利息理论(第七章)

§5 收益率
内容
现金流动分析 收益率的定义 再投资收益率 投资额加权收益率 时间加权收益率
在前面章节中所推导的一些重要结论将在这一章得到推广。 这些结论涉及到实际中广泛应用于金融计算的概念和技巧。 在本章中推出现金流动分析法和收益率的概念，然后考虑 了收益率的唯一性。 大家将会发现在这一章出现了许多重要结论，以便把利息 理论用于比前几章所考虑的更复杂的实际问题中。这一章 还把利息理论的应用从借贷事务推广到更广泛的商业与金 融事务中。 应注意的是，在本章中我们没有考虑税收的问题。在此只 介绍税前的收益率。实际上，税收的影响是很重要的，税 收与商业和金融交易的类型有关，它相当大地依赖于交易 的性质和有关的政策权限，并且考虑税收在利息理论的实 际应用中是非常重要的。 在金融计算中要考虑的另一个影响因素是费用的处理，有 些利率的报出是扣除了费用的。而有些不是。对后一种情 况，投资者的净收益要通过减去产生的费用量（如佣金和
即
(1.12) i 1.15
2
1
i 9.08%
此结果说明：如果投资者预计在10年后的（再投资）收 益率高于9.8%，那么选择项目A较好，否则选择项目B。 ＃
收益率的唯一性 我们的直觉使我们希望在以上定义的收益率是单值的。 事实上，在金融交易中遇到的收益率常常是单值的。但偶 尔也会遇到非单值的情况。根据公式 R v 0 可知，它是 关于V的n次多项式，通过等式两边同乘(1+i)n，可将上式 化成关于i的n次多项式。由于n次多项式有n个根（m重根和 复数根，m>1），下面通过几个例子说明可能出现的各种情 况。
二、 收益率的定义
在公式
V (0) vt Rt
t 0 n
ห้องสมุดไป่ตู้
中一个非常重要的特例是V(0)=0，即：
V (0) vt Rt 0
t 0 n
满足上式的利率i称为投资收益率。所谓收益率就是当 投资收益的现值等于投入的现值时的利率。 在商业和金融文章中，收益率常被称为“内部收益率”。 “收益率”和“内部收益率”可互换使用。 收益率不是一个全新的概念。在前几章中求未知利率的问 题即是收益问题的特例。
以下我们分两种情况考虑再投资利率问题
◇单位本金以利率i投资n期，利息以利率j再投资。求n期末 的终值。如下图所示：
1 0 1 i 2 i 3 i n-1 i n i+1
n期末的终值等于本金加利息积累值。 即：
1 iSn j
若i=j，上式可简化成(1+i)n ◇每期未投资1，利率为i，利息以利率j再投资，求n期未该 年金的终值。如下图所示：
n t t 0 t
10000(1+i)2-24500（1+i)-15000=0
5-45i+100i2=0 解得 i1=0.25，i2=0.2
＃
此例是个二次多项式，有两个互异的正根。
例5.4 甲向乙借入1000元，年利率为10%，转手贷给丙，
年利率为15%，期限都是1年，计算甲的收益率。
【解】 从甲的现金流来看
1 0 1 1 2 i 1 3 2i … … … 1 n-1 1 n （n-2)i （n-1)i
从时刻2开始，每期都有由付款本金产生的利息，由于付款 的本金之和随时间推移逐年增加，因而每期所产生的利息 也就逐年增加。这些产生的利息再投资按利率j计算，故年 金的终值等于年金的支付总量加上利息的积累值。即
n
t
0 Rt vt
t 0
n
这样，在交易中的收益率由定义在交易中的现金流量和 其时间而定，对借贷双方来说都是一样的。 收益率常常作为衡量某交易是有利还是不利的标志。从投资 者（出借方）来看，高收益是有利的，而从借款方来看却相 反。 收益率的值可以为正值、负值和零。 收益率为正值的情况属于正常的，符合人们的投资愿望；
7
8 9 10 总计
9,000
10,000 11,000 12,000 50,000
8,000
9,000 10,000 12,000 27,000
现金流动折现分析---通过现金流折现对现金流进行分析的 方法。 现在更一般地讨论这个问题。假定每期利率是i，那么给定 的净现金流在零时刻的现值之和，也就是这种一般化的年金 现值对于一般的现金Rt(0≤t≤n)，在利率为i时有现值：
V (0) vt Rt
t 0 n
V(0)可能为正值，也可能为负值，也可能为0，具体要看实 际的现金流以及利率值。如上例中的数据，投资支出在前 几年发生，而收回（收益）发生在后几年，这样，若利率 较高，投资收回值的折现值就较小；而较高的利率对投资 支出的影响相对较小。那么，V(0)就可能为负值，反之， 若利率i较低V(0)就可能为正值。
例5.1 求利率为何值时，第2年末支付2000元，第4年末支
付3000元的现值和为4000元？ 【解】 此为求收益率问题。
现金流为：R0=4000，R2=-2000，R4=-3000
则由 v R
t t 0 n t
0得
2
4000-2000V2-3000V4=0
v

2 52 6

即
2 v 0 2 v 0.868517
i=0.0730
＃
到此，我们是站在投资者的角度来看问题的，如果我们正 处理的是双方交易，我们可很容易地站在借款人的立场上 看问题。这时Ct与Rt反号即可。因而，以Rt 和以Ct计算的收 益率应该是相等的，即 0 R v C v
n t n t t 0 t t 0 t
C v
t 0 t
上面的定义和公式假定支付周期是整数，但是这个结果可 以很容易地推广到有规律的或没有规律的时间间隔上。并 且可以仿照求年金的未知利率那样来求收益率。前面讨论 求未知利率的方法可以直接使用。
例5.2 对本节给出的例子，计算使项目B在20年投资期中
收益率相等的项目A后10年的再投资收益率。 【解】用i表示所求利率。由题意得价值方程为： (1+15%)10(1+i)10=(1+12%)20
其他买卖证券的费用）得到。 本章对收益率的讨论也不包括投资费用。 税后收益率以及包括投资费用的收益率都可根据本课程的 介绍的原理计算。
一、 现金流动分析
资金的投入与资金的回收，是投资方案的重要组成部分。 通过计算其现值，以对方案进行分析，这种方法叫做贴现 现金流分析法，简称为现金流分析法。 考虑一种情况：投资者在时刻0，1，2，· · · ，n分别投资 （或称有现金流出）O0，O1，O2，· · · ，On,投资回收（或称 现金流入）I0，I1，I2，· · · ，In，Ot＞0。如下图所示：
尽管我们不必分开定义Ct和Rt，但在本章的某些公式的推导 时，有两种符号使用会方便一些。
也可能在某一时刻既有投入也有收益。那么在这种情况下， 两者相抵。例如在时刻5投入5000元，同时又有收益1000元， 那么C5=4000元，且R5=-4000元。 为了说明这些概念，考虑一个十年投资项目。在该项目中， 投资者在第一年初投入10,000元，第二年初投入5,000元， 此后的每年初产生1,000元的维修费。该项目预期在最后五 年的每年末偿还投资，开始时为8,000元，此后每年递增 1,000元。下表总结了这个投资项目的现金流量，最后一列 列出了的Rt的值，以便展示投资收益。（此表也可不列出Rt 而列出Ct）
付都具有同一符号，而其余部分的净支付都具有相反的符号。
以数学语言叙述这种情况可描述为：存在一个k值，满足： 0<k<n，对于t=0，1，2，· · · ，k，有Rt≤0；而对于t=k+1， t=k+2,· · · ，n，有Rt≥0。(如本节的第一个例子可说明这点) 实际上，它称为符号的DesCates规则（或定理）。利用该 定理还可以知道收益率的最多个数。满足 R v 0 式的收益 率值的个数最多为现金流中现金改变方向的次数。
n t t 0 t
例5.3 某人在期货卖出交易市场上先投入10000元买入1
年期期货。一年后作为现货卖出且另外卖空一部分1年期期 货，共24500元，又过1年，投入15000元买入现货支付到期 期货。计算该投资人的投资收益率。 【解】由题意知现金流为： 0 0=-10000，R1=24500，R2=-15000 R v R 由 得： -10000+24500（1+i)-1-15000(1+i)-2=0
年份
0 1 2 3 4 5
投入
10,000 5,000 1,000 1,000 1,000 1,000
回收
0 0 0 0 0 0
Rt
-10,000
年份
6
投入
1,000 1,000 1,000 1,000 0 23,000
回收
8,000
Rt
7,000
-5,000
-1,000 -1,000 -1,000 -1,000
收益率为0，表示投资者在投资中没有收益；
收益为负值，表示发生投资损失，由于一定现金流的最大损 失为全部的投资没有回报（血本无归），此时，i=-1。故对 负收益率我们限定： -1≤i≤0
不是所有的交易都是双方的，在某些项目中现金流出流向 多方或现金流入来自多方。如果是这种情况，对投资者来 说收益率的计算仍然有效，但是在交易的另一方不只是一 个借款人运用同一收益率。 在运用收益率时的另一个重要的问题是要考虑有关的时间 周期。对不同的现金流收益率的比较，只能在相等的投资 期限内进行，否则就不具可比性。例如，考虑投资一笔款， 有A，B两种选择： 项目A，货款实际利率（收益率）15%，10年。 项目B，货款实际利率（收益率）12%，20年。 投资者应选择哪个项目呢？ 如果我们只希望投资10年，那么简单地比较收益率即可。 这样，选择项目A比选择项目B好，因为它的收益率高，但 如果我们希望投资20年，那么就要考虑10年后的项目A的再 投资率。