数列的概念及简单表示法

数列的概念及简单表示法

一、选择题

1.数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式是a n等于( )

A.（－1）n＋1

2

B.cos

nπ

2

C.cos n＋1

2

π D.cos

n＋2

2

π

解析令n＝1，2，3，…，逐一验证四个选项，易得D正确. 答案 D

2.数列2

3

，－

4

5

，

6

7

，－

8

9

，…的第10项是( )

A.－16

17

B.－

18

19

C.－20

21

D.－

22

23

解析所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子.很容易归纳出数列{a n}的通项公式a n＝

(－1)n＋1·

2n

2n＋1

，故a10＝－

20

21

.

答案 C

3.(2016·保定调研)在数列{a n}中，已知a1＝1，a n＋1＝2a n＋1，则其通项公式a

n

＝( )

A.2n－1

B.2n－1＋1

C.2n－1

D.2(n－1)

解析法一由a n＋1＝2a n＋1，可求a2＝3，a3＝7，a4＝15，…，验证可知a n ＝2n－1.

法二由题意知a n＋1＋1＝2(a n＋1)，∴数列{a n＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n＋1＝2n，∴a n＝2n－1.

答案 A

4.数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n 等于( ) A.2n －1 B.n 2 C.

（n ＋1）2

n 2

D.

n 2

（n －1）2

解析 设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2，

当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2

（n －1）2.

答案 D

5.数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝2n －3，若a 1＝2，则a 8－a 4＝( ) A.7

B.6

C.5

D.4

解析 依题意得(a n ＋2＋a n ＋1)－(a n ＋1＋a n )＝[2(n ＋1)－3]－(2n －3)，即a n ＋2－

a n ＝2，所以a 8－a 4＝(a 8－a 6)＋(a 6－a 4)＝2＋2＝4. 答案 D 二、填空题

6.若数列{a n }满足关系a n ＋1＝1＋1a n ，a 8＝34

21，则a 5＝________.

解析 借助递推关系，则a 8递推依次得到a 7＝

2113，a 6＝138，a 5＝85

. 答案

8

5

7.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________. 解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝⎩⎨⎧4，n ＝1，

2n ＋1，n ≥2.

答案 ⎩⎨⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.

8.(2017·北京海淀期末)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ≠0(n ∈N *)，又

a n a n ＋1＝S n ，则a 3－a 1＝________.

解析 因为a n a n ＋1＝S n ，所以令n ＝1得a 1a 2＝S 1＝a 1，即a 2＝1，令n ＝2，得a 2a 3

＝S2＝a1＋a2，即a3＝1＋a1，所以a3－a1＝1.

答案 1

三、解答题

9.数列{a n}的通项公式是a n＝n2－7n＋6.

(1)这个数列的第4项是多少？

(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？

(3)该数列从第几项开始各项都是正数？

解(1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.

(2)令a n＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16或n＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项.

(3)令a n＝n2－7n＋6＞0，解得n＞6或n＜1(舍).

∴从第7项起各项都是正数.

10.已知数列{a n}中，a1＝1，前n项和S n＝n＋2

3

a

n

.

(1)求a2，a3；

(2)求{a n}的通项公式.

解(1)由S2＝4

3

a

2

得3(a1＋a2)＝4a2，

解得a2＝3a1＝3.

由S3＝5

3

a

3

得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，

解得a3＝3

2

(a1＋a2)＝6.

(2)由题设知a1＝1.

当n≥2时，有a n＝S n－S n－1＝n＋2

3

a

n

－

n＋1

3

a

n－1

，

整理得a n＝n＋1

n－1

a

n－1

.

于是