对顶角课件
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对顶角 课件(共20张PPT) 华师大七年级数学上册
3（ ）（2 4
1
定义总结
总结 一个公共顶点
一个角的两边是另一个角的 两边的_反__向__延__长__线___
对顶角
∠1 的对顶角是__∠__2__. 对顶角相等.
C
A
1 O2
B
D
典例精析
例1 在图中，∠1 = 30°，那么∠2、∠3 和∠4 各等于多 少度？利用刚刚所学的知识解答.
解：因为∠1 与∠2 互补 (已知)， 所以 ∠2 = 180°－∠1＝180°－30°＝150° (互补的定义).
因为 ∠1与∠3， ∠2 与∠4 分别是对顶角，
所以∠3 =∠1 = 30° (对顶角相等)，
3（
）（2
∠4 =∠2 = 150° (对顶角相等).
4
1
练一练 1. 判断下列各图中∠1 和∠2 是否为对顶角，并说明理由.
1（
×
2
1（ 2
×
1（ 2 ×
1
2√
1（ 2
×
1（
2×
典例精析
例2 如图，直线 AB、CD 相交于点 E，∠AEC = 50°，
12 3O
B
D
2 对顶角
思考：从位置关系与数量关系上看，图中还有哪 些角之间存在某种关系呢?
∠1 和 ∠3；∠2 和 ∠4. 顶点相同，角的两边互为反 向延长线.
3（ ）（2 4
1
它们存在怎样的位置关系和数量关系呢？
看一看，想一想，将你的发现填入下面的表中：
角
∠1 与∠3 ∠2 与∠4 … Nhomakorabea位置关系
A
D
看一看，想一想，将你的发现填入下面的表中：
角
∠1 与∠2 ∠2 与∠3 …
完善的对顶角PPT课件
F
1
O
2
3
D B
E
归纳小结
角的名称 对顶角 特 征 性 质 相 同 点 不 同 点
① 两 条 直 线 相 对顶 交形成的角 角相 ②有一个公共 等 顶点； ③没有公共边 ①两条直线相交 邻补 而成； 角互 ②有一个公共点； 补 ③有一条公共边 ①都是两条 ① 有 无 公 直线相交 共边 而 成 的 ②两直线 角； 相交时, ②都有一个 对 顶 角 只 公共顶点； 有一对 ③都是成对 邻 补 角 有 出现的 两个
E F D
O
B
∠COB的邻补角是
。
练习（续）
2、如图所示∠1=∠2，则 ∠2与∠3的关系是 ，
1 3 2
∠1与∠3的关系是
。
3、对顶角的性质
A
1 B
C
对顶角相等。
例题
已知：直线a，b相交，∠1=400 求∠2、∠3、∠4的度数？
解：∠3=∠1=400 （对顶角相等）
∠2=1800-∠1=1800-400=1400
如图1所示，∠1与∠3有什么特点？
A
1
O
2
4
D
3 B
C
∠1与∠3是直线AB与CD相交得到的， 它们有一个公共顶点O，没有公共边，像 这样的两个角叫做对顶角
对顶角满足的条件:
一是两条直线相交所成的角； 二是有公共顶点； 三是两边互为延长线。 符合这三个条件时，才能确定这两个角是 对顶角，缺一个条件都不行. 对顶角是成对存在的，它们互为对顶角， 如∠1是∠2的对顶角，同时，∠2是∠1的对 顶角，也常说∠1和∠2是对顶角。
C 一个角的邻补角有两个。如图∠3 的邻补角有∠1和∠2 A
2 3 O 1
D
1
O
2
3
D B
E
归纳小结
角的名称 对顶角 特 征 性 质 相 同 点 不 同 点
① 两 条 直 线 相 对顶 交形成的角 角相 ②有一个公共 等 顶点； ③没有公共边 ①两条直线相交 邻补 而成； 角互 ②有一个公共点； 补 ③有一条公共边 ①都是两条 ① 有 无 公 直线相交 共边 而 成 的 ②两直线 角； 相交时, ②都有一个 对 顶 角 只 公共顶点； 有一对 ③都是成对 邻 补 角 有 出现的 两个
E F D
O
B
∠COB的邻补角是
。
练习（续）
2、如图所示∠1=∠2，则 ∠2与∠3的关系是 ，
1 3 2
∠1与∠3的关系是
。
3、对顶角的性质
A
1 B
C
对顶角相等。
例题
已知：直线a，b相交，∠1=400 求∠2、∠3、∠4的度数？
解：∠3=∠1=400 （对顶角相等）
∠2=1800-∠1=1800-400=1400
如图1所示，∠1与∠3有什么特点？
A
1
O
2
4
D
3 B
C
∠1与∠3是直线AB与CD相交得到的， 它们有一个公共顶点O，没有公共边，像 这样的两个角叫做对顶角
对顶角满足的条件:
一是两条直线相交所成的角； 二是有公共顶点； 三是两边互为延长线。 符合这三个条件时，才能确定这两个角是 对顶角，缺一个条件都不行. 对顶角是成对存在的，它们互为对顶角， 如∠1是∠2的对顶角，同时，∠2是∠1的对 顶角，也常说∠1和∠2是对顶角。
C 一个角的邻补角有两个。如图∠3 的邻补角有∠1和∠2 A
2 3 O 1
D
七年级数学对顶角教学课件
• 题目：在四边形ABCD中，∠A + ∠C = 180°，且∠B : ∠C : ∠D = 2 : 3 : 4，求 四边形ABCD各内角的度数。
• 解题思路：首先根据四边形内角和定理，我们知道四边形ABCD的内角和为 360°。然后结合题目给出的条件，我们可以设∠B = 2x°，则∠C = 3x°，∠D = 4x°。由于∠A + ∠C = 180°，所以∠A = 180° - 3x°。将这四个角的度数代 入四边形内角和定理中，我们可以得到一个关于x的一元一次方程：2x + 3x + 4x + (180 - 3x) = 360，解得x = 20。因此，∠A = 120°，∠B = 40°，∠C = 60°，∠D = 80°。
70° = 110°。而另一个交角与这个邻补角是对顶角，所以它们的度数相等，也是110°。
中等难度题目挑战尝试
题目：已知直线AB和CD相 交于点O，∠AOC = 3∠BOD，求∠AOC和∠BOD 的度数。
解题思路：首先根据对顶角 的性质，我们知道∠AOC = ∠BOD。然后结合题目给出 的条件∠AOC = 3∠BOD， 我们可以设∠BOD = x°，则 ∠AOC = 3x°。由于∠AOC 和∠BOD是对顶角，所以3x = x + 180，解得x = 90。 因此，∠AOC = 270°， ∠BOD = 90°。
题目：两条直线被第三条直 线所截，如果同旁内角的度 数之比为3:2，且较大角的度 数为108°，求较小角的度数 。
解题思路：首先根据同旁内 角的性质，我们知道同旁内 角的度数之和为180°。然后 结合题目给出的条件，我们 可以设较小角的度数为x°， 则较大角的度数为1.5x°。由 于它们的度数之和为180°， 所以x + 1.5x = 180，解得x = 72。因此，较小角的度数 为72°。
• 解题思路：首先根据四边形内角和定理，我们知道四边形ABCD的内角和为 360°。然后结合题目给出的条件，我们可以设∠B = 2x°，则∠C = 3x°，∠D = 4x°。由于∠A + ∠C = 180°，所以∠A = 180° - 3x°。将这四个角的度数代 入四边形内角和定理中，我们可以得到一个关于x的一元一次方程：2x + 3x + 4x + (180 - 3x) = 360，解得x = 20。因此，∠A = 120°，∠B = 40°，∠C = 60°，∠D = 80°。
70° = 110°。而另一个交角与这个邻补角是对顶角，所以它们的度数相等，也是110°。
中等难度题目挑战尝试
题目：已知直线AB和CD相 交于点O，∠AOC = 3∠BOD，求∠AOC和∠BOD 的度数。
解题思路：首先根据对顶角 的性质，我们知道∠AOC = ∠BOD。然后结合题目给出 的条件∠AOC = 3∠BOD， 我们可以设∠BOD = x°，则 ∠AOC = 3x°。由于∠AOC 和∠BOD是对顶角，所以3x = x + 180，解得x = 90。 因此，∠AOC = 270°， ∠BOD = 90°。
题目：两条直线被第三条直 线所截，如果同旁内角的度 数之比为3:2，且较大角的度 数为108°，求较小角的度数 。
解题思路：首先根据同旁内 角的性质，我们知道同旁内 角的度数之和为180°。然后 结合题目给出的条件，我们 可以设较小角的度数为x°， 则较大角的度数为1.5x°。由 于它们的度数之和为180°， 所以x + 1.5x = 180，解得x = 72。因此，较小角的度数 为72°。
七年级数学对顶角PPT优秀课件
06
课堂互动环节设计
小组讨论活动安排
分组方式
按照学生座位就近原则，每组4-6人。
活动流程
先让学生独立思考，再在小组内交流想法， 最后选出代表汇报讨论成果。
讨论主题
对顶角的概念、性质及应用。
教师角色
巡视各组，倾听学生讨论，适时给予指导和 点拨。
提问环节问题设置及回答提示
问题1
什么是对顶角？请举例说明。
50°。
03
解析
命题错误。因为只有当两直线相交时，才会形成对顶角。而题目中只给
出了两个角相等，并没有说明它们是由两条相交直线形成的，因此不能
断定它们是对顶角。
04
平行线间对顶角关系探 讨
平行线间对顶角性质总结
对顶角相等
在两条平行线被第三条直线所截的条 件下，同旁内角的角平分线互相垂直， 且对顶角相等。
07
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
对顶角的定义
两个角如果有一个公共顶点，并且其中一个角的两边分别是另一个角 的两边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。
对顶角的性质
对顶角相等。
邻补角的定义
两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系 的两个角，叫做邻补角。
邻补角的性质
邻补角互补，即两个邻补角的和为180°。
回答提示
对顶角是两条相交直线所形成的相对的两个角。例如，直 线AB和CD相交于点O，那么∠AOC和∠BOD就是对顶角。
问题2
对顶角有什么性质？请证明。
回答提示
对顶角相等。证明方法可以通过几何图形的旋转、翻折 等变换来证明，也可以通过角的和差公式来推导。
问题3
如何在实际问题中应用对顶角的性质？
七年级数学《对顶角》优秀课件
性质，理解对顶角在图形中的位置关系。
练习题二
02
题目内容描述。本题旨在让学生运用对顶角的性质进行简单的
计算和证明，加深对知识点的理解。
练习题三
03
题目内容描述。通过此题的练习，学生可以进一步巩固对顶角
的应用，提高分析问题和解决问题的能力。
课后作业布置和要求
作业内容
布置与对顶角相关的计算题、证明题 和应用题，要求学生独立完成。
角度计算
实际问题中的应用
在建筑、工程等领域，经常需要测量 或计算角度。利用对顶角性质，可以 方便地解决这些问题。
结合图形中的其他已知条件，如平行 线、角的和差等，利用对顶角性质进 行角度计算。
利用对顶角证明线段相等或平行
证明线段相等
如果两条线段分别与第三条线段 构成对顶角，且这两个对顶角相
等，则这两条线段相等。
下一步学习计划建议
深入学习几何知识
加强练习和巩固
拓展应用领域
对顶角是几何学的基础知识之一， 为了更好地掌握几何学，我建议 继续深入学习其他相关的知识点， 如平行线、三角形、四边形等。
通过大量的练习和巩固，可以加 深对知识点的理解和记忆。因此， 我建议多做一些与对顶角相关的 练习题，并注意总结归纳解题方 法和技巧。
对顶角不仅在数学中有广泛的应 用，在其他学科和领域中也经常 涉及到。因此，我建议尝试将所 学的对顶角知识应用到其他学科 和领域中，以拓展自己的视野和 应用能力。
THANKS
感谢观看
知识掌握情况
通过本课件的学习，我深刻理解了对顶角的定义和性质，并能够在实际问题中灵活应用。我能够准确地识别对顶角，并运 用它们解决几何问题。
学习方法和策略
在学习过程中，我采用了多种方法和策略，如反复阅读课件、做笔记、与同学讨论等。这些方法和策略帮助我更好地理解 和记忆知识点，并提高了我的学习效率。
对顶角课件
A
1
D
如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC， ∠AOE=25°，求∠BOD的度数。 解 因为OE平分∠AOC, :
A D
? 所以∠AOC=2∠AOE E O =2×25° =50° C 因为∠BOD和∠AOC是对顶角 你还能说出图中哪些 所以∠BOD=∠AOC=50°(对顶角相等) 角的度数？请说明你 的理由。
C E A
D
2
1
3 O
4
B
发 现 之 旅——
2 两条直线相交有对顶角_______对
6 3条直线相交有对顶角_______对
12 4条直线相交有对顶角_______对
...
n(n-1) n条直线相交有对顶角_______对
n条直线
1、邻补角的定义、对顶角的定义。
2、邻补角的性质、对顶角的性质。
课本162页练习1—3题
对 顶 角
学 习 目 标
1. 能准确说出对顶角的定义及其特征。 2. 在图形中能正确熟练地识别出对顶角 。 3. 经过观察，测量，推理等研究过 程. 掌握对顶角的性质。 4 . 能用对顶角的性质进行简单推理和计算。
互为余角
对应图形
1
互为补角
2 1
2பைடு நூலகம்
数量关系 ∠1+ ∠2 = 90 ° ∠1+ ∠2 = 180 ° 性 质
下图中的∠1和∠2是对顶 角吗？为什么？
练习1
C 1 A O 2 B
图1
D
下图中的∠1和∠2是对顶 角吗？为什么？
练习1
1
2 图3
下图中的∠1和∠2是对顶 角吗？为什么？
练习1
1 图3
2
下图中的∠1和∠2是对顶 角吗？为什么？
七年级数学《对顶角》优秀课件
2
3
1
4
解：根据对顶角相等，得 ∠3= ∠1=45°
练习. 如图，两条直线相交，∠1=30°，求 ∠2、∠3的度数.
解：根据对顶角相等，得 ∠2= ∠1= 30°
∵∠3+∠1=180° ∴∠3=180 °－∠1
=180 °－ 30° = 150°
13 2
学学以以致致用用
要测量两堵墙所成的角的度数，但人不
A
1
2
O
B
图4
练习
A
O
B
D
E
如图，直线AE、BD相交于点O， ∠AOB的对顶角是 ∠EOD ， ∠BOE 的对顶角是 ∠AOD .
∠DOE的对顶角有 ∠AOB
.
判断以下图形中， ∠1， ∠2 是否是对顶角？
1
2
A
12 B
1 2 D
12 C
2.判断以下各图中的∠1和∠2是不是对 顶角.
1
12
2
2
所以：∠1=∠3 ，∠ 2=∠4
角
∠1和∠3 ∠2和∠4
…
位置关系 相对
相对
…
数量关系 相等
相等
A
2O
1 )3
C
4
…
D
B
对顶角相等
１．判断：
〔1〕相等的角是对顶角．〔 × 〕
〔2〕对顶角一定相等．〔 √ 〕
〔3〕如果两个角相等，且有公共顶点， 那么这两个角是对顶角．〔 × 〕
1
2
如图:∠1=45°，那么∠3等于多少度？
2
1
1
A
B
C
D
在图中， ∠1=30º，那么∠2 ， ∠3 和∠4各等于多少度？图中存 在哪些相等关系？ 2
《对顶角》PPT优质课件
工程测量中
在工程测量中，对顶角的概念也被广泛应用。例如，在测量道路或桥梁的角度时，工程师可以使用对顶角的概念来确保测量的准确性和精度。
航海导航中
在航海导航中，对顶角的概念可以用来确定船只的航向和位置。例如，当船只行驶在海上时，航海员可以通过观察天体（如太阳或星星）的位置和角度来确定船只的航向和位置，这时就可以利用对顶角的概念来进行计算和验证。
当两条直线垂直相交时，形成的四个角都是直角，即90度。
在一些特定的图形中，如平行四边形等，对顶角也有特殊的关系和性质。
在解决一些复杂的几何问题时，可以利用对顶角的性质来简化问题或寻找解题思路。
特殊情况下的直线交点和对顶角
03
CHAPTER
三角形中的对顶角应用
三角形内角和定理
三角形的三个内角之和等于180度。
多边形内角和公式推导过程中涉及对顶角概念
正多边形各顶点处对顶角数量关系
正多边形定义
正多边形是指各边相等、各内角也相等的多边形。在正多边形中，每个顶点处的对顶角大小相等。
对顶角数量关系
在正n边形中，每个顶点处的对顶角大小为(n-2)×180°/n。由于正多边形的各内角大小相等，因此每个顶点处的对顶角也相等。
底边两端点所对顶角的性质
等腰三角形中底边两端点所对顶角性质
直角三角形有一个90度的直角，其余两个角之和为90度。
直角三角形的性质
在直角三角形中，斜边两端点所对的两个顶角互余，即它们的度数之和等于90度。同时，这两个顶角还分别与直角三角形的两个锐角相等。
斜边两端点所对顶角的性质
直角三角形中斜边两端点所对顶角性质
思路分析
根据对顶角的性质，我们知道如果两个角是对顶角，那么它们的度数相等。因此，如果∠EPG = ∠FPH，那么我们可以得出EF∥GH的结论。
对顶角PPT课件
2020年这10月2样日 的两个角叫做对顶角
3
练习：下列各图中∠1、∠2是对顶角吗？ 为什么？
1
1
12
2
2
2020年10月2日
4
2、邻补角的概念
∠1和∠2与对顶角相比，有什么相同
点和不同点？
A
2
1O
4
C
D 3
B
∠1和∠2也是直线AB、CD相交得到的， 它们不仅有一个公共顶点O，还有一条公 2020年共10月2边日 OA，像这样的两个角叫做邻补角。5
∠1、∠2还是邻补角吗？
12
1
2
邻补角是有特 ∠1、∠2的和是多少度？ 殊位置关系的 ∠1和∠2还是补角吗？ 两个互补的角。 ∠1和∠2还是邻补角吗？
2020年10月2日
6
练习：
1、如图所示，三条直线AB、 A
F
CD、EF相交于一点O,∠AOC
的对顶角是
，
C
O
D
∠COF的对顶角是_______,
①两条直线相 交形成的角
②有一个公共 顶点；
对顶 角相 等
③没有公共边
①两条直线相交 而成；
邻补
②有一个公共点；角互
③有一条公共边 补
①都是两条 ① 有 无 公
直线相交 共边
而 成 的 ②两直线
角；
相交时,
②都有一个 对 顶 角 只 公共顶点； 有一对
③都是成对 邻 补 角 有
出现的
两个
2020年10月2日
解：∠3=∠1=400 （对顶角相等）a
∠2=1800-∠1=1800-400=1400
b
（补角的定义）
2
1
3
七年级数学课件对顶角
对顶角定理的应用
01
02
03
角度计算
利用对顶角定理可以计算 出未知角度的大小。
几何证明
在几何证明中，可以利用 对顶角定理来证明某些几 何命题。
图形构造
在图形构造中，可以利用 对顶角定理来帮助确定某 些点的位置。
03 对顶角的证明
对顶角的证明方法
1 2
三角形的对顶角相等
利用三角形的内角和性质，通过等量代换证明对 顶角相等。
利用三角形内角和定理，将两个对顶角分别与第三个角组成三
角形，通过等量代换证明对顶角相等。
证明对顶角互补的定理
证明方法
利用平行线的性质和内错 角相等，证明对顶角互补。
定理表述
在平行线中，对顶角互补。
定理证明
利用平行线的性质和平行 线的交错内角相等，证明 对顶角互补。
04 对顶角的实际应用
对顶角在几何图形中的应用
平行线的对顶角相等
通过平行线的性质和内错角相等，证明对顶角相 等。
3
角的平分线的性质
利用角的平分线的性质，证明对顶角相等。
证明对顶角相等的定理
证明方法
01
利用三角形的内角和性质，将两个对顶角分别与第三个角组成
三角形，通过三角形内角和定理证明对顶角相等。
定理表述
02
在三角形中，对顶角相等。
定理证明
03
01
02
03
04
B. 直线外一点到这条直线的 垂线段，叫作点到直线的距离
C. 不相等的角不是对顶角
D. 两点之间，垂线段最短
6. 若$angle AOB = 70^circ$， $angle BOC = 30^circ$，则 $angle AOC$的度数为____．
《对顶角》数学教学PPT课件(4篇)
∠COB=180°- ∠AOC=130°
因为∠AOD与∠BOC是对顶角,
所以∠BOC= ∠AOD=130°
请同学们谈谈本节课的收获与体会
1.对顶角的概念； 2.对顶角的性质。
谢谢
第8章 相交线与平行线
对顶角
1.掌握对顶角的定义并能够在图形中识别出来. 2.能够用对顶角的性质解决有关的问题.
大桥上的钢梁和钢索
C 1（2（）O）3 B
A4 D
说一说：下列各图中，∠l和∠2是对顶角吗？为什么？
你好棒啊！！
探究活动
在纸上任意画两条直线，分别度 量对顶角的大小有什么关系？你能说 明为什么有这种关系吗？与同学交流。
A
∠1与∠3都是∠2的补角，因为同角的补角 相等，所以∠1= ∠3
D
C
2 1﹙O 3
4
B
性质：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。
C
O B
∠ AOD与∠BOC；∠AOC与∠BOD有什么位置关系？
1.它们都是两条直线相交形成的； A
2.它们分别有公共的顶点O；
3.其中一个角的两边分别是另 D 一个角的两边的反向延长线。
C
·
O B
对顶角的概念：
对顶角：如果一个角的两边是 另一个角的两边的反向延长线，那 么这两个角互为对顶角。
想一想生活中还 有那些对顶角的实例？
C
B
因为∠BOD与∠AOC是对顶角， 所以∠BOD=∠AOC=70°
由OE平分∠BOD得 ∠BOE=∠EOD=1/2 ∠BOD
=1/2×70°= 35°
巩固检测
1.如图，直线AB、EF相交于点D， ∠ADC=90°。
（1）∠1的对顶角是_∠_B_D__F_；∠２的余角有 ∠_1_和___∠_B__D_F__。
对顶角ppt课件
图形表示
在几何图形中，对顶角通常用一 个公共的顶点和两条相交的直线 来表示，两个角分别位于这两条 直线的两侧。
对顶角性质
对顶角相等
根据对顶角的定义，对顶角一定是相等的。这一性质是几何学中一个非常重要的 基础性质。
应用场景
在解决几何问题时，经常需要利用对顶角相等的性质来推导其他角度或边长等关 系。
相邻角与补角关系
利用对顶角性质
当两个对顶角分别相等时，它们所对 的两条边（即两条线段）也相等。
构造辅助线
应用三角形全等或相似
在某些情况下，可以通过证明包含对 顶角的两个三角形全等或相似来证明 两条线段相等。
通过构造与已知线段相关的辅助线， 利用对顶角性质证明两条线段相等。
证明角度关系
利用对顶角性质
01
对顶角相等是基本的几何性质，可以直接用于证明角度关系。
利用对顶角性质解题
在证明或计算过程中，根据对顶角相等的性质，将问题转化为已知 条件进行求解。
邻补角的应用
在解决与角度有关的问题时，注意邻补角的概念和性质，有时可以 通过邻补角找到解题的突破口。
拓展延伸问题探讨
对顶角与邻补角的关系
探讨对顶角和邻补角在几何图形中的联系与区别，理解它们在不 同情境下的应用。
在拼图、积木等玩具设计中， 对顶角使得玩具能够紧密拼接
在一起，不易松散。
工具设计
在钳子、剪刀等工具的设计中 ，对顶角使得工具在使用时能 够更加稳定，提高使用效率。
05
绘制和识别图形中对顶角 技巧
绘制标准图形方法
使用绘图工具
选择合适的绘图工具，如直尺、量角器等，确保 图形绘制准确。
确定顶点位置
根据题目要求，确定图形的顶点位置，并标出。
在几何图形中，对顶角通常用一 个公共的顶点和两条相交的直线 来表示，两个角分别位于这两条 直线的两侧。
对顶角性质
对顶角相等
根据对顶角的定义，对顶角一定是相等的。这一性质是几何学中一个非常重要的 基础性质。
应用场景
在解决几何问题时，经常需要利用对顶角相等的性质来推导其他角度或边长等关 系。
相邻角与补角关系
利用对顶角性质
当两个对顶角分别相等时，它们所对 的两条边（即两条线段）也相等。
构造辅助线
应用三角形全等或相似
在某些情况下，可以通过证明包含对 顶角的两个三角形全等或相似来证明 两条线段相等。
通过构造与已知线段相关的辅助线， 利用对顶角性质证明两条线段相等。
证明角度关系
利用对顶角性质
01
对顶角相等是基本的几何性质，可以直接用于证明角度关系。
利用对顶角性质解题
在证明或计算过程中，根据对顶角相等的性质，将问题转化为已知 条件进行求解。
邻补角的应用
在解决与角度有关的问题时，注意邻补角的概念和性质，有时可以 通过邻补角找到解题的突破口。
拓展延伸问题探讨
对顶角与邻补角的关系
探讨对顶角和邻补角在几何图形中的联系与区别，理解它们在不 同情境下的应用。
在拼图、积木等玩具设计中， 对顶角使得玩具能够紧密拼接
在一起，不易松散。
工具设计
在钳子、剪刀等工具的设计中 ，对顶角使得工具在使用时能 够更加稳定，提高使用效率。
05
绘制和识别图形中对顶角 技巧
绘制标准图形方法
使用绘图工具
选择合适的绘图工具，如直尺、量角器等，确保 图形绘制准确。
确定顶点位置
根据题目要求，确定图形的顶点位置，并标出。
4.1 相交线 1.对顶角课件(共21张PPT)
例 如图，直线AB、CD相交于点E，∠AEC=50°，求∠BED的度数.
解：因为直线AB、CD相交于点E，所以∠AEC与∠BED是对顶角.根据对顶角相等，得∠BED=∠AEC=50°.
C
B
A
D
E
随 堂 小 测
1. 下列选项中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
D
2. 为测量某古塔的外墙底角∠AOB的度数，王明设计了如下方案：作AO、BO的延长线OD、OC，量出∠COD的度数，就得到了∠AOB的度数.王明这样做的依据是______________.
对顶角相等
3.如图，直线a、b相交，∠1+∠3=92°，则∠2=_____.
134°
4.如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，已知∠AOC+∠BOD=80°，求∠DOE的度数.
解：因为∠AOC+∠BOD=80°，∠AOC=∠BOD，所以∠AOC= ×80°=40°.因为∠AOC+∠AOD=180°，所以∠AOD=180°-∠AOC=180°-40°=140°.因为OE平分∠AOD，所以∠DOE= ∠AOD= ×140°=70°.
角
∠1与∠2
∠2与∠3
…
位置关系
相邻
相邻
…
数量关系
互补
互补
…
有些角之间存在一定的关系
从位置关系和数量关系上看，图中还有哪些角之间存在某种关系呢？
可以直观地发现图中的∠1和∠3是相对的两个角，而且似乎相等.
1. ∠1与∠3有相同的顶点O.
2. ∠1与∠3的两边互为反向延长线.
∠1与∠3有相同的顶点O，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.
小结
对顶角及其性质
解：因为直线AB、CD相交于点E，所以∠AEC与∠BED是对顶角.根据对顶角相等，得∠BED=∠AEC=50°.
C
B
A
D
E
随 堂 小 测
1. 下列选项中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
D
2. 为测量某古塔的外墙底角∠AOB的度数，王明设计了如下方案：作AO、BO的延长线OD、OC，量出∠COD的度数，就得到了∠AOB的度数.王明这样做的依据是______________.
对顶角相等
3.如图，直线a、b相交，∠1+∠3=92°，则∠2=_____.
134°
4.如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，已知∠AOC+∠BOD=80°，求∠DOE的度数.
解：因为∠AOC+∠BOD=80°，∠AOC=∠BOD，所以∠AOC= ×80°=40°.因为∠AOC+∠AOD=180°，所以∠AOD=180°-∠AOC=180°-40°=140°.因为OE平分∠AOD，所以∠DOE= ∠AOD= ×140°=70°.
角
∠1与∠2
∠2与∠3
…
位置关系
相邻
相邻
…
数量关系
互补
互补
…
有些角之间存在一定的关系
从位置关系和数量关系上看，图中还有哪些角之间存在某种关系呢？
可以直观地发现图中的∠1和∠3是相对的两个角，而且似乎相等.
1. ∠1与∠3有相同的顶点O.
2. ∠1与∠3的两边互为反向延长线.
∠1与∠3有相同的顶点O，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.
小结
对顶角及其性质
数学七年级上册《对顶角》课件
平行四边形的内角和等于 360度。
外角和性质
平行四边形的外角和也等 于360度。
05
多边形中对顶角应用
多边形内角和定理引入
通过观察和比较不同多边形的内角和，引导 学生发现多边形内角和与边数之间的关系。
引入多边形内角和定理：n边形的内角和等于 （n-2）×180°，其中n为多边形的边数。
举例验证多边形内角和定理的正确性，如三 角形、四边形等。
邻补角与对顶角的关系
两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角。邻补角互补 ，即和为180°。
拓展延伸：复杂图形中对顶角应用
在复杂图形中，可以通过识别对 顶角来简化问题，找出相等的角
或者互补的角。
在证明题中，可以利用对顶角的 性质来证明两个角相等或者互补
。
在实际问题中，可以通过观察和 分析对顶角来解决一些与角度有
关的问题。
思考题：如何在实际问题中应用对顶角知识
1
在建筑设计中，可以利用对顶角的性质 来确保建筑物的稳定性和美观性。例如 ，在设计屋顶时，可以利用对顶角来确 保屋顶的角度和形状符合设计要求。
2
在地理测量中，可以利用对顶角来测量 山峰的高度或者河流的宽度。例如，在 测量山峰高度时，可以在山峰两侧分别 设立观测点，然后利用对顶角的性质来 计算出山峰的高度。
通过测量、计算或推理验 证三角形内角和定理。
应用场景
在解决三角形相关问题时 ，经常需要用到三角形内 角和定理。
利用对顶角求三角形内角和
对顶角定义
两个角如果它们的两边分别互为反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。
利用对顶角求三角形内角和的方法
在三角形中，如果已知两个角的度数，可以利用对顶角相等的性质求出第三个角的度数， 进而求出三角形的内角和。
外角和性质
平行四边形的外角和也等 于360度。
05
多边形中对顶角应用
多边形内角和定理引入
通过观察和比较不同多边形的内角和，引导 学生发现多边形内角和与边数之间的关系。
引入多边形内角和定理：n边形的内角和等于 （n-2）×180°，其中n为多边形的边数。
举例验证多边形内角和定理的正确性，如三 角形、四边形等。
邻补角与对顶角的关系
两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角。邻补角互补 ，即和为180°。
拓展延伸：复杂图形中对顶角应用
在复杂图形中，可以通过识别对 顶角来简化问题，找出相等的角
或者互补的角。
在证明题中，可以利用对顶角的 性质来证明两个角相等或者互补
。
在实际问题中，可以通过观察和 分析对顶角来解决一些与角度有
关的问题。
思考题：如何在实际问题中应用对顶角知识
1
在建筑设计中，可以利用对顶角的性质 来确保建筑物的稳定性和美观性。例如 ，在设计屋顶时，可以利用对顶角来确 保屋顶的角度和形状符合设计要求。
2
在地理测量中，可以利用对顶角来测量 山峰的高度或者河流的宽度。例如，在 测量山峰高度时，可以在山峰两侧分别 设立观测点，然后利用对顶角的性质来 计算出山峰的高度。
通过测量、计算或推理验 证三角形内角和定理。
应用场景
在解决三角形相关问题时 ，经常需要用到三角形内 角和定理。
利用对顶角求三角形内角和
对顶角定义
两个角如果它们的两边分别互为反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。
利用对顶角求三角形内角和的方法
在三角形中，如果已知两个角的度数，可以利用对顶角相等的性质求出第三个角的度数， 进而求出三角形的内角和。
对顶角课件ppt
总结词
对顶角相等定理是几何学中的基本定理之一，它指出在任何两条相交的直线形成 的对顶角都是相等的。
详细描述
对顶角相等定理是几何学中的基础定理，它表明在任何两条相交的直线形成的对 顶角都是相等的。这个定理在证明其他几何定理和解决几何问题时有着广泛的应 用。
对顶角性质的应用
总结词
对顶角性质的应用非常广泛，它可以用于证明其他几何定理、解决几何问题以及理解几何图形的性质 。
04 对顶角的变式和拓展
对顶角的变式
01
02
03
直角对顶角
在直角三角形中，对顶角 相等且互为补角，即两个 直角互为对顶角。
等腰对顶角
在等腰三角形中，底角互 为对顶角，且底角相等。
等边对顶角
在等边三角形中，每个内 角都是60度，因此每个内 角的对顶角也相等。
对顶角的拓展
对顶角与平行线
在平行线中，同位角相等，内错角相等，而这些角与对顶角之间 存在一定的关系。
详细描述
对顶角性质的应用非常广泛，它可以用于证明其他几何定理，如平行线的性质和判定定理等。此外， 它还可以用于解决各种几何问题，如角度计算、线段比例等。同时，对顶角性质也是理解几何图形性 质的基础，如平行四边形、梯形等。
对顶角定理的证明
总结词
对顶角定理的证明可以通过构造辅助线或利用三角形的全等性质来进行证明。
对顶角与三角形内角和
通过对顶角与其他内角的互补关系，可以证明三角形内角和为180 度。
对顶角与多边形内角和
利用对顶角性质，可以推导出多边形内角和的计算公式。
对顶角与其他几何知识的结合
对顶角与轴对称
通过对顶角的性质，可以 证明轴对称图形的性质和 特点。
对顶角与几何作图
对顶角相等定理是几何学中的基本定理之一，它指出在任何两条相交的直线形成 的对顶角都是相等的。
详细描述
对顶角相等定理是几何学中的基础定理，它表明在任何两条相交的直线形成的对 顶角都是相等的。这个定理在证明其他几何定理和解决几何问题时有着广泛的应 用。
对顶角性质的应用
总结词
对顶角性质的应用非常广泛，它可以用于证明其他几何定理、解决几何问题以及理解几何图形的性质 。
04 对顶角的变式和拓展
对顶角的变式
01
02
03
直角对顶角
在直角三角形中，对顶角 相等且互为补角，即两个 直角互为对顶角。
等腰对顶角
在等腰三角形中，底角互 为对顶角，且底角相等。
等边对顶角
在等边三角形中，每个内 角都是60度，因此每个内 角的对顶角也相等。
对顶角的拓展
对顶角与平行线
在平行线中，同位角相等，内错角相等，而这些角与对顶角之间 存在一定的关系。
详细描述
对顶角性质的应用非常广泛，它可以用于证明其他几何定理，如平行线的性质和判定定理等。此外， 它还可以用于解决各种几何问题，如角度计算、线段比例等。同时，对顶角性质也是理解几何图形性 质的基础，如平行四边形、梯形等。
对顶角定理的证明
总结词
对顶角定理的证明可以通过构造辅助线或利用三角形的全等性质来进行证明。
对顶角与三角形内角和
通过对顶角与其他内角的互补关系，可以证明三角形内角和为180 度。
对顶角与多边形内角和
利用对顶角性质，可以推导出多边形内角和的计算公式。
对顶角与其他几何知识的结合
对顶角与轴对称
通过对顶角的性质，可以 证明轴对称图形的性质和 特点。
对顶角与几何作图
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。
知识回顾
⑥如图，Ｏ是直线ＡＢ上的一点，ＯＣ是
∠ＡＯＢ的平分线
D C
看图回答:
A
O
·
B ，图中互补的角 ；
⑴图中互余的角是
是
⑵若∠AOD=53°13′，则∠DOC=
∠BOD= 。
，
知识回顾
已知∠AOB，用直尺画出∠AOB的余角， ∠AOB的补角
B
O
A
如图，∠AOC=900，∠BOD=900，则∠１与∠３的关系 相等 ，其理由是__________________________. 同角的余角相等 是_____ B A C
３
o
２ １ D
如图，∠1＋∠2＝1800， ∠3＋∠4＝1800，若∠1=∠3, 相等 ， 则∠2与∠4的关系是_______ 等角的补角相等 其理由是_________________.
2
1
3
4
搜集材料
读一读 小孔成像
墨子
二、对顶角定义
A 3 1 O4 2
D
B
C
如图，直线AB和CD相交于点O 我们就把其中的∠1和∠2叫做对顶角。
对 顶 角 相 等
四、例题与练习
例1.已知，如图，直线AB与直线CD相交于点O， 且∠DOE=90o,∠COA=72o,求∠BOC的度数。 E B C O A D
议一议：
已知，如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE平分 ∠AOC,∠AOE=25o,你能求出图中哪些角的度数？ A O C B D
1、如图： ∠1=40 ° ， ∠AOD=90 ° , 那么 ∠4=____ ,∠2=____, ∠5=_____ ∠3_____ A
E 1 O 2 5 3 4 F B
C
D
2、直线AB、CD相交于点O，OC平分 ∠BOG， ∠BOG=68 °，求∠AOD。
B C O D A G
3、直 线AB、CD 相交于点O， ∠AOE=90 ° ，如果 ∠AOD=35 ° ，那么 ∠EOC等于多少度？
A P B C
4、 ∠1与∠2 互为补角， ∠3与∠2 也互为 补角，则 ∠ 1_______ ∠ 3．
一、自主学习(阅读课本P16，P17页完成下面问题 )
对顶角定义： （1） 指出∠1 的边和顶点． （2）把 AO,DO延长，得到OC ，OB ， 形成 ∠ 2，观察这两个角，它们有什么特点？ A （3）总结： D 1 对顶角的定 O 2 B 义： ． C 于是我们在上图中可得到：∠ 与∠ 是 对顶角，∠ 与∠ 是对顶角．
猜谜语：
（打一数学概念）
8.4对顶角
学习目标： 1、理解对顶角的概念，能在图形中辨认； 2、掌握对顶角相等的性质并会用对顶角的性质进行有关推 理和计算。
课前预习
1、如果∠1+ ∠2= 180° ，则 ∠1与∠2 _____． 2、已知 ∠ 1=30 ° ， ∠2是 ∠1的邻补角， 则 ∠ 2=_______． 3、如图， BP是∠ABC 的角平分线， ∠ABC=40 ° ，则 ∠ ABP=_______．
练一练
1、有两堵围墙OA、OB，有人想测量地面上所形成 的角∠AOB的度数，但人又不能进入围墙，只能站 在墙外，请问该如何测量?
B C A
D
O
练一练
2、P161 2、3
1、对顶角定义 2、对顶角相等
猜谜语：
（打一数学概念）
A O D
C
A
C O F
E B D
C A H O F
E
G B D
B
(1)
2
(2)
6
(3)
12
(n-1)n
(4)
20
……
若有n条直线相交于一点O，那么有
对对顶角
… …
三、自主探索：
如图，∠1、∠3有怎样的大小关系？
m
3
2
4
1
n
这个推理过程可以写成：
（平角定义） ∵ ∠1+∠2=180 ° ， ∠3+∠2=180 ° ∴ ∠ 1= ∠3 （同角的补角相等）
A D O B E
C
三、巩固练习
1 、说出下列图中的对顶角．
A E O C B
A G H E F
A F D
D
C
B D
C G E
B
2、已知：直线 AB与直线CD 相交于O ， ∠ AOC=120 ° ，求∠BOD ， ∠BOC ， ∠DOA 各为多少度？
小结反思：
本节课我学会了什么？
当堂测试
E C A O D
B
知识回顾
抢答： ①若∠1与∠2互补，则∠1＋∠2＝_______°； ②若∠1＝180°－∠2，则∠1与∠2________； ③30°的余角是_____°，补角是_____°若一 个角的度数是ｘ(x＜90 °) ，则它的余角的 度数和补角的度数分别 是 ；
④60°角的余角的补角是_________． ⑤一个角是它的补角的3倍，这个角是
二、合作交流（对顶角相等）
1、操作：每个同学画一对对顶角，分别量 出它们的度数． 猜想：下图中， ∠ 1= ∠ 2， ∠3= ∠4 . （为什么？）
A O 4 2 3 B C D
1
结论：如果两个角是对顶角，那么这两个 角 ．简单的说： 相等． 2、如图，直线 AB与CD 相交于点O ，射线 OE是∠BOD 的角平分线，已知 ∠ AOD=110 ° ， 求∠COB ， ∠ BOE， ∠EOD 的度数．
对顶角的特点： (角的位置特点） （1）顶点相同； （2）角的边互为反向延长线。
练习
1、说一说：下列各图中∠l和∠2是对顶角吗？为什么？
你出各图中的对顶角:
（3）下图中有几对对顶角？
C A O D B F C O D E A F O E B
M E C G A B O …… H F N D