高中数学归纳法证明题
数学归纳法
数学归纳法1．用数学归纳法证明1*，n>1)时，在证明过程的第二步从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加的项数是 ( )A ．2kB ．2k －1C ．1-2kD ．2k ＋1 2．则可归纳出式子（ ）3．用数学归纳法证明“”对于0n n ≥的正整数均成立”时，第一步证明中的起始值0n 应取（ ） A. 1B. 3C. 6D. 104，且1)n >时，第一步应证明下述哪个不等式成立（ ）A ．12<B 5在验证1n =成立时,左边所得的项为 ( ) A. 1 B. 1+a C. 21a a ++ D. 231a a a +++6．在用数学归纳法证明),1(111212*++∈≠--=++++N n a a a a a a n n 时，在验证当1=n 时，等式左边为（ ） A. 1 B. a +1 C. 21a a ++ D. 321a a a +++7．用数学归纳法证明=++++2321n ，则当n=k+1时左端应在n=k 的基础上增加 （ ）A ．k 2+1B ．（k+1）2C ．D ．（k 2+1）+（k 2+2）+（k 2+3）+…+（k+1）28n=k+1与n=k 时相比，左边应添加( )9 A ．增加了1项B ．增加了2项CD10． 用数学归纳法证明：从n=k 到n=k+1成立时，左边增加的项数是（ ）A.k 2B.12-kC.12-kD.12+k当k n =时成立，则当A ．1 B ．2 C ．k D ．k 212由k n =到1+=k n 时，不等式的左边（ ）A.B.C.D.13（,1n N n +∈>）时，第一步应验证不等式（ ）A C D列式子… … , _________________ _______________ 15．用数学归纳法证明“221n n >+对于0n n ≥的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值0n 应取_____________．16．（本小题满分10，其中n 为正整数． （1）求)1(f ，)2(f ，)3(f 的值；（2）猜想满足不等式0)(<n f 的正整数n 的范围，并用数学归纳法证明你的猜想．17．（本小题满分12分）归纳法证明：数列}{n a 的通项公式18．（12分）数列}{n a 满足n （1）写出432,,a a a ；（2）猜出n a 的表达式，并用数学归纳法证明19．（本小题满分10分）已知数列{}n a 中，12,111+==+n n a a a ，（Ⅰ）求5432,,,a a a a ；（Ⅱ）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法加以证明.2021．在数列}{n a 中，（1）写出,,21a a 3a ；（2）求数列}{n a 的通项公式22．数列}{n a 中，，用数学归纳法证明：)(2*∈>N n a n 23．在数列}{n a 中，，求数列}{n a 的通项公式 24．已知数列{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，对于一切*∈N n 均有n a 与2的等差中项等于n S 与2的等比中项。
(完整版)数学归纳法经典例题详解
例1．用数学归纳法证明：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n Λ． 请读者分析下面的证法：证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边31121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k Λ． 那么当n =k +1时，有：()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k Λ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3211211211217151513131121k k k k Λ 322221321121++⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=k k k ()1121321+++=++=k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立．由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求．正确方法是：当n =k +1时．()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k Λ ()()3212112++++=k k k k ()()()()()()321211232121322++++=++++=k k k k k k k k()1121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式：a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立，并证明你的结论．分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性． 解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组．⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=60322426321211a a a a a a ， 解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3．故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立．下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．因为起始值已证，可证第二步骤．假设n =k 时，等式成立，即a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2)那么当n =k +1时，a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1= k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3]=(k +1)(k 2+2k +3k +6)=(k +1)(k +2)(k +3)=(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2]这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立． 综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．例3．证明不等式n n 2131211<++++Λ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++Λ．那么当n =k +1时，11131211++++++k k Λ1112112+++=++<k k k k k ()()12112111+=++=++++<k k k k k k这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是1211131211+<++++++k k k Λ，当代入归纳假设后，就是要证明： 12112+<++k k k ．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．例4．已知数列{a n }满足a 1=0，a 2=1，当n ∈N 时，a n +2=a n +1+a n ．求证：数列{a n }的第4m +1项(m ∈N )能被3整除．分析：本题由a n +1=a n +1+a n 求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法．①当m =1时，a 4m +1=a 5=a 4+a 3=(a 3+a 2)+(a 2+a 1)=a 2+a 1+a 2+a 2+a 1=3，能被3整除．②当m =k 时，a 4k +1能被3整除，那么当n =k +1时，a 4(k +1)+1=a 4k +5=a 4k +4+a 4k +3=a 4k +3+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1=a 4k +2+a 4k +1+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1=3a 4k +2+2a 4k +1由假设a 4k +1能被3整除，又3a 4k +2能被3整除，故3a 4k +2+2a 4k +1能被3整除．因此，当m =k +1时，a 4(k +1)+1也能被3整除．由①、②可知，对一切自然数m ∈N ，数列{a n }中的第4m +1项都能被3整除．例5．n个半圆的圆心在同一条直线l上，这n个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？分析：设这些半圆最多互相分成f (n)段圆弧，采用由特殊到一般的方法，进行猜想和论证．当n=2时，由图(1)．两个半圆交于一点，则分成4段圆弧，故f (2)=4=22．当n=3时，由图(2)．三个半径交于三点，则分成9段圆弧，故f (3)=9=32．由n=4时，由图(3)．三个半圆交于6点，则分成16段圆弧，故f (4)=16=42．由此猜想满足条件的n个半圆互相分成圆弧段有f (n)=n2．用数学归纳法证明如下：①当n=2时，上面已证．②设n=k时，f (k)=k2，那么当n=k+1时，第k+1个半圆与原k个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第k+1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出k条圆弧；另外原k个半圆把第k+1个半圆分成k+1段，这样又多出了k+1段圆弧．∴ f (k+1)=k2+k+(k+1)=k2+2k+1=(k+1)2∴满足条件的k+1个半圆被所有的交点最多分成(k+1)2段圆弧．由①、②可知，满足条件的n个半圆被所有的交点最多分成n2段圆弧．说明：这里要注意；增加一个半圆时，圆弧段增加了多少条？可以从f (2)=4，f (3)=f (2)+2+3，f (4)=f (3)+3+4中发现规律：f (k+1)=f (k)+k+(k+1)．。
(完整版)高二数学归纳法经典例题
例1．用数学归纳法证明：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n ． 请读者分析下面的证法：证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边31121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ． 那么当n =k +1时，有：()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3211211211217151513131121k k k k 322221321121++⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=k k k ()1121321+++=++=k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立．由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求．正确方法是：当n =k +1时．()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ()()3212112++++=k k k k ()()()()()()321211232121322++++=++++=k k k k k k k k()1121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式：a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立，并证明你的结论．分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性． 解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组．⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=60322426321211a a a a a a ， 解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3．故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立．下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．因为起始值已证，可证第二步骤．假设n =k 时，等式成立，即a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2)那么当n =k +1时，a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1= k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3]=(k +1)(k 2+2k +3k +6)=(k +1)(k +2)(k +3)=(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2]这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立． 综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．例3．证明不等式n n 2131211<++++ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ ．那么当n =k +1时，11131211++++++k k1112112+++=++<k k k k k ()()12112111+=++=++++<k k k k k k这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是1211131211+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明： 12112+<++k k k ．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．例4．已知数列{a n }满足a 1=0，a 2=1，当n ∈N 时，a n +2=a n +1+a n ．求证：数列{a n }的第4m +1项(m ∈N )能被3整除．分析：本题由a n +1=a n +1+a n 求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法．①当m =1时，a 4m +1=a 5=a 4+a 3=(a 3+a 2)+(a 2+a 1)=a 2+a 1+a 2+a 2+a 1=3，能被3整除．②当m =k 时，a 4k +1能被3整除，那么当n =k +1时，a 4(k +1)+1=a 4k +5=a 4k +4+a 4k +3=a 4k +3+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1=a 4k +2+a 4k +1+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1=3a 4k +2+2a 4k +1由假设a 4k +1能被3整除，又3a 4k +2能被3整除，故3a 4k +2+2a 4k +1能被3整除．因此，当m =k +1时，a 4(k +1)+1也能被3整除．由①、②可知，对一切自然数m ∈N ，数列{a n }中的第4m +1项都能被3整除．例5．n个半圆的圆心在同一条直线l上，这n个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？分析：设这些半圆最多互相分成f (n)段圆弧，采用由特殊到一般的方法，进行猜想和论证．当n=2时，由图(1)．两个半圆交于一点，则分成4段圆弧，故f (2)=4=22．当n=3时，由图(2)．三个半径交于三点，则分成9段圆弧，故f (3)=9=32．由n=4时，由图(3)．三个半圆交于6点，则分成16段圆弧，故f (4)=16=42．由此猜想满足条件的n个半圆互相分成圆弧段有f (n)=n2．用数学归纳法证明如下：①当n=2时，上面已证．②设n=k时，f (k)=k2，那么当n=k+1时，第k+1个半圆与原k个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第k+1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出k条圆弧；另外原k个半圆把第k+1个半圆分成k+1段，这样又多出了k+1段圆弧．∴ f (k+1)=k2+k+(k+1)=k2+2k+1=(k+1)2∴满足条件的k+1个半圆被所有的交点最多分成(k+1)2段圆弧．由①、②可知，满足条件的n个半圆被所有的交点最多分成n2段圆弧．说明：这里要注意；增加一个半圆时，圆弧段增加了多少条？可以从f (2)=4，f (3)=f (2)+2+3，f (4)=f (3)+3+4中发现规律：f (k+1)=f (k)+k+(k+1)．。
4.4 数学归纳法(精讲)(解析版)
1
k
2k 1
ln
k2 k 1
1
2k 1
1
2k
2
ln k
2
k 1
2k 2
.
这说明，当 n k 1时，原不等式也成立.
综上所述，对任意的
n N
，1
1 2
1 3
1 n
ln
n
1
n
2n 1
.
【一隅三反】
6 / 13
1．（2020·安徽高二期中（文））证明：不等式1
1 2
1 3
1 4
1 2n1
k 1 k 2
k k k 1 2k 1 2k 2
②
①得：左边
1 2k
2
2 2k 1
k
1 1
.
故选：D.
3．（2020·甘肃省会宁县第二中学）用数学归纳法证明等式1 3 5 (2n 1) n2 （n∈N*）的过程中，
第二步假设 n=k 时等式成立，则当 n=k+1 时应得到（ ）
A．1 3 5 (2k 1) k 2
考点三 不等式的证明 【例 3】．（2019·浙江省春晖中学高二月考）用数学归纳法证明：
5 / 13
1
1 2
1 3
1 n
ln
n
1
2
n n
1
n N
.
【答案】证明见解析
【解析】先证明出 n
N
，
1 n
ln
1
1 n
1 2n
1
2n 1
，即
1 2n
1
2n 1
ln
1
1 n
0
，
构造函数
f
高二数学数学归纳法试题答案及解析
高二数学数学归纳法试题答案及解析1. 用数学归纳法证明1＋2＋3＋ ＋n 2＝，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( )A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2C ．D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋ ＋(k ＋1)2【答案】D 【解析】当时，,当时，,所以时左端应在的基础上加上. 【考点】数学归纳法.2. 某地区为了绿化环境进行大面积植树造林，如图，在区域 内植树，第一棵 树在点A l （0，1），第二棵树在点．B 1（l ， l ），第三棵树在点C 1（1,0），第四棵树在点C 2（2,0），接着按图中箭头方向每隔一个单位种一棵树，那么（1）第n 棵树所在点坐标是（44,0），则n= ．（2）第2014棵树所在点的坐标是 .【答案】（1）；（2）【解析】（1）从图上可以看出：第3棵树在点，第4颗树在点，第15棵数在点，第16棵数在点，设第棵树在点，显然可以归纳出，∴；由图可知，以，为左右端点的正方形区域内共有棵树，而， ∴第2014的数应是，为左右端点的正方形区域内的依次种植的倒数第11棵树，∴第2014棵树的所在点的坐标为. 【考点】归纳推理.3. 用数学归纳法证明1＋＋＋…＋(,)，在验证成立时，左式是____．【答案】1＋＋ 【解析】当时，；所以在验证成立时，左式是.【考点】数学归纳法.4. 是否存在常数使得对一切恒成立？若存在，求出的值，并用数学归纳法证明；若不存在，说明理由. 【答案】【解析】先探求出的值，即令，解得.用数学归纳法证明时，需注意格式.第一步，先证起始项成立，第二步由归纳假设证明当n="k" 等式成立时，等式也成立.最后由两步归纳出结论.其中第二步尤其关键，需利用归纳假设进行证明，否则就不是数学归纳法.解：取和2 得解得 4分即以下用数学归纳法证明：（1）当n=1时，已证 6分（2）假设当n=k，时等式成立即 8分那么，当时有10分12分就是说，当时等式成立 13分根据（1）（2）知，存在使得任意等式都成立 15分【考点】数学归纳法5.已知，不等式，，，…，可推广为，则等于 .【答案】【解析】因为，……，所以该系列不等式，可推广为，所以当推广为时，.【考点】归纳推理.)时，该命题成立，那么可6.某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N＋推得当n＝k＋1时命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得( )．A．当n＝6时该命题不成立B．当n＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立【答案】C【解析】依题意，若n＝4时该命题成立，则n＝5时该命题成立；而n＝5时该命题不成立，却无法判断n＝6时该命题成立还是不成立，故选C.7.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”的第二步是( )．A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确D．假使n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N＋)【答案】B【解析】因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第k＋1个正奇数即n＝2k＋1正确．8.用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是A．1B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，数学归纳法证明等式时，第一步验证时，坐标表示的为前4项的和，因为最后一项为4，且从1开始，因此可知左边为，选D.【考点】数学归纳法点评：主要是考查了数学归纳法的基本原理的运用，属于基础题。
(完整版)数学归纳法测试题及答案
选修2-2 2. 3 数学归纳法一、选择题1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( ) A ．1＋12<2 B ．1＋12＋13＜2 C ．1＋12＋13＜3 D ．1＋12＋13＋14＜3 [答案] B[解析] ∵n ∈N *，n ＞1，∴n 取第一个自然数为2，左端分母最大的项为122－1＝13， 2．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋an ＋1＝1－a n ＋21－a(n ∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1时，左边所得的项为( ) A ．1 B ．1＋a ＋a 2 C ．1＋a D ．1＋a ＋a 2＋a 3[答案] B[解析] 因为当n ＝1时，a n ＋1＝a 2，所以此时式子左边＝1＋a ＋a 2.故应选B.3．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( ) A.12n ＋1 B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋2[答案] D[解析] f (n ＋1)－f (n )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1(n ＋1)＋1＋1(n ＋1)＋2＋…＋12n ＋12n ＋1＋12(n ＋1) －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＝12n ＋1＋12(n ＋1)－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 4．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题不成立，那么可推得( )A ．当n ＝6时该命题不成立B ．当n ＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立[答案] C[解析]原命题正确，则逆否命题正确．故应选C.5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是()A．假设n＝k(k∈N*)，证明n＝k＋1时命题也成立B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1时命题也成立C．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2时命题也成立D．假设n＝2k＋1(k∈N)，证明n＝k＋1时命题也成立[答案] C[解析]∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C.6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为()A．f(n)＋n＋1B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1D．f(n)＋n－2[答案] C[解析]增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.7．用数学归纳法证明“对一切n∈N*，都有2n>n2－2”这一命题，证明过程中应验证() A．n＝1时命题成立B．n＝1，n＝2时命题成立C．n＝3时命题成立D．n＝1，n＝2，n＝3时命题成立[答案] D[解析]假设n＝k时不等式成立，即2k>k2－2，当n＝k＋1时2k＋1＝2·2k>2(k2－2)由2(k2－2)≥(k－1)2－4⇔k2－2k－3≥0⇔(k＋1)(k－3)≥0⇒k≥3，因此需要验证n＝1,2,3时命题成立．故应选D.8．已知f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9，存在自然数m ，使得对任意n ∈N *，都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为( )A ．30B ．26C ．36D ．6[答案] C[解析] 因为f (1)＝36，f (2)＝108＝3×36，f (3)＝360＝10×36，所以f (1)，f (2)，f (3)能被36整除，推测最大的m 值为36.9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2、a 3、a 4，猜想a n ＝( )A.2(n ＋1)2B.2n (n ＋1)C.22n －1D.22n －1[答案] B[解析] 由S n ＝n 2a n 知S n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1∴S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n∴a n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n∴a n ＋1＝n n ＋2a n (n ≥2)． 当n ＝2时，S 2＝4a 2，又S 2＝a 1＋a 2，∴a 2＝a 13＝13a 3＝24a 2＝16，a 4＝35a 3＝110. 由a 1＝1，a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110猜想a n ＝2n (n ＋1)，故选B. 10．对于不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N ＋)，某学生的证明过程如下：(1)当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立，即k 2＋k <k ＋1，则n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立，上述证法( )A ．过程全都正确B ．n ＝1验证不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确[答案] D[解析] n ＝1的验证及归纳假设都正确，但从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.二、填空题11．用数学归纳法证明“2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈N *)”时，第一步的验证为________．[答案] 当n ＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立[解析] 当n ＝1时，左≥右，不等式成立，∵n ∈N *，∴第一步的验证为n ＝1的情形．12．已知数列11×2，12×3，13×4，…，1n (n ＋1)，通过计算得S 1＝12，S 2＝23，S 3＝34，由此可猜测S n ＝________.[答案] n n ＋1 [解析] 解法1：通过计算易得答案．解法2：S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 13．对任意n ∈N *,34n ＋2＋a 2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a ＝________.[答案] 5[解析] 当n ＝1时，36＋a 3能被14整除的数为a ＝3或5，当a ＝3时且n ＝3时，310＋35不能被14整除，故a ＝5.14．用数学归纳法证明命题：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n (3n ＋1)＝n (n ＋1)2.(1)当n 0＝________时，左边＝____________，右边＝______________________；当n ＝k 时，等式左边共有________________项，第(k －1)项是__________________．(2)假设n ＝k 时命题成立，即_____________________________________成立．(3)当n ＝k ＋1时，命题的形式是______________________________________；此时，左边增加的项为______________________．[答案] (1)1；1×(3×1＋1)；1×(1＋1)2；k ；(k －1)[3(k －1)＋1](2)1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2(3)1×4＋2×7＋…＋(k ＋1)[3(k ＋1)＋1]＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]2；(k ＋1)[3(k ＋1)＋1]三、解答题15．求证：12－22＋32－42＋…＋(2n －1)2－(2n )2＝－n (2n ＋1)(n ∈N *)．[证明] ①n ＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．②假设n ＝k 时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＝－k (2k ＋1)2. 当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2＝－k (2k ＋1)＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2＝－k (2k ＋1)－(4k ＋3)＝－(2k 2＋5k ＋3)＝－(k ＋1)[2(k ＋1)＋1]，所以n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②得，等式对任何n ∈N *都成立．16．求证：12＋13＋14＋…＋12n －1>n －22(n ≥2)． [证明] ①当n ＝2时，左＝12>0＝右， ∴不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立．即12＋13＋…＋12k －1>k －22成立． 那么n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋12k －1 ＋12k －1＋1＋…＋12k －1＋2k －1>k －22＋12k －1＋1＋…＋12k >k －22＋12k ＋12k ＋…＋12k ＝k －22＋2k －12k ＝(k ＋1)－22， ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．据①②可知，不等式对一切n ∈N *且n ≥2时成立．17．在平面内有n 条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．求证：这n 条直线将它们所在的平面分成n 2＋n ＋22个区域．[证明] (1)n ＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2)时，k 条直线将平面分成k 2＋k ＋22块不同的区域，命题成立． 当n ＝k ＋1时，设其中的一条直线为l ，其余k 条直线将平面分成k 2＋k ＋22块区域，直线l 与其余k 条直线相交，得到k 个不同的交点，这k 个点将l 分成k ＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k ＋1块．从而k ＋1条直线将平面分成k 2＋k ＋22＋k ＋1＝(k ＋1)2＋(k ＋1)＋22块区域． 所以n ＝k ＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，原命题成立．18．(2010·衡水高二检测)试比较2n ＋2与n 2的大小(n ∈N *)，并用数学归纳法证明你的结论．[分析] 由题目可获取以下主要信息：①此题选用特殊值来找到2n ＋2与n 2的大小关系；②利用数学归纳法证明猜想的结论．解答本题的关键是先利用特殊值猜想．[解析] 当n ＝1时，21＋2＝4>n 2＝1，当n ＝2时，22＋2＝6>n 2＝4，当n ＝3时，23＋2＝10>n 2＝9，当n ＝4时，24＋2＝18>n 2＝16，由此可以猜想，2n ＋2>n 2(n ∈N *)成立下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，所以原不等式成立．当n ＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．(2)假设n＝k时(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，即2k＋2>k2.那么n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2.又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0，即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立．根据(1)和(2)，原不等式对于任何n∈N*都成立．。
(完整版)数学归纳法练习题
2.3数学归纳法第1课时数学归纳法1．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()．A．2 B．3 C．5 D．6解析当n取1、2、3、4时2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n>n2＋1的n值为5，故选C.答案 C2．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈N＋)，验证n＝1时，左边应取的项是()．A．1 B．1＋2C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4解析等式左边的数是从1加到n＋3.当n＝1时，n＋3＝4，故此时左边的数为从1加到4.答案 D3．设f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n－1(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于()．A.13n＋2B.13n＋13n＋1C.13n＋1＋13n＋2D.13n＋13n＋1＋13n＋2解析∵f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n－1，∵f(n＋1)＝1＋12＋13＋…＋13n－1＋13n＋13n＋1＋13n＋2，∴f(n＋1)－f(n)＝13n＋13n＋1＋13n＋2.答案 D4．用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为________．答案1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)25．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.解析由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.答案π6．用数学归纳法证明：1 1×2＋13×4＋…＋1(2n－1)·2n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n.证明(1)当n＝1时，左边＝11×2＝12，右边＝12，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1 1×2＋13×4＋…＋1(2k－1)·2k＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k.则当n＝k＋1时，1 1×2＋13×4＋…＋1(2k－1)·2k＋1(2k＋1)(2k＋2)＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋1(2k＋1)(2k＋2)＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋⎝⎛⎭⎪⎫12k＋1－12k＋2＋1k＋1＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＝1(k＋1)＋1＋1(k＋1)＋2＋…＋1(k＋1)＋k＋1(k＋1)＋(k＋1).即当n＝k＋1时，等式成立．根据(1)(2)可知，对一切n∈N*，等式成立．7．若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有()．A．命题对所有正整数都成立B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立D．以上说法都不正确解析由已知得n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立；在n ＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.答案 C8．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)，从n＝k到n＝k＋1，左边增加的代数式为()．A．2k＋1 B．2(2k＋1)C.2k＋1k＋1D.2k＋3k＋1解析n＝k时，左边＝(k＋1)(k＋2)…(2k)；n＝k＋1时，左边＝(k＋2)(k＋3)…(2k＋2)＝2(k＋1)(k＋2)…(2k)(2k＋1)，故选B.答案 B9．分析下述证明2＋4＋…＋2n＝n2＋n＋1(n∈N＋)的过程中的错误：证明假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k＋1，那么2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋1＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时等式也成立．因此对于任何n∈N＋等式都成立．__________________.答案缺少步骤归纳奠基，实际上当n＝1时等式不成立10．用数学归纳法证明(1＋1)(2＋2)(3＋3)…(n＋n)＝2n－1·(n2＋n)时，从n＝k到n ＝k＋1左边需要添加的因式是________．解析当n＝k时，左端为：(1＋1)(2＋2)…(k＋k)，当n ＝k ＋1时，左端为：(1＋1)(2＋2)…(k ＋k )(k ＋1＋k ＋1)， 由k 到k ＋1需添加的因式为：(2k ＋2)． 答案 2k ＋2 11．用数学归纳法证明12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6(n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝12＝1， 右边＝1×(1＋1)×(2×1＋1)6＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即 12＋22＋…＋k 2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6那么，12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2 ＝k (k ＋1)(2k ＋1)6＋(k ＋1)2＝k (k ＋1)(2k ＋1)＋6(k ＋1)26＝(k ＋1)(2k 2＋7k ＋6)6＝(k ＋1)(k ＋2)(2k ＋3)6＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][2(k ＋1)＋1]6，即当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立．12．(创新拓展)已知正数数列{a n }(n ∈N *)中，前n 项和为S n ，且2S n ＝a n ＋1a n ，用数学归纳法证明：a n ＝n －n －1. 证明 (1)当n ＝1时．a 1＝S 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，∴a 21＝1(a n >0)，∴a 1＝1，又1－0＝1， ∴n ＝1时，结论成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)时，结论成立， 即a k ＝k －k －1. 当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝S k ＋1－S k＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k∴a 2k ＋1＋2k a k ＋1－1＝0，解得a k ＋1＝k ＋1－k (a n >0)， ∴n ＝k ＋1时，结论成立．由(1)(2)可知，对n ∈N *都有a n ＝n －n －1.。
高二数学归纳法练习题
高二数学归纳法练习题一、选择题从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案。
1. 使用归纳法证明命题“对任意正整数n，当n为偶数时，2n一定是偶数”，需要进行的推理基础是：A. 列举B. 逆否命题C. 数学归纳法D. 反证法2. 已知正整数序列An满足An = An-1 + n，若A1 = 3，则A3的值为：A. 6B. 8C. 9D. 113. 使用归纳法证明命题“对任意自然数n，2^n + 1能被3整除”，需要证明的基础命题是：A. 2^1 + 1能被3整除B. 2^n能被3整除C. 2^2 + 1能被3整除D. 2^n + 1能被3整除4. 已知定义在非负整数上的函数f(n)满足f(0) = 0，且对任意非负整数n，f(n+1) = f(n) + 2n + 1。
则f(3)的值为：A. 6B. 8C. 9D. 115. 使用数学归纳法证明命题“对任意正整数n，2^n - 1能被7整除”，需要进行的推理基础是：A. 2^1 - 1能被7整除B. 2^n能被7整除C. 2^2 - 1能被7整除D. 2^n - 1能被7整除二、解答题请根据所给条件，使用归纳法完成下列问题的证明。
1. 对任意正整数n，证明下列命题成立：1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2。
2. 已知正整数序列Bn满足Bn = Bn-1 + 2n - 1，且B1 = 1，证明Bn = n^2。
3. 对任意正整数n，证明下列命题成立：1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3= ((n(n+1))/2)^2。
4. 已知定义在非负整数上的函数g(n)满足g(0) = 1，且对任意非负整数n，g(n+1) = g(n) + 3n + 1。
证明g(n) = (n+1)^2。
5. 对任意正整数n，证明下列命题成立：1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2= (n(n+1)(2n+1))/6。
三、应用题根据所给条件，使用归纳法解决下列问题。
高二数学数学归纳法试题答案及解析
高二数学数学归纳法试题答案及解析1.若，则对于，．【答案】【解析】【考点】数学归纳法2.用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋＋a n＋1＝(a≠1，n∈N*)”在验证n＝1时，左端计算所得的项为( )A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3【答案】C【解析】当n=1时，左端为1＋a＋a2，故选C.考点:数学归纳法3.已知,,,,…,由此你猜想出第n个数为【答案】【解析】观察根式的规律，和式的前一项与后一项的分子相同，是等差数列,而后一项的分母可表示为，故答案为【考点】归纳推理.4.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋(,)，在验证成立时，左式是____．【答案】1＋＋【解析】当时，；所以在验证成立时，左式是.【考点】数学归纳法.5.利用数学归纳法证明“， ()”时，在验证成立时，左边应该是．【答案】【解析】用数学归纳法证明“， ()”时，在验证成立时，将代入，左边以1即开始，以结束，所以左边应该是.【考点】数学归纳法.6.已知，不等式，，，…，可推广为，则等于 .【答案】【解析】因为，……，所以该系列不等式，可推广为，所以当推广为时，.【考点】归纳推理.)能被9整除”，要利7.用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3，(n∈N＋用归纳法假设证n＝k＋1时的情况，只需展开( )．A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3【答案】A【解析】假设n＝k时，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3.＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．故应选A.8.用数学归纳法证明：【答案】通过两步（n=1，n=k+1）证明即可得出结论。
【解析】解：当n=1时，等式左边为2，右边为2，左边等于右边，当n=k时，假设成立，可以得到（k+1）+（k+2）+…+（k+k）=n=k+1时等式左边与n=k时的等式左边的差，即为n=k+1时等式左边增加的项，由题意，n=k时，等式左边=（k+1）+（k+2）+…+（k+k），n=k+1时，等式左边=（k+2）+（k+3）+…+（k+k+1）+（k+1+k+1），比较可得n=k+1时等式左边等于右边，进而综上可知，满足题意的所有正整数都成立，故证明。
高考数学专题复习题：数学归纳法
高考数学专题复习题：数学归纳法一、单项选择题（共6小题）1．利用数学归纳法证明不等式1111()2321nf n ++++<- （2n ≥，且*n ∈N ）的过程，由n k =到1n k =+时，左边增加了（）A ．12k -项B ．2k 项C ．1k -项D ．k 项2．用数学归纳法证明：()()()1221121n n n ++++=++ ，在验证1n =成立时，左边所得的代数式是（）A ．1B ．13+C ．123++D ．1234+++3．用数学归纳法证明等式()()()3412332n n n +++++++= ()N,1n n ∈≥时，第一步验证1n =时，左边应取的项是（）A ．1B ．12+C ．123++D ．1234+++4．用数学归纳法证明：11112321n n ++++<- ，()N,1n n ∈≥时，在第二步证明从n k =到1n k =+成立时，左边增加的项数是（）A ．2k B ．21k -C ．12k -D ．21k +5．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1111111122341242n n n n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+ ⎪-++⎝⎭时，若已假设n k =（2k ≥，k 为偶数）时命题为真，则还需要再证（）A ．1n k =+时等式成立B ．2n k =+时等式成立C ．22n k =+时等式成立D ．()22n k =+时等式成立6．现有命题()()()11*1112345611442n n n n n ++⎛⎫-+-+-++-=+-+∈ ⎪⎝⎭N ，用数学归纳法探究此命题的真假情况，下列说法正确的是（）A ．不能用数学归纳法判断此命题的真假B ．此命题一定为真命题C ．此命题加上条件9n >后才是真命题，否则为假命题D ．存在一个无限大的常数m ，当n m >时，此命题为假命题二、多项选择题（共2小题）7．用数学归纳法证明不等式11111312324++++>++++ n n n n n 的过程中，下列说法正确的是（）A ．使不等式成立的第一个自然数01n =B ．使不等式成立的第一个自然数02n =C ．n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12122k k ++D ．n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12223k k ++8．用数学归纳法证明不等式11111312324++++>++++ n n n n n 的过程中，下列说法正确的是（）A ．使不等式成立的第一个自然数01n =B ．使不等式成立的第一个自然数02n =C ．n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12122k k ++D ．n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12223k k ++三、填空题（共2小题）9．在运用数学归纳法证明()121*(1)(2)n n x x n +-+++∈N 能被233x x ++整除时，则当1n k =+时，除了n k =时必须有归纳假设的代数式121(1)(2)k k x x +-+++相关的表达式外，还必须有与之相加的代数式为________．10．用数学归纳法证明：()()122342n n n -+++++= （n 为正整数，且2n ）时，第一步取n =________验证．四、解答题（共2小题）11．用数学归纳法证明：()*11111231n n n n +++>∈+++N ．12．数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立．证明分为下面两个步骤：①证明当0n n =（0n ∈N ）时命题成立；②假设n k =（k ∈N ，且0k n ≥）时命题成立，推导出在1n k =+时命题也成立．用模取余运算：mod a b c =表示“整数a 除以整数b ，所得余数为整数c ”．用带余除法可表示为：被除数＝除数×商＋余数，即a b r c =⨯+，整数r 是商．举一个例子7321=⨯+，则7mod31=；再举一个例子3703=⨯+，则3mod 73=．当mod 0a b =时，则称b 整除a ．从序号分别为0a ，1a ，2a ，3a ，…，na 的1n +个人中选出一名幸运者，为了增加趣味性，特制定一个遴选规则：大家按序号围成一个圆环，然后依次报数，每报到m （2m ≥）时，此人退出圆环；直到最后剩1个人停止，此人即为幸运者，该幸运者的序号下标记为()1,f n m +．如()1,0f m =表示当只有1个人时幸运者就是0a ；()6,24f =表示当有6个人而2m =时幸运者是4a ；()6,30f =表示当有6个人而3m =时幸运者是0a ．（1）求10mod3；（2）当1n ≥时，()()()()1,,mod 1f n m f n m m n +=++，求()5,3f ；当n m ≥时，解释上述递推关系式的实际意义；（3）由（2）推测当1212k k n +≤+<（k ∈N ）时，()1,2f n +的结果，并用数学归纳法证明．。
高中数学归纳法证明题
高中数学归纳法证明题高中数学归纳法证明题数学归纳法是非常实用的，这类的归纳法可以证明很多的东西。
下面就是店铺给大家整理的用数学归纳法证明内容，希望大家喜欢。
用数学归纳法证明公式1/2+2/2^2+3/2^3+......+n/2^n=2 - n+2/2^n.1/2+2/2^2+3/2^3+......+n/2^n=2 - (n+2)/2^n.1、当n=1时候，左边=1/2;右边=2-3/2=1/2左边=右边，成立。
2、设n=k时候，有：1/2+2/2^2+3/2^3+......+k/2^k=2 - (k+2)/2^k成立，则当n=k+1时候：有：1/2+2/2^2+3/2^3+.....+k/2^k+(k+1)/2^(k+1)=2 - (k+2)/2^k+(k+1)/2^(k+1)=2-[2(k+2)-(k+1)]/2^(k+1)=2-(k+3)/2^(k+1)=2-[(k+1)+2]/2^(k+1)用数学归纳法证明解答我觉得不是所有的猜想都非要用数学归纳法.比如a1=2,a(n+1)/an=2,这显然是个等比数列如果我直接猜想an=2^n,代入检验正确,而且对所有的n都成立,这时候干嘛还用数学归纳法啊.可是考试如果直接这样猜想是不得分的,必须要用数学归纳法证明.我觉得如果是数列求和,猜想无法直接验证,需要数学归纳法,这个是可以接受的.但是上面那种情况,谁能告诉我为啊.我觉得逻辑已经是严密的了.结果带入递推公式验证是对n属于正整数成立.用数学归纳法,无论n=1,还是n=k的假设,n=k+1都需要带入递推公式验证,不是多此一举吗.我又不是一个一个验证,是对n这个变量进行验证,已经对n属于正整数成立了.怎么说就是错误的.怎么又扯到思维上了,论严密性我比谁都在意,虽然是猜出来的,毕竟猜想需要,我的问题是--------这样的验证方式严不严密,在没有直接证明方法的情况下,是不是一定要用数学归纳法-------,并没有说这样就是对待数学的态度,没有猜想数学怎么发展.这说明你一眼能看出答案，是个本领。
高一数学用数学归纳法证明不等式举例试题
高一数学用数学归纳法证明不等式举例试题1.用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是（）A．2k﹣1B．2k﹣1C．2k D．2k+1【答案】C【解析】考查不等式左侧的特点，分母数字逐渐增加1，末项为，然后判断n=k+1时增加的项数即可．解：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为；由n=k，末项为到n=k+1，末项为=，∴应增加的项数为2k．故选C．点评：本题是基础题，考查数学归纳法证明问题的第二步，项数增加多少问题，注意表达式的形式特点，找出规律是关键．2.用数学归纳法证明不等式成立，起始值至少应取为（）A．7B．8C．9D．10【答案】B【解析】先求左边的和，再进行验证，从而可解．解：左边的和为，当n=8时，和为，故选B．点评：本题主要考查数学归纳法，起始值的验证，求解轭关键是发现左边的规律，从而解决问题．3.用数学归纳法证明2n≥n2（n∈N，n≥1），则第一步应验证．【答案】n=1时，2≥1成立．【解析】根据数学归纳法的步骤，结合本题的题意，是要验证n=1时，命题成立；将n=1代入不等式，可得答案．解：根据数学归纳法的步骤，首先要验证当n取第一个值时命题成立；结合本题，要验证n=1时，左=21=2，右=12=1，因为2＞1成立，所以2n≥n2成立．故答案为：n=1时，2≥1成立．点评：本题考查数学归纳法的运用，解此类问题时，注意n的取值范围．4.用数学归纳法证明等式时，第一步验证n=1时，左边应取的项是【答案】1+2+3+4【解析】本题考查的知识点是数学归纳法的步骤，由等式，当n=1时，n+3=4，而等式左边起始为1的连续的正整数的和，由此易得答案．解：在等式中，当n=1时，n+3=4，而等式左边起始为1的连续的正整数的和，故n=1时，等式左边的项为：1+2+3+4故答案为：1+2+3+4点评：在数学归纳法中，第一步是论证n=1时结论是否成立，此时一定要分析等式两边的项，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误．5.设，则f（k+1）﹣f（k）= ．【答案】．【解析】把函数中的n换成k+1，k，再作差后即得所求．解：当n=k+1时，，当n=k时，，则f（k+1）﹣f（k）=﹣（）=，故答案为：．点评：本题考查函数的值、数学归纳法，体现了换元的数学思想，注意式子的结构特征，特别是首项和末项．6.（2011•河池模拟）已知正项数列{an }满足：a1=1，且（n+1）an+12=nan2﹣an+1an，n∈N*（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{}的前n项积为Tn ，求证：当x＞0时，对任意的正整数n都有Tn＞．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析【解析】（I）先对（n+1）an+12﹣nan2+an+1an=0进行化简得到，再由累乘法可得到数列的通项公式是an．（II）根据（I）求出Tn，利用数学归纳法证明即可，证明过程中注意数学归纳法的步骤和导数的灵活应用．解：（I）∵（n+1）an+12﹣nan2+an+1an=0∴（另解﹣an不合题意舍去），∴，即，（II）由（I）得：Tn=n!，当x＞0时，Tn＞等价于x n＜n!e x①以下用数学归纳法证明：①当n=1时，要证x＜e x，令g（x）=e x﹣x，则g′（x）=e x﹣1＞0，∴g（x）＞g（0）=1＞0，即x＜e x成立；②假设当n=k时，①式成立，即x k＜k!e x，那么当n=k+1时，要证x k+1＜（k+1）!e x也成立，令h（x）=（k+1）!e x﹣x k+1，则h′（x）=（k+1）!e x﹣（（k+1）x k=（k+1）（k!e x﹣x k），由归纳假设得：h′（x）＞0，∴h（x）＞h（0）=（k+1）!＞0，即x k+1＜（k+1）!e x也成立，由①②即数学归纳法原理得原命题成立．点评：本题主要考查数列递推关系式的应用和累乘法．求数列通项公式的一般方法﹣﹣公式法、累加法、累乘法、构造法等要熟练掌握，属中档题．7.（2008•武汉模拟）在数列|an |中，a1=t﹣1，其中t＞0且t≠1，且满足关系式：an+1（an+t n﹣1）=an（t n+1﹣1），（n∈N+）（1）猜想出数列|an|的通项公式并用数学归纳法证明之；（2）求证：an+1＞an，（n∈N+）．【答案】见解析【解析】（1）由原递推式得到，再写出前几项，从而猜想数列|an|的通项公式，进而利用数学归纳法证明．（2）利用（1）的结论，作差进行比较，故可得证．解：（1）由原递推式得到，，=猜想得到…（3分）下面用数学归纳法证明10当n=1时 a1=t﹣1 满足条件20假设当n=k时，则，∴，∴即当n=k+1时，原命题也成立．由10、20知…（7分）（2）==而nt n﹣（t n﹣1+t n﹣2+…+t+1）=（t n﹣t n﹣1）+（t n﹣t n﹣2）+…+（t n﹣t）+（t n﹣1）=t n﹣1（t﹣1）+t n﹣2（t2﹣1）+t n﹣3（t3﹣1）+…+t（t n﹣1﹣1）+（t n﹣1）=故t＞0，且t≠1时有an+1﹣an＞0，即an+1＞an…（13分）点评：本题考查数列的递推公式，用数学归纳法证明等式成立．证明当n=k+1时命题也成立，是解题的难点．8.（2005•辽宁）已知函数f（x）=（x≠﹣1）．设数列{an }满足a1=1，an+1=f（an），数列{bn}满足bn =|an﹣|，Sn=b1+b2+…+bn（n∈N*）．（Ⅰ）用数学归纳法证明bn≤；（Ⅱ）证明Sn＜．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）我们用数学归纳法进行证明，先证明不等式bn≤当n=1时成立，再假设不等式bn ≤当n=k（k≥1）时成立，进而证明当n=k+1时，不等式bn≤也成立，最后得到不等式bn≤对于所有的正整数n成立；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，我们可以利用放缩法证明Sn＜，放缩后可以得到一个等比数列，然后根据等比数列前n项公式，即可得到答案．证明：（Ⅰ）当x≥0时，f（x）=1+≥1．因为a1=1，所以an≥1（n∈N*）．下面用数学归纳法证明不等式bn≤．（1）当n=1时，b1=﹣1，不等式成立，（2）假设当n=k时，不等式成立，即bk≤．那么bk+1=|ak+1﹣|=≤．所以，当n=k+1时，不等式也成立．根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N*都成立．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn≤．所以Sn =b1+b2+…+bn≤（﹣1）++…+=（﹣1）•＜（﹣1）•=．故对任意n∈N*，Sn＜．点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳）在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．9.证明不等式（n∈N*）【答案】见解析【解析】证法一：利用数学归纳法证明（1）当n=1时，验证不等式成立；（2）假设n=k（k≥1）时，不等式成立，然后证明当n=k+1时，不等式也成立．即可．证法二：构造函数f（n）=，通过函数单调性定义证明f（k+1）＞f（k）然后推出结论．证法一：（1）当n=1时，不等式左端=1，右端=2，所以不等式成立；（2）假设n=k（k≥1）时，不等式成立，即1+＜2，则∴当n=k+1时，不等式也成立．综合（1）、（2）得：当n∈N*时，都有1+＜2．证法二：设f（n）=，那么对任意k∈N*都有：∴f（k+1）＞f（k）因此，对任意n∈N*都有f（n）＞f（n﹣1）＞…＞f（1）=1＞0，∴．点评：本题考查数学归纳法证明不等式的应用，构造法与函数的单调性的应用，考查逻辑推理能力，计算能力以及转化思想．10.试比较n n+1与（n+1）n（n∈N*）的大小．当n=1时，有n n+1（n+1）n（填＞、=或＜）；当n=2时，有n n+1（n+1）n（填＞、=或＜）；当n=3时，有n n+1（n+1）n（填＞、=或＜）；当n=4时，有n n+1（n+1）n（填＞、=或＜）；猜想一个一般性的结论，并加以证明．【答案】＜，＜，＞，＞【解析】本题考查的知识点是归纳推理与数学归纳法，我们可以列出n n+1与（n+1）n（n∈N*）的前若干项，然后分别比较其大小，然后由归纳推理猜想出一个一般性的结论，然后利用数学归纳法进行证明．解：当n=1时，n n+1=1，（n+1）n=2，此时，n n+1＜（n+1）n，当n=2时，n n+1=8，（n+1）n=9，此时，n n+1＜（n+1）n，当n=3时，n n+1=81，（n+1）n=64，此时，n n+1＞（n+1）n，当n=4时，n n+1=1024，（n+1）n=625，此时，n n+1＞（n+1）n，根据上述结论，我们猜想：当n≥3时，n n+1＞（n+1）n（n∈N*）恒成立．①当n=3时，n n+1=34=81＞（n+1）n=43=64即n n+1＞（n+1）n成立．②假设当n=k时，k k+1＞（k+1）k成立，即：＞1则当n=k+1时，=＞=＞1即（k+1）k+2＞（k+2）k+1成立，即当n=k+1时也成立，∴当n≥3时，n n+1＞（n+1）n（n∈N*）恒成立．点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳）在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．。
高三数学数学归纳法练习题及答案
高三数学数学归纳法练习题及答案数学归纳法是高中数学中非常重要的一种证明方法，它在数学推理和证明中具有广泛的应用。
通过运用归纳法，我们可以推出一般性的结论，从而能够解决更加复杂的数学问题。
在高三数学的学习中，熟练掌握数学归纳法的使用对于解题至关重要。
下面将为大家提供一些高三数学数学归纳法练习题及答案，希望能帮助大家更好地掌握该方法。
练习题一：证明：对于任意正整数n，都有1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2答案一：首先，我们需要明确归纳假设的内容。
假设当n=k时，等式成立，即1 + 2 + 3 + ... + k = k(k + 1)/2。
然后，我们需要证明当n=k+1时，等式也成立。
即1 + 2 + 3 + ... + (k+1) = (k+1)(k + 2)/2。
根据归纳假设，1 + 2 + 3 + ... + k = k(k + 1)/2。
我们需要证明：1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = (k+1)(k + 2)/2。
将左边的式子进行展开得到： [1 + 2 + 3 + ... + k] + (k+1)。
由归纳假设，我们可以将其中的[1 + 2 + 3 + ... + k]替换成k(k + 1)/2，得到： k(k + 1)/2 + (k+1)。
化简该式子： k(k + 1) + 2(k+1)。
再进一步化简： (k+1)(k + 2) / 2。
可以看出，我们得到了(k+1)(k + 2)/2这个形式，就证明了当n=k+1时，等式也成立。
因此，根据数学归纳法原理，对于任意正整数n，都有1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2。
练习题二：证明：对于任意正整数n，2^n > n^2。
答案二：同样使用数学归纳法进行证明。
首先，当n=1时，2^1 = 2，1^2 = 1，2 > 1，等式成立。
假设当n=k时，2^k > k^2 成立。
高考真题突破：数学归纳法
专题十三 推理与证明第三十九讲 数学概括法解答题1．（ 2017 浙江）已知数列 { x n } 知足： x 11， x n x n 1 ln(1 x n 1) (n N * ) ．证明：当 n N * 时（Ⅰ） 0x n 1 x n ；（Ⅱ） 2x n 1x n≤x nxn 1 ；2（Ⅲ）1 ≤ x n ≤1．2n 12n 22． (2015 湖北 )已知数列 { a n } 的各项均为正数，b n n (1 1nN ) ， e 为自然对数的) a n (nn底数．（Ⅰ）求函数 f ( x) 1x e x的单一区间，并比较 (11 )n与 e 的大小；n（Ⅱ）计算 b 1 ， b 1 b 2 ， b 1b 2b 3 ，由此推断计算b 1 b 2b n 的公式，并给出证明；a 1a 2 a 3 a 1a 2a 1 a 1 a 2a n1（Ⅲ）令 c n (a 1a 2a n ) n ，数列 { a n } ， { c n } 的前 n 项和分别记为 S n , T n , 证明： T n eS n ．3． (2014 江苏 ) 已知函数 f 0 ( x) sin x ( x 0) ，设 f n ( x) 为 f n 1 ( x) 的导数， n N ．x（Ⅰ）求 2 f 122 f 22 的值；（ 2）证明：对随意的 nN ，等式 nf n 1 44 f n422 建立．．（2014 安徽）设实数 c0 ，整数p 1 ， n N *．4（Ⅰ）证明：当x1 且 x 0 时， (1 x) p 1 px ；1p1a nca n 1 p ，（Ⅱ）数列a n知足 a 1c p ， a n 1pp1证明： a nan 1c p．5．（ 2014 重庆）设 a 1 1,a n 1a n 2 2a n 2 b(nN*)（Ⅰ）若（Ⅱ）若b1，求 a2 ,a3及数列 { a n} 的通项公式；b 1 ，问：能否存在实数c 使得a2n c a2n 1对全部 n N *建立？证明你的结论．6．（ 2012 湖北）（Ⅰ）已知函数f (x)rx x r(1r ) (x 0) ，此中r为有理数，且0r 1 .求 f (x) 的最小值；（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明以下命题：设 a10, a20 ，b1 , b2为正有理数 . 若 b1b2 1 ，则 a1b1 a2b2a1b1a2 b2；（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推行到一般形式，并用数学概括法证明你所推行的命题．．．．．．注：当为正有理数时，有求导公式( x )x 1 .72011湖南）已知函数f ( x)x3， g( x)x x.．（（Ⅰ）求函数 h(x) f( x)g( x) 的零点个数，并说明原因；（Ⅱ）设数列 { a n } （n N *）知足 a1 a ( a0) ， f (a n 1 )g( a n ) ，证明：存在常数M ，使得关于随意的n N *，都有 a n≤M．专题十三推理与证明第三十九讲数学概括法答案部分1．【分析】（Ⅰ）用数学概括法证明：x n0当 n 1 时，x1 1 0假定 n k 时，x k0 ，那么 n k1时，若 x k 1≤ 0 ，则 0 x k x k 1 ln(1 x k 1 ) ≤ 0 ，矛盾，故 x k 1 0 ．所以 x n0 (n N *)所以 x n x n1ln(1x n1 )xn 1所以 0 x n 1x n (n N* )（Ⅱ）由 x n xn 1ln(1x n 1 ) x n 1得x n x n 1 4x n12x nx n 2 12x n 1 ( x n 1 2) ln(1 x n 1 )记函数 f ( x)x 2 2x ( x2)ln(1 x)( x ≥ 0)函数 f ( x) 在 [0, ) 上单一递加，所以f ( x) ≥ f (0) =0，所以 x n 2 1 2x n 1 ( x n 1 2)ln(1 x n 1)f ( x n1)≥0故 2x n 1x n ≤x n x n 1(n N )2（Ⅲ）由于x nxn 1ln(1 x n 1 ) ≤ x n 1xn 12x n 1所以 x n ≥1 得2n 1由x n x n 1≥ 2 x n 1 x n 得211 11xn 1≥ 2()2x n 2所以11≥ 2( 11) ≥ ≥ 2n 1 ( 1 1) 2n 2x n 2xn 12x 1 2故 x n ≤12n2综上，1 ≤ x n ≤ 1 ( n N ) ．2n 1 2n 2) ， f ( x)1 e x．2．【分析】（Ⅰ） f ( x) 的定义域为 (, 当 f ( x) 0 ，即 x 0 时， f ( x) 单一递加；当 f ( x) 0 ，即 x0 时， f ( x) 单一递减．故 f (x) 的单一递加区间为 ( ,0) ，单一递减区间为 (0,) ．当 x0 时， f (x)f (0)0，即1 x e x ．1，得1 1 11 )n令 xe n ，即 (1 e ． ①n n n（Ⅱ）b 11 (11 11 2 ；b 1b 2b 1 b 2 2 2(11 222；a 1)1a 1a 2a 1 a 2)(2 1)312b 1 b 2 b 3 b 1b 2 b 3 213(3 343a 1 a 2 a 3 a 1a 2 a 33 3(1 )1)．3由此推断：b 1b 2 b n (n1) n．②a 1a 2 a n下边用数学概括法证明②．（1）当 n 1时，左侧 右侧2 ，②建立．（2）假定当 n k 时，②建立，即b 1b 2 b k (kk．a 1a 2a k 1)当 nk1时， b k 1 (k 1)(11k 11 ，由概括假定可得) a kk1b 1b 2 b kbk 1b 1b 2 b k bk 1(k k(k 1)(1 1 k 12)k 1．a 1a 2a kak 1a 1a 2a kak 1 1) k 1 )( k所以当 n k 1 时，②也建立．依据（ 1）（ 2），可知②对全部正整数 n 都建立．（Ⅲ）由 c n 的定义，②，算术 -几何均匀不等式，b n 的定义及①得1111T cc2 cc(a )1(a a ) 2( a a a )3(a a2a )nn1 3n11 21 2 31 n1111(b 1) 1(bb 12 ) 2 (b 1b 2 b 3 ) 3(b 1b 2b n ) n234n1b 1b 1 b 2 b 1 b 2b 3b 1 b 2b n1 223 3 4n(n 1)111 ] b2 [ 111]1b 1 [2 2 3n( n3 3 4n( nb n11) 21)n(n 1)b 1 (11 1 111n) b 2 (n)b n (n )12 1 n1b 1b 2b n(11 1 12(11 n12n) a 1(1) a 2n ) a n12ea 1 ea 2ea neS n ，即 T n eS n ．sin x cos x sin x3．【分析】（Ⅰ）由已知，得f 1 (x) f 0 (x) x x x 2 ,于是 f 2 ( x)f 1 ( x)cos xsin x sin x 2cos x2sin x ,xx 2 xx 2x 3所以 f 1()4( )2 162, f23 ,22 故 2 f ( ) 2 f ( )1.12 2 2（Ⅱ）证明：由已知，得xf 0 ( x) sin x, 等式两边分别对 x 求导，得 f 0 ( x) xf 0 (x)cos x ，即 f 0 ( x) xf 1 (x) cos x sin( x2) ，近似可得2 f ( x) xf ( x) sin x sin(x) ，3 f 2 ( x) xf 3 ( x)cos xsin( x 3 ) ，2 4 f3 ( x) xf4 ( x) sin x sin( x 2 ) .下边用数学概括法证明等式nf n 1 ( x)xf n ( x) sin(x n) 对全部的 n N * 都建立 .2(i) 当 n=1 时，由上可知等式建立 .(ii) 假定当 n=k 时等式建立 , 即 kf k 1 ( x) xf k ( x) sin( xk ) .2 由于 [kf k 1 ( x) xf k ( x)] kf k 1 (x) f k ( x) xf k ( x) (k 1) f k (x) f k 1 ( x),[sin( xk)]cos(xk ) ( x k )sin[ x (k1) ] ，22 22所以 (k1) f k ( x) f k 1 (x)sin[ x (k 1) ] .2 所以当 n=k +1 时 ,等式也建立 .综合 (i),(ii) 可知等式 nf n 1 ( x)xf n ( x)sin( xn) 对全部的 n N * 都建立 .2令 x，可得 nf n 1 ( ) f n ( ) sin( n ) ( n N * ).444 4 42所以 nf n 1 ( )f n ( ) 2( n N * )．44 424．【分析】（Ⅰ）证：用数学概括法证明（ 1）当 p 2时， (1 x)21 2xx 21 2x ，原不等式建立。
高考数学归纳法的常考题型
高考数学归纳法的常考题型文/谭著名一、题意直接指明利用数学归纳法证题的探索题型 例1 已知数列已知数列{}n x 满足：*1111,21n nx x n N x Î+＋’＝＝.(1)(1)猜想数列猜想数列{}2n x 的单调性的单调性,,并证明你的结论并证明你的结论. . (2)(2)证明：证明：1112|()65nn n xx -+-|≤. (1)(1)解：解：由211=x 和nn x x +=+111，得2113,85,32642===x x x .由246x x x >>，猜想：数列{}2n x 是递减数列是递减数列. .下面用数学归纳法证明下面用数学归纳法证明. .①当n=1时，命题成立时，命题成立. . ②假设当n=k 时命题成立，即222k k x x +>，易知20k x >，那么23212224212321231111(1)(1)k k k k k k k k x x x xx x x x ++++++++--=-=++++=22222122230(1)(1)(1)(1)k k k k k k x x x x x x ++++->++++，即2(1)2(1)2k k x x +++>，也就是说，当n=k+1时命题也成立题也成立. .结合①②，可知命题成立结合①②，可知命题成立. .(2)(2)证明：①当证明：①当n=1时，12116n nxxxx+-=-=，结论成立，结论成立.. ②假设当k n =时命题成立，则有115261-+÷øöçèæ×£-k k k x x .当2n ³时，易知1111101,12,12n n n n x x x x ---<<\+<=>+.()()521111£++\-k k x x .当1+=k n 时，111115(1)(1)(1)(1)212n n n n n x x x x x ----\++=++=+³+()()kk kk k k kk k k x x x x x x x x ÷øöçèæ×=×÷øöçèæ×÷øöçèæ£++-=+-+=--++++526152526111111111112.也就是说，当1+=k n 时命题成立时命题成立. .结合①②，可知命题成立结合①②，可知命题成立. .小结 本题中明确说明“先猜想再证明”本题中明确说明“先猜想再证明”的数学归纳法的证题思路的数学归纳法的证题思路.观察、归纳、猜想、证明是解决这类探索型问题的思维方式，证明是解决这类探索型问题的思维方式，其关键在于进行正确、其关键在于进行正确、合理的归纳猜想，否则接下来的证明只能是背道而驰了.二、与正整数n 有关的不等式证明通常采用数学归纳法的证明题型例2 等比数列等比数列等比数列{{n a }的前n 项和为nS ，已知对于任意的*ÎN n ，点(,)n n S 均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ¹均为常数均为常数))的图像上的图像上. .(1)(1)求求r 的值的值. .(2)(2)当当2=b 时，记()()*Î+=N n a b n n 1log 22，证明：对于任意的*ÎN n ，不等式nn b b b b b b 1112211+··+·+ 1+>n 成立成立.. (1)(1)解：解：因为对于任意的*ÎN n ，点(,)n n S 均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ¹均为常数)的图像上，所以有nn S b r =+.当1n =时，11a S b r ==+.当2n ³时，1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-.又数列又数列{{n a }是等比数列，所以1r =-，公比为b ，1(1)n n a b b-=-.(2)证明：当2=b 时，11(1)2nnn a b b --=-=， 1222(log 1)2(log 21)2n n n b a n-=+=+=，则1212n nb n b n++=，所以121211135721 (2462)n n b b b n b b b n ++++=×× . 下面用数学归纳法证明不等式121211135721·······12462n n b b b n n b b b n++++=××>+ 成立.①当1n =时，左边时，左边==32，右边，右边==2.由于322>，所以不等式成立，所以不等式成立. . ②假设当n k =时不等式成立，即121211135721 (1)2462k k b b b k k b b b k++++=××>+成立，则当1n k =+时，左边左边==11212111113572123 (246222)k k kk b b b b k k b b b b k k ++++++++=×××××+2223(23)4(1)4(1)111(1)1(1)1224(1)4(1)4(1)k k k k k k k k k k k ++++++>+×===+++>++++++.所以当1n k =+时，不等式也成立时，不等式也成立. .综合①②，可知不等式恒成立综合①②，可知不等式恒成立. .小结 数学归纳法是证明不等式的一种重要方法.与正整数有关的不等式，如果用其他方法证明比较困难时，我们通常会考虑用数学归纳法用数学归纳法证明不等式时，我们应分析()x f 与()1+x f 相关的两个不等式，找出证明的目标式子和关键点，适当地利用不等式的性质、比较法、分析法、放缩法等方法证得结论.三、利用数学归纳法比较两个与正整数有关的代数式大小的题型例3 已知数列已知数列{}n a 的前n 项和11()22n n n S a -=--+(n 为正整数为正整数).).). (1)(1)令令2n n n b a =，求证数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式的通项公式..(2)(2)令令1n n n c a n +=，n n cc c T +++= 21，试比较n T 与521nn +的大小，并予以证明的大小，并予以证明. . (1)(1)证明：在证明：在11()22n n n S a -=--+中，令n=1n=1，可得，可得1112n S a a =--+=，即112a =.当2n ³时，21111111()2()22n n n n n n n n n S a a S S a a ------=--+\=-=-++，.11n 1112a (),212n n n n n a a a ----\=+=+n 即2. 112,1,n 21n nn n n n b a b b b--=\=+³-= n 即当时，时，b b . 又1121,b a ==\数列}{n b 是首项和公差均为1的等差数列.于是有1(1)12,2n n n n n nb n n a a =+-×==\=.(2)(2)解：由解：由解：由(1)(1)(1)可得可得11(1)()2n n n n c a n n +==+，所以，所以()nnn T ÷øöçèæ+++÷øöçèæ´+÷øöçèæ´+´=21121421321232 ， ①① ()143221121431321221+÷øöçèæ+++÷øöçèæ´+÷øöçèæ´+÷øöçèæ´=n n n T . . ②②①-②，得()132211212121121+÷øöçèæ+-÷øöçèæ++÷øöçèæ+÷øöçèæ+=n nn n T11111[1()]133421(1)()122212332n n n n nn n n T -++-+=+-+=--+\=-535(3)(221)3212212(21)n n n n n n n n n T n n n ++---=--=+++.于是确定521nn T n +与的大小关系等价于比较221n n +与的大小的大小. .由,;1522;1422;1322;1222;11225432+´>+´>+´>+´<+´<可猜想当322 1.n n n ³>+时，证明如下：证明如下：(i)(i)当当n=3时，由上验算可知不等式显然成立时，由上验算可知不等式显然成立. .(ii)假设当()3³=k k n 时，122+>k k 成立.则当1n k =+时，()()()()11212112241222221++>-+++=+=+>·=+k k k k k k k .所以当1n k =+时猜想也成立时猜想也成立. .综合综合(i)(ii)(i)(ii)(i)(ii)，可知对于一切，可知对于一切3n ³的正整数，都有22 1.nn >+所以当2,1=n 时，125+<n n T n ；当3³n 时，125+>n n T n . 小结 两个式子的大小关系随n 取值的不同而不同.像这种情况学生要注意不要由2,1=n 时的大小关系，得出125+<n nT n ，应向后多试验几个n 值后，再确定所下结论的准确性，以免走弯路.四、用数学归纳法求范围的题型例4 首项为正数的数列首项为正数的数列{}n a 满足211(3),.4n n aa n N ++=+Î(1)(1)证明：若证明：若1a 为奇数，则对于一切2,n n a ³都是奇数都是奇数. . (2)(2)若对于一切若对于一切n N +Î，都有1n n a a +>，求1a 的取值范围的取值范围. .(1)(1)证明：已知证明：已知1a 是奇数，假设21k a m =-是奇数，其中m 为正整数，则由递推关系可得213(1)14k k a am m++==-+是奇数是奇数..根据数学归纳法，可知n N +"Î，n a 都是奇数都是奇数. . (2)解：由21213,4a a a +=>得211430,a a -+>于是101a <<或13a >.22111133()(),444n n nn n n n n a a a a a a a a ---++++--=-= 由于21130,,4n n a a a ++>=所以所有的n a 均大于0.0.所以所以1n n a a +-与1n n a a --同号根据数学归纳法，可知n N +"Î，1n n a a +-与21a a -同号同号. .因此，对于一切n N +Î，都有1n n a a +>的充要条件是101a <<或13a >.小结 解答本题是从特殊值()1=n 切入，找到所求的结论(1a 的范围)，再用数学归纳法证明结论的一般性，即将n n aa>+1退至具体的12a a >开始观察，以寻求1a 的范围，然后证明其正确性.。
专题20 数学归纳法及其证明(解析版)
专题20 数学归纳法及其证明1、（2017浙江）已知数列{}n x 满足：11x =，11ln(1)n n n x x x ++=++()n ∈*N ．证明：当n ∈*N 时 （Ⅰ）10n n x x +<<； （Ⅱ）1122n n n n x x x x ++-≤； （Ⅲ）121122n n n x --≤≤．【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明：0n x >当1n =时，110x => 假设n k =时，0k x >，那么1n k =+时，若10k x +≤，则110ln(1)0k k k x x x ++<=++≤，矛盾，故10k x +>．因此0n x >()n ∈*N所以111ln(1)n n n n x x x x +++=++>因此10n n x x +<<()n ∈*N（Ⅱ）由111ln(1)n n n n x x x x +++=++>得2111111422(2)ln(1)n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++记函数2()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以()(0)f x f ≥=0， 因此 2111112(2)ln(1)()0n n n n n x x x x f x +++++-+++=≥ 故112(N )2n n n n x x x x n *++-∈≤ （Ⅲ）因为11111ln(1)2n n n n n n x x x x x x +++++=+++=≤所以112n n x -≥得 由1122n n n n x x x x ++-≥得 111112()022n n x x +-->≥ 所以12111111112()2()2222n n n n x x x -----⋅⋅⋅-=≥≥≥ 故212n n x -≤综上，1211(N )22n n n x n *--∈≤≤ ．2、（2016年江苏卷）. (1) 求7C 36－4C 47的值； (2) 设m ，n ∈N *，n ≥m ，求证：(m ＋1)C m m ＋(m ＋2)C m m ＋1＋(m ＋3)C m m ＋2＋…＋n C m n －1＋(n ＋1)C m n ＝(m ＋1)C m ＋2n ＋2.规范解答 (1) 7C 36－4C 47＝7×6×5×43×2×1－4×7×6×5×44×3×2×1＝0. (2) 解法1 当n ＝m 时，结论显然成立．当n >m 时，(k ＋1)C m k ＝k ＋1·k ！m ！·k －m ！＝(m ＋1)·k ＋1！m ＋1！·[k ＋1－m ＋1]！＝(m ＋1)C m ＋1k ＋1，k ＝m ＋1，m ＋2，…，n .又因为C m ＋1k ＋1＋C m ＋2k ＋1＝C m ＋2k ＋2，所以(k ＋1)C m k ＝(m ＋1)(C m ＋2k ＋2－C m ＋2k ＋1)，k ＝m ＋1，m ＋2，…，n .因此，(m ＋1)C m m ＋(m ＋2)C m m ＋1＋(m ＋3)C m m ＋2＋…＋(n ＋1)·C m n ＝(m ＋1)C m m ＋[(m ＋2)C m m ＋1＋(m ＋3)C m m ＋2＋…＋(n ＋1)·C m n ]＝(m ＋1)C m ＋2m ＋2＋(m ＋1)[(C m ＋2m ＋3－C m ＋2m ＋2)＋(C m ＋2m ＋4－C m ＋2m ＋3)＋…＋(C m ＋2n ＋2－C m ＋2n ＋1)]＝(m ＋1)C m ＋2n ＋2.解法2 对任意的m ∈N *，①当n ＝m 时，左边＝(m ＋1)C m m ＝m ＋1，右边＝(m ＋1)C m ＋2m ＋2＝m ＋1，等式成立，②假设n ＝k (k ≥m )时命题成立，即(m ＋1)C m m ＋(m ＋2)C m m ＋1＋(m ＋3)C m m ＋2＋…＋k C m k －1＋(k ＋1)C m k ＝(m ＋1)C m ＋2k ＋2，当n ＝k ＋1时，左边＝(m ＋1)C m m ＋(m ＋2)C m m ＋1＋(m ＋3)C m m ＋2＋…＋k C m k －1＋(k ＋1)C m k ＋(k ＋2)C m k ＋1＝(m ＋1)·C m ＋2k ＋2＋(k ＋2)C mk ＋1，右边＝(m ＋1)C m ＋2k ＋3，而(m ＋1)C m ＋2k ＋3－(m ＋1)C m ＋2k ＋2＝(m ＋1)×k ＋3！m ＋2！k －m ＋1！－k ＋2！m ＋2！k －m ！＝(m ＋1)×k ＋2！m ＋2！k －m ＋1！[k ＋3－(k －m ＋1)]＝(k ＋2)×k ＋1！m ！k －m ＋1！＝(k ＋2)C m k ＋1， 因此(m ＋1)C m ＋2k ＋2＋(k ＋2)C m k ＋1＝(m ＋1)C m ＋2k ＋3，因此，左边＝右边，因此n ＝k ＋1时命题也成立，综合①②可得命题对任意n ≥m 均成立．3、（2015年江苏卷） 已知集合X ＝{1,2,3}，Y n ＝{1,2,3，…，n }(n ∈N *)，设S n ＝{(a ，b )|a 整除b 或b 整除a ，a ∈X ，b ∈Y n }，令f (n )表示集合S n 所含元素的个数．(1) 写出f (6)的值；(2) 当n ≥6时，写出f (n )的表达式，并用数学归纳法证明．规范解答 (1) 因为S 6＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,1)，(3,3)，(3,6)}，故f (6)＝13.(2) 当n ≥6时，f (n )＝⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧n ＋2＋n 2＋n3， n ＝6t ，n ＋2＋n －12＋n －13， n ＝6t ＋1，n ＋2＋n 2＋n －23， n ＝6t ＋2，n ＋2＋n －12＋n3， n ＝6t ＋3，n ＋2＋n 2＋n －13， n ＝6t ＋4，n ＋2＋n －12＋n －23， n ＝6t ＋5(t ∈N *)．下面用数学归纳法证明：①当n ＝6时，f (6)＝6＋2＋62＋63＝13，结论成立；②假设n ＝k (k ≥6)时结论成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1在S k 的基础上新增加的元素在(1，k ＋1)，(2，k ＋1)，(3，k ＋1)中产生，分以下情形讨论：1) 若k ＋1＝6t ，则k ＝6(t －1)＋5，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋3＝k ＋2＋k －12＋k －23＋3＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋13，结论成立；2) 若k ＋1＝6t ＋1，则k ＝6t ，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k3＋1＝(k ＋1)＋2＋k ＋1－12＋k ＋1－13，结论成立； 3) 若k ＋1＝6t ＋2，则k ＝6t ＋1，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k －13＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋1－23，结论成立；4) 若k ＋1＝6t ＋3，则k ＝6t ＋2，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k 2＋k －23＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋1－12＋k ＋13，结论成立； 5) 若k ＋1＝6t ＋4，则k ＝6t ＋3，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k3＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋1－13，结论成立；6) 若k ＋1＝6t ＋5，则k ＝6t ＋4，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k －13＋1＝(k ＋1)＋2＋k ＋1－12＋k ＋1－23，结论成立． 综上所述，结论对满足n ≥6的自然数n 均成立．4、（2014年江苏卷） 已知函数f 0(x )＝sin xx(x >0)，设f n (x )为f n －1(x )的导数，n ∈N *.(1) 求2f 1⎝⎛⎭⎫π2＋π2f 2⎝⎛⎭⎫π2的值；(2) 证明：对任意的n ∈N *，等式⎪⎪⎪⎪nf n －1⎝⎛⎭⎫π4＋π4f n⎝⎛⎭⎫π4＝22都成立． 规范解答 (1) 由已知，得f 1(x )＝f ′0(x )＝sin x x ′＝cos x x －sin xx2， 于是f 2(x )＝f ′1(x )＝cos x x ′－sin x x 2′＝－sin x x －2cos x x 2＋2sin x x 3，所以f 1π2＝－4π2，f 2π2＝－2π＋16π3.故2f 1π2＋π2f 2π2＝－1.(2) 由已知，得xf 0(x )＝sin x ，等式两边分别对x 求导，得f 0(x )＋xf ′0(x )＝cos x ， 即f 0(x )＋xf 1(x )＝cos x ＝sin x ＋π2，类似可得2f 1(x )＋xf 2(x )＝－sin x ＝sin(x ＋π)，3f 2(x )＋xf 3(x )＝－cos x ＝sin x ＋3π2，4f 3(x )＋xf 4(x )＝sin x ＝sin(x ＋2π)．下面用数学归纳法证明等式nf n －1(x )＋xf n (x )＝sin x ＋n π2对所有的n ∈N *都成立．(ⅰ) 当n ＝1时，由上可知等式成立．(ⅱ) 假设当n ＝k 时等式成立，即kf k －1(x )＋xf k (x )＝sin x ＋k π2.因为[kf k －1(x )＋xf k (x )]′＝kf ′k －1(x )＋f k (x )＋xf ′k (x )＝(k ＋1)f k (x )＋xf k ＋1(x )， sin x ＋k π2′＝cos x ＋k π2·x ＋k π2′＝sin x ＋k ＋1π2， 所以(k ＋1)f k (x )＋xf k ＋1(x )＝sin x ＋k ＋1π2. 因此当n ＝k ＋1时，等式也成立．结合(ⅰ)(ⅱ)可知等式nf n －1(x )＋xf n (x )＝sin x ＋n π2对所有的n ∈N *都成立．令x ＝π4，可得nf n －1π4＋π4f n π4＝sin π4＋n π2(n ∈N *)．所以对任意的n ∈N *，等式nf n －1π4＋π4·f n π4＝22都成立．一．数学归纳法：一般证明一个与正整数n 有关的命题，按下列步骤进行 ①归纳奠基：证明当n 取第一个值n 0时命题成立②归纳递推：假设n=k 时命题成立 ，证明当n=k+1时的命题也成立。
数学归纳法试题
数学归纳法试题一、使用数学归纳法证明某个命题时，首先需要验证的是？A. 命题对第一个自然数成立B. 命题对所有自然数都成立的一个特殊情况C. 命题的递推关系式D. 命题对无穷大的自然数成立（答案：A）二、在数学归纳法中，假设命题对某个自然数k成立，接下来需要做的是？A. 证明命题对k+1也成立B. 证明命题对k-1也成立C. 重新验证命题对k的成立性D. 直接得出命题对所有自然数都成立的结论（答案：A）三、以下哪个步骤不是数学归纳法证明中的必要步骤？A. 验证基础情况B. 假设归纳步骤C. 证明递推关系D. 验证特殊情况（答案：D）四、设有一个关于自然数的命题P(n)，若要用数学归纳法证明P(n)对所有自然数n都成立，首先需要验证的是？A. P(0)成立（假设0为自然数的起点）B. P(1)成立（假设1为自然数的起点）C. P(2)成立D. P(n)的递推关系式成立（答案：A或B，根据自然数的定义起点而定，通常选B）五、在数学归纳法的归纳步骤中，我们通常做的是？A. 验证命题对第一个自然数的成立性B. 假设命题对某个自然数k成立，然后证明它对k+1也成立C. 验证命题对所有负整数的成立性D. 无需做任何假设，直接证明命题对所有自然数都成立（答案：B）六、关于数学归纳法，以下哪个说法是不正确的？A. 数学归纳法是证明自然数命题的一种有效方法B. 在使用数学归纳法时，必须验证基础情况C. 只要证明了递推关系式，就可以直接使用数学归纳法得出结论D. 数学归纳法包括基础步骤和归纳步骤（答案：C）七、设P(n)是一个关于自然数n的命题，若P(n)对n=1成立，且当P(k)成立时，P(k+2)也成立，则能得出什么结论？A. P(n)对所有自然数n都成立B. P(n)对所有正奇数n都成立C. P(n)对所有正偶数n都成立D. 无法得出P(n)对任何特定自然数集合成立的结论（答案：B，考虑到递推间隔为2）八、在数学归纳法的应用中，以下哪个情况是不需要的？A. 明确命题P(n)的形式B. 验证命题P(n)对第一个自然数的成立性C. 假设命题P(k)成立，然后证明P(k+1)也成立D. 验证命题P(n)对某个特定大数N的成立性（答案：D）。
数学归纳法练习题
① n 4 时,
显然成立;
k
② 设 n k 时,结论成立, 即 3 ( k 1)!
则 n k 1 时 (∵ k 4, 3 k 2 )
3k 1 3k 3 (k 1)! 3 (k 1)! (k 2) (k 2)!
即 3
k 1
a2 2 1 ,
a3 3 2
an n n 1
① n 1 显然正确. ② 设 n k 正确即
an k k 1
则
n k 1 时
1 1 1 ak 1 S k 1 S k [(ak 1 ) ( k k 1 )] 2 ak 1 k k 1
n
*
存在,求出 m ;若不存在,请说明理由. 12. 正数数列 an 中, S n
*
1 1 (an ) .⑴ 求 a1、a2、a3 ;⑵ 猜想 an 的表达式并证明. 2 an
13. 设 n N ,试比较 3 和( n 1)! 的大小.
n
2
3
【答案】 一、选择题 1. C 2. D 二、填空题 4.
1
数学归纳法练习题
一、选择题 1. 用数学归纳法证明 1 a a a
2 n 1
1 a n 1 (n N * , a 1) ,在验证 n 1 成立 1 a
时,左边所得的项为( A. 1
) C. 1 a a
2
B. 1+ a
D. 1 a a a
2
3
2. 用数学归纳法证明 1
1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 2n 1 2n n 1 n 2 2n
高二数学数学归纳法试题答案及解析
高二数学数学归纳法试题答案及解析1.观察下列各不等式：…（1）由上述不等式，归纳出一个与正整数有关的一般性结论；（2）用数学归纳法证明你得到的结论．【答案】（1）且；（2）以下用数学归纳法证明这个不等式．①当n=2时，由题设可知，不等式显然成立.②假设当n=k时，不等式成立，即那么，当n=k+1时，有.所以当n=k+1时，不等式也成立.根据①和②，可知不等式对任何且都成立.【解析】（1）由上述不等式，归纳出表达式的左侧的关系与右侧分子与分母的特征写出一个正整数，有关的一般性结论；（2）利用数学归纳法证明步骤，直接证明即可.试题解析：（1）观察上述各不等式，得到与正整数n有关的一般不等式为且.（2）以下用数学归纳法证明这个不等式．①当n=2时，由题设可知，不等式显然成立.②假设当n=k时，不等式成立，即那么，当n=k+1时，有.所以当n=k+1时，不等式也成立.根据①和②，可知不等式对任何且都成立.【考点】归纳推理；数学归纳法.2.设，其中为正整数．（1）求，，的值；（2）猜想满足不等式的正整数的范围，并用数学归纳法证明你的猜想．【答案】（1）；（2）【解析】（1）数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题；（2）用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值是多少；（3)由时等式成立，推出时等式成立，一要找出等式两边的变化（差异），明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，务必保证猜想的正确性，同时必须严格按照数学归纳法的步骤书写.试题解析：解：（1） 3分（2）猜想： 4分证明：①当时，成立 5分②假设当时猜想正确，即∴由于8分∴，即成立由①②可知，对成立 10分【考点】数学归纳法及其应用.3.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第4个“金鱼”图需要火柴棒的根数为A．24B．26C．28D．30【答案】B【解析】由图形间的关系可以看出，第一个图形中有8根火柴，第二个图形中有8+6根火柴，第三个图形中有8+26根火柴，第三个图形中有8+36根火柴，即26根火柴，故选B.【考点】归纳推理.4.是否存在常数使得对一切恒成立？若存在，求出的值，并用数学归纳法证明；若不存在，说明理由.【答案】【解析】先探求出的值，即令，解得.用数学归纳法证明时，需注意格式.第一步，先证起始项成立，第二步由归纳假设证明当n="k" 等式成立时，等式也成立.最后由两步归纳出结论.其中第二步尤其关键，需利用归纳假设进行证明，否则就不是数学归纳法.解：取和2 得解得 4分即以下用数学归纳法证明：（1）当n=1时，已证 6分（2）假设当n=k，时等式成立即 8分那么，当时有10分12分就是说，当时等式成立 13分根据（1）（2）知，存在使得任意等式都成立 15分【考点】数学归纳法5.已知，不等式，，，…，可推广为，则等于 .【答案】【解析】因为，……，所以该系列不等式，可推广为，所以当推广为时，.【考点】归纳推理.6.用数学归纳法证明（），在验证当n=1时，等式左边应为A．1B．1+a C．1+a+a2D．1+a+a2+a3【答案】D【解析】注意到的左端，表示直到共n+3项的和，所以，当n=1时，等式左边应为1+a+a2+a3，选D。
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高中数学归纳法证明题
高中数学归纳法证明题
1/2+2/2^2+3/2^3+......+n/2^n=2-n+2/2^n.
1/2+2/2^2+3/2^3+......+n/2^n=2-(n+2)/2^n.
1、当n=1时候，
左边=1/2;
右边=2-3/2=1/2
左边=右边，成立。
2、设n=k时候，有：
1/2+2/2^2+3/2^3+......+k/2^k=2-(k+2)/2^k成立，
则当n=k+1时候：有：
1/2+2/2^2+3/2^3+.....+k/2^k+(k+1)/2^(k+1)
=2-(k+2)/2^k+(k+1)/2^(k+1)
=2-[2(k+2)-(k+1)]/2^(k+1)
=2-(k+3)/2^(k+1)
=2-[(k+1)+2]/2^(k+1)
我觉得不是所有的猜想都非要用数学归纳法.
比如a1=2,a(n+1)/an=2,这显然是个等比数列
如果我直接猜想an=2^n,代入检验正确,而且对所有的n都成立,这时候干嘛还用数学归纳法啊.可是考试如果直接这样猜想是不得分的,必须要用数学归纳法证明.
结果带入递推公式验证是对n属于正整数成立.
用数学归纳法,无论n=1,还是n=k的假设,n=k+1都需要带入递推公式验证,不是多此一举吗.我又不是一个一个验证,是对n这个变量
进行验证,已经对n属于正整数成立了.怎么说就是错误的.
这说明你一眼能看出答案，是个本领。
然而，考试是要有过程的，这个本领属于你自己，不属于其他人，比如你是股票牛人，直接看出哪支会涨哪支会跌，但是不说出为什么，恐怕也不会令人信服。
比如你的问题，你猜想之后，代入检验，验证成功说明假设正确，这是个极端错误的数学问题，请记住：不是验证了一组答案通过，
就说明答案是唯一的!比如x+y=2.我们都知道这是由无数组解的方程。
但是我猜想x=y=1,验证成功，于是得到答案，你觉得对吗?所
以你的证明方法是严格错误的!
说说你的这道题，最简单的一道数列题，当然可以一下看出答案，而且你的答案是正确的。
但是证明起来就不是那么容易了，答案不
是看出来的，是算出来的。
你的解法就是告诉大家，所有的答案都
是看出来，然后代入证明的。
假设看不出来怎么办?那就无所适从，
永远也解不出来了!这就是你的做法带来的.答案，你想想呢?你的这
种做法有什么值得推广的?
OK,了解!
数学归纳法使被证明了的，证明数学猜想的严密方法，这是毋庸置疑的。
在n=1时成立;假设n=k成立，则n=k+1成立。
这两个结论
确保了n属于N时成立，这是严密的。
你的例题太简单，直接用等比数列的定义就可以得到答案(首项
和公比均已知)，不能说明你的证明方法有误。
我的本意是：任何一
种证明方法，其本身是需要严格证明的，数学归纳法是经过严格证
明的;而你的证明方法：猜想带入条件，满足条件即得到猜想正确的
结论。
未经证明，(即使它很严密，我说即使)它不被别人认可。
事
实上，你的证明方法(猜想带入所有条件均成立)只能得到“必要”
答案，并不“充分”，你想一下，A满足B就说A=B显然是不充分的。
而数学归纳法充分必要，或者说“不大不小，不缩不放”，用
你的方法可以猜想出多套答案，把所有猜想出来的答案归纳一下就
是充分必要。
一、合情推理
1.归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的
联系，从而归纳出一般结论;
2.类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质。
在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推
导类比对象的性质。
二、演绎推理
演绎推理是由一般到特殊的推理，数学的证明过程主要是通过演绎推理进行的，只要采用的演绎推理的大前提、小前提和推理形式
是正确的，其结论一定是正确，一定要注意推理过程的正确性与完
备性。
三、直接证明与间接证明
直接证明是相对于间接证明说的，综合法和分析法是两种常见的直接证明。
综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、
公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法(或顺推证法、由因导果法)。
分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法。
间接证明是相对于直接证明说的，反证法是间接证明常用的方法。
假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假
设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫做反证法。
四、数学归纳法
数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。