贵州省贵阳市普通高中2016届高三年级第一学期期末监测考试试卷理科

贵州省贵阳市普通高中2016届高三年级第一学期期末监测考试试卷理科一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知集合A={x∣ x2+2x−3>0}，B={x∣ 0<x<2}，则A∩B=( )A. {x∣ 1<x<2}B. {x∣ x<−3或1<x<2}C. {x∣ x<−3或0<x<2}D. {x∣ 0<x<1}2. 设i为虚数单位，则复数z=5+i1−i的共轭复数z为( )A. 2−3iB. −2−3iC. −2+3iD. 2+3i3. 设x,y∈R，则“x≥1且y≥1”是" x2+y2≥2 "的( )A. 既不充分又不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 充分不必要条件4. 甲、乙两个几何体的正视图和侧视图相同，俯视图不同，如图所示，记甲的体积为V甲，乙的体积为V乙，则( )A. V甲<V乙B. V甲=V乙C. V甲>V乙D. V甲，V乙大小不能确定5. 下列函数中，以π2为最小正周期的奇函数是( )A. y=sin2x+cos2xB. y=sin(4x+π2)C. y=sin2xcos2xD. y=sin22x−cos22x6. 如图，在三棱锥P−ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是( )A. AP⊥PB，AP⊥PCB. AP⊥PB，BC⊥PBC. 平面BPC⊥平面APC，BC⊥PCD. AP⊥平面PBC7. 阅读如图所示的程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的表达式为( )A. i≤3B. i≤4C. i≤5D. i≤68. 已知O是坐标原点，点A(−1,1)．若点M(x,y)为平面区域{x+y≥2,x≤1,y≤2,上的一个动点，则OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( )A. [−1,0]B. [0,1]C. [0,2]D. [−1,2]9. 已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是( )A. f(x)=e1−x2B. f(x)=e x2−1C. f(x)=e x2−1D. f(x)=ln(x2−1)10. 若点A(a,b)在第一象限且在直线x+2y=4上移动，则log2a+log2b( )A. 有最大值2B. 有最小值1C. 有最大值1D. 没有最大值和最小值11. 在[−4,4]上随机取一个实数m，能使函数f(x)=x3+mx2+3x在R上单调递增的概率为( )A. 14B. 38C. 58D. 3412. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)与函数y=√x的图象交于点P，若函数y=√x的图象在点P处的切线过双曲线左焦点F(−2,0)，则双曲线的离心率是( )A. √5+12B. √2 C. √3+12D. 32二、填空题（共4小题；共20分）13. 图中阴影部分的面积等于______．14. 在△ABC中，内角A，B，C所对边分别是a，b，c，若sin2B2=c−a2c，则△ABC的形状一定是______．15. 若直线x+ay−1=0与2x−y+5=0垂直，则二项式(ax2−1x )5的展开式中x4的系数为______．16. 在平面直角坐标系中，已知点P(3,0)在圆C:(x−m)2+(y−2)2=40内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若△ABC的面积的最大值为20，则实数m的取值范围是______．三、解答题（共8小题；共104分）17. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a5=−3，S10=−40．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若从数列{a n}中依次取出第2，4，8，⋯，2n，⋯项，按原来的顺序排成一个新数列{b n}，求数列{b n}的前n项和T n．18. 在某校科普知识竞赛前的模拟测试中，得到甲、乙两名学生的6次模拟测试成绩（百分制）的茎叶图．（1）若从甲、乙两名学生中选择一人参加该知识竞赛，你会选哪位?请运用统计学的知识说明理由；（2）若从甲的6次模拟测试成绩中随机选择2个，记选出的成绩中超过87分的个数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．19. 如图，在底面为梯形的四棱锥S−ABCD中，已知AD∥BC，∠ASC=60∘，∠BAD=135∘，AD=DC=√2，SA=SC=SD=2，O为AC中点．（1）求证：SO⊥平面ABCD；（2）求二面角A−SB−C的余弦值．20. 设点 F 1(−c,0)，F 2(c,0) 分别是椭圆 C:x 2a 2+y 2=1(a >1) 的左、右焦点，P 为椭圆 C 上任意一点，且 PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 0． （1）求椭圆 C 的方程；（2）如图，动直线 l:y =kx +m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，作 F 1M ⊥l ，F 2N ⊥l 分别交直线 l 于 M ，N 两点，求四边形 F 1MNF 2 面积 S 的最大值．21. 设函数 f (x )=xln (ax )(a >0)．（1）设 F (x )=12f (1)x 2+fʹ(x )，讨论函数 F (x ) 单调性；（2）过两点 A(x 1,fʹ(x 1))，B(x 2,fʹ(x 2)) (x 1<x 2) 的直线的斜率为 k ，求证：1x 2<k <1x 1．22. 如图所示，圆 O 的两弦 AB 和 CD 交于点 E ，作 EF ∥CB ，并且交 AD 的延长线于点 F ，FG 切圆O 于点 G ．（1）求证：△DEF ∽△EAF ； （2）如果 FG =1，求 EF 的长．23. 极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位，以原点为极点，以 x 轴正半轴为极轴，曲线 C 1的极坐标方程为 ρ=4cosθ(ρ≥0)，曲线 C 2 的参数方程为 {x =m +tcosα,y =tsinα(t 为参数,0≤α<π)，射线 θ=φ，θ=φ+π4，θ=φ−π4与曲线 C 1 分别交于（不包括极点 O ）点 A ，B ，C ．（1）求证：∣OB ∣+∣OC ∣=√2∣OA ∣； （2）当 φ=π12 时，B ，C 两点在曲线 C 2 上，求 m 与 α 的值．24. 设 f (x )=∣x −1∣−2∣x +1∣ 的最大值为 m ．（1）求实数 m 的值；（2）若 a,b,c ∈(0,+∞)，且 a 2+2b 2+c 2=m ，求 ab +bc 的最大值．答案第一部分1. A2. A3. D4. C5. C6. B7. B8. C9. A 10. C11. D 12. B 第二部分 13. 114. 直角三角形 15. 8016. (−3,−1]∪[7,9) 第三部分17. （1） 因为 a 5=a 1+4d =−3，S 10=10a 1+45d =−40， 所以 a 1=5，d =−2． 所以 a n =−2n +7．（2） 依题意，b n =a 2n =−2×2n +7=−2n+1+7， 故T n =−(22+23+⋯+2n+1)+7n =−22−2n+1×21−2+7n=4+7n −2n+2.18. （1） 学生甲的平均成绩 x 甲=68+76+79+86+88+956=82，学生乙的平均成绩 x 乙=71+75+82+84+86+946=82，又 s 甲2=16×[(68−82)2+(76−82)2+(79−82)2+(86−82)2+(88−82)2+(95−82)2]=77,s 乙2=16×[(71−82)2+(75−82)2+(82−82)2+(84−82)2+(86−82)2+(94−82)2]=1673,则 x 甲=x 乙，s 甲2>s 乙2，说明甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，即乙发挥更稳定，故可选择学生乙参加知识竞赛．（2） 随机变量 ξ 的所有可能取值为 0，1，2，且 P (ξ=0)=C 42C 62=25，P (ξ=1)=C 41C 21C 62=815，P (ξ=2)=C 22C 62=115，则 ξ 的分布列为ξ012P25815115所以数学期望 E (ξ)=0×25+1×815+2×115=23．19. （1） 连接 OD ，因为在 △ASC 中，SA =SC ，∠ASC =60∘，O 为 AC 中点，如图 1． △ASC 为正三角形，且 AC =2，OS =√3，因为在 △ADC 中，DA 2+DC 2=4=AC 2，O 为 AC 中点，所以 ∠ADC =90∘，且 OD =1， 因为在 △SOD 中，OS 2+OD 2=SD 2， 所以 △SOD 为直角三角形，且 ∠SOD =90∘， 所以 SO ⊥OD ，又 SO ⊥AC 且 AC ∩OD =O ， 所以 SO ⊥平面ABCD ．（2） 如图 2，设直线 DO 与 BC 交于点 E ，则 OE ，OC ，OS 两两垂直， 故以 O 为原点，分别以 OE ，OC ，OS 所在直线为 x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． 1）知 ∠DAC =45∘，且 ∠BAD =135∘， 所以 ∠BAC =90∘， 所以 AB ∥x 轴，又在 △ABC 中，得 AB =2，所以 A (0,−1,0)，B (2,−1,0)，C (0,1,0)，S(0,0,√3)． 设平面 ABS 的法向量为 m ⃗⃗ =(x,y,z )， 则 {m ⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ⃗⃗ ⋅AS ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即 {2x =0,y +√3z =0,令 z =−1 得，m ⃗⃗ =(0,√3,−1)，∣m ⃗⃗ ∣=2，同理可得平面 SBC 的一个法向量 n ⃗ =(√3,√3,1)，∣n ⃗ ∣=√7， 所以 cos⟨m ⃗⃗ ,n ⃗ ⟩=m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ∣∣m ⃗⃗⃗ ∣∣⋅∣∣n ⃗ ∣∣=2×√7=√77， 所以二面角 A −SB −C 的余弦值为 √77．20. （1） 设 P (x,y )，则 PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−c −x,−y )，PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c −x,−y )，所以 PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−c 2=a 2−1a2x 2+1−c 2，x ∈[−a,a ]， 由题意得，1−c 2=0，c =1，则 a 2=2， 所以椭圆 C 的方程为 x 22+y 2=1．（2） 将直线 l 的方程 y =kx +m 代入椭圆 C 的方程 x 22+y 2=1 中，得 (2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2−2=0，由直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点知 Δ=16k 2m 2−4(2k 2+1)(2m 2−2)=0， 化简得：m 2=2k 2+1． 设 d 1=∣F 1M ∣=√k 2+1，d 2=∣F 2N ∣=√k 2+1．①当 k ≠0 时，设直线 l 的倾斜角为 θ，则 ∣d 1−d 2∣=∣MN ∣⋅∣tanθ∣， 所以 ∣MN ∣=1∣k∣⋅∣d 1−d 2∣， 所以S=12⋅1∣k∣⋅∣d1−d2∣⋅(d1+d2)=2∣m∣k2+1=4∣m∣m2+1=4∣m∣+1∣m∣,因为m2=2k2+1，所以当k≠0时，∣m∣>1，∣m∣+1∣m∣>2，即S<2．②当k=0时，四边形F1MNF2是矩形，此时S=2．所以四边形F1MNF2面积S的最大值为2．21. （1）fʹ(x)=ln(ax)+1，所以F(x)=12(lna)x2+ln(ax)+1，函数F(x)的定义域为(0,+∞)，Fʹ(x)=(lna)x+1x =(lna)x2+1x．①当lna≥0，即a≥1时，恒有Fʹ(x)>0，函数F(x)在(0,+∞)上是增函数；②当lna<0，即0<a<1时，令Fʹ(x)>0，得(lna)x2+1>0，解得0<x<√−1lna；令Fʹ(x)<0，得(lna)x2+1<0，解得x>√−1lna．所以函数F(x)在(0,√−1lna )上为增函数，在(√−1lna,+∞)上为减函数．（2）因为k=fʹ(x2)−fʹ(x1)x2−x1=ln(ax2)−ln(ax1)x2−x1=ln x2x1x2−x1，x2−x1>0，要证1x2<k<1x1，即证x2−x1x2<ln x2x1<x2−x1x1，令t=x2x1，则t>1，则只要证1−1t<lnt<t−1即可，①设g(t)=t−1−lnt，则gʹ(t)=1−1t>0(t>1)，故g(t)在(1,+∞)上是增函数．所以当t>1时，g(t)=t−1−lnt>g(1)=0，即t−1>lnt成立．②要证1−1t<lnt，由于t>1，即证t−1<tlnt，设ℎ(t)=tlnt−(t−1)，则ℎʹ(t)=lnt>0(t>1)，故函数ℎ(t)在(1,+∞)上是增函数，所以当t>1时，ℎ(t)=tlnt−(t−1)>ℎ(1)=0，即t−1<tlnt成立．故由①②知1x2<k<1x1成立，得证．22. （1）由EF∥BC，可知∠DEF=∠ECB，又∠BCD=∠BAD，所以∠DEF=∠BAD，又∠EFD=∠AFE，所以△DEF∽△EAF．（2）由△EAF∽△DEF，可知FE2=FD⋅FA，又FG为切线，则FG2=FD⋅FA，所以EF=FG=1．23. （1）依题意∣OA∣=4cosφ，∣OB∣=4cos(φ+π4)，∣OC∣=4cos(φ−π4)，则∣OB∣+∣OC∣=4cos(φ+π4)+4cos(φ−π4)=2√2(cosφ−sinφ)+2√2(cosφ+sinφ) =4√2cosφ=√2∣OA∣.（2）当φ=π12时，B，C两点的极坐标分别为(2,π3)，(2√3,−π6)，化为直角坐标为B(1,√3)，C(3,−√3)，所以经过点B，C的直线方程为y−√3=−√3(x−1)，而C2是经过点(m,0)且倾斜角为α的直线，故m=2，α=2π3．24. （1）当x≤−1时，f(x)=3+x≤2；当−1<x<1时，f(x)=−1−3x<2；当x≥1时，f(x)=−x−3≤−4．故当x=−1时，f(x)取得最大值m=2．（2）a2+2b2+c2=(a2+b2)+(b2+c2)≥2ab+2bc=2(ab+bc)，当且仅当a=b=c=√22时，等号成立．此时ab+bc取得最大值1．。