傅里叶变换及应用

傅里叶变换在MATLZB里的应用

摘要：在现代数学中，傅里叶变换是一种非常重要的变换，且在数字信号处理中有着广泛的应用。本文首先介绍了傅里叶变换的基本概念、性质及发展情况；其次，详细介绍了分离变数法及积分变换法在解数学物理方程中的应用。傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号，再利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。应用MATLAB实现信号的谱分析和对信号消噪。

关键词：傅里叶变换；MA TLAB软件；信号消噪

Abstract: In modern mathematics,Fourier transform is a transform is very important ,And has been widely used in digital signal processing.This paper first introduces the basic concepts, properties and development situation of Fourier transform ;Secondly, introduces in detail the method of separation of variables and integral transform method in solving equations in Mathematical Physics.Fourier transformation makes the original time domain signal whose analysis is difficult easy, by transforming it into frequency domain signal that can be transformed into time domain signal by inverse transformation of Fourier. Using Mat lab realizes signal spectral analysis and signal denoising.

Key word: Fourier transformation, software of mat lab ,signal denoising

1、傅里叶变换的提出及发展

在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，人们常常采用所谓变换的方法来达到目的"例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较简单的加法和减法运算。在工程数学里积分变换能够将分析运算（如微分，积分）转化为代数运算，正是积分变换这一特性，使得它在微分方程和其它方程的求解中成为重要方法之一。

1804年，法国科学家J-.B.-J.傅里叶由于当时工业上处理金属的需要，开始从事热流动的研究"他在题为<<热的解析理论>>一文中，发展了热流动方程，并且指出如何求解"在求解过程中，他提出了任意周期函数都可以用三角级数来表示的想法。他的这种

思想，虽然缺乏严格的论证，但对近代数学以及物理、工程技术却都产生了深远的影响，成为傅里叶变换的起源。

从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。[1]

傅里叶变换通过对函数的分析来达到对复杂函数的深入理解和研究。最初，傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。“任意”的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类。利用这一点，傅里叶变换可通过对相对简单的事物的研究来了解复杂事物，而且现代数学发现傅里叶变换具有非常好的性质：

（1）傅里叶变换是线性算子，若赋予适当的范数+它还是酉算子；

（2）傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似；

（3）正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解"在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取；

（4）著名的卷积定理指出.傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段；

（5）离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出（其算法称为快速傅里叶变换算法）。

（6）正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

2、傅里叶变换的基本概念

由傅里叶级数知，一个周期函数可以展开成为傅里叶级数，而一个非周期函数可以看成某个周期函数其周期趋向于无穷大转化而来。根据这个思路，我们可以得到傅里叶积分公式及傅里叶积分公式成立的充分条件——傅里叶积分定理。

2.1傅里叶级数的指数形式

定理设

()t f

T是以

()

T T

<<∞

为周期的实函数[2]，且在

,

22

T T

⎛⎫

- ⎪

⎝⎭上满足狄利

克雷条件，即()t f T 在一个周期上满足：（1）连续或只有有限个第一类间断点； （2）只有有限个极值点. 则在连续点处，有

()()

∑∞

=++=1

0sin cos 2n n n T t n b t n a a t f ωω (1)

其中()dt

t f T a T

T T ⎰-=22

01

,

()() ,2,1cos 1

22

==⎰-n tdt n t f T a T

T T n ω, ()() .2,1sin 1

22

==⎰-n tdt n t f T b T T T n ω,

在间断点0t 处，(1)式右端级数收敛于 ()()

20000-++t f t f T T . 又2cos φφφi i e e -+=,i e e i i 2sin φ

φφ--=

,.于是

()∑∞=--⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-+++=10222n t in t in n

t in t in n T i e e b e e a a t f ωωωω∑∞=-⎪⎭⎫

⎝⎛++-+=10222n t in n n t in n n e ib a e ib a a ωω

令

,200a c =

2n n n ib a c -=, 2n

n n ib a c +=-, ,,3,2,1 -n 则

()∑∞

-∞

==

n t

in n

T e

c t f ω

()()

2201212i t i t in t i t i t in t n n c c e c e c e c e c e c e ωωωωωω------=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅(2)

(2）式称为傅里叶级数的复指数形式，具有明显的物理意义. 容易证明

n

c 可以合写成一个式子 ,即

()() ,2,1,01

22

±±==--⎰n dt e t f T c t in T

T T n ω. (3) 2.2傅里叶积分