =1e3π4-22<0，x 0∈-3π4,-π2 ，f (x 0)=e x 0+sin x 0=sin x 0-cos x 0=2sin x 0-π4，可知-1<f (x 0)<0，故D 正确.故选：BCD .39.(2022·湖北·襄阳五中高三开学考试)已知函数f x =x x -1,x <15ln x x ,x ≥1，下列选项正确的是( )A.函数f x 的单调减区间为-∞,1 、e ,+∞B.函数f x 的值域为-∞,1C.若关于x 的方程f 2x -a f x =0有3个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是5e ,+∞ D.若关于x 的方程f 2x -a f x =0有5个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是1,5e 【答案】ACD试卷第1页，共3页【解析】对于A 选项，当x <1时，f x =x x -1，则f x =-1x -12<0，当x ≥1时，f x =5ln xx ，则f x =51-ln x x2，由f x <0可得x >e ，所以，函数f x 的单调减区间为-∞,1 、e ,+∞ ，A 对；对于B 选项，当x <1时，f x =1+1x -1<1，当x ≥1时，0≤f x =5ln x x ≤f e =5e，因此，函数f x 的值域为-∞,5e，B 错；对于CD 选项，作出函数f x 的图像如下图所示：若a ≤0，由f 2x -a f x =0可得f x =0，则方程f x =0只有两个不等的实根；若a >0，由f 2x -a f x =0可得f x =0或f x =a 或f x =-a ，由图可知，方程f x =0有2个不等的实根，方程f x =-a 只有一个实根，若关于x 的方程f 2x -a f x =0有3个不相等的实数根，则a >5e，C 对；若关于x 的方程f 2x -a f x =0有5个不相等的实数根，则1≤a <5e，D 对.故选：ACD .40.(2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试)已知函数f (x )=sin 4x +π3 +cos 4x -π6，则下列结论正确的是( )A.f (x )的最大值为2B.f (x )在-π8,π12上单调递增C.f (x )在[0,π]上有4个零点D.把f (x )的图象向右平移π12个单位长度，得到的图象关于直线x =-π8对称【答案】ACD【解析】因为f (x )=sin π2+4x -π6+cos 4x -π6 =2cos 4x -π6，所以A 正确；当x ∈-π8,π12 时，4x -π6∈-2π3,π6 ，函数f (x )=2cos 4x -π6 在-π8,π12上先增后减，无单调性，故B 不正确；令2cos 4x -π6 =0，得4x -π6=π2+k π,k ∈Z ，故x =π6+k π4,k ∈Z ，因为x ∈[0,π]，所以k =0,1,2,3，故C 正确；把f (x )=2cos 4x -π6 的图象向右平移π12个单位长度，得到y =2cos 4x -π12 -π6=。

高考数学选填压轴题练习与答案

高考数学选填压轴题练习与答案一．选择题（共25小题）1．数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝（n+1）a n+n（n+1），若b n=a n cos2nπ3，且数列{b n}的前n项和为S n，则S11＝（）A．64B．80C．﹣64D．﹣80【解答】解：数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝（n+1）a n+n（n+1），则a n+1n+1=a nn+1，可得数列{a nn}是首项为1、公差为1的等差数列，即有a nn=n，即为a n＝n2，则b n=a n cos2nπ3=n2cos2nπ3，则S11=−12（12+22+42+52+72+82+102+112）+（32+62+92）=−12（12+22﹣32﹣32+42+52﹣62﹣62﹣72+82﹣92﹣92+102+112）=−12×（5+23+41+59）＝﹣64．故选：C．2．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π2），f（π6+x）＝﹣f（π6−x），f（π2+x）＝f（π2−x），下列四个结论：①φ=π4；②ω=92+3k（k∈N）；③f（−π2）＝0；④直线x=−π3是f（x）图象的一条对称轴．其中所有正确结论的编号是（）A．①②B．①③C．②④D．③④【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π2），f（x）图象的一条对称轴是直线x=π2，所以f（π2+x）＝f（π2−x），由f （x ）的一个零点为π6，所以f （π6+x ）＝﹣f （π6−x ），整理得T 4+k ⋅T 2=π2−π6=π3，所以T =4π3(1+2k)，故ω=2πT=32+3k （k ∈Z ），故②错误；当k ＝1时，f （x ）＝sin （92x +φ），把（π6，0）代入关系式，得到sin （3π4+φ）＝0，由于0＜φ＜π2，所以φ=π4，故①正确；对于f （−π3）＝sin （92⋅π3+π4）≠±1，故④错误； f （−π2）＝sin[92⋅(−π2)+π4]＝sin （﹣2π）＝0，故③正确．故选：B ．3．已知四面体ABCD 的四个顶点都在以AB 为直径的球R 面上，且BC ＝CD ＝DB ＝2，若四面体ABCD 的体积是4√23，则这个球面的面积是（）A ．16πB ．323πC ．4πD ．763π【解答】解：由题意，几何体的直观图如图，四面体ABCD 的体积是4√23，可得O 到平面BCD 的距离为h ，13×√34×22×2ℎ=4√23，解得h =2√63，所以外接球的半径为R ＝OB ＝OD ＝OC ＝OA =(2√63)(23√32=2，所以外接球的表面积为：4π×22＝16π．故选：A ．4．已知函数f （x ）={log 2x ，x ＞114x +1，x ≤1，g （x ）＝f （x ）﹣kx ，若函数g （x ）有两个零点，则k 的取值范围是（） A ．（0，14]B ．（0，1eln2） C ．[0，1e）D ．[14，1eln2）【解答】解：函数f （x ）={log 2x ，x ＞114x +1，x ≤1，作出f （x ）的图象与y ＝kx 图象有两个交点，（如图）设y ＝kx 与y ＝log 2x 的切点为（x 0，y 0），可得{y 0=kx 0y 0=log 2x 01k =x 0ln2，解得x 0＝e ，∴相切时的斜率k =1eln2．故得f （x ）的图象与y ＝kx 图象有两个交点时，14≤k ＜1eln2．故选：D ．5．已知F 是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左焦点，椭圆E 上一点P （2，1）关于原点的对称点为Q ，若△PQF 的周长为4√2+2√5．则离心率e ＝（）A．√32B．√22C．√33D．√23【解答】解：∵P与Q关于原点对称，则Q（﹣2，﹣1），∴|PQ|＝2√12+22=2√5，又三角形PQF的周长为|QP|+|PF|+|QF|＝4√2+2√5，∴|PF|+|QF|＝4√2，设椭圆的右焦点为M，则由椭圆的性质可得|PF|＝|QM|，∴|QM|+|QF|＝2a＝4√2，得a＝2√2，将点P代入椭圆方程可得：48+1b2=1，解得b=√2，∴c=√a2−b2=√6．则离心率e=ca =√62√2=√32．故选：A．6．对于函数y＝f（x）与y＝g（x），若存在x0，使f（x0）＝g（﹣x0），则称M（x0，f（x0）），N（﹣x0，g（﹣x0））是函数f（x）与g（x）图象的一对“隐对称点”．已知函数f（x）＝m（x+1），g(x)=lnxx，函数f（x）与g（x）的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数m的取值范围为（）A．（﹣1，0）B．（﹣∞，﹣1）C．（0，1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）【解答】解：∵f（x）＝m（x+1）恒过定点（﹣1，0），f（x）关于y轴对称的图象的函数解析式为y＝﹣m（x﹣1）依题意可得，y＝﹣m（x﹣1）与g（x）=lnxx有2个交点，由g(x)=lnxx ，得g′（x）=1−lnxx2，当0＜x＜e时，h′（x）＞0，函数g（x）单调递增，当x＞e时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，而y＝﹣m（x﹣1）恒过定点（1，0），作出函数g（x）=lnxx的图象如图，当直线y＝﹣m（x﹣1）与g(x)=lnxx切于（1，0）时，由导数的几何意义可得，﹣m=1−ln112=1，则要使y ＝﹣m （x ﹣1）与g （x ）=lnx x有2个交点，则﹣m ＞0且﹣m ≠1，∴实数m 的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）．故选：D ．7．已知函数f （x ）={|xlnx|，x ＞0|x(x +1)|，x ⩽0，关于x 的方程f 2（x ）+tf （x ）+1＝0（t ∈R ）有8个不同的实数根，则t 的取值范围是（） A ．（−1e −e ，+∞） B ．（−2e ，−12）∪（﹣∞，−1e −e ）C ．（﹣∞，−174）D ．（2，+∞）∪（﹣∞，−174）【解答】解：当x ＞0时，f （x ）＝|xlnx |，令F （x ）＝xlnx ，F ′（x ）＝lnx +1，令F ′（x ）＝lnx +1＝0，解得x =1e，F （1e）=−1e，f （1e）=1e，故当x ＞0时，函数f （x ）在（0，1e ）上单调递增，在（1e ，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；当x ＜0时，可得函数f （x ）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，−12）上单调递增，在（−12，0）上单调递减．又f （−12）=14，f （1e ）=1e ，故刻画出函数f （x ）的大致图象如图：令m ＝f （x ），则已知方程可化为m 2+tm +1＝0．观察图象可知，当m ＞1e 时，只有2个交点；当m =1e 时，有3个交点；当14＜m ＜1e 时，有4个交点；当0＜m ＜14时，有6个交点．要想满足题意，则只需使得方程m 2+tm +1＝0在（14，1e ）上存在两个不同实数根，或在（1e ，+∞）和（0，14）上各有1个根，方程m 2+tm +1＝0的两根之积为1，令g （m ）＝m 2+tm +1，由题意，{g(14)＜0g(4)＜0，解得t ＜−174，即t 的取值范围是（﹣∞，−174）．故选：C ．8．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 是正方体棱上一点，若满足|PB |+|PC 1|＝d 的点P 的个数为4．则d 的取值范围为（） A ．（√2，2）B ．（√2，2√2）C ．[2，1+√3）D ．（1+√3，2√2）【解答】解：点P 分别在BB 1，BC ，CC 1，B 1C 1上运动时，m 的取值范围是[√2，2]，当点P 分别在C 1D 1，AB 上运动时，m 的取值范围是[√2，1+√3]，当点P 分别在棱A 1B 1，CD 上运动时，m 的取值范围是[2，2√2]，当P 分别在棱A 1D 1，DD 1，AD ，AA 1上运动时，m 的取值范围是[√4+2√2，2√2]，由结合图形可知，点P 在正方体的每一条棱上运动时，它所在的位置与m 的值是一一对应的，当|PB |+|PC 1|＝d 的点P 的个数为4，则d 的取值范围为[2，1+√3），故选：C ．9．已知不相等的两个正实数x ，y 满足x 2﹣y ＝4（log 2y ﹣log 4x ），则下列不等式中不可能成立的是（）A．x＜y＜1B．y＜x＜1C．1＜x＜y D．1＜y＜x【解答】解：由已知x2﹣y＝4（log2y﹣log4x），因为2log4x＝log2x，所以原式可变形为x2+2log2x＝y+4log2y，令f（x）＝x2+2log2x，g（x）＝x+4log2x，函数f（x）与g（x）均为（0，+∞）上的增函数，且f（x）＝g（y），且f（1）＝g（1），当x＞1时，f（x）＞1，g（y）＞1，y＞1，当x＜1时，f（x）＜1，g（y）＜1，y＜1，要比较x与y的大小，只需比较g（x）与g（y）的大小，g（x）﹣g（y）＝g（x）﹣f（x）＝x+4log2x﹣x2﹣2log2x＝x﹣x2+2log2x，设h（x）＝x﹣x2+2log2x（x＞0），则h'（x）=1−2x+2xln2，故h'（x）在（0，+∞）上单调递减，又h'（1）=−1+2ln2＞0，h'（2）=−3+1ln2＜0，则存在x0∈（1，2）使得h'（x）＝0，所以当x∈（0，x0）时，h'（x）＞0，当x∈（x0，+∞）时，h'（x）＜0，又因为h（1）＝0，h（x0）＞h（1）＝0，h（4）＝﹣12+4＝﹣8＜0，所以当x＜1时，h（x）＜0，当x＞1时，h（x）正负不确定，故当x＜1，y＜1时，h（x）＜0，所以g（x）＜g（y）＜g（1），故x＜y＜1，当x＞1，y＞1时，h（x）正负不定，所以g（x）与g（y）的正负不定，所以x＞y＞1，x＝y＞1，y＞x＞1均有可能，即选项A，C，D均有可能，选项B不可能．故选：B．10．正实数a，b，c满足a+2﹣a＝2，b+3b＝3，c+log4c＝4，则实数a，b，c之间的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a【解答】解：c+log4c＝4⇒log4c＝4﹣c，即c 为函数y ＝log 4x 与y ＝4﹣x 的图象交点的横坐标； b +3b ＝3⇒1+3b ＝4﹣b ，即b 为函数y ＝1+3x 与y ＝4﹣x 的图象交点的横坐标； a +2﹣a ＝2⇒2+12a =4−a ，即a 为函数y =2+12x 与y ＝4﹣x 的图象交点的横坐标；在同一坐标系中画出图象，可得b ＜a ＜c ．故选：A ．11．《九章算术》是我国古代数学经典名著，堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著，在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．已知某鳖臑A ﹣BCD 的外接球半径为1，则该鳖臑A ﹣BCD 的体积最大值为（） A ．49√3B ．427√3C ．94√3D ．316√3【解答】解：四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图：某鳖臑A ﹣BCD 的外接球半径为1，可知CD ＝2，设AB ＝a ，BC ＝b ，AD ＝c ，所以a 2+b 2+c 2＝4，可得4＝a 2+b 2+c 2≥3√(abc)23，所以abc ≤√4333=8√39．当且仅当a ＝b ＝c =2√33时，取等号．该鳖臑A ﹣BCD 的体积：13×12abc ≤16×8√39=4√327．故选：B ．12．已知抛物线y＝x2+mx﹣2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为（3，1），圆Q过A，B，C三点，当实数m变化时，存在一条定直线l被圆Q截得的弦长为定值，则此定直线l方程为（）A．x﹣3y＝0B．3x﹣y+1＝0C．√3x﹣y﹣1＝0D．x−√3y＝0【解答】解：y＝x2+mx﹣2与x轴交于A，B，设两点A（x1，0），B（x2，0），设圆Q的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，取y＝0，可得x2+Dx+F＝0．则方程x2+Dx+F＝0与方程x2+mx﹣2＝0等价，则D＝m，F＝﹣2，则圆的方程为x2+y2+mx+Ey﹣2＝0．∵圆Q过C（3，1），∴10+3m+E﹣2＝0，即E＝﹣8﹣3m，得圆Q的方程为x2+y2+mx﹣（8+3m）y﹣2＝0，即x2+y2﹣8y﹣2+m（x﹣3y）＝0，由圆系方程可知，圆x2+y2﹣8y﹣2+m（x﹣3y）＝0经过圆x2+y2﹣8y﹣2＝0与直线x﹣3y＝0的交点，则圆Q被直线x﹣3y＝0所截弦长为定值．故选：A．+alnx+e2≥ax恒成立（e为自然对数的底数），则正实数a的取值范围是13．对任意x＞0，若不等式e xx（）A．（0，e]B．（0，e2]C．[2e ，e]D．[2e，e2]【解答】解：不等式e xx +alnx+e2≥ax可化为e xx−a（x﹣lnx）+e2≥0，即e xx−aln e xx+e2≥0；设t=e xx，其中x＞0；由e x≥ex知t≥e，所以f（t）＝t﹣alnt+e2（t≥e），只需证明f（t）的最小值f（t）min≥0即可；对函数f（t）求导数，得f′（t）＝1−at =t−at（t≥e），①当0＜a≤e时，f′（t）≥0恒成立，f（t）是[e，+∞）上的单调增函数，所以f（t）的最小值是f（t）min＝f（e）＝e﹣alne+e2≥0，解得a≤e2+e；又0＜a≤e，所以a的取值范围是（0，e]．②当a＞e时，f（t）在[e，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，所以f（t）的最小值是f（t）min＝f（a）＝a﹣alna+e2≥0；设g（a）＝a﹣alna+e2，其中a＞e，则g′（a）＝1﹣lna﹣1＝﹣lna＜0，所以g（a）在（e，+∞）上是单调减函数；g（e2）＝e2﹣e2lne2+e2＝0，所以g（a）≥0时，a≤e2；由a＞e知，a的取值范围是（e，e2]；综上知，正实数a的取值范围是（0，e2]．故选：B．14．已知双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P是其右支上第一象限内的一点，直线PO，PF2分别交该双曲线左、右支于另两点A，B，若|PF1|＝2|PF2|，且∠AF2B＝60°，则该双曲线的离心率是（）A．√3B．√2C．2√33D．√52【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，由|PF1|＝2|PF2|，可得|PF2|＝2a，|PF1|＝4a，结合双曲线性质可以得到|PO|＝|AO|，而|F1O|＝|F2O|，结合四边形对角线平分，可得四边形PF1AF2为平行四边形，结合∠AF2B＝60°，得∠F1AF2＝60°，对三角形F1AF2，用余弦定理，得到|AF1|2+|AF2|2﹣|F1F2|2＝2|AF1|•|AF2|•cos∠F1PF2，由|PF1|＝2|PF2|，可得|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，|F1F2|＝2c，代入上式子中，得到3a2＝c2，∴e=ca=√3，故选：A．15．如图，双曲线F：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）以梯形ABCD的顶点A，D为焦点，且经过点B，C，其中AB∥CD，∠BAD＝60°，|CD|＝4|AB|，则F的离心率为（）A．3√34B．√3C．65D．5√36【解答】解：如图，不妨设|AB|＝1，|CD|＝4，则|BD|＝1+2a，|AC|＝4+2a，在△ABD中，由余弦定理得1+4c2﹣2•1•2c•cos60°＝（1+2a）2，①在△ACD中，由余弦定理得16+4c2﹣2•4•2c•cos120°＝（4+2a）2，②②﹣①得，15+10c＝12a+15，则e=ca =65．故选：C．16．已知定义R在上的函数f（x），其导函数为f'（x），若f（x）＝f（﹣x）﹣2sin x．且当x≥0时，f'（x）+cos x＞0，则不等式f（x+π2）＞f（x）+sin x﹣cos x的解集为（）A．（﹣∞，π2）B．（π2，+∞）C．（﹣∞，﹣π4）D．（﹣π4，+∞）【解答】解:令g(x)＝f(x)+sin x,则g(﹣x)＝f(﹣x)+sin(﹣x)＝f(﹣x)﹣sin x,又f(x)＝f(﹣x)﹣2sin x,∴f(x)+sin x＝f(﹣x)﹣sin x,故g(﹣x)＝g(x),∴g(x)为定义在R上的偶函数；当x≥0时,g′(x)＝f′(x)+cos x＞0,∴g(x)在[0,+∞)上单调递增,又∵g(x)为偶函数,故g(x)在(﹣∞,0]上单调递减,由f(x+π2)+cosx=f(x+π2)+sin(x+π2)＞f(x)+sinx得g(x+π2)＞g(x),∴|x+π2|＞|x|,解得x＞−π4,∴不等式的解集为(−π4,+∞)．故选：D．17．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0），过C的右焦点F作垂直于渐近线的直线l交两渐近线于A，B两点，A，B两点分别在一、四象限，若|AF||BF|=513，则双曲线C的离心率为（）A．1312B．√133C．√135D．√13【解答】解：由题意知：双曲线的右焦点F（c，0），渐近线方程为y=±bax，即bx±ay＝0，如下图所示：由点到直线距离公式可知：|F A |=√a 2+b 2=b ，又∵c 2＝a 2+b 2，∴|OA |＝a ，∵|AF||BF|=513，∴|BF |=135b ，设∠AOF ＝α，由双曲线对称性可知∠AOB ＝2α，而tan α=ba ，tan2α=|AB||OA|=18b 5a，由正切二倍角公式可知：tan2α=2tanα1−tan 2α=2×b a 1−(b a)2=2ab a 2−b 2，即2ab a 2−b2=18b 5a，化简可得：4a 2＝9b 2，由双曲线离心率公式可知：e =c a=√1+b 2a2=√1+49=√133．故选：B ．18．数学中一般用min {a ，b }表示a ，b 中的较小值．关于函数f(x)=min{sinx +√3cosx ，sinx −√3cosx}有如下四个命题：①f （x ）的最小正周期为π； ②f （x ）的图象关于直线x =3π2对称；③f （x ）的值域为[﹣2，2]；④f （x ）在区间(−π6，π4)上单调递增．其中是真命题的是（） A ．②④B ．①②C ．①③D ．③④【解答】解：令g(x)=sinx +√3cosx =2sin(x +π3)，ℎ(x)=sinx −√3cosx =2sin(x −π3)，则f （x ）＝min {g （x ），h （x ）}={g(x)，g(x)⩽ℎ(x)ℎ(x)，g(x)＞ℎ(x)={2sin(x +π3)，π2+2kπ⩽x ⩽3π2+2kπ2sin(x −π3)，−π2+2kπ＜x ＜π2+2kπ，(k ∈Z)，如图所示：由图知：则f （x ）的最小正周期为2π，故①错误； f （x ）的图象关于直线x =3π2对称，故②正确；f （x ）的值域为[﹣2，1]，故③错误；f （x ）在区间(−π6，π4)上单调递增，故④正确．故选：A ．19．四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，体积为163，若P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝2，则四棱锥P ﹣ABCD的外接球体积的最小值是（） A ．160√53π B ．256πC ．125πD ．20√53π【解答】解：底面为矩形的四棱锥P ﹣ABCD 的体积为163，若P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝2，可得底面面积为：8，设AB ＝a ，BC ＝b ，则ab ＝8，四棱锥的外接球就是扩展的长方体的外接球，PC 就是外接球的直径，可得：2R =√a 2+b 2+22≥√4+2ab =√4+2×8=2√5，当且仅当a ＝b ＝2√2，取等号，R ≥√5．外接球的体积的最小值为：4π3×（√5）3=20√5π3．故选：D ．20．已知函数f （x ）={|log 2x|(x ＞0)2x 2+4x +1(x ≤0)，若函数F （x ）＝f （x ）﹣b 有四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4，且满足：x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则x 1+x 2﹣x 3x 4的值是（） A ．﹣4B ．﹣3C ．﹣2D ．﹣1【解答】解：作出f （x ）的函数图象如图所示：因为函数F （x ）＝f （x ）﹣b 有四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4，即y ＝f （x ）与y ＝b 有四个不同的交点，由图象知 x 1+x 2＝﹣2×42×2=−2，由﹣log 2x 3＝log 2x 4，得：log 2x 3+log 2x 4＝0，得：x 3x 4＝1， ∴x 1+x 2﹣x 3x 4＝﹣3，故选：B ．21．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A ．512√6729π B ．16√23π C ．32√627π D ．128√281π【解答】解：由题意可得每个三角形面积为S =12×4×2√3=4√3，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为√16−(4√33)2=4√63，故四面体的体积为13×4√3×4√63=16√23，∵该六面体的体积是正四面体的2倍， ∴六面体的体积是32√23，由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥，设丸子的半径为R ，则32√23=6×13×4√3×R ，解得R =4√69，∴丸子的体积的最大值为V max =4π3R 3=4π3×(4√69)3=512√6729π．故选：A ．22．已知函数f （x ）＝e x ﹣aln （ax ﹣a ）+a （a ＞0），若关于x 的不等式f （x ）＞0恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．（0，e 2]B ．（0，e 2）C ．[1，e 2]D ．（1，e 2）【解答】解：∵f （x ）＝e x ﹣aln （ax ﹣a ）+a ＞0（a ＞0）恒成立， ∴e xa ＞ln(x −1)+lna −1， ∴e x ﹣lna+x ﹣lna ＞ln （x ﹣1）+x ﹣1， ∴e x﹣lna+x ﹣lna ＞e ln（x ﹣1）+ln （x ﹣1）．令g （x ）＝e x +x ，易得g （x ）在（1，+∞）上单调递增， ∴x ﹣lna ＞ln （x ﹣1），∴﹣lna ＞ln （x ﹣1）﹣x ． ∵ln （x ﹣1）﹣x ≤x ﹣2﹣x ＝﹣2， ∴﹣lna ＞﹣2，∴0＜a ＜e 2， ∴实数a 的取值范围为（0，e 2）．故选：B ．23．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c cos A +a cos C ＝2，AC 边上的高为√3，则∠ABC 的最大值为（） A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π3【解答】解：因为c cos A +a cos C ＝2，所以由余弦定理可得c •b 2+c 2−a 22bc+a •a 2+b 2−c 22ab=2，整理可得b ＝2，因为AC 边上的高为√3，所以12×2×√3=12acsinB ，所以ac =2√3sinB，因为cos B =a 2+c 2−b 22ac≥2ac−b 22ac=1−2ac，当且仅当a ＝c 时取等号，所以cos B ≥1−√33sinB ，即3cos B +√3sin B ≥3，所以2√3sin （B +π3）≥3，所以sin （B +π3）≥√32，因为B ∈（0，π），所以B +π3∈（π3，4π3），所以B +π3∈（π3，2π3]，所以B ∈（0，π3]，则∠ABC 的最大值为π3．故选：B ．24．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，直线x ＝3与抛物线C 交于A ，B 两点，|AF |＝4，圆E 为△F AB 的外接圆，直线OM 与圆E 切于点M ，点N 在圆E 上，则OM →⋅ON →的取值范围是（） A ．[−6325，9]B ．[﹣3，21]C ．[6325，21]D ．[3，27]【解答】解：抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F （p2，0），准线方程为x =−p2，设A （3，√6p ），所以|AF |＝3+p2=4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x ，A （3，2√3），B （3，﹣2√3），F （1，0），所以直线AF 的方程为y =√3（x ﹣1），设圆心坐标为（x 0，0），所以（x 0﹣1）2＝（3﹣x 0）2+12，解得x 0＝5，即E （5，0）， ∴圆的方程为（x ﹣5）2+y 2＝16，不妨设y M ＞0，设直线OM 的方程为y ＝kx ，则k ＞0，根据√1+k2=4，解得k =43，由{y =43x(x −5)2+y 2=16，解得M （95，125），设N （4cos θ+5，4sin θ），所以OM →•ON →=365cos θ+485sin θ+9=125（3cos θ+4sin θ）+9，因为3cos θ+4sin θ＝5sin （θ+φ）∈[﹣5，5]，所以OM →•ON →∈[﹣3，21]．故选：B ．25．已知双曲线x 24−y 25=1的右焦点为F ，点M 在双曲线上且在第一象限，若线段MF 的中点在以原点O为圆心，|OF |为半径的圆上，则直线MF 的斜率是（） A ．−√35B ．−5√117C ．5√117D ．√35【解答】解：如图所示，设线段MF 的中点为H ，连接OH ，设双曲线的右焦点为F，连接MF．双曲线的左焦点为F′，连接MF′，则OH∥MF′．又|OH|＝|OF|＝c＝3，|FH|=12|MF|=12（2a﹣2c）＝a﹣c＝1．设∠HFO＝α，在△OHF中，tanα=√32−(12)212=√35，∴直线MF的斜率是−√35．故选：A．二．多选题（共7小题）26．下列结论正确的是（）A．存在这样的四面体ABCD，四个面都是直角三角形B．存在这样的四面体ABCD，∠BAC＝∠CAD＝∠DAB＝∠BCD＝90°C．存在不共面的四点A、B、C、D，使∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°D．存在不共面的四点A、B、C、D，使∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°【解答】解：对于A，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，四面体A1﹣ABC的四个面都是直角三角形，所以选项A正确；对于B ，三个直角均以A 为顶点，那么△BCD 为锐角三角形，故选项B 错误；对于C ，存在不共面的四点A 、B 、C 、D ，使∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDA ＝90°，如图所示，故选项C 正确；对于D ，若∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDA ＝∠DAB ＝90°，则A ，B ，C ，D 四点共面，故选项D 错误．故选：AC ．27．已知函数f （x ）＝x 2﹣ax ﹣lnx （a ∈R ），则下列说法正确的是（） A ．若a ＝﹣1，则f （x ）是（0，12）上的减函数B ．若0＜a ＜1，则f （x ）有两个零点C ．若a ＝1，则f （x ）≥0D ．若a ＞1，则曲线y ＝f （x ）上存在相异两点M ，N 处的切线平行【解答】解：函数f （x ）＝x 2﹣ax ﹣lnx （a ∈R ），对于A ，当a ＝﹣1，f （x ）＝x 2+x ﹣lnx （x ＞0），f ′（x ）＝2x +1−1x在（0，+∞）上单调递增，又f ′（12）＝0，故当x ∈（0，12）时，f ′（x ）＜0，则f （x ）是（0，12）上的减函数，故A 正确；对于B ，若f （x ）＝0，则x 2﹣ax ﹣lnx ＝0，故a ＝x −lnx x（x ＞0），令g （x ）＝x −lnx x（x ＞0），则g ′（x ）＝1−1−lnx x 2=x 2+lnx−1x 2，再令h （x ）＝x 2+lnx ﹣1（x ＞0），显然，h （x ）在（0，+∞）上单调递增，又h （1）＝0，所以，当x ∈（0，1）时，h （x ）＜0，即g ′（x ）＜0，则g （x ）在（0，1）上单调递减，当x ∈（1，+∞）时，h （x ）＞0，即g ′（x ）＞0，则g （x ）在（1，+∞）上单调递增，故g （x ）min ＝g （1）＝1，要使f （x ）有零点，则a ≥1，故B 错误；对于C ，当a ＝1时，f （x ）＝x 2﹣x ﹣lnx （x ＞0），f ′（x ）＝2x ﹣1−1x 在（0，+∞）上单调递增，又f ′（1）＝0，故当x ∈（0，1）时，f ′（x ）＜0，则f （x ）是在（0，1）上单调递减；当x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＞0，则f （x ）在（1，+∞）上单调递增，故f （x ）≥f （1）＝0，故C 正确；对于D ，由于f ′（x ）＝2x ﹣a −1x （x ＞0），若曲线y ＝f （x ）上存在相异两点M （x 1，f （x 1）），N （x 2，f （x 2））处的切线平行，则f ′（x 1）＝f ′（x 2）（x 1，x 2＞0，且x 1≠x 2），即2x 1﹣a −1x 1=2x 2﹣a −1x 2，即2x 1−1x 1=2x 2−1x 2，也就是f ′（x ）＝2x ﹣a −1x =0有两异根，即a ＝2x −1x （x ＞0）有两个交点．令t （x ）＝2x −1x （x ＞0），则t （x ）在（0，+∞）上单调递增，当t →0+时，t （x ）→﹣∞；当t →+∞时，t （x ）→+∞，故y ＝a 与t （x ）＝2x −1x （x ＞0）只有一个交点，故D 错误．综上所述，AC 正确，故选：AC ．28．已知无穷等差数列{a n }的公差d ∈N *，且5，17，23是{a n }中的三项，则下列结论正确的是（） A ．d 的最大值是6 B ．2a 2≤a 8C ．a n 一定是奇数D ．137一定是数列{a n }中的项【解答】解：∵无穷等差数列{a n }的公差d ∈N *，且5，17，23是{a n }中的三项， ∴设{17−5=12=md 23−17=6=nd ，解得d =6m−n ，∴d 的最大值为6，故A 正确； ∵a 1≤5，d ∈N *，∴2a 2﹣a 8＝a 1﹣5d ≤0，故B 正确；∵d =6m−n ，∴当m ﹣n ＝2时，d ＝3，数列可能为5，8，11，14，17，20，23，…，故C 错误； ∵137＝23+19×6，∴137一定是等差数列{a n }中的项，故D 正确．故选：ABD ．29．已知函数f （x ）＝（sin x +cos x ）|sin x ﹣cos x |，下列说法正确的是（） A ．f （x ）是周期函数B ．f （x ）在区间[−π2，π2]上是增函数 C ．若|f （x 1）|+|f （x 2）|＝2，则x 1+x 2=kπ2（k ∈Z ）D ．函数g （x ）＝f （x ）+1在区间[0，2π]上有且仅有1个零点【解答】解：f （x ）＝（sin x +cos x ）|sin x ﹣cos x |={cos 2x −sin 2x ，sinx ＜cosx sin 2x −cos 2x ，sinx ≥cosx ={cos2x ，sinx ＜cosx−cos2x ，sinx ≥cosx ．其图象如图：由图可知，f （x ）是周期为2π的周期函数，故A 正确； f （x ）在区间[−π2，π2]上不是单调函数，故B 错误；若|f （x 1）|+|f （x 2）|＝2，由|f （x 1）|≤1，|f （x 2）|≤1，则只有|f （x 1）|＝|f （x 2）|＝1，即x 1，x 2只能是函数的最值点的横坐标，可得x 1+x 2=kπ2（k ∈Z ），故C 正确；函数g （x ）＝f （x ）+1的图象是把y ＝f （x ）的图象向上平移1个单位得到的，则在区间[0，2π]上有且仅有2个零点，故D 错误． ∴说法正确的是AC ．故选：AC ．30．已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F 1作倾斜角为π3的直线分别交y 轴、双曲线右支于点M 、点P ，且|PM |＝|MF 1|，下列判断正确的是（）A．E的渐近线方程为y＝±√2x B．|MF2|=12|PF1|C．E的离心率等于2+√3D．∠F1PF2=π6【解答】解：如右图，由|PM|＝|MF1|，可得M为PF1的中点，又O为F1F2的中点，可得OM∥PF2，∠PF2F1＝90°，∠PF1F2＝60°，∠F1PF2＝30°，|MF2|=12|PF1|，故B正确，D正确；设|F1F2|＝2c，则|PF1|=2ccos60°=4c，|PF2|＝2c tan60°＝2√3c，则2a＝|PF1|﹣|PF2|＝（4﹣2√3）c，可得e=ca =(4−2√3)c=2+√3，ba=√c2a2−1=√6+4√3，则双曲线的渐近线方程为y＝±bax即为y＝±√6+4√3x．故C正确，A错误．故选：BCD．31．已知函数f（x）＝e x﹣cos x，x∈R，下列判断正确的是（）A．f（x）在（﹣2π，−32π）单调递增B．f（x）在（﹣π，0）有2个极值点C．f（x）在（﹣2π，−π2）仅有1个极小值D．当﹣4π≤x≤﹣2π时，f（x）≤1【解答】解：函数f（x）＝e x﹣cos x，则f′（x）＝e x+sin x，对于A，当x∈（﹣2π，−32π）时，f′（x）＞0，所以f（x）单调递增，故A正确；对于B，函数f′（x）＝e x+sin x的零点，即为方程f′（x）＝0的根，作出函数y＝﹣sin x与函数y＝e x的大致图象，如图所示：由图象可知，当x∈（﹣π，0）时，函数y＝﹣sin x与函数y＝e x有两个交点，则方程f′（x）＝0有两个实根，所以f（x）在（﹣π，0）有2个极值点，故B正确；对于C，由图象可得，函数y＝﹣sin x与函数y＝e x在（﹣2π，−π2）上只有一个交点，则方程f′（x）＝0只有一个实数根x0，且在（﹣2π，x0）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（x0，−π2）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）在x＝x0处取得极大值，故C错误；对于D，当x＝﹣3π时，f（x）＝e﹣3π+1＞1，故D错误．故选：AB．32．随着高三毕业日期的逐渐临近，有n（n≥2）个同学组成的学习小组，每人写了一个祝福的卡片准备送给其他同学，小组长收齐所有卡片后让每个人从中随机抽一张作为祝福卡片，则（）A．当n＝4时，每个人抽到的卡片都不是自己的概率为38B．当n＝5时，恰有一人抽到自己的卡片的概率为340C．甲和乙恰好互换了卡片的概率为1n−1−1nD．记n个同学都拿到其他同学的卡片的抽法数为a n，则a n+2＝（n+1）（a n+a n+1）n∈N*【解答】解：考虑n+1个同学时的情况，若n+1个同学都拿到其他同学的卡片，则第n+2个同学可以与其中任何一个交换卡片，若n+1个同学只有一个拿到自己的卡片，则第n+2个同学必须与该同学交换卡片，∴a n+2＝（n+1）a n+1+（n+1）a n，故D正确；a n+2﹣（n+2）a n+1＝﹣[a n+1﹣（n+1）a n]，∵a1＝0，a2＝1，∴a n﹣na n﹣1＝（﹣1）n，∴a n=n!⋅∑n i=2(−1)ii!，代入数据可得a4＝9，∴当n＝4时，每个人抽到的卡片都不是自己的概率为a44!=38，故A正确；当n＝5时，恰有一人抽到自己的卡片的概率为5a45!=38，故B错误；甲和乙恰好互换了卡片的概率为(n−2)!n!=1n−1−1n，故C正确．故选：ACD．三．填空题（共18小题）33．已知矩形ABCD中，AB=2，BC=√3，E是CD边的中点．现以AE为折痕将△ADE折起，当三棱锥D﹣ABE的体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为16π3．【解答】解：由题意，当平面ADE⊥平面ABE时，三棱锥D﹣ABE的高最大值，此时体积最大．∵△ADE是直角三角形，∴三棱锥D﹣ABE换成B﹣ADE∴底面△ADE外接圆半径r=12AE＝1，垂直面△ABE是边长为2等边三角形，可得AE边上的高h=√3；设球心与圆心距离为d，球半径为R，R2＝r2+d2……①√3−d=R⋯⋯②由①②解得R=√3；三棱锥外接球的表面积S＝4πR2=16π3；故答案为：16π3．34．由正三棱锥S﹣ABC截得的三棱台ABC﹣A1B1C1的各顶点都在球O的球面上，若AB＝6，三棱台ABC ﹣A1B1C1的高为2，且球心O在平面ABC与平面A1B1C1之间（不在两平面上），则AB1的取值范围为(2√6，6)．【解答】解：该三棱台的横截面如图所示，因为△ABC为正三角形，且AB＝6，=2√3，则AH=√3又GH＝2，球心O在GH上，A，A1都在球面上，故OA＝OA1，设OH＝h，A1G＝m，则由△A1GO和△AOH均为直角三角形，所以m2+（2﹣h）2＝h2+12，解得m2＝8+4h，由图可知，h∈（0，2），m∈(0，2√3)，综上可得，m∈(2√2，2√3)，又A1B1=√3A1G，所以A1B1∈(2√6，6)，即AB1的取值范围为(2√6，6)．故答案为：(2√6，6)．35．设数列a1，a2，a3，a4各项互不相同，且a i∈{1，2，3，4}（i＝1，2，3，4）．若下列四个关系①a1＝1；②a2≠1；③a3＝2；④a4≠4中恰有一个正确，则（10a1+a2）﹣（10a3+a4）的最大值是18．【解答】解：若①正确，则②一定正确，因此不符合题意；若②正确，此时令a4＝4，a3＝1，a1＝3，a2＝2，则有（10a1+a2）﹣（10a3+a4）的最大值为18；若③正确，此时a4＝4，a2＝1，a1＝3，a3＝2，则有（10a1+a2）﹣（10a3+a4）的最大值为7；若④正确，此时a4＝2，a3＝3，a1＝4，a2＝1，则有（10a1+a2）﹣（10a3+a4）的最大值为9．综上可得，（10a1+a2）﹣（10a3+a4）的最大值为18．故答案为：1836．设抛物线C1：y＝x2﹣2x+2和C2：y＝﹣x2+ax+b在它们的一个交点处的切线互相垂直，则C2过定点（1，3）．2【解答】解：∵y＝x2﹣2x+2，∴y'＝2x﹣2，∵y＝﹣x2+ax+b，∴y'＝﹣2x+a，设交点为（x0，y0），∵它们在一个交点处切线互相垂直，∴（2x0﹣2）（﹣2x0+a）＝﹣1，即4x02﹣（2a+4）x0+2a﹣1＝0，①由交点分别代入二次函数式，整理得，2x02﹣（2+a）x0+2﹣b＝0，即4x02﹣（4+2a）x0+4﹣2b＝0，②由①②整理得2a﹣1﹣4+2b＝0，即a+b=52，所以C2：y＝﹣x2+ax+52−a，令x＝1，可得y=32，则C2过定点（1，32），故答案为：（1，32），37．在三棱锥A﹣BCD中，AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝6，AD＝9，则三棱锥A﹣BCD外接球O的表面积为84π．【解答】解：如图所示：取BC的中点E，连接AE，DE，取AD的中点F，连接EF，因为AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝6，所以AE⊥BC，DE⊥BC，且三角形ABC和三角形BCD都是正三角形，所以AE＝DE＝3√3，即三角形ADE为等腰三角形，所以EF⊥AD，且EF平分∠AED，不妨设三角形BCD的外接圆圆心为O′，且O′在DE上，所以EO′=13ED=√3，设外接球的球心为O，半径为R，则OA＝OD＝R，利用面面垂直可证得平面AED⊥平面BCD，又平面AED∩平面BCD＝ED，则球心O必在三角形AED中，又OA＝OD＝R，所以O在∠AED的角平分线EF上，连接OO′，则OO′⊥平面BCD，即OO′⊥ED，在三角形AED中，由余弦定理可得：cos∠AED=AE2+ED2−AD22AE⋅ED =−12，所以∠AED＝120°，所以∠FED=12∠AED＝60°，在Rt△EOO′中，tan∠FED=OO′EO′=√3=√3，所以OO′＝3，在Rt△OO′D中，OD＝R，O′D＝2√3，所以R2＝OO′2+O′D2＝21，所以球O的表面积为S＝4πR2＝84π，故答案为：84π．38．如图，在三棱锥A﹣BCD中，BC＝CD＝BD＝2√2，AB＝AC＝AD＝2a，若该三棱锥的侧面积是底面积的√3倍，则该三棱锥外接球的表面积为12π．【解答】解：取BC边的中点E，连结AE，如图所示，△BCD外接圆的圆心为F，三棱锥A﹣BCD外接球的球心为O，因为AB＝AC且点E为BC的中点，所以AE=√4a2−2，=3√2×√4a2−2=6√2a2−1，由此可知该三棱锥的侧面积S侧底面△BCD的面积为2√3，所以6√2a2−1=√3×2√3，解得a＝1，设三棱锥A﹣BCD外接球半径为R，OF＝x，因为AB＝AC＝AD＝2，所以点A在底面BCD上的射影为点F，因为AB＜BC，故三棱锥外接球球心O在直线AF的延长线上，BF为△BCD外接圆的半径，所以BF=2√6，3)2=4①，在Rt△ABF中，由勾股定理可得(R−x)2+(2√63)=R2②，在Rt△OBF中，由勾股定理可得x2+(2√63，由①②解得R=√3，x=√33所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝12π．故答案为：12π．39．在△ABC 中，点M ，N 是线段BC 上的两点，|MA →|＝|MB →|＝|MC →|＝1，MA →⋅MN →=12，则MA →⋅NA →= 12 ，|NA →|的取值范围是（12，1] ．【解答】解：根据题意，画出大致图形如下：结合题意及图形，可知MA →•MN →+MA →•NA →=MA →•（MN →+NA →） =MA →•MA →＝|MA →|2 ＝1，∵MA →⋅MN →=12， ∴MA →⋅NA →=1−12=12，又∵12=MA →⋅NA →=|MA →|•|NA →|•cos ＜MA →，NA →＞=|NA →|•cos ＜MA →，NA →＞， ∴|NA →|=12cos ＜MA →，NA →＞，由题意可知点N 在线段BC 上，假设点N 与点B 重合，则12=MA →⋅MN →=MA →•MB →=|MA →|•|MB →|•cos ＜MA →，MB →＞=cos ＜MA →，MB →＞，即cos ∠BMA =12，∴∠BMA =π3或2π3，∴∠BAM =π3或π6，即cos ＜MA →，NA →＞=12或√32，假设点N 与点C 重合，则12=MA →⋅MN →=MA →•MC →=|MA →|•|MC →|•cos ＜MA →，MC →＞=cos ＜MA →，MC →＞，此时cos ＜MA →，NA →＞=12或√32，综合可得，12≤cos ＜MA →，NA →＞＜1， ∴1≤2cos ＜MA →，NA →＞＜2， ∴12＜12cos ＜MA →，NA →＞≤1，即12＜|NA →|≤1，故答案为：12；（12，1]．40．已知一圆锥纸盒母线长为6，其轴截面为正三角形，在纸盒内放置一个棱长为a 的正方体，若正方体可在纸盒内任意转动，则a 的最大值为 2 ．【解答】解：由于正方体可在圆锥内任意转动，故当正方体棱长a 最大时，正方体外接球为圆锥内切球，设圆心为P ，半径为r ，轴截面上球与圆锥母线切点为Q ，SO ⊥AB ，SO 平分AB ，由△SAB 为正三角形，SA ＝SB ＝AB ＝6，OA ＝OB ＝3，因为PB 为∠SAB 的角平分线，所以∠PBA ＝30°，PO ＝OB tan30°=√3=r ，由正方体外接球直径与正方体之间的关系可得，2R =√3a ，又正方体外接球为圆锥内切球，所以√3a =2r =2√3，故a ＝2，所以a 的最大值为2．故答案为：2．41．若数列{a n}满足递推公式a n+2＝a n+1+a n（n∈N*），且a1＝a2，a2020＝2021，则a1+a3+a5+…+a2019＝2021．【解答】解：∵a1＝a2，a n+2＝a n+1+a n（n∈N*），且a2020＝2021，∴a1+a3+a5+…+a2019＝a2+a3+a5+…+a2019＝a4+a5+…+a2019＝…＝a2018+a2019＝a2020＝2021，故答案为：2021．42．法国著名的军事家拿破仑．波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．在三角形ABC中，角A ＝60°，以AB、BC、AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O1、O2、O3，若三角形O1O2O3的面积为√32，则三角形ABC的周长最小值为3√2．【解答】解：由题意知△O1O2O3为等边三角形，设边长为m，则S△O1O2O3=12m2sin60°=√34m2=√32，解得|O1O2|＝m=√2；设BC＝a，AC＝b，AB＝c，如图所示：在△O1AO2中，∠O1AB＝∠O1BA＝30°，由∠BAC ＝60°，所以∠O 1AO 2＝120°，在等腰△BO 1A 中，ABO 1A=sin120°sin30°，解得O 1A =√3，同理得O 3A =√3，在△O 1AO 2中，由余弦定理得O 1O 32=O 1A 2+O 3A 2﹣2O 1A •O 3A •cos120°，即2=c 23+b 23−2•bc 3•（−12），即b 2+c 2+bc ＝6，在△ABC 中，由余弦定理知， a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝b 2+c 2﹣bc ， ∴a =√(b 2+c 2+bc)−2bc =√6−2bc ，又∵（b +c ）2＝b 2+c 2+bc +bc ＝6+bc ， ∴b +c =√6+bc ，∴△ABC 的周长为a +b +c =√6−2bc +√6+bc ，又∵b 2+c 2≥2bc ， ∴b 2+c 2+bc ＝6≥3bc ， ∴bc ≤2．令f （x ）=√6−2x +√6+x （0＜x ≤2），则f ′（x ）=√6−2x2√6+x ，当f ′（x ）＜0时，有√6−2x2√6+x0，解得x ＞3，∴f （x ）在（0，2]上单调递减， ∴当x ＝2时取得最小值，f （2）＝3√2． ∴a +b +c ≥3√2，即△ABC 的周长最小值为3√2．故答案为：3√2．43．设函数f （x ）的定义域为D ，若存在x 0∈D ，使得f （x 0+1）＝f （x 0）+f （1），则称x 0为函数f （x ）的“可拆点”．若函数f(x)=log 2a1+x 2在（0，+∞）上存在“可拆点”，则正实数a 的取值范围为 [3−√5，2) ．【解答】解：由已知可得函数f （x ）有“可拆点”，则log 2（a1+x 2）+log 2（a2）＝log 2（a1+(1+x)2）成立，即a1+(1+x)2=a1+x2⋅a2，整理可得：（2﹣a）x2﹣2ax+2﹣2a＝0，从而问题转化为方程（2﹣a）x2﹣2ax+2﹣2a＝0在区间（0，+∞）上有解，设h（x）＝（2﹣a）x2﹣2ax+2﹣2a，由已知可得a＞0，则当a＞2且x＞0时，h（x）＜0，方程h（x）＝0无解，不满足题意，当a＝2时，方程h（x）＝0的根为−12，不满足题意，当0＜a＜2时，函数h（x）的图象的对称轴为x=a2−a＞0，要使方程h（x）＝0在区间（0，+∞）上有解，只需△＝4a2﹣4（2﹣a）（2﹣2a）≥0，解得3−√5≤a≤3+√5，所以3−√5≤a＜2，故实数a的取值范围为：[3−√5，2）．故答案为：[3−√5，2）．44．在棱长为√2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱BB1，B1C1的中点分别为E，F，点P在平面BCC1B1内，作PQ⊥平面ACD1，垂足为Q．当点P在△EFB1内（包含边界）运动时，点Q的轨迹所组成的图形的面积等于√312．【解答】解：连结BD交AC于点O，连结OD1，B1D交于点H，设G为CD1的中点，因为AC⊥BD，AC⊥BB1，BB1∩BD＝B，BB1，BD⊂平面BB1D，所以AC⊥平面BB1D，因为B1D⊂平面BB1D，所以B1D⊥AC，同理可证B1D⊥AD1，又AC∩AD1＝A，AC，AD1⊂平面ACD1，所以B1D⊥平面ACD1，即点B1在平面ACD1的投影为H，且D1H＝2HO，同理，点E，F在面ACD1的投影分别为O，G，所以△EFB1在平面ACD1的投影为△OGH，又AC=√2AB=2，所以HC=HG=13D1C=13AC⋅√32=√33，所以点Q的轨迹所组成的图形的面积S=12CH⋅HG⋅sin120°=√312．故答案为：√312．45．已知F1，F2分别为双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2作圆x2+y2＝a2的切线交双曲线左支于点M，且∠F1MF2＝60°，则该双曲线的渐近线方程为y＝±（1+√33）x．【解答】解：设切点为A，过F1作F1B⊥MF2，垂足为B，由题意可得|OA|＝a，|OF2|＝c，|AF2|=√c2−a2=b，由OA为△BF1F2的中位线，可得|BF1|＝2a，|BF2|＝2b，又∠F1MF2＝60°，可得|MF1|=|BF1|sin60°=√3，|MB|=√3|MF2|＝|MB|+|BF2|=√32b，又|MF2|﹣|MF1|=√3+2b√3=2a，所以b＝（1+√33）a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±（1+√33）x．故答案为：y＝±（1+√33）x．46．已知函数f（x）＝xe x，g（x）=xe x，h（x）＝xlnx，现有以下四个命题：①f（x）﹣g（x）是奇函数；②函数f（x）的图象与函数g（x）的图象关于原点中心对称；③对任意x∈R，恒有f（x）≥g（x）；④函数f（x）与函数h（x）的最小值相同其中正确命题的序号是③④．【解答】解：函数f（x）＝xe x，g（x）=xe x，h（x）＝xlnx，对于①，令F（x）＝f（x）﹣g（x）＝x•e x﹣x•e﹣x，由于F（﹣x）＝F（x）故函数F（x）为偶函数，故①错误；对于②，函数f（﹣x）＝﹣x•e﹣x≠﹣f（x），所以函数f（x）不为奇函数，函数g（﹣x）=−xe−x=−x⋅e x≠−g(x)，所以函数g（x）不为奇函数，故②错误；对于③，当x＝0时，f（x）＝g（x）＝0，当x＞0时，e2x＞1，得到e x＞1e x，两边同乘以x得到x⋅e x＞xe x，即f（x）＞g（x），当x＜0时，e2x＜1，整理得e x＜1e x ，两边同乘以x得到x⋅e x＞xe x，即f（x）＞g（x），故③正确；对于④，f′（x）＝（1+x）•e x，令f′（x）＜0，得到x＜﹣1，f′（x）＞0，得到x＞﹣1，所以函数f（x）的最小值为f（﹣1）=−e−1=−1e．h′（x）＝1+lnx（x＞0），令h ′（x ）＜0，解得0＜x ＜1e ，令h ′（x ）＞0，解得x ＞1e ，所以函数h （x ）的最小值为h （1e ）=1e ⋅ln 1e =−1e =f(−1)，故④正确；故选：③④．47．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin A +2sin B ＝2cos A sin C ，a +b ＝3√2，△ABC 的面积是√3，则边长c ＝ √14 ．【解答】解：∵sin A +2sin B ＝2cos A sin C ， ∴sin A +2sin （A +C ）＝2cos A sin C ，即sin A +2sin A cos C +2cos A sin C ＝2cos A sin C ，即sin A +2sin A cos C ＝0， ∵sin A ≠0，∴cos C =−12，则C ＝120°， ∵△ABC 的面积是S =12ab ×√32=√3，∴ab ＝4，则c 2＝a 2+b 2﹣2ab ×（−12）＝（a +b ）2﹣ab ＝18﹣4＝14，则c =√14，故答案为：√14．48．抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，其准线与x 轴的交点为A ，如果在直线x +y +4＝0上存在点M ，使得∠FMA ＝90°，则实数p 的取值范围是 [4√2，+∞）．【解答】解：由题意可得F （p2，0），A （−p2，0），∵M 在直线x +y +4＝0上，设点M （x ，﹣x ﹣4）， ∴AM →=（x +p2，﹣x ﹣4），FM →=（x −p2，﹣x ﹣4），又∠FMA ＝90°，∴AM →•FM →=（x +p 2）（x −p2）+（﹣x ﹣4）2＝0，即2x 2+8x +16−p24=0，∴△＝82﹣4×2×（16−p24）＝2p2﹣64≥0，解得p ≤﹣4√2或p ≥4√2，又p ＞0，∴p 的取值范围是[4√2，+∞）．故答案为：[4√2，+∞）． 49．已知F 1，F 2是双曲线C 1：x 2a2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)与椭圆C 2：x 225+y 29=1的公共焦点，点P ，Q 分别是曲线C 1，C 2在第一、第三象限的交点，四边形PF 1QF 2的面积为6√6，设双曲线C 1与椭圆C 2的离心率依次为e 1，e 2，则e 1+e 2＝2√10+45．【解答】解：由题意可得a 2+b 2＝16，根据双曲线C 1与椭圆C 2的对称性可得△PF 1F 2的面积为3√6，设P （x 0，y 0），（x 0，y 0＞0），则{12⋅8⋅y 0=3√6x 0225+y 029=1，解得x 0=5√104，y 0=3√64，代入双曲线的方程结合b 2＝16﹣a 2，可得a 4﹣35a 2+250＝0，结合0＜a ＜c ＝4，解得a =√10，双曲线的离心率为e 1=c a=√10=2√105，而椭圆的离心率e 2=45， ∴e 1+e 2=2√10+45．故答案为：2√10+45．50．一个球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺的体积公式为V =π3(3R −ℎ)ℎ2，其中R 为球的半径，h 为球缺的高．若一球与一棱长为。

2023年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编11含解析

2023年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（十一）一、单选题1．（2022·江苏南通·高三阶段练习）通过研究正五边形和正十边形的作图，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sin18 表示，即512sin182.记2sin18m ，则22sin144m（）A．B．2 1【答案】A【解析】2sin18m Q ，24sin 182sin 362cos36sin 36故选:A.2．（2022·江苏南通·高三阶段练习）若x ，(0,) y ，ln e sin y x x y ，则（）A．ln()0x y B．ln()0y x C．e y x D．ln y x【答案】C【解析】设 sin ,0f x x x x ，则 1cos 0f x x （不恒为零），故 f x 在(0,) 上为增函数，故 00f x f ，所以sin x x ，故sin y y 在(0,) 上恒成立，所以ln e e ln e y y y x x y ，但 ln g x x x 为(0,) 上为增函数，故e y x 即ln x y ，所以C 成立，D 错误.取e x ，考虑1e e sin y y 的解，若e 1y ，则e 1e e 5e 21e sin y y ，矛盾，故e 1y 即1y x ，此时ln()0y x ，故B 错误.取1y ，考虑ln e sin1x x ，若2x ，则1ln 2ln 23e e sin12x x，矛盾，故2x ，此时1 x y ，此时ln()0x y ，故A 错误，故选：C.3．（2022·江苏南通·高三阶段练习）已知椭圆C ：2222x y a b=1(a >b >0)的左右顶点分别为A 和B ，P 是椭圆上不同于A ，B 的一点.设直线AP ，BP 的斜率分别为m ，n ，则当2393(ln ||ln ||)32a m nb mn mn取最小值时，椭圆C 的离心率为（）B．45D．15【答案】A【解析】A (-a ，0)，B (a ，0)，设 00,P x y ，则22222b a x y a，而0000,y y m n x a x a，则2202220y b mn x a a，又2393(ln ||ln ||)32a m nb mn mn 22222339ln 3a b b b b a a a322339ln 3a a a bb b b a，令1a t b ，则322()339ln 3f t t t t t ，所以232(3)232639()t t t t t f t t t,故min ()(3)f t f ，即3a b，从而223e .故选：A.4．（2022·江苏南通·高三阶段练习）设24ln 4a e ，ln 22b ，1c e ，则（）A．a c b B．a b cC．b a cD．b c a【答案】C 【解析】设 ln x f x x,则 21ln xf x x ,当e x 时, 0f x ,函数单调递减,当0e x 时, 0f x ,函数单调递增,故当e x 时,函数取得最大值 1e ef ,因为 2222e ln 22ln22e e e 22a f , 4ln2l e n 4e 1,24b f c f ,2e 42e ∵,当e x 时, 0f x ,函数单调递减,可得 2e 4e 2f f f,即b a c .故选:C5．（2022·江苏省灌南高级中学高三阶段练习）已知定义在R 上的偶函数 12f x x m ，若正实数a 、b 满足 2f a f b m ，则23a b的最小值为（）A．85C．835D．2105【答案】B【解析】 f x ∵为R 上的偶函数， f x f x ，即1212x m x m ，即 2211x m x m ，整理得： 2121m x m x ，1m ，2f x x ， 22221f a f b a b ，即25a b ；231231431288555b a a b a b a b a b 43b a a b ，即2b 时取等号）；23a b故选：B.6．（2022·江苏省灌南高级中学高三阶段练习）已知定义在[1e ，e ]上的函数 f x 满足 1f x f x，且当x [1e ，1]时， ln 1f x x x ，若方程 102f x x a 有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（）A．(13e，11e ]B．(121e ，312e]C．(121e ，11e ]D．(13e，312e ]【答案】B【解析】∵当1,1x e时， ln 1f x x x ，∴当 1,x e 时， 11ln 1f x f x x x，综上， 11,,111,1,xlnx x e f x lnx x e x，当1,1x e 时， 1ln 0f x x ，则 f x 在1,1e上单调递增，当 1,x e 时， 21ln 10f x x x ，则 f x 在 1,e 上单调递减，∵ 102f x x a有三个不同的实数根，∴ f x 的图像和直线12y x a有三个不同的交点，作 f x 的大致图像如图所示，当直线12y x a和 f x 的图像相切时，设切点为 00,x y ，∴ 0011ln 2f x x ，可得120x e，120112y e ，代入12y x a ，可得121a e ，当12y x a过点11,1ee 时，312a e ，由图知，实数a 的取值范围为1231,12e e.故选：B.7．（2022·江苏·金陵中学高三阶段练习）设常数a使方程sin 22x x a 在区间 0,2 上恰有五个解1,2,3,4,5i x i ，则51i i x （）A．73B．256C．133D．143【答案】C【解析】1πsin 222sin 2cos 22sin 2223x x x x x作出函数2sin 23y x在 0,2π上的图像:由图像可知，sin 22x x a 在区间 0,2π上恰有五个解，只有a由π2sin 23x0,2πx 解得：1=0x ，2π=6x ，3=πx ，47π=6x ，5=2πx 51π7π13π0++π++2π=663ii x，故选：C8．（2022·江苏·金陵中学高三阶段练习）设x R ， x 表示不超过x 的最大整数，若存在实数t ，使得 1t ，22t ，…，nt n 同时成立，则正整数n 的最大值是（）A．4B．5C．6D．7【答案】A【解析】 11,2t t ，22t t ，33t t ，4t t t ，55t t当t 时， 1t ，22t，因为32232343<<<，所以111133222343<<<，即12<<当t 时， 1t ，22t，33t ，因为634346243543=<<<<，所以12<=<，当t Î时， 1t ，22t ，33t ，44t ，因为()()441235206633=<=55t则t，此时t ，33t ，故不存在t 满足 1t ，22t ，33t ，44t ，55t 同时成立，正整数n 的最大值为4，故选：A．9．（2022·江苏省泰兴中学高三阶段练习）在空间直角坐标系O xyz 中，已知圆22:(2)(1)1A x y 在平面xOy 内，(0,,2)C t ()t R ．若OAC 的面积为S ，以C 为顶点，圆A 为底面的几何体的体积为V ，则VS的最大值为（）【答案】B【解析】因为圆22:(2)(1)1A x y 的方程，所以 2,1A.故OA (0,,2)C t 到O xy 平面的投影为 0,C t ，过C 作OA 垂线交与点D ,故CD 是OAC 的高，:20OA x y ，所以C 到直线OA 的距离为d ，d故CD所以12OAC S A 的底面半径为1，所以圆A 底面积2π1πS ，又(0,,2)C t ，所以12π33V Sh .2π3V S 当0tπ15MAXV S.故选：B.10．（2022·江苏省泰兴中学高三阶段练习）设函数()f x 的定义域为R ，且(32)f x 是奇函数，3(1)f x 是偶函数，则一定有（）A．(4)0f B．(1)0f C．(3)0f D．(5)0f 【答案】A【解析】因为(32)f x 是奇函数，所以有(32)(32)f x f x ①令0x ，则有(2)(2)f f ，即(2)0f .因为3(1)f x 是偶函数，所以有33(1)(1)f x f x ，令1x ，则有(0)(2)0f f ，在①式中，令23x，则有(0)(4)f f ，(4)0f .故选：A11．（2022·江苏省泰兴中学高三阶段练习）设0r ，且圆222:()(e )a A x a y r 与圆222:()(ln )B x b y b r 外切，则（）A．222()(e ln )4a a b b r B．222(e )(ln )4a a b b r C．222(ln )(e )4a a b b r D．222()(e ln )4a a b b r 【答案】A【解析】圆222:()(e )a A x a y r 的圆心为(e ),a A a ，半径为r ；圆222:()(ln )B x b y b r 的圆心为(,ln )B b b ，半径为r ；因为圆A 与圆B 外切，所以有圆心距AB r r ，2r ，即222()(e ln )4a a b b r .故选：A12．（2022·江苏江苏·高三阶段练习）已知sin1a ，cos1b ，则下列不等式正确的是（）A．log b a a b a b B．log a b a b b a C．log b a a a b b D．log a b a b a b 【答案】D 【解析】∵124，∴012b a ，则：log log 1a a a a b b a a a b ，故选：D.13．（2022·河北·高三阶段练习）设5215,ln ,sin 111111a b c ，则（）A．c a b B．c b aC．a b cD．b c a【答案】A【解析】当π0,2x 时，记 sin x x x f ，则 1cos 0f x x ，故()f x 在π0,2x单调递增，故()00f x f ，因此得当π0,2x时，sin x x ，故55sin 1111 ，即a c ；21555lnln 1211111111b a ，设1()ln(12)02g x x x x ，则511b a g，因为212()11212xg x x x，当102x 时，()0g x ．所以()g x 在10,2 上单调递增，所以5(0)011g g，即b a ，所以b a c ．故选：A14．（2022·河北·高三阶段练习）设函数23log (1),1,()31,x x k f x x x k x 的值域为A ，若[1,1]A ，则()f x 的零点个数最多是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】令2()log (1)g x x ，则2()log (1)g x x 在(,1) 上单调递减；令3()31h x x x ，则2()33h x x ．由()0h x ，得1x 或1x ；由()0h x ，得11x ，所以()h x 在(,1) 和(1,) 上单调递增，在(1,1) 上单调递减，于是，()h x 的极大值为(1)3h ，极小值为(1)1h ．在同一坐标系中作出函数()g x 和()h x 的图象，如下图：显然(1)(1)1 f g ；由()1g x ，得12x；由()f x 的解析式，得11k ．（1）若10k ，当0 k x 时，()(0)1f x f ，不符合题意；（2）若112k ，当12x k 时，1()12f x f ，不符合题意；（3）若102k ，①当1x k 时，1()1f x ；②当 k x 时，(1)()max{(),1 f f x f k f ，即1()1f x ．由①②，102k时符合题意．此时，结合图象可知，当0k 时，()f x 在[1,) k 上没有零点，在[k 上有2个零点；当102k时，()f x 在[1,) k 上有1个零点，在[k 上有1个或2个零点，综上，()f x 最多有3个零点．故选：C．15．（2022·河北邢台·高三阶段练习）已知直线l 是曲线ln 2y x 与曲线2y x x 的一条公切线，直线l与曲线2y x x 相切于点 2,a a a ，则a 满足的关系式为（）A．211ln 02a aB．211ln 02a aC．211ln 02a aD．211ln 02a a【答案】C【解析】记 ln 2f x x ，得11()22f x x x，记2()g x x x ，得 21g x x ，设直线l 与曲线 ln 2f x x 相切于点 ,ln 2b b ，由于l 是公切线，故可得()()k f b g a ，即121a b ，即121b a ，又因为()()()g a f b k g a a b ，即2ln 221a a b a a b，将b 代入，得 221ln 212121a a a a a a ，即 221ln 2112a a a a a ，整理得211ln 02a a.故选：C.16．（2022·河北邢台·高三阶段练习）设1999a ，0.0010.001eb ，ln 0.999c ，则（）A．b c a B．c b a C．c a bD．a c b【答案】B【解析】① ln ln 0.001ln0.001ln9990.001ln 10.001b a 令()ln(1),(0,0.1]f x x x x ，则1()1011xf x x x，故()f x 在(0,0.1]上单调递减，可得 0.00100f f ，即ln ln 0b a ，所以b a ；②0.0010.001e ln0.999b c 令()e ln(1),(0,0.1]xg x x x x ，则1(1)(1)e 1()e e 11x xxx x g x x x x，令()(1)(1)e 1x k x x x ，所以 22()(12)e 12e xx x x k x x，当 0,0.1x 时， 0k x ，所以()k x 在(0,0.1]上单调递增，可得()(0)0k x k ，即()0g x ，所以()g x 在(0,0.1]上单调递增，可得 0.00100g g ，即0b c ，所以b c .故c b a .故选：B.17．（2022·江苏省泰兴中学高三阶段练习）设*n N ，0101(1)(1)(2)(2)n n n n n x a a x a x b b x b x ，则（）A．001132n nn n b a b a b a B．0101012()n n nb bb a a a a a a C．0101111()211n n a a a a a a n nD．21201(1)4()4n n n n b b n b a a a 【答案】A【解析】由二项式定理知：201211C C 1C 1C 1nnn n n n n n x x x x x，C 0,1,2,,i i n a i n ，令2x ，则有01n a a a 2n ；20112222C 2C 22C 22C 2nnn n n n n n n n n x x x x x ，C 20,1,2,,i n i i n b i n ，令3x ，则有013n n b b b ；故有001132n n n n b a b a b a ，A 正确；令2n ，则有0120121,2,1,4,4,1a a a b b b ，分别代入B，C，D 选项：0120120124417,221218121b b b a a a a a a ，B 错误；012012111711411,12123332133a a a a a a ，C 错误；12012221644418,121644b b a a a ，D 错误；故选：A.二、多选题18．（2022·江苏南通·高三阶段练习）已知抛物线2:4C y x 的焦点为F ，抛物线C 上存在n 个点1P ，2P ，L ，n P （2n 且*N n ）满足1223112n n n PFP P FP P FP P FP n，则下列结论中正确的是（）A．2n 时，12112PF P F B．3n 时，123PF P F P F 的最小值为9C．4n 时，13241114PF P F P F P FD．4n 时，1234PF P F P F P F 的最小值为8【答案】BC【解析】当2n 时，1212PFP P FP ，此时不妨取12P P 过焦点垂直于x 轴，不妨取12(12),(12)P P ，，，则121111=+122PF P F ，故A 错误；当3n 时，12233123PFP P FP P FP，此时不妨设123,,P P P 在抛物线上逆时针排列，设1,(0,)2PFx,则12||1cos PF，则2222||,||241cos()1cos()33P F P F ，故123222241cos 1cos()1cos()33PF P F P F214(1cos )2211cos (cos )2，令113cos ,(,)222t t ，则123242332t PF P F P F t t ，令242332()t t tf t ，则232382627(1)()(32)(32)t t f t t t t t ，当112t 时，()0f t ，()f t 递增，当312t 时，()0f t ，()f t 递减，故min ()(1)9f t f ，故当1t ，即1cos ,23时，123PF P F P F 取到最小值9，故B 正确；当4n 时，122313442PFP P FP P FP P FP，此时不妨设1234,,,P P P P 在抛物线上逆时针排列，设1,(0,)2PFx,则12342222||,||,||,||31cos 1cos()1cos(1cos()22PF P F P F P F，即234222||,||,||1sin 1cos 1sin P F P F P F，故1322241cos 1cos sin PF P F ，2422241sin 1sin cos P F P F，所以132242sin cos 144141PF P F P F P F ，故C 正确；由C 的分析可知：23422122244416sin cos sin cos sin 2PF P F P F P F，当2sin 21 时，216sin 2取到最小值16，即1234PF P F P F P F 最小值为16，故D 错误；故选：BC19．（2022·江苏南通·高三阶段练习）在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，,n n M N 是圆222:O x y n 上两个不同的动点，n P 是n n M N 的中点，且满足 220n n n OM ON OP n N ．设,n n M N到直线20l y n n 的距离之和的最大值为n a ，则下列说法中正确的是（）A．向量n OM与向量n ON 所成角为120 B．n OP nC．22n a n nD．若2n n a b n ，则数列12{}(21)(21)n n n b b b 的前n 项和为11121n 【答案】ACD【解析】依题意，||||n n OM ON n，而点n P 是弦n n M N 的中点，则1()2n n n OP OM ON ，2222111(2)422n n n n n n n OP OM OM ON ON OM ON n，而220n n n OM ON OP ，于是得212n n O n OM N ，1cos 2||,||n n n n n n OM ON OM ON OM ON，即120,n n OM ON ，A 正确；显然n n OM N 是顶角120n nM ON 的等腰三角形，则1|||co 60|s 2n n OP OM n，B 不正确；依题意，点,n n M N到直线20l y n n 的距离之和等于点n P 到直线l 距离的2倍，由1|2|n OP n 知，点n P 在以原点O 为圆心，12n 为半径的圆上，则点n P 到直线l 距离的最大值是点O 到直线l的距离加上半径12n ，而点O 到直线l距离222n n d ，则点n P 到直线l 距离的最大值是22n n ，因此，222()22n n a n n n ，C 正确；由2n n a b n 得，n b n ，则111122(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)n n n b n n n b b n n n n 1112121n n ，因此，数列12{}(21)(21)n n n b b b 的前n 项和2231111111111212121212121n n n n T，D 正确.故选：ACD20．（2022·江苏南通·高三阶段练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆 2222:10x y C a b a b的离心率为2，1F 、2F分别为椭圆的左、右焦点，点A 在椭圆上，直线22:0l bx ay a b ，则（）A．直线l 与蒙日圆相切B．C 的蒙日圆的方程为2222x y a C．记点A 到直线l 的距离为d ，则2d AF的最小值为3b D．若矩形MNGH 的四条边均与C 相切，则矩形MNGH 的面积的最大值为28b 【答案】AC【解析】当两切线分别与两坐标轴垂直时，两切线的方程分别为x a 、y b ，所以，点 ,a b 在蒙日圆上，故蒙日圆的方程为2222x y a b ，因为22c e a ，可得222a b .对于A 选项，蒙日圆圆心到直线l 的距离为22d 所以，直线l 与蒙日圆相切，A 对；对于B 选项，C 的蒙日圆的方程为2222232x a b y a，B 错；对于C 选项，由椭圆的定义可得122AF AF a ，则21AF AF ，所以，21d F d AF A ，因为22c a b，直线l 的方程为30x b ，点 1,0F b 到直线l 的距离为d，所以，213d A b d AF d F，当且仅当1AF l 时，等号成立，C 对；对于D 选项，若矩形MNGH 的四条边均与C 相切，则矩形MNGH 的四个顶点都在蒙日圆上，所以，222212MN MH b ，所以，矩形MNGH 的面积为22262MN MHS MN MH b ，D 错.故选：AC.21．（2022·江苏南通·高三阶段练习）已知a >0，圆C ： 22ln 1x a y a ，则（）A．存在3个不同的a ，使得圆C 与x 轴或y 轴相切B．存在2个不同的a ，使得圆C 在x 轴和y 轴上截得的线段相等C．存在2个不同的a ，使得圆C 过坐标原点D．存在唯一的a ，使得圆C 的面积被直线exy 平分【答案】ACD【解析】由条件可知，圆C 的半径为1，圆心坐标为（a ，ln a ），即圆心在曲线y ＝ln x 上运动．对于A，当a ＝1时，圆C 与y 轴相切，当ln 1a ，即a ＝e 或1e时，圆C 与x 轴相切，所以满足要求的a有3个，A 正确；对于B，若圆C 在x 轴和y 轴上截得的线段相等，则圆心到x 轴和y 轴的距离相等，故圆心在y x 上，又圆心在y ＝ln x 上，作图可知曲线y ＝ln x 与y ＝x 没有公共点，与y ＝-x 有一个交点，所以满足要求的a 仅有一个，B 错误；对于C，若圆C 过坐标原点，则 22ln 1a a ，如下图可知，曲线y ＝ln x 与221x y 有两个交点，所以满足要求的a 有2个，C 正确；对于D，若圆C 的面积被直线e x y 平分，则直线exy 经过圆心（a ，ln a ），计算可知曲线y ＝ln x 在x ＝e 处的切线恰好为exy ，即满足要求的a 仅有一个，故D 正确．故选：ACD.22．（2022·江苏南通·高三阶段练习）数学家们在探寻自然对数底e 与圆周率之间的联系时，发现了如下公式：（1）231+1!2!3!n!nxx x x x e（2）357211sin 11!3!5!7!21!n n x x x x x x n （3）246221cos 112!4!6!22!n n x x x x x n 以下命题，正确的是（）A．i cos isin x x x e （i 为虚数单位）B．i 10e （i 为虚数单位）C．i sin i cos x e x x （i 为虚数单位）D．i i 0e （i 为虚数单位）【答案】AB【解析】根据题意， 23i i i i i 1+1!2!3!!nx x x x x e n 234i i i 1+1!2!3!4!!nx x x x x n ， 246221cos isin 112!4!6!22!n n x x x x x x n 357211i 11!3!5!7!21!n n x x x x x n234i i i 1+1!2!3!4!!nx x x x x n，所以i cos isin x x x e （i 为虚数单位），故A 选项正确，C 选项错误；当x 时，i cos i sin 1e ，所以i 10e （i 为虚数单位），故B 选项正确，D 选项错误；故选：AB23．（2022·江苏省灌南高级中学高三阶段练习）已知函数 sin 1xx f x e ，则下列结论正确的是（）A．函数 f x 在 0,π上单调递减B．函数 f x 在 π,0 上有极小值C．方程 12f x 在 π,0 上只有一个实根D．方程 1cos x x f x e x 在ππ,00,22上有两个实根【答案】ABD【解析】由题意，函数 sin 1xx f x e，可得 cos sin 1xx x f x e ，当 0f x ，即cos sin 10x x ，所以3cos()42x ，所以3322,444k x k k Z，解得22,2k x k k Z，当0k 时，02x；当1k 时，322x，当 0f x ，即cos sin 10x x ，所以32cos()42x ，所以5322,444k x k k Z ，解得222,2k x k k Z ，当0k 时，22x；当1k 时，302x，所以当(0,)x 时， 0,f x f x 单调递减，所以A 正确；又因为当(,2x 时， 0f x ，当(,0)2x时， 0f x ，所以 f x 在2x出取得极小值，所以B 正确；因为 ,()0,(0)12f e f f ，所以 12f x 在(,0) 上不只有一个实数根，所以C 不正确；因为方程 1cos x x f x e x，即sin 11cos x x x x e e x，即sin cos x x x e x ，所以tan xe x x，正切函数tan y x 在ππ,00,22为单调递增函数，又由函数e x y x，可得2(1)x e x y x，当π,02x和 0,1x 时，0y ，当π1,2x时，0y ，且当π,02x时，0xe y x ，作出两函数的大致图象，如图所示，由图象可得，当ππ,00,22x ，函数tan y x 与e xy x的图象有两个交点，所以D 正确.故选：ABD.24．（2022·江苏·连云港市海滨中学高三阶段练习）函数 1,1,ln 1,1,x e x f x x x若函数 g x f x x a只有一个零点，则a 可能取的值有（）A．2B．2 C．0D．1【答案】ABC【解析】∵ g x f x x a 只有一个零点，∴函数()y f x 与函数y x a 有一个交点，作函数函数 1,1,ln 1,1,x e x f x x x与函数y x a 的图象如下，结合图象可知，当0a 时；函数()y f x 与函数y x a 有一个交点；当0a 时，ln(1)y x ，可得11y x ，令111x 可得2x ，所以函数在2x 时，直线与ln(1)y x 相切，可得2a .综合得：0a 或2a .故选：ABC.25．（2022·江苏·金陵中学高三阶段练习）已知a 与b均为单位向量，其夹角为，则（）A．02a b B．11a bC．若1a b ，则20,3D．若,3，则1a b 【答案】ABD【解析】A 对， 211222cos 0,4a b a b，B 对， cos 1,1a b，C 错，21222cos 1cos 0,23a b，D 对， 21,cos 1,22cos 1,432a b．故选：ABD26．（2022·江苏·金陵中学高三阶段练习）连接正方体每个面的中心构成一个正八面体．甲随机选择此正八面体的三个顶点构成三角形，乙随机选择此正八面体三个面的中心构成三角形，且甲、乙的选择互不影响，则（）A．甲选择的三个点构成正三角形的概率为25B．甲选择的三个点构成等腰直角三角形的概率为25C．乙选择的三个点构成正三角形的概率为17D．甲选择的三个点构成的三角形与乙选择的三个点构成的三角形相似的概率为1135【答案】ACD【解析】甲随机选择的情况有36C 20 种，乙随机选择的情况有38C 56 种，对于A：甲选择的三个点构成正三角形，只有一种情况：甲从上下两个点中选一个，从中间四个点中选相邻两个，共有1124C C 8 种，故甲选择的三个点构成正三角形的概率为82205，故选项A 正确；对于B：甲选择的三个点构成等腰直角三角形，有三种情况：①上下两点都选，中间四个点中选一个，共有14C 4 种；②上下两点中选一个，中间四个点中选相对的两个点，共有1122C C 4 种；③中间四个点中选三个点，共有34C 4 种，故共有4+4+4=12种，所以甲选择的三个点构成等腰直角三角形的概率为123205，故选项B 错误；对于C：乙选择的三个点构成正三角形，只有一种情况：上面四个面的中心中选一个点且从下面四个面的中心选相对的两个点，或下面四个面的中心中选一个点且从上面四个面的中心选相对的两个点，共有248种，所以乙选择的三个点构成正三角形的概率为81567，故选项C 正确；对于D ：选择的三个点构成等腰直角三角形同上所求，共有8+16=24种，概率为243567，甲乙相似，则甲乙均为正三角形或均为等腰直角三角形，所以甲选择的三个点构成的三角形与乙选择的三个点构成的三角形相似的概率为213311+575735，故D 选项正确.故选：ACD.27．（2022·江苏省泰兴中学高三阶段练习）设2n ，*N n ．若{0,1}i c (1,2,,)i n ，则称序列12(,,,)n c c c 是长度为n 的0—1序列．若12n n a c c c ，1122n n n b a c a c a c ，则（）A．长度为n 的0—1序列共有2n 个B．若数列{}n a 是等差数列，则2n b n C．若数列{}n b 是等差数列，则0n a D．数列{}n b 可能是等比数列【答案】AC【解析】由分步乘法计数原理可知：i c (1,2,,)i n 选0或1，均有2种选择，故12(,,,)n c c c 共有2n 个，A 正确；因为数列{}n a 是等差数列，所以1n n n a a c 为定值，当0n c ，则0i c (1,2,,)i n ，则11220n n n b a c a c a c ，当1n c ，则1i c (1,2,,)i n ，则 1211232n n n n b a a a n ，B 错误；若数列{}n b 是等差数列，则 112n n n n n n b b a c c c c c 为定值，只有0i c (1,2,,)i n 能满足要求，故0n a ，C 正确；若数列{}n b 是等比数列，则11221112211nn nn n n b a c a c a c q b a c a c a c为定值，且0q ，因为0n b ，所以0n c ，1122112211n n n n a c a c a c q a c a c a c ，所以 1122111n n n n a c q a c a c a c ，若1q ，则 120n n n n c c a c c c ，所以0n c ，舍去；若1q ， 22111a c q a c ， 212211c c c q c ，其中121c c ，解得：3q ，3311221a c q a c a c ，其中1231c c c ，解得：2q =，故q 不是定值，数列{}n b 不可能是等比数列，D 错误.故选：AC28．（2022·江苏江苏·高三阶段练习）已知0m ，0n ，且1m n ，则下列结论正确的是（）A．122m n 的最小值是4；B．sin 1n m 恒成立；C．22log log 2m n 恒成立；D．222m n n m m n 的最大值是2313【答案】BCD【解析】对于A，1224 m n ，当且仅当122 m n ，即1m n ，即0,1n m 等号成立，而0n ，故A 错误，对于B，令()sin f x x x ，(0,1)x ， cos 10f x x ，所以 f x 在 0,1上单调递减，故()(0)0f m f ，则sin 1n m n m ，故B 正确，对于C，因为0m ，0n ，且1m n ，所以2124m n mn，当且仅当12m n时，等号成立，则22221log log log log 24m n n m ，故C 正确，对于D，因为222222122111 n m n n n n m m n n n n nn n ，令2n t ，则2222131(2)(2)1333n t t n n t t t t t t，(1,2)t当t，即2n 时，222m n n m m n，故D 正确，故选：BCD29．（2022·河北·高三阶段练习）已知直线:l y x a 与曲线:e 1x C y b ，则（）A．当0b 时，l 与C 没有交点B．当a b e 时，l 与C 有两个交点C．当ln a b 时，l 与C 没有交点D．当ln a b 时，l 与C 有一个交点【答案】CD【解析】由,e 1,xy x a y b 得e 1 x b x a ，即(1)e x x a b ．设()(1)e () R x f x x a x ，则()()e x f x x a ．当x a 时，()0f x ；当x a 时，()0f x ，故()f x 在(,)a 上为减函数；在(,)a 上为增函数．从而min ()()e a f x f a ．当x a 时，()0f x ；当2x a 时，2()e 0a f x ．如图，当0b ，即0b 时，l 与C 只有一个交点，则A 错误；当e 0 a b ，即0e a b 时，l 与C 有两个交点，则B 错误；当e a b ，即e a b ，即ln a b 时，l 与C 没有交点，则C 正确；当e a b ，即ln a b 时，l 与C 有一个交点，则D 正确．故选：CD．30．（2022·河北邢台·高三阶段练习）已知函数 2,01ln 1,1x x f x x x ，若直线y m 与函数 f x 的图象有三个交点 1,A x m ， 2,B x m ， 3,C x m ，且123x x x ，则下列命题中错误的是（）A．函数 f x 有两个零点 0,0和 2,0B．2323x x x x C．方程 2560f x f x 有六个不同的根D．当1k 时，方程 2f x kx 有两个不相等的实数根【答案】ACD【解析】由题意， f x 在 0,1、 2, 单调递增，在 1,2单调递减，123012x x x ，对A，函数()f x 有两个零点0或2，A 错；对B， 2323ln 1ln 1f x f x x x ，可得 23111x x ，即2323x x x x ，B 正确；对C， 2560f x f x 可得()2f x 或3，由 f x 单调性及值域，只有4个不同的根，不可能有六个不同的根，C 错；对D，如图，作出函数2,01ln 1,1x x f x x x 的大致图象，当2x 时，1()ln(1),()1f x x f x x，故()f x 在点(2,0)处的切线斜率为1121，当1k 时，方程()2f x kx 过(2,0)且与()ln(1)f x x 相切，故只有一个实数根，D 错.故选：ACD31．（2022·河北邢台·高三阶段练习）已知函数 f x 及其导数 f x 的定义域均为R，记 g x f x ．若322f x 为偶函数，12g x为奇函数，则（）A．302fB．102g C． 120g g D．70122g g【答案】BCD【解析】3(2)2f x ∵为偶函数，可得33(2)(2)22f x f x ，所以33()()22f x f x ()f x 关于直线32x对称，设23()=()12f x x ，3()102f ，所以选项A 错误；1()2g x ∵为奇函数，11()()22g x g x ，所以函数()g x 关于点1(,0)2对称.令0x 得1(02g .故选项B 正确；()f x ∵关于直线32x对称，所以33()()22f x f x 所以''33[()][()]22f x f x ，即''33()()22f x f x 所以(1)(2)0f f ，所以(1)(2)0g g ，故选项C 正确；所以17()()022f f ，所以17()()022g g ，故选项D 正确.故选：BCD32．（2022·江苏江苏·高三阶段练习）设函数()f x 的定义域为R ，且(1)f x 是奇函数，()f x 是偶函数，则下列说法正确的是（）A．(1)0f B．函数()f x 是以2为周期的周期函数C．函数()y f x 的图像关于直线2x 对称D．函数(1)f x 为奇函数【答案】ACD【解析】因为(1)f x 是奇函数，所以(1)(1)f x f x ，则(1)(1)0f x f x 所以()f x 关于点1,0（）对称，(1)0f ，故A 正确；且(2)()0f x f x ()f x ∵是偶函数()()f x f x ，所以202f x f x f x f x 故(4)(2)()f x f x f x ，所以函数()f x 是以4为周期的周期函数．故B 错误；4f x f x f x ∵函数()y f x 的图像关于直线2x 对称，C 正确；令()(1)F x f x ，则()(1)(1)F x f x f x ，由于 20,f x f x 故(1)(1)0 f x f x ，即 111,f x f x f x 所以()()F x F x ，即函数(1)f x 为奇函数，D 正确．故选：ACD33．（2022·江苏省泰兴中学高三阶段练习）设1a ，log (2)a x a ，log (1)a y a ，ln az a，则（）A．y x zB．y z xC．x 随着a 的增大而减小D．y 随着a 的增大而减小【答案】ACD【解析】因为1a ，所以21a a ，所以log (2)log (1)a a a a ，即x y ，ln e log e ln ln aa a a z a a，因为e 2e 2a a a ，当1a 时，e 20a ，所以e 2a a 在 1,a 上单调递增，所以e 2e 20a a ，即e 2a a ，即z x ，所以y x z ，故A 正确、B 错误，21log (2)log 211log a a x a a，所以当a 增大时，2log a 增大且2log 0a ，211log a减小，即x 减小，故C 正确，11ln 1ln11log (1)1log ln ln a aa a a a y a aa a，因为当a 增大时，1ln 1a 减小且1ln 10a，ln a 增大且ln 0a ，所以1ln 1ln a a减小，即y 减小，故D 正确，故选：ACD 三、填空题34．（2022·江苏南通·高三阶段练习）函数 Rf x x 的值域为______.【答案】3344－＋，【解析】R x ∵，30x ，设y f x得：312sin x y x ，即312sin x y x ，化得：312sin cos sin()y x x x ，sin()x ，sin()1x （其中5tan 2 ）.化得：24630y y y 故答案为：32132144－＋，35．（2022·江苏南通·高三阶段练习）已知00(,)P x y 是抛物线24y x 000210x y 的最小值为______.【答案】12 【解析】如下图示，过抛物线24y x 上的动点00(,)P x y 作直线:2100l x y 的垂线交直线于M ，过点00(,)P x y 作y 轴的垂线交y 轴于Q ，交准线于G 点，F 为抛物线焦点.则P M 00(,)P x y 到y 轴的距离为000(0)PQ x x x .0(1)()1x PM PQ PM PG PM F P ＝，当且仅当F P M 、、三点共线时，PM PQ有最小值，即(1)1PM PQ PM PF MF （MF 为点F 到直到l 的距离）.而(1,0)F 到直线2100x y 距离为：MF011x MF，00002101)12x y x000210x y 最小值为：12故答案为：12 36．（2022·江苏南通·高三阶段练习）在空间直角坐标系O－xyz 中，三元二次方程所对应的曲面统称为二次曲面．比如方程2221x y z 表示球面，就是一种常见的二次曲面．二次曲而在工业、农业、建筑等众多领域应用广泛．已知点P (x ，y ，z )是二次曲面2240x xy y z 上的任意一点，且0x ，0y ，0z ，则当z xy 取得最小值时，111x y z的最大值为______．【答案】23【解析】由题设，224z x xy y ，故4113z x y xy y x ，当且仅当2y x 时等号成立，所以，此时23111111126x y z xy xz x x，令10t x ，则23()26t t f t ，故(2)()2t t f t ，所以，当02t 时()0f t ，当2t 时()0f t ，即()f t 在(0,2)上递增，在(2,) 上递减.故2()(2)3f t f，且1,12x y 时等号成立，综上，111x y z的最大值为23.故答案为：23.37．（2022·江苏省灌南高级中学高三阶段练习）若函数 sin 0,0f x A x A 的图像与直线y m 的三个相邻交点的横坐标分别是6 ,3 ,23,则实数的值为________．【答案】4【解析】由题意得函数 f x 的最小正周期2236T,解得4 故答案为：438．（2022·江苏·金陵中学高三阶段练习）在数列 n a 中，11a ，22a ，数列 n b 满足1(1)n n n n b a a ，*n N ．若2210n n b b ，21262n n n b b ，*n N ，则数列 n a 的前2022项和为_________．【答案】1009152【解析】由已知得2212n n n b a a ，212221n n n b a a ，所以22122262n n n n nb b a a ，即数列 n a 前2022项中偶数项的和为： 246810202020222410106662222a a a a a a a50510091114412641214.又由已知得2212n n n b a a ，21221n n n b a a ，所以2212121n n n n b b a a ，即奇数项为公比为－1的等比数列，即121(1)n n a ，即前2022项中奇数项和为1；综上所述，前2022项和为1009152．故答案为：100915239．（2022·江苏·金陵中学高三阶段练习）已知椭圆C ： 222210x y a b a b的右焦点为 2,0F ，经过原点O 且斜率k C 交于A ，B 两点，AF 的中点为M ，BF 的中点为N ．若OM ON ，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是_________．【答案】12【解析】设 2,2A m n （不妨设0m ，0n ），则 1,M m n ，由直线AB 过原点和椭圆的对称性可得(2,2)B m n --，所以 1,N m n ，22220101OM ON OM ON m n m n2222213134n k n n m m m m m所以由点在椭圆上得2222441m n a b ，结合上述条件可得：222244414m m a a ，化简得 222816a a m，即 22810164a a，解得248a ，所以1a ，所以212c e a a．故答案为：12.40．（2022·江苏省泰兴中学高三阶段练习）在ABC 中，AB AC BC ，D 为BC 上一点，E 为AD 上一点，F 为EC 上一点，且2CD BD ，90BEC ，DF λBC μBA，||2||DF DC DE，则 ____________．【答案】1021【解析】设3AB AC BC ，11,013x BE xBD x BA BC x BA x， 113x CE BC x BA，则 11133x x BE CE BC x BA BC x BA222111113333x x x x BC x x BC BA x BA222251313391332x x x x x22797022x x，解得：37x或32（舍去），所以3477BE BD BA ，即3477BE BD BA BE，3477DE EA，故47DE DA ，在三角形ABD 中，2222911cos 262AB BD AD AD ABC AB BD ，解得：AD DE在三角形ACD 中，222cos214AD CD AC ADC AD CD ，取FC 中点为M ，因为||2||DF DC DE，所以||||DM DE，设 1,01DF yDE y DM y，且1122DM DF DC ，所以21DM DC yDE y DM ，即 1y DM yDE DC，两边平方得：22222212y y DM y DE yDE DC DC ，即 22222212y y DE y DE yDE DC DC ，整理得： 22212y DE yDE DC DC ，即16212247y y ，解得：12y ，1122DF DE DM，所以M 为FC 的中点，F 为EC 上靠近点E 的三等分点，所以22142833772121DF BE BC BA BC BA，所以28,2121λμ，故8210212121λμ 故答案为：102141．（2022·江苏省泰兴中学高三阶段练习）已知双曲线22:1C x y 与椭圆2222:1y x E a b(0)a b 有两个公共点，若直线y kx 和y 与C ，E 从左到右的四个交点的横坐标分别成等差数列，则 a ____________．【答案】7【解析】如图，设直线y kx 与曲线C 交于A ，B 两点，与曲线E 交于P ，Q 两点；直线y 曲线C 交于D ，F 两点，与曲线E 交于M ，N 两点已知双曲线22:1C x y 与椭圆2222:1y x E a b (0)a b 有两个公共点，则两曲线的顶点重合，则1b ，则椭圆2222:(1)E y a x a a 则22221(1)10x y k x y kx所以210,1A B A B x x x x k，且A Bx x故有A B x x 则22222222()0y a x a a k x a y kx 所以2220,P Q P Q a x x x x a k ，且P Qx x故有P Q x x同理可得：D F x x ，22M N x x a a且222a k 若直线y kx和y 与C ，E 从左到右的四个交点的横坐标分别成等差数列则由图得：,,,A P Q B x x x x 成等差数列，,,,D M N F x x x x 成等差数列所以2,2P A Q M D Nx x x x x x则 2222228198218a k a a k a，故得：2177a所以：a42．（2022·江苏江苏·高三阶段练习）函数 313ln f x x x 的最小值为_________．【答案】2【解析】令 1ln g x x x ，则 111x g x x x ，令 0g x ，解得1x ，当01x 时， 0g x ，则 g x 单调递减；当1x 时， 0g x ，则 g x 单调递增；故 10g x g ，则1ln x x .因为ln 1 x x ，所以 313ln 31)3(12f x x x x x （）当且仅当1x 时等号成立，因此()f x 的最小值为2．故答案为：2.43．（2022·河北·高三阶段练习）如图是函数ππ()sin()0,0,22f x K x K的部分图象，A 是图象的一个最高点，D 是图象与y 轴的交点，B ，C 是图象与x 轴的交点，且 0,1D ，ABC 的面积等于π2．若π,π12x时，关于x 的方程2[()](1)()0f x m f x m 恰有3个不同的实数根，则m 的取值范围是_____________．【答案】[1,0]{2,2}【解析】由题意可得11π2,||||2222ABC A K S BC y BC△，设()f x 的最小正周期为T ，则2ππ||222T BC ，即2 ．所以()2sin(2)f x x ，又图象过点(0,1)D ，则(0)2sin 1f ，又因为ππ22，所以π6 ，所以π()2sin 26f x x，当π,π12x 时，π11π20,66x ，()f x 在π,π12 上先增后减再增，且ππ0,2,(π)1123f f f ，由2[()](1)()0f x m f x m ，解得()1f x 在π,π12上有2个不同的实数根，所以()f x m 需要有1个实数根，此时10m ，或2m ，故m 的取值范围为[1,0]{2,2} ．故答案为：[1,0]{2,2}44．（2022·河北邢台·高三阶段练习）设定义域为 0, 的单调可导函数 f x ，对任意的 0,x ，都有 3log 4f f x x ，若0x 是方程 23f x f x 的一个解，且 0,1x a a ，*a N ，则实数f a ________.【答案】2【解析】对任意的,()0x ，都有 3()log 4f f x x ，且()f x 是(0,) 上的单调函数，因此 3log f x x 为定值，设 3log t f x x ，则 3log f x t x ，显然 4f t ，即3log 4t t ，而函数3()log h t t t 在(0,) 上单调递增，且(3)4h ，于是得3t ，从而 3log 3f x x ，求导得 1ln3f x x，方程 3223log 0ln 3f x f x x x，依题意，0x 是函数32()log ln 3g x x x 的零点，而函数()g x 在(0,) 上单调递增，且 31ln 2122log 20,310ln 3ln 33ln 3g g ，即函数()g x 的零点0(2,3)x ，又*0,(1),N x a a a ，所以2a .故答案为：245．（2022·河北·高三阶段练习）如图，某商家欲在广场播放露天电影，幕布最高点A 处离地面12m ，最低点B 处离地面9m ．胡大爷的眼睛到地面的距离为170cm ，他带着高30cm 的小板凳去观影，由于观影人数众多，胡大爷决定站在板凳上观影，为了获得最佳观影效果（视角最大），胡大爷离幕布的水平距离应为_____________．【解析】过点C 作CD AB 于D，设,,(0) ACD BCD CD x x ，则，胡大爷站在板凳上眼睛到地面的距离为2m ．在Rt ACD △和Rt BCD 中，107tan ,tan x x，则107tan tan 3tan tan()107701tan tan 1 x x x x x xx 时等号成立），又π0,2 ，则当 x 时，视角时，观影效果最佳．四、双空题46．（2022·江苏南通·高三阶段练习）若,i j 为直角坐标平面内,x y 轴正方向上的单位向量，向量(2)a xi y j ，(2)b xi y j ， ,R x y ，且||||8a b ，则点(,)M x y 的轨迹方程为______，该轨迹的离心率为______.【答案】2211612y x 12【解析】由题意可知向量(2)a xi y j ，(2)b xi y j ， ,R x y ，且||||8a b 8 ，即点(,)M x y 到两点(0,2),(0,2) 的距离之和为8，且84 ，故(,)M x y 的轨迹是以(0,2),(0,2) 为焦点的椭圆，且24,2,12a c b ，则点(,)M x y 的轨迹方程为2211612y x ，离心率为2142c a ，故答案为：2211612y x ；12。

2023年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编(六)含答案解析

2023年新高考数学选填压轴题汇编(六)一、单选题1.(2022·福建省福州华侨中学高三阶段练习)函数f x =A sin ωx +π4ω>0 的图象与x 轴的两个相邻交点间的距离为π3，要得到函数g x =A cos ωx 的图象，只需将f x 的图象( )A.向左平移π12个单位 B.向右平移π4个单位C.向左平移π4个单位D.向右平移3π4个单位【答案】A【解析】由题意，函数f x =A sin ωx +π4 ω>0 的图象与x 轴的两个相邻交点间的距离为π3∴ 周期T =2π3，由周期公式：T =2πω∴T =2π3=2πω解得： ω=3∴f x =A sin 3x +π4 =A sin3x +π12要得到g x =A cos3x ，即g x =A cos3x =A sin 3x +π2=A sin3x +π6 由题意，可得f x 向左平移π12个单位可得g x .故选：A .2.(2022·福建省福州屏东中学高三开学考试)若函数f x =e x -a -1 x +1在(0，1)上不单调，则a 的取值范围是( )A.2,e +1B.2,e +1C.-∞,2 ∪e +1,+∞D.-∞,2 ∪e +1,+∞【答案】A【解析】∵f (x )=e x -(a -1)x +1，∴f (x )=e x -a +1，若f (x )在(0,1)上不单调，则f (x )在(0,1)上有变号零点，又∵f (x )单调递增，∴f 0 ∙f 1 <0，即(1-a +1)(e -a +1)<0，解得2<a <e +1．∴a 的取值范围是(2,e +1)．故选：A ．3.(2022·福建省福州第二中学高三阶段练习)已知圆C :x 2+y 2-10y +21=0与双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是A.2B.53C.52D.5【答案】C【解析】由双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)，可得其一条渐近线的方程为y =b a x ，即bx -ay =0，又由圆C :x 2+y 2-10y +21=0，可得圆心为C (0,5)，半径r =2，则圆心到直线的距离为d =-5a b 2+(-a )2=5a c ，则5a c =2，可得e =c a =52，故选C ．4.(2022·福建省福州第一中学高三开学考试)过圆x 2+y 2=64上的动点作圆C :x 2+y 2=16的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆C 不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为( )A.4πB.6πC.8πD.12π【答案】A 【解析】设圆x 2+y 2=64的动点为P m ,n ，过P 作圆C 的切线，切点分别为A ,B ，则过P ,A ,B 的圆是以PO 直径的圆，该圆的方程为：x x -m +y y -n =0.由x 2+y 2=16x x -m +y y -n =0 可得AB 的直线方程为：mx +ny =16.原点到直线mx +ny =16的距离为16 m 2+n 2=1664=2，故圆C 不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为4π，故选：A .5.(2022·福建省福州第一中学高三开学考试)某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是A.16π9B.8π9C.16π27D.8π27【答案】A【解析】设圆柱的半径为r ，高为x ，体积为V ，则由题意可得r 2=3-x3，∴x =3-32r ，∴圆柱的体积为V (r )=πr 23-32r (0<r <2)，则V (r )=169π∙34r ∙34r ∙3-32r ≤16π9∙34r +34r +3-32r 33=16π9．当且仅当34r =3-32r ，即r =43时等号成立．∴圆柱的最大体积为16π9，故选：A ．6.(2022·福建省福州延安中学高三开学考试)已知2sin 2x +cos 2y =1，则sin 2x +cos 2y 的取值范围是( )A.0,12B.12,1C.22,1D.12,22【答案】B【解析】∵2sin 2x +cos 2y =1，∴cos 2y =1-2sin 2x ，∴0≤1-2sin 2x ≤1，∴0≤sin 2x ≤12，又sin 2x +cos 2y =sin 2x +1-2sin 2x =1-sin 2x ∈12,1，∴sin 2x +cos 2y 的取值范围是12,1.故选：B7.(2022·福建·福州十八中高三开学考试)设函数f (x )的定义域为R ，f (x +1)为偶函数，f (x +2)为奇函数，当x ∈[1,2]时，f (x )=ax +b .若f (0)+f (3)=4，则f 92=( )A.-2B.32C.-72D.72【答案】A【解析】因为f (x +1)为偶函数，则f (x +1)的图像关于y 轴对称，所以f (x )关于x =1对称，则f (0)=f (2)，试卷第2页，共40页因为f (x +2)为奇函数，则f (x +2)的图像关于原点对称，且f (2)=0，所以f (x )关于(2,0)对称，则f (3)=-f (1)，因为当x ∈[1,2]时，f (x )=ax +b ，所以f (1)=a +b ，f (2)=2a +b =0，因为f (0)+f (3)=4，所以f (2)-f (1)=a =4，故f (2)=2a +b =8+b =0⇒b =-8，从而当x ∈[1,2]时，f (x )=4x -8，故f 92 =-f -12 =-f 52 =f 32 =4×32-8=-2.故选：A .8.(2022·福建·闽江学院附中高三开学考试)设函数f x 是奇函数f x x ≠0 的导函数，f -1 =-2．当x >0时，f x >2，则使得f x >2x 成立的x 的取值范围是( )A.-∞,-1 ∪0,1 B.-1,0 ∪1,+∞ C.-∞,-1 ∪1,+∞ D.-1,0 ∪0,1【答案】B【解析】因为当x >0时，f x >2，所以f 'x -2>0，故令g x =f x -2x ，则g 'x =f 'x -2>0，故g x 在0,+∞ 上单调递增.因为f -1 =-2，所以g -1 =f -1 +2=0，又因为f x 为奇函数，所以g x =f x -2x 为奇函数，所以g 1 =0，且在区间-∞,0 上，g x 单调递增.所以使得f x >2x ，即g x >0成立的x 的取值范围是-1,0 ∪1,+∞ .故选：B9.(2022·江苏·常州市平陵高级中学高三开学考试)若函数f x =x 2+ax +b 在区间[0,1]上的最大值是M ,最小值是m ,则M -m 的值A.与a 有关，且与b 有关 B.与a 有关，但与b 无关C.与a 无关，且与b 无关 D.与a 无关，但与b 有关【答案】B【解析】因为最值在f (0)=b ,f (1)=1+a +b ,f -a 2 =b -a 24中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．10.(2022·江苏·常州市平陵高级中学高三开学考试)设函数f (x )的定义域为R ，f (x +1)为奇函数，f (x +2)为偶函数，当x ∈[1,2]时，f (x )=a ⋅2x +b ．若f (0)+f (3)=6，则f log 296 的值是( )A.-12 B.-2 C.2 D.12【答案】B【解析】f (x +1)为奇函数，即其图象关于(0,0)点对称，所以f (x )的图象关于(1,0)点对称，f (x +2)为偶函数，即其图象关于y 轴对称，因此f (x )的图象关于直线x =2对称，所以f (1)=0，f (0)=-f (2)，f (3)=f (1)，所以f (1)=2a +b =0，f (0)+f (3)=-f (2)=-(4a +b )=6，由此解得a =-3，b =6，所以x ∈[1,2]时，f (x )=-3⋅2x +6，由对称性得f (x +2)=f (2-x )=-f (1-(1-x ))=-f (x )，所以f (x +4)=-f (x +2)=f (x )，f (x )是周期函数，周期为4，6<log 296<7，f (log 296)=f (log 296-4)=f (4-log 296+4)=f log 225696 =f log 283 =-3×83+6=-2，故选：B ．11.(2022·江苏·盐城市伍佑中学高三开学考试)已知函数f x =x 2+4a -3 x +3a ,x <0log ax +1 +1,x ≥0(a >0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程f x =2-x 恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( )A.12,23 ∪34B.23,34 C.13,23 ∪34D.13,34【答案】C【解析】函数f x 在R 上单调递减，则3-4a 2≥00<a <102+4a -3 ⋅0+3a ≥log a 0+1 +1，解得13≤a ≤34，在同一直角坐标系中，画出函数y =f x 和函数y =2-x 的图象，如图：由图象可知，在0,+∞ 上，f x =2-x 有且仅有一个解，故在-∞,0 上，f x =2-x 有且仅有一个解，当3a >2即a >23时，由x 2+4a -3 x +3a =2-x ，即x 2+4a -2 x +3a -2=0,x <0，则Δ=(4a -2)2-43a -2 =0，解得a =34或1(舍去)，当a =34时，方程可化为x +12 2=0,x =-12符合题意；当1≤3a ≤2，即13≤a ≤23时，由图象可知，符合条件，综上：a 的取值范围为13,23 ∪34.故选：C .12.(2022·江苏·盐城市伍佑中学高三开学考试)已知正实数a ,b 满足abe a +ln b +1=0，则( )A.b >1eB.a <1C.ab =1D.e a <1b【答案】D【解析】因为abe a +ln b +1=0，所以ae a =-ln b -1b>0，故ln b +1<0，即0<b <1e，故选项A 错误；若a =1，则eb +ln b +1=0，作出函数y =ln x 与y =-ex -1的图象如图所示：显然有交点，则方程eb +ln b +1=0有解，故选项B 错误；若ab =1，则e a -ln a +1=0，即e a =ln a -1，作出函数y =e x 与y =ln x -1的图象如图所示：显然无交点，则方程e a -ln a +1=0无解，故选项C 错误；因为abe a +ln b +1=0，则ae a +1b =-ln bb=-ln b ⋅e -ln b >ae a ，且-ln b >0，令f x =xe x (x >0)，则fx =x +1 e x >0，所以f x在区间,+∞ 上单调递增，所以f -ln b >f a ，即-ln b >a ，因此e a <1b，故选项D 正确.故选：D13.(2022·江苏·睢宁县菁华高级中学有限公司高三阶段练习)已知函数f x =ln x x 2，若f x <m -1x2在(0,+∞)上恒成立，e =2.71828⋅⋅⋅为自然对数的底数，则实数m 的取值范围是( )试卷第2页，共40页A.m >eB.m >e2C.m >1D.m >e【答案】B【解析】若f x <m -1x 2在(0,+∞)上恒成立，即f x +1x2<m 在(0,+∞)上恒成立，令g (x )=f (x )+1x 2=ln x +1x 2，故只需g (x )max <m 即可，g (x )=1x ⋅x 2-(ln x +1)⋅2xx 4=-2ln x -1x 3，令g(x )=0，得x =e -12，当0<x <e-12时，g(x )>0；当x >e-12时，g (x )<0，所以g (x )在0，e-12上是单调递增，在e -12,+∞ 上是单调递减，所以当g (x )max =g e -12 =e2，所以实数m 的取值范围是m >e2.故选：B .14.(2022·河北省唐县第一中学高三开学考试)定义运算a *b ，a *b ={a b a ≤ba >b，例如1*2=1，则函数y =1*2x 的值域为A.0,1 B.-∞,1 C.1,+∞ D.0,1【答案】D【解析】当1≤2x 时，即x ≥0时，函数y =1*2x =1当1>2x 时，即x <0时，函数y =1*2x =2x ∴f (x )=1，x ≥02x ，x <0由图知，函数y =1*2x 的值域为：(0，1]．故选D ．15.(2022·重庆·临江中学高三开学考试)已知函数f x =log 3x ,x >03x,x ≤0，若函数g x =f x 2-m +2 f x +2m恰好有5个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.0,1B.0,1C.1,+∞D.1,+∞【答案】A【解析】画出函数的大致图象，如下图所示：∵函数g x =f x 2-m +2 f x +2m 恰好有5个不同的零点，∴方程f x2-m +2 f x +2m =0有5个根，设t =f (x )，则方程化为t 2-m +2 t +2m =0，易知此方程有两个不等的实根t 1，t 2，结合f (x )的图象可知，t 1∈0,1 ，t 2∈1,+∞ ，令h (t )=t 2-m +2 t +2m ，则由二次函数的根的分布情况得：Δ=(m +2)2-8m >0h (0)>0h (1)≤0，解得：0<m ≤1.故选：A16.(2022·重庆·临江中学高三开学考试)已知定义在(-3,3)上的函数f (x )满足f (x )+e 4x f (-x )=0,f (1)=e 2,f (x )为f (x )的导函数，当x ∈[0,3)时，f (x )>2f (x )，则不等式e 2x f (2-x )<e 4的解集为( )A.(-2,1)B.(1,5)C.(1,+∞)D.(0,1)【答案】B 【解析】令g x =f xe2x ，所以f x =e 2x g x ，因为f x +e 4x f -x =0，所以e 2x ⋅g x +e 4x ⋅e -2x g -x =0，化简得g x +g -x =0，所以g x 是-3,3 上的奇函数；gx =f x e 2x -2e 2x f x e 4x =f x -2f x e 2x，因为当0≤x <3时，f x >2f x ，所以当x ∈0,3 时，g x >0，从而g x 在0,3 上单调递增，又g x 是-3,3 上的奇函数，所以g x 在-3,3 上单调递增；考虑到g 1 =f 1 e 2=e 2e2=1，由e 2x f 2-x <e 4，得e 2x e 22-x g 2-x <e 4，即g 2-x <1=g 1 ，由g x 在-3,3 上单调递增，得-3<2-x <3,2-x <1,解得1<x <5，所以不等式e 2x f 2-x <e 4的解集为1,5 ，故选：B .17.(2022·重庆南开中学高三阶段练习)公元656年，唐代李淳风注《九章》时提到祖暅的开立圆术.祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理，我们可以应用此原理将一些复杂几何体转化为常见几何体的组合体来计算体积.如图，将双曲线C :y 2-x 2=5与直线x =±2所围成的平面图形绕双曲线的实轴所在直线旋转一周得到几何体Γ，下列平面图形绕其对称轴(虚线所示)旋转一周所得几何体与Γ的体积相同的是( )A.图①，长为6､宽为4的矩形的两端去掉两个弦长为4､半径为3的弓形B.图②，长为25､宽为4的矩形的两端补上两个弦长为4､半径为3的弓形C.图③，长为6､宽为4的矩形的两端去掉两个底边长为4､腰长为3的等腰三角形D.图④，长为25､宽为4的矩形的两端补上两个底边长为4､腰长为3的等腰三角形【答案】B【解析】由y 2-x 2=5x =2得：y =±3，则当y =t 5<t <3 与C 相交于两点时，内圆半径r =t 2-5，则在该位置旋转一周所得圆环面积为4π-t2-5 π=9-t 2 π；将所有图形均以矩形的中心为原点，以对称轴为y 轴建立平面直角坐标系，试卷第2页，共40页对于③，双曲线实轴长为25，③中y 轴的最短距离为6-232-22=6-25，不合题意，③错误；对于④，几何体Γ母线长为6，④中y 轴的最长距离为25+232-22=45，不合题意，④错误；对于①，在y 轴的最短距离为6-2×3-32-22 =25，母线长为6，与几何体Γ吻合；当y =t 5<t <3 与①中图形相交时，两交点之间距离为232-3+5-t 2，此时圆环面积为4π-32+3+5-t 2 π=-t 2+23+5 t -14-25 π，不合题意，①错误对于②，在y 轴的最长距离为25+2×3-32-22 =6，矩形高为25，与几何体Γ吻合；当y =t 5<t <3 与②中图形相交时，两交点之间距离为232-t 2=29-t 2，此时圆面积为9-t 2 π，与圆环面积相同，满足题意，②正确.故选：B .18.(2022·辽宁·高三开学考试)已知函数f x 满足：f 1 =14，4f x f y =f x +y +f x -y x ,y ∈R ，则2022k =0f (k )= ( )A.12B.14C.-14D.-12【答案】A【解析】4f x f y =f x +y +f x -y x ,y ∈R ，令x =1,y =0得：4f 1 f 0 =2f 1 ，因为f 1 =14，所以f 0 =12，令x =n ，y =1得：4f n f 1 =f n +1 +f n -1 ，即f n =f n +1 +f n -1 ，则f n +1 =f n +2 +f n ，上面两式子联立得：f n +2 =-f n -1 ，所以f n -1 =-f n -4 ，故f n +2 =f n -4 ，故f x 是以6为周期的函数，且f 0 +f 1 +f 2 +f 3 +f 4 +f 5 =f 0 +f 1 +f 2 -f 0 -f 1 -f 2 =0，所以2022k =0f (k )= 3375k =0f (k )+f 2022 =0+ f 2022 =f 0 =12故选：A19.(2022·辽宁·沈阳市第四中学高三阶段练习)已知△ABC ，I 是其内心，内角A ,B ,C 所对的边分别a ,b ,c ，则( )A.AI =13(AB +AC )B.AI =cAB a +bACaC.AI =bAB a +b +c +cAC a +b +cD.AI =cAB a +b +bACa +c 【答案】C【解析】延长AI ,BI ,CI ，分别交BC ,AC ,AB 于D ,E ,F .内心是三角形三个内角的角平分线的交点.在三角形ABD 和三角形ACD 中，由正弦定理得：BD sin 12∠BAC =c sin ∠ADB ,CD sin 12∠BAC =bsin ∠ADC ，由于sin ∠ADB =sin ∠ADC ，所以BD c =CD b ,BD CD =c b ，BD BD +CD =c b +c ,BD a =c b +c ,BD =acb +c，同理可得c BD =AI DI ，c BD +c =AI DI +AI =AIAD ，AI =c ⋅AD BD +c =c ac b +c+c ⋅AD =b +c a +b +c ⋅AD .所以AD =AB +BD =AB +c b +c BC =AB +c b +c AC -AB=b b +c AB +c b +c AC，则AI =b +c a +b +c ⋅AD =b +c a +b +c ⋅b b +c AB +c b +c AC =b a +b +c AB +ca +b +c AC .故选：C 20.(2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习)已知不等式x ln x +(x +1)k <2x ln2的解集中仅有2个整数，则实数k 的取值范围是( )A.0,34ln 43 B.34ln 43,23ln2C.23ln2,+∞D.34ln 43,23ln2【答案】D【解析】由x ln x +x (k -ln4)+k <0可得：k (x +1)<x ln4-x ln x ，设f (x )=k (x +1),g (x )=x ln4-x ln x ，g (x )=ln4-ln x -1，x ∈0,4e时，g (x )>0，g (x )单调递增，x ∈4e ,+∞ 时，g (x )<0，g (x )单调递减，则当x =4e时函数g x 取得最大值，如示意图：由图可知，当k ≤0时，整数解超过了2个，不满足题意；当k >0时，需满足f 2 <g 2 f 3 ≥g 3 得：34ln 43≤k <23ln2．故选择：D ．21.(2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习)若α，β∈0，π2，且(1+cos2α)(1+sin β)=sin2αcos β，则下列结论正确的是( )A.α+β=π2B.α+β2=π2C.2α-β=π2D.α-β=π2【答案】C【解析】∵α，β∈0，π2，∴cos α≠0.由(1+cos2α)(1+sin β)=sin2αcos β，可得2cos 2α(1+sin β)=2sin αcos αcos β，即cos α(1+sin β)=sin αcos β.∴cos α=sin αcos β-cos αsin β=sin α-β ，∴sin α-β =sin π2-α.∵α，β∈0，π2 ，∴-π2<α-β<π2，且0<π2-α<π2.由于函数y =sin x 在x ∈-π2，π2 上单调递增，∴α-β=π2-α，即2α-β=π2.故选:C .二、多选题22.(2022·福建省福州华侨中学高三阶段练习)海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋.一艘货船的吃水深度(船底到水面的距离)为4m .安全条例规定至少要有2.25m 的安全间隙(船底到海底的距离)，下表给出了某港口在某试卷第2页，共40页季节每天几个时刻的水深.时刻水深/m 时刻水深/m 时刻水深/m 0：00 5.09：00 2.518：00 5.03：007.512：00 5.021：00 2.56：005.015：007.524：005.0若选用一个三角函数f x 来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，则下列说法中正确的有( )A.f x =2.5cos π6x+5 B.f x =2.5sin π6x+5C.该货船在2：00至4：00期间可以进港 D.该货船在13：00至17：00期间可以进港【答案】BCD【解析】依据表格中数据知，可设函数为f x =A sin ωx +k ，由已知数据求得A =2.5，k =5，周期T =12，所以ω=2πT =π6﹐所以有f x =2.5sin π6x +5，选项A 错误；选项B 正确；由于船进港水深至少要6.25，所以2.5sin π6x +5≥6.25，得sin π6x ≥12，又0≤x ≤24⇒0≤π6x ≤4π，则有π6≤π6x ≤5π6或13π6≤π6x ≤17π6，从而有1≤x ≤5或13≤x ≤17，选项C ，D 都正确.故选：BCD23.(2022·福建省福州屏东中学高三开学考试)已知函数f x =3sin 2x +φ -π2<φ<π2 的图像关于直线x =π3对称，则( )A.函数f x +π12 为奇函数B.函数f x 在π3,π2上单调递增C.函数f x 的图像向右平移a a >0 个单位长度得到的函数图像关于x =π6对称，则a 的最小值是π3D.若方程f x =a 在π6,2π3 上有2个不同实根x 1,x 2，则x 1-x 2 的最大值为π2【答案】AC【解析】因为函数f x =3sin 2x +φ -π2<φ<π2 的图像关于直线x =π3对称，所以，2×π3+φ=π2+k π,k ∈Z ，解得φ=-π6+k π,k ∈Z ，因为-π2<φ<π2，所以φ=-π6，即f x =3sin 2x -π6，所以，对于A 选项，函数f x +π12 =3sin2x ，是奇函数，故正确；对于B 选项，当x ∈π3,π2 时，2x -π6∈π2,5π6，由于函数y =sin x 在π2,5π6 上单调递减，所以函数f x 在π3,π2 上单调递减，故错误；对于C 选项，函数f x 的图像向右平移a a >0 个单位长度得到的函数图像对应的解析式为g x =3sin 2x -2a -π6，若g x 图像关于x =π6对称，则2×π6-2a -π6=π2+k π,k ∈Z ，解得a =-π6+k π2,k ∈Z ，由于a >0，故a 的最小值是π3，故正确；对于D 选项，当x ∈π6,2π3时，2x -π6∈π6,7π6，故结合正弦函数的性质可知，若方程f x =a 在π6,2π3上有2个不同实根x 1,x 2，不妨设x 1<x 2，则x 1-x 2 取得最大值时满足2x 1-π6=π6且2x 2-π6=5π6，所以，x 1-x 2 的最大值为π3，故错误.故选：AC 24.(2022·福建省福州屏东中学高三开学考试)已知定义在R 上的奇函数f x 图象连续不断，且满足f x +2 =f x ，则以下结论成立的是( )A.函数f x 的周期T =2B.f 2019 =f 2020 =0C.点1,0 是函数y =f x 图象的一个对称中心D.f x 在-2,2 上有4个零点【答案】ABC【解析】定义在R 上的奇函数f (x )图象连续不断，且满足f (x +2)=f (x )，所以函数的周期为2，所以A 正确；f (-1+2)=f (-1)，即f (1)=f (-1)=-f (1)，所以f (1)=f (-1)=0，所以f (2019)=f (1)=0，f (2020)=f (0)=0，所以B 正确；f x +2 =f x =-f -x ⇒f x +2 +f -x =0⇒f x 图象关于1,0 对称，所以C 正确；f (x )在[-2，2]上有f (-2)=f (-1)=f (0)=f (1)=f (2)=0，有5个零点，所以D 不正确；故选：ABC ．25.(2022·福建省福州第二中学高三阶段练习)已知函数f (x )=-x 2-2x ,x <0f (x -2),x ≥0，以下结论正确的是( )A.f (-3)+f (2019)=-3B.f x 在区间4,5 上是增函数C.若方程f (x )=kx +1恰有3个实根，则k ∈-12,-14D.若函数y =f (x )-b 在(-∞,4)上有6个零点x i (i =1,2,3,4,5,6)，则6i =1x i f x i 的取值范围是0,6【答案】BCD【解析】函数f (x )的图象如图所示：对A ，f (-3)=-9+6=-3，f (2019)=f (1)=f (-1)=1，所以f (-3)+f (2019)=-2，故A 错误；对B ，由图象可知f x 在区间4,5 上是增函数，故B 正确；对C ，由图象可知k ∈-12,-14，直线f (x )=kx +1与函数图象恰有3个交点，故C 正确；对D ，由图象可得，当函数y =f (x )-b 在(-∞,4)上有6个零点x i (i =1,2,3,4,5,6)，则01eC.f (x 0)+2x 0<0D.f (x 0)+2x 0>0【答案】AD试卷第2页，共40页【解析】函数f (x )=x ln x +x 2,(x >0),∴f (x )=ln x +1+2x ,∵x 0是函数f (x )的极值点，∴f x 0 =0，即∴ln x 0+1+2x 0=0，∴f 1e =2e >0,当x >1e时，f x >0∵x →0,f (x )→-∞,∴0<x 0<1e,即A 选项正确,B 选项不正确;f x 0 +2x 0=x 0ln x 0+x 20+2x 0=x 0ln x 0+x 0+2 =x 01-x 0 >0,即D 正确,C 不正确.故答案为:AD .27.(2022·福建省福州第一中学高三开学考试)设函数f x =sinπxx 2-x +54，则下列结论正确的是( )A.f x 的最大值为1B.f x ≤4xC.曲线y =f x 存在对称轴D.曲线y =f x 存在对称中心【答案】ABC【解析】A ：因为x 2-x +54=x -12 2+1≥1,sinπx ≤1，所以sinπx ≤x 2-x +54⇒sinπx x 2-x +54≤1⇒f (x )≤1，当且仅当x =12时，f x =1故A 正确；B ：f x ≤4x 等价于sinπx ≤4x 3-x 2+54x ，设g x =x -sin x ,x ∈0,+∞ ，g (x )=1-cos x ≥0，所以函数g (x )=x -sin x 在x ∈[0,+∞)时单调递增，因此有g (x )≥g (0)=0-sin0=0，即x ≥sin x ,x ∈0,+∞ ，而设函数h (x )=x -sin x ，h (-x )=-x -sin (-x ) =x -sin x =h (x )，所以h (x )=x -sin x 是实数集上的偶函数，因此有x ≥sin x ，即πx ≥sinπx ，4x x 2-x +54 ≥4x ×1=4x ，f x ≤πx x 2-x +54≤πx ≤4x ，故B 正确；C ：因为f 12+x -f 12-x =sinπ12+x 12+x -12 2+1-sinπ12-x 12-x -12 2+1=cosπx -cosπx x 2+1=0，所以曲线y =f x 关于直线x =12对称，故C 正确；D ：设曲线y =f x 存在对称点，设为(a ,b )，则有f (a +x )+f (a -x )=2b ，当x =0时，则有2f (a )=2b ⇒f (a )=b ，当x =a 时，则有f (2a )=2b ⇒2f (a )=f (2a )，即sin2a π(2a )2-2a +54=2⋅sin a πa 2-a +54⇒2sin a πcos a π(2a )2-2a +54=2⋅sin a πa 2-a +54，因此有sin a π=0，所以a 为整数，b =f a =sin a πa 2-a +54=0，令x =12，f a +12 +f a -12=0，而f a +12 +f a -12 =sinπa +12 a +12-12 2+1+sinπa -12a -12-12 2+1=cos a πa 2+1-cos a π(a -1)2+1，显然f a +12 +f a -12=0不恒成立，故D 不正确.故选：ABC .28.(2022·福建省福州第一中学高三开学考试)甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球；乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以A 1,A 2,A 3表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是( )A.P B =25B.P B |A 1 =511C.事件B 与事件A 1不相互独立D.A 1,A 2,A 3两两互斥【答案】BD 【解析】P A 1 =510=12,P A 2 =210=15,P A 3 =310，又P B |A 1 =511,P B |A 2 =411,P B |A 3 =411，故B 正确.故P (B )=P B |A 1 P A 1 +P B |A 2 P A 2 +P B |A 3 P A 2=511×12+411×15+411×310=922，故A 错误.P B P A 1 =922×12=944,P BA 1 =P B |A 1 P A 1 =522，故P B P A 1 ≠P BA 1 ，所以事件B 与事件A 1不相互独立，根据互斥事件的定义可得A 1,A 2,A 3两两互斥，故选：BD .29.(2022·福建·福州十八中高三开学考试)已知函数f (x )=sin (ωx +φ)(0<ω<10，0<φ<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )A.ω=2B.ω=3C.f (x )在5π12,11π12上单调递增D.f (x )图像关于直线x =2π3对称【答案】AC【解析】由图可知： x =0，y =32；可得：ω×0+φ=2π3+2k π,k ∈Z ，所以φ=2π3+2k π,k ∈Z 又0<φ<π，所以φ=2π3；由x =π6，y =0，可得π6ω+2π3=π+2k π,k ∈Z ，所以ω=2+12k ,k ∈Z又0<ω<10，可得ω=2，所以A 选项正确，B 选项错误；所以函数的解析式为：f (x )=sin 2x +2π3 ，则f (x )在R 上的增区间满足：-π2+2k π≤2x +2π3≤π2+2k π,k ∈Z解得增区间为-7π12+k π,-π12+k π,k ∈Z ，所以当k =1时，函数f (x )的单调增区间为5π12,11π12，所以C 选项正确；当x =2π3时，f 2π3 =sin2π=0≠±1，所以直线x =2π3不是f (x )的对称轴，所以D 选项不正确；故选：AC ．30.(2022·福建·闽江学院附中高三开学考试)关于函数f (x )=sin |x |+|sin x |，下列叙述正确的是( )A.f (x )是偶函数B.f (x )在区间π2,π单调递增C.f (x )的最大值为2 D.f (x )在[-π,π]有4个零点【答案】AC【解析】f (-x )=sin -x +sin (-x ) =sin x +sin x =f (x )，f (x )是偶函数，A 正确；x ∈π2,π 时，f (x )=sin x +sin x =2sin x ，单调递减，B 错误；试卷第2页，共40页f (x )=sin x +sin x ≤1+1=2，且f π2=2，因此C 正确；在[-π,π]上，-π<x <0时，f (x )=sin (-x )+(-sin x )=-2sin x >0，0<x <π时，f (x )=sin x +sin x =2sin x >0，f (x )的零点只有π,0,-π共三个，D 错．故选：AC ．31.(2022·江苏·常州市平陵高级中学高三开学考试)已知关于x 的不等式a (x -1)(x +3)+2>0的解集是x 1,x 2 ，其中x 1<x 2，则下列结论中正确的是( )A.x 1+x 2+2=0 B.-3<x 1<x 2<1C.x 1-x 2 >4D.x 1x 2+3<0【答案】ACD【解析】由题设，a (x -1)(x +3)+2=ax 2+2ax -3a +2>0的解集为x 1,x 2 ，∴a <0，则x 1+x 2=-2x 1x 2=2a-3<0，∴x 1+x 2+2=0，x 1x 2+3=2a<0，则A 、D 正确；原不等式可化为f (x )=a (x -1)(x +3)>-2的解集为x 1,x 2 ，而f(x )的零点分别为-3,1且开口向下，又x 1<x 2，如下图示，∴由图知：x 1<-3<1<x 2，x 1-x 2 >4，故B 错误，C 正确.故选：ACD .32.(2022·江苏·盐城市伍佑中学高三开学考试)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )+f (-x )=0，f (x )+f (x +6)=0，且对任意的x 1,x 2∈[-3，0]，当x 1≠x 2时，都有x 1f (x 1)+x 2f (x 2)<x 1f (x 2)+x 2f (x 1)，则以下判断正确的是( )A.函数f (x )是偶函数B.函数f (x )在[-9，-6]上单调递增C.x =2是函数f (x +1)的对称轴D.函数f (x )的最小正周期是12【答案】BCD【解析】因为定义在R 上的函数f (x ) 满足f (x )+f (-x )=0，即f (-x )=-f (x )，故函数f (x )是奇函数，故A 错误；因为f (x )+f (x +6)=0，故f (x +6)=-f (x )，而f (-x )=-f (x )，所以f (x +6)=f (-x )，即f (x )的图象关于x =3对称，则x =2是函数f (x +1)的对称轴，故C 正确；因为f (x +6)=f (-x )，所以f (x +12)=-f (x +6)=f (x )，故12是函数f (x )的周期；对任意的x 1,x 2∈[-3，0] ，当x 1≠x 2 时，都有x 1f (x 1)+x 2f (x 2)<x 1f (x 2)+x 2f (x 1) ，即(x 1-x 2)⋅[f (x 1)-f (x 2)]<0，故x ∈[-3，0]时，f (x )单调递减，又因为f (x )为奇函数，所以x ∈[0，3]时，f (x )单调递减，又因为f (x )的图象关于x =3对称，故x ∈[3,6]时，f (x )单调递增，因为12是函数f (x )的周期，故函数f (x )在[-9,-6] 单调性与x ∈[3,6]时的单调性相同，故函数f (x )在[-9,-6]上单调递增，故B 正确，作出函数f (x )的大致图象如图示：结合图象可得知12是函数f (x )的最小正周期，D 正确；故选：BCD33.(2022·江苏·盐城市伍佑中学高三开学考试)已知函数f (x )=ln (x +1)x，下列选项正确的是( )A.函数f (x )在(-1，0)上为减函数，在(0,+∞)上为增函数B.当x 1>x 2>0时，f (x 1)x 22>f (x 2)x 21C.若方程f (|x |)=a 有2个不相等的解，则a 的取值范围为(0,+∞)D.1+12+⋯+1n -1 ln2≤ln n ，n ≥2且n ∈N +【答案】BD【解析】对于选项A ：f x =ln x +1 x ，x ∈-1,0 ∪0,+∞ .则f x =x -x +1 ln x +1x +1 x2，令g x =x -x +1 ln x +1 ,x ∈-1,0 ∪0,+∞ ，则g x =-ln x +1 ，当x ∈-1,0 时，g x >0，g x 单调递增；当x ∈0,+∞ 时，g x <0，g x 单调递减.所以对任意x ∈-1,0 ∪0,+∞ ，g x <g 0 =0，即f x <0，所以f x 在-1,0 ,0,+∞ 都是减函数，故A 错误；对于选项B ：令h x =x 2f x =x ln x +1 ,x ∈0,+∞ ，则h x =x +x +1 ln x +1x +1，当x ∈0,+∞ 时，h x >0，h x 单调递增，所以当x 1>x 2>0时，h x 1 >h x 2 ，即x 12f x 1 >x 22f x 2 ，所以f x 1 x 22>f x 2 x 12，故B 正确；对于选项C ：因为y =f x 是偶函数，所以“方程f x =a 有2个不相等的解”等价于“方程f x =a 在0,+∞ 上有1个解”.由A 可知，f x 在0,+∞ 上单调递减，且x →0时，f x →1；x →+∞时，f x →0，所以，当0<a <1时，方程f x =a 在0,+∞ 上有1个解，即f x =a 有2个不相等的解，故C 错误；对于选项D ：由A 知，f x 在0,12 上单调递减，则对任意x ∈0,12 ，f x ≥f 12 =2ln 32=ln 94>ln2，即ln x +1 x >ln2，所以当n ≥2时，ln 1n+1 1n>ln2，即1n ln2<ln n +1n.所以ln2=ln2，12ln2<ln 32，13ln2<ln 43，⋯，1n -1ln2<ln nn -1，以上式子相加得ln2+12ln2+13ln2+⋯+1n -1ln2≤ln2+ln 32+ln 43+⋯+ln n n -1，即1+12+13+⋯+1n -1 ln2≤ln n (n =2时，等号成立)，故D 正确.故选：BD .34.(2022·江苏·睢宁县菁华高级中学有限公司高三阶段练习)已知函数f x =A cos ωx +φ (A >0,ω>0,0<φ<π)的图象的一个最高点为-π12,3 ，与之相邻的一个对称中心为π6,0 ，将f x 的图象向右平移π6个单位长度得到函数g x 的图象，则( )A.g x 为偶函数B.g x 的一个单调递增区间为-5π12,π12试卷第2页，共40页C.g x 为奇函数D.g x 在0,π2上只有一个零点【答案】BD 【解析】由题意，可得T 4=π6--π12 =π4，所以T =π，可得w =2πT=2，所以f x =3cos (2x +φ)，因为f -π12 =3cos 2×-π12 +φ =3，所以φ-π6=2k π,k ∈Z ，因为0<φ<π，所以φ=π6，即f x =3cos 2x +π6 ，所以g x =3cos 2x -π6 +π6 =3cos 2x -π6 ，可得函数g x 为非奇非偶函数，令-π+2k π≤2x -π6≤2k π,k ∈Z ，可得-5π12+k π≤x ≤π12+k π,k ∈Z ，当k =0时，函数g x 的一个单调递增区间为-5π12,π12；由2x -π6=π2+k π,,k ∈Z ，解得x =π3+k π,k ∈Z ，所以函数g x 在0,π2上只有一个零点.故选：BD35.(2022·江苏·睢宁县菁华高级中学有限公司高三阶段练习)已知f x 为函数f x 的导函数，若x 2f x +xf x =ln x ，f 1 =12，则下列结论错误的是( )A.xf x 在0,+∞ 上单调递增B.xf x 在0,+∞ 上单调递减C.xf x 在0,+∞ 上有极大值12D.xf x 在0,+∞ 上有极小值12【答案】ABC【解析】由x 2f x +xf x =ln x ，可知x >0，则xf x +f x =ln x x ，即xf x =ln xx．设g x =xf x ，则由g x =ln xx>0得x >1，由g x <0得0<x <1，所以g x =xf x 在1,+∞ 上单调递增，在0,1 上单调递减，所以当x =1时，函数g x =xf x 取得极小值g 1 =f 1 =12．故选：ABC ．36.(2022·重庆·临江中学高三开学考试)若4x -4y <5-x -5-y ，则下列关系正确的是( )A.x <yB.y -3>x -3C.x >yD.13 y <3-x【答案】AD【解析】由4x -4y <5-x -5-y ，得4x -5-x <4y -5-y ，令f x =4x -5-x ，则f x <f y ．因为g x =4x ，h x =-5-x 在R 上都是增函数，所以f x 在R 上是增函数，所以x <y ，故A 正确；因为G x =x -3在0,+∞ 和-∞,0 上都单调递减，所以当x <y <0时，x -3>y -3，故B 错误；当x <0，y <0时，x ，y 无意义，故C 错误；因为y =13 x 在R 上是减函数，且x <y ，所以13 y <13 x ，即13y<3-x ，故D 正确．故选：AD ．37.(2022·重庆·临江中学高三开学考试)已知函数f x 的定义域是0,+∞ ，且f xy =f x +f y ，当x >1时，f x<0，f 2 =-1，则下列说法正确的是( )A.f 1 =0B.函数f x 在0,+∞ 上是减函数C.f 12022 +f 12021 +⋅⋅⋅+f 13 +f 12+f 2 +f 3 +⋅⋅⋅+f 2021 +f 2022 =2022D.不等式f 1x -f x -3 ≥2的解集为4,+∞【答案】ABD【解析】对于A ，令x =y =1 ，得f 1 =f 1 +f 1 =2f 1 ，所以f 1 =0，故A 正确；对于B ，令y =1x >0，得f 1 =f x +f 1x =0，所以f 1x=-f x ，任取x 1,x 2∈0,+∞ ，且x 1<x 2，则f x 2 -f x 1 =f x 2 +f 1x 1 =f x 2x 1，因为x 2x 1>1，所以f x 2x 1<0，所以f x 2 <f x 1 ，所以f x 在0,+∞ 上是减函数，故B 正确；对于C ，f 12022 +f 12021 +⋅⋅⋅+f 13 +f 12+f 2 +f 3 +⋅⋅⋅+f 2021 +f 2022 =f 12022×2022 +f 12021×2021 +⋅⋅⋅+f 13×3 +f 12×2 =f 1 +f 1+⋅⋅⋅+f 1 +f 1 =0，故C 错误；对于D ，因为f 2 =-1，且f 1x =-f x ，所以f 12=-f 2 =1，所以f 14 =f 12 +f 12 =2，所以f 1x -f x -3 ≥2等价于f 1x +f 1x -3≥f 14 ，又f x 在0,+∞ 上是减函数，且f xy =f x +f y ，所以1x x -3 ≤141x >01x -3>0，解得x ≥4，故D 正确,故选:ABD ．38.(2022·重庆南开中学高三阶段练习)在棱长为3的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 在棱DC 上运动(不与顶点重合)，则点B 到平面AD 1P 的距离可以是( )A.2B.3C.2 D.5【答案】CD【解析】以D 为原点，DA ,DC ,DD 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则D (0,0,0),A (3,0,0),B (3,3,0),D 1(0,0,3)，设P (0,t ,0)，所以AP =-3,t ,0 ,AD 1 =-3,0,3 ，AB =(0,3,0)，设n 1=x 1,y 1,z 1 为平面AD 1P 的法向量，则有： n 1 ⋅AP=-3x 1+ty 1=0n 1 ⋅AD 1 =-3x 1+3z 1=0，令y 1=3，可得n=(t ,3,t )，试卷第2页，共40页则点B 到平面AD 1P 的距离为d =AB ⋅nn=92t 2+9，因为0<t <3，所以距离的范围是(3,3).故选：CD .39.(2022·重庆南开中学高三阶段练习)已知a >b >1，则( )A.a ln b >b ln aB.e 1a-1b<a bC.a >e1-1bD.若b m =b +n ，则a m >a +n【答案】BC【解析】因为a >b >1，所以a ln b >b ln a ⇔ln b b>ln aa ，设函数f (x )=ln x x (x >1)，f (x )=1-ln xx 2，当x ∈(1,e )时，f (x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈(e ,+∞)时，f (x )<0，函数f (x )单调递减，所以A 选项错误；因为a >b >1，所以由e 1a-1b<a b ⇔1a -1b <ln a -ln b ⇔ln a -1a >ln b -1b，设函数g (x )=ln x -1x ，g (x )=1x +1x 2，当x ∈(0,+∞)时，g(x )>0，函数g (x )单调递增，所以B 选项正确；因为a >e 1-1b ⇔ln a >1-1b ，设函数h (a )=ln a -1-1a ，所以h (a )=a -1a 2，当a ∈1,+∞ 时，h (a )>0，函数h (a )单调递增，当a ∈0,1 时，h (a )<0，函数h (a )单调递减，所以h (a )>h (1)=0，即ln a -1-1a >0⇒ln a >1-1a，因为a >b >1，所以1a <1b ⇒1-1a >1-1b ，因此ln a >1-1a >1-1b，所以C 选项正确.令b =2,m =0，则有n =-1，又令a =3，所以a m =a 0=1,a +n =2，显然不成立，所以D 选项错误，故选：BC40.(2022·辽宁·高三开学考试)双曲线C 的两个焦点为F 1,F 2，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过F 1作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且cos ∠F 1NF 2=35，则C 的离心率为( )A.52B.32C.132D.172【答案】AC【解析】方法一(几何法，双曲线定义的应用)情况一M 、N 在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过F 1作圆D 的切线切点为B ，所以OB ⊥F 1N ，因为cos ∠F 1NF 2=35>0，所以N 在双曲线的左支，OB =a ，OF 1 =c ， F 1B =b ，设∠F 1NF 2=α，由即cos α=35，则sin α=45，NA =32a ，NF 2 =52aNF 2 -NF 1 =2a52a -32a +2b =2a ，2b =a ，∴e =52选A 情况二若M 、N 在双曲线的两支，因为cos ∠F 1NF 2=35>0，所以N 在双曲线的右支，所以OB =a ，OF 1 =c ，F 1B =b ，设∠F 1NF 2=α，由cos ∠F 1NF 2=35，即cos α=35，则sin α=45，NA =32a ，NF 2 =52aNF 2 -NF 1 =2a 32a +2b -52a =2a ，所以2b =3a ，即b a =32，所以双曲线的离心率e =c a =1+b 2a2=132选C方法二(答案回代法)A 选项e =52特值双曲线x 24-y 2=1,∴F 1-5,0 ,F 25,0 ，过F 1且与圆相切的一条直线为y =2x +5 ，∵两交点都在左支,∴N -655,-255 ，∴NF 2 =5,NF 1 =1,F 1F 2 =25，则cos ∠F 1NF 2=35，C 选项e =132特值双曲线x 24-y 29=1,∴F 1-13,0 ,F 213,0 ，过F 1且与圆相切的一条直线为y =23x +13 ，∵两交点在左右两支，N 在右支，∴N 141313,181313 ，∴NF 2 =5,NF 1 =9,F 1F 2 =213，则cos ∠F 1NF 2=35，解法三：依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过F 1作圆D 的切线切点为G ，若M ,N 分别在左右支，因为OG ⊥NF 1，且cos ∠F 1NF 2=35>0，所以N 在双曲线的右支，又OG =a ，OF 1 =c ，GF 1 =b ，设∠F 1NF 2=α，∠F 2F 1N =β，在△F 1NF 2中，有NF 2 sin β=NF 1 sin α+β=2csin α，故NF 1 -NF 2 sin α+β -sin β=2c sin α即a sin α+β -sin β=c sin α，试卷第2页，共40页所以a sin αcos β+cos αsin β-sin β=csin α，而cos α=35，sin β=a c ，cos β=b c ，故sin α=45，代入整理得到2b =3a ，即b a =32，所以双曲线的离心率e =c a =1+b 2a 2=132若M ,N 均在左支上，同理有NF 2sin β=NF 1sin α+β=2c sin α，其中β为钝角，故cos β=-bc，故NF 2 -NF 1 sin β-sin α+β=2c sin α即a sin β-sin αcos β-cos αsin β=c sin α，代入cos α=35，sin β=a c ，sin α=45，整理得到：a 4b +2a=14，故a =2b ，故e =1+b a 2=52，故选：AC .41.(2022·辽宁·沈阳市第四中学高三阶段练习)将以下四个方程e x =a -x 、x 2=a -x (x >0)、x =a -x 、ln x =a -x 的正数解分别记为x 1,x 2,x 3,x 4，则以下判断一定正确的有( )A.x 1<x 2<x 3<x 4 B.x 1+x 2+x 3+x 4=2aC.x 3-x 1=x 4-x 2D.x 1x 4=x 2x 3【答案】BC【解析】画出y =e x ,y =x 2x >0 ,y =x ,y =ln x ,y =a -x 的图象如下图所示，y =x y =a -x ⇒x =y =a 2，由图可知x 1,x 4关于x =a 2对称，x 2,x 3关于x =a2对称，所以x 1+x 4=a ,x 2+x 3=a ，则x 1+x 2+x 3+x 4=2a ,x 1-x 2+x 4-x 3=0,x 3-x 1=x 4-x 2，所以BC 选项正确.当a =2时，x 1+x 4=x 2+x 3=2且x 2=x 3=1，x 1<x 2=x 3<x 4所以A 选项不正确，对于D 选项，x 1x 4<x 1+x 422=1=x 2x 3，所以D 选项不正确.故选：BC42.(2022·辽宁·沈阳市第四中学高三阶段练习)已知函数f (x )在R 上有定义，记f (x )为函数f (x )的导函数，又f (2x -1)是奇函数，则以下判断一定正确的有( )A.f 4x -2 是奇函数 B.f x -1 +f 3x -1 是奇函数C.f 4x 2-2 是偶函数 D.f (-5x -1)是偶函数【答案】BCD【解析】若f x =x +1，则f 2x -1 =2x 为奇函数，而f 4x -2 =4x -1为非奇非偶函数，所以A 选项错误.由于f 2x -1 是奇函数，所以f -2x -1 =-f 2x -1 ，对于函数f x -1 +f 3x -1 ，f -x -1 +f -3x -1 =-f x -1 -f 3x -1 =-f x -1 +f 3x -1 ，所以f x -1 +f 3x -1 是奇函数，B 选项正确.对于函数f 4x 2-2 ，f 4-x 2-2 =f 4x 2-2 ，所以函数f 4x 2-2 是偶函数，C 选项正确.对于D 选项，先证明奇函数的导数是偶函数：若f x 是定义在R 上的奇函数，则f -x =-f x ，两边求导得f -x =-f x ，即-f -x =-f x ，即f -x =f x ，所以奇函数的导数是偶函数.然后证明f -5x -1 为奇函数：由于f 5x -1 =-f -5x -1 ，所以f -5x -1 为奇函数，所以f (-5x -1)是偶函数，D 选项正确.故选：BCD43.(2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习)已知函数f x 的定义域为-∞,0 ∪0,+∞ ，图象关于y 轴对称，导函数为f x ，且当x <0时，f x >f xx，设a >1，则下列大小关系正确的是( )A.a +1 f 4aa +1 >2a f 2a B.f 2a >a f 2aC.4af a +1 a +1>a +1 f 4a a +1D.2f 2a <a +1 f 4a a +1 【答案】AD【解析】当x <0时，fx >f x x ，即f x -f x x =xf x -f x x>0，所以xf (x )-f (x )<0，构造函数g x =f x x ，则g(x )=xf (x )-f (x )x 2<0，∴当x <0时，g x 单调递减，又由题意可得f x 是偶函数，∴g x 是奇函数，则当x >0时，g x 也单调递减．对于A ，∵a >1，∴0<4a a +1<4a 2a=2a ，∴g 4aa +1 >g 2a ，即f 4a a +1 4a a +1>f 2a 2a ，∴a +1 f 4a a +1 >2a f 2a ，故A 正确；对于B ，∵a >1，∴2a >2a >0，∴g 2a <g 2a ，即f 2a2a <f 2a 2a，可得f 2a <a f 2a ，故B 错误；对于C ，∵a >1，a +1-4a a +1=a -1 2a +1>0，即a +1>4a a +1>0，∴g a +1 <g 4aa +1 ，即f a +1 a +1<f 4a a +1 4a a +1，∴4af a +1 a +1<a +1 f 4aa +1，故C 错误；对于D ，∵a >1，2a -4a a +1=2a 2+2a -4a a +1=2a a -1 a +1>0，∴2a >4aa +1>0，g 2a <g 4a a +1 ，即f 2a 2a <f 4a a +1 4a a +1，∴2f 2a <a +1 f 4a a +1 ，故D 正确．故选:AD ．44.(2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习)已知函数f x =sin ωx +φ ω>0,φ∈R 在区间7π12,5π6上单调，且满足f 7π12=-f 3π4 有下列结论正确的有( )A.f 2π3 =0B.若f 5π6-x =f x ，则函数f x 的最小正周期为π；试卷第2页，共40页。

2023年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编(四)(原卷版)

试卷第1页，共11页2023年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（四）一、单选题 1．（2023·江苏·南京市第一中学模拟预测）已知定义域是R 的函数()f x 满足：x ∀∈R ，()()40f x f x ++-=，()1f x +为偶函数，()11f =，则()2023f =（）A ．1B ．-1C ．2D ．-32．（2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测）若函数()2x f x e x =-图象在点()()00,x f x 处的切线方程为y kx b =+，则k b -的最小值为（） A ．2-B ．12e-+C ．1e -D ．12e--3．（2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测）直线10x y -+=经过椭圆()222210x y a b a b +=>>的左焦点F ，交椭圆于A 、B 两点，交y 轴于C 点，若2FC AC =，则该椭圆的离心率是（） A 102-B 31- C ．222 D 214．（2022·福建省漳州第一中学模拟预测）已知A ，B 分别为x 轴，y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆与直线240x y +-=相切，则该圆面积的最小值为（） A ．5πB ．25π C ．45π D ．π5．（2022·福建省漳州第一中学模拟预测）设15sin 5a =，1cos 10b =，110sin 10c =，则（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c <<6．（2022·山东济南·模拟预测）从装有a 个红球和b 个蓝球的袋中(a ，b 均不小于2)，每次不放回地随机摸出一球.记“第一次摸球时摸到红球”为1A ，“第一次摸球时摸到蓝球”为2A ；“第二次摸球时摸到红球”为1B ，“第二次摸球时摸到蓝球”为2B ，则下列说法错误的是（） A ．()1aP B a b=+B ．()()11211P B A P B A +=∣∣C ．()()121P B P B +=D ．()()21121P B A P B A +=∣∣7．（2022·山东济南·模拟预测）定义在R 上的函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，(1)(1)f x f x -=+，当[0,1]x ∈时，()1f x x =-+，则方程()eln xf x x =在(0,4)上解的个数为（） A ．3B ．4C ．5D ．68．（2022·辽宁鞍山·一模）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a ，b ，x ，y >0，则()222a b a b x y x y++≥+，当且仅当a b x y =时等号成立．根据权方和不等式，函数291()(0)122f x x x x =+<<-的最小值为（） A ．16B ．25C ．36D ．499．（2022·重庆一中高三阶段练习）若()()124e ,122,1x ax a x f x x a x a x -⎧+->⎪=⎨+--≤⎪⎩，且()0f x ≤的解集为[)2,-+∞，则a 的取值范围是（）A ．()1,2B ．[]1,2C ．[]2,4D ．(]1,410．（2022·重庆·高三阶段练习）定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x x x =+-，则函数()()21g x xf x x=-的零点个数为（） A ．3B ．4C ．5D ．611．（2022·重庆·高三阶段练习）已知1a >，1b >，且lg 12lg a b =-，则log 2log 4a b +的最小值为（） A ．10B ．9C ．9lg 2D ．8lg 212．（2022·重庆八中高三开学考试）已知函数21()3121x x f x x -=+++，且()()2342f a f a +-<，则实数a 的取值范围为（） A ．()4,1- B ．(3,2)- C ．(0,5)D ．()1,4-13．（2022·重庆十八中两江实验中学高三阶段练习）已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，对于任意的实数x ，都有()()2exf x f x -=，当0x >时，()()0f x f x +'>，若()()1e 212a f a f a -+≥+，则实数a 的取值范围是（）A ．[]1,1-B ．[]22-,C ．][(),11,-∞-⋃+∞D ．][(),22,∞∞--⋃+14．（2022·重庆十八中两江实验中学高三阶段练习）在三棱锥P ABC -中，P A ，PB ，PC 互相垂直，4PA PB ==，M 是线段BC 上一动点，且直线AM 与平面PBC 所成角的正切值的P ABC -外接球的体积是（） A ．30πB ．32πC ．34πD ．36π15．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）已知02,1,1b a b a b <<<≠≠，且满足log b a a b =，则下列正确的是（） A ．1ab >B ．1(1)b a a b +<+C ．11a b a b a a b b ++->-D ．52+>a b试卷第3页，共11页16．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足：()f x 为奇函数，()1f x +为偶函数，当01x ≤≤时，()21x f x =-，则()2log 2023f =（）A ．9991024-B ．252048-C ．10242023-D ．512999-17．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知8766,7,8a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（） A ．b c a >> B ．c b a >> C ．a c b >>D ．a b c >>18．（2022·辽宁·大连二十四中高三阶段练习）已知函数()(22lg 121x f x x x =+-+，则不等式()()212f x f x ++>-的解集为（） A ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,1003⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．2,1003⎛⎫- ⎪⎝⎭19．（2022·辽宁·大连二十四中高三阶段练习）已知0.21,ln1.2,tan 0.2e a b c =-==，其中e 2.71828=为自然对数的底数，则（）A ．c a b >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．a b c >>20．（2022·辽宁·沈阳市第三十一中学高三开学考试）已知函数211()sin sin (0)222x f x x ωωω=+->，x ∈R ．若()f x 在区间()π,2π内有零点，则ω的取值范围是（）A ．155,,484⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．150,,148⎛⎫⎡⎫ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭C ．1155,,8484⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．115,,848⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21．（2022·辽宁·沈阳市第三十一中学高三开学考试）设函数()f x 定义域为R ，(1)f x -为奇函数，(1)f x +为偶函数，当(1,1)x ∈-时，2()1f x x =-+，则下列结论错误的是（）A ．7324f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．(7)f x +为奇函数C ．()f x 在(6,8)上是减函数D ．方程()lg 0f x x +=仅有6个实数解二、多选题22．（2023·江苏·南京市第一中学模拟预测）下列不等式正确的是（） A ．24log 3log 9D ．86log 12log 36>23．（2023·江苏·南京市第一中学模拟预测）已知a ，b 3242ab a b =+则2a b +的取值可以为（） A ．1B ．4C ．9D ．3224．（2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测）阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线C ：2yx 上两个不同点,A B 横坐标分别为1x ，2x ，以,A B 为切点的切线交于P 点.则关于阿基米德三角形PAB 的说法正确的有（）A ．若AB 过抛物线的焦点，则P 点一定在抛物线的准线上 B ．若阿基米德三角形PABC ．若阿基米德三角形PAB 为直角三角形，则其面积有最小值14D ．一般情况下，阿基米德三角形PAB 的面积212||4x x S -=25．（2022·福建省漳州第一中学模拟预测）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列{}n a 满足10a =，11,,n n n a n n a a n n +++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，则（）A ．46a =B ．()221n n a a n +=++C ．221,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数D ．数列{}(1)nn a -的前2n 项和为()1n n +26．（2022·福建省漳州第一中学模拟预测）如图，在多面体EFG ABCD -中，四边形ABCD ，CFGD ，ADGE 均是边长为1的正方形，点H 在棱EF 上，则（）A ．该几何体的体积为23B ．点D 在平面BEF 内的射影为BEF 的垂心C ．GH BH +D ．存在点H ，使得DH BF ⊥27．（2022·山东济南·模拟预测）如图所示，设单位圆与x 轴的正半轴相交于点(1,0)A ，以x 轴非负半轴为始边作锐角α，β，αβ-，它们的终边分别与单位圆相交于点1P ，1A ，P，则试卷第5页，共11页下列说法正确的是（）A ．AP 的长度为αβ-B ．扇形11OA P 的面积为αβ-C ．当1A 与P 重合时，12sin AP β=D ．当3πα=时，四边形11OAA P 面积的最大值为1228．（2022·山东济南·模拟预测）在正四面体ABCD 中，若2AB =（）A ．该四面体外接球的表面积为3πB ．直线AB 与平面BCD 3C ．如果点M 在CD 上，则AM BM +6D ．过线段AB 一个三等分点且与AB 2622+29．（2022·辽宁鞍山·一模）已知函数()e cos xf x m x =-，()f x '为()f x 的导函数，则下列说法正确的是( )A ．当1m =时，()f x 在()0,∞+单调递增B ．当1m =时，()f x 在()()0,0f 处的切线方程为y x =C ．当1m =-时，()f x '在[0,)+∞上至少有一个零点D ．当1m =-时，()f x 在3,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上不单调 30．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知随机变量X 服从正态分布()0,1N ，定义函数()f x 为X 取值不超过x 的概率，即()()f x P X x =≤.若0x >，则下列说法正确的有（） A ．()()1f x f x -=-B ．()()22f x f x =C ．()f x 在()0,∞+上是增函数D ．()()21P X x f x ≤=-31．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知a ，R b ∈，满足e e 1a b +=，则（） A ．2ln 2a b +≤-B ．e 0a b +<C ．1≥abD ．()222e e 1a b+≥32．（2022·重庆·高三阶段练习）设定义在R 上的函数()f x 与()g x 的导函数分别为()f x '和()g x '，若()()212f x g x +--=，()()1f x g x ''=+，且()1g x +为奇函数，则下列说法中一定正确的是（） A ．()10g = B ．函数()g x '的图象关于2x =对称 C ．()202210k g k ==∑D ．()()202110k f k g k ==∑33．（2022·重庆八中高三开学考试）已知函数()()(1)e 1x f x x x =+--，则下列说法正确的有（）A ．()f x 在(0,)+∞单调递增B ．0x =为()f x 的一个极小值点C ．()f x 无最大值D ．()f x 有唯一零点34．（2022·重庆八中高三开学考试）定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线．以下关于共轭双曲线的结论正确的是（） A ．与()222210,0x y a b a b -=>>共轭的双曲线是()222210,0y x a b a b-=>>B ．互为共轭的双曲线渐近线不相同C ．互为共轭的双曲线的离心率为1e 、2e 则122e e ≥D ．互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上35．（2022·重庆十八中两江实验中学高三阶段练习）已知在平行四边形ABCD 中，3AB =，2AD =，60A ∠=︒，把△ABD 沿BD 折起使得A 点变为'A ，则（）A ．BD =B ．三棱锥'A BCD -C ．当'A C BD =时，三棱锥'A BCD -D ．当'A C BD =时，'60A BC ∠=︒36．（2022·重庆十八中两江实验中学高三阶段练习）已知双曲线22:17x y C t t-=-的一条渐近线方程为430x y -=，过点()5,0作直线l 交该双曲线于A 和B 两点，则下列结论中正确的有（）试卷第7页，共11页A ．该双曲线的焦点在哪个轴不能确定B ．该双曲线的离心率为53C ．若A 和B 在双曲线的同一支上，则323AB ≥D ．若A 和B 分别在双曲线的两支上，则8AB ≥37．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）如图，已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过直线3y x =-上一点P （点P 不在x 轴上）作抛物线的两条切线，切线分别交x 轴于点,,A B PF 的中点为Q ，则下列正确的是（）A ．当Q 在抛物线上时，点P 的坐标为()4,1B ．当Q 在抛物线上时，PA PB ⊥C ．0AF AP ⋅=D ．PAB △外接圆面积的最小值为2π38．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）已知定义在R 上函数()g x 满足：()()2g x g x =+，且()[)[)3,0,124,1,2xx x g x x x ⎧-∈⎪=⎨-+∈⎪⎩，设函数()()f x x g x =+，则下列正确的是（）A ．()f x 的单调递增区间为()()2,21,Z k k k +∈B ．()f x 在()2022,2024上的最大值为2025C ．()f x 有且只有2个零点D ．()f x x≥恒成立.39．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）在复习了函数性质后，某同学发现：函数()y f x =为奇函数的充要条件是()y f x =的图彖关于坐标原点成中心对称：可以引申为：函数()y f x a b =+-为奇函数，则()y f x =图象关于点(),P a b 成中心对称.现在已知函数()3221f x x mx nx =+++的图象关于()1,0成中心对称，则下列结论正确的是（）A ．()11f =B ．()21f =-C ．3m n +=-D ．对任意x ∈R ，都有()()110f x f x ++-=40．（2022·1111ABCD A B C D -中，点M 在底面正方形ABCD 内运动，则下列结论正确的是（）A ．存在点M 使得1A M ⊥平面11DB CB ．若12A M =，则动点MC ．若1//A M 平面11D B C ，则动点MD ．若1A M ⊂平面1A DB ，则三棱锥11B MD C -的体积为定值41．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数(),115ln ,1xx x f x x x x⎧<⎪⎪-=⎨⎪≥⎪⎩，下列选项正确的是（）A ．函数()f x 的单调减区间为(),1-∞、()e,+∞B ．函数()f x 的值域为(),1-∞C ．若关于x 的方程()()20f x a f x -=有3个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是5,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭试卷第9页，共11页D ．若关于x 的方程()()20f x a f x -=有5个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是51,e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭42．（2022·辽宁朝阳·高三阶段练习）已知函数()321132f x x x ax =-+的导函数为'()f x ，若''12()()0f x f x ==()12x x ≠，经过点()()11,x f x 和点()()22,x f x 的直线l 与曲线()y f x =的另一个交点为()0m ,，则实数a 的取值可能为（） A ．0B ．15C ．16D ．31643．（2022·辽宁·大连二十四中高三阶段练习）若过点()1,P λ最多可作出()N n n *∈条直线与函数()()1e xf x x =-的图象相切，则（）A ．3n λ+<B ．当2n =时，λ的值不唯一C ．n λ可能等于4-D ．当1n =时，λ的取值范围是{}4,0e ⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭三、填空题44．（2023·江苏·南京市第一中学模拟预测）已知函数21e x y -+=的图象与函数()ln 132x y ---=的图象关于某一条直线l 对称，若P ，Q 分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为______．45．（2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测）已知数列{}n a 中，132a =，且满足11122n n n a a -=+()*2,N n n ≥∈，若对于任意*N n ∈，都有na nλ≥成立，则实数λ的最小值是_________.46．（2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测）在平面四边形ABCD 中，1AB CD ==，2BC =2AD =，90ABC ∠=︒，将ABC 沿AC 折成三棱锥，当三棱锥B ACD -的体积最大时，三棱锥外接球的体积为______．47．（2022·福建省漳州第一中学模拟预测）已知正四棱锥的各顶点都在同一个球面上.若该正四棱锥的体积为643，则该球的表面积的最小值为___________. 48．（2022·福建省漳州第一中学模拟预测）已知双曲线2221(0)x y a a -=>的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与双曲线的左右两支分别交于A ，B 两点.若22AF BF =，且8AB =，则该双曲线的离心率为___________.49．（2022·山东济南·模拟预测）定义在R 上的可导函数()f x 满足1()()e 0e x x f x f x x ⎛⎫--++= ⎪⎝⎭，且在(0,)+∞上有21()e f x '>成立.若实数a 满足11(1)()e e e 0a a a f a f a a a -----+--≥，则a 的取值范围是__________．50．（2022·辽宁鞍山·一模）若实数a ，b ，c ，d 满足()222ln (2)0b a a c d -++--=，则22()()a c b d -+-的最小值为__________.51．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知0,0,k b >>且ln(2)kx b x +≥+对任意的2x >-恒成立，则bk的最小值为_____．52．（2022·重庆一中高三阶段练习）函数()sin ln 23f x x x π=--的所有零点之和为__________．53．（2022·重庆·高三阶段练习）已知1l ，2l 是曲线()ln f x x x ax =-的两条倾斜角互补的切线，且1l ，2l 分别交y 轴于点A 和点B ，O 为坐标原点，若4OA OB +>，则实数a 的最小值是______.54．（2022·重庆·高三阶段练习）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点P 在双曲线上，若122F F OP =，212PF PF =，则此双曲线的渐近线方程为______.55．（2022·重庆八中高三开学考试）2223164cos 20sin 20cos 20︒︒︒--=_____. 56．（2022·重庆十八中两江实验中学高三阶段练习）已知函数()()e sin 0xf x a x x =->有两个零点，则正实数a 的取值范围为______．57．（2022·重庆十八中两江实验中学高三阶段练习）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，直线l 经过C 的左焦点F ，与C 交于A ，B 两点，且OA OB ⊥，其中O 为坐标原点．则C 离心率的取值范围是______．58．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）已知函数124e ,1()(2)2,1x ax a x f x x a x a x -⎧+->=⎨+--≤⎩，若关于x的不等式()0≤f x 的解集为[)2,-+∞，则实数a 的取值范围是___________.59．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知奇函数()f x 的定义域为R ，当0x >讨，()()20f x f x '+>，且()20f =，则不等式()0f x >的解集为___________.60．（2022·辽宁朝阳·高三阶段练习）已知F 为抛物线216y x =的焦点，P 为抛物线上的动点，点()2,0A -，则2193PA PF +-的最小值为______．试卷第11页，共11页 61．（2022·辽宁·沈阳市第三十一中学高三开学考试）已知()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，则ω=______. 四、双空题62．（2022·辽宁·大连二十四中高三阶段练习）记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数.若存在0x R ∈，满足00()()f x g x =且00()()f x g x '='，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”. （1）以下函数()f x 与()g x 存在“S 点”的是___________ ①函数()f x x =与2()22g x x x =+-；①函数()1f x x =+与()x g x e =；①函数()sin f x x =与()cos g x x =.（2）已知：,m n R ∈，若函数2()f x mx nx =+与()ln g x x =存在“S 点”，则实数m 的取值范围为___________.。

2022年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编(一)(解析版)

2022年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编（一）参考答案与试题解析一．选择题（共25小题）1．（2021•新余二模）定义：如果函数()y f x =在区间[a ，]b 上存在1x ，212()x a x x b <<<，满足1()()()f b f a f x b a -'=-，2()()()f b f a f x b a-'=-，则称函数()y f x =在区间[a ，]b 上的一个双中值函数，已知函数326()5f x x x =-是区间[0，]t 上的双中值函数，则实数t 的取值范围是( )A ．36(,)55B ．26(,)55C ．23(,)55D ．6(1,)5【解答】解：函数326()5f x x x =-，∴212()35f x x x '=-，函数326()5f x x x =-是区间[0，]t 上的双中值函数，∴区间[0，]t 上存在1x ，212(0)x x x t <<<，满足12()(0)()()f t f f x f x t -'='=，即方程22126355x x t t -=-在区间[0，]t 有两个解，令22126()355g x x x t t =--+，对称轴1225065x -=-=>，则22222126()12()0556(0)05126()3055t t g t t g t t t t t ⎧=---+>⎪⎪⎪=-+>⎨⎪⎪=--+>⎪⎩，解得3655t <<．∴实数t 的取值范围是36(,)55．故选：A ．2．（2021•江苏模拟）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，它由四个全等的直角三角形和一个正方形所构成（如图），后人称其为“赵爽弦图”．在直角三角形CGD 中，已知4GC =，3GD =，在线段EF 上任取一点P ，线段BC 上任取一点Q ，则AP AQ ⋅的最大值为( )A ．25B ．27C ．29D ．31【解答】解：如图，设(01)EP EF λλ=，(01)BQ BC μμ=，由已知||4GC =，||3GD =，可得2||35DC ==，则||4AE =，||||5AB BC ==，||431EF =-=，∴()()()()AP AQ AE EP AB BQ AE EF AB BC λμ⋅=+⋅+=+⋅+AE AB EF AB AE BC EF BC λμλμ=⋅+⋅+⋅+⋅433445(15)(45)(15)5555λμλμ=⨯⨯-⋅⨯⨯+⋅⨯⨯+⋅⨯⨯163(124)λλμ=-++，01λ，01μ，∴当1μ=时，163(124)λλμ-++有最大值16312428λλλ-++=+，而当1λ=时，28λ+有最大值为29．故选：C ．3．（2021•五华区校级模拟）设直线:340l x y m ++=，圆22:420C x y x +-+=，若在圆C 上存在两点P ，Q ，在直线l 上存在点M ，使90PMQ ∠=︒，则m 的取值范围为( )A ．[16-，4]B ．[18-，4]C ．[6--6-+D ．[6-+【解答】解：直线:340l x y m ++=上任意一点0M ，点P ，Q 是圆C 上两点，当0PM ，0QM 分别与圆C 相切时，0PM Q ∠最大，当0M 运动到与圆心C 之间的距离最小时，即0CM l ⊥时，0PM Q ∠最大，圆22:420C x y x +-+=的圆心坐标(2,0)C 由点到直线距离公式，得圆心到直线的距离|3240|5m d ⨯+⨯+=，当090PM Q ∠︒时，|3240|25m d ⨯+⨯+=，解得164m -，m ∴的取值范围为[16-，4]．故选：A ．4．（2021•五华区校级模拟）若211x x >>，则下列结论正确的是( )A ．12x x B ．12x x <C ．1212x x x ln e e x <- D ．1212x x x lne e x >- 【解答】解：设2()(1)x xf x x e =>，则(2)()xx x f x e -'=，当(1,2)x ∈时，()0f x '>，所以()f x 在(1,2)上单调递增．当(2,)x ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 在(1,2)上单调递减．所以()max f x f =（2），所以一定存在2x ，1x ，且2(2,)x ∈+∞，1(1,2)x ∈使21()()f x f x =，即12x x ，设()(1)x g x e lnx x =->，则11()0x xxe g x e x x-'=-=>，所以()g x 在(1,)+∞上单调递增，所以21()()g x g x >，即1212x x x lne e x >-，故选：D ．5．（2021•迎江区校级三模）1111ABCD A B C D -是棱长为2的正方体，E 、F 、G 分别为1AA 、11D C 、BC 的中点，过E 、F 、G 的平面截正方体的截面面积为( )A B C ．D ．【解答】解：取11A D ，1C C ，AB 的中点M ，N ，K ，连接EM ，MF ，FN ，NG ，GK ，EK ．根据正方体的性质，得六边形EMFNGK所以面积为16(sin 60)2⨯︒=．故选：C ．6．（2021•迎江区校级三模）设函数()sin()(0)5f x x πωω=+>，已知()f x 在[0，2]π有且仅有5个零点．下述四个结论不正确的是( )A ．()f x 在(0,2)π上有且仅有3个极大值点B ．()f x 在(0,2)π上有且仅有2个极小值点C ．()f x 在(0,)10π上单调递增D ．ω的取值范围是1229[,)510【解答】解：由于函数()sin()(0)5f x x πωω=+>，已知()f x 在[0，2]π有且仅有5个零点．如图所示：故5265πππωπ+<，对于A 和B ：由函数sin y x =在[,2]55πππω+上的图象，可得函数()f x 在(0,2)π上有且仅有3个极大值点，有3个或2个极小值点；故A 正确，B 错误；对于C ：当(0,)10x π∈时，(0,)52x ππω+∈，且0ω>，所以函数()f x 在(0,)10π上单调递增，故C 正确；对于D ：由5265πππωπ+<，可得12293510ω<<，故D 正确．故选：B ．7．（2021•瑞安市校级模拟）已知点P 是正方体ABCD A B C D ''''-上底面A B C D ''''上的一个动点，记面ADP 与面BCP 所成的锐二面角为α，面ABP 与面CDP 所成的锐二面角为β，若αβ>，则下列叙述正确的是()A ．APC BPD ∠>∠B ．APC BPD ∠<∠C ．{max APD ∠，}{BPC max APB ∠>∠，}CPD ∠D ．{min APD ∠，}{BPC min APB ∠>∠，}CPD ∠【解答】解：如图，取正方体的下底面的各边中点E ，F ，G ，H ，上底面的中心为O ，下底面的中心为O '，面ADP 与面BCP 所成的锐二面角为α，面ABP 与面CDP 所成的锐二面角为β，且αβ>，等价于点P 到HF 的距离比到EG 的距离大，所以点P 在如图所示的范围内，在APC ∆和BPD ∆中，AC BD =，PQ 为公共边，Q 为公共的中点， APC ∠，BPD ∠的大小由PQ 与AC ，BD 所成的角的大小所确定，所成的角越小，则对应的角越大，因为PQ 与AC 和BD 所成的角的大小关系不确定，当点P 在靠近A '时，PQ 与直线AC 所成的角较小，与直线BD 所成的角接近90︒，此时BPD APC ∠>∠，同样当点P 接近于点D '时，APC BPD ∠>∠，故选项A 错误，选项B 错误；APD ∠与BPD ∠的大小关系看点P 是在EG 的左侧还是右侧，若是在左侧，则APD BPC ∠>∠，若是在右侧，则APD BPC ∠<∠，若是在EG 上，则APD BPC ∠=∠；同样，点P 在HF 的前面，则APB CPD ∠>∠，点P 在HF 上，则APB CPD ∠=∠，点P 在HF 的后面，则APB CPD ∠<∠，所以当点P 在A OH '内时，{max APD ∠，}BPC APD ∠=∠，{min APD ∠，}BPC BPC ∠=∠， {max APB ∠，}CPD APB ∠=∠，{min APB ∠，}CPD CPD ∠=∠，因为PH PE <，则APD APB ∠>∠，因为PG PF <，故BPC CPD ∠<∠，故选项C 正确，选项D 错误；根据对称性可知，在其余范围内，具有相同的结论．故选：C ．8．（2021•瑞安市校级模拟）已知椭圆2212x y +=上存在两点M 、N 关于直线y x t =-+对称，且MN 的中点在抛物线2y x =上，则实数t 的值为( ) A ．0B ．2C ．0或2D ．0或6【解答】解：设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，且12x x ≠，MN 的中点为0(E x ，0)y ，则221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，由点差法可得12121212()()()()02x x x x y y y y +-++-=，则1212121212y y y y x x x x -+=-⨯-+，因为12012022x x x y y y +=⎧⎨+=⎩，代入可得0012MN x k y =-⋅，由M ，N 两点关于直线y x t =-+对称，可得1MN k =，所以0012y x =-，又因为00y x t =-+，所以02x t =，0x t =-，代入抛物线2y x =，即2()2t t -=，解得9t =或2t =，故选：C ．9．（2021•兴宁区校级模拟）已知S ，A ，B ，C 四点都在某个球表面上，ABC ∆与SBC ∆都是边长为1的正三角形，二面角A BC S --的大小为23π，则该球的表面积为( ) A ．43πB ．73πC ．3πD ．133π 【解答】解：取线段BC 的中点D ，连结AD ，SD ，由题意得AD BC ⊥，SD BC ⊥，ADS ∴∠是二面角A BC S --的平面角，则23ADS π∠=，由题意得BC ⊥平面ADS ，分别取ABC ∆，SBC ∆的外心E ，F ，过点E ，F 分别作两平面的垂线，两直线的交点为O ，则O 为三棱锥外接球的球心，连结OA ，则球O 半径R OA =，由题意知12BD =，AD =，13DE AD ==，23AE AD =，连结OD ，在Rt ODE ∆中，3ODE π∠=，12OE ==，222712OA OE AE ∴=+=， ∴球O 的表面积为2743S R ππ==，故选：B ．10．（2021•梁园区校级模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222:(0)O x y r r +=>与圆22:(3)(4)9M x y -+-=相交于A ，B 两点，点P 是线段AB 上的任意一点（含端点），若存在P ，使得以P为圆心，以1为半径的圆与圆M 无公共点，则r 的取值范围为( )A ．B ．(4,8)C ．D ．【解答】解：由题意，两圆的圆心距为5OM =，则|3|53r r -<<+，解得(2,8)r ∈，若P 为线段AB 中点时，若以P 为圆心，1为半径的圆与圆M 无公共点，这样的点P 必存在，将圆O ，圆M 的方程作差，可得直线AB 的方程为268160x y r +--=，此时圆M 与圆P 必定内含，所以2|34|||10r MP -=，即2|34|210r -<，r << 故选：A ．11．（2021•梁园区校级模拟）在前n 项和为n S 的等比数列{}n a 中，0n a >，公比1q ≠，则下列说法错误的是( )A ．若(0,1)q ∈，则存在0M >，使得n S M <对任意*n N ∈都成立B ．若2q =，则1n n S a +<C ．若2q ，则数列{}n a 中存在三项可以构成等差数列D ．若**1(2,2,,)m k k S q S k m k N m N ->∈∈，则1k m m S q S ->【解答】解：对于A ，1111(1)1111n n n a q a a q aS q q q q -==-<----，故A 正确；对于B ，111111(12)212n n n n n a S a a a a a ++-==⋅-=-<-，故B 正确；对于C ，当2q 时，12x n a a +，12()m k m x a a a a a m n k π++>>>，故不存在三项成等差，即C 错误；对于D ，由1mk k S q S ->，可得111111(1)(1)111k m k m m k a q a q q a q a q q q q q----->=---，即1111111k m m k a a q a q a q q q q --->--，移项可得1111111m k m ka a q a q a q q q q--->--，所以1k m m S q S ->，即D 正确．故选：C ．12．（2021•银川校级四模）关于函数()|cos |cos |2|f x x x =+有下列四个结论：①()f x 的值域为[1-，2]；②()f x 在[0，]2π上单调递减；③()f x 的图象关于直线34x π=对称； ④()f x 的最小正周期为π．上述结论中，不正确命题的个数有( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：①2()|cos |cos |2||cos |cos2|cos |2|cos |1f x x x x x x x =+=+=+-，令|cos |(01)t x t =，则22()|cos |2cos 121f x x x t t =+-=+-，令2()21g t t t =+-，其对称轴方程为14t =-，则()g t 在[0，1]上单调递增，()[(0)g t g ∴∈，g （1）][1=-，2]，即()f x 的值域为[1-，2]，故①正确；②由①知()g t 在[0，1]上单调递增，当[0x ∈，]2π时，|cos |cos t x x ==单调递减，由复合函数的单调性可知，()f x 在[0，]2π上单调递减，故②正确；③因为333()|cos()|cos |2()||sin ||cos2|()222f x x x x x f x πππ-=-+-=+≠，所以()f x 的图象不关于直线34x π=对称，故③错误； ④()|cos()|cos |2()||cos |cos |2|()f x x x x x f x πππ+=+++=+=，()f x 的最小正周期为π，故④正确，综上所述，上述结论中，不正确命题的个数有1个，故选：A ．13．（2013•安徽）若函数32()f x x ax bx c =+++有极值点1x ，2x ，且11()f x x =，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数是( ) A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：2()32f x x ax b '=++，1x ，2x 是方程2320x ax b ++=的两根，由23(())2()0f x af x b ++=，得1x x =，或2x x =，即23(())2()0f x af x b ++=的根为1()f x x =或22()f x x =的解．如图所示，由图象可知1()f x x =有2个解，2()f x x =有1个解，因此23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为3．故选：A ．14．（2021•武汉模拟）过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作直线l ，且直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为A ，直线l 与另一条渐近线交于点B ．已知O 为坐标原点，若OAB ∆的内切圆的半径为，则双曲线C 的离心率为( )A B 1 C D 或2 【解答】解（1）若A ，B 在y 轴同侧，不妨设A 在第一象限．如图，设OAB ∆内切圆的圆心为M ，则M 在AOB ∠的平分线Ox 上，过点M 分别作MN OA ⊥于N ，MT AB ⊥于T ，由FA OA ⊥得四边形MTAN 为正方形，由焦点到渐近线的距离为b 得||FA b =，又||OF c =，所以||OA a =，又||||NA MN ==，所以||NO ，所以||tan ||b MN AOF a NO =∠==，从而可得e ==．（2）若A ，B 在y 轴异侧，不妨设A 在第一象限如图，易知||FA b =，||OF c =，||OA a =，所以OAB ∆的内切圆半径为||||||2AB OA OB +-=，所以||||2OB AB a -=-，又因为222||||OB AB a =+，所以||AB =，||2OB a =，所以60BOA ∠=︒，60AOF ∠=︒，则tan 60ba=︒2e ==．综上，双曲线C 或2．故选：D ．15．（2021•全国Ⅱ卷模拟）已知直线:0l x y m ++=，圆22:40C x y x +-=，若在直线l 上存在一点P ，使得过点P 作圆的切线PA ，PB （点A ，B 为切点），满足60APB ∠=︒，则m 的取值范围为( )A ．[2-，2]B ．[-C ．[1-，1]D ．[2]-【解答】解：根据题意，圆C 化为：22(2)4x y -+=，圆心为(2,0)，半径2r =，过点P 作圆C 的两条切线，切点为A ，B ，连接PC ，若60APB ∠=︒，则30APC ∠=︒，如图所示：又由CA PA ⊥，则||2||24PC CA r ===，若直线:0l x y m ++=上存在点P ，满足60APB ∠=︒，则有C 到直线l 的距离4d =，解得：2422m --，即m 的取值范围是[2]-．故选：D ．16．（2021•通辽模拟）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有数学王子的美誉，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如[ 3.7]4-=-，[2.3]2=．已知1()12x x e f x e =-+，则函数2[()][()]y f x f x =+-的值域为( ) A ．{2-，1-，0} B ．{1-，1}C ．{2-，0}D ．{2-，1，0}【解答】解：11111()1121221x x x xe f x e e e =-=--=-+++是R 上的增函数， 11x e +>，1?1?01x e ∴<<+，1111?2212xe <-<+， ∴当1()(2f x ∈-，0)时，[()]1f x =-，[()]0f x -=；当()(0f x ∈，1)2时，[()]0f x =，[()]1f x -=-；当()0f x =时，[()][()]0f x f x =-=．∴函数2[()][()]y f x f x =+-的值域是{1-，0}．∴函数2[()][()]y f x f x =+-的值域为{2-，1-，0}．故选：A ．17．（2021•让胡路区校级模拟）关于函数1()sin ||sin ||f x x x =+有如下四个命题，其中正确的个数是( ) ①()f x 是偶函数； ②()f x 图象关于2x π=对称；③()f x 的最小值为2-； ④()f x 在(2π-，0)上单调递增．A ．①②B ．①④C ．①②④D ．①③④【解答】解：已知函数1()sin ||sin ||f x x x =+，对于①，函数满足的定义域：{|}()x x k k Z π≠∈，且满足()()f x f x -=，故()f x 是偶函数，故①正确；对于②，函数()f x 满足()()f x f x π≠-，由于()22f π-=，3()22f π=-，故函数()f x 图象不关于2x π=对称，故②错误；对于③，当sin ||0x >时，函数1()sin ||2sin |2sin ||f x x x x =+，故函数的最小值为2，故③错误；对于④，由于(2x π∈-，0)，1()sin sin f x x x=--，所以322cos cos ()cos sin sin x x f x x x x '=-+=，由于(2x π∈-，0)，所以()0f x '>，故函数在(2π-，0)上单调递增，故④正确．故选：B ．18．（2021•让胡路区校级模拟）在四面体ABCD中，若AB CD ==，2AC BD ==，AD BC =四面体ABCD 的外接球的表面积为( ) A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π【解答】解：如下图所示，将四面体ABCD 放在长方体AEBF GCHD -内，设该长方体的长、宽、高分别为x 、y 、z ，则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径，设该长方体的外接球半径为R ，由勾股定理得222222222345AB x y AC x z AD y z ⎧=+=⎪=+=⎨⎪=+=⎩，上述三个等式全加得2222()12x y z ++=，所以，该四面体的外接球直径为2R =，因此，四面体ABCD 的外接球的表面积为224(2)6R R πππ=⨯=，故选：C ．19．（2021•团风县校级模拟）我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．已知曲线2:C y x =，直线l 为曲线C 在点(1,1)处的切线．如图1所示，阴影部分为曲线C 、直线l 以及x 轴所围成的平面图形，记该平面图形绕y 轴旋转一周所得的几何体为T ．给出以下四个几何体：图①是底面直径和高均为1的圆锥；图②是将底面直径和高均为1的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体；图③是底面边长和高均为1的正四棱锥；图④是将上底面直径为2，下底面直径为1，高为1的圆台挖掉一个底面直径为2，高为1的倒置圆锥得到的几何体．根据祖暅原理，以上四个几何体中与T 的体积相等的是( ) A ．①B ．②C ．③D ．④【解答】解：设直线y t =，与2y x =交于点)t ，其中01t ，切线的斜率为2，切线的方程为21y x =-， y t =与21y x =-交于点1(,)2t t +，用平行于底面的平面截几何体T 所得的截面为圆环，截面面积为2221(1)()44t t t t ππ++--=⋅，对于①，用一个平行于底面的截面截该几何体，得到的截面为圆，且圆的半径为1(1)2t -，可得截面面积为2(1)4t π-⋅，符合题意；对于②，用一个平行于底面的截面截该几何体，得到的截面为一个圆环，截面的面积为大圆面积去掉一个小圆面积，面积为21144t ππ-，不符合题意；对于③，用一个平行于底面的截面截该几何体，得到的截面为正方形，不符合题意；对于④，用一个平行于底面的截面截该几何体，得到的截面为一个圆环，圆环的面积为221(1)(13)()24t t t t πππ+-+⋅-=，不符合题意．综上所述，四个几何体中与T 体积相等的是图①．故选：A ．20．（2021•成都模拟）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别是1(,0)F c -，2(,0)F c ，点P 是椭圆C 上一点，满足1212||||PF PF PF PF +=-，若以点P 为圆心，r 为半径的圆与圆2221:()4F x c y a ++=，圆2222:()F x c y a -+=都内切，其中0r a <<，则椭圆C 的离心率为( )A ．12B ．34C D 【解答】解：如图，由1212||||PF PF PF PF +=-，可得12PF PF ⊥，又以点P 为圆心，r 为半径的圆与圆2221:()4F x c y a ++=，圆2222:()F x c y a -+=都内切，1||2PF r a ∴+=，2||PF r a +=，即12||||PF PF a -=，又由椭圆定义可得，12||||2PF PF a +=，联立可得13||2aPF =，21||2PF a =，在Rt △12PF F 中，由12PF PF ⊥，可得2221212||||||PF PF F F +=，即22291444a a c +=，可得1)e e =>．故选：C ．21．（2021•沈河区校级模拟）已知三棱锥A BCD -中，底面BCD是边长为ABD ⊥底面BCD ，且2AB AD ==，则该几何体的外接球的表面积为( ) A ．12πB ．16πC ．20πD ．24π【解答】解：如图，设底面正三角形的外心为G ，侧面三角形ABD 的外心为H ，过G 作底面垂线，过H 作侧面ABD 的垂线，相交于O ，则O 为三棱锥A BCD -的外接球的球心，由已知可得1OH GE ===，1sin 2ABD ∠==，设三角形ABD 的外接圆的半径为r ，则2212r =，即2r =．在Rt BHO ∆中，可得2225BH OH BH =+=，∴该几何体的外接球的表面积为2420R ππ=．故选：C ．22．（2021•河南模拟）已知若x e y lny x ->-，则( ) A ．x y >B ．x lny >C ．x y <D ．x lny <【解答】解：由题意知x e y lny x ->-，则x lny e x y lny e lny +>+=+，构造函数()x g x e x =+，则()10x g x e '=+>，故()g x 在R 递增，故()()g x g lny >，故x lny >，故选：B ．23．（2021•广西一模）已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左焦点为1F ，过点1F 的直线与两条渐近线的交点分别为M 、N 两点（点1F 位于点M 与点N 之间），且13MN F N =，又过点1F 作1F P OM ⊥于P （点O 为坐标原点），且||||ON OP =，则双曲线E 的离心率(e = ) ABCD【解答】解：法一、双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的渐近线方程为by x a=±，如图所示，设11(,)b M x x a -，22(,)bN x x a ，1(,0)F c -，21(MN x x =-，21)b b x x a a +，122(,)bF N x c x a=+，由13MN F N =，得212212333x x x c b b b x x x a a a -=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得123234x c x c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，又点1F 到直线0bx ay +=的距离1||F P b ==，1||OF c =，||OP a ∴==，则||||ON OP a ==，又3(4N c -，3)4bc a -，23||4c ON a ∴=，可得234c a a=，即2234c a =，c e a ∴=．故选：C ．法二、在1OPF ∆与1ONF ∆中，由||||ON OP =，11||||OF OF =，11POF NOF ∠=∠，得11OPF ONF ∆≅∆，1F P OM ⊥，1F N ON ∴⊥，设1||F N m =，则1||F P m =，1||2MF m =，可得111||1sin ||22F P m PMF MF m ∠===， 130PMF ∴∠=︒，可得60MON ∠=︒，则130FON ∠=︒，tan 30b a ∴︒==c e a ∴====故选：C ．24．已知函数()(x x f x ln x e e -=++-，若不等式(1)()f ax f lnx +>在(0,)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．21(e ，)+∞ B ．21[e -，)+∞ C ．22(e -，)+∞ D ．22[e ，)+∞【解答】解：令()h x x =+则()10h x '=+=>在R 上恒成立，所以()h x 在R 上为增函数，又()0h x >，所以函数(())y ln h x =是R 上的增函数，又x y e =，x y e -=-都是R 上的增函数，所以函数()(x x f x ln x e e -=++-是R 上的增函数，因为(1)()f ax f lnx +>在(0,)+∞上恒成立，所以1ax lnx +>在(0,)+∞上恒成立，即1lnx a x->在(0,)+∞上恒成立，令1()lnx g x x -=，则22()lnxg x x -'=，令()0g x '>，得20x e <<，令()0g x '<，得2x e >，所以()g x 在2(0,)e 上单调递增，在2(e ，)+∞上单调递减，所以221()()g x g e e =，故21a e >，故选：A ．25．（2021•思明区校级模拟）阿基米德多面体是以边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图，将正四面体沿相交于同一个顶点的三条棱上的3个点截去一个正三棱锥，如此共截去4个正三棱锥，若得到的几何体是一个由正三角形与正六边形围成的阿基米德多面体，且该阿基米德多面体的表面积为，则该阿基米德多面体外接球的体积为( )A B ．43π C D ．116π【解答】解：由题意，可得阿基米德多面体的棱长为原正四面体棱长的13，设原正四面体的棱长为a ，则其表面积为224a =，2218()3a -==3a =．因此原正四面体的底面三角形的高为h ，∴原正四面体的高为H ==由题意知，原正四面体外接球的球心就是该阿基米德多面体外接球的球心，设该阿基米德多面体外接球的半径为R ，球心为O ，根据正四面体的特征可知，O 到该阿基米德多面体正六边形侧面的距离d 为正四面体内切球的半径．∴原正四面体的体积为111143232V a h H a h d =⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯，则4H d ==；又阿基米德多面体每个正六边形侧面的外接圆的半径1r =，∴2226111168R r d =+=+=，则该阿基米德多面体外接球的体积为343R π=故选：C ．二．多选题（共5小题）26．（2021•香洲区校级模拟）设抛物线22y px =的焦点为F ，准线为l ，点A ，B 在抛物线上( ) A ．若直线AB 经过焦点F 且满足3AF FB =，则若直线AB 的倾斜角为60︒或120︒B ．若直线AB 不经过焦点F 且交y 轴于点C ，且抛物线过点(1,2)，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是||1||1BF AF --C ．若M 为准线l 上任意一点，且直线MA ，MB 均为抛物线的切线，则直线AB 必过焦点FD ．若直线AB 不经过焦点F 且交x 轴于点N ，连AF 并延长交抛物线于另一点1A ，连BF 并延长交抛物线于另一点1B ，则11//AB A B【解答】解：A ．如图所示，过点A ，B 分别作AM l ⊥，BE l ⊥，垂足分别为M ，E ，则AF AM =，BF BE =．过点B 作BN AM ⊥，垂足为N 点，则MN BE =， 122AN AF BF BF AB ∴=-==，60NAF ∴∠=︒，可得直线AB 点倾斜角60AFx ∠=︒，由对称性可得直线AB 的倾斜角也可以为120︒，综上可得：直线AB 的倾斜角为60︒或120︒，因此正确．B ．如图所示，抛物线过点(1,2)，则222p =，解得2p =，∴12p=，可得准线方程为：1x =-．分别过A ，B 作AM l '⊥，BN l '⊥，分别交y 轴与点M ，N ，垂足分别为M '，N '．则AF AM ='，BF BN ='．设BCF ∆与ACF ∆的面积分别为：1S ，2S ．则121||11||1S BC BN BN BF S AC AM AM AF '--===='--，因此正确． C ．设(2pM -，)m ，211(,)2y A y p ，222(,)2y B y p ．过点M 点抛物线点切线方程为：()2Px t y m =--，与22y px =联立，可得：22220y pty ptm p -++=，(*) △22244(2)0p t ptm p =-+=，化为：220pt mt p --=，可得：2210mt t p--=，122mt t p+=，121t t =-． 11y pt ∴=，22y pt =．12221212222ABy y pk y y y y p p-==+-，直线AB 的方程为：211122()2y p y y x y y p -=-+，令0y =，可得：1222y y px p =-=，因此直线AB 必过焦点F ，正确； D ．如图所示，直线AB 不经过焦点F ，不妨设交x 轴于点(,0)N p ，2AB k =，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，直线AB 的方程为：12x y p =+，联立2122x y p y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，化为：2220y py p --=，解得12y p =，2y p =-． (2,2)A p p ∴，(2pB ，)p -，直线AF 的方程为：200()222p p y x p p --=--，可得：4()32p y x =-，与抛物线方程22y px =联立可得：1(8pA ，)2p -， 1(2pB ，)p ，∴1124282A B p p k p p --==≠-，因此AB 与11A B 不平行，因此D 不正确．故选：ABC ．27．（2021•团风县校级模拟）在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线22x y =的焦点的直线l 与该抛物线的两个交点为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则( ) A ．1214y y =B ．以AB 为直径的圆与直线12y =-相切C ．||||OA OB +的最小值D ．经过点B 与x 轴垂直的直线与直线OA 交点一定在定直线上【解答】解：由抛物线的方程可得焦点1(0,)2F ，显然过焦点F 的直线的斜率显然存在，设直线l 的方程为：12y kx =+，联立2122y kx x y⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理可得：2210x kx --=，可得122x x k +=，121x x =-，所以21212()121y y k x x k +=++=+，221212144x x y y ==；所以A 正确；以AB 为直径的圆的圆心坐标为：12(2x x +，12)2y y +，即21(,)2k k +，半径2121||122y y AB k ++==+，所以圆心到直线12y =-的距离为：2211122k k ++=+等于半径，所以圆与直线相切，所以B 正确；当直线AB 与x 轴平行时，||||OA OB ==||||OA OB +=所以||||OA OB +的最小值不是C 不正确；直线OA 的方程为：1112y x y x x x ==，与2x x =的交点坐标为：2(x ，12)2x x，因为12122x x =，所以经过点B 与x 轴垂直的直线与直线OA 交点在定直线12y =-上，故D 正确；故选：ABD ．28．（2021•团风县校级模拟）如图，已知a ，b 是相互垂直的两条异面直线，直线AB 与a ，b 均相互垂直，且2AB =，动点P ，Q 分别位于直线a ，b 上，若直线PQ 与AB 所成的角4πθ=，线段PQ 的中点为M ，下列说法正确的是( )A ．PQ 的长度为B ．PQ 的长度不是定值C ．点M 的轨迹是圆D ．三棱锥A BPQ -的体积为定值【解答】解：过点P 作PB α'⊥于点B '，连接B Q '，如图所示：则4QPB π∠'=，故2cos4PQ π==A 正确；B 不正确；设B Q '的中点为N ，易得BB BQ '⊥，且2B Q '=，则有1BN =，设AB 的中点为O ，连接O ，M ，N ，B ，易得四边形OMNB 为平行四边形，故1OM BN ==，12MN PB ='，即点M 到平面α的距离为定值，可得点M 的轨迹为圆，故C 正确；当点Q 与B 点重合时，三棱锥体A BPQ -转换为三角形，其体积为0，而当点Q 与点B 不重合时，且点P 与点A 不重合时，其体积显然不为0，故D 错误，故选：AC ．29．（2021•重庆模拟）如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将ABM ∆沿直线AM 翻折成△1AB M ，连结1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是( )A ．存在某个位置，使得1CN AB ⊥B ．翻折过程中，CN 的长是定值C ．若AB BM =，则1AM BD ⊥D ．若1AB BM ==，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -的外接球的表面积是4π 【解答】解：对于A ：如图1，取AD 中点E ，连接EC 交MD 与F ，则1//NE AB ，1//NF MB ，如果1CN AB ⊥，可得到EN NF ⊥，又EN CN ⊥，且三线NE ，NF ，NC 共面共点，不可能，故A 错误对于B ：如图1，可得由1NEC MAB ∠=∠（定值）， 112NE AB =（定值），AM EC =（定值），由余弦定理可得2222cos NC NE EC NE EC NEC =+-⋅⋅∠， NC ∴是定值，故B 正确．对于C ：如图2，取AM 中点O ，连接1B O ，DO ，由题意得AM ⊥面1ODB ，即可得OD AM ⊥，从而AD MD =，由题意不成立，可得C 错误．对于D ：当平面1B AM ⊥平面AMD 时，三棱锥1B AMD -的体积最大，由题意得AD 中点H 就是三棱锥1B AMD -的外接球的球心，球半径为1，表面积是4π，故D 正确故选：BD ．30．（2021•潍坊模拟）一副三角板由一块有一个内角为60︒的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，90B F ∠=∠=︒，60A ∠=︒，45D ∠=︒，BC DE =起，得三棱锥F ABC -，取BC 中点O 与AC 中点M ，则下列判断中正确的是( )A ．BC ⊥面OFMB ．AC 与面OFM 所成的角为定值C ．三棱锥F COM -体积为定值D ．若平面BCF ⊥平面ABC ，则三棱锥F ABC -外接球体积为43π【解答】解：对于A ，因为O 是BC 的中点，M 是AC 的中点，所以//MO AB ， 90B F ∠=∠=︒，可得BC OM ⊥，由BCF ∆为等腰直角三角形，可得BC OF ⊥，又MOFO O =，MO ，FO ⊂平面OFM ，所以BC ⊥平面OFM ，故选A 正确；对于B ，由选项A 可得，AC 与平面OFM 所成的角为60OMC ∠=︒，为定值，故选项B 正确；对于C ，COM ∆的面积为定值，但三棱锥F COM -的高会随着F 点的位置移动而变化，故选项C 错误；对于D ，因为平面BCF ⊥平面ABC ，平面BCF ⋂平面ABC BC =，FO ⊂平面BCF ，所以FO ⊥平面ABC ，又OM ⊂平面ABC ，所以OM FO ⊥，又BC DE ==60A ∠=︒，所以12FO DE ==，又1AB =，则1122OM AB ==，所以1MF ==，在直角三角形ABC 中，112MA MB MC AC ====，则MA MB MC MF ===，所以点M 为三棱锥F ABC -外接球的球心，因此该外接球的体积为344133V ππ=⋅=，故选项D 正确．故选：ABD ．三．填空题（共20小题）31．（2021•香洲区校级模拟）已知直四棱柱的1111ABCD A B C D -所有棱长均为2，E ，F ，G 分别为棱AD ，DC ，11B C 的中点，且60BAD ∠=︒，则异面直线11A C 与FG 所成的角的余弦值为 0 ，三棱锥1A EFG -的体积为．【解答】解：连接AC ，EF ，由11//AC AC ，//EF AC ，可得11//AC EF ，所以EFG ∠是异面直线11A C 与FG 所成的角（或补角），如图，取BC 中点H ，连接GH ，FH ，易知GHF ∆是以FG 为斜边的直角三角形，根据题意可得1FH =，2GH =，所以FG AC =EF连接EG ，GE =222EG EF FG =+，所以EF FG ⊥，即11AC FG ⊥，故异面直线11A C 与FG 所成角的余弦值为0．如上图，取11A B 的中点M ，连接ME ，MG ，显然//MG EF ，且MG EF =，所以四边形EFGM 是平行四边形，所以11111(1sin150)232A EFG A EMG E A MG V V V ---===⨯⨯︒⨯=，故答案为：0． 32．（2021•香洲区校级模拟）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点为1F 、2F ，P 是双曲线右支上，以1PF 为直径的圆22149:()24E x y +-=过点2F ，则双曲线方程为 22193x y -= ．【解答】解：设0(P x ，0)y ，1(,0)F c -，所以可得1PF 的中点坐标为：0(2x c -，0)2y，即以线段1PF 为直径的圆的圆心为：0(2x c -，0)2y，由题意可得：002x c -=，0122y =解得0x c =，01y =，又因为圆E 过2F ，所以22149(0)24c +-=，解得c =所以P ，1)，且c =P 的坐标代入双曲线的方程可得221211a b -=，22212a b c +==，解得29a =，23b =，所以双曲线的方程为：22193x y -=，故答案为：22193x y -=．33．（2021•五华区校级模拟）在三棱锥A BCD -中，90ABC ABD CBD ∠=∠=∠=︒，1BC BD BA ===，过点A 作平面α与BC ，BD 分别交于P ，Q 两点，若AB 与平面α所成的角为30︒，则截面APQ 面积的最小值是23．【解答】解：过B 作BO PQ ⊥，垂足为O ，连接OA ，因为AB BC ⊥，AB BD ⊥，BC BD B =，所以AB ⊥平面BCD ，又PQ ⊂平面BCD ，所以AB PQ ⊥，又BO PQ ⊥，且ABBO B =，所以PQ ⊥平面ABO ，则PQ AO ⊥，所以BAO ∠为AB 与平面α所成的角，30BAO ∠=︒，因为1AB =，所以OA =为定值，要使截面APQ 面积最小，则PQ 最小，因为22222PQ BP BQ BP BQ PQ BO =+⋅=⋅，即2PQ BO ，当且仅当BP BQ =时等号成立，所以2min PQ BO ==，所以截面APQ面积最小值1223S ==．故答案为：23．34．（2021•迎江区校级三模）已知A ，B ，P 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上的三点，且满足2PA PB PO +=，若直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，12(||)(||)f k f k =成立，其中()|()|2xf x ln =，则C渐近线方程为 2y x =± ．【解答】解：设0(M x ，0)y ，(,0)A a -，(,0)B a ，可得2200012222000y y y b k k x a x a x a a ⋅=⋅==+--．()|()|2xf x ln =，∴11(||)||||2k f k ln =，22(||)||||2k f k ln =又12(||)(||)f k f k =，∴12||||||||22k kln ln =，即12||||22k k =，结合题意可知不成立，当12||||122k k ⋅=，可得21224b k k a⋅==，2y x ∴=±．故答案为：2y x =±．35．（2021•迎江区校级三模）已知函数2()()()x x x x f x x x e e me x e =-++-有三个零点1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m R ∈， 2.718e =为自然对数的底数，则1232312(1)(1)(1)x x x x x x m e e e ----的范围为 21(0,)e e- ．【解答】解：由()0f x =，得2()()0x x x x x x e e me x e -++-=，两边同时除以()xxe x e -，变形为0xx xx e m e x e ++=-，则101xxx m x e e ++=-，设x x t e =，即101t m t ++=-， 2(1)10t m t m ∴+-+-=．令()x x g x e =，则1()xx g x e -'=，可得()g x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，且(0)0g =，g （1）1e=，当0x >时，()0g x >，其大致图象如下：要使关于x 的方程0xx xx e m e x e ++=-有三个不相等的实数根1x 、2x 、3x ，且1230x x x <<<，结合图象可得关于t 的方程2(1)10t m t m +-+-=有两个不等实根1t ，2t ，且1210t t e <<<，从而2111m e e<<+-， 121t t m +=-，121t t m =-，则111x x t e =，23322x x x x t e e ==， ∴12322231212(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x xt t e e e---=-- 222121212[(1)(1)][()1][1(1)1]1t t t t t t m m =--=-++=---+=． 123231221(1)(1)(1)1(0,)x x x x x x m m e e e e e ----=-∈-．故答案为：21(0,)e e-． 36．（2021•瑞安市校级模拟）在四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点，设AD BC x ⋅=，AC BD y ⋅=，若AB 1EF =，CD =，则xy 的最小值为 116-．【解答】解：如图所示：设AB DC O =，因为2AD BCAB AE EF FB EF -=++=+， 2BC ADDC DE EF FC EF -=++=+，所以2AB DC EF +=，即2AB DCEF +=，两边平方得222232144AB DC AB DC AB DC+-⋅++⋅==，解得12AB DC ⋅=-，因为()()AD BC OD OA OC OB OD OC OD OB OA OC OA OB x ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+⋅=，即有OD OC OA OB x OD OB OA OC ⋅+⋅=+⋅+⋅，()()AC BD OC OA OD OB OD OC OC OB OA OD OA OB y ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+⋅=，即有OD OC OA OB y OC OB OA OD ⋅+⋅=+⋅+⋅，所以x OD OB OA OC y OC OB OA OD +⋅+⋅=+⋅+⋅，则1()()2x y OC OB OA OD OD OB OA OC OB DC OA CD DC OB OA DC AB -=⋅+⋅-⋅+⋅=⋅+⋅=⋅-=⋅=-，即有12y x =+，所以1111()2()222416xy x x x x x =+=+=+-，故当14x =-时，xy 取最小值为116-，此时111424y =-+=，故答案为：116-．37．（2021•瑞安市校级模拟）已知函数3()1f x ax x a =-++，若|()|2f x 对任意[0x ∈，1]恒成立，则实数a 的取值范围为 [3-，1] ．【解答】解：因为函数3()1f x ax x a =-++，则2()31f x ax '=-，①当0a 时，则()0f x '<，所以()f x 在R 上单调递减，则对任意[0x ∈，1]，()[2f x a ∈，1]a +，因为|()|2f x 对任意[0x ∈，1]恒成立，则0|2|2|1|2a a a ⎧⎪⎨⎪+⎩，解得30a -； ②若0a >，则()f x在(,-∞上单调递增，在(上单调递减，在)+∞上单调递增， 11a，则()[2f x a ∈，1]a +，因为|()|2f x 对任意[0x ∈，1]恒成立，则|2|2|1|2a a ⎧⎨+⎩，解得103a <；1，因为|()|2f x 对任意[0x ∈，1]恒成立，则|2|2|1|21||2a a f⎧⎪⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩，解得113a <．综上所述，实数a 的取值范围为[3-，1]．故答案为：[3-，1]．38．（2021•兴宁区校级模拟）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点为1F 、2F ，以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为A ，直线1AF 与双曲线的左支交于点B ，且2||||AB AF =，设双曲线的离心率为e ，则2e = 5+【解答】解：2||||AB AF =，A 为圆与双曲线在第一象限交点，即12||||AF AF >，B ∴在线段2AF 上，由双曲线定义可知：12||||2AF AF a -=，又2||||AB AF =，1211||||||||||2AF AF AF AB BF a ∴-=-==，又21||||2BF BF a -=，2||4BF a ∴=，A 在以12F F 为直径的圆上，12AF AF ∴⊥，2||||AB AF ∴==，由2221212||||||AF AF F F +=得：2222))4a c ++=，故2225c e a ===+故答案为：5+39．（2021•梁园区校级模拟）如图，在三棱锥P ABC -中，1AP AB AC ===，PB =BC =面角P AB C --的大小为3π，则该三棱锥的外接球的表面积为．【解答】解：易知ABP ∆是以PB 为斜边的等腰直角三角形，ABC ∆为等腰三角形，23BAC π∠=，设ABP ∆，ABC ∆的外接圆圆心分别为1O ，2O ，所以1O 为PB 中点，△2O AB 为等边三角形．设AB 中点为H ，连接1O H ，2O H ，所以1O H AB ⊥，2O H AB ⊥则123O HO π∠=，11122O H PA ==，2O H设球心为O ，则11OO O H ⊥，22OO O H ⊥，设1OHO θ∠=，则23OHO πθ∠=-，所以12cos cos()3O H O H OH πθθ==-，解得tan 2θ=11tan 1OO O H θ=⋅=，设外接球半径为r．则222221119(112r OO O P =+=+=所以表面积24S r π==．．40．（2021•大通县二模）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)M y px p =>与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>有公共焦点F ，抛物线M 与双曲线C 交于A ，B 两点，A ，B ，F 三点共线，则双曲线C 的离心率为1 ．【解答】解：由题意可知，(2pA ，)p ， 2pc =，(,2)A c c ∴，可得22b c a=，则2222ac b c a ==-，2210e e ∴--=，解得1(1)e e =>．1．41．（2021•银川校级四模）九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数在某种玩法中，用n a 表示解下*(9,)n n n N ∈个圆环所需的最少移动次数，数列{}n a 满足11a =，且1121,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数，则解下(n n 为奇数）个环所需的最少移动次数为 12(19n n -，n 为奇数） .（用含n 的式子表示）【解答】解：当n 为奇数时，1n -为偶数，2n -为奇数，则?1?2?2222(2?1)24n n n n a a a a =+=+=，故数列{}n a 的奇数项形成以1为首项，4为公比的等比数列，∴1?1?12142(19n n n a n +=⨯=，n 为奇数），故解下(n n 为奇数）个环所需的最少移动次数为12(19n n -，n 为奇数）．故答案为：12(19n n -，n 为奇数）．42．（2021•银川校级四模）已知双曲线22:1169x y C -=的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 是C 的右支上的一点（不是顶点），过2F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足是M ，O 是原点，则||MO = 4 ．【解答】解：双曲线22:1169x y C -=的左右焦点分别是1F ，2F ，延长2F M 交1PF 于H ，PM 是12F PF ∠的角平分线，2||||PH PF ∴=， P 在双曲线上，12||||2PF PF a ∴-=， 11||||||2PF PH F H a ∴-==，O 是12F F 的中点，M 是2F H 的中点， OM ∴是△21F F H 的中位线，1||2||HF OM ∴=，。

2024届新高考地区选填中档压轴题汇编(一)(解析版)

2024届新高考地区选填中档压轴题汇编(一)2024年参加新高考统一命题考试的省份有浙江、山东、海南、河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆、黑龙江、甘肃、吉林、安徽、江西、贵州、广西,一共18个地区，题目选2024届新高考地区各地级市优秀模拟题选填压轴题，适合新高考数学复习快速突破选填压轴题，也适用于教师熟悉新高考题型特点与规律，欢迎查看与下载一、单选题1(2024届·湖北黄冈市九月调研)已知函数f x 及其导函数f x 定义域均为R ，记g x =f x +1 ，且f (2+x )-f (2-x )=4x ，g 3+x 为偶函数，则g 7 +g 17 =()A.0B.1C.2D.3【答案】C【详解】因为g 3+x 为偶函数，g x =f x +1 ，所以f x +4 =f -x +4 ，对f (2+x )-f (2-x )=4x 两边同时求导，得f (2+x )+f (2-x )=4，所以有f (4+x )+f (-x )=4⇒f (4-x )+f (-x )=4⇒f (4+x )+f (x )=4⇒f (8+x )=f (x ),所以函数f x 的周期为8，在f (2+x )+f (2-x )=4中，令x =0，所以f (2)=2，因此g 17 =f 18 =f 2 =2，因为g 3+x 为偶函数，所以有g 3+x =g 3-x ⇒g 3+x =-g 3-x ⇒g 7 =-g -1 1 ，f (8+x )=f (x )⇒g 7+x =g x -1 ⇒g 7+x =g x -1 ⇒g 7 =g -1 2 ，由1 ,2 可得：g 7 =0，所以g 7 +g 17 =22(2024届·广东省六校第二次联考)已知f x 是定义在R 上的函数，且满足f 3x -2 为偶函数，f 2x -1 为奇函数，则下列说法正确的是()A.函数f x 的周期为2B.函数f x 关于直线x =-1对称C.函数f x 关于点-1,0 中心对称D.f 2023 =1【答案】C【详解】∵f 3x -2 为偶函数，∴f -3x -2 =f 3x -2 ，∴f -x -2 =f x -2 ，故f --x -2 -2 =f -x -2-2 即f x =f -x -4 ，∴函数f x 的图象关于直线x =-2对称.∵f 2x -1 为奇函数，∴f -2x -1 =-f 2x -1 ，∴f x -1 =-f -x -1 ，所以函数的图象关于点-1,0 对称，故B 错误，C 正确；由f x =f -x -4 及f x -1 =-f -x -1 知，f x =f -x -4 =-f -x -2 ，∴f x -4 =-f x -2 ，∴f x +4-4 =-f x +4-2 ，即f x =-f x +2 ，∴f x +2 =-f x +4 ，故f x =f x +4 ∴函数f x 的周期为4，A 错误，f 2023 =f 506×4-1 =f -1 =0，故D 错误.3(2024届·湖北省名校联盟(圆创)第一次联考)记a =20232022，b =20232023，c =20242023，则a ，b ，c 的大小关系是()A.a >b >cB.a >c >bC.b >c >aD.b >a >c【答案】D 【详解】设f (x )=x12023，则f x 在R 上单调递增，故f (2022)<f 2023 ，即a e 2，则g (x )=1+x x -ln x (x +1)2=1+1x -ln x (x +1)2<2-ln x x +1 2<0，x >e 2，则g x 在e 2,+∞ 单调递减，故g 2023 <g 2022 ，即ln c <ln a ，则c <a ；综上得，b >a >c ，D 正确.4(2024届·湖北省名校联盟(圆创)第一次联考)已知F 1，F 2分别是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左，右焦点，M ，N 是椭圆C 上两点，且MF 1 =2F 1N ，MF 2 ⋅MN=0，则椭圆C 的离心率为()A.34B.23C.53D.74【答案】C【详解】连接NF 2，设NF 1 =n ，则MF 1 =2n ，MF 2 =2a -2n ，NF 2 =2a -n ，在Rt △MNF 2中MN 2+MF 2 2=NF 2 2，即3n 2+2a -2n 2=2a -n 2，∴9n 2+4a 2-8an +4n 2=4a 2-4an +n 2，∴12n 2=4an ，n =a3，∴MF 1 =2a 3，MF 2 =4a3，在Rt △MF 1F 2中，MF 1 2+MF 22=F 1F 2 2，即4c 2=4a 29+16a 29，∴36c 2=20a 2，e 2=2036=59，又∵e ∈0,1 ，∴e =53.5(2024届·深圳宝安区十一月调研)我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，O 为坐标原点，余弦相似度为向量OA ，OB夹角的余弦值，记作cos A ,B ，余弦距离为1-cos A ,B .已知P cos α,sin α ，Q cos β,sin β ，R cos α,-sin α ，若P ，Q 的余弦距离为13，tan α⋅tan β=17，则Q ，R 的余弦距离为()A.12 B.13 C.14 D.17【答案】A【详解】由题意得OP =(cos α,sin α),OQ =(cos β,sin β),OR =(cos α,-sin α),则cos P ,Q =OP ⋅OQ OP |OQ |=cos αcos β+sin αsin β=23，又tan αtan β=sin αsin βcos αcos β=17，∴cos αcos β=7sin αsin β，∴sin αsin β=112，cos αcos β=712，1-cos Q ,R =1-cos αcos β-sin αsin β1=1-712-112 =126(2024届·广东实验中学第一次阶段考)已知m ，n 为两个相互垂直的单位向量，p =12，则2m +n +m +4p +23m +2n -p的最小值为()A.35 B.55C.65D.75【答案】B【详解】因m ，n 为两个相互垂直的单位向量，不妨设m =1,0 ，n =0,1 ，因p =12，可设p =x ,y ，其中x 2+y 2=14，则2m +n =2,1 ，m +4p =4x +1,4y ，3m +2n -p =3-x ,2-y ，2m +n=22+12=5，m +4p=4x +1 2+4y 2=16x 2+8x +1+16y 2=4x 2+4y 2+8x +4=2x +1 2+y 2，23m +2n -p=2x -3 2+y -2 2，设d 1=x +1 2+y 2，d 2=x -3 2+y -2 2，则2m +n +m +4p +23m +2n -p=5+2d 1+d 2 ，其中d 1表示点x ,y 与点-1,0 的距离，d 1表示点x ,y 与点3,2 的距离，如图设点-1,0 与点3,2 所在的直线为l ，则其方程为：y -20-2=x -3-1-3，即y =12x +1 ，联立x 2+y 2=14，得x =0y =12 或x =-25y =310，即当x =0y =12 或x =-25y =310，时，d 1+d 2取的最小值-1-3 2+0-2 2=25，所以2m +n +m +4p +23m +2n -p=5+2d 1+d 2 的最小值为557(2024届·广东执信中学第二次月考)若1<m <4，椭圆C :x 2m +y 2=1与双曲线D :x 24-m -y 2m=1的离心率分别为e 1，e 2，则()A.e 1e 2的最小值为12 B.e 1e 2的最小值为32C.e 1e 2的最大值为12D.e 1e 2的最大值为32【答案】C 【详解】由已知e 1=m -1m ，e 2=44-m，所以e 1e 2=12(m -1)(4-m )m =12⋅5-m +4m ≤12⋅5-4=12，当且仅当m =2时等号成立，故e 1e 2的最大值为12，无最小值(m 范围为开区间).8(2024届·广东实验中学第一次阶段考)如图，把一个长方形的硬纸片ABCD 沿长边AB 所在直线逆时针旋转45°得到第二个平面ABEF ，再沿宽边AF 所在直线逆时针旋转45°得到第三个平面AFGH ，则第一个平面和第三个平面所成的锐二面角大小的余弦值是()A.64B.6+24C.12D.32【答案】C【详解】如图，把两个单位正方体叠放在一起，平面A 0B 0C 2D 2，平面A 0B 0C 0D 0，平面A 0B 1C 1D 0分别代表第一，二，三个平面，∵四边形B 2C 2C 0B 0为正方形，∴C 0B 2⊥B 0C 2，∵C 2D 2⊥平面B 2C 2C 0B 0，C 0B 2⊂平面B 2C 2C 0B 0，∴C 2D 2⊥C 0B 2，∵B 0C 2∩C 2D 2=C 2，B 0C 2,C 2D 2⊂平面A 0B 0C 2D 2，∴C 0B 2⊥平面A 0B 0C 2D 2；同理可得：C 0D 1⊥平面A 0B 1C 1D 0；∴平面A 0B 0C 2D 2的法向量为C 0B 2 ，平面A 0B 1C 1D 0的法向量为C 0D 1，∵C 0D 1=C 0B 2=2，B 2D 1=12+12+22=6，∴cos ∠B 2C 0D 1=2+2-62×2×2=-12，∴∠B 2C 0D 1=2π3，即C 0B 2 与C 0D 1 的夹角为2π3，∴所求锐二面角的大小的余弦值是12.9(2024届·武汉市九月调研)已知A ,B ,C ,D 是半径为5的球体表面上的四点，AB =2，∠ACB =90°，∠ADB =30°，则平面CAB 与平面DAB 的夹角的余弦值为()A.6-24B.12C.13D.33【答案】B【详解】设球心为O ，分别取△ABC ，△ABD 的外接圆圆心为E ,F ，连接OE ,EF ,OF ，∵∠ACB =90°，∴点E 为AB 中点，则EA =EB =1，由F 为△ABD 外心，故FA =FB ，则FE ⊥AB ，由题意可得OE ⊥平面ABC ，故平面CAB 与平面DAB 的夹角，即为∠OEF 的余角.在△ABD 中，AB =2，∠ADB =30°，则由正弦定理可得FA =FB =FD =22sin30°=2，由球O 的半径为5，故OF =5-22=1，OE =5-12=2,由OF ⊥平面DAB ，EF ⊂平面DAB ，可得OF ⊥EF ，则Rt △OEF 中，sin ∠OEF =OF OE=12,即∠OEF =30°，故平面CAB 与平面DAB 的夹角为60°，故其余弦值为12.10(2024届·武汉市九月调研)过双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点F 作x 2+y 2=a 2的一条切线，设切点为T ，该切线与双曲线E 在第一象限交于点A ，若FA =3FT，则双曲线E 的离心率为()A.3B.5C.132D.152【答案】C【详解】令双曲线E 的右焦点为F ，半焦距为c ，取线段AT 中点M ，连接OT ,AF ,F M ，因为FA 切圆x 2+y 2=a 2于T ，则OT ⊥FA ，有|FT |=|OF |2-|OT |2=c 2-a 2=b ，因为FA =3FT ，则有|AM |=|MT |=|FT |=b ，|AF |=|AF |-2a =3b -2a ，而O 为FF 的中点，于是F M ⎳OT ，即F M ⊥AF ，|F M |=2|OT |=2a ，在Rt △AF M 中，(2a )2+b 2=(3b -2a )2，整理得b a =32，所以双曲线E 的离心率e =c a =1+b 2a2=132.11(2024届·广东省六校第二次联考)若曲线y =ln x +a 的一条切线为y =ex -b (e 为自然对数的底数)，其中a ,b 为正实数，则1ea +1b 的取值范围是A.2,eB.e ,4C.2,+∞D.e ,+∞【答案】C【详解】解：∵y =ln x +a ，∴y=1x +a ，设切点为x 0,y 0 ，则ln x 0+a =ex 0-b 1x 0+a=e，∴ea +b =2，∴1ea +1b =121ea +1b ea +b =122+b ea +eab .∵a ,b ,e >0∴原式≥122+2b ea ×ea b =2，当且仅当b ea =ea b，即a =1e ,b =1时等号成立，即1ea +1b≥2.12(2024届·湖北省宜荆荆随10月联考)a ,b ,c 为三个互异的正数，满足c -a =2ln ca>0,10 b =3a +1，则下列说法正确的是()A.c -a >2-bB.c -2≤b -aC.c +2<a +bD.c +2≤a +b【答案】A【详解】由c -a =2lnca>0得c -2ln c =a -2ln a 且c >a ，构造函数f x =x -2ln x ，所以f x =1-2x，易得f x 在0,2 上单调递减，在2,+∞ 上单调递增，其函数图象如下图所示：由图可得0<a <2<c ，易知函数y =(10)x 及y =3x +1交于点2,10 ，作出函数y =(10)x 及y =3x +1的图象如下图所示：由图知0<a 2-b .13(2024届·广东省四校第二次联考)若函数f (x )=x 2+3x +1+ke x 恰有两个零点，则实数k 的取值范围为()A.-5e ,0B.(e 2,+∞)C.[0,e 2)∪-5eD.-∞,-5e∪{0}【答案】C【详解】由题意知方程x 2+3x +1+ke x=0即-x 2-3x -1e x=k 有两个不同的解，即y =-x 2-3x -1e x与y =k 有两个不同的交点，记g (x )=-x 2-3x -1e x ，则g(x )=x 2+x -2e x =(x +2)(x -1)e x，当x <-2时，g x >0，g x 单调递增；当-2<x <1时，g x <0，g x 单调递减；当x >1时，g x >0，g x 单调递增.所以当x =-2时，函数g x 有极大值e 2，当x =1时，函数g x 有极小值-5e.又因为x →-∞时，g x <0；x →+∞时，g x <0，且g x →0，如下图：数形结合可知k ∈0,e 2 ∪-5e时，函数f x 恰有两个零点.14(2024届·湖北省腾云联盟第一次联考)在锐角△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且△ABC 的面积S =bc 1-cos A ，则a 2bc的取值范围为()A.45,+∞B.45,1615C.45,3235D.3235,1615 【答案】B【详解】由三角形面积公式S =12bc sin A 结合S =bc 1-cos A ，可知12sin A =1-cos A ，即sin A =21-cos A ，又由平方关系sin 2A +cos 2A =1，所以41-cos A 2+cos 2A =1，即5cos 2A -8cos A +3=0，解得cos A =35sin A =45或cos A =1sin A =0(舍去)，由余弦定理有a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，所以a 2bc =b 2+c 2-2bc cos A bc =b c +c b -2cos A =b c +c b-65，令t =b c ，所以a 2bc =b c +c b-65=t +1t -65，故只需求出t 的范围即可，由正弦定理边化角得t =b c =sin B sin C =sin π-A +C sin C =sin A +C sin C =sin A cos C +cos A sin Csin C=sin A tan C +cos A =45tan C+35，注意到在锐角△ABC 中，有A +C >π2，简单说明如下：若A +C ≤π2，则B =π-A +C ≥π-π2=π2，即B 不是锐角，但这与△ABC 是锐角三角形矛盾，所以在锐角△ABC 中，有A +C >π2，所以在锐角△ABC 中，有0<π2-A <C <π2，因为正切函数y =tan x 在0,π2上单调递增，所以tan C >tan π2-A =sin π2-A cos π2-A =cos A sin A =3545=34，从而35<t =45tan C +35<45×34+35=53，而函数a 2bc=t +1t -65=f t 在35,1 单调递减，在1,53 单调递增，所以45=f 1 ≤f t <max f 35 ,f 53 =max 1615,1615 =1615.综上所述：a 2bc 的取值范围为45,1615 .二、多选题15(2024届·广州市越秀区统考)已知函数f x 是定义域为R 的偶函数，f 2x +1 -1是奇函数，则下列结论正确的是()A.f 1 =1B.f 0 =0C.f x 是以4为周期的函数D.f x 的图象关于x =6对称【答案】ACD【详解】因为函数f x 是定义域为R 的偶函数，所以f x =f -x ，因为f 2x +1 -1是奇函数，所以f -2x +1 -1=-f 2x +1 -1 =-f 2x +1 +1，将x 换成1-x2，则有f x -1=-f 2-x +1⇒f x +f 2-x =2，A ：令x =1，所以f 1 +f 1 =2⇒f 1 =1，因此本选项正确；B ：因为f x +f 2-x =2，所以函数f x 关于点1,1 对称，由f x +f 2-x =2，可得f 0 +f 2 =2，f 2 的值不确定，因此不能确定f 0 的值，所以本选项不正确；由f x +f 2-x =2，可得f 4 +f -2 =2C ：因为f x +f 2-x =2，所以f x +2 +f -x =2⇒f x +2 +f x =2⇒f x +4 +f x +2 =2，所以f x =f x +4 ，因此f x 是以4为周期的函数，因此本选项正确；D ：因为f x +f 2-x =2，所以f 2+x +f -x =2⇒f 2+x +f x =2，因此有f 2+x =f 2-x ，所以函数f x 的图象关于x =2对称，由上可知f x 是以4为周期的函数，所以f x 的图象也关于x =6对称，因此本选项正确16(2024届·湖北省名校联盟(圆创)第一次联考)若f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称，且对任意x 1,x 2∈0,12，都有f (x 1+x 2)=f (x 1)f (x 2)，则下列说法正确的是()A.f 1 一定为正数 B.2是f x 的一个周期C.若f 1 =1，则f 20234=1 D.若f x 在0,12 上单调递增，则f (1)≠12024【答案】BCD【详解】因为f x =0符合条件，故A 错误；因为偶函数f x 的图像关于直线x =1对称，所以f x +2 =f -x =f x ，故B 正确；因为对任意x 1，x 2∈0,12 ，都有f (x 1+x 2)=f (x 1)f (x 2)，所以对任意x ∈0,1 ，取x 1=x 2=x2得f (x )=f x 22≥0；若f1 =1，即f(1)=f1 22=f144=1，故f14=1，由2是f x 的周期得f20234=f506-14=f-14=f14 =1，故C正确；假设f(1)=12024，由f(1)=f122=f144=12024及f x ≥0，x∈0,1，得f12=12024，f14=142024，故f14>f12 ，这与f x 在0,12上单调递增矛盾，故D正确.17(2024届·湖北黄冈市九月调研)设数列a n前n项和为S n，满足(a n-1)2=4(100-S n)，n∈N*且a1>0,a n+a n-1≠0n≥2，则下列选项正确的是() A.a n=-2n+21B.数列S nn为等差数列C.当n=11时S n有最大值D.设b n=a n a n+1a n+2，则当n=8或n=10时数列b n的前n项和取最大值【答案】ABD【详解】A选项，当n=1时，(a1-1)2=4(100-a1)，又a1>0，解得a1=19，当n≥2时，(a n-1)2=4(100-S n)①，(a n-1-1)2=4(100-S n-1)②，①-②得，(a n-1)2-(a n-1-1)2=4(100-S n)-4(100-S n-1)，即a2n+2a n-a2n-1+2a n-1=0，故a n+a n-1a n-a n-1+2=0，因为a n+a n-1≠0，故a n-a n-1+2=0，所以a n-a n-1=-2，故a n为等差数列，公差为-2，首项为a1=19，所以通项公式为a n=19-2n-1=-2n+21，A正确；B选项，S n=n a1+a n2=n19+21-2n2=-n2+20n，故S nn=-n+20，则当n≥2时，S nn-S n-1n-1=-n+20--n+21=-1，故S nn为等差数列，B正确；C选项，S n=-n2+20n=-n-102+100，故当n=10时，S n取得最大值，C错误；D选项，令a n>0得1≤n≤10，令a n<0得n≥11，则当n∈1,8时，b n=a n a n+1a n+2>0，当n=9时，b9<0，当n=10时，b10>0，当n≥11时，b n<0，又b9=a9a10a11=3×1×-1=-3，b10=a10a11a12=1×-1×-3=3，则当n=8或n=10时数列b n的前n项和取最大值，D正确.18(2024届·广州执信中学校第二次月考)若f(x)图像上存在两点A，B关于原点对称，则点对[A,B]称为函数f (x )的“友情点对”(点对[A ,B ]与[B ,A ]视为同一个“友情点对”)若f (x )=x 3e x,x ≥0ax 2,x <0恰有两个“友情点对”，则实数a 的值可以是()A.0B.-12020C.-1eD.-12023【答案】BD【详解】若f (x )有两个友情点对，则f (x )在(-∞,0)的图像关于原点对称后与(0,+∞)的图像有两个交点.由x <0时，f (x )=ax 2；得其关于原点对称后的解析式为y =-ax 2.问题转化为y =x 3e x 与y =-ax 2在(0,+∞)上有两个交点，即方程x 3e x =-ax 2有两根，化简得-a =x e x ，即y =-a 与y =xe x 在(0,+∞)上有两个交点.对于y =x e x ，求导y =1-x ex，令y =1-xe x>0，解得：x <1，即：当x ∈(0,1)时，y =xex 单调递增；令y =1-xe x<0，解得：x >1，即：当x ∈(1,+∞)时，y =x ex 单调递减，∴x =1为其极大值点，y max =1e ，又x →0时，y →0；x →+∞时，y →0；画出其大致图像：欲使y =-a 与y =xe x在x >0时有两个交点，则-a ∈0,1e ，即a ∈-1e ,0 ．19(2024届·广东实验中学第一次阶段考)如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =2，P 是正方形ABCD 内部(含边界)的一个动点，则()A.存在唯一点P ，使得D 1P ⊥B 1CB.存在唯一点P ，使得直线D 1P 与平面ABCD 所成的角取到最小值C.若DP =12DB ，则三棱锥P -BB 1C 外接球的表面积为8πD.若异面直线D 1P 与A 1B 所成的角为π4，则动点P 的轨迹是抛物线的一部分【答案】BCD【详解】对于A 选项：正方形BCC 1B 1中，有BC 1⊥B 1C ，正方体中有AB ⊥平面BCC 1B 1，B 1C ⊂平面BCC 1B 1，AB ⊥B 1C ，又BC 1∩AB =B ，BC 1,AB ⊂平面ABC 1D 1，B 1C ⊥平面ABC 1D 1，只要D 1P ⊂平面ABC 1D 1，就有D 1P ⊥B 1C ，P 在线段AB 上，有无数个点，A 选项错误；对于B 选项：D 1D ⊥平面ABCD ，直线D 1P 与平面ABCD 所成的角为∠D 1PD ，D 1D =2，∠D 1PD 取到最小值时，PD 最大，此时点P 与点B 重合，B 选项正确；对于C 选项：若DP =12DB ，则P 为DB 中点，△PBC 为等腰直角三角形，外接圆半径为12BC =1，三棱锥P -BB 1C 外接球的球心到平面PBC 的距离为12BB 1=1，则外接球的半径为2，所以三棱锥P -BB 1C 外接球的表面积为8π，C 选项正确；对于D 选项：以D 为原点，DA ,DC ,DD 1的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则D 10,0,2 ，A 12,0,2 ，B 2,2,0 ，设P x ,y ,0 0≤x ≤2,0≤y ≤2 ，则有D 1P =x ,y ,-2 ，A 1B =0,2,-2 ，有cos D 1P ,A 1B =D 1P ⋅A 1BD 1P ⋅A 1B =2y +4x 2+y 2+4⋅8=cosπ4=22，化简得x 2=4y ，P 是正方形ABCD 内部(含边界)的一个动点，所以P 的轨迹是抛物线的一部分，D 选项正确.20(2024届·江苏南通·高三统考阶段练习)已知正四面体P -ABC 的棱长为2，下列说法正确的是()A.正四面体P -ABC 的外接球表面积为6πB.正四面体P -ABC 内任意一点到四个面的距离之和为定值C.正四面体P -ABC 的相邻两个面所成二面角的正弦值为13D.正四面体Q -MNG 在正四面体P -ABC 的内部，且可以任意转动，则正四面体Q -MNG 的体积最大值为2281【答案】ABD【详解】A .棱长为2的正四面体P -ABC 的外接球与棱长为2的正方体的外接球半径相同，设为R ，则：2R =6，所以S =4πR 2=6π，所以A 对.B .设正四面体P -ABC 内任意一点到四个面的距离分别为d 1，d 2，d 3，d 4，设正四面体P -ABC 的高为d ，由等体积法可得：13S (d 1+d 2+d 3+d 4)=13Sd ，所以d 1+d 2+d 3+d 4=d 为定值，所以B 对.C .设BC 中点为D ，连接PD ，AD ，则AD ⊥BC ,PD ⊥BC ，则∠PDA 为所求二面角的平面角，AP =2,PD =AD =3，所以cos ∠PDA =3+3-46=13，所以正弦值为1-132=223，所以C 错.D .要使正四面体Q -MNG 在四面体P -ABC 的内部，且可以任意转动，则正四面体Q -MNG 的外接球在四面体P -ABC 内切球内部，当正四面体Q -MNG 的外接球恰好为四面体P -ABC 内切球时，正四面体Q -MNG 的体积最大值，由于正四面体的外接球与内切球半径之比为13，所以正四面体Q -MNG 的外接球半径为62×13=66，设正四面体Q -MNG 的边长为a ，则322a =2×66，所以a =23，故体积V =212a 3=2281，所以D 对.21(2024届·湖北黄冈市九月调研)点O ，H 分别是△ABC 的外心､垂心，则下列选项正确的是()A.若BD =λBA |BA |+BC|BC |且BD =μBA +(1-μ)BC ，则AD =DC B.若2BO =BA +BC ，且AB =2，则AC ⋅AB=4C.若∠B =π3，OB=mOA +nOC ，则m +n 的取值范围为-2,1D.若2HA +3HB +4HC =0 ，则cos ∠BHC =-105【答案】BCD【详解】A .由BD =μBA +(1-μ)BC ，(λ,μ∈R )可知，点A ,D ,C 共线，又BD =λBA |BA |+BC|BC |可知，点D 在∠CBA 的角平分线上，所以BD 为△ABC 的角平分线，AD 与DC 不一定相等，故A 错误；B .若2BO =BA +BC ，则点O 是AC 的中点，点O 又是△ABC 的外心，所以∠ABC =90°，AC ⋅AB =AC AB cos A =AB2=4，故B 正确；C . 因为∠B =π3，所以∠AOC =2π3，如图，建立平面直角坐标系，设C r ,0 ，A -12r ,32r ，B r cos θ,r sin θ ，θ∈2π3,2π 因为OB =mOA +nOC，所以r cos θ=m ⋅-12r +nr r sin θ=m ⋅32r，得m =23sin θ，n =cos θ+13sin θ，m +n =cos θ+3sin θ=2sin θ+π6 ，θ∈2π3,2π ，θ+π6∈5π6,13π6 ，sin θ+π6 ∈-1,12 ，则m +n ∈-2,1 ，故C 正确；D .因为AH ⊥BC ，所以AH ⋅BC =0，即AH ⋅HC -HB =AH ⋅HC -AH ⋅HB =0，则HA ⋅HC =HA ⋅HB ，同理，HA ⋅HC =HC ⋅HB ，所以HA ⋅HC =HA ⋅HB =HB ⋅HC ，设HA ⋅HC =HA ⋅HB =HB ⋅HC=x ，因为2HA +3HB +4HC =0 ，所以3HB =-2HA -4HC ，即3HB 2=-2HA ⋅HB -4HC ⋅HB =-6x ，则HB =-2x ，4HC =-2HA -3HB ，即4HC 2=-2HA ⋅HC -3HB ⋅HC =-5x ，则HC=-54x ，cos ∠BHC =cos HB ,HC =HB ⋅HCHB HC =x 52x 2=-105，x <0，故D 正确.22(2024届·湖北宜荆荆随10月联考)如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =AA 1=12AD =2，点P 是半圆弧A 1D 1 上的动点(不包括端点)，点Q 是半圆弧BC上的动点(不包括端点)，则下列说法正确的是()A.AD ⋅A 1P的取值范围是0,16B.若C 1Q 与平面ABCD 所成的角为θ，则tan θ>12C.CP 的最小值为24-22D.若三棱锥P -BCQ 的外接球表面积为S ，则S ∈16π,32π 【答案】BCD【详解】如图，AB =AA 1=12AD =2，连接A 1P ,D 1P ，在Rt △A 1PD 1中，cos ∠D 1A 1P =A 1PA 1D 1，所以AD ⋅A 1P =A 1D 1 ⋅A 1P =|A 1D 1 |⋅|A 1P |cos ∠D 1A 1P =|A 1D 1|2cos 2∠D 1A 1P =16cos 2∠D 1A 1P ，因为∠D 1A 1P ∈0,π2，所以cos ∠D 1A 1P ∈0,1 ，所以AD ⋅A 1P的取值范围是(0,16)，故A 错误；连接C 1Q ,CQ ，由于CC 1⊥平面ABCD ，所以C 1Q 与平面ABCD 所成的角为∠C 1QC ，如图，所以tan θ=C 1C CQ =2CQ ，因为CQ ∈(0,4)，所以tan θ>12，故B 正确；设P 在底面的射影为P ，N 为A 1D 1中点，连接PP ,CP ,CP ,C 1P ,NC 1，则CP =CP 2+PP 2，又PP =CC 1,CP =CP ，则CP =CC 21+C 1P 2=4+C 1P 2，而C 1P ≥C 1P 1=NC 1-2=22-2，所以C 1P 2≥12-82，故CP ≥24-22，故C 正确；以D 为坐标原点，直线DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，如图，则P 点的坐标满足(x -2)2+y 2=4z =2，可设P 的坐标为2+2cos θ,2sin θ,2 ,θ∈0,π ，由球心在BC 的中垂线(即过△BCQ 外接圆圆心且与底面垂直的直线)上，可设球心坐标为M 2,2,t ，因为MC =MP ，所以(2cos θ)2+(2sin θ-2)2+(2-t )2=22+02+t 2，解得t =2-2sin θ，故t ∈0,2 ，所以外接球的半径MC =R ∈2,22 ，所以S =4πR 2∈[16π,32π)，故D 选项正确.23(2024届·武汉九月调研)已知实数a ，b 满足ae a =b ln b =3，则()A.a =ln bB.ab =eC.b -a <e -1D.e +1<a +b <4【答案】AD【详解】由题意可得a >0,b >1，则由ae a =b ln b =3，得ae a =ln b ⋅e ln b =3.对于A ：设f x =xe x x >0 ，f x =x +1 e x ，则在区间0,+∞ 上，f x >0，f x 为增函数，所以由题意可得f a =f ln b ，所以a =ln b ，故A 正确；对于B ：由a =ln b ，得ab =b ln b =3,故B 错误；对于C ：由A 可知f x =xe x 在区间0,+∞ 上为增函数，且ae a =3，则f 1 <f a <f 2 ，即1<a <2,则e 0,所以h x 在e ,e 2 上单调递增,所以h x >h e =e -1,所以b -a =b -ln b >e -1,故C 错误；对于D ：又a +b =a +e a ,令g x =x +e x ,x >1,则g x =1+e x >0,所以g x 在1,+∞ 上单调递增,所以g x >g 1 =1+e ，所以a +b =a +e a >1+e,又a +b =a +e a =a +3a，且1<a <2,令t a =a +3a,1<a <2，根据对勾函数的性质可得t a 在1,3 上单调递减，在3,2 上单调递增，且t 1 =4,t 2 =72，所以a +b <4，综上可得e +1<a +b <4，故D 正确24(2024届·广东省六校第二次联考)已知函数f x =e x +x -2的零点为x 1，函数g x =ln x +x -2的零点为x 2，则()A.x 1+x 2=2B.2x 1>x 2C.e x 1+e x 2>2eD.x 1x 2<e 2【答案】ACD【详解】g x =ln x +x -2=e ln x +ln x -2=f ln x ，又函数g x =ln x +x -2的零点为x 2，则g x 2 =f ln x 2 =0，其中x 2>0.f x =e x +1>0，得f x 在R 上单调递增，又其有零点x 1，则x 1为其唯一零点.又g x 2 =f ln x 2 =0，得x 1=ln x 2.注意到f 0 =-1<0，e ∈ 2.56,2.89 ⇒e 12∈ 1.6,1.7 ，则f 12 =e 12-32>0，且x 1∈0,12 .对于A ，因g x 2 =ln x 2+x 2-2=0，x 1=ln x 2，则x 1+x 2=ln x 2+x 2=2，故A 正确.对于B ，因x 1=ln x 2，则2x 1-x 2=2x 1-e x 1.令h x =2x -e x ，x ∈0,12 .h x =2-e x 在0,12 上单调递减，则h x >h 12 =2-e 12>0，得h x 在0,12上单调递增.则h x <h 12=1-e 12<0，即2x 1<x 2，故B 错误.对于C 选项，因x 1∈0,12 ，x 1=ln x 2，则x 2∈1,e 12，故x 1≠x 2.则由基本不等式结合x 1+x 2=2有：e x 1+e x 2>2ex 1+x 2=2e 2=2e ，故C 正确.对于D 选项，因x 1=ln x 2，则x 1x 2=x 2ln x 2，由C 选项分析可知x 2∈1,e 12 .则令p x =x ln x ，x ∈1,e 12，p x =ln x +1>0.得p x 在1,e12上单调递增，故p x <p e 12=e 2，即x 1x 2<e 2.故D 正确.三、填空题25(2024届·广东实验中学第一次阶段考)若两个锐角α，β满足1+cos2α2cos α+sin2α=1-cos2βsin2β，则cos α+2β+π3=.【答案】-32【详解】因为1+cos2α2cos α+sin2α=1-cos2βsin2β，所以1+2cos 2α-12cos α+2sin αcos α=1-1-2sin 2β 2sin βcos β所以cos 2αcos α+sin αcos α=sin 2βsin βcos β，因为α，β为锐角，所以有cos α1+sin α=sin βcos β，所以cos αcos β=sin β1+sin α ，即cos αcos β=sin β+sin βsin α，所以cos αcos β-cos αcos β=sin β，即cos α+β =sin β，因为α，β为锐角，所以有α+β+β=π2，即α+2β=π2，所以cos α+2β+π3 =cos π2+π3 =-sin π3=-3226(2024届·湖北省宜荆荆随第二次联考)如图，一块边长为10m 的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥容器，则该容器的最大容积为m 3.【答案】1000327/1000273【详解】设正四棱锥的底面边长为2x ，则高为25-x 2，体积V =43x 225-x 2=4312x 2⋅x 2⋅50-2x 2≤4312x 2+x 2+50-2x 23 3=1000327,当且仅当x 2=503时取等号.27(2024届·湖北省名校联盟(圆创)第一次联考)已知⊙O 1:x 2+y -2 2=1，⊙O 2:x -3 2+y -6 2=9，过x 轴上一点P 分别作两圆的切线，切点分别是M ，N ，当PM +PN 取到最小值时，点P 坐标为.【答案】34,0【详解】⊙O 1:x 2+y -2 2=1的圆心为O 1(0,2)，半径r 1=1，⊙O 2:x -3 2+y -6 2=9的圆心为O 2(3,6)，半径r 2=3，设P t ,0 ，则PM =PO 12-1=t 2+4-1=t 2+3，PN =PO 22-32=(t -3)2+62-9=(t -3)2+27所以PM +PN =t 2+3+(t -3)2+27=(t -0)2+[0-(-3)]2+(t -3)2+(0-33)2，取A (0,-3)，B (3,33)则PM +PN =PA +PB ≥AB =32+43 2=57，当P ,A ,B 三点共线时取等号，此时AB 直线：y +3=433(x -0)令y =0，则x =34，∴P 34,0 ，故答案为：34,028(2024届·湖北省名校联盟(圆创)第一次联考)小王准备在单位附近的某小区买房，若小王看中的高层住宅总共有n 层(20≤n ≤30，n ∈N ∗)，设第1层的“环境满意度”为1，且第k 层(2≤k ≤n ，k ∈N ∗)比第k -1层的“环境满意度”多出3k 2-3k +1；又已知小王有“恐高症”，设第1层的“高层恐惧度”为1，且第k 层(2≤k ≤n ，k ∈N ∗)比第k -1层的“高层恐惧度”高出13倍.在上述条件下，若第k 层“环境满意度”与“高层恐惧度”分别为a k ，b k ，记小王对第k 层“购买满意度”为c k ，且c k =ak b k ，则小王最想买第层住宅.(参考公式及数据：12+22+32+⋅⋅⋅+n 2=n (n +1)(2n +1)6，ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，343≈1.1006)【答案】10【详解】依题意，a 1=1，且a k -a k -1=3k 2-3k +1，(k ≥2)，所以a k =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+⋅⋅⋅+(a k -a k -1)=1+(3×22-3×2+1)+(3×32-3×3+1)+⋅⋅⋅+(3k 2-3k +1)=3×12-3×1+1 +3×22-3×2+1 +3×32-3×3+1 +⋅⋅⋅+3k 2-3k +1 =3(12+22+32+⋅⋅⋅+k 2)-3(1+2+3+⋅⋅⋅+k )+k =k (k +1)(2k +1)2-3k (k +1)2+k =k 3，由题意得b 1=1，b k =b k -1+13b k -1=43b k -1，所以b k 是以1为首项，43为公比的等比数列，所以b k =43k -1.故小王对第k 层住宅的购买满意度c k =k343k -1.方法一：由c k +1c k =(k +1)343k ⋅43k -1k 3=1+1k343>1.即343-1k <1解得k <9.9404，所以c 1<c 2<c 3<⋅⋅⋅<c 9<c 10，同理有c 10>c 11>c 12>⋯，小王最想购买第10层住宅.方法二：设f (x )=x 343x -1，(x ≥1)，则f(x )=x 243x -13-x ln 43 ，故1≤x ≤3ln 43时f x >0，故f x 在1,3ln 43上为增函数，x ≥3ln 43时f x <0，故f x 在3ln 43,+∞上为减函数.由于3ln 43=32ln2-ln3≈10.4312，f (11)f (10)=3×1134×103<1，故f 10 最大，小王最想购买第10层住宅.29(2024届·湖北黄冈市九月调研)若存在两个不等的正实数x ，y ，使得x -y x +y -t =e x -e y成立，则实数t 的取值范围为.【答案】(-∞,2ln2-2)【详解】x -y x +y -t =e x -e y⇒e x -x 2+xt =e y-y 2+yt ，构造函数f m =e m -m 2+mt m >0 ，所以原问题等价于存在两个不等的正实数x ，y ，使得f x =f y ，显然函数f m 不是正实数集上的单调函数，f m =e m -2m +t m >0 ，设g m =e m -2m m >0 ⇒g m =e m -2，当m >ln2时，g m >0,g m 单调递增，当0<m <ln2时，g m <0,g m 单调递减，故g m min =g ln2 =2-ln2，当2-ln2+t ≥0时，即t ≥ln2-2时，f m ≥0,f m 单调递增，所以不符合题意；当2-ln2+t <0时，即t <ln2-2时，显然存在m 0，使得f m 0 =0，因此一定存在区间m 0-ε,m 0+ε ε>0 ，使得f m 在m 0-ε,m 0 ,m 0,m 0+ε 上异号，因此函数f m 在m 0-ε,m 0 ,m 0,m 0+ε 上单调性不同，因此一定存在两个不等的正实数x ，y ，使得x -y x +y -t =e x -e y成立，故答案为：(-∞,2ln2-2)30(2024届·深圳宝安区十一月调研)正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，底面ABCD 内(含边界)的动点P 到直线CC 1的距离与到平面ADD 1A 1的距离相等，则三棱锥P -AB 1D 1体积的取值范围为.【答案】43,2【详解】根据题意可知，连接PC ，在底面ABCD 内作PE ⊥AD 于点E ，如下图所示：由正方体性质可知PC 即为P 到直线CC 1的距离，PE 为P 到平面ADD 1A 1的距离，所以PC =PE ；在底面ABCD 内，由抛物线定义可知点P 的轨迹是以C 为焦点，AD 为准线的抛物线的一部分，截取底面ABCD ，分别以向量DA ,DC为x ,y 轴的正方向建立平面直角坐标系，如下图所示：又正方形边长为2，易知抛物线过点B 2,2 ，F 0,1 ，且对称轴为y 轴，设抛物线方程为y =ax 2+b ，代入两点坐标可得4a +b =20+b =1 ，解得a =14b =1 所以P 的轨迹抛物线方程为y =14x 2+10≤x ≤2 ，以D 为坐标原点，分别以DA ,DC ,DD 1 为x ,y ,z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：则A 2,0,0 ,B 12,2,2 ,D 10,0,2 ，所以AB 1 =0,2,2 ,AD 1 =-2,0,2 ，设P m ,14m 2+1,0 ，平面AB 1D 1的一个法向量为n =x ,y ,z ，则AB 1 ⋅n =2y +2z =0AD 1 ⋅n =-2x +2z =0 ，令z =1，解得x =1,y =-1，即n =1,-1,1 ；AP =m -2,14m 2+1,0 ，则点P 到平面AB 1D 1的距离为d =AP ⋅n n=m -2-14m 2-1 3=-14m 2+m -3 3，令y =-14m 2+m -30≤m ≤2 ，易得y ∈-3,-2 ，所以d =-14m 2+m -3 3∈233,3 ，易知在三棱锥P -AB 1D 1中，底面AB 1D 1是边长为22的正三角形，所以S △AB 1D 1=12×22×22×32=23，所以三棱锥P -AB 1D 1的体积V =13S △AB 1D 1⋅d =233d ∈43,2 ；即三棱锥P -AB 1D 1体积的取值范围为43,2 .31(2024届·湖北省腾云联盟10月联考)已知A ，B 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右顶点，P 是双曲线x 2a 2-y 2b2=1在第一象限上的一点，直线PA ，PB 分别交椭圆于另外的点M ，N ．若直线MN 过椭圆的右焦点F ，且tan ∠AMN =3，则椭圆的离心率为．【答案】23【详解】由题意可知A -a ,0 ，B a ,0 ，设P (x 0,y 0)，可得直线的斜率分别为k PA =y 0x 0+a ，k PB =y 0x 0-a，因为点P 在双曲线上，则x 20a 2-y 20b 2=1，整理得y 0x 0-a ⋅y 0x 0+a =b 2a 2，所以k PA ⋅k PB =b 2a 2，设点M (x 1,y 1)，可得直线MA ，MB 的斜率k MA =y 1x 1+a ，k MB =y 1x 1-a，因为点M (x 1,y 1)在椭圆上，则x 21a 2+y 21b 2=1，整理得y 1x 1-a ⋅y 1x 1+a =-b 2a2，所以k MA ⋅k MB =-b 2a 2，即k PA ⋅k MB =-b 2a2，则k MB =-k PB =-k BN ，所以直线MB 与NB 关于x 轴对称，又因为椭圆也关于x 轴对称，且M ，N 过焦点F ，则MN ⊥x 轴，又F (c ,0)，则MF =NF =b 2a，所以tan ∠AMN =tan ∠AMF =a +c b 2a=a 2+ac b 2=a 2+ac a 2-c 2=3，整理得3c 2+ac -2a 2=0，即3e 2+e -2=3e -2 e +1 =0，解得e =23，或e =-1(舍去)，所以椭圆的离心率为23．32(2024届·广东省六校第二次联考)若存在两个正实数x ，y 使等式2x +m y -2ex ln y -ln x =0成立，(其中e =2.71828...)则实数m 的取值范围是.【答案】-∞,0 ∪2e,+∞ 【详解】m =2x 2ex -y ln y -ln x，1m =2ex -y ln y -ln x 2x =e -12⋅y x ⋅ln y x ，设t =y x >0，设g t =e -t 2 ln t ，那么g t =-12ln t +e -t 2 ⋅1t =-12ln t +e t -12，g t =-12t -e t 2=-t +2e 2t 2<0恒成立，所以g t 是单调递减函数，当t =e 时，g e =0，当t ∈0,e 时，g t >0，函数单调递增，当t ∈e ,+∞ ，g t <0，函数单调递减，所以g t 在t =e 时，取得最大值，g e =e 2，即1m ≤e 2，解得：m <0或m ≥2e ，写出区间为-∞,0 ∪2e ,+∞ ，故填：-∞,0 ∪2e ,+∞ .33(2024秋·广州越秀区10月统考)函数f x =sin ωx ω>0 ，将f x 的图象上所有的点纵坐标保持不变横坐标变为原来的ω倍，然后将所得图象向左平移π2个单位长度得到函数g x ，则化简后g x =，若函数h x =f g x -1在0,2π 内恰有4个零点，则ω的取值范围是.【答案】 cos x 3π2,5π2【详解】由题意g x =sin x +π2=cos x ，又h x =f g x -1在0,2π 内恰有4个零点，故f cos x -1=0，即sin ωcos x =1在0,2π 内恰有4个零点，则ωcos x =π2+2k π,k ∈Z 在0,2π 内恰有4个零点，数形结合可得，当k =0时ωcos x =π2有两根，当k =-1时ωcos x =-3π2也有两根，故-ω<-3π2ω≤5π2 ，即3π2<ω≤5π2，故ω的取值范围是3π2,5π2.34(2024届·武汉九月调研)甲，乙，丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙．初始时，球在甲手中，投掷n 次骰子后(n ∈N *)，记球在甲手中的概率为p n ，则p 3=；p n =．【答案】 1124p n =1124 k ,n =3k ,k ∈N 12⋅1124 k ,n =3k +1,k ∈N 512⋅1124 k ,n =3k +2,k ∈N【详解】由题意，当投掷3次骰子后，球在甲手中，共有4中情况：①：甲→甲→甲→甲，其概率为12×12×12=18②：甲→甲→乙→甲，其概率为12×12×13=112③：甲→乙→甲→甲，其概率为12×13×12=112④：甲→乙→丙→甲，其概率为12×23×12=16所以投掷3次后，球在甲手中的概率为p3=18+112+112+16=1124.记当投掷n-3次骰子后，球在甲手中的概率为p n-3，再三次投掷后，即投掷n次，球仍在甲手中的概率为p n，则p n=123p n-3+16p n-3×12×2+p n-3×12×23×12=18p n-3+112p n-3+112p n-3+16p n-3=1124p n-3，即p n=11 24p n-3，即p np n-3=1124又因为p0=1,p1=12,p2=122+12×13=512,p3=1124，当n=3k,k∈N时，p n=1124n；当n=3k+1,k∈N时，p n=12⋅1124 k；当n=3k+2,k∈N时，p n=512⋅1124k，所以p n=1124k,n=3k,k∈N12⋅1124k,n=3k+1,k∈N 512⋅1124k,n=3k+2,k∈N.。

全国卷Ⅰ2024年高考数学压轴卷理含解析

（全国卷Ⅰ）2024年高考数学压轴卷理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合402x A x x ⎧-⎫=∈≥⎨⎬+⎩⎭Z，1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =（）A ．{}12 x x -≤≤B ．{}1,0,1,2-C ．{}2,1,0,1,2--D ．{}0,1,22．已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于（） A．B ．1-CD ．13．“0a ≤”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为（）ABCD5．若221m n >>，则（） A ．11m n> B ．1122log log m n >C ．()ln 0m n ->D ．1m n -π>6．已知平面对量a ，b，满意(=a ，3=b ，()2⊥-a a b ，则-=a b （） A ．2B ．3C ．4D ．67．执行右边的程序框图，输出的2018ln =S ,则m 的值为（） A ．2024 B ．2024 C ．2024D ．20248．据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0055．，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为019．，现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能接着连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为（）A ．67B ．335C ．1135D ．019．9．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．163π+ B ．112π+ C ．1123π+ D ．143π+ 10．将()2sin22cos21f x x x =-+的图像向左平移π4个单位，再向下平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，则下列关于函数()y g x =的说法错误的是（）A ．函数()y g x =的最小正周期是πB ．函数()y g x =的一条对称轴是π8x = C ．函数()y g x =的一个零点是3π8D ．函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减11．焦点为F 的抛物线2:8C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当MA MF取得最大值时，直线M A 的方程为（） A ．2y x =+或2y x =-- B ．2y x =+ C ．22y x =+或22y x =-+D ．22y x =-+12．定义在R 上的函数()f x 满意()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，对[]12,0x ∀∈-，[]22,1x ∃∈-使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为（）A ．11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ B ．11,00,48⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C ．(]0,8D ．11,,48⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎪⎝⎦⎡⎫⎢⎣⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 若21)(=αf 则=-)(αf 14．在()311nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的绽开式中，各项系数之和为256，则x 项的系数是__________． 15.知变量x ，y 满意条件236y xx y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩，则目标函数223x y z x y-=+的最大值为16．如图，在ABC △中，3sin23ABC ∠=，点D 在线段AC 上，且2AD DC =，433BD =，则ABC △的面积的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满意：113a b ==，24b a =，且1a ，4a ，13a 成等比数列．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 18．（本小题满分12分）某市实行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成果大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参与了初赛，全部学生的成果均在区间(]30,150内，其频率分布直方图如图．（1）求获得复赛资格的人数；（2）从初赛得分在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参与学校座谈沟通，那么从得分在区间(]110,130与(]130,150各抽取多少人？（3）从（2）抽取的7人中，选出3人参与全市座谈沟通，设X 表示得分在区间(]130,150中参与全市座谈沟通的人数，求X 的分布列及数学期望()E X ．19．（本小题满分12分）如图，底面ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，//AF DE ，3DE AF =，BE 与平面ABCD 所成角为60︒．（1）求证：AC ⊥平面BDE ；（2）求二面角F BE D --的余弦值．20．（本小题满分12分）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 的直线与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若AF FB =，ABC △的面积为83（1）求抛物线的标准方程；（2）过焦点F 的直线与抛物线交于M ，N 两点，抛物线在M ，N 点处的切线分别为1l ，2l ，且1l 与2l 相交于P 点，1l 与x 轴交于Q 点，求证：2FQ l ∥．21．（本小题满分12分）设函数()(2ln 1f x x x x =-++．（1）探究函数()f x 的单调性；（2）若0x ≥时，恒有()3f x ax ≤，试求a 的取值范围；请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分． 22.(本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，圆C 的一般方程为2246120x y x y +--+=．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭（1）写出圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴和y 轴的交点分别为A ，B ，P 为圆C 上的随意一点，求PA PB ⋅的取值范围．23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】设函数()21f x x =-．（1）设()()15f x f x ++<的解集为A ，求集合A ；（2）已知m 为（1）中集合A 中的最大整数，且a b c m ++=（其中a ，b ，c 为正实数），求证：1118a b ca b c---⋅⋅≥．2024全国卷Ⅰ高考压轴卷数学理科答案解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】集合{}{}40241,0,1,2,3,42x A x x x x ⎧-⎫=∈≥=∈-<≤=-⎨⎬+⎩⎭ZZ ，{}14224B x x x x ⎧⎫=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，则{}1,0,1,2AB =-，故选B ．2．【答案】D 【解析】i 1i a +-是纯虚数，i 1+(+1)i=1i 2a a a +--，则要求实部为0，即1a =．故选D ． 3．【答案】C ．【解析】当0a =时，()|(1)|||f x ax x x =-=在区间(0,)+∞上单调递增；当0a <时，结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上单调递增，如图1-7(a)所示；当0a >时，结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上先增后减再增，不符合条件，如图1-7(b)所示.所以要使函数()|(1)|f x ax x =-在(0,)+∞上单调递增，只需0a ≥，即“0a ≥”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的充要条件.故选C.4．【答案】C【解析】由题意可设双曲线C 的右焦点(),0F c ，渐进线的方程为by x a=±，可得2d b a ===，可得c =，可得离心率ce a=C ．5．【答案】D【解析】因为221m n >>，所以由指数函数的单调性可得0m n >>，因为0m n >>，所以可解除选项A ，B ；32m =，1n =时，可解除选项C ，由指数函数的性质可推断1m n -π>正确，故选D ． 6．【答案】B【解析】由题意可得：2=a ，且：()20⋅-=a a b ，即220-⋅=a a b ，420-⋅=a b ，2⋅=a b ，由平面对量模的计算公式可得：3-=a b ．故选B ．7．【答案】B【解析】第一次循环，2,2ln ==i S 其次次循环，3,3ln ln 2ln 12ln 3232==+=+=⎰i x dx xS 第三次循环，4,4ln ln 2ln 13ln 4343==+=+=⎰i x dx xS 第四次循环，5,5ln ln 4ln 14ln 5454==+=+=⎰i x dx xS ……推理可得m=2024，故选B ．8．【答案】A【解析】设事务A 为48h 发病，事务B 为72h 发病，由题意可知：()0055P A =．，()019P B =．，则()0945P A =．，()081P B =．，由条件概率公式可得：()()()()()0816|09457P AB P B P B A P A P A ====．．．故选A ． 9．【答案】C【解析】视察三视图可知，几何体是一个圆锥的14与三棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为1，高为1．三棱锥的底面是两直角边分别为1，2的直角三角形，高为1．则几何体的体积21111π1π111213432123V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+．故本题答案选C ．10．【答案】D【解析】由题意可知：()2sin22cos212sin 4π21f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，图像向左平移π4个单位，再向下平移1个单位的函数解析式为： ()ππ2sin 2112sin 244π4g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．则函数()g x 的最小正周期为2ππ2T ==，A 选项说法正确；当π8x =时，22ππ4x +=，函数()y g x =的一条对称轴是π8x =，B 选项说法正确；当3π8x =时，2π4πx +=，函数()y g x =的一个零点是3π8，C 选项说法正确；若5π,128πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则5π3π2,4122πx ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调，D 选项说法错误；故选D ． 11．【答案】A 【解析】过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，则11cos cos MA MA MFMPAMP MAF ===∠∠，则当MA MF取得最大值时，M AF ∠必需取得最大值，此时直线AM 与抛物线相切，可设切线方程为()2y k x =+与28y x =联立，消去y 得28160ky y k -+=，所以264640k ∆=-=，得1k =±．则直线方程为2y x =+或2y x =--．故本题答案选A ．12．【答案】D【解析】因为()f x 在[]2,3上单调递减，在(]3,4上单调递增，所以()f x 在[]2,3上的值域是[]3,4，在(]3,4上的值域是119,32⎛⎤ ⎥⎝⎦，所以函数()f x 在[]2,4上的值域是93,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为()()22f x f x +=，所以()()()112424f x f x f x =+=+，所以()f x 在[]2,0-上的值域是39,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当0a >时，()g x 为增函数，()g x 在[]2,1-上的值域为[]21,1a a -++，所以3214918a a ≥-+≤+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得18a ≥；当0a <时，()g x 为减函数，()g x 在[]2,1-上的值域为[]1,21a a +-+，所以3149218a a ≥+⎧⎪≤+⎨-⎪⎪⎪⎩，解得14a ≤-，当0a =时，()g x 为常函数，值域为{}1，不符合题意，综上，a 的范围是11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，故选D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】23【解析】解析：因为1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 的定义域为R,关于原点对称，21sin )1lg(1sin )1lg()()(22=+-++++++-+=-+）（x x x x x x f f αα故221)(=+-αf 则=-)(αf 2314．【答案】7【解析】令1x =可得各项系数和：()31112561n⎛+⨯= ⎝，据此可得：7n =，73x x ⎛+ ⎝绽开式的通项公式为：()721732177C C r r rr r r T xx x --+==，令72102r -=可得：6r =，令72112r -=可得：407r =，不是整数解，据此可得：x 项的系数是67C 7=． 15.3【解析】作出236y x x y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩，表示的可行域，如图变形目标函数，()()()2222223,1,32cos 31x y x y z x yx y θ-⋅-===++-⋅+，其中θ为向量)3,1=-a 与(),x y =b 的夹角，由图可知，()2,0=b 时θ有最小值6π， (),x y =b 在直线y x =上时，θ有最大值56412π+=ππ，即5612θπ≤≤π，5612θπ≤≤π，目标函数223x y z x y-=+3C ．16．【答案】32 【解析】由3sin2ABC ∠=可得：6cos 2ABC ∠=，则22sin 2sin cos 22ABC ABC ABC ∠∠∠==．由32sin2ABC ∠<452ABC ∠<︒，则90ABC ∠<︒，由同角三角函数基本关系可知：1cos 3ABC ∠=．设AB x =，BC y =，()30,0,0AC z x y z =>>>，在ABD △中由余弦定理可得：()22162cos z x BDA +-∠=，在CBD △中由余弦定理可得：2216cos z y BDC +-∠=由于180BDA BDC ∠+∠=︒，故cos cos BDA BDC ∠=-∠，()222216162z x z y +-+-=22216620z x y +--=．①在ABC △中，由余弦定理可知：()2221233x y xy z +-⨯=，则：2222246339z x y xy =+-，代入①式整理计算可得：2214416339x y xy ++=，由均值不等式的结论可得：4161699xy xy ≥=，故9xy ≤，当且仅当x =y =时等号成立，据此可知ABC △面积的最大值为：()max max 11sin 922S AB BC ABC =⨯⨯⨯∠=⨯= 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）【答案】（1）()32121n a n n =+-=+，3n n b =；（2）223n nn S +=-．【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，则由已知得21134a a a =，即()()2331233d d +=+，解之得：2d =或0d =（舍），所以()32121n a n n =+-=+；因为249b a ==，所以{}n b 的公比3q =，所以3n n b =．（2）由（1）可知213n nn c +=，所以23357213333n n n S +=++++．．．，21572133333n n n S -+=++++．．．，所以12111211112121243323234133333313n n n n n n n n n S --⎛⎫⋅- ⎪+++⎛⎫⎝⎭=++++-=+-=- ⎪⎝⎭-．．．，所以223n n n S +=-．18.（本小题满分12分）【答案】（1）520人；（2）5人，2人；（3）()67E X =．【解析】（1）由题意知[)90,110之间的频率为：()1200.00250.0050.007520.01250.3-⨯++⨯+=，()0.30.01250.0050200.65++⨯=，获得参赛资格的人数为8000.65520⨯=人．（2）在区间(]110,130与(]130,150，0.0125:0.00505:2=，在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人，分在区间(]110,130与(]130,150各抽取5人，2人．结果是5人，2人．（3）X 的可能取值为0，1，2，则：()305237C C 20C 7P X ===；()215237C C 41C 7P X ===；()125237C C 12C 7P X ===；故X 的分布列为：()20127777E X =⨯+⨯+⨯=．19．（本小题满分12分）【答案】（1）见解析（2（1）证明：∵DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴DE AC ⊥，又∵底面ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥．∵BD DE D =，∴AC ⊥平面BDE ．（2）解：∵DA ，DC ，DE 两两垂直，∴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，∵BE 与平面ABCD 所成角为60︒，即60DBE ∠=︒，∴3ED DB=，由3AD =，可知32BD =36DE =6AF = 则(3,0,0)A ，6)F ，(0,0,36)E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ， ∴(0,6)BF =-，(3,0,26)EF =-．设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n BF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即360,360,y z x z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ 令6z =(4,2,6)n =． ∵AC ⊥平面BDE ，∴CA 为平面BDE 的一个法向量，∴(3,3,0)CA =-，∴||13cos ,||||3226n CA n CA n CA ⋅<>===⋅⨯ ∵二面角F BE D --为锐角，∴二面角F BE D --的余弦值为1313． 20.（本小题满分12分）【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析．【解析】（1）因为AF FB =，所以F 到准线的距离即为三角形ABC △的中位线的长，所以2AC p =，依据抛物线的定义AC AF =，所以24AB AC p ==，()()224223BC p p =-，1223832ABC S p =⋅⋅=△ 解得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =．（2）易知直线MN 的斜率存在，设直线:1MN y kx =+，设()11,M x y ，()22,N x y联立24 1x y y kx =+⎧⎪⎨⎪⎩=消去y 得2440x kx --=，得124x x =-， 24x y =，'2x y =，设()11,M x y ，()22,N x y ，111:22l y y xx +=，222:22l y y xx +=，()22212212112121121212442,22,12444p p p x x y y x x x x x x x x y x y x x x x ⎛⎫- ⎪-++⎝⎭===+⋅===---，得P 点坐标21,12x x P +⎛⎫- ⎪⎝⎭，由111:22l y y xx +=，得1,02x Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 12QF k x =-，221141222l x k x x -==⋅=-，所以2QF l k k =，即2PQ l ∥． 21.（本小题满分12分）【答案】（1）增函数；（2）1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）见解析．【解析】（1）函数()f x 的定义域为R ．由()'10f x =≥，知()f x 是实数集R 上的增函数．（2）令()()(33ln g x f x ax x x ax =-=--，则()2131'ax g x --，令())2131h x ax =--，则()()23169169'x a ax a x ax h x ⎡⎤----==．（i ）当16a ≥时，()'0h x ≤，从而()h x 是[)0,+∞上的减函数，留意到()00h =，则0x ≥时，()0h x ≤，所以()'0g x ≤，进而()g x 是[)0,+∞上的减函数，留意到()00g =，则0x ≥时，()0g x ≤时，即()3f x ax ≤．（ii ）当106a <<时，在⎡⎢⎣上，总有()'0h x >，从而知，当x ⎡∈⎢⎣⎭时，()3f x ax >；（iii ）当0a ≤时，()'0h x >，同理可知()3f x ax >，综上，所求a 的取值范围是1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分．22.（本小题满分10分）【答案】（1）2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，20x y +-=；（2）44PA PB -⋅≤+ 【解析】（1）圆C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=（θ为参数）．直线l 的直角坐标方程为20x y +-=．（2）由直线l 的方程20x y +-=可得点()2,0A ，点()0,2B ．设点(),P x y ，则()()222,,2222412PA PB x y x y x y x y x y ⋅=--⋅--=+--=+-．由（1）知2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，则()4sin 2cos 44PA PB θθθϕ⋅=++=++．因为θ∈R ，所以44PA PB -≤⋅≤+23．（本小题满分10分）【答案】（1）55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）见解析．【解析】（1）()()15f x f x ++<即21215x x -++<，当12x <-时，不等式化为12215x x ---<，∴5142x -<<-；当1122x -≤≤时，不等式化为12215x x -++<，不等式恒成立；当12x >时，不等式化为21215x x -++<，∴1524x <<．综上，集合55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭．（2）由（1）知1m =，则1a b c ++=．则1a b c a a -+=1b b -≥1c c -≥则1118a b c a b c ---⋅⋅≥=，即8M ≥．。

2023年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编(五)(原卷版)

2023年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（五）一、单选题 1．（2022·广东汕头·高三阶段练习）直线:l y kx b =+是曲线()()ln 1f x x =+和曲线()()3ln e g x x =的公切线，则b =（） A ．2e ln 3B ．3e ln 3C ．3D ．()2ln 3e2．（2022·广东汕头·高三阶段练习）已知函数()()()()()222sin 2π2π3,R 216,x a x a f x a x a x a x a ⎧-<⎪=∈⎨-++-+≥⎪⎩，若()f x 在区间()0,∞+内恰好有7个零点，则a 的取值范围是（） A ．5817,,3236⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦B ．581711,,2363⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦C ．51711,3,263⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦D ．81711,3,363⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦3．（2022·广东·金山中学高三阶段练习）设函数()ln ,0πsin ,π04xx x f x x x ω⎧>⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩有4个不同零点，则正实数ω的范围为（） A ．913,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．913,44⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．913,44⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．913,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．（2022·广东·金山中学高三阶段练习）已知三棱锥D ABC -的顶点都在球O 的球面上，底面ABC 为等边三角形，且其所在圆1O 的面积为6π.若三棱锥D ABC -的体积的最大值为3O 的体积为（）A ．2563π B ．3436π C ．256π D ．3432π 5．（2022·广东·仲元中学高三阶段练习）已知菱形ABCD 的边长为2，且60DAB ∠=，沿BD 把ABD △折起，得到三棱锥A BCD '-，且二面角A BD C '--的平面角为60°，则三棱锥A BCD '-的外接球的表面积为（）． A ．13π9B ．52π9C ．3π5D ．2π36．（2022·广东·深圳市高级中学高三阶段练习）已知正实数x 、y 、z 满足2221x y z ++=，则58xyz-的最小值是（） A ．6 B ．5 C ．4 D ．37．（2022·广东·深圳市南山区华侨城中学高三阶段练习）设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a < ，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（）A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭8．（2022·湖北武汉·高三开学考试）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点为12,F F ，过2F 的直线与双曲线右支交,A B 两点，设AB 中点为P ，若1||AB P =，且145F PA ∠=︒，则该双曲线的离心率为（）AB C D 9．（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）已知函数()()πsin 0,2f x x ωθωθ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，π6x =是()f x 的一个极值点，π6x =-是与其相邻的一个零点，则π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）A ．0B ．1C ．1-D ．210．（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）已知20212022e a -=，12022b =，2023ln 2022c =，则,,a b c 的大小关系为（） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>11．（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）已知数列{}n a 满足220(1)21,650nn n a a n S +⋅-+=-=，则23a =（） A ．231B ．234C ．279D ．27612．（2022·山东·汶上县第一中学高三开学考试）已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，圆222:O x y a +=与E 的一条渐近线的一个交点为M .若212MF F =，则E 的离心率为（）AB C D 13．（2022·山东·汶上县第一中学高三开学考试）已知0.40.7e a =， 1.4b eln =，0.98c =，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．b a c >>14．（2022·山东·济南市天桥区黄河双语实验学校高三阶段练习）已知函数()()πsin 04,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭，若π2π263f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数()f x 的单调递增区间为（）A ．πππ5π,,Z 26212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦B ．ππππ,,Z 21226k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．π2ππ+,π+,Z 63k k k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦D ．πππ,π+,Z 36k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦15．（2022·山东·济南市天桥区黄河双语实验学校高三阶段练习）若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的取值范围为A ．0a ≥B ．2a ≥-C ．52a ≥-D ．3a ≥-16．（2022·山东·枣庄市第三中学高三开学考试）已知函数23ln ,1()46,1x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩，若不等式()2f x x a ≥-对任意(0,)x ∈+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为A ．13,3e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[3,3ln 5]+C ．[3,4ln 2]+D ．[2,5]17．（2022·福建·福州市第十中学高三开学考试）已知函数1()323xxf x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若2()(2)4f a f a +->，则实数a 的取值范围是（）A ．(,1)-∞B ．(),2(1,)-∞-+∞C ．()2,1-D ．(1,2)-18．（2022·福建·福州市第十中学高三开学考试）设x ，y 为正实数，则433xyM x y x =++的最小值为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4二、多选题19．（2022·广东汕头·高三阶段练习）若π02b a <<<，则（） A ．11e 2e 2e e b aa ba b ++>++ B ．e e e e a b b a b a ->- C ．sin sin a b b b a a +<+D ．sin cos sin b a a >20．（2022·广东·金山中学高三阶段练习）如图，正方形ABCD 中，CD a =，3DE EC =，将ADE 沿AE 翻折到AEP △位置，点P ∉平面ABCD 内，记二面角P AB C 大小为θ，在折叠过程中，满足下列什么关系（）A ．四棱锥P ABCE V -最大值为38aB ．角θ可能为61C ．15tan 16θ≤D．tan θ≤21．（2022·广东·金山中学高三阶段练习）下列判断，正确的选项有（） A ．若()f x 的图象关于点(,0)a 对称()f a kx ⇔-是奇函数(0)k ≠ B ．曲线 ()()2212y f x f x =-+-的图象关于直线12x =对称； C ．函数()f x 定义在R 上的可导函数，其导函数()'f x 为奇函数，则()f x 为偶函数． D ．函数()f x 定义在R 上的可导函数，导函数()'f x ，且()32f x '+是偶函数，则()f x 的图象关于点(2,(2))f 对称．22．（2022·广东·仲元中学高三阶段练习）在正四棱台1111ABCD A B C D -中，1124A B AB ==，12AA =，则（）．AB．该棱台的表面积为16+C．该棱台的体积为D23．（2022·广东·仲元中学高三阶段练习）过平面内一点P 作曲线|ln |y x =两条互相垂直的切线12,l l ，切点为P 1、P 2(P 1、P 2不重合），设直线12,l l 分别与y 轴交于点A ，B ，则下列结论正确的是（）A ．P 1、P 2两点的横坐标之积为定值B ．直线P 1P 2的斜率为定值C ．线段AB 的长度为定值D ．三角形ABP 面积的取值范围为(0，1]24．（2022·广东·深圳市高级中学高三阶段练习）若1201x x ，则（）A ．21211e e ln1x xx x +->+ B ．21211e e ln1x xx x +-<+ C ．1221e e x xx x > D ．1221e e x xx x <25．（2022·广东·深圳市高级中学高三阶段练习）已知函数()()2e 21R xf x ax x a =+++∈，下列说法不正确的是（）A ．当3a >-时，函数()f x 仅有一个零点B ．对于R a ∀∈，函数()f x 都存在极值点C ．当1a =-时，函数()f x 不存在极值点D ．R a ∃∈，使函数()f x 都存在3个极值点26．（2022·广东·深圳市南山区华侨城中学高三阶段练习）对于函数sin ,02()1(2),22x x f x f x x π≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，下列结论中正确的是（）A ．任取12,[1,)x x ∈+∞，都有123()()2f x f x -≤ B ．11511222222k f f f k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中k ∈N ；C ．()2(2)()k f x f x k k N *=+∈对一切[0,)x ∈+∞恒成立；D ．函数()ln(1)y f x x =--有3个零点；27．（2022·湖北武汉·高三开学考试）已知函数1()e ln x f x x -=+，则过点(,)a b 恰能作曲线()y f x =的两条切线的充分条件可以是（） A ．211b a =-> B ．211b a =-< C ．21()a b f a -<<D ．211b a <--28．（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）在平面四边形ABCD 中，10,0,||||1,2AB BC AD CD AB AD AD BA ⋅=⋅===⋅=，若点E 为线段CD 上的动点，则AE BE ⋅的值可能为（） A ．1B ．2116C ．2D ．7229．（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）已知函数()y f x =对于任意的π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，均满足()()cos sin ln f x x f x x x +='，其中()f x '是()f x 的导函数，则下列不等式成立的是（）A ππ2364⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()ππ231124f f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()π5π312312f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．)π5π312312f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭30．（2022·山东·汶上县第一中学高三开学考试）如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，且只有1个球；第2堆有2层，第1层有1个球，第2层有3个球；…；第堆有n 层，第1层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，……，第n 层有n a 个球.记第n 堆的球的总数为n S ，则（参考公式：()()222211231216n n n n +++⋅⋅⋅+=++）（）A ．()12n n a a n n -=+≥B ．()12n n n a -=C ．()()1122n n n n S S +++=+D ．()()1126n S n n n =++31．（2022·山东·汶上县第一中学高三开学考试）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，()()2f x f x -=-，且当(]1,0x ∈-时，()1f x x =--，则（）A ．()f x 的图像关于点()1,0-对称B ．()f x 在区间[]5,6上单调递减C ．若关于x 的方程()f x m =在区间[]0,6上的所有实数根的和为253，则23m =- D ．函数()ln y f x x =-有4个零点32．（2022·山东·济南市天桥区黄河双语实验学校高三阶段练习）对于函数()2ln xf x x =，下列说法正确的是（） A ．()f x 在x 12eB ．()f x 有两个不同的零点C ．f ff <<⎝⎭D ．若()21f x k x <-在(0,)+∞上恒成立，则2e k > 33．（2022·山东·枣庄市第三中学高三开学考试）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于点()1,0对称.以下关于()f x 的结论正确的有（） A ．()f x 是周期函数 B ．()f x 满足()()4f x f x =- C ．()f x 在()0,2上单调递减 D ．()πcos2xf x =是满足条件的一个函数34．（2022·福建·福州市第十中学高三开学考试）函数()f x 为定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上单调递增，则下列结论正确的是（）A ．函数()()cos g x f x x =为奇函数B ．函数()[()(2)]h x x f x f =-有且只有3个零点C ．不等式[()(2)]0x f x f -≤的解集为(,2][0,2]-∞-D ．()f x 的解析式可能为2()x x f x e e x -=+- 三、填空题35．（2022·广东汕头·高三阶段练习）在边长为2的菱形ABCD 中，23BD =将菱形ABCD 沿对角线AC 对折，使二面角B AC D --的余弦值为13，则所得三棱锥A BCD -的外接球的表面积为___________.36．（2022·广东汕头·高三阶段练习）已知双曲线C 的左､右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线与C 的右支交于A ，B 两点.若222AF F B =，1AB BF =，则C 的离心率为___________. 37．（2022·广东·金山中学高三阶段练习）直线l 过抛物线22 (0)y px p =>的焦点(1,0)F 且与抛物线交于A 、B 两点，则2||||AF BF -的最小值为___________. 38．（2022·广东·金山中学高三阶段练习）已知()()223f x x a x a b =+-++，若存在常数a ，使()0f x ≥恒成立，则b 的取值范围是______.39．（2022·广东·仲元中学高三阶段练习）已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =-（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a 的取值范围是____________． 40．（2022·广东·深圳市高级中学高三阶段练习）已知2|21|,1()log (1),1x x f x x x +<⎧=⎨->⎩，()g x 为三次函数，其图象如图所示.若()()y f g x m =-有9个零点，则m 的取值范围是___________.41．（2022·广东·深圳市南山区华侨城中学高三阶段练习）已知等腰三角形ABC 的面积为2，其中AB ⊥AC ，点O ，M ，N 分别在线段BC ，AB ，AC 上，AO ⊥BC 且23MON π∠=，当点M ，N 在对应线段上运动时（含端点位置），2211OMON+的最大值为______．42．（2022·广东·深圳市南山区华侨城中学高三阶段练习）已知函数()()ln202x af x ae a x =+->+，若()0f x >恒成立，则实数a 的取值范围为______. 43．（2022·湖北武汉·高三开学考试）在四棱锥P ABCD -中，60APB BPC CPD DPA ∠=∠=∠=∠=︒，且APC BPD ∠=∠，,PB PD PA ==锥存在半径为1的内切球，则PC_______.44．（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）已知函数()e e 21x x f x x -=--+，则不等式(23)()2f x f x -+>的解集为______________．45．（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）对任意的1x >，不等式1e ln(1)52ln 0x x a a---+≥恒成立，则a 的范围为__________．46．（2022·山东·汶上县第一中学高三开学考试）在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，11AA =，1AA 与平面1AB C 所成的角为45°.当三棱柱111ABC A B C -的体积最小时，三棱柱111ABC A B C -外接球的表面积为______.47．（2022·山东·汶上县第一中学高三开学考试）若(),P x y 是圆22:1O x y +=上任意一点，则3483412x y x y -++-+的取值范围是______.（用区间表示）48．（2022·山东·济南市天桥区黄河双语实验学校高三阶段练习）已知函数()222222x x f x x mx e me m =-+-+，若存在实数0x ，使得()012f x ≤成立，则实数m =_________.49．（2022·福建·福州市第十中学高三开学考试）已知定义在R 上的函数()f x 在[1,)+∞上单调递减，且(1)f x +是偶函数，不等式(2)(1)f m f x +≥-对任意的[1,0]x ∈-恒成立，则实数m 的取值范围是____. 四、双空题50．（2022·山东·汶上县第一中学高三开学考试）对于两个均不等于1的正数,m n ，定义：log ,*log ,m n n m n m m n m n ≥⎧=⎨<⎩，则3*124*12+的值是______；设,,a b c 均为小于1的正数，且ab c =，则()()11**a c b c --+的值是______．。

2023年高考数学名校选填压轴题好题汇编(二)(解析版)

2023年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（二）一、单选题1．（2022·湖南·永州市第一中学高三开学考试）已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则 A ．1,0a b <- C ．1,0a b >-< D ．1,0a b >->【答案】C【解析】当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1bx a=-；()y f x ax b =--最多一个零点；当0x 时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-，2(1)y x a x =+-'，当10a +，即1a -时，0y '，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；当10a +>，即1a >-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点⇔函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点，如图：∴01b a <-且3211(1)(1)(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩，解得0b <，10a ->，310(116,)b a a >>-+∴>-．故选C ．2．（2022·湖南·永州市第一中学高三开学考试）天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus )在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(..M R Pogson )又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足()12212.5lg lg m m E E -=-.其中星等为i m 的星的亮度为()1,2i E i =.已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r 倍，则与r 最接近的是（）(当x 较小时，2101 2.3 2.7x x x ≈++) A ．1.22 B ．1.24C ．1.26D ．1.28【答案】C【解析】若“天津四”的亮度是E ，则“心宿二”的亮度是rE ， ∴1.251 2.5(lg lg )rE E -=⋅-，即1lglg 10rE r E ==， ∴0.12101 2.30.1 2.7(0.1) 1.257r =≈+⨯+⨯=. 故选：C.3．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）已知函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若方程()23f x =在（0，π）的解为1x ，2x （12x x <），则()12sin x x -=（）A ．BC ．13D ．13-【答案】A【解析】因为()0,x π∈，所以52,333x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，又因为12,x x 是1sin 233x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭的两根，结合图象可知125212x x π+=，所以2156x x π=-，所以()12115sin sin 2cos 263x x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为12215,6x x x x π<=-，所以15012x π<<，所以12,332x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以1cos 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()12sin x x -=.故选：A.4．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）2022年北京冬奥会成功举办，更加激发全国人民对冰雪运动的爱好，某地为响应全民冰雪运动的号召，建立了一个滑雪场.该滑雪场中某滑道的示意图如图所示，点A ，B 分别为滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为20m .两点之间为滑雪弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图象的一部分.综合滑行的安全性与趣味性，在滑道的最陡处，滑雪者的身体与地面所成的夹角约为44°.若还要兼顾滑道的美观性与滑雪者的滑雪体验，则A ，B 两点在水平方向的距离约为（）A ．23mB ．25mC ．27mD ．29m【答案】D【解析】以滑道的最陡处为原点O 建立平面直角坐标系，由题意可知，O 为AB 的中点，设三次函数的解析式为()32f x ax bx cx =++，其中0a ≠，设点()0,10A x -，则()0,10B x -，()232f x ax bx c '=++，在滑道最陡处，0x =，则()f x '的对称轴为直线0x =，则03ba-=，可得b =0，则()()233,f x ax c f x ax cx =='++，在滑道最陡处，设滑雪者的身体与地面所成角为α，则()sin cos 120tan 2sin tan cos 2f c παπααπααα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭==+==-=- ⎪⎛⎫⎝⎭'+ ⎪⎝⎭，所以()()321,3tan tan x f x ax f x ax αα'=-=-，由图可知20030001()30tan ()10tan f x ax x f x ax αα⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-=-⎩'⎪可得0230tan ,x α=，因为44α≈，则()0230tan 28.9729m x α=≈≈. 故选：D.5．（2022·湖北·宜都二中高三开学考试）已知44ln5,5ln4,5ln a b c πππ===，则,,a b c 的大小关系是（） A ．c a b <>，即ln πln 4ln 5π45>>，可得4ln ln 4ππ>，5ln44ln5>，所以4ln ln 4，5ln 44ln5，所以4π5ln π5ln 4>，ππ5ln 44ln5>，即c b >，b a >. 所以a b c <<.故选：B.6．（2022·湖北·高三开学考试）已知直线l 是曲线ln y x =与曲线2y x x =+的一条公切线，直线l 与曲线2y x x =+相切于点()2,a a a +，则a 满足的关系式为（）A ．()21ln 210a a +-+= B ．()21ln 210a a +++=C ．()21ln 210a a --+=D ．()21ln 210a a -++=【答案】C【解析】记()ln y f x x ==得1()f x x'=,记2()g x x x =+得()21g x x '=+，设直线l 与曲线()ln f x x =相切于点(),ln b b ，由于l 是公切线，故可得()()()()()f bg a g a f b g a a b⎧=⎪⎨-''=-'⎪⎩，即2121ln ()21a b a a b g a a a b ⎧=+⎪⎪⎨+-⎪==+'⎪-⎩化简得()21ln 210a a --+=，故选：C7．（2022·湖北·高三开学考试）在三棱锥P ABC -中，PAC PAB ∠=∠，24AC AB ==，PA PB ==，BC =P ABC -外接球的表面积为( )A ．22πB ．26πC ．643πD ．683π【答案】A 【解析】222PA PB AB PA PB +=⇒⊥，且45PAB ∠=，∴45PAC PAB ∠∠==，在∴P AC 中，根据余弦定理得，2222cos1622410PC AC AP AC AP PAC∠=+-⋅⋅=+-⨯=，∴22221012PB PC BC+=+==，∴PB PC⊥，又PA PC P=，,PA PC⊂平面P AC，∴PB∴平面P AC，故可将三棱锥B-APC补为直三棱柱11BAC PAC-，则直三棱柱11BAC PAC-的外接球即为三棱锥P-ABC的外接球，设∴P AC外接圆圆心为2O，∴11A BC的外接圆圆心为1O，则直三棱柱的外接球球心为12O O中点O，OA即为外接球的半径.在∴P AC中，根据正弦定理可得22sinPCO APAC∠===∴2O A=∴2222221222211522O OOA OO O A O A⎛⎫=+=+=+=⎪⎝⎭⎝⎭，∴外接球表面积为：2114π4π22π2OA⋅=⨯=．故选：A．8．（2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习）已知函数()232(0)3f x x ax a=->的定义域为R，若对于任意的()13,x∞∈+，都存在()21,x∈+∞，使得()()121f x f x⋅=，则a的取值范围是（）A．10,3⎛⎤⎥⎝⎦B．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】因为()2323f x x ax=-，所以()22(1)22f ax axx xx'=-=-，2(1)13af=-，(3)918f a=-，令()0f x'=，可得0x=或1xa=，当01a<≤时，11,xa⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0f x'>，1,xa⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，则()0f x'<，所以函数()f x在11,a⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，函数()f x在1,a⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减，当1a>时，(1,)x∈+∞时，()0f x'<，所以函数()f x 在(1,)+∞上为减函数，设1()()g x f x =，因为对于任意的()13,x ∞∈+，都存在()21,x ∈+∞，使得()()121f x f x ⋅=，所以对于任意的()13,x ∞∈+，都存在()21,x ∈+∞，使得()()21f x g x =，所以函数()g x 在(3,)+∞上的值域包含与函数()f x 在(1,)+∞上值域，当1a ≥时，9180a -<，11a≤ 函数()f x 在(1,)+∞上为减函数，函数()f x 在(1,)+∞上的值域为2,13a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，函数()f x 在(3,)+∞上的值域为(),918a -∞-，所以函数()g x 在(3,)+∞上的值域为1,0918a ⎛⎫⎪-⎝⎭，由已知1,0918a ⎛⎫⊆⎪-⎝⎭2,13a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，所以2103a-≥，又1a ≥，所以312a ≤≤，(注：由此可排除A ，B ，C) 当103a <≤时，2103a -≥，9180a ->，13a ≥ 函数()f x 在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，函数()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，函数()f x 在(1,)+∞上的值域为21,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，函数()f x 在(3,)+∞上的值域为21,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，所以函数()g x 在(3,)+∞上的值域为()2,0(,)a -∞+∞，与已知矛盾，当1132a <<时，2103a -≥，9180a ->，123a << 因为函数()f x 在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，函数()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以函数()f x 在(1,)+∞上的值域为21,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，函数()f x 在(3,)+∞上的值域为(),918a -∞-，所以函数()g x 在(3,)+∞上的值域为()1,0,918a ⎛⎫-∞+∞⎪-⎝⎭，与已知矛盾，当12a =时，2103a ->，9180a -=，12a= ()1,2x ∈，则()0f x '>，()2,x ∈+∞，则()0f x '<，所以函数()f x 在()1,2上单调递增，函数()f x 在()2,+∞上单调递减，所以函数()f x 在(1,)+∞上的值域为(),4-∞，函数()f x 在(3,)+∞上的值域为(),0∞-，所以函数()g x 在(3,)+∞上的值域为(),0∞-，(),0-∞⊆(),4-∞，满足要求当112a <<时，2103a ->，9180a -<，112a << 函数()f x 在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，函数()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增所以函数()f x 在(1,)+∞上的值域为21,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，函数()f x 在(3,)+∞上的值域为(),918a -∞-，所以函数()g x 在(3,)+∞上的值域为1,0918a ⎛⎫⎪-⎝⎭，1,0918a ⎛⎫⊆ ⎪-⎝⎭21,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，满足要求，综上所述，1322a ≤≤，故选：D.9．（2022·湖北·高三阶段练习）已知四面体D ABC -中，1AC BC AD BD ====，则D ABC -体积的最大值为（）A B C D 【答案】C【解析】设M 为CD 的中点，连接AM,BM , 设四面体A -BCD 的高为h ，则h AM ≤,由于1AC BC AD BD ====，故ACD BCD ≌ , 则ACD BCD ∠=∠,设π,(0,)2BCD ACD αα∈∠=∠=，则sin sin ,22cos 2cos AM BM BC CD CM BC αααα======, 所以1136D ABC A DBC BCDV V Sh CD BM AM --==⋅≤⋅⋅21cos sin 3αα===，当且仅当平面ACD 与平面BCD 垂直且sin αα=即arctan 2α=时取等号，故选：C10．（2022·湖北·高三阶段练习）恰有一个实数x 使得310x ax --=成立，则实数a 的取值范围为（）A ．(-∞B ．⎛ ∞⎝⎭-C ．⎝⎭D ．⎛-∞ ⎝⎭【答案】B【解析】当0x =时，10不成立，所以0x =不是方程的根，故对原方程转化为21a x x=-，故转化为y a =与21()f x x x=-仅有一个交点，构造21()f x x x=-，322121()2x f x x x x +'=+=，0x <<或0x >时，()0f x '>，当x <时，()0f x '<，故函数()f x 在⎛-∞ ⎝单调递减，在⎫⎪⎭和()0,∞+单调递增，又f ，当x →-∞时，()f x →+∞，x →+∞时，()f x →+∞，且0x -→时，()f x →+∞，0x +→时，()f x →-∞，故要使得y a =与()f x 仅有一个交点，即a 的取值范围是⎛ ∞⎝⎭-故选：B ．11．（2022·湖北武汉·高三开学考试）已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点为1F ，2F ，过2F 的直线与Γ交于A ，B 两点.若223AF F B =，12AB AF =，则Γ的离心率为（）A ．15BCD【答案】C【解析】设2F B m =,则23AF m =,124AB AF m ==. 由椭圆的定义可知1225BF BF a m +==,所以25m a =,所以265AF a =,145AF a =.在∴ABF 1中,22222211118481555cos 8424255a a a AB AF BF A a a AB AF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭===⨯⨯.所以在∴AF 1F 2中,2221212122cos F F AF AF AF AF A =+-,即22224441425554a a a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理可得：22225c e a ==,所以e =故选：C12．（2022·湖北武汉·高三开学考试）若1e 2ln2xyx y +-=+，其中2x >，2y >，则下列结论一定成立的是（） A ．2x y > B ．22e x y >C ．x y >D ．2e x y >【答案】D【解析】因为1e 2ln2xyx y +-=+，其中2x >，2y >，所以e 12ln212ln 1ln ln 2222222xy y y x y y y yy =--=--=--+--，其中2x >，2y >，令1ln y x x =--，'111x y x x-=-=，故()0,1x ∈时，'10x y x-=<，1ln y x x =--单调递减， ()1,x ∈+∞时，'10x y x-=>，1ln y x x =--单调递增，所以1ln 0y x x =--≥，即1ln x x -≥，当且仅当1x =时等号成立，所以1ln ,222y yy ->>，所以e ln 22xy x y >-- 故令()e ,2x x f x x ->=，则e ln 22xy x y >--等价于()ln 2y f x f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，因为()e 10,2x f x x =->>'，故函数()e xf x x =-在()2,+∞单调递增，所以()ln 2y f x f ⎛⎫> ⎪⎝⎭等价于ln 2y x >，即ln e ln 2xy x =>所以e 2xy >，即2e x y >.故选：D13．（2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试）已知0.21,ln1.2,tan 0.2e a b c =-==，其中e 2.71828=为自然对数的底数，则（） A ．c a b >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．a b c >>【答案】B【解析】令cos cos sin ()1tan cos e e x xx x x f x x x--=--=，04x π<<，令()cos cos sin e x g x x x x =--，()(sin cos )sin cos (1)(cos sin )e e x x g x x x x x x x '=-++-=-⋅-，当04x π<<时，()0g x '>，()g x 单调递增，又(0)110g =-=，所以()0>g x ，又cos 0x >，所以()0f x >，在(0,)4π成立，所以(0.2)0f >即a c >，令()ln(1)h x x x =+-，1()111xh x x x -=-=++'，()h x 在(0,)2x π∈为减函数，所以()(0)0h x h <=，即ln(1)x x +<，令()tan m x x x =-，21()1cos m x x '=-，()m x 在(0,)2x π∈为减函数，所以()(0)0m x m <=，即tan x x <，所以ln(1)tan x x x +<<，(0,)2x π∈成立，令0.2x =，则上式变为ln(0.21)0.2tan 0.2+<<，所以0.2b c << 所以b c <，所以b c a <<. 故答案为：B.14．（2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试）已知正实数C 满足：对于任意θ，均存在,,0255i j i j ∈≤≤≤Z ，使得2cos iC jθ-≤，记C 的最小值为λ，则（） A ．1120001000λ<< B ．111000500λ<< C ．11500200λ<< D ．11200100λ<< 【答案】B【解析】题设等价于对于任意[]0,1x ∈，均存在,,0255i j i j ∈≤≤≤Z ，使得ix C j-≤，将i j 在数轴上表示如下：当x 与上述数轴上的点重合时，易得存在,,0255i j i j ∈≤≤≤Z 使得0i x j -=，又C 为正实数，则ix C j-≤成立；当x 与上述数轴上的点不重合时，假设在相邻的两个点1212,i i j j 之间，则12112112i i i x j j j -≤-，当且仅当x 在相邻的两个点1212,i i j j 中点时取等，要使对于任意[]0,1x ∈，均存在,,0255i j i j ∈≤≤≤Z ，使得ix C j-≤，则有212112i i C j j ≥-，又数轴上所有相邻的两个点之间距离最大为1254101255255255-=-=，此时x 在相邻的两个点10,255或254,1255中点，则1112255510C ≥⨯=. 以下说明数轴上所有相邻的两个点之间距离最大为1255，易得数轴上(),14,252552550k k k k ∈≤≤+Z 两点之间的距离为1255，当0k =或254k =，10,255和254,1255为相邻的两点，之间的距离为1255；当1253k ≤≤时，则1255254255k k k +<<，即1,255255k k +之间必存在点254k，可得相邻的两点之间的距离小于1255，综上可得数轴上所有相邻的两个点之间距离最大为1255. 故1510λ=，故111000500λ<<. 故选：B.15．（2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试）蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知某鞠（球）的表面上有四个点A ，B ，C ，P ，且球心O 在PC 上，4AC BC ==，AC BC ⊥，tan tan PAB PBA ∠=∠=）A ．9πB ．18πC ．36πD ．64π【答案】C【解析】如图，取AB 的中点M ，连接MP ，由AC =BC =4，AC ∴BC 得：AB =由tan tan PAB PBA ∠=∠=MP ==连接CM 并延长，交球O 于点H ，连接PH ，因为PC 球O 的直径，设球的半径为R ，则PH ∴CH ，1122MH CH AB ===则2PH ==，所以()(222222436R PC CH PH ==+=+=，解得：3R =，球的表面积为24π36πR =.故选：C二、多选题16．（2022·湖南·永州市第一中学高三开学考试）已知函数()()2+cos 4x f x x x R ππ=-∈，则下列说法正确的有（）A ．直线y =0为曲线y =f (x )的一条切线B ．f (x )的极值点个数为3C ．f (x )的零点个数为4D ．若f (1x )=f (2x )(1 x ≠2x )，则1x +2x =0 【答案】AB 【解析】因为()()2+cos 4x f x x x R ππ=-∈，所以()()'2sin xf x x x R π=-∈，令'0f x，即2sin xx π=，令1sin y x =，22xy π=，在同一坐标系中作出两函数的图像，由图像得：当,2x π⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭和,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2sin x x π<，所以此时()'>0f x ，所以()f x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭和,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；当,2x π⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭和02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，2sin >x x π，所以此时()'0f x <，所以()f x 在2π⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，和0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；且()014f π=-，22+cos 0224f πππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=-= ⎪⎝⎭，22+cos 0224f πππππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，作出函数()f x 的图象如下图所示：对于A 选项：根据函数的图象，知A 选项正确；对于B ：由图象得'0f x有3个不同的解，有3个极值点，故B 正确；对于C ：当2x π=或2x π=-时，()0f x =，所以函数()f x 有2个零点，故C 不正确；对于D ：因为()()()()22+cos +cos 44x x f x x x f x ππππ--=--=-=，所以函数()f x 是偶函数，所以函数()f x 关于y 轴对称，若()()12f x f x =，则当120x x =≠时，()()2014f f x π==-，此时即122+0x x x =≠，故D 不正确. 故选：AB.17．（2022·湖南·永州市第一中学高三开学考试）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意R x ∈，有()()11f x f x +=--，当[]0,1x ∈时，()22f x x x =+-，则（）A ．()f x 是以4为周期的周期函数B ．()()202120222f f +=-C ．函数()()2log 1y f x x =-+有3个零点D ．当[]3,4x ∈时，()2918f x x x =-+【答案】ACD【解析】依题意，()f x 为偶函数，且()()11f x f x +=--⇒()f x 关于()1,0对称，则()()()()()413132f x f x f x f x +=++=--+=---()()()()()()()()221111f x f x f x f x f x f x =--+=-+=-++=-+=-=，所以()f x 是周期为4的周期函数，A 正确.因为()f x 的周期为4，则()()202110f f ==，()()()2022202f f f ==-=，所以()()202120222f f +=，B 错误；作函数()2log 1y x =+和()y f x =的图象如下图所示，由图可知，两个函数图象有3个交点，C 正确；当[]3,4x ∈时，[]40,1x -∈，则()()()()()224442918f x f x f x x x x x =-=-=-+--=-+，D 正确.故选：ACD18．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）已知11(,)A x y ，22(,)B x y 是圆O ：221x y +=上两点，则下列结论正确的是（）A ．若1AB =，则3AOB π∠=B ．若点O 到直线AB 的距离为12，则AB =C ．若2AOB π∠=，则112211x y x y +-++-的最大值为D ．若2AOB π∠=，则112211x y x y +-++-的最大值为4【答案】AD【解析】对于A ，若1AB =，则可知点O 到AB 3AOB π∠=，故A 正确；对于B ，若点O 到直线AB 的距离为12，则可知2AB ，从而得AB ，故B 错误；对于C ，D 的值可转化为单位圆上的()()1122,,,A x y B x y 两点到直线10x y +-=的距离之和，又AOB 90∠=，所以三角形AOB 是等腰直角三角形，设M 是AB 的中点，则OM AB ⊥，且OM OA ==M 在以O ,A B 两点到直线10x y +-=的距离之和为AB 的中点M 到直线10x y +-=的距离的两倍.点()0,0O 到直线10x y +-=所以点M 到直线10x y +-==因此112211x y x y +-++-的最大值为4.从而可知C 错误，D正确.. 故选：AD.19．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()'f x ，当0x ≥时，()'sin 20f x x +<.则（）A ．函数()()2cos g x f x x =-的图象关于y 轴对称 B ．函数()()2cos g x f x x =-在区间[)0,∞+上单调递减C ．不等式()cos 22f x f x x π⎛⎫-+< ⎪⎝⎭的解集为,4π⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．不等式()cos 22f x f x x π⎛⎫-+< ⎪⎝⎭的解集为,4π⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】ABC【解析】对于选项A ，由()()()()22cos cos g x f x x f x x -=---=-，所以()g x 为偶函数，所以函数()()2cos g x f x x =-的图象关于y 轴对称.故A 正确；对于选项B ，由()()2cos g x f x x =-为偶函数.当0x 时，()()sin20g x f x x =+'<'，所以()g x 在[)0,∞+上单调递减，故()g x 在(],0-∞上单调递增.故B 正确；对于C 、D 选项，由()cos22f x f x x π⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，得()22cos sin 2f x f x x x π⎛⎫-+<- ⎪⎝⎭，所以()22sin cos 2f x x f x x π⎛⎫+->- ⎪⎝⎭，即()22cos cos 22f x x f x x ππ⎛⎫⎛⎫+-+>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2g x g x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭.所以2x x π+<，解得4x π<-.所以C 正确，D 错误，故选：ABC .20．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）已知椭圆C ：2212x y a +=（2a >）过点P （1，1）的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且满足AP PB λ=.动点Q 满足AQ QB λ=-，则下列结论正确的是（） A ．3a =B ．动点Q 的轨迹方程为2360x y +-=C ．线段OQ （OD ．线段OQ （O【答案】ABD【解析】对于A ：由椭圆22:1(2)2x y C a a +=>=3a =，故A 正确；对于B ：设()()()()()11221122,,,,,,1,1,1,1,A x y B x y Q m n AP x y PB x y ∴=--=--1122(,),(,)AQ m x n y QB x m y n =--=--，由,AP PB AQ QB λλ==-，得()()()121212121,11,1,,x x x x x x m m x x m λλλλλλ⎧+=+-=-⎧⎪∴⎨⎨-=--=--⎪⎩⎩两式相乘得()2222121x x m λλ-=-，同理可得()()22222222221122121,1323232x y x y m n y y n λλλλ⎛⎫⎛⎫-=-∴+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题意知0λ>且1λ≠，否则与AQ QB λ=-矛盾，1,32m n ∴+=∴动点Q 的轨迹方程为132yx +=，即直线2360x y +-=，故B 正确；对于C 、D ：所以线段OQ 长度的最小值即为原点到直线的距离，OQ ∴min == 故C 错误，D 正确. 故选：ABD.21．（2022·湖北·宜都二中高三开学考试）已知函数()f x 满足x R ∀∈，有()(6)f x f x =-，且(2)(2)f x f x +=-，当[1,1]x ∈-时，)()ln f x x =，则下列说法正确的是（）A ．(2021)0f =B ．(2020,2022)x ∈时，()f x 单调递增C ．()f x 关于点(1010,0)对称D ．(1,11)x ∈-时，方程()sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭的所有根的和为30 【答案】CD【解析】由题设知：()))()f x x x f x -===-=-，故()f x 在[1,1]x ∈-上为奇函数且单调递减，又(2)(4)(2)f x f x f x +=-=-，即关于21x k =+、(2,0)k ，k Z ∈对称，且最小周期为4，A ：(2021)(50541)(1)1)0f f f =⨯+==≠，错误；B ：(2020,2022)x ∈等价于(0,2)x ∈，由上易知：(0,1)上递减，(1,2)上递增，故()f x 不单调，错误；C ：由上知：()f x 关于(2,0)k 对称且k Z ∈，所以()f x 关于(1010,0)对称，正确；D ：由题意，只需确定()f x 与sin 2xy π=在(1,11)x ∈-的交点，判断交点横坐标的对称情况即可求和，如下图示，∴共有6个交点且关于5x =对称，则16253410x x x x x x +=+=+=， ∴所有根的和为30，正确. 故选：CD22．（2022·湖北·宜都二中高三开学考试）已知函数()21e e x xf x k+=+.则（） A ．当0k =时，()f x 是R 上的减函数 B ．当1k =时，()f x 的最大值为122C ．()f x 可能有两个极值点D ．若存在实数a ，b ，使得()()g x f x a b =++为奇函数，则1k =- 【答案】ABD【解析】A ：当0k =时，()2e1e x xf x +=，则()2222e 0e x x xx e e f x --+'==-<，所以()f x 是R 上的减函数，故A正确；B ：当1k =时，()21e e 1x x f x +=+，令e 0x t =>，则()()()2211112121212121y t t t t t t t ++=====++-+++-++，当且仅当1t =时，取得最大值，所以()f x 122，故B 正确；C ：()()()222e 2ex x x xe e kf x k -'=++-，令()()()2220e 2ex xx x e e f k k x -'=++=-，即220x x e e k +-=，所以22x x e e k +=，令()22x x h x e e =+，则()2220x xh x e e '=+>，所以()h x 在R 上单调递增，而x →-∞时，()0h x →，x →+∞时，()h x →+∞，所以()0,k ∈+∞时，220x x e e k +-=有一个根，故()f x 有1个极值点，(],0k ∈-∞时，220x x e e k +-=无解，故()f x 无极值点，故()f x 不可能有2个极值点，故C 错误；D ：若1k =-，则()21e e 111e x x x f x +==--，取10,2a b ==，则()11,012e xg x x =+≠-，()()0g x g x -+=，为奇函数，当1k ≠-时，由C 结合函数的图象、单调性可得不存在实数a ，b ，使得()()g x f x a b =++为奇函数，故D 正确. 故选：ABD.23．（2022·湖北·高三开学考试）已知双曲线22:124y C x -=的左、右焦点分别是1F ，2F ，点P 是双曲线C 右支上的一点，且12PF PF ⊥，则下列结论正确的是（）A ．双曲线C 的渐近线方程为y =±B ．12PF F 内切圆的半径为2C ．1212PF PF +=D ．点P 到x 轴的距离为245【答案】ABD【解析】由双曲线C 的方程22124y x -=，得1a =，b =5c=，所以双曲线C 的渐近线方程为y =±，A 正确；因为12PF PF ⊥，122PF PF -=，12210F F c ==，所以2212122100PF PF F F +==，22212121212224PF PF PF PF F F PF PF +-=-=，解得1248PF PF =，故1214PF PF +=，C 错误；12PF F △内切圆的半径为121222PF PF F F +-=， B 正确；设点P 到x 轴的距离为d ，由12PF F △的面积为12242PF PF =，可得12242F F d =，解得245d =. 故选：ABD ．24．（2022·湖北·高三开学考试）已知函数()()()()f x x a x b x c =---的三个零点a ，b ，c 满足a b c <<，9,24a b c ab bc ca ++=⎧⎨++=⎩则（） A ．01a <，得2x <或4x >，令()'0f x <，得24x <<，所以()f x 的极小值在4x =处取得，极大值在2x =处取得，即()f x 的极小值为()416f abc =-，()f x 的极大值为()220f abc =-，又因为()()()()1164,5202f abc f f abc f =-==-=，而函数()y f x =的三个零点分别为a ，b ，c ，且a b c <<，所以12a <<，24b <<，45c <<，故A 错误，B 、C 正确；由题中条件可知9b c a +=-，()()224249924bc a b c a a a a =-+=--=-+，因此()()()44416b c bc b c --=-++()29244916a a a =-+--+254a a =-+，因为函数254y x x =-+在()1,2上单调递减，所以当()1,2a ∈时，22954252424a a -+>-⨯+=->-，所以D 错误．故选：BC25．（2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习）已知圆台的上下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为(02)r r <<，设圆台的体积为V ，则下列选项中说法正确的是（）A ．当1r =时，V =B ．V 存在最大值C ．当r 在区间()0,2内变化时，V 逐渐减小D ．当r 在区间()0,2内变化时，V 先增大后减小【答案】ABD【解析】设圆台的上底面的圆心为1O ，下底面的圆心为O ，点A 为上底面圆周上任意一点，圆台的高为h ，球的半径为R ，则1h OO ===()((22114242)333V S S h r r r r πππ===++<<'，对选项(A :1,124,A 3r V π==++=正确； 323V π='，设()323448f r r r r =--++，则()2984f r r r '=--+，设()0f r '=可得29840r r +-=1r =，2r =知()20,2r ∈，且当()()20,,0r r f r ∈'>；(2,r r ∈2)，()()0,f r f r '<在()20,r 单调递增，在()2,2r 单调递减，由()()()08,15,224f f f ===-，()01,2r ∃∈，使得()00f r =，当()()00,,0r r f r ∈>，即0;V '>当()()0,2,0r r f r ∈<，即0V '<，所以V 在()00,r 单调递增，在()0,2r 单调递减，则B ，D 正确，C 错误，故选：ABD .26．（2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 且斜率大于0的直线交抛物线C 于,A B 两点（其中A 在B 的上方），O 为坐标原点，过线段AB 的中点M 且与x 轴平行的直线依次交直线,,OA OB l 于点,,P Q N .则（）A ．若2AF FB =，则直线AB 的斜率为B ．PM NQ =C ．若,P Q 是线段MN 的三等分点，则直线AB 的斜率为D ．若,P Q 不是线段MN 的三等分点，则一定有PQ OQ > 【答案】ABC 【解析】抛物线焦点为()1,0F ，设直线AB 方程为()1y k x =-，0k >，()()1122,,,A x y B x y ，由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩得()2222240k x k x k -++=，由韦达定理可知，212224k x x k ++=，121=x x ，因为2AF FB =，则可得2AF FB =, 且()111,AF x y =--，()221,FB x y =-，所以12122x x -=-，即21230x x +-=，且121=x x ，12x x > 解得12212x x =⎧⎪⎨=⎪⎩，得1225422x x k+==+，所以k =±0k >所以k =A 正确, 又因为122212M x x x k+==+，()21M M y k x k =-=，故直线MN 方程为2y x=，又因为,,O P A 共线，所以11P P x y x y =，21111111222P P x y x y y x y ky ky k====，同理可得22Q y x k=， 12222M P Q y y y x x k k k ++===，222211M N P Q x x x x k k+=+-==+，所以，M P Q N x x x x -=-,即PM NQ =，故B 正确. 若,P Q 是线段MN 的三等分点，则13PQ MN =, 12221212112233y y k k k -⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()212413k y y k+-=，又1242M y y y k+==，， ()()()22121212121114y y k x x k x x x x =--=--+=-，12y y ∴-==()2413k k +，解得k =()0k >，故C 正确.由()2222240k x k x k -++=，得1,2x =，即2x =()221y k x =-=，22Q y x k ==2Q M y y k ==，所以OQ =122y y PQ k -==所以()222245241k k OQ PQ k+-+-=()413k =，当k >OQ PQ >,故D 错误. 故选:ABC.27．（2022·湖北·高三阶段练习）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方体的中心，M 为1DD 的中点，F 为侧面正方形11AA D D 内一动点，且满足1//B F 平面1BC M ，则（）A ．若P 为正方体表面上一点，则满足OPA 12个B ．动点F 的轨迹是一条线段C ．三棱锥1F BC M -的体积是随点F 的运动而变化的D ．若过A ，M ，1C 三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段1A Q 长度的取值范围为⎣【答案】BD【解析】对于A ：设O '为底面正方形ABCD 的中心，连接AO ，AO '，OO '，则12AO AC '==1112OO AA '==，所以OO A '的面积为11122AO OO ''⋅==所以在底面ABCD 上点P 与点O '必重合，同理正方形11ABB A 的中心，正方形11ADD A 的中心都满足题意.又当点P 为正方体各条棱的中点时也满足OPA A 不正确；对于B ：如图∴，分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ．因为11B H C M ∥，1GH BC ∥，1B H ⊂平面BHG ，1C M ⊂平面1BC M ，GH ⊂平面BHG ，1C B ⊂面1BC M ，111BC C M C ⋂=，所以平面1B GH ∥平面1BC M ，而1B F ∥平面1BC M ，所以1B F ⊂平面1B GH ，所以点F 的轨迹为线段GH ，故B 正确；对于C ：由选项B 可知，点F 的轨迹为线段GH ，因为GH ∥平面1BC M ，则点F 到平面1BC M 的距离为定值，同时1BC M 的面积也为定值，则三棱锥1F BC M -的体积为定值，故C 不正确；对于D ：如图∴，设平面Ω与平面11AA B B 交于AN ，N 在1BB 上．因为截面Ω⋂平面11AA D D AM =，平面11AA D D ∥平面11BB C C ，所以1AM C N ∥．同理可证1AN C M ∥，所以截面1AMC N 为平行四边形，所以点N 为1BB 的中点．在四棱锥11A AMC N -中，侧棱11A C 最长，且11AC = 设棱锥11A AMC N -的高为h ，因为1AM C M ==1AMC N 为菱形，所以1AMC 的边1AC 1AC =则112AMC S =⨯△1111111142223323C AA M AA M V S D C -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，所以111111433A AMC AMC C AA M V S h V --=⋅===△，解得h ．综上，可知1A Q 长度的取值范围是⎣，故D 正确．故选：BD ．28．（2022·湖北·高三阶段练习）[多选题]已知抛物线212x y =的焦点为F ，()11,M x y ，()22,N x y 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（） A ．点F 的坐标为1,08⎛⎫⎪⎝⎭B ．若直线MN 过点F ，则12116x x =-C ．若MF NF λ=，则MN 的最小值为12D ．若32MF NF +=，则线段MN 的中点P 到x 轴的距离为58【答案】BCD【解析】易知点F 的坐标为10,8⎛⎫⎪⎝⎭，选项A 错误；根据抛物线的性质知，MN 过焦点F 时，212116x x p =-=-，选项B 正确；若MF NF λ=，则MN 过点F ，则MN 的最小值即抛物线通径的长，为2p ，即12，选项C 正确，抛物线212x y =的焦点为10,8⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为18y =-，过点M ，N ，P 分别作准线的垂线MM '，NN '，PP '垂足分别为M '，N '，P '，所以MM MF '=，NN NF =．所以32MM NN MF NF '+=+='，所以线段324MM NN PP +''=='，所以线段MN 的中点P 到x 轴的距离为13158488PP '-=-=，选项D 正确．故选：BCD29．（2022·湖北·高三阶段练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，点A 在椭圆上，直线22:0l bx ay a b +--=，则（）A ．直线l 与蒙日圆相切B ．C 的蒙日圆的方程为2222x y a +=C ．记点A 到直线l 的距离为d ，则2d AF -的最小值为(3bD ．若矩形MNGH 的四条边均与C 相切，则矩形MNGH 的面积的最大值为28b 【答案】AC【解析】当两切线分别与两坐标轴垂直时，两切线的方程分别为x a =±、y b =±，所以，点(),a b ±±在蒙日圆上，故蒙日圆的方程为2222x y a b +=+，因为c e a ==，可得222a b =.对于A 选项，蒙日圆圆心到直线l 的距离为22d ==所以，直线l 与蒙日圆相切，A 对；对于B 选项，C 的蒙日圆的方程为2222232x a b y a ==++，B 错；对于C 选项，由椭圆的定义可得122AF AF a +==，则21AF AF =-，所以，21d F d AF A =--+，因为c b =，直线l 的方程为30x b -=，点()1,0F b -到直线l 的距离为d '==，所以，(213d A b d AF d F '=+-=-≥-，当且仅当1AF l ⊥时，等号成立，C 对；对于D 选项，若矩形MNGH 的四条边均与C 相切，则矩形MNGH 的四个顶点都在蒙日圆上，所以，()222212MN MH b +==，所以，矩形MNGH 的面积为22262MN MHS MN MH b +=⋅≤=，D 错.故选：AC.30．（2022·湖北武汉·高三开学考试）设函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在[0，2π]有且仅有5个零点，则（）A ．()f x 在（0，2π）有且仅有3个极大值点B ．()f x 在（0，2π）有且仅有2个极小值点C ．()f x 在（0，10π）单调递增 D ．ω的取值范围是[73，176）【答案】AD【解析】0>ω，02x π≤≤时，2333x πππωωπ≤+≤+，()f x 在[0，2π]有且仅有5个零点，则5263ππωππ≤+<，71736ω≤<，D 正确；此时32x ππω+=，52π，92π时，()f x 取得极大值，A 正确； 11232ππωπ+≥，3112ω≥，即3117126ω≤<时，3711,,3222x ππππω+=时，()f x 均取得极小值，B 错；(0,)10x π∈时，(,)33103x ππωππω+∈+，73ω≥，则17103302ωππππ+≥>，因此()f x 在(0,)10π上不递增，C 错．故选：AD ．31．（2022·湖北武汉·高三开学考试）已知数列{}n a 满足：11a =，(()11322n n a a n -=≥，下列说法正确的是（）A ．N n *∀∈，12,,n n n a a a ++成等差数列B ．()1132n n n a a a n +-=-≥C ．()11*23N n n n a n --≤≤∈D ．*N n ∀∈，12,,n n n a a a ++一定不成等比数列【答案】BCD【解析】因为(()11322n n a a n -=≥，所以)1232n n a a n --≥，且0na >，所以()22111032n n n n a a a a n --+--=≥∴，所以2211103n n n n a a a a +++--=∴所以，∴-∴整理得：()()()1111023n n n n n a a a a a n +-+--+=≥-因为(()111022n n n a a a n --=>≥-，所以数列{}n a 为单调递增数列，所以()11230n n n a a a n +-+-=≥，即()1132n n n a a a n +-=-≥，故B 选项正确；对于A 选项，若N n *∀∈，12,,n n n a a a ++成等差数列，则123,,a a a 成等差数列，由递推关系得2131,3,8a a a ===，显然不满足等差数列，故A 选项错误；对于C 选项，因为0n a >，数列{}n a 为单调递增数列，所以()123332n n n n n n a a a a a a n -=-≤-≤≥，即()1232n n n a a a n +≤≤≥，所以()1322n n a n a +≤≤≥，因为213aa =，所以，()*12N 3n na n a +≤≤∈所以，从第2项起，数列{}n a 介于以1为首项，公比分别为2和3为公比的等比数列对应项之间，所以()11*23N n n n a n --≤≤∈，故C 选项正确；对于D 选项，假设*N n ∀∈，12,,n n n a a a ++成等比数列，则123,,a a a 成等比数列，由递推关系得2131,3,8a a a ===，显然不满足等比数列定义，故D 正确；. 故选：BCD32．（2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试）如图，ABCD 是边长为5的正方形，半圆面APD ∴平面ABCD ．点P 为半圆弧AD 上一动点（点P 与点A ，D 不重合）．下列说法正确的是（）A ．三棱锥P －ABD 的四个面都是直角三角形B ．三棱锥P 一ABD 体积的最大值为1254C ．异面直线P A 与BC 的距离为定值D ．当直线PB 与平面ABCD 所成角最大时，平面P AB 截四棱锥P －ABCD 外接球的截面面积为(2534π【答案】AC【解析】对于A 选项，因为底面ABCD 为边长是4的正方形，则AB AD ⊥，又半圆APD ⊥平面ABCD ，半圆APD 平面ABCD AD =，AB 平面ABCD ，则AB ⊥半圆APD ，又AP ⊂平面APD ，故AB AP ⊥，则APB △为直角三角形，所以222PB AP AB =+，因为AD 是圆的直径，则90APD ∠=︒，故APD △为直角三角形，所以222PD AD AP =-，因为AB AD ⊥，则ADB △是直角三角形，所以222BD AD AB =+，在PDB △中，222222222()()PB PD AP AB AD AP AD AB BD +=++-=+=，则90BPD ∠=︒，所以BPD △为直角三角形，故三棱锥P ABD -的每个侧面三角形都是直角三角形，故选项A 正确；对于B 选项，在三棱锥P ABD -中，AB ⊥半圆面APD ，则AB 是三棱锥P ABD -的高，当点P 是半圆弧AD 的中点时，三棱锥P ABD -的底面积PADS 取得最大值，三棱锥P ABD -的体积取得最大值为1151255532212⨯⨯⨯⨯=，故选项B 错误；因为半圆面APD ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，半圆面APD 平面ABCD AD =，所以AB ⊥半圆面APD ，又PA ⊂半圆面APD ，所以AB PA ⊥，又AB BC ⊥，所以AB 为异面直线PA 与BC 的距离，所以异面直线PA 与BC 的距离为定值；故C 正确；对于D 选项，取BD 的中点O ，由选项A 中的解析可得，12OA OB OP OD BD ====，所以点O 为四棱锥P ABCD -外接球的球心，过点P 作PH AD ⊥于点H ，连接BH ，如图所示，因为半圆面APD ⊥平面ABCD ，半圆面APD 平面ABCD AD =，故PH ⊥平面ABCD ，所以BH 为PB 在平面ABCD 内的射影，则PBH ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角，设AH x =，则05x <<，5DH x =-，在Rt APD ∆中，2(4)PH AH DH x x =⋅=-，25(5)PD DH AD x =⋅=-，。

高考数学拔尖必刷压轴题(选择题、填空题)专题1函数单调性(新高考地区专用)含解析

1单调性的压轴练习【巩固训练】1. 已知函数log ,01()(41)2,1a x x f x a x a x <<⎧=⎨-+≥⎩满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围是（）A ．106⎛⎫ ⎪⎝⎭， B ．106⎛⎤ ⎥⎝⎦， C ．104⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．()1+∞， 2.已知函数2(),(0,)x e f x ax x x =-∈+∞，当21x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．2,12e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．2 ,12e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦3.若对∀x 1，x 2∈(m ，＋∞)，且x 1<x 2，都有x 1ln x 2－x 2ln x 1x 2－x 1<1，则m 的最小值是( ) 注：(e 为自然对数的底数，即e ＝2.718 28…)A.1e B ．e C ．1 D.3e4.已知函数()sin f x x a x =-，对任意的1x ，()2,x ∈-∞+∞，且12x x ≠，不等式()()1212f x f x a x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．12a D ．12a ≥25.已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且(1)1f -=-，当[],1,1a b ∈-，且0a b +≠时，()(()())0a b f a f b ++>成立，若()221f x m tm <-+对任意的[]1,1t ∈-恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．{}(,2)0(2,)-∞-+∞ B ．(,2)(2,)-∞-+∞C ．(22)-，D ．(20)(02)-，，6.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()20f -=，若对任意两个不相等的正数12,x x 都有()()2112120x f x x f x x x -<-，则不等式()0f x x<的解集为______.7.已知21()2f x alnx x x =++，若对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有122212()()1f x f x x x -<-恒成立，则a 的取值范围是．3【答案与提示】1. 【答案】B【解析】因为函数对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，所以函数在定义域内单调递减，所以()01141006log 14112aa a a a a⎧<<⎪-<∴<≤⎨⎪≥-⋅+⎩，.故选B. 2. 【答案】A【分析】令()()g x xf x =，由()()12210f x f x x x -<可知()g x 在()0,∞+上单调递增，从而可得()230x g x e ax '=-≥在()0,∞+上恒成立；通过分离变量可得23x ea x≤，令()()20x e h x x x =>，利用导数可求得()()2min 24e h x h ==，从而可得234e a ≤，解不等式求得结果. 【解析】由()()12210f x f x x x -<且210x x >>得：()()1122x f x x f x <令()()3xg x xf x e ax ==-，可知()g x 在()0,∞+上单调递增()230x g x e ax '∴=-≥在()0,∞+上恒成立，即：23xea x≤令()()20xe h x x x =>，则()()32x e x h x x-'= ()0,2x ∴∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；()2,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增 ()()2min24e h x h ∴== 234e a ∴≤，解得：2,12e a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦本题正确选项：A 点评：本题考查根据函数的单调性求解参数范围的问题，关键是能够将已知关系式变形为符合4单调性的形式，从而通过构造函数将问题转化为导数大于等于零恒成立的问题；解决恒成立问题常用的方法为分离变量，将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系比较的问题，属于常考题型. 3.【答案】 C【解析】由题意，当0≤m <x 1<x 2时，由x 1ln x 2－x 2ln x 1x 2－x 1<1，等价于x 1ln x 2－x 2ln x 1<x 2－x 1，即x 1ln x 2＋x 1<x 2ln x 1＋x 2，故x 1(ln x 2＋1)<x 2(ln x 1＋1)，故ln x 2＋1x 2<ln x 1＋1x 1，令f (x )＝ln x ＋1x ，则f (x 2)<f (x 1)，又∵x 2>x 1>m ≥0，故f (x )在(m ，＋∞)上单调递减，又由f ′(x )＝－ln xx 2，令f ′(x )<0，解得x >1，故f (x )在(1，＋∞)上单调递减，故m ≥1. 4. 【答案】B【解析】因为12x x ≠，不妨设12x x >，则()()1212f x f x a x x ->-可化为()()1212)(f x f x a x x ->-，即()()1122f x ax f x ax ->-设()()F x f x ax =-则()()1212f x f x a x x ->-恒成立，即()()1122f x ax f x ax ->-对任意的1x ，()2,x ∈-∞+∞且12x x >时恒成立，即12()()F x F x >对任意的1x ，()2,x ∈-∞+∞且12x x >时恒成立所以()()F x f x ax =-在R 上单增故()()sin 1cos 0F x x a x ax a x a ''=--=--≥在R 上恒成立所以11cos a x≤+，故min 111cos 2a x ⎛⎫≤= ⎪+⎝⎭ 所以实数a 的取值范围是12a ≤，选B ．55. 【答案】B【解析】令12,a x b x ==-，则[]12,1,1x x ∈-，1212()(()())0x x f x f x -->成立，则()f x 为单调增函数，若()221f x m tm <-+对任意的[]1,1t ∈-恒成立，则()2max 21f x m tm <-+，即()2121f m tm <-+，即[]1,1t ∀∈-都有220m tm ->，令2()20g t m tm =->，则min ()0g t >，∴(1)0(1)0g g >⎧⎨->⎩，∴(,2)(2,)m ∈-∞-+∞，故选B 6.【答案】()(),22,-∞-+∞【解析】构造函数()()=f xg x x,则因为()f x 是定义在R 上的奇函数,故()g x 为定义域是{}|0x x ≠ 的偶函数,又对任意两个不相等的正数12,x x都有()()2112120x f x x f x x x -<-,即()()()()121212121200f x f xg x g x x x x x x x --<⇒<--,故()g x 在()0,∞+上为减函数.又()20f -=,故()2(2)02f g --==-. 综上, ()g x 为偶函数,且在(),0-∞上单调递增,在()0,∞+上单调递减. 且()()220g g -==.故()0f x x<即()()2g x g <. 根据函数性质解得()(),22,x ∈-∞-⋃+∞，故答案为：()(),22,-∞-+∞.7.【答案】(-∞，1]4-【解析】设12x x >，则221212()()f x f x x x -<-，221122()()f x x f x x ∴-<-，令221()()2g x f x x alnx x x =-=-+，12()()g x g x ∴<，6()g x ∴在(0,)+∞上单调递减，()10ag x x x∴'=-+， 2211()24a x x x ∴-=--，14x ∴=时，21()4min x x -=-，14a ∴-．a ∴的取值范围是(-∞，1]4-．故答案为：(-∞，1]4-．。

2023年新高考数学选填压轴题汇编(八)(解析版)

2023年新高考数学选填压轴题汇编(八)一、单选题1.(2022·湖南·永兴县童星学校高三阶段练习)已知a =65ln1.2，b =0.2e 0.2，c =13，则( )A.a 1e时，f x >0，所以函数f x 在0,1e 上递减，在1e,+∞ 上递增，令g x =e x -x -1，则g x =e x-1，当x <0时，g x <0，当x >0时，g x >0，所以函数g x 在-∞,0 上递减，在0,+∞ 上递增，所以g 0.2 >g 0 =0，即e 0.2>1+0.2=1.2>1e，所以f e 0.2 >f 1.2 ，即e 0.2ln e 0.2>1.2ln1.2，所以b >a ，由b =0.2e 0.2，得ln b =ln 0.2e 0.2 =15+ln 15，由c =13，得ln c =ln 13，ln c -ln b =ln 13-ln 15-15=ln 53-15，因为53 5=625×5243>10>e ，所以53>e 15，所以ln 53>15，所以ln c -ln b >0，即ln c >ln b ，所以c >b ，综上所述a <b <c .故选：A .2.(2022·湖南·永兴县童星学校高三阶段练习)已知函数f x =x ,x <0,13x 3-12a +1 x 2+ax ,x ≥0,若方程f x=ax -148恰有3个不同的实根，则实数a 的取值范围为( )A.-∞,2 B.-12,1 C.-12,2 D.12,1 【答案】B【解析】由题，当x <0时，令g x =f x -ax +148=x -ax +148=1-a x +148，根据一次函数性质可得1-a >0⇒a <1，此时有一个根，1-a <0⇒a >1，此时无根；当x ≥0时，令g x =13x 3-12a +1 x 2+ax -ax +148=13x 3-12a +1 x 2+148，求导g x =x 2-a +1 x =x x -a +1 ，令g x =0⇒x 1=0或x 2=a +1，当a +1≤0时，g x 在0，+∞ 上单调递增，故无零点，不满足题意；当a +1>0时，g x 在0,a +1 单调递减，在a +1,+∞ 单调递增，由题，函数f x 恰有3个零点，则说明在当x <0时，有1个零点，在x ≥0时有两个零点，故可知a <1且g a +1 <0，所以g a +1 =13a +1 3-12a +1 a +1 2+148=-16a +1 3+148<0，解得a >-12；综上可得-12<a <1故选：B3.(2022·湖北·荆州中学高三阶段练习)已知tan α,tan β是方程ax 2+bx +c =0a ≠0 的两根，有以下四个命题：甲：tan α+β =-12；乙：tan αtan β=7:3；丙：sin α+β cos α-β =54；丁：tan αtan βtan α+β -tan α+β =5:3.如果其中只有一个假命题，则该命题是( )A.甲 B.乙C.丙D.丁【答案】B【解析】因为tan α,tan β是方程ax 2+bx +c =0a ≠0 的两根，所以tan α+tan β=-ba,tan α⋅tan β=c a，则甲：tan α+β =tan α+tan β1-tan α⋅tan β=-b a1-c a=b c -a =-12；丙：sin α+β cos α-β =sin αcos β+cos αsin βcos αcos β+sin αsin β=tan α+tan β1+tan αtan β=-b a1+ca=-b c +a =54.若乙､丁都是真命题，则tan α+tan β=-53,tan α⋅tan β=73，所以tan α+β =tan α+tan β1-tan α⋅tan β=-b a 1-c a =-531-73=54，sin α+β cos α-β =sin αcos β+cos αsin βcos αcos β+sin αsin β=tan α+tan β1+tan αtan β=-b a 1+c a =-531+73=-12，两个假命题，与题意不符，所以乙､丁一真一假，假设丁是假命题，由丙和甲得a -c =2b ,-5a +c =4b ，所以2a -c =-5a +c ，即7a +3c =0，所以c :a =-7:3，与乙不符，假设不成立；假设乙是假命题，由丙和甲得7a +3c =0，又a -c =2b ，所以3b =5a ，即b :a =5:3与丙相符，假设成立；故假命题是乙，故选：B ．4.(2022·湖北·荆州中学高三阶段练习)已知函数f x =ax ln x -x 2+3-a x +1a ∈R ，若f x 存在两个试卷第2页，共42页极值点x1，x2x1<x2，当x2x1取得最小值时，实数a的值为( )A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】由题意可知，f (x)=a ln x-2x+3有两个变号零点，即f (x)=0有两个不同的正根x1，x2x1<x2，不妨令g(x)=f (x)，则g (x)=ax-2，当a≤0时，g (x)=ax-2<0，故f (x)=a ln x-2x+3在(0,+∞)上单调递减，此时f (x)最多只有一个零点，不合题意；当a>0时，g (x)>0⇒0<x<a2；g (x)<0⇒x>a2，故f (x)在0,a 2上单调递增，在a2,+∞单调递减，因为f e-3a=a ln e-3a-2e-3a+3=--2e-3a<0，f (1)=1>0，且由对数函数性质可知，当x足够大时，f (x)=a ln x-2x+3<0，所以由零点存在基本定理可知，0<x1<1<x2，因为a ln x1-2x1+3=0，a ln x2-2x2+3=0，所以a=2x1-3ln x1=2x2-3ln x2=2(x1-x2)ln x1x2=2x1x2x1-1ln x2x1，不妨令t=x2x1，由x2>x1>0⇒t>1，从而2x1-32x1ln x1=x2x1-1ln x2x1=t-1ln t=h(t)，因为h (t)=ln t+1t-1ln2t，令y=ln t+1t-1，则y =1t-1t2=t-1t2>0，从而y=ln t+1t-1在(1,+∞)单调递增，且y|t=1=0，故对于∀t>1，h (t)>0，即h(t)在(1,+∞)单调递增，从而当t=x2x1取得最小值是，h(t)也取得最小值，即2x1-32x1ln x1取得最小值，不妨令F(x)=2x-32x ln x，x∈(0,1)，则F (x)=3ln x-2x+32x2ln2x，令φ(x)=3ln x-2x+3，则φ (x)=3-2xx>0对于x∈(0,1)恒成立，故φ(x)=3ln x-2x+3在(0,1)上单调递增，因为φ(1)=1>0，φ1e =-2e<0，所以存在唯一的x0∈1e,1，使得φ(x0)=3ln x0-2x0+3=0⇔2x0-3ln x0=3，故F (x)<0⇒0<x<x0；F (x)>0⇒x>x0，从而F(x)=2x-32x ln x在(0,x0)上单调递减，在(x0,+∞)单调递增，故F (x )min =F (x 0)=2x 1-32x 1ln x 1min，此时h (t )也取得最小值，即x 0=x 1，故a =2x 0-3ln x 0=2x 1-3ln x 1=3.故选：D .5.(2022·山东·乳山市银滩高级中学高三阶段练习)已知f (x +2)是偶函数，f (x )在-∞,2 上单调递减，f (0)=0，则f (2-3x )>0的解集是( )A.-∞,23 ∪2,+∞ B.23,2C.-23,23D.-∞,-23 ∪23,+∞ 【答案】D【解析】根据题意，f (x +2)是偶函数，则函数f (x )的图象关于直线x =2对称，又由f (x )在-∞,2 上单调递减，则f (x )在2,+∞ 上递增，又由f (0)=0，则f (2-3x )>0⇒f (2-3x )>f (0)⇒|3x |>2，解可得：x <-23或x >23，即不等式的解集为-∞,-23 ∪23,+∞ ；故选：D ．6.(2022·山东·乳山市银滩高级中学高三阶段练习)已知a =log 52，b =log 83，c =12，则下列判断正确的是( )A.c <b <a B.b <a <c C.a <c <b D.a <b <c【答案】C【解析】a =log 52<log 55=12=log 822<log 83=b ，即a <c π0=1，sin π4<sin1<sin π3⇒22<c <32，则a <c <b .故选：D .8.(2022·山东·济南市天桥区黄河双语实验学校高三阶段练习)已知f x =2x x 2+1,x ≥0-1x ,x <0 ，若函数g x =f x -t 有三个不同的零点x 1，x 2，x 3x 1<x 2<x 3 ，则-1x 1+1x 2+1x 3的取值范围是( )A.3,+∞B.2,+∞C.52,+∞D.1,+∞【答案】A试卷第2页，共42页【解析】函数f x =2x x 2+1,x ≥0-1x ,x <0 的图象如图所示，函数g x =f x -t 有三个不同的零点x 1，x 2，x 3x 1<x 2<x 3 ，即方程f x =t 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，由图知t >0，当x >0时，f x =2x x 2+1=2x +1x，∵x +1x≥2x >0 ，∴f x ≤1，当且仅当x =1时取得最大值，当y =1时，x 1=-1，x 2=x 3=1，此时-1x 1+1x 2+1x 3=3，由2x +1x=t 0<t <1 ，可得x 2-2x t +1=0，∴x 2+x 3=2t，x 2x 3=1，∴1x 2+1x 3=2t >2，∴-1x 1+1x 2+1x 3=t +2t，∵0<t <1，∴-1x 1+1x 2+1x 3的取值范围是3,+∞ .故选：A .9.(2022·山东·高密三中高三阶段练习)设函数f (x )的定义域为R ，f (x +1)为奇函数，f (x +2)为偶函数，当x ∈[1,2]时，f (x )=a ⋅2x +b ．若f (0)+f (3)=6，则f log 296 的值是( )A.-12 B.-2C.2D.12【答案】B【解析】f (x +1)为奇函数，即其图象关于(0,0)点对称，所以f (x )的图象关于(1,0)点对称，f (x +2)为偶函数，即其图象关于y 轴对称，因此f (x )的图象关于直线x =2对称，所以f (1)=0，f (0)=-f (2)，f (3)=f (1)，所以f (1)=2a +b =0，f (0)+f (3)=-f (2)=-(4a +b )=6，由此解得a =-3，b =6，所以x ∈[1,2]时，f (x )=-3⋅2x +6，由对称性得f (x +2)=f (2-x )=-f (1-(1-x ))=-f (x )，所以f (x +4)=-f (x +2)=f (x )，f (x )是周期函数，周期为4，6<log 296<7，f (log 296)=f (log 296-4)=f (4-log 296+4)=f log 225696 =f log 283 =-3×83+6=-2，故选：B ．10.(2022·福建师大附中高三阶段练习)张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾在数学著作《算罔论》中得出结论：圆周率的平方除以十六约等于八分之五．已知在菱形ABCD 中，AB =BD =23，将△ABD 沿BD 进行翻折，使得AC =26．按张衡的结论，三棱锥A -BCD 外接球的表面积约为( )A.72 B.2410C.2810D.3210【答案】B【解析】如图1，取BD 的中点M ，连接AM ，CM ．由AB =AD =BD =23，可得△ABD 为正三角形，且AM =CM =23×32=3，所以cos ∠AMC =32+32-(26)22×3×3=-13，则sin ∠AMC =1--13 2=223，以M 为原点，MC 为x 轴，MD 为y 轴，过点M 且与平面BCD 垂直的直线为z 轴建立空间直角坐标系如图2，则C (3,0,0)， A (-1，0，22)．设O 为三棱锥A -BCD 的外接球球心，则O 在平面BCD 的投影必为△BCD 的外心，则设O (1，0，h )．由R 2=|OA |2=|OC |2可得22+02+(22-h )2=22+02+h 2，解得h =2，所以R 2=|OC |2=6．由张衡的结论，π216≈58，所以π≈10，则三棱锥A -BCD 的外接球表面积为4πR 2≈2410，故选：B ．11.(2022·福建省福州教育学院附属中学高三开学考试)若函数f x =kx -ln x 在区间1,+∞ 上单调递增，则实数k 的取值范围是A.-∞,-2 B.-∞,-1C.2,+∞D.1,+∞【答案】D 【解析】f x =k -1x，∵函数f x =kx -ln x 在区间1,+∞ 单调递增，∴f x ≥0在区间1,+∞ 上恒成立．∴k ≥1x ，而y =1x在区间1,+∞ 上单调递减，∴k ≥1∴k 的取值范围是1,+∞ ．故选D ．考点：利用导数研究函数的单调性.12.(2022·江苏·沭阳如东中学高三阶段练习)已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，P 为上底面圆的圆心，AB 为下底面圆的直径，E 为下底面圆周上一点，则三棱锥P -ABE 外接球的表面积为( )A.2516π B.254π C.52π D.5π【答案】B【解析】由题，由圆的性质，△ABE 为直角三角形，∠E =90°，如图所示，设外接球半径为R ，底面圆心为Q ，外接球球心为O ，由外接球的定义，OP =OA =OB =OE =R ，易得O 在线段PQ 上，又圆柱的轴截面是边长为2的正方形，所以底面圆半径AQ =BQ =1，∵PQ ⊥AQ ，则OA 2=OQ 2+AQ 2⇒R 2=2-R 2+12，解得R =54，试卷第2页，共42页∴外接球表面积为4πR 2=25π4.故选：B ．13.(2022·江苏·沭阳如东中学高三阶段练习)若a =sin1+tan1，b =2，c =ln4+12，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.c c ，令g x =sin x +tan x -2x ，x ∈0,π2 ，则g x =cos x +1cos 2x -2=cos 3x -2cos 2x +1cos 2x ，因为x ∈0,π2 ，所以cos x ∈0,1 ，令h x =x 3-2x 2+1，x ∈0,1 ，则h x =3x 2-4x =x 3x -4 <0，即h x 在0,1 上单调递减，所以h x >h 1 =0，所以g x >0，即g x 在0,π2上单调递增，所以g 1 >g 0 =0，即sin1+tan1-2>0，即sin1+tan1>2，即a >b ，综上可得a >b >c ；故选：A 14.(2022·江苏·常州市第一中学高三开学考试)已知a >0，且a ≠1，函数f (x )=5a x +3a x +1+ln (1+4x 2-2x )(-1≤x ≤1)，设函数f (x )的最大值为M ，最小值为N ，则( )A.M +N =8B.M +N =10C.M -N =8D.M -N =10【答案】A 【解析】f (x )=5a x +3a x+1+ln (1+4x 2-2x )(-1≤x ≤1)，令g (x )=ln (1+4x 2-2x )，x ∈[-1，1]，由g (-x )=ln (1+4x 2+2x )=ln11+4x 2-2x=-ln (1+4x 2-2x )=-g (x )，可知g (-x )=-g (x )，故g (x )函数的图象关于原点对称，设g (x )的最大值是a ，则g (x )的最小值是-a ，由5a x +3a x +1=5-2a x +1，令h (x )=-2a x +1，当0<a <1时，h (x )在[-1，1]递减，所以h (x )的最小值是h (-1)=-2a a +1，h (x )的最大值是h 1 =-2a +1，故h -1 +h 1 =-2，∴f (x )的最大值与最小值的和是10-2=8，当a >1时，h (x )在[-1，1]单调递增，所以h (x )的最大值是h (-1)=-2a a +1，h (x )的最小值是h 1 =-2a +1，故h -1 +h 1 =-2，故函数f (x )的最大值与最小值之和为8，综上：函数f (x )的最大值与最小值之和为8，故选：A ．15.(2022·江苏·泗洪县洪翔中学高三阶段练习)不等式ae ax >ln x 在(0,+∞)上恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.12e ,+∞B.1e ,+∞C.(1,+∞)D.(e ,+∞)【答案】B【解析】当a ≤0时，不等式ae ax >ln x 在(0,+∞)上恒成立不会成立，故a >0 ，当x ∈(0,1] 时，ln x ≤0 ，此时不等式ae ax >ln x 恒成立；不等式ae ax >ln x 在(1,+∞)上恒成立,即axe ax >x ln x 在(1,+∞)上恒成立,而axe ax >x ln x 即axe ax >ln x ⋅e ln x ，设g (x )=xe x ,g (x )=(x +1)e x ，当x >-1 时，g (x )=(x +1)e x >0，故g (x )=xe x ,(x >-1)是增函数，则axe ax >ln x ⋅e ln x 即g (ax )>g (ln x )，故ax >ln x ,a >ln xx，设h (x )=ln x x ,(x >1),h (x )=1-ln xx 2，当1<x <e 时，h (x )=1-ln xx 2>0， h (x )递增，当x >e 时，h (x )=1-ln xx 2<0， h (x )递减，故h (x )≤h (e )=1e ，则a >1e，综合以上，实数a 的取值范围是a >1e，故选：B 16.(2022·江苏·泗洪县洪翔中学高三阶段练习)已知四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为4的正方形，平面PAB ⊥平面ABCD ，且△PAB 为等边三角形，则该四棱锥的外接球的表面积为( )A.283π B.1123π C.32πD.2563π【答案】B【解析】如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，取侧面△PAB 和底面正方形ABCD 的外接圆的圆心分别为O 1,O 2，分别过O 1，O 2作两个平面的垂线交于点O ，则由外接球的性质知，点O 即为该球的球心，取线段AB 的中点E ，连O 1E ，O 2E ，O 2D ，OD ，则四边形O 1EO 2O 为矩形，在等边△PAB 中，可得PE =23，则O 1E =233，即OO 2=233，在正方形ABCD 中，因为AB =4，可得O 2D =22，在直角△OO 2D 中，可得OD 2=OO 22+O 2D 2，即R 2=OO 22+O 2D 2=283，所以四棱锥P -ABCD 外接球的表面积为S =4πR 2=112π3.故选：B .试卷第2页，共42页17.(2022·江苏·淮安市钦工中学高三阶段练习)已知定义在R 上的函数f x 的导函数f x ，且f x <f x<0，则( )A.ef 2 >f 1 ，f 2 >ef 1B.ef 2 >f 1 ，f 2 <ef 1C.ef 2 <f 1 ，f 2 <ef 1D.ef 2 <f 1 ，f 2 >ef 1【答案】D【解析】构造函数g (x )=f (x )e x ⇒g(x )=f (x )-f (x )ex，因为f x <f x ，所以g (x )>0，因此函数g (x )是增函数，于是有g (2)>g (1)⇒f (2)e2>f (1)e ⇒f (2)>ef (1)，构造函数h (x )=f (x )⋅e x ⇒h (x )=e x [f (x )+f (x )]，因为f x <f x <0，所以h (x )<0，因此h (x )是单调递减函数，于是有h (2)<h (1)⇒e 2f (2)<ef (1)⇒ef (2)<f (1)，故选：D18.(2022·江苏·沭阳县潼阳中学高三阶段练习)已知函数f (x )=e x -x -1,x ≤0,-f (-x ),x >0, 则使不等式f (ln x )>-1e 成立的实数x 的取值范围为( )A.0,1eB.1e ,+∞C.(0,e )D.(e ,+∞)【答案】C【解析】因为f (0)=0，x >0时，f (x )=-f (-x )，因此x <0时也有f (x )=-f (-x )，即函数f (x )是奇函数，x ≤0时，f (x )=e x -x -1，f (x )=e x -1≤0，所以f (x )是减函数，所以奇函数f (x )在R 上是减函数，又f (-1)=1e ，所以f (1)=-f (-1)=-1e，不等式f (ln x )>-1e为f (ln x )>f (1)，所以ln x <1，0<x <e ，故选：C ．19.(2022·江苏·沭阳县潼阳中学高三阶段练习)已知实数a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2=1，则2ab +3c 的最大值为( )A.3 B.134C.2D.5【答案】A【解析】因为1-c 2=a 2+b 2≥2ab ，所以，2ab +3c ≤-c 2+3c +1=-c -32 2+134，因为1-c 2≥0，可得-1≤c ≤1，故当a =b =0c =1 时，2ab +3c 取最大值3.故选：A .二、多选题20.(2022·湖南·永兴县童星学校高三阶段练习)已知函数f x =x ln x -ax ，则( )A.当a ≤0或a =1e 时，f x 有且仅有一个零点B.当a ≤0或a =12时，f x 有且仅有一个极值点C.若f x 为单调递减函数，则a >12D.若f x 与x 轴相切，则a =1e【答案】AD【解析】令f x =0可得x ln x -ax =0，化简可得ln xx=a ，设h (x )=ln x x ，则h (x )=1-ln xx 2，当x >e ，h (x )<0，函数h (x )在e ,+∞ 单调递减，当0<x <e ，h (x )>0，函数h (x )在0，e 单调递增，又h (1)=0，h (e )=1e ，由此可得函数h (x )=ln xx 图像如下：所以当a ≤0或a =1e 时，ln xx =a 有且仅有一个零点所以当a ≤0或a =1e时，f x 有且仅有一个零点，A 对，函数f x =x ln x -ax 的定义域为0，+∞ ，f x =ln x -2ax +1，若f x 与x 轴相切，设f x 与x 轴相切相切与点(x 0,0)，则f x 0 =0，f x 0 =0，所以ln x 0-ax 0=0，ln x 0-2ax 0+1=0所以x 0=e ，a =1e，故D 正确；若f x 为单调递减函数，则f x ≤0在0，+∞ 上恒成立，所以ln x +12x≤a 在0，+∞ 上恒成立，设g (x )=ln x +12x ，则g (x )=-ln x2x 2，当x >1时，g (x )<0，函数g (x )=ln x +12x单调递减，当0<x <1时，g (x )>0，函数g (x )=ln x +12x单调递增，且g (1)=12，g 1e =0，当x >1e时，g (x )>0，由此可得函数g (x )=ln x +12x的图像如下：所以若f x 为单调递减函数，则a ≥12，C 错，所以当a =12时，函数f (x )在0，+∞ 上没有极值点，B 错，故选：AD .21.(2022·湖南·永兴县童星学校高三阶段练习)已知函数f (x )=x 2+2x +1,x <0ln x -2 ,x >0，若方程f (x )=k (k ∈R )有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为x 1,x 2,x 3,x 4，则( )A.0<k <1 B.x 1+x 2=-1C.e <x 3<e 2D.0<x 1x 2x 3x 4<e 4【答案】ACD【解析】画出函数f (x )与函数y =k 的图像如下：f (x )在-∞,-1 单调递减，值域0,+∞ ；在-1,0 单调递增，值域0,1 ；在0,e 2 单调递减，值域0,+∞ ；在e 2,+∞ 单调递增，值域0,+∞ .试卷第2页，共42页则有x1+x 2=-2，ln x 3-2+ln x 4-2=0，即x 3x 4=e 4.选项B 判断错误；方程f (x )=k (k ∈R )有四个不同的实数解，则有0<k <1.选项A 判断正确；由f (x )在0,e 2 单调递减，值域0,+∞ ，f (e )=ln e -2 =1，f (e 2)=ln e2-2 =0，可知e <x 3<e 2.选项C 判断正确；由x 1<x 2<0<x 3<x 4，可知x 1x 2x 3x 4>0又x 1x 2x 3x 4=e 4x 1x 2=e 4-x 1 -x 2 <e 4-x 1 +-x 2 22=e 4.则有0<x 1x 2x 3x 4<e 4.故选项D 判断正确.故选：ACD22.(2022·湖北·荆州中学高三阶段练习)已知函数f x =2sin x 2+π6，若将函数f x 的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的14，再向右平移π6个单位长度，得到函数g x 的图象，则( )A.函数g x =2sin 2x -π6 B.函数f x 的周期为4πC.函数g x 在区间π,4π3 上单调递增D.函数f x 的图象的一条对称轴是直线x =-π3【答案】ABC【解析】由题意可知，函数f x 的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的14后，其解析式为y =2sin 2x +π6 ，y =2sin 2x +π6 向右平移π6个单位长度后，得到g (x )=2sin 2x -π6 +π6 =2sin 2x -π6 ，故A 正确；由周期公式可知，函数f x 的周期为T =2π12=4π，故B 正确；由-π2+2k π≤2x -π6≤π2+2k π⇒-π6+k π≤x ≤π3+k π，k ∈Z ，故g (x )的单调递增区间为-π6+k π,π3+k π ，k ∈Z ，从而函数g x 在区间π,4π3上单调递增，故C 正确；因为f -π3=2sin0=0≠±2，故D 错误.故选：ABC .23.(2022·湖北·荆州中学高三阶段练习)已知奇函数f x 在R 上可导，其导函数为f ′x ，且f 1-x -f 1+x +2x =0恒成立，若f x 在0,1 单调递增，则( )A.f x 在1,2 上单调递减 B.f 0 =0C.f 2022 =2022 D.f 2023 =1【答案】BCD 【解析】方法一：对于A ，若f x =x ，符合题意，故错误，对于B ，因已知奇函数f x 在R 上可导，所以f 0 =0，故正确，对于C 和D ，设g x =f x -x ，则g x 为R 上可导的奇函数，g 0 =0，由题意f 1-x +x -1=f 1+x -1-x ，得g 1-x =g 1+x ，g x 关于直线x =1对称，易得奇函数g x 的一个周期为4，g 2022 =g 2 =g 0 =0，故C 正确，由对称性可知，g x 关于直线x =-1对称，进而可得g -1 =0，(其证明过程见备注)且g x 的一个周期为4，所以g ′2023 =g ′-1 =0，故D 正确．备注：g 1-x =g 1+x ，即-g 1-x =-g 1+x ，所以g -1+x =g -1-x ，等式两边对x 求导得，g ′-1+x =-g ′-1-x ，令x =0，得g ′-1 =-g ′-1 ，所以g -1 =0．方法二：对于A ，若f x =x ，符合题意，故错误，对于B ，因已知奇函数f x 在R 上可导，所以f 0 =0，故正确，对于C ，将f 1-x -f 1+x +2x =0中的x 代换为x +1，得f -x -f 2+x +2x +2=0，所以f x +2 +f x =2x +2，可得f x +4 +f x +2 =2x +6，两式相减得，f x +4 -f x =4，则f 6 -f 2 =4，f 10 -f 6 =4，⋯，f 2022 -f 2018 =4，叠加得f 2022 -f 2 =2020，又由f x +2 +f x =2x +2，得f 2 =-f 0 +2=2，所以f 2022 =f 2 +2020=2022，故正确，对于D ，将f 1-x -f 1+x +2x =0的两边对x 求导，得-f 1-x -f 1+x +2=0，令x =0得，f 1 =1，将-f -x =f x 的两边对x 求导，得f ′-x =f ′x ，所以f -1 =1，将f x +4 -f x =4的两边对x 求导，得f x +4 =f x ，所以f 2023 =f 2019 =⋅⋅⋅=f -1 =1，故正确．故选：BCD24.(2022·山东·乳山市银滩高级中学高三阶段练习)已知函数f x =ln x 2+1+x +x 5+3，函数g x 满足g -x +g x =6.则( )A.f lg7 +f lg17=6B.函数g x 的图象关于点3,0 对称C.若实数a 、b 满足f a +f b >6，则a +b >0D.若函数f x 与g x 图象的交点为x 1,y 1 、x 2,y 2 、x 3,y 3 ，则x 1+y 1+x 2+y 2+x 3+y 3=6【答案】AC【解析】对于A 选项，对任意的x ∈R ，x 2+1+x >x +x ≥0，所以，函数f x =ln x 2+1+x +x 5+3的定义域为R ，f -x +f x =ln x 2+1-x +-x 5+3 +ln x 2+1+x +x 5+3=ln x 2+1-x 2 +6=6，所以，f lg7 +f lg 17=f lg7 +f -lg7 =6，A 对；对于B 选项，因为函数g x 满足g -x +g x =6，故函数g x 的图象关于点0,3 对称，B 错；对于C 选项，对于函数h x =ln x 2+1+x ，该函数的定义域为R ，h -x +h x =ln x 2+1-x +ln x 2+1+x =ln x 2+1-x 2 =0，即h -x =-h x ，所以，函数h x 为奇函数，当x ≥0时，内层函数u =x 2+1+x 为增函数，外层函数y =ln u 为增函数，试卷第2页，共42页所以，函数h x 在0,+∞上为增函数，故函数h x 在-∞,0上也为增函数，因为函数h x 在R上连续，故函数h x 在R上为增函数，又因为函数y=x5+3在R上为增函数，故函数f x 在R上为增函数，因为实数a、b满足f a +f b >6，则f a >6-f b =f-b，可得a>-b，即a+b>0，C对；对于D选项，由上可知，函数f x 与g x 图象都关于点0,3对称，由于函数f x 与g x 图象的交点为x1,y1、x2,y2、x3,y3，不妨设x1<x2<x3，若x2≠0，则函数f x 与g x 图象的交点个数必为偶数，不合乎题意，所以，x2=0，则y2=3，由函数的对称性可知，点x1,y1、x3,y3关于点0,3对称，则x1+x3=0，y1+y3=6，故x1+y1+x2+y2+x3+y3=9，D错.故选：AC.25.(2022·山东·栖霞市第一中学高三阶段练习)已知函数f x =2sinωx+π4(ω>0)，则下列说法正确的是( )A.若函数f x 的最小正周期为π，则其图象关于直线x=π8对称B.若函数f x 的最小正周期为π，则其图象关于点π8,0对称C.若函数f x 在区间0,π8上单调递增，则ω的最大值为2D.若函数f x 在0,2π有且仅有5个零点，则ω的取值范围是198≤ω<238【答案】ACD【解析】A选项：∵f x 的最小正周期为π∴ω=2∴fπ8 =2sin2⋅π8+π4=2sinπ2=2，故A正确；B选项：∵f x 的最小正周期为π∴ω=2∴fπ8 =2sin2⋅π8+π4=2sinπ2=2≠0，故B错误；C选项：∵0<x<π8∴π4<ωx+π4<π8ω+π4又函数f x 在0,π8上单调递增∴π8ω+π4≤π2∴ω≤2，故C正确；D选项：∵x∈0,2π∴ωx+π4∈π4,2πω+π4又f x 在0,2π有且仅有5个零点，则5π≤2πω+π4<6π,∴198≤ω<238，故D正确.故选：ACD26.(2022·山东·济南市天桥区黄河双语实验学校高三阶段练习)已知函数f x =ln x-x+1x-1，下列结论成立的是( )A.函数f x 在定义域内无极值B.函数f x 在点A2,f2处的切线方程为y=52x+ln2-8C.函数f x 在定义域内有且仅有一个零点D.函数f x 在定义域内有两个零点x 1，x 2，且x 1⋅x 2=1【答案】ABD【解析】A ，函数f x =ln x -x +1x -1定义域为0,1 ∪1,+∞ ，f x =1x -x -1-x +1 x -1 2=1x +2x -12>0，∴f x 在0,1 和1,+∞ 上单调递增，则函数f x 在定义域内无极值，故A 正确；B ，由f x =1x +2x -1 2，则f 2 =12+22-12=52，又f 2 =ln2-2+12-1=-3+ln2，∴函数f x 在点A 2,f 2 处的切线方程为y +3-ln2=52x -2即y =52x +ln2-8，故B 正确；C ，∵f x 在1,+∞ 上单调递增，又f e =ln e -e +1e -1=1-e +1e -1=-2e -1<0，f e 2 =ln e 2-e 2+1e 2-1=2-e 2+1e 2-1=e 2-3e 2-1>0，所以函数f x 在e ,e 2 存在x 0，使f x 0 =ln x 0-x 0+1x 0-1=0，又1e2<1x 0<1e ，即0<1x 0<1，且f 1x 0 =ln 1x 0-1x 0+11x 0-1=-ln x 0-x 0+1x 0-1=-f x 0 =0，即1x 0为函数f x 的一个零点，所以函数f x 在定义域内有两个零点,故C 错误.D ，由选项C 可得x 1=x 0,x 2=1x 0，所以x 1⋅x 2=1，故D 正确.故选：ABD27.(2022·山东·济南市天桥区黄河双语实验学校高三阶段练习)已知定义在R 上的函数f x 对任意实数x 满足f 2+x =f x ，f 2-x =f x ，且x ∈0,1 时，f x =x 2+1，则下列说法中，正确的是( )A.2是f x 的周期 B.x =-1不是f x 图象的对称轴C. f 2021 =2D.方程f (x )=12x 只有4个实根【答案】AC【解析】A 选项：因为定义在R 上的函数f x 对任意实数x 满足f 2+x =f x ，所以函数f x 是以2为周期的周期函数，故A 选项正确；B 选项：因为f 2-x =f x ，所以函数f x 关于直线x =1对称，又f x 是周期为2周期函数，所以函数f x 关于直线x =-1对称，故B 选项错误；C 选项： f 2021 =f 1 =12+1=2，C 选项正确；D 选项：在同一直角坐标系中分别作出函数y =f x 与y =12x 的图象，如图所示：试卷第2页，共42页由图象可知两函数共有6个不同的交点，则方程f (x )=12x 有6个实根，故D 选项错误；故选：AC .28.(2022·山东·高密三中高三阶段练习)英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A ､B 存在如下关系：P A B =P A P B AP B.某高校有甲､乙两家餐厅，王同学第一天去甲､乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学( )A.第二天去甲餐厅的概率为0.54B.第二天去乙餐厅的概率为0.44C.第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为59D.第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为49【答案】AC【解析】设A 1:第一天去甲餐厅，A 2:第二天去甲餐厅，B 1:第一天去乙餐厅，B 2:第二天去乙餐厅，所以P A 1 =0.4，P B 1 =0.6，P A 2A 1 =0.6,P A 2B 1 =0.5，因为P A 2A 1 =P (A 2)P A 1A 2 P (A 1)=0.6,P A 2B 1 =P (A 2)P B 1A 2P (B 1)=0.5，所以P (A 2)P A 1A 2 =0.24,P (A 2)P B 1A 2 =0.3，所以有P A 2 =P A 1 P A 2A 1 +P B 1 P A 2B 1 =0.4×0.6+0.6×0.5=0.54,因此选项A 正确, P B 2 =1-P A 2 =0.46，因此选项B 不正确；因为P B 1A 2 =0.3P A 2=59，所以选项C 正确；P A 1B 2 =P (A 1)P B 2A 1) P (B 2)=P (A 1)[1-P A 2A 1)] P (B 2)=0.4×(1-0.6)0.46=823，所以选项D 不正确，故选：AC29.(2022·福建师大附中高三阶段练习)已知⊙O 1:x 2+y 2-2mx +2y =0,⊙O 2:x 2+y 2-2x -4my +1=0．则下列说法中，正确的有( )A.若(1,-1)在⊙O 1内，则m ≥0B.当m =1时，⊙O 1与⊙O 2共有两条公切线C.若⊙O 1与⊙O 2存在公共弦，则公共弦所在直线过定点13,16D.∃m ∈R ，使得⊙O 1与⊙O 2公共弦的斜率为12【答案】BC【解析】因为⊙O 1:x 2+y 2-2mx +2y =0,⊙O 2:x 2+y 2-2x -4my +1=0，所以⊙O 1：(x -m )2+(y +1)2=m 2+1，⊙O 2：(x -1)2+(y -2m )2=4m 2，则O 1(m ，-1)，r 1=m 2+1，O 2(1，2m )，r 2=2|m |，则m ≠0，由(1，-1)在⊙O 1内，可得12+(-1)2-2m -2<0，即m >0，A 错误；当m =1时，O 1(1，-1)，r 1=2，O 2(1，2)，r 2=2，所以|O 1O 2|=3∈(2-2，2+2)，所以两圆相交，共两条公切线，B 正确；⊙O 1-⊙O 2，得(-2m +2)x +(2+4m )y -1=0，即m (-2x +4y )+(2x +2y -1)=0，令-2x +4y =0，2x +2y -1=0，解得x =13，y =16，所以定点为13，16 ，C 正确；公共弦所在直线的斜率为2m -22+4m ，令2m -22+4m =12，无解，所以D 错误，故选：BC ．30.(2022·福建师大附中高三阶段练习)函数f (x )=2sin (ωx +φ)ω>0,|φ|<π2的部分图像如图所示，则下列说法中，正确的有( )A.f (x )的最小正周期T 为πB.f (x )向左平移3π8个单位后得到的新函数是偶函数C.若方程f (x )=1在(0,m )上共有6个根，则这6个根的和为33π8D.f (x )x ∈0,5π4图像上的动点M 到直线2x -y +4=0的距离最小时，M 的横坐标为π4【答案】ABD【解析】因为f (x )经过点5π8，0，所以f 5π8 =2sin 5ωπ8+φ =0，又5π8在f (x )的单调递减区间内，所以5ωπ8+φ=π+2k π(k ∈Z )①；又因为f (x )经过点5π4，1 ，所以f 5π4 =2sin 5ωπ4+φ =1，sin 5ωπ4+φ =22，又x =5π4是f (x )=1在x >5π8时最小的解，所以5ωπ4+φ=9π4+2k π(k ∈Z )②．联立①、②，可得5ωπ8=5π4，即ω=2，代入①，可得φ=-π4+2k π(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ=-π4，则f(x )=2sin 2x -π4 ．f (x )的最小正周期为2π2=π，A 正确．f (x )向左平移3π8个单位后得到的新函数是f (x )=2sin 2x +3π8 -π4 =2sin 2x +π2 =2cos2x ，为偶函数，B 正确．设f (x )=1在(0，m )上的6个根从小到大依次为x 1，x 2，⋯，x 6．令2x -π4=π2，则x =3π8，根据f (x )的对称性，可得x 1+x 22=3π8，则由f (x )的周期性可得x 3+x 42=3π8+T =11π8，x 5+x 62=3π8+2T =19π8，所以6i =1x i =2 3π8+11π8+19π8 =33π4，C 错误．作与l ：2x -y +4=0平行的直线，使其与f (x )x ∈0，5π4有公共点，则在运动的过程中，只有当直线与f (x )x ∈0，5π4相切时，直线与l 存在最小距离，也是点M 到直线2x -y +4=0的最小距离，试卷第2页，共42页令f (x )=22cos 2x -π4 =2，则2x -π4=±π4+2k π(k ∈Z )，解得x =k π(k ∈Z )或x =π4+k π(k ∈Z )，又x ∈0，5π4 ，所以x =0，π4，5π4(舍去)，又f (0)=-1，令M 1(0，-1)，f π4 =1，M 2π4，1 ，则由|1+4|5>π2-1+4 5可得M 1到直线l 的距离大于M 2到直线l 的距离，所以M 到直线2x -y +4=0的距离最小时，M 的横坐标为π4，D 正确故选：ABD ．31.(2022·福建师大附中高三阶段练习)公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》是最早有关黄金分割的论著，书中描述：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为“黄金分割比”，把离心率为“黄金分割比”倒数的双曲线叫做“黄金双曲线”．黄金双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的一个顶点为A ，与A 不在y 轴同侧的焦点为F ，E 的一个虚轴端点为B ，PQ 为双曲线任意一条不过原点且斜率存在的弦，M 为PQ 中点．设双曲线E 的离心率为e ，则下列说法中，正确的有( )A.e =5+12B.|OA ||OF |=|OB |2C.k OM ⋅k PQ =eD.若OP ⊥OQ ，则1|OP |2+1|OQ |2=e 恒成立【答案】ABC【解析】由E 为黄金分割双曲线可得a c =ca +c，即a 2+ac =c 2(*)，对(*)两边同除以a 2可得e 2-e -1=0，则e =5+12，A 正确；对(*)继续变形得ac =c 2-a 2=b 2，∴|AB |2+|BF |2=a 2+b 2+c 2+b 2=a 2+c 2+2(c 2-a 2)=3c 2-a 2，|AF |2=(a +c )2=a 2+2ac +c 2=3c 2-a 2，∴AB ⊥BF ，所以∠ABF =90∘，又∠AOB =90∘，所以∠BAO =∠FBO ，∠ABO =∠BFO ，所以△AOB ∼△BOF ，所以OA OB =OBOF，所以|OA ||OF |=|OB |2， B 正确；设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，将P ，Q 坐标代入双曲线方程可得，x 21a 2-y 21b 2=1x 22a 2-y 22b 2=1，作差后整理可得y 2-y 1x 2-x 1∙y 2+y 1x 2+x 1=b 2a 2，即y 2-y 1x 2-x 1∙y 0x 0=b 2a 2所以k PQ ∙k OM =c 2-a 2a2=e 2-1=5+12，故C 正确；设直线OP ：y =kx ，则直线OQ ：y =-1kx ，将y =kx 代入双曲线方程b 2x 2-a 2y 2=a 2b 2，可得x 2=a 2b 2b 2-a 2k 2，则y 2=a 2b 2k 2b 2-a 2k 2，∴|OP |2=x 2+y 2=a 2b 2(k 2+1)b 2-a 2k 2，将k 换成-1k 即得|OQ |2=a 2b 2(k 2+1)b 2k 2-a 2，则1|OP |2+1|OQ |2=(b 2-a 2)(k 2+1)a 2b 2(k 2+1)=b 2-a 2a 2b 2=1a 2-1b 2与a ，b 的值有关，故D 错误，故选：ABC ．32.(2022·福建省福州教育学院附属中学高三开学考试)知函数f (x )=sin 2x -π3，则下列说法正确的是( )A.函数f x 的最小正周期是π2B.函数f x 增区间是k π2+π6,k π2+5π12(k ∈Z )C.函数f x 是奇函数 D.函数图象关于直线x =2π3对称【答案】ABD【解析】函数y =sin x 的图象如下图：由图可知，函数y =sin x 的最小正周期为π，单调递增区间是k π,k π+π2k ∈Z ，对称轴是x =k π2k ∈Z .f x =sin 2x -π3 ，f (x )的最小正周期是π2，故A 正确；令k π≤2x -π3≤k π+π2得k π2+π6≤x ≤k π2+5π12，所以f (x )的增区间是k π2+π6,k π2+5π12(k ∈Z )，故B 正确；因为f (0)≠0，所以f (x )不是奇函数，故C 错误；令2x -π3=k π2得x =k π4+π6(k ∈Z )，取k =2得对称轴方程为x =2π3，故D 正确.故选：ABD .33.(2022·江苏·沭阳如东中学高三阶段练习)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M 、N 分别是棱A 1D 1、AB 的中点，则下列选项中正确的是( ).A.MC ⊥DNB.A 1C 1⎳平面MNCC.异面直线MD 与NC 所成的角的余弦值为15D.平面MNC 截正方体所得的截面是五边形【答案】AD 【解析】以点D 为原点如图建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则M 1,0,2 ,C 0,2,0 ,N 2,1,0 ,D 0,0,0 ,A 2,0,0因为MC =-1,2,-2 ，DN =2,1,0 ，MC ⋅DN =-2+2=0，所以MC ⊥DN ，故A 正确；因为MC =-1,2,-2 ，MN =1,1,-2 ，设平面MNC 的法向量为n =x ,y ,z所以由MC ⋅n =0，MN ⋅n =0可得-x +2y -2z =0x +y -2z =0，所以可取n=2,4,3 ，因为AC =-2,2,0 ，AC ⋅n =-4+8=8≠0，所以A 1C 1不与平面MNC 平行，故B 错误；因为DM=1,0,2 ，NC =-2,1,0试卷第2页，共42页所以cos DM ,NC=-25⋅5=-25所以异面直线MD 与NC 所成的角的余弦值为25，故C 错误；连接CN ，在D 1C 1上取靠近D 1的四等分点为Q ，则MQ ⎳CN 连接CQ ，在AA 1上取靠近A 1的三等分点为P ，则NP ⎳CQ 所以平面MNC 截正方体所得的截面是五边形CQMPN ，故D 正确故选：AD34.(2022·江苏·沭阳如东中学高三阶段练习)已知函数f x =3x -2x ，x ∈R ，则( )A.f x 在0，+∞ 上单调递增B.存在a ∈R ，使得函数y =f xa x为奇函数C.函数g x =f x +x 有且仅有2个零点 D.任意x ∈R ，f x >-1【答案】ABD【解析】A ：f x =3x ln3-2x ln2=2x 32xln3-ln2 因为x ∈0，+∞ ，所以2x >1，32 x >1，因此32 xln3>ln3>ln2，故f x >0，所以f x 在0，+∞ 上单调递增，故A 正确；B ：令a =6，则y =62 x -26 x ，令g x =62 x -26x，定义域为R ，关于原点对称，且g -x=62-x -26 -x =26 x -62 x=-g x ，故g x 为奇函数，B 正确C ： x =0时，g x =0，x >0时，g x =2x 32 x -1 >0，x <0时，g x =2x 32 x -1<0，所以g x 只有1个零点，C 错误；D ：x >0时，f x >0；x =0时，f x =0；x <0时，f x >-2x >-1；D 正确；故选：ABD35.(2022·江苏·常州市第一中学高三开学考试)已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1a n =a n +1a n，则( )A.a n +1≥2a nB.a n +1a n是递增数列C.{a n +1-4a n }是递增数列 D.a n ≥n 2-2n +2【答案】ABD【解析】对于A ，因为a n +1=a 2n +1≥1，故a n +1a n =a n +1a n≥2a n ⋅1a n =2，所以a n +1≥2a n ，当且仅当a n =1时取等号，故A 正确；对于B ，由A 可得{a n }为正数数列，且a n +1≥2a n ，则a n +1>a n ，故a n 为递增数列，且a 1=1，根据对勾函数的单调性，a n +1a n =a n +1a n为递增数列，故B 正确；对于C ，由a n +1-4a n =a n -2 2-3，由题意a 1=1，a 2a 1=a 1+1a 1，即a 2=2可知a n +1-4a n 不是递增数列；对于D ，因为a n >1，所以a n +1-a 2n =1<a n +1-a n ，所以a n +1≥n +1,a n ≥n ，所以a n +1=a 2n +1≥n 2+1，即a n ≥(n -1)2+1=n 2-2n +2.故选：ABD36.(2022·江苏·泗洪县洪翔中学高三阶段练习)设正实数a ，b 满足a +b =1，则下列结论正确的是( )A.1a +1b 有最小值4 B.ab 有最小值12C.a +b 有最大值2D.a 2+b 2有最小值12【答案】ACD【解析】A ：由题设，1a +1b =1a +1b (a +b )=2+b a +a b≥2+2b a ⋅a b =4，当且仅当a =b =12时等号成立，正确；B ：由a ,b >0，则a +b =1≥2ab ，即ab ≤12，当且仅当a =b =12时等号成立，故ab 的最大值为12，错误；C ：由a ,b >0，则a +b =1≥(a +b )22，即a +b ≤2，当且仅当a =b =12时等号成立，正确；D ：a 2+b 2≥(a +b )22=12，当且仅当a =b =12时等号成立，正确；故选：ACD .37.(2022·江苏·泗洪县洪翔中学高三阶段练习)已知数列a n 满足a 1=1，a n +1=a n2+3a n n ∈N + ，则( )A.1a n +3 为等比数列 B.a n 的通项公式为a n =12n -1-3C.a n 为递增数列D.1a n的前n 项和T n =2n +2-3n -4【答案】AD 【解析】因为1a n +1=2+3a n a n =2a n +3，所以1a n +1+3=21a n+3 ，又1a 1+3=4≠0，所以1a n +3 是以4为首项，2为公比的等比数列，即1a n +3=4×2n -1，所以1a n =2n +1-3，所以a n =12n +1-3，所以a n 为递减数列，1a n 的前n 项和T n =22-3 +23-3 +⋅⋅⋅+2n +1-3 =221+22+⋅⋅⋅+2n -3n =2×2×1-2n 1-2-3n =2n +2-3n -4．故选：AD ．38.(2022·江苏·淮安市钦工中学高三阶段练习)已知函数f (x )=xe x ,x <1e x x 3,x ≥1，函数g (x )=xf (x )，下列选项正确的是( )A.点(0，0)是函数f (x )的零点B.∃x 1∈0,1 ,x 2∈(1，3)，使f (x 1)>f (x 2)C.函数f (x )的值域为[-e -1,+∞)D.若关于x 的方程[g (x )]2-2ag (x )=0有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是2e 2,e 28∪e2,+∞【答案】BC【解析】对于选项A ，0是函数f x 的零点，零点不是一个点，所以A 错误；试卷第2页，共42页对于选项B ，当x <1时，f x =x +1 e x ，则当x <-1时，f x <0，f x 单调递减，当-1<x <1时，f x >0，f x 单调递增，所以，当0<x <1时，0<f x <e ；当x >1时，fx =e x x -3 x 4，则当1<x <3时，f x <0，f x 单调递减，当x >3时，f x >0，f x 单调递增，所以，当1<x <3时，e 327<f x <e ．综上可得，选项B 正确．对于选项C ，f x min =f -1 =-1e，选项C 正确．结合函数f x 的单调性及图像可得：函数f x 有且只有一个零点0，则g x =xf x 也有且只有一个零点0；所以对于选项D ，关于x 的方程g x 2-2ag x =0有两个不相等的实数根⇔关于x 的方程g x g x -2a =0有两个不相等的实数根⇔关于x 的方程g x -2a =0有一个非零的实数根⇔函数y =g x 的图象与直线y =2a 有一个交点，且x ≠0，则g x =x 2e x ,x <1,e xx 2,x ≥1.当x <1时，g x =e x x x +2 ，当x 变化时，g x ，g x 的变化情况如下：x x <-2-2-2<x <000<x <1g x +0-0+g x增极大值减极小值增极大值g -2 =4e 2，极小值g 0 =0；当x ≥1时，gx =e x x -2 x 3，当x 变化时，g x ，g x 的变化情况如下：x 11<x <22x >2g x -e -0+g xe减极小值增。

2024年新高考新题型数学选填压轴好题汇编08含答案

2024年新高考新题型数学选填压轴好题汇编08一、单选题1(2024·广东湛江·二模)已知函数f x =2x -1 -a ，g x =x 2-4x +2-a ，则()A.当g x 有2个零点时，f x 只有1个零点B.当g x 有3个零点时，f x 有2个零点C.当f x 有2个零点时，g x 有2个零点D.当f x 有2个零点时，g x 有4个零点2(2024·甘肃定西·一模)在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ,∠ABD =60°,PB ,PC 与底面ABCD 所成的角分别为α,β，且α+β=45°，则PAAB =()A.17-22B.15-32C.15-22D.17-323(2024·高三·江西·开学考试)如图，已知圆O 的半径为2，弦长AB =2，C 为圆O 上一动点，则AC ⋅BC的取值范围为()A.0,4B.5-43,5+43C.6-43,6+43D.7-43,7+434(2024·高三·江苏·期末)已知直线l 与椭圆x 29+y 23=1在第二象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点(M ,N 在椭圆外)，若AM =BN ，则l 的倾斜角是()A.π6B.π3C.π4D.5π125(2024·湖南娄底·一模)已知圆内接四边形ABCD 中，AD =2,∠ADB =π4,BD 是圆的直径，AC ⋅BD=2，则∠ADC =() A.5π12B.π2C.7π12D.2π36(2024·湖南娄底·一模)若直线ex -4y +e ln4=0是指数函数y =a x (a >0且a ≠1)图象的一条切线，则底数a =()A.2或12B.eC.eD.e 或e7(2024·河北沧州·一模)过点P 1,2 作圆O :x 2+y 2=10相互垂直的两条弦AB 与CD ，则四边形ACBD 的面积的最大值为()A.66B.215C.96D.158(2024·湖南·一模)若不等式e x -1-mx -2n -3≥0对∀x ∈R 恒成立，其中m ≠0，则nm的取值范围为()A.-∞,-ln3e 2B.ln3e 2,+∞ C.-e ,-ln3e 2D.ln3e 2,e 9(2024·湖南·模拟预测)如图所示，面积为π的扇形OMN 中，M ,N 分别在x ,y 轴上，点P 在弧MN 上(点P 与点M ,N 不重合)，分别在点P ,N 作扇形OMN 所在圆的切线l 1,l 2，且l 1与l 2交于点Q ，其中l 1与x 轴交于点R ，则NQ +QR 的最小值为()A.4B.23C.6D.210(2024·陕西商洛·模拟预测)设a =sin0.2,b =0.16,c =12ln 32，则()A.a >c >bB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b11(2024·河南信阳·模拟预测)已知数列a n 的前n 项和为S n ，S 1=1，S 2=3，且32a n +1是2a n ，a n +2的等差中项，则使得ni =1i a i>509128成立的最小的n 的值为()A.8B.9C.10D.1112(2024·全国·模拟预测)若关于x 的不等式a (ln x +ln a )≤2e 2x 在(0,+∞)上恒成立，则实数a 的取值范围为()A.(0,e ]B.0,e 2C.(0,e ]D.(0,2e ]13(2024·湖南岳阳·二模)设a =log 23，b =log 35，c =log 58，则()A.a >b >cB.b >a >cC.b >c >aD.c >a >b14(2024·湖南岳阳·二模)已知点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 是圆x 2+y 2=16上的两点，若∠AOB =π2，则x 1+y 1-2 +x 2+y 2-2 的最大值为()A.16B.12C.8D.415(2024·湖南·二模)2024年春节期间，某单位需要安排甲、乙、丙等五人值班，每天安排1人值班，其中正月初一、二值班的人员只安排一天，正月初三到初八值班人员安排两天，其中甲因有其他事务，若安排两天则两天不能连排，其他人员可以任意安排，则不同排法一共有()A.792种B.1440种C.1728种D.1800种16(2024·湖南·二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别是F 1,F 2,O 为坐标原点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线C 交于点P ，且OP 在OF 1 上的投影向量为35OF 1，则双曲线C 的离心率为()A.2B.3C.4D.517(2024·湖南·二模)在△ABC 中，角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c ，且a 2-b 2+c 2+2ac =0，若cos A -C =7210，α∈π4,π2 ,cos α+A cos α+C cos 2α=25，则tan α的值为()A.1B.2C.4D.2或418(2024·湖南常德·三模)设有甲、乙两箱数量相同的产品，甲箱中产品的合格率为90%，乙箱中产品的合格率为80%.从两箱产品中任取一件，经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为()A.56B.67C.78D.172019(2024·湖南·模拟预测)有一枚质地均匀点数为1到4的特制骰子，投掷时得到每种点数的概率均等，现在进行三次独立投掷，记X 为得到最大点数与最小点数之差，则X 的数学期望E X =()A.2116B.32C.74D.15820(2024·湖南·模拟预测)已知函数f x 满足f x +8 =f x ，f x +f 8-x =0，当x ∈0,4 时，f x =ln 1+sin π4x ，则函数F x =f 3x -f x 在0,8 内的零点个数为()A.3B.4C.5D.621(2024·高三·江苏镇江·开学考试)某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲､乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率分别为p 1，p 2，且满足p 1+p 2=43，每局之间相互独立.记甲、乙在n 轮训练中训练过关的轮数为X ，若E X =16，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为()A.27B.24C.32D.2822(2024·河南·模拟预测)已知圆O 为△ABC 的外接圆，∠BAC =60°，BC =23，则OB ⋅OC=()A.2B.-2C.4D.-4二、多选题23(2024·广东湛江·二模)已知函数f x 的定义域为R ，f x 不恒为零，且f x +y +f x -y =2f x f y ，则()A.f 0 =1B.f x 为偶函数C.f x 在x =0处取得极小值D.若f a =0，则f (x )=f (x +4a )24(2024·甘肃定西·一模)下列命题为真命题的是()A.x 2-4x -8-x +4+x -1 的最小值是2B.x 2-4x -8-x +4+x -1 的最小值是5C.x 2-4x -8-x +4+x 2-2x -4-x +2的最小值是2D.x 2-4x -8-x +4+x 2-2x -4-x +2的最小值是325(2024·高二·福建福州·期末)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”)．比如取正整数m =8，根据上述运算法则得出8→4→2→1→4→2→1．猜想的递推关系如下：已知数列a n 满足a 1=5，a n +1=a n2,a n 为偶数3a n+1,a n为奇数，设数列a n的前n 项和为S n ，则下列结论正确的是()A.a 3=8B.a 5=2C.S 10=49D.S 300=72226(2024·高三·江西·期末)在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M ，N ，P 分别是线段C 1D 1，线段C 1C ，线段A 1B 上的动点，且MC 1=NC 1≠0.则下列说法正确的有()A.MN ⊥ABB.直线MN 与AP 所成的最大角为90°C.三棱锥M -DPC 的体积为定值D.当四棱锥P -D 1DBB 1体积最大时，该四棱锥的外接球表面积为12π27(2024·湖南娄底·一模)对于事件A 与事件B ，若A ∪B 发生的概率是0.72，事件B 发生的概率是事件A 发生的概率的2倍，下列说法正确的是()A.若事件A 与事件B 互斥，则事件A 发生的概率为0.36B.P B ∣A =2P A ∣BC.事件A 发生的概率的范围为0.24,0.36D.若事件A 发生的概率是0.3，则事件A 与事件B 相互独立28(2024·湖南娄底·一模)已知函数f x 的定义域和值域均为x ∣x ≠0,x ∈R ，对于任意非零实数x ,y ,x +y ≠0，函数f x 满足：f x +y f x +f y =f x f y ，且f x 在-∞,0 上单调递减，f 1 =1，则下列结论错误的是()A.f 12=2B.2023i =1f12i=22023-2C.f x 在定义域内单调递减D.f x 为奇函数29(2024·高三·湖南长沙·阶段练习)设a ,b 为两个正数，定义a ,b 的算术平均数为A a ,b =a +b2，几何平均数为G a ,b =ab ，则有：G a ,b ≤A a ,b ，这是我们熟知的基本不等式.上个世纪五十年代，美国数学家D .H .Lehmer 提出了“Lehmer 均值”，即L p a ,b =a p +bp a p -1+bp -1，其中p 为有理数.下列关系正确的是()A.L 0.5a ,b ≤A a ,bB.L 0a ,b ≥G a ,bC.L 2a ,b ≥L 1a ,bD.L n +1a ,b ≤L n a ,b30(2024·广东广州·模拟预测)如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知M ，N ，P 分别是棱C 1D 1，AA 1，BC 的中点，Q 为平面PMN 上的动点，且直线QB 1与直线DB 1的夹角为30°，则()A.DB 1⊥平面PMNB.平面PMN 截正方体所得的截面面积为33C.点Q 的轨迹长度为πD.能放入由平面PMN 分割该正方体所成的两个空间几何体内部(厚度忽略不计)的球的半径的最大值为3-3231(2024·湖南·模拟预测)如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ,F 分别为BC ,CC 1的中点，则下列结论正确的是()A.直线A 1B 与EF 所成的角的大小为60°B.直线AD 1⎳平面DEFC.平面DEF ⊥平面BCC 1B 1D.四面体D -EFC 外接球的体积与正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积之比为6π832(2024·湖南·模拟预测)玻璃缸中装有2个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球．记“第一次取得黑球”为A 1，“第一次取得白球”为A 2，“第二次取得黑球”为B 1，“第二次取得白球”为B 2，则()A.P A 1B 1 =P A 2B 2B.P A 1B 2 =P A 2B 1C.P B 1 A 1 +P B 2 A 1 =1D.P B 2 A 1 +P B 1 A 2 >133(2024·河南信阳·模拟预测)已知函数f x =sin ωx +φ ω>0 ，则()A.若ω=3，φ=π3，则将函数f x 的图象向右平移5π18个单位后关于y 轴对称B.若φ=π3，函数f x 在π6,π3 上有最小值，无最大值，且f π6 =f π3，则ω=5C.若直线x =π4为函数f x 图象的一条对称轴，5π3,0 为函数f x 图象的一个对称中心，且f x 在π4,5π6 上单调递减，则ω的最大值为1817D.若f x =12在x ∈π4,3π4 上至少有2个解，至多有3个解，则ω∈4,163 34(2024·河南信阳·模拟预测)已知抛物线C ：y 2=2px p >0 的焦点为F ，点M ,N 在抛物线C 上，则()A.若M ,N ,F 三点共线，且MF NF=34，则直线MN 的倾斜角的余弦值为±37B.若M ,N ,F 三点共线，且直线MN 的倾斜角为45°，则△OMN 的面积为22p 2C.若点A 4,4 在抛物线C 上，且M ,N 异于点A ，AM ⊥AN ，则点M ,N 到直线y =-4的距离之积为定值D.若点A 2,2 在抛物线C 上，且M ,N 异于点A ，k AM +k AN =0，其中k AM >1，则sin ∠FMN -sin ∠FNM≤25535(2024·湖南岳阳·二模)已知函数f x 的定义域为R ，对任意x ,y ∈R 都有2f x +y 2 fx -y2=f x +f y ，且f 1 =-1，则下列说法正确的是()A.f -1 =1B.f x +12为奇函数C.f x -f 2-x =0D.f 1 +f 2 +f 3 +⋅⋅⋅+f 2025 =-136(2024·高三·山东菏泽·阶段练习)如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点M 为BC 的中点，点P 为正方形A 1B 1C 1D 1内(包含边界)的动点，则()A.满足MP ⎳平面A 1BD 的点P 的轨迹为线段B.若MP =22，则动点P 的轨迹长度为π3C.直线AB 与直线MP 所成角的范围为π6,π2D.满足MP ⊥AM 的点P 的轨迹长度为5237(2024·湖南·二模)已知f x =3sinωx 2cos ωx 2+cos 2ωx 2-12,ω>0，下列结论正确的是()A.若f x 的最小正周期为π，则ω=2B.若f x 的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象关于y 轴对称，则ωmin =1C.若f x 在0,2π 上恰有4个极值点，则ω的取值范围为53,136D.存在ω，使得f x 在-π6,π4上单调递减38(2024·湖南·二模)已知函数f x ,g x 的定义域均为R ,g x +1 +f 1-x =1，f x +1 -g x +2 =1，且y =f x 的图像关于直线x =1对称，则以下说法正确的是()A.f x 和g x 均为奇函数B.∀x ∈R ,f x =f x +4C.∀x ∈R ,g x =g x +2D.g -32=039(2024·湖南常德·三模)若函数f (x )=2x sin x -10<x <π2的零点为x 1，函数g (x )=2x cos x -10<x <π2 的零点为x 2，则()A.x 1x 2>π2 B.x 1+x 2<3π4C.cos (x 1+x 2)<0D.cos x 1-sin x 2<040(2024·高三·重庆·开学考试)已知函数f x 是R 上的奇函数，等差数列a n 的前n 项的和为S n ，数列f a n 的前n 项的和为T n .则下列各项的两个命题中，p 是q 的必要条件的是()A.p :f a 5 =0，q :S 9=0B.p :S 10=0，q :f a 5+a 6 =0C.p :a 5=0，q :T 9=0D.p :T 10=0，q :a 5+a 6=041(2024·湖南·模拟预测)已知θ∈R ，双曲线C ：x 2cos θ+y 2sin2θ=1，则()A.θ可能是第一象限角B.θ可能是第四象限角C.点1,0 可能在C 上D.点0,1 可能在C 上42(2024·高三·湖南长沙·阶段练习)D ,E 是△ABC 边BC 上的点，其中∠BAD =∠CAE ,BC =3，且BD ⋅BE CD ⋅CE =13.则△ABC 面积的可能取值为()A.934B.332C.33D.73243(2024·山西·模拟预测)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD =2AB =2AA 1=4，E 是棱B 1C 1的中点，过点B ，E ，D 1的平面α交棱AD 于点F ，P 为线段D 1F 上一动点(不含端点)，则()A.三棱锥P -ABE 的体积为定值B.存在点P ，使得DP ⊥αC.直线PE 与平面BCC 1B 1所成角的正切值的最大值为2D.三棱锥P -BB 1E 外接球的表面积的取值范围是(12π,44π)三、填空题44(2024·广东湛江·二模)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，若C 上存在一点P 满足PF 1 2=19PF 2 2，则C 的离心率的取值范围是.45(2024·高三·河北·开学考试)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 为第一象限内椭圆上一点，△F 1PF 2的内心为I 1,3 ，且∠F 1PI =30°，则椭圆的离心率为．46(2024·湖南娄底·一模)龙年参加了一闯关游戏，该游戏共需挑战通过m 个关卡，分别为：G 1,G 2,⋯,G m ，记挑战每一个关卡G k k =1,2,⋯,m 失败的概率为a k ，其中a k ∈0,1 ,a 1=13.游戏规则如下：从第一个关卡G 1开始闯关，成功挑战通过当前关卡之后，就自动进入到下一关卡，直到某个关卡挑战失败或全部通过时游戏结束，各关卡间的挑战互相独立：若m =2，设龙年在闯关结束时进行到了第X 关，X 的数学期望E X =；在龙年未能全部通关的前提下；若游戏结束时他闯到第k +1关的概率总等于闯到第k 关k =1,2,⋯,m -1 的概率的一半，则数列a n 的通项公式a n =,n =1,2,⋯,m .47(2024·湖南·一模)如果直线l :kx -y -2k =0和曲线Γ:x 2-4y y =1恰有一个交点，那么实数k 的取值范围是．48(2024·湖南·模拟预测)已知数列a n 为公差不为0的等差数列，a 3=5，且a 2,a 5,a 14成等比数列，设x 表示不超过x 的最大整数，如π =3,-1.5 =-2，记b n =log 2a n ,S n 为数列b n 的前n 项和，则S 100=．49(2024·高三·江苏无锡·阶段练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上一点，且PF 2⊥F 1F 2，H 是线段PF 1上靠近F 1的三等分点，且OH ⋅PF 1=0，则C 的离心率为.50(2024·全国·模拟预测)已知空间四面体ABCD 满足AB =AC =DB =DC ,AD =2BC =6，则该四面体外接球体积的最小值为．51(2024·全国·模拟预测)已知等边△ABC 的外接圆O 的面积为36π，动点M 在圆O 上，若MA⋅MB +MB ⋅MC≤λ，则实数λ的取值范围为．52(2024·高三·山东菏泽·阶段练习)若曲线f x ,y =0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f x ,y =0的“自公切线”，则下列方程对应的曲线中存在“自公切线”的序号为．①y =x 2-2x ;②y =3sin x +4cos x ;③3x 2-xy +1=0;④x 2+y 2-x -x -1=0．53(2024·湖南岳阳·二模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左右焦点分别为F 1、F 2，其中F 1F 2 =2c ，过F 1的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若AF 1 ⋅AF 2 =4c 2，则该椭圆离心率的取值范围是．54(2024·湖南·二模)已知表面积为100π的球面上有四点S ,A ,B ,C ,△ABC 是边长为43的等边三角形，若平面SAB ⊥平面ABC ，则三棱锥S -ABC 的体积的最大值为，55(2024·湖南·二模)已知f x =2x +x -m ,x ∈a ,a +2 ,f (x )max =g m ，若m g m ≥13 =R ，则实数a 的取值范围是，56(2024·湖南常德·三模)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，过F 1的直线与双曲线的左、右两支分别相交于M ,N 两点，直线NF 2与双曲线的另一交点为P ，若△NPF 1为等腰三角形，且△NF 1F 2的面积是△PF 1F 2的面积的2倍，则双曲线C 的离心率为.57(2024·高三·全国·阶段练习)设函数f x =1e x+1图象上任意一点处的切线为l 1，总存在函数图象g x =a sin x +x a >0 上一点处的切线l 2，使得l 1⎳l 2，则实数a 的最小值为.58(2024·湖南·模拟预测)过椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上的动点P 向圆O ：x 2+y 2=b 2引两条切线PA ,PB ．设切点分别是A ，B ，若直线AB 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点，则△MON 面积的最小值是.59(2024·四川凉山·一模)定义函数f (x )=max λx ,-λx ，x ∈R ，其中λ>0，符号max {a ,b }表示数a ,b 中的较大者，给出以下命题：①f (x )是奇函数；②若不等式f (x -1)+f (x -2)≥1对一切实数x 恒成立，则λ≥1③λ=1时，F (x )=f (x )+f (x -1)+f (x -2)+⋯+f (x -100)最小值是2450④“xy >0”是“f (x )+f (y )≥f (x +y )”成立的充要条件以上正确命题是．(写出所有正确命题的序号)2024年新高考新题型数学选填压轴好题汇编08一、单选题1(2024·广东湛江·二模)已知函数f x =2x -1 -a ，g x =x 2-4x +2-a ，则()A.当g x 有2个零点时，f x 只有1个零点B.当g x 有3个零点时，f x 有2个零点C.当f x 有2个零点时，g x 有2个零点D.当f x 有2个零点时，g x 有4个零点【答案】D【解析】两个函数的零点个数转化为图象与y =a 的图象的公共点的个数，作出y =2x -1 ，y =x 2-4x +2的大致图象，如图所示.由图可知，当g x 有2个零点时，f x 无零点或只有1个零点；当g x 有3个零点时，f x 只有1个零点；当f x 有2个零点时，g x 有4个零点.故选：D2(2024·甘肃定西·一模)在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ,∠ABD =60°,PB ,PC 与底面ABCD 所成的角分别为α,β，且α+β=45°，则PAAB =()A.17-22B.15-32C.15-22D.17-32【答案】D【解析】如图，设AB =a ,PA =b ，因为在矩形ABCD 中，∠ABD =60°，所以AC =BD =2a ，因为PA ⊥底面ABCD ，所以∠PBA ,∠PCA 分别是PB ,PC 与底面ABCD 所成的角，即α=∠PBA ,β=∠PCA ，所以tan α=tan ∠PBA =b a ,tan β=tan ∠PCA =b2a.因为α+β=45°，所以tan (α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β=ba+b2a 1-b a ⋅b 2a =1，解得b a =17-32(负根舍去)，所以PAAB =17-32.故选：D .3(2024·高三·江西·开学考试)如图，已知圆O 的半径为2，弦长AB =2，C 为圆O 上一动点，则AC ⋅BC的取值范围为()A.0,4B.5-43,5+43C.6-43,6+43D.7-43,7+43【答案】C【解析】取AB 的中点D ，连接CD 、OD ，则AC ⋅BC =AD +DC ⋅BD +DC =AD ⋅BD +AD +BD ⋅DC +DC 2=DC 2-1，又OD =22-12=3，所以CD min =2-3，CD max =2+3，即2-3≤CD ≤2+3，所以AC ⋅BC min =6-43，AC ⋅BC max =6+43．故AC ⋅BC的取值范围为6-43,6+43 ．故选：C4(2024·高三·江苏·期末)已知直线l 与椭圆x 29+y 23=1在第二象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点(M ,N 在椭圆外)，若AM =BN ，则l 的倾斜角是()A.π6B.π3C.π4D.5π12【答案】A【解析】设l ：y =kx +b (k >0，b >0)，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立y =kx +bx 29+y 23=1，得3k 2+1 x 2+6kbx +3b 2-9=0，由题意知Δ=36k 2b 2-43k 2+1 3b 2-9 =129k 2+3-b 2 >0，所以x 1+x 2=-6kb 3k 2+1，x 1x 2=3b 2-93k 2+1，设AB 的中点为E ，连接OE ，因为AM =BN ，所以AM +AE =BE +BN ，得EM =EN ，又因为N -bk,0 ，M 0,b ，所以E 也是MN 的中点，所以E 的横坐标为x E =x 1+x 22=-b k 2，从而得-6kb 3k 2+1=-b k ，因为A ,B 交在第二象限k >0，解得k =33，设直线l 倾斜角为θ，得tan θ=33，得θ=π6，故A 正确.故选：A .5(2024·湖南娄底·一模)已知圆内接四边形ABCD 中，AD =2,∠ADB =π4,BD 是圆的直径，AC ⋅BD=2，则∠ADC =()A.5π12B.π2C.7π12D.2π3【答案】C【解析】因为AC ⋅BD =2，所以AD +DC ⋅BD =2，易知BD =4，结合图形，AD ·BD =2×4×22=4，∠BCD =90°，则4-DC 2=2，故DC = 2.又BD 是圆的直径，AD =2,∠ADB =π4，所以BD =22，所以在直角三角形BCD 中可得∠BDC =π3，故∠ADC =7π12.故选：C .6(2024·湖南娄底·一模)若直线ex -4y +e ln4=0是指数函数y =a x (a >0且a ≠1)图象的一条切线，则底数a =()A.2或12B.eC.eD.e 或e【答案】D【解析】设切点坐标为x 0,f x 0 ，对函数y =a x ，求导得y =a x ln a ，切线方程ex -4y +e ln4=0化成斜截式为y =e 4x +e ln44，由题设知e4=a x 0ln a >0a x 0=ex 0+e ln44，显然ln a >0，即a >1，由a x 0=e 4ln a ，得e 4ln a =ex 0+e ln44，即1ln a=x 0+ln4，即1=x 0⋅ln a +ln a ln4=ln a x 0+ln4ln a =ln a x⋅4ln a ，即e =a x 0⋅4ln a =e4ln a ⋅4ln a ，化简得4ln a =4ln a ，令ln a =t >0，即4t =4t ，利用指数函数与一次函数的性质，可知t =1或12，即ln a =1或12，解得a =e 或 e.故选：D .7(2024·河北沧州·一模)过点P 1,2 作圆O :x 2+y 2=10相互垂直的两条弦AB 与CD ，则四边形ACBD 的面积的最大值为()A.66B.215C.96D.15【答案】D【解析】如图所示：OP =5,记OM =m ,ON =n ,则m 2+n 2=5，AC =210-m 2,BD =210-n 2，S ACBD =12AC ⋅BD =210-m 2⋅10-n 2≤2×10-m 2+10-n 22=15，当且仅当10-m 2=10-n 2，即m =n =102时，取等号.所以四边形ACBD 的面积的最大值为15.故选：D8(2024·湖南·一模)若不等式e x -1-mx -2n -3≥0对∀x ∈R 恒成立，其中m ≠0，则nm的取值范围为()A.-∞,-ln3e 2B.ln3e 2,+∞ C.-e ,-ln3e 2D.ln3e 2,e 【答案】A【解析】令e x -1-mx -2n -3=0，即e x -1=mx +2n +3，当m <0时，由函数y =e x -1与y =mx +2n +3的图象可知，两函数图象有一个交点，记为x 0,y 0 ，则当x <x 0时，e x -1<mx +2n +3，即e x -1-mx -2n -3<0，不满足题意；当m >0时，令f x =e x -1-mx -2n -3，则f x =e x -1-m ，令f x =0，则x =ln m +1，因为f x =e x -1-m 单调递增，所以当x <ln m +1时，f x <0，f x 单调递减，当x >ln m +1时，f x >0，f x 单调递增，所以x =ln m +1时，f x 有最小值f ln m +1 =-m ln m -2n -3，又e x -1-mx -2n -3≥0对∀x ∈R 恒成立，所以-m ln m -2n -3≥0，即2n ≤-m ln m -3，所以2n m ≤-ln m -3m，当且仅当2n =-m ln m -3时等号成立.令g m =-ln m -3m ，则g m =-1m +3m 2=3-mm 2，当0<m <3时，g m >0，g m 单调递增，当m >3时，g m <0，g m 单调递减，所以当m =3时，g max m =-ln3-1=-ln3e ，所以2n m ≤-ln3e ，即n m ≤-ln3e 2，当且仅当m =3，n ≤-3ln3e 2时等号成立，所以n m 的取值范围为-∞,-ln3e 2 .故选：A9(2024·湖南·模拟预测)如图所示，面积为π的扇形OMN 中，M ,N 分别在x ,y 轴上，点P 在弧MN 上(点P 与点M ,N 不重合)，分别在点P ,N 作扇形OMN 所在圆的切线l 1,l 2，且l 1与l 2交于点Q ，其中l 1与x 轴交于点R ，则NQ +QR 的最小值为()A.4B.23C.6D.2【答案】B【解析】解析：因为扇形OMN 的面积为π，即14πOP 2=π，所以OP =2，设∠POM =θ，则在Rt △OPR 中，PR =2tan θ，连接OQ ，根据切线的性质知QN =QP ,∠NOQ =12∠NOP =π4-θ2，则在Rt △NOQ 中，NQ =2tan π4-θ2，所以NQ +QR =PR +2NQ =2tan θ+4tan π4-θ2 ,θ∈0,π2，令α=π4-θ2，则θ=π2-2α，且α∈0,π4，所以原式=2tan π2-2α +4tan α=2tan2α+4tan α=1-tan 2αtan α+4tan α=3tan α+1tan α≥21tan α⋅3tan α=23，当且仅当3tan α=1tan α，即tan α=33时，等号成立，又α∈0,π4 ，所以α=π6=θ=∠POM 时，NQ +QR 取得最小值，为23，故选：B10(2024·陕西商洛·模拟预测)设a =sin0.2,b =0.16,c =12ln 32，则()A.a >c >bB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b【答案】D【解析】设f x =sin x -x -x 2 ,x ∈0,0.2 ,f x =cos x -1+2x ，设g x =f x ,g x =-sin x +2>0，所以g x ≥g 0 =0，所以函数f x 在0,0.2 上单调递增，所以f 0.2 =sin0.2-0.2-0.22 =sin0.2-0.16>f 0 =0，即a >b .根据已知得c =12ln 32=12ln 1.20.8=12ln 1+0.21-0.2，可设h x =12ln 1+x -ln 1-x -sin x ,x ∈ 0,0.2 ，则h x =1211+x +11-x -cos x =11-x 2-cos x >0，所以函数h x 在0,0.2 上单调递增，所以h 0.2 >h 0 =0，即c >a .综上，c >a >b .故选：D .11(2024·河南信阳·模拟预测)已知数列a n 的前n 项和为S n ，S 1=1，S 2=3，且32a n +1是2a n ，a n +2的等差中项，则使得ni =1i a i>509128成立的最小的n 的值为()A.8B.9C.10D.11【答案】D 【解析】∵32a n +1是2a n ，a n +2的等差中项，∴a n +2=3a n +1-2a n ，故a n +2-a n +1=2a n +1-a n ，而a 2-a 1=S 2-2S 1=1≠0，∴a n +2-an +1a n +1-a n=2，故数列a n +1-a n 是首项为1，公比为2的等比数列，则a n +1-a n =2n -1，∴a n =a n -a n -1 +a n -1-a n -2 +⋯+a 2-a 1 +a 1=2n -2+2n -1+⋯+20+1=1-2n -11-2+1=2n -1，记T n =ni =1i a i，则T n =120+221+⋯+n2n -1，2T n =12-1+220+⋯+n2n -2，两式相减可得，T n =12-1+120+121+⋯+12n -2-n 2n -1=21-12 n1-12-n 2n -1=4-2+n 2n -1，即ni =1i a i=4-2+n 2n -1，令4-2+n 2n -1>509128，即2+n 2n -1<3128，设f x =2+x 2x -1x >0 ，则fx =2x -1-2+x ⋅2x -1⋅ln22x -1 2=1-2+x ⋅ln22x -1，∵x >0，∴f x <0，∴f x 在0,+∞ 单调递减，∴2+n 2n -1 是递减数列，∵当n =10时，2+n 2n -1=2+10210-1=3128，∴当n >10时，ni =1i a i >509128，∴使得ni =1i a i>509128成立的最小的n 的值为11.故选：D .12(2024·全国·模拟预测)若关于x 的不等式a (ln x +ln a )≤2e 2x 在(0,+∞)上恒成立，则实数a 的取值范围为()A.(0,e ]B.0,e 2C.(0,e ]D.(0,2e ]【答案】D【解析】依题意得，ax ln ax ≤2xe 2x ，故eln axln ax ≤2xe 2x ，令f x =xe x ,x ∈R ，则f x =x +1 e x ，令f x =0可得x =-1，所以x ∈-∞,-1 时，f x <0，则f x 在-∞,-1 上单调递减，x ∈-1,+∞ 时，f x >0，则f x 在-1,+∞ 上单调递增；且当x <0时，f x <0，当x >0时，f x >0；则由f ln ax ≤f 2x x >0 ，得ln ax ≤2x ，则a ≤e 2xx 令g x =e 2xx ,x ∈0,+∞ ，则g x =2x -1 e 2xx2，故当x ∈0,12 时，g x <0，g x 单调递减，当x ∈12,+∞ 时，g x >0,g x 单调递增，故g x min =g 12=2e ，则a ≤2e ，则实数a 的取值范围为a ∈0,2e .故选：D ．13(2024·湖南岳阳·二模)设a =log 23，b =log 35，c =log 58，则()A.a >b >cB.b >a >cC.b >c >aD.c >a >b【答案】A【解析】因为32>23，所以log 232>log 223，即2log 23>3，所以log 23>32，即a >32；因为52<33，所以log 352<log 333，即2log 35<3，所以log 35<32，即b <32；因为82<53，所以log 582<log 553，即2log 58<3，所以log 58<32，即c <32；又因为b -c =log 35-log 58=1log 53-log 58=1-log 53⋅log 58log 53，且2log 53⋅log 58<log 53+log 58=log 524<log 525=2，所以log 53⋅log 58<1，所以b -c >0，所以b >c ；综上所述，a >b >c .故选：A .14(2024·湖南岳阳·二模)已知点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 是圆x 2+y 2=16上的两点，若∠AOB =π2，则x 1+y 1-2 +x 2+y 2-2 的最大值为()A.16B.12C.8D.4【答案】B【解析】因为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)在圆x 2+y 2=16上，∠AOB =π2，因为|OA |=|OB |=4，则△AOB 是等腰直角三角形，|x 1+y 1-2|+|x 2+y 2-2|表示A 、B 到直线x +y -2=0的距离之和的2倍，原点O 到直线x +y -2=0的距离为d =22=2，如图所示：AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，E 是AB 的中点，作EF ⊥CD 于F ，且OE ⊥AB ，|AC |+|BD |=2|EF |，OE =12AB =22，EF ≤OE +d =32，当且仅当O ,E ,F 三点共线，且E ,F 在O 的两侧时等号成立，又EF =12BD +AC ，故BD +AC 的最大值为62|x 1+y 1-2|+|x 2+y 2-2|的最大值为22×32=12．故选：B ．15(2024·湖南·二模)2024年春节期间，某单位需要安排甲、乙、丙等五人值班，每天安排1人值班，其中正月初一、二值班的人员只安排一天，正月初三到初八值班人员安排两天，其中甲因有其他事务，若安排两天则两天不能连排，其他人员可以任意安排，则不同排法一共有()A.792种 B.1440种 C.1728种 D.1800种【答案】B【解析】当甲安排在初一或初二时，再安排一人在初二或初一，则有C 12C 14种排法，再利用平均分组分配法将初三到初八分配给剩下的3人，有C 26C 24C 22种排法，所以一共有C 12C 14C 26C 24C 22=720种排法；当甲不安排在初一或初二时，安排两人在初一或初二，有A 24种排法，不考虑甲两天不能连排的情况，有C 26C 24C 22种排法，其中甲两天连排的排法有5C 24C 22种，故初三到初八的值班安排有C 26C 24C 22-5C 24C 22种排法，所以一共有A 24C 26C 24C 22-5C 24C 22 =720种排法；综上可知共有720+720=1440种不同排法.故选：B .16(2024·湖南·二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别是F 1,F 2,O 为坐标原点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线C 交于点P ，且OP 在OF 1 上的投影向量为35OF 1，则双曲线C 的离心率为()A.2 B.3C.4D.5【答案】D【解析】不妨设点P 在第二象限，如图，因为OP 在OF 1 上的投影向量为35OF 1 ，则P -35c ,y 0 ，又PO 2=r 2=c 2，所以y 20=c 2--35c 2=1625c 2，又P 在双曲线上，∴9c 225a 2-16c 225b2=1，则25a 2b 2+16a 2c 2-9b 2c 2=0，即25a 2c 2-a 2 +16a 2c 2-9c 2-a 2 c 2=0，整理得9c 2-5a 2 c 2-5a 2 =0，所以9e 2-5 e 2-5 =0，解得e 2=5或e 2=59(舍去)，∴e = 5.故选：D .17(2024·湖南·二模)在△ABC 中，角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c ，且a 2-b 2+c 2+2ac =0，若cos A -C =7210，α∈π4,π2 ,cos α+A cos α+C cos 2α=25，则tan α的值为()A.1 B.2C.4D.2或4【答案】C【解析】由余弦定理得cos B =a 2+c 2-b 22ac =-22⇒B =3π4,A +C =π4，即cos A -C =7210cos A +C =22⇒cos A cos C =325sin A sin C =210，cos α+A cos α+C cos 2α=cos 2αcos A cos C +sin 2αsin A sin Ccos 2α--sin αcos αsin A cos C +sin C cos A cos 2α=325cos 2α+210sin 2α-22sin αcos αcos 2α=325+210tan 2α-22tan α=25，所以tan 2α-5tan α+4=0⇒tan α=1或tan α=4，又α∈π4,π2，所以tan α=4.故选：C18(2024·湖南常德·三模)设有甲、乙两箱数量相同的产品，甲箱中产品的合格率为90%，乙箱中产品的合格率为80%.从两箱产品中任取一件，经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为()A.56B.67C.78D.1720【答案】A【解析】设事件B 1表示任选一件产品，来自于甲箱，事件B 2表示任选一件产品，来自于乙箱，事件A 从两箱产品中任取一件，恰好不合格，P A =P A |B 1 P B 1 +P A |B 2 P B 2 =0.1×0.5+0.2×0.5=0.15又P B 1|A =P AB 1 P A =P A |B 1 P B 1 P A=0.1×0.50.15=13P B 2|A =P AB 2 P A =P A |B 2 P B 2 P A=0.2×0.50.15=23，经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为13×910+23×810=56.故选：A .19(2024·湖南·模拟预测)有一枚质地均匀点数为1到4的特制骰子，投掷时得到每种点数的概率均等，现在进行三次独立投掷，记X 为得到最大点数与最小点数之差，则X 的数学期望E X =()A.2116B.32C.74D.158【答案】D【解析】X 的所有可能取值为0,1,2,3，记三次得到的数组成数组a ,b ,c ，满足X =0的数组有：1,1,1 ,2,2,2 ,3,3,3 ,4,4,4 ，共4个，所以P X =0 =443=116，满足X =1的数组有：1,1,2 ,1,2,1 ,2,1,1 ,2,2,3 ,2,3,2 ,3,2,2 ,3,3,4 ,3,4,3 ,4,3,3 ，2,2,1 ,2,1,2 ,1,2,2 ,3,3,2 ,3,2,3 ,2,3,3 ,4,4,3 ,4,3,4 ,3,4,4 ，共18个，所以P X =1 =1843=932，满足X =2的数组有：1,1,3 ,1,3,1 ,3,1,1 ,2,2,4 ,2,4,2 ,4,2,2 ，3,3,1 ,3,1,3 ,1,3,3 ,4,4,2 ,4,2,4 ,2,4,4 ，1,2,3 ,1,3,2 ,2,1,3 ,2,3,1 ,3,1,2 ,3,2,1 ，4,2,3 ,4,3,2 ,2,4,3 ,2,3,4 ,3,4,2 ,3,2,4 ，共24个，所以P X =2 =2443=38，满足X =3的数组有：1,2,4 ,1,3,4 ,1,4,4 ，1,4,1 ,1,4,2 ,1,4,3 ，1,1,4 ,2,1,4 ,3,1,4 ，4,1,1 ,4,2,1 ,4,3,1 ，4,1,2 ,4,1,3 ,4,1,4 ，2,4,1 ,3,4,1 ,4,4,1 ，共18个，所以P X =3 =1843=932，所以X 的数学期望E X =0×116+1×932+2×38+3×932=158.故选：D .20(2024·湖南·模拟预测)已知函数f x 满足f x +8 =f x ，f x +f 8-x =0，当x ∈0,4 时，f x =ln 1+sin π4x ，则函数F x =f 3x -f x 在0,8 内的零点个数为()A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】根据题意，函数f x 的周期为8，图象关于点4,0 对称，又f 38-x +f 3x =f 8-3x +f 3x =-f 3x +f 3x =0，所以函数y =f 3x 的图象也关于点4,0 对称，由x ∈0,4 ，f x =ln 1+sin π4x ，∴fx =π4cos π4x 1+sin π4x ，∵0≤π4x <π，sin π4x ≥0，令f x >0，解得0≤x <2，令f x <0，解得2<x <4，所以函数f x 在0,2 上单调递增，在2,4 上单调递减，f 2 =ln2，f 0 =f 4 =0，在同一个坐标系中，作出函数y =f 3x 与y =f x 的图象，如图，由图可得，函数y =f 3x 与y =f x 在0,4 上有两个交点，因为函数y =f 3x 与y =f x 图象均关于点4,0 对称，所以函数y =f 3x 与y =f x 在4,8 上有两个交点，又f 12 =f 4 =0，所以函数F x =f 3x -f x 在0,8 内的零点个数为5.故选：C .21(2024·高三·江苏镇江·开学考试)某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲､乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率分别为p 1，p 2，且满足p 1+p 2=43，每局之间相互独立.记甲、乙在n 轮训练中训练过关的轮数为X ，若E X =16，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为()A.27 B.24 C.32 D.28【答案】A【解析】设每一轮训练过关的概率为p ，则p =p 21p 22+p 21×C 12×p 2×1-p 2 +p 22×C 12×p 1×1-p 1=-3p 21p 22+2p 1p 2p 1+p 2 =-3p 21p 22+2p 1p 2×43=-3p 21p 22+83p 1p 2，0<p 1p 2≤p 1+p 22 2=49，当且仅当p 1=p 2=23时等号成立.函数y =-3x 2+83x 的开口向上，对称轴为x =49，所以0<-3p 21p 22+83p 1p 2≤-3⋅49 2+83⋅49=1627，依题意，X ∼B n ,p ，则E X =n -3p 21p 22+83p 1p 2=16，n =16-3p 21p 22+83p 1p 2≥161627=27，所以至少需要27轮.故选：A22(2024·河南·模拟预测)已知圆O 为△ABC 的外接圆，∠BAC =60°，BC =23，则OB ⋅OC=()A.2B.-2C.4D.-4【答案】B【解析】如图，圆O 的直径为2R =BC sin ∠BAC=2332=4，故OB =OC =R =2，∠BOC =2∠BAC =120°，故OB ⋅OC =OB OC cos120°=2×2×-12=-2.故选：B .二、多选题23(2024·广东湛江·二模)已知函数f x 的定义域为R ，f x 不恒为零，且f x +y +f x -y =2f x f y ，则()A.f 0 =1B.f x 为偶函数C.f x 在x =0处取得极小值D.若f a =0，则f (x )=f (x +4a )【答案】ABD【解析】对于选项A ，令x =y =0，得2f 0 =2f 0 2，解得f 0 =0或f 0 =1，当f 0 =0时，令y =0，则2f x =2f x f 0 ，则f x =0，这与f x 不恒为零矛盾，所以f 0 =1，故选项A 正确，对于选项B ，令x =0，则f 0+y +f 0-y =2f y f 0 ，即f y =f -y ，即f x 为偶函数，所以选项B 正确，对于选项C ，取f x =cos x ，满足题意，此时x =0不是f x 的极小值点，所以选项C 错误，对于选项D ，令y =a ，得f x +a +f x -a =2f x f a ，若f a =0，则f x +a =-f x -a ，则f x =-f x +2a ，则f x +4a =-f x +2a =f x ，所以选项D 正确，故选：ABD .24(2024·甘肃定西·一模)下列命题为真命题的是()A.x 2-4x -8-x +4+x -1 的最小值是2B.x 2-4x -8-x +4+x -1 的最小值是5C.x 2-4x -8-x +4+x 2-2x -4-x +2的最小值是2D.x 2-4x -8-x +4+x 2-2x -4-x +2的最小值是3【答案】BC【解析】设A (0,2),B (-1,1),F (-1,0),P (x ,-4x )，易知点P 的轨迹是抛物线y 2=-4x 的上半部分，抛物线y 2=-4x 的准线为直线x =1,P 到准线的距离d =|x -1|，F 为抛物线y 2=-4x 的焦点，对于AB ，x 2-4x -8-x +4+|x -1|=x 2+(-4x -2)2+d =|PA |+d =|PA |+|PF |≥|AF |=5，所以x 2-4x -8-x +4+|x -1|的最小值为5，故A 错误，B 正确；对于CD ，x 2-4x -8-x +4+x 2-2x -4-x +2=x 2+(-4x -2)2+(x +1)2+(-4x -1)2=|PA |+|PB |≥|AB |=2，所以x 2-4x -8-x +4+x 2-2x -4-x +2的最小值是2，故C 正确，D 错误.故选：BC .25(2024·高二·福建福州·期末)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”)．比如取正整数m =8，根据上述运算法则得出8→4→2→1→4→2→1．猜想的递推关系如下：已知数列a n 满足a 1=5，a n +1=a n2,a n 为偶数3a n+1,a n为奇数，设数列a n的前n 项和为S n ，则下列结论正确的是()A.a3=8B.a 5=2C.S 10=49D.S 300=722【答案】ABD【解析】因为数列a n 满足a 1=5，a n +1=a n2,a n 为偶数3a n+1,a n为奇数，所以a 2=3×5+1=16,a 3=162=8,a 4=82=4,a 5=42=2,a 6=22=1,a 7=3×1+1=4,a 8=42=2,a 9=22=1,a 10=3×1+1=4，所以S 10=5+16+8+4+2+1+4+2+1+4=47，所以AB 正确，C 错误，因为数列a n 中从第4项起以4，2，1循环，而(300-3)÷3=99，所以S 300=(5+16+8)+99×(4+2+1)=722，所以D 正确，故选：ABD26(2024·高三·江西·期末)在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M ，N ，P 分别是线段C 1D 1，线段C 1C ，线段A 1B 上的动点，且MC 1=NC 1≠0.则下列说法正确的有()A.MN ⊥ABB.直线MN 与AP 所成的最大角为90°C.三棱锥M -DPC 的体积为定值D.当四棱锥P -D 1DBB 1体积最大时，该四棱锥的外接球表面积为12π【答案】BCD【解析】对于A ，由MC 1=NC 1≠0，可得D 1C ⎳MN ，因为AB ⎳D 1C 1，所以MN 与AB 不垂直，因此A 不正确；对于B ，因为D 1C ⎳A 1B ，所以MN ⎳A 1B ，因此直线MN 与AP 所成的角就是直线A 1B 与AP 所成的角，当P 为A 1B 中点时，此时AP ⊥A 1B ,直线A 1B 与AP 所成的角最大为90°，因此B 正确：对于C ，由于平面ABB 1A 1⎳平面DCC 1D 1,AP ⊂平面ABB 1A 1,所以V M -DPC =V P -DMC =V P -D 1DC =V A -D 1DC =13×12×2×2×2=43为定值，C 正确：对于D ，VP -BDD 1B 1=2V P -BDD 1=2V D 1-PBD ,由于P 为A 1B 上的点，故D 1到平面A 1BD 的距离为定值，所以D 1到平面PBD 的距离为定值，要使V D 1-PBD 最大，只需要S △PBD 最大，故当P 为A 1点时，四棱锥P -D 1DBB 1体积最大，该四棱锥的外接球即正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的外接球，直径为BD 1=23，所以r =3，故其表面积为12π，因此D 正确．故选：BCD ．27(2024·湖南娄底·一模)对于事件A 与事件B ，若A ∪B 发生的概率是0.72，事件B 发生的概率是事件A 发生的概率的2倍，下列说法正确的是()A.若事件A 与事件B 互斥，则事件A 发生的概率为0.36B.P B ∣A =2P A ∣BC.事件A 发生的概率的范围为0.24,0.36D.若事件A 发生的概率是0.3，则事件A 与事件B 相互独立【答案】BCD【解析】对于A ，若事件A 与事件B 互斥，则P A ∪B =P A +P B =3P A =0.72，所以P A =0.24,A ，故A 错误；对于B ，P B |A =P AB P A ,P A |B =P AB P B =P AB 2P A=12P B |A ，故B 正确；对于C ，P A ∪B =P A +P B -P AB =3P A -P AB =0.72,P A =0.24+P AB3，若事件A 与事件B 互斥，则P AB =0，此时P A 取到最小值为0.24，若P A ⊆P B ，此时P AB =P A ,P A 取到最大值为0.36，故C 正确；对于D ，P A =0.3，则P B =0.6，由P A ∪B =P A +P B -P AB ，得P AB =0.3+0.6-0.72=0.18=P A ⋅P B ，则事件A 与事件B 相互独立，故D 正确.故选：BCD .28(2024·湖南娄底·一模)已知函数f x 的定义域和值域均为x ∣x ≠0,x ∈R ，对于任意非零实数x ,y ,x +y ≠0，函数f x 满足：f x +y f x +f y =f x f y ，且f x 在-∞,0 上单调递减，f 1 =1，则下列结论错误的是()A.f 12=2B.2023i =1f12i=22023-2C.f x 在定义域内单调递减 D.f x 为奇函数【答案】BC【解析】对于A ，令x =y =12，则2f 1 f 12=f 12 2，因f 12≠0，故得f 12=2f (1)=2，故A 正确；对于B ,由f x +y f x +f y =f x f y ，令y =x ，则f (2x )=[f (x )]22f (x )=12f (x )，则f12i =f 2×12i +1 =12f 12i +1 ，即f 12i +1 =2f 12i，故f 12i是以f 12 =2为首项，2为公比的等比数列，于是2023i =1f 12i=21-22023 1-2=22024-2，故B 错误；。

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（2013•江苏）在正项等比数列{a n }中，，a 6+a 7=3，则满足a 1+a 2+…+a n ＞a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为．（2012年江苏省5分）已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则ba的取值范围是．（2010年江苏) 将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=(梯形的周长)2梯形的面积,则S 的最小值是________（2009年江苏）设{}n a 是公比为q 的等比数列，||1q >，令1(1,2,)n n b a n =+=若数列{}n b 有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--中，则6q = .（2013新课标1卷）设n n n A B C ∆的三边长分别为,,n n n a b c ，n n n A B C ∆的面积为n S ，1,2,3,n =，若11111,2b c b c a >+=，111,,22n n nnn n n n c a b a a a b c +++++===，则( )A .{S n }为递减数列B .{S n }为递增数列 C.{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列 D.{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列（2013新课标1卷）若函数()f x =22(1)()x x ax b -++的图像关于直线2x =-对称，则()f x 的最大值是______（2012新课标1卷）设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 最小值为（） ()A 1ln2- ()B 2(1ln 2)- ()C 1ln2+ ()D 2(1ln 2)+（2012新课标1卷）数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为（2011新课标1卷）函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有焦点的横坐标之和等于（A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8（2011新课标1卷）在V-ABC中，60,B AC ==2AB BC +的最大值为（2010新课标1卷）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值()3A()3B(C()3D（2010新课标1卷）已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且2BF FD =，则C 的离心率为。

（2009新课标1卷）已知椭圆C: 2212x y +=的又焦点为F ，右准线为L ，点A L ∈,线段AF 交C 与点B 。

若3FA FB =,则AF =(B)2(C) (D)3（2009新课标1卷）若42ππ＜X ＜,则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 .(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a ＞0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )．A ．(0,1) B．1122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ C．11,23⎛⎤- ⎥ ⎝⎦ D ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ (2013课标全国Ⅱ，理16)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为__________．(2012课标全国Ⅱ)正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝73。

动点P 从E 出发沿直线喜爱那个F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为（A ）16 （B ）14 （C ）12 (D)10(2012课标全国Ⅱ) 三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都相等， BAA 1=CAA 1=50°则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为____________。

(2010课标全国Ⅱ)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞的离心率为32，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =（A ）1 （B 2 （C 3 （D ）2(2010课标全国Ⅱ)已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共弦，4AB =．若3OM ON ==，则两圆圆心的距离MN = ．(2009课标全国Ⅱ)纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。

现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“∆”的面的方位是 A. 南 B. 北 C. 西D. 下(2009课标全国Ⅱ)已知AC BD 、为圆O :224x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为(2M ,则四边形ABCD 的面积的最大值为。

（2013安微）若函数3()=+b +f x x x c 有极值点1x ，2x ，且11()=f x x ，则关于x 的方程213(())+2()+=0f x f x b 的不同实根个数是（A ）3 （B ）4 （C ） 5 （D ）6（2013安微）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A,P ,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S 。

则下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）。

①当102CQ <<时，S 为四边形 ②当12CQ =时，S 为等腰梯形 ③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足1113C R =④当314CQ <<时，S 为六边形⑤当1CQ =时，S 的面积为62（2012安微）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为（）()A 1或3 ()B 1或4 ()C 2或3 ()D 2或4（2012安微）设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ；则下列命题正确的是_____ ①若2ab c >；则3C π<②若2a b c +>；则3C π<③若333a b c +=；则2C π<④若()2a b c ab +<；则2C π>⑤若22222()2a b c a b +<；则3C π>（2011安微）函数()(1)m nf x nx x =- 在区间上的图像如图所示，则m,n 的值可能是（A ）m=1, n=1 （B ）m=1, n=2 （C ）m=2, n=1 （D ）m=3, n=1（2011安微）在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）. ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点 ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点④直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线（2010安微）设n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为,,x y z ，则下列等式中恒成立的是（A ）2x z y += （B ）()()y y x z z x -=- （C ）2y xz = （D ）()()y y x x z x -=-（2010安微）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球。

先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A ,2A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件。

再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件。

则下列结论中正确的是（写出所有正确结论的编号）①P （B ）=25； ②P （B|1A ）=511；③事件B 与事件1A 相互独立； ④1A ,2A ,3A 是两两互斥的事件；⑤P （B ）的值不能确定，因为它与1A ,2A ,3A 中究竟哪一个发生有关；（2009安微）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（）（A ）175 （B ） 275 （C ）375 （D ）475（2009安微）对于四面体ABCD ，下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）。

○1相对棱AB 与CD 所在的直线异面； ○2由顶点A 作四面体的高，其垂足是∆BCD 的三条高线的交点；○3若分别作∆ABC 和∆ABD 的边AB 上的高，则这两条高所在的直线异面； ○4分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点； ○5最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。

（2013广东）设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n =.令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( )A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈（2013广东）给定区域D :4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定______ 条不同的直线.（2012广东）对任意两个非零的平面向量α和β，定义。

若平面向量a ，b 满足|a|≥|b|＞0，a 与b 的夹角，且a ·b 和b ·a 都在集合中，则A ．12 B.1 C. 32 D.52（2011广东）设S 是整数集Z 的非空子集，如果,,a b S ∀∈有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的. 若T ,V 是Z 的两个不相交的非空子集，T V Z =且,,,a b c T ∀∈有;,,,abc T x y z V ∈∀∈有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是A ．,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B . ,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C . ,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D . ,T V 中每一个关于乘法都是封闭的（2010广东）为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同．记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。

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