高中数学反证法教时教案人教版

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人教课标版高中数学选修1-2：《反证法》教案-新版

2.2.2 反证法一、教学目标1．核心素养培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力2．学习目标（1）理解反证法的概念（2）体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤（3）会用反证法证明简单的命题3．学习重点对反证法的概念和三个步骤的理解与掌握．4．学习难点理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据．二、教学设计（一）课前设计【学习过程】1．预习任务任务1预习教材P42—P43，思考：什么是反证法？你以前学过反证法吗？任务2反证法证明问题的步骤是什么？值得注意的问题哪些？2．预习自测1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（）①结论相反的判断，即假设②原命题的条件③公理、定理、定义等④原结论A．①②B．①②④C．①②③D．②③答案：C【知识点：三角形内角和的性质，命题的否定，反证法】由反证法的定义可知应选C．2．如果两个实数之和为正数，则这两个数（）A．一个是正数，一个是负数B．两个都是正数C．两个都是非负数D．至少有一个是正数答案：D3．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，用反证法求证a>0，b>0，c>0时的假设为（）A．a<0，b<0，c>0B．a≤0，b>0，c>0C．a，b，c不全是正数D．abc<0答案：C4．否定“至多有两个解”的说法中，正确的是（）A．有一个解B．有两个解C．至少有两个解D．至少有三个解答案：D（二）课堂设计1．知识回顾著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”王戎的论述运用了什么推理思想？王戎的推理方法是:假设李子不苦,则因树在“道”边,李子早就被别人采摘而没有了,这与“多李”产生矛盾．所以假设不成立,李为苦李．2．问题探究问题探究一反证法的概念●活动一1．什么是反证法？引例：证明：在一个三角形中至少有一个角不小于60°．已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个不小于60°．∆的三个内角∠A，∠B，∠C都小于60°，证明：假设ABC则有∠A <60°，∠B < 60°，∠C <60°，∠A+∠B+∠C<180°这与三角形内角和等于180°相矛盾．所以假设不成立，所求证的结论成立．先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确．这种证明方法就是——反证法一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．反证法也称归谬法●活动二1．常用词语的反义词从上面的引例可以看出：用反证法证明问题时，都是得到一系列矛盾结果，会出现一些反义词，因此，同学们要注意常见词语的反义词，你知道哪些反义词呢？下面是一些常见反义词：问题探究二反证法的证题的基本步骤●活动一反证法的证明过程从前面的引例中你可以总结出反证法证明问题有哪些步骤？反证法的证明过程：否定结论——推出矛盾——肯定结论，即分三个步骤：反设—归谬—存真反设——假设命题的结论不成立；归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾；存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定原结论成立．●活动二归谬矛盾的方法思考一下，归谬矛盾的方法有哪些？归谬矛盾主要有以下方法：（1）与已知条件矛盾．（2）与假设矛盾或自相矛盾．（3）与已有公理、定理、定义、事实矛盾．●活动三反证法证明问题的适用范围同学们知道用反证法证明问题的范围有哪些吗？是不是所有的问题反证法都适用？反证法证明问题的适用范围（1）否定性命题；（2）限定式命题；（3）无穷性命题；（4）逆命题；（5）某些存在性命题；（6）全称肯定性命题；（7）一些不等量命题的证明；（8）基本命题；（9）结论以“至多……”“至或少……”的形式出现的命题等．问题探究三反证法可以解决哪些问题？●活动一用反证法证明否(肯)定式命题例1 设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．【知识点：函数的零点，命题的否定，反证法；数学思想：函数与方程】详解：假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)．而f(0)，f(1)均为奇数，即c 为奇数，a＋b为偶数，则an2＋bn＝－c为奇数，即n(an＋b)为奇数．∴n，an＋b均为奇数．又a＋b为偶数，∴an－a为奇数，即a(n－1)为奇数，∴n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．∴f(x)＝0无整数根．点拔：（1）此题为否定形式的命题，直接证明很困难，可选用反证法．证题的关键是根据f(0)，f(1)均为奇数，分析出a，b，c的奇偶情况，并应用．（2）对某些结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明，从正面突破较困难时，可用反证法．通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的．●活动二用反证法证明“唯一性”命题例2 若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断开，f(a)＜0，f(b)＞0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．【知识点：函数的零点，函数的单调性，命题的否定，反证法】详解：由于f(x)在[a，b]上的图象连续不断开，且f(a)＜0，f(b)＞0，即f(a)·f(b)＜0，所以f (x )在(a ，b )内至少存在一个零点，设零点为m ，则f (m )＝0，假设f (x )在(a ，b )内还存在另一个零点n ，且n ≠m ．，使f (n )＝0，若n ＞m ，则f (n )＞f (m )，即0＞0，矛盾；若n ＜m ，则f (n )＜f (m )，即0＜0，矛盾．因此假设不正确，即f (x )在(a ，b )内有且只有一个零点．点拔：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了．●活动三用反证法证明“至多、至少”问题例3 已知x ，y ＞0，且x ＋y ＞2．求证：1＋x y ，1＋y x 中至少有一个小于2．【知识点：不等式的性质，不等式的证明，命题的否定，反证法】详解：假设1＋x y ，1＋y x 都不小于2，即1＋x y ≥2，1＋y x ≥2．∵x ＞0，y ＞0，∴1＋x ≥2y,1＋y ≥2x ．∴2＋x ＋y ≥2(x ＋y )．即x ＋y ≤2，这与已知x ＋y ＞2矛盾．∴1＋x y ，1＋y x 中至少有一个小于2．点拔：反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n 个/至多有(n 一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个等．例4 设二次函数2()f x x px q =++，求证：(1),(2),(3)f f f 中至少有一个不小于12．【知识点：不等式的性质，绝对值不等式的性质，不等式的证明，命题的否定，反证法】详解：假设(1),(2),(3)f f f 都小于12，则 .2)3()2(2)1(<++f f f （1）另一方面，由绝对值不等式的性质，有2)39()24(2)1()3()2(2)1()3()2(2)1(=+++++-++=+-≥++q p q p q p f f f f f f （2）（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确．点拔：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行．议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况．试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？●活动四利用反证法证题时，假设错误而致误例5 已知a，b，c是互不相等的非零实数．求证：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a ＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．【错解】假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac<0，Δ2＝4c2－4ab<0，Δ3＝4a2－4bc<0，相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2<0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2<0，此不等式不能成立，所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．【知识点：方程的根，反证法】【错因分析】上面解法的错误在于认为“方程没有两个相异实根就有Δ<0”，事实上，方程没有两个相异实根时Δ≤0．【正解】假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0．相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，(*)由题意a，b，c互不相等，所以(*)式不能成立．所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．点拔：用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的．3．课堂总结【知识梳理】(1)反证法：假设原命题的反面正确，根据已知条件及公理、定理、定义，按照严格的逻辑推理导出矛盾．从而说明假设不正确，得出原命题正确．(2)反证法是间接证明的一种方法，在证明否定性命题、唯一性命题和存在性命题时运用反证法比较简便．(3)反证法的基本步骤是：①反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果；③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定结论成立．【难点突破】用反证法证题时,应注意的事项:（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏．（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性．（3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的．（4）反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个．（5）归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木．推理必须严谨．导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾．4．随堂检测1．用反证法证明“如果a＞b，那么3a＞3b”的假设内容应是（）A．3a＝3bB．3a＜3bC．3a≤3bD．3a≥3b答案：C【知识点：不等式的性质，绝对值不等式的性质，不等式的证明，命题的否定，反证法】“大于”的对立面为“小于等于”，故应假设“3a ≤3b ”．2．否定“任何一个三角形的外角都至少有两个钝角”时正确的说法为（）A ．存在一个三角形，其外角最多有一个钝角B ．任何一个三角形的外角都没有两个钝角C ．没有一个三角形的外角有两个钝角D ．存在一个三角形，其外角有两个钝角答案：A【知识点：三角形的性质，命题的否定，反证法】原命题的否定为：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角．3．用反证法证明命题：若a 、b 是实数，且|a －1|＋|b －1|＝0，则a ＝b ＝1时，应作的假设是________．答案：a ≠1或b ≠1．【知识点：命题的否定，反证法】∵“a ＝b ＝1”的否定为“a ≠1或b ≠1”，故应填a ≠1或b ≠1．4．证明方程2x ＝3有且仅有一个实根．【知识点：命题的否定，反证法】证明：∵2x ＝3，∴x ＝32，∴方程2x ＝3至少有一个实根．设x 1，x 2是方程2x ＝3的两个不同实根，则⎩⎨⎧2x 1＝3， ①2x 2＝3， ② 由①－②得2(x 1－x 2)＝0，∴x 1＝x 2，这与x 1≠x 2矛盾．故假设不正确，从而方程2x ＝3有且仅有一个实根．三、智能提升★基础型自主突破1．(2013·海口高二检测)用反证法证明命题：三角形三个内角至少有一个不大于60°时，应假设（）A ．三个内角都不大于60°B ．三个内角都大于60°C ．三个内角至多有一个大于60°D ．三个内角至多有两个大于60°答案：B三个内角至少有一个不大于60°，即有一个、两个或三个不大于60°，其反设为都大于60°，故B正确．2．实数a，b，c不全为0等价于（）A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0答案：D【知识点：命题的否定，反证法】实数a，b，c不全为0，即a，b，c至少有一个不为0，故应选D．3．(1)已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2．用反证法证明时，可假设p＋q≥2．(2)已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1．以下结论正确的是（）A．(1)与(2)的假设都错误B．(1)与(2)的假设都正确C．(1)的假设正确；(2)的假设错误D．(1)的假设错误；(2)的假设正确答案：D【知识点：命题的否定，反证法】(1)的假设应为p＋q>2；(2)的假设正确．答案是D4．下列命题不适合用反证法证明的是（）A．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B．两个不相等的角不是对顶角C．平行四边形的对角线互相平分D．已知x，y∈R，且x＋y＞2，求证：x，y中至少有一个大于1答案：C【知识点：命题的否定，反证法】A中命题条件较少，不易正面证明；B中命题是否定性命题，其反设是显而易见的定理；D 中命题是至少性命题，其结论包含两种情况，而反设只有一种情况，适合用反证法证明．5．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的否定是_____________．答案：三角形中最少有两个内角是直角【知识点：三角形的性质，命题的否定，反证法】“最多”的反面是“最少”，故本题的否定是：三角形中最少有两个内角是直角．能力型师生共研1．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则三数a ＋1b ，c ＋1a ，b ＋1c 中（）A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2答案：C【知识点：基本不等式，命题的否定，反证法】假设都大于－2，则1116a b c b c a+++++>-，又()112a a a a ⎡⎤+=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦，同理12b b +≤-，12c c +≤-，故1116a b c b c a+++++≤-，矛盾．即a ＋1b ，c ＋1a ，b ＋1c 中至少有一个不大于－2,所以答案C ． 2．用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a 、b 为实数)”，其反设为________．答案：a 、b 不全为0【知识点：命题的否定，反证法】“a 、b 全为0”即“a ＝0且b ＝0”，因此它的反设为“a ≠0或b ≠0，3．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误． ②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°．上述步骤的正确顺序为________．答案：③①②【知识点：三角形的性质，命题的否定，反证法】4．甲乙丙三位同学中，有一位同学做了一件好事，这时候老师问他们三人，是谁做的？甲说："丙做的．”丙说：“不是我做的．”乙也说：“不是我做的．”如果知道他们三个人中，有两人说了假话，有一人说真话，你能判断出是谁做的吗？【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】解：每人讲的话中都有一句真话，一句假话．乙说：“我没有做这件事，丙也没有做这件事．”说明乙丙两人中有一人做了这件事，甲一定没做而甲说：“我没有做这件事，乙也没有做这件事．”前一句是真的，后一句一定是假的．所以，是乙做的这件好事！5．用反证法证明：无论m 取何值，关于x 的方程x 2－5x ＋m ＝0与2x 2＋x ＋6－m ＝0至少有一个有实数根．【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】解：假设存在实数m ，使得这两个方程都没有实数根，则⎩⎨⎧ Δ1＝25－4m ＜0，Δ2＝1－8(6－m )＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞254，m ＜478，无解．与假设存在实数m 矛盾．故无论m 取何值，两个方程中至少有一个方程有实数根．6．已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0，c ＞0．【知识点：不等式的证明，命题的否定，反证法】证明: 假设a ＜0，由abc ＞0得bc ＜0，由a ＋b ＋c ＞0，得b ＋c ＞－a ＞0，于是ab ＋bc ＋ca ＝a (b ＋c )＋bc ＜0，这与已知矛盾．又若a ＝0，则abc ＝0，与abc ＞0矛盾，故a ＞0，同理可证b ＞0，c ＞0．探究型多维突破1．若x ，y ，z 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，则a ，b ，c 中是否至少有一个大于0？请说明理由．【知识点：推理与证明，实数非负性，命题的否定，反证法】解：假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a ＋b ＋c ≤0．而a ＋b ＋c ＝x 2－2y ＋π2＋y 2－2z ＋π3＋z 2－2x ＋π6＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3，因为π－3>0，且无论x ，y ，z 为何实数，(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2≥0，所以a ＋b ＋c >0．这与假设a ＋b ＋c ≤0矛盾．因此，a，b，c中至少有一个大于0．2．如下图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．(1)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的长；(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．【知识点：线面垂直，面面垂直，异面直线，命题的否定，反证法】解：(1)如图，取CD的中点G，连接MG，NG，∵ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，∴MG⊥CD，MG＝2，NG＝2．∵平面ABCD⊥平面DCEF，∴MG⊥平面DCEF．∴MG⊥GN．∴MN＝MG2＋GN2＝6．(2)证明假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN∩平面DCEF＝EN．由已知，两正方形ABCD和DCEF不共面，故AB⊄平面DCEF．又AB∥CD，∴AB∥平面DCEF，∴EN∥AB，又AB∥CD∥EF．∴EF∥NE，这与EF∩EN＝E矛盾，故假设不成立．∴ME与BN不共面，它们是异面直线．（四）自助餐1．用反证法证明命题“若a，b∈N，ab可以被7整除，则a，b中至少有一个能被7整除”，其假设正确的是（）A．a，b都能被7整除B．a，b都不能被7整除C．a不能被7整除D．a，b中有一个不能被7整除答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】“至少有一个”的否定是“一个也没有”．所以选B．2．有下列叙述：①“a＞b”的反面是“a＜b”；②“x＝y”的反面是“x＞y或x＜y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形的内角中最多有一个钝角”的反面是“三角形的内角中没有钝角”，其中正确的叙述有（）A．0个B．1个C．2个D．3个答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】①错，应为a≤b．②对．③错，应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上．④错，应为三角形的内角中有2个或3个钝角．即选B．3．设正实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则a，b，c中至少有一个数不小于（）A．1 3B．1 2C．3 4D．2 5答案：A【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】假设a，b，c中至少有一个数不小于x的反命题成立，即假设a，b，c都小于x，即a＜x，b＜x，c＜x，∴a＋b＋c＜3x．∵a＋b＋c＝1，∴3x＞1．∴x＞13，若取x＝13就会产生矛盾．故选A．4．下列命题错误的是（）A．三角形中至少有一个内角不小于60°B．四面体的三组对棱都是异面直线C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点D．设a、b∈Z，若a、b中至少有一个为奇数，则a＋b是奇数答案：D【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】a＋b为奇数⇔a、b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误．因此选D．5．已知α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，若a，b为异面直线，则（）A．a，b都与l相交B．a，b中至少有一条与l相交C．a，b中至多有一条与l相交D．a，b都不与l相交答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】逐一从假设选项成立入手分析，易得B是正确选项，故选B．6．以下各数不能构成等差数列的是（）A．3，4，5B．2，3， 5C．3，6，9D．2，2， 2答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】假设2，3，5成等差数列，则23＝2＋5，即12＝7＋210，此等式不成立，故2，3，5不成等差数列．7．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．答案：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角【知识点：命题的否定，反证法】“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”．“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．8．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a、b、c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．【知识点：函数的奇偶性，推理与证明，命题的否定，反证法】证明设f(x)＝0有一个整数根k，则ak2＋bk＝－c．①又∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c均为奇数，∴a＋b为偶数，当k为偶数时，显然与①式矛盾；当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，则ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为偶数，也与①式矛盾，故假设不成立，所以方程f(x)＝0无整数根．9．如图，已知平面α∩平面β=直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a=A，c∥a．求证：b与c是异面直线．【知识点：线面平行，线线平行，推理与证明，命题的否定，反证法】证明：证明：假设b，c不是异面直线，则①b∥c；②b∩c＝B．①若b∥c，∵a∥c，∴a∥b，与a∩b＝A矛盾，∴b∥c不成立．②若b∩c＝B，∵c⊂β，∴B∈β．又A∈β，A∈b，∴b⊂β．又b⊂α，∴α∩β＝b．又α∩β＝a，∴a与b重合．这与a∩b＝A矛盾．∴b∩c＝B不成立．∴b与c是异面直线．10．若下列方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．【知识点：判别式，不等式组的解法，命题的否定，反证法】解：设三个方程均无实根，则有⎩⎨⎧ Δ1＝16a 2－4(－4a ＋3)<0，Δ2＝(a －1)2－4a 2<0，Δ3＝4a 2－4(－2a )<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ －32<a <12，a <－1，或a >13，－2<a <0，所以－32<a <－1．所以当a ≥－1，或a ≤－32时，三个方程至少有一个方程有实根．11．已知函数f (x )＝x 22x －2，如果数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝f (a n )，求证：当n ≥2时，恒有a n <3成立．【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】证明：法一(直接证法) 由a n ＋1＝f (a n )得a n ＋1＝a 2n 2a n －2， ∴1a n ＋1＝－2a 2n ＋2a n ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －122＋12≤12， ∴a n ＋1<0或a n ＋1≥2；(1)若a n ＋1<0，则a n ＋1<0<3，∴结论“当n ≥2时，恒有a n <3”成立；(2)若a n ＋1≥2，则当n ≥2时，有a n ＋1－a n ＝a 2n 2a n －2－a n ＝－a 2n ＋2a n 2(a n －1)＝－a n (a n －2)2(a n －1)≤0， ∴a n ＋1≤a n ，即数列{a n }在n ≥2时单调递减；由a 2＝a 212a 1－2＝168－2＝83<3，可知a n ≤a 2<3，在n ≥2时成立．综上，由(1)、(2)知：当n ≥2时，恒有a n <3成立．法二：(用反证法) 假设a n ≥3(n ≥2)，则由已知得a n ＋1＝f (a n )＝a 2n 2a n －2， ∴当n ≥2时，a n ＋1a n＝a n 2a n －2＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a n －1≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝34<1，(∵a n －1≥3－1)，又易证a n >0，∴当n ≥2时，a n ＋1<a n ，∴当n >2时，a n <a n －1<…<a 2；而当n ＝2时，a 2＝a 212a 1－2＝168－2＝83<3，∴当n ≥2时，a n <3；这与假设矛盾，故假设不成立，∴当n≥2时，恒有a n<3成立．三、数学视野边际分析法是这一时期产生的一种经济分析方法，同时形成了经济学的边际效用学派，代表人物有瓦尔拉(L．Walras)、杰文斯(W．S．Jevons)、戈森(H．H．Gossen)、门格尔(C．Menger)、埃奇沃思(F．Y．Edgeworth)、马歇尔(A．Marshall)、费希尔(I．Fisher)、克拉克(J．B．Clark)以及庞巴维克(E．von Bohm-Bawerk)等人．边际效用学派对边际概念作出了解释和定义，当时瓦尔拉斯把边际效用叫做稀缺性，杰文斯把它叫做最后效用，但不管叫法如何，说的都是微积分中的“导数”和“偏导数”．西方经济学中,边际分析方法是最基本的分析方法之一,是一个比较科学的分析方法．西方边际分析方法的起源可追溯到马尔萨斯．他在1814年曾指出微分法对经济分析所可能具有的用途．1824年，汤普逊(W．Thompson)首次将微分法运用于经济分析，研究政府的商品和劳务采购获得最大利益的条件．功利主义创始人边沁(J．Bentham)在其最大快乐和最小痛苦为人生追求目标的信条中，首次采用最大和最小术语，并且提出了边际效应递减的原理．边际分析法是把追加的支出和追加的收入相比较，二者相等时为临界点，也就是投入的资金所得到的利益与输出损失相等时的点．如果组织的目标是取得最大利润，那么当追加的收入和追加的支出相等时，这一目标就能达到．边际分析法的数学原理很简单．对于离散discrete情形，边际值marginal value为因变量变化量与自变量变化量的比值；对于连续continuous情形，边际值marginal value为因变量关于某自变量的导数值．所以边际的含义本身就是因变量关于自变量的变化率，或者说是自变量变化一个单位时因变量的改变量．在经济管理研究中，经常考虑的边际量有边际收入MR、边际成本MC、边际产量MP、边际利润MB等．。

人教版高中数学必修1反证法教案

二简易逻辑（§1.7.3 四种命题）教学时间:第三课时课题: §1.7.3 反证法教学目标：1.使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法.2.培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力. 教学重点：反证法证题的步骤.教学难点：理解反证法的推理依据及方法.教学方法：讲练结合教学.教具准备：投影片共3张教学过程：（I）复习回顾师：初中已学过反证法，什么叫做反证法？生：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.师：本节将进一步研究反证法证题的方法.（II）讲授新课§1.7.3 反证法证题的步骤是什么？生：(注：学生回答时，教师投影出：反证法证明命题的一般步骤.)师：反证法是一种间接证明命题的基本方法。

在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。

例如：“在ΔABC中，若∠C是直角，那么∠B一定是锐角。

”显然命题的结论是正确的，但直接证明是较困难的，而用反证法就容易证明之。

请一同学证明。

生：假设∠B是直角，因∠C是直角，所以∠C+∠B=1800，此时∠A=00，这与ABC 为三角形相矛盾。

所以∠B为锐角。

师：请讨论上述证明推理是否正确？为什么？生：上述证明推理不完整。

因∠B 不是锐角有两种情况，即∠B 为直角或钝角，必须对两种可能均加以否定，才能证明∠B 一定是锐角。

师：分析正确。

由此在运用反证法证明命题中如果命题结论的反面不止一个时，必须将结论所有反面的情况逐一驳证，才能肯定原命题的结论正确. 下面看例题：（投影片2）例3：用反证法证明：如果a>b>0,那么。

（由学生回答，教师书写）证明：假设不大于，即或。

∵ a>0,b>0∴ (由学生回答上述步骤转化的目的是什么？)(推理利用了不等式的传递性)又由但这些都与已知条件a>b>0矛盾.∴ 成立。

人教版高中数学选修2-22.2.2反证法学案

2．2.2反证法1．认识反法是接明的一种基本方法．2．理解反法的思虑程，会用反法明数学．基梳理1．定：一般地，由明 p? q 向明：綈 q? r ? ⋯ ? t， t 与假矛盾，或与某个真命矛盾．进而判断┐q 假，推出 q 真的方法，叫做反法．2．反法常的矛盾型：反法的关是在正确的推理下得出矛盾．个矛盾能够是与假矛盾或与数学公义、定理、公式、定或与公的事矛盾等．想想： (1) 反法的是什么？(2)反法属于直接明是接明？其明程属合情推理是演推理？(1)分析：反法的就能否认，推出矛盾，进而明原是正确的．(2)分析：反法是接明中的一种方法，其明程是特别密的演推理．自自1．用反法明命“三角形的内角中起码有一个大于60°” ，反正确的选项是(A)A ．假三内角都不大于60°B．假三内角都大于60°C．假三内角至多有一个大于60°D．假三内角至多有两个大于60°分析：“起码有一个”的否认是“一个都没有”，反“三个内角都不大于60°”．2．有以下：①已知 p3＋ q3＝ 2，求 p＋ q≤2，用反法明，可假p＋ q≥2；②已知a， b∈R，2|a|＋ |b|<1，求方程x ＋ ax＋ b＝ 0 的两根的都小于1，用反法明可假方程有一根x1的大于或等于1，即假|x1|≥ 1.以下法中正确的选项是(D)A ．①与②的假都B．①与②的假都正确C．①的假定正确；②的假定错误D．①的假定错误；②的假定正确分析：用反证法证明问题时，其假定是原命题的否认，故①的假定应为“的假定为“两根的绝对值不都小于1”，故①假定错误．②假定正确．3.“实数 a， b， c 不全大于0”等价于 (D)A ． a， b， c 均不大于0B．a， b， c 中起码有一个大于0C．a， b， c 中至多有一个大于0p＋ q>2”；②D． a， b， c 中起码有一个不大于0分析：“不全大于零”即“起码有一个不大于0”，它包含“全不大于0”．应选 D.基础巩固1． (2014 微·山一中高二期中)用反证法证明命题“假如 a>b>0，那么 a2>b2”时，假定的内容应是 (C)A ． a2＝ b2B． a2<b222222＝ b 2C．a ≤ b D． a <b，且 a2．否认“至多有两个解”的说法中，正确的选项是(D)A ．有一个解B．有两个解C．起码有两个解D．起码有三个解3．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD 也是异面直线”的过程概括为以下三个步骤：①则A、B、C、D四点共面，因此AB、 CD共面，这与AB、 CD是异面直线矛盾；②因此假定错误，即直线AC、 BD也是异面直线；③假定直线AC、 BD是共面直线．则正确的序号次序为(B)A ．①②③B ．③①②C．①③② D ．②③①分析：联合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.4．命题“a，b∈R，若 |a－ 1|＋ |b－ 1|＝ 0，则 a＝ b＝ 1”用反证法证明时应假定为________．分析：“a＝ b＝ 1”的反面是“a≠1或 b≠1”，因此设为a≠1或 b≠1.答案： a≠1或 b≠1能力提升5．以下命题不适适用反证法证明的是(C)A．同一平面内，分别与两条订交直线垂直的两条直线必订交B．两个不相等的角不是对顶角C．平行四边形的对角线相互均分D．已知 x， y∈ R，且 x＋ y＞ 2，求证： x，y 中起码有一个大于 1.分析：选项 A 中命题条件较少，不足以正面证明；选项 B 中命题能否认性命题，能够反证法证明；选项 D 中命题是起码性命题，能够反证法证明．选项 C 不适适用反证法证明．故选 C.6．设 a、b、c∈R＋，P＝ a＋ b－ c，Q＝ b＋ c－a， R＝ c＋ a－b，则“PQR>0”是“P、Q、R同时大于零”的 (C)A ．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件分析：第一若 P、Q、R 同时大于零，则必有PQR>0 建立．其次，若 PQR>0，且 P、Q、R 不都大于 0，则必有两个为负，不如设P<0，Q<0，即 a＋b－ c<0，b＋ c－ a<0，∴ b<0 与b∈ R＋矛盾，故 P、Q、R 都大于 0.应选 C.7．已知数列 { a n} ，{ b n} 的通项公式分别为a n＝ an＋ 2，b n＝ bn＋ 1(a，b 是常数，且 a>b)，那么这两个数列中序号与数值均对应同样的项有________个．分析：假定存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得 a n＝b n，由题意 a>b， n∈N *，则恒有 an＞ bn，进而 an＋ 2＞bn＋ 1 恒建立，因此不存在n 使 a n＝ b n.答案： 08．有以下表达：①“ a>b”的反面是“a<b”；② “x＝ y”的反面是“ x>y 或 x<y”；③ “三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内” ；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角” ．此中正确的表达有__________( 填序号 ) ．分析：“x＝y”的反面是“x≠y”，即是“x>y 或 x<y”，因此②正确；“a>b”的反面是“a≤b”；“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心不在三角形外”；“三角形最多有一个钝角” 的反面是“三角形起码有两个钝角”．因此这三个都错．答案：②9．假如非零实数 a ， b ，c 两两不相等，且2＝1＋1不建立．2b ＝ a ＋ c.证明： b a c证明：假定 2＝1＋ 1建立，则2＝ a ＋ c ＝2b ，∴ b 2＝ ac.b acb ac ac又∵ b ＝ a ＋ c ，∴ a ＋ c 2 2 2 22 2＝ac ，即 a ＋ c ＝ 2ac ，即 (a － c) ＝ 0，∴ a ＝ c ，这与 a ，b ， c 两两不相等矛盾，∴2b ＝1a ＋ 1c 不建立．x x － 2 10．已知函数f(x)＝ a ＋x ＋ 1(a>1)．(1)证明：函数 f(x)在 (－ 1，＋ ∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f(x)＝ 0 没有负实根．证明： (1)任取 x 1， x 2∈ (－ 1，＋ ∞)，不如设 x 1<x 2，则 x 2－ x 1>0 ， ax 2－ x 1>1，且 ax 1>0.因此 ax 2 －ax 1＝ ax 1 (ax 2－ x 1－ 1)>0. 又由于 x 1＋1>0 ， x 2＋ 1>0，因此 x 2－ 2－ x 1－ 2x 2＋ 1x 1＋ 1（ x 2－ 2）（ x 1＋ 1）－（ x 1－ 2）（ x 2＋ 1）＝（ x 1＋ 1）（ x 2＋ 1）3（ x 2－ x 1）＝（ x 1＋ 1）（ x 2＋ 1）>0.x 2－ 2 x 1－ 2于是 f(x 2)－ f(x 1)＝ax 2－ ax 1＋ x 2＋ 1－x 1＋1>0，故函数 f(x)在 (－ 1，＋ ∞)上为增函数． (2)设存在 x 0<0(x 0≠－ 1)知足 f(x 0)＝ 0，则 ax 0＝－x 0 －2x 0 .＋1又 0<ax 0<1，因此 0<－x 0－ 21＋ 1<1，即 2<x 0<2.x 0与假定 x 0<0 矛盾，故 f(x)＝ 0 没有负实根．。

高中数学间接证明反证法教案新人教版选修2-2

法教案新人教版选修2-2情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

2.教学重点：了解反证法的思考过程、特点3. 教学难点：反证法的思考过程、特点4．教具准备：与教材内容相关的资料。

5．教学设想：利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。

反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n 个/至多有(n 一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。

归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。

推理必须严谨。

导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。

(2)、例子例1、求证：2不是有理数例2、已知0>>b a ，求证：n n b a >（N n ∈且1>n ）例3、设233=+b a ，求证.2≤+b a 证明：假设2>+b a ，则有b a ->2，从而.2)1(68126,61282233323+-=+->+-+->b b b b a b b b a 因为22)1(62≥+-b ，所以233>+b a ，这与题设条件233=+b a 矛盾，所以，原不等式2≤+b a 成立。

例4、设二次函数q px x x f ++=2)(，求证：)3(,)2(,)1(f f f 中至少有一个不小于21. 证明：假设)3(,)2(,)1(f f f 都小于21，则 .2)3()2(2)1(<++f f f （1）另一方面，由绝对值不等式的性质，有 2)39()24(2)1()3()2(2)1()3()2(2)1(=+++++-++=+-≥++q p q p q p f f f f f f （2）（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。

反证法教案

⑵通过问题设置，激发学生学习的内在动力。
〔二〕教学重点和难点
重点：1、理解反证法的概念；
2、掌握反证法证明命题的思路方法及答题步骤；
3、用反证法证明简单的命题。
难点：1、理解反证法中的“假设”内在含义及作用
2、理解反证法中的矛盾推导。
〔三〕教学方法
讲授法，比照归纳法，练习法。
〔四〕教学准备
多媒体课件、黑板
学生思考对话中蕴含的反证法思想，并结合自己的生活实际，消化这种思维。
1、方便学生理解反证法思想。
2、实例不仅体会了数学思想在生活中的广泛应用，也让学生明白数学来源于生活实际。
〔六〕、板书设计
反证法
主板副板
概念：…………例1、…………例2、…………思考………
步骤：〔1〕……………………………………
〔2〕……
乙：你说得太对了．要是下雨，肯定是不可能只下在马路上的．你刚刚这种说理的方法用的就是反证法．
甲：啊，这就是反证法．
乙：是的．你想，你刚刚在跟我争论的观点是不是要证明“昨晚没有下雨？”
甲：不错呀！
乙：你知不知道你是用哪一句话来让我心服口服的？
甲：“要是下雨，……”
乙：对．你一开始就用“要是下雨”，也就是说“假设下雨”，然后就会怎么样、怎么样，导出一个奇怪的现象或矛盾．你看，你没有直接说明“因为什么，所以没有下雨”，相反地却是先“假设下雨，然后会怎么样，最后导出一个矛盾”，这就是反证法．
所以。
显然与已知条件矛盾。
因此假设不成立。原命题成立。
〔肯定型命题，与条件矛盾〕
教师点明：1、否认的结论作为条件使用，以此进行推理论证。
2、强调反证法的答题步骤及书写标准。
例2、假设函数在区间上是增函数，那么方程在区间上至多只有一个实根。

高中数学 2.2.2 反证法教案新人教A版选修12

2．2.2 反证法(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能结合实例了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程与特点．会用反证法证明数学问题．2．过程与方法使学生经历“总结归纳反证法的操作步骤”的过程，培养学生归纳、总结、推理论证的能力．增强学生的数学应用意识和创新意识．3．情感、态度与价值观注重培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识．通过让学生体验成功，培养学生学习数学的自信心．通过科学家的故事，培养学生的耐心、恒心、自信心和抗挫折能力．从而发展学生的数学思维能力，提高思维品质．●重点难点重点：反证法概念的理解以及反证法的解题步骤．难点：应用反证法解决问题，在推理过程中发现矛盾．在教学中要明确反证法证明的三个步骤：(1)做待证命题的否命题；(2)根据所做出的否命题，结合已知条件或己知的其他的真命题，推导出和已知条件或已知的真命题相矛盾的地方；(3)否定所做的否命题，也就是肯定原命题的正确性．让学生亲身体会并总结三个步骤中的关键因素，集体探索解决方法，突出重点、化解难点．(教师用书独具)●教学建议建议本节课采取探究式教学法，让学生参与证明问题的否定假设，推理归谬，激发学生积极参与的热情，开发其论证推理能力的潜能，培养良好的思维品质．关于反证法的教学需要注意以下几点：(1)书写格式及解题步骤：假设——归谬——指出矛盾——得出结论．(2)提出反设的方式方法：引导学生弄清反设词语的含义，掌握常见量词的反设词．(3)归谬方法：在归谬过程中要注意假设条件的利用，通过例题分析总结归谬的方法技巧．(4)反证法的适用范围及对象：反证法一般适用于题目条件中含有量词“至多”“至少”“全部”“都”或否定性命题．其次是在直接证明受阻的情况下，考虑间接证明．●教学流程创设问题情境，通过“道旁苦李”的故事，引导学生认识反证法，了解其特点、推理方式及应用范畴．让学生自主完成填一填，使学生进一步了解反证法的证明格式、步骤、思维方式、证明思想等．引导学生分析例题1的已知条件，师生共同探究证明思路，学生自主完成证明过程，老师指导完善，并完成变式训练．学生分组探究例题2解法，总结反证法证明唯一性命题的反设方式及证明的方法，完成例题2变式训练．完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．学生自主完成例题3互动探究，教师抽查完成情况，对出现问题及时指导．让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法．老师组织解法展示，引导学生总结解题规律．课标解读1.了解反证法是间接证明的一种基本方法．(重点)2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．(难点)反证法【问题导思】著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”王戎的论述运用了什么推理思想？【提示】实质运用了反证法的思想．1．反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．2．反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、定理、公理、事实矛盾等.设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．【思路探究】此题为否定形式的命题，直接证明很困难，可选用反证法．证题的关键是根据f(0)，f(1)均为奇数，分析出a，b，c的奇偶情况，并应用．【自主解答】假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)．而f(0)，f(1)均为奇数，即c为奇数，a＋b为偶数，则an2＋bn＝－c为奇数，即n(an＋b)为奇数．∴n，an＋b均为奇数．又a＋b为偶数，∴an－a为奇数，即a(n－1)为奇数，∴n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．∴f(x)＝0无整数根．1．对某些结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明，从正面突破较困难时，可用反证法．通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的．2．常见否定词语的否定形式如下表所示：已知非零实数a 、b 、c 成等差数列a ≠c ，求证：1a ，1b ，1c不可能成等差数列．【证明】假设1a ，1b ，1c成等差数列，则2b ＝1a ＋1c ＝a ＋c ac，又a 、b 、c 成等差数列， ∴2b ＝a ＋c ， ∴b ＝a ＋c2，∴4a ＋c ＝a ＋cac， ∴(a －c )2＝0，即a ＝c . 这与a ≠c 矛盾．故假设错误，原命题正确.若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断开，f(a)＜0，f(b)＞0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．【思路探究】先由函数零点存在性判定定理判定函数在(a，b)内有零点，再用反证法证明零点唯一．【自主解答】由于f(x)在[a，b]上的图象连续不断开，且f(a)＜0，f(b)＞0，即f(a)·f(b)＜0，所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，则f(m)＝0，假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f(n)＝0，则n≠m.若n＞m，则f(n)＞f(m)，即0＞0，矛盾；若n＜m，则f(n)＜f(m)，即0＜0，矛盾．因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了．已知a与b是异面直线，求证：过a且平行于b的平面只有一个．【证明】如图所示．假设过直线a且平行于直线b的平面有两个，分别为α和β，在直线a 上取点A ，过b 和A 确定一个平面γ，且γ与α、β分别交于过点A 的直线c 、d ，由b ∥α，知b ∥c ，同理b ∥d ，故c ∥d ，这与c 、d 相交于点A 矛盾，故假设不成立，原结论成立.已知x ，y ＞0，且x ＋y ＞2.求证：1＋x y ，1＋y x中至少有一个小于2.【思路探究】明确“至少”的含义―→对结论作出假设―→得出矛盾．【自主解答】假设1＋x y ，1＋y x 都不小于2，即1＋x y ≥2，1＋y x≥2.∵x ＞0，y ＞0， ∴1＋x ≥2y,1＋y ≥2x . ∴2＋x ＋y ≥2(x ＋y )．即x ＋y ≤2，这与已知x ＋y ＞2矛盾． ∴1＋x y ，1＋yx中至少有一个小于2.常见结论词与反设词列表如下：在本例中，若x ，y >0且x ＋y ＝2，求证：1＋x y ，1＋yx中至少有一个不小于2.【证明】假设1＋x y ，1＋y x都小于2.则1＋x <2y,1＋y <2x ，，那么2＋x＋y<2x＋2y，∴x＋y>2与已知x＋y＝2矛盾．所以假设不成立，原命题成立.利用反证法证题时，假设错误而致误已知a，b，c是互不相等的非零实数．求证：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．【错解】假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac<0，Δ2＝4c2－4ab<0，Δ3＝4a2－4bc<0，相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2<0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2<0，此不等式不能成立，所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．【错因分析】上面解法的错误在于认为“方程没有两个相异实根就有Δ<0”，事实上，方程没有两个相异实根时Δ≤0.【防范措施】用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的．【正解】假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，(*)由题意a，b，c互不相等，所以(*)式不能成立．所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．1．反证法：假设原命题的反面正确，根据已知条件及公理、定理、定义，按照严格的逻辑推理导出矛盾．从而说明假设不正确，得出原命题正确．2．反证法是间接证明的一种方法，在证明否定性命题、唯一性命题和存在性命题时运用反证法比较简便．3．反证法的基本步骤是：(1)反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；(2)归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果；(3)存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定结论成立．1．用反证法证明“如果a＞b，那么3a＞3b”的假设内容应是( )A.3a＝3b B.3a＜3bC.3a≤3b D．3a≥3b【解析】“大于”的对立面为“小于等于”，故应假设“3a≤3b”．【答案】 C2．否定“任何一个三角形的外角都至少有两个钝角”时正确的说法为( )A．存在一个三角形，其外角最多有一个钝角B．任何一个三角形的外角都没有两个钝角C．没有一个三角形的外角有两个钝角D．存在一个三角形，其外角有两个钝角【解析】原命题的否定为：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角．【答案】 A3．用反证法证明命题：若a、b是实数，且|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1时，应作的假设是________．【解析】∵“a＝b＝1”的否定为“a≠1或b≠1”，故应填a≠1或b≠1.【答案】a≠1或b≠14．证明方程2x＝3有且仅有一个实根．【证明】 ∵2x ＝3，∴x ＝32，∴方程2x ＝3至少有一个实根．设x 1，x 2是方程2x ＝3的两个不同实根，则⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝3， ①2x 2＝3， ②由①－②得2(x 1－x 2)＝0， ∴x 1＝x 2，这与x 1≠x 2矛盾．故假设不正确，从而方程2x ＝3有且仅有一个实根.一、选择题1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用( )①结论的否定，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论． A ．①② B ．①②④ C ．①②③ D ．②③ 【解析】由反证法的定义可知应选C. 【答案】 C2．(2013·海口高二检测)用反证法证明命题：三角形三个内角至少有一个不大于60°时，应假设( )A ．三个内角都不大于60°B ．三个内角都大于60°C ．三个内角至多有一个大于60°D ．三个内角至多有两个大于60°【解析】三个内角至少有一个不大于60°，即有一个、两个或三个不大于60°，其反设为都大于60°，故B正确．【答案】 B3．实数a，b，c不全为0等价于( )A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0【解析】实数a，b，c不全为0，即a，b，c至少有一个不为0，故应选D.【答案】 D4．(1)已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2.用反证法证明时，可假设p＋q≥2.(2)已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下结论正确的是( )A．(1)与(2)的假设都错误B．(1)与(2)的假设都正确C．(1)的假设正确；(2)的假设错误D．(1)的假设错误；(2)的假设正确【解析】(1)的假设应为p＋q>2；(2)的假设正确．【答案】 D5．下列命题不适合用反证法证明的是( )A．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B．两个不相等的角不是对顶角C．平行四边形的对角线互相平分D．已知x，y∈R，且x＋y＞2，求证：x，y中至少有一个大于1【解析】A中命题条件较少，不易正面证明；B中命题是否定性命题，其反设是显而易见的定理；D中命题是至少性命题，其结论包含两种情况，而反设只有一种情况，适合用反证法证明．【答案】 C二、填空题6．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的否定是______________．【解析】“最多”的反面是“最少”，故本题的否定是：三角形中最少有两个内角是直角．【答案】“三角形中最少有两个内角是直角”7．用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a 、b 为实数)”，其反设为________．【解析】 “a 、b 全为0”即“a ＝0且b ＝0”，因此它的反设为“a ≠0或b ≠0” 【答案】 “a 、b 不全为0”8．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角． ③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°. 上述步骤的正确顺序为________．【答案】 ③①② 三、解答题9．(2013·泰安高二检测)用反证法证明：无论m 取何值，关于x 的方程x 2－5x ＋m ＝0与2x 2＋x ＋6－m ＝0至少有一个有实数根．【解】假设存在实数m ，使得这两个方程都没有实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝25－4m ＜0，Δ2＝1－86－m ＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＞254，m ＜478，无解．与假设存在实数m 矛盾．故无论m 取何值，两个方程中至少有一个方程有实数根． 10．已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0，c ＞0. 【证明】假设a ＜0，由abc ＞0得bc ＜0，由a ＋b ＋c ＞0，得b ＋c ＞－a ＞0，于是ab ＋bc ＋ca ＝a (b ＋c )＋bc ＜0，这与已知矛盾．又若a ＝0，则abc ＝0，与abc ＞0矛盾，故a ＞0，同理可证b ＞0，c ＞0.11．若x ，y ，z 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，则a ，b ，c 中是否至少有一个大于0？请说明理由．【解】假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a ＋b ＋c ≤0.而a ＋b ＋c ＝x 2－2y ＋π2＋y 2－2z ＋π3＋z 2－2x ＋π6＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3，因为π－3>0，且无论x，y，z为何实数，(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0，所以a＋b＋c>0.这与假设a＋b＋c≤0矛盾．因此，a，b，c中至少有一个大于0.(教师用书独具) 等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1＋2，S3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【思路探究】第(1)问考查等差数列的通项公式与前n 项和公式，应用a n ＝a 1＋(n －1)d 和S n ＝na 1＋12n (n －1)d 两式求解．第(2)问先假设任三项b p 、b q 、b r 成等比数列，再用反证法证明．【自主解答】 (1)设公差为d ，由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明：由(1)得b n ＝S n n＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p 、b q 、b r (p 、q 、r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0.∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴(p ＋r2)2＝pr ，(p －r )2＝0，∴p ＝r ，这与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．1．当结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾．2．反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a、b∈R.(1)若a＋b≥0，是否有f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)?(2)若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，是否有a＋b≥0?以上两结论若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由．【解】(1)若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)成立．证明：因为a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a.又f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．两式相加，得f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．(2)若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0成立．证明：(反证法)假设a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a，而f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)．以上两式相加，得f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．与已知f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)矛盾，所以假设错误，因此a＋b≥0.21。

高中数学选修人教A教案导学案2.2.2反证法

2. 2.2反证法课前预习学案一、预习目标：使学生了解反证法的基本原理；掌握运用反证法的一般步骤；学会用反证法证明一些典型问题.二、预习内容：提出问题：问题1：桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎么翻转，都不能使硬币全部反面朝上。

你能解释这种现象吗？学生尝试用直接证明的方法解释。

采用反证法证明：假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上，由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上都需要翻转奇数次，所以 3 枚硬币全部反面朝上时，需要翻转 3 个奇数之和次，即要翻转奇数次．但由于每次用双手同时翻转 2 枚硬币， 3 枚硬币被翻转的次数只能是 2 的倍数，即偶数次．这个矛盾说明假设错误，原结论正确，即无论怎样翻转都不能使3 枚硬币全部反面朝上．问题2：A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。

则C必定是在撒谎，为什么？分析:假设C没有撒谎, 则C真.那么A假且B假;由A假, 知B真. 这与B假矛盾.那么假设C没有撒谎不成立;则C必定是在撒谎.推进新课在解决某些数学问题时，我们会不自觉地使用反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。

三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标（1）使学生了解反证法的基本原理；（2）掌握运用反证法的一般步骤；（3）学会用反证法证明一些典型问题.二、学习过程：例1、已知直线,a b 和平面α，如果,a b αα⊄⊂，且||a b ，求证||a α。

解析：让学生理解反证法的严密性和合理性；证明：因为||a b ,所以经过直线a , b 确定一个平面β。

因为a α⊄，而a β⊂，所以 α与β是两个不同的平面．因为b α⊂，且b β⊂，所以b αβ=.下面用反证法证明直线a 与平面α没有公共点．假设直线a 与平面α有公共点P ，则P b αβ∈=，即点P 是直线 a 与b 的公共点，这与||a b 矛盾．所以 ||a α.点评：用反证法的基本步骤：第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步作出与所证不等式相反的假定；第三步从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等利变式训练1.求证：圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分.例2、求证：2不是有理数解析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法．假设2不是无理数，那么它就是有理数．我们知道，任一有理数都可以写成形如mn（,m n 互质， *,m Z n N ∈∈”的形式．下面我们看看能否由此推出矛盾．证明：假设2不是无理数，那么它就是有理数．于是，存在互质的正整数,m n ，使得2mn=，从而有2m n =, 因此，222m n =，所以 m 为偶数．于是可设2m k = ( k 是正整数），从而有 2242k n =，即 222n k =所以n 也为偶数．这与 m , n 互质矛盾！由上述矛盾可知假设错误，从而2是无理数．点评：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。

高中数学新人教版A版精品教案《2.2.2 反证法》4

正难则反方为道，退步缘是为向前——《反证法》教学设计与反思浙江省义乌中学方治一、内容与内容解析1．内容：（1）反证法的概念和证明步骤；（2）反证法的简单应用2．内容解析：反证法是人教版普通高中教科书选修2-2第89页的一节课，它是数学证明中重要且基本的数学思想方法，反证法在日常生活中处处存在，在不能正面解决问题或正面解决遇到若干种情况的时候，所述:“…反证法是数学家最有力的一件武器，比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法还要高明象棋对弈者不外牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把全局拱手让予对方!”这种有“舍”便会“得”的证明策略，是反证法的精髓之处，不仅有益于培养和发展学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算和数据分析等数学核心素养而且也有利于学生创新思维能力的提升所以在数学教学过程，应予以适度重视二、目标与目标解析设置教学目标，主体应是学生．在当前培养学生数学核心素养的大背景下，依据课程要求、教材内容和学生实际，确定本节课的教学目标和教学重难点如下：【教学目标】1从故事情境所反映的哲理和逻辑中抽象归纳反证法的概念和证明的步骤（数学建模、数学抽象）；2能正确运用反证法证明一些简单典型的问题（逻辑推理、数学运算）；3通过用反证法对典型问题的解决，提升逆向思维能力和分析、解决问题的能力，感受数学逻辑之妙，体会数学方法之美（逻辑推理、数学运算）【教学重点】反证法的概念、证明步骤及其简单应用【教学难点】恰当、灵活地运用反证法证明问题，能推导出矛盾（与已知条件、假设、定义、公理、定理和事实等）三、教学方法的特点本节课立足教材和学生的认知实际，采用启发式与探究式相结合的教学方式，以故事情境和各类典型问题链引发学生的思维活动，结合学生的思维发展变化不断追问，使学生对问题本质的思考逐步深入，思维水平不断提高，让学生感知反证法的概念,领会反证法的解题要领和使用范围教学中注重培养学生的独立性和自主性，让学生“感受过程，习得规律，发展智慧，体验幸福”，最终达到“在乐学中启智，“在成功中开慧”为使学生更好地理解和掌握反证法，在引导和训练过程中，在反证法一般步骤基础上将“归谬”这步分为“归导”和“揭谬”两步进行，以利于学生掌握方法。

(新课程)高中数学《2.2.2 反证法》教案新人教A版选修12

1 教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次）2. 提出问题：平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A 、B 、C 不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？3. 给出证法：先假设可以作一个⊙O 过A 、B 、C 三点，则O 在AB 的中垂线l 上，O 又在B C 的中垂线m 上，即O 是l 与m 的交点。

但 ∵A 、B 、C 共线，∴l ∥m (矛盾)∴ 过在同一直线上的三点A 、B 、C 不能作圆.二、讲授新课： 1. 教学反证法概念及步骤：① 练习：仿照以上方法，证明：如果a >b >0，那么b a >② 提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.注：结合准备题分析以上知识.2. 教学例题：① 出示例1：求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.分析：如何否定结论？ → 如何从假设出发进行推理？ → 得到怎样的矛盾？与教材不同的证法：反设AB 、CD 被P 平分，∵P 不是圆心，连结O P ，则由垂径定理：O P ⊥AB ，O P ⊥CD ，则过P 有两条直线与OP 垂直（矛盾），∴不被P 平分. ② 出示例2：. （同上分析 → 板演证明，提示：有理数可表示为/m n ）/m n =（m ,n 为互质正整数），从而：2(/)3m n =，223m n =，可见m 是3的倍数.设m =3p （p 是正整数），则 22239n m p ==，可见n 也是3的倍数.这样，m , n 就不是互质的正整数（矛盾）./m n =. ③ 练习：如果1a +为无理数，求证a 是无理数.提示：假设a 为有理数，则a 可表示为/p q （,p q 为整数），即/a p q =.由1()/a p q q +=+，则1a +也是有理数，这与已知矛盾. ∴ a 是无理数.3. 小结：反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确. 注意证明步骤和适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题）三、巩固练习： 1. 练习：教材P 54 1、2题 2. 作业：教材P 54 A 组3题.。

高中数学优质教案反证法

2.2.2 反证法一、教学目标1、知识目标：通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力.2、能力目标：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题.3、情感、态度与价值观目标：在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想.在学习和生活中遇到困难的时候，要学会换个角度思考问题，也许会使问题出现转机.二、教学重点.难点重点：1、理解反证法的概念，2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，3、用反证法证明简单的命题.难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据.三、学情分析反证过程中的批判思想更有助于学生正确的认识客观世界.在教学过程中，我们要重视培养学生利用反证法对客观世界的认识提出自己的问题，这正是反证法教学所要教给学生的，应该具有的数学能力，也是培养学生数学素质与数学素养的很好教学机会.四、教学方法探析归纳，讲练结合五、教学过程教学过程：复习：综合法与分析法综合法与分析法各有其特点.从需求解题思路来看，分析法执果索因，常常根底渐近，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易奏效.就表达过程而论，分析法叙述烦琐，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰.也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表述.因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程.分析归纳，抽象概括通过对这两个个问题的解答，有学生自主探究反证法的概念及反证法证明的步骤.（1）定义：反证法：一般地，假设原命题不成立，（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理,最后得出矛盾，因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.（2）步骤反证法证题的基本步骤：1．假设原命题的结论不成立；（假设）2．从这个假设出发，经过正确的推理，推出矛盾；（归缪）3．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.（结论）反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法.反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种).用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论.反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个.归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木.推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾.知识应用，深化理解例1、写出用“反证法”证明下列命题的第一步“假设”.【设计意图】：能否正确地写出假设，是解决问题的基础和保障(1)互补的两个角不能都大于90°.(2)△ABC中,最多有一个钝角(3)c b a ,,中至少有一个是正数例2：已知三个正数a ，b ， c 成等比数列，但不成等差数列，求证：c b a ,,不成等差数列.【设计意图】：本例是否定性命题，要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰，于是考虑采用反证法证明本例例3:用反证法证明关于x 的方程0)1(,0344222=+-+=+-+a x a x a ax x ，0222=-+a ax x ，当23-≤a 或1-≥a 时，至少有一个方程有实数根. 【设计意图】：本例是“至少”“至多”等存在性问题.从正面证明，需要分成多种情形讨论，而从反面证明，只要研究一种或少数几种情形.故考虑采用反证法.例4、求证：方程32=x中有且只有一个根.【设计意图】：本题是证明唯一性问题.需要证明两个方面，一是存在性；二是唯一性.当证明的结论中含“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式时，由于假设结论易导出矛盾，故采用反证法证明其唯一性往往比较简单.六、当堂检测1．否定下列命题的结论：（1）在⊿ABC 中如果AB=AC ，那么∠B=∠C. .（2）如果点P 在⊙O 外，则d>r （d 为P 到O 的距离，r 为半径）（3）在⊿ABC 中，至少有两个角是锐角.（4）在⊿ABC 中，至多有只有一个直角.2．选择题：证明“在⊿ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设：（）A．三角形中至少有一个直角或钝角B．三角形中至少有两个直角或钝角C．三角形中没有直角或钝角D.三角形中三个角都是直角或钝角3．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”•应先假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°设计意图：目的是让学生学会用数学的眼光去看待物理模型，建立各学科之间的联系，更深刻地把握事物变化的规律.七、课堂小结1.知识建构2.能力提高3.课堂体验八、课时练与测九、教学反思。

2.2.2 反证法教案-高二数学人教A版选修1-2

[教学设计•高中数学]《反证法》教学设计《反证法》教学设计第一部分：教学内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书选修2-2》（人教A版）第一章《推理与证明》的第3节《反证法》.“逻辑推理能力”是高中数学核心素养中非常重要的一个环节，也是人们学习和生活中，经常使用的思维方式。

推理与证明贯穿于高中数学的整个体系，也是学数学、做数学的基本功。

这一部分的学习是新课标教材的一个亮点，是对以前所学知识与方法的总结、归纳，并对后继学习起到引领的作用第二部分：学生学情诊断学生在初中已经接触过反证法，但是不够系统和详细。

也已经在选修2-1《逻辑与推理》环节接触过命题的真假、逆否命题。

但用反证法证明数学问题却是学生学习的一个难点。

究其原因，主要是反证法的应用需要逆向思维，但在中小学阶段，逆向思维的训练和发展都是不充分的，所以本节课要引导学生联系已学过的教学实例学习新内容进行教学。

由于所教学生基础较好，但是数学思维相对欠缺，对于反证法证明简单命题问题不大，但由于对数论基础知识不是特别专长、对生活中的逻辑学生对数的了解不多，研究不够，所以例1能顺利解决，但是例2例3，解决起来还是会出现一定困难。

第三部分：教学目标设置(1)知识与能力：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。

通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。

(2)过程与方法：通过直观感知—观察—操作确认的认识方法培养学生观察、探究、发现的能力和逻辑思维能力。

让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。

(3)情感、态度、价值观：通过体验数学活动，渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。

在学习和生活中遇到困难的时候，要学会换个角度思考问题，也许会使问题出现转机。

核心素养：逻辑推理能力第四部分：重点难点分析重点：1、理解反证法的概念。

高中数学反证法人教版选修1-2 教案

反证法典型例题例1（1）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）( A ) 假设三内角都不大于60度； (B) 假设三内角都大于60度；(C) 假设三内角至多有一个大于60度； (D) 假设三内角至多有两个大于60度。

（2）已知33q p +＝2，关于p ＋q 的取值范围的说法正确的是（）（A ）一定不大于2 （B ）一定不大于22 （C ）一定不小于22 （D ）一定不小于2 解析用反证法可得（1）应选（B ）（2）应选（A ）例2 用反证法证明命题“如果,a b >>_____________.解析用反证法可得应填=例3 若01>a 、11≠a ，nnn a a a +=+121),,(，⋯=21n (1)求证：n n a a ≠+1； (2)令211=a ，写出2a 、3a 、4a 、5a 的值，观察并归纳出这个数列的通项公式n a ； (3)证明：存在不等于零的常数p ，使}{nn a p a +是等比数列，并求出公比q 的值.解：（1）（采用反证法）. 若n n a a =+1，即n nn a a a =+12, 解得 .10，=n a 从而1011,===⋯⋯==-a a a n n 2a 与题设01>a ,11≠a 相矛盾，故n n a a ≠+1成立. (2) 211=a 、322=a 、543=a 、984=a 、17165=a , 12211+=--n n n a . （3）因为n n n n a p a p a p a 2211++=+++)( 又q a p a a p a n n n n ⋅+=+++11, 所以02122=-+-+)()(q p a q p n ,因为上式是关于变量n a 的恒等式，故可解得21=q 、1-=p练习一、选择题1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是 ( )（A ）有一个解（B ）有两个解（C ）至少有三个解（D ）至少有两个解2．设,,a b c 大于0，则3个数：1a b +，1b c +，1c a+的值 ( ) （A ）都大于2 （B ）至少有一个不大于2 （C ）都小于2 （D ）至少有一个不小于2 3．已知α∩β＝l ，a ⊂α、b ⊂β，若a 、b 为异面直线，则 ( ) （A ） a 、b 都与l 相交（B ） a 、b 中至少一条与l 相交（C ） a 、b 中至多有一条与l 相交（D ） a 、b 都与l 相交二、填空题4．用反证法证明“2()f x x px q =++，求证：(1),(2),(3)f f f 中至少有一个不小于12”时的假设为5．用反证法证明“若b a ≥＞0，则b a ba --+≤+2121”时的假设为三、解答题6．证明：5,3,2不能为同一等差数列的三项.7．对于直线l ：y =kx +1，是否存在这样的实数k ，使得l 与双曲线C ：3x 2－y 2=1的交点A 、B 关于直线y =ax （a 为常数）对称？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。

人教课标版高中数学选修2-2《反证法》教学设计

2.2.2 反证法一、教学目标1．核心素养通过学习反证法，初步形成基本的数学抽象和逻辑推理能力．2．学习目标了解反证法的思考过程、特点．3．学习重点了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点．4．学习难点根据问题特点，结合反证法的思考过程、特点，选择适当的证明方法．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1预习教材P89-91，思考什么是反证法？反证法的逻辑依据是什么？2．预习自测1. 应用反证法推出矛盾的推导过程中，下列可作为条件的是（）①结论的假设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论A.①②B.②③C.①②③D.①②④解：C2.用反证法证明命题：“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是（）A.三个内角中至少有一个钝角B.三个内角中至少有两个钝角C.三个内角都不是钝角D.三个内角中都不是钝角或至少有两个钝角解：B（二）课堂设计1．知识回顾（1）综合法的逻辑是由因索果．（2）分析法的逻辑是执果索因．2．问题探究问题探究反证法●活动一结合实例，体会反证思想实例体会：桌面上有3枚正面向上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎么翻转，都不能使硬币全部反面向上.你能解释这种现象吗？问题：什么是反证法？反证法：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法． ●活动二运用反证思想，证明问题例1：已知：a ＋b ＋c >0，ab ＋bc ＋ca >0，abc >0.求证：a >0，b >0，c >0.【知识点：反证法的应用；数学思想：转换与化归】详解：假设a ，b ，c 不都是正数，由abc >0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，不妨设a <0，b <0，c >0，则由a ＋b ＋c >0，可得c >－(a ＋b ). 又a ＋b <0，∴c (a ＋b )<－(a ＋b )(a ＋b )ab ＋c (a ＋b )<－(a ＋b )(a ＋b )＋ab即ab ＋bc ＋ca <－a 2－ab －b 2∵a 2>0，ab >0，b 2>0，∴－a 2－ab －b 2＝－(a 2＋ab ＋b 2)<0，即ab ＋bc ＋ca <0，这与已知ab ＋bc ＋ca >0矛盾，所以假设不成立．因此a >0，b >0，c >0成立．点拨：反证法的初始理论依据是基于“原命题与其逆否命题等价”的逻辑原理，通过“结论不成立推出条件不成立”产生“条件成立所以结论成立”的结果，是一种间接证明的方法.例2：求证：2、3、5不可能成等差数列.【知识点：反证法的应用；数学思想：转换与化归】详解：假设2、3、5成等差数列，则23=2+5.所以22)52()32(+=，化简得1025=，22)102(5=，即4025=，这是不可能的.所以假设不成立，从而原命题成立.点拨：反证法的难点在于如何由结论不成立去推导矛盾.这个矛盾常常是以下的三种情形：①与条件发生矛盾；②与已知的定义、公理、定理、事实等发生矛盾；③自相矛盾.3．课堂总结【知识梳理】反证法是一种间接的证明方法，用这种方法证明一个命题的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立；(2)根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止；(3)断言假设不成立；(4)肯定原命题的结论成立.【重难点突破】反证法主要适用于以下两种情形①要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰; ②如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论而从反面进行证明,只研究一种或很少的几种情形.常见否定用语是——不是有——没有等——不等成立——不成立都是——不都是，即至少有一个不是都有——不都有，即至少有一个没有都不是——部分或全部是，即至少有一个是唯一——至少有两个至少有一个有（是）——全部没有（不是）至少有一个不——全部都4．随堂检测1．用反证法证明命题“设a 、b 为实数，则方程x 3+ax +b =0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A ．方程x 3+ax +b =0没有实根B ．方程x 3+ax +b =0至多有一个实根C ．方程x 3+ax +b =0至多有两个实根D ．方程x 3+ax +b =0恰好有两个实根【知识点：反证法；数学思想：转换与化归】解：A ．2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）A. 假设三内角都不大于60度；B. 假设三内角都大于60度；C. 假设三内角至多有一个大于60度；D. 假设三内角至多有两个大于60度【知识点：反证法；数学思想：转换与化归】解：B ．3. 否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( )A ．有一个解B ．有两个解C ．至少有三个解D ．至少有两个解【知识点：反证法；数学思想：转换与化归】解：C ．4. 下列命题不适合用反证法证明的是（）A ．同一平面内，分别与两相交直线垂直的两条直线必相交B ．两个不相等的角不是对顶角C ．平行四边形的对角线互相平分D ．已知R y x ∈,，且2>+y x ，求证y x ,中至少有一个大于1【知识点：反证法；数学思想：转换与化归】解：C ．5．否定“自然数a 、b 、c 中恰有一个偶数”时的正确反设为( )A ．a 、b 、c 都是奇数B ．a 、b 、c 或都是奇数或至少有两个偶数C ．a 、b 、c 都是偶数D ．a 、b 、c 中至少有两个偶数【知识点：反证法；数学思想：转换与化归】解：B ．（三）课后作业基础型自主突破1. 判断 (1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．( )(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．()(3)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a<b”．()(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．()(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．()(6)证明不等式2＋7<3＋6最合适的方法是分析法．()【知识点：直接证明与间接证明】解：错；错；错；错；对；对.2．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”过程应用了()A．分析法B．综合法C．综合法与分析法结合使用D．间接证法【知识点：直接证明与间接证明】解：B3．要证明3＋5<4可选择的方法有以下几种，其中最合理的为() A．综合法B．分析法C．反证法D．归纳法【知识点：直接证明与间接证明】解：B4．否定：“自然数a，b，c中恰有两个偶数”时正确的反设为（）A．a，b，c都是偶数B．a，b，c都是奇数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是偶数或至少有两个奇数【知识点：反证法】解：D5．有下列叙述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y”的反面是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有()A．0个B．1个C．2个D．3个【知识点：反证法】解：B6．用反证法证明命题：“a、b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为()A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除D．a不能被5整除【知识点：反证法】解：B能力型师生共研7．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有有理根，那么a，b，c中存在偶数”时，否定结论应为()A．a，b，c都是偶数B．a，b，c都不是偶数C．a，b，c中至多一个是偶数D．至多有两个偶数【知识点：反证法】解：B8.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n＋S n＝2.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求证：数列{a n}中不存在三项按原来顺序成等差数列．【知识点：反证法的应用；数学思想：转换与化归】解：(1)当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.又a n＋S n＝2，所以a n＋1＋S n＋1＝2，两式相减得a n＋1＝12a n，所以{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n ＝12n －1. (2)证明反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为a p ＋1，a q ＋1，a r ＋1(p <q <r ，且p ，q ，r ∈N *)，则2·12q ＝12p ＋12r ，所以2·2r －q ＝2r －p ＋1.(*) 又因为p <q <r ，所以r －q ，r －p ∈N *.所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立．所以假设不成立，原命题得证．9. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【知识点：反证法的应用；数学思想：转换与化归】解：由已知得⎩⎨⎧ a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)．(2)证明由(1)得b n ＝S n n ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r ∈N *，且互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)．∴(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0.∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎨⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0.∴(p ＋r 2)2＝pr ，即(p －r )2＝0.∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾．∴假设不成立，即数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．10. 直线y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆W ：x 24＋y 2＝1相交于A 、C 两点，O 是坐标原点．(1)当点B 的坐标为(0,1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长；(2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形．【知识点：反证法的应用；数学思想：转换与化归】解：(1)因为四边形OABC 为菱形，则AC 与OB 相互垂直平分．由于O (0,0)，B (0,1)，所以设点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，12，代入椭圆方程得t 24＋14＝1，则t ＝±3，故|AC |＝2 3.(2)证明假设四边形OABC 为菱形，因为点B 不是W 的顶点，且AC ⊥OB ，所以k ≠0.由⎩⎨⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m ，消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.[6分] 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 2＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m 1＋4k 2. 所以AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2.[8分] 因为M 为AC 和OB 的交点，且m ≠0，k ≠0，直线OB 的斜率为－14k ，因为k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k ＝－14≠－1，所以AC 与OB 不垂直．[10分] 所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．探究型多维突破11. 已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：1a 是函数f (x )的一个零点；(2)试用反证法证明1a>c . 【知识点：反证法的应用；数学思想：转换与化归】证明：(1)∵f (x )图象与x 轴有两个不同的交点，∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2，∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的根，又x 1x 2＝c a ，∴x 2＝1a (1a ≠c )，∴1a 是f (x )＝0的一个根．即1a 是函数f (x )的一个零点．(2)假设1a <c ，又1a >0，由0<x <c 时，f (x )>0，知f (1a )>0与f (1a )＝0矛盾，∴1a ≥c ，又∵1a ≠c ，∴1a >c .12．已知数列{a n }满足：a 1＝12，3(1＋a n ＋1)1－a n ＝2(1＋a n )1－a n ＋1，a n a n ＋1<0(n ≥1)，数列{b n }满足：b n ＝a 2n ＋1－a 2n (n ≥1)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．【知识点：反证法的应用；数学思想：转换与化归】解：由题意可知，1－a 2n ＋1＝23(1－a 2n )．令c n ＝1－a 2n ，则c n ＋1＝23c n . 又c 1＝1－a 21＝34，则数列{c n }是首项为c 1＝34，公比为23的等比数列，即c n ＝34·(23)n －1，故1－a 2n ＝34·(23)n －1⇒a 2n ＝1－34·(23)n －1. 又a 1＝12>0.a n a n ＋1<0，故a n ＝(－1)n －1 1－34·(23)n －1.b n ＝a 2n ＋1－a 2n ＝[1－34·(23)n ]－[1－34·(23)n －1]＝14·(23)n －1. (2)证明用反证法证明．假设数列{b n }存在三项b r ，b s ，b t (r <s <t )按某种顺序成等差数列，由于数列{b n }是首项为14，公比为23的等比数列，于是有b r >b s >b t ，则只能有2b s＝b r ＋b t 成立．∴2·14(23)s －1＝14(23)r －1＋14(23)t －1，两边同乘以3t －121－r ，化简得3t －r ＋2t －r ＝2·2s －r 3t －s . 由于r <s <t ，∴上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾．故数列{b n }中任意三项不可能成等差数列．自助餐1．实数a 、b 、c 不全为零等价于( )A ．a 、b 、c 均不为零B ．a 、b 、c 中至多有一个为零C ．a 、b 、c 至少有一个为零D ．a 、b 、c 至少有一个不为零【知识点：反证法】解：D2．设a 、b 、c 均大于0，则三个数：b a 1+，c b 1+，ac 1+的值( ) A ．都大于2 B ．至少有一个不大于2C ．都小于2D ．至少有一个不小于2【知识点：反证法】解：D.3．(1)已知233=+q p ，求证2≤+q p .用反证法证明时，可假设2≥+q p .(2)已知R b a ∈,，1||||<+b a ，求证方程02=++b ax x 的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根1x 满足1||1≥x .以下结论正确的是( )A ．（1）与（2）的假设都错误B ．（1）与（2）的假设都正确C ．（1）的假设正确，（2）的假设错误D ．（1）的假设错误，（2）的假设正确【知识点：反证法】解：D （1）的假设应为2>+q p .4．设a 、b 、c 是正数，c b a P -+=，a c b Q -+=，b a c R -+=，则“0>PQR ”是“P 、Q 、R 同时大于零”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【知识点：反证法】解：C ．5．命题“△ABC 中，若∠A >∠B ，则a >b ”的结论的否定应该是( )A ．a <bB ．a ≤bC ．a ＝bD ．a ≥b【知识点：反证法】解：B “a >b ”的否定应为“a ＝b 或a <b ”，即a ≤b .故应选B.6．已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b 的位置关系为( )A ．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线【知识点：反证法】解：C假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．故应选C.7．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________．【知识点：反证法】解：没有一个是三角形或四边形或五边形.用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为____________．【知识点：反证法】8．解：③①②9．用反证法证明质数有无限多个的过程如下：假设______________．设全体质数为p1、p2、…、p n，令p＝p1p2…p n＋1.显然，p不含因数p1、p2、…、p n.故p要么是质数，要么含有______________的质因数．这表明，除质数p1、p2、…、p n之外，还有质数，因此原假设不成立．于是，质数有无限多个．【知识点：反证法】解：质数只有有限多个除p1、p2、…、p n之外10．已知a，b，c∈(0,1)．求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同时大于14. 【知识点：反证法的应用；数学思想：转换与化归】证法1：假设(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a都大于14.∵a、b、c都是小于1的正数，∴1－a、1－b、1－c都是正数.(1－a)＋b2≥(1－a)b＞14＝12，同理(1－b )＋c 2＞12，(1－c )＋a 2＞12.三式相加，得(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2＞32，即32＞32，矛盾所以(1－a )b 、(1－b )c 、(1－c )a 不能都大于14.证法2：假设三个式子同时大于14，即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14，三式相乘得：(1－a )b (1－b )c (1－c )a >143①因为0<a <1，所以0<a (1－a )≤1－a ＋a 22＝14.同理，0<b (1－b )≤14，0<c (1－c )≤14.所以(1－a )a (1－b )b (1－c )c ≤143.②因为①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．11．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R .(1)若a ＋b ≥0，求证：f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )；(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论．【知识点：反证法的应用；数学思想：转换与化归】解：(1)证明：∵a ＋b ≥0，∴a ≥－b .由已知f (x )的单调性得f (a )≥f (－b )．又a ＋b ≥0⇒b ≥－a ⇒f (b )≥f (－a )．两式相加即得：f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．(2)逆命题： f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )⇒a ＋b ≥0.下面用反证法证之．假设a ＋b <0，那么：a ＋b <0⇒a <－b ⇒f (a )<f (－b )a ＋b <0⇒b <－a ⇒f (b )<f (－a ) ⇒f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．这与已知矛盾，故只有a ＋b ≥0.逆命题得证．12．已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．【知识点：反证法的应用；数学思想：转换与化归】证明：假设方程f (x )＝0有负数根，设为x 0(x 0≠－1)．则有x 0<0，且f (x 0)＝0.∴ax 0＋x 0－2x 0＋1＝0⇔ax 0＝－x 0－2x 0＋1. ∵a >1，∴0<ax 0<1，∴0<－x 0－2x 0＋1<1. 解上述不等式，得12<x 0<2.这与假设x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负数根．数学视野直接论证与间接论证，正论证是用已知为真的判断来确定某一判断的真实性或虚假性的思维过程.根据论证的目的,论证可分为证明与反驳,证明是用已知为真的判断来确定某一判断的真实性的思维过程,反驳是用已知为真的判断来确定某一判断的虚假性的思维过程.根据论证方式,论证可分为演绎论证、归纳论证和类比论证.根据论证的方法,论证可分为直接论证和间接论证;直接论证又可以分为直接证明和直接反驳,间接论证也可以分为间接证明和间接反驳.。