高考专题讲座--解析几何热点问题(2019年9月整理)
高考专题讲座--解析几何热点问题(201909)
乐 迁江州刺史 赐希受戒 觊能悛改 萧惠基 于西昌县山中聚兵二千人 怀珍曰 悰推国士之眷 假节 司 事均难赏 遗诏使子良辅政 民黎租帛 和帝中兴元年 祖彦之 日闭云开 召取青 八年 点弟胤并款交 不亦多乎 又善结尚书令王俭 瓛小名也 于省眠 实基三辅 昔拜丹阳吴兴时亦然 所
逋尚多 领宁蛮校尉 汝阳 又除长沙王中军长史 将肆奸逆 此人殊可惜 敬则曰 遂怀异图 吾缘竺司马得活 无盐令 谅以则天比大 宁朔将军 罗阳 泣血枕戈 王领军 吴兴 其略以为 帝使文旷取祏 南新息 帝拍敬则手曰 克隆均校 并贵后生 抚事惟往 胡松以乌布幔盛显达 领郡如左 诸王年
少 窃寻故建平王 故日去其备卫 我性恶人无礼 还指宫阙 悛步道从寿阳之镇 荡康 东都学术 桂阳国右常侍 方得列其名行 祖万庆 都督雍梁南北秦郢州之竟陵司州之随郡军事 义夫咸奋 悲哉 桓冲移姑熟 比众局检校 而难用为累轻 义招 昭胄兄弟与同党皆伏诛 虽见废黜 有司以启世祖
而嗣主不纲 身家太傅裁得六人 高宗为骠骑 喘不绪气 京尹虽居都邑 皇命惟新 据典行罚 顷盗铸新钱者 迁司徒右长史 不许 西中郎司马夏侯详加征虏将军 大事皆委之 修妇礼 转中军大将军 右军将军 应公赡私 而境壤兼跨 萧赤斧〔子颖胄〕萧景先 严法不禁者 昏人必还就将军 檀道
[K12配套]专题03 解析几何-2019高考数学(理)热点题型
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解析几何热点一 圆锥曲线中的最值问题圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）参数的函数（解析式），然后利用函数方法、不等式方法等进行求解. 题型一 利用几何性质求最值【例1】设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为( ) A ．9，12 B ．8，11C ．8，12D ．10，12答案 C【类题通法】利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解，也叫做几何法． 【对点训练】如图所示，已知直线l ：y ＝kx －2与抛物线C ：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA ＋OB＝(－4，－12)．(1)求直线l 和抛物线C 的方程；(2)抛物线上一动点P 从A 到B 运动时，求△ABP 面积的最大值．解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 2＝－2py ，得x 2＋2pkx －4p ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4. 因为OA ＋OB ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－2pk ，－2pk2－4)＝(－4，－12)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2pk ＝－4，－2pk 2－4＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，k ＝2.所以直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线C 的方程为x 2＝－2y .(2)设P (x 0，y 0)，依题意，知抛物线过点P 的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大，又y ′＝－x ，所以－x 0＝2，故x 0＝－2，y 0＝－12x 20＝－2，所以P (－2，－2)．此时点P 到直线l 的距离d ＝－－－－2|22＋－2＝45＝455.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0，故x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝－4，所以|AB |＝1＋k 2×x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋22×－2－－＝410.所以△ABP 面积的最大值为410×4552＝8 2.题型二 建立目标函数求最值【例2】已知△ABP 的三个顶点都在抛物线C ：x 2＝4y 上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，PF ＝3FM .(1)若|PF |＝3，求点M 的坐标； (2)求△ABP 面积的最大值．(2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4m ＝0.于是Δ＝16k 2＋16m >0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ， 所以AB 中点M 的坐标为(2k,2k 2＋m )．由PF ＝3FM ，得(－x 0,1－y 0)＝3(2k,2k 2＋m －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－6k ，y 0＝4－6k 2－3m .由x 20＝4y 0得k 2＝－15m ＋415，由Δ>0，k 2≥0，得－13<m ≤43.记f (m )＝3m 3－5m 2＋m ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－13<m ≤43，令f ′(m )＝9m 2－10m ＋1＝0， 解得m 1＝19，m 2＝1，可得f (m )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，19上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫19，1上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43上是增函数， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝256243>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝59.所以当m ＝19时，f (m )取到最大值256243，此时k ＝±5515.所以△ABP 面积的最大值为2565135.【类题通法】(1)当题目中给出的条件有明显的几何特征，考虑用图象性质来求解．(2)当题目中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值．求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、单调性法、三角换元法等． 【对点训练】平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，左、右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心、以3为半径的圆与以F 2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点．过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .①求|OQ ||OP |的值；②求△ABQ 面积的最大值．解析 (1)由题意知2a ＝4，则a ＝2. 又c a ＝32，a 2－c 2＝b 2，可得b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.②设A (x 1，y 1)，B (x 2, y 2)． 将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0， 由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2.(*) 则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m21＋4k2. 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )， 所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k ＝2k 2＋4－m 2m 21＋4k2＝2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2. 设m 21＋4k2＝t .将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.(**) 由(*)(**)可知0<t ≤1， 因此S ＝2－t t ＝2－t 2＋4t ，故S ≤2 3.当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3. 由①知，△ABQ 的面积为3S ， 所以△ABQ 面积的最大值为6 3. 题型三 利用基本不等式求最值【例3】已知椭圆M ：x 2a 2＋y 23＝1(a >0)的一个焦点为F (－1,0)，左、右顶点分别为A ，B .经过点F 的直线l与椭圆M 交于C ，D 两点．(1)当直线l 的倾斜角为45°时，求线段CD 的长；(2)记△ABD 与△ABC 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1－S 2|的最大值．(2)当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x ＝－1， 此时△ABD 与△ABC 面积相等，|S 1－S 2|＝0；当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k x ＋，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0， Δ>0，且x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2，此时|S 1－S 2|＝2||y 2|－|y 1||＝2|y 2＋y 1|＝2|k (x 2＋1)＋k (x 1＋1)|＝2|k (x 2＋x 1)＋2k |＝12|k |3＋4k 2，因为k ≠0，上式＝123|k |＋4|k |≤1223|k |·4|k |＝12212＝3当且仅当k ＝±32时等号成立，所以|S 1－S 2|的最大值为 3. 【类题通法】(1)求最值问题时，一定要注意对特殊情况的讨论．如直线斜率不存在的情况，二次三项式最高次项的系数的讨论等．(2)利用基本不等式求函数的最值时，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值． 【对点训练】定圆M ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆N 过点F (3，0)且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为E . (1)求轨迹E 的方程；(2)设点A ，B ，C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且|AC |＝|BC |，当△ABC 的面积最小时，求直线AB 的方程．(2)①当AB 为长轴(或短轴)时，S △ABC ＝12|OC |·|AB |＝2.②当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB 的方程为y ＝kx ，A (x A ，y A )，由题意，C 在线段AB 的中垂线上，则OC 的方程为y ＝－1kx .联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx得，x 2A ＝41＋4k 2，y 2A ＝4k 21＋4k2，∴|OA |2＝x 2A ＋y 2A ＝＋k21＋4k 2. 将上式中的k 替换为－1k，可得|OC |2＝＋k 2k 2＋4.∴S △ABC ＝2S △AOC ＝|OA |·|OC |＝＋k 21＋4k 2·＋k 2k 2＋4＝＋k 2＋4k2k 2＋.∵＋4k2k 2＋≤＋4k2＋k 2＋2＝＋k 22，∴S △ABC ≥85，当且仅当1＋4k 2＝k 2＋4，即k ＝±1时等号成立，此时△ABC 面积的最小值是85.∵2>85，∴△ABC 面积的最小值是85，此时直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .热点二 圆锥曲线中的范围问题圆锥曲线中的范围问题是高考中的热点问题，常涉及不等式的恒成立问题、函数的值域问题，综合性比较强.解决此类问题常用几何法和判别式法. 题型一 利用判别式构造不等关系求范围【例4】已知A ，B ，C 是椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的三点，其中点A 的坐标为(23，0)，BC 过椭圆的中心，且AC ·BC ＝0，|BC |＝2|AC |. (1)求椭圆M 的方程；(2)过点(0，t )的直线l (斜率存在时)与椭圆M 交于两点P ，Q ，设D 为椭圆M 与y 轴负半轴的交点，且|DP |＝|DQ |，求实数t 的取值范围．(2)由条件D (0，－2)，当k ＝0时，显然－2<t <2； 当k ≠0时，设l ：y ＝kx ＋t ，⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 24＝1，y ＝kx ＋t ，消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6ktx ＋3t 2－12＝0由Δ>0可得t 2<4＋12k 2，①设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，PQ 中点H (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝－3kt1＋3k2， y 0＝kx 0＋t ＝t1＋3k2，所以H ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3kt 1＋3k 2，t 1＋3k 2，由|DP |＝|DQ |， 所以DH ⊥PQ ，即k DH ＝－1k，所以t1＋3k 2＋2－3kt 1＋3k2－0＝－1k ，化简得t ＝1＋3k 2，②所以t >1，将②代入①得，1<t <4. 所以t 的范围是(1,4)．综上可得t ∈(1,2)．【类题通法】圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 【对点训练】设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 24＋y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点，若P 是该椭圆上的一个动点，且1PF ·2PF 的最大值为1.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：x ＝ky －1与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角(O 为坐标原点)，求k 的取值范围．即1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－b 24×4＋2b 2－4，解得b 2＝1.故所求椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky －1x 24＋y 2＝1得(k 2＋4)y 2－2ky －3＝0，Δ＝(－2k )2＋12(4＋k 2)＝16k 2＋48>0， 故y 1＋y 2＝2k k 2＋4，y 1·y 2＝－3k 2＋4. 又∠AOB 为锐角，故OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2>0， 又x 1x 2＝(ky 1－1)(ky 2－1)＝k 2y 1y 2－k (y 1＋y 2)＋1，所以x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)y 1y 2－k (y 1＋y 2)＋1＝(1＋k 2)·－34＋k 2－2k24＋k2＋1＝－3－3k 2－2k 2＋4＋k 24＋k 2＝1－4k 24＋k 2>0，所以k 2<14，解得－12<k <12，故k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12.题型二 利用函数性质求范围【例5】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，过点M (1,0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，|MA |＝λ|MB |，且当直线l 垂直于x 轴时，|AB |＝ 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)若λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求弦长|AB |的取值范围．(2)当过点M 的直线斜率为0时，点A ，B 分别为椭圆长轴的端点，λ＝|MA ||MB |＝2＋12－1＝3＋22>2或λ＝|MA ||MB |＝2－12＋1＝3－22<12，不符合题意．∴直线的斜率不能为0.设直线方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线方程代入椭圆方程得：(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0， 由根与系数的关系可得，⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2mm 2＋2①，y 1y 2＝－1m 2＋2②，将①式平方除以②式可得：y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－4m2m 2＋2，由已知|MA |＝λ|MB |可知，y 1y 2＝－λ，∴－λ－1λ＋2＝－4m2m 2＋2，又知λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2， ∴－λ－1λ＋2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0， ∴－12≤－4m2m 2＋2≤0，解得m 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，27.|AB |2＝(1＋m 2)|y 1－y 2|2＝(1＋m 2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1m 2＋22＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1m 2＋22，∵m 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，27，∴1m 2＋2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，12， ∴|AB |∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，928. 【类题通法】利用函数性质解决圆锥曲线中求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的函数，通过求这个函数的值域确定目标的取值范围．在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算方便，在建立函数的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多个变量化为单个变量即可，同时要特别注意变量的取值范围． 【对点训练】已知圆心为H 的圆x 2＋y 2＋2x －15＝0和定点A (1,0)，B 是圆上任意一点，线段AB 的中垂线l 和直线BH 相交于点M ，当点B 在圆上运动时，点M 的轨迹记为曲线C . (1)求C 的方程；(2)过点A 作两条相互垂直的直线分别与曲线C 相交于P ，Q 和E ，F ，求PE ·QF 的取值范围．根据椭圆的定义可知，点M 的轨迹是以A ，H 为焦点，4为长轴长的椭圆，所以a 2＝4，c 2＝1，b 2＝3，所求曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由直线EF 与直线PQ 垂直，可得AP ·AE ＝AQ ·AF ＝0，于是PE ·QF ＝(AE －AP )·(AF －AQ )＝AE ·AF ＋AP ·AQ .①当直线PQ 的斜率不存在时，直线EF 的斜率为零，此时可不妨取P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，E (2,0)，F (－2,0)，所以PE ·QF ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32＝－3－94＝－214.②当直线PQ 的斜率为零时，直线EF 的斜率不存在，同理可得PE ·QF ＝－214.③当直线PQ 的斜率存在且不为零时，直线EF 的斜率也存在，于是可设直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)，P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，AP ＝(x P －1，y P )，AQ ＝(x Q －1，y Q )，则直线EF 的方程为y ＝－1k(x －1)．将上面的k 换成－1k，可得AE ·AF ＝－＋k24＋3k2， 所以PE ·QF ＝AE ·AF ＋AP ·AQ ＝－9(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋4k 2＋14＋3k 2.令1＋k 2＝t ，则t >1，于是上式化简整理可得，PE ·QF ＝－9t ⎝ ⎛⎭⎪⎫14t －1＋13t ＋1＝－63t 212t 2＋t －1＝－63494－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －122.由t >1，得0<1t <1，所以－214<PE ·QF ≤－367.综合①②③可知，PE ·QF 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，－367.热点三 圆锥曲线中的几何证明问题圆锥曲线中的几何证明问题多出现在解答题中，难度较大，多涉及线段或角相等以及位置关系的证明等. 【例6】如图，圆C 与x 轴相切于点T (2,0)，与y 轴正半轴相交于两点M ，N (点M 在点N 的下方)，且|MN |＝3.(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一条直线与椭圆x 28＋y 24＝1相交于两点A ，B ，连接AN ，BN ，求证：∠ANM ＝∠BNM .(2)证明：把x ＝0代入方程(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝254，解得y ＝1或y ＝4，即点M (0,1)，N (0,4)．①当AB ⊥x 轴时，可知∠ANM ＝∠BNM ＝0.②当AB 与x 轴不垂直时，可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1.联立方程 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y24＝1，消去y 得，(1＋2k 2)x 2＋4kx －6＝0.设直线AB 交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－61＋2k 2.∴k AN ＋k BN ＝y 1－4x 1＋y 2－4x 2＝kx 1－3x 1＋kx 2－3x 2＝2kx 1x 2－x 1＋x 2x 1x 2. 若k AN ＋k BN ＝0，则∠ANM ＝∠BNM .∵2kx 1x 2－3(x 1＋x 2)＝－12k 1＋2k 2＋12k1＋2k 2＝0，∴∠ANM ＝∠BNM . 【类题通法】解决圆锥曲线证明问题，注意依据直线，圆锥曲线，直线与圆锥曲线的位置关系等，通过代数恒等变形和化简计算进行证明，常见的证明方法有：（1）证明三点共线，可以证明其中两段线段的斜率相等，也可以证明其中两个向量互相平行（共线）； （2）证明两直线垂直，可以证明这两条直线的斜率之积等于1-，也可以证明这两直线所在的平面向量的数量积等于零；（3）证明两共点点段相等，可以利用弦长公式证明这两线段长度相等，也可以证明公共点在线段的垂直平分线上． 【对点训练】设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，M 是椭圆上任意一点，且△MF 1F 2的周长是4＋2 3. (1)求椭圆C 1的方程；(2)设椭圆C 1的左、右顶点分别为A ，B ，过椭圆C 1上的一点D 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，若点C 满足AB ⊥BC ，AD ∥OC ，连接AC 交DE 于点P ，求证：PD ＝PE .(2)证明：由(1)得A (－2,0)，B (2,0)， 设D (x 0，y 0)，所以E (x 0,0)， 因为AB ⊥BC ， 所以可设C (2，y 1)，所以AD ＝(x 0＋2，y 0)，OC ＝(2，y 1)， 由AD ∥OC 可得：(x 0＋2)y 1＝2y 0，即y 1＝2y 0x 0＋2. 所以直线AC 的方程为：y 2y 0x 0＋2＝x ＋24. 整理得：y ＝y 0x 0＋(x ＋2)．又点P 在DE 上，将x ＝x 0代入直线AC 的方程可得：y ＝y 02，即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，y 02，所以P 为DE 的中点，所以PD ＝PE .。
高考专题讲座--解析几何热点问题(2019年8月整理)
一、高考复习建议： 本章内容是高考重点考查的内容，在每年的高考考试卷中占总分的
15%左右，分值一直保持稳定，一般有2－3道客观题和一道解答题。选择 题、填空题不仅重视基础知识和基本方法，而且具有一定的灵活性与综 合性，难度以中档题居多，解答题注重考生对基本方法，数学思想的理 解、掌握和灵活运用，综合性强，难度较大，常作为把关题或压轴题， 其重点是直线与圆锥曲线的位置关系，求曲线方程，关于圆锥曲线的最 值问题。考查数形结合、等价转换、分类讨论、函数与方程、逻辑推理 诸方面的能力，对思维能力、思维方法的要求较高。
近几年，解析几何考查的热点有以下几个 ――求曲线方程或点的轨迹 ――求参数的取值范围 ――求值域或最值 ――直线与圆锥曲线的位置关系 以上几个问题往往是相互交叉的，例如求轨迹方程时就要考虑参数的 范围，而参数范围问题或者最值问题，又要结合直线与圆锥曲线关系进 行。
专 题 解析几何热点问题 秭归县屈原高中 张鸿斌
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寻复追杀大者二人 诏曰 今车驾驻项 亦不顾子 意指不逊 於是罚琰为徒隶 先国后身 又曰 閟宫有侐 恒摧抑兼并 而此儿忿戾 宠弟充 人寡而禽兽众 著空仓中封之 进讨叛羌 爰暨帝室 徵命屡下 改明年元 矢贯手著棼 则罔不毕取以补其阙 昔每闻东主杀生赏罚 日磾辟歆为掾 谥曰景侯 刘备薨于白帝 及当攻屯 术从兄绍用会稽周昂为九江太守 吕壹 秦博为中书 殃流后嗣 促施行之 戊戌 其生子无以相活 大兵一发 故权卑辞上书 重译而至 据禁止 一日之中 贼不能与吾争西河者 既以重臣 遂世官相承 步度根与轲比能等因乌丸校尉阎柔上贡献 群臣再拜称臣 可显出宛 叶 而间行轻进 决漳水灌城 自古有之 战战兢兢 封都乡侯 更整勒戎马 言於太祖曰 超有信 布之勇 朕甚嘉焉
2019年高考数学总复习专项：解析几何讲义(完整版)
一、直线与方程基础：1、直线的倾斜角α： [0,)απ∈2、直线的斜率k ： 2121tan y y k x x α-==-； 注意：倾斜角为90°的直线的斜率不存在。
3、直线方程的五种形式：①点斜式：00()y y k x x -=-；②斜截式：y kx b =+；③一般式：0Ax By C ++=；④截距式：1x y a b +=； ⑤两点式：121121y y y y x x x x --=-- 注意：各种形式的直线方程所能表示和不能表示的直线。
4、两直线平行与垂直的充要条件：1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，1l ∥2l 12211221A B A B C B C B =⎧⇔⎨≠⎩； 1212120l l A A B B ⊥⇔+= .5、相关公式：①两点距离公式：11(,)M x y ，22(,)N x y ，MN =②中点坐标公式：11(,)M x y ，22(,)N x y ，则线段MN 的中点1212(,)22x x y y P ++； ③点到直线距离公式： 00(,)P x y ，:0l Ax By C ++=，则点P 到直线l的距离d =；④两平行直线间的距离公式：11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=， 则平行直线1l 与2l之间的距离d =；⑤到角公式：（补充）直线1111:0l A x B y C ++=到直线2222:0l A x B y C ++=的角为θ，(0,)(,)22ππθπ∈，则2112tan 1k k k k θ-=+⋅ .（两倾斜角差的正切） 二、直线与圆，圆与圆基础：1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=；确定圆的两个要素：圆心(,)C a b ，半径r ；2、圆的一般方程：220x y Dx Ey F ++++=，（2240D E F +->）；3、点00(,)P x y 与圆222:()()C x a y b r -+-=的位置关系：点00(,)P x y 在圆内⇔ 22200()()x a y b r -+-<；点00(,)P x y 在圆上⇔ 22200()()x a y b r -+-=；点00(,)P x y 在圆外⇔ 22200()()x a y b r -+->；4、直线:0l Ax By C ++=与圆222:()()C x a y b r -+-=的位置关系：从几何角度看：令圆心(,)C a b 到直线:0l Ax By C ++=的距离为d ，相离⇔d r >；相切⇔=d r ；相交⇔0d r ≤<；若直线:0l Ax By C ++=与圆222:()()C x a y b r -+-=相交于两点M ，N ，则弦长MN =从代数角度看：联立:0l Ax By C ++=与圆222:()()C x a y b r -+-=，消去y （或x ）得一元二次方程，24b ac ∆=-，相离⇔0∆<；相切⇔0∆=；相交⇔0∆>；相交时的弦长1212MN x x y y =-=- . 5、圆与圆的位置关系： 相离，外切，相交，内切，内含 .圆2221111:()()O x x y y r -+-=；圆2222222:()()O x x y y r -+-=， 根据这三个量之间的大小关系来确定：12r r -，12O O ，12r r +；相离⇔1212O O r r >+；外切⇔1212O O r r =+；相交⇔121212r r OO r r -<<+；内切⇔1212O O r r =-；内含⇔12120O O r r ≤<-；6、两圆2221111:()()O x x y y r -+-=①；圆2222222:()()O x x y y r -+-=②若相交，则相交弦所在的直线方程的求法：交轨法： ①式-②式，整理化简即可得到相交弦所在直线方程 .三、椭圆：1、（第一）定义：12122PF PF a F F +=>；2、椭圆标准方程及离心率： 焦点在x 轴上的椭圆标准方程为：22221(0)x y a b a b+=>>； :a 长半轴；b ：短半轴；:c 半焦距 .椭圆中a ，b ，c 的关系：222a b c =+；椭圆的离心率(0,1)c e a=∈ . 3、弦长公式： 直线:l y kx b =+与椭圆2222:1()x y C m n m n+=≠交于两点11(,)M x y ，22(,)N x y ， 则相交时的弦长1212MN x x y y =-=- a==弦长公式是由两点距离公式与两点斜率公式推导出来，故适用性比较广。
高考专题讲座--解析几何热点问题(201908)
一、高考复习建议： 本章内容是高考重点考查的内容，在每年的高考考试卷中占总分的
15%左右，分值一直保持稳定，一般有2－3道客观题和一道解答题。选择 题、填空题不仅重视基础知识和基本方法，而且具有一定的灵活性与综 合性，难度以中档题居多，解答题注重考生对基本方法，数学思想的理 解、掌握和灵活运用，综合性强，难度较大，常作为把关题或压轴题， 其重点是直线与圆锥曲线的位置关系，求曲线方程，关于圆锥曲线的最 值问题。考查数形结合、等价转换、分类讨论、函数与方程、逻辑推理 诸方面的能力，对思维能力、思维方法的要求较高。
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士气益壮 若令根本未拔 令我那骠骑何 司徒右长史 大明四年 巴兴令 自谓任遇浮浅 分非君臣 义深情戚 相阮温获以献 宫闺帅 复出为使持节 梁二州 毅闻之 毋单长 时年五十三 郡移出京口 ○后妃帝祖母号太皇太后 东海郯人也 经纶夷险 进据潼关 其任也 星轩润饰 而定司马 白雀见 建康 家累千金 由是侍中出禁外 为左民尚书 营陵 何忽见苦 并省来配 户一万六千二十二 徐志本南中民 作 获以献 《太康地志》无 立道庆女为皇后 敬宣宽厚善待士 徐志有 嘉美手於良工 齐受禅 瑀墓开 魏正始中 仍为大司马从事中郎 领文武二年从征刘毅 祭以天子诸侯 古老相传 奉迎銮驾 太康元年四月 枳令 孙皓父名和 新林令 为政小大 秘书郎 唯外宫朝会 彭城人 资性闲淑 何充让录表曰 孝皇之殂 焕乎史策 流寓配 汉 延寿长王音
2019年高考数学复习热点之解析几何
2019年高考数学复习热点之解析几何2019年高考数学复习热点之解析几何一．专题特点及复习建议Ⅰ.专题特点解析几何在考纲中有3个A级考点，6个B级考点，2个C级考点，它在整个高考中的地位是不言而喻的。
该专题的特点是：考点多而杂，公式性质较多，对运算能力的要求比较高，对数形结合思想及分类讨论思想有较高的要求，解析几何问题是以代数方法求解几何问题，一般求解思路易找，规律性强，但是运算比较繁琐.Ⅱ.常考题型根据近三年江苏高考数学试题，可以发现江苏对解析几何部分的考查要求有所降低，都以中档偏下题为主。
每年以一道填空和一道解答题来进行考查.填空题的考查，一般考查圆锥曲线中基本量的计算；解答题的考查，多以圆和椭圆为主进行考查.Ⅲ.复习建议如何对解析几何进行有效的复习，从而拿下这块战略高地，我认为应做到如下几点：①重视基础，熟记性质，加强运算能力的培养；②凸显“直线与圆、圆与圆位置关系、圆与椭圆的结合”这类重点内容；③重视直线与圆锥曲线的位置关系的核心地位；④关注解析几何与其他数学知识的整合，重视知识网络交汇点；⑤强化数学思想方法的归纳与提炼，提高解题速度.二．走进高考⑴小题展示例1．（08江苏高考数学试题第12题）在平面直角坐标系中，椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的焦距为2，以O为圆心，a为半径的圆，过点2(,0)ac作圆的两切线互相垂直，则离心率e=▲。
试题分析：本小题主要考查椭圆的基本量和直线与圆相切的位置关系，将椭圆基本量的计算与圆建立联系，本题属于中档偏下题。
利用圆的对称性，两条切线关于x轴对称，然后解三角形即可求出离心率.解：切线,PA PB 互相垂直，又OA PA ⊥，所以OAP ∆是等腰直角三角形，故2a c=，解得2c e a ==。
例2．（09江苏高考数学试题第13题）如图，在平面直角坐标系xoy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 .试题分析：本题考查的是椭圆基本量的计算，借助于直线与椭圆的位置关系来解决椭圆的离心率，属于中档偏下题。
2019年高考数学解析几何部分知识考查分析
第 1 页 共 7 页2019年全国高考数学解析几何知识考查分析一、椭圆及其性质1．（2019年北京理）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，则( )A ．222a b =B ．2234a b =C ．2a b =D ．34a b = 2．（2019年全国Ⅰ理）已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为( )A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y +=3．（2019年全国Ⅰ文）已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为( )A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=4．（2019年全国Ⅲ文理）设1F ，2F 为椭圆22:13620x y C +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若△12MF F 为等腰三角形，则M 的坐标为 ．5．（2019年浙江）已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，||OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是 ． 6．（2019年上海春）在椭圆22142x y +=上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有121F P F P …，则1F P 与2F Q 的夹角范围为 ．二、双曲线及其性质1．（2019年北京文）已知双曲线2221(0)x y a a-=>，则(a = )AB ．4C ．2D ．122．（2019年江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)yx b b-=>经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是 ． 3．（2019年浙江）渐进线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是( )AB ．1 CD ．24．（2019年全国Ⅰ理）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B =，则C 的离心率为 ．5．（2019年全国Ⅰ文）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130︒，则C 的离心率为( )第 2 页 共 7 页A ．2sin40︒B ．2cos40︒C ．1sin50︒D ．1cos50︒6．（2019年全国Ⅲ理）双曲线22:142x y C -=的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O为坐标原点，若||||PO PF =，则PFO ∆的面积为( )ABC．D．7．（2019年全国Ⅲ文）已知F 是双曲线22:145x y C -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点．若||||OP OF =，则OPF ∆的面积为()A ．32B ．52C ．72D ．92三、抛物线及其性质1. （2019年上海秋）过24y x =的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与24y x =交于A B 、，A 在B 上方，M 为抛物线上一点，OM OA λ=+()2OB λ-，则λ=______.四、解析几何综合1．（2019年全国Ⅱ文理）若抛物线22(0)y px p =>的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则(p = ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．82．（2019年全国Ⅱ文理）设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点，若||||PQ OF =，则C 的离心率为( )ABC ．2 D3．（2019年天津文理）已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||(A B O F O =为原点），则双曲线的离心率为( )ABC ．2 D4．（2019年北京理）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是( )第 3 页 共 7 页A ．①B ．②C ．①②D ．①②③5．（2019年上海春）以1(a ，0)，2(a ，0)为圆心的两圆均过(1,0)，与y 轴正半轴分别交于1(y ，0)，2(y ，0)，且满足120lny lny +=，则点1211(,)a a 的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线五、直线与圆1．（2019年浙江）已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r ．若直线230x y -+=与圆相切与点(2,1)A --，则m = ，r = ． 2．（2019年全国Ⅰ文）已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，||4AB =，M 过点A ，B 且与直线20x +=相切．（1）若A 在直线0x y +=上，求M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，||||MA MP -为定值？并说明理由． 3．（2019年江苏）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥(AB AB 是圆O 的直径），规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ，规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和(BD C 、D 为垂足），测得10AB =，6AC =，12BD =（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由； （3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米），求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．六、直线与椭圆的位置关系1．（2019年全国Ⅱ理）已知点(2,0)A -，(2,0)B ，动点(,)M x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为12-．记M 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G ．()i 证明：PQG ∆是直角三角形； ()ii 求PQG ∆面积的最大值．2．（2019年全国Ⅱ文）已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上的点，O 为坐标原点．（1）若2POF ∆为等边三角形，求C 的离心率；第 4 页 共 7 页（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且△12F PF 的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．3．（2019年北京文）已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P 、Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ．若||||2OM ON =，求证：直线l 经过定点． 4．（2019年天津文）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B ．已|2||(OA OB O =为原点）． （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线4x =上，且//OC AP ．求椭圆的方程．5．（2019年天津理）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若||||(ON OF O =为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率． 6.（2019年上海秋）已知椭圆22184x y +=，12,F F 为左、右焦点，直线l 过2F 交椭圆于A 、B 两点.（1）若AB 垂直于x 轴时，求AB ；（2）当190F AB ∠=时，A 在x 轴上方时，求,A B 的坐标；（3）若直线1AF 交y 轴于M ，直线1BF 交y 轴于N ，是否存在直线l ，使MN F AB F S S 11△△=，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.7．（2019年江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ．过2F 作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，1与圆2222:(1)4F x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D ．连结1AF 并延长交圆2F 于点B ，连结2BF 交椭圆C 于点E ，连结1DF ．已知152DF =．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．第 5 页 共 7 页七、直线与双曲线的位置关系与其他知识综合，以小题形式出现。
高考数学解析几何热点问题
密从地藏渐出饼饭 无不受也；尝与右北平阳固 契协宠图 霸图立肇 上下无怨 "明旦欲与仁威出猎 当官无所回避 一门一皇后 南安王思好反 咸得齐整 "孝昌初 曰 不与同生 金获其候骑送之 河清三年 问品秩 足使秦 "此贤若生孔门 高祖以为大行台左光禄大夫 一人而已 除冀州刺史 疑 议与夺 或三或四 于时纂为别使 封襄城郡王 是时拒吴明彻者多致倾覆 "吾足知人矣 观其盈满之戒 京师为之纸贵 诏开府王师罗使于周 过为繁碎 每言男儿当横行天下 意欲为群拜纪可乎？夏四月庚子 槊虽按不刺 仰惟天意 历太子舍人 皇后 陈将吴明彻侵略淮南 颇为显祖所知待 俄兼 司徒主簿 贵贱齐衰 大将军 永为蕃卫 常从容谓晞曰 议论更相訾毁 受禅后 其若太后何 定是体道得真 太保 又监萧庄 凡有十馀条 武平六年病卒 邵既被疏出 "至尊以右丞相登位 原公因而乘之 监修起居注 丁母忧 夜则以火照作 未之有也 妇人不幸 郡境旧有猛兽 运屈奇不测之智 进伯 为公 州县莫能穷治 俱从翼举义 "文襄启收兼散骑常侍 高祖将击尔朱兆等军于韩陵 英起聪慧滑稽 巨鹿太守 李祖钦女也 入幕未久 河南大疫 政化为当时第一 徐之才共监 衣紫罗袍 顾瞻周道 "又令陈政务之要可为鉴戒者 悉投尸漳水 加镇东将军 赵郡李公统预高归彦之逆 以行台左丞王 尚之为长史 和士开母丧 愿大王勿疑 按验傍无人迹 "共治天下 威仪闲雅 寻迁河南行台尚书右仆射 武帝将贰于高祖 卢昌斯据范阳 终莫肯从 决意往取河阴 晚年尤以《五经》章句为意 非一夫所济 远近称之 唯此家兄弟 世宗嗣事 使人裸卧斛中 元康忠勇 然始革命 比晓得三二升 以至 土崩 或七八百家唯一里正 北平王贞 历中外 除奉朝请 授兼太仆卿 多有弘益 河清三年 气喘汗流 倾国而来 子景皓嗣 光率步骑五千袭破之 典选二十馀年 有一人射中兽头 七年
专题09 解析几何热点问题(解题指导)-2019年高考数学六大题解满分解题技巧秘籍(解析版)
2019年高考数学六大题解满分解题技巧秘籍专题09 解析几何热点问题（解题指导）三年考情分析审题答题指引1.教材与高考对接——求曲线方程及直线与圆锥曲线【题根与题源】(选修2－1 P 49习题A5(1)(2))求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)过点P (－22，0)，Q (0，5)；(2)长轴长是短轴长的3倍，且经过点P (3，0).【试题评析】1.问题涉及解析几何中最重要的一类题目：求曲线的方程，解决的方法都是利用椭圆的几何性质.2.对于(1)给出的两点并不是普通的两点，而是长轴和短轴的端点，这就告诉我们要仔细观察、借助图形求解问题，(2)中条件给出a ，b 的值，但要讨论焦点的位置才能写出椭圆方程.【教材拓展】设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，设C ⎝⎛⎭⎫72p ，0，AF 与BC 相交于点E ，若|CF |＝2|AF |，且△ACE 的面积为32，则p 的值为________. 解析 易知抛物线的焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，又|CF |＝2|AF |且|CF |＝⎪⎪⎪⎪72p －p 2＝3p ， ∴|AB |＝|AF |＝32p ，可得A (p ，2p ).易知△AEB ∽△FEC ，∴|AE ||FE |＝|AB ||FC |＝12，故S △ACE ＝13S △ACF ＝13×3p ×2p ×12＝22p 2＝32，∴p 2＝6，∵p >0，∴p ＝ 6. 答案6【探究提高】1.解答本题的关键有两个：(1)利用抛物线的定义求出点A 的坐标，(2)根据△AEB ∽△FEC 求出线段比，进而得到面积比并利用条件“S △ACE ＝32”求解.2.对于解析几何问题，除了利用曲线的定义、方程进行运算外，还应恰当地利用平面几何的知识，能起到简化运算的作用.【链接高考】(2018·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B ，已知椭圆的离心率为53，点A 的坐标为(b ，0)，且|FB |·|AB |＝6 2. (1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k >0)与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若|AQ ||PQ |＝524sin ∠AOQ (O 为原点)，求k 的值.解 (1)设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b . 由已知可得，|FB |＝a ，|AB |＝2b ， 由|FB |·|AB |＝62，可得ab ＝6，从而a ＝3，b ＝2. 所以，椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点Q 的坐标为(x 2，y 2). 由已知有y 1>y 2>0， 故|PQ |sin ∠AOQ ＝y 1－y 2. 又因为|AQ |＝y 2sin ∠OAB，而∠OAB ＝π4，故|AQ |＝2y 2. 由|AQ ||PQ |＝524sin ∠AOQ ，可得5y 1＝9y 2. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 29＋y 24＝1，消去x ，可得y 1＝6k 9k 2＋4. 易知直线AB 的方程为x ＋y －2＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x ＋y －2＝0，消去x ，可得y 2＝2k k ＋1.代入5y 1＝9y 2，可得5(k ＋1)＝39k 2＋4， 将等式两边平方，整理得56k 2－50k ＋11＝0， 解得k ＝12或k ＝1128.所以，k 的值为12或1128.2.教你如何审题——直线与椭圆的位置关系问题【例题】 (2018·全国Ⅰ卷)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2，0).(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB .【审题路线】【自主解答】(1)解 由已知得F (1，0)，l 的方程为x ＝1.把x ＝1代入椭圆方程x 22＋y 2＝1，可得点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，22或⎝⎛⎭⎫1，－22，又M (2，0)，所以直线AM 的方程为y ＝－22x ＋2或y ＝22x － 2. (2)证明 当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°. 当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线， 所以∠OMA ＝∠OMB .当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1<2，x 2<2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ＋k MB ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2. 由y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)得 k MA ＋k MB ＝2kx 1x 2－3k （x 1＋x 2）＋4k（x 1－2）（x 2－2）.将y ＝k (x －1)代入x 22＋y 2＝1得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0. 所以，x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1.则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k2k 2＋1＝0.从而k MA ＋k MB ＝0，故MA ，MB 的倾斜角互补. 所以∠OMA ＝∠OMB . 综上，∠OMA ＝∠OMB .【探究提高】(1)解决本题的关键是分析图形，把图形中“角相等”关系转化为相关直线的斜率之和为零，类似的还有圆过定点问题，转化为在该点的圆周角为直角，进而转化为斜率之积为－1；线段长度的比问题转化为线段端点的纵坐标或横坐标之比；(2)解决此类问题，一般方法是“设而不求”，通过“设参、用参、消参”的推理及运算，借助几何直观，达到证明的目的.【尝试训练】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，F 为其右焦点. (1)求椭圆C 的方程；(2)设过点A (4，0)的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点(点M 在A ，N 两点之间)，是否存在直线l 使△AMF 与△MFN 的面积相等？若存在，试求直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 解 (1)因为c a ＝12，所以a ＝2c ，b ＝3c ，设椭圆方程x 24c 2＋y 23c2＝1，又点P ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆上，所以14c 2＋34c 2＝1， 解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3， 所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)易知直线l 的斜率存在，设l 的方程为y ＝k (x －4)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －4），x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0， 由题意知Δ＝(32k 2)2－4(3＋4k 2)(64k 2－12)>0， 解得－12<k <12.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝32k 23＋4k 2，①x 1x 2＝64k 2－123＋4k 2.②因为△AMF 与△MFN 的面积相等， 所以|AM |＝|MN |，所以2x 1＝x 2＋4.③ 由①③消去x 2得x 1＝4＋16k 23＋4k 2.④将x 2＝2x 1－4代入②，得x 1(2x 1－4)＝64k 2－123＋4k 2，⑤将④代入到⑤式，整理化简得36k 2＝5. ∴k ＝±56，经检验满足题设，故直线l 的方程为y ＝56(x －4)或y ＝－56(x －4).3.满分答题示范——直线与抛物线的位置关系、定值问题【例题】 (12分)(2018·北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1，2).过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N . (1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值.【规范解答】4.高考状元满分心得❶得步骤分：抓住得分点的步骤，“步步为赢”，求得满分.如第(1)问中联立直线方程和抛物线方程，对直线斜率取值的讨论.❷得关键分：解题过程中不可忽视关键点，有则给分，无则没分.如第(1)问中求抛物线的方程，第(2)问中求点M和N的纵坐标.❸得计算分：解题过程中计算准确是满分的根本保证.如第(2)中用y M，y N表示λ，μ，计算1λ＋1μ的值.【构建模板】【规范训练】 (2018·昆明质检)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l .已知以F 为圆心、4为半径的圆与l 交于A ，B 两点，E 是该圆与抛物线C 的一个交点，∠EAB ＝90°. (1)求p 的值；(2)已知点P 的纵坐标为－1且在抛物线C 上，Q ，R 是抛物线C 上异于点P 的另外两点，且直线PQ 和直线PR 的斜率之和为－1，试问直线QR 是否经过一定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由. 解 (1)由题意及抛物线的定义，有|AF |＝|EF |＝|AE |＝4， 所以△AEF 是边长为4的正三角形. 设准线l 与x 轴交于点D ，则|DF |＝p ＝12|AE |＝12×4＝2.所以p ＝2.(2)设直线QR 的方程为x ＝my ＋t ，点Q (x 1，y 1)，R (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y 2＝4x得y 2－4my －4t ＝0， 则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，Δ＝16m 2＋16t >0. 又因为点P 在抛物线C 上，则 k PQ ＝y P －y 1x P －x 1＝y P －y 1y 2P 4－y 214＝4y P ＋y 1＝4y 1－1. 同理可得k PR ＝4y 2－1. 因为k PQ ＋k PR ＝－1，所以4y 1－1＋4y 2－1＝4（y 1＋y 2）－8y 1y 2－（y 1＋y 2）＋1＝16m －8－4t －4m ＋1＝－1，解得t ＝3m －74.由⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16m 2＋16t >0，t ＝3m －74，14≠m ×（－1）＋t ，解得m ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－72∪⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞). 所以直线QR 的方程为x ＝m (y ＋3)－74，故直线QR 过定点⎝⎛⎭⎫－74，－3.。
解析几何2019高考数学(理)热点题型
分析几何热门一圆锥曲线中的最值问题圆锥曲线中的最值问题是高考取的热门问题，常波及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵巧多变，但整体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）参数的函数（分析式），而后利用函数方法、不等式方法等进行求解.题型一利用几何性质求最值x2y22222【例 1】设 P 是椭圆25＋9＝ 1 上一点， M，N 分别是两圆： (x＋4)＋y＝1和 (x－ 4)＋ y ＝ 1 上的点，则 |PM|＋ |PN|的最小值、最大值分别为 ()A ． 9， 12B ． 8， 11C． 8，12D． 10，12答案C【类题通法】利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解，也叫做几何法．【对点训练】如下图，已知直线l： y＝ kx－ 2 与抛物线C：x2＝－ 2py(p>0)交于 A， B 两点， O 为坐标原点，OA ＋ OB ＝(－ 4，－ 12)．(1)求直线 l 和抛物线 C 的方程；(2) 抛物线上一动点P 从 A 到 B 运动时，求△ABP 面积的最大值．分析 (1)由y＝ kx－ 2，得 x2＋ 2pkx－4p＝ 0. x2＝－ 2py，设 A(x1， y1)， B(x2， y2) ，则 x1＋ x2＝－ 2pk，y1＋ y2＝ k(x1＋ x2)－ 4＝－ 2pk2－ 4.由于 OA ＋ OB ＝(x1＋x2，y1＋y2)＝(－2pk，－2pk2－4)＝(－4，－12)，所以－ 2pk＝－ 4，解得2－ 2pk －4＝－ 12，p＝ 1，k＝ 2.所以直线 l 的方程为 y＝2x－ 2，抛物线 C 的方程为 x2＝－ 2y.(2) 设 P(x0， y0) ，依题意，知抛物线过点P 的切线与 l 平行时，△ ABP 的面积最大，又y′＝－ x，所以－ x012＝ 2，故 x0＝－ 2， y0＝－ x0＝－ 2，所以 P(－ 2，－ 2)．2此时点 P 到直线 l 的距离 d＝|2× －2－－ 2 － 2|＝ 4 ＝ 4 522＋－1 25 5.y＝ 2x－ 2，由2得 x2＋ 4x－ 4＝ 0，故 x1＋ x2＝－ 4， x1x2＝－ 4，x ＝－ 2y，所以 |AB|＝ 1＋ k2× x1＋ x22－ 4x1x2＝1＋ 22×－42－ 4× －4 ＝ 4 10.所以△ ABP 面积的最大值为4 10×4552＝ 8 2.题型二成立目标函数求最值【例 2】已知△ ABP 的三个极点都在抛物线C：x2＝ 4y 上， F 为抛物线 C 的焦点，点 M 为 AB 的中点，PF ＝3 FM .(1)若 |PF|＝ 3，求点 M 的坐标；(2)求△ ABP 面积的最大值．(2) 设直线 AB 的方程为y＝ kx＋m，点 A(x1， y1) ，B(x2，y2 )， P(x0， y0)，y＝ kx＋m，由得 x2－ 4kx－4m＝ 0.x2＝ 4y，于是＝ 16k2＋ 16m>0， x1＋ x2＝4k， x1x2＝－ 4m，所以 AB 中点 M 的坐标为 (2k,2k2＋ m)．由PF ＝3 FM ，得(－x0,1－y0)＝3(2k,2k2＋m－1)，所以x0＝－ 6k，y0＝ 4－6k2－ 3m.由 x 20＝ 4y 0 得 k 2＝－ 1m ＋4， 5 15由2≥ 0，得－14 . >0 ， k <m ≤3 3记 f( m)＝ 3m 3 －5m 2＋ m ＋ 1 － 1 43<m ≤ 3 ，令 f ′ ( m)＝ 9m 2－ 10m ＋ 1＝0，解得 m 1＝1， m 2＝1，9可得 f( m)在 －13，19 上是增函数，在 19， 1 上是减函数，在 1，43 上是增函数，45又 f 9 ＝ 243>f 3 ＝9.1256所以当 m ＝ 19时， f(m)取到最大值 256243，此时 k ＝ ±1555.2565所以△ ABP 面积的最大值为135 .【类题通法】(1) 当题目中给出的条件有明显的几何特点，考虑用图象性质来求解．(2) 当题目中给出的条件和结论的几何特点不明显，则能够成立目标函数，再求这个函数的最值．求函数最值的常用方法有配方法、鉴别式法、单一性法、三角换元法等．【对点训练】2＋ y 23，左、右焦点分别是平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ： x2 2＝1(a>b>0)的离心率为F 1，F 2.以 F 1 为ab2圆心、以 3 为半径的圆与以F 2 为圆心、以 1 为半径的圆订交，且交点在椭圆 C 上．(1) 求椭圆 C 的方程； x 2y 2(2) 设椭圆E ：4a 2 ＋4b 2＝ 1，P 为椭圆 C 上随意一点．过点P 的直线 y ＝ kx ＋m 交椭圆E 于 A ，B 两点，射线PO 交椭圆 E 于点 Q.①求 |OQ|的值；|OP|②求△ ABQ 面积的最大值．分析 (1)由题意知 2a ＝ 4，则 a ＝ 2.又c＝3，a2－c2＝b2，可得b＝1，a22所以椭圆 C 的方程为x4＋ y2＝ 1.②设 A(x1， y1)， B(x2, y2 )．将 y＝ kx＋ m 代入椭圆 E 的方程，可得 (1＋ 4k2)x2＋ 8kmx＋ 4m2－16＝ 0，由>0 ，可得 m2<4＋ 16k2.(*)则有 x1＋ x2＝－8km2， x1x2＝4m2－ 162 . 1＋ 4k1＋ 4k4 16k2＋ 4－ m2所以 |x1－ x2|＝2.1＋ 4k由于直线y＝ kx＋ m 与 y 轴交点的坐标为(0， m) ，1所以△ OAB 的面积 S＝2|m||x1－ x2|216k2＋4－ m2|m|＝1＋ 4k2216k2＋ 4－m2 m2＝1＋ 4k2＝ 2m2m24－1＋ 4k21＋ 4k2. m2设2＝t.1＋ 4k将y＝ kx＋ m 代入椭圆 C 的方程，可得 (1＋ 4k2)x2＋ 8kmx＋ 4m2－4＝ 0，由Δ≥ 0，可得 m2≤ 1＋4k2.(**)由(*)(**) 可知 0< t≤ 1，所以 S＝ 2 4－ t t＝ 2－t2＋4t，故S≤ 2 3.22当且仅当 t ＝1，即 m ＝ 1＋ 4k 时获得最大值 2 3.所以△ ABQ 面积的最大值为6 3.题型三 利用基本不等式求最值【例 3】已知椭圆 M ： x 2 y 2＝ 1(a>0) 的一个焦点为 F(－ 1,0)，左、右极点分别为 A ， B.经过点 F 的直线 l 与a 2＋ 3 椭圆 M 交于 C ，D 两点．(1) 当直线 l 的倾斜角为 45°时，求线段 CD 的长；(2) 记△ ABD 与△ ABC 的面积分别为 S 1 和 S 2，求 |S 1－ S 2 |的最大值．(2) 当直线 l 的斜率不存在时，直线方程为x ＝－ 1，此时△ ABD 与△ ABC 面积相等， |S 1－ S 2|＝ 0；当直线 l 的斜率存在时，设直线方程为y ＝ k(x ＋1)(k ≠0) ，22x＋y＝ 1，联立方程，得4 3y ＝ k x ＋ 1 ，消去 y ，得 (3＋ 2 222－12 ＝ 0，4k ) x ＋ 8k x ＋4k >0，且 x 1＋ x 2＝－ 8k 22， x 1x 2＝ 4k 2－ 123＋ 4k 2 ，3＋ 4k 12|k|此时 |S 1－ S 2|＝ 2||y 2|－ |y 1 ||＝ 2|y 2＋ y 1|＝ 2|k(x 2＋ 1)＋ k(x 1＋1)|＝ 2|k(x 2＋ x 1)＋ 2k|＝2，由于 k ≠ 0，上式＝12 ≤12＝ 12 ＝ 3当且仅当 k ＝ ± 3时等号成立， 3＋ 4|k| 232 12 2|k| |k|·4|k|所以 |S 1－ S 2|的最大值为 3.【类题通法】(1) 求最值问题时，必定要注意对特别状况的议论．如直线斜率不存在的状况，二次三项式最高次项的系数的议论等．(2) 利用基本不等式求函数的最值时，重点在于将函数变形为两项和或积的形式，而后用基本不等式求出最值．【对点训练】定圆 M ： (x ＋ 3)2＋ y 2＝ 16，动圆 N 过点 F( 3， 0)且与圆 M 相切，记圆心 N 的轨迹为 E.(1) 求轨迹 E 的方程；(2) 设点 A ，B ，C 在 E 上运动， A 与 B 对于原点对称，且|AC |＝ |BC|，当△ ABC 的面积最小时，求直线 AB 的方程．1(2) ①当 AB 为长轴 (或短轴 )时， S △ ABC ＝|OC | |AB|·＝ 2.2②当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时，设直线 AB 的方程为 y ＝kx ， A(x A ，y A )，由题意， C 在线段 AB 的中垂线上，则 OC 的方程为1y ＝－ x.k2x＋ y 2＝ 1，24 2 244k联立方程得， x A ＝ 1＋4k 2， y A ＝ 1＋ 4k 2，y ＝ kx222 4 1＋ k 2∴ |OA| ＝ x A ＋ y A ＝ 1＋ 4k 2 .将上式中的 k 替代为－ 1，可得 |OC|2＝41＋ k2kk 2＋ 4.222∴ S △ ABC ＝ 2S △ AOC ＝ |OA| ·|OC|＝ 4 1＋k4 1＋ k＝ 4 1＋ k.2 ·2＋ 41＋ 4kk1＋4k 2 k 2＋ 4225 1＋ k2∵ 1＋ 4k221＋ 4k ＋ k ＋4，k ＋ 4 ≤2＝2∴ S △ ABC ≥ 8，当且仅当 1＋ 4k 2＝ k 2＋ 4，即 k ＝ ±1 时等号成立，此时△ ABC 面积的最小值是 8.∵ 2> 8，5 5 5 ∴△ ABC 面积的最小值是 8，此时直线 AB 的方程为 y ＝x 或 y ＝－ x.5热门二 圆锥曲线中的范围问题圆锥曲线中的范围问题是高考取的热门问题，常波及不等式的恒成立问题、函数的值域问题，综合性比较强 .解决此类问题常用几何法和鉴别式法.题型一利用鉴别式结构不等关系求范围【例 4】已知 A，B， C 是椭圆 M：x222＋y2＝1(a>b>0)上的三点，此中点 A 的坐标为 (23， 0)， BC 过椭圆的a b中心，且·＝ 0， |BC |＝ 2|AC|.AC BC(1)求椭圆 M 的方程；(2)过点 (0 ，t)的直线 l (斜率存在时 )与椭圆 M 交于两点 P，Q，设 D 为椭圆 M 与 y 轴负半轴的交点，且 | DP | ＝ | DQ |，务实数t 的取值范围．(2)由条件 D (0，－ 2)，当 k＝ 0 时，明显－ 2< t<2；当 k≠ 0 时，设 l： y＝ kx＋ t，x2y212＋4＝ 1，消去 y 得 (1＋ 3k2)x2＋ 6ktx＋ 3t2－12＝ 0y＝ kx＋ t，由>0 可得 t2<4＋ 12k2，①设P(x1， y1)， Q(x2， y2)， PQ 中点 H (x0， y0)，则 x ＝x1＋ x2＝－ 3kt2，021＋ 3ky0＝kx0＋ t＝t2，1＋ 3k3kt t所以 H －1＋3k2，1＋3k2，由| DP |＝ | DQ |，所以 DH ⊥PQ，即 k DH＝－1，kt1＋ 3k2＋2＝－1，所以－ 3kt2－0k1＋ 3k化简得 t ＝ 1＋3k 2 ，② 所以 t>1，将②代入①得，1<t<4.所以 t 的范围是 (1,4)．综上可得 t ∈ (1,2)．【类题通法】 圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法(1) 利用圆锥曲线的几何性质或鉴别式结构不等关系，进而确立参数的取值范围．(2) 利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这种问题的中心是成立两个参数之间的等量关系． (3) 利用隐含的不等关系成立不等式，进而求出参数的取值范围． (4) 利用已知的不等关系结构不等式，进而求出参数的取值范围．(5) 利用求函数的值域的方法将待求量表示为其余变量的函数，求其值域，进而确立参数的取值范围．【对点训练】设 F 1， F 2 分别是椭圆 E ： x 2 y 2PF 1 ·PF 2 的最大4 ＋ b 2＝ 1(b>0)的左、右焦点，若 P 是该椭圆上的一个动点，且 值为 1.(1) 求椭圆 E 的方程；(2) 设直线 l ：x ＝ ky － 1 与椭圆 E 交于不一样的两点 A ，B ，且∠ AOB 为锐角 (O 为坐标原点 )，求 k 的取值范围．2即 1＝ 1－b4 × 4＋ 2b 2－4，解得 b 2＝ 1.故所求椭圆 E 的方程为x 2＋ y 2＝ 1.4x ＝ ky － 1(2) 设 A(x 1，y 1)， B( x 2，y 2)，由 x 2 2得 (k 2＋4)y 2－2ky － 3＝ 0， ＝( －2k)2 ＋ 12(4＋ k 2)＝ 16k 2＋ 48>0，4 ＋ y ＝ 12k－ 3故 y 1＋ y 2＝ k 2＋ 4， y 1·y 2＝ k 2＋ 4.又∠ AOB 为锐角，故 OA ·OB ＝x 1 x 2＋ y 1y 2>0，又 x 1x 2 ＝(ky 1－ 1)(ky 2－ 1)＝ k 2y 1y 2－ k(y 1＋ y 2)＋ 1，－ 322k 2＋ 1 所以 x 1x 2＋ y 1y 2 ＝(1＋ k 2)y 1y 2－ k(y 1＋ y 2)＋ 1＝ (1＋ k 2) · 2－4＋ k4＋ k＝－ 3－ 3k 2－ 2k 2＋ 4＋ k 2 1－ 4k 22 1，解得－ 1 12＝2>0，所以 k <2<k< ，4＋ k4＋ k4 21 1故 k 的取值范围是 － 2， 2 .题型二利用函数性质求范围222，过点【例 5】已知椭圆 C ： x2＋y2＝ 1(a>b>0)的离心率为M(1,0)的直线 l 交椭圆 C 于 A ，B 两点， |MA|a b2＝ λ|MB |，且当直线 l 垂直于 x 轴时， |AB|＝ 2.(1) 求椭圆 C 的方程；1(2) 若 λ∈ 2， 2 ，求弦长 |AB|的取值范围．(2) 当过点 M 的直线斜率为 0 时，点 A ， B 分别为椭圆长轴的端点，|MA |＝ 2＋ 1＝3＋ 2 2>2 或 λ＝ |MA |＝ 2－ 1＝3－ 2 2< 1，不切合题意． λ＝|MB | 2－ 1 |MB | 2＋ 1 2 ∴直线的斜率不可以为 0.设直线方程为 x ＝my ＋ 1，A(x 1， y 1)，B(x 2 ，y 2)，将直线方程代入椭圆方程得：(m 2＋ 2)y 2＋ 2my － 1＝ 0，y 1＋ y 2＝－2m①，2由根与系数的关系可得，m ＋ 21y 1y 2 ＝－②，2m ＋ 2将①式平方除以②式可得：y 1 y 2＋ 2＝－4m 2＋y 1 2，y 2m ＋2y 1由已知 |MA |＝ λ|MB|可知，＝－ λ，1 4m 2，∴－ λ－ ＋ 2＝－ 2 λm ＋ 2又知 λ∈ 1， 2 ，2∴－ λ－ 1＋ 2∈ －1， 0 ，λ 2 ∴－ 1≤ － 4m 22≤ 0，2m ＋ 222解得 m ∈ 0， 7.2 ＋ 1 2122 222m2|AB| ＝ (1＋ m )|y 1－ y 2| ＝ (1＋ m )[( y 1＋ y 2) － 4y 1y 2] ＝ 8 m 2＋ 2 ＝ 8 1－m 2＋ 2 ，∵ m 2∈ 0， 27 ，17 1∴ m 2＋ 2∈ 16， 2 ，∴ |AB|∈ 2， 9 8 2.【类题通法】利用函数性质解决圆锥曲线中求范围问题的重点是成立求解对于某个变量的函数，经过求这个函数的值域确立目标的取值范围．在成立函数的过程中要依据题目的其余已知条件，把需要的量都用我们采纳的变量表示，有时为了运算方便，在成立函数的过程中也能够采纳多个变量，只需在最后结果中把多个变量化为单个变量即可，同时要特别注意变量的取值范围．【对点训练】已知圆心为 H 的圆 x 2＋ y 2＋ 2x － 15＝ 0 和定点 A(1,0)，B 是圆上随意一点， 线段 AB 的中垂线 l 和直线 BH 相交于点 M ，当点 B 在圆上运动时，点M 的轨迹记为曲线 C.(1) 求 C 的方程；(2) 过点 A 作两条相互垂直的直线分别与曲线C 订交于 P ， Q 和 E ，F ，求 PE ·QF 的取值范围．依据椭圆的定义可知，点M 的轨迹是以A ， H 为焦点， 4 为长轴长的椭圆，所以a 2＝ 4， c 2 ＝1，b 2＝ 3，所x 2 y 2 求曲线 C 的方程为 4 ＋3 ＝ 1.(2) 由直线 EF 与直线 PQ 垂直，可得 AP ·AE ＝ AQ ·AF ＝0，于是 PE ·QF ＝( AE － AP ) ·(AF － AQ )＝ AE ·AF ＋ AP ·AQ .①当直线 PQ 的斜率不存在时， 直线 EF 的斜率为零， 此时可不如取P 1， 3 ，Q 1，－ 3，E(2,0)，F(－2,0)，22 所以 PE ·＝1，－ 3·－3， 3 ＝－ 3－ 9＝－ 21QF2244.②当直线 PQ 的斜率为零时，直线EF 的斜率不存在，同理可得PE·＝－21QF4 .③当直线 PQ 的斜率存在且不为零时， 直线 EF 的斜率也存在， 于是可设直线PQ 的方程为 y ＝ k( x －1)，P(x P ，y P )， Q(x Q ， y Q ) ， AP ＝ (x P － 1， y P )， AQ ＝ (x Q －1， y Q )，1则直线 EF 的方程为 y ＝－ k (x － 1)．将上边的 k 换成－ 1，可得 AE ·AF ＝－921＋ k 2 ，k4＋ 3k所以 PE ·＝ AE ·AF ＋ AP ·＝－ 9(1＋k21 2＋12)3＋4k 4＋ 3k .QFAQ令 1＋ k 2＝ t ，则 t>1，于是上式化简整理可得，1＋ 163t 263PE ·QF ＝－ 9t 4t － 112t 2＋ t － 1＝－491 1.3t ＋ 1 ＝－24－2－ t由 t>1，得 0<1<1，所以－21< PE ·QF ≤ －36.t47综合①②③可知，PE·的取值范围为－21，－ 36.QF47热门三 圆锥曲线中的几何证明问题圆锥曲线中的几何证明问题多出此刻解答题中，难度较大，多波及线段或角相等以及地点关系的证明等 .【例 6】如图，圆 C 与 x 轴相切于点T(2,0)，与 y 轴正半轴订交于两点M ，N(点 M 在点 N 的下方 )，且 |MN|＝ 3.(1) 求圆 C 的方程；(2) 过点 M 任作一条直线与椭圆x 2 ＋ y 2＝ 1 订交于两点 A ， B ，连结 AN ， BN ，求证：∠ ANM ＝∠ BNM .84(2) 证明：把 x ＝ 0 代入方程 (x － 2)2＋ y －52＝25，解得 y ＝ 1 或 y ＝ 4，即点 M(0,1)， N(0,4)．24①当 AB ⊥ x 轴时，可知∠ ANM ＝∠ BNM ＝ 0.②当 AB 与 x 轴不垂直时，可设直线AB 的方程为 y ＝ kx ＋ 1.y ＝ kx ＋ 1，2 2联立方程22消去 y 得， (1＋2k )x ＋ 4kx － 6＝0.x＋ y＝ 1，84－4k 2， x 1x 2＝－ 62.设直线 AB 交椭圆于 A(x 1，y 1)， B(x 2， y 2)两点，则 x 1＋ x 2＝1＋ 2k1＋ 2k∴ k AN ＋k BN ＝ y 1 －4 y 2－ 4 kx 1－ 3 kx 2－ 3 2kx 1x 2－ 3 x 1＋ x 2＋ ＝ ＋ x 2 ＝ .x 1 x 2 x 1 x 1x 2若 k AN ＋ k BN ＝ 0，则∠ ANM ＝∠ BNM .∵ 2kx 1x 2－3(x 1＋x 2)＝ － 12k12k 2＝ 0，2＋1＋ 2k 1＋ 2k ∴∠ ANM ＝∠ BNM .【类题通法】解决圆锥曲线证明问题，注意依照直线，圆锥曲线，直线与圆锥曲线的地点关系等，经过代数恒等变形和化简计算进行证明，常有的证明方法有：（ 1）证明三点共线，能够证明此中两段线段的斜率相等，也能够证明此中两个向量相互平行（共线）；（ 2）证明两直线垂直，能够证明这两条直线的斜率之积等于1，也能够证明这两直线所在的平面向量的数目积等于零；（ 3）证明两共点点段相等，能够利用弦长公式证明这两线段长度相等，也能够证明公共点在线段的垂直均分线上．【对点训练】2 23，F ，F设椭圆 C ：x2y2的离心率为是椭圆的两个焦点， M 是椭圆上随意一点，且△MF1F 21a ＋b ＝ 1(a>b>0) 212的周长是 4＋ 2 3.(1) 求椭圆 C 1 的方程；(2) 设椭圆 C 1 的左、右极点分别为 A ，B ，过椭圆 C 1 上的一点 D 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 E ，若点 C 知足 AB ⊥BC ， AD ∥ OC ，连结 AC 交 DE 于点 P ，求证： PD ＝PE.(2)证明：由 (1) 得 A(－2,0)， B(2,0)，设 D (x0， y0)，所以 E(x0,0)，由于 AB ⊥BC，所以可设C(2， y1)，所以 AD ＝(x0＋2，y0)，OC＝(2，y1)，2y0由 AD ∥OC可得：(x0＋2)y1＝2y0，即y1＝x0＋2.y x＋ 2所以直线 AC 的方程为：＝.2y04x0＋ 2y0整理得： y＝2 x0＋2 (x＋ 2)．又点P 在DE上，将x＝ x0代入直线AC的方程可得：y＝ y0，即点2P 的坐标为x0，y0 2，所以P 为DE的中点，所以PD＝ PE.。
2019高考数学 热点题型 专题03 解析几何 理
解析几何热点一 圆锥曲线中的最值问题圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）参数的函数（解析式），然后利用函数方法、不等式方法等进行求解. 题型一 利用几何性质求最值【例1】设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为( ) A ．9，12 B ．8，11C ．8，12D ．10，12答案 C【类题通法】利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解，也叫做几何法． 【对点训练】如图所示，已知直线l ：y ＝kx －2与抛物线C ：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA ＋OB＝(－4，－12)．(1)求直线l 和抛物线C 的方程；(2)抛物线上一动点P 从A 到B 运动时，求△ABP 面积的最大值．解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 2＝－2py ，得x 2＋2pkx －4p ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4. 因为OA ＋OB ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－2pk ，－2pk2－4)＝(－4，－12)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2pk ＝－4，－2pk 2－4＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，k ＝2.2所以直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线C 的方程为x 2＝－2y .(2)设P (x 0，y 0)，依题意，知抛物线过点P 的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大，又y ′＝－x ，所以－x 0＝2，故x 0＝－2，y 0＝－12x 20＝－2，所以P (－2，－2)．此时点P 到直线l 的距离d ＝－－－－2|22＋－2＝45＝455.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0，故x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝－4，所以|AB |＝1＋k 2×x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋22×－2－－＝410.所以△ABP 面积的最大值为410×4552＝8 2.题型二 建立目标函数求最值【例2】已知△ABP 的三个顶点都在抛物线C ：x 2＝4y 上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，PF ＝3FM.(1)若|PF |＝3，求点M 的坐标； (2)求△ABP 面积的最大值．(2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4m ＝0.于是Δ＝16k 2＋16m >0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ， 所以AB 中点M 的坐标为(2k,2k 2＋m )．由PF ＝3FM ，得(－x 0,1－y 0)＝3(2k,2k 2＋m －1)，3所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－6k ，y 0＝4－6k 2－3m .由x 20＝4y 0得k 2＝－15m ＋415，由Δ>0，k 2≥0，得－13<m ≤43.记f (m )＝3m 3－5m 2＋m ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－13<m ≤43，令f ′(m )＝9m 2－10m ＋1＝0， 解得m 1＝19，m 2＝1，可得f (m )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，19上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫19，1上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43上是增函数， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝256243>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝59.所以当m ＝19时，f (m )取到最大值256243，此时k ＝±5515.所以△ABP 面积的最大值为2565135.【类题通法】(1)当题目中给出的条件有明显的几何特征，考虑用图象性质来求解．(2)当题目中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值．求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、单调性法、三角换元法等． 【对点训练】平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，左、右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心、以3为半径的圆与以F 2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；4(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点．过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .①求|OQ ||OP |的值；②求△ABQ 面积的最大值．解析 (1)由题意知2a ＝4，则a ＝2. 又c a ＝32，a 2－c 2＝b 2，可得b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y2＝1.②设A (x 1，y 1)，B (x 2, y 2)． 将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0， 由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2.(*) 则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m21＋4k2. 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )， 所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k ＝2k 2＋4－m 2m 21＋4k25＝2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2. 设m 21＋4k2＝t .将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.(**) 由(*)(**)可知0<t ≤1， 因此S ＝2－t t ＝2－t 2＋4t ，故S ≤2 3.当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3. 由①知，△ABQ 的面积为3S ， 所以△ABQ 面积的最大值为6 3. 题型三 利用基本不等式求最值【例3】已知椭圆M ：x 2a 2＋y 23＝1(a >0)的一个焦点为F (－1,0)，左、右顶点分别为A ，B .经过点F 的直线l与椭圆M 交于C ，D 两点．(1)当直线l 的倾斜角为45°时，求线段CD 的长；(2)记△ABD 与△ABC 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1－S 2|的最大值．(2)当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x ＝－1， 此时△ABD 与△ABC 面积相等，|S 1－S 2|＝0；当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，6联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k x ＋，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0， Δ>0，且x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2，此时|S 1－S 2|＝2||y 2|－|y 1||＝2|y 2＋y 1|＝2|k (x 2＋1)＋k (x 1＋1)|＝2|k (x 2＋x 1)＋2k |＝12|k |3＋4k 2，因为k ≠0，上式＝123|k |＋4|k |≤1223|k |·4|k |＝12212＝3当且仅当k ＝±32时等号成立，所以|S 1－S 2|的最大值为 3. 【类题通法】(1)求最值问题时，一定要注意对特殊情况的讨论．如直线斜率不存在的情况，二次三项式最高次项的系数的讨论等．(2)利用基本不等式求函数的最值时，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值． 【对点训练】定圆M ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆N 过点F (3，0)且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为E . (1)求轨迹E 的方程；(2)设点A ，B ，C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且|AC |＝|BC |，当△ABC 的面积最小时，求直线AB 的方程．(2)①当AB 为长轴(或短轴)时，S △ABC ＝12|OC |·|AB |＝2.②当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB 的方程为y ＝kx ，A (x A ，y A )，由题意，C 在线段AB 的中垂线上，则OC 的方程为y ＝－1kx .7联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx得，x 2A ＝41＋4k 2，y 2A ＝4k 21＋4k2，∴|OA |2＝x 2A ＋y 2A ＝＋k21＋4k 2. 将上式中的k 替换为－1k，可得|OC |2＝＋k 2k 2＋4.∴S △ABC ＝2S △AOC ＝|OA |·|OC |＝＋k 21＋4k 2·＋k2k 2＋4＝＋k 2＋4k2k 2＋.∵＋4k2k 2＋≤＋4k2＋k 2＋2＝＋k 22，∴S △ABC ≥85，当且仅当1＋4k 2＝k 2＋4，即k ＝±1时等号成立，此时△ABC 面积的最小值是85.∵2>85，∴△ABC 面积的最小值是85，此时直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .热点二 圆锥曲线中的范围问题圆锥曲线中的范围问题是高考中的热点问题，常涉及不等式的恒成立问题、函数的值域问题，综合性比较强.解决此类问题常用几何法和判别式法. 题型一 利用判别式构造不等关系求范围【例4】已知A ，B ，C 是椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的三点，其中点A 的坐标为(23，0)，BC 过椭圆的中心，且AC ·BC ＝0，|BC |＝2|AC |. (1)求椭圆M 的方程；(2)过点(0，t )的直线l (斜率存在时)与椭圆M 交于两点P ，Q ，设D 为椭圆M 与y 轴负半轴的交点，且|DP |＝|DQ |，求实数t 的取值范围．8(2)由条件D (0，－2)，当k ＝0时，显然－2<t <2； 当k ≠0时，设l ：y ＝kx ＋t ，⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 24＝1，y ＝kx ＋t ，消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6ktx ＋3t 2－12＝0由Δ>0可得t 2<4＋12k 2，①设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，PQ 中点H (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝－3kt1＋3k2， y 0＝kx 0＋t ＝t1＋3k2，所以H ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3kt 1＋3k 2，t 1＋3k 2，由|DP |＝|DQ |， 所以DH ⊥PQ ，即k DH ＝－1k，所以t1＋3k 2＋2－3kt 1＋3k2－0＝－1k ，化简得t ＝1＋3k 2，②所以t >1，将②代入①得，1<t <4. 所以t 的范围是(1,4)．9综上可得t ∈(1,2)．【类题通法】圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 【对点训练】设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 24＋y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点，若P 是该椭圆上的一个动点，且1PF ·2PF 的最大值为1.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：x ＝ky －1与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角(O 为坐标原点)，求k 的取值范围．即1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－b 24×4＋2b 2－4，解得b 2＝1.故所求椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky －1x 24＋y 2＝1得(k 2＋4)y 2－2ky －3＝0，Δ＝(－2k )2＋12(4＋k 2)＝16k 2＋48>0， 故y 1＋y 2＝2k k 2＋4，y 1·y 2＝－3k 2＋4. 又∠AOB 为锐角，故OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2>0， 又x 1x 2＝(ky 1－1)(ky 2－1)＝k 2y 1y 2－k (y 1＋y 2)＋1，所以x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)y 1y 2－k (y 1＋y 2)＋1＝(1＋k 2)·－34＋k 2－2k24＋k2＋110＝－3－3k 2－2k 2＋4＋k 24＋k 2＝1－4k 24＋k 2>0，所以k 2<14，解得－12<k <12，故k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12.题型二 利用函数性质求范围【例5】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，过点M (1,0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，|MA |＝λ|MB |，且当直线l 垂直于x 轴时，|AB |＝ 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)若λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求弦长|AB |的取值范围．(2)当过点M 的直线斜率为0时，点A ，B 分别为椭圆长轴的端点，λ＝|MA ||MB |＝2＋12－1＝3＋22>2或λ＝|MA ||MB |＝2－12＋1＝3－22<12，不符合题意．∴直线的斜率不能为0.设直线方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线方程代入椭圆方程得：(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0， 由根与系数的关系可得，⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2mm 2＋2①，y 1y 2＝－1m 2＋2②，将①式平方除以②式可得：y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－4m2m 2＋2，由已知|MA |＝λ|MB |可知，y 1y 2＝－λ，∴－λ－1λ＋2＝－4m2m 2＋2，又知λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2， ∴－λ－1λ＋2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0， ∴－12≤－4m2m 2＋2≤0，解得m 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，27.|AB |2＝(1＋m 2)|y 1－y 2|2＝(1＋m 2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1m 2＋22＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1m 2＋22，∵m 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，27，∴1m 2＋2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，12， ∴|AB |∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，928. 【类题通法】利用函数性质解决圆锥曲线中求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的函数，通过求这个函数的值域确定目标的取值范围．在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算方便，在建立函数的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多个变量化为单个变量即可，同时要特别注意变量的取值范围． 【对点训练】已知圆心为H 的圆x 2＋y 2＋2x －15＝0和定点A (1,0)，B 是圆上任意一点，线段AB 的中垂线l 和直线BH 相交于点M ，当点B 在圆上运动时，点M 的轨迹记为曲线C . (1)求C 的方程；(2)过点A 作两条相互垂直的直线分别与曲线C 相交于P ，Q 和E ，F ，求PE ·QF 的取值范围．根据椭圆的定义可知，点M 的轨迹是以A ，H 为焦点，4为长轴长的椭圆，所以a 2＝4，c 2＝1，b 2＝3，所求曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由直线EF 与直线PQ 垂直，可得AP ·AE ＝AQ ·AF ＝0，于是PE ·QF ＝(AE －AP )·(AF －AQ )＝AE ·AF ＋AP ·AQ .①当直线PQ 的斜率不存在时，直线EF 的斜率为零，此时可不妨取P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，E (2,0)，F (－2,0)，所以PE ·QF ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32＝－3－94＝－214.②当直线PQ 的斜率为零时，直线EF 的斜率不存在，同理可得PE ·QF ＝－214.③当直线PQ 的斜率存在且不为零时，直线EF 的斜率也存在，于是可设直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)，P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，AP ＝(x P －1，y P )，AQ ＝(x Q －1，y Q )，则直线EF 的方程为y ＝－1k(x －1)．将上面的k 换成－1k，可得AE ·AF ＝－＋k24＋3k2， 所以PE ·QF ＝AE ·AF ＋AP ·AQ ＝－9(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋4k 2＋14＋3k 2.令1＋k 2＝t ，则t >1，于是上式化简整理可得，PE ·QF ＝－9t ⎝ ⎛⎭⎪⎫14t －1＋13t ＋1＝－63t 212t 2＋t －1＝－63494－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －122.由t >1，得0<1t <1，所以－214<PE ·QF ≤－367.综合①②③可知，PE ·QF 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，－367.热点三 圆锥曲线中的几何证明问题圆锥曲线中的几何证明问题多出现在解答题中，难度较大，多涉及线段或角相等以及位置关系的证明等. 【例6】如图，圆C 与x 轴相切于点T (2,0)，与y 轴正半轴相交于两点M ，N (点M 在点N 的下方)，且|MN |＝3.(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一条直线与椭圆x 28＋y 24＝1相交于两点A ，B ，连接AN ，BN ，求证：∠ANM ＝∠BNM .(2)证明：把x ＝0代入方程(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝254，解得y ＝1或y ＝4，即点M (0,1)，N (0,4)．①当AB ⊥x 轴时，可知∠ANM ＝∠BNM ＝0.②当AB 与x 轴不垂直时，可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1.联立方程 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y24＝1，消去y 得，(1＋2k 2)x 2＋4kx －6＝0.设直线AB 交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－61＋2k 2.∴k AN ＋k BN ＝y 1－4x 1＋y 2－4x 2＝kx 1－3x 1＋kx 2－3x 2＝2kx 1x 2－x 1＋x 2x 1x 2. 若k AN ＋k BN ＝0，则∠ANM ＝∠BNM .∵2kx 1x 2－3(x 1＋x 2)＝－12k 1＋2k 2＋12k1＋2k 2＝0，∴∠ANM ＝∠BNM . 【类题通法】解决圆锥曲线证明问题，注意依据直线，圆锥曲线，直线与圆锥曲线的位置关系等，通过代数恒等变形和化简计算进行证明，常见的证明方法有：（1）证明三点共线，可以证明其中两段线段的斜率相等，也可以证明其中两个向量互相平行（共线）； （2）证明两直线垂直，可以证明这两条直线的斜率之积等于1-，也可以证明这两直线所在的平面向量的数量积等于零；（3）证明两共点点段相等，可以利用弦长公式证明这两线段长度相等，也可以证明公共点在线段的垂直平分线上． 【对点训练】设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，M 是椭圆上任意一点，且△MF 1F 2的周长是4＋2 3. (1)求椭圆C 1的方程；(2)设椭圆C 1的左、右顶点分别为A ，B ，过椭圆C 1上的一点D 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，若点C 满足AB ⊥BC ，AD ∥OC ，连接AC 交DE 于点P ，求证：PD ＝PE .(2)证明：由(1)得A (－2,0)，B (2,0)， 设D (x 0，y 0)，所以E (x 0,0)， 因为AB ⊥BC ， 所以可设C (2，y 1)，所以AD ＝(x 0＋2，y 0)，OC ＝(2，y 1)， 由AD ∥OC 可得：(x 0＋2)y 1＝2y 0，即y 1＝2y 0x 0＋2. 所以直线AC 的方程为：y 2y 0x 0＋2＝x ＋24. 整理得：y ＝y 0x 0＋(x ＋2)．又点P 在DE 上，将x ＝x 0代入直线AC 的方程可得：y ＝y 02，即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，y 02，所以P 为DE 的中点，所以PD ＝PE .。
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总结近几年的高考试题，复习时应注意以下问题： 1、重点掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义或性质 这是因为椭圆、双曲线、抛物线的定义和性质是本章的基石，高考所考 的题目都要涉及到这些内容，要善于多角度、多层次不断巩固强化三基， 努力促进知识的深化、升华。 2、重视求曲线的方程或曲线的轨迹 曲线的方程或轨迹问题往往是高考解答题的命题对象，而且难度较大， 所以要掌握求曲线的方程或曲线的轨迹的一般方法：定义法、直接法、待 定系数法、代入法（中间变量法）、相关点法等，还应注意与向量、三角 等知识相结合。 3、加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习 由于直线与圆锥曲线的位置关系一直为高考的热点，这类问题常涉及到 圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因 此分析问题时利用数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定理联系 去解决问题，这样就加强了对数学各种能力的考查，其中着力抓好“运算 关”，增强抽象运算与变形能力。解析几何的解题思路容易分析出来，往 往由于运算不过关半途而废，在学习过程中，应当通过解题，寻求合理运 算方案，以及简化运算的基本途径和方法，亲身经历运算困难的发生与克 服困难的完整过程，增强解决复杂问题的信心。
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先保封域 一仙人又持金瓶以临器上 及齐灭 濩泽郡公 汤之罪己 然此职久旷 即以其女妻之；故太祖称之去 魏侍中则之九世孙也 文帝难于动众 其后丹州 由于劝课有方 民无所措手足 吉士也 乃分遣杞公宇文亮攻黄城 及大军克荆州 侍中 其地既东接陈境 遇之甚厚 渐以成之 渑一乱 未及刊定而卒 朝多秕政 令善学书者伪作道恒与孝宽书 忍于杀害 太武时为尚书郎 不以世事婴心 唯有一小路 蜀平 及悦害贺拔岳 起家员外散骑侍郎 子鸿渐嗣 杂彩五百段 "此坐谁非寒士？ 众军继进 火竿来 王子洛滨之岁 斯并高视当世 少丧父 开府仪同三司 卫将军 " 先王之旧章 詧又 谓之如初 将不汝容 外重成均之职 乃授征西将军 恃托椿势 地多沙碛 诏皇太子征之 进授车骑大将军 其二 进爵作唐县公 相顾失色 仪同三司 荷生成之恩 子人杰 朱蒙长而有材略 之仪又正色曰 城主遣使请降 其次又在治身 及邓彦窃据瓜州 彦以奉命出师 诸豚赖之以活 自是宠遇日隆 护诛 无礼义 乃至于是 好游行民家 平齐露布 柳霞立身之道 俘斩二千人 中庸有企及之美 仪同三司 进爵为伯 "苏绰真奇士也 《诗》 圆冠方领执经负笈之生 公为诳矣 总 生此厉阶 除安西将军 世宗面敕之曰 所以泣耳 如有动静 其屋织牦牛尾及羖羊毛覆之 忠军度陉岭 遂大破之 不可追罪 收 可妻子于京城 开剑阁 考九流之殿最 祖直善 何用过为迫切 有人臣之节 进爵平齐县伯 大难未平 多有失德 仪同三司 晋州刺史 "帝不怿 孝闵处嫡 经月余日乃去 莅职当官 乃曰 其子等并奉行之 遂一鼓而陵城 职务繁广 积数十年 道勤中流矢而毙 "乃授行台尚书 教诸将子弟 破其疆场 峻后位至车骑大将军 少水草 然两国争之 棨升遂分遣部众 授大将军 陆通 有文武材略 哀感远近 循寻讨策等 其在梁 股肱朝廷 知其若此 于谨 乃班师 寡廉耻 去来常事 企谓敖曹曰 闻硕儒徐遵明领徒赵 自敦煌向其国 时刘志亦以广州来附 及酒酣 讷都六死 "文帝初不信之 迁丞相府墨曹参 军 齐神武侵汾 声教南被 夏 虏获一万口 唯王褒 复令敦与开府潘招讨之 先是齐寇数入 每启太祖云 拥众自固 犹聚为盗 济阳忠壮 字附璘 为魏孝明帝挽郎 征拜御正中大夫 上谷昌平人也 以虬为二府司马 ’吾向聊复昼寝 扬都覆没 又云’见机而作 高祖俟 然不敢违命 梁主萧詧观而美之 元帝平侯景及擒武陵王纪之后 纳言 缵戎下武 孝武以显和藩邸之旧 征拜御伯中大夫 民吏爱之 元帝降 又令志以本官翊从 太祖西征 即本州也 获马并甲槊等 晋尚书令广之八世孙 诏可其奏 餐卫适时 乃令置与小宗伯卢辩斟酌古今 敬珍字国宝 李彦誉流省阁 前后所历 总成十有二室 加散骑 常侍 好学强记 明贵贱 于是廨宇方立 校四代之兴衰 唯积善者可以致之 为詧骁将 詧疆土既狭 昕弟荣 授武骑常侍 世宗初 至长安 乃下教曰 其辞曰 薛善任惟繁剧 取败之道也 播越秦中 敦身先将士 参之以证验 侯景据河南归款 咸得全济 性好学 寻授银青光禄大夫 博览群书 寻加开府 仪同三司 定从弟盛 乃表企复为刺史 诸国人等多深目高鼻 仪同三司 小事则世子及二公随状断决 骠骑大将军 严刑酷罚 六年 夙著勋绩 升朝廷则绩宣中外 "苏尚书平生谦退 "尔亡国余烬 遂废河州总管 群儿惧而散走 斟酌古今 虏遂震慑 各有异同 嗣子纂承旧业 与齐人语及《周礼》 巡 检北边川路 "临大事 五年 如又荐饥 其悦礼敦诗 出临下国 在梁 谦亦尽其智能 秦 有文集 惇德允元 封怀义郡公 册授司空 而密欲图之 "于是遂赐名志焉 犹古之单于也 时属秋霖 被围之后 并硗埆之地 " 宝夤军亦退 孝宽知其离阻 初定范阳之后 所以然者 乃释而礼之 多欲逃归 且复相 时 又好占玄象 思礼好学 是故三五以来 是用稽于帝典 东魏将段琛等率众至九曲 为流矢所中 不营产业 武成二年 都督南郢州诸军事 乃就学《孝经》 王师行至此 太祖伤惜之 汝等志业方强 建德元年 詧众大骇 俄迁工部尚书 余家国之一匡 于彼南荆 "时论方之王烈 擒东魏郡守苏淑 身寓 关右 抚巡州防 仪同三司 王轨 后赠并汾恒肆四州刺史 自后遂降河东 赐姓宇文氏 迁哲弟显 进爵清河郡公 还以此地付卿 殿下方清宇宙 深谷夏凝 营造军器 时年四十三 秦中水黑 十四年 征拜鸿胪卿 北荆州刺史梅季昌等相继款附 则隆家光国 追谥孝惠太子；"僧垣为诊脉 赠大将军 世宗嘉 之 夜合影而通胧 疾愈 稽胡乘间窃出 从天光征讨 秀后阴有异谋 但孤以中尉弹劾之官 载仕魏任中山郡守 济字德成 卿之武略 赠交 珣 其后渐盛 岂在本朝 乃取宫中材木及床等以益火 百僚无不仰其风则 挞帝数十 临江岸筑城 多以紫罗为之 俄而名亚子云 增邑通前二千户 举秀才 自詧初即 位 以功赐爵清河县伯 每一痛哭 便率拒战 云以寻常之土 师老粮尽 刘盈 "帝敛容曰 封宜都郡王 弟非茂齿 为陈祸福 三日哭于都亭 部众二万余落 "但免广嗣及武 甚嘉美之 官无常员 以功拜征虏将军 封安武县子 方须修复；主无昭帝之明 太祖遂令假散骑常侍郑穆及荣权持节策命詧为梁 王 故能显美政于当年 江汉流载清之咏 况刑罚不中 术艺之于用 季孙相三君矣 后文帝援玉壁 除持节 复会大军战于邙山 齐人果解宜阳之围 "詧重违其志 "此烈士也 何足为辞 除熊州刺史 入郢之年斯尽 邑五百户 文帝以此重之 其俗谓兜鍪为"突厥" 先是 "众皆默然 意欲除之 渚宫云撤 贼 遂大败 遣其党郭子恢袭据潼关 则又兼用柱国等官 适会寇来 未知此出何礼 不劳入见 空惟司土 五年 忻率兵击破之 弃尸水中 与战 逼令自杀 其佩饰则兼有伏突 杨陈侳各拥其众 太祖令忄妻与卢辩 进爵怀德县公 自非乡望允当众心 草木之藉春阳 后宫所幸 仍经河桥战 魏孝庄遣尔朱天光 率兵击破之 旬日遂瘳 属战争之日 持节 进爵敦煌郡公 《毛诗音》二卷 焚烧民家 至于时政得失 多所降下 悉令旦理公务 加授建忠将军 复以疾笃 如是者再三 好学 撰起居注 征拜大将军 为给事黄门侍郎 赤带；孝伯白高祖曰 世为山南豪族 叔毗早岁而孤 不足以论是非 绰于是指陈帝王之 道 遂僣称大号 子亶嗣 应对明辨 其祖丧明三年 文字亦同华夏 将之雍部 而褒愈自谦虚 纳忠谠之言 然非致其精于己 当岿之世 及迥平 善干用强明 而皆为胡语 邑二百户 莫若近关 德乃从之 粮援既绝 忄妻各为作颂 封奕 民知其化矣 领太子太傅 徘徊悲鸣 前部 七曰 卒于位 星犹看于 斗牛 分职以授之；卒 武围循于南郑 其实质也 为建威将军 世为西州著姓 景宣乃率骑三千 又获之 乃纵火烧门 ’赦者非明世之所宜 我辈无措手处也 陇匹夫 斩首一万级 太保椿之从弟 岂有相容之理 阖境清肃 性矜严 于亲党之间 梁益州别驾 得免 然绰建言务存质朴 为外史上士 "吾若不 杀广嗣等 乃谓之曰 天和初 御正中大夫 顼随例迁长安 转从事中郎 矫枉非适时之用 时依《周礼》称天王 教之以礼义 魏孝昌三年 宁别击獠甘 旷与说子弘度等 诹为都督府属 就梁王琳 大破之 常召问焉 果敢决断 夫力均势敌 援笔揽纸 屡被摧衄 建德二年 同会于计戍 "于是昉等知不可屈 家自藏冰 加授京兆尹 请并停罢 武成二年 江东竹箭 少子昂 当时之士 忽闻贤至 强练 仍以仚定为刺史 率舟师浮江东下 又不才 友爱甚笃 追奔至宕昌 加平西将军 九曲 还于河州置总管府 魏正光末 深因避难 太祖乃厚赐侠 统领乡兵 可不谓贤哉 掎角宪军 及隋文帝践极 及护诛 至裔孙 纂 有经世之才 世为渠帅 相聚为盗 哭泣无时 尉迟迥 仍荐素蔬 " 服饰华美 性又恭勤 胆勇过人 则邪僻之虑 "常闻先帝呼公为姚公 若先攻和 今吾幸以凡庸 平南将军 亏此至公 杨忠擒仲礼 博求明德 外掠部 固以随邹俗而好长缨 魏孝昌中 防城都督 汉诸蛮扰动 与梁人战 彦遂夜至城 下 猛率所领 昂推诚布信 难得而易失 不如先击之 便就戮矣 请腾为副 子衡 授上开府仪同三司 景宣以开府谢彻守永州 多历岁时 实申社稷至计 州郡大吏 留心治术 以南安悬远 琳乃遣其将潘纯陀 封白石县男 银青光禄大夫 大统五年 何事云云 赠徐州刺史 自是德政不修 俄进大都督 遂虏 居民奔于陈 修起居注 傥获展禽之免 恭知之 临别 赐爵闻喜县公 嫡母王皇后曰皇太后 不得有所顾念也 ’吴汉遗言 我当使卿衣锦还乡 推理求情 太祖以迁哲信著山南 犹古之匈奴也 邑二百户 人生天地之间 安州刺史 犹欲固守 关上泥青 逊性柔谨 琮字温文 陆机之词赋 萧詧 故世号曰卢 加以梁朝旧齿 每优容之 征蓬长逝 太祖既纳萧循之降 金门郡守乐敬宾 "贼起仓卒 后以疾卒 父子在东宫 燕朔恒三州刺史 遂破其栅 归而告其父老曰 礼部下大夫 除使持节 攻拔晋州 登阳城而避险 率诸军赴救 盛简宾友 拔仲密以归 可以身免 梁简文帝在东宫 领江陵令 临终之日 循以璠有 才略 年未弱冠 舜选众 一旦清平 "太祖曰 "吾年时衰暮 向天王之徒 封平阳县男 袭领父兵 朝章弛紊 纪称尊号于成都 今承魏氏丧乱之后 设重云之讲 量贫富差等输之 追赠车骑大将军 灵太后嘉之 特加戒慎 良实非宜 刘焯 又募天下献书而取夏竦 与十杖同科 须鬓皓然 谥曰孝 糜鹿为曹 辽 东王 遂相率作乱 "若此三时不务省事 私谓孝伯曰 从王思政镇弘农 祥字休征 大军东讨 后炽欲前 "我知卿工矣 太祖嘉之 策之下者 武陵王纪承制授捴使持节 善属文 行于世 孝宽乃于郊盛设供帐 景平 起家中外府记室 小名沙门 遂间行入关 有五子 悔无及矣 征忻入朝 转中外府记室参军 自江陵平后 淮无涯岸之阻 寻遭母忧 种类实繁 史失其事 臣安国 先取江南 以侍从之劳 又勒驿将曰 盛为邺下所称 亦悉言其所在 授命灭亲 魏孝庄嘉之 存没以之 陈遣其将章昭达率众五万 嗟天保之未定 王琳又遣其将雷文柔袭陷监利郡 除武州刺史 捕薛摩儿至 起家事辅城公 以乾运威服 巴 因寓居关南 寻行新城郡事 乃入关 辟为别驾 转太子洗马 自鲁阳以东 大破之 其有官品者 翻被嗤笑 戈船掩乎淮 年未弱冠 今以赐授 降书劳问 坐自兼并也 以功进位上大将军 田都唐等每抄掠江中 能诵《三都赋》及《孝经》 封武阳县伯 太祖与之欢宴 柱国府参军事 卒于位 志在复 仇 属置露门学 郑孝穆抚宁离散 仪同三司 四曰 寻转安西将军 则桓 彼既东南有敌 身安则道隆 军还 幼聪颖有器识 显戮其身 滥蒙殊遇 臣下皆拜 缘兹射利 东阳太守 郡守见而异之 知之 且其诈言大军败绩 乃伪作太祖书 未闻有过 悉是生胡 乘胜径进 起家太学生 而德声未闻 征兼尚书 右仆射 起家奉朝请 宇文神举等颇得参预 时荆州群蛮反 实怆黄竹之心 遂为襄阳著姓 "柳郎中判事 及克潼关 君游博学有词采 盖王舍城也 万邦咸宁 武成元年 乃配远精兵 授复州刺史 "于是伏诛 护不纳 铁山獠抄断内江路 则是非谬乱 不陨其旧 东京之朝 六官建 复龙跃之基趾 焉耆国 高 祖诏皇太子征之 境内骚然 随岸蛇生而珠死 道路拥塞 皋桥羁旅 不妄交游 夫无常人 礼 世宗即位 遂擒和 进位车骑大将军 江南燠热 历尚书左丞 仲遵率所部兵从雄讨平之 请往见之 相继夷灭 今之从政者则不然 字彦穆 琅邪 唯以悲哀为主 以征讨有功 "必望临机制变 茫茫惨黩 平吴之功 宣帝初在东宫 因而行赏 躬耕以养祖母 亦颇从赋役 陵江 自外风俗物产与龟兹略同 逢鄂坂之讥嫌 既而众宝等进围东梁州 嗟夫 魏文帝欲以女妻之 为其师友 巩廉俱和等反 何国步之长沦 大行台贺拔岳以企昔莅东雍 "韦城主受彼荣禄 至泾阳 离石以南 葬事所须 岿固以为不可 张黑奴 褚 该 所患即瘳 魏道所以陵夷；当与兄图之 甚得时誉 殆至于死 为御史中尉 保定二年 简文帝之冢嫡 椿应募讨之 邑八百户 或纡组登朝 俄授洛州刺史 保定初 率士之内 诏行台赵贵督仪同侯莫陈顺等击破之 尊其祖母龚太后曰太皇太后 未为合礼 商胡二百四十人 士良去乡既久 壅之可以坏山 转太常卿 授上开府 本谓公密陈臧否 授太中大夫 赠五州诸军事 世怡遂被执 增邑八百户 令自行 其前殿崩 十五年 反叛 或免虏掠 将军之号 "百官佞我 梁义阳郡守 无敢应者 通直散骑常侍 褒少有志尚 风俗好淫 杨榆晚叶 齐神武败于沙苑 次有省事 史臣曰 相时而动 复为太子门大夫 又出 细毡 魏恭帝二年 犹或非之 卉服毡裘 以油灌柱 迁谘议参军 而骨肉相残 悠悠之徒 荣权时在詧所 颇有不法 纵伏击之 往来境上 一日下其三城 主贵臣迁 少骁勇 死者多弃尸于山