总人口在变化的流行病动力学模型

ΧY , 染病者在单位时间内因病死亡的比例为 Α, 即因病死亡率为 ΑY , 恢复者类在单位时间内尚失免疫的
比例为 ∆, 即恢复者类失去免疫率为 ∆Z , 这些项在微分方程里都是线性项. 当总人口在变化时, 总人口
N (t) 一般满足连续动力学模型
Nα( t) = B (N ) - D (N )
这 里 B (N ) 和 D (N ) 是 N 的连续函数, 他们取不同的表达形式反映不同的人口动力学情况. 如取
传染的病人总数为
ΒC (N
)X N
Y
即传染率.
C (N ) 通常有 4 种不同的形式.
第 1 种形式为 C (N ) = N , 总
人口数量不大时它是适合的. 此时的传染率为 ΒX Y , 我们称之为双线性传染率. 第 2 种形式为 C (N ) =
常数, 它适用于性病中的性伙伴的接触情形, 记 Κ= ΒC (N ) , 此时的传染率为 ΚYNX , 称之为标准传染率.
2001 年 第 22 卷 第 4 期
华 北 工 学 院 学 报
(总第 78 期)
JO URNAL O F NO RTH CH INA INST ITUTE O F TECHNOLO GY
V o l. 22 N o. 4 2001 (Sum N o. 78)
文章编号: 100625431 (2001) 0420262210
的, 若没有因病死亡或恢复率 ∆ 为零时, 地方病平衡点是全局渐近稳定的. 上述结论的实际含义是: 当 Ρ
≤1 时,
疾病消失,
种群的规模趋向于环境容纳量的水平
A d
;
当 Ρ>
1 时,
疾病持续,
种群的规模趋向于
比A
d
小的水平 N
e<
A d
.
从该结论可以看出基本再生数 Ρ 也是衡量无病平衡点是否稳定的一个阈值参
项,
我们称之为传染率,
它的一般形式为
ΒC (N
)X N
Y.
这里 ΒC (N ) 被称之为接触数 (每次接触必传染) 即
单位时间内一个染病者与他人接触的次数 C (N ) 乘以每次接触被传染的概率 Β.
X N
是易感者在总人口中
所占的比例,
ΒC
(N
)X N
是一个染病者在单位时间内传染病人的平均数量,
从而在单位时间内所有染病者
1+ bN + 1+ 2bN
子运动, 易感者和染病者接触是一个随机碰撞, 显然当 N 很小时, C (N )～ bN , 当 N 很大时, C (N )～
1, 我们也称饱和传染率, 关于该类型的详细讨论见文献[ 5 ].
在流行病模型里, 一般设染病者在单位时间内恢复到恢复者类的比例 Χ, 因而染病者的恢复率为
264
华 北 工Fra Baidu bibliotek学 院 学 报
2001 年第 4 期
其微分方程为
X ′= A - dX - ΒX Y + ∆Z
Y ′= ΒX Y - (Χ+ Α+ d ) Y
Z ′= ΧY - (∆ + d ) Z
(1)
N ′= A - dN - ΑY
因为 N = X + Y + Z , 因此式 (1) 的最后一个方程是多余的. 在给出该模型的一些基本结论之前介绍流行
病模型里的一个重要阈值参数即基本再生数: 在全部是易感者的人口中, 进入一个染病者, 该患者在他
(她) 的病程内传染的病人数称之为基本再生数. 在该模型中, 当第一个患者进入该人口群体时, 人口处
于平衡状态且全部是易感者,
其数量为 A
d
,
因此该患者在单位时间内传染的人数为
Β
A d
.
从式 (1) 的第
Ξ 收稿日期: 2001205222 基金项目: 国家自然科学基金资助项目, 山西省青年基金资助项目.
(总第 78 期)
总人口在变化的流行病动力学模型 (马知恩等)
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和 Z ( t) , 则三者之和等于总人口 N ( t). 即 X (t) + Y ( t) + Z (t) = N (t). 流行病模型里有一个非常重要的
模型. 取 B (N ) = bN - (b- d ) N 2, D (N ) = dN + (b- d ) N 2, 则相应的人口动力学模型称之为满足
L og istic 方程的人口动力学模型. 在流行病中, 若考虑到因病死亡, 则相应的人口动力学方程变为 Nα( t) = B (N ) - D (N ) - ΑY
ΒA d (Χ+ Α+
d)
小.
因而从控制疾病的角度出发, 符合模型 (2) 的流行病要比符合模
型 (1) 的流行病更容易控制.
(3) 具有指数出生和死亡, 传染率是标准的且无垂直传染的 S IR S 模型
bN
ΚX Y N
X
Y
dX
(Α+ d) Y
ΧY Z
dZ
∆Z X
dX
其微分方程为
X ′= bN - d X - ΚXNY + ∆Z
二个方程可知染病者的病程为 Χ+
1 Α+
d,
因此该模型的基本再生数为
Ρ=
ΒA d (Χ+ Α+
d)
基本再生数 Ρ 不仅可以从实际意义看出, 而且也可以从方程 (1) 的正平衡点存在与否得出. 即当 Ρ> 1
时存在正平衡点 E e= (X e, Y e, Z e) 存在, 这里
X e = (Χ+ Α+ d ) Β, Y e = (A - dX e) [ Α+ d + d Χ (∆ + d ) ], Z e = ΧY e (∆ + d )
第 3 种形式为 C (N ) =
N k 1+ k 2N
,
它反映了当人口数量 N
不很多时接触数与 N
近似成正比,
然后随着 N
的增加而逐渐饱和为一个常数,
此时传染率为
Β
k
N 1+ k
2N
·X Y
N
=
Β
X k1+
Y k 2N
,
称之为饱和传染率.
第4种
形式为 C (N ) =
bN
, 它反映了易感者和染病者的随机混合, 即把易感者和染病者看作分
关键词: 流行病模型; 稳定性; 阈值; 种群动力学 中图分类号: O 175. 13 文献标识码: A
0 引 言
关 于传染病传播的数学模型的研究是从 En′ko (1889) 开始的, 作为奠基性的工作是 1927 年 Kerm a rk 和 M ekend rick 的工作. 他们将总人口分为易感者 (S)、染病者 ( I) 和恢复者 (R ) 三类, 利用动 力学的方法建立了 S IR 传染病模型, 并对其传播规律和流行趋势进行了研究, 提出了阈值理论: 若种群 中易感者的数量高于阈值, 传染病将维持; 低于阈值, 传染病将趋向绝灭. 近 20 年来, 国际上传染病动 力学的研究进展迅速, 大量的数学模型被用于分析各种各样的传染病问题. 这些数学模型大多是适用于 各 种 传 染 病 的 一 般 规 律 的 研 究, 也 有 部 分 是 针 对 诸 如 麻 疹 (m ea sles)、 疟 疾 (m a la ria )、 肺 结 核 ( tubercu lo sis) 、流感 (influenza)、天花 ( sm a llpox)、淋病 (gono rrhea)、爱滋病 (A ID S) 等诸多具体疾病 的模型. 从传染病的传播机理来看, 这些模型涉及接触传染、垂直传染、媒介传染等不同传染方式以及是 否考虑因病死亡, 因病或预防接种而获得暂时免疫或终身免疫, 种群生长的不同动力学规律等因素构成 了丰富多彩的传染病动力学模型.
2 总人口在变化的流行病模型研究进展
下面给出了一些总人口在变化的流行病模型研究进展, 研究的类型有的是 S IR S, 有 SE IR 模型等, 而且这些模型中都包含因病死亡.
(1) 具有常数迁入和传染率是双线性的 S IR S 模型[2]
A X
dX
ΒX Y Y
(Α+ d) Y
ΧY Z
dZ
∆Z X
dX
(2)
Z ′= ΧY - (∆ + d ) Z
N ′= A - dN - ΑY
因为 N = X + Y + Z , 因此 (2) 的最后一个方程是多余的. 所得结论与前面模型的结论完全一致, 即当 Ρ
≤1 时,
疾病消失,
种群的规模趋向于环境容纳量
A d
;
当 Ρ>
1 时, 疾病持续,
种群的规模趋向于比 A
有了以上的分析就可以根据不同的传染率, 不同的人口动力学以及有无因病死亡等因素建立不同的流行
病模型. 如具有指数出生和死亡, 传染率是双线性且无垂直传染有因病死亡的 S IR S 模型为
X ′= bN - dX - ΒX Y + ∆Z
Y ′= ΒX Y - (Χ+ Α+ d ) Y
Z ′= ΧY - (∆ + d ) Z
1 S IR S 类模型及一些基本概念
在流行病模型里, 一般把总人口 N 分为易感者类 S, 染病者类 I 和恢复者类 R. 一个 S IR S 类模型, 它表示易感者被染病者传染成为染病者个体, 染病者具有免疫后从感染者类移出变为恢复者. 恢复者渐 渐失去免疫力后又变为易感者类. 假设在 t 时刻易感者类、染病者类和移出者类数量分别为 X ( t) , Y ( t)
Y ′= ΚXNY - (Χ+ Α+ d ) Y
(3)
Z ′= ΧY - (∆ + d ) Z
这里总人口满足下列方程
dN dt
=
(b -
d )N ( t) -
ΑY , N (0) = N 0
b 是出生率, d 是死亡率, r= b- d 是内禀增长率. 该模型由于是指数出生和死亡, 所以它不论在数学上
总人口在变化的流行病动力学模型
Ξ
马知恩1, 靳 祯2
(1. 西安交通大学 应用数学系, 陕西 西安, 710049; 2. 华北工学院 理学系, 山西 太原, 030051) 摘 要: 目的 综述总人口在变化的流行病模型研究进展. 方法 检索分析国内外相关资料. 结果 重点 介绍在移民或出生以及死亡率不相等的情况下给出决定疾病绝灭或形成地方病、种群规模是绝灭、保持有 限或无穷的阈值, 在总人口变化且满足修正的 logistic 方程的情况下也给出了相应的阈值. 结论 指出了总 人口在变化的流行病模型的研究方法.
数. 这里必须指出当 Ρ> 1 时, 地方病平衡点的全局渐近稳定性还没有彻底证明.
(2) 具有常数迁入和标准传染率的 S IR S 模型
A
ΚX Y N
X
Y
dX
(Α+ d) Y
ΧY Z
dZ
∆Z X
dX
其微分方程为
X ′= A - dX - ΚXNY + ∆Z
Y ′= ΚXNY - (Χ+ Α+ d ) Y
N e= Xe+
Ye +
Ze =
A
+
AΧ ∆+ d
+
ΑX e
Α+
d+
dΧ ∆+ d
Ρ≤1 时正平衡点 E e不存在.
注意方程
(1)
始终存在无病平衡点 E 0=
(A d
,
0,
0).
文[ 2 ]证明了:
当 Ρ≤1
时, 无病平衡点是全局渐近稳定的; 当 Ρ> 1 时, 无病平衡点是不稳定的, 地方病平衡点是局部渐近稳定
B (N ) = bN , D (N ) = dN , 它表示人口的出生和死亡都与人口的数量成正比, 比例系数分别为 b 和 d. 此
时相应的人口动力学模型称之为指数出生和死亡模型. 如取 B (N ) = A , D (N ) = dN , 它表示人口中有一
个常数移民率 A 和一个与人口成正比的死亡率 dN , 相应的人口动力学模型称之为常数移民和指数死亡
早期的传染病模型大多假设种群总数为常数或者渐近常数, 在某些条件下是合理的, 如: 疾病在种 群中传播速度很快且在短期内没有出生和死亡或出生率和死亡率能够相互平衡、环境封闭等. 但在实际 问题中, 不论是动物还是植物的数量总是随着外界扰动 (如: 种内或种间的相互作用、资源的限制、迁入 和迁出不相等、疾病传播而产生额外死亡等) 而发生波动. 因此, 假设总人口大小为常数是不合理的, 需 要研究总人口具有种群动力学的流行病模型. 关于这类模型已被 A nderson and M ay (1979) [1]在实验室 所验证, M cN eill (1976) 也研究疾病对人类总人口的影响. 从数学上看, 这类模型的研究更加困难, 因 为总人口的变化增加了方程的维数.
d
小
的水平 N
e<
A d
.
其平衡点的稳定性也与前面的模型完全一样.
但由于该模型的接触数是常数, 而模型
(1)
的接触数是与总人口成正比,
因而当 A
d
比较大时会导致该模型的基本再生数 Ρ=
Κ Χ+ Α+ d
要比模型
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总人口在变化的流行病动力学模型 (马知恩等)
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(1)
的基本再生数
Ρ=
还是在实际意义上都与模型 (2) 有很大的不同. 从数学上看, 模型 (3) 的右端的向量场是奇次的, 而模
型 (2) 不是, 模型 (2) 有有界的正向不变集, 而模型 (3) 没有有界的正向不变集. 从实际意义上看, 满