数学建模-传染病模型-(1)
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第五章微分方程模型如果象的某特性是随（或空）化的，那么分析它的化律，它的未来性，通常要建立此象的模型，就是微分方程模型.§1传染病模型建立染病的数学模型来描述染病的播程，分析受感染人数的化律，染病高潮的到来等，一直是各国有关家和官关注的.考某地区的染病的染情况，地区人口数N ，既不考生死，也不考迁移，以天量位.一. SI模型假条件：1.人群分易感染者 ( Susceptible ) 和已感染者 ( Infective ) 两人，称健康人和病人，在刻t 两人在人数中所占比例分作s t 和 i t .2. 每个病人每天有效接触的平均人数是( 常数 ) ，称日接触率，当病人与健康人有效接触，使健康者受感染病人.建立描述 i t化的数学模型 .解：s t i t1s t N i t N N由假 2 知，每个病人每天可使s t 个健康者病人，又由于病人数N i t ，每天共有s t N i t个健康人被感染 .于是N si 就是病人数 N i的增加率，即有N di N si ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(1)dtdi1.si 而s i又记初始时刻 ( t0 ) 病人的比例为 i 0 ，则dii 1idti 0 i 0这就是 Logistic模型，其解为i t1 111 e ti 0［结果分析］作出 i t ~ t 和di~ i 的图形如下：dtdi idtdi 1 dt m2t mt1i21. 当 i1 时， di取到最大值 di ，此时刻为2 dtdtmt m1ln 11i 02. 当 t时， i 1即所有人终将被传染，全变为病人（这是不实际的）.二 . SIS 模 型在前面假设 1、2 之下，再考虑病人可以医治，并且有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，此模型称SIS 模型 .假设 1、 2 同 SI 模型，增加假设:3. 病人每天被治愈的人数占病人总数的比例为，称为日治愈率. 病人治愈后成为易感染者（健康人）. 显然1是这种传染病的平均传染期.解：在假设1、2、 3 之下，模型（ 1）修正为N diN iNsidtdiii 1 i于是dti 0i0解得1i 0 i t11e－1t,t,i 0［结果分析］1. 令.＝注意到和 1的含义，可知是一个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数 .111i1i i11i 01111 i00t0t当1，病人比例i t越来越小，最于零.1，i t的增减性取决于i0的大小，其极限 i 1当1.3. SI 模型是 SIS 模型中0 的情形.三 . SIR模型大多数染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很的免疫力，所以病愈的人既非健康者, 也非病人 , 他已退出染系，此模型的假1. 人群分健康者、病人和病愈免疫的移出者三，称SIR 模型 . 三人在人数N 中占的比例分作s i 、 i t和 r t .1. 病人的日接解率，日治愈率（与 SIS模型相同），染期接触数＝.解：由假1，有s t i t r t1ds di dr0 dt dt dt由假2，得N drN idisi N i N dtNdtdridt又 s 0s0 , i 0i0 , r 00 disi idt于是disi idtdssi⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2) dti 0i0 , s 0s0我在相平面上来解的性.精选文库相的定域D s, i s0, i0,s i 1由 (2) 式消去dt，得di11ds s里i s s0i 0解得 i s0i 0- s 1 ln s⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(3)s0在定域 D 内，(3)式表示的曲即相.。
数学建模传染病模型例题
数学建模传染病模型例题（最新版）目录一、引言二、数学建模传染病模型的基本概念1.SEIR 模型2.SIS 模型3.SIR 模型三、数学建模传染病模型的例题1.模型假设2.模型建立3.模型求解四、结论正文一、引言随着全球化的发展，传染病的传播越来越引起人们的关注。
为了更好地预测和控制传染病的传播，数学建模传染病模型被广泛应用。
本文将以数学建模传染病模型为例，介绍相关的模型概念和例题。
二、数学建模传染病模型的基本概念（1）SEIR 模型SEIR 模型是传染病数学模型中最基本的模型之一，它将人群分为四类：易感者 (Susceptibles)、暴露者 (Exposed)、感染者 (Infectives) 和抵抗者 (Resistances)。
该模型假设人群数量不变，感染者会以一定的速率传染给易感者，同时易感者会以一定的速率转变为暴露者，暴露者在一定时间后转为感染者，感染者又会在一定时间后转为抵抗者。
（2）SIS 模型SIS 模型是 SEIR 模型的一种特殊形式，它将人群分为易感者(Susceptibles)、感染者 (Infectives) 和恢复者 (Recovered) 三类。
该模型假设易感者与感染者的接触会导致疾病传播，感染者会在一定时间后恢复为易感者，恢复者则具有免疫力。
（3）SIR 模型SIR 模型是另一种常见的传染病数学模型，它将人群分为易感者(Susceptibles)、感染者 (Infectives) 和恢复者 (Recovered) 三类。
与 SIS 模型不同的是，SIR 模型假设感染者会以一定的速率恢复为易感者，而恢复者则具有免疫力。
SIR 模型适用于短期传染病，例如流感。
三、数学建模传染病模型的例题假设某个地区有 10000 人，其中易感者占 80%，感染率为 0.01，恢复率为 0.9。
我们需要建立一个数学模型来预测疾病传播的过程。
（1）模型假设我们假设疾病传播满足 SEIR 模型，人群分为易感者、暴露者、感染者和恢复者四类。
数学建模-传染病模型-(1)
模型1
在这个最简单的模型中，设时刻t的病人人数x(t)是连续、可微函数，
方程（1）的解为
结果表明，随着t的增加，病人人数x(t)无限增长，这显然是不符合实际的。
群体免疫和预防：
根据对SIR模型的分析,当 时传染病不会蔓延.所以为制止蔓延,除了提高卫生和医疗水平,使阈值1/σ变大以外,另一个途径是降低 ,这可以通过比如预防接种使群体免疫的办法做到.
忽略病人比例的初始值 有 ,于是传染病不会蔓延的条件 可以表为
这就是说，只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例（即免疫比例）就可以制止传染病的蔓延。
传染病模型
医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。
社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。
一般把传染病流行范围内的人群分成三类：S类，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；I类，感病者(Infective)，指染上传染病的人，它可以传播给S类成员；R类，移出者(Removal)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。
3 单位时间内病愈免疫的人数与但是的病人人数成正比，比例系数l。称为恢复系数。
在以上三个基本假设条件下，易感染者从患病到移出的过程框图表示如下：
模型结构
在假设1中显然有：
s(t) + i(t) + r(t) = 1（1）
数学建模传染病模型例题
数学建模传染病模型例题一、传染病模型简介传染病模型是数学建模的一个重要分支，主要用于描述传染病在人群中的传播规律。
通过构建合适的数学模型，可以研究传染病的传播动力学、预测疫情发展趋势以及评估防控措施的效果。
本文将重点介绍几种常见的传染病模型及其应用。
二、传染病模型的类型及应用1.SIR模型SIR模型是一种基于微分方程的传染病模型，其中S、I、R分别代表易感者（Susceptible）、感染者（Infected）和康复者（Recovered）。
该模型通过描述易感者感染、感染者康复以及康复者不再易感的动态过程，揭示了传染病在人群中的传播规律。
SIR模型在分析疫情爆发、研究防控措施等方面具有广泛应用。
2.SEIR模型SEIR模型是在SIR模型基础上发展的一种传染病模型，其中E代表潜伏者（Exposed）。
与SIR模型相比，SEIR模型增加了潜伏期这一概念，使得模型更加符合实际情况。
该模型可以用于研究传染病的传播速度、预测疫情发展趋势以及评估疫苗的效果。
3.SI模型SI模型是一种简化的传染病模型，仅包含易感者和感染者两个群体。
该模型适用于分析短期传染病，如流感等。
通过研究易感者与感染者的动态关系，可以预测疫情爆发的时间和规模。
三、传染病模型的参数估计与预测传染病模型的参数估计是数学建模的关键环节，通常采用最大似然估计、贝叶斯估计等方法。
此外，基于传染病模型的预测技术在疫情防控中也具有重要意义。
通过构建时间序列模型，如ARIMA、SVM等，可以预测未来一段时间内疫情的发展趋势。
四、数学建模在传染病防控中的实际应用数学建模在传染病防控中具有广泛应用，如疫情监测、防控措施评估、疫苗研究等。
通过对传染病模型的深入研究，可以为政府部门提供科学依据，协助制定针对性的防控策略。
五、案例分析本文将结合具体案例，如我国2003年非典疫情、2020年新冠肺炎疫情等，详细阐述传染病模型在实际应用中的重要作用。
通过分析案例，可以加深对传染病模型的理解，为今后疫情防控提供借鉴。
传染病数学建模
传染病数学建模
传染病数学建模是一种使用数学方法来描述和预测传染病传播过程的手段。
通过建立数学模型，研究人员可以更好地理解疾病的传播机制，预测其在未来的发展趋势，并为防控措施的制定提供科学依据。
在传染病数学建模中，常见的模型有SIR 模型、SEIR 模型、SEIRS 模型等。
这些模型通过定义不同的状态变量来描述人群中不同个体的状态，如易感者（Susceptible）、感染者（Infected）、康复者（Recovered）等。
然后，通过建立微分方程或差分方程来描述这些状态变量之间的动态关系。
在SIR 模型中，假设人群中只有易感者和感染者两种状态，感染者经过一段时间后会自行康复并获得免疫力。
在SEIR 模型中，增加了“暴露”状态，表示已经接触但尚未表现出症状的个体。
而在SEIRS 模型中，除了“暴露”状态外，还增加了“易感”状态，表示从未被感染过且没有免疫力的人群。
除了以上提到的模型外，还有许多其他的数学模型用于描述传染病传播过程，如基于agent 的模型、网络模型、元胞自动机模型等。
这些模型各有优缺点，需要根据具体的研究问题和数据来选择合适的模型。
总之，传染病数学建模是一种重要的研究手段，可以帮
助我们更好地理解疾病的传播机制和预测未来的发展趋势。
通过建立数学模型，我们可以更好地制定防控措施，减少疾病的传播和影响。
数学建模传染病模型例题
以下是一个简单的数学建模传染病模型的例题：
问题：假设有一个小岛上住着100个人，其中有1个是传染病源。
初始时，这个人不知道自己已经患病，所以没有采取隔离措施。
其他人也不知道有传染病源在岛上。
假设每天，每个健康的人都有可能接触并感染患病的人，感染的概率是p。
另外，健康的人每天也有1个单位的时间用于自我保护，减少被感染的风险。
假设在t天后，岛上有x个人被感染。
我们需要找出p和时间t的关系，以及如何通过调整p来控制传染病的传播。
假设：
1. 每个人每天只能接触一次患病的人。
2. 每个人每天有1个单位的时间用于自我保护。
3. 每个人接触患病的人后，有p的概率被感染。
4. 初始时，只有1个人是患病者。
5. 没有新的外来感染者进入岛上。
模型建立：
根据上述假设，我们可以建立如下的微分方程模型：
dx/dt = p * (100 - x) * (1/100) - x/100
其中，x表示被感染的人数，p表示感染概率，t表示时间。
求解模型：
通过求解这个微分方程模型，我们可以得到x与t的关系。
由于这个方程较为简单，我们可以直接求解它，找出x的解。
然后我们可以根据解的情况，讨论p对x的影响，从而找到控制传染病传播的方法。
通过上述模型和求解过程，我们可以了解传染病的传播情况以及如何通过调整感染概率p来控制其传播。
这个例题可以帮助我们理解数学建模在传染病控制中的应用，并为实际的传染病控制提供理论支持。
传染病的数学模型(一)
传染病的数学模型（一）引言概述：传染病的数学模型是通过数学方法对传染病的传播过程进行建模和预测的一种方法。
它可以帮助我们理解传染病的传播规律、评估控制措施的有效性，从而指导公共卫生决策。
本文将从概念、数学模型建立、参数估计、应用案例和局限性五个方面阐述传染病的数学模型。
正文内容：一、概念1. 传染病传播过程的基本概念2. 数学模型在理解传染病传播规律中的作用3. 传染病传播的主要途径及其模型4. 传染病的基本流行病学指标5. 常见传染病的数学模型分类及特点二、数学模型建立1. 传染病传播的动力学模型建立过程2. 常见数学模型的基本方程及假设3. 数学模型的参数选择和数据需求4. 模型的数值解和模拟仿真方法5. 模型灵敏度分析和鲁棒性评估方法三、参数估计1. 传染病传播参数的基本概念和估计方法2. 基于数据的参数估计方法及其优缺点3. 遗传算法在参数估计中的应用4. 参数不确定性分析及其影响5. 基于多源数据的参数估计方法及其应用四、应用案例1. 传染病模型在疫情预测中的应用2. 传染病模型在控制措施评估中的应用3. 传染病模型在疫苗接种策略优化中的应用4. 传染病模型在早期预警系统中的应用5. 传染病模型在流行病学调查分析中的应用五、局限性1. 数学模型的假设和简化带来的局限性2. 数据不确定性对模型预测的影响3. 模型的敏感性和鲁棒性问题4. 非线性和时空不均匀性问题的处理5. 模型的外推和推广的合理性评价总结：传染病的数学模型在理解传染病传播规律、预测疫情发展趋势、评估防控措施等方面发挥着重要作用。
通过建立合理的数学模型并进行参数估计，我们能够更好地了解传染病的特点和传播规律，并以此为基础制定出合理的公共卫生决策。
然而，数学模型也存在一定的局限性，需要充分考虑数据不确定性、模型的假设简化以及非线性和时空不均匀性等问题。
因此，在使用传染病的数学模型时，我们需要谨慎并结合其他数据和方法进行综合分析。
微积分方法建模12传染病模型--数学建模案例分析
§12 传染病模型建立传染病模型的目的是描述传染过程、分析受感染人数的变化规律、预报高潮期到来的时间等等。
为简单起见假定，传播期间内所观察地区人数N 不变，不计生死迁移，时间以天为计量单位。
模型（一）（SI 模型） 模型假设1、人群分为健康者和病人，在时刻t 这两类人中所占比例分别为)(t s 和)(t i ，即1)()(=+t i t s 。
2、平均每个病人每天有效接触人数是常数λ，即每个病人平均每天使)(t s λ个健康者受感染变为病人，λ称为日接触率。
模型建立与求解据假设，在时刻t ，每个病人每天可使)(t s λ个健康者变成病人，病人数为)(t Ni ，故每天共有)()(t i t Ns λ个健康者被感染，即Nsi dtdiNλ= 又由假设1和设0=t 时的比例0i ，则得到模型⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()1(i i i i dt diλ （1）（1）的解为te i t i λ--+=)11(11)(0（2）21i m dtdi )(m 21i模型解释1、当21=i 时，dt di 达最大值，这个时刻为)11ln(01-=-i t m λ，即高潮到来时刻，λ越大，则m t 越小。
2、当∞→t 时1→i ，这即所有的人都被感染，主要是由于没有考虑病人可以治愈，只有健康者变成病人，病人不会再变成健康者的缘故。
模型（二）（SIS 模型） 在模型（一）中补充假设3、病人每天被治愈的占病人总数的比例为μ，称为日治愈率。
模型修正为⎪⎩⎪⎨⎧=--=0)0()1(i i ii i dt diμλ （t 时刻每天有μNi 病人转变成健康者） （3）（3）的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+≠--+-=----μλλμλμλλμλλμλ101)(0)1(])1([)(i t e i t i t （4） 可以由（3）计算出使dt di 达最大的高潮期m t 。
（dt di 最大值m dt di )(在λμλ2-=i 时达到）。
数学建模——传染病模型
传染病模型摘要当今社会，人们开始意识到通过定量地研究传染病的传播规律，建立传染病的传播模型，可以为预测和控制传染病提供可靠、足够的信息。
本文利用微分方程稳定性理论对传统传染病动力学建模方式进行综述，且针对甲流，SARS等新生传染病模型进行建模和分析。
不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI模型，SIS模型，SIR模型等。
本文中，我们应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上建立方程求解算法。
然后，通过借助Matlab程序拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测，评估各种控制措施的效果，从而不断完善文中的模型。
本文由简到难、全面地评价了该模型的合理性与实用性，而后对模型和数据也做了较为扼要的分析，进一步改进了模型的不妥之处。
同时，在对问题进行较为全面评价的基础上又引入更为全面合理的假设，运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议，做好模型的完善与优化工作。
关键词：传染病模型,简单模型，SI，SIS,SIR，微分方程，Matlab。
一、问题重述有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行，现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。
考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。
1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求t 时刻的感染人数。
2、假设单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。
建立模型求t时刻的感染人数。
3、假设总人口可分为传染病患者和易感染者，易感染者因与患病者接触而得病，而患病者会因治愈而减少且对该传染病具有很强的免疫功能，建立模型分析t 时刻患病者与易感染者的关系，并对传染情况（如流行趋势，是否最终消灭）进行预测。
数学建模——传染病模型_2022年学习资料
数学模型-模型2-di-dt-=2i1-iLogistic模型-i0=。-it=-1/2-io-tm-t= ,m,dildt最大-人n--tm~传染病高潮到来时刻-t>00→i>1?-2日接触率↓→tm↑-病人可以 愈！-0①
数学模型-模型3-传染病无免疫性一病人治愈成-为健康人，健康人可再次被感染-SIS模型-增加假设-3病人每 治愈的比例为4-4~日治愈率-建模W[it+△t-it]=Wstit△t-uWit△t-di-=2i1-i-入~日接触率-dt-i0=i。-1/μ ~感染期-6-、一个感染期内每个病人的-有效接触人数，称为接触数
数学模型-模型4-传染病有免疫性—病人治愈-SIR模型-后即移出感染系统，称移出者-假设-1总人数N不变， 人、健康人和移-出者的比例分别为it,t,rt-2病人的日接触率2，日治愈率山-接触数σ =入/4-建模-s +it+rt=1-需建立it,St,rt的两个方程-00①
数学模型-模型4-SIR模型-W[it+△t-it]=2Wstit△t-uWit△t-W[st+△t-st =-2Nstit△t-di-E见si-i-=-si-dr-人Z-i0=io,s0=So,i0=0-00①
数学模型-传染病模型-问题-·描述传染病的传播过程-·分析受感染人数的变化规律-·预报传染病高潮到来的时刻 ·预防传染病蔓延的手段-·按照传播过程的一般规律，-用机理分析方法建立模型-00①
数学模型-模型1-已感染人数（病人）t-假设-每个病人每天有效接触-足以使人致病人数为入-建模-it+△t it=入it△t-di-:i-dt-it=ie"-i0-io-0t→00→i→00？-若有效接触的是病人， 必须区分已感染者（病-则不能使病人数增加-人和未感染者（健康人）
数学建模论文传染病模型)(精选干货)
数学建模论文传染病模型)传染病模型摘要“传染病的传播过程”数学模型是通过控制已感染人群来实现的。
利用隔离等手段来保护未被感染的人群，减少其对健康人群的危害.由于传染病具有研究新型病例有着重要的意义,利用数学知识联系实际问题，作出相应的解答和处理。
问题一:描述传染病的传播过程，将分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮到来的时刻，在传染病过程中，建立传染病影响健康人的数学模型.问题二,在区分健康人群和已经感染人群的情况下，要建立适合总人数不变，区分已经感染的人群和的数学模型，必须在问题一的条件下作出合理假设,同时得出该模型，最后结合已知数据可算出每个已感染人群每天接触健康人群的函数和数学模型。
问题三,传染病无免疫性--病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染，问题三加入健康人可以再次感染,一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。
ﻫ一种疾病的传播过程是一种非常复杂的过程,它受很多社会因素的制约和影响,如传染病人的多少，易受传染者的多少，传染率的大小，排除率的大小,人口的出生和死亡，还有人员的迁入和迁出,潜伏期的长短，预防疾病的宣传以及人的个体差异等。
如何建立一个与实际比较吻合的数学模型，开始显然不能将所有因素都考虑进去。
为此，必须从诸多因素中，抓住主要因素,去掉次要因素。
先把问题简化，建立相应的数学模型.将所得结果与实际比较，找出问题，修改原有假设,再建立一个与实际比较吻合的模型.从而使模型逐步完善。
下面是一个由简单到复杂的建模过程，很有代表性,读者应从中体会这一建模过程的方法和思路。
...文档交流仅供参考...一．问题的提出描述传染病的传播过程,将分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮到来的时刻，在传染病过程中,建立传染病影响健康人的数学模型。
问题二，在区分健康人群和已经感染人群的情况下,要建立适合总人数不变，区分已经感染的人群和的数学模型,必须在问题一的条件下作出合理假设,同时得出该模型,最后结合已知数据可算出每个已感染人群每天接触健康人群的函数和数学模型。
数学建模——传染病模型
数学建模——传染病模型数学建模——传染病模型关键词：数学建模，传染病模型，预测，疫情，发展一、引言传染病模型是数学建模中的一个重要领域，旨在通过数学方法描述和预测传染病的发展趋势。
通过建立传染病模型，我们可以了解疾病传播的机制，评估各种干预措施的效果，并为制定有效的防控策略提供决策支持。
二、传染病模型概述传染病模型是基于生物学、流行病学和数学理论建立的，主要考虑个体之间的接触方式和疾病传播的动态过程。
基本的传染病模型通常假设人群由易感者（Susceptible）、感染者（Infectious）和康复者（Recovered）三类组成。
通过分析这三类人群的数量变化，可以揭示疾病传播的规律。
常见的传染病模型包括 SIR 模型、SEIR 模型等。
SIR 模型假设人群分为易感者（S）、感染者（I）和康复者（R），其中感染者与易感者接触后将传染疾病，感染后将进入康复阶段。
SEIR 模型则在 SIR 模型的基础上增加了潜伏期（E），即感染者并非立即变为易感者，而是进入潜伏期，一段时间后才具有传染性。
三、建模方法与步骤1、建立数学模型：根据传染病的基本假设，列出描述疾病传播的微分方程，确定变量及其含义。
2、参数估计：根据历史数据或实验结果，估计模型中的参数值。
这些参数包括感染率、恢复率、潜伏期等。
3、模型求解：通过求解微分方程，得到易感者、感染者和康复者的数量变化情况。
4、模型检验：将模型的预测结果与实际数据进行比较，检验模型的准确性和可靠性。
四、案例分析以某个地区的流感疫情为例，通过建立 SIR 模型预测疫情的发展趋势。
首先，根据历史数据估计模型的参数值，包括感染率和恢复率等。
然后，通过求解微分方程得到易感者、感染者和康复者的数量变化情况。
根据预测结果，可以评估各种干预措施的效果，如隔离、疫苗接种等。
通过比较预测结果与实际数据的差异，可以不断修正和完善模型，提高预测精度。
五、结论传染病模型是数学建模中的一个重要领域，通过建立数学模型描述和预测传染病的发展趋势。
数学建模第五讲：微分方程—传染病模型
区分病人
考虑治愈
和健康人
模型3 (SIS) 模型4 (SIR)
模型3, 4: 描述传播过程, 分析变化规律, 预报高潮时刻, 预防蔓延手段.
模型4: 数值计算与理论分析相结合.
2. 人口预测和控制
• 年龄分布对于人口预测的重要性. • 只考虑自然出生与死亡，不计迁移.
人口 发展 方程
F (r,t) ~ 人口分布函数 (年龄 r的人口） p(r,t) ~ 人口密度函数 N (t) ~ 人口总数 rm ( ) ~ 最高年龄 F (0, t ) 0, F ( rm , t ) N (t )
MATLAB计算作图i(t), s(t)及i(s)
1
0.8 s(t) 0.6
0.4
0.2
i(t)
0
0
10
20
30
40
50
0.4
i
相轨线i(s)
0.3
0.2
0.1
P0 s
0
0
0.2 0.4 0.6 0.8
1
i(t)从初值增长到最大; t, i0 s(t)单调减; t, s0.04
传染病模型
模型1
模型2
的解析解
i(0)
i0 ,
s(0)
s0
先做数值计算, 再在相平面上研
究解析解性质
i0 s0 1 (通常r(0) r0很小）
模型4 SIR模型的数值解
di
dt ds
dt
si i, i(0) i0 si , s (0 ) s0
设=1, =0.3, i0=0.02, s0=0.98, 用
需建立 i ( t ), s ( t ), r ( t ) 的两个方程.
数学建模实验(传染病模型)
实验二：传染病模型1、SI 模型的建立基于以下三个假设，求出平衡点，给出参数，图示模型曲线。
（1）不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。
人口始终保持一个常数，即()K t N ≡。
（2）一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。
假设t 时刻单位时间内，一个病人能传染的易感者数目与此环境内易感者总数()t S 成正比，比例系数为β，从而在t 时刻单位时间内被所有病人传染的人数为()()t I t S β。
2、SIS 模型的建立基于以下三个假设，求出平衡点，给出参数，图示模型曲线。
（1）不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。
人口始终保持一个常数。
即()K t N ≡。
（2）一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。
假设t 时刻单位时间内，一个病人能传染的易感者数目与此环境内易感者总数()t S 成正比，比例系数为β，从而在t 时刻单位时间内被所有病人传染的人数为()()t I t S β。
（3）t 时刻，单位时间内从染病者中治愈的人与病人数量成正比，比例系数为γ，单位时间内治愈的人不具有免疫，将再成为易感者。
3、SIR 模型的建立基于以下三个假设，求出平衡点、给出参数、图示模型曲线。
（1）不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。
人口始终保持一个常数，即()K t N ≡。
（2）一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。
假设t 时刻单位时间内，一个病人能传染的易感者数目与此环境内易感者总数()t S 成正比，比例系数为β，从而在t 时刻单位时间内被所有病人传染的人数为()()t I t S β。
（3）t 时刻，单位时间内从传染者中移出的人数与病人数量成正比，比例系数为γ，单位时间内移出者的数量为γ)(t I 。
求解过程1、SI 模型：由题目条件假设可以得到微分方程：K()()dIK S t I t dtβ=，又因为()()1S t I t +=， 令初始时刻病人的比例为0I ，则有：0()(1()),(0)dII t I t I I dtβ=-= %求平衡点,r 为有效传染率,x 病人比例 syms r xsolve('r*x*(1-x)','x') ans = 0 1 %方程求解syms i r t dsolve('Di=r*i*(1-i)','i(0)=i0','t')ans =1/(1-exp(-r*t)*(-1+i0)/i0) %绘制图形r=0.5,i0=0.01 fplot('1/(1-exp(-r*t)*(-1+i0)/i0)',[0,40]) fplot('1/(1-exp(-0.5*t)*(-1+0.01)/0.01)',[0,40]) function di=isf(t,i)di=0.5*i*(1-i); [t,i]=ode45(@isf,[0 40],[0.01]);plot(t,i)t ♓i♎♓ ♎♦图示4 SI 模型的i~t 曲线 图示5 SI 模型的di/dt~i 曲线2、SIS 模型 根据SI 模型及增加的假设条件，可得：)()()(t KI t I t KS dtdiKγβ-=，即： 0)0(),())(1)((I I t I t I t I dtdi=--=γβ 记 γβσ=， 则方程改写为 )]1([σβ---=i i i dt di%求解方程syms r b i t % b 为有效传染率,r 为治愈率dsolve('Di=b*i*(1-i)-r*i','i(0)=i0','t')ans =(b-r)/(b-exp(-(b-r)*t)*(-b+r+i0*b)/i0/(b-r)*b+exp(-(b-r)*t)*(-b+r +i0*b)/i0/(b-r)*r)%求平衡点syms x %(b=0.5,r=0.2)solve('0.5*x*(1-x)-0.2*x; ')ans =0..60000000000000000000000000000000%绘制图形function di=sisf(t,i)di=0.5*i*(1-i)-0.2*i;[t,i]=ode45(@sisf,[0 40],[0.01]);plot(t,i)t♓t ♓图示6 SIS 模型的i~t 曲线（σ>1） 图示7 SIS 模型的i~t 曲线（σ≤1）fplot('-0.5*x*[x-(1-1/20)]',[0,1]) fplot('-0.5*x*[x-(1-2)]',[ 0,1])i♎♓ ♎♦i♎♓ ♎♦图示8SIS 模型的di/dt~i 曲线（σ>1） 图示9SIS 模型的di/dt~i 曲线（σ≤1） 3、 SIR 模型模型的方程为{00()()(),(0)()(),(0)dIS t I t I t I I dtdSS t I t S S dtβγβ=-==-=function dx=sirf(t,x)dx=zeros(2,1);dx(1)=0.5*x(1)*x(2)-0.2*x(1); %x(1)表示i,x(2)表示s dx(2)=-0.5*x(1)*x(2);[t,x]=ode45(@sirf,[0 50],[0.01 0.99]);plot(t,x(:,1),t,x(:,2)),grid,pauseplot(x(:,2),x(:,1)),grid00.20.40.60.81s图示10 SIR模型的图形)(),(tStI图示11 SIR模型的相轨线备注：由于Matlab与Word连接不好，所绘制的图形上标的字符在Word中看不清楚。
【VIP专享】数学建模传染病模型
1
1 i0
1e
t
i0
0 tm t=tm, di/dt 最大
t
tm
1
ln
1 i0
1
tm~传染病高潮到来时刻 t i 1 ?
(日接触率) tm
病人可以治愈！
<>
模型3
传染病无免疫性——病人治愈成 为健康人，健康人可再次被感染 SIS 模型
增加假设 3）病人每天治愈的比例为 ~日治愈
i0
>1
1-1/
di i[i (1 1 )]
dt
i
1
i0 di/dt < 0
i0
0
1-1/ 1 i
0
t0
t
i( )
1
1
,
1
0 ,
1
接触数 =1 ~ 阈值
1 i(t)
1 i(t)按S形曲线增长
i0小
感染期内有效接触感染的健 康者人数不超过病人数
模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例
• 提高阈值 1/ 降低 (=/)
,
(日接触率) 卫生水平
(日治愈率) 医疗水平
• 降低 s0
提高 r0
的估计 s0 i0 r0 1
s0 i0 s
1
ln
s s0
0
忽略 i0
ln s0 ln s
s0 s
<>
模型4
被传染人数的估计
SIR模型
记被传染人数比例 x s0 s
di i
dt i(0) i0
若有效接触的是病人， 则不能使病人数增加
i(t ) i0e t
t i ?
必须区分已感染者(病 人)和未感染者(健康人)
数学建模传染病模型
常直数至，从此而疾可病以解在释该医地生们s区(t发)消现s失的oe现。1 象r (t )。
k
鉴于在本模型中的r作(t)用 n，1被 i(t) s(t)
infective
医为生揭们示称产为生此上疾述病现在象该的地原区因（3.18）中
的 较第大其的么的（的中阀此所常1值疾有）数。 病 人式通。没。改常kl的有写是引波成一入及：个解到与dd释ti该疾了地k病为i(区种s什类 )有关的
令：
d 2i dt 2
0
得：
t1
ln co k(n 1)
模型3
将人群划分为三类（见右图）：易感染者、已感染 者和已恢复者（recovered）。分别记t时刻的三类人数为 s(t)、i(t)和r(t)，则可建立下面的三房室模型：
di
dt
ksi
li
l
称为传染病恢(1)复系数
dr
dt
li
(2)
（3.18）
模型1 设某地区共有n+1人，最初时刻共有i人得病，t时刻已
感染（infective）的病人数为i(t)，假定每一已感染者在单位 时间内将疾病传播给k个人（k称为该疾病的传染强度），且 设此疾病既不导致死亡也不会康复
则可导出：
di
dt
ki
i(o) io
故可得： i(t) ioekt
（3.15）
解得： 其中：
i(t)
co
n
co (n 1)ek(n1)t
1 io
coek
(n1)t
1 io
（3.17）
统计结果显示，(3.17)预报结果比(3.15)更
接近实际情况。医学上称曲线 为t ~传d此i 染值与病传曲染病的实际高峰期非常
传染病的数学模型
传染病模型详解2。
2.2 /,SI SIS SIR 经典模型经典的传播模型大致将人群分为传播态S ，易感染态I 和免疫态R .S 态表示该个体带有病毒或谣言的传播能力，一旦接触到易感染个体就会以一定概率导致对方成为传播态。
I 表示该个体没有接触过病毒或谣言，容易被传播态个体感染。
R 表示当经过一个或多个感染周期后，该个体永远不再被感染。
SI 模型考虑了最简单的情况，即一个个体被感染，就永远成为感染态,向周围邻居不断传 播病毒或谣言等。
假设个体接触感染的概率为β，总人数为 N,在各状态均匀混合网络中建立传播模型如下：dS SI dt N I SI d tN ββ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 从而得到(1)di i i dtβ=- 对此方程进行求解可得： 0000(),01tt i e i t i i i i eββ==-+（） 可见，起初绝大部分的个体为I 态，任何一个S 态个体都会遇到I 态个体并且传染给对方，网络中的S 态个数随时间成指数增长.与此同时，随着I 态个体的减少,网络中S 态个 数达到饱和，逐渐网络中个体全部成为S 态。
然而在现实世界中，个体不可能一直都处于传播态。
有些节点会因为传播的能力和意愿 的下降，从而自动转变为永不传播的R 态。
而有些节点可能会从S 态转变I 态,因此简单的SI 模型就不能满足节点具有自愈能力的现实需求,因而出现SIS 模型和SIR 模型。
SIR 是研究复杂网络谣言传播的经典的模型。
采用与病毒传播相似的过程中的S ，I ，R 态 代表传播过程中的三种状态。
Zanetee ，Moreno 先后研究了小世界传播过程中的谣言传播。
Moreno 等人将人群分为S （传播谣言）、I (没有听到谣言），R （对谣言不再相信也不传播）。
假设没有听到谣言I 个体与S 个体接触，以概率()k λ变为S 个体，S 个体遇到S 个体 或R 个体以概率()k α变为R ,如图 2.9 所示。
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传染病模型医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。
社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。
一般把传染病流行范围内的人群分成三类：S 类，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；I 类，感病者(Infective)，指染上传染病的人，它可以传播给S 类成员；R 类，移出者(Removal)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。
问题提出请建立传染病模型，并分析被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来?为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？关键字:传染病模型、建模、流行病摘要：随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制。
但是一些新的、不断变异着的传染病毒却悄悄向人类袭来。
20世纪80年代十分险恶的爱滋病毒开始肆虐全球，至今带来极大的危害。
还有最近的SARS 病毒和禽流感病毒，都对人类的生产生活造成了重大的损失。
长期以来，建立制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题。
不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，这里不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而只是按照一般的传播模型机理建立几种模型。
模型1在这个最简单的模型中，设时刻t 的病人人数x(t)是连续、可微函数，病人人数的增加，就有到考察的人数为常数足使人致病接触并且每天每个病人有效t t t ∆+λ)(t t x t x t t x ∆=-∆+)()()(λ程有个病人，即得微分方时有再设00x t =)1()0(,d d 0x x x tx==λ方程（1）的解为 )2()(0te x t x λ=结果表明，随着t 的增加，病人人数x(t)无限增长，这显然是不符合实际的。
建模失败的原因在于：在病人有效接触的人群中，有健康人也有病人，而其中只有健康人精品文档。
1欢迎下载才可以被传染为病人，所以在改进的模型中必须区别健康人和病人这两种人。
模型2 SI 模型假设条件为1.在疾病传播期内所考察地区的总人数N 不变，即不考虑生死，也不考虑迁移。
人群分为易感染者即健康人（Susceptible ）（S ）和已感染者即病人（Infective ）（i ）两类（取两个词的第一个字母，称之为SI 模型），以下简称健康者和病人。
时刻t 这两类人在总人数中所占比例分别记作s(t)和i(t)。
2.每个病人每天有效接触的平均人数是常数λ，称为日接触率。
当病人与健康者接触时，使健康者受感染变为病人。
的增加率，即就是病人数个健康者被感染，于是有，所以每天共为病人数为个健康者变为病人，因天可使根据假设，每个病人每Ni Nsi t i t Ns t Ni t s λλλ)()()()()3(d d Nsi tiNλ=)4(1)()(=+t i t s ，则病人的比例为再记初始时刻0)0(i t =)5()0(,)1(d d 0i i i i ti=-=λ方程（5）是Logistic 模型。
它的解为)6(11110t e i λ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+所示。
和图的图形如图和21~d d ~)(i tit t i，这个时刻为到达最大值时第一，当可知，式及图由mt i t i i ⎪⎭⎫ ⎝⎛=d d d d 2/11)6(),5()7(11ln 01⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-i t m λ这时病人增加的最快，可以认为是医院的门诊量最大的一天，意味着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门应该关注的时刻。
：传染病模型2况。
，这显然不符合实际情将被传染，全变为病人即所有人终时到来。
第二，当可以推迟传染病高潮的健设施、提高卫生水平以改善保越小卫生水平越高。
所，表示该地区的卫生水平成反比，因为日接触率与,1→∞→i t t m λλλ其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈，人群中的健康者只能变成病人，病人不会再变成健康者。
模型3 SIS 模型有些病毒人在感染并治愈之后，没有免疫性，即还有可能再被感染。
模型假设在模型二假设条件的前提下我们再增加一个假设条件3.病人每天治愈的比例为μ日治愈率。
μλσ=一个感染期内每个病人的有效接触人数模型构成于是有[]Ni(t)-t (t)i(t)i(t)-t)i(t N μλ∆=∆+Ns （8） 可得微分方程 i i(0) i -i)-(1==μλi dtdi0 （9） 得到[])1/-(1--diσλi i dt= （10）模型 4 SIR 模型大多数传染者如天花 流感 肝炎 麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以冰域的人即非易感者，也非感病者，因此他们将被移除传染系统，我们称之为移除者，记为R 类SIR 模型是指易感染者被传染后变为感染住，感病者可以被治愈，并会产生免疫力，变为移除者。
人员流动图为：S-I-R 。
假设：1 总人数为常数N ，且i （t ）+s （t ）+r （t ）=1；2 .病人的日接触率（每个病人每天有效接触的平均人数）为常数λ，日治愈率（每天被治愈的病人占总病人数的比例）为常数μ，显然平均传染期为1／μ，传染期接触数为σ=λ／μ。
该模型的缺陷是结果常与实际有一定程度差距，这是因为模型中假设有效接触率传染力是不变的。
3 单位时间内病愈免疫的人数与但是的病人人数成正比，比例系数l 。
称为恢复系数。
在以上三个基本假设条件下，易感染者从患病到移出的过程框图表示如下：模型结构在假设1中显然有：s(t) + i(t) + r(t) = 1 （1） 对于病愈免疫的移出者的数量应为精品文档。
3欢迎下载rtd NNi d μ= （2） 不妨设初始时刻的易感染者，染病者，恢复者的比例分别为0s （0s ＞0），0i （0i ＞0），0r =0. SIR 基础模型用微分方程组表示如下：didt dsdt drdt si i si i λμλμ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩（3） s(t) ， i(t)的求解极度困难，在此我们先做数值计算来预估计s(t) ， i(t)的一般变化规律。
数值计算在方程（3）中设λ=1，μ=0.3，i （0）= 0.02，s （0）=0.98，用MATLAB 软件编程： function y=ill(t,x) a=1;b=0.3;y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2)]; ts=0:50;x0=[0.20,0.98];[t,x]=ode45('ill',ts,x0); plot(t,x(:,1),t,x(:,2)) pauseplot(x(:,2),x(:,1))输出的简明计算结果列入表1。
i(t) , s(t)的图形以下两个图形，i~s 图形称为相轨线,初值i(0)=0.02,s(0)=0.98相当于图2中的P0点,随着t 的增,(s,i)沿轨线自右向左运动.由表1、图1、图2可以看出,i(t)由初值增长至约t=7时达到最大值,然后减少,t →∞,i →0,s(t)则单调减少,t →∞,s →0.0398. 并分析i(t),s(t)的一般变化规律.：传染病模型41相轨线分析我们在数值计算和图形观察的基础上，利用相轨线讨论解i （t ）,s （t ）的性质。
D = ｛（s ，i ）| s ≥0，i ≥0 ， s + i ≤1｝ 在方程（3）中消去t d 并注意到σ的定义，可得11i s d d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭s σ 00|s s i i == （5） 所以：11i s d d ⎛⎫=-⎪⎝⎭s σ ⇒00i 11s i s i s d d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰s σ （6）精品文档。
5欢迎下载利用积分特性容易求出方程(5)的解为：0001()lnsi s i s s σ=+-=（7） 在定义域D 内,(6)式表示的曲线即为相轨线,如图3所示.其中箭头表示了随着时间t 的增加s(t)和i(t)的变化趋向图3下面分析s(t),i(t)和r(t)的变化情况(t →∞时它们的极限值分别记作s ∞, i ∞和r ∞).1. 不论初始条件s0,i0如何,病人将消失,即：0,t −→−∞−→−i 2. 最终未被感染的健康者的比例是 ,在(7)式中令i=0得到, 是方0001ln0s s i s s σ∞∞+-+= 在(0,1/σ)内的根.在图形上 是相轨线与s 轴在(0,1/σ)内交点的横坐标 3.若0s >1/σ,则开始有11i s d o d ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭s σ，i(t)先增加, 令11i s d d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭s σ=0，可得当s=1/σ时,i(t)达到最大值：00011ln )m i s i s σσ=+-+（然后s<1/σ时，有11i s d o d ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭s σ ，所以i(t)减小且趋于零,s(t)则单调减小至s ∞,如图3中由P1(0s ，0i )出发的轨线 4.若0s ≤1/σ,则恒有110i s d d ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭s σ，i(t)单调减小至零,s(t)单调减小至s ∞,如图3中由P2(s0,i0)出发的轨线：传染病模型6可以看出,如果仅当病人比例i(t)有一段增长的时期才认为传染病在蔓延,那么1/σ是一个阈值,当0s >1/σ(即σ>1/s0)时传染病就会蔓延.而减小传染期接触数σ,即提高阈值1/σ使得0s ≤1/σ(即σ ≤1/0s ),传染病就不会蔓延(健康者比例的初始值0s 是一定的,通常可认为0s 接近1)。
并且,即使0s >1/σ, σ减小时, s ∞增加(通过作图分析), m i 降低,也控制了蔓延的程度.我们注意到在σ=λμ中,人们的卫生水平越高,日接触率λ越小;医疗水平越高,日治愈率μ越大,于是σ越小,所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延.从另一方面看, 1/s s σλμ=•是传染期内一个病人传染的健康者的平均数,称为交换数,其含义是一病人被s σ个健康者交换.所以当 01/s σ≤ 即01s σ≤时必有 .既然交换数不超过1,病人比例i(t)绝不会增加,传染病不会蔓延。
群体免疫和预防：根据对SIR 模型的分析,当01/s σ≤ 时传染病不会蔓延.所以为制止蔓延,除了提高卫生和医疗水平,使阈值1/σ变大以外,另一个途径是降低0s ,这可以通过比如预防接种使群体免疫的办法做到.忽略病人比例的初始值0i 有001s r =-,于是传染病不会蔓延的条件01/s σ≤ 可以表为011r σ≥-这就是说，只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例（即免疫比例）就可以制止传染病的蔓延。