人教版最新高中数学数列专题复习(综合训练篇含答案)Word版
高二数学数列专题练习题(含答案)
高二数学数列专题练习题(含答案)高中数学《数列》专题练1.数列基本概念已知数列的前n项和S_n和第n项a_n之间的关系为：a_n=S_n-S_{n-1} (n>1)，当n=1时，a_1=S_1.通过这个关系式可以求出任意一项的值。
2.等差数列和等比数列等差数列和等比数列是两种常见的数列类型。
对于等差数列，有通项公式a_n=a_1+(n-1)d，其中d为公差。
对于等比数列，有通项公式a_n=a_1*q^{n-1}，其中q为公比。
如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
如果a、A、b、B成等差数列，那么A、B叫做a、b的等差中项。
3.求和公式对于等差数列，前n项和S_n=n(a_1+a_n)/2.对于等比数列，前n项和S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，其中q不等于1.另外，对于等差数列，S_n、S_{2n}-S_n、S_{3n}-S_{2n}构成等差数列；对于等比数列，S_n、S_{2n}/S_n、S_{3n}/S_{2n}构成等比数列。
4.数列的函数看法数列可以看作是一个函数，通常有以下几种形式：a_n=dn+(a_1-d)，a_n=An^2+Bn+C，a_n=a_1q^n，a_n=k*n+b。
5.判定方法对于数列的常数项，可以使用定义法证明；对于等差中项，可以证明2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}；对于等比中项，可以证明2a_n=a_{n-1}*a_{n+1}。
最后，对于数列的通项公式，可以使用数学归纳法证明。
1.数列基本概念和通项公式数列是按照一定规律排列的一列数，通常用{ }表示。
其中，第n项表示为an，公差为d，公比为q。
常用的数列有等差数列和等比数列。
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
等比数列的通项公式为an = a1q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
2.数列求和公式数列求和是指将数列中的所有项加起来的操作。
高考数学压轴专题人教版备战高考《数列》专项训练及答案
高中数学《数列》复习知识点一、选择题1．已知{}n a 是单调递增的等比数列，满足352616,17a a a a ⋅=+=，则数列{}n a 的前n项和n S = A ．122n+ B ．122n- C ．1122n -+D ．1122n -- 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列的性质和韦达定理可得26a a ， 为方程217160x x -+= 的实根，解方程可得q和a 1，代入求和公式计算可得． 【详解】∵352616,17a a a a ⋅=+=，∴由等比数列的性质可得26261617a a a a ⋅=+=， ，26a a ， 为方程217160x x -+= 的实根解方程可得2626116161a a a a ====，，或， ， ∵等比数列{a n }单调递增，∴26116a a ==，，∴1122q a ，＝= ，∴()1112122122nn n S ----＝＝ 故选D ． 【点睛】本题考查等比数列的求和公式，涉及等比数列的性质和一元二次方程的解法，属中档题．2．数列{}n a 的通项公式为()n a n c n N *=-∈．则“2c <”是“{}na 为递增数列”的（ ）条件． A ．必要而不充分 B ．充要C ．充分而不必要D ．即不充分也不必要【答案】A 【解析】 【分析】根据递增数列的特点可知10n n a a +->，解得12c n <+，由此得到若{}n a 是递增数列，则32c <，根据推出关系可确定结果. 【详解】 若“{}n a 是递增数列”，则110n n a a n c n c +-=+--->， 即()()221n c n c +->-，化简得：12c n <+， 又n *∈N ，1322n ∴+≥，32c ∴<， 则2c <¿{}n a 是递增数列，{}n a 是递增数列2c ⇒<，∴“2c <”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件．故选：A . 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题.3．数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．即：21n n n a a a ++=+.记该数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ）A ．201920202S a =+B ．201920212S a =+C ．201920201S a =-D ．201920211S a =-【答案】D 【解析】 【分析】根据递推关系利用裂项相消法探求和项与通项关系，即得结果. 【详解】 因为1233243546521()()()()()n n n n S a a a a a a a a a a a a a a ++=++++=-+-+-+-+-L L 2221n n a a a ++=-=-，所以201920211S a =-，选D. 【点睛】本题考查裂项相消法，考查基本分析判断能力，属中档题.4．执行下面程序框图输出S 的值为（ ）A ．2542B ．3764C ．1730D ．67【答案】A 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，依此写出每次循环得到的,S i 的值并判断5i >是否成立，发现当6i =，满足5i >，退出循环，输出运行的结果111111324354657S =++⨯⨯⨯⨯⨯++，利用裂项相消法即可求出S ． 【详解】 由题意可知， 第1次循环时113S =⨯，2i =，否； 第2次循环111324S =+⨯⨯，3i =，否； 第3次循环时111132435S =++⨯⨯⨯，4i =，否； 第4次循环时111113243546S =++⨯⨯⨯⨯+，5i =，否；第5次循环时111111324354657S =+++⨯⨯⨯⨯⨯+，6i =，是； 故输出111111324354657S =++⨯⨯⨯⨯⨯++111111111112324354657⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦= 1111251226742⎛⎫=+--=⎪⎝⎭ 故选：A. 【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，同时考查裂项相消法求和，属于基础题．5．已知椭圆221x y m n+=满足条件：,,m n m n +成等差数列，则椭圆离心率为( )A ．2B ．2C ．12D 【答案】B 【解析】 【分析】根据满足条件,,m n m n +成等差数列可得椭圆为2212x ym m+=,求出,a c ．再求椭圆的离心率即可. 【详解】()22n m m n n m =++⇒=,∴椭圆为2212x y m m+=,22c m m m =-=,得c =又a =c e a ∴==.则椭圆离心率为2，故选B. 【点睛】一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．6．已知等比数列{a n }，a n ＞0，a 1=256，S 3=448，T n 为数列{a n }的前n 项乘积，则当T n 取得最大值时，n =（ ） A ．8 B ．9C ．8或9D ．8.5【答案】C【解析】 【分析】设等比数列{a n }的公比为q ，由a n ＞0，可得q ＞0．根据a 1＝256，S 3＝448，可得256（1+q +q 2）＝448，解得q ．可得a n ，T n ，利用二次函数的单调性即可得出． 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ，∵a n ＞0，∴q ＞0． ∵a 1＝256，S 3＝448， ∴256（1+q +q 2）＝448， 解得q 12=． ∴a n ＝25611()2n -⨯=29﹣n ．T n ＝28•27•……•29﹣n＝28+7+…+9﹣n()217289[)89242222n n n ⎛⎤--- ⎥+-⎝⎦==．∴当n ＝8或9时，T n 取得最大值时， 故选C ． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式及其性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32S =，618S =，则106S S 等于（ ） A ．-3 B ．5C ．-31D ．33【答案】D 【解析】 【分析】先由题设条件结合等比数列的前n 项和公式，求得公比q ，再利用等比数列的前n 项和公式，即可求解106S S 的值，得到答案.【详解】由题意，等比数列{}n a 中32S =，618S =，可得313366316(1)1121(1)11181a q S q q a q S q q q---====--+-，解得2q =，所以101105105516(1)11133(1)11a q S q q q a q S q q---===+=---. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.8．已知数列}{n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和，若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（ ）． A ．35 B ．33C ．31D ．29【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，设等比数列的公比为q ，则2231112a a a q a q a =⋅=，所以42a =，又3474452224a a a a q +=+=⨯，解得11,162q a ==，所以5515116(1())(1)2311112a q S q --===--，故选C ． 考点：等比数列的通项公式及性质．9．等差数列的首项为125，且从第10项开始为比1大的项，则公差d 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞ B ．8,75⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．83,7525⎛⎫⎪⎝⎭D ．83,7525⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知101a >，91a ≤，把1a 的值代入列不等式解得即可. 【详解】由题意，设数列{}n a 的公差为d ，首项1125a =，则10911a a >⎧⎨≤⎩，即101919181a a d a a d =+>⎧⎨=+≤⎩，解得837525d <≤.故选：D. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，要熟练记忆等差数列的通项公式．10．已知数列{}n a 的前n 项和()2*23n S n n n N=+∈，则{}na 的通项公式为（ ）A ．21n a n =+B ．21n a n =-C ．41n a n =+D ．41n a n =-【答案】C 【解析】 【分析】首先根据223n S n n =+求出首项1a 的值，然后利用1n n n a S S -=-求出2n ≥时n a 的表达式，然后验证1a 的值是否适合，最后写出n a 的式子即可. 【详解】因为223n S n n =+，所以，当2n ≥时，22123[2(1)3(1)]41n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+，当1n =时，11235==+=a S ，上式也成立， 所以41n a n =+， 故选C. 【点睛】该题考查的是有关数列的通项公式的求解问题涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，算出之后再判断1n =时对应的式子是否成立，最后求得结果.11．已知数列{}n a 是等比数列，前n 项和为n S ，则“3152a a a >+”是“210n S -<”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式与求和公式,即可判断命题间的关系. 【详解】因为数列{}n a 是等比数列,前n 项和为n S 若3152a a a >+,由等比数列的通项公式可得111242a a q a q >+,化简后可得()21210q a -<.因为()2210q -≥所以不等式的解集为10a < 若210n S -<当公比1q ≠±时, 210n S -<则10a <,可得3152a a a >+ 当公比1q =±时, 由210n S -<则10a <,可得3152a a a =+ 综上可知, “3152a a a >+”是“210n S -<”的充分不必要条件 故选:B 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式的应用,在应用等比数列求和公式时,需记得讨论公比是否为1的情况,属于中档题.12．已知各项为正数的等比数列{}n a 满足11a =，2416a a =，则6a =（ ） A ．64 B ．32 C ．16 D ．4【答案】B 【解析】 【分析】先根据条件求公比，再根据等比数列通项公式求6.a 【详解】由2416a a =得2445516116,1602232.a q q q q a a q ==>∴=∴===Q 选B.【点睛】本题考查等比数列通项公式，考查基本分析求解能力，属基本题.13．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数取出．先取1；再取1后面两个偶数2,4；再取4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再取9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再取此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直取下去，得到一个新数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个新数列中，由1开始的第2 019个数是( ) A ．3 971 B ．3 972C ．3 973D ．3 974【答案】D 【解析】 【分析】先对数据进行处理能力再归纳推理出第n 组有n 个数且最后一个数为n 2，则前n 组共1+2+3+…+n ()12n n +=个数，运算即可得解．【详解】解：将新数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，分组为（1），（2，4），（5，7，9，），（10，12，14，16），（17，19，21，23，25）… 则第n 组有n 个数且最后一个数为n 2，则前n 组共1+2+3+…+n ()12n n +=个数，设第2019个数在第n 组中，则()()120192120192n n n n ⎧+≥⎪⎪⎨-⎪⎪⎩＜，解得n ＝64，即第2019个数在第64组中，则第63组最后一个数为632＝3969，前63组共1+2+3+…+63＝2016个数，接着往后找第三个偶数则由1开始的第2019个数是3974， 故选：D ． 【点睛】本题考查了对数据的处理能力及归纳推理能力，考查等差数列前n 项和公式，属中档题．14．已知函数()2f x x mx =+图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2018S 的值为（ ）A ．20152016B ．20162017C ．20172018D ．20182019【答案】D 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，得到()y f x =在1x =时的导数值，进一步求得m ，可得函数解析式，然后利用裂项相消法可计算出2018S 的值． 【详解】由()2f x x mx =+，得()2f x x m '=+，()12f m '∴=+，因为函数()2f x x mx =+图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，()123f m '∴=+=，解得1m =，()2f x x x ∴=+，则()()21111111f n n n n n n n ===-+++. 因此，20181111112018112232018201920192019S =-+-++-=-=L . 故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．15．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则263n n S a ++的最小值为（ ）A ．4B ．3C．2 D ．2【答案】D 【解析】 【分析】由题意得2(12)112d d +=+，求出公差d 的值，得到数列{}n a 的通项公式，前n 项和，从而可得263n n S a ++，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【详解】解：11a =Q ，1a 、3a 、13a 成等比数列，2(12)112d d ∴+=+． 得2d =或0d =（舍去），21n a n ∴=-，2(121)2n n n S n +-∴==， ∴()()22211426263322112n n n n S n n a n n n ++++++===+-+++． 令1t n =+，则2642223n n S t a t +=+-≥=+ 当且仅当2t =，即1n =时，∴263n n S a ++的最小值为2．故选：D ． 【点睛】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．16．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-， 现有下面四个结论①数列{}n S n +为等比数列； ②数列{}n a 的通项公式为121n n a -=-；③数列{}1n a +为等比数列；④数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---. 其中结论正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【解析】 【分析】根据递推关系可得1+12()n n S n S n ++=+，可得①正确，利用等比数列求出2nn S n =-，根据前n 项和求n a ，可判断②③，计算2n S ，并分组求和可判断④. 【详解】因为121n n S S n +=+-， 所以11222n n n n S n S nS n S n++++==++，又112S +=.所以数列{}n S n +为首项是2，公比是2的等比数列，所以2nn S n +=， 则2nn S n =-.当2n ≥时，1121n n n n a S S --=-=-， 但11121a -≠-，所以①正确，②③错误，因为1222n n S n +=-，所以{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---， 所以④正确. 故选：B 【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式，等比数列的证明，由n S 求数列的通项公式，属于中档题.17．已知数列{}n a 是1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是1为首项，2为公比的等比数列，设n n b c a =，12...,(*)n n T c c c n N =+++∈，则当2019n T <时，n 的最大值是( ) A ．9 B ．10C ．11D ．12【答案】A 【解析】 【分析】由题设知21n a n =-，12n nb -=，由1121124222n n n b b bn T a a a a a a a n -+=++⋯+=+++⋯+=--和2019n T <，得1222019n n +--<，由此能求出当2019n T <时n 的最大值．【详解】{}n a Q 是以1为首项，2为公差的等差数列，21n a n ∴=-，{}n b Q 是以1为首项，2为公比的等比数列，12n n b -∴=，()()()()1121121242211221241221n n n n b b bn T c c c a a a a a a a --∴=++⋯+=++⋯+=+++⋯+=⨯-+⨯-+⨯-+⋯+⨯- ()121242n n -=+++⋯+- 12212nn -=⨯-- 122n n +=--，2019n T <Q ，1222019n n +∴--<，解得：10n <．则当2019n T <时，n 的最大值是9． 故选A ． 【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式，结合含两个变量的不等式的处理问题，易出错，属于中档题.18．已知首项为1的正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，4a -、3a 、5a 成等差数列，则2020S 与2020a 的关系是（ ）A ．2020202021S a =+B ．2020202021S a =-C ．2020202041S a =+D ．2020202043S a =-【答案】B 【解析】 【分析】求出等比数列{}n a 的公比q ，然后求出2020S 和2020a ，由此可得出结论. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，4a -Q 、3a 、5a 成等差数列，3542a a a ∴=-，所以，220q q --=，0q >Q ，解得2q =，20192019202012a a q∴==，()20201202020201211a q S q-==--，因此，2020202021S a =-. 故选：B. 【点睛】本题考查等比数列求和公式以及通项公式的应用，涉及等差中项的应用，考查计算能力，属于中等题.19．设函数()221xf x =+，利用课本（苏教版必修5）中推导等差数列前n 项和的方法，求得()()()()()54045f f f f f -+-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++的值为（ ） A ．9 B ．11C ．92D ．112【答案】B 【解析】 【分析】先计算出()()f x f x +-的值，然后利用倒序相加法即可计算出所求代数式的值. 【详解】()221x f x =+Q ，()()()22222212121221xx x x x x f x f x --⋅∴+-=+=+++++()2122222211221xx x x x +⋅=+==+++， 设()()()()()54045S f f f f f =-+-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++， 则()()()()()54045S f f f f f =+++++-+-L L ，两式相加得()()2115511222S f f ⎡⎤=⨯+-=⨯=⎣⎦，因此，11S =. 故选：B. 【点睛】本题考查函数值的和的求法，注意运用倒序相加法，求得()()2f x f x +-=是解题的关键，考查化简运算能力，属于中档题．20．{}n a 为等差数列，公差为d ，且01d <<，5()2k a k Z π≠∈，223557sin 2sin cos sin a a a a +⋅=，函数()sin(4)(0)f x d wx d w =+>在20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调且存在020,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()f x 关于0(,0)x 对称，则w 的取值范围是（ ） A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．24,33⎛⎤⎥⎝⎦D ．33,42⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】推导出sin4d ＝1，由此能求出d ，可得函数解析式，利用在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调且存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，，即可得出结论． 【详解】∵{a n }为等差数列，公差为d ，且0＜d ＜1，a 52k π≠（k ∈Z ）， sin 2a 3+2sin a 5•cos a 5＝sin 2a 7， ∴2sin a 5cos a 5＝sin 2a 7﹣sin 2a 3＝2sin 372a a +cos 732a a -•2cos 372a a +sin 732a a -=2sin a 5cos2d •2cos a 5sin2d ， ∴sin4d ＝1，∴d 8π=．∴f （x ）8π=cosωx ，∵在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调 ∴23ππω≥， ∴ω32≤； 又存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，， 所以f （x ）在（0，23π）上存在零点， 即223ππω＜，得到ω34＞． 故答案为 33,42⎛⎤⎥⎝⎦故选D 【点睛】本题考查等差数列的公差的求法，考查三角函数的图象与性质，准确求解数列的公差是本题关键，考查推理能力，是中档题．。
高中数学数列综合训练题(带答案)
高中数学数列综合训练题(带答案)1.等差数列{an}中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则数列{an}前9项的和S9等于（）A。
66 B。
99 C。
144 D。
2972.若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a+3b+c=10，则a=（）A。
4 B。
2 C。
-2 D。
-43.等比数列{an}中，a2=9，a5=243，则{an}的前4项和为（）A。
81 B。
120 C。
168 D。
1924.2+1与2-1，两数的等比中项是（）A。
1 B。
-1 C。
±1 D.5.若lg2，XXX(2-1)，XXX(2+3)成等差数列，则x的值等于（）A。
1 B。
or 32 C。
32 D。
log256.已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q，则q的取值范围是（）A。
(0.1+5) B。
(,1] C。
[1,1+5) D。
(−1+5,1+5)7.在ΔABC中，XXX是以-4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tanB是以1为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是（）A。
钝角三角形 B。
锐角三角形 C。
等腰直角三角形 D。
以上都不对8.等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则XXX（）A。
12 B。
10 C。
1+log35 D。
2+log359.在等差数列{an}中，若S4=1，S8=4，则a17+a18+a19+a20的值为（）A。
9 B。
12 C。
16 D。
1710.在等比数列{an}中，若a2=6，且a5-2a4-a3+12=0，则an为（）A。
6 B。
6(-1)n-2 C。
6·2n-2 D。
6或6(-1)n-2或6·2n-211.等差数列{an}的前n项和为Sn，若m>1，且am-1+am+1-am=Sn-1=38，则m等于（）A。
38 B。
20 C。
10 D。
912.等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若Sn/an=Tn/(3n+1)bn，则n=（）1.22n-12n-12n+1 should be written as (22n-1)/(3n+1).2.The article has no clear n or topic sentence。
(word)高中数学数列问题高考考点专题突破复习题含答案(人教A版),文档
高中数学-数列问题高考考点专题突破复习题含答案含答案〔人教A版〕【考点自】1．(2021洛·阳模)等差数列{a}的公差和首都不等于0，且a，a，a成等比数列，n248 a1＋a5＋a9等于()a2＋a3A．2B．3C．5D．7答案B解析∵在等差数列2＝a2a8，∴(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1{an}中，a2，a4，a8成等比数列，∴a4∵7d)，∴d2＝a1d，∵d≠0，∴d＝a1，∴a1＋a5＋a9＝15a1＝3.故B.a2＋a35a12．(2021衡·水研)等差数列{an}的前n和Sn，a5＝5，S5＝15，数列1的前nn＋1 aa100和()10099 A.101 B.10199101 C.100 D.100答案A解等差数列{an}的首a1，公差d.析a＋4d＝5，11a＝1，∵a555×5－1∴＝5，S ＝15，∴1d＝15，d＝1，5a＋2an＝a1＋(n－1)d＝n.1＝1＝1n－1，anan＋1nn＋1n＋111－1＋1－1＋⋯＋1－11＝100.∴数列nn＋1的前100和＝1－aa223100*********3．假设a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，－2三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，p＋q的等于()A．6B．7C．8D．9答案D解析由意知a＋b＝p，ab＝q，∵p＞0，q＞0，∴a＞0，b＞0.在a，b，－2三个数的6种排序中，成等差数列的情况有：a，b，－2；b，a，－2；－2，a，b；－2，b，a；成等比数列的情况有：a，－2，b；b，－2，a.ab ＝4，ab ＝4，a ＝4，a ＝1，∴或解得b ＝1或2b ＝a －22a ＝b －2，b ＝4.∴p＝5，q ＝4，∴p＋q ＝9，应选D.4．(2021江·西高安中学等九校联考)数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，假设a1·a 6·a 11＝33，b1＋b6＋b11＝7π，那么tan b3＋b9的值是()4 81－a ·a2A ．1B.2C ．－ 2D ．－32答案 D解析{an} n16111 61133,66是等比数列，{b} 是等差数列，且a·a·a＝3 3，b ＋b ＋b ＝7π，∴a＝( 3)3b7π＝7π，∴a 6＝3，b6＝3，2×7π3 93∴tan b ＋b＝tan 2b6＝tan21－a·a1－a2 1－ 364 87ππ π＝tan－3＝tan－2π－3＝－tan3＝－ 3.5．(2021保·定模拟)数列{an}的前n 项和为Sn，对任意n∈N*都有S21，假设1<Sn＝an－3k<93(k∈N*)，那么k的值为________．答案4212解析由题意，Sn＝3an－3，312当n≥2时，Sn－1＝3an－1－3，32两式相减，得an＝3an－3an－1，an＝－2an－1，又a1＝－1，{an}是以－1为首项，以－2为公比的等比数列，an＝－(－2)n－1，∴S k ＝－2k－1，3由1<Sk<9，得4<(－2)k<28，又k∈N*，∴k＝4.型一等差数列、等比数列的合例1(2021·四川)数列{a n}的首1，Sn数列{an}的前n和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*.(1)假设a，a，a＋a 成等差数列，求数列{an}的通公式；2323(2)双曲2y2222 x－2＝1的离心率en，且e2＝2，求e1＋e2＋⋯＋en.an解(1)由，Sn＋1＝qSn＋1，得Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减得an＋2＝qan＋1，n≥1.又由S2121，＝qS＋1得a＝qa故an＋1n所有n≥1都成立．＝qa所以数列{an}是首1，公比q的等比数列，从而a n＝q n－1.由a2，a3，a2＋a3成等差数列，可得2a3＝a2＋a2＋a3，所以a3＝2a2，故q＝2.所以a n＝2n－1(n∈N*)．由(1)可知，a n＝q n－1，所以双曲x2－y222n－1＝1的离心率e. a2n＝1＋an＝1＋qn由e2＝1＋q2＝2，解得q＝3，222所以e12n＋e＋⋯＋e＝(1＋1)＋(1＋q2)＋⋯＋[1＋q2(n－1)]＝n＋[1＋q2＋⋯＋q2(n－1)]＝n＋q2n－1＝n＋1(3n－1)．q2－1 2思升等差数列、等比数列合的解策略分析条件和求解目，最解决置中，例如求和需要先求出通、求通需要先求出首和公差(公比)等，确定解的序．注意：在等差数列与等比数列合中，如果等比数列的公比不能确定，要看其是否有等于1的可能，在数列的通中第一和后面的能否用同一个公式表示等，些解的影响也是巨大的．跟踪1(2021·州模)首3的等比数列{a n}不是减数列，其前n和2S(n∈N)，且S＋a，S＋a，S＋a成等差数列．n*335544(1) (2)(3)求数列{an}的通项公式；(4)设Tn ＝Sn －1(n∈N *)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．Sn解(1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，于是q 2＝a5＝1 .a3 4又{an}不是递减数列且a1＝ 3，所以q ＝－1.22故等比数列{an}的通项公式为31n －1an ＝2×－2＝(－1)n －13·2n .1n－ 1 n 1＋ 2n ，n 为奇数，1－＝(2)由(1)得S ＝21n ，n 为偶数.1－2当n 为奇数时，Sn 随n 的增大而减小，31所以1<S n ≤S 1＝， 21325故0<Sn －≤S 1－＝－＝. SnS1236当n 为偶数时，Sn 随n 的增大而增大，3所以 ＝S 2≤S n <1，故0>Sn －1≥S 2－1＝3－4＝－7.SnS24312综上，对于n∈N *，总有－7≤S 1≤ 5.12n－ S 6n所以数列{Tn5，最小项的值为－7}的最大项的值为 612.题型二数列的通项与求和例2(2021·邢台模拟)等差数列{an}的公差为2，前n 项和为Sn ，且S1，S2，S4成等比数列．求数列{an}的通项公式； (2)令b n ＝(－1)n －14n，求数列{b n }的前n 项和T n .anan ＋1 2×1解(1)因为S1＝a1，S2＝2a1＋ 2×2＝2a1＋2，(2)(3)(4)S4＝4a1＋4×23×2＝4a1＋12，(5)由意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，(6)解得a1＝1，所以an＝2n－1.(7)bn＝(－1)n－14nanan＋1(－1)n－14n2n－12n＋1(－1)n－11＋1.2n－12n＋1当n偶数，n ＝1＋1－1＋1＋⋯＋1＋1－1＋1T3352n－32n－12n－12n＋1 1－1＝2n.2n＋12n＋1当n奇数，T n＝1＋1－1＋1＋⋯－1＋11＋1＋3352n－32n－12n－12n＋1＝1＋1＝2n＋22n＋12n＋1.2n＋2，n奇数，2n＋1所以Tn＝2n，n偶数.2n＋12n＋1＋－1n－1 n＝) (或T2n＋1思升(1)一般求数列的通往往要构造数列，此从要的出，是很重要的解信息．根据数列的特点适宜的求和方法，常用的求和方法有位相减法、分化法、裂相消法等．跟踪2 (2021·大模)数列{a n}的前n和S n，且a1＝1，a n＋1＝n＋1a n(n∈N*)．2 2nan1(1)明：数列n是等比数列；2(2)求数列{an}的通公式与前n和Sn.3n＋1明∵a1＝2，an＋1＝2n an，当n∈N*，an≠0，n又a1＝1，an＋1∶an＝1(n∈N*)常数，12n＋1n2an11∴n 是以2首，2公比的等比数列．(2)解由an 是以1首，1公比的等比数列，n22得an ＝1·1n －1，∴a n ＝n·1n .n2221 1 1 1n ，∴S n ＝1·＋2·2＋3· 3＋⋯＋n·22 221n12＋2·13＋⋯＋(n －1)1n ＋n·1n ＋1，2S ＝1·22221 1 n＋11＋ 2＋13＋⋯＋－2－n·1n ＋1，∴两式相减得 1 n 1 1n －n·1n ＋1＝212S ＝2 222221－21 －1∴S n ＝2－2 n1－n·2 n1n.＝2－(n ＋2)·2上，a1 n ，S1 nn ＝n·n ＝2－(n ＋2)·.22型三 数列与其他知的交命点1数列与函数的交例3(2021·春模)等差数列{ann nx的象上(n∈N *)}的公差d，点(a ，b)在函数f(x)＝2．(1)假设a1＝－2，点(a8,4b7)在函数f(x)的象上，求数列{an}的前n和Sn；1，求数列an的(2)假设a1＝1，函数f(x)的象在点(a2，b2)的切在x上的截距2－ln2b n前n和T n.解(1)由，得b7＝2a7，b8＝2a8＝4b7，有2a8＝4×2a7＝2a72，解得d＝a8－a7＝2，所以Sn＝na1＋nn－1d＝－2n＋n(n－1)＝n2－3n.2(2)f′(x)＝2x2a2ln2，ln2，f′(a)＝2x在(a2，b2)的切方程y－2a2＝2a2ln2(x－a2)，故函数f(x)＝2它在x上的截距a2－1. ln211由意，得a2－ln2＝2－ln2，解得所以从而a2＝2，d＝a2－a1＝1.an＝n，bn＝2n，an＝n n.bn 2所以T n ＝1＋22 ＋33＋⋯＋n －n －11＋n n ，2 22221 23n2Tn ＝ ＋＋ 2＋⋯＋n －1.1 22 2两式相减，得1 1 1 n2Tn －Tn ＝1＋ ＋2＋⋯＋ n－1－ n2 2 221n2－2n －1－2n 2n ＋1－n －22n.2n ＋1－n －2所以Tn ＝2n .命点2数列与不等式的交例4 (2021·天津){an}是各均正数的等差数列，公差d ，任意的 n∈N *，b n 是an 和an ＋1的等比中．22 *，求：数列{cn}是等差数列；(1)cn ＝bn ＋1－bn ，n∈N2nk2*n1 1(2)a1＝d ，Tn ＝∑(－1) ，求：∑<.bk ，n∈N T 2k ＝1k＝12dk明(1)由意得b2＋n＝anan1，22cn＝bn＋1－bn＝an＋1an＋2－anan＋1＝2dan＋1.因此cn＋1－cn＝2d(an＋2－an＋1)＝2d2，所以{cn}是等差数列．2 2 2 2 2 2n(2)Tn＝(－b1＋b2)＋(－b3＋b4)＋⋯＋(－b2n－1＋b2n)o2d(a2＋a4＋⋯＋a2n)p a2＋a2n＝2d·22d2n(n＋1)．n n1n1－1所以∑1＝1∑＝1∑k＝1T k2d2k＝1kk＋12d2k＝1kk＋1＝11－112d2·n＋1<2d2.命点3数列用例5某企了行技改造，了两种方案，甲方案：一次性款10万元，第一年便可利1万元，以后每年比前一年增加30%的利；乙方案：每年款1万元，第一年可利1万元，以后每年比前一年增加5千元．两种方案的使用期都是10年，到期一次性本息．假设行两种形式的款都按年息5%的复利算，比两种方案中哪种利更多？(参考数据：取10≈10≈10≈57.665)解甲方案中，每年所利成等比数列，首1，公比(1＋30%)，所以10年所得的利S10＝1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋⋯＋(1＋30%)9＝10－1≈42.62(万元)，款到期，需要行的本息是10(1＋5%)10≈16.29(万元)，故使用甲方案所利－＝26.33(万元)．乙方案中，每年的利成等差数列，首1，公差，所以10年所得的利T10＝1＋(1＋0.5)＋(1＋2×0.5)＋⋯＋(1＋9×0.5)10×1＋10×9×＝32.5(万元)，2从第一年起，每年的款在到期所生的本息成等比数列，首1×(1＋5%)10万元，1公比，1＋5%故款到期，需要行的本息是1×[(1＋5%)10＋(1＋5%)9＋⋯＋(1＋5%)]10－1＝×≈13.21(万元)，故使用乙方案所利－＝19.29(万元)．上可知，甲方案利更多．思升数列与其他知交的常型及解策略数列与函数的交①函数条件，解决数列，此一般利用函数的性、象研究数列；②数列条件，解决函数，解要注意数列与函数的内在系，掌握推数列的常解法．(3)数列与不等式的交(4)①函数方法：即构造函数，通函数的性、极等得出关于正数的不等式，通关(5)于正数的不等式特殊得出数列中的不等式；(6)②放方法：数列中不等式可以通中程或者最后的果放得到；(7)③比方法：作差或者作商比．(8)数列用①根据意，确定数列模型；②准确求解模型；③作答，不要忽的意．跟踪3(2021·烟台模)二次函数f(x)＝ax2＋bx的象点(－4n，0)，且f′(0)＝2n，n∈N*，数列{an1＝f′1，且a1＝4.}足an＋1an∴求数列{an}的通公式；∴bn＝anan＋1，求数列{bn}的前n和Tn.∴解(1)f′(x)＝2ax＋b，由意知b＝2n，∴16n2a－4nb＝0，∴a＝1，2f(x)＝1x2＋2nx，n∈N*.2数列{a n}足1＝f′1，∴a n＋1an∴又f′(x)＝x＋2n，∴1＝1＋2n，∴1－1＝2n，an＋1 a n an＋1 a n由叠加法可得1－1＝2＋4＋6＋⋯＋2(n－1)＝n2－n，an 44化可得an＝2n－12(n≥2)，当n＝1，a1＝4也符合，∴a n＝42(n∈N*)．2n－1(2)∵b n＝anan＋1＝42n－12n＋1＝21－12n＋1，2n－1∴T n＝b1＋b2＋⋯＋bna1a2＋a2a3＋⋯＋anan＋1＝21－1＋1－1＋⋯＋1－1 3352n－12n＋1 1＝21－2n＋1 4n＝.1．(2021·安模拟泰)设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.a1＝1，a2＝3，a3＝5，且当n≥22 4时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.求a4的值；1证明：an＋1－2an为等比数列；求数列{an}的通项公式．解当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，即41＋3＋5＋a4＋51＋3＝81＋3＋5＋1，242247解得a4＝8.(2)证明因为4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，所以4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)，5当n＝1时，4a3＋a1＝4×4＋1＝6＝4a2，所以n＝1也满足此式，所以4an＋2＋an＝4an＋1(n∈N*)，1an＋2－an＋1因为 2 ＝4an＋2－2an＋114an＋1－2anan＋1－2an4an＋1－an－2an＋1＝2an＋1－an＝1，4an＋1－2an22an＋1－an2111为公比的等比数列．所以数列a n＋1－an是以a2－a1＝1为首项，2 22111(3)解由(2)知：数列an＋1－2an是以a2－2a1＝1为首项，2为公比的等比数列，所以a n＋1－1a n＝1n－1.2 2即an ＋1－an＝4，1n＋11n 22a nn是以a1＝2首，4公差的等差数列，所以an所以数列1＝2＋(n－1)×4＝4n－2，211n22即an＝(4n－2)×12n＝(2n－1)×12n－1，所以数列{an}的通公式是an＝(2n－1)×1n－1.22．(2021福·建漳州八校考)增的等比数列{an}足：a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2和a4的等差中．求数列{an}的通公式；nnlog1n n12n n n＋1成立的正整数n的最小．(2)假设b＝a a，S＝b＋b＋⋯＋b，求使S＋n·2>622a1q＋a1q2＋a1q3＝28，解(1)由意，得a1q＋a1q3＝2a1q2＋2，1a1＝32，a＝2，或解得1，q＝2q＝2∵{a n}是增数列，∴a1＝2，q＝2，∴数列{an}的通公式a n＝2·2n－1＝2n.∵b n＝anlog1an＝2n·log12n＝－n·2n，2 2∴S n＝b1＋b2＋⋯＋bn＝－(1×2＋2×22＋⋯＋n·2n)，①2S n＝－(1×22＋2×23＋⋯＋n·2n＋1)，②②－①，得Sn＝(2＋22＋⋯＋2n)－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1，Sn＋n·2n＋1＝2n＋1－2，解2n＋1－2>62，得n>5，∴n的最小6.3．(2021梅·州)正数列{an}中，a1＝1，点(an，an＋1)(n∈N*)在函数y＝x2＋1的象上，数列{bn n n}的前n和S＝2－b.－求数列{an}和{bn}的通公式；－1cn＝an＋1log2bn＋1，求{cn}的前n和Tn.解(1)∵点(a n，a n＋1)(n∈N*)在函数y＝x2＋1的象上，∴a n＋1＝an＋1，∴数列{an}是公差1的等差数列．∵a1＝1，∴a n＝1＋(n－1)×1＝n，∵S n＝2－bn，∴S n＋1＝2－bn＋1，bn＋11两式相减，得b n＋1＝－b n＋1＋b n，即＝，由S1＝2－b1，即b1＝2－b1，得b1＝1.1∴数列{bn}是首1，公比的等比数列，bn＝1n－1.2(2)∵log2bn＋1＝log212n＝－n，∴c n＝1＝1－1，nn＋1nn＋1∴T n12n 1－1＋1－1＋1－1＋⋯＋1－1＝1－1＝n＝c＋c＋⋯＋c＝22334n n＋1n＋1n＋1.4．(2021佛·山模)在等比数列{an}中，an>0(n∈N*)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8(2)25，又a3与a5的等比中2.(3)(1)求数列{an}的通公式；(4)bn＝log2an，求数列{bn}的前n和Sn；(5)是否存在k∈N*，使得S1＋S2＋⋯＋Sn<k任意n∈N*恒成立，假设存在，求出k的最小，12n假设不存在，明理由．解(1)∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，2 2 2∴a3＋2a3a5＋a5＝25，∴(a3＋a5)＝25，又an>0，∴a3＋a5＝5，又a3与a5的等比中2，∴a3a5＝4，而q∈(0,1)，∴a3>a5，∴a3＝4，a5＝1，1∴q＝，a1＝16，an＝16×1n－1＝25－n.2(2)∵b n＝log2an＝5－n，∴b n＋1－bn＝－1，b1＝log2a1＝log216＝log224＝4，∴{b n}是以b1＝4首，－1公差的等差数列，∴S n＝n9－n2.n ＝n9－n，∴Sn＝9－n(3)由(2)知S2n2.当n≤8，SnSn＝0；n>0；当n ＝9，nSn当n>9，n <0.∴当n ＝8或n ＝9，S1＋S2＋S3＋⋯＋Sn ＝18最大．1 2 3 n12n<k 任意n∈N *恒成立，k 的最小19.故存在k∈N *，使得S＋S ＋⋯＋S 1 2 n－ 5．(2021·津海新区八校考天 )数列{an}，{bn}，Sn 数列{an}的前n 和，a2＝4b1，－ Sn ＝2an －2，nbn ＋1－(n ＋1)bn ＝n 2＋n(n∈N *)． － 求数列{an}的通公式； － 明：bn 等差数列；n－anbn，n 奇数，2(3)假设数列{cn}的通公式cn ＝anbn，n 偶数.4令Tn{cn}的前n 和，求T2n.Sn ＝2an －2，(1)解 当n>1， Sn －1＝2an －1－2， an ＝2an －2an －1，an＝2.an －1当n ＝1，S1＝2a1－2，得a1＝2， 上，{an}是公比2，首 2的等比数列，an ＝2n.明∵a 2＝4b1，∴b 1＝1. nb n ＋1－(n ＋1)b n ＝n 2＋n ，b n＋1－bn＝1，n＋1nbn上，n是公差1，首1的等差数列，bnn＝1＋n－1，可得bn＝n2.解令pn＝c2n－1＋c2n22n－122n＝－2n－1·2＋2n·224＝(4n－1)·22n－2＝(4n－1)·4n－1.T2n ＝3·40＋7·41＋11·42＋⋯＋4n －1·4n －1，①4T2n ＝3·41＋7·42＋11·43＋⋯＋4n －5·4n －1＋4n －1·4n②①－②，得－3T 2n ＝3·40＋n－1－(4n －1) n，4·41＋4·42＋⋯＋4·4 ·4 ∴－3T2n ＝3＋16－16·4n－1－(4n －1)·4n1－4T2n ＝7＋12n －7·4n .996．数列{an}，{bn}，其中，a1＝1，数列{an}足(n ＋1)an ＝(n －1)an －1(n≥2，n∈N *)，2数列{bn}足b1＝2，bn ＋1＝2bn. 求数列{an}，{bn}的通公式；(2)是否存在自然数m ，使得于任意 n∈N *，n≥2，有1＋1＋1＋⋯＋1 <m －8恒成立？假设b1b2b n4存在，求出m 的最小；1，n 奇数，求数列{cn}的前n 和Tn.(3)假设数列{cn}足cn ＝nanbn ，n 偶数，解(1)由(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1， 即an ＝n －1(n≥2)．an －1n ＋1又a1＝1，2a n an－1a a3a所以a n＝·n－22··⋯···a1a n －1an－2aa2a1n－3n－1n－2n－3211＝·n ··⋯···n＋1n－1432 1＝nn＋1.当n＝1，上式成立，故1 an＝nn＋1.因b1＝2，bn＋1＝2bn，所以{bn}是首2，公比2的等比数列，故b n＝2n.由(1)知，bn＝2n，1＋1＋1＋⋯＋1＝1＋1＋12＋⋯＋1n＝2－1n.b1b2bn2222假存在自然数 m ，使得于任意 n∈N *，n≥2，有1＋1＋1＋⋯＋1<m －8恒成立，即2b1bb42n1 m －8m －8－2n< 4恒成立，由 4≥2，解得m≥16.所以存在自然数 m ，使得于任意 n∈N *，n≥2，有1＋ 1＋1＋⋯＋ 1m －8恒成立，此，b1 b2bn < 4m 的最小 16. 当n 奇数，n 1＋ 1＋⋯＋ 1＋(b2 4＋⋯＋b n －1T ＝a13a3 nan＋b )[2＋4＋⋯＋(n ＋1)]＋(22＋24＋⋯＋2n －1)n 1＝2＋n ＋1n ＋1 4(1 42)· ＋1 42 2n2＋4n ＋3＋4(2n －1－1)；43当n 偶数，Tn ＝1＋1＋⋯＋1＋(b2＋b4＋⋯＋bn)a13a3n －1an －1(2＋4＋⋯＋n)＋(22＋24＋⋯＋2n )＝2＋nn ＋4(1 n42)2·14 2n2＋2n＋4(2n－1)．43n2＋4n＋3＋42n－1－1，n奇数，43所以T n＝4n2＋2n2n－1，n偶数.＋34。
【2020】人教版最新高中数学数列专题复习(综合训练篇含答案)Word版
编 辑：__________________
时 间：__________________
———综合训练篇
一、选择题：
1． 在等差数列中，，则的值为 （ D ）
A．18B．20C．22D．24
2．等差数列满足：，若等比数列满足则为（ B ） A．16B．32C．64D．27
（Ⅰ）求证：数列为等差数列；
（Ⅱ）若，求数列的前n项和Sn.
17．解：（Ⅰ），
，…………………………………………2分
，即
………………………………………………4分
∴数列为首项，公差为2的等差数列 …………………………6分
（Ⅱ）由（1）得：，即
……………………………………………………8分
b1 = 1，当，
（I）哪一年两产品获利之和最小？
（II）至少经过几年即可达到或超过预期计划？
16．
故第20xx年两产品获利最小.……………………………………………………（6分）
（II）
…………………………………………（1分）
17.（选做题）已知函数的反函数为，数列{an}满足：a1 = 1， ，数列是首项为1，公比为的等比数列.
三、解答题：
15．已知是等比数列，Sn是其前n项的和，a1，a7，a4成等差数列，求证：2S3，S6，S12－S6，成等比数列.
15.[解法1]由已知………………（2分）
当
…………（4分）
………………（8分）
当……（10分）
所以，成等比数列.………………………………………………（12分）
[解法2]由已知，……………（2分）
A. B. C. D.
高考数学压轴专题人教版备战高考《数列》专项训练解析附答案
新数学《数列》复习资料一、选择题1．如果等差数列128,,,a a a L 的各项都大于零，公差0d ≠，则正确的关系为（ ） A ．1845a a a a > B ．1845a a a a < C ．1845a a a a +>+ D ．1845a a a a =【答案】B 【解析】 【分析】先根据等差中项的性质，可排除C ，再利用作差比较，即可得到答案. 【详解】根据等差数列的性质，可得1845a a a a +=+，所以C 不正确；又由218451111(7)(3)(4)120a a a a a a d a d a d d -=+-++=-<，所以1845a a a a <.故选B . 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的通项公式，以及作差比较法的应用，着重考查了推理与运算能力.2．已知数列{}n a 为等比数列，前n 项和为n S ，且12a =，1n n b a =+，若数列{}n b 也是等比数列，则n S =（ ） A ．2n B ．31n - C ．2n D ．31n -【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，写出,n n a b .由数列{}n b 是等比数列，得2213b b b =，求出q ，即求n S . 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，112,2n n a a q -=∴=Q ，121n n b q -∴=+，13b ∴=，221b q =+，2321b q =+，{}n b Q 也是等比数列， 2213b b b ∴=，即()()2221321q q +=+解得1q =，2,2n n a S n ∴=∴=. 故选：C . 【点睛】本题考查等比数列的性质，属于基础题.3．已知公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >，则“1q >”是“53a a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可得530,0a a >>，若53a a >，可得21q >，然后再根据充分条件和必要条件的判断方法即可得到结果． 【详解】由于公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >， 所以530,0a a >>，若53a a >，则233a q a >，所以21q >，即1q >或1q <-，所以公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >， 则“1q >”是“53a a >”的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了等比数列的相关性质和充分必要条件的判断方法，熟练掌握等比数列的性质是解题的关键.4．函数()f x 对任意正整数,a b 满足条件()()()f a b f a f b +=⋅，且()12f =，(2)(4)(6)(2018)(1)(3)(5)(2017)f f f f f f f f ++++L 的值是（ ）A ．1008B ．1009C ．2016D ．2018【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合()()()f a b f a f b +=⋅求解()()()()()()()()24620181352017f f f f f f f f ++++L 的值即可.【详解】在等式()()()f a b f a f b +=⋅中，令1b =可得：()()()()112f a f a f f a +==， 则()()12f a f a +=，据此可知： ()()()()()()()()24620181352017f f f f f f f f ++++L 2222210092018=++++=⨯=L .本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查抽象函数的性质，函数的求值方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．在数列{}n a 中，若10a =，12n n a a n +-=，则23111na a a +++L 的值 A ．1n n- B ．1n n+ C ．11n n -+ D ．1n n + 【答案】A 【解析】分析：由叠加法求得数列的通项公式(1)n a n n =-，进而即可求解23111na a a +++L 的和. 详解：由题意，数列{}n a 中，110,2n n a a a n +=-=，则112211()()()2[12(1)](1)n n n n n a a a a a a a a n n n ---=-+-++-+=+++-=-L L ，所以1111(1)1n a n n n n==--- 所以231111111111(1)()()12231n n a a a n n n n-+++=-+-++-=-=-L L ，故选A. 点睛：本题主要考查了数列的综合问题，其中解答中涉及到利用叠加法求解数列的通项公式和利用裂项法求解数列的和，正确选择方法和准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.6．数列{a n }，满足对任意的n ∈N +，均有a n +a n +1+a n +2为定值.若a 7=2，a 9=3，a 98=4，则数列{a n }的前100项的和S 100=( ) A ．132 B ．299C ．68D ．99【答案】B 【解析】 【分析】由12n n n a a a ++++为定值，可得3n n a a +=，则{}n a 是以3为周期的数列，求出123,,a a a ，即求100S . 【详解】对任意的n ∈+N ，均有12n n n a a a ++++为定值，()()123120n n n n n n a a a a a a +++++∴++-++=，故3n n a a +=，{}n a ∴是以3为周期的数列，故17298392,4,3a a a a a a ======，()()()100123979899100123133S a a a a a a a a a a a ∴=+++++++=+++L ()332432299=+++=.故选：B . 【点睛】本题考查周期数列求和，属于中档题.7．等差数列的首项为125，且从第10项开始为比1大的项，则公差d 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞ B ．8,75⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．83,7525⎛⎫⎪⎝⎭ D ．83,7525⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知101a >，91a ≤，把1a 的值代入列不等式解得即可. 【详解】由题意，设数列{}n a 的公差为d ，首项1125a =，则10911a a >⎧⎨≤⎩，即101919181a a d a a d =+>⎧⎨=+≤⎩，解得837525d <≤. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，要熟练记忆等差数列的通项公式．8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2611203a a a a --+=，则21S 的值为（ ） A ．63 B ．21C ．63-D ．21【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列性质，原式可变为()220616113()a a a a a +-+-=，即可求得21112163S a ==-.【详解】∵261116203a a a a a ---+=， ∴()220616113()a a a a a +-+-=，∴113a =-，∴21112163S a ==-， 故选：C ． 【点睛】此题考查等差数列性质和求和公式，需要熟练掌握等差数列基本性质，根据性质求和.9．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“n 次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是（ ）.（取lg30.4771≈，lg 20.3010≈）A ．16B ．17C ．24D ．25【答案】D 【解析】 【分析】由折线长度变化规律可知“n 次构造”后的折线长度为43na ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由此得到410003n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，利用运算法则可知32lg 2lg 3n ≥⨯-，由此计算得到结果.【详解】记初始线段长度为a ，则“一次构造”后的折线长度为43a ，“二次构造”后的折线长度为243a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，以此类推，“n 次构造”后的折线长度为43na ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 若得到的折线长度为初始线段长度的1000倍，则410003n a a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即410003n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，()()44lg lg lg 4lg32lg 2lg3lg1000333nn n n ⎛⎫∴==-=-≥= ⎪⎝⎭，即324.0220.30100.4771n ≥≈⨯-，∴至少需要25次构造.故选：D . 【点睛】本题考查数列新定义运算的问题，涉及到对数运算法则的应用，关键是能够通过构造原则得到每次构造后所得折线长度成等比数列的特点.10．已知首项为1的正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，4a -、3a 、5a 成等差数列，则2020S 与2020a 的关系是（ ）A ．2020202021S a =+B ．2020202021S a =-C ．2020202041S a =+D ．2020202043S a =-【答案】B 【解析】 【分析】求出等比数列{}n a 的公比q ，然后求出2020S 和2020a ，由此可得出结论. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，4a -Q 、3a 、5a 成等差数列，3542a a a ∴=-，所以，220q q --=，0q >Q ，解得2q =，20192019202012a a q∴==，()20201202020201211a q S q-==--，因此，2020202021S a =-. 故选：B. 【点睛】本题考查等比数列求和公式以及通项公式的应用，涉及等差中项的应用，考查计算能力，属于中等题.11．已知数列{}n a 的前n 项和()2*23n S n n n N=+∈，则{}na 的通项公式为（ ）A ．21n a n =+B ．21n a n =-C ．41n a n =+D ．41n a n =-【答案】C 【解析】 【分析】首先根据223n S n n =+求出首项1a 的值，然后利用1n n n a S S -=-求出2n ≥时n a 的表达式，然后验证1a 的值是否适合，最后写出n a 的式子即可. 【详解】因为223n S n n =+，所以，当2n ≥时，22123[2(1)3(1)]41n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+，当1n =时，11235==+=a S ，上式也成立， 所以41n a n =+， 故选C.【点睛】该题考查的是有关数列的通项公式的求解问题涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，算出之后再判断1n =时对应的式子是否成立，最后求得结果.12．已知数列{}n a 满足：()()2*112,10n n n a a S S n +=+-=∈N ，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和.设()()()12111()1n S S S f n n +++=+L ，若对任意的n 均有(1)()f n kf n +<成立，则k 的最小整数值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】A 【解析】 【分析】当1n ≥时，有条件可得()211n n n nS S S S +--=-，从而111n n nS S S +--=，故111111n n S S +-=--，得出 11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项、公差均为1的等差数列，从而求出n S 【详解】当1n ≥时，有条件可得()211n n n nS S S S +--=-，从而111n n nS S S +--=，故111111111n n n n n S S S S S +-=-=----，又1111121S ==--，11n S ⎧⎫∴⎨⎬-⎩⎭是首项、公差均为1的等差数列，11n n S ∴=-，1n n S n +=，由()()()12111()1n S S S f n n +++=+L ， 得()1(1)1(1)23152,2()2223n n S f n n f n n n n +++++⎡⎫===-∈⎪⎢+++⎣⎭， 依题意知(1)()f n k f n +>， min 2k ∴=.故选：A 【点睛】本题考查数列的综合应用.属于中等题.13．已知数列{}n a 的前n 项和为212343n S n n =++（*N n ∈），则下列结论正确的是( )A ．数列{}n a 是等差数列B ．数列{}n a 是递增数列C ．1a ，5a ，9a 成等差数列D ．63S S -，96S S -，129S S -成等差数列【答案】D 【解析】 【分析】由2*123()43n S n n n N =++∈，2n …时，1n n n a S S -=-．1n =时，11a S =．进而判断出正误． 【详解】解：由2*123()43n S n n n N =++∈，2n ∴…时，2211212153[(1)(1)3]4343212n n n a S S n n n n n -=-=++--+-+=+．1n =时，114712a S ==，1n =时，15212n a n =+，不成立．∴数列{}n a 不是等差数列．21a a <，因此数列{}n a 不是单调递增数列．5191547154322(5)(9)021*******a a a --=⨯⨯+--⨯+=-≠，因此1a ，5a ，9a 不成等差数列．631535(456)32124S S -=⨯+++⨯=．961553(789)32124S S -=⨯+++⨯=．1291571(101112)32124S S -=⨯+++⨯=．Q53235710444⨯--=， 63S S ∴-，96S S -，129S S -成等差数列．故选：D ． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．在等比数列{}n a 中，已知259,243a a ==，那么{}n a 的前4项和为（ ）. A ．81 B ．120C ．121D ．192【答案】B 【解析】 【分析】根据352a q a =求出公比，利用等比数列的前n 项和公式即可求出. 【详解】Q35227a q a ==, ∴ 3q =∴ 4414(1)3(13)120113a q S q --===--.故选：B【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，等比数列的前n 项和，属于中档题.15．在各项都为正数的等比数列{}n a 中，若12a =，且1564a a ⋅=，则数列1(1)(1)nn n a a a +⎧⎫⎨⎬--⎩⎭的前n 项和是（ ） A ．11121n +--B ．1121n -+ C ．1121n -+ D ．1121n -- 【答案】A 【解析】由等比数列的性质可得：2153364,8a a a a ==∴=，则数列的公比：2q ===， 数列的通项公式：112n nn a a q -==，故：()()()()1112111121212121n n n n n n n n a a a +++==-------，则数列()()111n n n a a a +⎧⎫⎪⎪⎨⎬--⎪⎪⎩⎭的前n 项和是：1223111111111121212121212121n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭L . 本题选择A 选项.点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．16．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，…这些数叫做三角形数.设第n 个三角形数为n a ，则下面结论错误的是（ ）A ．1(1)n n a a n n --=>B ．20210a =C ．1024是三角形数D ．123111121n n a a a a n +++⋯+=+ 【答案】C 【解析】 【分析】对每一个选项逐一分析得解. 【详解】∵212a a -=，323a a -=，434a a -=，…，由此可归纳得1(1)n n a a n n --=>，故A 正确；将前面的所有项累加可得1(1)(2)(1)22n n n n n a a -++=+=，∴20210a =，故B 正确； 令(1)10242n n +=，此方程没有正整数解，故C 错误； 1211111111212231n a a a n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L 122111n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，故D 正确. 故选C 【点睛】本题主要考查累加法求通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.17．正项等比数列{}n a 中的1a 、4039a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，则2020a =（ ）A ．1-B ．1CD ．2【答案】B 【解析】 【分析】根据可导函数在极值点处的导数值为0，得出140396a a =，再由等比数列的性质可得. 【详解】解：依题意1a 、4039a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，也就是()2860f x x x '=-+=的两个根∴140396a a =又{}n a是正项等比数列，所以2020a =∴20201a ==.故选：B【点睛】本题主要考查了等比数列下标和性质以应用，属于中档题.18．已知{}n a 是各项都为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若47S =，821S =，则16S =（ ）A ．48B ．90C ．105D ．106【答案】C【解析】【分析】根据4841281612,,,S S S S S S S ---成等比数列即可求出16S .【详解】由等比数列的性质得4841281612,,,S S S S S S S ---成等比数列，所以1216127,14,21,S S S --成等比数列，所以121216162128,49,4956,105S S S S -=∴=∴-=∴=.故选：C【点睛】本题主要考查等比数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（ ）A ．23岁B ．32岁C ．35岁D ．38岁 【答案】C【解析】【分析】根据题意，得到数列{}n a 是等差数列，由9207S =，求得数列的首项1a ，即可得到答案．【详解】设这位公公的第n 个儿子的年龄为n a ，由题可知{}n a 是等差数列，设公差为d ，则3d =-，又由9207S =，即91989(3)2072S a ⨯=+⨯-=，解得135a =，即这位公公的长儿的年龄为35岁．故选C ．【点睛】本题主要考查了等差数列前n 项和公式的应用，其中解答中认真审题，熟练应用等差数列的前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．20．设数列{}n a 的前n 项和为n S 已知()*123n n a a n n N ++=+∈且1300n S =，若23a <，则n 的最大值为（ ）A ．49B ．50C ．51D ．52【答案】A【解析】【分析】对n 分奇偶性分别讨论，当n 为偶数时，可得2+32n n n S =，发现不存在这样的偶数能满足此式，当n 为奇数时，可得21+342n n n S a -=+，再结合23a <可讨论出n 的最大值. 【详解】当n 为偶数时，12341()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++(213)(233)[2(1)3]n =⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+2[13(1)]32n n =⨯++⋅⋅⋅+-+⨯2+32n n =， 因为22485048+348503501224,132522S S ⨯+⨯====， 所以n 不可能为偶数；当n 为奇数时，123451()()()n n n S a a a a a a a -=+++++⋅⋅⋅++1(223)(243)[2(1)3]a n =+⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+21342n n a +-=+ 因为2491149349412722S a a +⨯-=+=+， 2511151351413752S a a +⨯-=+=+， 又因为23a <，125a a +=，所以 12a >所以当1300n S =时，n 的最大值为49故选：A【点睛】此题考查的是数列求和问题，利用了并项求和的方法，考查了分类讨论思想，属于较难题.。
(完整版)高中数学数列专题复习
高中数学数列专题目录高中数学数列专题 (2)第1讲数列的概念及其表示 (2)第2讲等差数列及前n项和 (17)第3讲等比数列及前n项和 (32)第4讲数列求和、数列的综合应用 (47)第四年末的住房面积为 (67)第五年末的住房面积为 (67)高中数学数列专题第1讲数列的概念及其表示考点一数列的概念及其表示方法知识点1数列的定义(1)按照一定顺序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第一项，也叫首项．(2)数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看成：以正整数集N*或N*的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数a n＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．2数列的表示方法列表法列表格表达n与a n的对应关系图象法把点(n，a n)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项用公式表达的方法递推公式使用初始值a1和a n＋1＝f(a n)或a1，a2和a n＋1＝f(a n，a n－1)等表达数列的方法3数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列a n＋1>a n其中n∈N*递减数列a n＋1<a n常数列a n＋1＝a n摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项注意点数列图象是一些孤立的点数列作为一种特殊的函数，由于它的定义域为正整数集N*或它的有限子集，所以它的图象是一系列孤立的点.入门测1．思维辨析(1)数列{a n}和集合{a1，a2，a3，…，a n}表达的意义相同．()(2)所有数列的第n项都能使用公式表达．()(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．()(4)数列：1,0,1,0,1,0，…，通项公式只能是a n＝1＋(－1)n＋12.()答案(1)×(2)×(3)√(4)×2．数列13，18，115，124，…的一个通项公式为()A．a n＝12n＋1B．a n＝1n＋2C．a n＝1n(n＋2)D．a n＝12n－1答案 C解析观察知a n＝1(n＋1)2－1＝1n(n＋2).3．若数列{a n}中，a1＝3，a n＋a n－1＝4(n≥2)，则a2015的值为()A．1 B．2C．3 D．4答案 C解析因为a1＝3，a n＋a n－1＝4(n≥2)，所以a1＝3，a2＝1，a3＝3，a4＝1，…，显然当n是奇数时，a n＝3，所以a2015＝3.解题法[考法综述]利用归纳法求数列的通项公式，或给出递推关系式求数列中的项，并研究数列的简单性质．命题法数列的概念和表示方法及单调性的判断典例(1)已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2－2λn(n∈N*)，则“λ<1”是“数列{a n}为递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)写出下面各数列的一个通项公式：①3,5,7,9，…；②1,3,6,10,15，…；③－1，32，－13，34，－15，36，…；④3,33,333,3333，….[解析](1)若数列{a n}为递增数列，则有a n＋1－a n>0，即2n＋1>2λ对任意的n∈N*都成立，于是有3>2λ，λ<32.由λ<1可得λ<32，但反过来，由λ<32不能得到λ<1，因此“λ<1”是“数列{a n }为递增数列”的充分不必要条件，故选A.(2)①各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1. ②将数列改写为1×22，2×32，3×42，4×52，5×62，…因而有a n ＝n (n ＋1)2，也可逐差法a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，…，a n －a n －1＝n ，各式累加得a n ＝n (n ＋1)2.③奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n ；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1， 所以a n ＝(－1)n·2＋(－1)nn.④将数列各项改写为93，993，9993，99993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以a n ＝13(10n －1)．[答案] (1)A (2)见解析【解题法】 归纳法求通项公式及数列单调性的判断(1)求数列的通项公式实际上是寻找数列的第n 项与序号n 之间的关系，常用技巧有：①借助于(－1)n 或(－1)n ＋1来解决项的符号问题．②项为分数的数列，可进行恰当的变形，寻找分子、分母各自的规律以及分子、分母间的关系．③对较复杂的数列的通项公式的探求，可采用添项、还原、分割等方法，转化为熟知的数列，如等差数列、等比数列等来解决．④根据图形特征写出数列的通项公式，首先，要观察图形，寻找相邻的两个图形之间的变化；其次，要把这些变化同图形的序号联系起来，发现其中的规律；最后，归纳猜想出通项公式．(2)数列单调性的判断方法①作差比较法：a n ＋1－a n >0⇔数列{a n }是单调递增数列；a n ＋1－a n <0⇔数列{a n }是单调递减数列；a n ＋1－a n ＝0⇔数列{a n }是常数列．②作商比较法：当a n >0时，则a n ＋1a n >1⇔数列{a n }是单调递增数列；a n ＋1a n<1⇔数列{a n }是单调递减数列；a n ＋1a n＝1⇔数列{a n }是常数列． 当a n <0时，则a n ＋1a n >1⇔数列{a n }是单调递减数列；a n ＋1a n <1⇔数列{a n }是单调递增数列；a n ＋1a n＝1⇔数列{a n }是常数列．③结合相应函数的图象直观判断数列的单调性．对点练1．设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d <0 B ．d >0 C ．a 1d <0 D ．a 1d >0答案 C解析 ∵数列{2a 1a n }为递减数列，∴2 a 1a n >2 a 1a n ＋1，n ∈N *，∴a 1a n >a 1a n ＋1，∴a 1(a n ＋1－a n )<0.∵{a n }为公差为d 的等差数列，∴a 1d <0.故选C.2．下列可以作为数列{a n }：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( ) A ．a n ＝1B ．a n ＝(－1)n ＋12C ．a n ＝2－⎪⎪⎪⎪sin n π2D ．a n ＝(－1)n －1＋32答案 C解析 A 项显然不成立；n ＝1时，a 1＝－1＋12＝0，故B 项不正确；n ＝2时，a 2＝(－1)2－1＋32＝1，故D 项不正确．由a n ＝2－⎪⎪⎪⎪sin n π2可得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝2，…，故选C. 3.下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 2－n ＋1B ．a n ＝n (n －1)2C ．a n ＝n (n ＋1)2D ．a n ＝n (n ＋2)2答案 C解析 解法一：令n ＝1,2,3,4，验证选项知选C.解法二：a 1＝1，a 2＝a 1＋2，a 3＝a 2＋3，a 4＝a 3＋4，…，a n ＝a n －1＋n . ∴(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＝n ＋(n －1)＋…＋3＋2. 因此a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.考点二 数列的通项公式知识点1 a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).2 已知递推关系式求通项一般用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式．注意点 已知S n 求a n 时应注意的问题(1)应重视分类讨论思想的应用，分n ＝1和n ≥2两种情况讨论，特别注意a n ＝S n －S n －1中需n ≥2.(2)由S n －S n －1＝a n 推得a n ，当n ＝1时，a 1也适合“a n 式”，则需统一“合写”． (3)由S n －S n －1＝a n 推得a n ，当n ＝1时，a 1不适合“a n 式”，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).入门测1．思维辨析(1)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( ) (2)在数列{a n }中，对于任意正整数m ，n ，a m ＋n ＝a mn ＋1，若a 1＝1，则a 2＝2.( ) (3)若已知数列{a n }的递推公式为a n ＋1＝12a n －1，且a 2＝1，则可以写出数列{a n }的任何一项．( )答案 (1)√ (2)√ (3)√ 2．数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1a n －1＋1，则a 4等于( )A.53B.43 C ．1 D.23答案 A解析 由a 1＝1，a n ＝1a n －1＋1得，a 2＝1a 1＋1＝2，a 3＝1a 2＋1＝12＋1＝32，a 4＝1a 3＋1＝23＋1＝53.故选A.3．在正项数列{a n }中，若a 1＝1，且对所有n ∈N *满足na n ＋1－(n ＋1)a n ＝0，则a 2015＝( ) A ．1011 B ．1012 C ．2014 D ．2015答案 D解析 由a 1＝1，na n ＋1－(n ＋1)a n ＝0可得a n ＋1a n ＝n ＋1n ，得到a 2a 1＝21，a 3a 2＝32，a 4a 3＝43，…，a n ＋1a n＝n ＋1n ，上述式子两边分别相乘得a 2a 1×a 3a 2×a 4a 3×…×a n ＋1a n ＝a n ＋1＝21×32×43×…×n ＋1n ＝n ＋1，故a n ＝n ，所以a 2015＝2015，故选D.解题法[考法综述] 高考以考查a n 与S n 的关系为主要目标以求通项公式a n 为问题形式，特别是给出递推公式如何构造数列求通项公式作为一个重难点和命题热点．命题法 由S n 求a n 或由递推关系式求a n典例 (1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋3n ，则此数列的通项公式为a n ＝________. (2)已知数列{a n }的前n 项和为S n 满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝12，求S n .[解析] (1)当n ＝1时， a 1＝S 1＝2×12＋3×1＝5；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n )－[2(n －1)2＋3(n －1)]＝4n ＋1.当n ＝1时，4×1＋1＝5＝a 1，∴a n ＝4n ＋1.(2)∵当n ≥2，n ∈N *时，a n ＝S n －S n －1， ∴S n －S n －1＋2S n S n －1＝0，即1S n －1S n －1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是公差为2的等差数列，又S 1＝a 1＝12，∴1S 1＝2，∴1S n ＝2＋(n －1)·2＝2n ， ∴S n ＝12n.[答案] (1)4n ＋1 (2)见解析 【解题法】 求通项公式的方法 (1)由S n 求a n 的步骤 ①先利用a 1＝S 1求出a 1.②用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n的表达式．③对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．(2)由递推公式求通项公式的常见类型与方法①形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，常用累加法．即利用恒等式a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n－1)求通项公式．②形如a n ＋1＝a n f (n )，常用累乘法，即利用恒等式a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1求通项公式．③形如a n ＋1＝ba n ＋d (其中b ，d 为常数，b ≠0,1)的数列，常用构造法．其基本思路是：构造a n ＋1＋x ＝b (a n ＋x )⎝⎛⎭⎫其中x ＝db －1，则{a n ＋x }是公比为b 的等比数列，利用它即可求出a n .④形如a n ＋1＝pa n qa n ＋r (p ，q ，r 是常数)的数列，将其变形为1a n ＋1＝r p ·1a n ＋qp .若p ＝r ，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且公差为q p ，可用公式求通项；若p ≠r ，则采用③的办法来求．⑤形如a n ＋2＝pa n ＋1＋qa n (p ，q 是常数，且p ＋q ＝1)的数列，构造等比数列．将其变形为a n ＋2－a n ＋1＝(－q )·(a n ＋1－a n )，则{a n －a n －1}(n ≥2，n ∈N *)是等比数列，且公比为－q ，可以求得a n－a n －1＝f (n )，然后用累加法求得通项．⑥形如a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝f (n )的式子， 由a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝f (n )，①得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝f (n －1)，② 再由①－②可得a n .对点练1．设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．答案2011解析 由a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)得，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2， 则1a n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和S 10＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋110－111＝2⎝⎛⎭⎫1－111＝2011. 2．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________． 答案 a n ＝2·3n －1－1解析 ∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)． ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴数列{a n ＋1}是等比数列，公比q ＝3. 又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1， ∴a n ＝2·3n －1－1.3.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －3，则数列{a n }的通项公式为________．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2.4.S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．解 (1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3. 可得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即 2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．由于a n >0，可得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知 b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3. 设数列{b n }的前n 项和为T n ，则 T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3 ＝n3(2n ＋3).5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn ，k ∈N *，且S n 的最大值为8.试确定常数k ，并求数列{a n }的通项公式．解 因为S n ＝－12n 2＋kn ＝－12(n －k )2＋12k 2，其中k 是常数，且k ∈N *，所以当n ＝k 时，S n取最大值12k 2，故12k 2＝8，k 2＝16，因此k ＝4，从而S n ＝－12n 2＋4n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝－12＋4＝72；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫－12n 2＋4n －⎣⎡⎦⎤－12(n －1)2＋4(n －1)＝92－n . 当n ＝1时，92－1＝72＝a 1，所以a n ＝92－n .微型专题 数列中的创新题型创新考向以数列为背景的新定义问题是高考命题创新型试题的一个热点，考查频次较高．命题形式：常见的有新定义、新规则等．创新例题把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)．则第7个三角形数是()A．27 B．28C．29 D．30答案 B解析由图可知，第7个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.创新练习1．将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2014项与5的差，即a2014－5＝()A．2018×2012 B．2020×2013C．1009×2012 D．1010×2013答案 D解析观察图中的“梯形数”可得：a2－a1＝4，a3－a2＝5，a4－a3＝6…a2014－a2013＝2016，累加得：a2014－a1＝4＋5＋6＋…＋2016＝2013×20202＝2013×1010，即a2014－5＝2013×1010.2．在一个数列中，如果∀n∈N*，都有a n a n＋1a n＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{a n}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.答案28解析依题意得数列{a n}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.3．对于E＝{a1，a2，...，a100}的子集X＝{a i1，a i2，...，a ik}，定义X的“特征数列”为x1，x2，...，x100，其中x i1＝x i2＝...＝x ik＝1，其余项均为0，例如：子集{a2，a3}的“特征数列”为0,1,1,0,0， 0(1)子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于________．(2)若E的子集P的“特征数列”为p1，p2，…，p100满足p1＝1，p i＋p i＋1＝1,1≤i≤99.E的子集Q的“特征数列”为q1，q2，…，q100满足q1＝1，q j＋q j＋1＋q j＋2＝1,1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为________．答案(1)2(2)17解析(1)据“特征数列”定义知子集{a1，a3，a5}的特征数列为1,0,1,0,1,0，…，0，故其前三项和为2.(2)由定义知p1＝1，p2＝0，p3＝1，p4＝0…故集合P＝{a1，a3，a5，…，a99}＝{a i|i＝2k＋1，k∈N且k≤49}，又q1＝1，q2＝q3＝0，q4＝1，q5＝q6＝0，q7＝1，…，∴集合Q＝{a1，a4，a7，a10…}＝{a i|i＝3k＋1，k∈N且k≤33}．若a k∈P∩Q，则k＝2k1＋1＝3k2＋1，k1，k2∈N，k1≤49，k2≤33.即2k1＝3k2，不妨设6k3＝2k1＝3k2，所以k1＝3k3，k2＝2k3,0≤3k3≤49,0≤2k3≤33，k3∈N，得k3∈{0,1,2,3，…，16}，k ＝6k3＋1，共有17个，P∩Q中元素个数为17.创新指导1．准确转化：解决数列新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，将题目所给定义转化成题目要求的形式，切忌同已有概念或定义相混淆．2．方法选取：对于数列新定义问题，搞清定义是关键，仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意，从而找到恰当的解决方法．已知数列{a n}中，a n＝n2－kn(n∈N*)，且{a n}单调递增，则k的取值范围是________．[错解][错因分析]在解答的过程中虽然注意了数列的定义域为正整数集，但是不能用二次函数对称轴法来判断数列的单调性．因为数列的图象不是连续的，而是离散的点．[正解]由题意得a n＋1－a n＝2n＋1－k，又{a n}单调递增，故2n＋1－k>0恒成立，即k<2n ＋1(n∈N*)恒成立，解得k<3.[答案]k<3[心得体会]课时练基础组1.数列{a n}的通项a n＝nn2＋90，则数列{a n}中的最大值是()A．310 B．19C.119 D.1060答案 C解析因为a n＝1n＋90n，运用基本不等式得，1n＋90n≤1290，由于n∈N*，不难发现当n＝9或10时，a n＝119最大，故选C.2．数列{a n}的前n项积为n2，那么当n≥2时，{a n}的通项公式为() A．a n＝2n－1 B．a n＝n2C．a n＝(n＋1)2n2D．a n＝n2(n－1)2答案 D解析设数列{a n}的前n项积为T n，则T n＝n2，当n≥2时，a n＝T nT n－1＝n2 (n－1)2.3．已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n＋S m＝S n＋m，且a1＝1，那么a10等于() A．1 B．9C．10 D．55答案 A解析∵S n＋S m＝S n＋m，a1＝1，∴S1＝1.可令m＝1，得S n＋1＝S n＋1，∴S n＋1－S n＝1.即当n≥1时，a n＋1＝1，∴a10＝1.4．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n－1(n∈N*)，则a5等于()A．－16 B．16C．31 D．32答案 B解析当n＝1时，S1＝2a1－1，∴a1＝1.当n≥2时，S n－1＝2a n－1－1，∴a n＝2a n－2a n－1，∴a n＝2a n－1.∴{a n}是等比数列且a1＝1，q＝2，故a5＝a1×q4＝24＝16.5．已知数列{a n}满足a0＝1，a n＝a0＋a1＋…＋a n－1(n≥1)，则当n≥1时，a n等于()A ．2n B.12n (n ＋1) C ．2n －1 D ．2n －1答案 C解析 由题设可知a 1＝a 0＝1，a 2＝a 0＋a 1＝2. 代入四个选项检验可知a n ＝2n －1.故选C.6. 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫78n，则当a n 取得最大值时，n 等于( ) A ．5 B ．6 C ．5或6 D ．7答案 C解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n≥a n ＋1，∴⎩⎨⎧(n ＋2)⎝⎛⎭⎫78n≥(n ＋1)⎝⎛⎭⎫78n －1，(n ＋2)⎝⎛⎭⎫78n≥(n ＋3)⎝⎛⎭⎫78n ＋1.∴⎩⎪⎨⎪⎧n ≤6，n ≥5.∴n ＝5或6. 7．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2n ＋1，则数列的通项a n ＝________. 答案 n 2解析 ∵a n ＋1－a n ＝2n ＋1.∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝(2n －1)＋(2n －3)＋…＋5＋3＋1＝n 2(n ≥2)．当n ＝1时，也适用a n ＝n 2.8．已知数列{a n }的首项a 1＝2，其前n 项和为S n .若S n ＋1＝2S n ＋1，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，3·2n －2，n ≥2解析 由S n ＋1＝2S n ＋1，则有S n ＝2S n －1＋1(n ≥2)，两式相减得a n ＋1＝2a n ，又S 2＝a 1＋a 2＝2a 1＋1，a 2＝3，所以数列{a n }从第二项开始成等比数列，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，3·2n －2，n ≥2.9．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，设S n 为数列{a n }的前n 项和，对于任意的n >1，n ∈N *，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)都成立，则S 10＝________.答案 91解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＋S n －1＝2S n ＋2，S n ＋2＋S n ＝2S n ＋1＋2，两式相减得a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1(n ≥2)，∴数列{a n }从第二项开始为等差数列，当n ＝2时，S 3＋S 1＝2S 2＋2，∴a 3＝a 2＋2＝4，∴S 10＝1＋2＋4＋6＋…＋18＝1＋9(2＋18)2＝91. 10. 如图所示的图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是________．答案n (n ＋1)2解析 由已知，有a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10， ∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，…，a n －a n －1＝n ， 各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ， 即a n ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2，故第n 个图形中小正方形的个数是n (n ＋1)2. 11．已知数列{a n }满足：a 1＝1,2n －1a n ＝a n －1(n ∈N *，n ≥2)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)这个数列从第几项开始及以后各项均小于11000？ 解 (1)n ≥2时，a n a n －1＝⎝⎛⎭⎫12n －1， 故a n ＝a n a n －1·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝⎝⎛⎭⎫12n －1·⎝⎛⎭⎫12n －2·…·⎝⎛⎭⎫122·⎝⎛⎭⎫121 ＝⎝⎛⎭⎫121＋2＋…＋(n －1)＝⎝⎛⎭⎫12(n －1)n 2，当n ＝1时，a 1＝⎝⎛⎭⎫120＝1，即n ＝1时也成立． ∴a n ＝⎝⎛⎭⎫12(n －1)n 2.(2)∵y ＝(n －1)n 在[1，＋∞)上单调递增， ∴y ＝⎝⎛⎭⎫12(n －1)n 2在[1，＋∞)上单调递减． 当n ≥5时，(n －1)n 2≥10，a n ＝⎝⎛⎭⎫12(n －1)n 2 ≤11024. ∴从第5项开始及以后各项均小于11000.12．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，0<a n ≤12，2a n－1，12<a n<1，且a 1＝67，求a 2015.解 ∵a 1＝67∈⎝⎛⎭⎫12，1，∴a 2＝2a 1－1＝57. ∵a 2∈⎝⎛⎭⎫12，1，∴a 3＝2a 2－1＝37. ∵a 3∈⎝⎛⎭⎫0，12，∴a 4＝2a 3＝67＝a 1， ∴{a n }是周期数列，T ＝3，∴a 2015＝a 3×671＋2＝a 2＝57.能力组13.已知数列{a n }满足条件12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n a n ＝2n ＋5，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n ＋1 B ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧14(n ＝1)2n ＋1(n ≥2)C ．a n ＝2nD ．a n ＝2n ＋2答案 B解析 由题意可知，数列{a n }满足条件12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n a n ＝2n ＋5，则12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n －1a n －1 ＝2(n －1)＋5，n >1，两式相减可得：a n2n ＝2n ＋5－2(n －1)－5＝2，∴a n ＝2n ＋1，n >1，n ∈N *. 当n ＝1时，a 12＝7，∴a 1＝14，综上可知，数列{a n }的通项公式为：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧14(n ＝1)，2n ＋1(n ≥2).故选B.14．在如图所示的数阵中，第9行的第2个数为________．答案 66解析 每行的第二个数构成一个数列{a n }，由题意知a 2＝3，a 3＝6，a 4＝11，a 5＝18，则a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝5，a 5－a 4＝7，…，a n －a n －1＝2(n －1)－1＝2n －3，各式两边同时相加，得 a n －a 2＝(2n －3＋3)×(n －2)2＝n 2－2n ，即a n ＝n 2－2n ＋a 2＝n 2－2n ＋3(n ≥2)，故a 9＝92－2×9＋3＝66. 15．已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．解 (1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)．∴b n＝⎩⎨⎧23(n ＝1)1n (n ≥2).(2)∵c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1 ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1， ∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＝12n ＋3－12n ＋2＝－1(2n ＋3)(2n ＋2)<0， ∴{c n }是递减数列．16．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝3a na n ＋3.(1)求a n ；(2)设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ·n (3－4a n )a n ＝1，求证：12≤S n <1.解 (1)由已知得a n ≠0则由a n ＋1＝3a n a n ＋3，得1a n ＋1＝a n ＋33a n ，即1a n ＋1－1a n ＝13，而1a 1＝2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以2为首项，以13为公差的等差数列．∴1a n ＝2＋13(n －1)＝n ＋53，∴a n ＝3n ＋5. (2)证明：∵b n ·n (3－4a n )a n ＝1，由(1)知a n ＝3n ＋5，∴b n ＝a n n (3－4a n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1， 又∵n ≥1，∴n ＋1≥2，∴0<1n ＋1≤12. ∴12≤S n <1. 第2讲 等差数列及前n 项和 考点一 等差数列的概念及运算知识点1 等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示，定义的表达式为a n ＋1－a n ＝d ，d 为常数．2 等差中项如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且A ＝a ＋b2. 3 等差数列的通项公式及其变形通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，其中a 1是首项，d 是公差．通项公式的变形：a n ＝a m ＋(n －m )d ，m ，n ∈N *.4 等差数列的前n 项和 等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d . 5 等差数列的单调性当d >0时，数列{a n }为递增数列； 当d <0时，数列{a n }为递减数列； 当d ＝0时，数列{a n }为常数列．注意点 定义法证明等差数列时的注意事项(1)证明等差数列时，切忌只通过计算数列的a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3等有限的几个项的差后，发现它们都等于同一个常数，就断言数列{a n }为等差数列．(2)用定义法证明等差数列时，常采用a n ＋1－a n ＝d ，若采用a n －a n －1＝d ，则n ≥2，否则n ＝1时无意义.入门测1．思维辨析(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( ) (5)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 等于( ) A ．1 B.53 C ．2 D ．3答案 C 解析 因为S 3＝(a 1＋a 3)×32＝6，而a 3＝4.所以a 1＝0，所以d ＝a 3－a 12＝2. 3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14答案 C解析 ∵S 3＝3(a 1＋a 3)2＝3a 2＝12，∴a 2＝4.∵a 1＝2，∴d ＝a 2－a 1＝4－2＝2. ∴a 6＝a 1＋5d ＝12.故选C.[考法综述] 等差数列的定义，通项公式及前n 项和公式是高考中常考内容，用定义判断或证明等差数列，由n ，a n ，S n ，a 1，d 五个量之间的关系考查基本运算能力．命题法1 等差数列的基本运算典例1 等差数列{a n }的前n 项和记为S n .已知a 10＝30，a 20＝50. (1)求通项a n ； (2)若S n ＝242，求n .[解] (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 10＝30，a 20＝50，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50.解得a 1＝12，d ＝2.所以a n ＝2n ＋10； (2)由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，S n ＝242， 得方程12n ＋n (n －1)2×2＝242， 解得n ＝11或n ＝－22(舍去)．【解题法】 等差数列计算中的两个技巧(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．命题法2 等差数列的判定与证明典例2 数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； (2)求{a n }的通项公式．[解] (1)证明：∵a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2， ∴b n ＋1－b n ＝a n ＋2－a n ＋1－(a n ＋1－a n ) ＝2a n ＋1－a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2.∴{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列． (2)由(1)得b n ＝1＋2(n －1)，即a n ＋1－a n ＝2n －1， ∴a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝5， …，a n －a n －1＝2n －3，累加法可得 a n －a 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)＝(n －1)2， ∴a n ＝n 2－2n ＋2.【解题法】 等差数列的判定方法(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数． (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立． (3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q . (4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn .1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．6答案 B解析 设数列{a n }的公差为d ，由a 4＝a 2＋2d ，a 2＝4，a 4＝2，得2＝4＋2d ，d ＝－1，∴a 6＝a 4＋2d ＝0.故选B.2.已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n .若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( ) A ．a 1d >0，dS 4>0 B ．a 1d <0，dS 4<0 C ．a 1d >0，dS 4<0 D ．a 1d <0，dS 4>0 答案 B解析 由a 24＝a 3a 8，得(a 1＋2d )(a 1＋7d )＝(a 1＋3d )2，整理得d (5d ＋3a 1)＝0，又d ≠0，∴a 1＝－53d ，则a 1d ＝－53d 2<0，又∵S 4＝4a 1＋6d ＝－23d ，∴dS 4＝－23d 2<0，故选B.3．设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．答案 －12解析 由已知得S 1＝a 1，S 2＝a 1＋a 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1＋4×32×(－1)＝4a 1－6，而S 1，S 2，S 4成等比数列，所以(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，整理得2a 1＋1＝0，解得a 1＝－12.4.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数． (1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由． 解 (1)证明：由题设，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1. 两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1. 令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4. 故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3； {a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．考点二 等差数列的性质及应用知识点等差数列及其前n 项和的性质已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和．(1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相等，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…＝a k ＋a n －k ＋1＝….(2)等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)． 特别地，若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)．(4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d .(5)⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }的公差的12.(6)在等差数列{a n }中，①若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝a na n ＋1.②若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；S 奇－S 偶＝a n ；S 奇S 偶＝nn －1.(7)若数列{a n }与{b n }均为等差数列，且前n 项和分别是S n 和T n ，则S 2m －1T 2m －1＝a mb m. (8)若数列{a n }，{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，则数列{pa n }，{a n ＋p }，{pa n ＋qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1＋qd 2.注意点 前n 项和性质的理解等差数列{a n }中，设前n 项和为S n ，则S n ，S 2n ，S 3n 的关系为2(S 2n －S n )＝S n ＋(S 3n －S 2n )不要理解为2S 2n ＝S n ＋S 3n .入门测1．思维辨析(1)等差数列{a n }中，有a 1＋a 7＝a 2＋a 6.( )(2)若已知四个数成等差数列，则这四个数可设为a －2d ，a －d ，a ＋d ，a ＋2d .( ) (3)若三个数成等差数列，则这三个数可设为：a －d ，a ，a ＋d .( )(4)求等差数列的前n 项和的最值时，只需将它的前n 项和进行配方，即得顶点为其最值处．( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 2＋a 10＝4，则S 11的值为( ) A ．12 B ．18 C ．22 D ．44答案 C解析 由题可知S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 2＋a 10)2＝11×42＝22，故选C.3．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝90，则a 10－13a 14的值为( )A ．12B ．14C ．16D ．18答案 A解析 由题意知5a 8＝90，a 8＝18，a 10－13a 14＝a 1＋9d －13(a 1＋13d )＝23a 8＝12，选A 项．[考法综述] 等差数列的性质是高考中的常考内容，灵活应用由概念推导出的重要性质，在解题过程中可以达到避繁就简的目的．命题法1 等差数列性质的应用典例1 等差数列{a n }中，如果a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }前9项的和为( )A ．297B ．144C ．99D ．66[解析] 由a 1＋a 4＋a 7＝39，得3a 4＝39，a 4＝13. 由a 3＋a 6＋a 9＝27，得3a 6＝27，a 6＝9. 所以S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9(a 4＋a 6)2＝9×(13＋9)2＝9×11＝99，故选C. [答案] C【解题法】 应用等差数列性质应注意(1)要注意等差数列通项公式及前n 项和公式的灵活应用，如a n ＝a m ＋(n －m )d ，d ＝a n －a mn －m，S 2n －1＝(2n －1)a n ，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 2＋a n －1)2(n ，m ∈N *)等．(2)如果{a n }为等差数列，m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ( m ，n ，p ，q ∈N *)．一般地，a m＋a n ≠a m ＋n ，必须是两项相加，当然也可以是a m －n ＋a m ＋n ＝2a m .因此，若出现a m －n ，a m ，a m ＋n 等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a m (或其他项)有关的条件．命题法2 与等差数列前n 项和有关的最值问题典例2 等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1>0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n最大？[解] 解法一：由S 3＝S 11得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，则d ＝－213a 1.从而S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1，又a 1>0，所以－a 113<0.故当n ＝7时，S n 最大．解法二：由于S n ＝an 2＋bn 是关于n 的二次函数，由S 3＝S 11，可知S n ＝an 2＋bn 的图象关于n ＝3＋112＝7对称．由解法一可知a ＝－a 113<0，故当n ＝7时，S n 最大．解法三：由解法一可知，d ＝－213a 1.要使S n 最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0， 即⎩⎨⎧a 1＋(n －1)⎝⎛⎭⎫－213a 1≥0，a 1＋n ⎝⎛⎭⎫－213a 1≤0，解得6.5≤n ≤7.5，故当n ＝7时，S n 最大． 解法四：由S 3＝S 11，可得2a 1＋13d ＝0， 即(a 1＋6d )＋(a 1＋7d )＝0，故a 7＋a 8＝0，又由a 1>0，S 3＝S 11可知d <0， 所以a 7>0，a 8<0，所以当n ＝7时，S n 最大． 【解题法】 求等差数列前n 项和的最值的方法(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N *. (2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使S n 取得最值．(3)项的符号法：当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0a n ＋1≤0的项数n ，使S n 取最大值；当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1 ≥0的项数n ，使S n 取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小，若有零项，则使S n 取最值的n 有两个．1．设{a n }是等差数列．下列结论中正确的是( ) A ．若a 1＋a 2>0，则a 2＋a 3>0 B ．若a 1＋a 3<0，则a 1＋a 2<0 C ．若0<a 1<a 2，则a 2>a 1a 3 D ．若a 1<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)>0 答案 C解析 若{a n }是递减的等差数列，则选项A 、B 都不一定正确．若{a n }为公差为0的等差数列，则选项D 不正确．对于C 选项，由条件可知{a n }为公差不为0的正项数列，由等差中项的性质得a 2＝a 1＋a 32，由基本不等式得a 1＋a 32>a 1a 3，所以C 正确． 2．在等差数列{a n }中，a 1>0，a 2012＋a 2013>0，a 2012·a 2013<0，则使S n >0成立的最大自然数n 是( )A ．4025B ．4024C ．4023D ．4022答案 B解析 ∵等差数列{a n }的首项a 1>0，a 2012＋a 2013>0，a 2012·a 2013<0，假设a 2012<0<a 2013，则d >0，而a 1>0，可得a 2012＝a 1＋2011d >0，矛盾，故不可能． ∴a 2012>0，a 2013<0. 再根据S 4024＝4024(a 1＋a 4024)2＝2012(a 2012＋a 2013)>0，而S 4025＝4025a 2013<0，因此使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 为4024.3.已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝2n 3n ＋1，则a nb n ＝( )A.23 B.2n －13n －1 C.2n ＋13n ＋1D.2n －13n ＋4答案 B解析 a n b n ＝2a n2b n ＝2n －12(a 1＋a 2n －1)2n －12(b 1＋b 2n －1)＝S 2n －1T 2n －1＝2(2n －1)3(2n －1)＋1＝2n －13n －1.故选B.4．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________. 答案 10解析 由a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，得5a 5＝25，所以a 5＝5，故a 2＋a 8＝2a 5＝10.5．中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________． 答案 5解析 设等差数列的首项为a 1，根据等差数列的性质可得，a 1＋2015＝2×1010，解得a 1＝5.6．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎭⎫－1，－78 解析 由题意知d <0且⎩⎪⎨⎪⎧ a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78.7.若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大． 答案 8解析 根据题意知a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，即a 8>0.又a 8＋a 9＝a 7＋a 10<0，∴a 9<0，∴当n ＝8时，{a n }的前n 项和最大．8．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22. (1)求通项a n ； (2)求S n 的最小值；(3)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S nn ＋c，求非零常数c . 解 (1)因为数列{a n }为等差数列， 所以a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22. 又a 3·a 4＝117，所以a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根， 又公差d >0，所以a 3<a 4， 所以a 3＝9，a 4＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4.所以通项a n ＝4n －3. (2)由(1)知a 1＝1，d ＝4. 所以S n ＝na 1＋n (n －1)2×d ＝2n 2－n ＝2⎝⎛⎭⎫n －142－18. 所以当n ＝1时，S n 最小，最小值为S 1＝a 1＝1. (3)由(2)知S n ＝2n 2－n ，所以b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c，所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. 因为数列{b n }是等差数列， 所以2b 2＝b 1＋b 3， 即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c， 所以2c 2＋c ＝0，所以c ＝－12或c ＝0(舍去)，故c ＝－12.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 5＝9，S 5＝15，则使其前n 项和S n 取得最小值时的n ＝________.[错解][错因分析] 等差数列的前n 项和最值问题，可以通过找对称轴来确定，本题只关注到n ∈N *，并未关注到n ＝1与n ＝2时，S 1＝S 2，导致错误．[正解] ∵a 5＝9，S 5＝15，∴a 1＝－3，d ＝3. ∴a n ＝3n －6，S n ＝32n 2－92n .把S n 看作是关于n 的二次函数，其对称轴为n ＝32.∴当n ＝1或n ＝2时，S 1＝S 2且最小． [心得体会]课时练 基础组1.已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，S 11＝992，则a 12的值是( )A ．15B ．30C ．31D ．64答案 A解析 由题意可知2a 8＝a 7＋a 9＝16⇒a 8＝8，S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11×2a 62＝11a 6＝992，a 6＝92，则d ＝a 8－a 62＝74，所以a 12＝a 8＋4d ＝15，故选A. 2．已知S n 表示数列{a n }的前n 项和，若对任意的n ∈N *满足a n ＋1＝a n ＋a 2，且a 3＝2，则S 2014＝( )A ．1006×2013B ．1006×2014C ．1007×2013D ．1007×2014答案 C解析 在a n ＋1＝a n ＋a 2中，令n ＝1，则a 2＝a 1＋a 2，a 1＝0，令n ＝2，则a 3＝2＝2a 2，a 2＝1，于是a n ＋1－a n ＝1，故数列{a n }是首项为0，公差为1的等差数列，S 2014＝2014×20132＝1007×2013.故选C.3．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( )A ．a n ＝1nB ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D ．a n ＝3n答案 A解析由已知式2a n＋1＝1a n＋1a n＋2可得1a n＋1－1a n＝1a n＋2－1a n＋1，知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n是首项为1a1＝1，公差为1a2－1a1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n＝n，即a n＝1n.4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝()A．63 B．45C．36 D．27答案 B解析S3＝9，S6－S3＝36－9＝27，根据S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，S9－S6＝45，S9－S6＝a7＋a8＋a9＝45，故选B.5．已知等差数列{a n}中，前四项和为60，最后四项和为260，且S n＝520，则a7＝() A．20 B．40C．60 D．80答案 B解析前四项的和是60，后四项的和是260，若有偶数项，则中间两项的和是(60＋260)÷4＝80.S n＝520,520÷80不能整除，说明没有偶数项，有奇数项，则中间项是(60＋260)÷8＝40.所以共有520÷40＝13项，因此a7是中间项，所以a7＝40.6．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4S2＝4，则S6S4＝()A.94 B.32C.53D．4答案 A解析由S4S2＝4，可设S2＝x，S4＝4x.∵S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，∴2(S4－S2)＝S2＋(S6－S4)．则S6＝3S4－3S2＝12x－3x＝9x，因此，S6S4＝9x4x＝94.7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝－3，a k＋1＝32，S k＝－12，则正整数k＝______.答案13解析由S k＋1＝S k＋a k＋1＝－12＋32＝－212，又S k＋1＝(k＋1)(a1＋a k＋1)2＝(k＋1)⎝⎛⎭⎫－3＋322＝－212，解得k＝13.8.设正项数列{a n }的前n 项和是S n ，若{a n }和{S n }都是等差数列，且公差相等，则a 1＝________.答案14解析 设等差数列{a n }的公差为d ， 则S n ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n ，∴S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，数列{S n }是等差数列，则S n 是关于n 的一次函数(或者是常数)，则a 1－d2＝0，S n ＝d2n ，从而数列{S n }的公差是d2，那么有d 2＝d ，d ＝0(舍去)或d ＝12，故a 1＝14.9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝10，S 5＝55，则a 10＝________. 答案 39解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋d )＝10，5a 1＋5×42d ＝55，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝10，a 1＋2d ＝11，解得a 1＝3，d ＝4，a 10＝a 1＋(10－1)d ＝39. 10设数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列．若a 1<a 2，b 1<b 2，且b i ＝a 2i (i ＝1,2,3)，则数列{b n }的公比为________．答案 3＋2 2解析 设a 1，a 2，a 3分别为a －d ，a ，a ＋d ，因为a 1<a 2，所以d >0，又b 22＝b 1b 3，所以a 4＝(a －d )2(a ＋d )2＝(a 2－d 2)2，则a 2＝d 2－a 2或a 2＝a 2－d 2(舍)，则d ＝±2a .若d ＝－2a ，则q ＝b 2b 1＝⎝⎛⎭⎫a 2a 12＝(1－2)2＝3－22<1，舍去；若d ＝2a ，则q ＝⎝⎛⎭⎫a 2a 12＝3＋2 2. 11．等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由a 1＝10，a 2为整数知，等差数列{a n }的公差d 为整数，又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0,10＋4d ≤0.解得－103≤d ≤－52. 因此d ＝－3.数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n . (2)b n ＝1(13－3n )(10－3n )＝13⎝⎛⎭⎫110－3n －113－3n .于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫17－110＋⎝⎛⎭⎫14－17＋…＋⎝⎛ 110－3n －⎭⎫113－3n。
高考数学压轴专题人教版备战高考《数列》单元汇编含答案
【高中数学】数学《数列》复习知识点(1)一、选择题1．在等差数列{}n a 中，2436a a +=，则数列{}n a 的前5项之和5S 的值为（ ） A ．108 B ．90C ．72D ．24【答案】B 【解析】由于152436a a a a +=+=，所以1555()5369022a a S +⨯===，应选答案A ． 点睛：解答本题的简捷思路是巧妙运用等差数列的性质152436a a a a +=+=，然后整体代换前5项和中的15=36a a +，从而使得问题的解答过程简捷、巧妙．当然也可以直接依据题设条件建立方程组进行求解，但是解答过程稍微繁琐一点．2．将正整数20分解成两个正整数的乘积有120⨯，210⨯，45⨯三种，其中45⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称45⨯为20的最佳分解.当p q ⨯（p q ≤且*,p q ∈N ）是正整数n 的最佳分解时我们定义函数()f n q p =-，则数列(){}5nf ()*n N ∈的前2020项的和为（ ）A ．101051+B ．1010514-C ．1010512-D ．101051-【答案】D 【解析】 【分析】首先利用信息的应用求出关系式的结果，进一步利用求和公式的应用求出结果． 【详解】解：依题意，当n 为偶数时，22(5)550nnn f =-=； 当n 为奇数时，111222(5)5545n n n n f +--=-=⨯，所以01100920204(555)S =++⋯+，101051451-=-g ，101051=-．故选：D 【点睛】本题考查的知识要点：信息题的应用，数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．3．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤15=斤，1斤16=两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何？其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半．若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银（ ） A ．9两 B ．266127两 C ．26663两 D ．250127两 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出银的质量为266两，设分银最少的为a 两，由题意可知7人的分银量构成首项为a ，公比为2的等比数列，利用等比数列的求和公式可求得a 的值.【详解】共有银161610266⨯+=两，设分银最少的为a 两，则7人的分银量构成首项为a ，公比为2的等比数列， 故有()71226612a -=-，所以266127a =， 故选：B ． 【点睛】本题以元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提出的问题为背景，贴近生活，考查了等比数列的求和问题，本题注重考查考生的阅读理解能力、提取信息能力、数学建模能力以及通过计算解决问题的能力，属中等题．4．已知公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >，则“1q >”是“53a a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可得530,0a a >>，若53a a >，可得21q >，然后再根据充分条件和必要条件的判断方法即可得到结果． 【详解】由于公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >， 所以530,0a a >>，若53a a >，则233a q a >，所以21q >，即1q >或1q <-，所以公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >， 则“1q >”是“53a a >”的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了等比数列的相关性质和充分必要条件的判断方法，熟练掌握等比数列的性质是解题的关键.5．数列{}n a 满足12a =，对于任意的*n N ∈，111n na a +=-，则2018a =（ ） A ．-1 B ．12C ．2D ．3【答案】A 【解析】 【分析】先通过递推公式111n na a +=-，找出此周期数列的周期，再计算2018a 的值. 【详解】111n na a +=-Q ，2111111111n n n na a a a ++∴===----， 32111111n nn n a a a a ++∴===-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故有3n n a a +=，则20183672221111a a a a ⨯+====-- 故选：A 【点睛】本题考查根据数列递推公式求数列各项的值，属于中档题.6．执行下面程序框图输出S 的值为（ ）A ．2542B ．3764C ．1730D ．67【答案】A 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，依此写出每次循环得到的,S i 的值并判断5i >是否成立，发现当6i =，满足5i >，退出循环，输出运行的结果111111324354657S =++⨯⨯⨯⨯⨯++，利用裂项相消法即可求出S ． 【详解】 由题意可知， 第1次循环时113S =⨯，2i =，否； 第2次循环111324S =+⨯⨯，3i =，否； 第3次循环时111132435S =++⨯⨯⨯，4i =，否； 第4次循环时111113243546S =++⨯⨯⨯⨯+，5i =，否；第5次循环时111111324354657S =+++⨯⨯⨯⨯⨯+，6i =，是； 故输出111111324354657S =++⨯⨯⨯⨯⨯++111111111112324354657⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦= 1111251226742⎛⎫=+--=⎪⎝⎭ 故选：A. 【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，同时考查裂项相消法求和，属于基础题．7．已知椭圆221x y m n+=满足条件：,,m n m n +成等差数列，则椭圆离心率为( )A ．2B ．2C ．12D 【答案】B 【解析】 【分析】根据满足条件,,m n m n +成等差数列可得椭圆为2212x ym m+=,求出,a c ．再求椭圆的离心率即可. 【详解】()22n m m n n m =++⇒=,∴椭圆为2212x y m m+=,22c m m m =-=,得c =又a =c e a ∴==.则椭圆离心率为2，故选B. 【点睛】一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．8．已知等比数列{a n }，a n ＞0，a 1=256，S 3=448，T n 为数列{a n }的前n 项乘积，则当T n 取得最大值时，n =（ ） A ．8 B ．9C ．8或9D ．8.5【答案】C【解析】 【分析】设等比数列{a n }的公比为q ，由a n ＞0，可得q ＞0．根据a 1＝256，S 3＝448，可得256（1+q +q 2）＝448，解得q ．可得a n ，T n ，利用二次函数的单调性即可得出． 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ，∵a n ＞0，∴q ＞0． ∵a 1＝256，S 3＝448， ∴256（1+q +q 2）＝448， 解得q 12=． ∴a n ＝25611()2n -⨯=29﹣n ．T n ＝28•27•……•29﹣n＝28+7+…+9﹣n()217289[)89242222n n n ⎛⎤--- ⎥+-⎝⎦==．∴当n ＝8或9时，T n 取得最大值时， 故选C ． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式及其性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．等差数列的首项为125，且从第10项开始为比1大的项，则公差d 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞ B ．8,75⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．83,7525⎛⎫⎪⎝⎭ D ．83,7525⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知101a >，91a ≤，把1a 的值代入列不等式解得即可. 【详解】由题意，设数列{}n a 的公差为d ，首项1125a =，则10911a a >⎧⎨≤⎩， 即101919181a a d a a d =+>⎧⎨=+≤⎩，解得837525d <≤. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，要熟练记忆等差数列的通项公式．10．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32S =，618S =，则106S S 等于（ ） A ．-3 B ．5C ．-31D ．33【答案】D 【解析】 【分析】先由题设条件结合等比数列的前n 项和公式，求得公比q ，再利用等比数列的前n 项和公式，即可求解106S S 的值，得到答案.【详解】由题意，等比数列{}n a 中32S =，618S =，可得313366316(1)1121(1)11181a q S q q a q S q q q---====--+-，解得2q =， 所以101105105516(1)11133(1)11a q S q q q a q S q q---===+=---. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.11．等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若103010,30,S S ==则20S = A ．10 B ．20 C ．20或-10 D ．-20或10【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质可得，S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20成等比数列即（S 20﹣S 10）2＝S 10•（S 30﹣S 20），代入可求． 【详解】由等比数列的性质可得，S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20成等比数列，且公比为10q∴（S 20﹣S 10）2＝S 10•（S 30﹣S 20）即()()22020101030S S -=- 解20S =20或-10（舍去） 故选B ． 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质（若S n 为等比数列的前n 项和，且S k ，S 2k ﹣S k ，S 3k ﹣S 2k 不为0，则其成等比数列）的应用，注意隐含条件的运用12．已知数列}{n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和，若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（ ）． A ．35 B ．33C ．31D ．29【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，设等比数列的公比为q ，则2231112a a a q a q a =⋅=，所以42a =，又3474452224a a a a q +=+=⨯，解得11,162q a ==，所以5515116(1())(1)2311112a q S q --===--，故选C ． 考点：等比数列的通项公式及性质．13．已知首项为1的正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，4a -、3a 、5a 成等差数列，则2020S 与2020a 的关系是（ ）A ．2020202021S a =+B ．2020202021S a =-C ．2020202041S a =+D ．2020202043S a =-【答案】B 【解析】 【分析】求出等比数列{}n a 的公比q ，然后求出2020S 和2020a ，由此可得出结论. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，4a -Q 、3a 、5a 成等差数列，3542a a a ∴=-，所以，220q q --=，0q >Q ，解得2q =，20192019202012a a q ∴==，()20201202020201211a q S q-==--，因此，2020202021S a =-. 故选：B. 【点睛】本题考查等比数列求和公式以及通项公式的应用，涉及等差中项的应用，考查计算能力，属于中等题.14．已知{}n a 是单调递增的等比数列，满足352616,17a a a a ⋅=+=，则数列{}n a 的前n 项和n S = A ．122n+ B ．122n- C ．1122n -+D ．1122n -- 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列的性质和韦达定理可得26a a ， 为方程217160x x -+= 的实根，解方程可得q和a 1，代入求和公式计算可得． 【详解】∵352616,17a a a a ⋅=+=，∴由等比数列的性质可得26261617a a a a ⋅=+=， ，26a a ， 为方程217160x x -+= 的实根解方程可得2626116161a a a a ====，，或， ， ∵等比数列{a n }单调递增，∴26116a a ==，，∴1122q a ，＝= ，∴()1112122122nn n S ----＝＝ 故选D ． 【点睛】本题考查等比数列的求和公式，涉及等比数列的性质和一元二次方程的解法，属中档题．15．已知函数()2f x x mx =+图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2018S 的值为（ ） A ．20152016 B ．20162017C ．20172018D ．20182019【答案】D 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，得到()y f x =在1x =时的导数值，进一步求得m ，可得函数解析式，然后利用裂项相消法可计算出2018S 的值． 【详解】由()2f x x mx =+，得()2f x x m '=+，()12f m '∴=+，因为函数()2f x x mx =+图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，()123f m '∴=+=，解得1m =，()2f x x x ∴=+，则()()21111111f n n n n n n n ===-+++. 因此，20181111112018112232018201920192019S =-+-++-=-=L . 故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题．16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23109a a a ++=，则9S =（ ） A ．3 B ．9C ．18D ．27【答案】D 【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . ∵23109a a a ++=∴13129a d +=，即143a d += ∴53a = ∴1999()272a a S ⨯+== 故选D.17．已知{}n a 是公差d 不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，若348,,a a a 成等比数列，则A ．140,0a d dS >>B ．140,0a d dS <<C ．140,0a d dS ><D ．140,0a d dS <>【答案】B 【解析】 ∵等差数列，，，成等比数列，∴，∴，∴，，故选B. 考点：1.等差数列的通项公式及其前项和；2.等比数列的概念18．在等比数列{}n a 中，已知259,243a a ==，那么{}n a 的前4项和为（ ）. A ．81B ．120C ．121D ．192 【答案】B【解析】【分析】 根据352a q a =求出公比，利用等比数列的前n 项和公式即可求出. 【详解】Q 35227a q a ==, ∴ 3q =∴ 4414(1)3(13)120113a q S q --===--.故选：B 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，等比数列的前n 项和，属于中档题.19．设数列是公差的等差数列，为前项和，若，则取得最大值时，的值为 A ．B ．C ．或D ． 【答案】C 【解析】，进而得到，即，数列是公差的等差数列，所以前五项都是正数，或时，取最大值，故选C.20．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列五个命题： ①公差0d <②110S <③120S >④数列{}n S 中的最大项为11S⑤67a a >其中正确命题的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】【分析】 先由条件确定数列第六项和第七项的正负，进而确定公差的正负，最后11S ，12S 的符号由第六项和第七项的正负判定．【详解】Q 等差数列{}n a 中，6S 最大，且675S S S >>，∴10a >，0d <，①正确；Q 675S S S >>，∴60a >，70a <，67 0a a +>，∴160a d +<，150a d +>，6S 最大， ∴④不正确；1111115511(5)0S a d a d =+=+>，12111267 126612()12()0S a d a a a a =+=+=+>，∴③⑤正确，②错误.故选：B ．【点睛】本题考查等差数列的前n 项和的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.。
数列综合练习题(含答案)精选全文
3月6日数列综合练习题一、单选题1．已知数列为等比数列，是它的前n项和．若,且与的等差中项为，则（）A ．35B ．33C ．31D ．29【答案】C 【解析】试题分析：∵等比数列{}n a ，∴21a a q =⋅，∴13134222a q a a q a a ⋅⋅=⇒⋅=⇒=，又∵与的等差中项为54，∴477512244a a a ⋅=+⇒=，∴3741182a q q a ==⇒=，∴41316a a q ==，515116(1)(1)32311112a q S q--===--.2．等差数列{}n a 中，19173150a a a ++=则10112a a -的值是（）A．30B．32C．34D．25【答案】A 【解析】试题分析：本题考查等差数列的性质，难度中等．由条件知930a =，所以10112a a -=930a =，故选A．3．数列满足且，则等于（）A．B．C．D．【答案】D 【解析】由有解知数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为211112x x -=的等差数列；所以11121(1),221n n n n x x n +=+-=∴=+.故选D 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列21{}n a -的前n 项和为n T ，下列说法错误．．的是（）A ．若n S 有最大值，则n T 也有最大值B ．若n T 有最大值，则n S 也有最大值C ．若数列{}n S 不单调，则数列{}n T 也不单调D ．若数列{}n T 不单调，则数列{}n S 也不单调【答案】C 【解析】【详解】解：数列{a 2n ﹣1}的首项是a 1，公差为2d ，A ．若S n 有最大值，则满足a 1＞0，d ＜0，则2d ＜0，即T n 也有最大值，故A 正确，B ．若T n 有最大值，则满足a 1＞0，2d ＜0，则d ＜0，即S n 也有最大值，故B 正确，C ．S n ＝na 1()12n n -+•d 2d =n 2+（a 12d -）n ，对称轴为n 111122222d da a a d d d --=-==--⨯，T n ＝na 1()12n n -+•2d ＝dn 2+（a 1﹣d ）n ，对称轴为n 111222a d d -=-=-•1a d，不妨假设d ＞0，若数列{S n }不单调，此时对称轴n 11322a d =-≥，即1a d-≥1，此时T n 的对称轴n 1122=-•111122a d ≥+⨯=1，则对称轴1122-•132a d ＜有可能成立，此时数列{T n }有可能单调递增，故C 错误，D ．不妨假设d ＞0，若数列{T n }不单调，此时对称轴n 1122=-•132a d ≥，即1a d-≥2，此时{S n }的对称轴n 11122a d =-≥+25322＞=，即此时{S n }不单调，故D 正确则错误是C ，故选C ．5．设n=（）A ．333n 个B ．21333n - 个C ．21333n- 个D ．2333n 个【答案】A【解析】1013333n n -====⋅⋅⋅ 个.故选A.6．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2124n n a S n +=++，且21a -，3a ，7a 恰好构成等比数列的前三项，则4a =（）．A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】C 【详解】∵2124n n a S n +=++，当2n ≥，()21214n n a S n -=+-+，两式相减，化简得()2211n n a a +=+，∵0n a >，∴11n n a a +=+，数列{}n a 是公差1的等差数列．又21a -，3a ，7a 恰好构成等比数列的前三项，∴()()211126a a a +=+，∴12a =，∴45a =．故选：C第II 卷（非选择题)二、填空题7．已知数列{}n a 的首项11a =，且1(1)12nn na a n a +=+ ，则5a =____．【答案】198．等差数列{}n a 中，39||||a a =，公差0d <，则使前n 项和n S 取得最大值的自然数n 是________．【答案】5或6【解析】试题分析：因为0d <，且39||||a a =，所以39a a =-，所以1128a d a d +=--，所以150a d +=，所以60a =，所以0n a >()15n ≤≤，所以n S 取得最大值时的自然数n 是5或6．9．数列{}n a 满足：11a =，121n n a a +=+，且{}n a 的前n 项和为n S ，则n S =__.【答案】122n n +--【详解】由121n n a a +=+得()1+121n n a a +=+所以1112+n n a a +=+，且112a +=所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，且11=222n nn a -+⨯=所以21nn a =-前n 项和()123121222222212n nn nS n n n +-=++++-==--- 10．已知数列{}n a 中,132a =前n 项和为n S ，且满足()*123n n a S n N ++=∈，则满足2348337n n S S ＜＜所有正整数n 的和是___________.【答案】12【详解】由()*123n n a S n N++=∈得()123n n n SS S +-+=，即()11332n n S S +-=-，所以数列{}3n S -是首项为113332S a -=-=-，公比为12的等比数列，故31322n nS -=-⋅，所以332n n S =-，所以22332n n S =-.由2348337n n S S <<得2332334833732n n -<-<，化简得1113327n <<，故3,4,5n =.满足2348337n nS S ＜＜所有正整数n 的和为34512++=.故答案为：12三、解答题11．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ﹣a n ﹣1﹣3n ＝0，n ≥2．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n 1na =，求数列{b n }的前n 项和S n ．【详解】（1）数列{a n }满足a 1＝3，a n ﹣a n ﹣1﹣3n ＝0，n ≥2，即a n ﹣a n ﹣1＝3n ，可得a n ＝a 1+（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+…+（a n ﹣a n ﹣1）＝3+6+9+…+3n 12=n （3+3n ）32=n 232+n ；（2）b n 123n a ==•2123n n =+（111n n -+），前n 项和S n 23=（1111112231n n -+-++-+ ）23=（111n -+）()231n n =+．12．在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，满足2(,*)n n S ka n n k R n N =+-∈∈．（I ）若1k =，求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}21n a n --为公比不为1的等比数列，求n S ．【答案】解：（1）当1k =时，2,n n S a n n =+-所以21,(2)n S n n n -=-≥,即22(1)(1),(1)n S n n n n n =+-+=+≥……3分所以当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=所以数列{}n a 的通项公式为．……………6分（II ）当时，1122n n n n n a S S ka ka n --=-=-+-，1(1)22n n k a ka n --=-+，111a S ka ==，若1k =，则211n a n --=-，从而{}21n a n --为公比为1的等比数列，不合题意；……………8分若1k ≠，则10a =，221a k=-，3246(1)k a k -=-212325378333,5,71(1)k k k a a a k k --+--=--=-=--由题意得，2213(5)(3)(7)0a a a -=--≠，所以0k =或32k =．……10分当0k =时,2n S n n =-，得22n a n =-,213n a n --=-,不合题意；…12分当32k =时，1344n n a a n -=-+，从而1213[2(1)1]n n a n a n ---=---因为121130,a -⨯-=-≠210n a n --≠，{}21n a n --为公比为3的等比数列,213nn a n --=-，所以231nn a n =-+，从而1233222n n S n n +=+-+．………………………14分【解析】试题分析：解：（1）当1k =时，2,n n S a n n =+-所以21,(2)n S n n n -=-≥,即22(1)(1),(1)n S n n n n n =+-+=+≥……3分所以当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=所以数列{}n a 的通项公式为…6分（2）当时，1122n n n n n a S S ka ka n --=-=-+-，1(1)22n n k a ka n --=-+，111a S ka ==，若1k =，则211n a n --=-，从而{}21n a n --为公比为1的等比数列，不合题意；若1k ≠，则10a =，221a k=-，3246(1)k a k -=-212325378333,5,71(1)k k k a a a k k --+--=--=-=--由题意得，2213(5)(3)(7)0a a a -=--≠，所以0k =或32k =．当0k =时,2n S n n =-，得22n a n =-,213n a n --=-,不合题意；当32k =时，1344n n a a n -=-+，从而1213[2(1)1]n n a n a n ---=---因为121130,a -⨯-=-≠210n a n --≠，{}21n a n --为公比为3的等比数列,213nn a n --=-，所以231nn a n =-+，从而1233222n n S n n +=+-+．13．设数列{}n a 的通项公式63n a n =-+，{}n b 为单调递增的等比数列，123512b b b =，1133a b a b +=+．()1求数列{}n b 的通项公式．()2若3nn na cb -=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【详解】()1由题意，数列{}n a 的通项公式n a 6n 3=-+，{}n b 为单调递增的等比数列，设公比为q ，123b b b 512=，1133a b a b +=+．可得331b q 512=，2113b 15b q -+=-+，解得1b 4=，或1q 2(2=-舍去)，则n 1n 1n b 422-+=⋅=。
(完整word)高一数学等比数列综合练习精心整理含答案版本,推荐文档
考点1等比数列的通项与前 n 项和 题型1已知等比数列的某些项，求某项【例1】已知a n 为等比数列，a 2 2,a 6 162，则a 10【解题思路】可以考虑基本量法，或利用等比数列的性质【解析】方法 1：a 2 a eag 5a&162813109a 1q4a 6q162 81 13122方法a 6 a 2162 2813104a 6q162 81 13122方法a n为等比数列a 2 3102 a6a 102 a6a 2夢13122【名师指引】给项求项问题，先考虑利用等比数列的性质, 再考虑基本量法题型2已知前n 项和S n 及其某项，求项数. 【例2】⑴已知S n 为等比数列a n 前n 项和，S n93，a n 48，公比q 2，则项数n⑵已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.【解题思路】⑴利用等比数列的通项公式 a nn 1ag及S na1 (1求出a 1及q ,代入S n 可求项数n ；⑵利用等差q数列、等比数列设出四个实数代入已知，可求这四个数 【解析】⑴由S n 93， a n 48，公比qna 1 (2 2n a 11) 19348 2n 32 n 5.⑵方法1：设这四个数分别为 a, b,c,d ，则2b2c bd 方法2:设前2个数分别为a,b ，则第3、4个数分别为 2b (36 b) a (36 b)2b(37 a)解得a 12或b 1637 3636 b,37 方法3 :设第2、3个数分别为 b ， c ，则第1个数为 99 4 ； 81 ； 42b c ，第1个数为2—，则b23【例4】已知s n 为等比数列a n 前n 项和，a n 1 3 33【解题思路】可以先求出a n ，再根据a n 的形式特点求解【解析】a n 1 3 32 333n 11(1 3n)11 32 21 23n 、1 1 3(1 3n ) 1S n -(3 32 33 3n)n —— n 22 2 13 2【解析】 a n (2n 1) 3nS n2 13 3 3 5 33 (2n 1)3n3S n 1 323 335 34(2n 3) 3nn 1(2n 1) 3 ---------②①一②，得 2S n 3 2( 3233 343n ) (2n 1) 3n 12c 2b c bb c 3620或:81 4 63~4方法4:设第2、个数分别为b , c设第1,4个数分别为2a c 2c2 ' a c方法5 :设第34个数分别为c,d ，则设第1,2个数分别为37d,36 c ，则 2(36 c) (37 d) c c 20 16 63 49 2 或 c , d .c 2d(36 c)d 2544【名师指引】 平时解题时，应注意多方位、多角度思考问题，加强一题多解的练习，这对提高我们的解题能力大有裨益 题型3求等比数列前n 项和【例3】等比数列 124,8, 中从第5项到第10项的和.【解题思路】可以先求出S 10，再求出S 4，利用S 10 S 4求解；也可以先求出 a 5及a 10，由a 5,a 6,a 7, ,a 10成等比数列求解 【解析】由a 1 1,a 2 2，得q 2， S 10 1(1 210) 1 21023，S 415，1 2編 S 41008. 3n 1 —n2 34 4 即S n 3n，求 S n【例5】已知S n 为等比数列a n 前n 项和，a n(2n 1) 3n ，求 S n .【解题思路】分析数列通项形式特点，结合等比数列前 n 项和公式的推导，采用错位相减法求和n 1S n (n 1) 3 3.【名师指引】根据数列通项的形式特点，等比数列求和的常用方法有：公式法、性质法、和从“通项”入手.【新题导练】3 29(1 3n1) (2n 1) 3n1(2 2n) 3n 1 6【解析】a2a1q 35a6 a〔q 243a1 1,q3或a11,q当a1 1, q 3 时，S n 1(13n)364n 6 ；13当a11,3 时，S n11 ( 3)n364n无整数解1 34.已知等比数列a n 中，a2,则其前3项的和S3的取值范围是的前n项和,a2 3, a63.已知S n为等比数列a n 分解重组法、错位相减法，即数列求1.已知a n为等比数列，6 a2 a3 3,a6 a7 a$ 6，求a〔1 a〔2a i3的值.【解析】设等比数列a na3 3, a6 a7 a8 6，a4 a5 a62，a〔1a12 a13 ；a1 a? a32.如果将20,50,100依次加上同一个常数后组成一个等比数列，则这个等比数列的公比为【解析】设这个常数为x，则20 x,50x,100 x成等比数列,2(50 x) (20 x)(100 x)，解得50 -454205 412085 17364 ,243, S n【解析】丁等比数列 a n 中a 2 1 .• S 3 a 1 a 2 a 3 a 2 1 q当公比q 0时，S 3 1 q 1 2打 7 3 ；q Yq当公比q 0时，S 3 1 1 q - 1 2 q 1 1，. S 3 q Vq5.已知S n 为等比数列a n 前n 项和， a n 0，S n 80 ,S 2n 6560， 【解析】由a n 0，S n 80， S 2n6560， 知q 1， S n a 1(1『)80, S 2na 1(1 2n q ) 6560.1 q1 q3,前n 项中的数值最大的项为 54,求So 。
(word版)高中数学数列专题复习(综合训练篇含答案),文档
数列———综合训练篇一、选择题：1．在等差数列a n中，a13a8a15120，那么2a9a10的值为〔〕A．18B．20C．22D．242．等差数列a n满足：a1a38,S530，假设等比数列bn满足b1a1,b3a4,那么b5为〔〕A．16B．32C．64D．273．等差数列a n中,a1a4a739,a3a6a927,那么数列a n 的前9项之和S等于〔〕9A．66B．144C．99D．2974．各项都是正数的等比数列a n 的公比q≠1，且a2，1a3，a1成等差数列，那么a3a4为〔〕2a4a5A．51B．51C．15D．51或51 222225.设等比数列a的前n项和为S n，假设S63,那么S9〔〕nS3S6A.278 B. C.336．等差数列a n的前n项的和为S n，且S210，S555，那么过点P(n,a n)和Q(n2,a n2)(nN)的直线的一个方向向量的坐标是()A.(2,1)B.(1,2)C.(1,1)D.(1,1)222、、1、1、1成等差数列，那么a cc为实数,3a、4b、5c 成等比数列,且的值为〔〕7．设a bb c ca aA．94B．9434D．34 1515C．15152n12n18．数列a n的通项a n1,那么以下表述正确的选项是() 33A．最大项为a1,最小项为a3B．最大项为a1,最小项不存在C．最大项不存在，最小项为a3D．最大项为a1,最小项为a49.a为等差数列，a1+a3+a5=105，a2a4a6=99.以S n表示a 的前n项和，那么使得S n到达最大值n n 的n是〔〕A．21B．20C．19D．1810．一系列椭圆都以一定直线l为准线，所有椭圆的中心都在定点M，且点M到l的距离为2，假设这一系列椭1圆的离心率组成以3为首项，1为公比的等比数列，而椭圆相应的长半轴长为ai n43=(i=1，2，，n)，设b=2〔2n+1〕·3n－2·a n，且Cn=1，Tn=C1+C2++Cn，假设对任意n∈N*，总有Tn>m恒成立，那么m的最b n b n190大正整数为〔〕A．3B．5C．6D．9二、填空题：11．等差数列a nn2n最大，那么t的取值范围是.前n项和S=－n+2tn，当n仅当n=7时Sn为奇数)12．数列a n的通项公式是a(n，那么数列的前2m〔m为正整数〕项和是. nn22)为偶数(n13．数列{a n}满足：a4n31,a4n10,a2n an,nN,那么a2021________；a2021=_________.14．在数列a n和b n中，b是a 与a n+1的等差中项，a=2且对任意nN都有n n1*3a－a =0，那么数列{b}的通项公式.n+1n n12⋯n1(x0)图像上的点〔如15．设P，P，P顺次为函数yx图〕，Q1，Q2，Qn顺次为x轴上的点，且OP1Q1,O1P2Q2,Q n1P n Q n，，均为等腰直角三角形〔其中Pn为直角顶点〕.设Qn的坐标为x n,0)(0N*)，那么数列{an}的通项公式为.三、解答题：16．{a n}是等比数列，Sn是其前n项的和，a1，a7，a4成等差数列，求证：2S3，S6，S12－S6，成等比数列.17.数列{an}的前 n 项和为Sn，且对任意自然数n 总有S n p(a n1),(p为常数，且p 0,p 1),数列{b n}中有b n2n q(q为常数〕。
数列等差等比数列问题综合晚练专题练习(三)附答案人教版高中数学高考真题汇编
高中数学专题复习《数列等差等比数列综合》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人 得分一、选择题1．在数列{}n a 中，1112,ln 1n n a a a n +⎛⎫==++⎪⎝⎭，则n a ＝ A ．2ln n + B ．()21ln n n +- C ．2ln n n + D ．1ln n n ++(汇编江西理)2．等差数列}{n a 中，78,24201918321=++-=++a a a a a a ，则此数列前20项和等于（ ） A ．160B ．180C ．200D ．220（汇编全国4理6）3．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q =( )（A ）3 （B ）4（C ）5（D ）6（汇编辽宁文3）4．已知{}n a 为等比数列.下面结论中正确的是 （ ）A ．1322a a a +≥B ．2221322a a a +≥C ．若13a a =,则12a a =D ．若31a a >,则42a a >（汇编北京文）5．在等比数列{a n }中,a 1=4,q =5,使S n >107的最小n 值是 A.11 B.10 C.12 D.96．已知等比数列的公比是2,且前四项的和为1,那么前八项的和为 A.15 B.17 C.19 D.21 7．设是公比为q 的等比数列，是它的前n 项和，若是等差数列，则q 的值等于（ ）A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 48．集合A ＝{1，2，3，4，5，6}，从集合A 中任选3个不同的元素组成等差数列，这样的等差数列共有__________________ 12个9．若1、6之间插入2个数，使它们构成等差数列，则该数列的公差d ＝_____________ 关键字：等差数列；新数列；双重身份；求公差10．lgx,lgy,lgz 成等差数列是y2=xz 成立的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件11．不能作为数列 ,0,2,0,2的通项公式的是（ ）.A ．1)1(1+-+=n n aB ． n n a )1(1--=C ． nn a )1(1-+= D ． )cos(1πn a n -=12．有一条生产流水线，由于改进了设备，预计第一年产量增长率为150%，以后每年的增长率是前一年的一半；同时，由于设备不断老化，每年将损失年产量的10%。
2020年高二数学人教A必修5练习 数 列 复习课 Word版含解析
第二章 章末复习课课时目标综合运用等差数列与等比数列的有关知识，解决数列综合问题和实际问题．一、选择题1．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋c 1 2 121 a b cA.1 B ．2 答案 A解析 由题意知，a ＝12，b ＝516，c ＝316，故a ＋b ＋c ＝1.2．已知等比数列{a n }，a 1＝3，且4a 1、2a 2、a 3成等差数列，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 答案 C解析 由题意可设公比为q ，则4a 2＝4a 1＋a 3， 又a 1＝3，∴q ＝2.∴a 3＋a 4＋a 5＝a 1q 2(1＋q ＋q 2) ＝3×4×(1＋2＋4)＝84.3．已知一个等比数列首项为1，项数为偶数，其奇数项和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为( )A ．4B ．6C ．8D ．10 答案 C解析 设项数为2n ，公比为q .由已知S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n －1. ① S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n . ②②÷①得，q ＝17085＝2，∴S 2n ＝S 奇＋S 偶＝255＝a 1(1－q 2n )1－q ＝1－22n1－2，∴2n ＝8.4．在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 7依次成等比数列，前7项和为35，则数列{a n }的通项a n 等于( )A ．nB ．n ＋1C ．2n －1D ．2n ＋1 答案 B解析 由题意a 23＝a 1a 7，即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )， 得a 1d ＝2d 2.又d ≠0，∴a 1＝2d ，S 7＝7a 1＋7×62d ＝35d ＝35.∴d ＝1，a 1＝2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋1.5．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N ＋)，则a 3a 5的值是( )A.1516B.158C.34D.38 答案 C解析 由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2，∴a 3·a 2＝a 2＋(－1)3，∴a 3＝12，∴12a 4＝12＋(－1)4，∴a 4＝3， ∴3a 5＝3＋(－1)5，∴a 5＝23，∴a 3a 5＝12×32＝34. 6．已知等比数列{a n }的各项均为正数，数列{b n }满足b n ＝ln a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }前n 项和的最大值等于( )A ．126B ．130C ．132D ．134 答案 C解析 ∵{a n }是各项不为0的正项等比数列， ∴{b n }是等差数列．又∵b 3＝18，b 6＝12，∴b 1＝22，d ＝－2，∴S n ＝22n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋23n ，＝－(n －232)2＋2324∴当n ＝11或12时，S n 最大， ∴(S n )max ＝－112＋23×11＝132. 二、填空题7．三个数成等比数列，它们的和为14，积为64，则这三个数按从小到大的顺序依次为__________．答案 2,4,8解析 设这三个数为a q ，a ，aq .由aq·a ·aq ＝a 3＝64，得a ＝4.由a q ＋a ＋aq ＝4q ＋4＋4q ＝14.解得q ＝12或q ＝2. ∴这三个数从小到大依次为2,4,8.8．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项与奇数项和之比为32∶27，则这个等差数列的公差是____．答案 5解析 S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12；S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11. 则⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354S 偶÷S 奇＝32∶27，∴S 奇＝162，S 偶＝192， ∴S 偶－S 奇＝6d ＝30，d ＝5. 9．如果b 是a ，c 的等差中项，y 是x 与z 的等比中项，且x ，y ，z 都是正数，则(b －c )log m x ＋(c －a )log m y ＋(a －b )log m z ＝______.答案 0解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，设公差为d ，则(b －c )log m x ＋(c －a )log m y ＋(a －b )log m z ＝－d log m x ＋2d log m y －d log m z＝d log m y 2xz＝d log m 1＝0.10．等比数列{a n }中，S 3＝3，S 6＝9，则a 13＋a 14＋a 15＝________. 答案 48解析 易知q ≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝3S 6＝a 1(1－q 6)1－q＝9，∴S 6S 3＝1＋q 3＝3，∴q 3＝2. ∴a 13＋a 14＋a 15＝(a 1＋a 2＋a 3)q 12 ＝S 3·q 12＝3×24＝48. 三、解答题11．设{a n }是等差数列，b n ＝⎝⎛⎭⎫12a n ，已知：b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3＝18，求等差数列的通项a n .解 设等差数列{a n }的公差为d ，则b n ＋1b n＝⎝⎛⎭⎫12a n ＋1⎝⎛⎭⎫12a n ＝⎝⎛⎭⎫12a n ＋1－a n ＝⎝⎛⎭⎫12d . ∴数列{b n }是等比数列，公比q ＝⎝⎛⎭⎫12d.∴b 1b 2b 3＝b 32＝18，∴b 2＝12. ∴⎩⎨⎧b 1＋b 3＝178b 1·b 3＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＝18b 3＝2或⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2b 3＝18.当⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝18b 3＝2时，q 2＝16，∴q ＝4(q ＝－4<0舍去)此时，b n ＝b 1q n －1＝⎝⎛⎭⎫18·4n －1＝22n －5. 由b n ＝⎝⎛⎭⎫125－2n ＝⎝⎛⎭⎫12a n ，∴a n ＝5－2n .当⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2b 3＝18时，q 2＝116，∴q ＝14⎝⎛⎭⎫q ＝－14<0舍去 此时，b n ＝b 1q n －1＝2·⎝⎛⎭⎫14n －1＝⎝⎛⎭⎫122n －3＝⎝⎛⎭⎫12a n ， ∴a n ＝2n －3.综上所述，a n ＝5－2n 或a n ＝2n －3.12．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1n (a n ＋3)(n ∈N *)，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，是否存在t ，使得对任意的n 均有S n >t36总成立？若存在，求出最大的整数t ；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意得(a 1＋d )(a 1＋13d )＝(a 1＋4d )2，整理得2a 1d ＝d 2.∵d >0，∴d ＝2 ∵a 1＝1.∴a n ＝2n －1 (n ∈N *)．(2)b n ＝1n (a n ＋3)＝12n (n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n2(n ＋1).假设存在整数t 满足S n >t36总成立，又S n ＋1－S n ＝n ＋12(n ＋2)－n 2(n ＋1)＝12(n ＋2)(n ＋1)>0，∴数列{S n }是单调递增的．∴S 1＝14为S n 的最小值，故t 36<14，即t <9.又∵t ∈Z ，∴适合条件的t 的最大值为8. 能力提升13．已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0，其中ak 1，ak 2，…，ak n 恰为等比数列，若k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，求k 1＋k 2＋…＋k n .解 由题意知a 25＝a 1a 17，即(a 1＋4d )2＝a 1(a 1＋16d )． ∵d ≠0，由此解得2d ＝a 1.公比q ＝a 5a 1＝a 1＋4d a 1＝3.∴ak n ＝a 1·3n －1.又ak n ＝a 1＋(k n －1)d ＝k n ＋12a 1，∴a 1·3n －1＝k n ＋12a 1.∵a 1≠0，∴k n ＝2·3n －1－1，∴k 1＋k 2＋…＋k n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)－n ＝3n －n －1.14．设数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和S n 满足关系式： 3tS n －(2t ＋3)S n －1＝3t (t >0，n ＝2,3,4，…)．(1)求证：数列{a n }是等比数列；(2)设数列{a n }的公比为f (t )，作数列{b n }，使b 1＝1，b n ＝f ⎝⎛⎭⎫1bn －1(n ＝2,3,4，…)．求数列{b n }的通项b n ；(3)求和：b 1b 2－b 2b 3＋b 3b 4－b 4b 5＋…＋b 2n －1b 2n －b 2n ·b 2n ＋1. (1)证明 由a 1＝S 1＝1，S 2＝1＋a 2，得a 2＝3＋2t 3t ，a 2a 1＝3＋2t3t.又3tS n －(2t ＋3)S n －1＝3t ， ① 3tS n －1－(2t ＋3)S n －2＝3t . ② ①－②，得3ta n －(2t ＋3)a n －1＝0. ∴a n a n －1＝2t ＋33t ，(n ＝2,3，…)．∴数列{a n }是一个首项为1，公比为2t ＋33t的等比数列．(2)解 由f (t )＝2t ＋33t ＝23＋1t ，得b n ＝f ⎝⎛⎭⎫1b n －1＝23＋b n －1.∴数列{b n }是一个首项为1，公差为23的等差数列．∴b n ＝1＋23(n －1)＝2n ＋13.(3)解 由b n ＝2n ＋13，可知{b 2n －1}和{b 2n }是首项分别为1和53，公差均为43的等差数列．于是b 1b 2－b 2b 3＋b 3b 4－b 4b 5＋…＋b 2n －1b 2n －b 2n b 2n ＋1＝b 2(b 1－b 3)＋b 4(b 3－b 5)＋b 6(b 5－b 7)＋…＋b 2n (b 2n －1－b 2n ＋1)＝－43(b 2＋b 4＋…＋b 2n )＝－43·12n ⎝⎛⎭⎫53＋4n ＋13＝－49(2n 2＋3n )．1．等差数列和等比数列各有五个量a 1，n ，d ，a n ，S n 或a 1，n ，q ，a n ，S n .一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和d (或q )，问题可迎刃而解．2．数列的综合问题通常可以从以下三个角度去考虑：①建立基本量的方程(组)求解；②巧用等差数列或等比数列的性质求解；③构建递推关系求解．.....................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。
105高中数学数列专题复习(综合训练篇含答案)105
数列高考复习(附参考答案)———综合训练篇一、选择题：1． 在等差数列{}n a 中，12031581=++a a a ，则1092a a -的值为 （ D ）A ．18B ．20C ．22D ．242．等差数列{}n a 满足：30,8531==+S a a ，若等比数列{}n b 满足,,4311a b a b ==则5b 为（ B ） A ．16B ．32C ．64D ．273．等差数列{}n a 中,,27,39963741=++=++a a a a a a 则数列{}n a 的前9项之和S 9等于 （ C ）A ．66B ．144C ．99D ．2974．各项都是正数的等比数列{}n a 的公比q ≠1，且2a ，321a ，1a 成等差数列，则5443a a a a ++为（A ） A ．215- B ．215+ C ．251- D ．215+或215-5.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若,336=S S 则=69S S（ B ） A. 2 B.73 C. 83D.3 6．已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且210S =，555S =，则过点(,)n P n a 和2(2,)()n Q n a n N *++∈的直线的一个方向向量的坐标是 ( B )A.1(2,)2B.1(,2)2-- C.1(,1)2-- D.(1,1)-- 7．设a 、b 、c 为实数,3a 、4b 、5c 成等比数列,且a 1、b 1、c 1成等差数列，则a c c a +的值为（ C ） A ．1594B ．1594±C ．1534 D ．1534±8． 已知数列{}n a 的通项,1323211⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=--n n n a 则下列表述正确的是 ( A ) A ．最大项为,1a 最小项为3a B ．最大项为,1a 最小项不存在 C ．最大项不存在，最小项为3a D ．最大项为,1a 最小项为4a9.已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99.以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（B ）A ．21B ．20C ．19D ．189．一系列椭圆都以一定直线l 为准线，所有椭圆的中心都在定点M ，且点M 到l 的距离为2，若这一系列椭圆的离心率组成以43为首项，31为公比的等比数列，而椭圆相应的长半轴长为a i =(i=1，2，…，n)，设b n =2（2n+1）·3n －2·a n ，且C n =11+n n b b ，T n =C 1+C 2+…+C n ，若对任意n ∈N*，总有T n >90m 恒成立，则m 的最大正整数为（ B ）A ．3B ．5C ．6D ．9二、填空题：10．已知等差数列{}n a 前n 项和S n =－n 2+2tn ，当n 仅当n=7时S n 最大，则t 的取值范围是 (6.5，7.5) .11． 数列{}n a 的通项公式是⎪⎩⎪⎨⎧=)(2)(2为偶数为奇数n n na nn ，则数列的前2m （m 为正整数）项和是 2m+1+m 2－2 .12．已知数列{}n a 满足：434121,0,,N ,n n n n a a a a n *--===∈则2009a =________；2014a =_________.【答案】1，0【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.依题意，得2009450331a a ⨯-==，2014210071007425210a a a a ⨯⨯-====.∴应填1，0.13．在数列{}n a 和{}n b 中，b n 是a n 与a n +1的等差中项，a 1 = 2且对任意*N n ∈都有3a n +1－a n = 0，则数列{b n }的通项公式 n n b 34= . 14． 设P 1，P 2，…P n …顺次为函数)0(1>=x xy 图像上的点（如图），Q 1，Q 2，…Q n …顺次为x 轴上的点，且n n n Q P Q Q P O Q OP 122111,,-∆∆∆ ，…，均为等腰直解三角形（其中P n 为直角顶点）.设Q n 的坐标为（*)0)(0,N x n ∈，则数列{a n }的通项公式为n x n 2=*)N n ∈ .三、解答题：15．已知}{n a 是等比数列，S n 是其前n 项的和，a 1，a 7，a 4成等差数列，求证：2S 3，S 6，S 12－S 6，成等比数列.15. [解法1]由已知.21,2,26361311741q q q a q a a a a a =+∴=+=+………………（2分）当66663124373124126361,2()2()2()2q S S S S a a a S a q a q a q S S q ≠-=+++=++=时…………（4分）.1)1(1)1()1()1(266616318633S S qq a S q q a q S S q =⋅--=⋅--⋅+=+=………………（8分）当,)(2,6,6,3,126612316121613S S S S a S S a S a S q =-=-===同样有时……（10分）所以，61263,,2S S S S -成等比数列.………………………………………………（12分） [解法2]由已知636131174121,2,2q q q a q a a a a a =+∴=+=+，……………（2分）当,36)12(32)(2,1231314122a a a a S S S q =-⨯=-=时∴==.36)6(232126a a S ∴=-.)(2266122S S S S 61263,,2S S S S -成等比数列.…（6分）当,221)1(2111212,1633636q q q q S S q ⋅=+=--⋅=≠时…………………………（8分） ∴61263,,2S S S S -成等比数列.……………………………………………………（11分）综上，61263,,2S S S S -成等比数列.………………………………………………（12分）16.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意自然数n 总有p a p S n n (),1(-=为常数，且q q n b b p p n n (2}{),1,0+=≠≠中有数列为常数）。
(word完整版)高中数学数列专题复习(综合训练篇含答案),推荐文档
数列———综合训练篇一、选择题：1． 在等差数列{}n a 中，12031581=++a a a ，则1092a a -的值为 （ ）A ．18B ．20C ．22D ．242．等差数列{}n a 满足：30,8531==+S a a ，若等比数列{}n b 满足,,4311a b a b ==则5b 为（ ） A ．16B ．32C ．64D ．273．等差数列{}n a 中,,27,39963741=++=++a a a a a a 则数列{}n a 的前9项之和S 9等于（ ） A ．66B ．144C ．99D ．2974．各项都是正数的等比数列{}n a 的公比q ≠1，且2a ，321a ，1a 成等差数列，则5443a a a a ++为（ ） A ．215- B ．215+ C ．251- D ．215+或215-5.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若,336=S S 则=69S S（ ） A. 2 B.73 C. 83D.3 6．已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且210S =，555S =，则过点(,)n P n a 和2(2,)()n Q n a n N *++∈的直线的一个方向向量的坐标是 ( )A.1(2,)2 B.1(,2)2-- C.1(,1)2-- D.(1,1)-- 7．设a 、b 、c 为实数,3a 、4b 、5c 成等比数列,且a 1、b 1、c 1成等差数列，则acc a +的值为（ ）A ．1594B ．1594±C ．1534 D ．1534±8． 已知数列{}n a 的通项,1323211⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=--n n n a 则下列表述正确的是 ( ) A ．最大项为,1a 最小项为3a B ．最大项为,1a 最小项不存在 C ．最大项不存在，最小项为3a D ．最大项为,1a 最小项为4a9.已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99.以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（ ）A ．21B ．20C ．19D ．1810．一系列椭圆都以一定直线l 为准线，所有椭圆的中心都在定点M ，且点M 到l 的距离为2，若这一系列椭圆的离心率组成以43为首项，31为公比的等比数列，而椭圆相应的长半轴长为a i =(i=1，2，…，n)，设b n =2（2n+1）·3n －2·a n ，且C n =11+n n b b ，T n =C 1+C 2+…+C n ，若对任意n ∈N*，总有T n >90m恒成立，则m 的最大正整数为（ ）A ．3B ．5C ．6D ．9二、填空题：11．已知等差数列{}n a 前n 项和S n =－n 2+2tn ，当n 仅当n=7时S n 最大，则t 的取值范围是 . 12． 数列{}n a 的通项公式是⎪⎩⎪⎨⎧=)(2)(2为偶数为奇数n n na nn ，则数列的前2m （m 为正整数）项和是 .13．已知数列{}n a 满足：434121,0,,N ,n n n n a a a a n *--===∈则2009a =________；2014a =_________.14．在数列{}n a 和{}n b 中，b n 是a n 与a n +1的等差中项，a 1 = 2且对任意*N n ∈都有 3a n +1－a n = 0，则数列{b n }的通项公式 . 15． 设P 1，P 2，…P n …顺次为函数)0(1>=x xy 图像上的点（如图），Q 1，Q 2，…Q n …顺次为x 轴上的点，且n n n Q P Q Q P O Q OP 122111,,-∆∆∆Λ，…，均为等腰直角三角形（其中P n 为直角顶点）.设Q n 的坐标为（*)0)(0,N x n ∈，则数列{a n }的通项公式为 .三、解答题：16．已知}{n a 是等比数列，S n 是其前n 项的和，a 1，a 7，a 4成等差数列，求证：2S 3，S 6，S 12－S 6，成等比数列.17.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意自然数n 总有p a p S n n (),1(-=为常数，且q q n b b p p n n (2}{),1,0+=≠≠中有数列为常数）。
高中数学数列基础知识点和综合练习(含答案)新人教A版必修5
明的性质解题 .
3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“
a,a+m,a+2m（或
a-m,a,a+m）” ② 三 数 成 等 比 数 列 ， 可 设 三 数 为 “ a,aq,aq 2( 或 a ， a,aq ) ” ③ 四 数 成 等 差 数 列 ， 可 设 四 数 为 q
⑥若 { a n} 是公差为 d 的等差数列 ,
1° . 若 n 为奇数，则 Sn na中 且S奇 S偶 a中 (注 : a中指中项 ,即a中 an 1, 而 S 奇、 S偶 指所有奇数项、所有偶
2
数项的和）；
nd
2° . 若 n 为偶数，则 S偶 S奇
.
2
（二）学习要点：
1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差
（ 1）求证： { a n} 是等差数列；
（ 2）若数列 { bn }满足 :
b1 3b2 5b3
(2n 1)bn 2 n 1a n 6
求证： { bn } 是等比数列 .
2Sn n( an 1)
①
[ 解析 ] （ 1）
2Sn 1 (n 1)( an 1 1) ②
②－①得 2an (n 1)a n 1 nan 1 (n 1)a n 1 nan 1,
125 1 125 5 25,
m a与m a均为正整数 ,且m a m a,
ma 1
ma2
m a 125 m a 25
解得 a 62或a 12(不合 ), 所求四数为 47， 57，67， 77
[ 评析 ] 巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是 主要方法 .
第4章数列 综合测试(2)【新教材】人教A版(2019)高中数学选择性必修第二册章节复习含答案
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！人教A 版选择性必修第二册第四章数列综合测试2一、单选题1．设数列{}n a 满足()120,n n n a a a n N ++=¹Î，则84a a =（ ）A ．2B ．4C ．8D ．162．在等差数列{}n a 中，276a a +=，则18a a +等于（ ）.A ．6B ．12C ．24D ．323．等比数列{}n a 中，1234a a a ++=，4568a a a ++=，则789a a a ++等于（ ）A ．16B ．32C ．64D ．1284．设数列{}n a 的通项公式为2n n a n+=，要使它的前n 项的乘积大于36，则n 的最小值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．95．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，226598225a a a a ++=，则113a a 的最大值是（ ）A ．25B ．254C ．5D ．256．已知等差数列{}n a 的公差d 为正数，()()111,211,n n n a a a tn a t +=+=+为常数，则n a =（ ）A ．21n -B ．43n -C ．54n -D ．n7．在等差数列{}n a 中，10a >，81335a a =，则n S 中最大的是（ ）A ．21S B ．20S C ．19S D ．18S8．设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别是n S 、n T .若237n n S n T n =+，则63a b 的值为（ ）A ．511B ．38C ．1D ．29．在数列{}n a 中，129a =-，()*13n n a a n +=+ÎN ，则1220aa a +++=L （）A ．10B ．145C ．300D ．32010．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）A ．12尺布B ．518尺布C ．1631尺布D ．1629尺布11．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积列”.若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2022积数列”，且a 1>1，则当其前n 项的乘积取最大值时，n 的最大值为（ ）A ．1009B ．1010C ．1011D ．202012．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，2n ³且*n ÎN ，满足120n n n a S S -+=，数列1n S ìüíýîþ的前n 项和为n T ，则下列说法中错误的是（ ）A ．214a =-B ．648211S S S =+C ．数列{}12n n n S S S +++-的最大项为712D ．1121n n n n nT T T n n +-=++第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．在公差不为0的等差数列{a n }中，a 1、a 3、a 4成等比数列，则该等比数列的公比为_______.14．若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==，则22a b =_________．15．在数列{}n a 中，11a =，22a =，()*212n n n a a a n ++=+ÎN，记()321nn n n c a l =-´-，若对任意的*n ÎN ，1n n c c +>恒成立，则实数l 的取值范围为______.16．有一个数阵排列如下：1 2 4 7 11 16 22……3 5 8 12 17 23…………6 9 13 18 24………………10 14 19 25……………………15 20 26…………………………21 27………………………………28……………………………………………………………………………则第40行从左至右第6个数字为______.三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，*n ÎN ，11a =，232a =，354a =，且当2n ³时，211458n n n n S S S S ++-+=+．（Ⅰ）求4a 的值；（Ⅱ）证明：112n n a a +ìü-íýîþ为等比数列．18．已知数列{}n a 的前n 项和n S 与通项n a 满足1122n n S a =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3()log f x x =，()()()12n n b f a f a f a =+++L ，12111n nT b b b =+++L ，求2019T .19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ．（Ⅰ）若{}n a 为等差数列，求证：()12n n n a a S +=；（Ⅱ）若()12n n n a a S +=，求证：{}n a 为等差数列．20．在数列{}n a 中，112a =，1(42)(21)n n n a n a +-=+．（1）设21nn a b n =-，证明：{}n b 是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，证明：3n S <．21．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，5624a a +=，11143S =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足()1*12n a n T n a -=-ÎN ．（1）求数列{}n a 的通项公式及数列11n n a a +ìüíýîþ的前n 项和；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由．22．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，37a =，648S =，数列{}n b 满足122n n b b +=+，13b =.（1）证明：数列{}2n b -是等比数列，并求数列{}n a 与数列{}n b 通项公式；（2）若()2n n n c a b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T .参考答案1．D 【分析】根据等比数列的定义可得数列{}n a 是以2为公比的等比数列，由此可得选项.【详解】因为数列{}n a 满足()120,n n n a a a n N++=¹Î，所以数列{}na 是以2为公比的等比数列，所以484482162a a -===，故选：D.【点睛】本题考查等比数列的定义，属于基础题.2．A 【分析】由等差数列的性质可得选项.【详解】由等差数列的性质得18276a a a a +=+=，故选：A.【点睛】本题考查等差数列的性质，属于基础题.3．A 【分析】由()4633512a a a a a a q +++=+，求得3q ，再由()37s 94s 6a a a a a a q ++=++求解.【详解】1234a a a ++=Q ，4568a a a ++=.∴32q =，∴()378945616a a a a a a q ++=++=.故选：A 4．C 【分析】先求出数列{}n a 的前n 项的乘积为n D ，令0n D >解不等式，结合*n N Î，即可求解.【详解】记数列{}n a 的前n 项的乘积为n D ，则()()12112451232312n n n n n n n D a a a a n n -++++=××=´´´´´=-L L 依题意有()()12362n n ++>整理得()()23707100n n n n +-=-+>解得：7n >，因为*n N Î，所以min 8n =，故选：C 5．B【分析】由等比数列的性质，求得685a a +=，再结合基本不等式，即可求得113a a 的最大值，得到答案.【详解】由等比数列的性质，可得()2222265986688682225a a a a a a a a a a ++=++=+=，又因为0n a >，所以685a a +=，所以268113682524a a a a a a +æö=£=ç÷èø，当且仅当6852a a ==时取等号．故选：B .6．A 【分析】由已知等式分别求出数列的前三项，由2132a a a =+列出方程，求出公差，利用等差数列的通项公式求解可得答案．【详解】11a =Q ，()()1211n n n a a tn a ++=+,令1n =，则()()121211a a t a +=+，解得21a t =-令2n =，则()()2322121a a t a +=+，即()2311t a t -=-，若1t =，则20,1a d ==，与已知矛盾，故解得31a t =+{}n a Q 等差数列，2132a a a \=+，即()2111t t -=++，解得4t =则公差212d a a =-=，所以()1121n a a n d n =+-=-.故选：A 7．B 【分析】设等差数列的公差为d .由已知得()()1137512a d a d +=+，可得关系1392a d =-.再运用求和公式和二次函数的性质可得选项.【详解】设等差数列的公差为d .由81335a a =得，()()1137512a d a d +=+，整理得，1392a d =-.又10a >，所以0d <，因此222120(20)2002222n d d d dS n a n n dn n d æö=+-=-=--ç÷èø，所以20S 最大.故选：B.8．C 【分析】令22n S n l =，()37n T n n l =+，求出n a ，n b ，进而求出6a ，3b ，则63a b 可得．【详解】令22n S n l =，()37n T n n l =+，可得当2n ³时，()()221221221n n n a S S n n n l l l -=-=--=-，()()()()137134232n n n b T T n n n n n l l l -=-=+--+=+，当1n =，()11112,3710a S b T l l l ====+=，符合()221n a n l =-，()232n b n l=+故622a l =，322b l =，故631a b =.【点睛】由n S 求n a 时，11,1,2n nn S n a S S n -=ì=í-³î，注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件含a n 与S n 的关系的数列题均可考虑上述公式求解．9．C 【分析】由等差数列的性质可得332n a n =-，结合分组求和法即可得解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
——教学资料参考参考范本——人教版最新高中数学数列专题复习(综合训练篇含答案)Word版______年______月______日____________________部门———综合训练篇一、选择题：1． 在等差数列中，，则的值为 （ D ）{}n a 12031581=++a a a 1092a a -A ．18B ．20C ．22D ．242．等差数列满足：，若等比数列满足则为（ B ） A ．16 B ．32C ．64D ．27{}n a 30,8531==+S a a {}n b ,,4311a b a b ==5b3．等差数列中,则数列的前9项之和S9等于{}n a 1a {a（ C ）A ．66B ．144C ．99D ．2974．各项都是正数的等比数列的公比q ≠1，且，，成等差数列，则为（A ） A ． B ． C ． D ．或{}n a 2a 321a 1a 5443a a a a ++215-215+251-215+215-5.设等比数列的前项和为，若则（ B ）{}n a n n S ,336=S S =69S S A. 2 B. C. D.373836．已知等差数列的前项的和为，且，，则过点和的直线的一个方向向量的坐标是 ( B ){}n a n n S 210S =555S =(,)n P n a 2(2,)()n Q n a n N *++∈A. B. C. D.1(2,)21(,2)2--1(,1)2--(1,1)-- 7．设a 、b 、c 为实数,3a 、4b 、5c 成等比数列,且、、成等差数列，则的值为（ C ） A ．B ．C ．D ．a 1b1c 1a c c a +15941594±15341534±8． 已知数列的通项则下列表述正确的是 ( A ){}n a ,1323211⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=--n n n aA ．最大项为最小项为B ．最大项为最小项不存在,1a 3a ,1aC ．最大项不存在，最小项为D ．最大项为最小项为3a ,1a 4a9.已知为等差数列，++=105，=99.以表示的前项和，则使得达到最大值的是（B ）{}n a 1a 3a 5a 246a a a ++n S {}n an n S n A ．21 B ．20 C ．19 D ．18 9．一系列椭圆都以一定直线l 为准线，所有椭圆的中心都在定点M ，且点M 到l 的距离为2，若这一系列椭圆的离心率组成以为首项，为公比的等比数列，而椭圆相应的长半轴长为ai=(i=1，2，…，n)，设bn=2（2n+1）·3n －2·an ，且Cn=，Tn=C1+C2+…+Cn ，若对任意n ∈N*，总有Tn>恒成立，则m 的最大正整数为 （ B ）433111+n n b b 90mA ．3B ．5C ．6D ．9二、填空题：10．已知等差数列前n 项和Sn=－n2+2tn ，当n 仅当n=7时Sn 最大，则t 的取值范围是{}n a(6.5，7.5) .11． 数列的通项公式是，则数列的前2m （m 为正整数）项和是2m+1+m2－2 .{}n a ⎪⎩⎪⎨⎧=)(2)(2为偶数为奇数n n n a nn12．已知数列满足：则________；{}n a 434121,0,,N ,n n n n a a a a n *--===∈2009a = 2014a =_________. 【答案】1，0【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.依题意，得，.2009450331a a ⨯-==2014210071007425210a a a a ⨯⨯-==== ∴应填1，0.13．在数列和中，bn 是an 与an+1的等差中项，a1 = 2且对任意都有{}n a {}n b *N n ∈3an+1－an = 0，则数列{bn}的通项公式 .n n b 34=14． 设P1，P2，…Pn…顺次为函数图像上的点（如图），Q1，Q2，…Qn…顺次为x 轴上的点，且，…，均为等腰直解三角形（其中Pn 为直角顶点）.设Qn 的坐标为（，则数列{an}的通项公式为 .)0(1>=x xy n n n Q P Q Q P O Q OP 122111,,-∆∆∆ *)0)(0,N x n ∈n x n 2=*)N n ∈三、解答题：15．已知是等比数列，Sn 是其前n 项的和，a1，a7，a4成等差数列，求证：2S3，S6，S12－S6，成等比数列.}{n a15.[解法1]由已知………………（2分）.21,2,26361311741q q q a q a a a a a =+∴=+=+当66663124373124126361,2()2()2()2q S S S S a a a S a q a q a q S S q ≠-=+++=++=时…………（4分）………………（8分）.1)1(1)1()1()1(266616318633S S q q a S q q a q S S q =⋅--=⋅--⋅+=+=当……（10分）,)(2,6,6,3,126612316121613S S S S a S S a S a S q =-=-===同样有时所以，成等比数列.………………………………………………（12分）61263,,2S S S S -[解法2]由已知，……………（2分）636131174121,2,2q q q a q a a a a a =+∴=+=+当,36)12(32)(2,1231314122a a a a S S S q =-⨯=-=时成等比数列.…（6分）∴==.36)6(232126a a S ∴=-.)(2266122S S S S 61263,,2S S S S -当…………………………（8分）,221)1(2111212,1633636q q q q S S q ⋅=+=--⋅=≠时∴成等比数列.……………………………………………………（11分）61263,,2S S S S -综上，成等比数列.………………………………………………（12分）61263,,2S S S S -16.已知数列{an}的前n 项和为Sn ，且对任意自然数n 总有为常数，且p a p S n n (),1(-=q q n b b p p n n (2}{),1,0+=≠≠中有数列为常数）。
（1）求数列{an}的通项公式； （2）若求p 的取值范围。
2211,b a b a <= 16．解：（1）)1,0(1)1(1111≠≠-=-==p p p pa a p S a 解得当111)1()(2---=--=-=≥n n n n n n n pa a p a a p S S a n 整理得时，故 …………4分)1,0,,2(11≠≠∈≥-=+-p p N n n p pa a n n由1,111-=-=-p pa a p p a n n得………………………………6分)()1()1(11+-∈-=--=N n p p p p p p a nn n（2）由已知得021)1(4)1(2122<----⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<-+=-p p p p q qp p q p p并整理得消去则211<-<-p p有 ………………………………9分221><p p 或又………………12分10,(,0)(0,)(2,)2p p ≠∴-∞⋃⋃+∞的取值范围为16.新星家俱厂开发了两种新型拳头产品，一种是模拟太空椅，一种是多功能办公桌.20xx 年该厂生产的模拟太空椅获利48万元，以后它又以上年利润的1.25倍的速度递增；而多功能办公桌在同年获利75万元，这个利润是上年利润的，以后每年的利润均以此方式产生. 预期计划若干年后两产品利润之和达到174万元. 从20xx年起，54（I ）哪一年两产品获利之和最小？（II ）至少经过几年即可达到或超过预期计划？ 16．分））（时取（当且仅当）（分，）（则分）万元万元，办公桌获利年太空椅获利）设第解：（5”“2120)54(754548)3..(..................................................)54(7545481......(1111==≥+=+∴==I ----n y x y x y x n n n n n n n n n n n故第20xx 年两产品获利最小.……………………………………………………（6分）（II ）则有）（，又令）（令,45174)54(754548111---==+=+n n n n n t y x.7年即可超过预期计划故至少经过…………………………………………（1分）17.（选做题）已知函数的反函数为，数列{an}满足：a1 = 1， ，数列是首项为1，公比为的等比数列.)4(44)(≥+-=x x x x f )(1x f-)(),(*11N n a fa n n ∈=-+123121,,,----n n b b b b b b b 31（Ⅰ）求证：数列为等差数列；}{n a（Ⅱ）若，求数列的前n 项和Sn.n n n b a c ⋅=}{n c17．解：（Ⅰ），)4()2(44)(2≥-=+-=x x x x x f，…………………………………………2分)0()2()(21≥+=∴-x x x f，即211)2()(+==∴-+n n n a a fa (4)分).(2*1N n a a n n ∈=-+∴数列为首项，公差为2的等差数列 …………………………6分1}{1=a a n 是以（Ⅱ）由（1）得：，即12)1(21-=-+=n n a n (8)分)()12(*2N n n a n ∈-=b1 = 1，当，11)31(,2--=-≥n n n b b n 时因而 ……………………………………………………10分.),311(23*N n b n n ∈-=令 ①n n n T 31233312-+++=则 ②143231233235333131+-+-++++=n nn n n T①－②，得.311n n n T +-=∴又1 + 3 + 5 + … +（2n －1）= n2，).311(232n n n n S ++-=∴ …………………………………………………………14分18.11(),(0,){}1,();21n n n xf x x a a a f a x +=∈+∞==+（选做题）已知函数，数列满足数1111{},,{}n 1,2,3,.212()n n n n n b b b s b n f s +===-列满足其中为数列前项和，（1）;}{}{的通项公式和数列求数列n n b a （2）.5:,1112211<+++=n nn n T b a b a b a T 证明设18．解:（20xx 天津卷） 已知等差数列的公差为，等比数列的公比为.设,{}n a )0(≠d d {}n b )1(>q q 1122......n n nS a b a b a b =+++*12211,)1(N n b a b a b a T n n n n ∈-+⋅⋅⋅+-=-（Ⅰ）若求 的值；,3,2,111====q d b a 3S（Ⅱ）若，证明：11=b 2*2222(1)(1)(1),1n n n dq q q S q T n N q ---+=∈-（Ⅲ）若正整数n 满足2nq ，设的两个不同的排列，， 证明。