建模--图论模型解析

案例背景推广：
消防中心
模型不足：在服务之时，需要考虑的服 务对象“要求服务的人数”
之前问题所考虑的是每个小区之间的人 口是无差异的。若考虑小区的规模呢， 或小区中需要服务的人数不同，此时模 型的不足就体现出来了。
模型改进
原来的图中的顶点没有权重（中心问题） 考虑要服务的人数，我们对顶点进行赋
0
2
5
4
4 5.5
5 2 0 3 2 6 7.5
D
8
5
3
0
1
5 6.5
7 4 2 1 0 4 5.5
7
4
6
5
4
0 1.5
8.5 5.5 7.5 6.5 5.5 1.5 0
顶点权重矩阵
3
2
7
W
1
6
1
4
最短距离矩阵
0
6
35
WD
8
42
7
34
9 15 24 21 21
第7列：选址在V7处 各点到V7的运力分 量
案例背景推广：
街道巡逻并返回值班室 推销员分派传单并返回公司，供暖网络 本案待解决问题之一：若不能形成欧拉
链，可以补增使之有欧拉链，补增过程 中希望做到总长度最小。
案例： 选址问题 （中心问题）
现准备在 n 个居民点v1, v2, … , vn中设置一银 行.问设在哪个点,可使最大服务距离最小? 若设 置两个银行,问设在哪两个点?
第1列：选址在V1处 各点到V1的运力分 量
25.5
11
52.5
6.5
33
1.5
0
重心问题的机器算法
求最小距离矩阵D【Floyd算法】 找到顶点权重矩阵W=(W1,…Wn) 计算(1,…1)WD=(p1,…pn)，其
模型假设 假设各个居民点都有条件设置银 行,并有路相连,且路长已知.
模型建立与求解 用Floyd算法求出任意两 个居民点vi , vj 之间的最短距离,并用dij 表示.
⑴ 设置一个银行,银行设在 vi 点的最大服务 距离为
di m1ajxn{dij}, i 1,2,..., n.
最短距离矩阵
破圈（回路）法
2
2
5
5
1
3
1
7
4
破圈（回路）法
2
2
5
5
1
3
1
7
4
破圈（回路）法
2
2
5
5
1
3
1
7
破圈（回路）法
2
2
5
5
1
3
1
7
破圈（回路）法
2
2
5
1
3
1
7
破圈（回路）法
2
2
5
1
3
1
7
破圈（回路）法
2
2
5
1
3
1
总权数和为14
案例： 中国邮路问题
邮递员从邮局出发递送信件 1. 管辖的街道至少走过一次，2. 返回邮
小区 1 2 3 4 5 6 7 最大
号
距离
1 0 3 5 6.3 9.3 4.5 6 9.3
2 3 0 2 3.3 6.3 1.5 3 6.3
3 5 2 0 4 6 2.5 4 6
4 6.3 3.3 4 0 3 1.8 3.3 6.3
5 9.3 6.3 6 3 0 4.8 1.5 9.3
6 4.5 1.5 2.5 1.8 4.8 0 1.5 4.8
权 （重心问题） 思考：经调查，第k个小区的人口规模为
Wk，以概率Pk要求服务，此时又该设在 哪个小区呢？
案例： 选址问题（重心问题）
某矿区有7个矿点，每天产量（ ）以及矿矿之 间的距离如图所示。在矿点中找到一个矿点 建厂，使得每天的总运力最小。
最短距离矩阵
0 3 5 8 7 7 8.5
3
e
0 24 20 33 45
f
0 16 13 21
g
0 17 29
h
0 18
i
0
a b c d ef gh i
a 0 10 25 25 43 27 43 40 22
b
0 15 15 33 27 43 40 22
c
0 10 18 20 36 33 27
d
0 18 12 28 25 27
e
0 24 20 33 45
d ij=|x i - x j| + |y i - y j|
问如何搭设，使线长最短（不计接 线损耗）
a b c d ef g h i
a 0 10 25 25 43 27 43 40 22
b
0 15 15 33 27 43 40 22
c
0 10 18 20 36 33 27
d
0 18 12 28 25 27
7 6 3 4 3.3 6.3 1.5 0 6.3
求k,使
dk
min {d
1in
i
}.
即若设置一个银行,则银行设在 vk 点,可使最 大服务距离最小.
⑵ 设置两个银行,假设银行设在vs , vt 点使最 大服务距离最小.
记
d
(i,
j)
max{min{
1k n
dik
,
d
jk}}.
则s,t 满足：
d(s,t) min {d(i, j)}. 1i jn
交通运输（带中转站），交通网络
破圈（回路）法 求解最小树问题 --去除圈中权最大的边
7
2
2
5
5
5
4
1
3
1
7
4
破圈（回路）法
7
2
2
5
5
5
4
1
3
1
7
4
破圈（回路）法
7
2
2
5
5
4
1
3
1
7
4
破圈（回路）法
7
2
2
5
5
4
1
3
1
7
4
破圈（回路）法
7
2
2
5
5
1
3
1
7
4
破圈（回路）法
7
2
2
5
5
1
3
1
7
4
图的方法建模
卢里举
北京理工大学珠海学院基础部
案例：最小树问题
某乡镇要为其治下的9个村庄架设电路。 各村庄在平面坐标上分别为a（0，15）、 b（5，20）、c（16，24）、d（20， 20）、e（33，25），f（23，11）、g （35，7）、h（25，0），i（10，3）两 个村庄线长定义为：
局（收回一些待寄出的邮件，这些邮件 需收回到邮局）
问：如何选择合适的投递路线，以便走 尽可能少的路程。
归结为：能否找到闭链，使该闭链包含 每边至少一次，且总长最小。
分析： 走过每条边一次--（欧拉图 or 一 笔画问题）
返回：最短路径 问题
例：各街道网络如图所示
中国邮路问题图解（共长35+6=41）
f
0 16 13 21
g
0 17 29
h
0 18
i
0
b a
d c
b
a f
cdba源自fhcdb
a f
Del
h
c
d
b
g a
f
Del
h
c
d
b
a f
Del
c
d
g
Del h
b g
a
f
Del
Del
h
c
d
Del
i e
总长为112
案例背景推广：
电路搭设（网路、电话）
管道连同（水管、煤气管道、石油管道、 城市排污系统）
最短距离矩阵
小区 1 2 3 4 5 6 7 号 1 M 6.3 6 4 6 4.8 6.3 2 6.3 M 6 3 3 4.8 5 3 6 6 M 5 5 4.8 5 4 4 3 5 M 6.3 4.5 6 5 6 3 5 6.3 M 4.5 6 6 4.8 4.8 4.8 4.5 4.5 M 4.8 7 6.3 5 5 6 6 4.8 M