椭圆中三角形

椭圆中三角形(四边形)面积最值求解策略
最值问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，本文举列探求椭圆中三角形(四边形)面积最值问题的求解策略
一 利用椭圆的几何性质(对称性、取值范围等) 例1 已知椭圆
)0(12
22
2
>>=+
b a b y a x 的右焦
点是F （c,0），过原点O 作直线l 与椭圆相交于A,B 两点，求三角形ABF 面积的最大值。

分析:将三角形ABF 的面积分割成两个三角形的面积之和，并表示成关于点A 的坐标的函数，然后利用椭圆的取值范围求解
解析:因为直线l 过原点，由椭圆的对称性知，A,B 两点关于原点对称，设点A （x 0,y 0）(y 0>0), 设三角形ABF 的面积为S ，则S=S △AOF + S △BOF =2S △AOF =cy 0, 0<y 0≤b,∴ S=cy 0≤bc.所以三角形ABF 面积的最大值是bc 。

点评: 将三角形ABF 的面积表示成关于点A 的坐标（x 0,y 0）y 0的一元一次函数，再利用椭圆的取值范围求最大值，是本题的解题技巧，若将三角形ABF 的面积表示成关于直线l 斜率的函数，则运算量要大许多。

二 利用基本不等式或参数方程 例2 设椭圆中心在坐标原点，点A(2，0)，C(0,1)是它的两个顶点，直线y=kx(k>0)与椭圆相交于B,D 两点，求四边形ABCD 面积的最大值 分析:将四边形ABCD 的面积分割成几个三角形的面积之和，并表示成关于k 或者点B 的坐标的函数，再
求函数的最大值。

解析:因为点A(2，0)，C(0,1)是椭圆的两个顶点，所以椭圆的方程是
1242
=+y x ，由椭圆的对称性知，点
B,D 关于原点对称，设点B （x 0,y 0）(x 0>0),则
12
020=+y x ，即442
02
0=+y x 。

设四边形ABCD 的面
积为S ，则S=S △ABD + S △BCD =2S △AOB +2S △COB =|0A|×y 0+|0C|∙x 0=2y 0+x 0. 法一:
12
04
20=+y x 可设x 0
=2cos θ,y 0
=sin θ,∴S=2y 0
+x 0
=2sin θ+2cos θ=22
sin(θ+450)≤2
2,当且仅当θ=450
时取等号。

故四边形ABCD 面积的最大值是22。

法二: S=2y 0+x 0=
2
00)2(y x +=
02
02044y x y x ++=
≤∙∙+00224y x
4
42
02
0++y x =2
2，当且仅当2y 0
=x 0
=2时取等号。

故四边形ABCD 面积的最大值是22。

点评: 将四边形ABCD 的面积表示成关于点B 的坐标（x 0,y 0）的二元函数，再利用基本不等式或参数求最大值，是本题的解题技巧，若将四边形ABCD 的面积表示成关于k 的函数，则运算量要大许多。

三 巧设直线方程，简化运算 例3 已知椭圆C: 13
4
22
=+
y x ，若经过椭圆右焦点F 2作直
线l 交椭圆于A,B 两点，求1ABF ∆面积的最大值。

分析: 直线l 过x 轴上的一点，故可设直线l 方程为1+=my x
可简化讨论和运算，
不会出错，认真领会。

解 :设直线AB 的方程为
1+=my x ()
R m ∈把1
+=my x 代入1
22=+
y x 得()
964322
=-++my y m
①
显
然
>∆设
A
()11,y x ，
B
()
22,y x 则
=-⨯⨯=21212y y S 2
1y y -又因为
=
+21y y 4
362+-m m
，
=
⋅21y y 4392+-m ，
=-221)(y y 4)(221-+y y 21y y ⋅=482
2
2
)43(3
3++m m 令233m t
+=则,3≥t =
-221)(y y t
t 1
48+由于函
数
t
t y 1+=在[)+∞,3上单调递增，所以3101≥+t t 故9)(2
21≤-y y 即3≤S 故1ABF ∆面积的最大值等于3.
点评:解析几何的最值求解离不开目标函数的建立，因目标函数引入变量的背景不同，求法也不同，具体求最值可用到配方法，不等式法，换元法等。

四 构造关于k 的函数求最值 例4 过点P(3,0)的直线l 与椭圆13
2
2
=+
y x 相交于不同的两
点E,F ，求∆OEF （O 为坐标原点）面积的最大值.
分析:将∆OEF 的面积分割成两个三角形的面积之差，并表示成关于k 的函数，然后利用换元法、配方法求最大值。

解析:显然直线l 的斜率存在，设直线l 方程为:y=k(x-3)(k ≠0)代入13
2
2=+
y x
消去y 整理得
(k 2+3)x 2-6k 2x+9k 2-3=0,=∆36k 4-4(k 2+3) (9k 2-3)>0,得0<k 2<83
.而S △OEF =|S △OPE -S △OPF |=2
3|y 1-y 2|=
2
3×|k|×|x 1-x 2|=
2
3|k|
()212214x x x x -+=3
9
62492442++-k k k k 令k 2=t,则()83,0∈
t ，S
△OEF
=
39624922++-t t t t 再令t+3=m, S △OEF =3
241532432
-+-
m m ,m ∈(3,383),配方易求得t=173
时，∆OEF 面积的最大
值为2
3。

点评:利用面积分割，简化运算，注意∆>0是直线与椭圆相交于不同两点的充要条件，任何时候不能忘，求k 取值范围不能忽视。

五 构造关于b 的函数求最值 例5 已知椭圆
122
=+
y x ，过椭圆上的点P(1,2)作倾斜角
互补的两条直线PA ，PB 分别交椭圆于A ，B 两点。

（1）求证直线AB 的斜率为定值2（2）求PAB ∆面
积的最大值。

分析:利用(1)结论以b 为变量构造函数，用弦长和点到直线距离求面积。

解析:（1）略（2）由(1)可设直线AB 的方程为:y=2x+b 代入14
22
2
=+
y x 得4x 2+22bx+b 2-4=
0,()
041682
2
>--=∆
b b ,b 2
<8. 设A ()11,y x ，B ()22,y x , AB|=()2
21+
()2
12214x x x x -+=
2
2
43b -,
点
P 到直线AB 的距离
d=
3
b ,⋅=⋅=
∴∆b d AB S PAB
2
1212
24b -
=
()
1642
22
21+--b ≤2,当且仅当
b=±2时取
等号,所以PAB ∆面积的最大值是2。

点评:本题综合考查了直线与椭圆的位置关系，点到直线距离公式，三角形面积求法等知识， 六 利用垂直关系求四边形面积最值 例6 P,Q,M,N 四点都在椭圆12
2
2
=+
y x
上，F
为椭圆在y
轴正半轴上的焦点，已知PF =1λFQ ，MF =2λFN ，且MF PF ⋅=0，求四边形
PMQN 的面积的
最大值和最小值。

分析:利用垂直关系建立面积关于k 的函数，然后运用单调性求最值
解析:由条件知MN 和PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0，1)，且P Q ⊥MN,直线PQ,MN 中至少有一条存在斜率，不妨设PQ 的斜率为k ，又PQ 过点F(0，1)，故PQ 方程为y=kx+1.代入椭圆12
2
2=+
y x 中得
(2+k 2)x 2+2kx-1=0, 设P
()11,y x ，Q ()22,y x 则|PQ|=
2
1k +()2
12214x x x x -+=
(
)2
2
2122k
k ++①当k ≠0
时，MN 的斜率为-
k
1，用-k
1
代换k 可推得|MN|=
()(
)()
2121
2122k
-+-+，故四边形面积S=21|PQ||MN|=
2
2212
2524k
k k k ++⎪
⎭⎫ ⎝
⎛++，
令u=k 2
+
2
1k ,得S=
()()u u
u 251252412+++-=，因为u=k 2
+2
1k ≥2，当k=±1时，u=2,S=9
16且S 是以u 为自变量的增函数，所以916≤S<2，②当k=0时，MN 为椭圆长轴，|MN|=22，|PQ|=2，S=2
1
|PQ||MN|=2，
综合①②知，四边形PMQN 面积的最大值为2，最小值为9
16。

点评:本题综合考查了向量共线、垂直，弦长求法，直线与椭圆的位置关系，四边形面积，函数最值求法等知识。

分类讨论思想及综合运用知识解题能力。

7，已知抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过焦点F 且不平行于x 轴的动直线l 交抛物线于A,B 两点，抛物线在A,B 两点处的切线交于点M 。

(1)求证:A,M,B 三点的横坐标成等差数列；(2)设直线MF 交该抛物线于C,D 两点，求四边形ABCD 面积的最小值。

解析:(1)由已知，得F （0，1），显然直线AB 的斜率存在且不为0，则可设直线AB 的方程为y=kx+1(k ≠0),
A ()11,y x ，
B ()22,y x ,由⎩⎨⎧+==1
42kx y y x ，消去y ，得x 2-4kx-4=0,显然∆=16k 2+16>0.∴x 1+x 2=4k, x 1x 2=-4,
由x 2=4y ，得y=
4
1x 2, ∴
y '=2
1x, ∴直线AM 的斜率为k AM =
2
1
x 1. 直线AM 的方程为y-y 1=
2
1x 1(x-x 1),又
x 12=4y 1, ∴直线AM 的方程为x 1x=2(y+y 1)①同理，直线BM 的方程为x 2x=2(y+y 2)②由②-①并据x 1≠x 2，得，点M 的横坐标x=
2
1( x 1+x 2).
即A,M,B 三点的横坐标成等差数列。

（2）由①②易得y=-1,
∴点
M 的坐标为(2k,-1) (k ≠0).
∴k MF =k
k 122-=-,则直线MF 的方程为y=k
1-
x+1,又|AB|=
2
1k +()2
12214x x x x -+
=4(k 2+1).用k
1
-
代换k 得|CD|=
()211k
-
+()2
12214x x x x -+=4(
2
1k +1), k MF k AB =-1, ∴A B ⊥CD.
∴S ABCD =2
1|AB||CD|=8(
2
1k +1) (k 2+1)=8(k 2+
2
1k +2)≥32, 当且仅当k=±1时取等号,所以四边形ABCD 面
积的最小值我32.。