第九章概率算法

2021/3/7
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直接用概率进行数值计算
设f(x)是[0, 1]上的连续函数， 求I =∫ f01(x)dx。
假设向单位正方形内随机 投入n个点(xi, yi)，若有m个 点落入G中，则I≈m/n。
y = f(x) G
double Darts (int n) {double x, y; int k算机算法设计与分析
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概率计算
概率计算就是在算法中可采用随机选择计算的 步骤、元素或参数等。
它的基本特征是计算具有不确定性。 它的解也不一定是最优解。 它在很大程度上能降低算法的复杂度。 在非标准算法中普遍了应用概率方法，主要有： (1)直接用概率进行数值计算； (2)用概率/随机进行选择； (3)利用概率加速搜索或避免陷于局部最优。
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合数的见证者
设n为测试的自然数，不妨设n是大于2的奇数， 则有n – 1 = 2im，其中i是非负整数，m是正奇 数。取一自然数b，1 < b < n，记W(b)为条件：
① bn–1 ≠ 1 (mod n) 或
②i，使得m = (n–1)/2i 且 1 < gcd(bm–1, n) < b。
在快速排序算法中，若用拟中位数作为划分标 准，可保证在线性时间内完成。但是确定拟中 位数要付出额外开销。若选用第一个元素为划 分基准，最坏时的时间复杂性为O(n2)。
若在算法中采用随机选择一个元素作为划分标 准，便可既保证算法的线性时间平均性能，又 避免了计算拟中位数的麻烦。
也可先对数组进行“洗牌”，然后再进行确定 的排序算法。这样依然可取得同样的效果。
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“洗牌”后的快速排序
void Shuffle(Type a[], int n) { //随机洗牌算法
static RandomNumber md;
for (int i = 1; i < n; i++) {
int j = md.Random(n – i + 1) + i;
Swap(a[i], a[j]); }}
Void QuiksortByShuffle(Type a[], int n) { Shuffle(a, n); //将数组a洗牌
Quiksort(a, n); }
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随机抽样
在n个元素的集合中随机抽取m(0<m≤n) 个无重复的元素。为简单起见，假定所 有元素的值都位于1至n之间。
|{b|1<b<n，W(b)满足}|≥(n–1)/2
即，在小于n的自然数中有多半是n的见证者。
任取一个自然数b < n，若b不是n的见证者，则 n是合数的概率小于1/2。若随机取m个数都不 是见证者，则n是合数的概率小于1/2m。
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Miller-Rabin素数判定概率算法
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随机抽样
int RandomSampling(S[n], A[m], m) {
mark[1..n] = False; count=0;
while(count < m) {
r = random(1, n);
if (mark[r] == False) {
若①或②中有一个为真，就认为W(b)满足，则 n必定是合数，我们称b是n为合数的见证者。
若n有见证者，则n必定为合数。
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合数的见证者多于一半
Miller已经证明，存在常数c，使得当n为合数 时，在[1, c(log n)2]范围内有见证者。
Rabin证明了：如果n是合数，则
count++;
A[count]=S[r];
mark[r]=True; }}}
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判定素数的概率算法
判定自然数是否是素数，不仅有重要理论意义， 而且在密码学中具有重要实用价值。
最简单的素数判定方法是依次测定从2到n½ 中 是否存在n的因子，该算法的复杂度为O(n½ )。
筛法：将小于n的合数预先筛掉，而不用判断 其是否为n的因子。它虽然没有降低算法的复 杂度，但实际运行速度比前者要快得多。
概率算法，保证一定概率的前提下简单判断。
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Fermat素数测试法
Fermat定理： 若p是素数，则对任意整 数a，gcd(a, p) = 1，则有ap–1≡1 (mod p)。
显然，对素数p有pp–1 ≡1 (mod p)。
对于一般的整数n，满足nn–1≡1 (mod n)的 数目很少。满足的称为伪素数。
就用是否满足nn–1≡1 (mod n)来判断n是否 为素数。
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Fermat素数测试法
Bool Fermat_Prime(int n) { a = 2; power = n – 1; other = 1; while(power > 1) { if (power % 2 == 1) {other *= a; other %= n;} power /= 2; a = a * a % n;} if (a * other % n == 1) return True; return False; }
Bool Miller_Rabin_Prime(int n){ b[1 .. m] = RandomSampling(n, m); /*随机选取m个大于1小于n的无重复的自然数 for (j = 1; j <= m; j++) if (W(b[j]) 满足) return False; return True; } 若m = 100，则n不是素数的概率小于1/2100。
static RandomNumber dart;
for (int i=1; i<=n; i++) {x=dart.fRandom();
y=dart.fRandom(); if (y<=f(x)) k++;}
return k/double(n); }
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划分基准的随机选择