2020届中考数学复习基础测试卷专练 特殊四边形的折叠问题【含答案】

2020届中考数学复习基础测试卷专练：特殊四边形的折叠问题

一、选择题

1. 如图，将?ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在B ′处，若∠1=∠2=44°，则∠B 为（ ）

A ．66°

B ．104°

C ．114°

D ．124°

2．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=5，点E 在边CD 上，连接BE ，将△BCE 沿BE 折叠，若点C 恰好落在AD 边上的点F 处，则CE 的长为（ ） A. 53 B. 35 C. 43 D.3

4

3．如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH ．若BE ：EC=2：1，则线段CH 的长是（ ）

A.3

B. 4

C. 5

D.6

二、填空题

4． 如图，折叠矩形纸片ABCD ，得折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DF ．若AB=4，BC=2，则AF= _________．

5. 如图，长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为

________ cm 2．

6.如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上的一点，BE=1，F 为AB 上的一点，AF=2，P 为AC 上一个动点，则PF+PE 的最小值为

_______.

三、解答题

7．在平行四边形ABCD 中，将△BCD 沿BD 翻折，使点C 落在点E 处，BE 和AD 相交于点O.

求证：OA=OE

8.如图，将□ABCD 沿过点A 的直线l 折叠，使点D 落到AB 边上的点'D 处，折痕l 交CD 边于点E ，连接BE

（1）求证：四边形'BCED 是平行四边形

（2）若BE 平分∠ABC ，求证：2

22BE AE AB +=

9． 如图，AC 为矩形ABCD 的对角线，将边AB 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点M 处，将边CD 沿CF 折叠，使点D 落在AC 上的点N 处。

（1）求证：四边形AECF 是平行四边形；

（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF 的面积。

10．将矩形ABCD 折叠使A ，C 重合，折痕交BC 于E ，交AD 于F ，

（1）求证：四边形AECF 为菱形；

（2）若AB=4，BC=8，

①求菱形的边长；

A B C D E

O

②求折痕EF 的长．

参考答案

1. C ．【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴AB ∥CD ，∴∠ACD=∠BAC ，

由折叠的性质得：∠BAC=∠B ′AC ，∴∠BAC=∠ACD=∠B ′AC=∠1=22°，

∴∠B=180°-∠2-∠BAC=180°-44°-22°=114°.

2．B 【解析】设CE=x ．

∵四边形ABCD 是矩形，

∴AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．

∵将△BCE 沿BE 折叠，使点C 恰好落在AD 边上的点F 处，

∴BF=BC=5，EF=CE=x ，DE=CD-CE=3-x ．

在Rt △ABF 中，由勾股定理得：

AF 2=52-32=16，

∴AF=4，DF=5-4=1．

在Rt △DEF 中，由勾股定理得：

EF 2=DE 2+DF 2，

即x 2=（3-x ）2+12，

解得x=3

5． 3．B[解析]由题意设CH=xcm ，则DH=EH=（9-x ）cm ，

∵BE ：EC=2：1，∴CE=BC=3cm

∴在Rt △ECH 中，EH 2=EC 2+CH 2

，

即（9-x ）2=32+x 2，

解得x=4，即CH=4cm ．

4．-1

5. 6【解析】∵将此长方形折叠，使点B与点D重合，

∴BE=ED．

∵AD=9cm=AE+DE=AE+BE．

∴BE=9-AE，

根据勾股定理可知：AB2+AE2=BE2．

∴32+AE2=（9-AE）2．

解得AE=4cm．∴△ABE的面积为×3×4=6（cm2）．

17【解析】作E关于直线AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为所求，

6.

过F作FG⊥CD于G，

在Rt△E′FG中，GE′=CD-BE-BF=4-1-2=1，GF=4，

7．证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴∠ADB=∠CBD，由折叠可知∠EBD=∠CBD，BE=BC，∴∠EBD=∠ADB，∴BO=DO，∵AD= BE，∴AD - DO = BE- BO ，即OA=OE.

8.证明：（1）∵将?ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，

∴∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA，∠D=∠AD′E，

∵DE∥AD′，

∴∠DEA=∠EAD′，

∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，

∴∠DAD′=∠DED′，

∴四边形DAD′E是平行四边形，

∴DE=AD′，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形BCED′是平行四边形；

（2）∵BE平分∠ABC，

∴∠CBE=∠EBA，

∵AD∥BC，

∴∠DAB+∠CBA=180°，

∵∠DAE=∠BAE，

∴∠EAB+∠EBA=90°，

∴∠AEB=90°，

∴AB2=AE2+BE2．

9．解：（1）证明：因为四边形ABCD 是矩形，那么AD ∥BC ，AB ∥CD ，所以∠FAC=∠ACE ，∠BAC=∠DCA 。由折叠可得

∠BAE=∠EAC=21∠BAC ，∠DCF=∠NCF=21

∠DCA ，所以∠EAC=∠FCA 。又因为AC=CA ，所以△CAE △ACF ，所以CE=AF 。即四边形AECF 是平行四边形。

（2）因为AB=6，AC=10，由勾股定理，得BC=8.设EM=x ，那么BE=EM=x ，所以CE=BC-BE=8-x ，CM=AC-AM=AC-AB=10-6=4.在Rt △CEM 中，由勾股定理，得EM2+CM2=CE2，所以x2+42=(8-x)2，解得x=3。所以四边形AECF 的面积=2△ACE 的

面积=2×21

AC ×EM=30. 10． 证明：（1）∵矩形ABCD 折叠使A ，C 重合，折痕为EF ，

∴OA=OC ，EF ⊥AC ，EA=EC ，

∵AD ∥AC ，

∴∠FAC=∠ECA ，在△AOF 和△COE 中，

∴△AOF ≌△COE ，

∴OF=OE ，

∵OA=OC ，AC ⊥EF ，

∴四边形AECF 为菱形；

（2）①设菱形的边长为x ，则BE=BC-CE=8-x ，AE=x ，

在Rt △ABE 中，∵BE2+AB2=AE2，

∴（8-x ）2+42=x2，解得x=5，

即菱形的边长为5；

②在Rt △ABC 中，

∴OA=AC=2，

在Rt △AOE 中，AE=5，

∴EF=2OE=2

．