(完整word版)高中数学讲义-极坐标与参数方程
极坐标与参数方程讲义
极坐标与参数方程一、极坐标知识点1.极坐标系的概念（1）极坐标系如图所示,在平面内取一个定点0,叫做极点，自极点0引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向）,这样就建立了一个极坐标系.注：极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可•但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系•（2）极坐标设M是平面内一点，极点0与点M的距离|0M|叫做点M的极径，记为；以极轴0X为始边，射线0M为终边的角XOM叫做点M的极角，记为•有序数对（，）叫做点M的极坐标，记作M （,）.一般地，不作特殊说明时，我们认为0，可取任意实数•特别地，当点M在极点时，它的极坐标为（0，）（€ R）.和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示•如果规定0,0 2 ，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（，）表示；同时，极坐标（，）表示的点也是唯一确定的•2.极坐标和直角坐标的互化（1）互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示:⑵互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是（x，y），极坐标是（，）（0），于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：在一般情况下，由tan确定角时，可根据点M所在的象限最小正角注：由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即(,),(,2 ),(, ),(, ),都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程，点M(,)可以表示为4 45(, 2 )或(， 2 )或(-, 等多种形式,其中,只有(，)的极坐标满足方4 4 4 4 4 4 4 4程、考点阐述考点1、极坐标与直角坐标互化例题1、在极坐标中，求两点 P(2,Q ), Q(2,-)之间的距离以及过它们的直线的极坐标方 程。
(完整word版)高中数学讲义-极坐标与参数方程
极坐标与参数方程、教学目标本次课是一堂新课，通过本次课的学习，让学生理解极坐标和参数方程的概念等基础知 识，掌握极坐标与直角坐标的相互转化， 掌握一般常见曲线和直线的极坐标方程和参数方程。
深刻理解参数方程所代表的数学思想一一换元思想。
二、考纲解读极坐标和参数方程是新课标考纲里的选考内容之一， 只有理科生选学。
在每年的高考试卷中，极坐标和参数方程都是放在一道填空题中，与平面几何作为二选一的考题出现的。
由于极坐标是新添的内容， 考纲要求比较简单， 所以在考试中一般以基础题出现， 不会有很难的题目。
三、知识点回顾（一）曲线的参数方程的定义:x f(t) y f(t)组就叫做这条曲线的参数方程，联系 X 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数.（二）常见曲线的参数方程如下:1.过定点（x o , y o ）,倾角为a 的直线:其中参数t 是以定点P （x o , y o ）为起点，对应于t 点M （x , y ）为终点的有向线段 PM 的数量，又称为点 P 与点M 间的有向距离.根据t 的几何意义，有以下结论.1 .设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ,则AB = t;(tBtA ) 4t A tB在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x 、y 都是某个变数 t 的函数，即并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点 M （ x , y ）都在这条曲线上，那么方程x X o t cos y y o tsin（t 为参数）2 .线段AB 的中点所对应的参数值等于t A t B 22. 中心在（x o, y o）,半径等于r的圆:直线的参数方程和参数的几何意义（三）极坐标系度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
对于平面内的任意一点 M 用p 表示线段 OM的长度，0表示从 Ox 到OM 的角，p 叫做点 M 的极径，0叫做点 M 的极角，有序数对（p ,0）就叫做点M 的极坐标。
(完整word版)高中数学参数方程知识点大全
高考复习之参数方程 一、考纲要求1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点.二、知识结构 1.直线的参数方程(1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是⎩⎨⎧+=+=a t y y at x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=ab的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=bty y atx x 00(t 不参数) ② 在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2+b 2=1,②即为标准式，此时， ｜ t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2≠1，则动点P 到定点P 0的距离是22b a +｜t ｜.直线参数方程的应用 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=a t y y a t x x sin cos 00 （t 为参数）若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是 (x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜;(3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则 t=221t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜221t t +｜ (4)若P 0为线段P 1P 2的中点，则 t 1+t 2=0.2.圆锥曲线的参数方程(1)圆 圆心在(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin cos r b y r a x (φ是参数)φ是动半径所在的直线与x 轴正向的夹角，φ∈［0,2π］(见图)(2)椭圆 椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x (φ为参数)椭圆 12222=+by a y (a ＞b ＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos a y b x (φ为参数) 3.极坐标极坐标系 在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫 做极轴.①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.点的极坐标 设M 点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示射线Ox 到OM 的角度 ，那么ρ叫做M 点的极径，θ叫做M 点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M 点的极坐标.(见图)极坐标和直角坐标的互化 (1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x 轴的正半轴重合③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式⎩⎨⎧=='sin cos θρθρy x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(222x x ytg y x θρ 三、知识点、能力点提示(一)曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化例1 在圆x 2+y 2-4x-2y-20=0上求两点A 和B ，使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长.解： 将圆的方程化为参数方程：⎩⎨⎧+=+=θθsin 51cos 52y x （θ为参数） 则圆上点P 坐标为(2+5cos θ，1+5sin θ)，它到所给直线之距离d=223430sin 15cos 120+++θθ故当cos(φ-θ)=1，即φ=θ时 ，d 最长，这时，点A 坐标为(6，4)；当cos(φ-θ)=-1,即θ=φ-π时，d 最短，这时，点B 坐标为(-2，2).(二)极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化说明 这部分内容自1986年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出现.例2 极坐标方程ρ=θθcos sin 321++所确定的图形是（ ） A.直线B.椭圆C.双曲D.抛物线解： ρ=)6sin(1211)]cos 2123(1[21πθθ++⋅=++(三)综合例题赏析 例3 椭圆的两个焦点坐标是是参数)(sin 51cos 3Φ⎩⎨⎧Φ+-=Φ+=y x （ ）A.(-3，5)，(-3，-3)B.(3，3)，(3，-5)C.(1，1)，(-7，1)D.(7，-1)，(-1，-1)解：化为普通方程得125)1(9)3(22=++-y x ∴a 2=25,b 2=9,得c 2＝１６,c=4.∴F(x-3,y+1)=F(0,±4)∴在xOy 坐标系中，两焦点坐标是(3，3)和(3，-5). 应选B.例4 参数方程表示)20()sin 1(212sin 2cos πθθθθ<<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x A.双曲线的一支，这支过点(1，21) B.抛物线的一部分，这部分过(1，21)C.双曲线的一支，这支过(-1，21) D.抛物线的一部分，这部分过(-1，21) 解：由参数式得x 2=1+sin θ=2y(x ＞0) 即y=21x 2(x ＞0). ∴应选B. 例5 在方程⎩⎨⎧==θθcos sin y x (θ为参数)所表示的曲线一个点的坐标是( )A.(2,-7)B.（31，32）C.(21，21) D.(1，0)解：y=cos2θ=1-2sin2θ=1-2x 2 将x=21代入，得y=21∴应选C.例6 下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2-y=0表示同一曲线的方程是( )A.⎩⎨⎧==ty t x B.⎩⎨⎧==t y t x 2cos cos C.⎪⎩⎪⎨⎧-+==t t y tgtx 2cos 12cos 1D.⎪⎩⎪⎨⎧+-==t t y tgtx 2cos 12cos 1解：普通方程x 2-y 中的x ∈R ，y ≥0，A.中x=｜t ｜≥0，B.中x=cost ∈〔-1,1〕，故排除A.和B.C.中y=tt 22sin 2cos 2=ctg 2t=2211x t tg ==，即x 2y=1，故排除C. ∴应选D.例7 曲线的极坐标方程ρ=４sin θ化 成直角坐标方程为( ) A.x 2+(y+2)2=4 B.x 2+(y-2)2=4 C.(x-2)2+y 2=4 D.(x+2)2+y 2=4解：将ρ=22y x +，sin θ=22y x y +代入ρ=4sin θ，得x 2+y 2=4y ，即x 2+(y-2)2=4.∴应选B.例8 极坐标ρ=cos(θπ-4)表示的曲线是( )A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆解：原极坐标方程化为ρ=21(cos θ+sin θ)⇒22ρ=ρcos θ+ρsin θ，∴普通方程为2(x 2+y 2)=x+y ，表示圆.应选D.例9 在极坐标系中，与圆ρ=4sin θ相切的条直线的方程是( ) A.ρsin θ=2 B.ρcos θ=2C.ρcos θ=-2D.ρcos θ=-4例9图解：如图.⊙C 的极坐标方程为ρ=4sin θ，CO ⊥OX,OA 为直径，｜OA ｜=4,l 和圆相切， l 交极轴于B(2，0)点P(ρ,θ)为l 上任意一点，则有 cos θ=ρ2=OPOB ，得ρcos θ=2，∴应选B.例10 4ρsin 22θ=5 表示的曲线是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线解：4ρsin 22θ=5⇔4ρ·.5cos 2221cos -=⇔-θρρθ把ρ=22y x + ρcos θ=x ，代入上式，得 222y x +=2x-5. 平方整理得y 2=-5x+.425.它表示抛物线. ∴应选D.例11 极坐标方程4sin 2θ=3表示曲线是( )A.两条射线B.两条相交直线C.圆D.抛物线解：由4sin 2θ=3,得4·222yx y +＝3,即y 2=3 x 2，y=±x 3,它表示两相交直线. ∴应选B.四、能力训练 (一)选择题 1.极坐标方程ρcos θ=34表示( ) A.一条平行于x 轴的直线B.一条垂直于x 轴的直线C.一个圆D.一条抛物线2.直线：3x-4y-9=0与圆：)(,sin 2cos 2为参数θθθ⎩⎨⎧==y x 的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心3.若(x ，y)与(ρ，θ)(ρ∈R)分别是点M 的直角坐标和极坐标，t 表示参数，则下列各组曲 线：①θ=6π和sin θ=21；②θ=6π和tg θ=33，③ρ2-9=0和ρ= 3；④⎩⎨⎧+=+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x ty t x 322213222和其中表示相同曲线的组数为( )A.1B.2C.3D.44.设M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)两点的极坐标同时满足下列关系：ρ1+ρ2=0 ，θ1+θ2=0，则M ，N 两点位置关系是( )A.重合B.关于极点对称C.关于直线θ=2πD.关于极轴对称5.极坐标方程ρ=sin θ+2cos θ所表示的曲线是( )A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线6.经过点M(1，5)且倾斜角为3π的直线，以定点M 到动点P 的位移t 为参数的参数方程是( )A ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 235211 B.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 235211C.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t y t x 235211 D.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t x t y 215231 7.将参数方⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++⋅=+++⋅=2222222222m m m b y m m mm a x (m 是参数，ab ≠0)化为普通方程是( )A.)(12222a xb y a x ≠=+B.)(12222a x b y a x -≠=+ C.)(12222a x by a x ≠=-D.)(12222a x by a x -≠=- 8.已知圆的极坐标方程ρ=2sin(θ+6π)，则圆心的极坐标和半径分别为( ) A.(1,3π),r=2 B.(1,6π),r=1 C.(1, 3π),r=1 D.(1,-3π),r=2 9.参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=21y t t x (t 为参数)所表示的曲线是( )A.一条射线B.两条射线C.一条直线D.两条直线10.双曲线⎩⎨⎧+=+-=θθsec 212y tg x (θ为参数)的渐近线方 程为( )A.y-1=)2(21+±x B.y=x 21± C.y-1=)2(2+±xD.y+1=)2(2-±x11.若直线⎩⎨⎧=+=bty at x 4( (t 为参数)与圆x 2+y 2-4x+1=0相切，则直线的倾斜角为( )A. 3πB.32πC.3π或32π D.3π或35π12.已知曲线⎩⎨⎧==pt y pt x 222(t 为参数)上的点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，且t 1+t 2=0，那么M ，N 间的距离为( )A.2p(t 1+t 2)B.2p(t 21+t 22) C.│2p(t 1-t 2)│ D.2p(t 1-t 2)213.若点P(x ，y)在单位圆上以角速度ω按逆时针方向运动，点M(-2xy ，y 2-x 2)也在单位圆上运动，其运动规律是( )A.角速度ω，顺时针方向B.角速度ω，逆时针方向C.角速度2ω,顺时针方向D.角速度2ω，逆时针方向14.抛物线y=x 2-10xcos θ+25+3sin θ-25sin 2θ与x 轴两个交点距离的最大值是( )A.5B.10C.23D.315.直线ρ=θθsin cos 23+与直线l 关于直线θ=4π(ρ∈R)对称，则l 的方程是( )A ．θθρsin cos 23-=B ．θθρcos cos 23-=C ．θθρsin 2cos 3-=D ．θθρsin 2cos 3+=(二)填空题16.若直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=ty t x 532543(t 为参数)，则过点(4，-1)且与l 平行的直线在y 轴上的截距为.17.参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=θθθθcos 1sin cos 1cos y x （θ为参数）化成普通方程为 .18.极坐标方程ρ=tg θsec θ表示的曲线是 . 19.直线⎩⎨⎧-=+-=ty tx 3231(t 为参数)的倾斜角为 ；直线上一点P(x ，y)与点M(-1，2)的距离为 .(三)解答题20.设椭圆⎩⎨⎧==θθsin 32cos 4y x (θ为参数) 上一点P ，若点P 在第一象限，且∠xOP=3π，求点P 的坐标.21.曲线C 的方程为⎩⎨⎧==pty pt x 222(p ＞0，t 为参数)，当t ∈［-1，2］时 ，曲线C 的端点为A ，B ，设F 是曲线C 的焦点，且S △AFB =14，求P 的值.22.已知椭圆222y x +=1及点B(0，-2)，过点B 作直线BD ，与椭圆的左 半部分交于C 、D 两点，又过椭圆的右焦点F 2作平行于BD 的直线，交椭圆于G ，H 两点.(1)试判断满足│BC │·│BD │=3│GF 2│·│F 2H │成立的直线BD 是否存在?并说明理由 .(2)若点M 为弦CD 的中点，S △BMF2=2，试求直线BD 的方程.23.如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线⎩⎨⎧=+=θθtg y x 3sec 48(θ为参数)的左焦点和左顶点，且焦点到相应的准线的距离为49，求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离. 24.A ，B 为椭圆2222by a x +=1，(a ＞b ＞0) 上的两点，且OA ⊥OB ，求△AOB 的面积的最大值和最小值.25.已知椭圆162422y x +=1，直线l ∶812y x +=1，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且 满足│OQ │·│OP │=│OR │2，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程.并说明轨迹是什么曲线.参考答案(一)1.B 2.D 3.C 4.C 5.B 6.A 7.A 8.C 9.B 10.C 11.C 12.C 13.C 14.C 15.D(二)16.-4；17.y ２=-2(x-21),(x ≤21);18.抛 物线；19.135°,|32t| (三)20.(5154,558)；21.;332 22.(1)不存在，(2)x+y+2=0；23.51(27-341)；24.Smax=2ab ，s max=2222b a b a +;25.25)1(25)1(22-+-y x =1(x,y)不同时为零)。
极坐标与参数方程知识讲解
x o θ φ
z P(r,φ,θ) r y Q
空间点P的直角坐标( x, y, z )与柱坐标(r , , ) 之间的变换公式为 x r sin cos { y r sin sin z r cos
一般地，建立空间直角坐标系Oxyz, 设P是空间 任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q, 用( , ) ( 0,0 2 )表示点Q在平面Oxy上的极坐 标，这时点P的位置可用有序数组( , , z )( z R) 表示。这样，我们建立了空间的点与有序数组 ( , , z )之间的一种对应关系。
( x, y ) ,极坐标是 ( , ) ( 0 ),于是极坐标与直角坐标的互化
公式如表:
点M
直角坐标 ( x, y )
极坐标 ( , )
互化公式
x cos y sin
2 x2 y 2
tan y ( x 0) x
注：在一般情况下,由 tan 确定角时,可根据点 M 所在的象限最小正角. 极坐标和直角坐标的两组互化公式必须满足三个条件才能使用：(1)原点和极点重合；(2)x 轴正
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半轴与极轴重合；(3)两坐标系中长度单位相同．极坐标和直角坐标的互化中，更要注意等价性。 直角坐标方程转化为极坐标方程很方便，直接带入
x cos 即可。反之，则比较麻烦，所以 y sin
直线和圆的极坐标方程对应的直角坐标方程需要记住，直接可以应用。由曲线的极坐标方程判 断曲线的类型，通常是将极坐标方程化为直角坐标方程再去判断．而求曲线的极坐标方程的常 用方法是直接法、转化法和待定系数法． 6、柱坐标系与球坐标系： 柱坐标：
参数方程与极坐标(精华版)
参数方程与极坐标(精华版)y y tsin注意：倾角为的直线，斜率为tan，所以tan=tan，即tcos=tsin，所以cos=sin，即=45，即直线与x轴或y轴夹45角。
Eg：已知直线L过点（1，2）且与x轴夹45角，求直线L的方程。
解：设直线L的参数方程为x=1+tcos45，y=2+tsin45，即x=1+t/2，y=2+t/2，将y=mx+b代入得到m=1，b=3/2，即直线L的方程为y=x+3/2.四、极坐标1、定义：在平面直角坐标系中，点P到原点O的距离r和OP与x轴正半轴的夹角唯一确定点P的位置，称（r，）为点P的极坐标，r为极径，为极角，记作P（r，）。
2、极坐标与直角坐标的转换x=r cos，y=r sinr2=x2+y2，tan=y/x3、常见曲线的极坐标方程1）圆：r=a2）半直线：=0或=3）双曲线：r=a sec或r=a cosec4）椭圆：r=a bcos或r=a sin5）心形线：r=a(1+cos)6）阿基米德螺线：r=a+b7）对数螺线：r=a e b8）伯努利双曲线：r2=a2 sec29）费马螺线：r=2a sin(/2)10）旋轮线：r=a或r=a sin(n)/sin（n为正整数）总结：极坐标的方程形式比较简单，但是不同曲线的极坐标方程需要记忆，转换成直角坐标系方程需要用到三角函数的知识。
P点的有向距离在点P两侧t的符号相反，可以通过直线的参数方程来表示。
其中，t代表有向距离的几何意义。
需要注意的是，t的符号相对于点P，正负在P点两侧，且|PP|=|t|。
直线参数方程可以有多种变式，比如y=y+tsinα和x=x+at，y=y+bt，但此时t的几何意义不是有向距离。
只有当t前面系数的平方和为1时，t的几何意义才是有向距离。
因此，可以将直线参数方程整理为x=x+a2+b2t，XXX，让a2+b2t作为t，这样t的几何意义就是有向距离了。
例如，对于直线x=-1+3t，y=2-4t，可以求其倾斜角。
高中数学极坐标和参数方程讲义
极坐标和参数方程讲义姓名： 学号：一、极坐标与普通方程互化条件：极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，长度单位相同.互化公式：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x yy x θρθ的象限由点(x,y)所在的象限确定.【典型范例】例题1. 点M 的极坐标分别是(2,)2π，(4,)π，2(6,)3π，3(2,)4π 换算成直角坐标是3. 点M 的直角坐标分别是(2,0)，(0,2)-，(2,2)--，(如果0,02ρθπ≥≤<换算成极坐标是例题2．在极坐标系中，过圆4cos =ρθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 ．变式1.在极坐标系中，圆心在()2，π且过极点的圆的方程为（ ）A.ρθ=22cosB.ρθ=-22cosC.ρθ=22sinD.ρθ=-22sin变式2．(广东文)已知曲线21,C C 的极坐标方程分别为θρθρcos 4,3cos ==（20,0πθρ<≤≥），则曲线1C 与2C 交点的极坐标为__ ___.变式3. (广州一模)在极坐标系中，过点4π⎛⎫⎪⎝⎭作圆4sin ρθ=的切线，则切线的 极坐标方程是 ．例题3．( 广东文)在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin θ=3，则点(2，6π)到直线l 的距离为 ．变式1.(韶关调研理) 设Ｍ、Ｎ分别是曲线2sin 0ρθ+=和s ()42in πρθ+=上的动点， 则Ｍ、Ｎ的最小距离是变式2.（深圳一模理）在极坐标系中，已知点A （1，43π）和B )4,2(π,则A 、B 两点间的距离是 ．二、常见的参数方程的概念：圆222r )b y ()a x (=-+-的参数方程可表示为)(.rsin b y ,rcos a x 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=.椭圆1b y a x 2222=+(a>b>0)的参数方程可表示为)(.bsin y ,acos x 为参数θθθ⎩⎨⎧==. 经过点)y ,x (M o o O ，倾斜角为α的直线l 的参数方程可表示为⎩⎨⎧+=+=.tsin y y ,tcos x x o o αα（t 为参数）。
极坐标与参数方程知识讲解修订版
极坐标与参数方程知识讲解修订版IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-ZZT18】参数方程和极坐标系一、 知识要点（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即⎩⎨⎧==)()(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．（二）常见曲线的参数方程如下：1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：ααsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义，有以下结论．○1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ⋅--4)(2．○2．线段AB 的中点所对应的参数值等于2BA t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：θθsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数）3．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆：θθsin cos b y a x == （θ为参数） （或 θθsin cos a y b x ==）中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(.sin ,cos 00⎩⎨⎧+=+=b y y a x x 4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：θθtg sec b y a x == （θ为参数） （或 θθec a y b x s tg ==）5．顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：pty pt x 222== （t 为参数，p ＞0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）．J3.2极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
极坐标与参数方程数学讲义
极坐标与参数方程一、考纲要求1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程. 二、知识结构1.参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧==),(),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
常见的曲线的参数方程2.直线的参数方程(1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=a t y y at x x sin cos 00 (t 为参数，其几何意义是．．．．．PM ．．的数量．．．) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=ab的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00(t 为参数，1tan t α=) ② 3.圆锥曲线的参数方程(1)圆 圆心在(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin cos r b y r a x (φ是参数)(2)椭圆 椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x (φ为参数)椭圆12222=+by a y (a ＞b ＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos a y b x (φ为参数) (3)抛物线 抛物线px y 22=的参数方程为()为参数t pt y pt x ⎩⎨⎧==2224.极坐标极坐标系 在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫 做极轴.①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.点的极坐标 设M 点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示射线Ox 到OM 的角度 ，那么ρ叫做M 点的极径，θ叫做M 点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M 点的极坐标.注意：①点),(θρP 与点),(1θρ-P 关于极点中心对称；②点),(θρP 与点),(2πθρ+-P 是同一个点；③如果规定0,02ρθπ>≤<，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示（即一一对应的关系）；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
高中数学极坐标与参数方程知识点
高中数学极坐标与参数方程知识点知识点参数方程的定义：如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，且对于每个允许值的t，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数．常见曲线的参数方程：1.过定点（x，y），倾角为α的直线：x = x + tcosαy = y + tsinα其中参数t是以定点P（x，y）为起点，对应于t点M（x，y）为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有向距离．2.中心在（x，y），半径等于r的圆：x = x + rcosθy = y + rsinθθ为参数）3.中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的椭圆：x = acosθ 或x = bcosθθ为参数）（或）y = bsinθ 或y = asinθ4.中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的双曲线：x = asecθ 或x = btanθθ为参数）（或）y = btanθ 或y = asecθ5.顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线：x = 2pt^2t为参数，p＞0）y = 2pt直线的参数方程和参数的几何意义：过定点P（x，y），倾斜角为α的直线的参数方程是x = x + tcosαy = y + tsinα其中参数t是以定点P（x，y）为起点，对应于t点M（x，y）为终点的有向线段PM的数量。
根据t的几何意义，可以得出结论：设AB是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t_A和t_B，则AB = t_B - t_A = (t_B - t_A)^2 - 4t_A*t_B。
极坐标系是在平面内取一个定点O作为极点，引一条射线Ox作为极轴，再选一个长度单位和角度的正方向。
对于平面内的任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox 到OM的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ,θ)就叫做点M的极坐标。
这样建立的坐标系叫做极坐标系。
(完整版)极坐标与参数方程知识点总结大全
极坐标与参数方程一、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ⎩⎨⎧==)()(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上（即曲线上的点在方程上，方程的解都在曲线上），那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.练习1．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（ ）12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数A ．B ．C ．D ．2323-3232-2．下列在曲线上的点是（ ）sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数A ．B ．C ．D ．1(,231(,)42-3．将参数方程化为普通方程为（ ）222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数A ．B ．C ．D ．2y x =-2y x =+2(23)y x x =-≤≤2(01)y x y =+≤≤注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一（由上面练习（1、3可知））。
应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
3．圆的参数方程如图所示，设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，设，则。
这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是转过的角度（称为旋转角）。
圆心为，半径为的圆的普通方程是，它的参数方程为：。
4．椭圆的参数方程以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆的标准方程为其参数方程为，其中参数称为离心角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为∈[0，2）。
参数方程与极坐标(精华版)
参数方程与极坐标参数方程知识回顾：一、定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个参数t的函数，即 ，其中，t为参数，并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点⎩⎨⎧==)()(tfytfxM（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数t叫做参变数，简称参数．二、二次曲线的参数方程1、圆的参数方程：中心在（x0，y0），半径等于r的圆： （为参数，的几何意义为圆心角），θθsincosryyrxx+=+=θθ特殊地，当圆心是原点时，θθsincosryrx==注意：参数方程没有直接体现曲线上点的横纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横纵坐标与参数间的关系。
Eg1：已知点P（x，y）是圆x2+y2-6x-4y+12=0上的动点，求：（1）x2+y2的最值；（2）x+y的最值；（3）点P到直线x+y-1=0的距离d的最值。
Eg2：将下列参数方程化为普通方程（1） x=2+3cos（2） x=sin（3） x=t+θθt1y=3sin y=cos y=t2+θθ21t总结：参数方程化为普通方程步骤：（1）消参（2）求定义域2、椭圆的参数方程：中心在原点，焦点在x轴上的椭圆： （为参数，的几何意义是离心角，如图角AON是离心角）θθsincosbyax==θθ注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆，M点的轨迹是椭圆，中心在（x0，y0）椭圆的参数方程：θθsincosbyyaxx+=+=Eg ：求椭圆=1上的点到M （2,0）的最小值。
203622y x +3、双曲线的参数方程：中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线： （为参数，代表离心角），中心在θθtan sec b y a x ==θ（x 0，y 0），焦点在x 轴上的双曲线： θθtan sec 00b y y a x x +=+=4、抛物线的参数方程：顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线： （t 为参数，p ＞0，t 的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数）pt y pt x 222==直线方程与抛物线方程联立即可得到。
高中数学-公式-极坐标
极坐标、参数方程1、经过点),(000y x P 的直线参数方程的一般形式是：⎩⎨⎧+=+=)(00是参数t bt y y at x x 。
2、若直线l 经过点α，倾斜角为),(000y x P ，则直线参数方程的标准形式是：⎩⎨⎧+=+=)(sin cos 00是参数t t y y t x x αα。
其中点P 对应的参数t 的几何意义是：有向线段P P 0的数量.若点P 1、P 2、P 是直线l 上的点,它们在上述参数方程中对应的参数分别是，和、t t t 21则：2121t t P P -=;当点P 分有向线段λ成定比21P P 时，λλ++=121t t t ;当点P 是线段P 1P 2的中点时,221t t t +=。
3、圆心在点)(b a C ，,半径为r 的圆的参数方程是:⎩⎨⎧+=+=)(sin cos 是参数αααr b y r a x 。
4、若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点P 的极坐标为，),(θρ直角坐标为),(y x ，则=x θρcos ，=y θρsin ，xy tg y x =+=θρ，22。
5、 经过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程是：απθαθ+==或，经过点)0(，a ，且垂直于极轴的直线的极坐标方程是：a =θρcos ， 经过点)2(π，a 且平行于极轴的直线的极坐标方程是：a =θρsin ， 经过点)(00θρ，且倾斜角为α的直线的极坐标方程是：)sin()sin(00αθραθρ-=-。
6、 圆心在极点,半径为r 的圆的极坐标方程是r =ρ;圆心在点a a ，半径为，)0(的圆的极坐标方程是θρcos 2a =; 圆心在点a a ，半径为，)2(π的圆的极坐标方程是θρsin 2a =； 圆心在点)(00θρ，，半径为r 的圆的极坐标方程是200202)cos(2r =--+θθρρρρ.7、若点M )(11θρ，、N )(22θρ，，则=MN )cos(221212221θθρρρρ--+。
极坐标和参数方程知识点总结
千里之行，始于足下。
极坐标和参数方程知识点总结极坐标是一种表示平面上点位置的坐标系统，它是由点到原点的距离（称为极径）和点与极轴的夹角（称为极角）所确定的。
在极坐标系中，每个点的坐标可以表示为(r,θ)的形式，其中r为极径，θ为极角。
参数方程是一种用一对参数变量来表示曲线上的点的坐标的方法。
对于平面上的曲线，常用的参数方程形式为x=f(t)和y=g(t)，其中t为参数变量，f(t)和g(t)分别表示x和y的函数关系。
以下是极坐标和参数方程的一些重要知识点总结：1. 极坐标的转换关系：- 直角坐标到极坐标的转换：x=r*cos(θ)，y=r*sin(θ)- 极坐标到直角坐标的转换：r=sqrt(x^2+y^2)，θ=tan^(-1)(y/x)2. 常见曲线的极坐标方程：- 直线：θ=常数- 圆：r=常数- 椭圆：r=a*b/sqrt(b^2*cos^2(θ)+a^2*sin^2(θ))3. 参数方程的表示方式：- 曲线方程：(x,y)=(f(t),g(t))- 曲线长度的计算公式：L=∫sqrt((dx/dt)^2+(dy/dt)^2)dt4. 参数方程的性质：- 曲线方向：随着参数变量的增大，曲线的运动方向- 曲线对称性：参数方程对称性特点取决于函数f(t)和g(t)的对称性第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
- 曲线切线方向：曲线上某点的切线方向由参数方程的导数决定5. 参数方程与极坐标之间的关系：- 参数方程可以转换为极坐标方程，极径r=f(t)，极角θ=g(t)- 极坐标方程可以转换为参数方程，x=f(θ)*cos(θ)，y=f(θ)*sin(θ)需要注意的是，极坐标和参数方程在一些问题中可以更方便地描述曲线的特性，而在其他问题中直角坐标系可能更适用。
因此，在应用中需要根据具体问题选择合适的坐标系表示。
高三数学专题复习--极坐标与参数方程
五、考点练习：
1
在极坐标系中，已知
A2，π6
，B2，－π6
，求
A，B
两点
间的距离．
2.将参数方程xy＝＝1－＋24＋co4ssitn，t(t 为参数，0≤t≤π )化为普通方程，并
说明方程表示的曲线．
3
将方程x＝
t＋1， (t 为参数)化为普通方程．
y＝1－2 t
2、高考出现的题型：
（1）、求曲线的极坐标方程、参数方程； （2）、极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化； （3）、解决与极坐标方程、参数方程研究有关的距离、 最值、交点等问题。
三、（1）
x y
= =
x0 y0
+ t cos + t sin
a a
， (t
为参数
)
类似地 过原点倾斜角为a的直线l的参数方程为：
解：（1）曲线C化为直角坐标方程为
x1 2 +(y
2
3) =1
，
它表示圆心为C（1， 3 ），半径r=1的圆。
∵ d = co 1（+
3） 2 = 2 ＞1，
∴点O在圆的外部，
当动点与O、C三点在同一直线上时，动点到原点O的距离最小。
d ∴
= d r =2-1=1,
m in
即圆心C上动点到原点O的距离最小值为1。
链接高考2014
以直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴，在两种坐标系
中取相同单位的长度. 已知直线L的方程为
，
曲线C的参数方程为
，点M是曲线C上的一动点.
（Ⅰ)求线段OM的中点P的轨迹方程；
(Ⅱ) 求曲线C上的点到直线L的距离的最小值.
极坐标及参数方程
坐标系与参数方程1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标 系中取一样的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直 角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，那么⎩⎨⎧ x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，⎩⎨⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝yxx ≠0.2．直线的极坐标方程假设直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，那么它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过点M (b ，π2)且平行于极轴：ρsin θ＝b .3．圆的极坐标方程假设圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ； (2)圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ；(3)圆心位于M (r ，π2)，半径为r ：ρ＝2r sin θ.4．直线的参数方程过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．5．圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．6．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．(2)抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2pt 2y ＝2pt .真题感悟1．(2021·)曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，那么曲线C 的参数方程为________． 2．(2021·)设曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t y ＝t2(t 为参数)，假设以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，那么曲线C 的极坐标方程为________．3．(2021·)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数，a >b >0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取一样的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin (θ＋π4)＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .假设直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，那么椭圆C 的离心率为________．4．(2021·)在直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，那么AB 的最小值为________．5．(2021·)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t(t 为参数)与曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，那么a ＝________.6.[2021·XX 卷] (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ＝sin θ与ρcos θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，那么曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________．7．[2021·XX 卷] 在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)的普通方程为________．8． [2021·XX 卷]C.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离是________．题型与方法题型一 极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化例1 直线l 的参数方程：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝1＋2t(t 为参数)和圆C 的极坐标方程：ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4 (θ为参数)．(1)将直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)判断直线l 和圆C 的位置关系．变式训练1 直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝4t ＋a(t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝4 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4. (1)将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)假设圆上有且仅有三个点到直线l 的距离为2，XX 数a 的值．题型二 曲线的极坐标方程例2 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．变式训练2 (2021·)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)； (2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．题型三 曲线的参数方程及应用例3 (2021·)在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎪⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)． (1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．变式训练3直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22ty ＝22t ＋42(t 是参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ＋π4)．(1)求圆心C 的直角坐标；(2)由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．典例 (10分)在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)．(1)求直线OM 的直角坐标方程；(2)求点M 到曲线C 上的点的距离的最小值． 规X 解答1．圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝1，那么直线l 与圆C 的交点的直角坐标为________________．2．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取一样的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，那么C 1与C 2的交点个数为________．3．点P (x ，y )在曲线⎩⎨⎧x ＝－2＋cos θy ＝sin θ(θ为参数，θ∈R )上，那么yx 的取值X 围是________．4．假设直线l 1：⎩⎨⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt(t 为参数)与直线l 2：⎩⎨⎧x ＝s ，y ＝1－2s(s 为参数)垂直，那么k ＝______.6．(2021·)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t(t 为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，那么曲线C 1与C 2的交点坐标为________．专题限时规X 训练一、填空题1．曲线C ：⎩⎨⎧x ＝－2＋2cos αy ＝2sin α(α为参数)，假设以点O (0,0)为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，那么该曲线的极坐标方程是________．2．两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎨⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，它们的交点坐标为________．3．曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝a cos φy ＝3sin φ(φ为参数，a >0)，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝3＋t y ＝－1－t(t 为参数)，曲线C 与直线l 有一个公共点在x 轴上，那么曲线C 的普通方程为________．4．(2021·)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．假设极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝t3(t 为参数)相交于A ，B 两点，那么AB＝________.二、解答题5．设直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x ＋4，求l 1与l 2间的距离．6．在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎨⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程．7．(2021·)在极坐标系中，圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．8．直线的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，圆M 的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝－2＋2sin θ(其中θ为参数)，极点在直角坐标原点，极轴与x 轴正半轴重合． (1)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求圆M 上的点到直线的距离的最小值．9．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C ：ρsin 2θ＝2a cosθ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t ，直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．(1)写出曲线C 和直线l 的普通方程；(2)假设PM ，MN ，PN 成等比数列，求a 的值．10．(2021·)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为(2，π4)，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝a ，且点A 在直线l上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．2021、2021年全国高考理科数学试题分类汇编：坐标系与参数方程一、选择题1 ．〔2021年普通高等学校招生统一考试XX 数学〔理〕试题〔纯WORD 版〕〕在极坐标系中,圆=2cos p θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为〔 〕A ．=0()cos=2R θρρ∈和B ．=()cos=22R πθρρ∈和C ．=()cos=12R πθρρ∈和 D ．=0()cos=1R θρρ∈和二、填空题2 ．〔2021年普通高等学校招生统一考试XX 数学〔理〕试题〔含答案〕〕圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫⎪⎝⎭, 那么|CP | = ______.3 ．〔2021年高考XX 卷〔理〕〕在极坐标系中,曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__________4 ．〔2021年高考卷〔理〕〕在极坐标系中,点(2,6π)到直线ρsin θ=2的距离等于_________.5 ．〔2021年普通高等学校招生统一考试XX 数学〔理〕试题〔含答案〕〕在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.假设极坐标方程为cos 4ρθ=的直线与曲线23x ty t ⎧=⎪⎨=⎪⎩(为参数)相交于,A B 两点,那么______AB = 6 ．〔2021年普通高等学校招生统一考试XX 省数学〔理〕卷〔纯WORD 版〕〕(坐标系与参数方程选讲选做题)曲线C的参数方程为x ty t ⎧=⎪⎨=⎪⎩(为参数),C 在点()1,1处的切线为,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,那么的极坐标方程为_____________.7 ．〔2021年高考XX 卷〔理〕〕C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 那么圆220y x x +-=的参数方程为______ .x8 ．〔2021年高考XX 卷〔理〕〕(坐标系与参数方程选做题)设曲线C 的参数方程为2x t y t=⎧⎨=⎩(为参数),假设以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,那么曲线c的极坐标方程为__________9 ．〔2021年高考XX 卷〔理〕〕在平面直角坐标系xoy 中,假设,3cos ,:(t )C :2sin x t x l y t a y ϕϕ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩为参数过椭圆()ϕ为参数的右顶点,那么常数a 的值为________.10．〔2021年高考XX 卷〔理〕〕在直角坐标系xOy 中,椭圆C 的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩()0a b ϕ>>为参数，.在极坐标系(与直角坐标系xOy 取一样的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,直线与圆O 的极坐标方程分别为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()m 为非零常数与b ρ=.假设直线经过椭圆C 的焦点,且与圆O 相切,那么椭圆C 的离心率为___________.三、解答题11．〔2021年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学〔理〕〔纯WORD 版含答案〕〕选修4—4;坐标系与参数方程动点,P Q 都在曲线2cos :2sin x C y ββ=⎧⎨=⎩(β为参数上,对应参数分别为βα=与)20(2πααβ<<=,M 为PQ 的中点.(Ⅰ)求M 的轨迹的参数方程;(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点.12．〔2021年普通高等学校招生统一考试XX 数学〔理〕试题〔WORD 版〕〕选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ,直线2C 的极坐标方程分别为4sin ,cos 4πρθρθ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭. (I)求1C 与2C 交点的极坐标;(II)设P 为1C 的圆心,Q 为1C 与2C 交点连线的中点.直线PQ 的参数方程为 ()3312x t a t R b y t ⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩为参数,求,a b 的值.13．〔2021年普通高等学校招生统一考试XX 数学〔理〕试题〔纯WORD 版〕〕坐标系与参数方程:在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系.点A 的极坐标为)4π,直线的极坐标方程为cos()4a πρθ-=,且点A 在直线上. (1)求a 的值及直线的直角坐标方程;(2)圆c 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩,(α为参数),试判断直线与圆的位置关系.14．〔2021年普通高等学校招生全国统一招生考试XX 卷〔数学〕〔已校对纯WORD 版含附加题〕〕C.[选修4-4:坐标系与参数方程]本小题总分值10分.在平面直角坐标系xoy 中,直线的参数方程为⎩⎨⎧=+=t y t x 21 (为参数),曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθtan 2tan 22y x (θ为参数),试求直线与曲线C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.〔2021年高考新课标1〔理〕〕选修4—4:坐标系与参数方程 曲线C 1的参数方程为45cos 55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩(为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为2sin ρθ=.(Ⅰ)把C 1的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).[2021·XX 卷] 选修44：坐标系与参数方程将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．[2021·新课标全国卷Ⅱ] 选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．23．[2021·全国新课标卷Ⅰ] 选修4－4：坐标系与参数方程曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)． (1)写出曲线C 的参数方程、直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．。
(完整版)极坐标与参数方程知识点、题型总结
极坐标与参数方程知识点、题型总结一、伸缩变换：点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换),(y x P 的作用下，点对应到点，称伸缩变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ),(y x P ),(y x P '''一、1、极坐标定义：M 是平面上一点，表示OM 的长度，是，则有序实数实ρθMOx ∠数对,叫极径，叫极角；一般地，，。
，点P 的直角坐标、(,)ρθρθ[0,2)θπ∈0ρ≥极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)2、直角坐标极坐标 2、极坐标直角坐标⇒cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩⇒222tan (0)x y yx xρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩3、求直线和圆的极坐标方程：方法一、先求出直角坐标方程，再把它化为极坐标方程方法二、（1）若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)（2）若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ02－r 2＝0二、参数方程：（一）．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数 并且对于的每一个允许值，由这个方程所确y x ,t ⎩⎨⎧==),(),(t g y t f x t 定的点都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数),(y x M 的变数叫做参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的y x ,t 方程叫做普通方程。
（二）．常见曲线的参数方程如下：直线的标准参数方程1、过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：（t 为参数）ααsin cos 00t y y t x x +=+=（1）其中参数t 的几何意义：点P （x 0，y 0），点M 对应的参数为t ，则PM =|t| (2)直线上对应的参数是。
极坐标与参数方程讲义
极坐标与参数方程一、极坐标知识点 1.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.2.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 3.常见圆与直线的极坐标方程注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=. 二、考点阐述考点1、极坐标与直角坐标互化例题1、在极坐标中，求两点)4,2(),4,2(ππ-Q P 之间的距离以及过它们的直线的极坐标方程。
专题九：极坐标系与参数方程
专题六极坐标系与参数方程知识梳理1、伸缩变换：设点P（x,y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换,(0):,(0)x x y y λλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下，点P（x,y）对应到点P′（x′,y′），称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
注：当1λ>时，表示横向伸长；当01λ<<时，表示横向压缩。
当1μ>时，表示纵向伸长；当01μ<<时，表示纵向压缩。
这里P（x,y）是变换前的点，P′（x′,y′）是变换后的点。
2、极坐标系：（1）极坐标系的定义：如图，在平面内取一个定点O，自极点O 引一条射线Ox，同时再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系。
其中定义O 称为极点，射线Ox 称为极轴。
（2）极坐标：设M 是平面内的任意一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线Ox 为始边，以射线OM 为终边所成的角，则有序实数对(,)ρθ称为点M 的极坐标，记为M (,)ρθ.其中ρ称为极径，θ称为极角。
一般地，不作特殊说明，我们认为0ρ≥，θ可以取任意实数。
（3）建立极坐标后，给定ρ和θ，就可以在平面内唯一确定点M；反过来，给定平面任意一点，也可以确定它的极坐标(,)ρθ。
（4）一般地，极坐标(,)ρθ与(,2)()k k Z ρθπ+∈表示同一个点，特别地，极点O 的坐标为(0,)()R θθ∈，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示。
如果规定0ρ>，02θπ≤<，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示；同时，极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的，这时点与极坐标是一种一一对应关系。
（5）极坐标系中点的对称：(,)A ρθ3()2:y A ρθπθρπθρπθ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪+⎩12关于极轴的对称点:A (,-)关于轴的对称点:A (,-)关于极点的对称点(,)3、极坐标与直角坐标的互化：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，设平OAA 2A 1A 3xy····O·xρMθ(,)ρθ面内的任意一点M 的直角坐标和极坐标分别为（x,y）和(,)ρθ，则有：cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，tan ,0yx x ρθ⎧=⎪⎨=≠⎪⎩4、极坐标方程的定义：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程(,)0f ρθ=，并且坐标适合方程(,)0f ρθ=的点都在曲线C 上，那么方程(,)0f ρθ=叫做曲线C 的极坐标方程。
高中数学讲义微专题94 极坐标与参数方程
距离，而 表示极轴绕极点逆时针旋转至过该点时转过的角度，通常： 0, 0, 2
3、直角坐标系与极坐标系坐标的互化：如果将极坐标系的原点与直角坐标系的原点重合，极
轴与 x 轴重合，则同一个点可具备极坐标 , 和直角坐标 x, y ，那么两种坐标间的转化公
l : x y a 0 与圆 x 12 y 2 2 5 相交于 A, B ，且 AB 2 3 ，利用圆与直线关系
1 2 a
可求得圆心到直线距离 d
2 即 a 3 2 ，解得 a 5 或 a 1
2
答案： a 5 或 a 1 例 6：以直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单
，则
OCP
的面积为___________
思路一：将 C 转变为直角坐标系方程：
4sin
3
2 sin
2
3 cos 2 2 sin 2
3 cos
x2 y2 2 3x 2y x
3
2
y 12 4 ，所以 C
3,1 ，再求出 P 的直角坐标
为
2,2 3
，则
SOCP
1 t2
2
可得：
x2
y
2
（3）平方消参：利用 sin2 cos2 1 消去参数
x 3cos
例如：
y
2 sin
x
3 y
2
cos sin
x2 9
y2 4
1
3、常见图形的参数方程：
（1）圆： x
a 2
y
b 2
r
2
的参数方程为：
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极坐标与参数方程一、教学目标本次课是一堂新课，通过本次课的学习，让学生理解极坐标和参数方程的概念等基础知识，掌握极坐标与直角坐标的相互转化，掌握一般常见曲线和直线的极坐标方程和参数方程。
深刻理解参数方程所代表的数学思想——换元思想。
二、考纲解读极坐标和参数方程是新课标考纲里的选考内容之一，只有理科生选学。
在每年的高考试卷中，极坐标和参数方程都是放在一道填空题中，与平面几何作为二选一的考题出现的。
由于极坐标是新添的内容，考纲要求比较简单，所以在考试中一般以基础题出现，不会有很难的题目。
三、知识点回顾（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即⎩⎨⎧==)()(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下：1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：ααsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义，有以下结论．○1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ⋅--4)(2．○2．线段AB 的中点所对应的参数值等于2BA t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：θθsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数）3．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆：θθsin cos b y a x == （θ为参数） （或 θθsin cos a y b x ==）中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(.sin ,cos 00⎩⎨⎧+=+=b y y a x x 4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：θθtg sec b y a x == （θ为参数） （或 θθec a y b x s tg ==）5．顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：pty pt x 222== （t 为参数，p ＞0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）．（三）极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
对于平面内的任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M 的极坐标。
这样建立的坐标系叫做极坐标系。
2、极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐ρθxMO图1标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数ρ、θ对应惟一点P (ρ，θ)，但平面内任一个点P 的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P (ρ，θ)（极点除外）的全部坐标为(ρ,θ＋πk 2)或（ρ-，θ＋π)12(+k ），(∈k Z )．极点的极径为0，而极角任意取．若对ρ、θ的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定ρ>0，0≤θ＜π2或ρ<0，π-＜θ≤π等． 极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为： ⑴0ϕθ= ⑵θρcos a = ⑶θρcos a-= ⑷θρsin a =⑸θρsin a-= ⑹)cos(ϕθρ-=aρθ0ϕθ=0ϕxO M 图1（ ， ）ρθθρcos a =aM图2ρθθρcos a -=a OM图3ρθθρsin a=OM图4aρθθρsin a -=O图5a ρθ),(ϕa )cos(ϕθρ-=a OM pN 图6（ ， ）a4、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为)0(>a ： ⑴a =ρ ⑵θρcos 2a = ⑶θρcos 2a -= ⑷θρsin 2a = ⑸ θρsin 2a -= ⑹)cos(2ϕθρ-=a5、极坐标与直角坐标互化公式：αρθθρcos =x θρsin =y 222ρ=+y x xy ⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎪⎨⎧yyx O M H N ( , )（直极互化 图）θρcos 2a =ρθaxOM图2ρθθρsin 2a =axOM图4ρθθρsin 2a -=a xO 图5ρθθρcos 2a -=axOM图3ρθa=ρa xOM图1ρθ),(ϕa )cos(2ϕθρ-=a axO M图6四、例题讲解1、已知一条直线上两点()111,y x M 、()222,y x M ，以分点M （x ，y ）分21M M 所成的比λ为参数，写出参数方程。
2、直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 211233(t 为参数)的倾斜角是 A ．6π B ．3π C ．65π D ．32π 3、方程⎩⎨⎧+=+-=ααsin 3cos 1t y t x （t 为非零常数，α为参数）表示的曲线是 ( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线4、已知椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin 4cos 5y x （θ为参数），则椭圆上一点 P (25，32-)的离心角可以是 A ．3π B ．32π C ．34π D ．35π5、把弹道曲线的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=,21sin ,cos 200gt t v y t v x αα )2()1(化成普通方程．6、将下列数方程化成普通方程．①⎩⎨⎧==t y t x 222，②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=221212t t y t x ，③⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=2221211t t y t t x ，④⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)1()1(t t b y t t a x ，⑤⎩⎨⎧+=+-=11mx y my x ．○6)0,(.sin ,cos >>⎩⎨⎧==b a b y a x 为参数ααα ○7⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x7、直线3x －2y ＋6=0，令y = tx ＋6（t 为参数）．求直线的参数方程．8、已知圆锥曲线方程是⎩⎨⎧-+-=++=5sin 461cos 532ϕϕt y t x （1） 若t 为参数，ϕ为常数，求该曲线的普通方程，并求出焦点到准线的距离；（2） 若ϕ为参数，t 为常数，求这圆锥曲线的普通方程并求它的离心率。
9、在圆x 2＋2x ＋y 2=0上求一点，使它到直线2x ＋3y －5=0的距离最大．10、在椭圆4x 2＋9y 2=36上求一点P ，使它到直线x ＋2y ＋18=0的距离最短（或最长）．11、已知直线；l ：⎩⎨⎧+=--=t y t x 4231与双曲线（y-2）2-x 2=1相交于A 、B 两点，P 点坐标P(-1，2)。
求：（1）|PA|.|PB|的值； （2）弦长|AB|; 弦AB 中点M 与点P 的距离。
12、已知A （2,0）,点B,C 在圆x 2+y 2=4上移动，且有π32=∠BAC 求ABC ∆重心G 的轨迹方程。
13、已知椭圆183222=+y x 和圆x 2+(y-6)2=5,在椭圆上求一点P 1,在圆上求一点 P 2,使|P 1P 2|达到最大值，并求出此最大值。
14、已知直线l 过定点P(-2,0),与抛物线C: x 2+ y-8=0相交于A 、B 两点。
（1）若P 为线段AB 的中点，求直线l 的方程；（2）若l 绕P 点转动，求AB 的中点M 的方程.15、椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上是否存在点P ，使得由P 点向圆x 2+y 2=b 2所引的两条切线互相垂直？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。
16、在同一极坐标系中与极坐标M （－2, 40°）表示同一点的极坐标是（ ）（A ）（－2, 220°） （B ）(－2, 140°) （C ）(2,－140°) （D ）(2,－40°)17、已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A (4，0°), B (－4,－120°), C (23＋2, 30°)，则△ABC 为( )。
（A ）正三角形 （B ）等腰直角三角形 （C ）直角非等腰三角形 （D ）等腰非直角三角形18、在直角坐标系中，已知点M (－2，1)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，当极角在(－π，π] 内时，M 点的极坐标为（ ）（A ）（5，π－argtg(－21)） （B ）（－5，argtg(－21) （C ）（－5，π－argtg 21） （D ）（5，－π＋argtg 21）19、把点)4,3(),6,5(ππ--B A 的极坐标化为直角坐标。
20、把点)0,2(),3,0(),1,3(P N M ---的直角坐标化为极坐标。
21、已知正三角形ABC 中，顶点A 、B 的极坐标分别为)2,3(),0,1(πB A ，试求顶点C 的极坐标。
22、化圆的直角方程x 2+y 2-2ax=0为极坐标方程。
23、化圆锥曲线的极坐标方程θρcos e i ep-=为直角坐标方程。
24、讨论下列问题：（1）在极坐标系里，过点M （4，30°）而平行于极轴的直线λ的方程是（ ）（A ）θρsin ＝2 （B ）θρsin ＝－2 （C ）2cos =θρ （D ）2cos -=θρ（2）在极坐标系中，已知两点M 1(4，arcsin 31)，M 2(－6，－π－arccos(－322))，则线段M 1M 2的中点极坐标为（ ） （A ）(－1，arccos 322) （B ）(1,arcsin 31)（C ）(－1，arccos(－322)) （D ）(1,－arcsin 31)（3）已知P 点的极坐标是(1,π)，则过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是（ ）。
（A ）ρ=1 （B ）ρ＝cos θ （C ）ρcos θ=－1 （D ）ρcos θ=1 （4）若ρ>0,则下列极坐标方程中，表示直线的是（ ）。