试卷十五试题与答案

试卷十五试题与答案
一、 填空 20% （每空 2分）
1、 如果有限集合A 有n 个元素，则|2A |= 。

2、 某集合有101个元素，则有 个子集的元素个数为奇数。

3、 设S={a 1，a 2,…，a 8}，B i 是S 的子集，由B 17表达的子集为 ，
子集{a 2,a 6,a 7}规定为 。

4、 由A 1，A 2,…，A n ，生成的最小集的形式为 ，它们的并为 集，它们的交为 集。

5、 某人有三个儿子，组成集合A={S 1,S 2,S 3}，在A 上的兄弟关系
具有 性质。

6、每一个良序集必为全序集，而 全序集必为良序集。

7、若B A f →:是函数，则当f 是B A →的 ，A B f c
→:是f 的逆
函数。

二、 选择 15% （每小题 3分）
1、 集合}}}{,{},{,{ΦΦΦΦ=B 的幂集为（ ）。

A 、}},},{{},{{ΦΦΦΦ；
B 、}}}},{,{},{{}}},{,{,{}},{,{}}},{,{{}},{{},{,{B ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦ；
C 、}}}},{,{},{{}}},{,{,{}},{,{}},{,{}},{{},{,{B ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦ；
D 、},}}},{,{},{{}}},{{,{}},{,}{{{B ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦ，
2、 下列结果正确的是（ ）。

A 、
B A B A =-⋃)(；B 、Φ=-⋂A B A )(；
C 、A B B A =⋃-)(；
D 、Φ=Φ⋃Φ}{；
E 、Φ=Φ⋂Φ}{；
F 、A ⊕A=A 。

3、 集合B A ⋃的最小集范式为（ ）（由A 、B 、C 生成）。

A 、
)
()()()()()(C B A C B A C B A C B A C B A C B A ⋂⋂⋃⋂⋂⋃⋂⋂⋃
⋂⋂⋃⋂⋂⋃⋂⋂ ； B 、
)()()(B A B A B A ⋂⋃⋂⋃⋂；
C 、)()()()()()(C B A C B A C B A C B A C B A C B A ⋃⋃⋂⋃⋃⋂⋃⋃⋂
⋃⋃⋂⋃⋃⋂⋃⋃ ； D 、)()()(B A B A B A ⋃⋂⋃⋂⋃。

4、 在（ ） 下有A B A ⊆⨯。

A 、
B A =；B 、A B ⊆；
C 、B A ⊆；
D 、Φ=Φ=B A 或 5、 下列二元关系中是函数的有（ ）。

A 、}10|,{<+∧∈∧∈><=y x N y N x y x R ；
B 、}|,{2
x y R y R x y x R =∧∈∧∈><=； C 、}|,{2y x R y R x y x R =∧∈∧∈><=。

三、 15%
用Warshall 算法，对集合A={1，2，3，4，5}上二元关系R={<1,1>,<1,2>,<2,4>,<3,5>,<4,2>}求t （R ）。

四、15%
集合}0,,1|{2
*
≠-=+=，a
b a i
bi a C
是任意实数，C*上定义关系
}0|,{>>++<=ac di c bi a R ，则R 是C*上的一个等价关系，并给出R 等价类的几何
说明。

五、计算 15%
1、 设A={1，2，3，4}，S={{1}，{2，3}，{4}}，为A 的一个分划，求由S 导出的等价关
系。

（4分）
2、 设Ｚ为整数集，关系)}(mod ,|,{k b a Z b a b a R ≡∧∈><=为Z 上等价关系，求R 的
模K 等价关系的商集Z/R ，并指出R 有秩。

（5分）
3、 设A={1，2，3，4，5}，A 上的偏序关系为
求A 的子集{3，4，5}和{1，2，3}，的上界，下界，上确界
和下确界。

（6分）
六、证明 20%
1、 假定C B g B A f →→:,:，且f g 是一个满射，g 是个入射，则f 是满射。

（10分）
2、 设f ，g 是A 到B 的函数，domf domg g f ⊆⊆且，证明g f =。

（10分） 答案
一、填空 20%（每空2分）
1、2n ；
2、2100；
3、{a 4，a 8}，B 01000110（B 70）；
4、)ˆ
(ˆˆˆ21i i i n A A A A A A 或=⋂⋂⋂ ，
全集，Φ；5、反自反性、对称性、传递性；6、有限；7、双射。

二、选择 15%（每小题 3分）
三、Warshall 算法 15%
解：
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00
00010100000100000011
R
M
=i 1时，R
M [1,1]=1, A =R
M
=i 2时，M[1,2]=M[4,2]=1
A=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00
01010100000100001011
=i 3时，A 的第三列全为0，故A 不变 =i 4时，M[1,4]=M[2,4]=M[4,4]=1
A=⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00
01010100000101001011 =i 5时，M[3,5]=1 ，这时
A=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00
01010100000101001011
所以t (R)={<1,1>, <1,2>,<1,4>,<2,2>,<2,4>,<3,5>,<4,2>,<4,4>} 。

四、 5% 证明：
对称性：0,,,*
*
>>∈++<∈+∈+∀ac R di c bi a C di c C bi a 且
R bi a di c ca >∈++<∴>⇒,,0。

自反性：R bi a bi a aa a C bi a >∈++∴<>≠∈+∀,0
),0(*
传递性：若*
*
*
,
,
C fi e C di c C bi a ∈+∈+∈+∀
R fi e bi a ae acce ce ac R fi e di c R di c bi a >∈++∴<>>∴>>>∈++<>∈++<,0
,0,0,,即则
且当
所以R 是C*上等价关系。

R 两等价类：右半平面}
0,|{1>+==a bi a z z π； 左半平面}
0,|{2<+==a bi a z z π。

五、计算 15%
1、（4分）R={< 1 , 1 > , < 2 , 2> , < 2, 3 > , < 3 , 2 > , < 3 , 3 > < 4 , 4 > } 。

2、（5分）Z/R={[0]，[1]，…，[k-1]} ，所以R 秩为k 。

3、（6分）{3，4，5}：上界：1，3；上确界：3；下界：无；下确界：无；
{1，2，3}：上界：1；上确界：1；下界：4；下确界：4。

六、证明 20%
1、（10分）证明：B b ∈∀，由于g 是入射，所以存在唯一C c ∈使c b g =)(，又f g 满射，对上述c 存在A a ∈，使得c a f g =)( ，也即c a f g =))((，由g 单射，所以b a f =)(即：B b ∈∀均存在A a ∈使得b a f =)(，所以f 满射。

2、（10分）证明：
g
f f
y x rangef y domf x y
y g g y x g y x g
f f
y x rangef
y domf x rangeg y domf x rangeg y domg x g y x =∴>∈<∈∈∴='>∈<>∈'∴<⊆>∈'<∈'∃∈∈∈⇒∈∈>∈<∀,,,,|,即且是函数知
由但而即则对上述且且则。