三角函数的定义教案

教 学 设 计

课题：《任意角的三角函数》

教学目标：

1.掌握任意角的三角函数的定义；

2.任意角的三角函数和锐角的三角函数的联系和区别；

3.理解角的三角函数值与角终边上点的位置无关；

4.正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域；

5.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值。

教学重点：

1. 任意角的三角函数的定义；

2. 运用任意角的三角函数的定义求函数值。

教学难点：

理解角的三角函数值与角终边上点的位置无关；

教学方法：

1. 情境教学法；

2. 问题驱动教学法。

教学过程：

一、 复习引入

（情境1）前面我们学习了角的概念的推广，通过推广，使角动了起来，同时把角的范围也突破了0度和360度的界限，角可为任意大小。这节课我们要研究的问题是任意角的三角函数。

初中阶段我们学习了锐角的三角函数。

【问题1】在直角三角形中，锐角的三角函数是怎样定义的？（学生回答）

二、 新授知识

【目标一】任意角的三角函数的定义是什么？

【情境二】事实上，锐角的三角函数定义，可以看作是在角的锐角的一边上任取一点，构造一个直角三角形，用直角三角形的边之比来定义。我们可以看出，取的点不同，所构造的三角形的大小也不一样。α的各三角函数值与所构造的三角形的大小有关吗？（无关，由三角形相似的性质可以得到。）

A C

B α sin B

C AB α=cos AC AB α=tan BC AC α=α

【情境三】角的概念推广之后，角可以是任意大小，把角放在直角三角形中定义它的三角函数显然已经达不到要求，必须寻求一种新的方法！前面我跟同学们暗示过：今后在研究任意角的相关时，我们常常把角放在坐标系里进行研究！

【问题2】任意角在坐标系中是如何放置的？（学生回答）

将角的顶点放在原点，始边与x轴正半轴重合。角的终边可能会落在某一象限内，也可能在坐标轴上。出示PPT。我们在角的终边上任取除顶点以外的一点P，则P有一确定的坐标，（x,y），P点到原点的距离也是确定的，

>0。在有意义的前提下这样我们可以得到三组

比值：y

r ，x

r

，y

x

。由相似三角形可以得到这些比值和取的点的位置

无关，比值只和终边的位置有关！

定义：y

r 为α的正弦，sinα=y

r

;

x r 为α的余弦，cosα=x

r

;

y x 为α的正切，tanα=y

x

。

取以上各比值的倒数，又可相应得到α的另外三个三角函数，即：

cscα=1

sinα=r

y

, secα=1

cosα

=r

x

, cotα=1

tanα

=x

y

课本上没有这三个，作为高中生这也是必须了解的，同学们把它写在书上！

这就是任意三角函数的定义，这种定义的方法称为坐标法，希望同学你们记牢固！

【情境四】根据任意角的三角函数的定义，已知角终边上一点

的坐标，就可以求出α的各个三角函数值。PPT 出示例1.

例1. 已知角α的终边经过点P （2，--3），求α的正弦，余弦，

正切值。

解：已知x=2,y=--3，则

sin α=y

r

=

=， cos α=x r

=

= tan α=y

x = 32-。

由此可以知道三角函数是可以出现负数的,并且跟这个角终边所在象限有关系,那么接下来,大家请自由讨论分析,这些三角函数跟他们终边所在象限有什么关系呢?(五分钟后邀请学生展示讨论成果)

【情境五】任意角的三角函数的定义是研究三角函数有关知识的很重要的一项工具。比如，三角函数的定义域。下面我们来研究这个问题！(引导学生小组讨论,并邀请学生到前面分析展示)

据定义，sin α=y r ，cos α=x r 式子中r>0，由分式的分母不等于0知，α为任意角时，式子总有意义，故sin α，cos α的定义域是R 。tan α=y x ,要使式子有意义，x ≠0,

即终边上点的横坐标不为0，想想角的终边不能停留在什么位置？（

y 轴上）终边在y 轴上的角怎么表示？α=,2k k z π

+∈，故tan α的定义域为 α,2k k z π

π≠+∈ 。

通过本课学习，你有哪些收获？(随机对学生访问)

1.任意角的三角函数的定义；

2.任意角的三角函数值与终边上点的位置无关，只与角的大小和终边的位置有

关；

3.正弦函数，余弦函数，正切函数的定义域。

【结束语】用任意角的三角函数的定义可以研究三角函数的许多知识，比如三角函数在各象限内的符号下节课我们将继续学习三角函数在各象限内的符号！

四、布置作业：P104.练习5.3.1、