列方程解应用题

第六讲列方程解应用题

列方程解应用题是用字母代替未知数，根据等量关系列出含有未知数的等式，也就是方程，然后解出未知数。这样解答应用题的优点在于可以设未知数直接参与运算。

列方程解应用题的关键在于正确、合理地设未知数，找出等量关系从而建立方程。列方程解答应用题的一般步骤是：

1.根据题意，找出已知条件和所求问题。

2.依据题意找到等量关系，正确、合理地设未知数。

3.根据等量关系列出方程。

4.解答方程。

5.检验，写出答案。

第一课时

例1．父亲今年47岁，儿子今年11岁，多少年后父亲的年龄是儿子的3倍？

分析：设x年后父亲的年龄是儿子的3倍。父亲现在47岁，x年后年龄应为（47＋x）岁；而x年后，儿子的岁数也增加了x岁，即（11＋x）岁。知道x年后各自的岁数，根据题意“父亲的年龄是儿子的3倍”，可以找到等量关系：“父亲的年龄=儿子的年龄×3。”

解：设x年后父亲的年龄是儿子的3倍，列方程得

47＋x=（11＋x）×3

47＋x=33＋3x

47－33=3x－x

14=2x

x=7

答： 7年后父亲的年龄是儿子的3倍。

例2．一条轮船在两个码头之间航行，顺水航行需要8小时，逆水航行需要10小时，水流的速度是每小时2千米，求轮船在静水中的速度。

分析：顺水航行的船的实际速度是船在静水中的速度与水速之和，逆水航行的船的实际速度为船在静水中的速度与水速之差。船在两个码头之间往返，显然顺水行驶的路程与逆水行驶的路程相等，都是两个码头之间的距离，所以有等量关系：“顺水速度×顺水时间=逆水速度×逆水时间。”

解：设轮船在静水中的速度是每小时x千米，列方程得

8（x＋2）=10（x－2）

8x＋16=10x－20

2x=36

x=18

答：轮船在静水中的速度是18千米/小时。

例3 .五（1）班期中考试全班的平均成绩是87.5分，男生的平均成绩是86分，女生的平均成绩是90分。这个班共有56人，求男、女生各有多少人？

分析：已知男、女生人数的和是56，若设男生的人数是x，则女生的人数是（56－x）。知道男生、女生以及全班人数和他们各自的平均分，就可以表示出对应的总分，而分数之间，存在着“男生总分＋女生总分=全班总分”这一等量关系。

解：设这个班有男生x人，列方程得

80x＋（56－x）×90=87.5×56

x=35

女生人数：56－x=56－35=21

答：男生35人，女生21人。

第二课时

例1. 甲、乙、丙、丁四人共有有45本书，如果甲的书减到2本，乙的书增加2本，丙的书增加1倍，丁的书减少一半，那么四人的书就一样多。求原来四个人各有多少本书？

分析：因为四个人书的本数发生了变化后才相等，所以设相等后本数为x本，比较后，甲、乙、丙、丁原来的本数依题意可表示为（x＋2）本，（x－2）本，（x÷2）本，2x本。

解：设相等的本数为x本。

（x＋2）＋（x－2）＋（x÷2）＋2x=45

x=10

甲原有书：10＋2=12本

乙原有书：10－2=8本

丙原有书：10÷2=5本

丁原有书：10×2=20本

答：甲原有书12本，乙原有书8本，丙原有书5本，丁原有书20本。

例2. 有一首民谣：“火树银花楼七层，层层红灯倍加增，共有红灯三八一，试问四层几红灯”。这首民谣是一道应用题，问第四层有多少盏灯？

分析：本题等量关系很明显，七层彩灯总和是381。若直接设第四层有彩灯x盏，则第三第二，以及第一层的彩灯数不好表示；若设第一层彩灯数为x，那么二到七层彩灯数依次为2x，4x，8x，16x，32x，64x，可很快列出方程并求解。

解：设第一层彩灯数为x，那么二到七层彩灯数依次为2x，4x，8x，16x，

x＋2x＋4x＋8x＋16x＋32x＋64x=381

x=3

第四层有彩灯：8x=8×3=24（盏）

答：第四层有彩灯24盏。

第三课时

例1. 有一个两位数，其个位数字与十位数字之和是13。如果把这个两位数的个位数字与十位数字互换，得到的新数就比原数小9，求原来两位数。

分析：任何一个两位数ab，都可以表示为10a＋b，设原来两位数的个位数字为x，则十位上的数字为（13－x），原来两位数可表示为（13－x）×10＋x；互换后的新的个位是（13－x），十位上为x，新数可表示为10x＋（13－x）。

解：设原来数的个位数字是x，原来两位数可表示为（13－x）×10＋x，新数可表示为10x＋（13－x）。列方程得

（13－x）×10＋x－[10x＋（13－x）]=9

x=6

十位上的数字是13－6=7，原来的数字是76。

答：原来数字是76。

例2. 如图，长方形ABCD的长是6厘米，线段CF=5厘米，且三角形ADE 的面积比三角形EFG的面积小3平方厘米，求BC的长。

A

F

C

分析：本题若采取常规思路需要中间量的代换比较复杂。如果运用方程解答可以达到“直设直解”的目的。设BC的长为x厘米，那么BF的长可表示为（x＋5）厘米。然后将长方形的面积和三角形ABF的面积用x表示出来，因为“三角形ADE的面积比三角形EFG的面积小3平方厘米”即“长方形ABCD 的面积比三角形EFG的面积小3平方厘米”这就是等量关系。

解：设BC的长为x厘米，那么BF的长可表示为（x＋5）厘米，列方程得

6（x＋5）÷2－6x=6

x=4

答： BC长为4厘米。