图像傅里叶变换详解

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图像傅里叶变换详解

图像傅里叶变换冈萨雷斯版<图像处理>里面的解释非常形象：一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。

棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决定。

傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。

当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。

同样, 傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。

Fourier theory讲的就是：任何信号（如图像信号）都可以表示成一系列正弦信号的叠加，在图像领域就是将图像brightness variation 作为正弦变量。

比如下图的正弦模式可在单傅里叶中由三个分量编码：频率f、幅值A、相位γ这三个value可以描述正弦图像中的所有信息。

1.frequencyfrequency在空间域上可由亮度调节，例如左图的frequency比右图的frequency 低……2.幅值magnitude（amplitude）sin函数的幅值用于描述对比度，或者说是图像中最明和最暗的峰值之间的差。

（一个负幅值表示一个对比逆转，即明暗交换。

）3.相位表示相对于原始波形，这个波形的偏移量（左or右）。

=================================================================一个傅里叶变换编码是一系列正弦曲线的编码，他们的频率从0开始（即没有调整，相位为0，平均亮度处），到尼奎斯特频率（即数字图像中可被编码的最高频率，它和像素大小、resolution有关）。

傅里叶变换同时将图像中所有频率进行编码：一个只包含一个频率f1的信号在频谱上横坐标f为f1的点处绘制一个单峰值，峰值高度等于对应的振幅amplitude，或者正弦曲线信号的高度。

如下图所示。

DC term直流信号对应于频率为0的点，表示整幅图像的平均亮度，如果直流信号DC=0就表示整幅图像平均亮度的像素点个数=0，可推出灰度图中，正弦曲线在正负值之间交替变化，但是由于灰度图中没有负值，所以所有的真实图像都有一个正的DC term，如上图所示。

图像傅里叶变换

图像傅里叶变换
傅里叶变换（Fourier Transformation）是一种重要的数学工具，用于分析正弦波、矩形波和其他不同类型的函数。

最初，傅里叶变换
是用来解决热力学方程的，但是后来发展成多种多样的应用，其中之
一就是图像处理。

图像傅里叶变换是把图像中的所有信息转换为一组与波频成正比
的数字。

它通过傅里叶公式，把一副图像分割成它的频率和振幅组成
的多个部分，每一部分都表示图像中的一个特征。

图像傅里叶变换的
最重要的应用之一就是进行图像压缩，在这种压缩技术中，可以利用
傅里叶变换将某些低频成分合并，而抛弃某些高频成分，进而减小图
像的数据量，而且没有太多损失。

另外，图像傅里叶变换还可以用来
识别图像中的不同特征，可以用于图像检索、图像处理、图像分类等。

图像傅里叶变换是解决图像处理问题的一种重要手段，它能够使
我们提取图像像素、压缩图像数据和检测图像特征的能力大大提高，
已成为当今图像处理的重要工具。

图像处理之傅里叶变换

图像处理之傅⾥叶变换图像处理之傅⾥叶变换⼀、傅⾥叶变换傅⾥叶变换的作⽤：⾼频：变化剧烈的灰度分量，例如边界低频：变化缓慢的灰度分量，例如⼀⽚⼤海滤波：低通滤波器：只保留低频，会使得图像模糊⾼通滤波器：只保留⾼频，会使得图像细节增强OpenCV:opencv中主要就是cv2.dft()和cv2.idft()，输⼊图像需要先转换成np.float32 格式。

得到的结果中频率为0的部分会在左上⾓，通常要转换到中⼼位置，可以通过shift变换来实现。

cv2.dft()返回的结果是双通道的（实部，虚部），通常还需要转换成图像格式才能展⽰（0,255）。

import numpy as npimport cv2from matplotlib import pyplot as pltimg = cv2.imread('lena.jpg',0)img_float32 = np.float32(img)dft = cv2.dft(img_float32, flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)dft_shift = np.fft.fftshift(dft)# 得到灰度图能表⽰的形式magnitude_spectrum = 20*np.log(cv2.magnitude(dft_shift[:,:,0],dft_shift[:,:,1]))plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = 'gray')plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.subplot(122),plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap = 'gray')plt.title('Magnitude Spectrum'), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.show()import numpy as npimport cv2from matplotlib import pyplot as pltimg = cv2.imread('lena.jpg',0)img_float32 = np.float32(img)dft = cv2.dft(img_float32, flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT) #时域转换到频域dft_shift = np.fft.fftshift(dft) #将低频部分拉到中⼼处rows, cols = img.shapecrow, ccol = int(rows/2) , int(cols/2) #确定掩膜的中⼼位置坐标# 低通滤波mask = np.zeros((rows, cols, 2), np.uint8)mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 1# IDFTfshift = dft_shift*mask #去掉⾼频部分，只显⽰低频部分f_ishift = np.fft.ifftshift(fshift) #将低频部分从中⼼点处还原img_back = cv2.idft(f_ishift) #从频域逆变换到时域img_back = cv2.magnitude(img_back[:,:,0],img_back[:,:,1]) #该函数通过实部和虚部⽤来计算⼆维⽮量的幅值plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = 'gray')plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.subplot(122),plt.imshow(img_back, cmap = 'gray')plt.title('Result'), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.show()img = cv2.imread('lena.jpg',0)img_float32 = np.float32(img)dft = cv2.dft(img_float32, flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT) dft_shift = np.fft.fftshift(dft)rows, cols = img.shapecrow, ccol = int(rows/2) , int(cols/2) # 中⼼位置# ⾼通滤波mask = np.ones((rows, cols, 2), np.uint8)mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 0# IDFTfshift = dft_shift*maskf_ishift = np.fft.ifftshift(fshift)img_back = cv2.idft(f_ishift)img_back = cv2.magnitude(img_back[:,:,0],img_back[:,:,1]) plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = 'gray')plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.subplot(122),plt.imshow(img_back, cmap = 'gray')plt.title('Result'), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.show()。

图像的傅里叶变换

实验三图像的傅里叶变换一、实验目的1.了解图像变换的意义和手段；2.掌握FFT 变换方法及应用；3.通过实验了解二维频谱的分布特点；4.通过本实验掌握利用MATLAB 编程实现数字图像的傅立叶变换。

二、实验原理1 应用傅立叶变换进行图像处理傅里叶变换是线性系统分析的一个有力工具，它能够定量地分析诸如数字化系统、采样点、电子放大器、卷积滤波器、噪音和显示点等的作用。

通过实验培养这项技能，将有助于解决大多数图像处理问题。

对任何想在工作中有效应用数字图像处理技术的人来说，把时间用在学习和掌握博里叶变换上是很有必要的。

2 傅立叶（Fourier ）变换的定义对于二维信号，二维Fourier 变换定义为：2()(,)(,)j ux uy F u v f x y e dxdy π∞∞-+-∞-∞=⎰⎰逆变换： 2()(,)(,)j ux uy f x y F u v e dudv π∞∞+-∞-∞=⎰⎰二维离散傅立叶变换为： 112()001(,)(,)i k N N j m n N N i k F m n f i k e N π---+===∑∑ 逆变换：112()001(,)(,)i k N N j m n N N m n f i k F m n e N π--+===∑∑三、实验步骤及结果步骤：1将图像内容读入内存；2用Fourier 变换算法，对图像作二维Fourier 变换；3将其幅度谱进行搬移，在图像中心显示；4用Fourier 系数的幅度进行Fourier 反变换；5用Fourier系数的相位进行Fourier反变换；6比较4、5的结果，评价人眼对图像幅频特性和相频特性的敏感度。

7记录和整理实验报告。

结果：四、程序源代码clear;I=imread('');I=rgb2gray(I);subplot(3,3,1);imshow(I);title('');E=fft2(double(I));sfftI=fftshift(E); %正半轴部分和负半轴部分的图像分别关于各自的中心对称RR=real(sfftI);II=imag(sfftI);A=sqrt(RR.^2+II.^2);A=(A-min(min(A)))/(max(max(A))-min(min(A)))*225 ;subplot(3,3,2);imshow(A);title('原图频谱');FE=abs(fftshift(E));subplot(3,3,3);imshow(log(FE+1),[]);%自然对数title('幅度谱');PE=angle(E); %向量E的相角subplot(3,3,4);imshow(PE);title('图像相位谱');IFE=ifft2(FE);subplot(3,3,5);imshow(log(1+abs(IFE)),[]); title('幅度谱的反变换');IPE=ifft2(exp(j*PE));subplot(3,3,6);imshow(abs(IPE),[]);title('相位谱的反变换');IE=ifft2(E)/225;subplot(3,3,7);imshow(IE);title('原图频谱反变换');。

图像处理中的傅里叶变换

性质
FFT是DFT的一种高效实现，它广泛应用于信号处理、图像处理等领域。
频域和时域的关系
频域
频域是描述信号频率特性的区域，通过傅里叶变换可以将时域信号转换为频域信号。在频域中，信号的频率成分可以被分析和处理。
时域
时域是描述信号时间变化的区域，即信号随时间的变化情况。在时域中，信号的幅度和时间信息可以被分析和处理。
其中n和k都是整数。
计算公式
X(k) = ∑_{n=0}^{N-1} x(n) * W_N^k * n，其中W_N=exp(-
2πi/N)是N次单位根。
性质
DFT是可逆的，即可以通过DFT 的反变换将频域信号转换回时域
信号。
快速傅里叶变换（FFT）
定义
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效计算DFT的算法，它可以将DFT 的计算复杂度从O(N^2)降低到 O(NlogN)。
通过傅里叶变换，我们可以方便地实现图像的滤波操作，去除噪声或突出某些特征。同时，傅里叶变换还可以用于图像压缩，通过去除高频成分来减小图像数据量。此外，傅里叶变换还可以用于图像增强和图像识别，提高图像质量和识别准确率。
PART 02
傅里叶变换的基本原理
离散傅里叶变换（DFT）
定义
离散傅里叶变换（DFT）是一种将时域信号转换为频域信号的方法。它将一个有限长度的离散信号x(n)转换为一个复数序列X(k)，
傅里叶变换的物理意义是将图像中的每个像素点的灰度值表示为一系列正弦波和余弦波的叠加。这些正弦波和余弦波的频率和幅度可以通过傅里叶变换得到。
通过傅里叶变换，我们可以将图像中的边缘、纹理等高频成分和背景、平滑区域等低频成分分离出来，从而更好地理解和处理图像。

图像处理与傅里叶变换原理与运用

图像处理与傅‎里叶变换1背景傅里叶变换是‎一个非常复杂‎的理论，我们在图像处‎理中集中关注‎于其傅里叶离‎散变换离散傅‎立叶变换(Discre ‎t e Fourie ‎r Transf ‎o rm) 。

1.1离散傅立叶‎变换图象是由灰度‎（R GB ）组成的二维离‎散数据矩阵，则对它进行傅‎立叶变换是离‎散的傅立叶变‎换。

对图像数据f ‎(x,y)（x=0,1,… ,Ｍ-1； y=0,1,… ,N-1）。

则其离散傅立‎叶变换定义可‎表示为：式中，u=0,1,…, M-1;v= 0,1,…, N-1其逆变换为式中，x=0,1,…, M-1;y= 0,1,…, N-1在图象处理中‎，一般总是选择‎方形数据，即Ｍ＝Ｎ影像f(x,y)的振幅谱或傅‎立叶频谱：相位谱：能量谱（功率谱） )1(2exp ),(1),(1010∑∑-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=M x N y N vy M ux i y x f MN v u F π)2(2exp ),(1),(1010∑∑-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=M u N v N vy M ux i v u F MN y x f π),(),(),(22v u I v u R v u F +=[]),(/),(),(v u R v u I arctg v u =ϕ),(),(),(),(222v u I v u R v u F v u E +==1.2快速傅里叶‎变化可分离性的优‎点是二维的傅‎立叶变换或逆‎变换由两个连‎续的一维傅立‎叶变换变换来‎实现，对于一个影像‎f (x,y)，可以先沿着其‎每一列求一维‎傅立叶变换，再对其每一行‎再求一维变换‎正变化逆变换由于二维的傅‎立叶变换具有‎可分离性，故只讨论一维‎快速傅立叶变‎换。

正变换逆变换由于计算机进‎行运算的时间‎主要取决于所‎用的乘法的次‎数。

按照上式进行‎一维离散由空‎间域向频率域‎傅立叶变换时‎，对于N 个F ∑∑∑∑-=-=-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=10101010)(2exp ),(1)(2exp ),(1)(2exp ),(1),(N v N u N u N v N vy i v u F N N ux i v u F N N vy ux i v u F NN y x f πππ∑-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=102exp )(1)(N x N ux i x f N u F π∑∑∑∑-=-=-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=10101010)(2exp ),(1)(2exp ),(1)(2exp ),(1),(N y N x N x N y N vy i y x f N N ux i y x f NN vy ux i y x f NN v u F πππ∑-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=102exp )(1)(N u N ux i u F N x f π（u)值，中的每一个都‎要进行N 次运‎算，运算时间与N ‎2成正比。

图像的傅里叶变换

图像的傅里叶变换
图像的傅里叶变换是将图像的像素用时间或频率的形式表示的一种变换方式。

一般来说，图像的每个像素点都可以用其周围的邻居来描述，而傅里叶变换可以对图像中所有的邻居进行变换，有效地减少图像的深度和宽度，使图像更轻巧。

傅里叶变换的一个重要用途便是图像分析和处理，它可以将复杂的信息减缩到更小的空间中，从而使图像变得更容易理解。

比如，使用傅里叶变换可以有效地抽取图像中最重要的特征，例如颜色、对比度、形状等。

此外，傅里叶变换还可以用于图像压缩，通过傅里叶变换可以把复杂的信息转换为高频信号和低频信号，通过减少低频信号可以压缩图像的体积，但这样做不会影响图像的整体清晰度，而是减少了细节的某些程度上。

总而言之，傅里叶变换是一种对图像进行分析和处理的非常有效的方法，可以有效地提取图像中最重要的特征，可以大大减少图像的深度和宽度，并且可以用于图像压缩以及图像处理等任务中，从而大大改善图像的处理效果。

图像傅里叶变换

大小为M×N的两个函数f(x,y)和h(x,y)的离散卷积
fx, yhx, y 1 M1N1 fm,nhxm, yn MN m0 n0
卷积定理
fx,yhx,yFu,vHu,v
fx,yhx,yFu,vHu,v
A
51
傅里叶变换
9. 相关性理论
大小为M×N的两个函数f(x,y)和h(x,y)的相关
性定义为
A
56
快速傅里叶变换(FFT)
为什么需要快速傅里叶变换？
F u 1 M1 f x ej2ux/M M x0
u 0,1,2,...,M 1
✓ 对u的M个值中的每一个都需进行M次复数乘法(将f(x)
与ej2ux/M相乘)和M-1次加法，即复数乘法和加法的次
数都正比于M2
✓ 快速傅里叶变换(FFT)则只需要Mlog2M次运算
为什么要在频率域研究图像增强
✓ 可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。一些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通
✓ 滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质
✓ 可以在频率域指定滤波器，做反变换，然后在空间域使用结果滤波器作为空间域滤波器的指导
✓一旦通过频率域试验选择了空间滤波，通常实施都在
A
46
一幅二维图像的傅里叶频谱中心化的傅里叶频谱
傅里叶变换
6. 分离性
F u,v
1 M 1 j2ux/M e
1 N1
f x, y e j2vy/ N
M
x 0
N y 0
1 M
M 1 j2ux/M
x 0e
F x,v
F(x,v)是沿着f(x,y)的一行所进行的傅里叶变换。当x=0,1,…,M-1，沿着f(x,y)的所有行计算傅里叶变换。

数字图像处理中的快速傅里叶变换算法

数字图像处理中的快速傅里叶变换算法数字图像处理是一门非常重要的学科，它主要关注如何对数字图像进行处理和分析。

在数字图像处理中，傅里叶变换是一种非常重要的工具，在很多领域都有广泛的应用。

特别是在数字信号处理和图像处理领域，傅里叶变换是一种重要的工具，它可以将时域信号转化成频域信号，进行频域分析和处理，帮助我们从中获取更多的信息。

在数字图像处理中，快速傅里叶变换算法是一种非常重要的算法，它拥有很高的计算效率和精度，被广泛应用于数字图像处理中。

一、傅里叶变换傅里叶变换是数学中的一种重要的工具，它可以将任意一个函数分解为一系列正弦波的加权和。

在数字图像处理中，傅里叶变换可以将图像表示为一个二维函数，其中每个分量代表着不同的频率。

通过傅里叶变换，我们可以了解图像中不同颜色和亮度的分布状况，从而帮助我们更好地进行图像处理和分析。

二、快速傅里叶变换算法快速傅里叶变换算法是对传统傅里叶变换进行优化得到的一种算法。

传统的傅里叶变换算法计算复杂度很高，需要进行许多乘法和加法运算，运算时间很长，难以满足实时处理的要求。

为了解决这个问题，人们开发出了快速傅里叶变换算法，它可以有效地缩短傅里叶变换的运算时间，提高计算效率。

快速傅里叶变换算法的基本思想是将傅里叶变换的计算分解为多个较小的傅里叶变换，从而实现快速计算。

这样就可以通过迭代的方式，逐步将傅里叶变换的计算分解为多个较小的傅里叶变换，从而获得更高的计算效率。

快速傅里叶变换算法一般采用分治的思想，将二维傅里叶变换分解为两个一维傅里叶变换，从而实现二维傅里叶变换的计算。

三、应用领域快速傅里叶变换算法被广泛应用于数字图像处理领域。

在图像去噪、图像压缩、图像增强、图像分割等领域，傅里叶变换都有着很广泛的应用。

特别是在数字信号处理和通信领域，傅里叶变换被广泛应用于信号的频域分析和处理，帮助我们了解信号的频域特性和频谱分布状况，从而更好地进行信号处理和分析。

四、总结快速傅里叶变换算法是数字图像处理中非常重要的一种算法，它可以快速、高效地实现傅里叶变换的计算，提升计算效率，满足实时处理的要求。

图像处理与傅里叶变换原理与运用

图像处理与傅里叶变换1背景傅里叶变换是一个非常复杂的理论，我们在图像处理中集中关注于其傅里叶离散变换离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform) 。

1.1离散傅立叶变换图象是由灰度（RGB ）组成的二维离散数据矩阵，则对它进行傅立叶变换是离散的傅立叶变换。

对图像数据f(x,y)（x=0,1,… ,Ｍ-1； y=0,1,… ,N-1）。

则其离散傅立叶变换定义可表示为：式中，u=0,1,…, M-1;v= 0,1,…, N-1 其逆变换为式中，x=0,1,…, M-1;y= 0,1,…, N-1在图象处理中，一般总是选择方形数据，即Ｍ＝Ｎ影像f(x,y)的振幅谱或傅立叶频谱：相位谱：能量谱（功率谱） )1(2exp ),(1),(101∑∑-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=M x N y N vy M uxi y x f MNv u F π)2(2exp ),(1),(101∑∑-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=M u N v N vy M uxi v u F MNy x f π),(),(),(22v u I v u R v u F +=[]),(/),(),(v u R v u I arctg v u =ϕ),(),(),(),(222v u I v u R v u F v u E +==1.2快速傅里叶变化可分离性的优点是二维的傅立叶变换或逆变换由两个连续的一维傅立叶变换变换来实现，对于一个影像f(x,y)，可以先沿着其每一列求一维傅立叶变换，再对其每一行再求一维变换正变化逆变换由于二维的傅立叶变换具有可分离性，故只讨论一维快速傅立叶变换。

正变换逆变换由于计算机进行运算的时间主要取决于所用的乘法的次数。

按照上式进行一维离散由空间域向频率域傅立叶变换时，对于N 个F∑∑∑∑-=-=-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=110101)(2exp ),(1)(2exp ),(1)(2exp ),(1),(N v N u N u N v N vy i v u F NN ux i v u F N N vy ux i v u F NNy x f πππ∑-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=12exp )(1)(N x N ux i x f Nu F π∑∑∑∑-=-=-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=11101)(2exp ),(1)(2exp ),(1)(2exp ),(1),(N y N x N x N y N vy i y x f NN ux i y x f NN vy ux i y x f NNv u F πππ∑-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=12exp )(1)(N u N ux i u F Nx f π（u)值，中的每一个都要进行N 次运算，运算时间与N 2成正比。

傅里叶变换(FFT)详解

关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解，最近，我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍，是一个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国人写的，写得非常浅显，里面有七章由浅入深地专门讲述关于离散信号的傅立叶变换，虽然是英文文档，我还是硬着头皮看完了有关傅立叶变换的有关内容，看了有茅塞顿开的感觉，在此把我从中得到的理解拿出来跟大家分享，希望很多被傅立叶变换迷惑的朋友能够得到一点启发，这电子书籍是免费的，有兴趣的朋友也可以从网上下载下来看一下，URL地址是：/pdfbook.htm要理解傅立叶变换，确实需要一定的耐心，别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的，当然，也需要一定的高等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。

二、傅立叶变换的提出让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。

当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。

法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅立叶的工作，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。

图象的傅立叶变换

二、图像数据的傅立叶变换图像变换在图像处理和分析中起着重要的作用。

为了有效和快速地对图像进行处理和分析，常常需要将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到另外一些空间中，并利用这些空间的特有性质方便地进行一定的加工，最后在转换回图像空间以得到所需的处理效果。

这些转换方法就是本节要介绍和讨论的图像频域变换技术。

图像变换通常是一种二维正交变换。

一般要求：①正交变换必须是可逆的；②正变换和反变换的算法不能太复杂；③在变换域中图像能量集中分布在低频率的成分上，边缘、现状信息反映在高频率成分上，以有利于图像处理。

因此正交变换广泛应用在图像增强、图像恢复、特征提取、图像压缩编码和形状分析等方面。

在此首先讨论常用的傅立叶变换。

图像的傅立叶变换将图像空间变换到频域空间，从而可利用傅立叶频谱特性进行图像处理。

傅立叶变换是一种可分离和对称变换，下面先介绍这两个基本特性，然后再给出2-D 傅立叶的变换定义和定理，以及变换实例(章毓晋,2009)。

（一）可分离和对称变换图像至少是2-D的，2-D图像的正变换（简称变换）和反变换可分别表示为：（2.22）（2.23）其中为的变换，是正向变换核；为反变换，是反向变换核。

这两个核均依赖于，而与或的值无关。

可分离变换是图像变换的一种，它的变换核是可分离的；另外，图像变换中有一类是对称变换，对称变换的核是对称的。

下面以正向变换核为例进行介绍。

首先，如果下式成立：（2.24）则称正向变换核实可分离的。

进一步，如果和的函数形式一样，则称正向变换核是对称的，此时式（2.24）可写成：（2.25）具有可分离变换核的2-D变换可分成两个步骤来计算，每个步骤使用一个1-D变换。

具体实现时可如下考虑：将式（2.24）代入式（2.22），首先沿着的每一列进行1-D变换得到：（2.26）然后沿的每一行进行1-D变换得到（2.27）如果变换核是可分离的和对称的函数时，变换可用矩阵形式表示。

以正变换为例，有（2.28）其中F是NxN图像矩阵，A是NxN对称变换矩阵，其元素为，T是输出的NxN变换结果，为了得到反变换，对式两边各乘一个反变换矩阵B（2.29）如果，则（2.30）这表明图像F可完全恢复，如果B不等于，则可由式得F的一个近似：（2.31）利用矩阵形式的变换表示的一个优点是，所得到的变换矩阵分解成刻分解成若干个具有较少非零元素的乘积，这样可减少冗余并减少操作次数。

图像处理技术中的傅里叶变换原理与应用

图像处理技术中的傅里叶变换原理与应用傅里叶变换是一种重要的数学工具，被广泛应用于图像处理领域。

图像处理技术中的傅里叶变换可以将图像从空域转换到频域，从而实现图像的频谱分析、滤波、图像增强等操作。

本文将详细介绍傅里叶变换的原理以及在图像处理中的应用。

傅里叶变换的原理傅里叶变换是基于信号的频谱分析理论，它可以将一个函数在时域上的表示变为在频域上的表示。

在图像处理中，我们可以将图像看作二维函数，将图像灰度值作为函数的值。

傅里叶变换可以将图像从空域转换到频域，通过分析图像的频谱，我们可以获取到图像中各个频率成分的信息。

傅里叶变换通过将图像分解为一系列正弦和余弦函数的和，来描述图像中的各个频率成分。

它的数学形式可以表示为以下公式：F(u, v) = ∫∫ f(x, y) * e^(-j2π(ux+vy)) dx dy其中，F(u, v)为频域中的函数，f(x, y)为空域中的函数。

傅里叶变换将函数f(x, y)转换为了频域中的函数F(u, v)。

傅里叶变换的应用图像的频域分析：通过对图像进行傅里叶变换，我们可以将图像从空域转换到频域，得到图像的频谱信息。

通过分析图像的频谱，我们可以了解图像中各个频率成分的强弱，从而对图像进行分析和处理。

例如，我们可以通过频谱分析来检测图像中的噪声，并对其进行滤波处理。

图像的滤波处理：傅里叶变换可以对图像进行频域滤波，从而实现图像的去噪、增强等操作。

频域滤波是通过对图像的频谱进行操作，再进行逆变换得到处理后的图像。

通过选择合适的滤波器函数，我们可以实现不同的滤波效果。

例如，利用傅里叶变换可以实现低通滤波，通过去除图像中的高频成分来实现图像的模糊效果。

图像的压缩：傅里叶变换在图像压缩中也有着重要的应用。

通过对图像进行傅里叶变换，我们可以将图像的能量集中在频域的少数主要频率上，从而实现对图像的压缩。

在傅里叶变换后，我们可以对频域系数进行量化和编码，以减小数据量。

在解码时，通过傅里叶逆变换可以将压缩后的数据还原为原始图像。

傅里叶变换

傅里叶变换图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。

对图像而言，图像的边缘部分是突变部分，变化较快，因此反应在频域上是高频分量；图像的噪声大部分情况下是高频部分；图像平缓变化部分则为低频分量；也就是说，傅里叶变换提供另外一个角度来观察图像，可以将图像从灰度分布转化到频率分布上来观察图像的特征。

图像进行二维傅里叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图。

一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。

傅里叶变换的作用：（1）图像增强与图像去噪绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频—噪音；边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强图像的边缘；（2）图像分割之边缘检测提取图像高频分量（3）图像特征提取形状特征：傅里叶描述子纹理特征：直接通过傅里叶系数来计算纹理特征其他特征：将提取的特征值进行傅里叶变换使特征具有平移，伸缩、旋转不变形（4）图像压缩可以直接通过傅里叶系数来压缩数据；常用的离散余弦变换是傅里叶变换的实变换。

频域中的重要概念：图像高频分量：图像突变部分；在某些情况下指图像边缘信息，某些情况下指噪音更多是两者的混合；低频分量：图像变换平缓部分，也就是图像轮廓信息高通滤波器：让图像使低频分量抑制，高频分量通过低通滤波器：带通滤波器：使图像在某一部分的频率信息通过，其他过低或过高的都抑制。

模板运算与卷积公式：在时域内做模板运算，实际上就是对图像进行卷积。

模板运算是图像处理一个很重要的处理过程，很多图像处理过程中，比如增强/去噪，边缘检测中普遍用到。

根据卷积定理，时域卷积等价于频域乘积。

因此，在时域内对图像做模板运算就等效于在频域内对图像做滤波处理。

比如说一个均值模板，其频域响应为一个低通滤波器；在时域内对图像作均值滤波就等效于在频域内对图像用均值模板的频域响应对图像的频域响应做一个低通滤波。

为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。

图像傅里叶变换

图像傅⾥叶变换1. 通俗理解傅⾥叶变换可参考：[1]（图⽚摘⾃）2. 通俗理解数字图像傅⾥叶变换傅⾥叶定理指出，任何信号都可以表⽰成⼀系列正弦信号的叠加。

在⼀维领域，信号是⼀维正弦波的叠加，那么在⼆维领域，就是⽆数⼆维平⾯波的叠加。

⽐如⼀帧图像，不同点处的灰度值⾼低起伏变化，傅⾥叶变换就是⽤⽆数⼆维正弦波来拟合这种灰度值的起伏变化，灰度值的起伏变化平缓的地⽅，很低频的⼆维正弦波即可拟合，灰度值的起伏变化很⼤的地⽅(⽐如图像边缘、噪点等)，则需要⾼频⼆维正弦波才能拟合。

刻画⼀维正弦波只需要⼀个频率值u，刻画⼆维正弦波则需要两个频率值(u,v)。

例如：数字图像傅⾥叶变换可参考：[1] MOOC课程[2] 数字图像处理，冈萨雷斯，第⼆版，第四章[3][4]下图摘⾃[1]，在FFT功率谱图中，⾼亮度表明该频率特征明显。

3. 从数学公式的⾓度理解傅⾥叶变换本节的公式摘⾃冈萨雷斯的《数字图像处理》第四章3.1 1-Dimensional Fourier transform1-D Fourier transform and inverse Fourier transfrom:Using Euler's formula, Fourier transform can be expressed as所以，当我们看到傅⾥叶变换公式中的e−j2πµt时，我们应该想到的是⼀系列不同频率的正弦波。

傅⾥叶变换公式可这样理解：所谓傅⾥叶变换在其数学本质上⽆⾮是信号与正弦函数在时间轴上的卷积操作。

根据⼀般的惯例，我们将信号与之作卷积操作的部分称之为卷积核或核函数，因此我们可以从频率分解以外的视⾓来审视傅⾥叶变换，可以将其认为是信号与⼀个参数可变的核函数的卷积操作，其可变的核函数的参数就是频率。

（这段话摘⾃）1-D discrete Fourier transform:x is integers, M is the number of samples of µ.1-D inverse discrete Fourier transform:3.2 2-Dimensional Fourier transform2-D Fourier transform and inverse Fourier transfrom:2-D discrete Fourier transform:4. ⽤matlab实现傅⾥叶变换傅⾥叶变换函数：function F = FT_peng(I)[m,n] = size(I);F = zeros(m,n);for u = 1:mfor v = 1:nfor x = 1:mfor y = 1:nF(u,v) = F(u,v) + double(I(x,y)) * exp(-2*pi*1i*(u*x/m+v*y/n)); endendendendend傅⾥叶逆变换函数：function f = IFT_peng(I)[m,n] = size(I);f = zeros(m,n);for x = 1:mfor y = 1:nfor u = 1:mfor v = 1:nf(x,y) = f(x,y) + double(I(u,v)) * exp(2*pi*1i*(u*x/m+v*y/n)); endendendendf = f/(m*n);end主程序代码：clear;I = imread('test_img.png');I = imresize(I, [100,100]);I = rgb2gray(I);% using fft2 directlyI_fft2 = fft2(I);I_fft2 = abs(I_fft2); % abs将负实数和虚数部分调整为正实数I_fft2shift = fftshift(I_fft2); % 把四个⾓的⾼频信息移动到最中间I_fft2shift = uint8(I_fft2shift/256); % 除以256是为了缩⼩数值，能更好的显⽰% using function defined by usI_FT = FT_peng(I);I_FT2 = abs(I_FT);I_FTshift = fftshift(I_FT2);I_FTshift = uint8(I_FTshift/256);% recover the image by inverse Fourier function defined by usI_inv = IFT_peng(I_FT);I_inv = uint8(I_inv);% plotsubplot(221);imshow(I); title('Original image');subplot(222);imshow(I_fft2shift); title('fft2 frequency image');subplot(223);imshow(I_FTshift); title('FT frequency image');subplot(224);imshow(I_inv); title('Recovered image');运⾏结果：注：程序参考了博客Processing math: 100%。

图像处理技术中的傅里叶变换方法介绍

图像处理技术中的傅里叶变换方法介绍傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的方法，图像处理中广泛应用的一种数学工具。

傅里叶变换将图像转换为频域信号，使我们能够观察和分析图像中不同频率的成分。

在图像处理领域，傅里叶变换常用于图像的滤波、去噪、增强等任务。

本文将介绍傅里叶变换的原理和在图像处理中的应用。

让我们了解一下傅里叶变换的原理。

傅里叶变换基于傅里叶级数展开的思想，将函数分解成一组正弦和余弦函数的和。

对于一维信号，傅里叶变换可以表示为以下公式：F(u) = ∫ f(x) * e^(-2πiux) dx其中，F(u)表示信号在频域中的复数表示，f(x)表示输入信号在时域中的复数表示，u表示频率，i为虚数单位。

在图像处理中，傅里叶变换可以应用于二维信号，即图像。

图像可以通过对其在两个方向上进行傅里叶变换，得到其在频率域上的表示。

图像的傅里叶变换可以表示为以下公式：F(u,v) = ∬ f(x,y) * e^(-2πi(ux+vy)) dx dy其中，F(u,v)表示图像在频率域中的复数表示，f(x,y)表示输入图像在空域中的灰度值，u和v表示频率，i为虚数单位。

在图像处理中，我们经常使用的是傅里叶变换的逆变换，即将图像从频域转换回空域。

逆傅里叶变换可以表示为以下公式：f(x,y) = ∬ F(u,v) * e^(2πi(ux+vy)) du dv通过逆傅里叶变换，我们可以将对图像进行频域操作后的图像恢复到原始的空域。

在图像处理中，傅里叶变换有着广泛的应用。

其中之一是频域滤波。

通过将图像转换到频域，在频域中对图像进行滤波操作，可以实现一些空域中难以实现的效果。

傅里叶变换后的频域图像中较低频率成分代表图像的平滑部分，较高频率成分代表图像的细节和边缘。

通过选择不同的滤波器，在频域中滤除或增强不同频率的成分，可以实现图像的模糊、锐化、边缘检测等效果。

傅里叶变换还可以用于图像的压缩和去噪。

在图像压缩中，通过对图像进行傅里叶变换，并保留较低频率成分来实现图像的压缩。

图像处理中的傅里叶变换

二维函数的傅立叶谱、相位和能量谱分别为
|F(u，v)∣=[R2(u，v)+I2 (u，v)]1/2
φ(u，v)=tan-1 [I(u，v)／R(u，v)] E(u，v)=R2(u，v)+I2(u，v)
离散函数的傅立叶变换 1.一维离散函数的傅立叶变换
假定取间隔△x单位的抽样方法将一个连续函数f(x)离散化为一个序列{f(x0)，f(x0+△x)，…，f[x0+(N-1)△x]}，如图所示。
设f(x,y) ←→F(x,y)，g(x,y) ←→G(x,y)，则
• 离散函数卷积定理设
其二维离散卷积形式为
二维离散卷积定理可用下式表示
此形式与连续的基本一样，所不同的是所有变量 x， y ，u ，v 都是离散量
例如
数字图像的傅立叶变换
原图
离散傅立叶变换后的频域图
二维离散傅立叶变换的性质
1）线性
设 F1(u,v)和 F2(u,v)分别为二维离散函数 f1(x,y)和f2(x,y)的DFT，则式中a，b是常数
2）可分离性
将式分成两部分乘积
设式后面的求和项为：
此式表示对每一个 x 值，f(x,y)先沿每一行进行一次一维傅立叶变换
f ( x) F (u )e j 2ux du

这里f(x)是实函数，它的傅立叶变换F(u)通常是复函数。F(u)的实部、虚部、振幅、能量和相位分别表示如下：
实部
虚部
R(u) f ( x) cos(2 ux)dx I (u ) f ( x) sin(2ux)dx
-1
-j
2.二维离散函数的傅立叶变换在二维离散的情况下，傅立叶变换对表示为 F(u，v)=

遥感图像傅里叶变换(分析“傅立叶”文档)共65张PPT

理想低通滤波器
D(u, v)
5.5 频率域增强
D0的大小根据需要可具体确定。理论上，D D0 的低频分量全部无损通过，D>D0 高频分量则全部除去，然后经傅立叶逆变换得到平滑图像。
由于高频部分包含大量边缘信息，因此，滤波处理后导致边缘损失，使图像边缘模糊。
原始图象（TM1）傅立叶变换后的图像低通滤（Idea)
一般称为f (x的) 能量谱（功率谱）
5.1 傅立叶变换的定义及基本概念
推广到二维函数：
F(u,v) f(x,y)expi2u xvyddx
f(x,y)F(u,v)exi2 pu xvydduv 式中，u,v是频率变量
5.1 傅立叶变换的定义及基本概念
傅立叶谱
F(u,v)R2(u,v)I2(u,v)
( u ) ar I( u c )/R ( tu ) g
5.1 傅立叶变换的定义及基本概念
F (u)F (u )ex (u p ) F(u) R2(u)I2(u)
( u ) ar I( u c )/R ( tu ) g
幅函数 F (u被) 称为 f的(x傅) 立叶谱，而为相角(u。) 傅立叶谱的平方： E (u)F(u)2R 2(u)I2(u)
二、频率域锐化
传递函数
0, D(u,v)D0
H (u ,v )
1 , D (u ,v ) D 0 D 0 0
D (u,v)(u2v2)1/2
5.5 频率域增强
H(u,v)
1
0
D0
理想高通滤波器
D(u, v)
5.5 频率域增强
与理想低通滤波相反，理论上，值 D D0低频分量全部除去； D>D0 高频分量则全部通过，然后经傅立叶逆变换得到平滑图像。