四边形精选例题难题

合集下载

(完整版)四边形经典试题50题及答案

经典四边形习题50道（附答案）1．已知：在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE=3∠BAE ，求：∠EAC的度数。

2．已知：直角梯形ABCD中，BC=CD=a且∠BCD=60︒，E、F分别为梯形的腰AB、DC的中点，求：EF的长。

3、已知：在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC，E、F分别为AD、BC的中点，BD平分∠ABC交EF于G，EG=18，GF=10求：等腰梯形ABCD的周长。

4、已知：梯形ABCD中，AB∥CD，以AD，AC为邻边作平行四边形ACED，DC延长线交BE于F，求证：F是BE的中点。

5、已知：梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥CB，AC平分∠A，又∠B=60︒，梯形的周长是20cm, 求：AB的长。

6、从平行四边形四边形ABCD的各顶点作对角线的垂线AE、BF、CG、DH，垂足分别是E、F、G、H，求证：EF∥GH。

7、已知：梯形ABCD的对角线的交点为E若在平行边的一边BC的延长线上取一点F，_B_C_A_B_A_B_E_A_B_B使S ABC ∆=S EBF ∆，求证：DF ∥AC 。

8、在正方形ABCD 中，直线EF 平行于对角线AC ，与边AB 、BC 的交点为E 、F ，在DA 的延长线上取一点G ，使AG=AD ，若EG 与DF 的交点为H ，求证：AH 与正方形的边长相等。

9、若以直角三角形ABC 的边AB 为边，在三角形ABC 的外部作正方形ABDE ，AF 是BC 边的高，延长FA 使AG=BC ，求证：BG=CD 。

10、正方形ABCD ，E 、F 分别是AB 、AD 延长线上的一点，且AE=AF=AC ，EF 交BC 于G ，交AC 于K ，交CD 于H ，求证：EG=GC=CH=HF 。

11、在正方形ABCD 的对角线BD 上，取BE=AB ，若过E 作BD 的垂线EF 交CD 于F ，求证：CF=ED 。

12、平行四边形ABCD 中，∠A 、∠D 的平分线相交于E ，AE 、DE与DC 、AB 延长线交于G 、F ，求证：AD=DG=GF=FA 。

小升初数学图形问题难题精选

小升初数学图形问题难题精选1、【四边形】【1】在一本数学书的插图中，有100个平行四边形，80个长方形，40个菱形。

这本书的插图中正方形最多有_____个。

【答案】40个2、【最值】【剪拼】—个边长是7厘米的正方形纸片，最多能裁出多少个长是4厘米，宽是1厘米的长方形纸条？【答案】123、【剪拼】【2】图中由24个正方形组成，请通过P点画一条直线，把这个图形分割成面积相等的两部分。

【答案】5、【面积】【2】求出图中梯形ABCD的面积。

其中BC=10厘米。

【答案】50平方厘米6、【面积】【3】用4个相同的等腰直角三角形相互交叠拼成下图，阴影正方形的面积是平方厘米。

【答案】18平方厘米图中的阴影部分面积是正方形面积的。

3×3÷2×4=18（㎝2）7、【周长】【面积】【1】判断：在周长都为8厘米的正方形和长方形中，面积较大的是正方形。

【答案】√8、【周长面积】【2】由5个正方形组成的十字架图形的面积是180，求它的周长是多少？【答案】729、【面积】【1】等腰梯形的对角线互相垂直,一条对角线的长是9厘米,求梯形的面积。

【答案】40.5平方厘米10、【面积】【差不变】【2】如图，有边长分别是16分米和24分米的两个正方形，一条直线把这两个相连的正方形分成四部分。

甲三角形的面积比乙三角形的面积多多少平方分米？【答案】9611、【面积】【格点多边形】【2】、在边长等于5厘米的正方形内有一个平行四边形，这个平行四边形面积是多少？【答案】14平方厘米12、【面积】【格点多边形】【2】如图，计算这个格点多边形的面积.（每一格为单位1）【答案】6.513、【等高模型】【2】如图，一长方形被一条直线分成两个长方形，这两个长方形的宽的比为1∶3，若阴影三角形面积为1平方厘米，则原长方形面积为______平方厘米．【答案】14【等高模型】【2】As shown below, the area of the parallelogram ABCD is 54 cm2, E, F trisect CA and BA, the area of the shadow is _________.【答案】6cm215、【等高模型】【3】如图：正方形ABCD的边长为12厘米，P是AB边上的任意一点，M、N、I、H分别是BC、AD上的三等分点（即BM=MN=NC），E、F、G是边CD上的四等分点，图中阴影部分面积是多少平方厘米。

初中数学四边形难题汇编含答案

∵四边形ABED的面积为6，
∴ ，解得x1＝3，x2＝﹣4（舍去），
∴EF＝x﹣1＝2，
在Rt△BEF中，，
∴ ．
故选B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题．也考查了解直角三角形．
解得：x=3
∴BG＝3，CG=6-3=3
∴BG＝CG，故②正确；
又BG＝CG，
∴
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG
∴
∴∠FCG=∠AGB
∴AG∥CF，故③正确；
过点F作FM⊥CE，
∴FM∥CG
∴△EFM∽△EGC
∴ 即
解得
∴ FCG＝，故④错误
正确的共3个
故选：C．
【点睛】
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，综合性较强，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．
故选C．
8．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC＝2：1，且BE∥AC，CE∥DB，连接DE，则tan∠EDC＝（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可判断四边形OBEC是菱形，则OE与BC垂直平分，易得EF= x，CF=x．再由锐角三角函数定义作答即可．
【详解】
∵AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N，
∴∠ADM=∠MDC=∠NCD=45°，
∴ =CD，
在矩形ABCD中，AB=CD=a，

特殊四边形难题整理(附答案)

性质和解直角三角形的知识求解．
解答：(1)如图①，过A. D分别作AK⊥BC于K，DH⊥BC于H，则四边
形ADHK是矩形。
∴KH=AD=3. 在Rt△ABK中,AK=AB⋅sin45∘=42√⋅2√2=4BK=AB⋅cos45∘=42√⋅2√2=4，在Rt△CDH中,由勾股定理得,HC=52−42−−−−−−−√=3. ∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10. (2)如图②,过D作DG∥AB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形。 ∵MN∥AB， ∴MN∥DG. ∴BG=AD=3. ∴GC=10−3=7. 由题意知，当M、N运动到t秒时，CN=t，CM=10−2t. ∵DG∥MN，∴∠NMC=∠DGC. 又∵∠C=∠C，∴△MNC∽△GDC.∴CNCD=CMCG，即t5=10−2t7.解得,t=5017.
6.已知，如图,矩形ABCD中，BC=2，AE⊥BD于E，∠BAE=30°，那么 △ECD的面积是( )
7、如图，正方形ABCD的周长为4a，四边形EFGH的四个顶点E、F、G、 H分别在AB、BC、CD、DA上滑动，在滑动过程中，始终有 EH∥BD∥FG，且EH=FG，问:是否可求出四边形EFGH的周长?若能求出，它的周长是多少?若不能求出，请说明理由.
(3)分三种情况讨论： ①当NC=MC时，如图③，即t=10−2t，∴t=103.
②当MN=NC时，如图④，过N作NE⊥MC于E. 解法一：由等腰三角形三线合一性质得EC=12MC=12(10−2t)=5−t. 在Rt△CEN中,cosC=ECNC=5−tt，又在Rt△DHC中,cosC=CHCD=35， ∴5−tt=35.解得t=258. 解法二：∵∠C=∠C,∠DHC=∠NEC=90∘，∴△NEC∽△DHC. ∴NCDC=ECHC，即t5=5−t3.∴t=258. ③当MN=MC时,如图⑤,过M作MF⊥CN于F点.FC=12NC=12t. 解法一：(方法同②中解法一)cosC=FCMC=12t10−2t=35,

初中数学四边形难题汇编及答案

初中数学四边形难题汇编及答案一、选择题1．如图，菱形ABCD 中，对角线BD 与AC 交于点O ， BD =8cm ，AC =6cm ，过点O 作OH ⊥CB 于点H ，则OH 的长为( )A ．5cmB ．52cm C ．125cm D ．245cm 【答案】C【解析】【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OB 、OC ，再利用勾股定理列式求出BC ，然后根据△BOC 的面积列式计算即可得解．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，111163,842222OC AC OB BD ==⨯===⨯= 在Rt △BOC 中，由勾股定理得，2222345BC OB OC ++=∵OH ⊥BC ，1122BOC S OC OB CB OH ∴=⋅=⋅V ∴1143522OH ⨯⨯=⨯ ∴125OH =故选C ．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟记性质是解题的关键，难点在于利用两种方法表示△BOC 的面积列出方程．2．如图，在菱形ABCD 中，E 是AC 的中点，EF ∥CB ，交AB 于点F ，如果EF=3，那么菱形ABCD 的周长为（）A ．24B ．18C ．12D ．9【答案】A【解析】【分析】易得BC 长为EF 长的2倍，那么菱形ABCD 的周长=4BC 问题得解．【详解】∵E 是AC 中点，∵EF ∥BC ，交AB 于点F ，∴EF 是△ABC 的中位线，∴BC=2EF=2×3=6，∴菱形ABCD 的周长是4×6=24，故选A ．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质及菱形的周长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键.3．如图，四边形ABCD 是菱形，30ACD ∠=︒，2BD =，则AC 的长度为（）A ．23B ．22C ．4D ．2【答案】A【解析】【分析】由菱形的性质，得到AC ⊥BD ，由直角三角形的性质，得到BO=1，BC=2，根据勾股定理求出CO ，即可求出AC 的长度.【详解】解，如图，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO=CO ，BO=DO ，∵2BD =，∴BO=1，在Rt △OBC 中，30BCO ACD ∠=∠=︒，∴BC=2， ∴22213CO =-=； ∴23AC =；故选：A.【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，利用勾股定理求出OC 的长度.4．如图1，点F 从菱形ABCD 的项点A 出发，沿A －D －B 以1cm/s 的速度匀速运动到点B ．图2是点F 运动时，△FBC 的面积y (m 2)随时间x (s)变化的关系图象，则a 的值为( )A ．5B ．2C ．52D ．5【答案】C【解析】【分析】过点D 作DE BC ⊥于点E 由图象可知，点F 由点A 到点D 用时为as ，FBC ∆的面积为2acm ．求出DE=2，再由图像得5BD =BE=1，再在DEC Rt △根据勾股定理构造方程，即可求解．【详解】解：过点D 作DE BC ⊥于点E由图象可知，点F 由点A 到点D 用时为as ，FBC ∆的面积为2acm ．AD BC a ∴==∴12DE AD a =g 2DE ∴=由图像得，当点F 从D 到B 时，用5s5BD ∴=Rt DBE V 中，2222(5)21BE BD DE --=∵四边形ABCD是菱形，1EC a∴=-，DC a=DECRt△中，2222(1)a a=+-解得52 a=故选：C．【点睛】本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，要注意函数图象变化与动点位置之间的关系，解答此题关键根据图像关键点确定菱形的相关数据．5．如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，连接BE，若AF＝1，四边形ABED的面积为6，则∠EBF的余弦值是（）A．21313B．31313C．23D．1313【答案】B【解析】【分析】首先证明△ABF≌△DEA得到BF=AE；设AE=x，则BF=x，DE=AF=1，利用四边形ABED的面积等于△ABE的面积与△ADE的面积之和得到12•x•x+•x×1=6，解方程求出x得到AE=BF=3，则EF=x-1=2，然后利用勾股定理计算出BE，最后利用余弦的定义求解．【详解】∵四边形ABCD为正方形，∴BA＝AD，∠BAD＝90°，∵DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，∴∠AFB＝90°，∠DEA＝90°，∵∠ABF+∠BAF＝90°，∠EAD+∠BAF＝90°，∴∠ABF＝∠EAD，在△ABF 和△DEA 中BFA DEA ABF EAD AB DA ∠=∠⎧⎪∠=⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△DEA （AAS ），∴BF ＝AE ；设AE ＝x ，则BF ＝x ，DE ＝AF ＝1，∵四边形ABED 的面积为6， ∴111622x x x ⋅⋅+⋅⨯=，解得x 1＝3，x 2＝﹣4（舍去）， ∴EF ＝x ﹣1＝2，在Rt △BEF 中，222313BE =+=，∴313cos 13BF EBF BE ∠===．故选B ．【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题．也考查了解直角三角形．6．如图，在平行四边形ABCD 中，AC=4，BD=6，P 是BD 上的任一点，过点P 作EF ∥AC ，与平行四边形的两条边分别交于点E 、F ，设BP=x ，EF=y ，则能反映y 与x 之间关系的图象是（）A ．B ．C ．D．【答案】C【解析】【分析】【详解】图象是函数关系的直观表现，因此须先求出函数关系式．分两段求：当P在BO上和P在OD上，分别求出两函数解析式，根据函数解析式的性质即可得出函数图象．解：设AC与BD交于O点，当P在BO上时，∵EF∥AC，∴EF BPAC BO=即43y x=，∴43y x =；当P在OD上时，有643 DP EF y x DO AC-==即，∴y=48 3x-+．故选C．7．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC＝2：1，且BE∥AC，CE∥DB，连接DE，则tan∠EDC＝（）A．14B．16C．26D．310【答案】B 【解析】【分析】过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可判断四边形OBEC是菱形，则OE与BC垂直平分，易得EF=12 x，CF=x．再由锐角三角函数定义作答即可．【详解】解：∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC＝2：1，∴BC＝AD，设AB＝2x，则BC＝x．如图，过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．∵BE∥AC，CE∥BD，∴四边形BOCE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OC，∴四边形BOCE是菱形．∴OE与BC垂直平分，∴EF＝12AD＝12x，OE∥AB，∴四边形AOEB是平行四边形，∴OE＝AB＝2x，∴CF＝12OE＝x．∴tan∠EDC＝EFDF＝122xx x＝16．故选：B．【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质，属于中考常考题型．8．一个多边形的每一个外角都是72°，那么这个多边形的内角和为( )A．540°B．720°C．900°D．1080°【答案】A【解析】【详解】解：∵多边形的每一个外角都是72°，∴多边形的边数为：3605 72=，∴该多边形的内角和为：（5-2）×180°=540°．故选A．【点睛】外角和是360°，除以一个外角度数即为多边形的边数．根据多边形的内角和公式可求得该多边形的内角和．9．如图，小莹用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，BC长为10cm．当小莹折叠时，顶点D落在BC边上的点F处(折痕为AE)．则此时EC=()cmA．4 B2C．22D．3【答案】D【解析】【分析】根据矩形的性质得AB=CD=8，BC=AD=10，∠B=∠C=90°，再根据折叠的性质得AF=AD=10，DE=EF，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=6，则CF=BC﹣BF=4，设CE=x，则DE=EF=8﹣x，在Rt△CEF中利用勾股定理得到:42+x2=（8﹣x）2，然后解方程即可．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD=8，BC=AD=10，∠B=∠C=90°．∵长方形纸片ABCD折纸，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE），∴AF=AD=10，DE=EF，在Rt△ABF中，AB=8，AF=10，∴226AF AB-=∴CF=BC﹣BF=4．设CE=x，则DE=EF=8﹣x，在Rt△CEF中，∵CF2+CE2=EF2，∴42+x2=（8﹣x）2，解得x=3∴EC的长为3cm．故选：D【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理的综合运用；熟练掌握折叠的性质和矩形的性质，根据勾股定理得出方程是解题关键．10．一个多边形的每个内角均为108º，则这个多边形是（）A．七边形 B．六边形 C．五边形 D．四边形【答案】C【解析】试题分析：因为这个多边形的每个内角都为108°，所以它的每一个外角都为72°，所以它的边数=360÷72=5（边）.考点：⒈多边形的内角和；⒉多边形的外角和.11．如图，抛物线2119y x =-与x 轴交于A B ，两点，D 是以点()0,4C 为圆心，1为半径的圆上的动点，E 是线段AD 的中点，连接,OE BD ，则线段OE 的最小值是（）A ．2B 32C ．52D ．3【答案】A【解析】【分析】根据抛物线解析式即可得出A 点与B 点坐标，结合题意进一步可以得出BC 长为5，利用三角形中位线性质可知OE=12BD ，而BD 最小值即为BC 长减去圆的半径，据此进一步求解即可.【详解】∵2119y x =-， ∴当0y =时，21019x =-，解得：=3x ±，∴A 点与B 点坐标分别为：(3-，0)，(3，0)，即：AO=BO=3，∴O 点为AB 的中点，又∵圆心C 坐标为(0，4)，∴OC=4，∴BC长度5=，∵O点为AB的中点，E点为AD的中点，∴OE为△ABD的中位线，即：OE=12 BD，∵D点是圆上的动点，由图可知，BD最小值即为BC长减去圆的半径，∴BD的最小值为4，∴OE=12BD=2，即OE的最小值为2，故选：A.【点睛】本题主要考查了抛物线性质与三角形中位线性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.12．下列说法中正确的是（）A．有一个角是直角的四边形是矩形B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形C．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形D．两条对角线相等的菱形是正方形【答案】D【解析】【分析】本题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，熟练掌握菱形，矩形，正方形的判定方法是解题的关键.【详解】A. 有一个角是直角的四边形是矩形,错误；B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形，错误；C. 两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形，错误；D. 两条对角线相等的菱形是正方形，正确.故选D.【点睛】本题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，熟练掌握菱形，矩形，正方形的判定方法是解题的关键，考查了学生熟练运用知识解决问题的能力.13．四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，∠DHO＝20°，则∠CAD的度数是（）.A．25°B．20°C．30°D．40°【答案】B【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴OB=OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴OH=OB=12BD，∵∠DHO=20°，∴∠OHB=90°-∠DHO=70°，∴∠ABD=∠OHB=70°，∴∠CAD=∠CAB=90°-∠ABD=20°．故选A．14．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD ＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（）A．40 B．24 C．20 D．15【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到AC⊥BD，∠BAO=∠DAO，得到AD=CD，推出四边形ABCD是菱形，根据勾股定理得到AO=3，于是得到结论．【详解】∵AB＝AD，点O是BD的中点，∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∴AB＝CD，∴四边形ABCD 是菱形，∵AB ＝5，BO 12=BD ＝4， ∴AO ＝3，∴AC ＝2AO ＝6，∴四边形ABCD 的面积12=⨯6×8＝24，故选：B ．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．15．如图，点E F G H 、、、分别是四边形ABCD 边AB 、BC 、CD 、DA 的中点.则下列说法：①若AC BD =，则四边形EFGH 为矩形；②若AC BD ⊥，则四边形EFGH 为菱形；③若四边形EFGH 是平行四边形，则AC 与BD 互相平分；④若四边形EFGH 是正方形，则AC 与BD 互相垂直且相等.其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】【分析】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC 时，中点四边形是菱形，当对角线AC ⊥BD 时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD ，且AC ⊥BD 时，中点四边形是正方形.【详解】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC 时，中点四边形是菱形，当对角线AC ⊥BD 时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD ，且AC ⊥BD 时，中点四边形是正方形，故④选项正确，故选A ．【点睛】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC 时，中点四边形是菱形，当对角线AC ⊥BD 时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD ，且AC ⊥BD 时，中点四边形是正方形．16．如图，△ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD 于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（）A．1 B．34C．23D．12【答案】D【解析】【分析】由等腰三角形的判定方法可知△AGC是等腰三角形，所以F为GC中点，再由已知条件可得EF为△CBG的中位线，利用中位线的性质即可求出线段EF的长．【详解】∵AD是△ABC角平分线，CG⊥AD于F，∴△AGC是等腰三角形，∴AG=AC=3，GF=CF，∵AB=4，AC=3，∴BG=1，∵AE是△ABC中线，∴BE=CE，∴EF为△CBG的中位线，∴EF=12BG=12，故选：D．【点睛】此题考查等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线性质定理，解题关键在于掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．17．如图，将一个大平行四边形在一角剪去一个小平行四边形，如果用直尺画一条直线将其剩余部分分割成面积相等的两部分，这样的不同的直线一共可以画出（）A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【分析】利用平行四边形的性质分割平行四边形即可．【详解】解：如图所示，这样的不同的直线一共可以画出三条，故答案为：3．【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的中心对称性．18．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD 于点F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】D【解析】【分析】先证明四边形ABEF是平行四边形，再证明邻边相等即可得出四边形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OA=OE，OB=OF=12BF=6，由勾股定理求出OA，即可得出AE的长．【详解】如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠DAE=∠BAE，∴∠BAE=∠BEA，∴AB=BE，同理可得AB=AF，∴四边形ABEF 是平行四边形，∵AB=AF ，∴四边形ABEF 是菱形，∴AE ⊥BF ，OA=OE ，OB=OF=12BF=6， ∴OA=2222=106AB OB --=8，∴AE=2OA=16.故选D ．【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定、等腰三角形的判定、菱形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ABEF 是菱形是解决问题的关键．19．如图，ABC V 中，5AB AC ==，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，点D 为AB 的中点，连接DE ，则DE 的长为（）A ．2B ．2.5C ．3D 5【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形三线合一可得AE ⊥BC ，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可求得DE 的长度．【详解】解：∵5AB AC ==，AE 平分BAC ∠，∴AE ⊥BC ，又∵点D 为AB 的中点，∴1 2.52DE AB ==，【点睛】本题考查等腰三角形三线合一和直角三角形斜边上的中线．熟练掌握相关定理，并能正确识图，得出线段之间的关系是解题关键．20．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于点O，下列结论：①∠DOC=90°，②OC=OE，③CE=DF，④tan∠OCD=43，⑤S△DOC=S四边形EOFB中，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】分析：由正方形ABCD的边长为4，AE=BF=1，利用SAS易证得△EBC≌△FCD，然后全等三角形的对应角相等，易证得①∠DOC=90°正确，③CE=D F正确；②由线段垂直平分线的性质与正方形的性质，可得②错误；易证得∠OCD=∠DFC，即可求得④正确；由①易证得⑤正确．详解：∵正方形ABCD的边长为4，∴BC=CD=4，∠B=∠DCF=90°．∵AE=BF=1，∴BE=CF=4﹣1=3．在△EBC和△FCD中，BC CDB DCFBE CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBC≌△FCD（SAS），∴∠CFD=∠BEC，CE=DF，故③正确，∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°，∴∠DOC=90°；故①正确；连接DE，如图所示，若OC=OE．∵DF⊥EC，∴CD=DE．∵CD=AD＜DE（矛盾），故②错误；∵∠OCD+∠CDF=90°，∠CDF+∠DFC=90°，∴∠OCD=∠DFC，∴tan∠OCD=tan∠DFC=DCFC=43，故④正确；∵△EBC≌△FCD，∴S△EBC=S△FCD，∴S△EBC﹣S△FOC=S△FCD﹣S△FOC，即S△ODC=S四边形BEOF．故⑤正确；故正确的有：①③④⑤．故选D．点睛：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．。

四边形经典综合难题(含答案)汇编

四边形综合经典难题1．已知：在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ， ∠DAE=3∠BAE ，求：∠EAC 的度数。

2．已知：直角梯形ABCD 中，BC=CD=a 且∠BCD=60︒，E 、F 分别为梯形的腰AB 、 DC 的中点，求：EF 的长。

3、已知：在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ， AD=BC ，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，BD 平分∠ABC 交EF 于G ，EG=18，GF=10 求：等腰梯形ABCD 的周长。

4、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，以AD ， AC 为邻边作平行四边形ACED ，DC 延长线交BE 于F ，求证：F 是BE 的中点。

5、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥CB ，AC 平分∠A ，又∠B=60︒，梯形的周长是20cm, 求：AB 的长。

6、从平行四边形四边形ABCD 的各顶点作对角线的垂线AE 、BF 、CG 、DH ，垂足分别是E 、F 、G 、H ，求证：EF ∥GH 。

7、已知：梯形ABCD 的对角线的交点为EBC 的延长线上取一点F ，使S ABC ∆=S EBF ∆，求证：DF_ D_ C_B _ C _ A _ B_ A _B_ E_A _ B_ A_ B8、在正方形ABCD 中，直线EF 平行于对角线AC ，与边AB 、BC 的交点为E 、F ，在DA 的延长线上取一点G ，使AG=AD ，若EG 与DF 的交点为H ，求证：AH 与正方形的边长相等。

9、若以直角三角形ABC 的边AB 为边，在三角形ABC 的外部作正方形ABDE ，AF 是BC 边的高，延长FA 使AG=BC ，求证：BG=CD 。

10、正方形ABCD ，E 、F 分别是AB 、AD 延长线上的一点，且AE=AF=AC ，EF 交BC 于G ，交AC 于K ，交CD 于H ，求证：EG=GC=CH=HF 。

11、在正方形ABCD 的对角线BD 上，取BE=AB ，若过E 作BD 的垂线EF 交CD 于F ，求证：CF=ED 。

四边形难题汇编及答案

四边形难题汇编及答案一、选择题1．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝10，两条对角线相交于点O ，若OB ＝6，则菱形面积是（）A ．60B ．48C ．24D ．96【答案】D【解析】【分析】由菱形的性质可得AC ⊥BD ，AO ＝CO ，BO ＝DO ＝6，由勾股定理可求AO 的长，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO ＝CO ，BO ＝DO ＝6，∴AO ＝22100368AB OB -=-=，∴AC ＝16，BD ＝12， ∴菱形面积＝12162⨯＝96，故选：D ．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直平分是本题的关键．2．如图，四边形ABCD 是菱形，30ACD ∠=︒，2BD =，则AC 的长度为（）A ．3B ．2C ．4D ．2【答案】A【解析】【分析】由菱形的性质，得到AC ⊥BD ，由直角三角形的性质，得到BO=1，BC=2，根据勾股定理求出CO ，即可求出AC 的长度.【详解】解，如图，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO=CO ，BO=DO ，∵2BD =，∴BO=1，在Rt △OBC 中，30BCO ACD ∠=∠=︒，∴BC=2， ∴22213CO =-=；∴23AC =；故选：A.【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，利用勾股定理求出OC 的长度.3．如图，若OABC Y 的顶点O ，A ，C 的坐标分别为(0,0)，(4,0)，(1,3)，则顶点B 的坐标为（）A ．(4,1)B ．(5,3)C ．(4,3)D ．(5,4)【答案】B【解析】【分析】根据平行四边形的性质，以及点的平移性质，即可求出点B 的坐标.【详解】解：∵四边形OABC 是平行四边形，∴OC ∥AB ，OA ∥BC ，∴点B 的纵坐标为3，∵点O 向右平移1个单位，向上平移3个单位得到点C ，∴点A 向右平移1个单位，向上平移3个单位得到点B ，∴点B 的坐标为：（5，3）；故选：B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，点坐标平移的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质进行解题.4．若菱形的对角线分别为6和8，则这个菱形的周长为（）A ．10B ．20C ．40D ．48 【答案】B【解析】【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可．【详解】如图所示，根据题意得AO=12×8=4，BO=12×6=3，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC=CD=DA ，AC ⊥BD ，∴△AOB 是直角三角形，∴AB=22169AO BO +=+=5，∴此菱形的周长为：5×4=20．故选：B ．【点睛】此题考查菱形的性质，利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键.5．如图，在矩形ABCD 中， 4,6,AB BC ==点E 是AD 的中点，点F 在DC 上，且1,CF =若在此矩形上存在一点P ，使得PEF V 是等腰三角形，则点P 的个数是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】D【解析】【分析】根据等腰三角形的定义，分三种情况讨论：①当EF 为腰，E 为顶角顶点时，②当EF 为腰，F 为顶角顶点时，③当EF 为底，P 为顶角顶点时，分别确定点P 的位置，即可得到答案．【详解】∵在矩形ABCD 中，461AB BC CF ===，，，点E 是AD 的中点， 32184EF ∴==>．∴PEF V 是等腰三角形，存在三种情况：①当EF 为腰，E 为顶角顶点时，根据矩形的轴对称性，可知：在BC 上存在两个点P ，在AB 上存在一个点P ，共3个，使PEF V 是等腰三角形；②当EF 为腰，F 为顶角顶点时，186,<Q∴在BC 上存在一个点P ，使PEF V 是等腰三角形；③当EF 为底，P 为顶角顶点时，点P 一定在EF 的垂直平分线上，∴EF 的垂直平分线与矩形的交点，即为点P ，存在两个点．综上所述，满足题意的点P 的个数是6．故选D ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，矩形的性质，熟练掌握等腰三角形的定义和矩形的性质，学会分类讨论思想，是解题的关键．6．在平面直角坐标系中，A ，B ，C 三点坐标分别是（0，0），（4，0），（3，2），以A ，B ，C 三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（）.A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】A 点在原点上，B 点在横轴上，C 点在第一象限，根据平行四边形的性质：两组对边分别平行，可知第四个顶点可能在第一、二、四象限，不可能在第三象限，故选C7．如图，在平行四边形ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E ，若BF=6，AB=5，则AE 的长为( )A ．4B ．8C ．6D ．10【答案】B【解析】【分析】【详解】解：设AG与BF交点为O，∵AB=AF，AG平分∠BAD，AO=AO，∴可证△ABO≌△AFO，∴BO=FO=3，∠AOB=∠AOF=90º，AB=5，∴AO=4，∵AF∥BE，∴可证△AOF≌△EOB，AO=EO，∴AE=2AO=8，故选B．【点睛】本题考查角平分线的作图原理和平行四边形的性质．8．在四边形ABCD中，两对角线交于点O，若OA=OB=OC=OD，则这个四边形( )A．可能不是平行四边形B．一定是菱形C．一定是正方形D．一定是矩形【答案】D【解析】【分析】根据OA=OC, OB=OD，判断四边形ABCD是平行四边形．然后根据AC=BD，判定四边形ABCD是矩形．【详解】解：这个四边形是矩形，理由如下：∵对角线AC、BD交于点O，OA= OC, OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵OA=OC=OD=OB，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．故选D．【点睛】本题考查了矩形的判断，熟记矩形的各种判定方法是解题的关键．∠=（）9．如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若150∠=o，则AEFA．110°B．115°C．120°D．130°【答案】B【解析】【分析】根据翻折的性质可得∠2=∠3，再求出∠3，然后根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．【详解】∵矩形ABCD 沿EF 对折后两部分重合，150∠=o ，∴∠3=∠2=180-502︒︒=65°， ∵矩形对边AD ∥BC ， ∴∠AEF=180°-∠3=180°-65°=115°．故选：B ．【点睛】本题考查了矩形中翻折的性质，两直线平行的性质，平角的定义，掌握翻折的性质是解题的关键．10．如图，平行四边形ABCD 的周长是26,cm 对角线AC 与BD 交于点,,O AC AB E ⊥是BC 中点，AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，则AE 的长度为（）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．8cm【答案】B【解析】【分析】根据题意，由平行四边形的周长得到13AB AD +=，由AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，则3AD AB -=，求出AD 的长度，即可求出AE 的长度．【详解】解：∵平行四边形ABCD 的周长是26cm ，∴126132AB AD +=⨯=， ∵BD 是平行四边形的对角线，则BO=DO ，∵AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，∴()()3AO OD AD AO OB AB AD AB ++-++=-=，∴5AB =，8AD =，∴8BC AD ==，∵AC AB ⊥，点E 是BC 中点， ∴118422AE BC ==⨯=；故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质进行解题．11．如图，在△ABC 中，点D 为BC 的中点，连接AD ，过点C 作CE ∥AB 交AD 的延长线于点E ，下列说法错误的是（）A ．△ABD ≌△ECDB ．连接BE ，四边形ABEC 为平行四边形 C ．DA ＝DED ．CE ＝CD【答案】D【解析】【分析】根据平行线的性质得出∠B=∠DCE ，∠BAD=∠E ，然后根据AAS 证得△ABD ≌△ECD ，得出AD=DE ，根据对角线互相平分得到四边形ABEC 为平行四边形，CE=AB ，即可解答．【详解】∵CE ∥AB ，∴∠B=∠DCE ，∠BAD=∠E ，在△ABD 和△ECD 中，===B DCE BAD E BD CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ABD ≌△ECD （AAS ），∴DA=DE ，AB=CE ，∵AD=DE ，BD=CD ，∴四边形ABEC 为平行四边形，故选：D ．【点睛】此题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质以及平行四边形的性判定，解题的关键是证明△ABD≌△ECD．12．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（）A．10 B．12 C．16 D．18【答案】C【解析】【分析】首先根据矩形的特点，可以得到S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN，最终得到S矩形EBNP= S 矩形MPFD,即可得S△PEB=S△PFD，从而得到阴影的面积．【详解】作PM⊥AD于M，交BC于N．则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN∴S矩形EBNP= S矩形MPFD ,又∵S△PBE= 12S矩形EBNP，S△PFD=12S矩形MPFD，∴S△DFP=S△PBE=12×2×8=8，∴S阴=8+8=16，故选C．【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB=S△PFD．13．如图，在矩形ABCD中，2AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF，其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【解析】【分析】【详解】试题分析：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴2AB，∵2AB，∴AE=AD，又∠ABE=∠AHD=90°∴△ABE≌△AHD（AAS），∴BE=DH，∴AB=BE=AH=HD，∴∠ADE=∠AED=12（180°﹣45°）=67.5°，∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AED=∠CED，故①正确；∵∠AHB=12（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（对顶角相等），∴∠OHE=∠AED，∴OE=OH，∵∠OHD=90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°，∴∠OHD=∠ODH，∴OH=OD，∴OE=OD=OH，故②正确；∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°，∴∠EBH=∠OHD，又BE=DH，∠AEB=∠HDF=45°∴△BEH≌△HDF（ASA），∴BH=HF，HE=DF，故③正确；由上述①、②、③可得CD=BE、DF=EH=CE，CF=CD-DF，∴BC-CF=（CD+HE）-（CD-HE）=2HE，所以④正确；∵AB=AH，∠BAE=45°，∴△ABH不是等边三角形，∴AB≠BH，∴即AB≠HF，故⑤错误；综上所述，结论正确的是①②③④共4个．故选C．【点睛】考点：1、矩形的性质；2、全等三角形的判定与性质；3、角平分线的性质；4、等腰三角形的判定与性质14．如图，四边形ABCD的对角线为AC、BD，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD 为矩形的是（）A．BA=BCB．AC、BD互相平分C．AC⊥BDD．AB∥CD【答案】B【解析】试题分析：根据矩形的判定方法解答．解：能判定四边形ABCD是矩形的条件为AC、BD互相平分．理由如下：∵AC、BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，∴▱ABCD是矩形．其它三个条件再加上AC=BD均不能判定四边形ABCD是矩形．故选B．考点：矩形的判定．15．如图，□ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝12BC，连接OE．下列结论：①AE＝CE；②S△ABC＝AB•AC；③S△ABE＝2S△AOE；④OE＝14BC,成立的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4【答案】C【解析】【分析】利用平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，利用角平分线的性质证明△ABE是等边三角形，然后推出AE=BE=12BC，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一进行推理即可．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD=60°∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=BE，∠AEB=60°，∵AB=12 BC，∴AE=BE=12 BC，∴AE=CE，故①正确；∴∠EAC=∠ACE=30°∴∠BAC=90°，∴S△ABC=12AB•AC，故②错误；∵BE=EC，∴E为BC中点，O为AC中点，∴S△ABE=S△ACE=2 S△AOE，故③正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=CO，∵AE=CE，∴EO⊥AC，∵∠ACE=30°，∴EO=12EC ， ∵EC=12AB ， ∴OE=14BC ，故④正确；故正确的个数为3个，故选：C ．【点睛】此题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE 是等边三角形是解题关键．16．已知ABCD Y (AB BC >)，用尺规在ABCD 内作菱形，下列作法错误的是( )A ．如图1所示，作对角线AC 的垂直平分线EF ，则四边形AECF 为所求B ．如图2所示，在AB DC ，上截取AE AD DF DA ==，，则四边形AEFD 为所求 C ．如图3所示，作ADC ABC ∠∠、的平分线DE BF ，，则四边形DEBF 为所求 D ．如图4所示，作BDE BDC DBF DBA ∠=∠∠=∠，，则四边形DEBF 为所求【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形的性质及判定、菱形的判定逐个判断即可．【详解】解：A 、根据线段的垂直平分线的性质可知AB ＝AD ，一组邻边相等的平行四边形是菱形；符合题意；B 、根据四条边相等的四边形是菱形，符合题意；C 、根据两组对边分别平行四边形是平行四边形，不符合题意；D 、根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了复杂作图，解决本题的关键是利用平行四边形的性质及判定、菱形的判定．17．如图，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，点E H ，在ADCD ，边上，点F G ，在对角线AC 上，若6AB =，则EFGH 的面积是( )A．6 B．8 C．9 D．12【答案】B【解析】【分析】根据正方形的性质得到∠DAC＝∠ACD＝45°，由四边形EFGH是正方形，推出△AEF与△DFH是等腰直角三角形，于是得到DE＝22EH＝22EF，EF＝22AE，即可得到结论．【详解】解：∵在正方形ABCD中，∠D＝90°，AD＝CD＝AB，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∵四边形EFGH为正方形，∴EH＝EF，∠AFE＝∠FEH＝90°，∴∠AEF＝∠DEH＝45°，∴AF＝EF，DE＝DH，∵在Rt△AEF中，AF2＋EF2＝AE2，∴AF＝EF 2 AE，同理可得：DH＝DE＝22EH又∵EH＝EF，∴DE 2EF22AE＝12AE，∵AD＝AB＝6，∴DE＝2，AE＝4，∴EH2DE＝2，∴EFGH的面积为EH2＝（2）2＝8，故选：B．本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质以及勾股定理的应用，熟练掌握图形的性质及勾股定理是解决本题的关键．18．如图，将一个大平行四边形在一角剪去一个小平行四边形，如果用直尺画一条直线将其剩余部分分割成面积相等的两部分，这样的不同的直线一共可以画出（）A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【解析】【分析】利用平行四边形的性质分割平行四边形即可．【详解】解：如图所示，这样的不同的直线一共可以画出三条，故答案为：3．【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的中心对称性．19．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连结BF，交AC于点M，连结DE，BO．若∠BOC=60°，FO=FC，则下列结论：①AE=CF；②BF 垂直平分线段OC；③△EOB≌△CMB；④四边形是BFDE菱形．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】利用ASA定理证明△AOE≌△COF，从而判断①；利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论②；在△EOB和△CMB中，对应直角边不相等，则两三角形不全等，从而判断③；连接BD，先证得BO=DO， OE=OF，进而证得OB⊥EF，因为BD、EF互相垂直平分，即可证得四边形EBFD是菱形，从而判断④．【详解】解：∵矩形ABCD中，O为AC中点∴∠DCA=∠BAC，OA=OC，∠AOE=∠COF∴△AOE≌△COF∴AE=CF，故①正确∵矩形ABCD中，O为AC中点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC，∵FO=FC，∴FB垂直平分OC，故②正确；∵△BOC为等边三角形，FO=FC，∴BO⊥EF，BF⊥OC，∴∠CMB=∠EOB=90°，∴BO≠BM，∴△EOB与△CMB不全等；故③错误；连接BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AC、BD互相平分，∵O为AC中点，∴BD也过O点，且BO=DO由①可知△AOE≌△COF，∴OE=OF∴四边形EBFD是平行四边形由②可知，OB=CB，OF=FC又∵BF=BF∴△OBF≌△OCF∴BD⊥EF∴平行四边形EBFD是菱形，故④正确所以其中正确结论的个数为3个；故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质以及三角函数等的知识．20．下列说法中正确的是（）A．有一个角是直角的四边形是矩形B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形C．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形D．两条对角线相等的菱形是正方形【答案】D【解析】【分析】本题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，熟练掌握菱形，矩形，正方形的判定方法是解题的关键.【详解】A. 有一个角是直角的四边形是矩形,错误；B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形，错误；C. 两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形，错误；D. 两条对角线相等的菱形是正方形，正确.故选D.【点睛】本题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，熟练掌握菱形，矩形，正方形的判定方法是解题的关键，考查了学生熟练运用知识解决问题的能力.。

(专题精选)初中数学四边形难题汇编附解析

（专题精选）初中数学四边形难题汇编附解析一、选择题1．将一个边长为4的正方形ABCD 分割成如图所示的9部分，其中ABE △，BCF V ，CDG V ，DAH V 全等，AEH △，BEF V ，CFG △，DGH V 也全等，中间小正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等，且ABE △是以AB 为底的等腰三角形，则AEH △的面积为（）A ．2B ．169C ．32D ．2【答案】C【解析】【分析】【详解】解：如图，连结EG 并向两端延长分别交AB 、CD 于点M 、N ，连结HF ，∵四边形EFGH 为正方形，∴EG FH =，∵ABE △是以AB 为底的等腰三角形，∴AE BE =，则点E 在AB 的垂直平分线上，∵ABE △≌CDG V ，∴CDG V 为等腰三角形，∴CG DG =，则点G 在CD 的垂直平分线上，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB 的垂直平分线与CD 的垂直平分线重合，∴MN 即为AB 或CD 的垂直平分线，则,EM AB GN CD ^^，EM GN =，∵正方形ABCD 的边长为4，即4AB CD AD BC ====，∴4MN =，设EM GN x ==，则42EG FH x ==-，∵正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等，即2114(42)22x x ?-，解得：121,4x x ==， ∵4x =不符合题意，故舍去，∴1x =，则S 正方形EFGH 14122==⨯⨯=V ABE S ， ∵ABE △，BCF V ，CDG V ，DAH V 全等，∴2====V V V V ABE BCF CDG DAH S S S S ，∵正方形ABCD 的面积4416=⨯=，AEH △，BEF V ，CFG △，DGH V 也全等， ∴1(4=V AEH S S 正方形ABCD − S 正方形EFGH 134)(16242)42-=⨯--⨯=V ABE S ，故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是求得ABE △的面积．2．如图，11,,33AB EF ABP ABC EFP EFC ∠=∠∠=∠∥，已知60FCD ∠=︒，则P ∠的度数为（）A ．60︒B ．80︒C ．90︒D ．100︒【答案】B【解析】【分析】延长BC 、EF 交于点G ，根据平行线的性质得180ABG BGE +=︒∠∠，再根据三角形外角的性质和平角的性质得60180120EFC FCD BGE BGE BCF FCD =+=︒+=︒-=︒∠∠∠∠，∠∠，最后根据四边形内角和定理求解即可．【详解】延长BC 、EF 交于点G∵//AB EF∴180ABG BGE +=︒∠∠∵60FCD ∠=︒∴60180120EFC FCD BGE BGE BCF FCD =+=︒+=︒-=︒∠∠∠∠，∠∠ ∵11,33ABP ABC EFP EFC ∠=∠∠=∠ ∴360P PBC BCF PFC =︒---∠∠∠∠2236012033ABG EFC =︒---︒∠∠ ()223606012033ABG BGE =︒--︒+-︒∠∠ 223604012033ABG BGE =︒--︒--︒∠∠ ()22003ABG BGE =︒-+∠∠ 22001803=︒-⨯︒ 80=︒故答案为：B ．【点睛】本题考查了平行线的角度问题，掌握平行线的性质、三角形外角的性质、平角的性质、四边形内角和定理是解题的关键．3．如图，矩形 ABCD 中，AB ＞AD ，AB =a ，AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点 M ，CN ⊥AN 于点 N .则 DM +CN 的值为（用含 a 的代数式表示）( )A ．aB ．45 aC ．22aD ．32a 【答案】C【解析】【分析】根据“AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N”得∠MDC=∠NCD=45°，cos45°=DM CN DE CE = ，所以DM+CN=CDcos45°；再根据矩形ABCD ，AB=CD=a ，DM+CN 的值即可求出．【详解】∵AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N ，∴∠ADM=∠MDC=∠NCD=45°，∴00cos 4545D CNMcos +=CD ，在矩形ABCD 中，AB=CD=a ，∴DM+CN=acos45°=22a. 故选C.【点睛】此题考查矩形的性质，解直角三角形，解题关键在于得到cos45°=DM CN DE CE =4．如图所示，点E 是矩形ABCD 的边AD 延长线上的一点，且AD=DE ，连结BE 交CD 于点O ，连结AO ，下列结论不正确的是（）A ．△AOB ≌△BOCB ．△BOC ≌△EOD C ．△AOD ≌△EOD D ．△AOD ≌△BOC【答案】A【解析】根据矩形的性质和全等三角形的性质找出全等三角形应用排它法求欠妥即可：∵AD=DE ，DO ∥AB ，∴OD 为△ABE 的中位线．∴OD=OC ．∵在Rt △AOD 和Rt △EOD 中，AD=DE ，OD=OD ，∴△AOD ≌△EOD （HL ）．∵在Rt △AOD 和Rt △BOC 中，AD=BC ，OD=OC ，∴△AOD ≌△BOC （HL ）．∴△BOC ≌△EOD ．综上所述，B 、C 、D 均正确．故选A ．5．如图，菱形ABCD 中，点P 是CD 的中点，∠BCD=60°，射线AP 交BC 的延长线于点E ，射线BP 交DE 于点K ，点O 是线段BK 的中点，作BM ⊥AE 于点M ，作KN ⊥AE 于点N ，连结MO 、NO ，以下四个结论：①△OMN 是等腰三角形；②tan ∠3③BP=4PK ；④PM•PA=3PD 2，其中正确的是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【答案】B【解析】【分析】根据菱形的性质得到AD ∥BC ，根据平行线的性质得到对应角相等，根据全等三角形的判定定理△ADP ≌△ECP ，由相似三角形的性质得到AD=CE ，作PI ∥CE 交DE 于I ，根据点P 是CD 的中点证明CE=2PI ，BE=4PI ，根据相似三角形的性质得到1=4KP PI KB BE =，得到BP=3PK ，故③错误；作OG ⊥AE 于G ，根据平行线等分线段定理得到MG=NG ，又OG ⊥MN ，证明△MON 是等腰三角形，故①正确；根据直角三角形的性质和锐角三角函数求出∠OMN=33，故②正确；然后根据射影定理和三角函数即可得到PM•PA=3PD 2，故④正确．【详解】解：作PI ∥CE 交DE 于I ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AD ∥BC ，∴∠DAP=∠CEP ，∠ADP=∠ECP ，在△ADP 和△ECP 中， DAP CEP ADP ECP DP CP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADP ≌△ECP ，∴AD=CE ，则PI PD CE DC =，又点P 是CD 的中点， ∴1=2PI CE ， ∵AD=CE ， ∴1=4KP PI KB BE =， ∴BP=3PK ，故③错误；作OG ⊥AE 于G ，∵BM丄AE于M，KN丄AE于N，∴BM∥OG∥KN，∵点O是线段BK的中点，∴MG=NG，又OG⊥MN，∴OM=ON，即△MON是等腰三角形，故①正确；由题意得，△BPC，△AMB，△ABP为直角三角形，设BC=2，则CP=1，由勾股定理得，BP=3，则AP=7，根据三角形面积公式，BM=2217，∵点O是线段BK的中点，∴PB=3PO，∴OG=13BM=22121，MG=23MP=27，tan∠OMN=3=OGMG，故②正确；∵∠ABP=90°，BM⊥AP，∴PB2=PM•PA，∵∠BCD=60°，∴∠ABC=120°，∴∠PBC=30°，∴∠BPC=90°，∴PB=3PC，∵PD=PC，∴PB2=3PD，∴PM•PA=3PD2，故④正确．故选B．【点睛】本题考查相似形综合题．6．如图，平行四边形ABCD 的周长是26,cm 对角线AC 与BD 交于点,,O AC AB E ⊥是BC 中点，AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，则AE 的长度为（）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．8cm【答案】B【解析】【分析】根据题意，由平行四边形的周长得到13AB AD +=，由AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，则3AD AB -=，求出AD 的长度，即可求出AE 的长度．【详解】解：∵平行四边形ABCD 的周长是26cm ， ∴126132AB AD +=⨯=， ∵BD 是平行四边形的对角线，则BO=DO ，∵AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，∴()()3AO OD AD AO OB AB AD AB ++-++=-=，∴5AB =，8AD =，∴8BC AD ==，∵AC AB ⊥，点E 是BC 中点，∴118422AE BC ==⨯=；故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质进行解题．7．如图，正方形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点()5,3D 在边AB 上，以C 为中心，把CDB △旋转90︒，则旋转后点D 的对应点'D 的坐标是( )A ．()2,10B ．()2,0-C ．()2,10或()2,0-D ．()10, 2或()2,0-【答案】C【解析】【分析】先根据正方形的性质求出BD 、BC 的长，再分逆时针旋转和顺时针旋转两种情况，然后分别根据旋转的性质求解即可得．【详解】Q 四边形OABC 是正方形，(5,3)D5,3,2,90BC OC AB OA AD BD AB AD B ∴======-=∠=︒由题意，分以下两种情况：（1）如图，把CDB △逆时针旋转90︒，此时旋转后点B 的对应点B '落在y 轴上，旋转后点D 的对应点D ¢落在第一象限由旋转的性质得：2,5,90B D BD B C BC CB D B '''''====∠=∠=︒10OB OC B C ''∴=+=∴点D ¢的坐标为(2,10)（2）如图，把CDB △顺时针旋转90︒，此时旋转后点B 的对应点B ''与原点O 重合，旋转后点D 的对应点D ''落在x 轴负半轴上由旋转的性质得：2,5,90B D BD B C BC CB D B ''''''''''====∠=∠=︒∴点D ''的坐标为(2,0)-综上，旋转后点D 的对应点D ¢的坐标为(2,10)或(2,0)-故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质等知识点，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．8．如图，在平行四边形ABCD 中，将ADC ∆沿AC 折叠后，点D 恰好落在DC 的延长线上的点E 处．若60B ∠=o ，AB=3，则ADE ∆的周长为（）A ．12B ．15C ．18D ．2【答案】C【解析】【分析】依据平行四边形的性质以及折叠的性质，即可得到BC=2AB=6，AD=6，再根据△ADE 是等边三角形，即可得到△ADE 的周长为6×3=18．【详解】由折叠可得，∠ACD=∠ACE=90°，∴∠BAC=90°，又∵∠B=60°，∴∠ACB=30°，∴BC=2AB=6，∴AD=6，由折叠可得，∠E=∠D=∠B=60°，∴∠DAE=60°，∴△ADE 是等边三角形，∴△ADE 的周长为6×3=18，故选：C ．【点睛】此题考查平行四边形的性质、轴对称图形性质以及等边三角形的判定．解题关键在于注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．9．如图，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若150∠=o ，则AEF ∠=（）A ．110°B ．115°C ．120°D ．130°【答案】B【解析】【分析】根据翻折的性质可得∠2=∠3，再求出∠3，然后根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．【详解】∵矩形ABCD沿EF对折后两部分重合，150∠=o，∴∠3=∠2=180-502︒︒=65°，∵矩形对边AD∥BC，∴∠AEF=180°-∠3=180°-65°=115°．故选：B．【点睛】本题考查了矩形中翻折的性质，两直线平行的性质，平角的定义，掌握翻折的性质是解题的关键．10．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（）A．10 B．12 C．16 D．18【答案】C【解析】【分析】首先根据矩形的特点，可以得到S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN，最终得到S矩形EBNP= S 矩形MPFD,即可得S△PEB=S△PFD，从而得到阴影的面积．【详解】作PM⊥AD于M，交BC于N．则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN∴S矩形EBNP= S矩形MPFD ,又∵S△PBE= 12S矩形EBNP，S△PFD=12S矩形MPFD，∴S△DFP=S△PBE=12×2×8=8，∴S阴=8+8=16，故选C．【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB=S△PFD．11．下列命题中是真命题的是（）A．多边形的内角和为180°B．矩形的对角线平分每一组对角C．全等三角形的对应边相等D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等【答案】C【解析】【分析】根据多边形内角和公式可对A进行判定；根据矩形的性质可对B进行判定；根据全等三角形的性质可对C进行判定；根据平行线的性质可对D进行判定．【详解】A.多边形的内角和为(n-2)·180°（n≥3），故该选项是假命题，B.矩形的对角线不一定平分每一组对角，故该选项是假命题，C.全等三角形的对应边相等，故该选项是真命题，D.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故该选项是假命题，故选：C．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．熟练掌握矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的性质及多边形的内角和公式是解题关键．12．用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数为x，y，z，则111x y z++的值为（）A．1 B．23C．12D．13【答案】C【解析】分析：根据边数求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件列出方程，进而即可求出答案．详解：由题意知，这3种多边形的3个内角之和为360度，已知正多边形的边数为x 、y 、z ，那么这三个多边形的内角和可表示为：2180x x -⨯（）+2180y y -⨯（）+2180z z （）-⨯=360，两边都除以180得：1﹣2x+1﹣2y +1﹣2z =2，两边都除以2得：1x +1y +1z =12．故选C ．点睛：解决本题的关键是知道这3种多边形的3个内角之和为360度，据此进行整理分析得解．13．已知ABCD Y (AB BC >)，用尺规在ABCD 内作菱形，下列作法错误的是( )A ．如图1所示，作对角线AC 的垂直平分线EF ，则四边形AECF 为所求B ．如图2所示，在AB DC ，上截取AE AD DF DA ==，，则四边形AEFD 为所求 C ．如图3所示，作ADC ABC ∠∠、的平分线DE BF ，，则四边形DEBF 为所求 D ．如图4所示，作BDE BDC DBF DBA ∠=∠∠=∠，，则四边形DEBF 为所求【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形的性质及判定、菱形的判定逐个判断即可．【详解】解：A 、根据线段的垂直平分线的性质可知AB ＝AD ，一组邻边相等的平行四边形是菱形；符合题意；B 、根据四条边相等的四边形是菱形，符合题意；C 、根据两组对边分别平行四边形是平行四边形，不符合题意；D 、根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了复杂作图，解决本题的关键是利用平行四边形的性质及判定、菱形的判定．14．如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，∠ABC 的平分线交AD 于点F ，若BF=12，AB=10，则AE 的长为（）A ．13B ．14C ．15D ．16【答案】D【解析】【分析】先证明四边形ABEF 是平行四边形，再证明邻边相等即可得出四边形ABEF 是菱形，得出AE ⊥BF ，OA=OE ，OB=OF=12BF=6，由勾股定理求出OA ，即可得出AE 的长．【详解】如图所示：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DAE=∠AEB ，∵∠BAD 的平分线交BC 于点E ，∴∠DAE=∠BAE ，∴∠BAE=∠BEA ，∴AB=BE ，同理可得AB=AF ，∴AF=BE ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∵AB=AF ，∴四边形ABEF 是菱形，∴AE ⊥BF ，OA=OE ，OB=OF=12BF=6， ∴2222=106AB OB --=8，∴AE=2OA=16.故选D ．【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定、等腰三角形的判定、菱形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ABEF 是菱形是解决问题的关键．15．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A ．对边相等B ．对角相等C ．对角线相等D ．对角线互相平分【答案】C【解析】【分析】根据矩形和平行四边形的性质进行解答即可.【详解】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．故选C．【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等．16．如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．现将其沿AE对折，使得点B落在边AD 上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm【答案】D【解析】分析：根据翻折的性质可得∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，然后求出四边形ABEB1是正方形，再根据正方形的性质可得BE=AB，然后根据CE=BC-BE，代入数据进行计算即可得解．详解：∵沿AE对折点B落在边AD上的点B1处，∴∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，又∵∠BAD=90°，∴四边形ABEB1是正方形，∴BE=AB=6cm，∴CE=BC-BE=8-6=2cm．故选：D．点睛：本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折变换的性质，判断出四边形ABEB1是正方形是解题的关键．17．下列说法正确的是（）A．对角线相等的四边形一定是矩形B．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上C．如果有一组数据为5，3，6，4，2，那么它的中位数是6D．“用长分别为5cm、12cm、6cm的三条线段可以围成三角形”这一事件是不可能事件【答案】D【解析】【分析】根据矩形的判定定理，数据出现的可能性的大小，中位数的计算方法，不可能事件的定义依次判断即可.【详解】A.对角线相等的平行四边形是矩形，故该项错误；B. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，不一定有5次正面向上，故该项错误；C. 一组数据为5，3，6，4，2，它的中位数是4，故该项错误；D. “用长分别为5cm、12cm、6cm的三条线段可以围成三角形” 这一事件是不可能事件，正确，故选：D.【点睛】此题矩形的判定定理，数据出现的可能性的大小，中位数的计算方法，不可能事件的定义，综合掌握各知识点是解题的关键.18．在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD是平行四边形，可添加的条件不正确的是（）A．AB∥CD B．∠B＝∠D C．AD＝BC D．AB＝CD【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的判定解答即可．【详解】∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故A正确；∵AD∥BC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故C正确；∵AD∥BC，∴∠D+∠C=180°，∵∠B=∠D，∴∠B+C=180°，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故B正确；故选：D．【点睛】此题考查平行四边形的判定，解题关键是根据平行四边形的判定解答．19．如图，在▱ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M，且MC=2，▱ABCD的周长是在14，则DM等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】试题分析：∵BM是∠ABC的平分线，∴∠ABM=∠CBM，∵AB∥CD，∴∠ABM=∠BMC，∴∠BMC=∠CBM，∴BC=MC=2，∵▱ABCD的周长是14，∴BC+CD=7，∴CD=5，则DM=CD ﹣MC=3，故选C．考点：平行四边形的性质．20．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，两条对角线相交于点O，若OB＝6，则菱形面积是（）A．60 B．48 C．24 D．96【答案】D【解析】【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝6，由勾股定理可求AO的长，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝6，∴AO22100368AB OB-=-=，∴AC＝16，BD＝12，∴菱形面积＝12162⨯＝96，故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直平分是本题的关键．。

四边形综合经典难题

1。

已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90o，CD⊥AB于D，BF平分∠ABC,且与CD相交于G,GE ∥CA交AB于E点,求证：四边形CFEG是菱形.2. 已知:如图，EG、FH过正方形ABCD的对角线交点O,EG⊥FH，求证:四边形EFGH是正方形．3. 如图，三角形ABC中，AB=AC，角A=108 o，BD平分角ABC交AC于D，求证：BC=AB+CD. 4。

在▱ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高,∠EBD=20°，求∠A的度数。

5。

已知在平行四边形ABCD中,AB=6cm，AD=10cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，求DF的长.6. 如图，在正方形ABCD中，E是CD边的中点，AC与BE相交于点F，连接DF．(1)在不增加点和线的前提下,直接写出图中所有的全等三角形；（2）连接AE,试判断AE与DF的位置关系，并证明你的结论；（3）延长DF交BC于点M，试判断BM与MC的数量关系．（直接写出结论)7。

如图，在正方形ABCD中,G是BC上任意一点，连接AG,DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由．8. 已知，如图，正方形ABCD的面积为25，菱形PQCB的面积为20，求阴影部分的面积．9. 已知，如图，▱ABCD中，BE，CF分别是∠ABC和∠BCD的角平分线，BE，CF相交于点O.(1)求证:BE⊥CF；（2）试判断AF与DE有何数量关系,并说明理由；（3）当△BOC为等腰直角三角形时，四边形ABCD是何特殊四边形？（直接写出答案）10. 在正方形ABCD中,M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ 是否相等？并说明理由．11。

如图,四边形ABCD中,∠A=135°,∠B=∠D=90°，AD=2，求四边形ABCD的面积。

12. 已知，在四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD,AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN 的两边分别交AD，DC(或它们的延长线）于E,F两点.（1）当AE=CF时（如图1），求证:AE+CF=EF；（2)当AE≠CF时,在图2和图3这两种情况下,AE+CF=EF是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明。

四边形难题汇编附答案

四边形难题汇编附答案一、选择题1．如图，在ABCD Y 中，8AC =，6BD =，5AD =，则ABCD Y 的面积为( )A ．6B ．12C ．24D ．48【答案】C【解析】【分析】由勾股定理的逆定理得出90AOD ∠=o ，即AC BD ⊥，得出ABCD Y 是菱形，由菱形面积公式即可得出结果．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴142OC OC AC ===，132OB OD BD ===， ∴22225OA OD AD +==，∴90AOD ∠=o ，即AC BD ⊥，∴ABCD Y 是菱形，∴ABCD Y 的面积11862422AC BD =⨯=⨯⨯=；故选C ．【点睛】本题考查平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、菱形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ABCD 是菱形是解题的关键．2．如图，已知AD 是三角形纸片ABC 的高，将纸片沿直线EF 折叠，使点A 与点D 重合，给出下列判断：①EF 是ABC V 的中位线；②DEF V 的周长等于ABC V 周长的一半：③若四边形AEDF 是菱形，则AB AC =；④若BAC ∠是直角，则四边形AEDF 是矩形．其中正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．②④D ．①③④ 【答案】A【解析】【分析】根据折叠可得EF 是AD 的垂直平分线，再加上条件AD 是三角形纸片ABC 的高可以证明EF ∥BC ，进而可得△AEF ∽△ABC ，从而得12AE AF AO AB AC AD ===，进而得到EF 是△ABC 的中位线；再根据三角形的中位线定理可判断出△AEF 的周长是△ABC 的一半，进而得到△DEF 的周长等于△ABC 周长的一半；根据三角形中位线定理可得AE=12AB ，AF=12AC ，若四边形AEDF 是菱形则AE=AF ，即可得到AB=AC ．【详解】解：∵AD 是△ABC 的高，∴AD ⊥BC ，∴∠ADC=90°，根据折叠可得：EF 是AD 的垂直平分线，∴AO=DO=12AD ，AD ⊥EF ， ∴∠AOF=90°，∴∠AOF=∠ADC=90°，∴EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ， 12AE AF AO AB AC AD ===， ∴EF 是△ABC 的中位线，故①正确；∵EF 是△ABC 的中位线，∴△AEF 的周长是△ABC 的一半，根据折叠可得△AEF ≌△DEF ，∴△DEF 的周长等于△ABC 周长的一半，故②正确；∵EF 是△ABC 的中位线，∴AE=12AB ，AF=12AC ，若四边形AEDF 是菱形，则AE=AF ，∴AB=AC ，故③正确；根据折叠只能证明∠BAC=∠EDF=90°，不能确定∠AED 和∠AFD 的度数，故④错误；故选：A ．【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换，以及三角形中位线的性质，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．3．如图，在菱形ABCD 中，点E 在边AD 上，30BE ADBCE ⊥∠=︒，.若2AE =，则边BC 的长为( )A 5B 6C 7D ．22【答案】B【解析】【分析】由菱形的性质得出AD ∥BC ，BC=AB=AD ，由直角三角形的性质得出3，在Rt △ABE 中，由勾股定理得：BE 2+22=3）2，解得：2，即可得出结果．【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴AD BC BC AB =，∥.∵BE AD ⊥.∴BE BC ⊥.∴30BCE ∠=︒，∴2EC BE =，∴223AB BC EC BE BE ==-=.在Rt ABE △中，由勾股定理得)22223BE BE +=，解得2BE =，∴36BC BE ==故选B.【点睛】此题考查菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．4．如图，矩形 ABCD 中，AB ＞AD ，AB =a ，AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点 M ，CN ⊥AN 于点 N .则 DM +CN 的值为（用含 a 的代数式表示）( )A ．aB ．45 aC ．2aD ．3a 【答案】C【解析】【分析】根据“AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N”得∠MDC=∠NCD=45°，cos45°=DM CN DE CE= ，所以DM+CN=CDcos45°；再根据矩形ABCD ，AB=CD=a ，DM+CN 的值即可求出．【详解】∵AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N ，∴∠ADM=∠MDC=∠NCD=45°，∴00cos 4545D CNMcos +=CD ，在矩形ABCD 中，AB=CD=a ，∴DM+CN=acos45°=2a. 故选C.【点睛】此题考查矩形的性质，解直角三角形，解题关键在于得到cos45°=DM CN DE CE =5．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ＝8，BD ＝6，点E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，点P 在AC 上运动，在运动过程中，存在PE ＋PF 的最小值，则这个最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】【分析】先根据菱形的性质求出其边长，再作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF 的最小值，再根据菱形的性质求出E′F的长度即可．【详解】解：如图∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=6，BD=8，∴AB=22=5，34作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF的最小值，∵AC是∠DAB的平分线，E是AB的中点，∴E′在AD上，且E′是AD的中点，∵AD=AB，∴AE=AE′，∵F是BC的中点，∴E′F=AB=5．故选C．6．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为()A．4 B．8 C．6 D．10【答案】B【解析】【分析】【详解】解：设AG与BF交点为O，∵AB=AF，AG平分∠BAD，AO=AO，∴可证△ABO≌△AFO，∴BO=FO=3，∠AOB=∠AOF=90º，AB=5，∴AO=4，∵AF∥BE，∴可证△AOF≌△EOB，AO=EO ，∴AE=2AO=8，故选B ．【点睛】本题考查角平分线的作图原理和平行四边形的性质．7．如图，平行四边形ABCD 的周长是26,cm 对角线AC 与BD 交于点,,O AC AB E ⊥是BC 中点，AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，则AE 的长度为（）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．8cm【答案】B【解析】【分析】根据题意，由平行四边形的周长得到13AB AD +=，由AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，则3AD AB -=，求出AD 的长度，即可求出AE 的长度．【详解】解：∵平行四边形ABCD 的周长是26cm ， ∴126132AB AD +=⨯=， ∵BD 是平行四边形的对角线，则BO=DO ，∵AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，∴()()3AO OD AD AO OB AB AD AB ++-++=-=，∴5AB =，8AD =，∴8BC AD ==，∵AC AB ⊥，点E 是BC 中点， ∴118422AE BC ==⨯=；故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质进行解题．8．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝10，两条对角线相交于点O ，若OB ＝6，则菱形面积是（）A．60 B．48 C．24 D．96【答案】D【解析】【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝6，由勾股定理可求AO的长，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝6，∴AO＝22100368AB OB-=-=，∴AC＝16，BD＝12，∴菱形面积＝12162⨯＝96，故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直平分是本题的关键．9．如图，小莹用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，BC长为10cm．当小莹折叠时，顶点D落在BC边上的点F处(折痕为AE)．则此时EC=()cmA．4 B2C．22D．3【答案】D【解析】【分析】根据矩形的性质得AB=CD=8，BC=AD=10，∠B=∠C=90°，再根据折叠的性质得AF=AD=10，DE=EF，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=6，则CF=BC﹣BF=4，设CE=x，则DE=EF=8﹣x，在Rt△CEF中利用勾股定理得到:42+x2=（8﹣x）2，然后解方程即可．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD=8，BC=AD=10，∠B=∠C=90°．∵长方形纸片ABCD折纸，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE），∴AF=AD=10，DE=EF，在Rt△ABF中，AB=8，AF=10，∴BF=226AF AB-=∴CF=BC﹣BF=4．设CE=x，则DE=EF=8﹣x，在Rt△CEF中，∵CF2+CE2=EF2，∴42+x2=（8﹣x）2，解得x=3∴EC的长为3cm．故选：D【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理的综合运用；熟练掌握折叠的性质和矩形的性质，根据勾股定理得出方程是解题关键．10．如图11-3-1，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，点E在边AB上，∠AED=60°，则一定有（）A．∠ADE=20°B．∠ADE=30°C．∠ADE=12∠ADC D．∠ADE=13∠ADC【答案】D【解析】【分析】【详解】设∠ADE=x，∠ADC=y，由题意可得，∠ADE+∠AED+∠A=180°，∠A+∠B+∠C+∠ADC=360°，即x+60+∠A=180①，3∠A+y=360②，由①×3-②可得3x-y=0，所以13x y=，即∠ADE=13∠ADC．故答案选D．考点：三角形的内角和定理；四边形内角和定理．11．如图，在▱ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M，且MC=2，▱ABCD的周长是在14，则DM等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】试题分析：∵BM是∠ABC的平分线，∴∠ABM=∠CBM，∵AB∥CD，∴∠ABM=∠BMC，∴∠BMC=∠CBM，∴BC=MC=2，∵▱ABCD的周长是14，∴BC+CD=7，∴CD=5，则DM=CD ﹣MC=3，故选C．考点：平行四边形的性质．12．如图，四边形ABCD的对角线为AC、BD，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD 为矩形的是（）A．BA=BCB．AC、BD互相平分C．AC⊥BDD．AB∥CD【答案】B【解析】试题分析：根据矩形的判定方法解答．解：能判定四边形ABCD是矩形的条件为AC、BD互相平分．理由如下：∵AC、BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，∴▱ABCD是矩形．其它三个条件再加上AC=BD均不能判定四边形ABCD是矩形．故选B．考点：矩形的判定．13．如图，□ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝12BC，连接OE．下列结论：①AE＝CE；②S△ABC＝AB•AC；③S△ABE＝2S△AOE；④OE＝14BC,成立的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4【答案】C【解析】【分析】利用平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，利用角平分线的性质证明△ABE是等边三角形，然后推出AE=BE=12BC，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一进行推理即可．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD=60°∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=BE，∠AEB=60°，∵AB=12 BC，∴AE=BE=12 BC，∴AE=CE，故①正确；∴∠EAC=∠ACE=30°∴∠BAC=90°，∴S△ABC=12AB•AC，故②错误；∵BE=EC，∴E 为BC 中点，O 为AC 中点，∴S △ABE =S △ACE=2 S △AOE ，故③正确；∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC=CO ，∵AE=CE ，∴EO ⊥AC ，∵∠ACE=30°，∴EO=12EC ， ∵EC=12AB ， ∴OE=14BC ，故④正确；故正确的个数为3个，故选：C ．【点睛】此题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE 是等边三角形是解题关键．14．如图，在ABC V 中，D E ，是AB AC ，中点，连接DE 并延长至F ，使EF DE =，连接AF CD ，，CF ．添加下列条件，可使四边形ADCF 为菱形的是( )A ．AB AC =B ．AC BC = C ．CD AB ⊥ D ．AC BC ⊥【答案】D【解析】【分析】根据AE ＝CE ，EF ＝DE 可证得四边形ADCF 为平行四边形，再利用中位线定理可得DE ∥BC 结合AC ⊥BC 可证得AC ⊥DF ，进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证．【详解】解：∵点E 是AC 中点，∴AE ＝CE ，∵AE ＝CE ，EF ＝DE ，∴四边形ADCF 为平行四边形，∵点D 、E 是AB 、AC 中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，∴∠AED＝∠ACB，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴∠AED＝90°，∴AC⊥DF，∴平行四边形ADCF为菱形故选：D．【点睛】本题考查了菱形的判定，三角形的中位线性质，熟练掌握相关图形的性质及判定是解决本题的关键．15．如图，将一个大平行四边形在一角剪去一个小平行四边形，如果用直尺画一条直线将其剩余部分分割成面积相等的两部分，这样的不同的直线一共可以画出（）A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【解析】【分析】利用平行四边形的性质分割平行四边形即可．【详解】解：如图所示，这样的不同的直线一共可以画出三条，故答案为：3．【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的中心对称性．16．如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．现将其沿AE对折，使得点B落在边AD 上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm【答案】D【解析】分析：根据翻折的性质可得∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，然后求出四边形ABEB1是正方形，再根据正方形的性质可得BE=AB，然后根据CE=BC-BE，代入数据进行计算即可得解．详解：∵沿AE对折点B落在边AD上的点B1处，∴∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，又∵∠BAD=90°，∴四边形ABEB1是正方形，∴BE=AB=6cm，∴CE=BC-BE=8-6=2cm．故选：D．点睛：本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折变换的性质，判断出四边形ABEB1是正方形是解题的关键．EF BC，分别交AB、17．如图点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作//PF=，则图中阴影部分的面积为CD于点E、F，连接PB、PD，若1AE=，8（）A．5B．6C．8D．9【答案】C【解析】【分析】由矩形的性质可证明S△PEB=S△PFD，即可求解．【详解】作PM⊥AD于M，交BC于N．则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，S△PFD=S△PDM，S△PFC=S△PCN，∴S△DFP=S△PBE=12×1×8=4，∴S阴=4+4=8，故选：C．【点睛】此题考查矩形的性质、三角形的面积，解题的关键是证明S△PEB=S△PFD．18．下列说法正确的是（）A．对角线相等的四边形一定是矩形B．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上C．如果有一组数据为5，3，6，4，2，那么它的中位数是6D．“用长分别为5cm、12cm、6cm的三条线段可以围成三角形”这一事件是不可能事件【答案】D【解析】【分析】根据矩形的判定定理，数据出现的可能性的大小，中位数的计算方法，不可能事件的定义依次判断即可.【详解】A.对角线相等的平行四边形是矩形，故该项错误；B. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，不一定有5次正面向上，故该项错误；C. 一组数据为5，3，6，4，2，它的中位数是4，故该项错误；D. “用长分别为5cm、12cm、6cm的三条线段可以围成三角形” 这一事件是不可能事件，正确，故选：D.【点睛】此题矩形的判定定理，数据出现的可能性的大小，中位数的计算方法，不可能事件的定义，综合掌握各知识点是解题的关键.19．在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD是平行四边形，可添加的条件不正确的是（）A．AB∥CD B．∠B＝∠D C．AD＝BC D．AB＝CD【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的判定解答即可．【详解】∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故A正确；∵AD∥BC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故C正确；∵AD∥BC，∴∠D+∠C=180°，∵∠B=∠D，∴∠B+C=180°，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故B正确；故选：D．【点睛】此题考查平行四边形的判定，解题关键是根据平行四边形的判定解答．20．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD ＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（）A．40 B．24 C．20 D．15【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到AC⊥BD，∠BAO=∠DAO，得到AD=CD，推出四边形ABCD是菱形，根据勾股定理得到AO=3，于是得到结论．【详解】∵AB＝AD，点O是BD的中点，∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∵AB＝5，BO12=BD＝4，∴AO＝3，∴AC＝2AO＝6，∴四边形ABCD的面积12=⨯6×8＝24，故选：B．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．。

四年级数学难题

四年级数学难题问题1：一个四边形有两组相对的边互相平行，并且这两组相对的边之间的距离相等。

这个四边形是什么形状？答案：这个四边形是平行四边形。

问题2：一个正方形和一个长方形有一个共同的边长为10厘米的边。

正方形的另一个边长为5厘米，长方形的另一个边长为8厘米。

哪个形状的面积更大？答案：正方形的面积为5×5=25平方厘米，长方形的面积为10×8=80平方厘米。

因此，长方形的面积更大。

问题3：一个长方形的长是宽的2倍。

如果它的周长是40厘米，那么它的长和宽分别是多少？答案：设长方形的宽为x，则长为2x。

周长为2(x+2x)=40，解得x=40/6厘米，长为40/3厘米。

问题4：一个等腰三角形的两边长度为5厘米和8厘米。

这个三角形的周长是多少？答案：根据三角形两边之和大于第三边的原则，这个等腰三角形的第三边只能是8厘米，因此周长为5+8+8=21厘米。

问题5：一个数的平方比它的两倍大一。

这个数是什么？答案：设这个数为x，则x^2=2x+1，解得x=(sqrt(8)+1)/2或(-sqrt(8)+1)/2。

问题6：如果一个正方形的一边减少5厘米，另一边增加5厘米，那么它变成了一个长方形。

这个长方形的长和宽各是多少？答案：设正方形的边长为x，则长方形的长为x-5厘米，宽为x+5厘米。

问题7：一个矩形的长和宽都增加了一个共同的长度，使得新的长和宽都是原来的2倍。

原来的矩形是什么形状？答案：设原来的矩形的长为x，宽为y，则新的矩形的长为2x+x=3x，宽为2y+y=3y。

因此原来的矩形是正方形。

问题8：一个等腰梯形的两底边长度相同，高是底边长度的一半。

这个梯形的周长和面积各是多少？答案：设梯形的底边长度为x，则高为x/2，上底边长度为x。

周长为3x+x/2，面积为(x/2)×x/2=x^2/4。

问题9：如果一个正方形的面积是25平方厘米，那么它的周长是多少厘米？答案：设正方形的边长为x，则面积为x^2=25，解得x=5厘米。

(完整版)四边形题型归纳

四边形题型归纳题型一：翻折问题（特殊四边形的折叠问题）1沿特殊四边形的对角线折叠【例1】如图，矩形纸片ABCD，AB=2， / ADB=30，沿对角线BD折叠（使△ ABD和2、沿特殊四边形的对称轴折叠【例2】如图，已知矩形ABCD的边AB=2 , AB^ BC ,矩形ABCD的面积为S,沿矩形的对称轴折叠一次得到一个新的矩形，则这个新矩形对角线长为3•使特殊四边形的对角顶点重合折叠【例3】如图，梯形纸片ABCD , / B=60 , AD // BC, AB=AD=2 , BC=6，将纸片折叠,使点B与点D重合，折痕为AE，贝U CE= ___________ .4•使特殊四边形一顶点落在其一边上而折叠【例4】如图，折叠矩形的一边CD，使点C落在AB上的点F处，已知AB=10cm , BC=8cm ,贝U EC 的长为______ •D] ] CE、百fA F B△ EBD落在同一平面内），则A、E两点间的距离为_______________D F C D CA B2B E C5•使特殊四边形两顶点落在其一边上而折叠【例5】如图，在梯形ABCD中，DC // AB，将梯形对折，使点D、C分别落在AB上的D、C处，折痕为EF，若CD=3cm , EF=4cm，则AD +BC = ________ cm.6•使特殊四边形一顶点落在其对称轴上而折叠（1）EF上的G点处，则/ DKG= _____7.使特殊四边形一顶点落在其对称轴上而折叠（2）点折至MN上，落在点P的位置，折痕为BQ，连结PQ.（1）求MP的长度；⑵求证：以PQ为边长的正方形的面积等于I .8.两次不同方式的折叠【例8】如图，将一矩形形纸片按如图方式折叠，BC、BD为折痕，折叠后AB与EB在同一条直线上，则/ CBD的度数为（）A.大于90 °B.等于90 °C.小于90 °D.不能确定【例6】如图，已知EF为正方形ABCD的对称轴，将/ A沿DK折叠，使它的顶点A落在【例7】如图，有一块面积为1的正方形ABCD , M、N分别为AD、BC边的中点，将CDIAC E<\JA BD【变式1】在矩形ABCD中AB=4, BC=3按下列要求折叠，试求出所要求结果（1）如图，把矩形ABCD沿着对角线BD折叠得△ EBD BE交CD于点F,求出BFD；（2）如图，折叠矩形ABCD使AD与对角线BD重合，求折痕DE的长；（3）如图，折叠矩形ABCD使点D与点B重合，求折痕EF的长；（4）如图，E是AD上一点，把矩形ABCD沿着BE折叠，若点A恰好落在CD上的点F处, 求AE的长。

特殊的平行四边形难题

1、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F在BD上，BE=DF（1）求证：AE=CF（2）若AB=6，∠COD=60°，求矩形ABCD的面积2、如图，四边形ABCDSP矩形。

点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，G是DF的中点。

（1）若BE=2，AG=4，求AB的长（2）若BC=2AB，求∠AED的度数3、如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形。

（1）求证：△ABE≌△DCE（2）求∠AED的度数4、如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在边AB、BC上（AE<BE），且∠EOF=90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN（1）求证：OM=ON（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长5、如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边BC、CD上的两点，∠EAF=45°，过点A作∠GAB=∠FAD，且G为边CB延长线上的一点。

（1）△GAB与△FAD全等吗？说明理由（2）若DF=4，BE=8，求线段EF的长度（3）若DF=4，CF=8，求线段EF的长度6、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD,E是对角线BD上的一点，且EA=EC（1）求证：四边形ABCD是菱形（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2:3，求证：四边形ABCD是正方形7、如图，将矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在点C’处,BC’交AD于点E(1)若∠DBC=25°,求∠ADC’的度数(2)若AB=4,AD=8,求△BDE的面积8、如图，将矩形ABCD折叠，使点B与边AD上的点K重合，EG为折痕；点C与边AD上的点K3 ，求BC的长。

重合，FH为折痕。

若∠1=67.5°，∠2=75°，EF=19、如图，将矩形ABCD（AD>AB）折叠，使点C折叠后的对应点G恰好与点AC重合，且折痕分别与BC、AD相交，设折叠后的点C、D的对应点分别为G、H,折痕分别与边BC、AD相交于点E、F。

四边形难题汇编含答案解析

四边形难题汇编含答案解析一、选择题1．如图，菱形ABCD 中，对角线BD 与AC 交于点O ， BD =8cm ，AC =6cm ，过点O 作OH ⊥CB 于点H ，则OH 的长为( )A ．5cmB ．52cm C ．125cm D ．245cm 【答案】C【解析】【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OB 、OC ，再利用勾股定理列式求出BC ，然后根据△BOC 的面积列式计算即可得解．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，111163,842222OC AC OB BD ==⨯===⨯= 在Rt △BOC 中，由勾股定理得，2222345BC OB OC ++=∵OH ⊥BC ，1122BOC S OC OB CB OH ∴=⋅=⋅V ∴1143522OH ⨯⨯=⨯ ∴125OH =故选C ．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟记性质是解题的关键，难点在于利用两种方法表示△BOC 的面积列出方程．2．如图，小莹用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，BC 长为10cm ．当小莹折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处(折痕为AE )．则此时EC =( )cmA．4 B．2C．22D．3【答案】D【解析】【分析】根据矩形的性质得AB=CD=8，BC=AD=10，∠B=∠C=90°，再根据折叠的性质得AF=AD=10，DE=EF，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=6，则CF=BC﹣BF=4，设CE=x，则DE=EF=8﹣x，在Rt△CEF中利用勾股定理得到:42+x2=（8﹣x）2，然后解方程即可．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD=8，BC=AD=10，∠B=∠C=90°．∵长方形纸片ABCD折纸，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE），∴AF=AD=10，DE=EF，在Rt△ABF中，AB=8，AF=10，∴BF=226-=AF AB∴CF=BC﹣BF=4．设CE=x，则DE=EF=8﹣x，在Rt△CEF中，∵CF2+CE2=EF2，∴42+x2=（8﹣x）2，解得x=3∴EC的长为3cm．故选：D【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理的综合运用；熟练掌握折叠的性质和矩形的性质，根据勾股定理得出方程是解题关键．3．如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（）A．24 B．18 C．12 D．9【答案】A【解析】【分析】易得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解．【详解】∵E 是AC 中点，∵EF ∥BC ，交AB 于点F ，∴EF 是△ABC 的中位线，∴BC=2EF=2×3=6，∴菱形ABCD 的周长是4×6=24，故选A ．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质及菱形的周长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键.4．下列命题错误的是（）A ．平行四边形的对角线互相平分B ．两直线平行，内错角相等C ．等腰三角形的两个底角相等D ．若两实数的平方相等，则这两个实数相等【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、乘方的定义，分别进行判断，即可得到答案.【详解】解：A 、平行四边形的对角线互相平分，正确；B 、两直线平行，内错角相等，正确；C 、等腰三角形的两个底角相等，正确；D 、若两实数的平方相等，则这两个实数相等或互为相反数，故D 错误；故选：D.【点睛】本题考查了判断命题的真假，以及平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、乘方的定义，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题.5．如图，已知AD 是三角形纸片ABC 的高，将纸片沿直线EF 折叠，使点A 与点D 重合，给出下列判断：①EF 是ABC V 的中位线；②DEF V 的周长等于ABC V 周长的一半：③若四边形AEDF 是菱形，则AB AC =；④若BAC ∠是直角，则四边形AEDF 是矩形．其中正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．②④D ．①③④ 【答案】A【解析】【分析】根据折叠可得EF 是AD 的垂直平分线，再加上条件AD 是三角形纸片ABC 的高可以证明EF ∥BC ，进而可得△AEF ∽△ABC ，从而得12AE AF AO AB AC AD ===，进而得到EF 是△ABC 的中位线；再根据三角形的中位线定理可判断出△AEF 的周长是△ABC 的一半，进而得到△DEF 的周长等于△ABC 周长的一半；根据三角形中位线定理可得AE=12AB ，AF=12AC ，若四边形AEDF 是菱形则AE=AF ，即可得到AB=AC ．【详解】解：∵AD 是△ABC 的高，∴AD ⊥BC ，∴∠ADC=90°，根据折叠可得：EF 是AD 的垂直平分线，∴AO=DO=12AD ，AD ⊥EF ， ∴∠AOF=90°，∴∠AOF=∠ADC=90°，∴EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ， 12AE AF AO AB AC AD ===， ∴EF 是△ABC 的中位线，故①正确；∵EF 是△ABC 的中位线，∴△AEF 的周长是△ABC 的一半，根据折叠可得△AEF ≌△DEF ，∴△DEF 的周长等于△ABC 周长的一半，故②正确；∵EF 是△ABC 的中位线，∴AE=12AB ，AF=12AC ，若四边形AEDF 是菱形，则AE=AF ，∴AB=AC ，故③正确；根据折叠只能证明∠BAC=∠EDF=90°，不能确定∠AED 和∠AFD 的度数，故④错误；故选：A ．【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换，以及三角形中位线的性质，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．6．如图，在菱形ABCD 中，点E 在边AD 上，30BE ADBCE ⊥∠=︒，.若2AE =，则边BC 的长为( )A 5B 6C 7D ．22【答案】B【解析】【分析】由菱形的性质得出AD ∥BC ，BC=AB=AD ，由直角三角形的性质得出3，在Rt △ABE 中，由勾股定理得：BE 2+22=3）2，解得：2，即可得出结果．【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴AD BC BC AB =，∥.∵BE AD ⊥.∴BE BC ⊥.∴30BCE ∠=︒，∴2EC BE =，∴223AB BC EC BE BE ==-=.在Rt ABE △中，由勾股定理得)22223BE BE +=，解得2BE =，∴36BC BE ==故选B.【点睛】此题考查菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．7．若菱形的对角线分别为6和8，则这个菱形的周长为（）A．10 B．20 C．40 D．48【答案】B【解析】【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可．【详解】如图所示，根据题意得AO=12×8=4，BO=12×6=3，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，∴△AOB是直角三角形，∴AB=22169AO BO+=+=5，∴此菱形的周长为：5×4=20．故选：B．【点睛】此题考查菱形的性质，利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键.8．如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，连接BE，若AF＝1，四边形ABED的面积为6，则∠EBF的余弦值是（）A 213B313C．23D13【答案】B【解析】【分析】首先证明△ABF≌△DEA得到BF=AE；设AE=x，则BF=x，DE=AF=1，利用四边形ABED的面积等于△ABE的面积与△ADE的面积之和得到12•x•x+•x×1=6，解方程求出x得到AE=BF=3，则EF=x-1=2，然后利用勾股定理计算出BE，最后利用余弦的定义求解．【详解】∵四边形ABCD为正方形，∴BA＝AD，∠BAD＝90°，∵DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，∴∠AFB＝90°，∠DEA＝90°，∵∠ABF+∠BAF＝90°，∠EAD+∠BAF＝90°，∴∠ABF＝∠EAD，在△ABF和△DEA中BFA DEAABF EADAB DA∠=∠⎧⎪∠=⎨⎪=⎩∴△ABF≌△DEA（AAS），∴BF＝AE；设AE＝x，则BF＝x，DE＝AF＝1，∵四边形ABED的面积为6，∴111622x x x⋅⋅+⋅⨯=，解得x1＝3，x2＝﹣4（舍去），∴EF＝x﹣1＝2，在Rt△BEF中，222313BE=+=，∴313cos13BFEBFBE∠===．故选B．【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题．也考查了解直角三角形．9．已知，如图，在ABCV中，90ACB∠=︒，30A∠=︒，求证：12BC AB=．在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（）A ．延长BC 至点D ，使CD BC =，连接ADB ．在ACB ∠中作BCE B ∠=∠，CE 交AB 于点EC ．取AB 的中点P ，连接CPD ．作ACB ∠的平分线CM ，交AB 于点M【答案】D【解析】【分析】分别根据各选项的要求进行证明，推出正确结论，则问题可解.【详解】解：选项A ：如图，由辅助线可知，ABC ADC ≅V ;，则有AB=AD ，再由90ACB ∠=︒，由30BAC ∠=︒，则60B ∠=︒，∴ABD △是等边三角形 ∴1122BC DB AB == 故选项A 正确；选项B:如图，由辅助线可知，EBD △是等边三角形则60BEC EAC ECA ∠=∠+∠=︒,BE=EC∵30A ∠=︒∴30ECA A ∠=∠=︒∴AE=EC∴12BC AB =故选项B 正确选项C 如图，有辅助线可知，CP 为直角三角形斜边上的中线∴AP=CP=BP∵30A ∠=︒∴60B ∠=︒∴PBC V 是等边三角形 ∴12BC BP AB ==综上可知选项D 错误故应选D【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质的综合应用，根据条件选择正确的证明方法是解题的关键．10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △PAB ＝13S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点距离之和PA +PB 的最小值为（）A 29B 34C ．2D 41【答案】D【解析】解：设△ABP 中AB 边上的高是h ．∵S △PAB =13S 矩形ABCD ，∴12 AB •h =13AB •AD ，∴h =23AD =2，∴动点P 在与AB 平行且与AB 的距离是2的直线l 上，如图，作A 关于直线l 的对称点E ，连接AE ，连接BE ，则BE 就是所求的最短距离．在Rt △ABE 中，∵AB =5，AE =2+2=4，∴BE 22AB AE +2254+41PA +PB 的41．故选D ．11．下列结论正确的是（）A ．平行四边形是轴对称图形B ．平行四边形的对角线相等C ．平行四边形的对边平行且相等D ．平行四边形的对角互补，邻角相等【答案】C【解析】【分析】分别利用平行四边形的性质和判定逐项判断即可．【详解】A 、平行四边形不一定是轴对称图形，故A 错误；B 、平行四边形的对角线不相等，故B 错误；C 、平行四边形的对边平行且相等，故C 正确；D 、平行四边形的对角相等，邻角互补，故D 错误．故选：C ．【点睛】此题考查平行四边形的性质，掌握特殊平行四边形与一般平行四边形的区别是解题的关键．12．如图，ABCD Y 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AD BD ⊥，30ABD ∠=︒，若23AD =．则OC 的长为（）A ．3B ．3C 21D ．6【答案】C【解析】【分析】先根据勾股定理解Rt ABD △求得6BD =，再根据平行四边形的性质求得3OD =，然后根据勾股定理解Rt AOD △、平行四边形的性质即可求得21OC OA ==【详解】解：∵AD BD ⊥∴90ADB ∠=︒∵在Rt ABD △中，30ABD ∠=︒，23AD = ∴243AB AD == ∴226BD AB AD =-=∵四边形ABCD 是平行四边形∴132OB OD BD ===，12OA OC AC == ∴在Rt AOD △中，23AD =，3OD =∴2221OA AD OD =+= ∴21OC OA ==．故选：C【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．13．将一个边长为4的正方形ABCD 分割成如图所示的9部分，其中ABE △，BCF V ，CDG V ，DAH V 全等，AEH △，BEF V ，CFG △，DGH V 也全等，中间小正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等，且ABE △是以AB 为底的等腰三角形，则AEH △的面积为（）A ．2B ．169C ．32D 2【答案】C【解析】【分析】【详解】解：如图，连结EG 并向两端延长分别交AB 、CD 于点M 、N ，连结HF ，∵四边形EFGH 为正方形，∴EG FH =，∵ABE △是以AB 为底的等腰三角形，∴AE BE =，则点E 在AB 的垂直平分线上，∵ABE △≌CDG V ，∴CDG V 为等腰三角形，∴CG DG =，则点G 在CD 的垂直平分线上，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB 的垂直平分线与CD 的垂直平分线重合，∴MN 即为AB 或CD 的垂直平分线，则,EM AB GN CD ^^，EM GN =，∵正方形ABCD 的边长为4，即4AB CD AD BC ====，∴4MN =，设EM GN x ==，则42EG FH x ==-，∵正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等，即2114(42)22x x ?-，解得：121,4x x ==， ∵4x =不符合题意，故舍去，∴1x =，则S 正方形EFGH 14122==⨯⨯=V ABE S ， ∵ABE △，BCF V ，CDG V ，DAH V 全等，∴2====V V V V ABE BCF CDG DAH S S S S ，∵正方形ABCD 的面积4416=⨯=，AEH △，BEF V ，CFG △，DGH V 也全等， ∴1(4=V AEH S S 正方形ABCD − S 正方形EFGH 134)(16242)42-=⨯--⨯=V ABE S ，故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是求得ABE △的面积．14．如图1，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，动点P从点B开始沿边BA、AC向点C以恒定的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以恒定的速度移动，两点同时到达点C，设△BPQ的面积为y（cm2）．运动时间为x（s），y与x之间关系如图2所示，当点P 恰好为AC的中点时，PQ的长为（）A．2 B．4 C．3D．3【答案】C【解析】【分析】点P、Q的速度比为33x＝2，y＝3P、Q运动的速度，即可求解．【详解】解：设AB＝a，∠C＝30°，则AC＝2a，BC3a，设P、Q同时到达的时间为T，则点P的速度为3aT，点Q3a，故点P、Q的速度比为33故设点P、Q的速度分别为：3v3，由图2知，当x＝2时，y＝3P到达点A的位置，即AB＝2×3v＝6v，BQ＝3＝3，y＝12⨯AB×BQ＝12⨯6v3v＝3v＝1，故点P、Q的速度分别为：33AB＝6v＝6＝a，则AC＝12，BC＝3如图当点P在AC的中点时，PC＝6，此时点P运动的距离为AB+AP＝12，需要的时间为12÷3＝4，则BQ3＝3CQ＝BC﹣BQ＝33＝3，过点P作PH⊥BC于点H，PC＝6，则PH＝PC sin C＝6×12＝3，同理CH＝33，则HQ＝CH﹣CQ＝33﹣23＝3，PQ＝22PH HQ+＝39+＝23，故选：C．【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．15．如图11-3-1，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，点E在边AB上，∠AED=60°，则一定有（）A．∠ADE=20°B．∠ADE=30°C．∠ADE=12∠ADC D．∠ADE=13∠ADC【答案】D【解析】【分析】【详解】设∠ADE=x，∠ADC=y，由题意可得，∠ADE+∠AED+∠A=180°，∠A+∠B+∠C+∠ADC=360°，即x+60+∠A=180①，3∠A+y=360②，由①×3-②可得3x-y=0，所以13x y=，即∠ADE=13∠ADC．故答案选D．考点：三角形的内角和定理；四边形内角和定理．16．如图，在ABC V 中，D E ，是AB AC ，中点，连接DE 并延长至F ，使EF DE =，连接AF CD ，，CF ．添加下列条件，可使四边形ADCF 为菱形的是( )A ．AB AC =B ．AC BC = C ．CD AB ⊥ D ．AC BC ⊥【答案】D【解析】【分析】根据AE ＝CE ，EF ＝DE 可证得四边形ADCF 为平行四边形，再利用中位线定理可得DE ∥BC 结合AC ⊥BC 可证得AC ⊥DF ，进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证．【详解】解：∵点E 是AC 中点，∴AE ＝CE ，∵AE ＝CE ，EF ＝DE ，∴四边形ADCF 为平行四边形，∵点D 、E 是AB 、AC 中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，∴∠AED ＝∠ACB ，∵AC ⊥BC ，∴∠ACB ＝90°，∴∠AED ＝90°，∴AC ⊥DF ，∴平行四边形ADCF 为菱形故选：D ．【点睛】本题考查了菱形的判定，三角形的中位线性质，熟练掌握相关图形的性质及判定是解决本题的关键．17．已知▱ABCD中，∠A+∠C＝240°，则∠B的度数是（）A．100°B．160°C．80°D．60°【答案】D【解析】【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得∠A=∠C，AD∥BC，又由∠A+∠B=180°，求得∠A的度数，继而求得答案．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，如图，∴∠A＝∠C，AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A+∠C＝240°，∴∠A＝120°，∴∠B＝180°﹣∠A＝60°．故选D．【点睛】此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握平行四边形的对角相等、邻角互补的知识．18．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠ADC＝∠GCD；③CA平分∠BCG；④∠DFB＝12∠CGE．其中正确的结论是( )A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．【详解】①∵EG∥BC，∴∠CEG=∠ACB，又∵CD是△ABC的角平分线，∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故正确；②∵∠A=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠ADC+∠BCD=90°．∵EG∥BC，且CG⊥EG，∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，∴∠ADC=∠GCD，故正确；③条件不足，无法证明CA平分∠BCG，故错误；④∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，∴∠AEB+∠ADC=90°+12（∠ABC+∠ACB）=135°，∴∠DFE=360°-135°-90°=135°，∴∠DFB=45°=12∠CGE，，正确．故选B．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理及多边形内角和，三角形外角的性质，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．19．如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（）A．110°B．120°C．140°D．150°【答案】B【解析】【详解】解：∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB=20°，图b 中∠GFC=180°-2∠EFG=140°，在图c 中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°，故选B ．20．如图，已知矩形ABCD 中，BC ＝2AB ，点E 在BC 边上，连接DE 、AE ，若EA 平分∠BED，则ABE CDE S S V V的值为（）A ．232-B ．233-C ．2333-D ．233- 【答案】C【解析】【分析】过点A 作AF ⊥DE 于F ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AF=AB ，利用全等三角形的判定和性质以及矩形的性质解答即可．【详解】解：如图，过点A 作AF ⊥DE 于F ，在矩形ABCD 中，AB ＝CD ，∵AE 平分∠BED ，∴AF ＝AB ，∵BC ＝2AB ，∴BC ＝2AF ，∴∠ADF ＝30°，在△AFD 与△DCE 中∵∠C=∠AFD=90°,∠ADF=∠DEC,AF=DC,，∴△AFD ≌△DCE （AAS ），∴△CDE 的面积＝△AFD的面积＝211AF DF AF 222⨯== ∵矩形ABCD 的面积＝AB •BC ＝2AB 2，∴2△ABE 的面积＝矩形ABCD 的面积﹣2△CDE 的面积＝（2AB 2，∴△ABE的面积＝(222AB ,∴ABE CDE S S ==V V 故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AF=AB ．。