数学建模-传染病模型-(1)

传染病模型

医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。

社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。

一般把传染病流行范围内的人群分成三类：S 类，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；I 类，感病者(Infective)，指染上传染病的人，它可以传播给S 类成员；R 类，移出者(Removal)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。

问题提出

请建立传染病模型，并分析被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来?为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？

关键字:传染病模型、建模、流行病

摘要：随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍乱、

天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制。但是一些新的、不断变异着的传染病毒却悄悄向人类袭来。20世纪80年代十分险恶的爱滋病毒开始肆虐全球，至今带来极大的危害。还有最近的SARS 病毒和禽流感病毒，都对人类的生产生活造成了重大的损失。长期以来，建立制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题。 不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，这里不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而只是按照一般的传播模型机理建立几种模型。

模型1

在这个最简单的模型中，设时刻t 的病人人数x(t)是连续、可微函数，

病人人数的增加，就有

到考察的人数为常数足使人致病接触并且每天每个病人有效t t t ∆+λ)(t t x t x t t x ∆=-∆+)()()(λ

程有个病人，即得微分方时有再设00x t =

)1()0(,d d 0x x x t

x

==λ

方程（1）的解为 )2()(0t

e x t x λ=

结果表明，随着t 的增加，病人人数x(t)无限增长，这显然是不符合实际的。

建模失败的原因在于：在病人有效接触的人群中，有健康人也有病人，而其中只有健康人

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才可以被传染为病人，所以在改进的模型中必须区别健康人和病人这两种人。

模型2 SI 模型

假设条件为

1.在疾病传播期内所考察地区的总人数N 不变，即不考虑生死，也不考虑迁移。人群分为易感染者即健康人（Susceptible ）（S ）和已感染者即病人（Infective ）（i ）两类（取两个词的第一个字母，称之为SI 模型），以下简称健康者和病人。时刻t 这两类人在总人数中所占比例分别记作s(t)和i(t)。

2.每个病人每天有效接触的平均人数是常数λ，称为日接触率。当病人与健康者接触时，使健康者受感染变为病人。

的增加率，即

就是病人数个健康者被感染，于是有，所以每天共

为病人数为个健康者变为病人，因天可使根据假设，每个病人每Ni Nsi t i t Ns t Ni t s λλλ)()()()(

)

3(

d d Nsi t

i

N

λ=)

4(1

)()(=+t i t s ，则

病人的比例为再记初始时刻0)0(i t =)5()0(,)1(d d 0

i i i i t

i

=-=λ

方程（5）是Logistic 模型。它的解为

)6(11110t e i λ-⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+

所示。

和图的图形如图和

21~d d ~)(i t

i

t t i

，这个时刻为到达最大值时第一，当可知，

式及图由m

t i t i i ⎪⎭⎫ ⎝⎛=d d d d 2/11)6(),5()7(11ln 01

⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-=-i t m λ

这时病人增加的最快，可以认为是医院的门诊量最大的一天，意味着传染病高潮的到来，

是医疗卫生部门应该关注的时刻。

：传染病模型

2

况。

，这显然不符合实际情将被传染，全变为病人即所有人终时到来。第二，当可以推迟传染病高潮的健设施、提高卫生水平以改善保越小卫生水平越高。所，表示该地区的卫生水平成反比，因为日接触率与,1→∞→i t t m λλλ其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈，人群中的健康者只能变成病人，病人不会再变成健康者。

模型3 SIS 模型

有些病毒人在感染并治愈之后，没有免疫性，即还有可能再被感染。

模型假设

在模型二假设条件的前提下我们再增加一个假设条件

3.病人每天治愈的比例为μ日治愈率。μλσ=一个感染期内每个病人的有效接触人

数

模型构成

于是有[]Ni(t)-t (t)i(t)i(t)-t)i(t N μλ∆=∆+Ns （8） 可得微分方程 i i(0) i -i)-(1==μλi dt

di

0 （9） 得到[])1/-(1--di

σλi i dt

= （10）

模型 4 SIR 模型

大多数传染者如天花 流感 肝炎 麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以冰域的人即非易感者，也非感病者，因此他们将被移除传染系统，我们称之为移除者，记为R 类

SIR 模型是指易感染者被传染后变为感染住，感病者可以被治愈，并会产生免疫力，变为移除者。人员流动图为：S-I-R 。

假设：

1 总人数为常数N ，且i （t ）+s （t ）+r （t ）=1；

2 .病人的日接触率（每个病人每天有效接触的平均人数）为常数λ，日治愈率（每天被治愈的病人占总病人数的比例）为常数μ，显然平均传染期为1／μ，传染期接触数为σ=λ／μ。该模型的缺陷是结果常与实际有一定程度差距，这是因为模型中假设有效接触率传染力是不变的。

3 单位时间内病愈免疫的人数与但是的病人人数成正比，比例系数l 。称为恢复系数。 在以上三个基本假设条件下，易感染者从患病到移出的过程框图表示如下：

模型结构

在假设1中显然有：

s(t) + i(t) + r(t) = 1 （1） 对于病愈免疫的移出者的数量应为