椭圆中三角形
椭圆中焦点三角形的性质(含答案)
椭圆中焦点三角形的性质（含答案）鞍山三中高二文科数学主题1：椭圆中焦点三角形的性质和应用b2性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为2ax2y2？？1、F1和F2是它们的焦点，以及？f1pf2？60?，例1如果P是椭圆10064求△f1pf2的面积.x2y2？？1上的点F1和F2分别是椭圆的左焦点和右焦点，例2我们知道P是椭圆259证明：性质二：已知的椭圆方程是xy??1(a?b?0),两焦点分别为f1,f2,设焦点三角形22ab22若pf1?pf2|pf1|?|pf2|?1，则△f1pf2的面积为（）2a.33b.23c.3d.在pf1f2中？f1pf2？？，那是什么？f1pf2？B2tan证书：2.33x2y2？？1的左焦点和右焦点分别为F1和F2，点P位于椭圆示例3中的已知椭圆上169若p、f1、f2是一个直角三角形的三个顶点，则点p到x轴的距离为（）99797A。
b、 C.D.或54477x2y2性质三：已知椭圆方程为2?2?1(a?b?0),两焦点分别为f1,f2,设焦点三角形abx2y2例4.已知f1、f2是椭圆2?2?1(a?b?0)的两个焦点，椭圆上一点p使在abpf1f2中？f1pf2？？，那是因为？？1.2e2。
f1pf290，求椭圆离心率e的取值范围。
一鞍山三中高二文科数学y2x2??1上一点p与椭圆两个焦点f1、f2的连线互相垂直，1.椭圆则△f1pf2的4924主题2：偏心率的计算：1．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为()2356a。
2b。
2c。
3d。
三2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()4321a.5b.5c.5d.53.如果椭圆的短轴长度为6，且焦点到长轴端点的最近距离为1，则椭圆的偏心率为___x2y24.已知a是椭圆A2+B2=1（a>b>0）上的移动点。
椭圆中的三角形9.13
2
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x y 例1：已知椭圆标准方程为 1, 25 9 两焦点为F1 , F2。
(8)、已知△ABC的顶点A(-4,0) 和C(4,0), sinA sinC 顶点B在椭圆上。求 的值 sinB
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பைடு நூலகம்
椭圆中的焦点三角形
x y 例1：已知椭圆标准方程为 1, 25 9 两焦点为F1 , F2。
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(1)、过点F2的直线交椭圆于点 A，B。 若 | AB | 5,则 | AF 1 | | BF 2 | (2)、M为椭圆上一点， | MF 1 | 2, N为
| MF O是坐标原点，则 1 | 的中点， 求 | ON | 的值。
x y 例1：已知椭圆标准方程为 1, 25 9 两焦点为F1 , F2。
(3)、已知M是椭圆上的一点， 求 | MF 1 | | MF 2 | 的最大值。
求△MF 1F 2的面积
2
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(4)、已知M是椭圆上的一点，若 F1MF2 90。
x y 例1：已知椭圆标准方程为 1, 25 9 两焦点为F1 , F2。
(5)、已知M为椭圆上一点，且
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F1MF2 60 ，求三角形F1MF2的面积。
(6)、已知M是椭圆上的一点，若 F1MF2为 钝角，求点M横坐标的取值范围。
x y 变式：椭圆标准方程为 1, 9 4 两焦点为F1 , F2。
已知M是椭圆上的一点，则 F1MF2 是否有可能为直角？为 什么？
椭圆最值问题三角形面积
我们要找出一个给定椭圆内三角形面积的最大和最小值。
首先，我们需要理解椭圆和三角形的基本性质，然后使用数学模型帮助我们解决这个问题。
假设椭圆的长轴为 a，短轴为 b。
三角形的三个顶点分别为 A(x1, y1), B(x2, y2) 和 C(x3, y3)。
根据题目，我们知道三角形的三个顶点都在椭圆上，所以：1) x1^2/a^2 + y1^2/b^2 = 12) x2^2/a^2 + y2^2/b^2 = 13) x3^2/a^2 + y3^2/b^2 = 1三角形的面积 S 可以用以下公式表示：S = 0.5 × |AB| × |AC| × sin(∠BAC)其中 |AB| 和 |AC| 是AB和AC的长度，∠BAC是角BAC的度数。
我们的目标是找到 S 的最大和最小值。
为了找到三角形面积的最大和最小值，我们需要解决以下优化问题：最大面积：maximize S约束条件：1) x1^2/a^2 + y1^2/b^2 = 12) x2^2/a^2 + y2^2/b^2 = 13) x3^2/a^2 + y3^2/b^2 = 14) x1, y1, x2, y2, x3, y3 >= 05) |x1 - x2| >= |y1 - y2|6) |x1 - x3| >= |y1 - y3|7) |x2 - x3| >= |y2 - y3|最小面积：minimize S约束条件：1) x1^2/a^2 + y1^2/b^2 = 12) x2^2/a^2 + y2^2/b^2 = 13) x3^2/a^2 + y3^2/b^2 = 14) x1, y1, x2, y2, x3, y3 >= 05) |x1 - x2| <= |y1 - y2|6) |x1 - x3| <= |y1 - y3|7) |x2 - x3| <= |y2 - y3|。
椭圆中焦点三角形的性质(含答案)
焦点三角形习题之勘阻及广创作性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为ab 22性质二：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan 221θb S PF F =∆.证明：记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得.4)(,2222121a r r a r r =+∴=+在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ 由任意三角形的面积公式得：2tan 2cos 22cos2sin2cos 1sin sin 2122222121θθθθθθθ⋅=⋅=+⋅==∆b b b r r S PF F .同理可证，在椭圆12222=+b x a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立.性质三：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ 性质三证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得：.2112221)2(222222222122e a c a r r c a -=--=-+-≥命题得证。
例1.若P是椭圆16410022=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ，求△21PF F 的面积. 例1．解法一：在椭圆16410022=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60︒=θ 记.||,||2211r PF r PF ==点P 在椭圆上，∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ 配方，得：.1443)(21221=-+r r r r.144340021=-∴r r 从而.325621=r r 解法二：在椭圆16410022=+y x 中，642=b ，而.60︒=θ192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点， 21||||2121=⋅PF PF ，则△21PF F 的面积为（ ） A. 33 B. 32 C. 3 D.33 解：设θ=∠21PF F ，则21||||cos 2121=⋅=PF PF θ，.60︒=∴θ.3330tan 92tan221=︒==∴∆θb S PF F 故选答案A.191622=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ）A. 59 B. 779C. 49 D. 49或779解：若1F 或2F 是直角顶点，则点P 到x 轴的距离为半通径的长492=a b ；若P 是直角顶点，设点P 到x 轴的距离为h ，则945tan 92tan221=︒==∆θb S PF F ，又,7)2(2121h h c S PF F =⋅⋅=∆ 97=∴h ，.779=h 故选D.1. 椭圆1244922=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（ ）A. 20B. 22C. 28D. 24解：24,90221=︒==∠b PF F θ，∴2445tan 242tan221=︒==∆θb S PFF .故选D.2. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 1C. 3D. 6解：设θ=∠21PF F ， 12tan2tan221===∆θθb S PFF ，∴︒=︒=90,452θθ，021=⋅PF PF .故选A.3. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积最大时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 2C. 4D. 2-解：3,1,2===c b a ，设θ=∠21PF F ， 2tan2tan221θθ==∆b S PFF ，∴当△21PF F 的面积最大时，θ为最大，这时点P 为椭圆短轴的端点，︒=120θ，∴2120cos cos ||||22121-=︒=⋅=⋅a PF PF PF PF θ.故答案选D. 4．已知椭圆1222=+y ax （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ，则||||21PF PF ⋅的值为（ ） A ．1 B ．31C ．34D ．32解：︒==∠6021θPF F ，1=b ，3330tan 2tan221=︒==∆θb S PFF ，又 ||||43sin ||||21212121PF PF PF PF S PFF ⋅=⋅=∆θ， ∴33||||4321=⋅PF PF ，从而34||||21=⋅PF PF .故答案选C.5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F 、2F 为焦点，点P 在椭圆上，直线1PF 与2PF 倾斜角的差为︒=∠9021PF F ，△21PF F 的面积是20，且c/a=√5/3，求椭圆的尺度方程.解：设θ=∠21PF F ，则︒=90θ. 2045tan 2tan22221==︒==∆b b b S PFF θ，又 3522=-==a b a ac e ，∴95122=-ab ，即952012=-a. 解得：452=a .∴所求椭圆的尺度方程为1204522=+y x 或1204522=+x y . 专题2：离心率求法：1．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为()A.22B.32C.53D.631.解析：选 A.如图所示，四边形B 1F 2B 2F 1为正方形，则△B 2OF 2为等腰直角三角形， ∴c a ＝22. 2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是() A.45B.35C.25D.15b ＝a ＋c ，又b 2＝a 2－c 2，∴4(a 2－c 2)＝a 2＋c 2＋2ac .∴3a 2－2ac －5c 2＝0.∴5c 2＋2ac －3a 2＝0.∴5e 2＋2e －3＝0.∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．3．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________． 3.解析：依题意，得b ＝3，a －c ＝1.又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝5，c ＝4，∴椭圆的离心率为e ＝c a ＝45.答案：454.已知A 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的一个动点，直线AB 、AC 分别过焦点F 1、F 2，且与椭圆交于B 、C 两点，若当AC 垂直于x 轴时，恰好有|AF 1|∶|AF 2|＝3∶1，求该椭圆的离心率．4.解：设|AF 2|＝m ，则|AF 1|＝3m ，∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝4m . 又在Rt△AF 1F 2中，|F 1F 2|＝|AF 1|2－|AF 2|2＝22m .∴e ＝2c 2a ＝|F 1F 2|2a ＝22m 4m ＝22.5．如图所示，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．5. 解：法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a 、b 、c .则焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 点的坐标为(c ，23b )，则△MF 1F 2为直角三角形． 在Rt△MF 1F 2中，|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2，即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2.而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理得3c 2＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a .所以b 2a 2＝49.∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，∴e ＝53.法二：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 则M (c ，23b )．代入椭圆方程，得c 2a 2＋4b29b2＝1，所以c 2a 2＝59，所以c a ＝53，即e ＝53.椭圆中焦点三角形的性质及应用（答案）性质二离心率求法：。
椭圆中一类三角形面积的最大值
椭圆中一类三角形面积的最大值
1.当一个椭圆的两条对称轴分别垂直于椭圆的长轴和短轴时，它们所截得的两部分面积之差为最大值。
2.当两条对称轴不垂直于椭圆的长轴和短轴时，其两部分面积之差为最小值。
3.当两条对称轴都垂直于椭圆的长轴和短轴时，其两部分面积之差为最小值。
4.当两条对称轴都平行于椭圆的长轴和短轴时，其两部分面积之差为最大值。
5.当两条对称轴都垂直于椭圆的长轴和短轴时，其两部分面积之差为最小值。
6.当两条对称轴都平行于椭圆的长轴和短轴时，其两部分面积之差为最小值。
7.当两条对称轴都不平行于椭圆的长轴和短轴时，其两部分面积之差为最大值。
椭圆中焦点三角形面积公式
2023年高考数学椭圆焦点三角形的面积问题【考点梳理】焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形.r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中：①焦点三角形的周长为2(a ＋c )；②4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos θ；③当r 1＝r 2时，即点P 的位置为短轴端点时，θ最大；④S ＝12r 1r 2sin θ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc .【题型归纳】一、求椭圆焦点三角的面积1．已知点P 是椭圆22:1259x y C +=上一点，12,F F 是其左右焦点，且1260F PF ∠=，则三角形12F PF △的面积为_________2．已知点P 是椭圆221259x y +=上的点，点12,F F 是椭圆的两个焦点，若12F PF △中有一个角的大小为3π，则12F PF △的面积为______．3．设12,F F 是椭圆2241496x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且12||:||4:3PF PF =，则12PF F △的面积为（）A ．22B ．42C ．4D ．64．设12,F F 是椭圆2211224x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且1213cos F PF ∠=.则12PF F △的面积为（）A ．6B ．62C ．8D ．825．已知点F 1，F 2分别是椭圆22:14x C y +=的左右焦点，点M 在椭圆C 上，且满足1223MF MF += ，则12MF F △的面积为___________.6．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，若椭圆C 上存在一点P ，使得120PF PF ⋅= ，且△12F PF 的面积等于4.则实数b 的值为___________.二、椭圆焦点三角形面积的最值问题7．已知1F 、2F 为椭圆22:14xy Γ+=的左、右焦点，M 为Γ上的点，则12MF F △面积的最大值为（）A ．3B ．2C ．23D ．4三、已知椭圆焦点三角形面积求边8．设1F 、2F 是椭圆22:110x C y +=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上，且12PF F △的面积为7，则OP =（）A ．3B ．73C ．83D ．39．已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，点M 是椭圆C 上的一点，且1212,2F MF F MF π∠= 的面积为1，则椭圆C 的短轴长为（）A ．1B ．2C ．22D ．4四、与内切圆相结合10．已知椭圆2212516x y +=两焦点1F 、2F ，P 为椭圆上一点，若123F PF π∠=，则12F PF △的内切圆半径为______五、与平面向量相结合11．已知P 是椭圆221259x y +=上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若1212PF PF PF PF ⋅=⋅12，则12F PF △的面积为（）A ．33B ．93C ．3D ．912．已知1F 、2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥ ．若12PF F △的面积为9，求实数b 的值．【巩固训练】一、单选题13．已知点P 在椭圆221164x y +=上，1F 与2F 分别为左、右焦点，若1223F PF π∠=，则12F PF △的面积为（）A ．43B ．63C ．83D ．13314．已知椭圆C ：221259x y +=，1F ，2F 分别为它的左右焦点，A ，B 分别为它的左右顶点，点P 是椭圆上的一个动点，下列结论中错误的是（）A ．离心率45e =B ．12F PF △的周长为18C ．直线PA 与直线PB 斜率乘积为定值925-D ．若1290F PF ︒∠=，则12F PF △的面积为815．已知椭圆2221(10)y x b b +=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，点M 是椭圆上一点，点A 是线段12F F 上一点，且121223F MF F MA π∠=∠=，3||2MA =，则该椭圆的离心率为（）A ．32B ．12C ．223D ．33二、多选题16．椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，若方程340mx y m ++-=所表示的直线恒过定点M ，点Q 在以点M 为圆心，C 的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（）A ．椭圆C 的离心率为12B ．12PF PF ⋅的最大值为4C ．12PF F △的面积可能为2D ．2PQ PF -的最小值为256-17．已知椭圆22:14x M y +=，若P 在椭圆M 上，1F 、2F 是椭圆M 的左、右焦点，则下列说法正确的有（）A ．若12PF PF =，则1230PF F ∠=B ．12F PF △面积的最大值为3C ．12PF PF -的最大值为23D ．满足12F PF △是直角三角形的点P 有4个18．已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别是1F ，2F ，04,3M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆C 上一点，则下列结论正确的是（）A ．12MF F △的周长为6B ．12MF F △的面积为153C ．12MF F △的内切圆的半径为159D ．12MF F △的外接圆的直径为321119．双曲线22:1124x y C -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在C 上.若12PF F △是直角三角形，则12PF F △的面积为（）A ．833B ．433C ．4D ．220．已知P 是椭圆C ：2216x y +=上的动点，过11,4Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭直线与椭圆交于,M N 两点，则（）A ．C 的焦距为5B ．当Q 为MN 中点时，直线MN 的斜率为3-C ．C 的离心率为306D ．若1290F PF ︒∠=，则12F PF △的面积为121．设椭圆22:12x C y +=的左右焦点为1F ，2F ，P 是C 上的动点，则下列结论正确的是（）A ．离心率62e =B ．12PF F △面积的最大值为2C ．以线段12F F 为直径的圆与直线20x y +-=相切D ．12PF PF ⋅的最小值为0三、填空题22．设12F F ，是椭圆22196x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且1221PF PF =：：，则12F PF △的面积等于_______.23．已知F 1，F 2是椭圆2214x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，2PF ⊥x 轴，则12PF F 的面积为_________．四、解答题24．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P ，Q 为椭圆C 上任意两点，且()110PF QF λλ=< ，若2PQF 的周长为8，12PF F △面积的最大值为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 内切于矩形ABCD （椭圆与矩形四条边均相切），求矩形ABCD 面积的最大值．25．已知椭圆C 的两焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，P 为椭圆上一点，且12122F F PF PF =+．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点P 在第二象限，12120F PF ∠=︒，求△12PF F 的面积．26．已知圆22:(3)64M x y ++=圆心为M ，定点(3,0)N ，动点A 在圆M 上，线段AN 的垂直平分线交线段MA 于点P(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若点Q 是曲线C 上一点，且60QMN ∠=︒，求 QMN 的面积.参考答案1．33【分析】由椭圆方程可得,,a b c ，利用椭圆定义和余弦定理可构造方程求得12PF PF ⋅，由三角形面积公式可求得结果.【详解】由椭圆方程知：5a =，3b =，则22216c a b =-=；由椭圆定义知：12210PF PF a +==，由余弦定理得：222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠，()2212121243100364c PF PF PF PF PF PF ∴=+-⋅=-⋅=，解得：1212PF PF ⋅=，12121213sin 63322F PF S PF PF F PF ∴=⋅∠=⨯= .故答案为：33.2．33或63##63或33【分析】由椭圆方程可求得,,a b c ；当123F PF π∠=时，由焦点三角形面积公式可求得12F PF S ；当123PF F π∠=时，利用余弦定理可构造方程求得1PF ，由三角形面积公式可得结果.【详解】由椭圆方程知：5a =，3b =，则224c a b =-=；若123F PF π∠=，则12212tan9tan 3326F PF F PF S b π∠=== ；若123PF F π∠=，设1PF m =，则2210PF a m m =-=-，由余弦定理得：22222112112122cos 648PF PF F F PF F F PF F mm =+-⋅∠=+-=()210m -，解得：3m =，1211212113sin 3863222F PF S PF F F PF F ∴=⋅∠=⨯⨯⨯= ；同理可得：当21π3PF F Ð=时，1263F PF S = .综上所述：12F PF △的面积为33或63.故答案为：33或63.3．D【分析】根据椭圆的定义求出12||4,||3PF PF ==，从而判断出12PF F △为直角三角形，然后即可求出12PF F △的面积.【详解】易知2494a =，26b =，所以222254c a b =-=，72a =，即52c =，由椭圆的定义，知12||||27PF PF a +==，又因为12||:||4:3PF PF =，所以12||4,||3PF PF ==，又1225F F c ==，所以12PF F △为直角三角形，所以13462ABC S =⨯⨯=△.故选：D.4．B【分析】利用椭圆的几何性质，得到12246PF PF a +==，12243F F c ==，进而利用1213cos F PF ∠=得出1218PF PF ⋅=，进而可求出12S PF F 【详解】解：由椭圆2211224x y +=的方程可得2224,12a b ==，所以22212c a b =-=，得26,23a c ==且12246PF PF a +==，12243F F c ==，在12PF F △中，由余弦定理可得222221212121212121212||||||(||||)2||||||cos 2||||2||||PF PF F F PF PF PF PF F F F PF PF PF PF PF +-+--∠==22212121212442||||42||||2||||2||||a c PF PF b PF PF PF PF PF PF ---==12124122||||2||||PF PF PF PF ⨯-=，而121cos 3F PF ∠=，所以，1218PF PF ⋅=，又因为，121cos 3F PF ∠=，所以1222sin 3F PF ∠=，所以，1212121122sin 1862223S PF F PF PF F PF =⋅∠=⨯⨯= 故选：B 5．1【分析】设00(,)M x y ，则可得1200(2,2)MF MF x y +=-- ，再由1223MF MF += 可得22003x y +=，而点00(,)M x y 在椭圆上，则有220014x y +=，求出0y ，从而可求出12MF F △的面积【详解】由题意可得2,1,3a b c ===，则12(3,0),(3,0)F F -，设00(,)M x y ，则12000000(3,)(3,)(2,2)MF MF x y x y x y +=---+--=--，因为1223MF MF +=，所以22004412x y +=，所以22003x y +=，因为点00(,)M x y 在椭圆上，所以220014x y +=，解得033y =，所以12MF F △的面积为1323123⨯⨯=，故答案为：16．2【分析】由三角形面积公式、向量数量积的坐标表示及P 在椭圆上列方程可得||4P c y =、2||P b y c=，即可求参数b .【详解】由题设，12||||42P P c y c y ⨯⨯==，且(,)(,)0P P P P c x y c x y ---⋅--=，可得222P P x c y =-，又222222222:1P P P Px y c y y C a b a b-+=+=，则2||P b y c =，综上，24b =，又0b >，则2b =.故答案为：27．A【分析】由于12F F 为定值，所以当点M 到12F F 的距离最大时，12MF F △面积取得最大值，即当M 与短轴的一个端点重合时，12MF F △面积的最大【详解】由2214x y +=，得224,1a b ==，所以222,1,3a b c a b ===-=，由椭圆的性质可知当M 与短轴的一个端点重合时，12MF F △面积的最大，所以12MF F △面积的最大值为1211231322F F b =⨯⨯=，故选：A 8．A【分析】根据三角形12PF F △的面积可求得点P 的坐标，由此可求得OP 的值.【详解】在椭圆C 中，10a =，1b =，则223c a b =-=，所以，1226F F c ==，12121372PF F P P S F F y y =⋅==△，所以73P y =，所以253P x =，则223P P OP x y =+=，故选：A.9．B【分析】首先分别设1MF x =，2MF y =，再根据椭圆的定义和性质列出等式，即可求解椭圆的短轴长.【详解】设1MF x =，2MF y =，所以22221124x y a xy x y c+=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩，即()222222244x y x y xy x y a +=++=++=，即22444c a +=，得2221b a c =-=，短轴长为22b =.故选：B 10．233##233【分析】根据椭圆的方程求得c ，得12||F F ，设出11||PF t =，22||PF t =，利用余弦定理可求得12t t 的值，得到△12F PF 的面积，再由等面积法求出△12F PF 内切圆的半径．【详解】由题意方程可得，5a =，4b =，223c a b ∴=-=，即12||6F F =,设11||PF t =，22||PF t =，则根据椭圆的定义可得：1210t t +=，①在12F PF △中，123F PF π∠=，∴根据余弦定理可得：22212122cos 63t t t t π+-⋅=，②联立①②得12643t t ⋅=，∴121211643163sin 232323F PF S t t π=⋅=⨯⨯= ,设△12F PF 内切圆半径为r ，△12F PF 的周长为10616L =+=，面积为1633S =，则1112F PF S Lr =，2233S r L ∴==，故答案为：23311．A【分析】由已知可得12F PF ∠，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解.【详解】因为121212121212cos 1cos 2PF PF F PF PF PF F PF PF PF PF PF ⋅∠⋅==∠=⋅⋅，120F PF π∠≤≤所以123F PF π∠=，又224c a b =-=记12,PF m PF n ==，则222464210m n mn c m n a ⎧+-==⋅⋅⋅⎨+==⋅⋅⋅⎩①②，②2-①整理得：12mn =，所以12113sin 12332322F PF S mn π==⨯⨯= 故选：A12．3b =【分析】由题意以及椭圆的几何性质列方程即可求解.【详解】因为12PF PF ⊥，所以1290F PF ∠=︒，所以12F PF △为直角三角形，22212(2)PF PF c +=，122PF PF a +=，()2221212122PF PF PF PF PF PF +=+-⋅，即()()221212242c a PF PF =-⨯⋅，1212192F PF S PF PF =⋅=△，所以2244490c a =-⨯=，所以2449b =⨯．所以3b =；综上，b =3.13．A【分析】由椭圆的定义结合余弦定理解得1216PF PF =，通过三角形面积公式即可求得答案.【详解】由12222121212128cos 2PF PF PF PF F F F PF PF PF ⎧+=⎪+-⎨∠=⎪⎩，，又1243F F =，解得1216PF PF =，1212121sin 313422162F PF S PF P PF F F =⨯⨯==∠△.故选：A.14．D【分析】根据离心率的定义可判断A ；利用椭圆的定义可判断B ；求出PA PB k k ⋅可判断C ；利用勾股定理以及椭圆的定义求出12PF PF 可判断D.【详解】由221259x y +=，可得5a =，3b =，224c a b =-=，A ，离心率45c e a ==，故A 正确；B ，12F PF △的周长为12122218PF PF F F a c ++=+=，故B 正确.C ，设()00,P x y ，2020002200009125955252525PA PBx y y y k k x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅===-+---，故C 正确；D ，1290F PF ︒∠= ，222121264PF PF F F ∴+==，又因为12210PF PF a +==，所以()212100PF PF +=，即2212122100PF PF PF PF ∴++=，解得1218PF PF =,所以1212192F PF S PF PF ==△，故D 错误.故选：D 15．B【分析】由椭圆定义得12MF MF +，由余弦定理可得12MF MF ，再由三角形面积公式得12MF MF +和12MF MF 的关系，从而求得c ，然后可得离心率．【详解】解：设11||MF r =，22||MF r =，则1222r r a +==，由余弦定理得2221212122||||||2||||cos3F F MF MF MF MF π=+-，即222212*********()4c r r r r r r r r r r =++=+-=-，所以21244r r c =-，因为1212F MF F MA AMF S S S =+ ，所以12121211sin ||sin ||sin 232323r r r MA r MA πππ=⋅⋅+⋅⋅，整理得1212()||r r r r MA =+⋅，即234422c -=⨯，整理得214c =，所以12c =，1a =，12c e a ==，故选：B.16．ABD【分析】A ：根据椭圆方程可直接求得2a =，3b =，1c =，和离心率ce a=；B ：由椭圆的定义可得124PF PF +=，结合不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭代入运算；C ：点P 位于椭圆的上、下顶点时，12PF F △的面积取得最大，计算判断；D ：利用椭圆定义和圆的性质转化处理．【详解】对于选项A ，由椭圆C 的方程知2a =，3b =，1c =，所以离心率12c e a ==，故选项A 正确；对于选项B ，由椭圆的定义可得124PF PF +=，所以2121242PF PF PF PF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，即12PF PF ⋅的最大值为4，故选项B 正确；对于选项C ，当点P 位于椭圆的上、下顶点时，12PF F △的面积取得最大值123322⨯⨯=<，故选项C 错误；对于选项D ，易知()3,4M -，则圆()()22:344M x y ++-=，所以()21114424256PQ PF PQ PF QF MF -=--≥-≥--=-，故选项D 正确，故选：ABD ．17．ABC【分析】利用余弦定理可判断A 选项；利用三角形的面积公式可判断B 选项；利用椭圆的定义可判断C 选项；利用平面向量的数量积可判断D 选项.【详解】在椭圆M 中，2a =，1b =，3c =，且1223F F =，对于A 选项，当12PF PF =时，则122PF PF a ===，由余弦定理可得2221122121123cos 22PF F F PF PF F PF F F +-∠==⋅，因为120180PF F <∠<，所以，1230PF F ∠= ，A 对；对于B 选项，当点P 为椭圆M 的短轴顶点时，点P 到x 轴的距离最大，所以，12F PF △面积的最大值为1232c b bc ⨯⨯==，B 对；对于C 选项，因为2a c PF a c -≤≤+，即22323PF -≤≤+，所以，()1222222223PF PF a PF a a c c -=-≤--==，C 对；对于D 选项，当112PF F F ⊥或212PF F F ⊥时，12PF F 为直角三角形，此时满足条件的点P 有4个，当P 为直角顶点时，设点()00,P x y ，则220044x y =-，()1003,F P x y =+ ，()2003,F P x y =- ，222120003130F P F P x y y ⋅=-+=-= ，所以，033y =±，0263x =±，此时，满足条件的点P 有4个，综上所述，满足12F PF △是直角三角形的点P 有8个，D 错.故选：ABC.18．ABC【分析】求得0y ，进而求得12,MF MF ，由此对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别是()11,0F -，()21,0F ，04,3M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆C 上一点，220041531,433y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+==，所以2212715884,433333MF MF ⎛⎫⎛⎫=+==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以12MF F △的周长为22426a c +=+=，A 正确.12MF F △的面积为001151521233c y c y ⨯⨯=⨯=⨯=，B 正确.设12MF F △的内切圆的半径为r ，则115156,239r r ⨯⨯==，C 选项正确.1212641641199cos 0,8416233F MF F MF +-∠==>∠⨯⨯为锐角，12121135315sin 12561616F MF ∠=-==，所以12MF F △的外接圆的直径为12122323215sin 4531531516F F F MF ===∠，D 选项错误.故选：ABC 19．AC【分析】根据双曲线方程求出c ，再根据对称性只需考虑112PF F F ⊥或12PF PF ⊥.当12PF PF ⊥时，将4x =-代入双曲线方程，求出y ，即可求出三角形面积，当12PF PF ⊥时，由双曲线的定义可知1243PF PF -=，再由勾股定理求出12PF PF ，即可得解；【详解】解：由双曲线22:1124x y C -=可得221244c a b =+=+=.根据双曲线的对称性只需考虑112PF F F ⊥或12PF PF ⊥.当12PF PF ⊥时，将4x =-代入221124x y -=可得233y =±，所以12PF F △的面积为12118323F F PF =.当12PF PF ⊥时，由双曲线的定义可知，12243PF PF a -==，由勾股定理可得()22221212264PF PF F F c +===.因为()222121212264PF PF PF PF PF PF +=-+⋅=，所以128PF PF =，此时12PF F △的面积为12142PF PF ⋅=综上所述，12PF F △的面积为4或833.故选：AC .20．CD【分析】由题知226,1a b ==，25c =，进而根据离心率公式和焦距可判断A ，C ；对于B ，利用中点弦的直线的斜率公式直接计算即可判断；对于D 选项，结合椭圆定义得122PF PF =，进而计算面积即可判断.【详解】解：由题知226,1a b ==，所以2615c =-=，故焦距为225c =，故A 选项错误；对于B 选项，当Q 为MN 中点时，由中点弦公式得2020121364MNb x k a y =-=-=-⨯，故B 选项错误；对于C 选项，椭圆的离心率为53066c e a ===，故C 选项正确；对于D 选项，1290F PF ︒∠=，则12222121226PF PF PF PF F F ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，即()1222121212262PF PF PF PF PF PF F F ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，代入数据得122PF PF =，所以12F PF △的面积为12112S PF PF ==，故D 选项正确；故选：CD 21．CD【分析】求出离心率可判断A ；计算12PF F △面积的最大值1212F F b ⋅可判断B ；求出圆的方程，再判断圆心到直线的距离与半径的关系可判断C ；设(),P x y 进行数量积的坐标运算结合2212x y +=可判断D ，进而可得正确选项.【详解】对于A ：由椭圆22:12x C y +=可知，2a =，1b =，1c =，所以左、右焦点分别为()11,0F -，()21,0F ，离心率22c e a ==，故选项A 错误；对于B ：122F F =，当P 点与椭圆的上下顶点重合时，12PF F △面积的最大，所以12PF F △面积的最大值为11221122b ⨯⨯=⨯⨯=，故选项B 错误；对于C ：以线段12F F 为直径的圆的圆心()0,0，半径为1，由圆心()0,0到直线20x y +-=的距离222111d c ===+，所以以线段12F F 为直径的圆与直线20x y +-=相切，故选项C 正确；对于D ：设(),P x y ，()()121,,1,PF x y PF x y =---=--，2222212111022x x PF PF x y x ⋅=+-=+--=≥ ，则12PF PF ⋅ 的最小值为0，故选项D 正确；故选：CD ．22．23【分析】先利用定义求出12F PF △的各边，再求出123sin 2F PF ∠=，即可求出12F PF △的面积.【详解】由126PF PF +=，且1221PF PF =：：，12124229623PF PF F F ∴===-=，，又在12PF F △中，cos ∠2221242(23)12422F PF +-==⨯⨯，123sin 2F PF ∴∠=12121S sin 232PF PF F PF ∴=∠=.故答案为：2323．32##132【分析】2PF ⊥x 轴可得P 点横坐标，再根据点P 在椭圆上，求出P 的纵坐标，代入三角形面积公式即可求解.【详解】由题意不妨设1(F ﹣3，0)，2(F 3，0)，∵P 2F ⊥x 轴，∴P (3，±12)，∵△P 12F F 的面积＝12|P 2F ||12F F |＝12⨯12⨯23＝32，故答案为：32．24．(1)22142x y +=(2)12【分析】（1）根据椭圆的定义可知24PQF C a = ，即可求出a ，再根据()12max122PF F S c b =⨯⨯ 及a 、b 、c 的关系计算可得；（2）当矩形ABCD 中有一条边与坐标轴平行时，直接求出矩形的面积，当矩形ABCD 的边都不与坐标轴平行时，设出直线方程，联立直线与椭圆方程，消元、根据0∆=求出2242m k =+，同理得2242n k =+，再由平行线之间的距离公式求出AD ，AB ，即可求出ABCD S ，最后利用基本不等式计算可得；(1)解：由()110PF QF λλ=<得P 、1F 、Q 三点共线，因为三角形2PQF 的周长为8，即22211224PQF C PQ PF QF PF QF PF QF a =++=+++=，所以48a =，则2a =．当P 点为椭圆上或下顶点时12PF F △的面积最大，即121222=⨯⨯== PF F S c b bc ，由222244=-=-b ac b，解得22b =，所以椭圆C 的方程为22142x y +=．(2)解：当矩形ABCD 中有一条边与坐标轴平行时，则另外三条边也与坐标轴平行，矩形ABCD 的两条边长分别为24a =，222b =，此时42282ABCD S =⨯=．当矩形ABCD 的边都不与坐标轴平行时，由对称性，不妨设直线AB 的方程为：y kx m =+，则CD 的方程为：y kx m =-，AD 的方程为：1y x n k =-+，BC 的方程为：1y x n k =--．由22142y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222124220k x kmx m +++-=，令0∆=得2242m k =+，同理得2242n k =+，矩形ABCD 的边长分别为221m AD k =+，2211n AB k =+，∴()22222222821122411111ABCD kk m n mnk k S k kk k⎛⎫++ ⎪⎝⎭=⨯==++++，2211828212142k k=+≤+=++，当且仅当1k =±时取等号，所以矩形ABCD 面积的最大值是12．综上所述，矩形ABCD 面积的最大值是12．25．(1)22143x y +=(2)33【分析】（1）根据椭圆的定义得1,2c a ==，进而得答案；（2）根据余弦定理，结合椭圆定义，解决焦点三角形的面积问题即可.(1)解:∵椭圆C 的两焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，∴设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，1c =，12||||42PF PF a ∴+==，2a ∴=．222413b a c ∴=-=-=，∴椭圆的标准方程为22143x y +=．(2)解：在△12PF F 中，由余弦定理得222121212||||||2||||cos F F PF PF PF PF =+-120︒，即212124(||||)||||PF PF PF PF =+-，212124(2)||||16||||a PF PF PF PF ∴=-=-，12||||12PF PF ∴=，1212113||||sin1201233222PF F S PF PF ∴=︒=⨯⨯= ．26．(1)221167x y +=；(2)213.5【分析】（1）根据题意中的几何关系，判断动点P 的轨迹为椭圆，写出其方程即可；（2）利用椭圆定义结合余弦定理，即可求得MQ ，再求三角形面积即可.(1)由已知PN PA =，故8PM PN PM PA AM MN +=+==>，所以P 点轨迹是以M 、N 为焦点的椭圆，设P 点轨迹方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则228,3,7a c b ===，所以P 点轨迹方程为221167x y +=.(2)不妨设MQ m =，由椭圆定义可得28QN a m m =-=-，又26MN c ==，则在MNQ 中，由余弦定理可得：()222681cos 212m m QMN m+--∠==，解得145m =.故 QMN 的面积13314213sin 2322255S QMN m c c m =⨯∠⨯⨯=⨯=⨯⨯=.。
椭圆中的焦点三角形
椭圆中的焦点三角形定义：椭圆上一点和两个焦点构成的三角形,称之为椭圆焦点三角形。
其中，我们把椭圆的两个焦点和其短轴的一个端点构成的等腰三角形称为椭圆的一个特征焦点三角形考点1 有关周长和距离问题：例1.（08浙江）已知12F F ,为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，若2212F A F B +=，则AB =变式（06年四川）如图把椭圆22221x y a b +=的长轴分成8等分，过每个点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于127,,,P P P 七个点。
F 是椭圆的一个焦点，则127PF PF PF ++=变式2 已知12F F ,是椭圆2212516x y +=的左，右焦点，点P 在椭圆上运动，则12PF PF 的最大值是考点2 有关角的问题：例2（2000全国）椭圆22194x y +=的焦点为12F F ,，点P 为其上的动点，当12FPF ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是变式：椭圆22194x y +=的焦点为12F F ,，点P 为其上的动点，当12FPF ∠为直角时，点P 横坐标的取值范围是性质一：当点P 从右至左运动时，12FPF ∠由锐角变成直角，又变成钝角，过了y 轴之后，对称地由钝角变成直角再变成锐角，并且发现当点P 与短轴端点重合时，12FPF ∠达到最大变式: (2004湖南卷)12F F ,是椭圆C ：22184x y +=的焦点，在C 上满足12PF PF ⊥的点P 的个数考点3 有关离心率的问题：例3已知椭圆22221x y a b +=，(0)a b >>的两焦点分别为12F F ,，若椭圆上存在一点P ，使得12FPF ∠0120=，求椭圆离心率e 的取值范围性质二：已知椭圆方程为22221x y a b +=，(0)a b >>的两焦点分别为12F F ,，设焦点三角形12F PF 中，12FPF ∠θ=，则2cos 12e θ≥-（当且仅当动点为短轴端点时取等号）变式（09江西）已知12F F ,是椭圆的两个焦点，满足12MF MF 0=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围考点4 有关面积的问题：（122tan2F PF S b θ∆=）（θ为焦点三角形顶角）例4P 是椭圆22154x y +=上的点，12F F ,是椭圆的焦点，若12FPF ∠6π=，则12PF F 的面积等于变式：P是椭圆2214xy+=上的点，12F F,是椭圆的焦点，若12FPF∠3π=，则12PF F的面积等于变式：（04湖北）已知椭圆221169x y+=的左右焦点分别是12F F,，点P在椭圆上，若12,,P F F是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）A 95B 3 C94D94或7性质4过椭圆焦点的所有弦中通径（垂直于焦矩的弦），最短，通径为22b a（2007天津）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ．（Ⅰ）证明a =；（Ⅱ）设12Q Q ，为椭圆上的两个动点，12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂线OD ，垂足为D ，求点D 的轨迹方程．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．（Ⅰ）证法一：由题设212AF F F ⊥及1(0)F c -，，2(0)F c ，，不妨设点()A c y ，，其中0y >．由于点A 在椭圆上，有22221c y a b +=，即222221a b y a b-+=． 解得2b y a =，从而得到2b Ac a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．直线1AF 的方程为2()2b y x c ac=+，整理得2220b x acy b c -+=． 由题设，原点O 到直线1AF 的距离为113OF，即23c =将222c a b =-代入上式并化简得222a b =，即a =．证法二：同证法一，得到点A 的坐标为2b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，．过点O 作1OB AF ⊥，垂足为B ，易知1F BO △∽12F F A △，故211BO F AOF F A=． 由椭圆定义得122AF AF a +=，又113BO OF =，所以2212132F AF A F A a F A==-， 解得22aF A =，而22b F A a =，得22b a a =，即a =． （Ⅱ）解法一：设点D 的坐标为00()x y ，．当00y ≠时，由12OD Q Q ⊥知，直线12Q Q 的斜率为0x y -，所以直线12Q Q 的方程为0000()x y x x y y =--+，或y kx m =+，其中00x k y =-，200x m y y =+．点111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组22222y kx m x y b =+⎧⎨+=⎩，．将①式代入②式，得2222()2x kx m b ++=， 整理得2222(12)4220k x kmx m b +++-=，于是122412km x x k +=-+，21222212m b x x k -=+．由①式得2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x k =++=+++2222222222242121212m b km m b k k km m k k k---=++=+++··． 由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=．将③式和④式代入得22222322012m b b k k --=+， 22232(1)m b k =+．将200000x x k m y y y =-=+，代入上式，整理得2220023x y b +=．当00y =时，直线12Q Q 的方程为0x x =，111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组022222x x x y b =⎧⎨+=⎩，． 所以120x x x ==，12y =，．由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=，即2220202b x x --=， 解得22023x b =． 这时，点D 的坐标仍满足2220023x y b +=． 综上，点D 的轨迹方程为 22223x y b +=．解法二：设点D 的坐标为00()x y ，，直线OD 的方程为000y x x y -=，由12OD Q Q ⊥，垂足为D ，可知直线12Q Q 的方程为220000x x y y x y +=+．记2200m x y =+（显然0m ≠），点111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组0022222x x y y m x y b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， ①． ②由①式得00y y m x x =-． ③由②式得22222200022y x y y y b +=． ④ 将③式代入④式得222220002()2y x m x x y b +-=． 整理得2222220000(2)4220x y x mx x m b y +-+-=，于是222122200222m b y x x x y -=+． ⑤ 由①式得00x x m y y =-． ⑥。
椭圆的焦点三角形公式
椭圆的焦点三角形公式椭圆是我们在数学学习中经常会碰到的一个重要图形，而椭圆的焦点三角形则有着一些独特的公式和有趣的性质。
先来说说啥是椭圆的焦点三角形。
想象一下，椭圆上有一个点 P，然后连接椭圆的两个焦点 F₁和 F₂，这样就形成了一个三角形，这个三角形就叫做焦点三角形。
在焦点三角形中，有几个重要的公式。
比如说，焦点三角形的周长公式是 2a + 2c ，其中 a 是椭圆的长半轴，c 是椭圆的半焦距。
还有一个特别常用的公式是在焦点三角形 PF₁F₂中，设∠F₁PF₂ = θ，那么三角形的面积 S = b² × tan(θ/2) ，这里的 b 是椭圆的短半轴。
那这些公式到底有啥用呢？我给您讲个事儿您就明白了。
记得有一次我给学生们上课，讲完这些公式后，我出了一道题让他们做。
题目是这样的：已知椭圆方程为 x²/25 + y²/16 = 1 ，点 P 在椭圆上，∠F₁PF₂ = 60°，求焦点三角形 PF₁F₂的面积。
大多数同学看到题目就开始埋头苦算，又是设坐标，又是用距离公式的，算得那叫一个费劲。
但有个聪明的同学就不一样啦，他马上想到了我们刚讲的面积公式S = b² × tan(θ/2) 。
这个椭圆里，b² = 16 ，θ = 60°，所以tan(θ/2) = √3/3 ，那面积 S 一下子就算出来是16√3/3 。
这时候其他同学都恍然大悟，原来用对了公式能这么轻松地解决问题。
从那以后，同学们对这些公式的印象可深刻了，遇到类似的题目也不再害怕。
咱们再回到焦点三角形的公式上来。
这些公式的推导其实也挺有意思的。
就拿面积公式来说吧，它是通过余弦定理和一些巧妙的代数变形得到的。
在学习和运用这些公式的时候，一定要注意理解每个字母代表的含义，还要多做一些练习题来巩固。
比如说，给您一个椭圆方程，让您求焦点三角形的周长或者面积，您就得能迅速判断出要用哪个公式，然后准确地代入数值计算。
高二数学选修 椭圆中焦点三角形的性质及应用
高二数学选修 椭圆中焦点三角形的性质及应用定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。
性质一：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan 221θb S PF F =∆。
性质二：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点。
证明：设),(o o y x P ,由焦半径公式可知：o ex a PF +=1，o ex a PF -=1 在21PF F ∆中，2122121212cos PF PF F F PF PF -+=θ21221221242)(PF PF c PF PF PF PF --+=1))((24124422122--+=--=o o ex a ex a b PF PF c a =122222--ox e a b 性质三：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ 证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得：.2112221)2(222222222122e a c a r r c a -=--=-+-≥ 命题得证。
（2000年高考题）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使得,120021=∠PF F 求椭圆的离心率e 的取值范围。
简解：由椭圆焦点三角形性质可知.21120cos 20e -≥即22121e -≥- , 于是得到e 的取值范围是.1,23⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡ 性质四：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，,,1221βα=∠=∠F PF F PF 则椭圆的离心率βαβαsin sin )sin(++=e 。
椭圆中三角形
椭圆中三角形(四边形)面积最值求解策略最值问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，本文举列探求椭圆中三角形(四边形)面积最值问题的求解策略一 利用椭圆的几何性质(对称性、取值范围等) 例1 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点是F （c,0），过原点O 作直线l 与椭圆相交于A,B 两点，求三角形ABF 面积的最大值。
分析:将三角形ABF 的面积分割成两个三角形的面积之和，并表示成关于点A 的坐标的函数，然后利用椭圆的取值范围求解解析:因为直线l 过原点，由椭圆的对称性知，A,B 两点关于原点对称，设点A （x 0,y 0）(y 0>0), 设三角形ABF 的面积为S ，则S=S △AOF + S △BOF =2S △AOF =cy 0, 0<y 0≤b,∴ S=cy 0≤bc.所以三角形ABF 面积的最大值是bc 。
点评: 将三角形ABF 的面积表示成关于点A 的坐标（x 0,y 0）y 0的一元一次函数，再利用椭圆的取值范围求最大值，是本题的解题技巧，若将三角形ABF 的面积表示成关于直线l 斜率的函数，则运算量要大许多。
二 利用基本不等式或参数方程 例2 设椭圆中心在坐标原点，点A(2，0)，C(0,1)是它的两个顶点，直线y=kx(k>0)与椭圆相交于B,D 两点，求四边形ABCD 面积的最大值 分析:将四边形ABCD 的面积分割成几个三角形的面积之和，并表示成关于k 或者点B 的坐标的函数，再求函数的最大值。
解析:因为点A(2，0)，C(0,1)是椭圆的两个顶点，所以椭圆的方程是1242=+y x ，由椭圆的对称性知，点B,D 关于原点对称，设点B （x 0,y 0）(x 0>0),则120420=+y x ，即442020=+y x 。
椭圆焦点三角形(解析版)
椭圆焦点三角形(解析版)椭圆焦点三角形(解析版)在数学几何学中，椭圆焦点三角形是一个有趣且有着独特性质的三角形。
本文将介绍椭圆焦点三角形的定义、性质以及相关定理证明。
定义椭圆焦点三角形是指一个三角形的三个顶点分别位于给定椭圆的两个焦点和一个点上的三角形。
性质1. 椭圆焦点三角形的三边和三个内角有特定的关系设椭圆的两个焦点分别为F1和F2，三角形的三个顶点分别为A、B、C。
那么有以下性质成立：① AF1 + AF2 = BF1 + BF2 = CF1 + CF2②∠F1AF2 + ∠F1BF2 + ∠F1CF2 = 360°2. 椭圆焦点三角形的内角和有一定范围设椭圆的离心率为e，且e < 1。
那么椭圆焦点三角形的内角和满足以下条件：π / 2 < ∠A + ∠B + ∠C < 3π / 2定理证明定理1：椭圆焦点三角形的三边与三个内角的关系假设AF1 + AF2 = BF1 + BF2 = CF1 + CF2 = 2a，并且AF1 < AF2 < BF1 < BF2 < CF1 < CF2。
由于椭圆的几何性质可知，AF1 + AF2 + BF1 + BF2 + CF1 + CF2 = 2a + 2a + 2a = 6a。
根据三角形内角和的性质可知，∠A + ∠B + ∠C = π，其中∠A = ∠F1AF2，∠B = ∠F1BF2，∠C = ∠F1CF2。
由于∠A、∠B、∠C都在同一个三角形内，所以∠A + ∠B + ∠C = π。
因此，AF1 + AF2 + BF1 + BF2 + CF1 + CF2 = 6a = 2π。
得到结论：AF1 + AF2 + BF1 + BF2 + CF1 + CF2 = 2π，即AF1 + AF2 = BF1 + BF2 = CF1 + CF2。
定理2：椭圆焦点三角形的内角和的范围由于e < 1，所以根据椭圆的性质可知，AF1 + AF2 > 2a， BF1 + BF2 > 2a， CF1 + CF2 > 2a。
椭圆内接三角形外心与斜率乘积定值
椭圆内接三角形外心与斜率乘积定值椭圆是一种特殊的圆形，其形状更像是被拉长或压扁的圆形。
椭圆内接三角形是指一个三角形的顶点都位于椭圆上的情况。
而这个三角形的外心与斜率的乘积有一个固定的数值。
要了解这个定值，我们首先需要了解椭圆和三角形的性质。
椭圆是一个平面上的几何图形，其定义是到两个焦点的距离之和等于一个常数的所有点的集合。
而三角形是由三条线段连接而成的多边形，其中包括三个顶点、三条边和三个内角。
我们来看一下椭圆的性质。
椭圆的中心是坐标原点，椭圆的长轴是与x轴平行的直线段，短轴是与y轴平行的直线段。
椭圆的方程可以表示为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆长轴和短轴的长度。
接下来，我们来看一下三角形的性质。
三角形有很多种分类方式，比如按照边长可以分为等边三角形、等腰三角形和一般三角形；按照角度可以分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。
而我们这里讨论的是椭圆内接三角形，也就是三角形的顶点都位于椭圆上的情况。
椭圆内接三角形的外心是一个特殊的点，它与三角形的三个顶点都在同一条直线上。
而斜率是一个表示直线倾斜程度的数值，可以通过两点的坐标计算得到。
我们可以通过计算椭圆内接三角形的外心与斜率的乘积，来探究它们之间的关系。
为了简化计算，我们可以将椭圆的方程转化为标准方程x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
假设椭圆上的三个顶点分别为A(x1, y1)、B(x2, y2)和C(x3, y3)，它们都满足椭圆的方程。
那么我们可以得到这三个点所在直线的斜率。
斜率的计算公式为k = (y2 - y1)/(x2 - x1)，其中k表示斜率。
我们可以计算出AB、BC和AC三条边的斜率，然后将它们与椭圆内接三角形的外心的斜率进行比较。
椭圆内接三角形的外心的坐标可以表示为((x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3)，也就是三个顶点坐标的平均值。
我们可以通过这个坐标计算出外心的斜率。
椭圆的内接正三角形的面积最大值
椭圆是一种非常特殊的几何图形，它具有许多独特的性质和特点。
其中之一就是椭圆内能内接正三角形。
那么，椭圆的内接正三角形的面积最大值是多少呢？在这篇文章中，我们将探讨椭圆内接正三角形的性质，并通过数学推导来解答这个问题。
一、椭圆的定义及性质椭圆是一个平面上的闭合曲线，它有两个焦点和一个长轴和短轴。
椭圆的数学定义是：到两个焦点的距离之和等于常数的点的轨迹。
椭圆具有许多重要的性质，比如任意一点到椭圆上两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度；椭圆上任意一点的切线在焦点处与椭圆的两条直径平分角等。
二、椭圆内接正三角形的性质椭圆内接正三角形是指一个正三角形的三个顶点分别位于椭圆上的三个不同点上，且这个正三角形的内角都是直角。
椭圆内接正三角形具有如下的性质：1. 椭圆内接正三角形的三个顶点将椭圆分成六个部分，这三个部分是锐角三角形，另外三个部分是补角三角形；2. 椭圆内接正三角形的三个顶点分别位于椭圆的三个不同的焦点上；3. 任意一点到椭圆的一个焦点的距离减去该点到另一个焦点的距离的绝对值等于一个常数，这个常数就是椭圆的长轴长度。
三、椭圆内接正三角形的面积椭圆内接正三角形的面积是一个十分有趣的数学问题。
我们希望找到椭圆内接正三角形的面积最大值。
首先我们假设椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b，接下来我们将通过数学推导来解决这个问题。
1. 定义变量我们假设椭圆上的三个顶点分别为A(x1, y1)、B(x2, y2)和C(x3, y3)，其中A、B、C分别位于椭圆的三个不同焦点上。
2. 椭圆方程由椭圆的定义可知，椭圆的方程是：(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 13. 椭圆内接正三角形的面积公式椭圆内接正三角形的面积可以通过三个顶点的坐标来求解，假设S为椭圆内接正三角形的面积，则有：S = (1/2) * |x1y2 + x2y3 + x3y1 - x1y3 - x2y1 - x3y2|4. 椭圆内接正三角形的面积最大值我们知道椭圆的方程是一个二次方程，我们可以通过对椭圆方程进行变形并利用拉格朗日乘子法求解S的极值，从而得到椭圆内接正三角形的面积最大值。
椭圆中相关三角形的面积问题
椭圆的焦点弦三角形的面积问题丁益祥特级工作室 张留杰众所周知，椭圆22221x y ab+=的焦点三角形12F P F 的面积为122tan2F P F S b θ∆=（其中12F PF θ∠=），当且仅当点P 与短轴端点重合时该三角形的面积最大，最大值为122S c b c b=⨯⨯=．而在椭圆中和两焦点相关的三角形还有“焦点弦2F P Q ∆”，其中PQ 是椭圆的过焦点1F 的弦（如图）．此三角形的面积的求法不止一种，如212||F PQS c y y ∆=-（1y 、2y 分别为P 、Q 两点的纵坐标）等．那么该三角形的面积是否有最大值呢？最大值是多少？笔者在备课讨论过程中对此进行了探究．将弦PQ 绕焦点1F 旋转，不难发现2F P Q ∆的面积存在最大值．设直线PQ 的参数方程为cos ,sin .x c t y t θθ=-+⎧⎨=⎩（t 为参数，0θπ<<）代入椭圆方程得2222222(cos )sin b c t a t a b θθ-++=，整理得 2222224(cos sin )2cos 0b a t cb t b θθθ+-⋅-=，∴ 21222222cos cos sin cb t t b a θθθ+=+，4122222cos sin bt t b a θθ-=+．根据参数t 的几何意义，可得12||||cos sin PQ t t b a θθ=-==+22222222222(1sin )sin sin b abb a bc θθθ==-++．∴ 2212222112||||sin 2sin 22sin F PQ abS PQ F F c b c θθθ∆=⨯⋅=⨯⨯⋅+22222222sin 2sin sin sin acb acb bb c c θθθθ==++．∵ sin (0, 1]θ∈， ∴ 当22sin sin bc θθ=时，sin b cθ=．∴ 当1b c≥即b c ≥时，由函数22b yc t t=+的单调性，可得当sin 1θ=时，2FP QS ∆的最大值为222222acbeb b c=+；当b c <时，222F P QacbS ab ∆≤=，当且仅当sin b cθ=时，等号成立．综上可得：结论 椭圆的焦点为1F 、2F ，弦PQ 过焦点1F ，则（1）当椭圆的离心率e满足02e <≤时，2F P Q ∆面积的最大值为22eb ，此时弦PQ 垂直与长轴；（2）当椭圆的离心率e满足12e <<时，2F P Q ∆面积的最大值为a b ，此时弦PQ 与长轴的夹角为arcsin b c．。
椭圆中心三角形结论
椭圆中心三角形结论1.引言1.1 概述概述部分的内容可以按照以下方式编写：引言椭圆中心三角形是指以椭圆的中心点为顶点，以椭圆上的三个点为另外三个顶点所构成的三角形。
在研究椭圆性质的过程中，人们发现了一些与椭圆中心三角形相关的有趣结论，这些结论不仅具有几何意义，而且对于解决一些数学问题也有一定的帮助。
本文旨在探索并总结椭圆中心三角形的结论，通过具体的证明与实例来阐述其内涵与应用。
首先，我们将简要介绍本文的结构，并阐明研究椭圆中心三角形的目的。
文章结构本文共分为引言、正文与结论三个部分。
引言部分对椭圆中心三角形的研究进行了概述，并阐明了本文的目的。
正文部分将详细讨论椭圆中心三角形的两个要点，并给出相应的证明过程。
最后，结论部分将对本文进行总结，并概括其中的核心要点。
目的本文的目的是通过研究椭圆中心三角形的性质，探索与之相关的结论，并加深对椭圆的理解。
同时，本文也旨在向读者展示数学研究的思维方式与证明方法，培养读者的数学思维能力与解决问题的能力。
通过详细的论证过程和实例分析，希望读者能够加深对椭圆中心三角形及其应用的理解，并在实际问题中能够灵活运用相关的结论。
通过本文的阅读，读者不仅能够了解椭圆中心三角形的基本性质，还能够理解椭圆的一些重要特点，并将其运用到更广泛的数学问题中。
通过此次论述，相信读者对于椭圆以及相关的变换与性质有更深入的认识，并且能够应用于更高级的数学研究与解决实际问题的能力。
1.2文章结构文章结构部分是对整篇文章的组织和内容进行介绍和概述。
在这一部分，我将向读者解释整篇文章的结构以及每个部分的主要内容。
文章结构如下：引言部分（Introduction）：在这一部分，我将对椭圆中心三角形这个主题进行简要的介绍和概述。
我将解释椭圆的定义和特点，并介绍椭圆中心三角形的基本概念和性质。
正文部分（Main Body）：文章的正文将包括两个要点。
在第一个要点中，我将详细介绍椭圆中心三角形的构造方法以及一些基本性质。
椭圆内等腰直角三角形的个数
椭圆内等腰直角三角形的个数1.引言1.1 概述概述部分是对整篇长文进行一个简要的介绍和概括，让读者对文章的主题和内容有一个初步的了解。
下面是对概述部分内容的编写建议：概述：在数学几何领域中，研究各种形状和特性的三角形一直是一个重要的课题。
椭圆作为一种常见的几何形状，其内部存在着一种特殊的三角形：等腰直角三角形。
本文将探究这类三角形在椭圆内的分布规律，并通过数学推导和举例分析，尝试寻找其个数的规律和特点。
本文结构：首先，我们将在第二部分中定义和介绍椭圆内等腰直角三角形的特点。
通过了解其构成和性质，我们可以更好地理解这一特殊三角形在椭圆内的存在和分布。
接着，在第三部分中，我们将通过数学推导和分析来探究椭圆内等腰直角三角形的个数，并尝试总结出其分布规律和特点。
最后，我们将在结论部分总结椭圆内等腰直角三角形个数的规律和特点，并探讨其在实际应用中的意义和价值。
通过本文的阅读，读者可以对椭圆内等腰直角三角形的特点和个数的规律有一个深入的了解，并且了解其在实际应用中的潜在意义。
本文旨在为数学几何领域的研究者和爱好者提供一个全面的探究框架，以促进更多关于椭圆和三角形的研究和探索。
1.2文章结构1.2 文章结构本文主要由引言、正文和结论三部分组成。
引言部分（Chapter 1）首先概述了本文的主题——椭圆内等腰直角三角形的个数，并介绍了文章的结构和目的。
正文部分（Chapter 2）分为两个小节，分别是"椭圆内等腰直角三角形的定义和特点" 和"探究椭圆内等腰直角三角形的个数"。
在第一个小节"椭圆内等腰直角三角形的定义和特点" 中，我们将详细解释什么是椭圆内的等腰直角三角形，并说明它们的特点。
其中包括等腰直角三角形的定义、直角三角形的性质以及椭圆的相关知识。
在第二个小节"探究椭圆内等腰直角三角形的个数" 中，我们将使用几何推理和数学分析的方法，探究椭圆内等腰直角三角形的个数。
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椭圆中三角形(四边形)面积最值求解策略最值问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，本文举列探求椭圆中三角形(四边形)面积最值问题的求解策略一 利用椭圆的几何性质(对称性、取值范围等) 例1 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点是F （c,0），过原点O 作直线l 与椭圆相交于A,B 两点，求三角形ABF 面积的最大值。
分析:将三角形ABF 的面积分割成两个三角形的面积之和，并表示成关于点A 的坐标的函数，然后利用椭圆的取值范围求解解析:因为直线l 过原点，由椭圆的对称性知，A,B 两点关于原点对称，设点A （x 0,y 0）(y 0>0), 设三角形ABF 的面积为S ，则S=S △AOF + S △BOF =2S △AOF =cy 0, 0<y 0≤b,∴ S=cy 0≤bc.所以三角形ABF 面积的最大值是bc 。
点评: 将三角形ABF 的面积表示成关于点A 的坐标（x 0,y 0）y 0的一元一次函数，再利用椭圆的取值范围求最大值，是本题的解题技巧，若将三角形ABF 的面积表示成关于直线l 斜率的函数，则运算量要大许多。
二 利用基本不等式或参数方程 例2 设椭圆中心在坐标原点，点A(2，0)，C(0,1)是它的两个顶点，直线y=kx(k>0)与椭圆相交于B,D 两点，求四边形ABCD 面积的最大值 分析:将四边形ABCD 的面积分割成几个三角形的面积之和，并表示成关于k 或者点B 的坐标的函数，再求函数的最大值。
解析:因为点A(2，0)，C(0,1)是椭圆的两个顶点，所以椭圆的方程是1242=+y x ，由椭圆的对称性知，点B,D 关于原点对称，设点B （x 0,y 0）(x 0>0),则12020=+y x ，即442020=+y x 。
设四边形ABCD 的面积为S ，则S=S △ABD + S △BCD =2S △AOB +2S △COB =|0A|×y 0+|0C|∙x 0=2y 0+x 0. 法一:120420=+y x 可设x 0=2cos θ,y 0=sin θ,∴S=2y 0+x 0=2sin θ+2cos θ=22sin(θ+450)≤22,当且仅当θ=450时取等号。
故四边形ABCD 面积的最大值是22。
法二: S=2y 0+x 0=200)2(y x +=0202044y x y x ++=≤∙∙+00224y x442020++y x =22，当且仅当2y 0=x 0=2时取等号。
故四边形ABCD 面积的最大值是22。
点评: 将四边形ABCD 的面积表示成关于点B 的坐标（x 0,y 0）的二元函数，再利用基本不等式或参数求最大值，是本题的解题技巧，若将四边形ABCD 的面积表示成关于k 的函数，则运算量要大许多。
三 巧设直线方程，简化运算 例3 已知椭圆C: 13422=+y x ，若经过椭圆右焦点F 2作直线l 交椭圆于A,B 两点，求1ABF ∆面积的最大值。
分析: 直线l 过x 轴上的一点，故可设直线l 方程为1+=my x可简化讨论和运算，不会出错，认真领会。
解 :设直线AB 的方程为1+=my x ()R m ∈把1+=my x 代入122=+y x 得()964322=-++my y m①显然>∆设A()11,y x ，B()22,y x 则=-⨯⨯=21212y y S 21y y -又因为=+21y y 4362+-m m，=⋅21y y 4392+-m ，=-221)(y y 4)(221-+y y 21y y ⋅=48222)43(33++m m 令233m t+=则,3≥t =-221)(y y tt 148+由于函数tt y 1+=在[)+∞,3上单调递增，所以3101≥+t t 故9)(221≤-y y 即3≤S 故1ABF ∆面积的最大值等于3.点评:解析几何的最值求解离不开目标函数的建立，因目标函数引入变量的背景不同，求法也不同，具体求最值可用到配方法，不等式法，换元法等。
四 构造关于k 的函数求最值 例4 过点P(3,0)的直线l 与椭圆1322=+y x 相交于不同的两点E,F ，求∆OEF （O 为坐标原点）面积的最大值.分析:将∆OEF 的面积分割成两个三角形的面积之差，并表示成关于k 的函数，然后利用换元法、配方法求最大值。
解析:显然直线l 的斜率存在，设直线l 方程为:y=k(x-3)(k ≠0)代入1322=+y x消去y 整理得(k 2+3)x 2-6k 2x+9k 2-3=0,=∆36k 4-4(k 2+3) (9k 2-3)>0,得0<k 2<83.而S △OEF =|S △OPE -S △OPF |=23|y 1-y 2|=23×|k|×|x 1-x 2|=23|k|()212214x x x x -+=3962492442++-k k k k 令k 2=t,则()83,0∈t ，S△OEF=39624922++-t t t t 再令t+3=m, S △OEF =3241532432-+-m m ,m ∈(3,383),配方易求得t=173时，∆OEF 面积的最大值为23。
点评:利用面积分割，简化运算，注意∆>0是直线与椭圆相交于不同两点的充要条件，任何时候不能忘，求k 取值范围不能忽视。
五 构造关于b 的函数求最值 例5 已知椭圆122=+y x ，过椭圆上的点P(1,2)作倾斜角互补的两条直线PA ，PB 分别交椭圆于A ，B 两点。
（1）求证直线AB 的斜率为定值2（2）求PAB ∆面积的最大值。
分析:利用(1)结论以b 为变量构造函数，用弦长和点到直线距离求面积。
解析:（1）略（2）由(1)可设直线AB 的方程为:y=2x+b 代入14222=+y x 得4x 2+22bx+b 2-4=0,()0416822>--=∆b b ,b 2<8. 设A ()11,y x ，B ()22,y x , AB|=()221+()212214x x x x -+=2243b -,点P 到直线AB 的距离d=3b ,⋅=⋅=∴∆b d AB S PAB2121224b -=()16422221+--b ≤2,当且仅当b=±2时取等号,所以PAB ∆面积的最大值是2。
点评:本题综合考查了直线与椭圆的位置关系，点到直线距离公式，三角形面积求法等知识， 六 利用垂直关系求四边形面积最值 例6 P,Q,M,N 四点都在椭圆1222=+y x上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，已知PF =1λFQ ，MF =2λFN ，且MF PF ⋅=0，求四边形PMQN 的面积的最大值和最小值。
分析:利用垂直关系建立面积关于k 的函数，然后运用单调性求最值解析:由条件知MN 和PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0，1)，且P Q ⊥MN,直线PQ,MN 中至少有一条存在斜率，不妨设PQ 的斜率为k ，又PQ 过点F(0，1)，故PQ 方程为y=kx+1.代入椭圆1222=+y x 中得(2+k 2)x 2+2kx-1=0, 设P()11,y x ，Q ()22,y x 则|PQ|=21k +()212214x x x x -+=()222122kk ++①当k ≠0时，MN 的斜率为-k1，用-k1代换k 可推得|MN|=()()()21212122k-+-+，故四边形面积S=21|PQ||MN|=222122524kk k k ++⎪⎭⎫ ⎝⎛++，令u=k 2+21k ,得S=()()u uu 251252412+++-=，因为u=k 2+21k ≥2，当k=±1时，u=2,S=916且S 是以u 为自变量的增函数，所以916≤S<2，②当k=0时，MN 为椭圆长轴，|MN|=22，|PQ|=2，S=21|PQ||MN|=2，综合①②知，四边形PMQN 面积的最大值为2，最小值为916。
点评:本题综合考查了向量共线、垂直，弦长求法，直线与椭圆的位置关系，四边形面积，函数最值求法等知识。
分类讨论思想及综合运用知识解题能力。
7，已知抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过焦点F 且不平行于x 轴的动直线l 交抛物线于A,B 两点，抛物线在A,B 两点处的切线交于点M 。
(1)求证:A,M,B 三点的横坐标成等差数列；(2)设直线MF 交该抛物线于C,D 两点，求四边形ABCD 面积的最小值。
解析:(1)由已知，得F （0，1），显然直线AB 的斜率存在且不为0，则可设直线AB 的方程为y=kx+1(k ≠0),A ()11,y x ，B ()22,y x ,由⎩⎨⎧+==142kx y y x ，消去y ，得x 2-4kx-4=0,显然∆=16k 2+16>0.∴x 1+x 2=4k, x 1x 2=-4,由x 2=4y ，得y=41x 2, ∴y '=21x, ∴直线AM 的斜率为k AM =21x 1. 直线AM 的方程为y-y 1=21x 1(x-x 1),又x 12=4y 1, ∴直线AM 的方程为x 1x=2(y+y 1)①同理，直线BM 的方程为x 2x=2(y+y 2)②由②-①并据x 1≠x 2，得，点M 的横坐标x=21( x 1+x 2).即A,M,B 三点的横坐标成等差数列。
（2）由①②易得y=-1,∴点M 的坐标为(2k,-1) (k ≠0).∴k MF =kk 122-=-,则直线MF 的方程为y=k1-x+1,又|AB|=21k +()212214x x x x -+=4(k 2+1).用k1-代换k 得|CD|=()211k-+()212214x x x x -+=4(21k +1), k MF k AB =-1, ∴A B ⊥CD.∴S ABCD =21|AB||CD|=8(21k +1) (k 2+1)=8(k 2+21k +2)≥32, 当且仅当k=±1时取等号,所以四边形ABCD 面积的最小值我32.。