等比数列及前n项和练习题整理
等比数列的前n项和公式专题练习(解析版)
等比数列的前n 项和公式一、单选题 1．（2021·内蒙古宁城·高三月考（文））已知{}n a 是等比数列，若12a =，528a a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 为（ ） A ．22n - B ．121n +- C ．122n +- D ．21n -【答案】C 【分析】设公比为q ，根据528a a =求得公比，再利用等比数列前n 项和的公式即可得出答案. 【详解】 解：设公比为q ，因为528a a =，所以3528a q a ==，所以2q ，所以()12122212nn n S +⨯-==--.故选：C.2．（2021·河北·高三月考）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，42S =，810S =，则{}n a 的公比为( ) A．1 B C ．2 D ．4【答案】B 【分析】利用等比数列的性质求解即可. 【详解】因为42S =，810S =，{}n a 为正项等比数列，所以4845678412344S S a a a a q S a a a a -+++===+++，解得q 故选：B ．3．（2021·西藏·拉萨那曲第二高级中学高三月考（文））记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若214a =，378S =，则公比q = （ ） A ．12-B ．12C ．2D ．12或2【答案】D 【分析】根据等比数列的性质可得2132116a a a ==，再由378S =，可得1358a a +=，分别求出13,a a ，即可得出答案. 【详解】解：在等比数列{}n a 中，若214a =，则2132116a a a ==，312378S a a a =++=，所以1358a a +=， 由13116a a =，1358a a +=，解得131218a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或131812a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，当131218a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，2112a a q ==， 当131812a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，212a q a ==， 所以q =12或2.故选：D.4．（2021·全国·高二单元测试）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，()112322n n n a a n ---=⋅≥，且1232a a =.记n T 为数列1nn a S ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和，若对任意*n ∈N ，n T m <，则m 的最小值为（ ） A ．3 B ．13C ．2D ．12【答案】B 【分析】 由已知得()111112242n n n n a a n --⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭.再求得13a =，从而有数列12n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，14为公比的等比数列，由等比数列的通项公式求得n a ，再利用分组求和的方法，以及等比数列求和公式求得n S ，从而求得n T 得答案. 【详解】解：由()112322n n n a a n ---=⋅≥，得()111322424n n n n a a n --=⋅+≥，∴()111112242n n n n a a n --⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭. 又由()112322n n n a a n ---=⋅≥，得2126a a -=，又1232a a =，∴13a =.所以111122a -=，∴数列12n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，14为公比的等比数列，则12111112242n n n na --⎛⎫⎛⎫-=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()12122122n n n nn a --=+=+，∴()()231111212112122222221221212nn n n n n n S --⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭=++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+=+=⋅- ⎪-⎝⎭-，∴111112222232n n n n nn n a S --==+++⋅-⋅.∴+12111111111122113222332312n n n n T ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++⋅⋅⋅+=⨯=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-. ∵对任意*n ∈N ，n T m <，∴m 的最小值为13.故选：B.5．（2021·江苏省苏州第十中学校高二月考）已知等比数列{a n }的首项为1，公比为2，则a 12+a 22+⋯+a n 2＝（ ） A ．（2n ﹣1）2 B ．()1213n- C ．4n ﹣1 D ．()1413n- 【答案】D 【分析】根据等比数列定义，求出214n n n b a -==，可证明{}n b 是以1为首项，4为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式，可得解 【详解】由等比数列的定义，11122n n n a --=⋅=故222124n n n n b a --=== 由于112144,104n n n n b b b ---===≠ 故{}n b 是以1为首项，4为公比的等比数列 a 12+a 22+⋯+a n 2＝1(14)41143n n ⋅--=- 故选：D6．（2021·河南郑州·高二期中（理））设n A ，n B 分别为等比数列{}n a ，{}n b 的前n 项和．若23n n n n A aB b+=+（a ，b 为常数），则74a b =（ ）A ．12881B ．12780C ．3227D ．2726【答案】C 【分析】设(2),(3)n nn n A a m B b m =+=+，项和转换776a A A =-，443b B B =-求解即可【详解】由题意，23n n n n A a B b+=+ 设(2),(3)n nn n A a m B b m =+=+则76776[(2)(2)]64a A A a a m m =-=+-+=()()434433354b B B b b m m ⎡⎤=-=+-+=⎣⎦7464325427a mb m ∴== 故选：C7．（2021·河南郑州·高二期中（理））设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列．已知数列{}n n a b +的前n 项和()2*51N n n S n n =+-∈，则d q -=（ ）A ．3-B ．1-C ．2D ．4【答案】A 【分析】设数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为,n n A B ，然后利用分求出,n n A B ，再利用n n n S A B =+列方程，由对应项的系数相等可求出结果 【详解】设数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为,n n A B ，则 ()()1211111,222111n n n n b q n n db d d q A a n a n n B q q q --⎛⎫=+=-+==-⎪---⎝⎭（1q ≠）， 若1q =，则1n B nb =，则2211()5122n nn n d d S A n B a n n nb =+==+++--，显然没有出现5n ，所以1q ≠，所以21121221511n n b n b q d d a n n q q ⎛⎫-++-+= ⎪--⎝-⎭， 由两边的对应项相等可得110,1,5,1221b d da q q-====--， 解得111,2,5,4a d q b ====， 所以3d q -=-.8．（2021·福建·泉州科技中学高三月考）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为12n -，若去除所有为1的项，依次构成数列233464510105，，，，，，，，，，，则此数列的前35项和为（ ）A ．994B ．995C ．1003D ．1004【答案】B 【分析】没有去掉“1”之前，可得每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，可求出其前n 项和为21n n S =-，每一行的个数构成一个首项为1，公差为1的等差数列，从而可求出前n 项总个数为(1)2n n n T +=，由此可计算出第10行去掉“1”后的最后一个数为第36个数，从而可求出前35项和。
等比数列前n项和公式基础训练题(有详解)
1．A
【解析】
【分析】
利用等比数列的通项公式、前 项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出 ．
【详解】
解： 等比数列 为单调递增数列，
设其前 项和为 ， ， ，
，
解得 ， ，
．
故选： ．
【点睛】
本题考查数列的第5项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
23．已知正项等比数列{ }满足 .记 ，则数列{ }的前 项和为________.
三、解答题
24．已知 为等差数列，且 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）若等比数列 满足 ， ，求数列 的前 项和公式．
25．等比数列{ }的前n项和为 ，已知 , , 成等差数列
（1）求{ }的公比q；
（2）求 － ＝3，求
【详解】
因为 ，所以 ．又 ，所以 ， ，
【点睛】
若 是等比数列，且 ，则 ，
前 项和公式 。
6．B
【解析】
【分析】
根据等比数列通项公式，可求得首项与公比；再代入即可求得结果。
【详解】
数列 是等比数列，且 ，
所以由通项公式可得 ，解得
所以
代入
可得
所以选B
【点睛】
本题考查了等比数列通项公式的简单应用，属于基础题。
等比数列前n项和公式基础训练题（有详解)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知等比数列 为单调递增数列，设其前 项和为 ，若 ， ，则 的值为（ ）
A．16B．32C．8D．
2．设等比数列{ }的前n项和为 ，若 =3，则 =
等比数列的前项和及性质6大题型总结 (原卷版)
等比数列的前项和及性质考点预测及题型总结【题型目录】题型一：等比数列求和公式基本运用题型二：等比数列前项片段和的性质及应用n 题型三：等比数列前项和的特点n 题型四：等比数列前奇偶项和的性质及应用（3）为等比数列，若，则成等比数列．}n a 2＝⋅⋯n n a a a T 232，，， nn n nnT T TT T（4）当，时，是成等比数列的充要条件，此时．0≠q 1≠q )·0－=≠n n S k k q k }n a 11=-ak q题型五：等比数列前项和新文化试题n 题型六：等差等比数列的判定【典型例题】题型一：等比数列求和公式基本运用【例1】（2022·河北深州市中学高三阶段练习）设正项等比数列的前n 项和为，若{}n an S ，则（ ）13223823,2a S a S a =-=-8S =A ．510B ．511C ．1022D ．1023【例2】（2022·四川省绵阳南山中学高三阶段练习（文））中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则下列说法正确的是（ ）A ．该人第五天走的路程为14里B ．该人第三天走的路程为42里C ．该人前三天共走的路程为330里D ．该人最后三天共走的路程为42里【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，对于任意的，都有{}n a12a =N m n *∈，=m n m na a a +.若正整数满足,则（ ）k 1551210=22k k k a a a ++++++- k =A ．2B ．3C ．4D ．5【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知正项等比数列的前项和，满足，则{}n an n S 4223S S -=64S S -的最小值为（ ）A ．B ．3C ．4D ．1214【例5】（2023·全国·高三专题练习）等比数列{an }的各项均为实数，其前n 项和为Sn ，已知,374S =，则的值是（ ）6634S =8a A ．28 B ．32 C ．35 D ．41【例6】（2022·甘肃·敦煌中学高二阶段练习）设为公比的等比数列的前n 项和，且n S 1q ≠{}n a成等差数列，则________．1233,2,a a a 42S S =【例7】（2022·江西·临川一中高三阶段练习（文））已知等差数列的前n 项和为{}n anS ，且关于x 的不等式的解集为．()212260a x S x -++<(2,3)(1)求数列的通项公式；{}n a(2)若数列满足，求数列的前n 项和．{}n b 221na n nb a =+-{}n bn T 【例8】（2022·辽宁·本溪满族自治县高级中学高三阶段练习）在等差数列中，已知，{}n a28a =，10185S =(1)求此数列的通项公式；(2)若从此数列中依次取出第二项，第四项，第八项，……，第2n项，……并按原来的先后顺序组成一个新的数列，求数列的通项公式与前项和.{}n b{}n bn n T 【题型专练】1．（2022·全国·高三专题练习）等比数列的前项和为，且，，成等差数列．若{}n an n S 14a 22a 3a ，则（ ）11a =4S =A ．16B ．15C ．8D ．72．（2022·河北·三河市第三中学高三阶段练习）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第三天走了（ ）A ．192 里B ．96 里C ．48 里D ．24 里3．（2022·浙江省杭州第九中学高二期末）已知正项等比数列前项和为，且，{}n an n S 136a a +=，则等比数列的公比为（ ）4233S a S +=+A ．B ．2C ．D ．312134．（2022·江西·高三阶段练习（文））记正项等比数列的前n 项和为，若{}n an S 2373S S =，则该数列的公比（ ）q =A ．B ．C ．2D ．313125．（2022·全国·高三专题练习）设正项等比数列的前项和为，若，，则公比{}n an n S 23S =415S =（ ）q =A ．5B ．4C ．3D ．26．（2022·湖北武汉·高三开学考试）设正项等比数列的前项和为，若{}n an n S ，则（ ）32187238,22S a a S S =+=+2a =A ．4B ．3C ．2D ．17．（2022·四川·高三阶段练习（理））设等比数列 的前项和为，且{}n an n S ，则（ ）1232347,14a a a a a a ++=++=63S S -=A ．28B ．42C ．49D ．568．（2022·上海市吴淞中学高三开学考试）已知数列满足，（），则{}n a 11a =12n n n a a +⋅=*N n ∈2012S =（ ）A ．B ．C ．D ．201221-1006323⨯-1006321⨯-1005322⨯-9．（2022·全国·高三专题练习）设是正项等比数列，为其前项和，已知，则{}n an S n 1531,7a a S ==（ ）6S =A ．B ．C ．D ．61463863461810．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等比数列的前n 项和为，前n 项积为，满足{}n an S n T ，则的最小值是（ ）12311,238a a S a ==-n T A ．B ．C ．D ．116132164112811．（2022·安徽省宣城中学高二期末）我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”，意思是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大､小鼠第一天都进一尺，以后每天大鼠加倍，小鼠减半，则在第几天两鼠相遇？这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为10尺，则在第（ ）天墙才能被打穿？A ．3B ．4C ．5D ．612．（2022·新疆·乌市八中高二期末（理））已知正项等比数列的前项和为，{}n an n S ，则（ ）241364,10,126n a a a a S =+==n =A ．B ．C ．D ．456713．（2023·全国·高三专题练习多选题）中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”．其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则下列说法正确的是（ ）A ．该人第五天走的路程为12里B ．该人第三天走的路程为42里C ．该人前三天共走的路程为330里D ．该人最后三天共走的路程为42里14．（2022·上海·高三开学考试）已知是等比数列，为其前n 项和，若是、{}n an S 2a 1a 2S 的等差中项，，则______．415S =1a =15．（2022·全国·高二课时练习）在等比数列中，若，，，则项数{}n a165n a a +=2164n a a -⋅=127n S =______．n =16．（2022·云南曲靖·高二期末）已知等比数列的前n 项和为，公比．若，则{}n a n S 0q <2373S S =q =__________．17．（2022·安徽·高二期末）如图，在的正方形ABCD 中，点A 1，B 1，C 1，D 1分别为正方形ABCD 各边的中点，点A 2，B 2，C 2，D 2分别为正方形A 1，B 1，C 1，D 1各边的中点，……，记正方形AnBnCnDn 的面积为an ，若数列{an }的前m 项和Sm =，则m =___________.633218．（2022·甘肃·敦煌中学高二阶段练习）在等差数列中，．{}n a2745,6a a a ==+(1)求的通项公式；{}n a(2)设为等比数列的前n 项和，若，求的值．n S {}n b1163,28b a S S ==n S 19．（2022·四川内江·高一期末（文））已知等比数列的前n 项和为，且，.{}n an S 34a =313S a =(1)求通项公式；{}n a (2)若的前3项按某种顺序重新排列后是递增等差数列的第八、九、十项，求{}n a{}n b{}n b的前n 项和的最小值.n T 题型二：等比数列前项片段和的性质及应用n【例1】（2022·全国·高二课时练习）已知各项为正的等比数列的前5项和为3，前15项和为39，则该数列的前10项和为（ ）A ．B ．C ．12D ．15【例2】（2022·全国·高三专题练习）设等比数列中，前n 项和为，已知，，则{}n a n S 83=S 67S =等于（ ）789a a a ++A ． B ． C ． D ．1818-578558【例3】（2022·四川省内江市第二中学高二开学考试（文））等比数列的前项和为，公比为{}n a n n S ，若，，则（ ）q 2321=++a a a 369S S ==9S A ．50B ．100C ．146D ．128【例4】（2022·内蒙古包头·高一期末）若等比数列的前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为A ，B ，C ，则（ ）A ．B ．A B C +=2B AC=C ．D ．()22A B C A B +=+()()A C A B B A -=-【例5】（2022·全国·高二课时练习）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（ ）A ．若数列的前n 项和（a ，b ，c 为常数），则数列为等差数列{}n a 2n S an bn c=++{}n a B ．若数列的前n 项和，则数列为等比数列{}n a 122n n S +=-{}n a C ．数列是等差数列，为前n 项和，则，，，…仍为等差数列{}n an S n S 2n n S S -32n n S S -D ．数列是等比数列，为前n 项和，则，，，…仍为等比数列{}n an S n S 2n n S S -32n n S S -【题型专练】1．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（理））等比数列的前n 项和为，已知，，则{}n a n S 9n S =236n S =（ ）3n S =A ．B ．C ．D ．144117108812．（2022·辽宁·高二期中）等比数列的前n 项和为，若，，则（ ）{}n an S 812S =2436S =16S =A ．24B ．12C ．24或－12D ．－24或123．（2022·辽宁·建平县实验中学高二期中）设等比数列的前n 项和为，若，，则{}n an S 23S =621S =（ ）84S S =A ．B ．C ．5D ．7831334．（2022·安徽滁州·高二期中）若等比数列的前n 项和为，，则{}n anS 22S =46S =+（ ）78a a +=A ．B ．C ．D．32+32+16+16+5．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列的前项和为，，，（ {}n a n n S 110=S 1330=S =40S ）A ． 51B ． 20C ．27D ．406．（2022·江西·南昌十中模拟预测（文））已知等比数列的前项和为，若，，则{}n an n S 43S =89S =的值为_______16S 7．（2022·甘肃·敦煌中学高二阶段练习）设是等比数列的前n 项和，若，则n S {}na 3613S S =3612S S S =+______.8．（2021·河北·沧县中学高三阶段练习）已知各项均为正数的等比数列的前n 项和为，若{}n an S ，，成等差数列，则______，最小值为______．2-10S 20S 20102S S -=3020S S -题型三：等比数列前项和的特点n 【例1】（2023·河北·大名县第一中学高三阶段练习）一个等比数列的前项和为n ，则（ ）(12)2n n S λλ=-+⋅λ=A ．B ．C ．D ．1-123【例2】（2022·全国·高二课时练习）若等比数列的前项和，则等于（ ）.{}n an 3nn S a =+a A ．B ．C ．D ．121-2-【例3】（2022·新疆石河子一中高三阶段练习（理））已知等比数列的前项和为，且满足{}n an n S ，则的值是122n n S λ+=+λA ．B ．C ．D ．422-4-【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知数列是等比数列，公比为，前项和为{}n aq n nS ，下列判断错误的有（ ）A ．为等比数列B ．为等差数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}2log n a C ．为等比数列D ．若，则{}1n n a a ++13n n S r -=+13r =-【题型专练】1．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，（为非零常数），且其前n 项和{}n a 1n n a ca +=c 23n n S k -=+，则实数的值为（ ）k A ．B ．C ．D ．1-13-1919-2．（2022·全国·高三专题练习）等比数列的前n 项和，则（ ）{}n a23nn S m =+⨯m =A ．B ．2C ．1D ．2-1-3．（2021·福建省长乐第一中学高二阶段练习）记为等比数列的前项和，已知，n S {}n an 11a =，则_______.1n n S a t+=+t =4．（2021·广西·柳州市第二中学高二期末（理））已知等比数列的前项和为{}n a n 13n n S t +=+，则数列的通项公式______________.n a =题型四：等比数列前奇偶项和的性质及应用【例1】（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）在数列中，，，若{}n a 11a =12nn n a a +=19248m m m a a a +++++= ，则（ ）m =A ．3B ．4C ．5D ．6【例2】（2021·全国·高二专题练习）已知一个项数为偶数的等比数列{}n a，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ）43641a =A ．B ．14C ．D ．1236【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列中，，，{}n a11a =132185k a a a ++++= ，则（ ）24242k a a a +++= k =A ．2B ．3C ．4D ．5【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的公比，且{}n a13q =9099531=++++a a a a ，则___________.=+++100321a a a a【例5】（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列满足，，{}n a12a =-22a=221(1)nn n a a +-=--，则下列选项不正确的是（ ）A ．是等比数列B ．{}21n a-()5211210i i a -=+=-∑C ．是等比数列D ．{}2n a10152ii a==∑【题型专练】1．（2022·全国·高二课时练习）一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．122．（2022·全国·高二课时练习）已知等比数列的前项中，所有奇数项的和为{}n a101854，所有偶数项的和为，则的值为______．1170236912S a a a a =+++3．（2022·全国·高二课时练习）在等比数列中，若，且公比，则数列{}n a1399150a a a +++= 2q =的前100项和为______．{}n a 4．（2022·全国·高二课时练习）已知正项等比数列共有{}n a2n项，它的所有项的和是奇数项的和的倍，则公比______.3q =n题型五：等比数列前项和新文化试题【例1】（2020·全国·高考真题（理））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块【例2】（2022·四川省绵阳南山中学高三阶段练习（文））中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则下列说法正确的是（）A．该人第五天走的路程为14里B．该人第三天走的路程为42里C．该人前三天共走的路程为330里D．该人最后三天共走的路程为42里《》【例3】（2022·安徽滁州·高二期末）我国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布255，每天织出的布都是前一天的倍，已知她天共织布尺，问这女子每天织布多少？”这个问题体现了古代对数列问题的研究．某数学爱好者对于这道题作了以下改编：有甲、乙两位女子，需要合作织出40尺布．两人第一天都织出一尺，以后几天中，甲女子每天织出的布都是前一天的2倍，乙女子每天织出的布都比前一天多半尺，则两人完成织布任务至少需要（ ）A ．天B ．天C ．天D ．天2345【例4】（2022·湖南岳阳·高二期末）十九世纪下半叶，集合论的创立奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间［0，1］平均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭120,,,1 33⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦分别平均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：…；如此这样．每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别平均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”，若去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n 的最小值为（ ）（参考数据：）45lg 20.3010=，lg 30.4771=A ．B ．C ．D ．4567【题型专练】1．（2022·全国·高三专题练习（文））费马数是以法国数学家费马命名的一组自然数，具有形式为记做，其中为非负数．费马对，，，，221(n+)n F n 0n =1234的情形做了检验，发现这组费马公式得到的数都是素数，便提出猜想：费马数是质数．直到1732年，数学家欧拉发现为合数，宣布费马猜想不成立．数列满足52521F =+{}n a()2log 1n n a F =-，则数列的前项和满足的最小自然数是（ ）{}n an n S 2020n S >A ．B ．C ．D ．91011122．（2022·全国·高三专题练习）毕达哥拉斯树是由古希腊数学家毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被成为毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”.毕达哥拉斯树的生长方式如下：以边长为1的正方形的一边作为斜边，向外做等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为边向外作正方形，得到2个新的小正方形，实现了一次生长，再将这两个小正方形各按照上述方式生长，如此重复下去，设第次生长得到的小正方形的个数为，则数列的前项和___________.n n a {}n an n S =3．（2023·全国·高三专题练习）如图是美丽的“勾股树”，将一个直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形而得到如图①的第1代“勾股树”，重复图①的作法，得到如图②的第2代“勾股树”，…，以此类推，记第n 代“勾股树”中所有正方形的个数为，数列的前n 项和为n a {}n anS ，若不等式恒成立，则n 的最小值为（ ）2022n S >A ．7B ．8C ．9D ．104．（广东省广州市七区2021-2022学年高二下学期期末数学试题多选题）如图所示，图1是边长为1的正方形，以正方形的一边为斜边作等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两个直角边为边分别作正方形得到图2，重复以上作图，得到图3，…．记图1中正方形的个数为，图2中正方形的个数为1a 2a ，图3中正方形的个数为，…，图中正方形的个数为，下列说法正确的有（ ）3a n n aA ．B ．图5中最小正方形的边长为563a =14C ．D ．若，则图中所有正方形的面积之和为8123102036a a a a ++++= 255n a =n 5．（2022·山东东营·高二期末多选题）如图，是一块半径为1的圆形纸板，在1P 1P 的左下端前去一个半径为的半圆后得到图形122P ，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个前掉半圆的半径）得图形，，记纸板3P 4,,,n P P 的周长为，面积为，则下列说法正确的是（ ）n P n L n S A ．B ．37142L π=+31132S π=C ．D ．1111222n n n L π-+⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦1212n n n S S π++=-题型六：等差等比数列的判定【例1】（2022·广东·佛山一中高二期中多选题）对任意数列，下列说法一定正确的是（ ）{}n a A ．若数列是等差数列，则数列是等比数列{}n a {2}naB ．若数列是等差数列，则数列是等差数列{}n a {2}na C ．若数列是等比数列，则数列是等比数列{}n a {lg |}|n a D ．若数列是等比数列，则数列是等差数列{}n a {lg |}|n a 【例2】（2022·海南华侨中学高二期末多选题）已知等比数列{}中，满足，，则（ ）n a 11a =2q =A ．数列{}是等比数列B ．数列是递增数列2n a 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．数列是等差数列D ．数列{}中，仍成等比数列{}2log n a n a 102030,,S S S 【例3】（2022·湖北·鄂南高中模拟预测多选题）设公比为的等比数列的前项和为q {}n an n S ，则下列说法中一定正确的是（ ）A ．数列：，，，成等比数列n S 2n n S S -32n n S S -L B ．当时，数列是等比数列1q ≠11n a S q ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭C ．是等比数列{}12++nn a a D ．是等比数列{}2na【例4】（2022·黑龙江·大庆外国语学校高二期末多选题）设{}n a是等比数列，则下列四个命题正确的是（ ）A ．是等比数列B ．是等比数列C ．是等比数列D ．是等比数列{}2na {}1n n a a +⋅1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}lg n a 【题型专练】1．（2022·湖北·荆州中学三模多选题）等差数列的前项和为，数列{}n a n n S {}n b 为等比数列，则下列说法正确的选项有 （ ）A ．数列一定是等比数列{2}naB ．数列一定是等比数列{}n a bC ．数列一定是等差数列{}nS n D ．数列一定是等比数列1{}n n b b ++2．（2022·辽宁·沈阳市第五十六中学高二阶段练习多选题）已知数列的前n 项和为{}n anS ，下列说法正确的是（ ）A ．若，则是等差数列()21n S n =+{}n aB ．若，则是等比数列122n n S +=-{}n a C ．若是等比数列，则，，成等比数列{}n an S 2n n S S -32n n S S -D ．若是等差数列，则{}n a()21121n n S n a ++=+3．（2022·辽宁·高二期中多选题）已知数列的前n 项和为，则下列说法正确的是（ ）{}n an S A ．若，则是等比数列21nn S =-{}n a B ．若（n ≥2），则是等比数列11n nn n a aa a +-={}n aC ．若（n ≥2），则是等比数列211n n n S S S -+={}n aD ．若，则是等比数列2nn S a =-{}n a 4．（2022·广东·潮州市绵德中学高二阶段练习多选题）在公比为整数的等比数列中，q {}n anS 是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（ ）{}n an 1432a a =2312a a +=A ．B ．数列是等比数列2q ={}2n S +C ．D ．数列是公差为2的等差数列8510S ={}2log n a5．（2023广东高三阶段练习多选题）已知数列满足，，是数列{}n a 11a =*12()n n n a a n N +⋅=∈n S {}n a 的前项和，则（ ）n A ．B ．44a =10112022323S =⨯-C ．D ．数列是等比数列12212n n n a a ---={}n a。
高中数学必修五 等比数列及前n项和(总结、例题、练习)
第五节 等比数列及前n 项和【基础知识】1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母__q __表示(q ≠0)． 2．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －1(a 1≠0，q ≠0)． 3．等比中项若G 2＝a ·b _(ab ≠0)，那么G 为a 与b 的等比中项． 4．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n－m，(n ，m ∈N ＋)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ·a l ＝a m ·a n .(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{2n a }，{a n ·b n }，n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭仍是等比数列．5．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ，S n ＝111(1)(1)(1)11n n na q a a q a q q q q =⎧⎪--⎨=≠⎪--⎩6．等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为__q n __. 难点正本 疑点清源 1．等比数列的特征从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q 也是非零常数． 2．等比数列中的函数观点利用函数、方程的观点和方法，揭示等比数列的特征及基本量之间的关系．在借用指数函数讨论单调性时，要特别注意首项和公比的大小． 3．两个防范(1)由a n ＋1＝qa n ，q ≠0并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.(2)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误．【考点剖析】考点一：等比数列基本量的运算【题组训练】1．已知等比数列{a n}满足a1＝14，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于()A．2B．1C.12D.18【答案】C【解析】由{a n}为等比数列，得a3a5＝24a，又a3a5＝4(a4－1)，所以24a＝4(a4－1)，解得a4＝2.设等比数列{a n}的公比为q，则由a4＝a1q3，得2＝14q3，解得q＝2，所以a2＝a1q＝12.2．(2021·湘东五校联考)已知在等比数列{a n}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是()A．1 B．－1 2C．1或－12D．－1或12【答案】C【解析】当q＝1时，a n＝7，S3＝21，符合题意；当q≠1时，由21317,(1)=211a qa qq⎧=⎪⎨-⎪-⎩得q＝－12.综上，q的值是1或－12，故选C.3．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【答案】B【解析】每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n}，则前7项的和S7＝381，公比q＝2，依题意，得S7＝71(12)12a--＝381，解得a1＝3..【名师微点】等比数列基本量运算的解题策略(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．(2)等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝11(1)11n n a a q a q q q--=--. 考点二：等比数列的判定与证明例1．[典例精析]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1－2a n ，求证：{b n }是等比数列． 【证明】因为a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－4a n －2＝4a n ＋1－4a n ， 所以1n n b b +＝211111112442242222n n n n n n nn n n n n na a a a a a a a a a a a a ++++++++----===--- 因为S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，所以a 2＝5. 所以b 1＝a 2－2a 1＝3.所以数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列．[解题技法]等比数列的判定方法[提醒] (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． 考点三：等比数列的性质及应用例2．(1)已知等比数列{a n }的各项为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( )A．12B．10C．8 D．2＋log35(2)设等比数列{a n}中，前n项和为S n，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于()A.18B．－18C. 578D.558(3)已知等比数列{a n}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.【答案】(1)B(2)A(3)2【解析】(1)由a5a6＋a4a7＝18，得a5a6＝9，所以log3a1＋log3a2＋...＋log3a10＝log3(a1a2 (10)＝log3(a5a6)5＝5log39＝10.(2)因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝18，所以a7＋a8＋a9＝1 8 .(3)由题意，得=240=80S SS S+-⎧⎪⎨-⎪⎩奇偶奇偶，，解得=80=160SS-⎧⎪⎨-⎪⎩奇偶，所以q＝160=80SS--偶奇＝2.[解题技法]应用等比数列性质解题时的2个注意点(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m·a n＝a p·a q”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．2.4 等比数列 基础练一、单选题1．在等比数列{}n a 中，201920168a a =，则数列{}n a 的公比q 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．82．已知等比数列{}n a 中，2017a ，2019a 是方程2410x x -+=的两个根，则2018a =（ ）A ．1B ．±1C ．2018D ．1，2018 3．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且132,,a a a 成等差数列，则公比q 的值为（ ）A ．11,-2B ．1C ．1-2D ．-24．若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==，则22a b 为（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-5．已知等比数列{}n a 满足112a =，且()24341a a a ⋅=-，则5a =（ ） A ．8B ．16C ．32D ．646．在各项不为零的等差数列{}n a 中，2201720182019220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且20182018b a =，则()220172019log b b ⋅的值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8二、填空题7．若,22,33x x x ++是一个等比数列的前3项，则第四项为_________．8．在等比数列{}n a 中，1132a =，当11n 时，1n a >恒成立，则公比q 的取值范围是______．9．已知数列{}n a 满足()*1111,3n n n a a n a a +==∈+N ，那么{}n a 的通项公式是___.三、解答题10．已知：n S 为{}n a 的前n 项和，且满足n n a S n +=.（1）求证：{}1n a -成等比数列； （2）求n a .2.5 等比数列的前n 项和基础练一、单选题1．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，则数列11{}n n a a +⋅的前6项和为（ ）A ．215 B ．415 C ．511 D ．1011 2．数列11111,2,3,424816…的前n 项和为（ ）A ．()211122n n n ++-B ．()1111122n n n +++-C ．()211222n n n ++-D ．()1112122n n n ⎛⎫++- ⎪⎝⎭3．数列{}n a的通项公式为n a =n S 为其前n 项和.若9n S =，则n =（ ）A ．99B ．98C ．97D ．964．若数列{}n a 的通项公式为221n n a n =+-,则数列{}n a 的前n 项和n S 为（ ）A ．221n n +-B ．1221n n ++-C ．1222n n ++-D ．222n n +-5．数列{}n a 满足n a =123...nn ++++，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为（ ）A ．2nn +B ．22nn + C ．1n n + D ．21nn + 6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若367,63S S ==，则数列{}n na 的前n 项和为（ ）A ．3(1)2n n -++⨯B ．3(1)2n n ++⨯C ．1(1)2n n ++⨯D ．1(1)2n n +-⨯二、填空题7．已知数列｛a n ｝的通项a n =2n +n ，若数列｛a n ｝的前n 项和为Sn ，则S 8＝_________8．()()11114473231n n +++=⨯⨯-+ 9．已知数列111112123123n+++++++，，，，，，则其前n 项的和等于_________．三、解答题10．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．参考答案11．【答案】A【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2019=8a 2016，∴q 3=8，解得q =2． 故选A ． 2．【答案】B【解析】∵2017a ，2019a 是方程x 2﹣4x+1=0的两个根，∴20172019a a =1，则在等比数列{a n }中，201720192018a a a =2=1，2008a ∴=±1故选B ． 3．【答案】A【解析】数列{}n a 是公比为q 的等比数列,132,,a a a 故3122a a a =+,由此解得112q =-， 故选A 。
等比数列及其前n项和(含答案)
等比数列及其前 n 项和一、单选题(共10 道，每道10 分)1.公差不为0 的等差数列第二、三、六项构成等比数列，则公比为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：等比数列的通项公式2.等比数列中，，，则的值为( )A. B.C. D.答案：D 解题思路：试题难度：三颗星知识点：等比数列的性质3.在等比数列中，已知，，则( )A. B.C. D.答案：C 解题思路：试题难度：三颗星知识点：等比数列的性质4.公比为4 的等比数列的各项都是正数，且，则( )A. B.1C.4D.16答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：等比数列的性质5.在正项等比数列中，，是方程的两个根，则的值为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：等比数列的性质6.一个蜂巢里有1 只蜜蜂，第1 天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6 只蜜蜂飞出去，各自找回了5 个伙伴⋯⋯如果这个找伙伴的过程继续下去，第6 天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有( )只蜜蜂．A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：等比数列的通项公式7.在等比数列中，表示前n 项的和，若，，则公比q=( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：等比数列的性质8.等比数列的前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为A，B，C，则( )A. B.答案：D 解题思路：试题难度： 三颗星 知识点： 等比数列的性质 9. 设等比数列 的前 n 项的和为 ，已知 ， ，则 ( )答案： A解题思路：试题难度： 三颗星 知识点： 等比数列的性质A. B. C. D.C. D.10.已知 是首项为 1 的等比数列，( )是其前 n 项和，且 的前 5 B.答案：C 解题思路：。
等比数列及其前n项和练习题
，该数列的前 15 项的和
15．等比数列{an}的公比 q＞0，已知 a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前 4 项和 S4＝
．
16、已知等比数列｛ an ｝中, a1 =2, a4 =54,则该等比数列的通项公式 an = 17、 等比数列的公比为 2, 且前 4 项之和等于 30, 那么前 8 项之和等于 18、数列 1 , 2 , 3 , … , n
21. 在等比数列 {an }中，a1 an 66，a2 an1 128 ，前n项和S n 126 ，求n及公比q.
22．在数列{an}中，Sn＋1＝4an＋2，a1＝1．设 bn＝an＋1－2an，求证数列{bn}是等比数列；
23、已知等比数列 {a n }前n项和为 S n，若 a 2 a3 2a1，且 a 4 与2a7的等差中项为
1 1 1 ，求 Tn . S1 S 2 Sn
2
等比数列及其前 n 项和测试题
一、选择题 1．设 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和，若 3 A．10 1 B．3
S S3 1 ＝3，则 6 ＝( S12 S6
C.
1 5
)．
1
D．
15
2、在等比数列 {an } 中, a1 16, a4 8, 则 a7 ( A 4 B 4 C 2
D．a3＋a9 与 b4＋b10 的大小不确定
9.在等比数列 a n 中,若公比 q=4 ,且前 3 项之和等于 21,则该数列的通项公式 an 10．设等比数列{an}的公比为 q，前 n 项和为 Sn，若 Sn+1，Sn，Sn+2 成等差数列，则 q 的值为 11．设{an}是公比为 q 的等比数列，Sn 是它的前 n 项和，若{Sn}是等差数列，则 q＝_____. 12．已知数列{an}中，an＝ 为 Sn，则 S9＝
等比数列前n项和经典例题
例 1：已知在等比数列{a n }中，公比 q ＜1.(1)若a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，求S 5；(2)若 a 3＝2，S 4＝5S 2，求{a n }的通项公式． 解(1)⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10a 1q 3＋a 1q 5＝54，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q 2)＝10a 1q 3(1＋q 2)＝54.∵a 1≠0,1＋q 2≠0， ∴两式相除得q 3＝18. ∴q ＝12，a 1＝8，∴S 5＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝312.(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝2 ①a 1(1－q 4)1－q＝5×a 1(1－q 2)1－q ②，由②得1－q 4＝5(1－q 2)，(q 2－4)(q 2－1)＝0，∵q ＜1，∴q ＝－1或q ＝－2.当q ＝－1时，代入①得a 1＝2，通项公式为a n ＝2×(－1)n －1；当q ＝－2时，代入①得a 1＝12，通项公式为a n ＝12×(－2)n －1.1－1.在等比数列{a n }中，S 3＝72，S 6＝632，求a n .解：若q ＝1，则S 6＝2S 3，这与已知S 3＝72，S 6＝632是矛盾的，所以q ≠1.从而S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝72，S 6＝a 1(1－q 6)1－q＝632.将上面两个等式的两边分别相除，得1＋q 3＝9， 所以q ＝2，由此可得a 1＝12， 因此a n ＝12×2n －1＝2n －2.例 2：在等比数列{a n }中，a 1a 3＝36，a 2＋a 4＝60，S n >400，求 n 的范围．∵n ∈N *且必须为偶数，∴n ≥8.2－1.设等比数列{a n }的前 n 项和为 S n ，若 S 3＋S 6＝2S 9，求数列的公比 q.例3：求数列1,1＋2,1＋2＋22,1＋2＋22＋23，…，1＋2＋22＋…＋2n －1的前n 项和．思维突破：观察数列，发现每一项是一个等比数列的和， 为此先求出数列的通项，再将每一项拆成两部分分别求和．解：设数列为{a n }，则 a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n 1－2＝2n －1， ∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(2n －1) ＝(2＋22＋…＋2n )－n ＝2n ＋1－n －2.S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(3n －1)2>400⇒3n>401，∴n ≥6， 当a 1＝－2，q ＝－3时，S n ＝(－2)[(－3)n －1]－4>400⇒(－3)n >801，解：∵a 1a 3＝a 21q 2＝36，∴a 1q ＝±6 又∵a 2＋a 4＝a 1q (1＋q 2)＝60，且1＋q 2>0， ∴a 1q >0，得a 1q ＝6,1＋q 2＝10.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2q ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2q ＝－3.当a 1＝2，q ＝3时，例 4：已知等比数列{a n }中，a 1＝2，S 3＝6，求 a 3 和 q.1．等比数列{a n }的各项都是正数，若 a 1＝81，a 5＝16，则它的前 5 项和是( 211 )2．等比数列{a n }中，a 3＝7，前 3 项之和 S 3＝21, 则公比 q 的值为(1 或－1/2 )3．在公比为整数的等比数列{a n }中，已知 a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，那么 a 5＋a 6＋a 7＋a 8 等于(480)5．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝20，a 3＋a 4＝40，则 S 6＝140例 1：已知等比数列前 n 项和为 48，前 2n 项和为 60.求前3n 项的和． 解法一：设数列为{a n }依题意可得 S n ＝48，S 2n ＝60.又∵在等比数列{a n }中， S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列∴(S 2n －S n )2＝S n ·(S 3n －S 2n )， (60－48)2＝48·(S 3n －60)，即S 3n ＝63. 解法二：∵S 2n ≠2S n ，∴q ≠1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n)1－q ＝48 ①a 1(1－q 2n )1－q＝60 ②②①得，1＋q n ＝54， 即q n ＝14 ③. 将③代入①得a 11－q＝64， ∴S 3n ＝a 1(1－q 3n )1－q＝64×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－143＝63.解：112＋214＋318＋…＋n 12n＝(1＋2＋3＋…＋n )＋⎝⎛⎭⎪⎫12＋14＋18＋ (12)＝n (n ＋1)2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . 3－1.求数列112，214，318，4116，…，n 12n 的前n 项和．1－1.在等比数列{a n }中，a 1＝－1，前 n 项和为 S n ，若例 2：在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝66，a 2·a n －1＝128，且前 n 项和 S n ＝126，求 n 及公比 q . 解：∵a 1a n ＝a 2a n －1＝128， 又 a 1＋a n ＝66，∴a 1、a n 是方程 x 2－66x ＋128＝0 的两根， 解方程得 x 1＝2，x 2＝64，∴a 1＝2，a n ＝64 或 a 1＝64，a n ＝2，显然 q ≠1.若a 1＝2，a n ＝64，由得2－64q ＝126－126q ，∴q ＝2，由a n ＝a 1q n －1得2n －1＝32，∴n ＝6.若a 1＝64，a n ＝2，同理可求得q ＝12，n ＝6. 综上所述，n 的值为6，公比q ＝2或12.例3..(2010 年广东)已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前 n31解析：设{a n }的公比为q ，则由等比数列的性质知，a 2·a 3＝a 1·a 4＝2a 1，即a 4＝2.由a 4与2a 7的等差中项为54知，a 4＋2a 7＝2×54，∴a 7＝14，∴q 3＝a 7a 4＝18，即a 1＝16，q ＝12，∴S 5＝31. 项和，若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )解：∵S 10S 5＝3132，∴设S 10＝31x ，S 5＝32x ，且x ≠0.则S 10－S 5＝31x －32x ＝－x . 又(S 10－S 5)2＝S 5(S 15－S 10)，∴S 15＝(S 10－S 5)2S 5＋S 10＝(－x )232x ＋31x ＝99332x . ∴S 15S 10＝99332x31x ＝993992.3132，求S 15S 10的值．S 10S 5＝例 4：已知数列{a n }是等比数列，试判断该数列从第一项起依次 k 项的和组成的数列{b n }是否仍为等比数列．正解：设b n ＝a (n －1)k ＋1＋a (n －1)k ＋2＋…＋a nk ，…，且数列{a n } 的公比为q . 则当q ＝1 时，b 1＝b 2＝…＝b n ＝ka ， ∴{b n }是公比为1 的等比数列．∴{b n }是公比为q k 的等比数列．当 q ＝－1 时，若k 为偶数，则b n ＝0，此时{b n }不能为等比 数列；若k 为奇数，则{b n }是公比为－1 的等比数列．例5. (2010 年辽宁)设{a n }是有正数组成的等比数列，S n 为其前 n 项和．已知 a 2a 4＝1，S 3＝7，则 S 5＝( )解析：由a 2a 4＝1可得a 21q 4＝1，因此a 1＝1q 2，又因为S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝7，联立两式有⎝ ⎛⎭⎪⎫1q ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1q －2＝0，所以q ＝12，所以S 5＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝314.当q ≠±1时，b n ＝a (n －1)k ＋1(1－q k )1－q ，b n ＋1b n＝q k ，。
(完整版)等比数列的性质练习题
考点1等比数列的通项与前 n 项和题型1已知等比数列的某些项，求某项【例1】已知a n 为等比数列，a 2 2,a 6 162，则a 10 ________________题型2已知前n 项和S n 及其某项，求项数.【例2】⑴已知S n 为等比数列a n 前n 项和，S n 93，a n 48，公比q 2，则项数n _.⑵已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为 37,中间两数之和为 36，求这四个数 题型3求等比数列前n 项和【例3】等比数列1,2,4,8, 中从第5项到第10项的和.2 3 n 1【例4】已知S n 为等比数列a n 前n 项和，a n 1 3 3 3 3 ,求S n【新题导练】1. 已知 a n 为等比数列，a 1 a 2 a 3 3,a 6 a 7 a 8 6，求 a 11 a 12 a 13 的值.2. 如果将20,50,100依次加上同一个常数后组成一个等比数列，则这个等比数列的公比为 _L3. 已知S n 为等比数列a n 的前n 项和，a 2 3, a 6 243, S n 364，则n _________ ；0，S n 80，S 2n 6560，前n 项中的数值最大的项为54,求000.考点2证明数列是等比数列2【例6】已知数列a n 和b n 满足：a 1 , a n 1 a n 3⑴ 对任意实数 ，证明数列 a n 不是等比数列；⑵试判断数列 b n 是否为等比数列，并证明你的结论 .4.已知等比数列 a n 中，a 2 1，则其前 3项的和S 3的取值范围是【例5】已知S n 为等比数列 a n 前n 项和，a n (2n 1) 3n ，求 S n .5.已知S n 为等比数列a n 前n 项和，a n n 4 ,b n ( 1)n (a n 3n 21)，其中 为实数，n N【新题导练】考点3等比数列的性质【例7】已知S n 为等比数列a n 前n 项和，S n 54， S 2n 60,则S 3n.【新题导练】7.已知等比数列 a n 中，a n 0, (2a 4 a 2 a 6)a 4 36，则 a 3 a 5 . 考点4等比数列与其它知识的综合【例8】设S n 为数列a n 的前n 项和，已知ba n 2n b 1 S n⑴证明：当b 2时，a n n 2n1是等比数列；⑵求 a n 的通项公式 【新题导练】8.设S n 为数列a n 的前n 项和，a 1 a ，a . 1 S n 3n ，n N ⑴设b n S n 3n ，求数列b n 的通项公式； ⑵若a n 1 a n (n N )，求a 的取值范围.7.等差数列 a n 中，a 4 10且a 3，a 6，a 10成等比数列，求数列 18.已知数列a n 的前n 项和为S n ，S n — (a n 1) n N 3⑴求a 1，a 2的值；⑵证明数列a n 是等比数列，并求S n .2 2a6.已知数列｛a n ｝的首项a i, a n i - 3 a n 1 n 1,2,3,….证明：数列｛— 1｝是等比数列; aa n 前20项的和S 20.。
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等比数列及前n 项和练习题1
一、选择题
1、32+和32-的等比中项是 （ ） A. 1 B. 1- C. 1± D. 2
2、在等比数列{}n a 中，已知30,341515=-=+a a a a ，则3a = （ ）
A. 8
B. －8
C. 8±
D. 16
3、等比数列{}n a 中，72=S ，916=S ，则4S 等于（ ）
A. 28
B. 28或21-
C. 21-
D. 49
5、在等比数列{}n a 中，55,551==S a ，则公比q 等于 （ ） A. 4 B. 2 C. 2- D. 2-或4
6、已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a = A. 2
1 B.
2
2 C. 2 D.2
7、已知数列{n a }为等比数列，n S 是它的前n 项和，若2·
a a ３１＝2a ，且4a 与72a 的等差中项为54
，则S 5=
A ．35
B ．33
C ．31
D ．29
8、已知等差数列｛a n ｝的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2等于 （ ）
（A ）－4 （B ）－6 （C ）－8 （D ）－10 9、等比数列{}n a 中，===+q a a a a 则,8,63232（ ） A ．2
B ．2
1
C ．2或2
1
D ．－2或
2
1- 10、在等比数列{a n }中，S 4＝1，S 8＝3，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值是（ ）
A 、14
B 、16
C 、18
D 、20
二、填空题：
11、已知在等比数列{}n a 中，各项均为正数，且,
7,13211=++=a a a a 则数列{}n a 的通项公式是_________=n a
12、在等比数列{}n a 中，已知,2,1654321-=++=++a a a a a a 则该数列前15项的和S 15= .
13、等比数列{}n a 前n 项的和为21n -，则数列{}2n a 前n 项的和为______________。
14、一个等比数列各项均为正数，且它的任何一项都等于它的后面两项的和，则公比q 为_______________。
15、三个不同的实数c b a ,,成等差数列，且b c a ,,成等比数列，则::a b c =_________。
三、解答题：
16、在等比数列{}n a 的前n 项和中，1a 最小，且128,66121==+-n n a a a a ，
前n 项和126=n S ，求n 和公比q
17、一个有穷等比数列的首项为1，项数为偶数，如果其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数。
18、设数列{a n }的前项的和S n =3
1（a n -1） (n ∈N +),（1）求a 1;a 2; (2)求证数列{a n }为等比数列。
19、数列}{n a 的前n 项为n S ，∈-=n n a S n n (32N )*．
（1）证明：数列{}3+n a 是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式n a ；
20、设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+
（I ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列（II ）求数列{}n a 的通项公式。
解：（I ）由11,a =及142n n S a +=+，有12142,a a a +=+21121325,23a a b a a =+=∴=-=
由142n n S a +=+，．．．① 则当2n ≥时，有142n n S a -=+．．．．．② ②－①得111144,22(2)n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-∴-=-
又12n n n b a a +=-Q ，12n n b b -∴={}n b ∴是首项13b =，公比为２的等比
数列．
（II ）由（I ）可得11232n n n n b a a -+=-=⋅，113
224n n n n a a ++∴-=
∴
数列
{}2n n a 是首项为12，公差为34
的等比数
列．
∴1331(1)22444
n n
a n n =+-=-，2
(31)2n n a n -=-⋅ 等比数列及前n 项和练习题2
一、选择题
1、如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=
（A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35
2、设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q =
（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6
3、设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为
（A ） 15 (B) 16 (C) 49 （D ）64
4、设n s 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=则
5
2
S S = (A)-11 (B)-8 (C)5 (D)11
5、已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a = A.
2
1 B.
2
2 C. 2 D.2
6、已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=L ，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则
当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=L
A. (21)n n -
B. 2(1)n +
C. 2n
D. 2(1)n -
7、公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等比中项, 832S =,则10S 等于
A. 18
B. 24
C. 60
D. 90 8、设等比数列{ n a }的前
n 项和为n S ，若
63
S S =3 ，则
6
9S S
=
（A ） 2 （B ）
73
（C ） 83
（D ）
3
9、已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99，以n S 表
示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（A ）21 （B ）20 （C ）19 （D ） 1810、无穷等比数列,4
2,21,22,1…各项的和等于 （ ）
A ．22-
B ．22+
C ．12+
D ．12-
11、设,R x ∈记不超过x 的最大整数为[x ],令{x }=x -[x ]，则{2
1
5+}，[
21
5+],2
15+ A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列
C.既是等差数列又是等比数列
D.既不是等差数列也不是等比数列
12．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4
a 2
＝( )
A ．2
B ．4 C.152 D.17
2
13在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝( )
A ．2n
B ．3n
C ．3n －1
D ．2n ＋
1－2 二、填空题
14．已知在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9
＝10，则a 4a 5a 6＝___________
15．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知
a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝_________
16、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若36324S S ==，，则9a = 。
17、在等比数列{}n a 中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式n a = ． 18、设等比数列
{}
n a 的公比
12
q =
，前
n
项和为
n
S ，则
4
4
S a = ．
19、已知等差数列{n a }中，
,0,166473=+-=a a a a 求{n a }前
n 项 和
n s =____
20、已知{}n a 是首项为19，公差为-2的等差数列，n S 为{}n a 的前
n 项和.
（Ⅰ）求通项n a 及n S ； （Ⅱ）设{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .。