湖南高考数学文科卷及复习资料
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(湖南卷,含答案)(1)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（湖南卷，含答案）本试题包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页．时量120分钟，满分150分． 参考公式（1）柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高． （2）球的体积公式343V R π=，其中R 为球的半径． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{1,2,3,4,5},{2,4},U U M N M C N ===U I 则N =（ ） A ．{1,2,3} B ．{1,3,5} Ｃ．{1,4,5} Ｄ．{2,3,4} 答案：B２．若,,a b R i ∈为虚数单位，且()a i i b i +=+，则Ａ．1,1a b == Ｂ．1,1a b =-= Ｃ．1,1a b ==- Ｄ．1,1a b =-=- 答案：C３．"1""||1"x x >>是的A ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 答案：A４．设图１是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．942π+ Ｂ．3618π+ Ｃ．9122π+ Ｄ．9182π+ 答案：D5．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由2222()110(40302030)7.8()()()()60506050n ad bc K K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯算得, 附表：参照附表，得到的正确结论是（ ）A ． 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ． 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ． 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ． 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 答案：A6．设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320,x y ±=则a 的值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1答案：C 7．曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（ ）A ．12-B ．12C．答案：B8．已知函数2()1,()43,xf x eg x x x =-=-+-若有()(),f a g b =则b 的取值范围为 A．[22+ B．(22 C ．[1,3] D ．(1,3)答案：B二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题解分，共青团员5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第9，10两题中任选一题作答，如果全做，则按前一题记分） 9．在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2cos (x y ααα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数)．在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为(cos sin )10,ρθθ-+=则1C 与2C 的交点个数为 ． 答案：210．已知某试验范围为[10，90]，若用分数法进行4次优选试验，则第二次试点可以是 ． 答案：40或60（只填一个也正确） (二)必做题（11-16题）11．若执行如图2所示的框图，输入12341,2,4,8,x x x x ====则输出的数等图2于 ． 答案：154解析：由框图功能可知，输出的数等于12341544x x x x x +++==。
高考文科数学试题及参考答案(湖南卷)
汽车维护保养实训----通用班---复习题填空题==================================================================================1、根据汽车不同使用时期的特点，汽车维护保养一般分为：常规性维护保养、季节性维护保养和走合期维护保养。
P32、维护保养作业以清洁、检查、紧固、调整、润滑和补给为主，维护保养范围随着行驶里程的增加逐渐扩大，内容逐渐加深。
P33、汽车常规性维护保养分为日常性维护保养、一级维护保养、二级维护保养三种级别。
P34、一级维护保养的间隔里程为7500-15000km或6个月，以行驶里程或使用时间首先达到者为准。
P55、免维护蓄电池状态指示器一般绿色表示蓄电池正常、无色表示电解液不足需更换、黑色表示蓄电池需要充电。
P1146、一般蓄电池单元格的电解液比重在1.250-1.280之间，要确保其比重偏差低于0.025。
p1157、发动机更换机油后检查液位，应先使发动机预热至少5分钟。
P388、汽车空调系统低压侧的正常压力值为0.15-0.25MPa，高压侧的正常压力值为1.4-1.6MPa。
9、汽车空调系统抽真空的终了压力值为0.1MPa。
p12710、普通火花塞间隙测量应使用火花塞间隙规，一般标准间隙大小为1.0-1.2mm。
p11711、汽车发电机正常工作时输出电压应在12.5-14.5V（DC）范围变化。
12、盘式制动器制动盘厚度应使用螺旋测微计测量。
P10113、检查动力转向液位时，应先转动转向盘数次，使转向液温度达到40-80℃。
P8714、带有动力转向系统的车辆，一般不要使转向盘完全停留在任何一侧超过10秒。
P8715、汽车维护保养中用于轮胎胎面深度的测量仪器是轮胎深度规。
P7716、用于测量冷却液冰点和蓄电池电解液密度的仪器是冰点测量仪。
P4117、维护保养时，驻车制动杆行程应在预定的槽数内，一般为5-8响。
湖南高考数学文科考试(带答案)
A.1+ B.1- C．－1+ Ｄ．－１-
【测量目标】复数代数的四则运算.
【考查方式】复数分数形式的化简．
【参考答案】A
【试题解析】 ,故选A．
2.下列命题中的假命题是()
A． B.
C． D．
【测量目标】函数值域定义域的判断
【考查方式】给出对数函数，三角函数,幂函数和指数函数求函数在某定义域下的值域．
４． 极坐标 和参数方程 (t为参数）所表示的图形分别是（）
A．直线、直线B． 直线、圆C．圆、圆D.圆、直线
【测量目标】极坐标和参数方程的图象
【考查方式】给出两个函数判断函数的图象.
【参考答案】Ｄ
【试题解析】由极坐标方程 可得 表示的是圆;
由参数方程 推得直线 ，故选D.
5． 设抛物线 上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是()
A. 4B．6Ｃ. 8D．12
【测量目标】抛物线的简单几何性质，抛物线的焦点和准线．
【考查方式】给定抛物线和抛物线上点到y轴的距离求点到焦点的距离.
【参考答案】B
【试题解析】易知抛物线的准线方程是 ,由抛物线的定义可知点 到该抛物线焦点的距离就是点 到该抛物线准线的距离，即 ,故选B．
6.若非零向量a,b满足｜ ，则a与b的夹角为()
11．在区间[ １,２]上随即取一个数x，则x [0,1]的概率为．
【测量目标】几何概率的计算
【考查方式】给定一区间,求x出现在一子区间的概率.
【参考答案】
【试题解析】由几何概型得长度比: ．
12.如图是求实数ｘ的绝对值的算法程序框图,则判断框①中可填
【测量目标】选择结构的程序框图．
【考查方式】给定程序框图求判断框中应该填写的内容.
普通高等学校招生全国统一考试湖南卷文科数学试题及解答
2019年一般高等学校招生湖南卷文史类数学试题一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项切合要求的1．函数ylg(11)的定义域为（）xA．x|x0}B．x|x1}C．x|0x1}D．x|x0或1} 2．设直线ax+by+c=0的倾斜角为，且sin+cos=0，则a,b知足（）A．ab1B．ab1C．ab0D．ab0 3．设f1(x)是函数f(x)=x的反函数，则以下不等式中恒建立的是（）A．f1(x)2x1B．f1(x)2x1C．f1(x)2x1D．f1(x)2x14．假如双曲线x2y21上一点P到右焦点的距离为13,那么点P到右准线的距离是（）131213B．13C．55A．D．5135．把正方形ABC D 沿对角线AC折起，当A、B C、D四点为极点的三棱锥体积最大时，直线BD 与平面ABC所成的角的大小为（）A．90°B．60°C．45°D．30°6．某企业甲、乙、丙、丁四个地域分别有150个、120个、180个、150个销售点.企业为了检查产品的状况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项检查为①；在丙地域中有20个特大型销售点，要从中抽取7个检查其收入和售后服务等状况，记这项检查为②.则达成这两项检查宜采纳的抽样方法挨次为（）A．分层抽样法，系统抽样法B．分层抽样法，简单随机抽样法C．系统抽样法，分层抽样法D．简单随机抽样法，分层抽样法7．若f(x)=-x2+2ax与g(x)a在区间[1,2]上都是减函数，则a的值范围是（）x1A．(1,0)(0,1)B．(1,0)(0,1]C．（0，1）D．(0,1]8．已知向量a(cos,sin),向量b(3,1)则|2ab|的最大值，最小值分别是（）A．42,0B．4,42C．16，0D．4，09．若函数2/（）f(x)=x+bx+c的图象的极点在第四象限，则函数f(x)的图象是y y y yo x o x o x o x AB C D10．从正方体的八个极点中任取三个点作为三角形，直角三角形的个数为（）A．56B．52C．48D．4011．农民收入由薪资性收入和其余收入两部分组成.2003年某地域农民人均收入为3150元(其中薪资性收入为1800元，其余收入为1350元),估计该地域自2019年起的5年内，农民的薪资性收入将以每年6%的年增添率增添，其余收入每年增添160元依据以上数据，2008年该地域农民人均收入介于（）A．4200元~4400元B．4400元~4600元C．4600元~4800元D．4800元~5000元12．设会合U={(x,y)|x∈R,y∈R},A={(x,y)|2x-y+m>0},B={(x,y)|x+y-n≤0},那么点P（2，3）A(C U B)的充要条件是（）A．m1,n5B．m1,n5C．m1,n5D．m1,n5二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13．过点P（－1，2）且与曲线y=3x2-4x+2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是__________.14．(x21)9的睁开式中的常数项为___________(用数字作答) x，F是椭圆C：x2x21的焦点，在C上知足PF⊥PF的点P的个数为__________.15．F12841216．若直线y=2a与函数y=|a x-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是_______.三、解答题：本大题共6 小题，共 74分.解答应写出必需的文字说明、证明过程或运算步骤.17．（本小题满分 12分）1已知 tan() 2, 求的值.42sincoscos218．（本小题满分12分）如图，在底面 是菱形的四棱锥 P —ABC Ｄ中，∠ABC=600，PA=AC=a,PB=PD=2a ,点E 是PD 的中点.I ）证明PA ⊥平面ABCD ，PB ∥平面EAC ；（II ）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角 的正切值.PE ADBC19．（本小题满分 12分） 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种部件， 已知甲机床加工的部件是一等品而乙机床加工的部件不是一等品的概率为1 ,乙机床加工的部件是一等品而丙机床加工的部件不142是一等品的概率为,甲、丙两台机床加工的部件都是一等品的概率为.12 9（Ⅰ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工部件是一等品的概率；（Ⅱ）从甲、乙、丙加工的部件中各取一个查验，求起码有一个一等品的概率.20．（本小题满分12分）已知数列{a n}是首项为a且公比q不等于1的等比数列，S n是其前n项的和，a1,2a7,3a4成等差数列. I）证明12S3,S6,S12-S6成等比数列；II）乞降T n=a1+2a4+3a7++na3n-2.21．（本小题满分12分）如图，已知曲线33C1：y=x(x≥0)与曲线C2:y=－2x+3x(x≥0)交于O，A,直线x=t(0<t<1)与曲线C1,C2分别交于B，D.（Ⅰ）写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系式S=f(t);（Ⅱ）议论f(t)的单一性，并求f(t)的最大值.yC1DAC2BxO22．（本小题满分14分）t如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0,m）(m>0)作直线与抛物线交于A,B两点，点Q是点P对于原点的对称点（I）设点P分有向线段AB所成的比为，证明:QP(QAQB)（II）设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.2019年一般高等学校招生湖南卷文史类类数学试题参照答案113．2x －y+4=0 14．8415．216．(0, )17．（本小题满分 12分）2解：由tan(4)1 tan 2,得tan1.1 tan3(1)21sin 2221 12于是costan3coscos22sin coscos 22tan11.2sin1 32318．（Ⅰ）证法一 由于底面ABCD 是菱形，∠ABC=60°，P因此AB=AD=AC= a ， 在△PAB 中，由PA 2+AB 2=2a 2=PB 2 知PA ⊥AB. 同理，PA ⊥AD ，因此PA ⊥平面ABCD.由于PB PD DC CB 2ED DC DAE(ED DA) (ED DC) EA EC.AD因此 PB 、EA 、EC 共面.又PB 平面EAC ，因此PB//平面EAC. 证法二 同证法一得 PA ⊥平面ABCD. 连接BD ，设BD AC=O ，则O 为BD 的中点. 连接OE ，由于E 是PD 的中点，因此 PB//OE. 又PB 平面EAC ，OE 平面EAC ，故PB//平面EAC. （Ⅱ）解 作EG//PA 交AD 于G ，由PA ⊥平面ABCD. 知EG ⊥平面ABCD.作GH ⊥AC 于H ，连接EH ，则EH ⊥AC ，∠EHG 即为二面角平面角.BP的CE又E 是PD 的中点，进而G 是AD 的中点，AEG11 a,GHAGsin603BHa,AGa.224因此tanEG 2 3.GH319．（本小题满分 12分）解：（Ⅰ）设A 、B 、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的部件是一等品的事件P(A B)1 ,P(A) (1 P(B))1 4 ,①4由题设条件有P(B C)1, 即P(B)(1 P(C))1, ②1212P(AC)2. P(A)P(C)2. ③99由①、③得P(B) 19P(C) 代入②得27[P(C)]2－51P(C)+22=0.G DC.8解得P(C) 2 11（舍去）.3 或9将P(C)2 分别代入③、②可得P(A)1,P(B)1.334即甲、乙、丙三台机床各加工的部件是一等品的概率分别是1 , 1 , 2.3 4 3（Ⅱ）记D 为从甲、乙、丙加工的部件中各取一个查验，起码有一个一等品的事件，则P(D)1P(D)1(1P(A))(1P(B))(1 P(C))1 2 3 1 5.34 3 6故从甲、乙、丙加工的部件中各取一个查验，起码有一个一等品的概率为5.620．（Ⅰ）证明由a 1,2a 7,3a 4成等差数列， 得4a 7 a 1 3a 4，即4aq 6 a 3aq 3.变形得(4q 31)(q 3 1)0,因此q 31 或q 3 1（舍去）.4a 1(1 q 6)由S 61 q1q 3 1 .12S 312a 1(1 q 3)12161 qa 1(1 q 12)S12S 6S121 1q1 1 q 6 1q61S 6S 6.a 1(1q 6)161 q得S 6S12S6.因此12S 3 ，S ，S－S 成等比数列.12S 3S 66126（Ⅱ）解：T na 12 a 4 3na 3n2a23 36 na q3(n1).a 7aqaq即T na2(1)a3(1)2an(1)n1a.① ①×(1)得：4441 112 a3(1 3an(1 n1an(1n a44T n4a2(4) 4)4)4)a[1 ( 1)n ]1n 4414n(a(n a.1)a5n)()1 ( )4544因此T n16a(164n)(1)na.25 255421．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由y x 3得交点O 、A 的坐标分别是（0，0），（1，1）.2x 3y3x,f(t)SABOSOBD1|BD||10|1|BD|1(3t 33t),3(t 3222 即f(t)t).(0 t 1).2（Ⅱ）f(t)9t 2 3.令f(t)解得t3.2 23当0t3时,f(t)0,进而f(t)在区间(0, 3)上是增函数；33当3 t 1时,f(t)0,进而f(t)在区间(3,1)上是减函数.33因此当t3 时，f(t)有最大值为f(3) 3.333。
年高考真题试卷(湖南卷)数学(文科)参考答案
年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文史类）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D 2．B 3．A 4．B 5．C 6．D 7．C 8．C 9．D 10．B二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上． 11．22(1)(1)2x y -+-= 12．π613．314．（1）[2)+∞，（2）9215．3π2三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：ππ()cos(2)sin(2)44f x x x =+++πππ2)2)22442x x x =++=+=． （I ）函数()f x 的最小正周期是2ππ2T ==；（II ）当2ππ22πk x k -≤≤，即πππ2k x k -≤≤（k ∈Z ）时，函数()22f x x =是增函数，故函数()f x 的单调递增区间是π[ππ]2k k -，（k ∈Z ）．17．解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A ，“该人参加过计算机培训”为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互，且()0.6P A =，()0.75P B =． （I ）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是1()()()0.40.250.1P P A B P A P B ===⨯=所以该人参加过培训的概率是1110.10.9P -=-=． 解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是2()()0.60.250.40.750.45P P A B P A B =+=⨯+⨯=该人参加过两项培训的概率是3()0.60.750.45P P A B ==⨯=． 所以该人参加过培训的概率是230.450.450.9P P +=+=．（II ）解法一：任选3名下岗人员，3人中只有2人参加过培训的概率是22430.90.10.243P C =⨯⨯=．3人都参加过培训的概率是330.90.729P ==．所以3人中至少有2人参加过培训的概率是450.2430.7290.972P P +=+=． 解法二：任选3名下岗人员，3人中只有1人参加过培训的概率是1230.90.10.027C ⨯⨯=．3人都没有参加过培训的概率是30.10.001=．所以3人中至少有2人参加过培训的概率是10.0270.0010.972--=． 18．解：（I ）在平面β内过点C 作CO PQ ⊥于点O ，连结OB ． 因为αβ⊥，PQ αβ=，所以CO α⊥，又因为CA CB =，所以OA OB =．而45BAO ∠=，所以45ABO ∠=，90AOB ∠=，从而BO PQ ⊥，又CO PQ ⊥， 所以PQ ⊥平面OBC ．因为BC ⊂平面OBC ，故PQ BC ⊥． （II ）解法一：由（I ）知，BO PQ ⊥，又αβ⊥，PQ αβ=，BO α⊂，所以BO β⊥．过点O 作OH AC ⊥于点H ，连结BH ，由三垂线定理知，BH AC ⊥． 故BHO ∠是二面角B AC P --的平面角．由（I ）知，CO α⊥，所以CAO ∠是CA 和平面α所成的角，则30CAO ∠=，不妨设2AC =，则3AO =3sin 302OH AO ==． 在Rt OAB △中，45ABO BAO ∠=∠=，所以3BO AO == 于是在Rt BOH △中，3tan 232BOBHO OH∠===． 故二面角B AC P --的大小为arctan 2．解法二：由（I ）知，OC OA ⊥，OC OB ⊥，OA OB ⊥，故可以O 为原点，分别以直线OB OA OC ，，为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图）． 因为CO a ⊥，所以CAO ∠是CA 和平面α所成的角，则30CAO ∠=．AB CQαβ POH不妨设2AC =，则3AO =1CO =． 在Rt OAB △中，45ABO BAO ∠=∠=， 所以3BO AO == 则相关各点的坐标分别是(000)O ，，，30)B ，，，(03A ，，，(001)C ，，． 所以(33AB =，，，(031)AC =-，，． 设1n {}x y z =，，是平面ABC 的一个法向量，由1100n AB n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得33030x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，取1x =，得1(113)n =，，．易知2(100)n =，，是平面β的一个法向量．设二面角B AC P --的平面角为θ，由图可知，12n n θ=<>，． 所以121215cos ||||51n n n n θ===⨯． 故二面角B AC P --的大小为5arccos19．解：由条件知(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，． （I ）当AB 与x 轴垂直时，可设点A B ，的坐标分别为(22)，，(22)，， 此时(12)(12)1CA CB =-=-，，． 当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±． 代入222x y -=，有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，2122421k x x k +=-，于是212121212(1)(1)(1)(1)(2)(2)CA CB x x y y x x k x x =--+=--+--2221212(1)(21)()41k x x k x x k =+-++++AB C Qα β P Oxyz2222222(1)(42)4(21)4111k k k k k k k +++=-++-- 22(42)411k k =--++=-．综上所述，CA CB 为常数1-．（II ）解法一：设()M x y ，，则(1)CM x y =-，，11(1)CA x y =-，，22(1)CB x y =-，，(10)CO =-，，由CM CA CB CO =++得： 121213x x x y y y -=+-⎧⎨=+⎩，即12122x x x y y y+=+⎧⎨+=⎩，于是AB 的中点坐标为222x y +⎛⎫⎪⎝⎭，． 当AB 不与x 轴垂直时，121222222yy y y x x x x -==+---，即1212()2y y y x x x -=--． 又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22222x y -=，两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(2)()x x x y y y -+=-．将1212()2yy y x x x -=--代入上式，化简得224x y -=． 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，，也满足上述方程． 所以点M 的轨迹方程是224x y -=．解法二：同解法一得12122x x x y y y+=+⎧⎨+=⎩，……………………………………①当AB 不与x 轴垂直时，由（I ） 有212241k x x k +=-．…………………②21212244(4)411k ky y k x x k k k ⎛⎫+=+-=-= ⎪--⎝⎭．………………………③由①②③得22421k x k +=-．…………………………………………………④241ky k =-．……………………………………………………………………⑤当0k ≠时，0y ≠，由④⑤得，2x k y+=，将其代入⑤有 2222244(2)(2)(2)1x y x y y x x yy +⨯+==++--．整理得224x y -=． 当0k =时，点M 的坐标为(20)-，，满足上述方程．当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，，也满足上述方程． 故点M 的轨迹方程是224x y -=．20．解：（I ）当2n ≥时，由已知得22213n n n S S n a --=．因为10n n n a S S -=-≠，所以213n n S S n -+=． …………………………① 于是213(1)n n S S n ++=+． …………………………………………………②由②－①得：163n n a a n ++=+．……………………………………………③ 于是2169n n a a n +++=+．……………………………………………………④ 由④－③得：26n n a a +-=．…………………………………………………⑤ 即数列2{}n n a a +-（2n ≥）是常数数列． （II ）由①有2112S S +=，所以2122a a =-． 由③有1215a a +=，所以332a a =+，而⑤表明：数列2{}k a 和21{}k a +分别是以2a ，3a 为首项，6为公差的等差数列． 所以22(1)6626k a a k k a =+-⨯=-+，213(1)6623k a a k k a +=+-⨯=+-，k ∈N*．由题设知，1187n n b -=⨯．当a 为奇数时，21k a +为奇数，而n b 为偶数，所以n b 不是数列21{}k a +中的项，n b 只可能是数列2{}k a 中的项．若118b =是数列2{}k a 中的第n k 项，由18626k a =-+得036a k =-，取03k =，得3a =，此时26k a k =，由2n k b a =，得11876n k -⨯=，137n k -=⨯∈N*，从而n b 是数列{}n a 中的第167n -⨯项．（注：考生取满足36n a k =-，n k ∈N*的任一奇数，说明n b 是数列{}n a 中的第126723n a-⨯+-项即可） 21．解：（I ）因为函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内分别有一个极值点，所以2()f x x ax b '=++0=在[11)-，，(13]，内分别有一个实根，设两实根为12x x ，（12x x <），则2214x x a b -=-，且2104x x <-≤．于是2044a b <-，20416a b <-≤，且当11x =-，23x =，即2a =-，3b =-时等号成立．故24a b -的最大值是16．（II ）解法一：由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是(1)(1)(1)y f f x '-=-，即21(1)32y a b x a =++--，因为切线l 在点(1())A f x ，处空过()y f x =的图象， 所以21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--在1x =两边附近的函数值异号，则 1x =不是()g x 的极值点．而()g x 321121(1)3232x ax bx a b x a =++-++++，且 22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++．若11a ≠--，则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点．所以11a =--，即2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--． 解法二：同解法一得21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++-- 2133(1)[(1)(2)]322a x x x a =-++-+． 因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象，所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号，于是存在12m m ，（121m m <<）．当11m x <<时，()0g x <，当21x m <<时，()0g x >；或当11m x <<时，()0g x >，当21x m <<时，()0g x <． 设233()1222a a h x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 当11m x <<时，()0h x >，当21x m <<时，()0h x >； 或当11m x <<时，()0h x <，当21x m <<时，()0h x <． 由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点，则3(1)21102ah =⨯++=， 所以2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--．。
湖南文科普通高等学校招生全国统一考试(高考数学试卷)
湖南数学（文史类）一、选择题：本大题共10小题，第小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知U ＝｛2，3，4，5，6，7｝，M ＝｛3，4，5，7｝，N ＝｛2，4，5，6｝，则 A.M ∩N ={4,6}B.M ∪N ＝UC.( U N )∪M ＝UD. ( U N )∩N ＝N【B 】2.“|x －1|＜2”是“x ＜3”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件【A 】3.已知变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥，，，021y x y x 则x +y 是最小值是A.4B.3C.2D.1 【C 】4.函数f (x )=x 2(x ≤0)的反函数是A. f －1(x )=x (x ≥0)B. f －1 (x )= －x (x ≥0)C. f －1(x )=x (x ≤0)D. f －1(x )= x 2(x ≤0)【B 】5.已知直线m 、n 和平面α、β满足m ⊥n ，α⊥β，则 A. n ⊥βB. n ∥β或n βC. n ⊥αD. n ∥α或n α【D 】6.下列不等式成立的是 A.log 32＜log 23＜log 25 B.log 32＜log 25＜log 23 C.log 23＜log 32＜log 25D.log 23＜log 25＜log 32【A 】7.在ΔABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则=•AC AB A.23-B.32-C.32 D.23 【D 】8.某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度要启动的项目，则重点项目A 和一般项目B 至少有一个被选中的不同选法的种数是 A.15B.45C.60D.75【C 】9.长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点在同一个球面上，且AB ＝2，AD ＝3，AA 1＝1，则顶点A 、B 间的球面距离是A.42π B.22πC.π2D.π22【B 】10.若双曲线12222=-by a x (a ＞0，b ＞0)的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是 A.(]2,1B.[)+∞,2C.(]12,1+D.[)+∞+,12【C 】二、填空题：本大题共5小题，第小题5分，共25分.把答案填在横线上. 11.已知向量a =(1,3),b ＝(－2,+∞)，则|a +b |＝ 2 .12.从某地区.则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多 60 人. 13.记(2x +x1)n的展开式中第m 项的系数为b m ，若b 2＝2b 4，则n ＝ 5 . 14.将圆x 2+y 2=1沿x 轴正向平移1个单位后得到圆C ，则圆C 的方程是(x －1)2+y 2＝1；若过点(3，0)的直线l 和圆C 相切，则直线l 的斜率是3333-或.15.设[x ]表示不超过x 的最大整数(如[2]=2,[45]=1),对于给定的n ∈N*,定义)1][()1()1][()1(C +-⋯-+-⋯-=x x x x x n n n xn ，x ∈[1,+∞)，则231C ＝316；当x [2,3)时，函数x 1C 的值域是⎥⎦⎤ ⎝⎛28,318. 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约.甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是21，且面试是否合格互不影响.求：(Ⅰ)至少有1人面试合格的概率： (Ⅱ)没有人签约的概率.解 用A ，B ，C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A ，B ，C 相互独立，且P (A )=P (B )=P (C )=21. (Ⅰ)至少有1人面试合格的概率是1－P (C B A ) ＝1－87)21(1)()()(3===C P B P A P . (Ⅱ)没有人签约的概率为)()()(C B A P C B A P C B A P ++＝)()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++ ＝83)21()21()21(333=++ 17.（本小题满分12分） 已知函数f (x )＝cox 2.sin 2sin 22x xx +- (Ⅰ)求函数f (x )的最小正周期； (Ⅱ)当x 0∈(0,4π)且f (x 0)＝524时，求f (x 0＋6π)的值.解 由题设有f (x )＝cos x ＋sin x =)4sin(2π+x .(Ⅰ)函数f (x )的最小正周期是T ＝2x . (Ⅱ)由f (x 0)＝524得524)4sin(20=+πx ，即sin .54)4(0=+πx 因为x 0∈(0,4π)，所以).2,4(40πππ∈+x从而cos 53)54(1)4(sin 1)4(2020=-=+==+ππx x .于是]6)4sin[(2)46sin(2)4(000πππππ++=++=+x x x f]6sin )4cos(6cos )4[sin(200ππππ+++=x x 102364)21532354(2+=⨯+⨯=18.（本小题满分12分）如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面积ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，P A ⊥底面积ABCD ，P A ＝3. (Ⅰ)证明：平面PBE ⊥平面P AB ； (Ⅱ)求二面角A －BE －P 的大小.解 解法一(Ⅰ)如图年示，连结BD ，由ABCD 是菱形且∠BCD ＝60°知，ΔBCD 是等边三角形.因为E 是CD 的中点，所以BE ⊥CD ，又AB ∥CD ，所以BE ⊥AB .又因为P A ⊥平面ABCD ，BE 平面ABCD ，所以P A ⊥BE .而P A ∩AB ＝A ，因此BE ⊥平面P AB .又BE 平面PBE ，所以平面PBE ⊥平面P AB .(Ⅱ)由(Ⅰ)知，BE ⊥平面P AB ，PB 平面P AB ，所以PB ⊥BE . 又AB ⊥BE ，所以∠PBA 是二面角A －BE －P 的平面角. 在Rt ΔP AB 中，tan ∠PBA ＝3=ABPA，∠PBA ＝60°. 故二面角A －BE －P 的大小是60°.解法二 如图所示，以A 为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,23,23)，D (0,23,21)，P (3,0,0)，E (0,23,1). (Ⅰ)因为)0,23,0(=BE ，平面P AB 的一个法向量是0n ＝(0,1,0)，所以BE 和0n 共线.从而BE ⊥平面P AB .又因为BE 平面BEF ，所以平面PBE ⊥平面P AB .(Ⅱ)易知PB), BE =(0,122,0), 设1n =(x 1,y 1,z 1)是平面PBE的一个法向量，则有1111100,000.x y x y z ⎧+⨯-=⎪⎨⨯++⨯=⎪⎩ 所以y 1=0,x 1z 1.故可取1n而平面ABE 的一个法向量是2n =(0,0,1). 于是，cos ＜1n ,2n ＞＝12121||2n n n n =g g ||.故二面角A-BE-P 的大小是60o.19.(本小题满分13分)已知椭圆的中心在原点，一个焦点是F (2,0)，且两条准线间的距离为λ(λ＞4). (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若存在过点A (1,0)的直线l ,使点F 关于直线l 的对称点在椭圆上，求λ的取值范围.解 （Ⅰ）设椭圆的方程为22221x y a b +=(a ＞b ＞0).由条件知c =2,且22a c=λ,所以a 2=λ,b 2=a 2-c 2=λ-4.故椭圆的方程是221(4).4x y λλλ+=-＞ (Ⅱ)依题意，直线l 的斜率存在且不为0,记为k ,则直线l 的方程是y=k(x-1).设点F (2,0)关于直线l 的对称点为F 2(x 0,y 0),则00002(1),221.2y x k yk x +⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩g 解得02022,12.1x kk y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ 因为点F ′(x 0,y 0)在椭圆上，所以222222()()11 1.4k k k λλ+++=-即λ(λ-4)k 4+2λ(λ-6)k 2+(λ-4)2=0.设k 2=t ,则λ(λ-4)t 2+2λ(λ-6)t +(λ-4)2=0.因为λ＞4,所以2(4)(4)λλλ--＞0.于是，当且仅当23[2(6)]4(4)0,2(6)(4)λλλλλλλλ⎧∆=---≥⎪-⎨-⎪-⎩＞0. (*)上述方程存在实根，即直线l 存在.解(*)得16,34 6.λλ⎧≤⎪⎨⎪⎩＜＜所以4＜λ≤163. 20.(本小题满分13分)数列{a n }满足a 1=0,a 2=2,a n +2=(1+cos 22n π)a n +4sin 22n π,n=1,2,3,…. (Ⅰ)求a 3,a 4,并求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)设S k =a 1+a 3+…+a 24-1,T k =a 2+a 4+…+a 24,W k =*2(),2kkS k N T ∈+ 求使W k ＞1的所有k 的值，并说明理由. 解 (Ⅰ)因为a 1=0,a 2=2,所以a 3=(1+cos 22π)a 1+4sin 22π=a 1+4=4, a 4=(1+cos 2π)a 2+4sin 2π=2a 2=4.一般地,当n =2k -1(k ∈N *)时,a 2k +1=[1+cos 2(21)2k π-]a 2k -1+4sin 2212k π-=a 2k -1+4,即a 2k +1-a 2k -1=4.所以数列{a 2k -1+4}是首项为0、公差为4的等差数列，因此a 2k -1=4(k -1). 当n =2k (k ∈N *)时,a 2k +2=(1+cos 222k π)a 2k +4sin 22k π=2a 2k . 所以数列{a 24}是首项为2、公比为2的等比数列，因此a 2k =2k .故数列{a n }的通项公式为a n =**22(1),21(),2,2().n n k k N n k k N π⎧-=-∈⎪⎨⎪=∈⎩(Ⅱ)由(Ⅰ)知，S k =a 1+a 3+…+a 2k -1=0+4+…+4(k -1)=2k (k -1), T k =a 2+a 4+…+a 24=2+22+…+2k =2k +1-2,W k =112(1)(1).222k k k k S k k k k T ----==+ 于是W 1=0,W 2=1,W 3=32,W 4=32,W 5=54,W 6=1516. 下面证明：当k ≥6时，W k ＜1. 事实上，当k ≥6时，W k +1-W k =1(1)(1)(3)0,222k k kk k k k k k -+---=＜即W k +1＜W k ,又W 0＜1,所以当k ≥6时，W k ＜1.故满足W k ＞1的所有k 的值为3,4,5. 21.(本小题满分13分)已知函数f(x)=14x4+x3-292x+cx有三个极值点.(Ⅰ)证明：-27＜c＜5;(Ⅱ)若存在c,使函数f(x)在区间[a,a+2]上单词递减，求a的取值范围.解(Ⅰ)因为函数f(x)=14x4+x3-92x2+cx有三个极值点，所以f′(x)x3+3x3-9x+c=0有三个互异的实根.设g(x)=x3+3x2-9x+c，则g′(x)=3x2+6x-9=3(x+3)(x-1).当x＜-3时，g′(x)＞0,g(x)在(-∞,-3)上为增函数,当-3＜x＜1时，g′(x) ＜0,g(x)在(-3,1)上为减函数,当x＞1时，g′(x)＞0,g(x)在(1,+ ∞)上为增函数.所以函数g(x)在x=-3时取极大值，在x=1时取极小值.当g(-3) ≤0或g(1) ≥0时，g(x)=0最多只有两个不同实根，因为g(x)=0有三个不同实根，所以g(-3)＞0，且g(1)＜0.即-27+27+27+c＞0，且1+3-9+c＜0,解得c＞-27，且c＜5.故-27＜c＜5.(Ⅱ)由(Ⅰ)的证明可知，当-27＜c＜5时，f(x)有三个极值点，不妨设为x1,x2,x3(x1＜x2＜x3),则f′(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3).所以f(x)的单调递减区间是(-∞，x1],[x2,x3].若f(x)在区间[a,a+2]上单调递减，则[a,a+2]⊂(- ∞,x1],或[a,a+2]⊂[x2,x3].若[a,a+2] ⊂(-∞,x1],则a+2≤x1,由(Ⅰ)知，x1＜-3，于是a＜-5.若[a,a+2] ⊂[x2,x3],则a≥x2,且a+2≤x3.由(Ⅰ)知，-3＜x2＜1.又f′(x)=x3+3x2-9x+c，当c=-27时，f′(x)=(x-3)(x+3)2;当c=5时，f′(x)=(x+5)(x-1)2.因此，当-27＜c＜5时，1＜x3＜3.所以a＜-3，且a+2＜3.即-3＜a＜1.故a＜-5，或-3＜a＜1.反之，当a＜-5，或-3＜a＜1时，总可找到c∈(-27,5),使f(x)在区间[a,a+2]上单调递减.综上所述，a的取值范围是(-∞,-5)⋃(-3,1).。
高考文科数学试题及参考答案(湖南卷)
2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文史类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．不等式2x x >的解集是（ ） A ．(0)-∞，B ．(01)，C ．(1)+∞，D ．(0)(1)-∞+∞，，2．若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ） A ．EF OF OE =+ B ．EF OF OE =- C ．EF OF OE =-+D ．EF OF OE =--3．设2:40p b ac ->（0a ≠），:q 关于x 的方程20ax bx c ++=（0a ≠）有实数，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4．在等比数列{}n a （n ∈N*）中，若11a =，418a =，则该数列的前10项和为（ ） A ．8122-B ．9122-C ．10122-D ．11122-5．在(1)nx +（n ∈N*）的二项展开式中，若只有5x 的系数最大，则n =（ ） A ．8B ．9C ．10D ．116．如图1，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E F ，分别是1AB ，1BC 的中点，则以下结论中不成立．．．的是（ ） A ．EF 与1BB 垂直 B ．EF 与BD 垂直 C ．EF 与CD 异面D ．EF 与11A C 异面7．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图（如图2）．从图中可以看出，该水文 观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是（ ） A ．48M B ．49M C ．50M D ．51MABC1A 1C1D1BDE F8．函数2441()431x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩， ≤，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．设12F F ，分别是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，P 是其右准线上纵坐标为3c （c 为半焦距）的点，且122||||F F F P =，则椭圆的离心率是（ ）A ．312- B ．12C ．512- D ．2210．设集合{123456}M =，，，，，，12k S S S ，，，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b =，，{}j j j S a b =，（i j ≠，{123}i j k ∈、，，，，）， 都有min min j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭，，（min{}x y ，表示两个数x y ，中的较小者），则k 的最大值是（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上．11．圆心为(11)，且与直线4x y +=相切的圆的方程是． 12．在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，3c =，π3C =，则A =． 13．若0a >，2349a =，则23log a =． 频率组距0.5%1% 2% 水位（M ）30 31 32 3348 49 50 51图214．设集合{()||2|0}A x y y x x =-，≥，≥，{()|}B x y y x b =-+，≤，.AB ≠∅（1）b 的取值范围是； （2）若()x y AB ∈，，且2x y +的最大值为9，则b 的值是．15．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积是；设E F ，分别是该正方体的棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF被球O 截得的线段长为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．求： （I ）函数()f x 的最小正周期； （II ）函数()f x 的单调增区间．17．（本小题满分12分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训工程的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．（I ）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；（II ）任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培养的概率． 18．（本小题满分12分） 如图3，已知直二面角PQ αβ--，A PQ ∈，B α∈，C β∈，CA CB =，45BAP ∠=，直线CA 和平面α所成的角为30．（I ）证明BC PQ ⊥；（II ）求二面角B AC P --的大小．ABCQ αβ P19．（本小题满分13分）已知双曲线222x y -=的右焦点为F ，过点F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点， 点C 的坐标是(10)，． （I ）证明CA CB ⋅为常数；（II ）若动点M 满足CM CA CB CO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程． 20．（本小题满分13分）设n S 是数列{}n a （n ∈N*）的前n 项和，1a a =，且22213n n n S n a S -=+，0n a ≠，234n =，，，．（I ）证明：数列2{}n n a a +-（2n ≥）是常数数列；（II ）试找出一个奇数a ，使以18为首项，7为公比的等比数列{}n b （n ∈N*）中的所有项都是数列{}n a 中的项，并指出n b 是数列{}n a 中的第几项．21．（本小题满分13分） 已知函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内各有一个极值点． （I ）求24a b -的最大值；（II ）当248a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ，若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动， 经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式．2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文史类）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D 2．B 3．A 4．B 5．C 6．D 7．C 8．C 9．D 10．B二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上． 11．22(1)(1)2x y -+-= 12．π613．314．（1）[2)+∞，（2）9215．3π，2三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．解：ππ()cos(2)sin(2)44f x x x =+++πππ2sin(2)2sin(2)2cos 2442x x x =++=+=． （I ）函数()f x 的最小正周期是2ππ2T ==；（II ）当2ππ22πk x k -≤≤，即πππ2k x k -≤≤（k ∈Z ）时，函数()2cos 2f x x=是增函数，故函数()f x 的单调递增区间是π[ππ]2k k -，（k ∈Z ）．17．解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A ，“该人参加过计算机 培训”为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互独立，且()0.6P A =，()0.75P B =． （I ）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是1()()()0.40.250.1P P A B P A P B ===⨯=所以该人参加过培训的概率是1110.10.9P -=-=．解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是2()()0.60.250.40.750.45P P A B P A B =+=⨯+⨯=该人参加过两项培训的概率是3()0.60.750.45P P A B ==⨯=． 所以该人参加过培训的概率是230.450.450.9P P +=+=．（II ）解法一：任选3名下岗人员，3人中只有2人参加过培训的概率是22430.90.10.243P C =⨯⨯=．3人都参加过培训的概率是330.90.729P ==．所以3人中至少有2人参加过培训的概率是450.2430.7290.972P P +=+=． 解法二：任选3名下岗人员，3人中只有1人参加过培训的概率是1230.90.10.027C ⨯⨯=．3人都没有参加过培训的概率是30.10.001=．所以3人中至少有2人参加过培训的概率是10.0270.0010.972--=．18．解：（I ）在平面β内过点C 作CO PQ ⊥于点O ，连结OB ． 因为αβ⊥，PQ αβ=，所以CO α⊥，又因为CA CB =，所以OA OB =．而45BAO ∠=，所以45ABO ∠=，90AOB ∠=，从而BO PQ ⊥，又CO PQ ⊥， 所以PQ ⊥平面OBC ．因为BC ⊂平面OBC ，故PQ BC ⊥． （II ）解法一：由（I ）知，BO PQ ⊥，又αβ⊥，PQ αβ=，BO α⊂，所以BO β⊥．过点O 作OH AC ⊥于点H ，连结BH ，由三垂线定理知，BH AC ⊥． 故BHO ∠是二面角B AC P --的平面角．由（I ）知，CO α⊥，所以CAO ∠是CA 和平面α所成的角，则30CAO ∠=，不妨设2AC =，则3AO =，3sin 302OH AO ==． 在Rt OAB △中，45ABO BAO ∠=∠=，所以3BO AO ==，AB CQαβ POH于是在Rt BOH △中，3tan 232BOBHO OH∠===． 故二面角B AC P --的大小为arctan 2．解法二：由（I ）知，OC OA ⊥，OC OB ⊥，OA OB ⊥，故可以O 为原点，分别以直线OB OA OC ，，为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图）． 因为CO a ⊥，所以CAO ∠是CA 和平面α所成的角，则30CAO ∠=． 不妨设2AC =，则3AO =，1CO =． 在Rt OAB △中，45ABO BAO ∠=∠=， 所以3BO AO ==． 则相关各点的坐标分别是(000)O ，，，(300)B ，，，(030)A ，，，(001)C ，，． 所以(330)AB =-，，，(031)AC =-，，． 设1n {}x y z =，，是平面ABC 的一个法向量，由1100n AB n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得33030x y y z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，得1(113)n =，，．易知2(100)n =，，是平面β的一个法向量．设二面角B AC P --的平面角为θ，由图可知，12n n θ=<>，． 所以121215cos 5||||51n n n n θ===⨯．故二面角B AC P --的大小为5arccos 5．19．解：由条件知(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，． （I ）当AB 与x 轴垂直时，可设点A B ，的坐标分别为(22)，，(22)-，， 此时(12)(12)1CA CB =-=-，，． AB C Qα β POxyz当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±． 代入222x y -=，有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，2122421k x x k +=-，于是212121212(1)(1)(1)(1)(2)(2)CA CB x x y y x x k x x =--+=--+--2221212(1)(21)()41k x x k x x k =+-++++2222222(1)(42)4(21)4111k k k k k k k +++=-++-- 22(42)411k k =--++=-．综上所述，CA CB 为常数1-．（II ）解法一：设()M x y ，，则(1)CM x y =-，，11(1)CA x y =-，，22(1)CB x y =-，，(10)CO =-，，由CM CA CB CO =++得： 121213x x x y y y -=+-⎧⎨=+⎩，即12122x x x y y y+=+⎧⎨+=⎩，于是AB 的中点坐标为222x y +⎛⎫⎪⎝⎭，． 当AB 不与x 轴垂直时，121222222yy y y x x x x -==+---，即1212()2y y y x x x -=--． 又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22222x y -=，两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(2)()x x x y y y -+=-．将1212()2yy y x x x -=--代入上式，化简得224x y -=． 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，，也满足上述方程． 所以点M 的轨迹方程是224x y -=．解法二：同解法一得12122x x x y y y+=+⎧⎨+=⎩，……………………………………①当AB 不与x 轴垂直时，由（I ）有212241k x x k +=-．…………………②21212244(4)411k ky y k x x k k k ⎛⎫+=+-=-= ⎪--⎝⎭．………………………③ 由①、②、③得22421k x k +=-． …………………………………………④241ky k =-．……………………………………………………………………⑤ 当0k ≠时，0y ≠，由④、⑤得，2x k y+=，将其代入⑤有 2222244(2)(2)(2)1x y x y y x x yy +⨯+==++--．整理得224x y -=． 当0k =时，点M 的坐标为(20)-，，满足上述方程．当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，，也满足上述方程． 故点M 的轨迹方程是224x y -=．20．解：（I ）当2n ≥时，由已知得22213n n n S S n a --=．因为10n n n a S S -=-≠，所以213n n S S n -+=． …………………………① 于是213(1)n n S S n ++=+． …………………………………………………②由②－①得：163n n a a n ++=+．……………………………………………③ 于是2169n n a a n +++=+．……………………………………………………④ 由④－③得：26n n a a +-=．…………………………………………………⑤即数列2{}n n a a +-（2n ≥）是常数数列． （II ）由①有2112S S +=，所以2122a a =-．由③有1215a a +=，所以332a a =+，而⑤表明：数列2{}k a 和21{}k a +分别是以2a ，3a 为首项，6为公差的等差数列．所以22(1)6626k a a k k a =+-⨯=-+，213(1)6623k a a k k a +=+-⨯=+-，k ∈N*．由题设知，1187n n b -=⨯．当a 为奇数时，21k a +为奇数，而n b 为偶数，所以n b 不是数列21{}k a +中的项，n b 只可能是数列2{}k a 中的项．若118b =是数列2{}k a 中的第0k 项，由18626k a =-+得036a k =-，取03k =，得3a =，此时26k a k =，由2n k b a =，得11876n k -⨯=，137n k -=⨯∈N*，从而n b 是数列{}n a 中的第167n -⨯项．（注：考生取满足036a k =-，0k ∈N*的任一奇数，说明n b 是数列{}n a中的第126723n a-⨯+-项即可）21．解：（I ）因为函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内分别有一个极值点，所以2()f x x ax b '=++0=在[11)-，，(13]，内分别有一个实根，设两实根为12x x ，（12x x <），则2214x x a b -=-，且2104x x <-≤．于是2044a b <-≤，20416a b <-≤，且当11x =-，23x =，即2a =-，3b =- 时等号成立．故24a b -的最大值是16．（II ）解法一：由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是 (1)(1)(1)y f f x '-=-，即21(1)32y a b x a =++--，11 / 11 因为切线l 在点(1())A f x ，处空过()y f x =的图象， 所以21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--在1x =两边附近的函数值异号，则 1x =不是()g x 的极值点．而()g x 321121(1)3232x ax bx a b x a =++-++++，且 22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++． 若11a ≠--，则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点．所以11a =--，即2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--． 解法二：同解法一得21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++-- 2133(1)[(1)(2)]322a x x x a =-++-+． 因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象，所以()g x 在1x =两边附近 的函数值异号，于是存在12m m ，（121m m <<）．当11m x <<时，()0g x <，当21x m <<时，()0g x >；或当11m x <<时，()0g x >，当21x m <<时，()0g x <． 设233()1222a a h x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 当11m x <<时，()0h x >，当21x m <<时，()0h x >；或当11m x <<时，()0h x <，当21x m <<时，()0h x <．由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点，则3(1)2110.2a h '=⨯++= 所以2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--．。
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普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(湖南卷)19．(2013湖南，文19)(本小题满分13分)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1≠0,2a n －a 1＝S 1·S n ，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，并求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{na n }的前n 项和．19．解：(1)令n ＝1，得2a 1－a 1＝a 12，即a 1＝a 12.因为a 1≠0，所以a 1＝1.令n ＝2，得2a 2－1＝S 2＝1＋a 2.解得a 2＝2.当n ≥2时，由2a n －1＝S n,2a n －1－1＝S n －1两式相减得2a n －2a n －1＝a n . 即a n ＝2a n －1.于是数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列．所以，a n ＝2n －1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)由(1)知，na n ＝n ·2n －1.记数列{n ·2n －1}的前n 项和为B n ，于是B n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ×2n －1，①2B n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n .②①－②得－B n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝2n －1－n ·2n .从而B n ＝1＋(n －1)·2n .20．(2013湖南，文20)(本小题满分13分)已知F 1，F 2分别是椭圆E ：25x ＋y 2＝1的左、右焦点，F 1，F 2关于直线x ＋y －2＝0的对称点是圆C 的一条直径的两个端点．(1)求圆C 的方程；(2)设过点F 2的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为a ，b ，当ab 最大时，求直线l 的方程．20．解：(1)由题设知，F 1，F 2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，圆C 的半径为2，圆心为原点O 关于直线x ＋y －2＝0的对称点．设圆心的坐标为(x 0，y 0)，由00001,2022y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩解得002,2.x y =⎧⎨=⎩ 所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4.(2)由题意，可设直线l 的方程为x ＝my ＋2，则圆心到直线l的距离d =所以b ==由222,15x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得(m 2＋5)y 2＋4my －1＝0. 设l 与E 的两个交点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝245m m -+，y 1y 2＝215m -+.于是a =从而ab===m= 故当m ＝±3时，ab 最大，此时，直线l 的方程为x y ＋2或x ＝y ＋2，即x y －2＝0，或x －2＝0.21．(2013湖南，文21)(本小题满分13分)已知函数f (x )＝211x x-+e x . (1)求f (x )的单调区间；(2)证明：当f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)时，x 1＋x 2＜0.21．(2013湖南，文21)(本小题满分13分)已知函数f (x )＝211x x-+e x . (1)求f (x )的单调区间；(2)证明：当f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)时，x 1＋x 2＜0.(1)解：函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)． f ′(x )＝211x x -⎛⎫'⎪+⎝⎭e x ＋211x x -+e x ＝2222211e 11x x x x x x ⎡⎤---+⎢⎥(+)+⎣⎦ ＝222[12]e 1x x x x -(-)+(+). 当x ＜0时，f ′(x )＞0；当x ＞0时，f ′(x )＜0.所以f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)．(2)证明：当x ＜1时，因为211x x-+＞0，e x ＞0， 故f (x )＞0；同理，当x ＞1时，f (x )＜0.当f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)时，不妨设x 1＜x 2，由(1)知x 1∈(－∞，0)，x 2∈(0,1)．下面证明：∀x ∈(0,1)，f (x )＜f (－x )，即证2211e e 11x x x x x x--+<++. 此不等式等价于(1－x )e x －1ex x +＜0. 令g (x )＝(1－x )e x －1e x x +，则 g ′(x )＝－x e －x (e 2x －1)．当x ∈(0,1)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，从而g (x )＜g (0)＝0.即 (1－x )e x －1e xx +＜0. 所以∀x ∈(0,1)，f (x )＜f (－x )．而x 2∈(0,1)，所以f (x 2)＜f (－x 2)，从而f (x 1)＜f (－x 2)．因为x 1，－x 2∈(－∞，0)，f (x )在(－∞，0)上单调递增，所以x 1＜－x 2，即 x 1＋x 2＜0.。
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高考文科数学湖南卷试题与答案word解析版20XX年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(湖南卷)一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(20XX年湖南，文1)复数z＝i(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．(20XX年湖南，文2)“1＜x＜2”是“x＜2”成立的( )．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．(20XX年湖南，文3)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝( )．A．9 B．10 C．12 D．13 4．(20XX年湖南，文4)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于( )．A．4 B．3 C．2 D．1 5．(20XX年湖南，文5)在锐角△ABC 中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin B，则角A等于( )．ππππA．3 B．4 C．6 D．126．(20XX年湖南，文6)函数f(x)＝ln x的图象与函数g(x)＝x－4x＋4的图象的交点个数为( )．A．0 B．1 C．2 D．3 7．(20XX年湖南，文7)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( )．2A．B．1 C．D8．(20XX年湖南，文8)已知a，b是单位向量，ab＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为( )． A1 B1 D29．(20XX年湖南，文9)已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概1AD，则＝( )．2AB11A．2 B．4 C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．率为10．(20XX年湖南，文10)已知集合U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，B＝{2,6,8}，则(UA)∩B＝__________.x 2s 111．(20XX年湖南，文11)在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：(s为参数)和直线l2：y sx at,(t为参数)平行，则常数a的值为__________．y 2t 112．(20XX年湖南，文12)执行如图所示的程序框图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为__________．x 2y 8,13．(20XX年湖南，文13)若变量x，y满足约束条件0 x 4,则x＋y0 y 3,的最大值为__________．x2y214．(20XX年湖南，文14)设F1，F2是双曲线C：2 2 1(a＞0，b＞0)的两个焦点．若在C上存在ab一点P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，则C的离心率为__________．15．(20XX年湖南，文15)对于E＝{a1，a2，，a100}的子集X＝{ai1，ai2，，aik}，定义X的“特征数列”为x1，x2，，x100，其中xi1＝xi2＝＝xik＝1，其余项均为0.例如：子集{a2，a3}的“特征数列”为0,1,1,0,0，，0.(1)子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于__________；(2)若E的子集P的“特征数列”p1，p2，，p100满足p1＝1，pi＋pi＋1＝1,1≤i≤99；E的子集Q的“特征数列”q1，q2，，q100满足q1＝1，qj＋qj＋1＋qj＋2＝1,1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为__________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．π16．(20XX年湖南，文16)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝cos xcos x .32π(1)求f 的值；31(2)求使f(x)＜成立的x的取值集合．417．(20XX年湖南，文17)(本小题满分12分)如图，在直棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝ACAA1＝3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．(1)证明：AD⊥C1E；(2)当异面直线AC，C1E所成的角为60°时，求三棱锥C1－A1B1E的体积．18．(20XX年湖南，文18)(本小题满分12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg) 1米．(1)(2)48 kg的概率．19．(20XX年湖南，文19)(本小题满分13分)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0,2an－a1＝S1Sn，n∈*N.(1)求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；(2)求数列{nan}的前n项和．x2220．(20XX年湖南，文20)(本小题满分13分)已知F1，F2分别是椭圆E：＋y＝1的左、右焦点，F1，F25关于直线x＋y－2＝0的对称点是圆C的一条直径的两个端点．(1)求圆C的方程；(2)设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b，当ab最大时，求直线l的方程．21．(20XX年湖南，文21)(本小题满分13分)已知函数f(x)＝(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，x1＋x2＜0.1 xxe. 1 x220XX年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(湖南卷)数学(文史卷)一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．答案：B解析：z＝i(1＋i)＝i－1＝－1＋i，故选B．2．答案：A解析：∵“1＜x＜2”能推出“x＜2”成立，但“x＜2”不能推出“1＜x＜2”成立，故选A．3．答案：D 解析：抽样比为31 ，所以甲抽取6件，乙抽取4件，丙抽取3件，∴n＝13，故选D．60204．答案：B解析：∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴f(－1)＋g(1)＝2，即－f(1)＋g(1)＝2.① f(1)＋g(－1)＝4，即f(1)＋g(1)＝4.② 由①＋②得g(1)＝3，故选B．5．答案：A解析：∵2asin B，∴2sin Asin BB．∵sin B≠0，∴sin Aπ，2 π∴A＝.故选A．3∵A∈ 0,6．答案：C解析：利用图象知，有两个交点．故选C．7．答案：D解析：如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的俯视图为ABCD，侧视图为BB1D1D正方体的正视图应为AA1C1C．又因AC8．答案：C解析：可利用特殊值法求解．可令a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)．由|c－a－b|＝1，1，∴(x－1)＋(y－1)＝1. |c|即为22，可看成M上的点到原点的距离，∴|c|max＝|OM|＋1＝1.故选C．答案：D解析：如图，设AB＝2x，AD＝2y.由于AB为最大边的概率是11，则P在EF上运动满足条件，且DE＝CF＝x，即AB＝EB或AB＝FA．229222∴2x 4x＝4y＋x，472y272即x＝4y，∴2 .4x16y∴ .x4AD2yy又∵，故选D．AB2xx4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．10．答案：{6,8} 11．答案：4解析：l1的普通方程为：x＝2y＋1，l2的普通方程为：x＝a y 1aa，即x y ，∴a＝4. 22212．答案：9解析：输入a＝1，b＝2，不满足a＞8，故a＝3；a＝3不满足a＞8，故a＝5；a＝5不满足a＞8，故a＝7；a＝7不满足a ＞8，故a＝9，满足a＞8，终止循环．输出a＝9. 13．答案：6 解析：画出可行域，令z＝x＋y，易知z在A(4,2)处取得最大值6.14．1解析：如图所示，∵PF1⊥P F2，∠PF1F2＝30°，可得|PF2|＝c. 由双曲线定义知，|PF1|＝2a＋c，222由|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|得*****4c＝(2a＋c)＋c，即2c－4ac－4a＝0，2即e－2e－2＝0，∴ee 1. 15．答案：(1)2 (2)17解析：(1){a1，a3，a5}的特征数列为1,0,1,0,1,0，，0，∴前3项和为2. (2)根据题意知，P的特征数列为1,0,1,0,1，0，，则P＝{a1，a3，a5，，a99}有50个元素，Q的特征数列为1,0,0,1,0,0,1，，则Q＝{a1，a4，a7，a10，，a100}有34个元素，∴P∩Q＝{a1，a7，a13，，a97}，共有1＋97 1＝17个．6三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解：(1)f2π3cos2π3 cosπ3 ＝cosππ3 cos32＝11 24.(2)f(x)＝cos xcosx π3＝cos x1 cosx x 22＝12cos2x＋2sin xcos x ＝14(1＋cos 2x)＋4sin 2x ＝12cos2x π 13 4. f(x)＜14等价于12cos2x 3 4 4，即cosπ2x 3 0.于是2kπ＋π2＜2x－π3＜2kπ＋3π2，k∈Z.解得kπ＋5π12＜x＜kπ＋11π12，k∈Z.故使f(x)＜1 5π11π4成立的x的取值集合为x|kπ 12 x kπ 12,k Z.17．(1)证明：因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC．①又在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，而AD 平面ABC，所以AD⊥BB1.② 由①，②得AD⊥平面BB1C1C．由点E在棱BB1上运动，得C1E 平面BB1C1C，所以AD⊥C1E.(2)解：因为AC∥A1C1，所以∠A1C1E是异面直线AC，C1E 所成的角，由题设，∠A1C1E＝60°，因为∠B1A1C1＝∠BAC＝90°，所以A1C1⊥A1B1，又AA1⊥A1C1，从而A1C1⊥平面A1ABB1，于是A1C1⊥A1E. 故C1EAC11cos60，又B1C1＝2，所以B1E＝2，从而V1三棱锥C A1B1E＝13S112A1B1EA1C1＝3 2 2 3. 18．解：(1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株．列表如下：所种作物的平均年收获量为51 2 48 4 45 6 42 315102 192 270 126＝15690＝＝46. 15(2)由(1)知，P(Y＝51)＝24，P(Y＝48)＝. 1515242. *****故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg 的概率为P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝19．22解：(1)令n＝1，得2a1－a1＝a1，即a1＝a1. 因为a1≠0，所以a1＝1.令n＝2，得2a2－1＝S2＝1＋a2. 解得a2＝2.当n≥2时，由2an－1＝Sn,2an－1－1＝Sn－1两式相减得2an－2an－1＝an. 即an＝2an－1.于是数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．n－1因此，an＝2.n－1所以数列{an}的通项公式为an＝2.n－1(2)由(1)知，nan＝n2.n－1记数列{n2}的前n项和为Bn，于是Bn＝1＋22＋322＋＋n2n－1，①23n2Bn＝12＋22＋32＋＋n2.② ①－②得2n－1n－Bn＝1＋2＋2＋＋2－n2 nn＝2－1－n2.n从而Bn＝1＋(n－1)2. 20．解：(1)由题设知，F1，F2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，圆C 的半径为2，圆心为原点O关于直线x＋y－2＝0的对称点．y01,x0 2,x设圆心的坐标为(x0，y0)，由0解得y0 2. x0 y0 222所以圆C的方程为(x－2)＋(y－2)＝4.(2)由题意，可设直线l的方程为x＝my＋2，则圆心到直线l 的距离d 所以b22x my 2, 22由x2得(m＋5)y＋4my－1＝0. 2y 1 5设l与E的两个交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＋y2＝4m1，y.1y2＝22m 5m 5于是a从而ab＝，即m故当m3时，ab最大，此时，直线l的方程为x＋2或x＝＋2，即x－2＝0，或x－2＝0.1 xx21．(20XX年湖南，文21)(本小题满分13分)已知函数f(x)＝e.1 x2(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，x1＋x2＜0. (1)解：函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)．1 x x1 xxe e＋22 1 x 1 xx2 2x 11 x xe ＝222 1 x 1 xf′(x)＝x[ x 1 2 2]x＝e. 221 x当x＜0时，f′(x)＞0；当x＞0时，f′(x)＜0.所以f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)．(2)证明：当x＜1时，由于1 xx＞0，e＞0，2故f(x)＞0；同理，当x＞1时，f(x)＜0.当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，不妨设x1＜x2，由(1)知x1∈(－∞，0)，x2∈(0,1)．下面证明：x∈(0,1)，f(x)＜f(－x)，即证1 xx1 x xe e. 221 x1 x此不等式等价于1 x＜0. ex1 xx令g(x)＝(1－x)e－x，则e(1－x)e－xg′(x)＝－xe－x(e2x－1)．当x∈(0,1)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，从而g(x)＜g(0)＝0.即(1－x)e－1 x＜0. ex所以x∈(0,1)，f(x)＜f(－x)．而x2∈(0,1)，所以f(x2)＜f(－x2)，从而f(x1)＜f(－x2)．由于x1，－x2∈(－∞，0)，f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以x1＜－x2，即x1＋x2＜0.。
2020年湖南省高考数学试卷(文科)(新课标Ⅰ)
2020年湖南省高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−3x−4<0}，B={−4,1，3，5}，则A∩B=()A. {−4,1}B. {1,5}C. {3,5}D. {1,3}2.若z=1+2i+i3，则|z|=()A. 0B. 1C. √2D. 23.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A. √5−14B. √5−12C. √5+14D. √5+124.设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为()A. 15B. 25C. 12D. 455.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x i,y i)(i=1,2，…，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是()A. y=a+bxB. y=a+bx2C. y=a+be xD. y=a+blnx6.已知圆x2+y2−6x=0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A. 1B. 2C. 3D. 47.设函数f(x)=cos(ωx+π6)在[−π,π]的图象大致如图，则f(x)的最小正周期为()A. 10π9B. 7π6C. 4π3D. 3π28.设alog34=2，则4−a=()A. 116B. 19C. 18D. 169.执行如图的程序框图，则输出的n=()A. 17B. 19C. 21D. 2310.设{a n}是等比数列，且a1+a2+a3=1，a2+a3+a4=2，则a6+a7+a8=()A. 12B. 24C. 30D. 3211.设F1，F2是双曲线C：x2−y23=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|=2，则△PF1F2的面积为()A. 72B. 3C. 52D. 212.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB=BC=AC=OO1，则球O的表面积为()A. 64πB. 48πC. 36πD. 32π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件{2x+y−2≤0,x−y−1≥0,y+1≥0,则z=x+7y的最大值为______．14.设向量a⃗=(1,−1)，b⃗ =(m+1,2m−4)，若a⃗⊥b⃗ ，则m=______．15.曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______．16.数列{a n}满足a n+2+(−1)n a n=3n−1，前16项和为540，则a1=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级A B C D频数40202020等级A B C D频数28173421(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？18.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°．(1)若a=√3c，b=2√7，求△ABC的面积；(2)若sinA+√3sinC=√22，求C．19.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC=90°．(1)证明：平面PAB⊥平面PAC；(2)设DO=√2，圆锥的侧面积为√3π，求三棱锥P−ABC的体积．20.已知函数f(x)=e x−a(x+2)．(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．21.已知A，B分别为椭圆E：x2a2+y2=1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，AG⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GB⃗⃗⃗⃗⃗ =8.P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．(1)求E的方程；(2)证明：直线CD过定点．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=cosk t,y=sin k t(t为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4ρcosθ−16ρsinθ+3=0．(1)当k=1时，C1是什么曲线？(2)当k=4时，求C1与C2的公共点的直角坐标．23.已知函数f(x)=|3x+1|−2|x−1|．(1)画出y=f(x)的图象；(2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集．答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合A={x|x2−3x−4<0}=(−1,4)，B={−4,1，3，5}，则A∩B={1,3}，故选：D．求解一元二次不等式化简A，再由交集运算得答案．本题考查交集及其运算，考查一元二次不等式的解法，是基础题．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了复数的定义以及复数模的求法，是基础题．根据复数的定义化简原式，并通过模长公式求解即可．【解答】解：z=1+2i+i3=1+2i−i=1+i，∴|z|=√12+12=√2．故选：C．3.【答案】C【解析】解：设正四棱锥的高为h，底面边长为a，侧面三角形底边上的高为ℎ′，则依题意有：{ℎ2=12aℎ′ℎ2=ℎ′2−(a2)2，因此有ℎ′2−(a2)2=12aℎ′⇒4(ℎ′a)2−2(ℎ′a)−1=0⇒ℎ′a=√5+14(负值舍去)；故选：C．先根据正四棱锥的几何性质列出等量关系，进而求解结论．本题主要考查棱锥的几何性质，属于中档题．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查了古典概型概率问题，属于基础题．根据古典概率公式即可求出．【解答】解：O，A，B，C，D中任取3点，共有C53=10，其中共线为A，O，C和B，O，D两种，故取到的3点共线的概率为P=210=15，故选：A．5.【答案】D【解析】解：由散点图可知，在10℃至40℃之间，发芽率y和温度x所对应的点(x,y)在一段对数函数的曲线附近，结合选项可知，y=a+blnx可作为发芽率y和温度x的回归方程类型．故选：D．直接由散点图结合给出的选项得答案．本题考查回归方程，考查学生的读图视图能力，是基础题．6.【答案】B【解析】解：由圆的方程可得圆心坐标C(3,0)，半径r=3；设圆心到直线的距离为d，则过D(1,2)的直线与圆的相交弦长|AB|=2√r2−d2，当d最大时|AB|最小，当直线与CD所在的直线垂直时d最大，这时d=|CD|=√(3−1)2+(2−0)2=2√2，所以最小的弦长|AB|=2√32−(2√2)2=2，故选：B．由相交弦长|AB|和圆的半径r及圆心C到过D(1,2)的直线的距离d之间的勾股关系，求出弦长的最小值，即圆心到直线的距离的最大时，而当直线与CD垂直时d最大，求出d的最大值，进而求出弦长的最小值．本题考查直线与圆相交的相交弦长公式，及圆心到直线的距离的最大时的求法，属于中档题．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查三角函数的图象和性质，主要是函数的周期的求法，运用排除法是迅速解题的关键，属于中档题．由图象观察可得最小正周期小于13π9，大于10π9，排除A，D；再对照选项B，C求得ω，代入f(−4π9)=0计算，即可得到结论．【解答】解：由图象可得最小正周期小于π−(−4π9)=13π9，大于2×(π−4π9)=10π9，排除A，D；由图象可得f(−4π9)=cos(−4π9ω+π6)=0，即为−4π9ω+π6=kπ+π2，k∈Z，(∗)若选B，即有ω=2π7π6=127，由−4π9×127+π6=kπ+π2，可得k不为整数，排除B；若选C，即有ω=2π4π3=32，由−4π9×32+π6=kπ+π2，可得k=−1，成立．故选：C．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查了对数和指数的运算性质，属于基础题．直接根据对数和指数的运算性质即可求出．【解答】解：因为alog34=2，则log34a=2，则4a=32=9则4−a=14 a=19，故选：B．9.【答案】C【解析】解：n=1，S=0，第一次执行循环体后，S=1，不满足退出循环的条件，n=3；第二次执行循环体后，S=4，不满足退出循环的条件，n=5；第三次执行循环体后，S=9，不满足退出循环的条件，n=7；第四次执行循环体后，S=16，不满足退出循环的条件，n=9；第五次执行循环体后，S=25，不满足退出循环的条件，n=11；第六次执行循环体后，S=36，不满足退出循环的条件，n=13；第七次执行循环体后，S=49，不满足退出循环的条件，n=15；第八次执行循环体后，S=64，不满足退出循环的条件，n=17；第九次执行循环体后，S=81，不满足退出循环的条件，n=19；第十次执行循环体后，S=100，不满足退出循环的条件，n=21；第十一次执行循环体后，S=121，满足退出循环的条件，故输出n值为21，故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10.【答案】D【解析】解：{a n}是等比数列，且a1+a2+a3=1，则a2+a3+a4=q(a1+a2+a3)，即q=2，∴a6+a7+a8=q5(a1+a2+a3)=25×1=32，故选：D．根据等比数列的性质即可求出．本题考查了等比数列的性质和通项公式，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：由题意可得a=1，b=√3，c=2，∴|F1F2|=2c=4，∵|OP|=2，∴|OP|=12|F1F2|，∴△PF1F2为直角三角形，∴PF1⊥PF2，∴|PF1|2+|PF2|2=4c2=16，∵||PF1|−|PF2||=2a=2，∴|PF1|2+|PF2|2−2|PF1|⋅|PF2|=4，∴|PF1|⋅|PF2|=6，∴△PF1F2的面积为S=12|PF1|⋅|PF2|=3，故选：B．先判断△PF1F2为直角三角形，再根据双曲线的定义和直角三角形的性质即可求出．本题考查了双曲线的性质，直角三角形的性质，双曲线的定义，三角形的面积，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：由题意可知图形如图：⊙O1的面积为4π，可得O1A=2，则3 2AO1=ABsin60°，32AO1=√32AB，∴AB=BC=AC=OO1=2√3，外接球的半径为：R=√AO12+OO12=4，球O的表面积：4×42×π=64π．故选：A．画出图形，利用已知条件求出OO1，然后求解球的半径，即可求解球的表面积．本题考查球的内接体问题，球的表面积的求法，求解球的半径是解题的关键．13.【答案】1【解析】解：x，y满足约束条件{2x+y−2≤0,x−y−1≥0,y+1≥0,，不等式组表示的平面区域如图所示，由{2x+y−2=0x−y−1=0，可得A(1,0)时，目标函数z=x+7y，可得y=−17x+17z，当直线y=−17x+17z，过点A时，在y轴上截距最大，此时z取得最大值：1+7×0=1．故答案为：1．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．14.【答案】5【解析】解：向量a⃗=(1,−1)，b⃗ =(m+1,2m−4)，若a⃗⊥b⃗ ，则a⃗⋅b⃗ =m+1−(2m−4)=−m+5=0，则m=5，故答案为：5根据向量垂直的条件可得关于m的方程，解之可得结果．本题考查了向量的垂直的条件和向量数量积的运算，属于基础题．15.【答案】y=2x【解析】【分析】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．求得函数y=lnx+x+1的导数，设切点为(m,n)，可得切线的斜率，解方程可得切点，进而得到所求切线的方程．【解答】解：y=lnx+x+1的导数为y′=1x+1，设切点为(m,n)，可得k=1+1m=2，解得m=1，即有切点(1,2)，则切线的方程为y−2=2(x−1)，即y=2x，故答案为：y=2x．16.【答案】7【解析】解：由a n+2+(−1)n a n=3n−1，当n为奇数时，有a n+2−a n=3n−1，可得a n−a n−2=3(n−2)−1，…a3−a1=3⋅1−1，累加可得a n−a1=3[1+3+⋯+(n−2)]−n−12=3⋅[1+(n−2)]⋅n−1 22−n−12=(n−1)(3n−5)4；当n为偶数时，a n+2+a n=3n−1，可得a4+a2=5，a8+a6=17，a12+a10=29，a16+a14=41．可得a2+a4+⋯+a16=92．∴a1+a3+⋯+a15=448．∴8a1+14(0+8+40+96+176+280+408+560)=448，∴8a1=56，即a1=7．故答案为：7．在已知数列递推式中，分别取n为奇数与偶数，可得a n−a n−2=3(n−2)−1与a n+2+a n=3n−1，利用累加法得到n为奇数时a n与a1的关系，求出偶数项的和，然后列式求解a1．本题考查数列递推式，考查等差数列的前n项和，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(1)由表格可得，甲分厂加工出来的一件产品为A级品的频数为40，故频率为40100=0.4，乙分厂加工出来的一件产品为A级品的频数为28，故频率为28100=0.28，故甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率分别是0.4，0.28；(2)由表格可知甲分厂加工四个等级的频率分别为0.4，0.2，0.2，0.2，故其平均利润为(90−25)×0.4+(50−25)×0.2+(20−25)×0.2+(−50−25)×0.2=15(元)；同理乙分厂加工四个等级的频率分别为0.28，0.17，0.34，0.21，故其平均利润为(90−20)×0.28+(50−20)×0.17+(20−20)×0.34+(−50−20)×0.21=10(元)；因为15>10，所以选择甲分厂承接更好．【解析】(1)根据表格数据得到甲乙A级品的频数分别为40，28，即可求得相应频率；(2)根据所给数据分别求出甲乙的平均利润即可．本题考查频率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．18.【答案】解：(1)△ABC中，B=150°，a=√3c，b=2√7，cosB=a2+c2−b22ac =3c2+c2−282√3c2=−√32，∴c=2，a=2√3，∴S△ABC=12acsinB=12⋅2√3⋅2⋅12=√3．(2)sinA+√3sinC=√22，即sin(180°−150°−C)+√3sinC=√22，化简得12cosC+√32sinC=√22，sin(C+30°)=√22，∵0°<C<30°，∴30°<C+30°<60°，∴C+30°=45°，∴C=15°．【解析】(1)根据题意，B=150°，通过余弦定理，即可求得c=2，a=2√3，进而通过三角形面积公式S△ABC=12acsinB=12⋅2√3⋅2⋅12=√3．(2)通过三角形三边和为180°，将A=180°−150°−C代入sinA+√3sinC=√22，根据C的范围，即可求得C=15°．本题主要考查解三角形中余弦定理的应用，结合三角恒等变换中辅助角公式的应用，属于基础题．19.【答案】解：(1)连接OA，OB，OC，△ABC是底面的内接正三角形，所以AB=BC=AC．O是圆锥底面的圆心，所以：OA=OB=OC，所以AP=BP=CP=OA2+OP2=OB2+OP2=OC2+OP2，所以△APB≌△BPC≌△APC，由于∠APC=90°．所以∠APB=∠BPC=90°所以AP⊥BP，CP⊥BP，AP，PC⊂平面APC，由于AP∩CP=P，所以BP⊥平面APC，由于BP⊂平面PAB，所以：平面PAB⊥平面PAC．(2)设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，所以l=√2+r2．由于圆锥的侧面积为√3π，所以π⋅r⋅√2+r2=√3π，整理得(r2+3)(r2−1)=0，解得r=1．所以AB=√1+1−2×1×1×(−12)=√3．由于AP2+BP2=AB2，解得AP=√32则：V P−ABC=13×12×√32×√32×√32=√68．【解析】(1)首先利用三角形的全等的应用求出AP⊥BP，CP⊥BP，进一步求出二面角的平面角为直角，进一步求出结论．(2)利用锥体的体积公式和圆锥的侧面积公式的应用及勾股定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：面面垂直的判定和性质的应用，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．20.【答案】解：由题意，f(x)的定义域为(−∞,+∞)，且f′(x)=e x−a．(1)当a=1时，f′(x)=e x−1，令f′(x)=0，解得x=0．∴当x∈(−∞,0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．∴f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增；(2)①当a≤0时，f′(x)=e x−a>0恒成立，f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，不合题意；②当a>0时，令f′(x)=0，解得x=lna，当x∈(−∞,lna)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(lna,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．∴f(x)的极小值也是最小值为f(lna)=a −a(lna +2)=−a(1+lna)． 又当x →−∞时，f(x)→+∞，当x →+∞时，f(x)→+∞． ∴要使f(x)有两个零点，只要f(lna)<0即可， 则1+lna >0，可得a >1e ．综上，若f(x)有两个零点，则a 的取值范围是(1e ,+∞)．【解析】(1)当a =1时，f′(x)=e x −1，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，再由导函数在各区间段内的符号求得原函数的单调性；(2)当a ≤0时，f′(x)=e x −a >0恒成立，f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，不合题意；当a >0时，利用导数可得函数单调性，得到函数极值，结合题意由极小值小于0即可求得a 的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数求极值，考查利用函数零点的个数求参数的取值范围，是中档题．21.【答案】解：(1)由题设得，A(−a,0)，B(a,0)，G(0,1)，则AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,1)，GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,−1)， 由AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =8得a 2−1=8，即a =3， 所以E 的方程为x 29+y 2=1．(2)设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，P(6,t)，若t ≠0，设直线CD 的方程为x =my +n ，由题可知，−3<n <3，由于直线PA 的方程为y =t 9(x +3)，所以y 1=t9(x 1+3)，同理可得y 2=t3(x 2−3)， 于是有3y 1(x 2−3)=y 2(x 1+3)①． 由于x 229+y 22=1，所以y 22=−(x 2+3)(x 2−3)9，将其代入①式，消去x 2−3，可得27y 1y 2=−(x 1+3)(x 2+3)，即(27+m 2)y 1y 2+m(n +3)(y 1+y 2)+(n +3)2=0②，联立{x =my +n x 29+y 2=1得，(m 2+9)y 2+2mny +n 2−9=0，所以y 1+y 2=−2mnm 2+9，y 1y 2=n 2−9m 2+9，代入②式得(27+m 2)(n 2−9)−2m(n +3)mn +(n +3)2(m 2+9)=0， 解得n =32或−3(因为−3<n <3，所以舍−3)，故直线CD 的方程为x =my +32，即直线CD 过定点(32,0)． 若t =0，则直线CD 的方程为y =0，也过点(32,0)． 综上所述，直线CD 过定点(32,0)．【解析】(1)根据椭圆的几何性质，可写出A 、B 和G 的坐标，再结合平面向量的坐标运算列出关于a 的方程，解之即可；(2)设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，P(6,t)，然后分两类讨论：①t ≠0，设直线CD 的方程为x =my +n ，写出直线PA 和PB 的方程后，消去t 可得3y 1(x 2−3)=y 2(x 1+3)，结合x 229+y 22=1，消去x 2−3，可得(27+m 2)y 1y 2+m(n +3)(y 1+y 2)+(n +3)2=0，然后联立直线CD 和椭圆的方程，消去x ，写出韦达定理，并将其代入上式化简整理得关于m 和n 的恒等式，可解得n =32或−3(舍)，从而得直线CD 过定点(32,0)；②若t =0，则直线CD 的方程为y =0，只需验证直线CD 是否经过点(32,0)即可．本题考查椭圆方程的求法、直线与椭圆的位置关系中的定点问题，涉及分类讨论的思想，有一定的计算量，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于难题．22.【答案】解：(1)当k =1时，曲线C 1的参数方程为{x =costy =sint ，(t 为参数)，消去参数t ，可得x 2+y 2=1，故C 1是以原点为圆心，以1为半径的圆；(2)当k =4时，曲线C 1的参数方程为{x =cos 4ty =sin 4t ，(t 为参数)，两式作差可得x −y =cos 4t −sin 4t =cos 2t −sin 2t =2cos 2t −1， ∴cos 2t =x−y+12，得x =cos 4t =(x−y+12)2， 整理得：(x −y)2−2(x +y)+1=0(0≤x ≤1,0≤y ≤1)．由4ρcosθ−16ρsinθ+3=0，又x =ρcosθ，y =ρsinθ， ∴4x −16y +3=0．联立{(x −y)2−2(x +y)+1=04x −16y +3=0，解得{x =16936y =4936(舍)，或{x =14y =14． ∴C 1与C 2的公共点的直角坐标为(14,14).【解析】(1)当k =1时，曲线C 1的参数方程为{x =costy =sint ，(t 为参数)，利用平方关系消去参数t ，可得x 2+y 2=1，故C 1是以原点为圆心，以1为半径的圆；(2)当k =4时，曲线C 1的参数方程为{x =cos 4ty =sin 4t ，(t 为参数)，消去参数t ，可得(x −y)2−2(x +y)+1=0(0≤x ≤1,0≤y ≤1).由4ρcosθ−16ρsinθ+3=0，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得4x −16y +3=0.联立方程组即可求得C 1与C 2的公共点的直角坐标为(14,14).本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查计算能力，是中档题．23.【答案】解：函数f(x)=|3x +1|−2|x −1|={x +3,(x ≥1)5x −1,(−13≤x <1)−x −3,(x <−13)，图象如图所示(2)由于f(x +1)的图象是函数f(x)的图象向左平移了一个1单位所得，(如图所示)直线y =5x −1向左平移一个单位后表示为y =5(x +1)−1=5x +4， 联立{y =−x −3y =5x +4，解得横坐标为x =−76，∴不等式f(x)>f(x +1)的解集为{x|x <−76}.【解析】(1)将函数零点分段，即可作出图象；(2)由于f(x +1)是函数f(x)向左平移了一个1单位，作出图象可得答案； 本题考查了绝对值函数的解法，分段作出图象是解题的关键．属于基础题．。
高考文科数学试卷答案解析
138] ,
[139,
151],
[152,
153] ,
根据系数抽样方法从中抽取 7 人 ,
得到抽取比例为 ,
所以成绩在区间 [139,
151] 中共有 20 名运动员 ,
抽取人数为 20× =4 ；
故选 B．
点评：本 题考查了茎叶图的认识以及利用系统抽样抽取个体的方法；关键是正确分层
,
明确抽取比例．
8．（ 5 分）（ 2019 ?湖南）设函数
A ．奇 函数 ,
且在（ 0,
函数
f （ x） =ln （ 1+x）﹣ ln（ 1﹣ x）,
则 f（ x）是（
）
1）上是增 B． 奇 函数 ,
且在（ 0,
1）上是减
函数
C． 偶 函数 , 函数
且在（ 0,
1）上是增 D． 偶 函数 , 函数
且在（ 0,
1）上是减
1﹣ 35 号 ,
再用系数抽样方法从中
抽取 7 人 ,
则其中成绩在区间 [139,
151] 上的运动员人数是（
）
A ．3
B．4
C． 5
D．6
分析：对 各数据分层为三个区间 ,
然后根据系数抽样方法从中抽取
取比例为 ,
然后各层按照此比例抽取．
7 人,
得到抽
解答：解 ：由已知 ,
将个数据分为三个层次是 [130,
|=|2 + |=|4+ |． B 为（﹣ 1,
0）时 ,
|4+ |≤7,
即可得出结论．
解答： 解：由题意 ,
AC 为直径 ,
所以 |
|=|2 + |=|4+ |．
高考文数试题及答案(湖南卷)(WORD版)
2008 年一般高等学校招生全国一致考试（湖南卷）文科数学能力测试一．选择题1．已知U 2,3,4,5,6,7 ， M 3,4,5,7 ， N 2,4,5,6 ，则A ．M N 4,6 B.M N UC．(C u N ) M U D. (C u M ) N N2．“x 1 2 ”是“ x 3 ”的A ．充足不用要条件 B. 必需不充足条件C．充足必需条件 D. 既不充足也不用要条件x 1,3．已条变量x, y知足y 2, 则 x y的最小值是x y 0,A ． 4 B.3 C.2 D.14.函数f ( x) x2 (x 0) 的反函数是A. f 1 (x) x (x 0)B. f 1 ( x) x (x 0)C . f 1 ( x) x( x 0) D. f 1 ( x) x2 ( x 0)5.已知直线 m,n 和平面, 知足 m n,m a, ,则A.nB.n // , 或 nC.n D .n // , 或 n6．下边不等式建立的是A ．log32 log 2 3 log 2 5B．log3 2 log 2 5 log 2 3C．log2 3 log 3 2 log 2 5D．log23 log 2 5 log 3 27．在ABC 中，AB=3，AC=2，BC=10 ，则 AB AC3 2A．B．2 32 3C．D．3 28．某市拟从 4 个要点项目和 6 个一般项目中各选 2 个项目作为今年度启动的项目，则要点项目A 和一般项目B 起码有一个被选中的不一样选法种数是A．15 B． 45C．60 D． 759．长方体ABCD A1 B1 C1D1的8个极点在同一个球面上，且AB=2 ，AD= 3，AA1 1，则极点 A 、 B 间的球面距离是2 2A ．B．4 2C． 2 D ． 2 2x2 y 21( a 0, b 0) 的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，10．双曲线2 b 2a则双曲线离心率的取值范围是A．1, 2 B． 2 ,C．1, 2 1 D ． 2 1,二．填空题11．已知向量 a (1, 3) ， b ( 2,0) ，则a b =_____________________.12.从某地域15000 位老人中随机抽取500 人，其生活可否自理的状况以下表所示：男女能178278不可以2321则该地域生活不可以自理的老人中男性比女性约多_____________ 人。
湖南数学高考文科试卷及解答精选文档
湖南数学高考文科试卷及解答精选文档TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8-选择题：本大题共12小题，每小题5分（1）设集合，，则（A ）{1,3} （B ）{3,5} （C ）{5,7} （D ）{1,7} （2）设的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=（A ）－3 （B ）－2 （C ）2 （D ）3（3）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（A ） （B ） （C ）23（D ）（4）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知，，，则b= （A（B（C ）2 （D ）3（5）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34（6）若将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为 {1,3,5,7}A ={|25}B x x =≤≤A B =(12i)(i)a ++131256a =2c =2cos 3A =（A ）y =2sin(2x +π4) （B ）y =2sin(2x +π3) （C ）y =2sin(2x –π4) （D ）y =2sin(2x –π3) （7）如图，学.科网某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π （8）若a>b>0，0<c<1，则（A ）log a c <log b c （B ）log c a <log c b （C ）a c <b c （D ）c a >c b （9）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（A ）（B ）（C ） （D ）（10）平面过正文体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A,,，，则m ，n 所成角的正弦值为（A（B （C （D ）α11//CB D α平面ABCD m α=平面11ABB A n α=平面32313（A ） （B ）（C ）（D ）本卷包括必考题和选考题两部分.第(13) ~ (21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22) ~ (24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a b ，则x =___________（14）已知θ是第四象限角，且sin(θ+)=，则tan(θ–)=___________.（15）设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，若，则圆C 的面积为_________（16）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料。
最新 文科数学高考精选试题(湖南卷)附答案及解析
普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文史类）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出地四个选项中，只有一项是符合题目要求地.1.设集合M={-1，0，1}，N={x|x2=x}，则M∩N=A.{-1，0，1}B.{0，1}C.{1}D.{0} 【答案】B【解析】{}0,1Q M={-1，0，1} ∴M∩N={0，1}N=【点评】本题考查了集合地基本运算，较简单，易得分.先求出{}0,1N=，再利用交集定义得出M∩N.2.复数z=i（i+1）（i为虚数单位）地共轭复数是A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i 【答案】A 【解析】由z=i （i+1）=1i -+，及共轭复数定义得1z i =--. 【点评】本题考查复数代数形式地四则运算及复数地基本概念，考查基本运算能力.先把Z 化成标准地(,)a bi ab R +∈形式，然后由共轭复数定义得出1z i =--.3.命题“若α=4π，则tan α=1”地逆否命题是 A.若α≠4π，则tan α≠1 B. 若α=4π，则tan α≠1C. 若tan α≠1，则α≠4πD. 若tan α≠1，则α=4π 【答案】C【解析】因为“若p ，则q ”地逆否命题为“若p ⌝，π，则tanα=1”地逆否命题是则q⌝”，所以“若α=4π”.“若tanα≠1，则α≠4【点评】本题考查了“若p，则q”形式地命题地逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题地能力.4.某几何体地正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体地俯视图不可能．．．是【答案】D【解析】本题是组合体地三视图问题，由几何体地正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角地三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ，都可能是该几何体地俯视图，Ｄ不可能是该几何体地俯视图，因为它地正视图上面应为如图地矩形.【点评】本题主要考查空间几何体地三视图，考查空间想象能力.是近年来热点题型.5.设某大学地女生体重y（单位：kg）与身高x（单，位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi ）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立地回归方yi程为$y=0.85x-85.71，则下列结论中不正确．．．地是A.y与x具有正地线性相关关系B.回归直线过样本点地中心（x，y）C.若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg【答案】D【解析】由回归方程为$y=0.85x-85.71知y随x地增大而增大，所以y与x具有正地线性相关关系，由最小二乘法建立地回归方程得过程知ˆ()=+=+-=-，所以回归直线过样本点地中心y bx a bx y bx a y bx（x，y），利用回归方程可以预测估计总体，所以D 不正确.【点评】本题组要考查两个变量间地相关性、最小二乘法及正相关、负相关地概念，并且是找不正确地答案，易错.6. 已知双曲线C ：22x a -22y b =1地焦距为10 ，点P （2，1）在C 地渐近线上，则C 地方程为A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220y =1 D.220x -280y =1 【答案】A【解析】设双曲线 C ：22x a -22y b =1地半焦距为c ，则210,5c c ==.又Q C 地渐近线为b y x a =±，点P （2，1）在C 地渐近线上，12b a ∴=g ，即2a b =. 又222ca b=+，a ∴==，∴C 地方程为220x -25y =1.【点评】本题考查双曲线地方程、双曲线地渐近线方程等基础知识，考查了数形结合地思想和基本运算能力，是近年来常考题型.7 . 设 a ＞b ＞1，0c < ，给出下列三个结论：① ca ＞cb ；② ca ＜cb ； ③ log ()log ()baa cbc ->-，其中所有地正确结论地序号是__.A ．① B.① ② C.② ③ D.① ②③ 【答案】D【解析】由不等式及a ＞b ＞1知11a b <，又0c <，所以c a＞c b ，①正确;由指数函数地图像与性质知②正确；由a ＞b ＞1，0c <知11a c b c c ->->->，由对数函数地图像与性质知③正确.【点评】本题考查函数概念与基本初等函数Ⅰ中地指数函数地图像与性质、对数函数地图像与性质，不等关系，考查了数形结合地思想.函数概念与基本初等函数Ⅰ是常考知识点.8 . 在△ABC 中，，BC=2，B =60°，则BC 边上地高等于A ．2 B.2 C.24【答案】B【解析】设AB c =，在△ABC 中，由余弦定理知2222cos AC AB BC AB BC B=+-⋅⋅，即27422cos60cc =+-⨯⨯⨯o，2230,(-3)(1)cc c c --=+即=0.又0, 3.c c >∴=设BC 边上地高等于h ，由三角形面积公式11sin 22ABC S AB BC B BC h ==V g g g ，知1132sin 60222h ⨯⨯⨯=⨯⨯o ，解得2h =.【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式，考查方程思想、运算能力，是历年常考内容. 9. 设定义在R 上地函数f(x)是最小正周期为2π地偶函数，()f x '是f(x)地导函数，当[]0,x π∈时，0＜f(x)＜1；当x ∈（0，π） 且x ≠2π时 ，()()02x f x π'->，则函数y=f(x)-sinx 在[-2π，2π] 上地零点个数为A .2B .4 C.5 D. 8 【答案】Ｂ【解析】由当x ∈（0，π） 且x ≠2π时 ，()()02x f x π'->，知0,()0,()2x f x f x π⎡⎫'∈<⎪⎢⎣⎭时,为减函数；()0,()2x f x f x ππ⎛⎤'∈> ⎥⎝⎦，时,为增函数又[]0,x π∈时，0＜f (x )＜1，在R 上地函数f (x )是最小正周期为2π地偶函数，在同一坐标系中作出sin=和y x =草图像如下，由图知y=f(x)-sinx在[-2π，2 ()y f xπ] 上地零点个数为4个.【点评】本题考查函数地周期性、奇偶性、图像及两个图像地交点问题.二、填空题，本大题共7小题，考生作答6小题.每小题5分共30分，把答案填在答题卡中对应题号后地横线上.（一）选做题，（请考生在第10，，1两题中任选一题作答，如果全做，则按前一题记分）10.在极坐标系中，曲线1C ：sin )1ρθθ+=与曲线2C ：a ρ=(0)a >地一个交点在极轴上，则a =_______.【解析】曲线1C 1y +=，曲线2C 地普通方程是直角坐标方程222x y a +=，因为曲线C 1：sin )1ρθθ+=与曲线C 2：a ρ=(0)a >地一个交点在极轴上，所以1C 与x 轴交点横坐标与a 值相等，由0,2y x ==，知a ＝2.【点评】本题考查直线地极坐标方程、圆地极坐标方程，直线与圆地位置关系，考查转化地思想、方程地思想，考查运算能力；题型年年有，难度适中.把曲线1C 与曲线2C 地极坐标方程都转化为直角坐标方程，求出与x 轴交点，即得.11.某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，实验范围定为29℃~63℃.精确度要求±1℃.用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要最少实验次数为_______.【答案】７【解析】用分数法计算知要最少实验次数为7. 【点评】本题考查优选法中地分数法，考查基本运算能力.(二)必做题（12~16题）12.不等式x2-5x+6≤0地解集为______.【答案】{}23≤≤x x【解析】由x2-5x+6≤0，得(3)(2)0--≤，从而地不等x x式x2-5x+6≤0地解集为{}≤≤.23x x【点评】本题考查一元二次不等式地解法，考查简单地运算能力.13.图2是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数地茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分地方差为_________.08910352图 (注：方差2222121()()()n s x x x x x x n⎡⎤=-+-++-⎣⎦L ，其中x 为x 1，x 2，…，x n 地平均数)【答案】6.8 【解析】1(89101315)115x =++++=， 2222221(811)(911)(1011)(1311)(1511)5s ⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦ 6.8=.【点评】本题考查统计中地茎叶图方差等基础知识，考查分析问题、解决问题地能力.14.如果执行如图3所示地程序框图，输入 4.5x =，则输出地数i = .【答案】4【解析】算法地功能是赋值，通过四次赋值得0.5x =，输出4i =.【点评】本题考查算法流程图，考查分析问题解决问题地能力，平时学习时注意对分析问题能力地培养.15.如图4，在平行四边形ABCD 中 ，AP ⊥BD ，垂足为P ，3AP =且AP AC uu u v u u u v g = .【答案】18【解析】设AC BD O =I ，则2()AC AB BO =+uu u v u u u v u u u v ，AP AC u u u v u u u v g = 2()AP AB BO +=u u u v u u u v u u u v g 22AP AB AP BO +u u u v u u u v u u u v u u u v g g 222()2AP AB AP AP PB AP ==+=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v g 18=.【点评】本题考查平面向量加法地几何运算、平面向量地数量积运算，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.16.对于N n *∈，将n 表示为1101102222k k k k n a a a a --=⨯+⨯++⨯+⨯L ，当i k =时1i a =，当01i k ≤≤-时i a 为0或1，定义nb 如下：在n 地上述表示中，当01,a a ，a 2，…，a k 中等于1地个数为奇数时，b n =1；否则b n =0.（1）b 2+b 4+b 6+b 8=__；（2）记c m 为数列{b n }中第m 个为0地项与第m +1个为0地项之间地项数，则c m 地最大值是___.【答案】（1）3；（2）2.【解析】（1）观察知000112,1,1a a b =⨯==；1010221202,1,0,1a a b =⨯+⨯===；一次类推10331212,0b =⨯+⨯=；21044120202,1b =⨯+⨯+⨯=；21055120212,0b =⨯+⨯+⨯=；2106121202=⨯+⨯+⨯，60b =，781,1b b ==，b 2+b 4+b 6+b 8=３；（2）由（1）知c m 地最大值为２.【点评】本题考查在新环境下地创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题地能力.需要在学习中培养自己动脑地习惯，才可顺利解决此类问题.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）某超市为了解顾客地购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物地100位顾客地相关数据，如下表所示.已知这100位顾客中地一次购物量超过8件地顾客占55％.（Ⅰ）确定x ，y 地值，并估计顾客一次购物地结算时间地平均值；（Ⅱ）求一位顾客一次购物地结算时间不超过．．．2分钟地概率.（将频率视为概率）【解析】（Ⅰ）由已知得251055,35,15,20y x y x y ++=+=∴==，该超市所有顾客一次购物地结算时间组成一个总体，所收集地100位顾客一次购物地结算时间可视为一个容量为100地简单随机样本，顾客一次购物地结算时间地平均值可用样本平均数估计，其估计值为: 115 1.530225 2.520310 1.9100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(分钟).（Ⅱ）记A 为事件“一位顾客一次购物地结算时间不超过2分钟”，123,,A A A 分别表示事件“该顾客一次购物地结算时间为1分钟”， “该顾客一次购物地结算时间为1.5分钟”， “该顾客一次购物地结算时间为2分钟”.将频率视为概率，得123153303251(),(),()10020100101004P A P A P A ======.123123,,,A A A A A A A =Q U U 且是互斥事件，123123()()()()()P A P A A A P A P A P A ∴==++U U 33172010410=++=.故一位顾客一次购物地结算时间不超过2分钟地概率为710.【点评】本题考查概率统计地基础知识，考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中地一次购物量超过8件地顾客占55％，知251010055%,35,y x y ++=⨯+=从而解得,x y ，再用样本估计总体，得出顾客一次购物地结算时间地平均值地估计值；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得一位顾客一次购物地结算时间不超过．．．2分钟地概率. 18.（本小题满分12分） 已知函数()sin()(,0,02f x A x x R πωϕωω=+∈><<地部分图像如图5所示. （Ⅰ）求函数f （x ）地解析式；（Ⅱ）求函数()()()1212g x f x f x ππ=--+地单调递增区间.【解析】（Ⅰ）由题设图像知，周期11522(),21212T T ππππω=-=∴==.因为点5(,0)12π在函数图像上，所以55sin(2)0,sin()0126A ππϕϕ⨯+=+=即.又55450,,=26636πππππϕϕϕπ<<∴<+<+Q 从而，即=6πϕ. 又点0,1（）在函数图像上，所以sin 1,26A A π==，故函数f （x ）地解析式为()2sin(2).6f x x π=+ （Ⅱ）()2sin 22sin 2126126g x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2sin 22sin(2)3x x π=-+12sin 22(sin 22)2x x x =-+sin 22x x=-2sin(2),3x π=-由222,232k x k πππππ-≤-≤+得5,.1212k x k k z ππππ-≤≤+∈()g x ∴地单调递增区间是5,,.1212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【点评】本题主要考查三角函数地图像和性质.第一问结合图形求得周期1152(),1212T πππ=-=从而求得22Tπω==.再利用特殊点在图像上求出,A ϕ，从而求出f （x ）地解析式；第二问运用第一问结论和三角恒等变换及sin()y A x ωϕ=+地单调性求得.19.（本小题满分12分）如图6，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AC ⊥BD. （Ⅰ）证明：BD ⊥PC ；（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD 与平面PAC 所成地角为30°，求四棱锥P-ABCD 地体积.【解析】（Ⅰ）因为,,.⊥⊂⊥平面平面所以PA ABCD BD ABCD PA BD又,,⊥是平面PAC内地两条相较直线，所以BD⊥AC BD PA AC平面PAC，而PC⊂平面PAC，所以BD PC⊥.（Ⅱ）设AC和BD相交于点O，连接PO，由（Ⅰ）知，BD⊥平面PAC，所以DPO∠是直线PD和平面PAC所成地角，从而=o.∠30DPO由BD⊥平面PAC，PO⊂平面PAC，知BD PO⊥.在Rt POD V 中，由DPO ∠30=o，得PD=2OD.因为四边形ABCD 为等腰梯形，AC BD ⊥，所以,AOD BOC V V 均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD 地高为111(42)3,222AD BC +=⨯+=于是梯形ABCD 面积1(42)39.2S =⨯+⨯=在等腰三角形ＡＯＤ中，2,22,2OD AD ==所以22242, 4.PD OD PA PD AD ===-=故四棱锥P ABCD -地体积为11941233V S PA =⨯⨯=⨯⨯=.【点评】本题考查空间直线垂直关系地证明，考查空间角地应用，及几何体体积计算.第一问只要证明BD ⊥平面PAC 即可，第二问由（Ⅰ）知，BD ⊥平面PAC ，所以DPO ∠是直线PD 和平面PAC 所成地角，然后算出梯形地面积和棱锥地高，由13V S PA =⨯⨯算得体积. 20.（本小题满分13分）某公司一下属企业从事某种高科技产品地生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％.预计以后每年资金年增长率与第一年地相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底企业上缴资金后地剩余资金为a n 万元.（Ⅰ）用d 表示a 1，a 2，并写出1n a +与a n 地关系式；（Ⅱ）若公司希望经过m （m ≥3）年使企业地剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d 地值（用m 表示）.【解析】（Ⅰ）由题意得12000(150%)3000a d d =+-=-，2113(150%)2a a d a d =+-=-， 13(150%)2n n n a a d a d +=+-=-.（Ⅱ）由（Ⅰ）得132nn aa d -=-2233()22n a d d -=--233()22n a d d -=--=L12213333()1()()2222n n a d --⎡⎤=-++++⎢⎥⎣⎦L .整理得1133()(3000)2()122n n n a d d --⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦13()(30003)22n d d -=-+.由题意，134000,()(30003)24000,2n nad d -=∴-+=解得13()210001000(32)2332()12n n n n nn d +⎡⎤-⨯⎢⎥-⎣⎦==--.故该企业每年上缴资金d 地值为缴11000(32)32n n n n+--时，经过(3)m m ≥年企业地剩余资金为４０００元.【点评】本题考查递推数列问题在实际问题中地应用，考查运算能力和使用数列知识分析解决实际问题地能力.第一问建立数学模型，得出1n a +与a n 地关系式132n n aa d +=-，第二问，只要把第一问中地132n n aa d +=-迭代，即可以解决. 21.（本小题满分13分）在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为12地椭圆E 地一个焦点为圆C ：x 2+y 2-4x+2=0地圆心. （Ⅰ）求椭圆E 地方程；（Ⅱ）设P 是椭圆E 上一点，过P 作两条斜率之积为12地直线l 1，l 2.当直线l 1，l 2都与圆C 相切时，求P 地坐标. 【解析】（Ⅰ）由22420x y x +-+=，得22(2)2x y -+=.故圆Ｃ地圆心为点(2,0),从而可设椭圆Ｅ地方程为22221(0),x y a b a b +=>>其焦距为2c，由题设知22212,,24,12.2c c e a c b a c a ===∴===-=故椭圆Ｅ地方程为：221.1612x y +=（Ⅱ）设点p 地坐标为0(,)x y ，12,l l 地斜分率分别为12,.k k 则12,l l 地方程分别为1102020:(),:(),l y yk x x l y y k x x -=--=-且121.2k k=由1l与圆22:(2)2c x y -+=相切，得=即 222010020(2)22(2)20.x k x y k y ⎡⎤--+-+-=⎣⎦同理可得222020020(2)22(2)20x k x y k y ⎡⎤--+-+-=⎣⎦.从而12,k k 是方程022000(2)22(2)20x k x y k y ⎡⎤--+-+-=⎣⎦地两个实根，于是202200(2)20,8(2)20,x x y ⎧--≠⎪⎨⎡⎤∆=-+->⎪⎣⎦⎩①且20122222.(2)2y k k x -==--由220020201,161221(2)22x y y x ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪--⎩得2058360.xx --=解得02,x=或010.5x=由02x=-得03;y=±由0185x=得05y=±它们满足①式，故点Ｐ地坐标为(2,3)-，或(2,3)--，或18(5，或18(,5.【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线地位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程，求出,,c a b 即得椭圆E 地方程，第二问设出点P 坐标，利用过P 点地两条直线斜率之积为12，得出关于点P 坐标地一个方程，利用点P 在椭圆上得出另一方程，联立两个方程得点P 坐标. 22.（本小题满分13分） 已知函数f(x)=e x-ax ，其中a ＞0.（1）若对一切x ∈R ，f(x) ≥1恒成立，求a 地取值集合；（2)在函数f(x)地图像上去定点A （x 1， f(x 1)），B(x 2， f(x 2))(x 1<x 2)，记直线AB 地斜率为k ，证明：存在x 0∈（x 1，x 2），使0()f x k '=恒成立. 【解析】解：(),x f x e a '=-令()0ln f x x a '==得.当ln x a <时()0,()f x f x '<单调递减；当ln x a >时()0,()f x f x '>单调递增，故当ln x a =时，()f x 取最小值(ln )ln .f a a a a =- 于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立，当且仅当ln 1a a a -≥. ①令()ln ,g t t t t =-则()ln .g t t '=-当01t <<时，()0,()g t g t '>单调递增；当1t >时，()0,()g t g t '<单调递减.故当1t =时，()g t 取最大值(1)1g =.因此，当且仅当1a =时，①式成立.综上所述，a 地取值集合为{}1. （Ⅱ）由题意知，21212121()().x x f x f x e e k a x x x x --==--- 令2121()(),x x x e e x f x k e x x ϕ-'=-=--则12112121()()1,x x x e x e x x x x ϕ-⎡⎤=----⎣⎦- 21221221()()1.x x x e x e x x x x ϕ-⎡⎤=---⎣⎦-令()1tF t e t =--，则()1t F t e '=-. 当0t <时，()0,()F t F t '<单调递减；当0t >时，()0,()F t F t '>单调递增.故当0t =，()(0)0,F t F >=即10.te t --> 从而2121()10x x e x x ---->，1212()10,x x e x x ---->又1210,x e x x >-2210,x e x x >- 所以1()0,x ϕ<2()0.x ϕ>因为函数()y x ϕ=在区间[]12,x x 上地图像是连续不断地一条曲线，所以存在012(,)x x x ∈使0()0,x ϕ=即0()f x k '=成立. 【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出()f x 取最小值(ln )ln .f a a a a =-对一切x ∈R ，f(x) ≥1恒成立转化为min ()1f x ≥从而得出求a 地取值集合；第二问在假设存在地情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解地问题，通过构造函数，研究这个函数地性质进行分析判断.。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(湖南卷,含答案)(1)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（湖南卷，含答案）本试题包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页．时量120分钟，满分150分． 参考公式（1）柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高． （2）球的体积公式343V R π=，其中R 为球的半径． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{1,2,3,4,5},{2,4},U U M N M C N ===U I 则N =（ ） A ．{1,2,3} B ．{1,3,5} Ｃ．{1,4,5} Ｄ．{2,3,4} 答案：B２．若,,a b R i ∈为虚数单位，且()a i i b i +=+，则Ａ．1,1a b == Ｂ．1,1a b =-= Ｃ．1,1a b ==- Ｄ．1,1a b =-=- 答案：C３．"1""||1"x x >>是的A ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 答案：A４．设图１是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．942π+ Ｂ．3618π+ Ｃ．9122π+ Ｄ．9182π+ 答案：D5．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由2222()110(40302030)7.8()()()()60506050n ad bc K K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯算得, 附表：参照附表，得到的正确结论是（ ）A ． 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ． 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ． 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ． 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 答案：A6．设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320,x y ±=则a 的值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1答案：C 7．曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（ ）A ．12-B ．12C．答案：B8．已知函数2()1,()43,xf x eg x x x =-=-+-若有()(),f a g b =则b 的取值范围为 A．[22+ B．(22 C ．[1,3] D ．(1,3)答案：B二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题解分，共青团员5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第9，10两题中任选一题作答，如果全做，则按前一题记分） 9．在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2cos (x y ααα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数)．在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为(cos sin )10,ρθθ-+=则1C 与2C 的交点个数为 ． 答案：210．已知某试验范围为[10，90]，若用分数法进行4次优选试验，则第二次试点可以是 ． 答案：40或60（只填一个也正确） (二)必做题（11-16题）11．若执行如图2所示的框图，输入12341,2,4,8,x x x x ====则输出的数等图2于 ． 答案：154解析：由框图功能可知，输出的数等于12341544x x x x x +++==。
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2006年湖南高考试卷科目：数学（文史类）（试题卷）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和科目。
2．考生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在草稿纸和本试卷上答题无效。
考生在答题卡上按如下要求答题：（1）选择题部分请用２Ｂ铅笔把应题目的答案标号所在方框涂黑，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹。
（2）非选择题部分（包括填空题和解答题）请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效。
（3）保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁、不折叠。
3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
4. 本试卷共5页。
如缺页，考生须声明，否则后果自负。
姓名准考证号绝密★启用前数 学（文史类）本试题卷他选择题和非选择题（包括填空题和解答题）两部分. 选择题部分1至2页. 非选择题部分3至5页. 时量120分钟. 满分150分. 参考公式: 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P AB P ⋅=如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率是()(1)k k n kn n P k C P P -=-球的体积公式 343V R π=,球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．函数x y 2log =的定义域是A ．(0,1］B . (0,+∞) C. (1,+∞) D . ［1,+∞)2．已知向量),2,1(),,2(==b t a ρρ若1t t =时，a ρ∥b ρ；2t t =时，b a ρρ⊥，则A ．1,421-=-=t tB . 1,421=-=t t C. 1,421-==t t D . 1,421==t t 3. 若5)1(-ax 的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是A ．-2B . 22 C. 34 D . 24．过半径为2的球O 表面上一点A 作球O 的截面，若OA 与该截面所成的角是60°则该截面的面积是A ．πB . 2π C. 3π D . π32 5．“a =1”是“函数a x x f -=)(在区间［1，＋∞）上为增函数”的A ．充分不必要条件B . 必要不充分条件C. 充要条件 D . 既不充分也不必要条件6．在数字1,2，3与符号＋，－五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是A ．6B . 12 C. 18 D . 24 7．圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是A ．36B . 18 C. 26 D . 25 8．设点P 是函数x x f ωsin )(=的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴上的距离的最小值4π，则)(x f 的最小正周期是 A ．2π B . π C. 2π D . 4π 9．过双曲线M ：1222=-hy x 的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且BC AB =，则双曲线M 的离心率是A ．25 B . 310C. 5 D . 10 10. 如图1：OM ∥AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且OB y OA x OP +=，则实数对（x ,y ）可以是A ．)43,41(B . )32,32(-C. )43,41(- D . )57,51(-二．填空题：本大题共5小题，每小题４分，共20分，把答案填在答题上部 对应题号的横上.11. 若数列{}n a 满足：1.2,111===+n a a a n n ，2，3….则=+++n a a a Λ21 . 12. 某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有40人，乙班50人. 现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是 分.13. 已知⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+-≥022011y x y x x 则22y x +的最小值是 .14. 过三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有 条.15. 若)4sin(3)4sin()(ππ-++=x x a x f 是偶函数，则a = .A图1三．解答题：本大题共６小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分１２分）已知),,0(,1cos )cos()22sin(sin 3πθθθπθπθ∈=⋅+--求θ的值.17.（本小题满分１２分） 某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检). 若安检不合格，则必须整改. 若整改后经复查仍不合格，则强制关闭. 设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算(结果精确到0.01)：(Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率； (Ⅱ)某煤矿不被关闭的概率； (Ⅲ)至少关闭一家煤矿的概率.18.（本小题满分１4分） 如图2，已知两个正四棱锥P -ABCD 与Q -ABCD 的高都是2，AB =4. (Ⅰ)证明PQ ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求异面直线AQ 与PB 所成的角； (Ⅲ)求点P 到平面QAD 的距离.BCPAD图219.（本小题满分14分） 已知函数ax ax x f 313)(23-+-=. （Ｉ）讨论函数)(x f 的单调性；（Ⅱ）若曲线)(x f y =上两点A 、B 处的切线都与y 轴垂直，且线段AB 与x 轴有公共点，求实数a 的取值范围.20.（本小题满分14分） 在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1(Λ-+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的逆序数63=a . （Ⅰ）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式；（Ⅱ）令n n n n n a aa ab 11+++=，证明32221+<++<n b b b n n Λ，n =1,2,….21.（本小题满分14分）已知椭圆C 1：13422=+y x ，抛物线C 2：)0(2)(2>=-p px m y ，且C 1、C 2的公共弦AB 过椭圆C 1的右焦点.（Ⅰ）当x AB ⊥轴时，求p 、m 的值，并判断抛物线C 2的焦点是否在直线AB 上；（Ⅱ）若34=p 且抛物线C 2的焦点在直线AB 上，求m 的值及直线AB 的方程.参考答案：1－10：DCDAABCBCDC11.12-n , 12. 85, 13. 5 ,14. 6 ,15. -3 .1．函数x y 2log =的定义域是2log x ≥0，解得x ≥1，选D.2．向量),2,1(),,2(==b t a ρρ若1t t =时，a ρ∥b ρ，∴ 14t =；2t t =时，b a ρρ⊥，21t =-，选C.3．5)1-ax （的展开式中3x 的系数332335()(1)10C ax a x ⋅-=80x 3， 则实数a 的值是2，选D 4．过半径为2的球O 表面上一点A 作球O 的截面，若OA 与该截面所成的角是60°，则截面圆的半径是21R=1，该截面的面积是π，选A. 5．若“1=a ”，则函数||)(a x x f -==|1|x -在区间),1[+∞上为增函数；而若||)(a x x f -=在区间),1[+∞上为增函数，则0≤a ≤1，所以“1=a ”是“函数||)(a x x f -=在区间),1[+∞上为增函数”的充分不必要条件，选A.6．在数字1，2，3与符号“＋”，“－”五个元素的所有全排列中，先排列1，2，3，有336A =种排法，再将“＋”，“－”两个符号插入，有222A =种方法，共有12种方法，选B.7．圆0104422=---+y x y x 的圆心为(2，2)，半径为32，圆心到到直线014=-+y x 的距=2，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R =62，选C.8．设点P 是函数x x f ωsin )(=的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴上的距离的最小值4π，∴ 最小正周期为π，选B. 9．过双曲线1:222=-b y x M 的左顶点A (1，0)作斜率为1的直线l ：y=x －1, 若l 与双曲线M的两条渐近线2220y x b-=分别相交于点1122(,),(,)B x y C x y , 联立方程组代入消元得22(1)210b x x -+-=，∴ 1221222111x x b x x b ⎧+=⎪⎪-⎨⎪⋅=⎪-⎩，x 1+x 2=2x 1x 2，又||||BC AB =,则B 为AC 中点，2x 1=1+x 2，代入解得121412x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴ b 2=9，双曲线M 的离心率e=10c a =，选D.10．如图，OM ∥AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且OB y OA x OP +=，由图知，x<0，当x=－41时，即OC u u u r =－41OA u u ur ，P 点在线段DE 上，CD uuu r =41OB uuu r ，CE u u u r =45OB uuu r ，而41<43<45，∴ 选C.二．填空题：11.12-n ； 12. 85； 13. 5 ； 14. 6 ； 15. －3 .11．数列{}n a 满足：111,2, 1n n a a a n +===，2，3…，该数列为公比为2的等比数列，∴=+++n a a a Λ21212121n n -=--. 12．某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有40人，乙班50人. 现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是409050818590⨯+⨯=分.13．已知⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+-≥022011y x y x x ，如图画出可行域，得交点A(1，2)，B(3，4)，则22y x +的最小值是5.14．过三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有6条。